圆锥曲线二级结论推导过程

今天我们来讲一下圆锥曲线一个重要的二级结论，四点共圆。首先我们讲一下四点共圆，这个结论的具体内容是过不在曲线上一点的。两条直线与曲线分别交于 abcd 四点， 那么 abcd 四点共源的冲药条件是两直线的倾斜角互补及 k 一加 k 二等于零。这一二级结论适用于椭圆双曲线以及抛物线。 下面我们来看一下这一二级结论的推导过程。首先我们分别设出直线 l 一和 l 的参数方程，这里设置参数方程而非点斜式的原因是为了方便后续的计算。 另外，我们假设椭圆的方程为 a 方分成 x 方加 b 方分之外方等于一，那么我们首先将直线 l 一与椭圆的方程连， 得到 a 方分之 x 零加 t 倍的库撒引阿尔法的平方加 b 方分之 y 零加 t 倍的撒引阿尔法的平方等于一。那么经过化解，我们就可以得到一个关于 t 的一元二次方程。 根据直线参数方程中 t 的几何意义，我们可以将点 a 到点 p 的距离视为 t 一，点 b 到点 p 的距离视为 t 二，所以 pa 乘以 pb 就等于 t 一乘以 t 二，那么根据伟达定理，就应该等于 a 分之 c。 同理，我们也可以求得 pc 乘以 pd 的值，那么因为 abcd 四点共圆，所以根据原密定理，我们可以得到 pa 乘以 pb 等于 pc 乘以 pd。 而又因为点 p 不在椭圆上，所以 b 方 x 零平方加 a 方， y 零平方减 a 方， b 方不等于零。 那么我们就可以得到 b 方口三印方尔法加 a 方三印方尔法等于 b 方口三印方背他加 a 方三印方背他。 然后又因为直线 l 一与 l 二相交，所以角阿尔法不等于角贝塔，那么我们就可以得到阿尔法加贝塔是互补的，所以 k 一加 k 二等于零下课。

大家好，今天我要讲的内容是圆锥曲线第二讲，也就是椭圆的第二定义，还有椭圆的基本量、基本性质这些东西了。 然后咱们先复习一下这个团第一定义啊。上节课这个圆锥曲线第一讲已经讲过了，这个椭圆的第一定义呢，是这么说的，在椭圆上你随便找一个点，比如说这个点呢，叫 p 片点，他是在团上啊，这样如果说这个动点满足什么呢？记住了，如果这个动点，这个屁片满足的是他到定点 f 一 和这个 p 片到定点 f 二的距离呢？他等于一个定制。记住， a 是定制，但是这个定制呢，必须大于这个焦距，也就是 f 一 f 二之间距离，那这种情况下，这个动点 p 片的轨迹就肯定是椭圆了，这个是椭圆的第一定义。那什么是椭圆的第二定义呢？别着急，我们来看 这个是这样说的，这个椭圆我们先讲这个基本量、基本性质，往后你自然就知道什么叫第二定义了， 他这个对称性的话，其实很好看出来，从这个解析师的性质上就可以看出来。你看好了，同学们，如果说 他这个 x y 在椭圆上的话，我想说的是他关于 x 轴对称的，那你说这个 p 应该怎么写？关于 x 轴对称的点，横字包不变，纵字标换成这个相反数吧。那现在你想啊，如果说这个 x y 满足的是 a 方分至 x 方， b 方分成 y 方等于一， 那此时你说你把这个外，其实这个外就指的是屁点的坐标啊，当然这个点屁可以在头像上任何一个位置。那你说你把原来的外换成户外的平方还成立吗？这个方程这个等号还成立，为什么？平方吗？负负得正啊，户外的平方其实还是外的平方， 所以说我们可以说 xy 这个点如果是在这样的椭圆上，那此时我们可以说什么？ 可以说这个他的对称点，关于 x 轴对称点，这个 x 对称点，所以说关于 x 对称，那同时也如果说这个点 p x y 能够带入这样一个结实里头，也就是说点 p 是在什么点？ p 是在团上的话，负 x 多和 y 这个 p 二点呢，也肯定是在团上的，所以说关于这个外轴对称， 那为什么椭圆关于圆点对称呢？很好说，那椭圆你想啊，一个图形，他既关于 x 轴对称，又关于 y 轴对称，那自然就是关于圆点对称的。如果用解析式这个角度来理解的话，就是说如果点 t 在这个 x y 呢？代入简易史，这个成立，也就是说点 p 在这样的椭圆上，那他的关于圆点的对称点负 x 负 y 也一定在上边，为什么你这个位置负 x 库对平方负 x 平方负负得正不还是成立的吗？所以说这个椭圆啊，有什么轴对称的话，有两条对称轴 x 外轴，那么中心对称的话，有一个对称中心原点，就是他对称中心，这个应该理解了吧？那我们继续来看第二点，第二点的话是介绍一下这个椭圆团上的动点点屁，这个 xy 的取值范围我们先看一下啊这个基本量。 