数三考曲率和近似解吗

大家好，我是考研数学洪博士。好，我们来看这个数三的这道题啊，数三的这道题呢？ 呃，有点复杂啊，这道题你看高阶岛，其实我们刚刚有道题也是讲到那个高阶岛，高阶岛，我们那道题是怎么来做的？我们是，我们是用归纳法啊，包括呢？我们用那个他的公式，是吧？把它展开， 因为高阶岛我们知道一旦用抬头公式来展开的话，他其实相当于就是一个 蜜函数，他其实是用了蜜函数的一个特性，是吧？大家可以看一下那道题， 命函数其实有非常好的一个性质啊，就是你如果是高阶岛，他有一些像的话，他可能就是通通为零，尤其这个时候 x 等于零的时候啊。当 大家可以去看一下那道题， 那我们就先先看这道题啊， fx 的，显然你会发现，我们如果用态度公式展开的话，因为有个这个 我分子，就算这个分母，我就要分子展开的话，那我分母部分的话，其实你会发现他约不掉，所以还不是不能形成一个非常那种规规矩矩的那种密函数， 所以这个使用胎的公司不太好弄。其实这道题有个非常巧妙的方法啊，就是我们先把它一阶倒，先求一下，我们先 看一下， 然后你会发现呢，把它化解， 化解的时候，我们先左右两边同时乘一个一减 x 平方， e 加上 x 乘一个 ax sign x 根号一减 x 平方，然后你会发现这个地方也是 f x， 是吧？那这个时候你会发现呢？我这个事实当中啊，因为我其实求高阶嘛，他其实只有 fx 和这个密函数， 这样是不是就简单了？出现了密函数了，这是我们想要的，是吧？因为密函数，你看高级岛 fx， 如果说它等于像那种优加位，我求高级岛的时候， u 乘以 v 啊， u 乘以 v， 想要一键，如果 uv 他都是密函数啊，你高阶岛他有些岛就没有，是吧？你到 n 阶岛呢？你 n， 比如说很大很大，是吧？但是 因为他是密函数，所以你高于这个，比如说我这个最高只有 x 平方，我只有平方下，所以我求一指导是二 x， 我求两指导，那是二，我再求一指导就没有了， 他导致就是零，所以后面的相乘呢？都是零，因为他出现了一个零，是吧？所以他只能保留球的那个，接触的最高的那个像 啊，能明白吗？啊，大家可以看一下那个用态度展开的就是那道题的方法。二，前面的应该是三十多道题啊， 然后这个时候我们接下来往下做，其实你心里已经有底了，知道怎么做了。左右两边同时对眼影球啊，对 fx 球这个， 嗯，哎，左右两边同时对这个四字啊，求 n 接到左边 c 零 f x， 你相当于对 f x 一撇，再求一次 n 接到，那就是总共 n 加一接到，然后剩余的 这些也就是临街岛，临街岛的话也就是它本身吧， 然后 c n e f x， 那它就降一节，就是 a n 节， 然后一减 x 平方就深一节，就对他求一次档，那就是 fox， 然后再加上 cnr fx n 减一接到乘一个 f， 是吧？因为 f x 再对这个 x 就会知道吗？所以就是 f 二，那这个时候你会发现这里有个音字是 five x， 所以我当 x 等于零的时候，其实这个下就肯定为零 啊，这里后面都不用去讨论了，是吧？肯定为你， 然后呢，你再看啊，我们这里只讨论了 cn 二，为什么 cn 三不讨论啊？你看，如果是 cn 三的话， 我这个相当于还要对负二再求一次倒吧，是吧？那这样的话，你看负二再求一次倒不就零吗？常数求倒不就零吗？所以后面的像其实通通 多等于零，因为他已经涉及到那个长塑像的一个球道了，肯定通通等于零， 所以后面全部不讨论啊，这个就是密函数的一个好处啊，你看密函数一减 x 平方，不就是密函数吗？对吧？这就是密函数给了我们的一个好处啊。 然后我们再我们再看右边这个部分，一，他求 a n 接到的话肯定是零，然后剩余的就是 x 乘以这个 f x 同样的 c n 零 就 ang 导他这个公式呢？这个我们要会啊，他展开公式 ang 导，然后这里是 想了， x 他求零次导，也就 fx， 这是两个音质吗？然后 x 他求的导数和 fx 求的那个导数的接触呢？两个相加，一定是 n， 所以我是 n 零的话，我如果前面 fx in 接到，那后面这个 x 呢？我就取零接到，也就这个函数本身，所以 cn 一呢，也是一样的道理，那就是 fx in 减一接到，但是这个时候我们要对 x 求一接到，那就是一 再往后就没有了，因为他也这个 x 已经被我们求到一个常数了，那这个因子的话，再往后求那个高级岛的话，他通通就等于零，所以只剩下这些，当然这个呢，肯定也是零了， 是吧？因为 x 等于零嘛，肯定我会以为是零，然后这个时候我们就把 x 等于零带进去， 这是乘以负二等于 a 乘以 f 零 n 减一接到， 然后呢，我们把这个部分进行化解啊，把它进行化解， 因为我们会发现这里 f 零 n 减一阶段，你看有两项都是，是吧？所以他们肯定是可以合并同一项，所以就是 f 零 n 加一阶段， 加上二分之 a 乘以 n 减一，乘以个负二， f 零 n 减一，接到等于 a 乘以 f 零 n 减一， 减掉 m 平方 f 零 n 减一的阶层，再加上一个 n 乘以 f 零，然后 n 减一的阶层等于 n 乘以 f 零 n 减一的阶层，所以这个和这个约掉了， 所以呢，我们写在这边啊，所以 f 零 in 加一的阶层，他就等于 n 平方乘以 f 零 in 减一的阶层，那这个时候啊，我们就知道了，他其实已经有一个地推式出来了， 这个就是地推式，那答案肯定就已经出来了。 