正方形半角模型结论证明过程

正方形必会九大模型证明过程来了！今天一个视频讲透正方形九大必考模型口诀，条件结论，满分证明全套干货拉满，吃透他们！初中数学正方形题型考试直接满分拿捏！ 第一个十字架模型，记住口诀，垂直必相等，只要在正方形中，两条分别连接对边的线段互相垂直，直接秒记。结论， 这两条线段长度一定相等。利用正方形直角性质，通过同角与角相等，角边角正，三角形全等，即可得线段相等。第二个对角线模型一口诀，对角线上点对称距离等。 只要题目出现点 p 在 正方形对角线 a c 上，不用犹豫，直接出。结论， b p 等于 d p 利用正方形边长相等，对角线分出四十五度内角 结合公共边边角边正，三角形全等得对应边相等。第三个对角线模型二口诀，过心垂直线段全等。在正方形中点 o 是 对角线交点，只要满足 o m 垂直 o n 核心。结论， o m 等于 o n。 利用正方形对角线性质得等，角等。边与角相等，角边角正全等，得出线段相等。 第四个 k 字模型口诀三垂直和叉定正方形边上取一点连线形成斜线，向这条斜线做双垂直，构成经典三、垂直 k 字结构固定。结论， d n 等于 b m 加 m n。 三垂直的与角相等， 角角边正直角三角形全等。边长等量代换即可推出线段和差关系。第五个对角互补模型口诀，直角对点和为根号倍，正方形外有一点 p 满足角 b， p， d 等于九十度，直接秒杀。结论， p b 加 p， d 等于根号二倍 pa 过点 a 做 a p 的 垂线构造等腰直角三角形。利用对角互补正四点共圆，得到四十五度特殊角边角边，证明三角形全等。完成线段替换，结合勾股定律即可证出。结论。第六个八字模型 口诀，外点直角差为根号倍，同样是正方形，外一点 p 角 b， p d 等于九十度，这个模型主打线段差值。结论， p d 减 p b 等于根号二倍 p c 过点 c 做 p c。 垂线构造等腰直角三角形 四点共圆，得到四十五度角边角边正三角形全等。通过线段差值替换，最终推导出固定根号二倍。结论。 第七个半角模型一、全网最经典口诀，四十五度半角线段和不变正方形内出现四十五度半角，也就是角 m i n 等于四十五度固定。结论， m n 等于 b m 加 d n。 采用旋转法将三角形 i d n 顺时针旋转九十度，与 ab 边重合转化角度匹配四十五度半角边正旋转，前后三角形全等线段拼接后即可证线段和的结论。 第八个绊脚模型二、进阶压轴模型口诀，对角绊脚勾股定型。 当四十五度绊脚出现在正方形对角线上，点 m n 在 b d 上。结论，直接升级 m n 的 平方等于 b m 的 平方加 d n 的 平方。 同样旋转构造全等正得 m n 等于 m n 撇，利用正方形对角线四十五度夹角构造出直角三角形，直接用勾股定律得出平方和必考结论。第九个外角平分线模型 口诀，外分垂直线段相等正方形外角平分线 c q 满足 a p 垂直于 p q 直接秒出。结论， a p 等于 p q 在 b i 边上截取等线段构造等腰直角三角形得到一百三十五度等角 结合同角的与角相等，角边角正三角形全等，最终正得两条线段相等。触中数学正方形题，万变不离其宗，全是这九个模型的辨识， 只被结论容易丢分，吃透完整证明，才能大题压轴，全拿满分。很多孩子看懂答案却不会做题，本质是缺乏几何思维，不会画辅助线。我专门制作了全套初中数学动画课 动态演示模型和辅助线，零基础也能轻松吃透。想要正方形九大模型高清资料和我的初中数学动画课评论区扣数学动画！

游戏中的数学，在 a 点的女娲放技能击打 b 点处的鲁班和 c 点处的后羿，已知这两次释放的技能的夹角刚好是四十五度， d 点处的防御塔距离 a 点处十米， b 点距离 d 点处四米，而且 a、 d 刚好是垂直于 b、 c 的。 问，当后羿在什么位置的时候可以精准被打击， 也就是问 c、 d 的 长度是多少？如果我们学会了半径发射四十五度角连端点，会产生一个顶角为四十五度的小三角形， 像这种图形，我们就叫它半角模型中的一种。在半角模型中，三角形的顶角是四十五度，那反过来，如果我们遇到一个三角形的顶角 刚好是四十五度，那么这个三角形能不能看作是正方形里面拿出来的呢？完全可以，我们另这个角是角一，这个角是角二，那我们知道角一加角二一定等于四十五度。还原正方形最快的形式就是翻折，把这个三角形沿着 a、 b 翻折，翻折前后的两个三角形全等，所以呢，这个边等于四，这条边是十，以及这个角是角 一。我们再把这个三角形沿着 a、 c 翻折，我们令这个边是 x， 那 翻折后两个三角形也是全等的，所以呢，这个边 x 也等于十，以及这个角是等于角二。我们知道角一加角二等于四十五度，而整个大角等于两倍的角一，加上两倍的角二，所以呢，这个大角等于 九十度。邻边相等，并且你会发现有三个直角，所以呢，我们很容易想到延长两边构造出一个正方形，正方形边长是十，所以呢，这个线段长度也等于十， 因为这条线段等于四，所以呢剩下的就等于六，同样的道理，这个边也等于十，所以这条边等于十。减 x。 最后在这个直角三角形中，根据勾股定律，我们可以得出一个方程，最终可以求得 s 等于七分之三十，也就是后羿在距离这个低点七分之三十的地方，我们可以精准打击它。

