立体几何点到直线的距离题目

ok， 这道题目呢是有关于立体几何的点线面签的距离计算，这个题目呢是点到直线的距离，是来自于二零二零年新华十月的月考题第九题， 那这题大家可以自己先做一下，就是可以截屏自己去做， ok， 那么到这以后呢，老师就，嗯给大家去讲一下这题怎么去做啊？好，暂停回来，你自己去做就 ok， 那么对于这个题来说呢，给大家提供两种思路啊，就是分别都是去拿向上去做，因为向上是最简单的。 那 ok， 其实说到求点到直线距离，大概思路是这样，那么从这条直线上，我给我找一个 ab 项链，因为他问的是 c 到直线 ab 的距离吗？ 那我找一个 ab 项链，然后呢我再找一个 ac 项链，这里有两个项链，所以我两个项链坐标是可以找到的，比如 ac 的项， ac 坐标和 ab 坐标用后剪钳，我其实可以 算的到的， ok 吧，把这块稍微放大一些，这样大家看着也好一些，那么我知道这个以后呢 还， ok， 那我知道这个以后呢，那我来看啊，那我就去算一下，那么现在，哎，就这样啊，稍微动一下吧，还稍微调一下，就是我把这个，哎，不好意思弄错了，嗯，调一下啊， ok， 那么到这以后呢，大家看，我把两个项链写出来，那么然后有了 ab 项链以及 ac 项链，那我自然而然可以去求 ac 和 ab 的夹角去， 那么用他俩相乘出他俩各自的模，那么这个算完以后是负的三分之二比格号二是个负数，所以我发现其实这个角应该是个钝角，那我这图画的是错的，应该是第二个图，这画之前谁又知道呢？对吧？我也是一边画一边去想想 想到的，所以， ok， 应该是第二个图，那有了这个图以后照这是个钝角，那没关系，这是个钝角，以后呢？我去求他的这个这个角去，哎，我去求这个角去， 能理解吧？那我是三有 f， 那么有了这个角的余弦，那我就求这个角的正弦。之前的话，一剪靠三眼风得出来是三分之一，那其实这个点到之前的距离这个高呢？其实就是拿这 一条边的长度乘以他的赛影值，哎，所以是 ac 的长度乘以赛影值。答案是三分之根号六。这是第一种思路， 你学校里老师也跟大家分享第二种思路。第二种思路是什么呢？先去求 ac 项量在 ab 上的投影，那应该是 ac 乘 ab 出 ab 的模，这个公式一定要记住啊，是代表的是前者在后者上面的这个投影，那么这个算完以后是根号三分之四。大家认为一个符号也能证明投影是负的，其 也就对应着不是这个图，因为这个图他的投影和这边是同方向，是正的，这个图的投影才是往这边的，是负的， 也能证明是个钝角。那到这以后呢？ ok， 我知道这角的投影之后，他虽然是个负担，但我长度知道了是根号三分之四，所以我用勾股定理，用 ac 方减去他的平方，再开个根号，就是这条边的平方，这条边这条边的 平方不就是点到之前距离吗？再开方就 ok 了。所以这是先去算投影，然后再用点到之前距离去做就 ok 了， ok 吗？这是这种题的两个思路，题看比较简单，我提前就把步骤写好了。 ok， 有需要的话自己去截屏，一定要自己重新做一遍。好吧？哎，跟着张老师好好去做，咱们下一次课再。

大家好，这里是数学小课堂，今天我们继续来用空间限量球距离问题先开始。第一个就是点到线的距离这一块知识点，有些同学会提出来说这一个公式的推倒或者是求距离的一个过程， 知识点的一个推导有问题，那我们在这里就详细来讲一下这个知识是怎么来的，其中他涉及到这条直线 是 l， 然后呢线外一点 p， 我们一般情况下要得出点 p 到 l 的直线的距离，按照我们的过程就应该先过点 p 来做这条直线的垂线， 这里有一个垂直关系，那么这时候我们要求的其实就是这个皮球，所以我们在这里给他标上问号，那在这里 我们一般情况下还需要这条直线做了一个方向向亮，那在这里是 u， 那在这里的话我们又看到呃 a 点实际上是 l 线上的另一个点，任意一个点好，另外一个任意一个点，他与这一个批点的连线，这样连接起来的话可以构造成这个直角三角形其中的一个斜边，所以我们可以看到其实呃斜边 ap 长度实质上就是 ap 的模。 那么接着我们如果要求出这一个啊 aq， 我们会利用直角三角形，所以在这里需要用到勾股定理，等一下我们再来说，但是最重要的就是 aq 这段距离，好多同学就不知道怎 对出来，所以我们在这里要告诉大家，实际上利用的就是投影，我们这个 u 的话，这条直线方向向亮，我们把它标在下面，那么其实这个 a u a q 相当于是这一个 ap， 这条鞋， 这一条，这一个 ap， 这一段，他的这一个啊连线项链在这一个方向上的投影，你可以理解为 a 光线，哈，想象一下，光线其实是这样照下来的，这是光线 照下来的时候， ap 就会在这条直线上有一个投影，这段投影线其实刚好就是我们的 aq， 那我们之前说投影是怎么设计到的？我们说向亮 a， 再向亮 b 方向上的 投影， 方向上的投影实质上就是项链 a 乘以扩散一些塔，而这 这个扩散一些塔，在公式夹角公式里面扩散一些塔，又是西塔式项链 a 跟项链 b 的夹角，所以按公式展开，他是项链 a 的磨，项链 a 乘以项链 b 的数量及除以项链 a 的磨乘以项链 b 的磨， 那么存上原本这一个前面还有一个项链 a 的模的这种形式的话，我们可以发现抵消之后就变成了最终是这样，是项链 a 乘项链 b 数量及除以项链 b 的模。那按照这样，我们刚刚说了，再通过图像来看的话，其实这段 a q 长度， aq 这段长度就可以看作 是我们的这一个 ap。 项链 在我们这条直线，也就是曲直线的方向下亮，在我们这条直线上的投影，也就相当于他在这一个直线 l 方向下亮 u 上的一个投影。 