那最终我们要看他的落脚点，你看他两个 n 加一的结成，他推到 n 减一的结成，其实相隔是二，相隔是二的话，其实他最后的落脚点要么就是零结和一结， 一个接一个偶，是吧？那我们看零接，想要意见，零接的话，也就是原函数吗？原函数等于零的时候，明显的他分子就等于零， 那一节呢？一节的话，我们就带到这边的这个公司里面，对吧？然后 x 等于零，你会发现一节这个 fx 一撇呢，就等于一，所以你会发现一个鸡一个藕，他落脚的那个点是不一样的啊，明白这个落脚的意思吗？ 就落脚，也就是你地推到最后，他肯定那最后那个下，是吧？你看最后那个下，他是有一个是零，也就是我如果是偶数， 比如我 f， 我如果是偶数，我 f， 您呢？ in， 我当这个 in 是偶数的时候，他最终的那个音质的落脚点就是零，零乘以任何一个数都等于零，所以他最终只能为零， 对吧？因为这是个因子相乘啊，所以你要看他那个最终的那个落脚点，他有个零，这个就好办了，直接为零。如果是基数，他的落脚点是什么呢？落脚点你看，哦，他显然是这样的， 我是这里是 in 接吗？ in 接的话，那我带到这个世界当中，其实也就是 in 减一平方，那再往后乘的话，就是 n 减三平方等等等，一直乘到最后的落脚点是一，对吧？那这个是怎么表示啊？再化解一下，其实相当于是 n 减一的， 他不是 n 减一的阶层，因为 n 减一的阶层是连续啊，有相隔为一，但是他们相隔为二，所以他相当于是两个阶层，括号加个平方就行了。这个就是 n 等于基数的时候 啊。这是四十一题，有点难度。我觉得这个高阶岛其实一定要往这个思想上去，靠密函数，密函数用来求高阶岛非常非常的方便。

各位小伙伴们大家好，我是你们的小崔老师，最近有同学私信问我，曲律这个概念该如何去理解，他跟我讲，他只记得曲律的一些公式，包括曲律半径的公式，但是呢，对曲律在解决一个什么样的问题呢，还不是很了解，希望我能讲一下。 那我们这期视频呢，就来讲一讲曲律这个概念该如何学习。我希望呢各位在看我接下去的讲解之前呢，先把我之前做的两期视频看一下，一期是互长公式，另外一期呢，是导数的定义，当然我在评论区也会把这两期视频的链接贴出来。 好的，接下去我们来聊一聊曲律这个概念。那么关于曲律呢，我们大概需要知道这么一些点。首先第一个曲律呢，它的功能是什么？曲律是如何定义出来的？那我们说曲律啊，其实是用来表示曲 曲线弯曲程度的一个量，也就是说去衡量一个曲线是弯还是直。那各位可以看到，在这张图的一二象线里面，我各画了一条曲线，然后呢，我保证他们的弧长相等，当然这里啊，因为是我手画的，所以说肯定会有些误差，但是各位意会一下，很显然， c 一曲线是比 c 二曲线要直一点的，或者说 c 二曲线要更弯一点。那如何去定义这个弯和直呢？ 我们是这么去定义的，你想对于一个曲线来说，他在每一点呢，都是有切线的，然后切线与 x 轴的夹角，我们叫做晴角， 就是这里的尔法一这个角度，那同样的 c 二的这个点，它也有切线，然后呢，它的请角是这么大，尔法二， 然后呢，我画图的时候，我故意将他们的起点，也就是说这两个红点啊，都放在了 x 轴上面，因为这样子可能会比较方便分析。然后呢，各位也可以看到这两个红点，他的切线其实就是 x 轴， 也就是说它的晴角是零度。那么各位可以看到，在 c 曲线上，从 a 点走到 b 点，这 dearta s 的距离， dealtas 是弧长，走过了 dealtas 的距离，我晴角的变化是多少？显然是这个尔法一对不对？ 那同样的 c 点到 d 点， c 二曲线上，它也走过了 delta s 的距离，但是我的情角变化呢，是 a 法二，显然这个 a 法二啊，是要大于 a 法一， 也就是说我曲线走过了相同的路程， c 二要比 c 琴角的变化更大一点。那你想一想，其实这不就是说 c 二比 c 一要弯一点嘛。所以我们在数学上定义出来了一个平均曲率的概念。那么 在 a b 之间这段曲线，我的平均曲率是怎么定义的呢？就是用这个改变的角度，而法一啊，除以 走过的路程 delta s。 换言之啊，其实我们算的就是单位长度上面倾角的变化，对不对？那我们就把这个称为平均曲率。 同样的，仿照刚才的 d e c d 这段曲线，也是可以算出平均曲率的，显然是 f 二绝对值，除上一个吊塔 s 的绝对值。那么很显然呀， k a b 是要比 k c d 要小的。假如去对应着图来看的话，其实就是说走过相同的长度， c e 弯的更少呗，也就是说它更 直一点，而 c 二这个曲线呢，更加弯一点，这叫一个平均曲率的概念，那我们现在呢，得到了一个概念，叫平均曲率，某点处的曲率 又是怎么定义的呢？假如啊，你对导数的定义还有印象，当然没有印象也无所谓，你可以去看看我那期导数定义的视频，你会知道，其实啊，切线斜率就是由割线斜率无限逼近而来的，而某点处取率的定义呢，其实和导数的定义是差不多的，比如说一段曲线， 这是 a 点，这是 b 点，那么很显然，我是可以算出这个平均曲率的，那你接下去呢，让 b 点无限的往 a 点去靠， 靠到多近呢？