绊脚模型是考试中的高频考点，更是一个易丢分的难点，而绊脚模型啊，有很多的二次结论，很多人是不知道的，学校不教孩子呢，也不总结，那考场上一定是直接懵掉了， 别慌，老师，今天啊，就用这道经典的例题，带你彻底学透绊脚模型在考场中如何拿下那些二次结论。好，我们来看题。 首先啊，大家对绊脚模型应该是不再陌生了，对吧？尤其咱们现在学完四边形以后，对吧，当正方形，也就是九十度当中包含一个四十五度，那就是个非常典型的绊脚模型。大家评论区告诉我，你们知道吗？来，我来，今天再给大家简单的复习一下绊脚模型的最基本正法和考法啊。 首先呢，它的第一大考法就是啊，这里面的这三条边存在一个和的关系啊，和的关系怎么去证明呢？来，首先大家跟着我的思路走啊，我们知道这里是半角，那说明这个勾和这个叉是不是也是半角，对不对？所以我们希望把这个勾和叉给它 拼在一起，那怎么去拼呢？对，第一种辅助线是利用旋转，比如说我把这个 a、 f、 d 这个三角形给它旋转到这边来。 好，老师，为什么能旋转呀？有个大前提啊，就是因为这里的这个 a、 d 和这个 c、 d 是 相等的，然后呢，这个角和这个角它必须是互补，所以说你会发现这个双线角是不是转过来，刚好和它拼在一条线上， 能理解吧？好，这我们的第一步啊，一定是一个旋转的全等。老师，我们没有学旋转辅助线，那你就延长它，使得 c m， 比如说等于 a f， 然后这个直角等于这个直角，所以说这个边角边也能证明全等 好，他全等了以后，最关键的信息就来了，这个勾和这个勾就挪到了这里，然后你会发现现在的勾加差是不是四十五度，对吧？这里是公共边，然后这个边全等等于这个边。所以说第二步呢，就是一个对称全等来看，这个三角形和这个三角形是一个对称全等。 ok， 那 么对称全等一旦证明好，接下来我就要说了，跟这个题相关的二次结论，求啊，我们的 b f e 这个角，那这个角怎么求呢？来，我来说一下啊，绊脚模型的二次结论，你在学校一定没有学过，就是得 e 为啊 f e c 的 角分线，这是一个非常经典的二次结论。 ok， 为什么呢？刚才我说了啊，它是借助于这个对称全等得 e f 全等于三角形得 e m 的， 对不对？ ok， 他 俩一全等，你告诉我，这个八十三和这个角是不是相等？都是八十三，他们八十三，那这个角是几度呀？来，你看，一百八减去两个八十三啊，也就是一百八减去一百六十六，答案就是十四， 他是十四，这里是九十呢，这里是几度？对，就是七十六度了，就很简单。好，这是第一个二次结论，那第二个二次结论大家思考一下，一定要活学活用哦，你告诉我这个 d、 f 是 什么呀？对，也是这里的角分线。为什么呢？来评论区，大家能不能帮我把过程完善一下？第一步，我把这个三角形， 因为这里是叉脚，给他转出去，转到这里，这个叉脚转过来，然后紧接着你发现叉加勾，叉加勾是不都是四十五度？然后呢？你转的时候是不是这个边， 这个边是不等于这个边的？这里是公共边，那因此这个 d n 吧， d n f 和 d e f 是 不全等全等以后，这里是不是就是角平分线了？ 就是你看啊，绊脚模型它的二次结论，注意，二次结论竟然是两条角分线。哇，这个提出的实在是太好了，大家能把写好的过程在评论区给我看一看吗？

今天一分钟教你学会初中几何的绊脚模型。首先我们看什么是绊脚模型，看这个图，给出一个正方形，然后过顶点发射出一个四十五度角，因为我们这个四十五度角，它是整个顶角九十度的一半，所以这个角我们叫做它绊脚。 凡是这种角度大小保持不变，而且等于整个角一半的，我们就给他名字叫半角模型。既然是模型，那肯定有结论，对吧？他的核心结论就是，如果你令这条边是 x， 这条边是 y， 那 么四十五度角所对的这条边一定等于 x 加 y， 那 这个东西怎么证明呢？ 听清楚所有的绊脚模型，它的核心万能方法就是旋转，你只要旋转绊脚两侧的任意一个三角形就可以了，也就是我们这里的一号和二号三角形，我们任意旋转一个都可以轻松搞定。那怎么办呢？ 那在这里我们不妨旋转二号三角形，我们角度多少就旋转多少，像这个我们就旋转九十度。但需要注意的是，我们绊脚模型的旋转一定要证明贡献什么意思呢？ 你要知道这个角 d 是 九十度，角 b 也是九十度，那么我们把它旋转过来之后， b 加 b 一 百八十度，那么这三个点是在同一条直线上的，也是共线，那旋转完之后有什么好处呢？如果我们的这个角一，以及我们的这个角二 角一加角二，我们这里是等于四十五度的，那么现在你把这个三角形旋转过来，我们知道旋转三角形对应边对应角是相等的，所以呢，那么这个角也等于角二角二，就转到这边来了，那么这个角和这两个角都是四十五度， 又因为 af 是 等于 a、 s 全等，所以我们可以证明 ef 是 等于 b、 e 加 d f 的。 接着我们再来看这个图，它不再是正方形，但是不管这两个动点怎么动，还是满足中间这个角还是大角的一半，我们还是一样。第一步，将这两个三角形 任意一个旋转，顶角的度数一百二十度。那我们不妨旋转三角形 a、 b、 e 转一百二十度。因为角 b 加角 d 是 等于一百八十度的， a、 b、 e 和三角形 a、 d、 p 是 全等的，所以呢，这两个角相加也是一百八十度，也就是这三点， f、 d、 p 是 共线的。第二步，根据旋转的性质， a、 e 等于 a、 p。 另外，角一加角二等于六十度，所以角二加角三也是等于六十度。因此这两个三角形也是根据 s a、 s 全等。所以我们也能得出 e f 等于 f p， 也就是 b e 加 f d 是 等于 e f 的。