其实应该说由于他有一些长度，所以时尚应该是他的投影长度， 那么按照我们的说法就应该是好，刚刚说了好，如果推倒的过程好一个推倒的过程，我们也 简单梳理一下，那按照推倒过程的话，他就应该是好这一个 好，他就是 a p 的磨乘以扩散一些塔，这个扩散一些塔是这两个项链 a p 六的夹角，所以在这里的话，夹角公式于选址是 ap 项量乘以这一个 u 项量除以 ap 的磨， 再乘以优的某，然后也是这样约掉之后就得出了应该是 a p 乘以优 的数量，其除以优的模。但由于我们在优的模里面取的是方向单位限量，有些东西如何求方向单位限量，就是求完这一个 l 的一个方向下量，然后再除以这一个方向下量的模，就相当于是你求出了这一个啊 aq， 例如求出了 aq 这一个 好，或者说 l 的一个方向限量，然后呢，你如果要求的是他的方，单位方向限量，就应该对应去除以他的这一个模，这时候就对应到一个 好方向单位限量。那在这里的话，由于我们这一个又已经表示出他的方向限量，所以我们约掉是应该方向限量，是单位限量的话，他的魔为一，所以就最终应该是 ap 限量 乘以右数量级。但由于是长度，所以一般情况下他这一个数量级必须给他加绝对值，因为他代表是长度，所以在这里我们就给他加了一个绝对值，代表他是一个啊投影长度。那最终我们再看，如果这个已经是 ap 乘以优数量级的绝对值，那我们勾股定理要算出这个 aq 的话，我们就应该是 aq， 其实应该长度应该等于根号斜边 的平方，那斜边的平方自然就是 ap 的磨的平方，那在这里就应该是 ap 的平方。剪掉这边我们由于是一条直直角边是 ap 乘以 u 的 数量计的绝对值，所以他的平方就直接是 ap 乘以 u 他的平方。好，那整个知识点的话，就应该梳理的时候，最终能够推出这个公式，那这个公式的推倒过程，最后我们总结出他要求点到线的一个距离，分成了三步骤， 第一步骤就应该是先求单位方向向量， 我们下个视频会涉及到题型怎么做，就会告诉大家单位方向限量，具体应该怎么求。第二步就 是应该是球 连线项链， 连线项链， 那么这里的连线项链指的就是 pa 或者是 ap 这一个项链。第三个就带入公式，第一应该对应等于 低，应该对应等于这一个 a。 好，所以我们把这个知识点的话，首先 今天的视频就是先告诉大家如何推导出这个公式的。第二个就是把这个球点到面， 求点到线的距离分成了三个步骤，大家梳理一下，第一个就是求这条直线的方单位方向下亮，第二个就是求这个连线下亮，那就是 p 点是本身就是这个点到线的距离的这个点，然后呢， a 点是落在这条直线上，任取的另外一个点。 最后第三步就是带入公式，低应该等于根号 ap 的平方，减掉 ap 乘以六的数量，七的平方， 这整个过程大家梳理一下，然后我们下一个视频再来说一下如何利用这三个过程来剪点到。

这次要解的问题是空间中点到平面的距离一所依，依照的原理呢？呃，是空间中一条直线如果垂直一个平面，那么他的同，那么他们的同名同影互相垂直， 具体怎么做呢？啊？首依照它的这个原理， 垂直水平线，垂直正平线，那么我们就在我们的投影图中来做这个东西。首先是水平线，水平线呢？啊，他的水平线，他在这个微面的投影呢，他是一条 平行于 x 九的线，也就这一条，然后把它对下来，然后这条是 bb 漂， c 漂，然后这一点 a 点连接起来，这个就是水平线， 然后这条直线应该垂直于他的水平线，是这个样子，然后另外我们再垂直于正平线，然后同样我们换一个颜色，正平线，正平线怎么画呢？正平线，他的在水平面上投影是一条平行于 x 轴的线，然后上来一闭， 一票一票就这个点，然后这个 c 漂连接起来，然后这个垂直，好，这个就是我们已经就找到了这一条直线，设他为 d 吧，然后这里也是 d， 直线已经找到了，然后要求点到平面的距离，已经找到这条直线，然后和这个平面，就需要另外找到平面这条直线和平面上的点，这个焦点与我们的 k 点 设焦点为 o 嘛，然后我们要求的就是这根距离，现在我们就就需要通过这条直线和我们这个平面找到他的焦点，如何做呢？前面的视频也有讲过，就是我们过这条直线，然后做一个千锤面下来，千锤面 在这里我们换一种颜色，可以知道是这一条，然后我们对上去 a b 这里，然后这里是，嗯，对上来，这个是 a、 c 的线对上来，然后与我们的 k、 d 连接起来，有一个焦点，这一点就是我们的 o 点，然后再对下来 这一点就是我们的 o 点，现在我们就找到了它，它的这条直线和平面的交点 o 点。最后 最后一个步骤，也就是求我们的 k o 的长度嘛，对吧？接下来就是用我们也是之前讲过的解之角三角形法， k o 在这里， 等等， k o 在这里，然后将它做一个垂线，这个垂线距离取取这个 z o 减去 z d 漂，这个长度是这，这个为 x， 这个 x， 然后这个边就是他们的距离，斜边就是他们的距离。

