非实对称矩阵怎么正交变换化为二次型

侯老师今天跟我们分享一个二次考研的坑吧。好啊，这个大家在做二次行的时候一定要注意啊，他这个矩阵 a 如果不是十对称矩阵，一定做一个 a， 加上 a 的转制除以二变成十对称矩阵，否则这块丢分实在是太多了。感谢侯老师。

数学师思维体操，我是考研数学杰哥，关注杰哥，学习更多的考研数学技巧。今天呢，杰哥再给大家分享一道二零年的考研真题啊，那这个真题呢？呃，相当的好，那他考察的是我们实践性矩阵的正交相似对角化，在 plus， 咱们一个传递性， 很多同学呢，实际上，针对于十六乘，举证他的这个相似对角化呢，还是感觉有点有点迷啊。那么针对于我们相似的传递性呢，也做过一些题目， 比如说，哎，给你一个矩阵 a， 给你一个矩阵 b， 让你去找 pene ap， 等于我们的 b， 哎，这个同学们呢，是会找的，这时候 ab 呢，是任意矩阵都可以，不一定非得是十对称，但咱们考研真题考到了一道这样的题啊，同学们可以来看一下啊。 呃，说这样一个二字型经过正交变换，他化为这个二字型，那我们要去求一个正交局 n q 啊。那么仔细分析下这个题目啊，一个二字形经过阵交变换化为另外一个二字形，它背后能够得到什么样的结论啊？实际上，呃，复习比较好的同学应该能够直接写出来，你看啊， 我们 f x 一 x 二这样一个二次形，应该写成一个 x， 转至 a x 二次，行吧，好，把咱们的举证 a 写出来。呃，主角线一四好，负二负二 x， 这是我们 f 二字型啊，那我们有一个 g y 一 y 二二字型，它是我们的 y 转制 b y， 那就是 y 转制，我们把 b 写出来，那 a b 二二 y， 好，现在说我们 f 这个二字型经过 x 等于 q y 这样一个正交变换，转化成了呢，我们另外一个二字型， 那好，既然经过这样一个变换，我把 x 等于 q y 往往里边带吗？那是不是就得到一个 x 变成 q y？ 没毛病吧？ a q y 没毛病吧？好，我代入之后，这是不是一个 y 转至 q 转至 a q y， 也就是这个二字型，经过 x 零 q y 这个变化，变成这样一个二字型，而这个二字型呢，跟这个二字型呢？他俩呢？直接相等，那他俩相等的话，说明这一部分和这一部分是相等的。能不能听懂， 听懂同学扣个一啊，那也就是说我们得到什么？得到了矩阵 b 是 q 转至 a 一个 q， 对不对？哎，又，因为咱们 q 是正交矩阵，正交矩阵的话，正交矩阵的逆和转制是相等的，所以我这写成 q 逆 a q 也是一样的。那我是不是得到 q 转至 a， q 等于 b， q 逆， a q 等于 b， 也就是说 a 和 b 合同，且 a 和 b 呢？答案相似， 所以同学们复习比较好的同学看到这一句话，应该能够直接得到 q 转至 a， q 等于 q 呢？ a q 等于我们的 b， 如果你没得到，那么今天通过杰哥的讲解呢？那咱们把这个知识点给补上好不好？哎，补上的同学呢，给扣个一啊！我相信很多同学呢，还是非常认真听杰哥的每天的这个分享的啊，好，那么 这让我们看啊，他说 a 大于等于 b， 叫我们第一问呢，去求 a b 的值。呃，那这时候我们看啊， a b 的值怎么算？ 那所以两者相似吗？哎，所以我们得到什么？首先，一个他俩 g 是一样的，这个矩阵和这个矩阵他俩的 g 是一模一样的， 所以一加四等于 a 加 b。 其次呢，它俩行列式的一样，那这个举证行列式呢，是四减四等于零啊，那就是说 a b 减四了。好，你说 a， b 等于四， a b 等于四， a 加 b 等于五，那只能说明我们 a 呢，是四， b 是一。因为题目中说了 a 大于等于 b， 所以这是咱们这个第一问啊。好，接着呢，我们再看第二问，说，求正交举正 q， 现在摆在我面前的是矩阵 a 已知，矩阵 b 已知。我们现在去求咱们的矩阵 q 啊。那么 a 和 b 呢，实际上都是十对称矩阵啊。所以呢，我们都知道十对称矩阵啊， 十对正矩阵，一定存在一个正角矩阵 q 使得 q 转至 a， q 等于对角阵。 如果 a 是十对称矩阵啊，一定会存在一个正角矩阵 q 使得 q 转至 a， q 等于 q， 哎，等于对角阵啊。所以现在呢，我去把我们矩阵 a 呢，它这个正角矩阵给求出来。好， a 减栏目的 e 整体的行列式。 哎，就是我们一减栏目的负二负二，四减栏目的整体行列时。好，那么我们这时候 后呢，是一减 m 的乘以四减 m 的，减去我们的四，等于我们零。 好，就接我们的这个特征值啊，那我们特征值呢，一个是五，一个是零，那显然了，因为这个东西也是一个之一矩阵啊，之一矩阵的话，一个特征值是它的 g， 另一个特征值呢，是它的，也是一个零嘛。嗯， 我们当然可以通过计算，当然也可以通过质疑举证的性质啊，但这时候我习惯把它写成这样一种形式啊，就是特征值呢，从小到大去排。 那好，那栏目单一等于零对应的特征项量 a 的啊，栏目单一等于零对应特征项量可在一呢。