为什么在四十五度角的正方形几何体里总挨考？答案就是今天要讲的半角模型。正方形内给你两条边，让他的夹角固定为四十五度，然后连接 e、 f， 此时四十五度，这个固定的角就是这个九十度角的一半，所以我们把它叫做半角模型。这个模型结论非常之多，今天我们主要讲最常用的两类结论。首先来看 b、 e、 e、 f、 f、 d 这三条线段之间存在什么样的关系。看见半角我们就知道了，中间这个角是四十五度，那么它两边这个角相加也等于四十五度，但它们隔得太远用不上。那怎么才能让它们挨在一起？平移 不行，方向不对，对称也不行，旋转可以吗？哎，这个对了，旋转可以同时保持长度和角度，把一个小角整个搬过去，这就是半角模型中一个核心思路。我们把上方或者下方任意一个三角形进行旋转，那我们这里就把上方三角形顺时针旋转九十度， 让它两个角挨在一起，形成四十五度。因为 a、 d 是 等于 a、 b 的 角， b、 a、 d 等于九十度，所以说旋转后 a、 d 就 和 a、 b 重合，然后这两个角又都是直角，那么角 g、 b、 e 就是 一百八十度。 所以这三点共线当然也可以不用旋转，用构造全等的方法延长 c、 b 至点 g， 使 b、 g 等于 d、 f， 再连接 a、 g， 利用边角边就能证出这两个三角形全等效果，等同于将图形旋转下来， 还省去了三点共线的证明过程，这样就能把分散的角度整合利用起来。两个小角拼接过后，刚好组成四十五度，因为这两个小三角形全等 可得 a、 g 等于 af， 角 g， a、 e 等于角 e， af 等于四十五度，又存在公共边 a、 e， 就 能证明这两个三角形边角、边全等。由此推出 g、 e 等于 ef， 结合 b、 g 等于 d、 f， 便能得出核心线段关系 b、 e 加 d f 等于 e、 f。 这就是四十五度半角模型最关键的结论。我们还能由三角形全等得到这两个对应角相等，说明 a、 e 是 角 g、 e、 f 的 角平分线在 e、 f 上做垂线 a、 h。 根据角平分线性质 a、 h 长度与 a、 h 长度，而 a、 b 等于 a、 h 也等于 a、 d， 再根据角平分线判定，定里又能判定 a、 f 平分角 d、 f、 h。 相关衍生结论太多了，感兴趣的同学可以接着往下推导就行。一般考题不会直接考察你这三条线段的数量关系， 他会换个花样问你，比如说告诉你正方形边长为四，问你三角形 e、 c、 f 的 周长是多少。你看，通过第一个结论我们就知道 e、 f 是 等于 b e 加 d f 的。 所以三角形 e、 c、 f 的 周长就可以转化为 b、 c 和 c、 d 这两条边。那三角形 e、 c、 f 的 周长就等于正方形两条边长之合，也就是正方形周长的一半，算下来周长就是八。这类题型就能快速求解。 这个结论很多同学都会，但考试里真正能拉开差距的是接下来要讲的第二类结论，就是四十五度半角模型里特有的构造相似三角形。先看三角形 a、 b、 e， 在 a、 b 边上取一点 n， 使 b n 等于 b、 e， 这样就能构造出等腰直角三角形。用同样的方式在三角形 a、 d、 f 里也构造等腰直角三角形。 在 a、 d 边上取点 m， 使得 d、 m 等于 d、 f。 此时角 d、 m、 f 是 三角形 a、 m、 f 的 外角， 而且等于四十五度，因此角 d、 a、 f 加角 m、 f 等于四十五度，原本角 d、 a、 f 加角 b、 a、 e 也等于四十五度。 等量代换就能推出角 b、 a、 e 等于角 a、 f、 m， 又能算出角 a、 n、 e 等于一百八十度减四十五度。角 a、 m、 f 同样等于一百八十度减四十五度。两直角分别对应相等，即可判定两个三角形相似。 相似过后，对应边乘比例就能借此列式计算，求出某条线段的长度。考试里大多还会把正方形变成为长方形，或者割成正方形， 特别麻烦，这时候就可以用我们刚才证出的相似三角形来解决。比如告诉你长方形中 a、 b 等于五， a、 d 等于八，已知 b、 e 等于二。求解 d、 f 的 长度。我们把那两个等腰直角三角形先构造出来，通过之前就证出的这两组对应角相等， 得到这两个三角形相似，已知 b、 e 等于 b， n 等于二，进而得到 a、 n 就 等于三。 an、 e 的 长度也能借助勾股定律算出等于二倍。根号二，我们设要求的 d、 f 长度为 x， 那 md 也等于 x， m、 f 的 长度就等于根号二 x， a、 m 就 等于八减 x。 在 这两个相似三角形当中，就有 an 比 m、 f 等于 n， e 比 am。 代入数据得到三比，根号二 x 等于二倍，根号二比八减 x。 化简计算解得 x 等于七分之二十四。这道题的解法有很多种，选择最适合你的方法。

一口气带你看完初中数学半角模型六大结论！

也不知道哪个爹说的这道中考押注题，全班五十度同学，竟然没有一位同学作对，今天看我如何秒杀他！ 已知，正方形 a、 b、 c、 d 边长为 e 角 e a、 f 为四十五度，求 e、 f 的 最小值。看到正方形内部有四十五，我们很容易联想到半角模型。 基于此，我们可以选择将三角形 a、 d、 e 绕点 a 顺时针旋转九十度，得到三角形 a、 b、 m， 可知这两个三角形全等， 所以角 f a m 也等于四十五度。那么又因为 a m 等于 a e， a f 为公共边，我们又可以得到这两个三角形全等，所以 f m 就 等于 f e。 题目里让我们去求 e、 f 的 次求式，我只需要去求 f m 的 次求式即可。那么接下来此题最关键的步骤来了， a、 b 为垂线段，长度始终为一，这叫定高角 f， a m 始终为四十五，这叫定角。定角定高的引圆。此时我们选择做出三角形 a、 f、 m 的 外接圆。 由定角定高模型可知，当前仅当 a f 等于 am 时， fm 有 最小值， 也就是三角形 a m、 f 为等幺三角形的时候， f m 会取得一个最小值。 接下来我们去找到这个引圆的圆心，做三角形 a f、 m 任意两边的曲奇平位键交点即为圆心，同时连接 o m 和 o f。 由同弧所对的圆形角是圆周角度数的二倍，我们可以得到角 m o f 等于九十度。同时三角形 f o m、 三角形 b o m、 三角形 b、 o、 f 都为等腰直角三角形。 我们设圆半径为二，那么 o b 为一减二。有特殊三角形边长关系，我们可以列出如下式子，进而求出圆的半径为二减根号二，那么 f m 为半径的根号二倍， 所以答案为二倍根号二减二。搞定收工 so easy！