这个视频我来讲讲点到直线的距离来看这道题正方体中能长为四， q 是 bc 的终点，连接 deq， p 是 deq 的终点，那么点 p 到人 ab 的距离是多少呢？ 要求这个距离 h， 你可以连接 ap， 利用这个直角三角形来求，把这段设为 d， 那 h 的平方就等于 ap 方，减去 d 方， 先写出这个式子。接下来关键就是要求出 a、 p 和 d， 先建立直角坐标系，容易写出点第一的坐标和点 q 的坐标。 p 是第一个的终点，所以坐标是这两个点的坐标加起来再除以二，也就是一二二， 再看点 a 是四零零，那先让 ap 根据末减去出，就等于负三二二，这样 ap 的平方就等于负三的平方，加二的平方，再加二的平方得十七， ap 方搞定。接着要求 d 看图。这段 d 其实就是限量 ap 在限量 ab 方向上的投影，你已经学过投影的计算公式， d 就等于限量 ap 成 ab 比上 ab 的膜，接着算出这个式子就行。 香辣 a p 的坐标已经有了，还得写出香辣 a、 b 的点， a 是四零零，点 b 是四四零，根据默检出，那香辣 a、 b 就等于零四零， 这样就能算他了。他俩相乘就等于负三乘零，加二乘四，再加二乘零，结果得八， ab 的膜就是四，结果得二，所以地方就等于二的平方得四，那 h 方就等于十七减四得十三，所以 h 就等于根号十三。搞定。 像这样要求点到直线的距离，你可以把这个点和直线上的一个点连起来，然后利用这个直角三角形来求。其中要注意这段 d 他是限量 ap 在限量 ab 方向上的投影，可以用投影的公式来求。好了，这个视频我就讲到这，赶紧刷题去吧。

今天播第十期任意结合当中的关于求意面直线之间的句， 这里是一个正方体 a， b， c， d， a， b， c， d 这个正方体的名长是 a 啊， e， f 是 a， b， b， c 的终点， o 为底面正方形 a， b， c， c 的中心。第一步要求翼面直线 a， d， a、 d 和 c、 d 之间的距离啊， 好解， 因为 a、 d 是在这个平面上的啊， a， d 在平面 a， a 一 d， d， a， a 一 d， d 上，那 a， c， d 呢？ c、 d。 它在平面 c， c， d、 d 上， 这两个平面的交线就是 d、 d。 又因为平面 a， a， d， d， e。 平面 c， c， d， d 相交于 d， d 啊，这两个平面呢，相交于 d、 d， 而 a、 d 和 d， d 垂直啊， a， d 呢？ 因为这是一左边这个面呢，它是一个正方形，所以 a、 d 和 d、 d 垂直，后面这个面也是一个正方形啊， c、 d 也和 d、 d 垂直 啊，那就说明啊， d、 d 是 a、 d 与 c、 d 的工程线，所以 d、 d 为 a， d， e、 c、 d 的工程线啊，这条直线和两条翼面直线同时 垂直，所以他是他的弓垂线哎，这个滴滴就他的灵堂。又因为滴滴 等于 a， 零长等于 a， 说明这两条翼面直线之间的公垂线的长度等于 a， 也就是两条翼面直线之间的距离等于。所以 a， d， e， c、 d 之间的距离啊，等于 a 是吧？所以我们求两条意面之间之间的距离，就是求 得两条翼面直线的工垂线的长度啊。好，第二问， 第二问，我们要求 e、 f 以 o、 c 这两条意面之相等啊， 求这两条翼面之间的距离，那就是要求 e、 f 与 oc 两条翼面之间的工垂线的长度啊！看看这条工垂线的长度， 我们假设啊，这个 d， b、 d 胶 e、 f 与 g 啊，假设 b、 d 这个底面上啊， b、 d 这条对角线和 e、 f 交于距啊，因为 a、 c 垂直 b、 d 底面的正方形是负向垂直的，那 e、 f 分别为 a、 b、 b、 c 的终点， 那就表明 e、 f 它和 a、 c 是平行 的，对吧？好，那就表明了 e、 f 和 b、 d 是垂直的啊， e、 f 和 b d 垂直，因为 b、 d 和 a、 c 垂直， a、 c 和 e f 平行，垂直于两条平行线中的一条，也垂直于另外一条啊， 好，又因为 c、 c、 e 它是垂直于这个底面的， 垂直于平面。 a、 b、 c、 d 啊，这些人啊，人和底面是垂直，说明那一 c、 c、 e 它要垂直于底面上的任何一条直线啊，这个 c、 c、 e 呢，就要垂直于 a、 c 然后 a、 c 是垂直的啊。 how？ 那么也和也，和什么 b、 d 垂直啊， b、 d 也是垂直于 c、 c、 e 的， 注意哈， b、 d 垂直于 c c。 而 b、 d 又是又因为啊，这个 b、 d 啊，它也是垂直于 a、 c 的，是吧？垂直于 a， c， b d 垂直于 c c， e b d 垂直于 a、 c， 那 b、 d 就垂直于这一个平面。如果一条直线和平面上的两条相交直线垂直 啊啊，说明 b、 d 就要垂直于平面 a c c a a c c e a e 啊，垂直这两条相交直线是 确定的平面，那 o、 c 就在这个平面上啊啊，又因为 o、 c 就在平面 a， c， c， e a 以上说明 b、 d 就要垂直于 o、 c、 e， 这表明啊， b、 d 就是。 所以 b、 d 为 e， f 以 o， c、 e 的工程线啊，是它的工程 垂线，那么 o、 g 就是这两条翼面直线之间的弓垂线的线段长度将于两条翼面直线之间的 公垂线的长度就叫做两条意面直线之间的距离啊。所以 o g 就是那 e f e o c e 两条意面之间之间的距离 啊。又因为 b d 它是等于根号 a 平方加 a 平方 等于根号 o a， 那么 o b 呢？ o b 是它的一半，就是二分之根号 o a 是吧？ 那么 o g 又是它的一半， o g 就等于四分之根号 o a 了啊！这就说明 e f g， e f e， o c 之间的距离 啊！为四分子根号五 a 啊！好， 这样我们求测量 e f 与 o c， e 之间的距离。 e 面直线之间的距离是夹于两条 e 面直线之间的弓垂线的长度。所以我们记住啊， 翼面直线之间的距离，翼面直线之间的距离 为甲鱼两条翼面直线 之间的工垂线 线的长度。 所以先要求两条翼面之间之间的公垂线啊，多和两条翼面之间垂直，然后夹在这之间的公垂线的长度就是他的翼面之线之间的距离了啊。