哎，我们直接求，就是说我们求 a x 等于零的解嘛，也就是一负二， 这边是一，这边是二，二一。好，那我们栏目得二等于五对应的特制前量。 好，那么这时候呢，我们就是一个一负二。哎，直接解出来了，用我们之一矩阵非零特征值对应的这个特征项量呢，实际上就是我们某一列项量，某一个列项量，列项量一负二嘛。 好，这是我们矩阵 a 的特征值和特征限量啊。好，接着呢，我将这个特征特征限量呢，进行一个单位化，因为它俩本身就正交啊， 我将他俩进行一个单位化啊，所以我就得到一个 q 一是什么？是二除以根号五，一除以根号五一除以根根号五负二除以根根 封号。那我们 q 一转至 a q 一一定等于 q 一 me a q 一等于对角阵零五， 对吧？啊，因为我们实质证举证啊，它有一个正交相似的一个特殊性啊， 我只需要像一般来讲，我们到这啊，实际上是我们的 p 是一个二一一负二，我就能得到 pe ap 等于对角证零五了， 对吧？对一般矩阵来讲，只要 p 的列项量呢，是它的特征项量，排列它可以相似的角化的话，我就可以写成它了，但对于十对称矩阵来讲，我可以把它它这个单位化之后，哎，我依然可以得到 q 转至 a q， 呃， q e 转至 a q 和 q e 逆 a q 相等。那么接着呢，哎，我可以把我们这个 b 也算一下啊。好， b 减栏目得以整体行列是 等于零啊，其实算出来呢， b 的特征值呢，也是一个零五啊，因为他俩呢，是相似的，对不对？我们已经推出来了啊，所以栏目的一等于零，栏目的二等于五。那有天说杰哥这边这个特征值要不要做一个区分？因为他俩特征值是一样的，我们这时候不做区分也没问题。 好，栏目单一等于零，这时候呢，我们就写一踏一行了啊，因为 b 的特征限量跟他毕竟是不一样的。 好，那我们的 b 呢，实际上是一个啊，一是说是四一二二嘛。啊，因为 a 是四， b 是一嘛。好，那么就是去解这个方程，二一 一二，负一，负一二，对吧？啊，负一二，然后呢，我们栏目袋等于五，哎，一套二是等于。好，这个时候呢， 非单根的啊，就是，呃，就是非零的单根的特征项链呢，实际上是它的某一列啊，那直接就是二一就可以了。二一。 好，那这时候呢，我就取咱的 q 二是啥呀？是这个一他一和一他二这单位化，因为他们都正交了啊，负一除高号五，二除高号五，二除高号五 一除格号五。好，那就是 q 二转至 a， q 二 等于 q 二逆，呃， q 二转至 b q 二啊，等于 q 二逆， b q 二等于零零零五嘛，对吧？好，那这时候你看啊， 它等于它，它也等于它，那它俩又相等，那是不是说说明， q 一转至 a q 一和 q 二转至 b， q 二相等啊？好，所以 q 一转至 a， q 一等于 q 二转至 b q 二。 那既然他俩相等了啊，那么这时候呢？呃，转制和逆是一样的啊，我把它写成逆，可以吧？啊，那两边同时 左乘一个 q 二，那就是 q 二， q 一转至 a， q 一等于 b 乘一个 q 二，那两边同时又乘一个 q 二的逆， 那就是 q 二的逆，等于我们的 b 嘛，而逆和转制是一样的，哎，要把它写成转制 好，这个时候呢，我就把它当做 q， 哎，我们就令 q 是等于 q 一 q 二的一个转制，那像你看这块，实际上就是 q q 的转制啊，你看 q 转制是不是 q 二 q 一转制啊？所以 我们得到 q 转至 a， q 等于我们的 b 码，对不对？好，那这个时候呢，我们这个 q 一 q 二转至可以算一下啊， q 一我们已经知道了， 在这对不对？好，二，出一个根号五，一出一个根号五，这边是一出一个根号五，负二出一个根号五， 好，我们 q 二转至 q 二，在这里啊，我给大家做一个转至，可以吧？ 好，那么就是负一除根号五，二除一个根号五，二除一个根号五，一除一个根号五，等于 左边出黄，右边出列，这就是零了，对吧？左边出黄，右边出列，这就是一。 左边出黄，右边出脸，这是负的五分之一减去 五分之四啊，这是负一了。好，左边出行，右边出列，这就是零。好，所以这个题目呢，咱们算到最后呢，就是，呃，长这个样子了，对不对？好，那么咱们涉及到咱们的十对式矩阵，正交相似，传递性体现在哪里啊？ 是不是体现在他跟他相等啊？我们的 a 和零五对角阵相似，正交相似， b 和零五对角阵相似，正交相似，可以存在一个 q 一转至 a q 一等于对角阵。另外呢， q 二转至 b， q 二也等于对角阵，那他俩互相相等，我们是不是可以通过这个把这个 q 呢给算出来， 所以这个同学呢，就是说大家在这个二次考研的学生呢，一定要把这个题目反复的去做，反复的要练习啊。我们考研呢考实力证举证这一块的知识呢， 还是相当相当多的啊，希望大家能够把这块能够做熟啊，那么真题这一道一定要拿下好不好？ 那如果视频对大家有帮助的话啊，希望大家一定要给杰哥一个呃，三连多多支持杰哥创作啊，听懂同学呢，也可以扣个六六六啊，给杰哥一个支持好不好？行，那我们下节课再见。拜拜。