这道题七下期末压轴的必考题，但很多同学因为不知道考点而不会做辅助线，导致他一分不得，所以今天呢，某老师就带着大家咱们搞定这类考点的模型、结论以及证明的思路， 你再把我给大家整理好的全等三角形必考的六大考点和模型以及题型，你带回去让孩子练习，练完以后就会做辅助线，我们考试的时候就能多考二十多分。好了，那下面我们一起来看一下这道题目。 a、 d 和 b， c 是 平行的角， b 等于九十度，那不难想到角 a 也是九十度， bce 是 四十五度， a、 b 等于 bc 等于十二。让我们去求三角形 a、 d、 e 的 周长，每一个都在提醒着我们，它就是半角模型，我就可以把它补成一个正方形，那你就是十二。 我们半角模型的结论就是 b e 加 d f 等于 d e， 那 此时三角形 a、 d e 的 周长，这里的 d e 我 是不是就可以把它分成 b e 和 d f， 因此你的周长就等于 a b 加 a f， 答案就是二十四，是不就出来了。 半角模型到底是个什么东西？那接下来莫老师要带大家一起把它的证明过程和思路，我们一起来梳理一下，就是等腰加半角， c、 b 和 c f 相等，同时 b、 c、 f 的 一半就是 d， c、 e 夹了个半角，那它就是我们的半角模型，它的结论就是两个短边加在一起等于 长边。那在这个题目中呢，就是 b e 加 d f 等于 d e， 把这两个短边呢，我们给它放在一条直线上，它俩才能相加，所以我可以延长 d f 至 点， m f， m 和 b e 相等， d f 加 b e 是 不就转化成了 d f 加 f m， 也就是我们的 d m。 所以 我接下来只需要去证明 d m 和 d e 相等，就可以推出前面的条件。好了，那现在呢，我还要连接 c m， 我 连完以后问大家，这个途中你能不能快 快速找到一组全等三角形哎，就是我们的三角形 c b e 和 c f m。 为什么呢？首先啊，直角和直角相等，同时 c b 和 c f 相等， f m 和 b e 相等，这就是一组 s a s 的 全等三角形 c， b e 全等于三角形 c f m。 接下来我要证明的是 d m 等于 d e 要正两条线段相等，我们就要正这两条线段所在的三角形是全等的，就是三角形 c， d， e 和三角形 c， d m 全等。我们来找一下条件，有一条公共边，还有我们第一组全等三角形带给我们的 c e 和 c m 相等的，因为你俩全等，所以说 c e 在 这里还等于 c m。 接下来的方向，你就是去找它们的夹角， c e 和 c d 的 夹角是四十五度，所以我要去证明这个角也是四十五度就好了。因为角一呀，加四十五度，加上这里的角二是不等于九十度， 所以我可以得出角一加角二是四十五，那角一又等于角三也是四十五度，那我就可以得出角 e， c d 等于角 m， c d 都等于四十五度。同时 c e 等于 c m， c d 等于 c d， 就 可以推出来这两个象形是全等的， 那两个象形全等以后，就可以得出 d e， d m 相等，也就是 d e 等于 d f 加上这里的 b e。 好， 同学们，那今天呢，就是我们的半角模型，你学会了吗？我们下期再见，拜拜。

不管你是初二还是初三，半角模型你必须得会，那这道题的背景呢，是放在 a、 b、 c、 d 这样一个正方形当中，然后呢，给到这个是七十六，这个是三十一，问你这个角是多少度？ 那拿到这道题，我肯定先去倒一倒角，对吧？把能倒的角先倒出来，这个七十六，那这个角呢，就是十四度， 这个是三十一的话呢，这个角就是五十九度，哎，我再用点力，对吧？这两个角加起来是四十五度，哎，所以呢，中间这个角也是四十五度， 哎，好家伙，九十度的角里面套了一个四十五度角，你有没有看到呢？这里有个九十度的角，里面刚刚好有一个四十五度角，而四十五度是九十度角的一半，所以呢，我们叫它半角， 那但凡看到全角里面有个半角，那么剩下来两个角加在一起就是四十五度，也是一个半角，那么他俩是不得黄金二合一啊，那要么就是把它转上去，要么呢就是把它转下来吧， 哎，那这里呢，我们来转转看啊，把它转上去试试看，特别巧， a、 d、 a、 b 相等，而且呢，这个对角还是互补的，对吧？他九十，他也九十，所以呢，你把它往上延长， 哎，这个角呢，刚刚好也是九十度，所以呢，我们就把 d、 e 搬到了，这就相当于是把三角形 a、 d、 e 绕着 a 点逆时针旋转，九十度，到了 a、 e 撇 b 的 位置，刚刚好贴到了一起， 并且呢，这个角就是我们的阿法角，阿法贝塔至此双剑合璧，所以这个角就是四十五度。那么现在问题来了， 他四十五，他四十五，哎，中间有一个公共边，而且呢，这条边转到了这里 说，哎，看到什么了？看到什么了？看到全等了吧？三角形 a e f 跟三角形 a e 撇 f 刚刚好， s a s 的 全等，所以呢，要求的这个角度数就出来了吧？ 好的，这个角呢，跟他一样也是五十九度。那这道题再留一个问题给你，请问他等于多少度呢？你能用几种方法来求出这个角？