好，同学们好。呃，今天我们要开始学习空间下量在立体结合当中的应用啊，求距离。前面我们学习过如何用空间坐标系进行求角度。呃，那么距离的话我们来看一下。呃，在以往在没有空间坐标记录的情况下， 我们是如何求距离的？我们先来看一道题啊，在正方体 abcd 啊， abcd 的轮船为二， efg 是终点啊。呃，如果我要求大家求一个距离，比如求点 a 到平面 efg 的距离， 那么在我们以前的认知当中，这个具体呃只能用什么等体计法对吧？啊？等体计法，具体等体计法怎么操作？唯一想看一下， 比如我要求自己的 a 做顶点是吧？ a 做顶点， 然后谁坐里面呢？ ef 去坐里面，再换个角度，换个角度， 谁坐顶点？ e 坐顶点啊， e 坐顶点呢？这个里面这个 aagf 啊，他的高是非常好求的，他直接就是这个地方的一半是一对吧。啊，那么我们对应可以很快可以求出这个高就有分了， 那么这种方法具有一定的特殊性，他要求是你能够换个视角，能够把他的高求出来。如果我是这道题，我再换一下啊，如果这道题我换一个方式，我要你 求 c e 到平面 e f g 的距离， c e 到平面 e f g 的距离注意看一下。那这个地方按照传统的方法我们还能行的通吗？ 你们换个角度看看啊，如果你此生把 cd 作为终点， e f g 做底面啊，这个 e f g 这个这个面是什么面的？这什么形啊？这是什么形 看得出来吗？等边三角形啊，等边三角形那球他的面积没有问题，但是你换个角度，你有哪个角度看比较求高？ 我们以前做题啊，用这种常用的几个方法去做，有很多的局限性，你求这个高， 换个角度，你看一下，你换任何一个一点一点啊， f g 十一做顶面，他的高也看不出来，是吧？你随便换一个，既做顶点，他的高也看不出来， 那么这个时候我们需要空间向亮啊，空间向亮这个他的作用就发挥出来了，空间向亮不需要你具体做出那个高，那具体是他的球高的原理是什么呢？我们来看一下。 如果一个平面，阿法啊，呃，一条斜线， ab 和阿法相交于 b， 我让你求 a 点到这平面的距离。 我们按照几个方法，要么就是直接做图做出那个垂竹，但是垂竹在通常情况下是很难做出来的啊，要么呢是按照高铁等体积，那么现在呢，有空间项链，我们按照空间 相量的一个思路来看一下，那么这段高是什么呢？这段高看一下可以理解为相量的什么东西啊？ 呃，什么项链，在什么项链投影？ ab 的，你看到了吗？ ab 项链在法项，法项链上的投影，对吧？啊，那么这段高，我们就可以用这个法项链的投影，在法项的 ab 在法项链上的投影，把它算出来。 投影是投影数量是有正负的，那么我们距离是没有正负的，是吧？只有正的家具位置就可以了。按照这个投影怎么算呢？还记得投影公司吗？ a b 和法项量数量及，对吧？数量及，然后再除以 法向量的磨长，法向量的磨长。哎，这个投影呢，是投影数量，那他以正负，为了确保他的正数家具类似，那么这就产生了今天我们引出的点到平面距离公式。 这个理解应该是很自然的啊，应该很好理解，也不要刻意准备，就是理解一条斜线在 ab 上，在法项量上的投影啊。那么我们下面再来看一下 现在这道题，我们按照这个公式可以理解为这个高啊，深意到这平面的距离，这很高啊，这很高距离地 可以理解为他的法项量啊，这个 c， e， g 在他法项量上的投影，他投影过去啊， 就是这个。额，当然这个地方的 ab， 我们在具体的途中，我们可以选择很多种选择，你可以选择 ceg， 可以选择 cea， 可以 cef， 哪个方便选哪一条，只要斜线都可以。斜线在法相面上的投影 就是他对应这个点啊，他的高。那么具体我们来实践一下这道题啊，我们来看一下。呃，那么在建用空间坐标细节题之前，一定要先确立坐标系， 呃，以什么为圆点，什么来之轴，我们一定要在头上画出来啊，下面我们看一下。呃，以地为圆点， da 为 x 轴，鉴定坐标系。呃，那么按照右手系， 这个就是歪坐，是坐标呢，就是第一，一定要在图中给他明确标出来。下面我们一个任务是求法下量。法下量呢，在前面的学习当中是已经学过了，法下量怎么求，是通过解放跟组对吧？ 来看一下这个法相怎么写，先写坐标，人长十二哥哥点的坐标跟我们一起写一下啊。那么我们先看一点坐标呢， 在 x 方向，二二一是二零一是吧？二零一，呃， f 坐标呢？ f 坐标这一点， x 方向是 e 八， eyn e f， 那 ef 项链的话，这个地方大家可以看清楚，用端点啊，中年减七点， f 点的减一点，在这个图当中注意看啊。呃，一减二是负一，零减零是零，零减一是负一。 好，还要再写出依据项链依据项链的话是七点减一点，二减二是零，一减一是一，零减一是负一。 那么设平面呢？我们先要把平面 ef g 的发销量写出来， m 是 sy 好了，待会儿烈士我们就利用这个。呃， ef 跟仿销量垂直， 这个依据呢也合法。上面确实。那么解这个方程会不会解？我们来看一下得到一个什么方程。 负一乘以 x 是负 x， 零乘以 y 是零啊，负一乘以 z 是负心，带给你 再看一下，零乘以 x 是零，一乘以歪是歪，负一乘以是一乘，负空等于零。那么在这个三元的方程当中，我们需要确定一个 最简单的系数，先确立一个 x 啊，那么我们这道题另 x 呢？取 x 呢？法项量有很多条，那我们只要选其中一条就可以了。取 x 的原因， x 的原因，那 y 就等于讲啊，那个 z 等于讲， 那我们的对应的 c 这个地方就是应该是负一啊，一等于负一，那看着下面歪就等于几呢？歪也是负一是吧？ 外人负一好，他对应的是一负一负一啊，所以这个法销量我们就取一负一，负一， 确认一下有没有问题，先看一下啊。