考研数学预测精选大题，帮你把握出题方向，相信代数这部分还有可能出大题的一个出题点呢，就是他会把其次向信方用组的一些知识点和一个对称矩阵存在一个正交距，正可以正交对角化这样的知识点相结合来出一道题。 所以说我们就拿一个以这样出题点来出题的大题作为线性代数部分的一个预测题目。我们来看一下这道题，这道题他是给出了一个三阶矩阵，并且给出了一个三阶矩阵及其伴随矩阵他满足的一个等式，同时给出了这个矩阵他所对应的行列式的值。 这道题有两问，第一问让我们证明一下这个三阶矩阵是可以对讲话的。第二问他加强了一些条件，比如说 a 是十对称矩阵，然后又给了一个。其次线性方程组的一个信息，让我们求一个对称矩阵，使得这个对称矩阵满足这样的等式。好，这个题目我们就一问一问来看他分别用什么样的知识点 可以解决。那么第一问证明一个 n 阶的矩阵可以对角化，其实用到的指示点就是如果这个 n 阶的距阵他所对应的线性无关的特征下量有 n 个的话，那么这个 n 阶矩阵就是可以对角化。那么具体到这道题，我们只要证明 矩阵 a 有三个线性无关的特征项量，我们就可以得到这个矩阵 a 是可以对角化的。好，接下来我们就来看看根据体设给出的条件，能不能得出矩阵 a 有三个线性无关的特征项量。 我们看到他给出了一个 a 级 a 的伴随剧阵满足的等式，那么当我们遇到 a 和 a 的伴随剧阵这样的降低条件的时候呢，我们就要想到一个重要的 计算公式，就是 a 乘以 a 的伴随，据证就等于 a 他所对应的行列式的值再乘以一，那么这个等式是比较重要的一个公式。所以说我们看到既然提设给出了 a 和 a 的伴随，那么我们就想到要用这个公式来处理一下， 我们就把这个等式两边都成 a， 我们就得到了如下的一个等式，这就是一只等式，两边都成 a 都成 a 之后，我们得到了他，得到他之后，我们把刚才写出的这个重要的公式我们带进去并做一个整理，我们这样可以推到如下的一个等式，这个等式就是 这样的一个形式，同时又因为我们已知 a 他所对应的行列是值等于二，所以说我们进而便可以推得下面的这个等式， 进而我们可以把前面的这个矩阵多项式进行一个变形，他就可以变形成如下的形式，好，变形这样之后，我们接下来就来看看我们通过这样的一个等式，我们可以推出什么样的结论。 那么第一个我们可以由他得到的一个结果呢？就是我们知道 a 是方阵，那么 a 减二， e 和 a 加 e 也是方阵，所以说我们把这个两边我们取他对应的行列式的值，我们便可以得到这样的一个等式好进而由这样等式我们可以推出这两个行列式的 值是等于零的。得到了这两个等式之后呢，我们可以回忆一下这个矩阵他的特征值的计算公式，我们再跟这两个等式一结合，我们就可以得到这样的结论，就是 a 他可能的特征值就只有两个， 要不就是二，要么就是负一。好，接下来呢，我们又因为 a 是三结局战，所以说他的特征值呢，只能取三个。我们假设 a 的特征值分别是拉姆拉一、拉姆拉二和拉姆达三，那么我们又知道呢， a 他对应的行列式的值就等于他特征值相乘，而这个 a 的行列式的值呢，是等于二的，所以说这个等于二。 那么又因为我们刚才已经知道 a 可能取的特征值就是二或者负一，这两个值在这两个值里面取。所以说呢，我们再结合刚才得到的这个等式，我们便可以得到 a 的特征值就是二，负一和负一，这就是 a， 他所有的特征纸我们就求出来了。好，这就是我们通过这样的一个等式，我们得了 a 的所有的特征纸，我们就得出来了。那么通过这个等式，我们还能得到什么呢？ 这个我们就再回忆一下矩阵的字方面的一些关系是，我们知道两个矩阵相乘，如果等于零距阵的话，那么这两个矩阵的字，它的和是小于等于第一个矩阵的列数或者是第二个矩阵的行数的。所以说我们根据这样一个等式，就是 前面这个句阵乘以后面这个句阵，它是等于零句阵的。所以说我们就可以得到如下的一个关于这两个句阵句的一个重要关系，就是它小于等于三，因为这里面第一个句阵的列和第二个句阵的行都是三，所以说这是我们得到的这两个句阵 他等式的第一个关系。那么还有第二个关系我们也可以得到，就是我们这要用到一下另一个矩阵和他前面乘以负一之后，得到这个矩阵，他们两个制是相等的，所以我们用到这个 关系是之后我们这边可以得到这个矩阵的痣，就等于他乘以负一，他乘以负一就是他好，这两个矩阵值相等，那么这两个矩阵值相等，我们再加上后面的这个矩阵，他也是相等的，所以说我们就可以推出这样的等式，就是他 这个就相当是我们把前面的这个都加 a 加一的痣就可以了，他是等于这个痣加上他的。 等到了炸之后呢，我们再要用一个关于制的重要的不等式，就是，呃，两个矩阵制的合是大于等于这两个矩阵合的制的。 也就是说如果我们有两个矩阵 a 和 b， 那么我们有如下的一个等不等式，就是这两个矩阵制的合是大于等于这两个矩阵合的制的。