靠到无穷接近，靠到这里的时候，几乎算的就是 a 点的一个曲率了吧，当然，这里有一个极限的思想，对不对？很显然， k 是等于当 delta s 非常非常小的时候， 雕塔尔法绝对值比上雕塔 s 的绝对值，所以呢，是这么定义的。这里啊，我直接给出公式，因为看我视频的很多同学呢，我相信你们也不太想看到证明，但是呢，我会在视频的最后给出这个公式的证明方法。 那么某点处的曲律啊，其实就等于这个公式，那么关于曲律的作用和曲律的定义，你明白了吗？接下去呢，我们来聊下面一个内容，曲律源于曲律半径。那么无论是考研的同学啊，还是大一的小伙伴，你学这个曲律内容的时候啊，你只需要知道曲律 是哪来的，然后曲律源和曲律半径是什么，然后它的公式是什么就可以了。那么我们讲曲律源之前啊，我们先回顾一下切线的概念，什么叫切线呢？或者说切线的功能是什么？ 我这里画一条曲线啊，比如说这个点，他的切线大概就画成这个样子。当然，我们这里不去仔细聊切线的定义啊，我们来简单聊一聊切线的功能。其实我们提出切线这个概念啊，是想 化繁为简，毫无疑问，相比于曲线啊，你更喜欢处理直线，对不对？因为直线的方程简单，所以啊，我们的切线其实在做一个工作，叫做礼盒。其实啊，切线就是在一个领域上 与曲线拟合的最好的一个直线，所以我们是这么定义的。那这样定义的好处呢？其实就是画曲为直了，变得更简单一点。除了用直线去拟合曲线以外， 数学家们呢，经常含用原来你和曲线，比如说，我这里画两条曲线，这个曲线和这个曲线，毫无疑问，左边这个曲线呢，是要直一点的，右边这个曲线是要弯一点的。那同样的，我都取一个点，这个点和这个点。接下去呢，我想用原来你和这两单曲线，也就是说， 你想这个小淋浴上面与这段曲线礼盒的最好的圆是哪个圆呢？我这里手画一下啊， 左边这个曲线呢，大概需要这个圆，这么大的一个圆，对不对？而右边这个曲线呢，这一点，我只需要一个小小的圆，对吧？这么大，那么这个圆就叫做曲律圆， 而曲律源的半径 r 就称为曲律半径。所以呢，我们定义出曲律源这个概念啊，也是为了拟合，也是为了去化繁为简。而曲律半径啊，和曲 率之间有个非常好的关系， r 等于刚才我定义出来的 k 分之一。所以啊，假如你是要考试，你只需要知道 k 的一个公式是什么，然后 r 的一个公式是什么， 那也就行了。当然了，我更希望的是你看完我这个视频啊，能够窥探到微积分的一些更深层次的原理。那么接下去呢，我要聊一聊取率公式的一个证明了。假如呢，你对证明没有兴趣，那欢迎你退出之前三连加关注一下。 假如呢，你对证明感兴趣，那欢迎你看完之后再连加关注一下。我希望我的弹幕里面不要出现，下次一定啊。好，接下去我们来聊一聊曲律公式的推导啊。刚才其实我们知道啊， k 是等于 delta x 趋于零的时候， delta alpha 的绝对值比上 delta s 的绝对值。那么在 delta x 是非常小的时候啊，我就可以把分子和分母写成微分形式了，也就是说， d r 法比上 d s， 然后加上绝对值，对不对？所以这个证明称不上难，我只需要知道 d r 法等于多少， d s 等于多少。首先我们来算一下 d r 法，我们知道啊， 根据导数的几何意义啊， y 撇是等于 tangent ar 法，也就是说琴角的一个正切值，对不对？而毫无疑问， ar 法就等于 arc tangent 崴撇喽，对不对？好，那接下去我们的操作就是两边同时微分，左边等于第二法。哎，第二法就出来了，右边呢，对整个式的求导，那就是一加崴撇平方，然后别忘了这是个负函函数，对不对？你还要对崴撇再求个倒，比如说崴两撇， 当然，你别忘了把 d x 写在外面，这是一个微分公式，对吧？而 d s 呢，我在弧长公式那些视频应该已经推导过了，它就等于一加崴撇的平方开根号乘上一个 d x， 那你想一想 k 等于多少就非常容易了， k 就等于 d r 法比 d s 对不对？你看两个 d x 可以约掉了，于是就等于 y 两撇除以一加 y 撇 平方。你看这里有一个一次方，一加 y 平方开根号是不是二分之一次方，哎，就变成了二分之三次方。当然不要忘了绝对值，因为下方这个式子啊，永远都是正的，所以我们就不加绝对值了，所以这就是取率公式的一个推导过程。希望可以给个微信 解启发，你明白了吗？好的，各位，以上就是我关于曲律的一个讲解，那么总结一下曲律这个概念呢，是一个描述曲线弯或者直的量， 那首先我们得知道他是在解决什么问题，其次呢，我们还要知道曲律圆其实就是在做一个礼盒，是用一个圆来礼盒一段曲线。好，各位你听明白了吗？ 好，本期的讲解呢就到这里，如果各位呢有什么不懂的内容，欢迎各位积极的给我们留言弹幕和私信。好的，谢谢各位的收看，我们下期再见！