呃， 因为你在坐标信息算的过程当中，法项量尤其重要，一定要先检查一下有没有问题，先检检查一下这个 e f e f 的话是负一啊，零负一，这个依据呢是零一负一，按照法项的预算 好，没有问题啊，确认没有问题，那么在下面我们就开始套用刚才那个公式了，刚才那个公式还记得吧， 那 ab 项量乘以这个法项量处于他的磨长，那对应的我们具体这个里面里面呢，是拿什么选哪个项链？刚才的 a 在我们这个图里面应该选什么，随便选哪个都可以吧。嗯，好，来看一下，有很多种选择，你可以选择 c e g， 也可以选择 c e e， 都可以啊，都可以，那么我们来看一下，我们就选 c e e 好了啊，选取出它的项链啊。呃， c e e 项链 c 一向上的领取呢？那 c 一要写出来啊， c 一是零二 二，对了， c 一，那我们看一下，应该是这个地方是二负二负一， 根据刚才公司，所以呢，这个 e 到平面 e f g 的距离 d 应该等于 按照 cd 一下量，这个乘以反向量除以反向量的磨桥，按照这个公式计算，来看一下啊，最终结果我们看一下啊。呃， 法项链的磨长，这个很快可以知道是等于更换三，然后数量起对应乘以下，二乘以一是二，负二乘以负一也是二， 负一乘以这个负一也是一。哎，我们看一下这个结果啊，都是正数，我们绝对是也可以不用加啊，最后确定答案是三分之五倍更好算， 这就是法项量啊，空间坐标在立体企鹅当中求距离的一个具体应用。那关键的步骤呢，就在于先确定一个法项量 啊，发销量，至于选择哪条斜线相交，这个倒无所谓，哪个方便选哪一个啊。 呃按照这个要求大家也可以来做个练习比如再选择一下啊换一个点啊我换一个逼点到这个平面的距离。那我们先理一下思路逼点到这个平面距离那我们要先写出哪个项链套工是 怎么套那个公式放下来。刚才已经穷过一次了啊。穷过一次了然后具体怎么套公身 鞋厂销量 bg b e b f 都行是吧。最方便的还是笔记啊笔记乘以他的法相量除以法相量的过程。哎有了这个东西以后你看我们以前所谓的难题就是点到平面距离 在法项料里面通通搞定是吧但是这个空间坐标系他有一个也有个曲线性要能间隙对吧？要能间隙如果不能间隙那我们还可能只能用以前的传统方法。呃两者兼顾吧啊两者兼顾就是既要会用 等体积法也会要用空间向量来进啊。如果在一个能够间隙的这个图形当中我们肯定是快速选择间隙啊不再去看什么啊具体怎么求高啊怎么做几何图形啊。 如果说他不能间隙那我们以前的方法还得要用啊那么下面我们再来看一下第二个应用的话。求直起点到直线距离。怎么求啊 来看一下求点逼到直线一生一的距离在这个问题出来之前呢逼到这个一生一的距离到这个距离 这空间的直线点到直线距离不像我们平面拉一条线做个推出很容易解决。在空间啊 你可能你这个催促在哪里落在哪个地方你完全不清楚是吧。呃看一下怎么利用我们的空间下量来解决这个低点到一 c 一的距离呢？ 按照以前的传统方法的话，你可能必须平面化，你可能必须要把它连起来，在一个平面里面用等面积。是不是按照以往只能用等面积 啊？求点到平面距离用等体积，那这个地方只能用等面积。把这个三边求出来，再把这一边求出来，是吧？底乘以高除以二是面积来求这个啊，但这个运算可能太复杂了。

大家好，我是末班班长。那因为很多同学想听一听几何与概率这方面的课程，所以为了平均一下进度，那我们就从八点四开始继续这个课程，然后之后再把前面落下的补齐， 那因为八点四是第八章的这一部分的重点。哎，前面的内容基本上我们可以把它归结为画画课和我们的记忆课，主要是记一些公式。 哎呦，顶点棱，平面多边形构成的棱柱跟棱锥来得到相应的结构特征，这部分就是要进一步研究，我们看这个顶点我们是可以把它看成是点的， 棱柱我们可以把它跟直线相关，而平面多边形他跟平面相关，所以我们八点四开始就要进一步的研究点直线平面之间的位置关系，那么这一节我们将从平面入手。那第 一点，平面什么是平面呢？我们初中对于点与直线的认识是由于一些现实事物中抽象而来的，那生活中有哪些跟平面是相关的呢？ 比如说我们的课桌，比如说我们的黑板以及窗户，我们可以把它看成是数值的平面，那通过把这些事物抽象出来，我们就能够得到几何的平面，那这一部分我们只要去理解平面的意义就行。如果我们说直线 是可以向两侧无线延伸的，那么平面他就是可以向四周无限延展的， 当然这里表示的都是无线哦，那我们在表示直线的时候，我们只需要画出直线的一部分就可以表示整个的直线了，所以在表示平面的时候，我们也 可以只画出平面的一部分来表示整个平面，那怎么去画呢？我们会用一个平行四边形来表示，像这样的一个平行四边形，他就很像我们水平的一个平面。那怎么去画竖式的平面呢？就是把它竖过来，把它竖过来的话，我们经常画的其实是这个方向的，哎，是不是很像切进来的一个 一个平面呀？好，大概是这个样子的，那我们也可以去画出斜的，哎，这个样子就是一个斜的平面，那我们会用希腊字母来表示平面，我们把它会写到这个平面的一个角里面，阿尔法呀，贝塔呀，伽马， 那我们可以把他们称为平面阿尔法平面贝塔跟平面伽马，哎。或者如果你把这个四边形他的端点写出字母 abcd， 我们也可以把 它叫做平面 abcd， 哎，这样子都是可以的。那平面有什么样的性质呢？我们经常说一句话叫做点动成线，线动成面，说明两个点动嘛，你得有之前的点跟之后的点，这样两个点会确定一条直线， 那线动成面的话，那你肯定也要有之前的直线跟之后的直线，他是能运动过来的，这样的两条线构成一个平面。同学们想想看，你要想两条线的话，至少我们需要几个点呢？至少我们是需要三个点的， 所以也就说明三个点就能够构成一个平面，但是是有要求的，我们这个线你得表示之前运动之前跟运动之后的呀，所以这两条线他一定不是同一条直线， 所以说明这三个点他一定不在同一条直线上，不在同一直线。