首先这个 a 点 b 点是怎么求出来的？看了啊，右下角这个图 a 点的话，他是这样求出来的，首先这个 a 点他的横坐标，我们要求的是横坐标，对吧？那纵坐标的话应该是多少？纵坐标，这个外应该带成零，所以我们加零就不写了。 也就是说 x 方呢，是等于这个常数 a 的平方，也就是 x 等于正负 a， 显然 a 点在左边，在 x 出版轴上的话， a 就是负 a 多少零， b 点的话，那就是 a 多少零，是这么求出来的。所以说这种情况下，这个 a 点 b 点分别叫什么呀？分别叫做团的左顶点和右顶点，然后点 b 叫右点点，那么现在 ab 就 叫什么？就叫椭圆的长轴，我想说的是长轴，长轴，长轴指的是椭圆上最长的弦， 那么什么叫弦啊？这个弦的名字第一次听说是在哪？是在初三时候学圆圆上面任意连接两点，这就是弦。实际上对于所有的圆，这些线，包括图案也一样，比如说我 m 点在图案上吧， n 点也在图案上，那 mn 他就是其中一条弦，最长的弦只能是长轴，这个大家记住就行了啊。最长的弦长轴， 那么他的长度二 a 就叫什么？那就叫长轴长呗， a 呢？哦，原来 a 这样一个基本量，他表示的是半长轴啊，半长轴的长度， 那好，继续来说，同样的道理，可以求出上零点零的毫比和下零点零的毫赋语吧。现在 cd 就叫做图案的短轴，那么他的长度二 b 成为什么呢？成为长轴长，那基本量也就是 这里这个 b， 他成为什么？成为椭圆的半短轴，长度可以了吧。继续来看这个 c， 不过这个 c 的话，大家一开始学完这个椭圆第一定义之后就已经清楚了，这个 f 点的坐标是负 c， f 二坐标呢？是 c， 他的长度， f 二不就叫焦距吗？是不是 f f 的长度焦距，那 c 的话就叫半个焦距位，这很好理解，那继续往后，接下来这个基本量就非常重要了。团的离心率， 那这个离心率是怎么来定义的呢？离心率，首先他的表示是用这个 e 来表示的，他表示团的离心率，那离心率，离心率表示比值，谁跟谁的比值啊？这个常数 c 比上 a 的比值就叫离心率了。 那离心率表示团的什么特点呢？表示团是圆还是扁的程度？如果说 f 二非常接近的话，那其实他就非常接近于一个圆，如果 f 二 距离非常远的话，那此时他就是就是椭圆嘛，就非常扁了。那你想一下我们现在讨论的问题是什么呢？首先椭圆的话，你肯定知道 因为什么，因为这个 abc 之间的关系，他是 b 方加 c 方一组勾股数吗？ abc 都是正数，所以肯定是分母 a 比这个分子 c 要大，所以对于团来说，他离心率是零到一之间。至于后边这个抛物线还有双线的情况呢？之后我都会讲到现在，你看一下就行。 那现在我们要讨论的是什么？现在我们继续来讨论团的离心率和图案原本程度，就是说随着离心率变大，图案越远越扁了还是越圆了， 哎，不知道吗？不知道，你改一下形式吗？ a 分之 c， 那么就是根号下 a 方分之 c 方，那 a c 什么关系啊？好吗？ c 是等于 a 方减去 b 方的，那么继续来看， 再整理一下，就变成了一减去 a 分之 b 或者的平方。实际上啊，你看 啊，对于图案来说，他左右的宽度呢，是二 a 上下的这样一个宽度呢，是二 b， 所以 b 比上 a， 我知道了， ab 这个比值越接近一，也就是说 b 和 a 就是越越接近相等的时候呢，但是他只能逐渐接近，取不到相等的时候啊，毕竟这个 a 分之 b 肯定是小于一的数字， 当他越接近一的时候啊，你想一想，此时椭圆越圆还是越扁呀？你考虑一下这个问题， 此时椭圆肯定是越圆的吧， ab 越接近于一，不就是说 a 分之 b 变大的时候，中间是个减号，此时离心率要变小了吧？好，原来离心率越小，椭圆越远，那反过来，这个 a 分之 b 越小， 离心率就越大吧，因为中间这是个减号，那么此时这个椭圆就越扁啊。那有没有什么比较便利的方式记下来呢？好说，你这样来看，因为他这个对于椭圆来说离心率，你看 右边这个一是不是很扁啊，他就扁成一条线了，所以说离心率越大，那这个图案就是什么越扁吗？然后左边这个零怎么样哦？离心率越小，这零不是圆的吗？零是圆的，就是说他这个离心率越小，越接近零的时候呢，腿就越圆，你这样可以简单的直观的来记，对吧？就这样来记就可以了， 来看第四点啊，第四点的话，就快到图案的第二定义了，我们来看，他有两条直线，这两条直线呢，我们不妨看一下啊，对于这样一个焦点在 x 轴上的图案呢，他有两条直线，这两条直线分别是左准线和右准线，那么我们观察一下，这个准线就用是在 椭圆外部，还是说跟椭圆相交还是相接的情况？