所以说这我们只要把这个看成 a， 这个看成 b， 我们就有如下的一个不等式，就是他这两个矩阵他 制的和是大于等于这两个句阵和的制，也就是把这个句阵和这个句阵加起来，他是等于三一的，而这因为这都是三结的，所以说他的制就等于三。 通过这我们就可以推出关于这两个矩阵他第二个不等式好，那么我们把这个不等式跟这个不等式进行一个结论的合并，我们便可以推出这两个矩阵，他的和是等于三的。 好，推到这步，我们为了下面写起来方便，我们假设前面这个句正的字为二，也就是前这个句正的字为二，那么后面这个句正的字显然就是三减二。 好，得到这之后，我们就来看看能不能根据这两个结论以及前面的这个结论，我们推出 a 有三个线性无关的特征项量。好，我们知道 a 它对应于特征值为二的线性无关的特征项量的个数呢，其实就 和如下的这个其次线性方程组他的基础解系中向量的个数是一样的，那么这个其次线性方程组他基础解系的个数就等于他未知数的个数。 未知数的个数，我们假设是，嗯，未知数的个数减去这个系数的质，也就是这个值就等于这个其次，相信方程组他基础解系中相量的个数，而这我们知道嗯，是取三的，因为他是三结，所以说我们就可以得到这个。其次，相信方程组他基础解系中相量的个数就等于 是三减他的痣，而这个痣我们刚才射他是二，所以说他的个数就等于三减二。好，这时候呢，我们相当于就求出了这个矩阵那么大等于二这个特征值，他线性无关的特征项量，他的个数就是三减二个。接下来呢，我们用同样的方法可以求出这个特征值为负一的时候，他 他所对应的线性无关的特征项链的个数。因为特征指等于负一的时候，他的线性无关特征项量的个数呢，跟这个其次线性方程组中他的基础解系向量的个数是一样的，而这个基础解系项量个数呢，他又等于未知数的个数减去这个系数的质，而这个系数的质我们把它设成三加二，所以说这个质就等于 二。好，这时候我们就把这个矩阵关于特征指为二，他所对应的线性无关的特征项链的个数以及特征指为负一，他所对应的线性无关特征项量个数都求出来了。那么我们又知道，对于一个矩阵来说，他不同的特征指对应的特征项量，他是线性无关的，所以我们就可以 这两个就可以推出 a， 它所对应的线性无关的特征项量，就是这两个值相加就等于三。好，这时候我们就得到 a， 它所对应的线性无关的特征项量就有三个，而这个个数就等于 a 的接触，所以说我们就可以推出第一个，他要证明的这个结论就是正确的，也就是 a 可以对角化好。那么接下来我们再来看第二问，我们要怎么求？第二问，他是多给了两个条件，一个是 a 变成了十对称阵，然后呢又给出了一个其次相信方程组他的一个解项量来。 那么关于因为 a 是十倍层矩阵，那么他肯定是有个存在一个正焦矩阵，使得 a 可以正焦对角化的 好，这就是关于十给出十对称矩阵，他能给我们提供信息，然后他让我们求这个对称矩阵 b， 让 b 满 b 的平方满足这样的等式关系。那么既然要求 b， 那么显然我们要把 a 加 e 这个具体的这个矩阵表达是求出来。 接下来其实我们也就是要通过刚才得到的一致条件，看看能不能把 a 加一这个矩阵的这个表达式求出来。因为我们刚才已经分析了， a 是十队证据阵，他肯定可以增加对角化的，所以说我们只要能把 一个他正交对角化的那个正交距正求出来，那么 a 就可以求出来，那么 a 求出来，那么 a 加一肯定也就可以求出来。好，接下来我们就主要就是来求使得 a 可以正交对角化的那个正交距正 求这个证交据证，也就是我们知道对称据证，它肯定存在一个证交据证，使得这个等式成立，其中呢？ q 就是那个证交据证，而这个对称据证它就是等于这个 a 它的特征值组成的这个对角线。 好，接下来我们就是求这个 q， 求这个 q 呢？其实我们只要能求出 a 他的 n 个线性无关的特征项链，并把这 n 个线性无关的特征项链呢？利用史密特正将画法，把他正将画之后，我们这个正将这个 q 就求出来了。 所以接下来我们只要把 a 他所对应的这个三个线性无关的特征项链求出来就行了。那么这三个线性无关特征项链，我们其实只要求出来 a 对应于二这个特征值，以及 a 对应于负一这个特征值，他们所对应的先行五官的特征项量就可以了。那么通过这样一支和前面我们也说过，其实 a 它对应于特征值为二的特征项量呢，其实它就相当于这个其次线性方针组它的基础解系，所以说我们又已知这个它是这个其次线性方针组的一个非零解，所以说关于 a 的特征值为二的这个线性无关的特征项量，其实我们根据这个已知条件就可以得到它就是这个项链。 那么接下来呢，我们只要求出特征值为负一的时候，他所对应的现行五环的特征项量就行了。那么这个特征值为负一的时候，他所对应的特征项量该怎么求呢？因为又一致 a 是持对称据证，那么对持对称据证，他不同的特征值对应的特征项量，他是正交的，所以说我们假设答不答等于负一，他所对应的特征项量，这个阿尔法 他的坐标是这样的，也就是阿尔法。