两 两条线指的是运动前跟运动后的，并不是两条直线确定同一平面，哦，因为两条直线，尤其在空间里，他不一定是在同一平面之内的。你要记住的是三个点确定的 直线，那我们得到了第一个基本事实，我们说过不在同一直线上的三个点，哎，确定一个平面，尤其 只有一个平面，哎，我们也可以把它简单的记为不贡献的三点确定一个平面，那如果我们将这三个点记做 abc， 我们这里简单画一个平行四边形，哦，如果我们把这三个点 abc， 那么这个平面也可以称作平面 abc， 那我们又知道三个点确定一个平面的话，但是两个点就能够确定一条直线了。那也就说明，如果我们有一 一条直线，然后再加一个点，那也是能够确定一个平面的，哎，如果我们有一条直线，这个直线是 a 直线，然后有一个 a 点，但是你一定要说明清楚，这个点是在直线外的一点，那这样我们就得到了第一个小推论。 推论一，经过一条直线，哎，这表明的是 a 直线与另外一个点与直线外的一点，有且只有一个平面。好，这是第一个小推论，那两点确定了一条直线， 那么这两个点也同样能够确定一条直线。那同学们看， b 直线跟 c 直线，他是相交的两条直线，这也就说明经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论二，经过 两条香蕉直线油且只有一个平面，那我们再 接着看，那这两条直线他也有可能，哎，我们一、二、三，还是这三个点，哦，有可能这里有一条直线，哎，那我不相交的话，我也可以平行啊，我过这一点做与你平行的直线，哎，这有什么不可以的呢？对吧？所以经过两条平行的直线， 平行，直线也是有且只有一个平面。好，这是我们基本事实。一，那我们接着想，我们说直线呢，它是由无数个点构成的，而平面是由无数条直线构成的， 那直线又由无数的点构成，说明我们直线与平面他们都可以看成点的集合，那这个点就是构成这两个集合的元素。如果我们说点 a 在直线 l 上的话，如果我们想表示这不就相当于元素在结合之内吗？我们就可以把它记为这个点 a， 它是属于 l 的， 这样子写就是可以的。那如果点 b， 它在 ly， 这个 l 表示的是直线哦，如果点 b 在 ly 的话，我们就可以把它记为 b， 是不属于直线 l 的，那同样平面也是点构成的集合。所以如果是点 a 在平面阿尔法内的话，我们就可以把它记为 a， 是属于阿尔法的，那如果我们有点 p， 它在阿尔法外的话，我们就可以把它记为 p， 点是不属于阿尔法的，那我们接着思考一个问题，那平面与直线的关系，我们是不是能够通过点的个数来确定呢？你说如果如果有一条直线，这个直线有两个点， 而这两个点他就在我们的平面内，在一个平面内，那请问这个直线与平面什么关系啊？你要是有两个点的话，那已经确定了，你整个这条直线 都会在这个平面内，所以我们就能说明这条直线，这条直线就在这个平面内，平面内这是我们的基本四十二， 那这个时候我们直线在平面内怎么表示呢？我们刚刚也说直线跟平面都属于点的结合，那现在我们表示的就是结合与结合之间的关系，结合与结合之间怎么表示啊？ 哎，我们得用包含，所以在平面内的话，我们就可以把它写为，这里需要有两个点，既在直线上，又在平面上，那就是点 a， 它是属于直线的，点 b 也是属于直线的， 并且这两个点还都在平面内，属于阿尔法的 b 也属于阿尔法则，我们 l 他就会包含于阿尔法。好，这是我们关于基本事是二，那我们接着思考一个问， 如果我们这里有一个书桌，那这里我们拿一个三角板。好，这是一个三角板，我们把他这个顶点就抵在书桌上，这个三角板他跟桌面这个平面是有一个焦点的，这就是他的公共点。那请问这个三角板所在的平面跟我们课桌这个平面有什么关系呢？ 那我们把这个平面补齐。好，我们把这个平面补齐了。那正常我们在画平面的时候是要把遮挡部分都换成虚线的，我在这里把这个遮挡的地方擦一擦， 这里也是一个虚线。那我们看这个阿尔法平面跟贝塔平面他们两个平面是相交的，那我们说直线跟直线相交会相交于一点，那么平面跟平面相交就会相交于一条直线。 那么如果你这两个平面他不是重合的话，只要有一个公共点，就说明这两个平面是相交的，只要相交就会有一个 公共的这个胶线，而且这个胶线他是一定会通过我们原来的公共点的，那这样我们就得到了基本四十三，如果我们有两个不重合的平面，不重合的 平面，哎，如果有两个不重合的平面，他们有一个公共点的话，那么一定有且只有一条 过该点的公共直线。好，那这就是我们第一节的内容，包括什么是平面以及三个基本事实，希望大家好好理解。

各位同学大家好，我是刘老师。今天我们带来的是一道几何问题， 如图啊，长方形 abcd 中，这是一个长方形点 b 呢，和圆点是重合的啊。这个几个问题加入了坐标轴，点 a， 在外轴上点 c 呢？在 x 轴上点 e， 为 ad 的终点 f 啊，为 ab 上面的一点。他说将三角形 aef 啊，沿着 ef 进行折叠，点 a 恰好落到了啊 cf 上边的点击这个地方， 那么 cf 所在的直线方程呢？呃，为外等于啊，负的十二分之刚好六倍的 s 加上刚好六则啊。问我们折痕 e， f 啊，他的长是多少？咱们呢，这道题研究的重点啊，就在于这个方程。 首先通过这个方程，我们可以将 f 和 c 的坐标写出来啊，令 x 等于零啊，令 x 等于零， y 就等于根号六 啊，这也是 f 点的坐标，因为他在外轴上嘛，所以说他的坐标就是零斗根号六。 那么同样的道理，另外等于零 x 啊，算一算就等于十二，这个就是点 c 的坐标啊，十二斗零，两个都 坐标出来了啊。现在我们要探讨一个问题，你要去计算出来 ef 这个折痕的长度， 你要用两点的公式吧。那么很显然，你要知道点 e 的坐标是多少。