看好了，首先这个 x 等于 c 分之 a 方，我们呢，可以转换一下形式，等于 a 乘这个 c 分之 a， 这个 a 的话，你想一想，这括号里头是大于一的数字，括号里头大于一的话，他就大于。我懂了， 原来这条直线你看必点坐标，横坐标是 a， 那你看 x 等于四月份之 a 方，他比 a 大，所以在右侧。我懂了，原来呀，这两条准线，无论是左准线还是右准线，他是在这个椭圆外部的啊，是相离的情况，那继续往下吧。 嗯，之前呀，我们在证明什么？我们在证明这个椭圆的标准方程的时候，是利用椭圆的第一定义来正的。怎么正的呀？嗯，找一个动点，两个定点， iv f， 这两个焦点是定点啊，如果 pf 加上 p f 二是定制，定制就是二 a， 那么我们证明这个标准方程的过程呢？上节课其实已经讲的非常详细了，我就展示一下。 正到这啊，杰克，我们主要利用这个式子，当然了，你要继续往下写的话，就很快正出来。这样一个标准方程上几个详细讲过，我现在就不说了，这几个重点也不是这个标准方程，这节课的重点是变化这样一个红色的柿子，那这个柿子究竟要做怎样的改变呢？你看好了，同学们，我左右两边缺一这个柿子，我左右两边可以怎么改？ 我首先可以除一下 a 吧，左边就变成了 a 减去，变到这个情况的话，我们还不满足，怎么样啊？你想啊，他这个 a 分之四不就是离心率吗？所以说我们等号左边的话，一定要把这个 a 分之四提出来。 我想问这个根号下其实表示谁的距离啊？他表示图案上某一个点跟谁的距离，表示图案上这样一个点 p 和哪个交点？是 f 还是是 f 二距离，因为 f 二坐标是 c 多号零吗？然后你看用两点之间距离，我是 x 减 c 括的平方， y 减零括除平方开根号。哦，原来是这个含义，那我继续来写括号外头不就离心率吗？好，我现在就把这个 a 分之四改成离心率了啊，所以说这个离心率他等于什么玩意啊？他等于这个 分号下 x 减 c， 再加上 y 的平方，然后分母的话就是 c a 方四分之 a 方减去 x 了。 呦，那写到这之后要怎么办呢？写到之后我们看一下含义，实际上我们先看分母吧，分母不就代表了点 p 和谁的距离啊？点 p 和这个准线 c 分之 a 方之间的距离吗？水平距离对吧？ 那他这个分子这样一个根号，刚刚我已经说过了，是 p f 哦，某一个动点如果到定 点和定直线的距离之比是一个长数，但是这个长数呢？他必须是在什么范围内？必须是在零到一这个范围内，那此时我们接着往下推，也是可以推出来点屁的轨迹，是一个椭圆，这个就是椭圆的第二定义， 不信你看，就长这个柿子吧。现在我们趁热打铁来说一下椭圆的第二定义啊，刚刚推出来的这样一个柿子，一定要注意，它的分子呢？在图中实际上就是就是指的谁，就是指的这个 pf 的长度，然后呢，他这个分母就是指的 pm 的长度， 对不对？那现在我们就可以顺利的引出椭圆的第二定义了，平面那道定点的距离与到定直线距离之比为定值，这样的动点的轨迹就是椭圆了，这个动点还是图中这样一个屁点，他是可以动的，那么你看好了，到定点的距离，这不就是 pf 吗？动点到右焦点啊， 你看鱼道定直线距离，动点到右准线啊，你看右交点到右准线的距离之笔为一个长竖，当然这个长竖的范围必须是零到一。我想说的是， 其实这个定制这个长数，他就是离心率，就是团的离心率。那么其中这个定点呢，就是椭圆的其中一个焦点了，这个定值线呢，就是椭圆的准线。 其实这个准线如果是标准位置的话，这个准线应该是这么写的啊，四分之一方，这个就是个公式的，实际上四分之一方表示的是椭圆的对称中心到准线的距离啊，那我们继续往下写，第一条看好了， 如果说椭圆不在标准位置的时候，这个不代表椭圆就没有准线了，只不过准线会变，比如说椭圆我斜着画了一个啊，那么其中一个焦点是 f 一，另外一个焦点是 f 二，那么我在上边实际上也是有准线的，这个准线肯定是垂直于 f、 e、 f 所在 直线的，这个你知道就行。那么对称中心我们还是写成点欧，点欧到谁的距离，点欧到这样一个准线的距离，他的距离肯定是四分之一方，所以大家要理解，四分之一方实际上是跟图案有关的， 固定的基本的量，他跟这个团是否是放在标准位置，这个还没有任何关系的啊。看了吧，第二点，第二点的话，第二定义里的话，他这个意呢？到焦点的距离比上到准线的距离中，这个焦点和准线必须对应。