我们假设是他，那么既然正交，也就说这个项链跟这个项链他是正交的， 正交我们就知道他们的内集是等于零的，所以说求拉大等于负一，对应的等于相量二法呢，其实就是我们只要求出下面这个其次相信方程组，他的基础解系就可以了。那么这个其次相信方程组，他的基础解系呢？很好求，他就是有这样的一个基础解系，这个基础解系是有两个 解组成了，一个解是他，那么还有另一个解呢？是他。好，那么这个销量组就是这个其次先行方程组的一个基础解系，那么这 两个项链也就是对称据阵 a， 他特征只为负一的时候，两个线性无关的特征项链。好到这我们其实就把对称据阵 a 的三个线性无关的特征项链求出来，分别是这三个。好，接下来 我们只要把这三个项链进行正交化，然后单位化，我们便可以求出这个正交局正 q 了，那么对于这三个销量来说，我们发现他已经是正交化了，所以说我们正交化这一步就可以省略。我们只要把这三个项链分别单位化就可以得出 q， 那么这时候 q 就等于 分别单位化，就 q 就等于这样的一个三阶矩阵，这就是 q 啊。求出 q 来之后，我们又知道这个 a 他的特征值就是二负一和负一，所以说我们就有如下的一个等式，就是他乘以他就等于 注意这所有的特征值是要跟前面的这种特征项链相对应的，所以说你这第一个是对应于拉拿等于二的，那你这就写二，如果你第一个是对应于拉拿等于负一的，那么这就要写负一，就是特征值跟特征项量要对应起来，那么进而我们就可以退出 a 就等于他，那么到这我们其实把 a 就算出来了， a 算出来之后，我们同样就可以把 a 加 e 表示出来，那么这里面的 e， 我们知道 e 就等于 e， 就可以写成它，因为这里面 q 的转至，因为它是正交的，所以 q 的转至就等 q 的逆。好，我们用一下这个等式，这个等是 a 加 e 就可以写成这样的形式，那么呢，我们再把这 q 和 q 的转至，我们提出来，那么这个就可以表示成这样的形式。好，进而我们可以把中间的这个对角距对阵，我们写成这样的形式， 进而我们可以把中间的账再乘一个亿，因为你乘以一相当于是一嘛，所以说我们就可以得到 a 加一，就等于这样的一个形式，对于他 而易，我们知道他又可以写成旧的转制成 q， 所以说我们进而又可以把易写成这样的形式，然后写到这我们就发现 a 加 e， 我们就可以写成这两个矩阵相乘，而且我们发现这个矩阵跟这个 针是相等的，所以说我们只要把这个矩阵把它设为 b 就行了，那么这个就等于 b， 那么后面这个也等于 b， 到这我们就可以得到 a 加一就等于 b 的平方，而 b 呢就等于 q 乘以 这个矩阵，再乘以这个矩阵，而 q 我们刚才已经求出来了，我们只要把这个带到这个里面，这样可以求出币就等于根号三分之一，为了他好，到这我们就把币这个矩阵就求出来了。 那么这个第二本其实我们就是要根据已知给定的这些条件呢，来找到可以使这个矩阵 a 对角化的这个正焦矩阵，进而我们就可以求出他要求出的这个对称矩阵 b 了。 好，那么希望通过这个题目呢，可以让同学们对于其次线性方程组的知识点，以及把一个对称之阵可以正交对讲话的这个知识点相结合的，这样题目呢掌握的就比较好了。

我们来看第九题，第九题告诉你一个十对称正，就是个对称正， 那么他要就求啊，一个正交矩阵 q， 把这个矩阵 a 变成对焦矩阵， 这也是我们这个第五章特征值和特征项链的最基本题啊。嗯，不是很难，但是呢很繁琐，他的过程呢，比较长，同学们一定要熟练的掌握。我们来看，先求他的特征值 特征方程啊，通过特征方程求特退的距离，因为你是个十对称阵，所以呢，他比较特殊， 我让他等于零。我们 仔细分析啊，我们会发现啊，我们不具体减，不跟前面那个第一题不一样啊，我们我们分析一下啊，当那么大呀，如果等于三的时候，那么大等于三的时候，显然这个行列式是等于零的啊，就当那么大等于三的时候， 解这个方程组，我们会发现这个系数区的质啊，是一，他的质是一，也就他可以找到两个线性无关特征项链，或者说那么的等于三，这个特征值对应的几何参数， 几何重数是二，那么这个代数重数一定也是二 啊。这个是我们以前啊，在这个课堂中讲的一个知识点，就是你是一个十对称阵， 对称的啊，是个对称值，十对称正呢，就有这样的特点，几何重数一定等于你的代数重数， 几何重数就是那么呢等于三十，求他的线性无关的特征项链有两个，为啥有两个？因为你的智是一， 你把这个啊，你把这个浪不到等于三一减，整个这个句顺全是负一，所以他的智是一，所以他可以找到两个现金无关特产项链，那这个就叫他的几何从， 他是几何重数，一定他等于他的代数重数，那也就是说一定有两个特征值，那么一等于，那么的二就等于三，那现第三个特征值是多少呢？那么的一加，那么的 加纳姆的三一定要等于这个矩阵的计啊，这是我们特征值的啊，一个性质。我们先复习一下特征值有什么样的兴趣啊？所有特征值的和 就是一个矩阵啊，一个矩阵他有 n 个特征值，他把这所有特征值求和以后啊，他刚刚好就等于这个矩阵的气 句。