二次函数的应用利润的含参最值问题

鹏哥出品，必属精品。大家好，今天我们一起来看一道二次函数含餐经济利润问题。做这种题啊，有两个点你是一定一定要把握好的。第一个， 我们做这种题，你的第一件事一定是去确定自变量取值范围，因为很多时候啊，他要你求这个最值是限定在某个范围内的， 好取出范围啊，这个还是比较简单，不难。第二，一个是比较关键的，这种题型一般都是要你寻找一个利润的最高点啊，要找最值，也就是说最值我们怎么办呢？有两种处理方案，一般来讲，如果说没有 参数就是纯数字啊，那这个时候我们去配方就可以了啊，大家会说配方怎么用啊？先不急，如果说有参数啊，比如说我们今天讲的这道例题啊，有参数，那怎么办呢？一般来说是去找对称轴， 寻找对声轴。好，那么做完上面这两件事，我的终极目的是什么？为什么要干这样两件事？其实很简单，我们的目的就一个，要确定 自变量，或者或者说曲减嘛。啊，我先简简略一些啊，要确定自变量曲减函数的增减性， 因为我们要求最值呀，要最值肯定要增减性才能找到最值吧。 如果说这个对称轴是取处在我们这个区间的内部的，比如说，呃，比如说我们的 x 是大于二十，小于三十， 然后你告诉我对称轴是二十三，嗯，那么你应该就知道在二十三这里，我们这个函数是会取到最值。当然了，看题目要求，有可能也是取两个端点的最值， 这个要具体情况具体分析，但是我的终极目的还是去寻找他的增减性好。我们用这道题为例，来感受一下到底怎么去处理相关问题。好吧， 留下题，他说这里呢。呃，有一种玩具，每件的进价是二十元，规定他说销售的利润不能低于十块， 注意关键词不低于，一般出现这种词汇都是来限定自变量取值范围的。好，后面又跟了一句，且不高于十八元啊，也是说我卖这个东西啊，卖这个东西 最少我要赚十块，最多我可以赚十八块啊，就这个意思，那么这里一个不高于。哎，这两个东西应该就是他限定自变量取值范围的。 比如说这道题，他设的是销售单价为 x， 也就是我们剩下的销售单价应该是什么呀？要在进价的 基础上多十或十八，你说 x 应该要大于等于三十，小于等于三十八，才能够保证利润在十到十八元之间啊。这是我们找到了自变量的去死范围了，还是比较简单。 再看他说销售，今天发现啊，如果我的定价是三十五块，那我每天可以卖出二百五十件。什么意思？他给了一个特例， 给了一组真实的数据，那么这个数据一般来说是用来干嘛的呢？一般来说是为了确定 表达式的，那种表达式里面啊，一般他是有某某个参数位置，那么给我一组真实的数据， 那我可以用它计算出这个参数的值啊，一般是这样子的，我们就放在这里啊，不急。但是销售单价如果每上涨一块钱啊，现在我去涨价， 如果涨一块，他说我的销售量会减少十元啊，那很显然的，你涨价了吗？买的人就会少一些，你说他现在走的是高端路线，涨价，那么他就销量减少。 额，他是该网点为了解决这个提价销售问题啊，设定了每天销售量是 y， 销售单价是 x 啊， y 和 x， 他把我说出来了， 看题目解啊，先不管这个题会不会做啊，写个解吧。嗯，第一问， 他说要直接写出 y 与 x 之间的函数关系，并且要求出字面量的去思范围啊，这里千万不要漏了啊。他这个第一问其实是有两问的， 我们先来解决这个取示范围吧，因为我们在分析题目的时候，其实已经把这一个问题给做完了。那么一一提 一只啊，这个 x 应该是要大于等于三十，小于等于三十八。哎，写这样一句话，那么你这个一分就拿到手了。好，再来看这个关系是， 呃，销售量和单价有什么关系啊？在这里我打个五角星啊，在这里，因为我涨价销量会减少。在谁的基础上减少啊？他给了一个特例哦， 我们可以以他为标准来，烈士说他就是我们列出函数关系式的基准。