好了， 你交点必须对应的是同他的准线，比如说右交点必须是比的什么？比的是到右准线的距离，你千万不要右交点比的是 x 等于负的 c 分这一方，这个可不对了啊，如果你写的是图中这样一个，我写一下吧。如果你写的是 p f 二，你看到 到右焦点的距离比上到左准线 p n 的距离，那只比等于一个长数，那这个时候就不行了，这个不是图案了，必须是同侧焦点和同侧准线，这个非常重要。 那么既然有了图案的第二定义，里头有些题目就非常容易来解了。我们看第一道题，第一道题的话，我一看他根本就不是第二定义，而是图案的第一定义。看好了，首先有一个点 p 吧， s， 这是个动点， 看，这是个什么呀？哎呦，这个表是 xy 和谁？我看一个吧。这个应该是 f 一，我写一下是零逗号负三的距离， 那后边呢？后边第二个根号不就代表点 p 到零正常的距离吗？所以这不就变成了 p f 一加上 p f 二等于十，其实这个十就是二 a， 然后他大于这个 f 一， f 大于二 c 吗？肯定是大于的啊， f f 距离一看就是等于多少的，一看他就是等于二 c 等于六的。 所以说他这个焦点在哪？焦点在外轴上，焦点在外轴上，显然这个 a 等于五，然后 c 等于三，那 b 不就等于四吗？因为 abc 是一组勾股数吗？我们直接写啊，这个 a 方分之，那就是二十五分之外方啊，焦点在外轴上， 然后 b 方分，真的就是十六分之 x 方等于一。好了，这个就写出来了，对不对？还是挺简单的，这是第一定义。我们重点来讲第二道题。这第二道题的话，看好了啊，他这个根号这一部分挡住了，这是有一个根号的，他说动点点屁，满足的是这样一个，看 同学们仔细来看啊，哎，你说这个绝对号是个什么东西啊？绝对号大家别忘了啊，有一条直线，如果他的 意思是 ax 加 b 外加 c 等于零，那么员外有一个点，这个点的话，我写一下 x 零外零吧， 点到谁的距离啊？点到直线 l 的距离，实际上是有距离公式的，那这个分子是个绝对号， aix 零加 b， y 零加 c， 但是别忘了，分母还得出个 a 方加 b 方开个根号，这样才是点 m 到直线 l 的距离。 那么根据距离公式的话，我们很容易联想到你等号右边是直线加一个绝对号，那好吗？肯定是跟距离公式有关的，那 他下边其实应该凑一个根号下三方加四方，才表示某一个点点 p 到这条直线直线距离吧。这个直线我们一看就知道是三， x 加四外加二等于零，那不妨我们就写出来吧，那左边的话是不是也得除五，右边也得除五啊？左边除五的话， 我们就变成了二倍的根号下 x 减一啊，平方，再加上 y 减二的平方啊，这条直线是确定的直线，那其中有一个定点的话，我不妨写成 f， 实际上就是一个和二吗？那 左边这个根号的话，其实就代表什么根号下平方就代表 pf 的距离，我们一会再写啊，接下来大家看好了，左边除五，是不是右边也要除五？不过右边这个五的话会写成根号下三方加四方的形式就能看出来了， 其中左边的话，显然他就是什么两倍的 p f 的距离哦。动点到定点的距离等于什么？等于这个动点到定直线的距离，我把那不就相当于二分之一等于 p f 再比上 d 吗？ 其中呢，分子是动点到定点的距离，然后这个分母是动点到定直线距离到焦点的距离。遇到准线的距离之 笔为长数，这个长数就是在一到二之间的，是二分之一，实际上这个二分之一啊，就是离心率，所以你说是不是抛物线的第二点一，所以选 a 就行了。你现在既然涉及到这个基本量离心率了，咱们算两个关于离心率的题目。第一个题的话，你看 你左右两边画成这个 a 方等于四倍的 b 方吗？嗯，因为离心率的话，咱们求的是 a 分之 c， a 和 c 的关系，所以这个 b 方的话，我们应该转换成这个 a 方减 c 方才行，那很快就整理成三 a 方等于四 c 方这样的形式了，其实也就是 a 分之四等于二分之刚好三， 所以第一个题的离心率就是二分之刚好三。注意，如果只有 a 和 b 的话，平方以后转换成 a 和 c 的关系啊，那第二个题的话，这样吧。嗯，他是关于 a b 的二次式，直接是向第一题消不掉。那这样吧，我们左右两边同时除 a 的平方，接下来我们继续来换，接下来 再变成这个形式。那索性我们不如把这个 a 分之 b 换元看成一个整体就行了。求 a 分之 b 就行啊。那其实这个方程就变成了根号二， t 方加 t 减根号二。 这个呢，用音式分解的方法。第一项呢，拆成了这个根号二， t 乘 t。 那最后一项，这个负根号的话，拆成根号二乘负一， 这样的话，我们试一下能不能凑出来，正好凑对了，所以最终结果的话是根号二 t 减一，再乘 t 加根号二等于零。显然这个 t 啊， ab 都是正数吗？所以 t 也是正数， 所以说 t 等于二分之根号二。那最后 t 求出来了。根据刚刚我强调的那样一个公式，那离心率不就等于根号下一减括号 a 分之 b 括这个平，最后算出来还是二分之刚二的，所以说第二题离心率就是二分之根号二。那这节课你学会妥然的第二定义了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见。