真的技术上就是主对角线元素的成加，加起来的和 就是这个矩阵 a 的组，对角线元素的和就叫这个矩阵的 g， 这是一个性质啊。第二个性质是所有特征值的沉积，就是 a 有 n 个特征值，所有特 值的乘积刚好等于 a 的行列式。那我们这个题先用第一个限制，那我们就说你总共是三节方阵，你有三个特产值，我已经知道有两个三了，现在我求第三个特产值是多少， 我们来看这个军人的技术是多少，所以我们马上就知道三加三加，那么的三就等于二加二加二，于是我们就得出那么的三等于。 所以我们啊，这个题因为他是个时对称阵，他的元素呀，又非常特殊，所以我们就用这样一个奇怪的方法啊， 就把他的三个特征值都求出来，两个三，一个零。那现在呢，我们继续来求他的特征项链，当那么大，一等于那么大，二等于 三十，那么 a 减三亿， x 等于零减这个方程组，那这个方程组的系数矩阵就是要要要，本来是负一，负一，负一，对吧？那一化解就是幺幺幺，那么他拥有的 项量啊，线性无关的解项量啊，我们就是取 x 二和 x 三为自由变量，就是零幺，那我们就取负一，这是一个项链，另外一个项链呢？取零幺还是负一？你这道题是要求正焦矩阵， 这样要纯求证交据证的话，就要求这两个项链要垂直，所以这个时候呢，我就啊，嗯，书上的方法就是用史密特法把这两个项链 平交化就行了。在这里呢，我给大家介绍一个待定系数法，也就是满足这个方程 啊，满足这个方程又要和他垂直，那我就想和他垂直的项链，我可以编一个啊，编一个 a a b 啊，就这个项链我可以不写了啊，这个项链不写，就是你先写第一个项链，然后我再构造第二个项链，这个第二个项链呢，是和你这个第一个项链垂直的，你看垂直，你看你这负一，这一零，我就构造一个 aab， 然后把这个项链带着这个方程组里就得到了 a 加 a 加 b 等于零，从而得到二， a 加 b 就等于零，二 a 加 b 等于零，有五千多个减，我选一个整数减，那我就可以得到， 我设啊，设这个 a 等于负一的话，那么就是负一，负一二 必要是二， a 是负一，那么这个项链一定是这个方程组的结，同时这两个项链有垂直啊，那也相当于所以三这个特征值。我找到两个相互垂直的， 那么现在再找最后一个，当那么大三等于零时，那么三等于零的时候呢？那就是减 这个防尘组，结这个防尘组的系统矩阵就是原来的矩阵，我们对他进行出了行变幻。那么这个时候呢，有一个小小的技巧，因为我们 十对称阵有一个特点，属于不同特征值的特征项量一定是垂直的啊，有这样的特点，如果啊弱哎，是一个十对称阵 该有这样啊，如果是这样的话，就有这样一个定义，属于不同特征值，不同特征值的特征项链 一定是正焦的，属于不同特征值的特征项链是正焦的。 那现在呢，我们就说上面的三有两个特 针项链，我已经求出来了，那么现在的特征值是零，那我这个零这个特征属于零，这个特征值的特征项链一定于刚刚两个项链垂直，而我们注意看这个幺幺幺， 你把这个项链啊，你把这个横横项链立起来来理解的话，是不是这两个项链一定是垂直的，这个项链和这个项链也是垂直的，所以马上我们就得出，哎， x 等于零啊，或者你直接写捷德 啊，解这个方程得他的解就是要要要啊，这有个小技巧啊，能稍微快一点， 从而我们就得到了巨震 a 的三个特征项链，一一二三，那剩下来呢，就要构造这个震焦震了，震焦 证有什么特点？一定是个单位证，所以下一步呢，我们把这三个项链啊单位化就行，所以我们证交证 q 就等于把这三个项链单位化。负一一零， 他的长度是根号二，所以就是根号二倍的负一，根号二倍的一零好，负一负一二的长度是根号六，所以就是根号六倍的负一，根号六倍的负，一，根号六倍的二。 最后一个项链是幺幺幺，所以幺幺幺的长度是根号三，所以就根号三分之一， 根号三分之一，根号三分之一。哎，这就是要求的那个振焦矩阵，那么你就是要求这个振焦矩阵 只得他为对角阵。那最后再写一行 q 的逆乘 a， 再乘 q 就等于那个对角阵。对角阵的内容是什么？就是你求得的三个特征值， 三个特征值就是我们说的三三三三零。这道题就讲到这里。

画二次行为标准型的初等变换法我们首先介绍用初等变换画二次行为标准型的理论基础。 假设 a 为 n 阶对称矩阵 f， x 等于 x 的转制乘上 a 乘上 x 是矩阵 a 的二次形。 根据定理，二对称矩阵 a 可以合同到对角矩阵，也就是说存在非奇异矩阵 p， 使得 p 的转制乘上 a 乘上 p 为对角矩阵。 因此非退化先行替换 x 等于 p y， 将二次型 f x 等于 x 的转制乘上 a， a 乘上 x 化为标准型。于是我们只要用初等变换的方法求出非奇异矩阵 p， 使得 p 的转制乘上 a 乘上 p 为对角矩阵。 我们就求出了将二字型 f x 化为标准型的非退化线性替换 x 等于 p y， 而且也得到了这个标准型的所有平方向的系数。 下面我们给出用初等变换画二次型为标准型的方法。 