目前来说，点 e 我们只知道，因为它是一个长方形啊，所以说 a d 也等于十二 点，意是终点，所以呢，他的横坐标等于六，重坐标等于多少咱们还不知道哎，我们可以假设，我们假设 假设什么呢？假设 af 这一段哎，等于 m， 很明显我们就可以写出来呀，很明显就可以写出来 什么呢？点一的坐标啊，重坐标就等于 m 加上根号六啊，因为这段是 m 加上 bf 这段的根号六，就是整个点一的重坐标， 联谊的坐标出来，怎么去构建方程，解出这个 m 呢？ 我们利用点到直线的距离公式。点到直线的距离公式是什么呢？ 这里面呢，刘老师要讲给大家，因为本来这个公式在初中呢，需要论证，需要推在高中啊，经常用。如果有一个点屁啊，他 它的坐标是 a 斗币，还有一条直线叫 l， 这条直线呢，他的方程是 a x 啊，加 b y 加 c 等于零啊，必须要写成这种形式，那么这个点 p 到这个直线，他的距离啊，就用地表示，就等于根号下 大 a 方加大 b 方啊，上面呢就是啊， 小 a 啊，大 a 加小 b， 大 b 加 c， 这就是他们的距离。换句话 说，只需要将啊这个点的坐标啊啊带，把它替换成 x 和 y 啊带进去，这个公式就成立了。利用这个公式，咱们来建立一下这道题的一个方程。因为什么呢？因为翻者，所以说我们知道 ae 是等于一，记得他是等于多少呢？等于六的啊，因为 a 等于六嘛，所以说一记也等于六，而且因为反者之前啊，这里是呃垂直的，刚好落在这边呢，那肯定也是垂直的。 所以说 eg 这条线呢啊，实际上就是点 e 到 fg fc 这条直线的一个距离，咱们给它写出来， 咱们给他写出来就是 d 啊，点 e 到 fg， 他的距离等于什么呢？先将 fc 变成 l 啊这条直线的这么一个形式，我们变换一下啊，就可以得到 根号六 x 哎，加上十二万减去十二倍的根号六是等于零的，那么这样就可以带入进来，带入进来就等于 根号下根号六的平方就是六，加上十二的平方。 然后分子就是因为点翼的坐标是啊，六斗 m 加根号六，把它带入这个啊直线方程里面， 所以说分子应该是呃，六倍根号六，那么加上一个十二倍的 m 加根号六啊，再减去一个十二倍的根号六， 绝对准整个距离是等于六的，那么这个方程里面只有 m 一个位置数是可以解出来的，我们解的呢？ m 啊，它是等于二倍根号六， 所以最后求得 ef， 那他的长度就等于根号下那二倍根号六的平方加上六的平方 啊，就等于二倍根号一十五。

大家好，我是章鱼哥，今天来讲的是点到直线的距离，那么这条直线上就是可以用这条直线，那么首先第一步要回顾，那么就是要可以回顾 回顾，回顾点到直线距离的公式。第一步你要回顾这个公式，就是这个 d 等于这个 m m 零，不是等于 m 零， m 叉穿这个 s 这个方向向量，然后取取膜，然后再除以这个 s 这个这个方向向量的膜，它是怎么理解呢？这里有一条直线，这么 m 零，在外面有一个 m 零，是线外的一点 x 零， y 零 j 零，那么这个 m 像是这个 m 是这条直线上的任意一点， 那我们先别管这个坐标是啥，然后 我们要求的是这个的这个点到直线距离低嘛？呃，直角，然后这条直线为 l， 然后它的它的方向向量呢？ 啊？假设一下 xs 的方向强调，那么这条直线由这个两个平面确定，这个是 f 一，由这个两个平面确定 f 一 f 二，那么他 的这个发枪量，这个平面的发枪量。那我们先在这里画出来一个平面， 那么这个平面为 alpha 一，这个平面为 alpha 二，然后这个有一个法相量垂直于这个平面， alpha 一的就法相量一和这个法相量二 啊，我们写出他法相量，然后他的交线呢，就是确定了这条交线的交集，就是这条交线，就是绿色交线，就是这个蓝色的线，然后他有一个法相量， 有一个方向向量 s， 那么这个 s 这个方向向量呢？就是 s 这个方向向量，就是等于第一个平面的方 加量差成于这个第二个平面的法相量。那么就知道我们就求恶了，公式的第一个部分 s， 然后我们在这个第一部分完成了第二个部分，就是根据这个方程，那么我们要求出线上的一点 m， 这个 m 是怎么来的？就是从这这两三元一次方程组求出来的，那么我们就要解这个方程。第二步就是要确定这个 m 点就是 l 上的一点 m， 那么这是 p 零，就是现在的 p 嘛，我们把这个字母改一下 m， 这里 m m 零点，那么就更容易理解了，那么这里不用别 用 p 来代表了，用 m 零点呗，那么我要求的就是我求出了这个 m 点，用这个那么这条向量就可以求出来，那么这个 呃，这个坐标啊，这个表示就可以求出来，那么我们一步一步来求，首先是第一步， 第一步第一步就求这个 s 这个方向相量，直线的方向相量就是等于这个 n 一加乘这个 n 二，那它就是等于一个行业是 i z k。 第一个第一个法项量是它的系数是一一 负一，就是这个三个变量的系数，那么就是一一负一，那么第二个这个变量就是他的三个变量的系数，二负一一，就是二 五一一。那么我们快速运算，就是第一个 i 的话，就是划掉这个 i 所在的行，它所在的列，剩下的这个行列是就是一个二阶行列，是就是一负一负一一， 那么这就是第一个还是减，减呢？减什么呢？减的是打完我们圈出第二， 圈出第二个元素，拔掉他所在的行和列，剩下的就是这，剩下的就是一二五一一，然后这里就剪了，看这个是 j 的， 那我们再圈出这个 k， 拔掉 k 所在的行和列，那么它剩下的这里是加号，那这里是减加减加，记住， 原理我就不讲了，我就讲这个操作的办法吧。