今天我为大家总结一下圆锥曲线常用二级结论 下课！

高考必备的圆锥曲线二级结论，超级公式啊！这个圆锥曲线里面的超级公式，圆锥曲线，不管是椭圆，呃，双曲线还是抛物线，过焦点的弦产生了两个交半径，这两个交半径的笔直是那么大，笔直是那么大，都满足这个公式 来看这个题， af 和 bf 等于三分之二，显然栏目打四等于三分之二，倾斜角是四十五度， c 到等于四十五度。那么我们这个题的离心率就是 一乘以扩散于四十五度。二分之根号二等于难，不倒是三分之二，三分之二加一，三分之二减一，显然一就等于五分。 根号二。好，五秒钟搞定好第二个题，在双曲线中，在双曲线中过 f 的加入点，呃，斜率是根号三，这个栏目大小等于四，还是一样的公式， 一乘以请前。斜率是根号三科三六十度等于 难不倒是四，四加一，分之四减一，好得到一乘以二分之一等于五分之三，一等于五分之六，五秒钟搞定。

下面我们讲圆锥曲线的交半径公式，交半径公式非常多，我们今天讲的这个交半径公式，它可以解决所有圆锥曲线的交半径，无论是抛线果园还是双曲线，无论焦点在 s 组或者在外组， 我们都可以用这一个公式来计算，真正做到一个公式打天下。下面我们通过椭圆来推倒这个圆锥曲线的交半径公式。 过焦点 f 的弦 ab， 我们叫焦点弦， afbf， 我们叫交半径。我们设焦点弦与焦点所在坐标轴的夹角为 c 弹。根据椭圆的非要定义，我们知道椭圆上一点到焦点 点的距离比上到准线的距离等于离心率，所以这里我们先引入准线，因为这是左焦点，所以我们引入左准线。左准线是 x 等于负的 c 分，则 a 方， 那根据离心率。嗯，根据这个椭圆的对号定义，我们知道 af 比上 a 点到准现的距离，我们看一下 a 点到准到准现的距离，我们可以这么来猜分，那我们过 af 做 这条直线的垂线，那么这段长就应该是 af 乘以靠在 c 达， 再加上剩余这段剩余这段我们还可以相他等于 f 到准现的距离。 f 到准现的距离应该是等于 c 分子 a 方减 c 这个笔直 应该等于离心率，这就是 a 分之 c， 那么 af 就等于我们把这分布成过去，就是 a 分之 c 乘以 af， 靠赛 c 塔，再加上 c 分之 a 方，乘以 a 分之 c 就是 a， 然后再减去 a 分之 c 方， 把 af 这一项移过来，合并同类项，就是一减这个 a 分四 c 我们写成一就是一乘以考的 c 套，等于 这两项通分，就是 a 分子 a 方减 c 方，就等于是 a 分子 b 方，所以 a f 就等于一减 e， b 的靠才 cta 分之 a 分子 a 方，下面我们再推倒 b f， bfb 上 b 点到准现的距离， b 点到左 准线，距离应该等于多少啊？他是不是应该等于 f 到准线的距离？再比上 bf 在 x 足上的投影， 那 f 到准现的距离应该是 c 分子 a 方减 c， 然后再减 b， f 在 x 组上的投影就是 b， f 乘以靠在 c 达，等于 b 分子 c， 我们把这个分母成过了，就是非减百分之 c 方，减削 a 分之 c 乘以 bf 靠赛 c 塔，把这个 bf 这项移过来，就是 bf 乘以一，这边变成了加 a 分之 ca 分之 c， 我们写成 ecosac， 等于这两 两项同款。百分之 a 方减 c 方等于百分之百方，那么 bf 就等于 一加一靠在 c 堂分至 a 分之比方好，我们把它写过来。 b f 等于一加一，靠在 c 堂分至 a 分之 b。 这个 a 分字配方我们看一下有什么特殊的含义。在椭圆里面，我们知道它的通径，也就是过 f 垂直坐标轴的这个弦，我们叫它通径。这个通径我们用大 h 来表示， 通镜对，开始表示那椭圆的通镜应该等于是 a 分之二 b 方，那所以这个 a 分子配方我们是不是就可以写成半个通镜？ 