我们来看一下第四十七题，这个四十七题呢，也是一个针对数一数二几个单独小考点的这个综合性问题，这个题目如果真正考到，你要想把它做出来，其实是不容易的啊。 假设这个函数呢，是一个向上凸的连续曲线，也就是将来呢，我这个这个两级导数啊，肯定是负的，是吧？这没没错吧，凸函数任意点的 这个，这个曲律告诉你了，哎，这里面有个小公式，大家记得吧？这个曲律的公式 k 的是什么还记得吧？ y 两阶等数绝对是符号比上一加上 y 等数的平方的二分之三四方，对不对？就根号下这个整体的 生死防老，对不对？好？当然我们这个题目呢，它这个 y 两撇它是负的，就这个对不对？那么根据题目的条件啊，因此它应该等于根号 号一下一加上外导数的平方分之一，对不对？那因此啊，我马上得到一个结论啊，那因此啊，你会发现，他这个负外的两撇均等于把这个根号下一加外导数的三次方，把它 这个乘过去，是吧？那就二分之三除上，就是一加上 y 倒数的平方的一次方， 是不是？你是说 y 的量平等于一加上就是一加上 y 的倒数的平方， 是不是好变成这么个形式啊？变成这个形式以后呢，首先大家马上就要反馈过来这个反应，这个反应过来啊， 这是个二阶微微方程，而且属于二阶微微方程里面的，是不是就缺 x 型或者缺外形，对吧？他既是缺 x 型，也是缺外形，对吧？反正这种题目呢，是可降阶型的微微方程，对不对？所以呢，既然是可 降阶的，我们就令 p 等于 y 的撇吧，是吧？比如说，我们就把它当成缺外形的来做，是不是简单一些，是吧？好，那么因此呢，就变成了这个负 p 撇，就等于一加上 p 的 平方，是不是？那么接下来呢，就变成变量可分类型文用方程呢？它这个呢，就是 d p d x， 是不是？好，那么这么来吧，那因此啊，我把这个一加屁方分之一除了，准备来抵屁，这还有个符号呢，是吧？然后呢，就等于叠四了，好，两边算七分， 是吧？好，左边呢，这就变成了负 ak tenson 的 p， 对吧？就等于一算起 x， 再加个 c 吧，对不对？好，这个题目还有条件啊，他说啊，说呢，在零一处的，再 零一处，哎，就说零一这个点是切点，是吧？切线方程是这个，那因此就告诉什么？就告诉你咱们这个函数啊，他在零一点的函数等于一，而且零点倒数等于几啊，这也对一啊，对不对？所以我把这个零点函数的等于一倒数，是等于一把它带进去啊，因为你看，当这个 x 等于零十，这个 p 啊，应该等于一吧，是不是？没错，对不对？好，那这个会变成 octane 的一就是四分之 pi， 是吧？就是四分之 pi， 那么它就等于就是零，就是 c 啊，就等于负四分之 pi， 是的吧，好，没错啊，那因此啊，这个时候就变成了 arc tengent p 就应该等于负 x 啊，这个再加上四分 分之 pi， 是不是好 a a a 写错了啊， octane 的 p 等于负 x， 再加上四分之 pa， 是吧？那因此啊，这个 p 啊，就等于 tentant 四分之 pi 再减去 x， 对不对？而这个 p 是什么？ p 是外导数吗？ 对不对？那么很明显啊，那这个 y 换个颜色 y 呢？就应该等于 tangent 四分之 pi 减 x， 这个整体算积分啊， 对不对？他应该是 loin 啊，这个 design， 四分之派减 x， 绝对是符号，再加个 c 吧，套公式这样，它里面里面有个四分之派减，他当然是这样，扩散四分之派减，也就是扩散派减四分，嗯， x 减四分派，是不是啊？这没错吧，对不对？好， 当然你不信的话，你可以自己去试一下啊，它的这个导数长什么样子啊？好，现在呢？把这个 y 表达出来了 a， 那么还有一个啊，又因为 y 零等于几啊？ 等于甘肃等于一啊，对不对啊？好，那因此呢，这个 c 这地方，我们我们就写个 c 嘛，其实无所谓你，你说你把字你写个 c， 其实也行啊，就等于一加上二分之一倍的 lower， 好，现在呢，这个 y 就有了，就等于 low。 普塞四分之派减 x， 绝对是符号，再加上一加上二分之一倍的方圆二。好，这是函数出来了， 他现在还问，你说啊，你帮我算一下这个函数的极值，极值，哎，他突然就说，哎，老师，这个题目的极值好痛苦啊，是吧，其实一点都不痛苦，后面呢，这个什么一加二分之二 二，一加二分落于二，你不用管它，主要看前面这个函数，对不对？那么前面这个函数，它是个符合函数，外层函数呢？这个落叶啊，它是个单调递增函数，对不对？那么我们只要重点来观察里面这个函数， 对吧？你看这个口塞四分之派解一次，很明显是一个以周期为派的周期函数啊，对不对？哎，你想，如果你口塞四分之派解一次，他的周期是二派，对不对？你听绝对符号呢，周期变成派了，对不对？周期为派，那么既然是周期为派，我们是不是只要考虑一个周期就行了， 对不对？那么如果说啊，你要是感觉的这个东西很痛苦的话呢，我觉得你可以去换元，另，四分之派减一次的气数也行啊，也可以。那么我们这样啊，咱们就考虑第一个周期，我就考虑哪呢？我就考察考察 x 在哪，在负四分之派 到四分之三派上，哎，负四分之派到四分之三派刚好是一个周期，为什么要考察这个区间呢？因为考察这个区间，哎，你看四分之派减去，哎，这个，呃，负四分派到四分之三派啊，这个区间他们说正好是这个扩散是不是取正啊？ 是的吧，是不是科三刚好是取证书。哎，如果说你要是感觉啊，看的不舒服的话，我觉得啊，咱们可以这么来 啊，口算他反正是反正是个偶函数啊，对吧，那么就写成四 pai 减 x， pai 减四，这个 x 减四分之 pa 我觉得要舒服一些， 是不是啊，完全可以啊，对不对？这么看的话是不是要轻松很多啊？