假设 f 是以 x 一 x 二 x n 为未知数，以 a i j 为 x， i x j 的系数的 n 元二次行。 第一步，写出二字形 f 的矩阵 a 等于 a r e g， 这样 f 就可以简介为 x 的转制乘上 a 乘上 x。 第二步，将 a 放在上面， n 阶单位矩阵放在下面，构造二 n 行 n 列的矩阵 h。 第三步，用相同的出等列变换与出等行变换，将 h 上面的 n 个行构成的方正化为对角矩阵， 它的对角源意思为 b 一 b 二 b n 下面的 n 个行构成的方正，记住为 p。 第四步， f x 经非退化先行替换 x 等于 p， y， 得到的标准行为 f， x 等于 x 的转制乘上 a 乘上 x 等于 b 一 y 一平方，加上 b 二 y 二平方，加上 b n y n 平方。 下面我们讲两个例题。例七，用初等变换的方法将下列二字型 f 化为标准型， 并且求出所用的线性替换矩阵。第一步写出二次型 f 的矩阵 a， a 是一个三阶对称矩阵，接下来我们将 a 方上面 三阶单位矩阵方下面构造一个六行三列的矩阵。接下来将第一列乘以负二加到第二列，将第一行乘以负二加到第二行。 对得到的这个矩阵将第一列加到第三列，第一行加到第三行， 然后将第二列的三倍加到第三列， 第二行的三倍加到第三行。 到这我们已经将 a 化成了对角矩阵。进一步的，我们还可以将这个对角矩阵上面的对角 元二和四都化成为一。 现在我们将第一列乘以根号二分之一， 第一行也乘以根号二分之一， 那么一一位置的元素就变成了一。接下来我们将第三列乘以二分之一， 第三行也乘以二分之一，这样就将三三位置的元素变成了一。 现在我们将最后得到的这个矩阵的下面三行构成的三阶矩阵记者为 p， 显然 p 是非其意的， 也就是可逆的，并且 p 的转制乘上 a 乘上 p， 是一个对角元都为一的对角矩阵。 因此非退化线性替换 x 等于 p y 将二次型 f 化为标准型 y 一的平方加 y 二的平方加 y 三的平方。 而所用的线性替换矩阵就是我们前面给出来的三阶可逆矩阵 p 力八，用初等变换法将下列二次型 f 化为标准型， 并且求出所用的先行替换矩阵。 二次型 f 的矩阵 a 是一个三阶对称矩阵。 由第六我们知道，如果令 p 是这样一个三阶矩阵，那么 p 是非奇异的， 并且 p 的转制乘上 a 乘上 p， 是一个以二九十六负二为对角源的对角矩阵。 因此非退化线性替换 x 等于 p， y 将二次型 f 化为标准型 二 y 一平方加九十六， y 二平方减二 y 三平方。 我们在前面所给出的三阶矩阵 p 就是所用的线性替换矩阵。这一节就讲到这。

我们现在拿一个具体的十对深圳，具体的十对深圳来看一看如何找到一个正交集成 q， 使得 q 的逆乘 a 乘 q 就刚好等于一个对桥阵。 第一步求他的所有特征值，就是解这个特征方程组对角线剪那么大， 其他元素不变，等于零。那我最后解得他有这样三个特征值，二二负四。紧接着我就来求他所有特征项链， 当那么的一等于那么的二等于二十，就是解这个方程组组对角线减二，就变成了这样一个系数据证进行住的行变换， 就变成了行最减刑。他对应的方程组就是 x 一加 x 二减 x 三等于零，那么显然他是三个位置数，只有一个约束条件，所以可以找到两个 自由变化的量，也就是说你的代数从数是二从，我的几何从数也是二从，所以我是能对讲话的。那么我选 x 二和 x 三为自由变量的话，就是一零， 那对应的就是负一零一，对应的就是这一。那我写完以后，我发现这两个项链有一个特点， 不镇焦，因为我们要找镇焦，镇的话，你的每一列都得是两两镇焦的镇， 这两个项链不正交，所以我们就说我现在要把这两个项链啊变成正交项链，所以这就有一个正交化的问题。正交化，那我们很多教材中呢，有一个神秘特法，那我这里头讲一个 另外一个方法。现在我们来看第一个项链，我还叫原来构造出来的这个项链，哎，这个项链就不要了啊，不要了，我来构造第二个项链。怎么构造呢？ 你不是要镇焦吗？那我就来选跟屁一垂直的项链，我编上一个参数啊，编两个参数，哎跟哎， 你是正一和负一，所以我就是 a 和 a 底下是零，那我随便再编一个参数 b， 显然 p 二和 p 一是垂直的，这两个项链球内机 刚好等于零，那么 p 二你还得是这个防尘组的解放，所以把 p 二带进来，就得到了。 a 加 a 减 b 等于零， 那么 a 加 a 减 b 等于零，不就是二 a 等于 b， 所以我构造一个阵阵速节就可以得到 p 二，就等于如果把 b 认为是二的话，我 a 取一刚好就可以得到幺幺二，显然是这个方程组的减，那么幺幺二和负一一零也是垂直的， 那我们就实现了这个镇焦化啊，也就是找到了这个方程组两个 垂直的特征项链，下一步就该单位化。什么叫单位化？单位化就是把这个项链长度变成一， 那么非常简单，就是除以他的长度就行了。 