好，各位同学，我们来看这样一道题，在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 是 b、 c 上的一点， f 是 c， d 上的一点， a、 e 交对角线， b、 d 于 g， i f 交对角线， b、 d 于 h， 所以 a、 e 平分角 b， e、 f， a， e 平分角 b， e、 f 是贪婪 b、 g、 g、 h、 d、 h 之间的数量关系。我们看到这三条目标线段 是在一条直线上， 在一线上。 那么对于这类问题，根据我们以往积累的解析的策略，通常是用转化的思想，将它通过等线段转化，或者按比例转换到一个基本图形中去， 设法集中到 一个基本图形中， 一般来说，这个基本图形是个三角形， 通常还是特殊的三角形，比如说等腰三角形啊，等腰直角三角形，直角三角形等等， 是个特殊的三角形， 那么我来看看哈， 由于 a 一 平分角 b、 e、 f， 所以 这两个角相等， 那么它能派什么用场呢？ 在这里啊，由于这两个角相等，角平分线 把这个角平分，那这个地方就有具有一个着对征信，我们不妨把试着把这个翻折过来，翻折过来，翻到这个上面来， 那么就会得到一段，这一段等于这一段，是吧？所以我们这样一个设想，在这个上面取一点 b 耶，然后连接 b 耶， 这时候我们会得到这两个三角形是全等的，因此得到 a， b 等于 a p， 而 a、 b 等于 a d。 还有我们这个是直角，因此得到它是直角，所以我们又可以得到这两个三角形是全等的，有 a、 d、 f 和 a、 b、 f 是 全等的， 对吧？哎，由这个平分，我们想到图形的翻折结果，解释了这里面有特殊的关系。 第一个特殊的关系我们解释了啊，有翻折哈。第一个，我们解释了这个 e f 等于 b e 加 d f， 这个很快用全等可以解释。 第二点呢，我们还可以解释这与角的关系，这两个角相等，这两个角相等，因此中间的这个角是这个角的一半，所以又解释了一个关系，角 e a f 等于二分之一角 b a d。 哦， b a d， 我 们知道这个是正方形，所以 b a、 d 是 九十度，因此 e、 f 是 九十度。呃，四十五度，你看， 通过翻折构造权的解释了两个秘密，一个是线段 e f 等于 b 加 d f， 第二个角 e， a f 是 角 b a d 的 一半 啊，那么接下来怎么思考？我们的目标是要把这个三个线段勾成一个三角形，所以同学们，我们下面的思路， 由于这个角是四十五度，甚至当这个地方就发掘出一个半角模型， 通常用旋 旋转勾着全的。同学们，我们知道这个是四十五度，所以呢，这一个角 加这个角也是四十五度，那么我把这个三角形旋转到这个位置来，这个三角形旋转到这个位置来， 我将三角形 a、 d h 旋转至三角形 a b h e 位置， 把这个三角形转到这边来，那么这条线段就到这边来了。对， h 就 变成了 b h e， 对 吧？ b h e。 我们知道这个正方形的性质，这个四十五，这个四十五，因此这个就是九十度，这个就是九十度，对不对？ 那么接下来我再连接 g h e g h e， 那 么下面我设法去证明 g h e 等于 g h。 如果是这样子的话，那么这个三条共线的线段就构成了一个直角三角形，那么利用勾股定律这个三条线段的关系就结识了，这是这样一个题目的思路啊，这样一个题目，思路 是通过 a e 式小平稳线，它具有轴对称性，我设想用翻折这个图形变换这个思想 构造了两个三角形全等，从而解释了这个图形当中含有一个半角模型，半角模型， 然后利用半角模型常规的研究方法，用旋转构造权等，旋转构造权等，从而将 d h， g h， b g 三条共线线段转换到一个直角三角形中， 直角三角形中，从而利用勾股定律结识它们之间的关系， 从而我们就接触着这个关系。当然就大家很清楚了，就是 b g 平方加上 d h 平方等于 g h 平方。这是这样一道题目，那这道题目呢？它这个 听起来，听起来还觉得好像还挺简单的，而事实上，我们发现这个步行脚模型呢，它不是一件容易的事 啊，不是一件容易的事，你要先有发现绊脚模型，然后再用绊脚模型的研究方法来进行转换，进行转换，呃，这是这样一道题目 啊，我们可以把它概括为正方形半角模型当中隐藏的线段之间的数量关系，那这是这样一道题目，我们就分享到这里。

欢迎光临这道绊脚模型的题，那这道题拿到手啊，本身跟绊脚模型的一点点关系都没有，对吧？但是呢，你如果熟知绊脚模型的话，你就可以套用绊脚模型来快速的解决这道题， 来看一下这个背景啊。首先呢，这是在一个很普通的三角形当中，然后呢，这个角是一个四十五度的角，完了之后呢，过四十五度角的顶点做了一条高高的程度是知道的是十， 然后这边是四，哎，这个四十五度啊，但凡换成别的角度的话呢，这题都不是特别好做，但是偏偏偏偏这个角是个四十五度的角，哎，那常规思路呢，我肯定会想一想，能不能列点双勾股方程呀什么的来解这道题，对吧？所以呢，我们可能会把要求的这条边设成一个 x， 但是啊，但是这道题如果你把它设成 x， 这个四，这个是十，但是呢，四十五度角被 p 成了两个部分，然后这四十五度的条件你就咋的都用不上，对吧？用不上， 所以呢，卡住了，所以呢，哎，绊脚模型就得来帮忙了。正因为这个角是四十五度，所以呢，如果我们把这个 给他翻过来，把这个呢，给他翻过来，那么此时呢，我们就能召唤一个九十度的角，是吧？ 哎，他来一倍，他也翻一倍，那不就有九十度出来了吗？翻了之后呢，更重要的是，你翻过来的时候，这个九十度也被翻过来了，这个九十度呢，也被翻过去了，所以呢，他自带天生一个九十，这边一个九十，然后 这条边还和这条边都等于这个十，除了什么，除了什么，哎，能出 正方形吧？哎，所以接下来呢，我们来构造，构造好的，看好这个三角形被翻到了这来，所以这个角跟他一样，这条边是十的话呢，这条边也是十，这个角九十的话呢，这个角也是九十， 对吧？这个三角形呢，翻过来这两个角相等，然后这个是十的话呢，这条边也是十，以及呢，这个角和它相等，它也是九十度。 那介于阿法贝塔加起来是四十五，所以两个阿法，两个贝塔加在一起呢，就是九十度。所以首先这是一个矩形，其次还有一组零边相等，它就是正方形了，因此这个角呢，就是九十度。而且呢， 四条边长度都多少？长度都是十吧，刚刚好都是十。那这个是四的话呢，他就是四，他就是六， 这个是 x 的 话呢，他就是 x， 他 就是十减 x。 好 嘞，现在目的就是要去求 x 吗？那你知道放到哪里去求 x 吗？ 是的，下边还有一个直角三角形。那我们可以利用列勾股定律方程，列出一个方程来，只含有一个未知数，那肯定就能解了吧， 你想想看你的方程是什么样的？ ok， 我 的方程写好了，这边有一个 x 方，这里有个 x 方，所以抵消掉了，它本质上是一个一元一次方程解出来，呢 个唯一的解 x 等于七分之三十，你能解出来这个解吗？所以啊，看到四十五度不用慌，哎，给它翻一翻，变成九十度，利用绊脚模型来解这道题。