你看你这个 x 如果在负四分之派到四分之三派之内，那么 x 减四分之派呢？当然在负四分之派啊，负二分之派到二分之派之内，这样的话扩散怎么样？不就很正了吗？对， 是不是要方便一些啊？这此时呢，我这个函数 y 就变成了 loin crossine， x 减四分之 pi 绝对是符号就 不用加了呀，再加上一加二分之一倍的乱。而且大家很明显感觉到啊，这个 x 如果在负四分之派到四分之三派之内，那么此时啊，这个整体啊，应该是在负二分之派到二分之派之内，对不对？那么这个苦塞大家应该画个图，是吧？苦塞， 比如说这是口算 x 啊，这是负二分之派到二分之派之内这个区间，那么这个函数呢？在零这个点是不是唯一的几大几点？当然也是个最大几点啊， 对不对啊？那么你看这个函数，应该是在这个 x 减四分之派等于零，就是 x 等于四分之派的时候，有唯一的什么？这个这 大的点，也就是最大的点，对不对啊？没错吧，那么 low， 它本身是个递增函数，因此呢，这个整体应该在 第一个周期啊，里面，应该在四分之派这个点，应该是唯一的一个集啊，这应该是唯一的一个转子点吧，对不对？我们说区间内部的最值，也就是什么极值，哎，是不是因此啊，因此他在 x 等于四分之派处， 哎，有唯一的唯一的极大值，是不是？这听得懂吗？对不对？你看我们里面这个函数，他讲 这个 x 等于四分之派，就是 x 减四分之派等于零的时候啊，有唯一的极大值，也就是最大值，对不对？那么我外三函数呢？它本身是个递增函数，是不是？那么你此下这个整体，先生你要说是十， 实在是看不懂的话，我们可以说的详细一点，这是个中学知识啊，这个符合函数的单调性，还记得吧，叫同增异减，外三函数和内三函数单调性相反的时候，他就应该是减，函数相同的时候呢，应该是增函数，对吧？那你看，我在四分之派的左边，那么这个函数应该是递增的吧？ 外三函数是递增的，是不是符合起来是递增的？呵，是不是？如果要过了四分之派以后啊，内三函数是递减的，对不对？过了四分之派以后啊，就 x 减，四分之派就大于零了，递减了，对不对？那么外三函数递增呢？一符合，那不就递减吗？ 所以你看这个函数啊，在四分之派的左边增，右边减，因此四分之派这个点是这个函数的唯一的，这个最大的点，对不对？其实也是唯一的最最大的点，是不是啊？没错吧，好，唯一的极大值，那么且它的极大值为 大值，就为你看这个四分之派的时候，口算零是一，哎，落元一，落元一是零啊，不就等于什么一加上二分之一落元二吗，对不对？当然我们在整个区间上的这个几大值，也就是什么一加二分之一落元二，因为他是周期函数啊，以周期为派 来研究，对吧？我们只要考虑第一个周期就可以了。所以呢，这个题目啊，你要想把它做出来是不容易的，里面有好几个问题啊，你看上去简单，其实不容易的啊，这里面第一个呢，这个曲律的公式要记住。第二个呢，对于二阶可降阶型微微方程这个还是比较熟悉的， 当编这个形式以后呢，那怎么就算他的极指呢，对吧？你要看出来是周期函数，不然的话，你这个 x， 他的这个定音乐是富无穷的，正无穷，是不是啊？就不大好做，那么我考虑第一个周期就可以了。

同志们好， 函数曲线的性态是我们这一阶段的学习重点。我们从函数单调性与曲线凹凸性的判定，到函数即值与坠折的求法，这道函数图形的描绘，可以说我们对函数曲线已经有了全方位的把握。 现在呢，只留下了最后一个问题，那就是函数缺陷的弯曲程度。我们知道曲线的弯曲程度对实际问题意义重大， 比方说，我们在建造桥梁的时候，是不是要考虑桥面的弯曲程度啊？我们在建造房子的时候，是不是要考虑衡量的弯曲 程度啊？我们在等模具打磨的时候，是不是要考虑弓箭的弯曲程度啊？总之啊，缺陷的弯曲程度，这自然一中无处不在。 这种广泛的承载性提醒着我们，函数缺陷的弯曲程度需要进行量化，否则将会影响我们的工作和生活。那么怎么量化呢？ 数学家们经过研究探索，提出了衡量缺陷弯曲程度的一个重要的量化指标，那就是取缔。 那么到底什么是取利呢？怎样来计算取利呢？这就是我们今天这堂视频课需要回答的问题。 为了理解取利的概念，计算取利，我们需要先引进一个概念，这个概念叫做 胡为分。那么什么是胡为分呢？我们现在假设有一个函数 y 等 fx 这个函数，这区间 ab 呢，具有连续的导数啊，处处有期限，而且这个期限的变化是连续变化的。 同时啊，在这条曲线上，我们下面取一个固定点， m 零，这个固定点呢，他是作为度量弧长的基点或者起点，并规定以 x 增大的方向作为曲线的正向， 这样我们现在呢，在这个曲线上任意取一点 m， 那么这样这个 m 和 m 零之间是不是有个弧段呢？ 那么这个有项弧段，这个弧段就是有方向的了，有项弧段的值 h， 我们来 做这两点规定，第一点规定就是 s 的绝对值等于这段弧的长度。第二，当有线弧的 m 点 m， 他的方向与曲线的正向一致的时候， 曲线的正向就是 x 走什么 x 增加的方向，这个时候 s 大于零，否则 s 小于。 从中我们看到，对吧？ s 和 x 之间是不是构成了一个函数，对吧？那么这个函数我们现在要讨论的是什么？这个函数他的导数等于多少？就是 s 关 x 的导数。 