嗯，看看我怎么用，因为三十五块的时候是二百五十，也就说现在我的呃销售量以二百五为起点， 然后呢，因为在提价的时候会减少销售量，那我提了多少价呢？ 现在的单价是 x， 以三十五为基准的话，那么就要减去三十五，这个就是我提高的价格， 因为每提高一块，我的销售量叫减少十元，所以给他尝一个十，这个是不是我减少的销售量啊？那我用二百五减去他就是我现在真实的销售量。好，我把它换一下， 变形一下，那个就是负十， x 加上三百五加二百五，六百。 好，那么第一问就解决了。哎，别急，这只是你认为的解决了，这里其实有一个问题啊，我特地隐藏了，没有把它提出来。不知道你有没有考虑到，我们这里题目给的条件是上涨一块，减少十件的消失量。 你有没有发现我们 x 的取值范围是三十到三十八，但是题目给的基准是三十五， 他不是三十哦，他是处在三十到三十八之间的，我举个的，举个例子你就知道什么意思了。如果说我现在售价是三十六，哎，那么你很容易算出来，把这个三十六带到表达室里面，你就知道消 销售量，此时 y 应该是等于。呃，多少啊？二百六减去十应该是等于二百四十啊，这个是我的销售量，没有问题，没有一点问题。但是如果我现在告诉你 x 是三十二呢？ 又说我现在这个销售的单价低于你这个制定了三十五的时候，题目只说了涨一块，减少十十件销售量，并没有说降价的时候怎么处理啊，怎么办？ 没有影响，你反过来想一下，明白了，涨一块我销售量就减少十，那我现在降低一块是不是相当于我的销售量叫增长十啊？所以我们这个时候可以看作是增长。 我们把数据带进来看一下，你可能又有一个疑问啊，既然是增长，你这怎么是减法呢？不应该是加法吗？嗯，你看一下我把数据带进来你就懂了啊。此时 y 等于二百五十，减去十倍的三十二减三十五。没有发现啊，这个括号里面是一个负数， 前面是个减法，负负就得正，是不是相当于你的销售量在提升 啊？所以以后遇到这一种基准不是起点，而是中间的某一个数字的时候，不用担心，没关系的啊，我们照常会思路来做就可以了，问题不大。 好，我们接着往下做。第二问，当销售单价 是多少元的时候，他说这个获利是三八四零元啊，那我们现在得把这个每天的获利的表达是找到吧。好，我们获利舍啊，我们这个位置说吧，舍获利 为 w， 那我们一般这个利润就用 w 来表示啊。那么此时 w 应该怎么表示呢？ 很简单，每天嘛，那就用单利润乘以销售量是不是就可以了？单利是多少啊？现在售价是 x， 因为进价是二十，所以减去二十，这个就是我每一件的利润。那我卖了多少件呢？第一问，已经算出来了，是付十 x 加六百。哎，那么这个 就是我的单利润乘以销售量就是单每天的利润，也是获利。现在都是什么时候获利是三八四零呢？那我只需要怎么利 x 减二十乘以负十， x 加六百等于三八四零。解这个方程就可以了吧。啊，那么解的 解的 x 一，这里解，具体的解法啊，我就不解了，很简单，自己解一下。 x 一等于三十六， x 二等于四十四。 这里要特别注意一点的是什么呢？好，把这个擦掉，特别注意的一点解出来退出现多个点的时候 一定要考虑这多个姐都是符合条件的吗？不一定呀，因为我们 x 它是有限制范围的， x 必须大于等于三十，小于等于三十八， 所以这个四十四的这个解是不是要舍去哦，所以 x 只能等于三十六，别说，当售价是三十六的时候，获利是三八四零元。好，前两问还是不难，再看第三问， 网店解决每销决定啊。每销售一件玩具就捐赠 a 元给希望。希望工程这句话是什么意思？ 卖出去一件，我就捐 a 元，说相当人相当于我的单例减少了，我原来的单例是 x 减二十， 现在是不是还要剪掉一颗 a， 这个才是我的单例。好，那么此时他说每天扣除完这个捐赠的钱之后，我获得的最大的利润只有三千三， 那我是不是还是得把这个利润表达式表达出来？