所以这个 af 就等于是半个通径除以一减一靠在 c 塔， b f 就等于半个通径，除以一加一乘靠在 c 塔， 我们还可以把这个 af 和 bf 合二为一，那就可以写成 af 或者 bf 就等于二分之一，通径除以一加减一乘，靠在 c 达 就是 af 和 bf， 要么等于这个分母是一加一成考才写的，要么等于一减一成考才写的。 那我怎么来区分谁是家谁是姐呢？我们来看一下这个交半径，他一定有一个长，有一个短，那长的这块我们想一下，我们这个是分式，要 分数，只要变大，所以这分母要小，所以应该对应的是减号，那我如果要算短的半径，那就应该用加， 那所以这里边我们就不用再看什么 afbf 了，我们直接看谁长谁短就行了，长的交半径对应着减号，短的交半径对应着加号 啊，这就是我们通过椭圆推倒出来交半径公式，这个交半径公式不仅适用于椭圆，并且适用所有的圆坠曲线。我们来看 我们刚才推倒的是焦点在 x 族上的椭圆，那焦点在外族上的椭圆也一样，只不过这个 c， 他讲呢？是 c， 他讲永远是 焦点弦与焦点所在坐标轴的夹角，这是线线角，线线角的范围，它一定只能是不可能是不可能是钝角啊，所以我们这边要取锐角， 锐角，那如果直角的话，那他就变成通镜了，那就非常好算，我们可以直接写出来，如果除了他通镜之外，这个角他必须是锐角，我们只看锐角就行，那这是抛线，抛线，这是过焦点，焦点线，这夹角， 过焦点，这是夹角，这夹角。不管你的坐标族在哪里，我们只要找准这个 c， 他 c， 他永远是焦点弦与焦点所在坐标族的夹角。记住，一定是锐角，一定是锐角，那下面我们再看这个式子里边 还有一个通镜，这个 h 我们表示的是通镜， 那通径我们要知道这个椭圆的通径，我们知道椭圆的通径是 a 分之二 b 方，那么抛物线应该是多少呢？抛物线是二 p， 双曲线也是 a 分之二，比方好，这是一个，我们这里面还有一个就是离心率， 离心率一，那椭圆的离心率是一分之 c， 抛物线的离心率是一，双曲线的离心率是 a 分之 c， 那这个 c 他我们刚才已经讲过了，就是焦点弦与坐标，嗯，坐标所在的，嗯，与这个坐标轴的夹角。那这样你看所有 有的这个曲，这种情况我们一共就学了这三种曲线，他一共有这六种情况，那我们都可以用这一个交半径公式来计算，计算的时候，那这里面还有一个加，还有一个减， 那这加减怎么来取舍？就是我如果算的是长的交半径，就用减号，如果如果算的是短的，就用加号。你比如说我这边要算这个 af， 那 af 是长的就用加， bf 是短的就用减， 那我这边刚好写的 bf， 说的 bf 都是 af， 都是长的，那如果这个这个地方我们改一下，这是 b， 这是 a， 我们把它改一下。那如果是这种情况，我们要算 bf 的时候一定要用减号，因为这时候 bf 是长的，所以我们要用减号。好，下面我们来看例题， 在奖励题词前，我们还要补充一个东西，我们刚才推倒出交半径公式 af 和 b f， 那有了 af 和 bf， 我们是不是就可以算焦点线 ab 的长了？ 那加点线 ab 等于 af， 加上 bf 就等于一加一乘，靠在 ctr 分子二分之一 h， 再加上一减一乘靠在 ctr 二分之一来之，然后通分通分分，分子分母一通分就是平方大公式就是一减一方靠下方 c 的 分子，这个二分 c h， 呃，提出来，那就应该是一减一靠在 c 塔，加上一一建，一加一乘靠在 c 塔，那就等于一减一比的平 a， 一方靠彩方 c 的啊。然后这个第呃就是二乘以二分 c h 就变成二分 c h， 那这就是焦点弦公式。 加点弦公式，那这里边的 h e 和 c， 他和交半径里边的是相同的，那这个交半径公式，这个加点弦跟公式也可以应用所有的圆锥曲线的交半径啊。下面我们继续来看这个二零一七年的高考题。 过 f 做两条垂直，相互垂直直行， l 一和 l 二分别交易 ab 和 cd 两点， ab 和 dab 和 de 两点， ab 和 de 两点。 现在要算 ab 加 d e 的最小值，那 ab 和 d e 显然都是焦点弦。焦点弦，我们就要想到我们刚才讲的 焦点弦的公式算焦点弦。我们需要呃夹角 c 塔，那我们假设引入一个 c 塔，假设 ab 与坐标走夹的是 c 塔，因为这两个垂直的， 那我们再看一下这个 cd， 他的夹角是不是应该等于是二分字派减 c， 他然后直接套交。