吃透绊脚模型的这三个核心结论，考场压轴题，遇到直接秒杀，轻松拉开分叉！ 首先我们来了解一下正方形绊脚模型的主要特征，帮助我们快速识别题型。在一个正方形里面有一个四十五度角，从顶点出发，这就是典型的正方形绊脚模型。识别完题型，直到下面这三个结论，就可以闭眼快速锁定答案。 第一个结论，线段 e、 f 的 长度等于 b e 与 d f 的 线段之和。第二个结论， a e 平分角 b e f a f 平分角 d f e 即 a e a f 均为角平分线。第三个结论，三角形 e、 c、 f 的 周长等于正方形边长的两倍。接下来通过一个例题带大家实战演练一下，我们可以先暂停看一下题， 暂停回来由角 m a、 n 等于四十五度，我们可以快速的想到半角模型 有正方形半角模型的结论三，我们可以知道三角形 mcn 的 周长等于正方形边长的两倍，所以 mcn 的 周长等于两倍的 ab 等于二倍。根号二，所以这道题的答案我们选 c， 直接秒杀！

好同学们，今天咱们来学快解四十一绊脚模型，专门解正方形里顶点处出现四十五度角时的线段问题，中考三年八考的高频考点。 好同学们，咱们今天来学一个超实用的模型，绊脚模型专门应对正方形里某顶点处有四十五度角的情况，求线段长度或角度。中考三年八考的高频考点， 咱们先看怎么识别这类题，核心条件就是正方形里某个顶点处出现了一个四十五度角。设问一般是求线段长角度或者三角形的周长。看到这个特征，马上反应套绊脚模型。 好，下面来看这个模型的四条核心结论。在正方形 a、 b、 c， d 里， m 在 b、 c 上， n 在 c、 d 上角 m， a， n 等于四十五度。这四条结论成立。记住它们，遇到题直接套，不用推导， 一条条来看。第一条， b， m 加 d， n 等于 m， n， 两段短的加起来等于那条斜线。 第二条，三角形 c， m， n 的 周长等于正方形边长的两倍。第三条，角 a、 m， b 等于角 a， m， n。 角 a， n， d 等于角 a、 n， m。 第四条，点 a 到 m、 n 的 距离恰好等于正方形的边长。四条都要记住， 记不住没关系，老师给你总结了十六字口诀，半角四十五对边两段和周长双边长角距都相等。跟我念一遍。 好，记住这句话，四条结论全装进去了，理论学完了，咱们现学现用，来看一道经典例题，三十秒拿下 来看题目。正方形 a、 b、 c， d， e 是 a， d 上的点， f 是 c， d 上的点，角 e、 b， f 等于四十五度。已知三角形 e、 d， f 的 周长是八。求正方形 a、 b、 c、 d 的 边长， 看到正方形顶点处有四十五度角。马上想到绊脚模型，咱们先标清楚， b 是 正方形的顶点， e 在 边 a、 d 上， f 在 边 c、 d 上 角， e、 b、 f 等于四十五度，这就是绊脚模型的标准形态。顶点处出现四十五度角，直接套模型， 用第二条结论，以 b 为半角顶点，那个三角形 e、 d、 f 的 周长等于正方形边长的两倍，已知周长是八，所以边长就是八。除以二等于四，就这么简单直接套出来了。 列式子，三角形 e、 d、 f 的 周长等于二，乘以边长 ad 八等于两倍 ad， 所以 ad 等于四，边长就是四。 对比一下，常规做法，要把三角形 a、 b、 e 绕顶点旋转九十度，证明全等，一步步推至少三分钟。用绊脚模型看到四十五度，直接套结论，十秒搞定，这就是二级结论的价值。 好，最终答案， c 边长等于四。记住这个绊脚模型，看到正方形顶点处有四十五度角。四条结论，直接用不用推倒？下次碰到这类题，中考三年八考一定要秒！