为此希望大家想一想导数的概念，大家知道导数就是增量自闭的极限了，对不对？现在函数的增量是 ditax， 自闭量的增量是 ditax， 那么我们关键要求 dadas 比，让 dadax 这个增量自闭的极限到底存不存在？如果存在到底等于多少？我们下面要解决这个问题， 为此啊，我们给他一个增量，增量对应的曲线上的点就是 m 一匹了，请大家看图啊， m 一匹对应的自闭量的增量是第二台 x， 对吧？弧场的增量是第二塔 s， 我们现在要求的什么？第二塔 s 比上第二塔 x， 为此呢，我们对他进一个平方，平方大家知道第二个 s 就是 m 和 m 一 p 的弧长，平方以后 啊，有正负也没关系，对吧？好，然后呢，这个弧长除了一个斜长，把 m 和 m 一撇，这两点啊，大家知道连起来就是这段曲线弧的什么 弦啊？是一条直线段，然后把他们比一下，那么这里除了一个弦长，那么现在还要承让一个弦长， 所以变成了这样的表达式。而 m a， m p 的现场根据这样一个直角三角形，对吧？两个直角边，一个是 dot x， 一个是 dogley， 所以这个弦场呢，是 dotx 平方加了 deoty 平方啊，前面那一部分保值不变，这样倒了这一步，然后两边开放， 两个边开方，显然有个正负了。下面我们要看的是这个根号里面的结线到底成不成的， 对吧？我们最重要求的第二台 x 去向零的时候，这个增量自闭的极限嘛，对吧？要求这个增量自闭的极限，我们关键是要开始吗？这两个极限对吧？第一个，一个是弧长，一个是对应的斜， 全场大家想想看，当得到 x 去掉零的时候， m e， p 和 m 是不是越来越接近了？这个是和弦和弧是不是是越来越接近，越来越接近，达到最终的统一，所以这个笔折的极限是长数一，对吧？是有极限的。而第二套还比较第二台 x， 大家知道 函数 y 的 f， 他是可逃的，处处可逃，所以这个增量之别的经验是不是也存在啊？他就是 yp 啊，对不对？所以这样的话，取决经以后，我们得到这样一个结果，对吧？什么极限存在？什么 s？ 关于 x 的老数存在的，但我们记住 ds 比到 dx， 那么这里面的正负号到底取正还是取负呢？请大家注意 x， 关于 x， 它是一个单调增加的函数，对吧？所以这里面只需要取正号就可以了，从而得到胡为分 真的计算公式，这个计算公式就是这样的表达，是，同学们先对这个公式记一下啊，他是为我们计算取利做个伏笔啊，做准备的。好，这是第一步。 下面呢，我们来看看到底什么是曲力啊，对吧？既然前面已经说了，曲力代表的是曲线的弯曲程度啊， 那么这个弯曲程度到底是怎么定义的呀？为此啊，我们也假设函数 y 的 fx 在这个区间内呢，连续可导，说明他是光滑的，对吧？同样固定一个点，这区间呢，固定一个点作为度量 s 的一个基点， 对吧？然后呢，这这个曲线上接，另外取一个任意一点 m， 他对应的弧是 s， 就是 m 零 m， 他这个弧有向弧是 s 啊，曲线 也有个倾角阿尔法，对吧？然后给他一个增量，给他一个是增量，对吧？这样的话，这个弧长也有个增量。起线的倾角也有个增量，对吧？也有个增量，对应的这个点是 mvp 啊，你要的这一点是 m， 这一点是 mvp。 好，这样的话，重点从 m 到 m 一匹的时候，那么这个起线是不是转过一个角啊？这个角就是 delt f， 对吧？就是 delt f。 现在呢，我们把转过的这个期限啊，转过的清角得到二法比上这个弧长，这个笔折的绝对值，我们就定义，为什么呢？ 平均确定，要是这个壶的弯曲程度啊，我们用这样的量来进行刻画，他称为这个壶的平均确定，也就单位 弧段上起线转过角的大小，刻画了他的弯曲走路，这是通过实践证明来的，这个定义方式是正确的啊，这种刻画弯这段弧弯曲程度的一个指标是正确的，然后 我们让人 datas 取下你， dats 取下您的时候，大家不难发现 m e p 越来越接近 m， 这个时候这个平均确定是不是一个极限位置啊？这个平均确定的极限值就是什么曲线在 m 这一点处的确定， 刚才的一个弧段的平均确定，现在一个点处的确定是通过第二个 x 去其间得到的，所以这样的话，我们就得到了某一 点处的确定，代表了这个点处出现的弯球程度。那么好了，这个定义尽管 我们已经定义出来了，但是这个表达是现在有点抽象，对吧？这只是一个导数的记号，是阿尔法官 s 的导数的记号，对吧？加了个绝地址。 那么这个到底是什么意思？他跟我爱的 fx 是一个什么样的关系呢？所以最好有一个明确的一个计算公式。为此啊， 我们来仔细观察一下。首先 ds， 大家发现这是个胡为分啊，是个胡为分，小段的胡，所以胡为分我们刚才已经说了啊，有个伏笔，我们已经有一个胡为分的继承工程，这个清楚啊。第二分呢， 大家知道 y 一撇就是他们的阿尔法呀，对吧？齐齐的协力呀，这样两届倒数，哎， 追求街道说，我们分离出了一个 df， 所以 df 也就出来了，是这样的结果，他关于 x 也有这样的表达式。好了， df 关于 dx 也有个这样的表达式， ds 关于 dx 也有这样的表达式。你带到 这个取利 k 这个表达社里面去，是不是得到这样一个计算的公式？这个计算公式它只跟 y 等 f x 直接相关，跟其他没有任何关系。 