呃，交点弦公式 就等于 ab 的长，应该等于是 h h 在这里边椭圆的 h 是二 p， 二 p 在这边就是 cc， 一减去一方 椭圆的一等于一说一方还是一一的平方乘以 cosm ct， 再加上第 一就是四除以一减一方乘以靠塞放二分子派减 c， 他整理一下就是四分子，那这个一减靠塞方，是不是就塞印方再加上四除以，那这个靠塞二分子派。减 c， 他是不是就是塞印方 c n 方，一减 c n 方就是靠菜房通下分就是 c n 方， c， 他乘以靠菜方 c， 他，然后四倍的 c n 方加靠菜方还是个一，这还是这， 那然后我们现在算，是不是就是算这个分母的最大值，那 c n 方和靠彩方，那这个地方我们完全是三角函数，我们把它呃，根据这个三角函数的合同变形公式， cn 方 cn 乘靠才等于二倍的 cn 学，我们 给他下面都成一个，都成了四，跟着都成了四，都成了四之后，那这个就变成了 c 二 c 他的平方， c 二 c 他的平方，那他要算最大值，就是算分母的最小值啊。我们把这个重新写一下，有点乱， 分子分布都乘以四，然后下边这个就可以配配成 二倍的二倍的三三乘靠台的平方，那也就是三二 c 他的平方，那现在要求他最想吃就要 分母最大，分母最大的时候显然是一，所以当分母等于一的时候，最小值是十六。这题应该选 a。 好，我们再看二零一八年的题。抛线外方等于四 x 焦点 vf 过 f 过 f， 斜率为 k 的直线交于 ab 两点，那么 ab 等于八， ab 就是焦点弦，那焦点弦我们直接套焦点弦的方程，应该等于是 h 除以一减一方 crossfcel， 那在这里边 h 等于四，一减一是一 colusepr 啊。三方 c 塔，那也就等于是四。除以三英方 c 塔等于八，那么三英方 c 塔就应该等于二分之一 cnc 他等于二分之跟二， cnc 他等于二分之跟二。我们现在要求邪率 k， 那么 k 就应该等于弹力的 c， 他那 cnc 他等于二分之跟二， c 他应该等于四分之快，所以探测等于一，所以斜率等于一或焦点斜率等于一，这个焦点是焦点 f 的坐标是一一零，那斜率又是一，所以之前 l 的方程就应该是 y 等于 x 减一。 下面我们来看这道模拟题。过焦点倾斜角于一百三十五度的直线与椭圆交于 ab 两点，求 ab 的长，那么 ab 是不是就焦点弦？我们先回顾一下焦点弦的公式，焦点弦的公式应该是 h 除以一减一方靠三方 c 塔，所以这里边我们先求出呃，通镜离心率一，直接 c 塔。通镜等于 a 分 二，比方等于 a 是二跟二，二倍的比方，比方是四，所以这一约等于二跟二。 离心率一等于 a 分子 c 方，哎， a 分子 c， 那 a 是二跟二， c 和 b 是相等的，应该都是等于二，所以它等于是二分子跟二 靠在 c 塔，因为 c 塔是一百五十四，一百三十五度。我们前面讲了，这个 c 塔永远取锐角，说直接取四十五度，靠在四十五度等于二尺跟二，所以我们把它都带入就可以了。 二分二跟二除以。第一减一方是二分之一，然后再乘靠在方也是二分之一，这就等于是二跟二除以，这是 一减四分之一，四分之三，四分之三就是三分之四，三乘以四，所以等于是三分之八跟二。 那掌握了我们刚才讲的这些交半径公式以及交电弦公嗯，公式。嗯，解决这些问题求嫌长的问题非常方便 啊！关于交半件公式以及焦点嫌长的公式，我们就讲到这里。

圆锥曲线排名前三的二级节，第一种情况， p 点为椭圆上任意一点， a a r 为长轴端点，那就是 k p a 一乘以 k p a r 等于负的 a 方，分之 b 方。第二种呢，也就是说 a b 呢，是关于圆点对称的，那 k p a 乘以 k p b 同样等于负的 a 方，分之 b 方。 第三种情况呢，也就说一点呢，是我们的一个椭圆上的点，那这个时候呢，过一点呢，做一条切线，那么 k a b 乘以 k o e， 他还等于负的 a 方，分是 b 方。 第四种情况就是任意跟弦对吧？弦的终点为翼，那这时候呢， k a b 乘 k o e， 他同样等于负的 a 方，分之 b 方。那这四种情况呢，在双曲线中同样适用，只不过呢，是有椭圆中的负的 a 方，分之 b 方呢，在双曲线中，他就是 a 方，分之 b 方。那这个推导就是用点插法，非常简单，这个结论非常经典。

兄弟们，这里给大家证明一个简单的二级结论，就是交半径倒数之和为定值，而且这个定值就是二除以通径的一半。