几何中的绊脚模型问题是中考中的重中之重，同时也是难点，考验同学们对于模型的识别和运用能力。 像这道正方形里边求 e f 线段长度问题，关键就是利用绊脚模型构造全等三角形，很多同学没掌握绊脚模型的核心，遇到就卡壳，别担心，老师今天就用这条视频详细讲解绊脚模型在这类题型中的应用，教你快速找到解析突破口来。我们看题 说在正方形背景之下，有这样一条线段， a p 点 p 呢，是边？ d c 的 中点，同时给了边长是六，所以 b p 和 c p 的 长度是很好求的，都等于三。接着有线段 e f， 你 看啊，斜了吧唧的放在正方形里头，这我们经常见到，对吧？我们讲奥特曼线那样的线啊，但是这道题目给到的是 e f 和 a p 两线段夹角，是四十五度，你看，关键的 突破口啊，就在于这里的四十五度夹角。最后让我们求的是线段 e f， 它的长度是多少？求这个具体的线段长。那么说到求线段长呢，我们总结一下初衷，阶段求线段具体长度的方法就三种， 相似勾股和三角函数，外加一个就是等面积啊，三个或者是三点五个相似勾股，三角函数和等面积。 那这道小题里边，我们要求 e f 的 长怎么办呢？那显然啊，这有正方形的背景，所以我想着大部分的可能我要用勾股定律来计算了，是不是 再加上四十五度特殊角藏在正方形背景里头，那马上就想到我们大名鼎鼎的绊脚模型。什么是绊脚模型呢？也就是一个大角里头啊，包含着一个角度一半的关系，并且有一对相等的 线段，这是我们经典绊脚模型的样子。那这道小题呢，没有出现九十度大直角里的，直接包含四十五度角，那怎么办？方法就是自己来构造啊， 怎么来构造呢？这道题非常明显，利用平移可以构造绊脚模型。如何平移？你看 e f， 我 把它平移一下，把 e 点去和 a 点重合，平移 e f 到 这样一个蓝色线段 a q 的 位置。那平移之后有什么？有这两条线互相平行对不对？ 那么两线平行又带来什么内错角相等呀？你看，刚刚这个四十五度特殊角，是不是就被我们成功转移到了九十度角的同一个顶点位置，变成了这个九十度大直角中包含着它的一半 四十五度。所以半角模型最常考的就是九十度里头含四十五度，当然还会出现的是一百二十度里头包含一个六十度。 那么出现半角模型经典样子之后，那你就别想别的了，哈哈，有了经典样子，我们就马上想想半角模型的经典结论。当然，半角的结论其实是比较多的啊， 我们这呢只来说最最最经典的一个，别的你都可以不知道，但只要看到半角模型，你脑子里边马上要想到的就是这样一条结论。你看啊， 中间这是四十五度角，左边这圈角我叫它角一，上方叉角，我叫它角二。角一，这里有一个直角三角形，对着的直角边是我的红色线段，角二上方也围出了这样一个直角三角形，对着的直角边是我的粉色线段，那接下来呢， 我把这个 p 点和 q 点呢进行连接，连接 p q 之后有这样一条绿色的线段。那么我的半角模型，它最最最经典的结论就是， 图中角一角二的和是四十五度，等于中间这个角，我叫它角三，那么角一对着的边，也就是 d q 加上角二对着的边，也就是 b p， 它的长度一定等于这个大角，也就是半角角三对着的边，也就是 p q， 这就是半角模型最经典的结论。说老师这个线段关系是怎么来的？非常简单，半角模型构造，旋转全等，把这个三角形 a b p 转到左侧的位置，两次全等证明出来的。今天我不讲证明啊，不会的给我留言。 那么我们接下来就利用这个经典结论，看看能不能帮助我们完成这样一个线段计算的问题。刚才咱说到了啊，我们想计算这个线段长，这个是有正方形的背景，有很多的大直角，所以我想到利用勾股去计算 在这里边不知道的线段长，我设作 x， 整个正方形边长是六，所以呢，这个 c q 长就是六减 x cp。 知道了，根据半角模型结论，绿色线段 p q 是 红色和粉色二者的和，也就是 x 加三。在绿色阴影的直角三角形中，根据勾股定律， 我们去列出勾股方程，直角边三的平方加上直角边六减 x 的 平方，等于斜边 x 加三的平方，从这去计算 x 就 ok 了。怎么算？非常简单啊，这是九加上三十六，减去十二， x 加上 x 平方等于 x 方加上六， x 加九，两边 x 平方向消掉不见了，那么依次项呢？是十八 x 长竖线合并完是三十六，所以算得 x 等于二。啥意思啊？你看啊，算得红色线段 d q 长度为二， 那接下来我想求谁？我想求 e f， 是 不是 e f 我 平移走了，平移到了 a q 的 位置，所以 e f 和 a q 是 相等的。那 a q 怎么算呀？红色阴影直角三角形中勾股定底直角边二的平方，所以这里边根号四十二倍，根十 a q 算出来了， e f 跟它相等就有了。好，那么这道小题咱们总结一下，出现了这样子交叉的正方形，内部两条线段，且夹角四十五度， 这时候我们想到利用平移把这个四十五度角转移到顶点，在九十度角顶点的同一位置，构造经典的绊脚模型的样子。有了，样子就是结论。那么经典结论，角一加角二等于中间的角三，那么角一所对的边加上角二所对的边，就等于角三所 所对的边。利用边之间的关系，在绿色阴影直角三角形中勾股方程求得线段的长度，最后再来勾股计算倾斜的 e f 相交的等线段就可以了。那这道题目非常经典，你学会了吗？

这道题目经常考，如果说在丢分的话，那就非常可惜。正方形中角一等于多少度？这个角十六度，这个角六十一度，角一在这里，它等于多少度呢？正方形每个角都是九十度，是直角， 那么这个角能不能算出来？九十减去六十一等于二十九度，那么九十减去二十九减去十六，这个角等于多少度？四十五度， 四十五度刚好就是九十度的一半半角模型，那么解决半角模型最简单的方法就是旋转，怎么旋转呢？把这个直角三角形旋转一下，旋转到这里啊，我们来旋转一下， 旋转到这里以后，那么这条边和这条边是不相等的，那么这个角十六度，这个角它就是十六度，对吧？十六加二十九多少？四十五度 啊，他是四十五，他是四十五，这条边等于这条边，这条边呢？共共。所以啊，这个三角形和这个三角形就全等了。 s， e， s， s， e， s， 全等以后对应角相等，那么角一和这个角是对应角的， 角一的度数就是它的度数，它等于多少？是不是一百八减去四十五，再减去六十一啊？所以呢，角一就是一百八十度，减去多少？减去六十一度，再减去四十五度 等于多少？等于七十四度，是不是非常简单？