q 一就是把屁一这个项链长度算一下，负一的方加一的方等于二，二开根号，所以 q 一我就构造出来了这样一个 根号二分之一，负一，根号二分之阵一和零这样一个项链，这就是我们的 q 一。那 q 二 q 二就是把 p 二单位化，那么 p 二的长度是一的方，加一的 方加二的方是六，六开根号，所以 q 二就等于根号六分之一，根号六分之一和根号六分之二。 扣一扣二。有了，现在我们来找，当有了再来找。当那么大 三等于负四十，你不是还有个特征值是负四吗？当那么的三等于负四十，对应的方程组系数巨甚，进行促导行变换就变成这样，我们就找到一个特征项链是 p 三， 显然这个 p 三和我们刚刚讲的这个 p 一是垂直了，我们可以验算一下啊，显然他是垂直了，这 p 三和刚这个 p 二也是垂直的，那我们只是验算啊，这个做出来以后肯定是跟他垂直的，剩下来我们就用单位画就行了，把它变成扣三。单位画了，那么他的方加他的方加他的方刚好是三，那三开根号就是根号三分之负一， 根号三分之负一和最后的是根号三分之阵一。于是我们就有俗于特征值二的两个特征项链， 单位的正交的两个项链属于负四的一个特征项链。找到了啊，这三个特征项链现在我就放到单位聚阵 q 啊，我把这两个项链分别写过来，就是跟 根号二分之负一啊，根号二分之正一和零啊。第二个项量是根号六，根号六分之正一，根号六分之正一和根号六分之 二，最后根号三分之负一，根号三分之负一和根号三分之一。 这就把这个聚阵的镇交聚阵找着了，最后写一行 q 的逆成 a， 再成 q， 就等于对角镇，这个对角镇不是别人， 就是我们刚刚找着的三个特征值二二十四，二二十四啊，所以这就实现了，我就找到了这样一个镇郊聚焦， 使得 a 跟这个对角阵相似，这个二二和负四就是 a 的三个特征值， 而这个矩阵的前两列就是二对应的特征项链，第三列就是负四对应的特征项链。

大家好，我们来看一下这个啊，这个基证相乘，三个哈，三个相乘，这个很简单的，我们算出来哈，就是这个样子 啊，合并一下是这个当集正式对称集正的时候，那就得出这个东西了，那对称就是 a 一二等于 a， 二一嘛，一三等于三一二三等于三二，所以得出这个结果。然后我们这个 n 阶方正， 如果挨大一阶的时候，就是行行行标大一列标的时候， 如果这个时候这个元素是零，元素值是零，那就是上三角阵，其实就是这个积正的上面这一部分啊，不等于零，下面这一部分等于零，下面这一部分是行 大一列嘛，对吧？那反过来就是下三角， 那这里有个有有有个推论，这个两个上三角积正啊，他的极啊，还是上三角正，或者说两个下三角还是下三角，那这个证明我们来看证明一下这个 c 等于 ab， 对吧？那当挨大一阶的时候呢？ 这个 ci 界等于这个东西啊，啊，乘出来是等于这个的，那这个它证明的时候，这个 ci 界是里面的一个元素嘛，对吧？ 那现在我们要要证明的是 i 大一节的时候， c i j 要等于零嘛？现在我们就假设这个元素是 i 大一节的情况，接下来把 k 这里用到了这个 k， k 分成两部分，前一部分是一到 i 减一，那一到 i 减一， 那对于这个 a 级证来说，因为它是，它是这个上三角证嘛，那这个 i 就大于 k 了， i 等于一到 i 减一的时候，是吧？ i 大于 k， 那这个这个就是等于零嘛？上三角证嘛， 那当 k 除以 i 到 n 的时候，那因为我们这里假设是 i 大一阶，对吧？所以 k 等于 i， 从 k 从 i 开始， k 从 i 开始，那那这个元素都比这个 这个元素，这个 k 都比接大吗？所以对于 b 啊，其中 b 来说，这个元素他是等于零的，所以当 i 大一接的时候， 按照这个表达时，我们就可以推出来啊，他的他这个元素每一个元素都等于零，所以这个戏啊，还是上三角机阵 啊，就是这种证明呢，我们这个这个思路一定要清楚哈，就是第一步，这是假设 i 大于 j 为前提，第二步把 k 分成两部分， 那方正的密啊，他就这个跟我们啊普通的数学运算差不多啊，这个也有这个，那这个 a b 不可交换的时候呢？这个不存在，可以交换的时候，这个存在， 那这个是多项式，方正的多项式，这个是 x 的 cat 多项式，对吧？那假设 a 是 ng 方正，那把 at 带掉，这里的 x， 这个就是方正 a， 这个多项时，就是方正 a 的 n 次多项时， 那如果这两个多项时哈，对于同一个啊，方阵 a 来说，它存在这种关，这种关系，当两个方阵不可交换的时候呢，那这个等式不成立， 当集中为对角症的时候呢？啊，这个多项时啊，是这个样子，那么那么他就等于这个了，写，写出来就这个嘛，对吧？ 那他啊，展开来，他就是这个样子，这个很容易吗？这个当对第一个元素来说，把这个第一 一个第一个相加，对吧？那不就是 f 那么大一吗？啊，那其他的都是一样对焦线上的元素， 那方阵 a 多项式可以类似一般的多项式进行啊，相乘啊，或者分解因式运运算，那如果因为这个单位证跟任意同届方程都可交换啊，他就存在这种关系。