原理的你们自己会去看这个展开定理，这里就是按 r 一展开，就是按第一行展开的意思，那么这里的话 啊，这是划掉 k 所在的行和列， k 所在的行列，它剩下的是一二一负一，是一二一负一，那么这里是一个 k 啊，我们就要算呢，这是二级行列式，就是主对角线减这个负对角线，那么红色的就是主对角线，然后蓝色的就是负对角线，那么我们就快速算呗，是一乘以一减去负一乘以一，一减一的零就是零 i， 我们再减，我们一乘以一减去负二，就等于三 j， 对吧？然后再加再加， 再加，就是负一乘一就负一减去一乘以二就二负一减二就等于负三 k 减三 k， 那么这个 s 这个方向向量就可以确定了。这个直线的方向向量就是零负三 o 一下，先一一减一乘以一减去括号的负二，那么它是等于三。前面减去负二， 那么看一下他有没有算对啊？主要是怕算错了，那么这里是不一 一啊，就是零负三负三，别算错，一乘以一， 一乘一是一啊，减去这个负二，那么就是三对，没错，那么零负三负三，这就是他的一个方向向量。 第一步我们就已经完成了，第二步的话，我们要就要求这个 l 直线上的一点呢，那么第二步那么进行的是第二步， 第二步就是找找 l 上的一点 m， 这个这个这个这个这个点，那么我们就要找了， 怎么找呢？怎么找就是要从这个方程组解他的一个特解不就行了吗？ 为什么是这个方程组的一个特点呢？那么我们知道，那么我来解释一下，就是说这个点，呃，假设这个 m 点，这个 m 点是不是在这 l 上，那么 m 点就是在这个 l l 上， m 点在 l 上，它既要满足 满足在 m 点，这个 m 点就在这个 f 一的平面上，也在这个 f 二的平面上，所以这个 m 点 x x y j， 他的这坐标必须是满足这两个方程的，那么就是求出他的一个特解，不就是换句话来说，就是要 求出这个方程图的一个特点，那么我们就开始求呗。那么用这个十二里是一十，这里二十，那么一加二十，他就会等于一加二十，他会变成就是消掉了这里，消掉了这里，那么就是三 x 等于 三， x 减三等于零，那么 x 就先得到一，那么我们将一回带进去，一回带进去就会得到怎么样的方程呢？就是 y 减 j 加二等于零， 还有这个负 y 加 j 减二等于零，这完全是同一个方程的，那么就是 说这两条柿子其实是添了一个符号，乘以一个符号，两个柿子其实是同一条方程，同一条同一条直线，只是他添了一个， 不是它两个是变成一个有效防尘，它有效防尘只有一个， 其实你别看它是两个两两个方程，但是它是有一个方程是无效的，那么我们就可以去掉一个，那么 y 就是等于这个 j 减二，那么就有一个自由变量嘛，那么我们另这个 j 等于多少呢？ 零加一等于二呢？零加一等于一的话，或者零加一等于二，零加一等于二的话，那么就是 y 就求得了 是等于零的，那么就最终就确定了一个 m 点的就是一零二，那就是一零二是 m， 那么就求得了就是一零二，那么最后的话，我们就可以代公式了， 那么就求这个 m 零 m， 这个向量就可以等于一减，这个 m 零点有了 坐标吗？题目给的三负一二三负一二，那么我们一减末减除，一减三等于负二零减一，负一等于一，二减二等于零， 那么就得到了这个 m 零 m， 这个 s 也知道了，那么我我们要求这个分子的部分第四步，那么我们进行的是第四步 呗，第三步呗，对，第三步，那么就需要求了， 就是这个 m 零 m 叉成这个 s， s 也就出来了， 那么我们写上吧， s 先写上吧， s 是等于多少？零负三负三，零负三负三，那么就可以。第四步就要求这个差成了 哦，那么我们将先将这个给脱下来，移动下来 会更好。 oh， 用剪切掉它，哎呀，不行， ctrl j 没圈好。 沿着这个上衣先先，我们把这个下面的这个先复制下来，那么我们就不用翻复制。 第三步就要求了啊，这里来到这里，那么公式也给它复制下来，最后就带公式了，最后一步就是要，哎，这个公式复制， 最后一步就是代公式 放在这边吧。哦，对，那么我们就要求呗。第一步，我们算这个分子的部分，就是这个 m 零 m 零 m 拉成这个 s， 然后再取一个膜，首先算他的差成先吧，一步一步来拉成的话，也是 i j k， 那么同样的操作呗， 同样的操作都是这里是负二一零零，负三负三，那么这个 i， 那么我们就知道要算哪里？ a， 就算这个行列式就可以口算了，一乘以负三减零就是负三减呢，这里括号 j 呢，就是 j， 就是这两条行列式，这里这里划掉，没有这里， 哎，我们还是写出来吧，就是负二零零，负三，那就是六减零了，六减零，那么就得六了，那么这里就等于一个六。 j， 这里负三 i 减，那么再加多少个 k 呢？ a 就是算的行列是负二一零，负三还是等于六， 那么由于这里有一个有一个公倍数可以约掉，那么就除以一个负三，试一下，除以一个负三，就是一一 二五二啊，就是这个 m 零 m 将两叉乘这个 s 就等于这个了，那么再取模的话，取模的话，就是根号下的一的平方加加这个二的平方加负二的平方， 可不可以约掉呢？哦，好像不行，你不能够约，在这里，这里不能够约。呃，就是根号下的负三的平方加负六的平 平方，再加六的平方三十六，三十六，七十二，七十二加九等于八十一，那么就是等于根号的八十一，是不是等于九啊？那么就是分子算的为九等于九，那么分母呢？分母呢？就是根号下 这里算完了这个 s 的模，那么就要算这个 s 的模了。 s 的模，不就是等于根号下零的平方加这个负三的平方加负三的平方吗？那就是等于九加九，是等于根号十八， 根号十八等于三分三倍的根号二，那么就是等于三倍的根号二，那么就是等于三倍的根号二，那么再乘，要么约掉三， 那么再将它有理化的话，就二分之三倍更好啊。这就是他点就求出了这个 m 零点到这条直线的距离是 是二分之三倍根号二，那么就求完了，整题就求完了。