现在我们很多高二的同学已经学到圆锥曲线了，一提到圆锥曲线，很多同学是闻风丧胆，毕竟是高考的压轴题，那难度确实没话说。视频后面呢，给大家来道题展示一下。为什么圆锥曲线很难，两个原因，大 大题，计算量大小题呢？二级结论多，如果你只是掌握课本上的公式与定义，是远远不够的，学点大招很有必要。咱们大招数上面给他总结的非常清楚，不仅有结论，还有原理。好，我们来道题看一下。 读完题，椭圆与双曲线有公共的焦点，那么他就属于我们大招书下册一百五十五页这么一个结论， 只要椭圆双全共焦点，这个意义呢？是椭圆的离心率，这个呢？双全离心率，这个 c 塔呢，就是这个 f 一 p f 二，我们看下这个题目，题目告诉我们角度，且双曲线 虚轴也就是二， b 等于根二倍的二 a， 我们不妨念 a 等于一，那么 b 就等于根号二，那么我们的 c 就等于根号三，所以我们的离心率一二就等于 a 分之， c 就等于根号三。再直接带到我们上面，四指 一减去扩散六十度，二分之一除以一的平方，加上一，加上二分之一除以一二平方，三就等于二，我们算出来一等于多少呢？三分之跟三，如果你有结论，这个题目是不是就直接看瓜切菜？更多结论大家可以看一下我们的打造书。

圆锥曲线这八十八条二级结论有多重要？我们经常在网上看这些数学大师们分享一些圆锥曲线集体的大招绝招秒杀神器。其实啊，他们讲的都是这些二级结论中的某一条， 你掌握了这八十八条的结论，相当于掌握了八十八种不同的圆周曲呢，解题的大招绝招秒杀神剑。从这一期开始呢，我们会陆续的把这八十八条二结论给同学们更新完，请同学们务必收藏。今天我们讲其中的第一期， 呃，我们先讲这三个，其实这三个呢，咱们可以用一个来表示他们有关联性，我们一个一个讲，第一个呢，我们叫第三定义，首先呢，第三定义是圆椭圆上的两个点，我们叫 a 点 b 点，嗯，跟圆锥椭圆上的一个动点 ma 和 mb 连线的斜率的乘积等于负 a 方分之 b 方，也就要什么一方减一。他们是相中的教练，在八指上不太一样，同学们自己去推倒一下 好。那么垂经定理呢？简单说一下，垂经定理呢，就是一条弦，它的终点，我们估估，且叫终点劈点 跟圆脸 o 点的连线。那 op 这车直线的斜率呢？跟 ma 这车直线的斜率的乘积也等于负 a 方分之 b 方，那也就等于一方减一，对吧。那么这两个呢，有什么关联性呢？其实这两个是一回事，但是他叫低三低一，他叫垂经零点。我们说一下他们为什么是一回事？ 你看这个 p 点呢，是 ma 的终点对吧？ o 点呢，是 ab 的终点，也就说 po 这条线是 mab 这个三角形的什么三角形？ 中文线，所以 po 是平行于 mb 的，那既然他们平行，他们的斜率是不是相等啊？那他的斜率乘以他的斜率等于负 a 分分之比方，那他的斜率跟他的斜率成绩是不是也一样的？所以呢，这两个是一回事。 第三个呢，其实也是一回事啊，你看咱们 ama 这支线如果往上移一点，那屁点就落在这了，对吧？再往上移一点，这个 ma 的距离会越来越近，当 ma 的两个点叠在一起的时候，就会变成一什么，变成了一条切线， 那么这时候屁点就落在这个地方，屁点这个地方是切线，那么 po 的连线跟这条切线的系列的乘积呢？也等于负 a 分分之比方。这就咱们讲的第一期的三个结论，你能掌握吗？

如果高考圆锥曲线只能背三个二级结论，超级结论一定是其中之一。无论在椭圆抛线还是在双曲线中呢，过焦点的焦点前产生两个交半径，如果两个交半径呢，之间有如下关系式， 那么我们的离心率和我们这条直线的倾斜角的余弦值和我们的兰大呢，就有这样的一个关系式。那大家注意到了，在这道题目中呢，很明显，兰大应该是等于二，根据我们的这个关系式呢，就说一乘以靠三以六十度， 就等于蓝大减一，除以蓝大加一，那这道题呢，就是二减一，除以二加一，对不对？因为倾斜斜率为根号三，那不就六十度吗？那也就是说，一乘以二分之一，应该是等于三分之一，离心率依旧等于三分之二，五秒搞定。

高中二级结论三，剑库轻松搞定圆锥曲线题一，鳄鱼模型球外接球半径万能公式，记住他，在高中就没有你拿不下的外接球！二，共交点大招公式椭圆和双曲线的共交点问题简直是高中噩梦，别怕，记住这个大招公式，口算也能秒出答案！三， 焦点衔接模型堪称压轴题扛把子，一共就三个公司考试咱直接往里带二级记录 当然好，但也要熟能三巧，又是专项链的，早送上门都秒不了。想要远取专项链，高考题型来相见，一个题型一本书，精准定位薄弱点 考勤试题双分析教材知识也迁移，不会审题没思路，审题指导来帮你。要想吃透原区题，一本法宝就足以。