注意，这个表达式不再是第二任的表达式了，因为他的单例变了，此时的 w 应该等于 x 减二十减 a， 再乘以销售量啊，销售量还是没有变的，加六百， 这个就是现在的利润表达。是，呃，因为题目是要我们求这个最大的利润吧，要找到最大的利润。所以按照我们做题的方法，应该是要去进行配方，或者说找对阵轴，因为还有参数，还有参数的时候我们就不去配方了，因为这个配方 过程太繁琐了，没有必要我们直接利用公式找到对称轴就可以了。对称轴公式是什么呢？是直线 x 等于负二 f 分之 b， 所以我们得把这个函数先写成，一般是也是写成 y 等于 a x 硬邦加 b， x 加 c 的形式再行。 好，我们把它整理化解。 w 就应该等于什么呢？呃，这个化解过程你们自己去化解，我们把它写成结，结果写出来，负十 x 平方加上八百，加上十 a， x 再减去六百倍的二十加 a 二，那么这个就是我们现在整理完的，一般是这里面 我们按照 x 平方 x 和长竖向这样排列啊，要是此时这个副时相当于我们公式里面的 a， 这个八百加十 a 相当于公式里面的 b， 对吧？所以此时啊，对称轴 对正轴就为直线 x 等于负二一分之一，那就是负的负二十分至八百加上十 a 啊，简单整理一下，就是二分之一 a 加上四十。找到这个对胜轴之后，要注意 一个很重要的条件，题目说了， a 它是大于零，小于等于六的，我们用它是不是可以确定这个对胜轴的取值范围啊？哎，因为 a 是大于零，小于等于六的，所以好写在下面吧。 所以二分之一 a 加四十应该是大于多少？哦，应该是大于四十小于等于六，大进来的话就是三就是四十三啊。人家说对阵轴是在四十到四十三之间的， 你没有发现？现在我已经把我上讲这道题之前的两件事做完了，自编量取字范围找到了，这个对称轴也找到了。接下来就是我们最为重要的一点， 确定区间的增减性。怎么来确定，你看哦，这里要注意几个字，竖与型的结合，要做出这种题，一定要注意竖行结合思想。 我这里把简图画一下。好，这里是我们二次函数的图像，我们知道这个对胜轴是直线 x 等于，呃，二分之一 a 加四十，它的取值范围 取算为是这个四十到四十三之间的。 我们再看一下，我们题目中 x 也是自变量的取值含义是多少？自变量的取值范围是三十到三十八之间，永远比四十要 小吧，所以我们 x 永远在对称轴的左边三十到三十八之间， 那么从图像上是不是很容易就能够分析出来他的一个增减性，就是不论你的 h 什么值， x 在三十到三十八之间永远是随着 x 增大而增大的，所以可以做结论写在这里，所以 x 大于等于三十，小于等于三十八十， w 会随 x 增大而减小， 好的而增大。 也就是说，我们现在是不是能够找到什么时候取到最大利润呀？也就是说，当啊 x 取到最大值等于三十八的时候， w 也取到最大，最大值是多少啊？题目告诉我是三千三百，那此时啊，我把这个数据带到 这个 w 里面，是不是就可以找到 a 的值了？所以带进来三十八减二十减 a， 再乘以 乘以负的十，乘以三十八，加上六百，应该 等于三三零零，所以可以解得啊，这里是个一元一次方程，很容易解了啊，解出来就等于 a， 应该等于三。 好，那么截到这里，我们这道题就算做完了。这道题的难点已经告诉你了，就是怎么去确定他的增减性，而找到这个对子，你知道按部就班的来就可以了。取，找到这边量取示范围，再找到 对称轴，找到对称轴，再利用这个对称轴和自变量取值范围的一个位置关系。当然还有一个很重要的，这个二次函数的开口方向也说减。童年绘画，因为这里呃二次项的细数是副食，开口是朝下的，所以才 是单张机子啊，这个随 x 增大而增大。好，那么这道题我们就讲到这里，难度还是比较高的好，自己课后去习书好。