初中阶段非常重的一个模型叫做绊脚模型，那么绊脚模型的基本图形啊，分这两种，一个是正方形里边，一个四十五度，哎，刚好是九度一半，所以给它起名叫绊脚模型。 这块的结论啊，是两个短边之合， b e 加上咱们这个 d f， 它等于我们这个 e f， 只要考绊脚模型，这个结论是一定能用的到的啊。那么这个进行延伸的话，就是刚才啊，我们这个 e 和 f 分 别在线段 bc 和线段 c 的 上，如果把它作为延伸的话，点 e， 它可以跑到这个位置，跑到 bc 的 延长线上了，然后点 f 呢，跑到这个 c 的 延长线上了，然后还保证这个角 e a f 等于四十五度，那么此时的结论咱们还是可以试试，看看它还是不是这个啊。那么这个是我们第一个半角模型， 第二个半角模型是一个等角值里边，然后有个四十五度，那么它的结论啊是 b e 的 平方加上 c f 的 平方等于 e f 的 平方。 那么同理，刚才我们这个 e 和 f 啊，都在线段 b c 上，我们做个延伸变形的话，就是点 e 可以 在上边啊，在这个上边，然后我们点 f 呢，跑到它的延长线上去了， f 跑到这个位置了， 此时这个角还是四十五度，那么此时咱们这个结论还变还是不变呢？那么孩儿们需要老师证明的，咱们评论区留言。

七下数学期末压轴的几何大题中，孩子们最怕的就是三角形，尤其像这道三角形和正方形结合的问题，很多家长都说孩子看到完全没有思路， 整个十二分的大题，最后一分不得简，刘老师教你一个方法，打穿一个类型，将这个类型的十二分稳稳拿到手。我们拿到题的第一步一定是读题勾画，涂上标注，而这一步统称为条件拆分。比如这里他告诉我们，三角形 a、 a、 e、 f 的 周长为八，而周长呢，我们用大写字母 c 来表示，而周长啊，说到底就是它的三边相加，所以我们把它转化为 a、 e 加 a、 f 再加 e、 f 的 长度就等于八。而第二个条件是角， e、 c、 f 是 四十五度。第三个也是同学们特别容易忽略的，那就是 a、 b、 c、 d 是 一个正方形，所以由此我们能得到四边相等，以及这四个角都是九十度。已知条件拆完了，咱们就进入第二步， 有所求去倒推。在这里，我们要求的是正方形 a、 b、 c、 d 它的边长，而正方形的边长相等， 所以在这里我们可以把它转化为求其中一边的长度，比如在这里我们就把它转化为求 a、 d 的 长度。而到这里我们发现我们所有的已知条件当中，能够含有线段长度的是只有这三条线段之和为八呀。而这三段线段中， a、 f 和 a、 d 有 关系，可是 f、 d 的 长度我们也未知，所以很多同学呢，坐到这里就卡住，不知道该怎么往下推了。那刘老师今天在这里告诉大家，只要我们以后遇到这样的一个大角当中包含了一个它的一半的一个角， 此时我们就要想到用半角模型，在这里 b、 c、 d 是 不是一个九十度的角呀？而这个角当中是不是包含了 e、 c、 f 这个四十五度的角， 四十五度是不是九十度的一半呀？所以我们就想到用半角模型通过旋转去构造全等，那这里是旋转哪个图形呢？我们看整个 b、 c、 d 大 角当中，除了这个四十五度的角，是被分为了一个 b、 c、 e 和 f、 c、 d 啊，去旋转 包含了这两个角的任意一个三角形，比如在这里我们就选择旋转 b、 c、 e， 比如像图上这样，我将三角形 b、 c、 e 旋转到 d、 c 一 撇这里由于正方形的边长相等，我是不是可以让 b、 c 刚好旋转到和 c、 d 重合呀？由于我们只是旋转了这个图形，那这个三角形本身的边和角是不是都没有发生大小的改变？所以 c、 e 等于 c、 e 撇，而角一就等于角二。那如果我在这里多标一个角三，由于这 b、 c、 d 是 九十度，中间减去这个四十五度之后，角一加角三是不应该等于四十五度呀？ 而同样的角一和角二相等，那角二加角三是不也应该等于四十五度？角二角三其实就是一撇 c、 f 这个角，所以我们在这里写上角一撇 c、 f 等于四十五度。我们从图像上发现，这个 e、 c、 f 不 也是四十五度吗？ 所以这两个角是相等的，并且由于旋转，这个 b、 e 是 不是也和 d、 e 撇一样长？而我们之所以旋转，是为了去构造全等三角形， 在这里我们发现 ec 等于 ec 撇，角 e 撇 c f 等于角 e c f 再加上 c f 是 一条公共边，这三个条件结合我是不是能够证明到，三角形 e、 c、 f 是 全等于三角形一撇 c f 的， 而全等就用对应边相等，也就是 e f 应该是等于一撇 f 的。 那有了这个新增的已知条件之后，我们来看要求 a、 d 长度是不？我们刚刚说过，只能从这三段线段和为八入手呀， 只有它有具体的数字。而这里我们发现 e f 可以 替换为 e 撇 f 了，也就说我们能得到 a e 加 a f 再加 e 撇 f 就 等于八，而 a f 加 e 撇 f 是 不是就整个 a e 撇啊？ 所以 a e 加 a e 撇等于八，而 a e 撇当中，我们发现 d e 和 b e 是 相等的，那我们不妨再把 a e 撇给它拆开，给它拆分为 a d 加 d e 撇，是不是出现我们要求的 a d 了？也就是 a e 加 a d 加 d e 撇等于八，再结合我们已知的 b e 等于 d e 撇，给它换掉，得到 a e 加 a d 再加 b e 等于八，而 a e 是 这一条 a e 加 b e 其实就是谁呀？整个 a b 对 不对？那也就是 a b 加 a d 等于八，而 a b a、 d 这四条边都相等， 我可不可以把它替换为二倍的 a d 啊？那二倍的 a d 等于八， a d 它就应该等于 四了，也就是我们这道题当中要求的正方形的边长为四，而这个半角模型啊，是三角形五大倒角模型之一。 其他几个模型我都已经给孩子们整理好到电子版资料当中了，并且花了十天的时间，在全国近三百套期末真题卷中给每个类型配了易错典型例题和详细解析，直接领回去就能使用方法用对事半功倍。