这样的话给了一条函数区域 wifi， 这个举例是不是好求了？某一点处的举例就通过这样的公式可以得到非常好的解决。我们来举个例子体会一下。 他说立体音呢，要你求等边商曲线， xy 等于一 z 一这一点处的距离怎么求呢？哎，你把这条曲线的含 手表的字写出来， ydx， 对吧？然后求出他的一阶倒数，二阶倒数，然后一阶倒数，二阶倒数，这一这一点的值求出来。 求出来以后要带到这个公社里面去，所以这个公社取利的继承公社你不能忘，对吧？这个必须记住的啊，带进去以后，最后得到更好，二分之一交出来。所以从数学的角度来看，要求取利的 值非常简单，你只要把这个公司记住就行，对吧？推到工程刚才已经强行给大家啊写清楚了，所以这就是我们今天的核心内容，就是取利以及取利的介绍。 最后呢，再给大家介绍一个取利元和取利半斤。这个取利元是怎么定义的呢？就是大家知道给了一条取信以后，他在任何一点都有一个取利，当然这个取利我们 要求可以不等于零啊，等于零就失去一了，他只限了，对吧？这个取利额就定义不出来了，对吧？没有取利额可以不等于零的时候，我们可以定一个取利额，这个取利额呢？这这一个点做一道法信 发现的这二的一侧，我取一点 d， 这个 d 怎么取呢？取在什么位置呢？就是 d 和这个任意的 mdm 的长度就是开分成， 我们以低为圆心，以这个开分之一等于六为半径做个圆，这个圆就是所谓的确定， 所以这个确定缘就是这曲线的这一点的奥的那一侧所做的一个缘，对吧？这个原先跟他之间的距离就是开分之一啊，他就成为确定半期，所以 这个取利元取利半斤是非常简单的啊，我们也来看一个例子，这个例子呢也是纯粹的一个数学啊，数学问题，他说要你求这样的抛物性阶级顶点处的取利以及取利半斤， 那么首先把顶点球出来了，对于这样的抛线，我们配方那就可以了，顶点就是二号复议顶点球出来要求处理，怎么办呢？ 就一阶倒数，二阶倒数啊，对吧？一阶倒数，二阶倒数，减 x 等于二这一点的值求出来，然后套运公式怎么样出来取利，出来取利半斤呢？倒数啊，取利的倒数也就求出来了， 所以你说取利半斤，他的计算也是不是也非常简单？关于取利取得半斤，这研究生入学考试里面也经常出道这方面的题，所以取利的概念以及计算公 以及取了一半斤的计算工资，大家不要忘了，到这里为止呢，我们今天的内容全部给大家介绍完了， 大家简单回顾一下，我们不难发现他三个核心内容，一个是胡为分，一个是取利，一个是取利冠军。因此在这里要求同学们在理解这三个概念的技术上熟记对应的计算公式， 同时在这里都有一时间关系，没有给大家具具体的什么实际应用题，希望同学们在今天复习的技术上再去参考一下相关的教材，去看一下对应的什么应用题，然后呢去完成下面这样一些作业题。好了，今天的课我们就讲到这，谢谢。

根据题意，这个椭圆内切于圆，那么在椭圆上这一点的区域半径小于等于圆上这一点的区域半径解出来就是选 c 了。正常方法你慢慢算去吧。我的个天，真是难为你啊，区域都整出来了，来，我们来以毒攻毒。 当离心率大于等于二分之正号二的时候， pb 的最大值为 c 分之 a 方，当离心率小于等于二分之正号二的时候， pb 的最大值为二 b。 这个是指的意思就是在说 pb 的最大值为二 b 吗？ 所以离心率就要小于等于二分之账号二选谁？ 对于他自己讲的那个方法，他只谈结果，不谈过程。对其他的方法，他只展示过程，不谈 看结果，以此来显示自己很牛掰，他从来不说，我估计他也不知道。一般的方法也能总结出技巧，但前提条件是要先熟练这种方法，不然你要是碰到这种题又该怎么办？再背一点结论，再学一点高速概念。但实际上这些题目其实都是一种 种题型，就是曲线上的一点点到坐标，走上一点点的距离的坠子。这种题直接把点的坐标射出来，然后把距离表示出来，利用批点在曲线上把距离来表示为只有 x 或者是只有外，然后 用二次函数的知识去解决。当然了，你也可以考虑用三角花园，当你熟悉，在这方法之后，再把一些常见的情况总结升华一下，就像我们前面所说的那样，这才能做到真正的秒杀吗？最后给大家分 想一下，我在某位博士那里学到的一招，非常有意思，必须让大家开心一下，大家学会了之后呢，就可以对我一开始 的那个方法加以反驳了。你只算出了离心率小于等于二分之中和二，你排除低选项了吗？你没有排除低选项你就选谁，你这害人不浅的。最近一直有网友问我为什么不回应一下他，我主要是被他那几个视频笑的喘不过气，哎呀，不行，大家让我再去笑会。

同学们，这道题目考察取率，先写出取率的公式，按照参数方程求导法求出了一二阶导数，代入替等于四分之派，求出导数值，答案就显而易见了，你学会了吗？

哈喽，大家好，我是考研数学彬彬老师，我们今天呢给大家讲解数二和数一专题当中的区律以及区律半径。那么首先呢，大家需要把屏幕前这个区律部分，它的公式一定要掌握清楚， 那么区域公式呢，它属于函数一阶岛和二阶岛笔直的一种呃，表达式，那么这个表达式里面实质上我们考察的就是 y 函数的一阶和二阶岛的运算， 那么这个需要大家啊，在我们现在这个时间阶段啊，把这个公式背过即可啊，所以区域公式为 y 的二阶岛绝对值除以一加 y 一阶岛的平方整体的二分之三次方，那么在这个表达式的基础上，我们才能进一步的去求解区域半径， 区律半径为区律的倒数。那么掌握这两个我们可以看一看啊，我们近些年真题当中他的一个考察，比方说一二年我们数二的考点当中啊，给大家讲解了区律啊，他的一个应用 啊，那么这个题目当中呢，他说已知曲线显函数啊，他对应在曲率值为二分之 g 二十，问我们点的坐标是如何的？ 首先第一大家需要掌握区律公式，我们今天通过这个视频需要记忆啊，为 y 的二节岛绝对值除以一加 y 岛平方整体的二分之之三次方， 那么在这个区域的情况下，我们将这个显函数第二步内部的一阶导和二阶导带入表达式当中，那么此时令其啊整体为二 分之个号，这样此时可以得到关于 x 的表达式，那么进一步的在满足 x 小于零的情况下，我们去求解 x 的点，当然我们带回之后也就可以得到 y 的值，所以通过这个题，大家能够体会到我们区域的考察就是公式的一种代入， 只不过在不同表达式当中， y 一阶导和二阶导它的求解或者化解方式是不同的。那么这个题目属于考察显函数区率的一个等价运算。 好，同样的，我们看一四年数二考察的为参数函数情况下，那么对应参数 t 为一时，他对应的区律半径。那么首先大家第一还是需要把区律公式背过为一加歪倒方啊，整体的啊，一 加歪倒放啊，整体的二分之三次放这个屏幕前，这个把它改成二分之三啊，或者你把这个二分之三去掉，写成三次带根号都是可以的。那么在这个情况下，那么我们将歪的一级导和分子的二级导分别带入即可。第二， 区律半径为区律的倒数，这都是公式。那么在这个情况下，本质上来讲，我们本题只需要求解 y 一阶档和 y 加二阶档它的运算即可。那么回到我们这个题目的背景，他给定的是一个参数表达式，所以就相当于这个划归道 考点为第二章导数里面参数的一级导和二级导的运算。那么接下来我们利用参数求导法则将区域先求解出来，所以第三步我们才有对应参 函数 d y 比 d x 以及 d 方 y 比 d x 平方的求导运算。这样接下来我们将第四步 t 为特殊值一时 将一级岛和二级岛的值带入之后，就可以解除相应的区率值，那么区率半径为区率的倒数，就可以求解出来区率半径的预算， 所以本质上来讲，区率实际上就是一个公式， y 二阶导绝对值分母为一加 y 倒方整体的二分之三次方，所以大家把这个公式移掉，即清 好。那么同样的，我们在一六年啊，考察的是一个区域的应用啊，就假设函数 f 一二具有二阶连续导数，二阶连续导数其实就是一个光滑曲线，那并且呢，对应的二阶导啊，这个地方是某点二阶导 啊，是小于零的，那么这个其实我们可以进一步的研究在该点处极值问题啊，甚至范围的一个凹凸问题，当然这个题给的是定点啊，他若这两个曲线 f 一与 f 二在 x 零 y 零处有公切线， 那这个公切线的意思就是他们对应的凹凸性需要一致，那么且在该点处曲线，他的曲率在第一个函数当中比曲率在第二个函数当中要大， 那么这里面的考点呢，就是区率越大，弯曲程度越强，所以如图所示，我们弯曲程度强的 v f 一稍微弱一点的 v f 二是这样的，那么根据在该点处二阶倒严格小于零， 所以此时这个点一定是极大点，那么在这个点处为极大，所以一定是左增右减啊，整个为一个凸喊出过程，那么其中这个点处因为他顿的区率有了大小，并且是同侧了，所以他们切线肯定是一致的 v j x。 好，那么我们这样分析之后呢，如图所示，自然就可以比较 f 一 f 二和 j 之间的大小关系，所以希望大家通过这三道例词，那么数一和数二同学掌握区律公式以及区律的应用。好，我们今天就给大家讲到这。

大家好啊，今天我们聊一聊金丝树和估算问题。先来说金丝树问题，一起看例题，写出下面个数的金丝树。 我们写近四数的时候，一般的方法是以最高位为标准，看他的四高位是舍还是入。具体来看一下，九百八十五 百位是九次高位，十位是八，那么这个一定要写成 一千。第二个最高位千位是一次高位，百位是零，他的 近似数就是一千。第三个最高位前位是三 次高位，百位是九，那么我们就取他的近似数为四千，当然也可以取三千九百了。第四道，最高位百位是四 次高位，十位也是四，我们就取四百为进四数或者四百五十也可以。下一题，最高位百位是五次高位，十位是二， 爬的近似数就可以是五百。最后一题，最高位 百位是二次高位，十位是八，我们就取他的进四数为三百。在写进四数的时候，一般的我们要写成整十、整百或整千的样子，像这样的呢， 也可以一般情况下是写成整百的。好，下面我们说估算，估算的目的呢，是为了计算简单，因此我们尽量的把它估成整百、整千的。 一起来看题。一句刚才写近四数的方法，四百九十五就可以估成五百，二百零七就可以估成二百。第二道 我们就可以把八百九十七估成九百四百零七估成四百， 六百三十六，我们可以估成六百三百七十八，估成四百。下一个三百二十八 估成三百，五百七十三估成六百。下边这题五百六十六了，那就可以估成六百加二百，这个 他已经是整钱了，就直接写减五百，为什么让孤城整百整千的呢？因为在计算当中啊，零越多 越好计算。提醒大家，在遇到买东西让你估算带多少人民币的时候，一般我们估大 不顾小，因为带的钱多一些，买东西的时候呢，才不会出现不够的情况。好，今天的分享就到这里，感谢您的观看，再见！