高中数学必修一基本不等式

同学们好，我是来自北京市第二十二中学的数学教师马林。前面我们类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明和应用。 那么今天我们来学一个具体的不等式，基本不等式。我们知道乘法公式在代数式的运算中呢，有重要的作用，那么是否也有一些不等式，他们在解决不等式问题时，有着与乘法公式类似的重要作用呢？ 下面我们就来研究这个问题。在前面的学习中，我们利用完全平方公式得到了一类 重要不等式，任意 a， b 属于 r， a 方加 b 方大于等于二 a b， 当且仅当 a 等于 b 时，等号是成立的。 那么请同学们观察这个不等式，他的左边呢是两个数，平方的和，右边呢是这两个数乘积的二倍。 我们知道平方结构呢，对这个要求比较高，所以呢，我们是否可以想一想，用一个数字来代替这个平方结构呢？比如说，我们可以用 a 来替换 a 方， b 来替换 b 方， 那么当然这里要求 a 与 b 要是非复数，那么又因为 a 和 b 如果是零的话呢，这个不懂事，研究起来意义也不大。所以呢，我们要求 a 和 b 都大于零， 那么对于这个不等式，右边原本呢是 a 和 b 的乘积，那么既然我们用 a 替换了 a 方，那么用什么来替换 a 呢？ 所以在这里特别的我们就用根号 a 和根号 b 来分别代替我们刚才上市中的 a 和 b。 请同学们想一想，你可以得到怎样的柿子呢？ 下面我们一起来求解一下。将根号 a 和根号 b 分别替换我们原本 a 方加 b 方大于等于二 a、 b 中的 a 和 b， 可以得到根号 a 的平方，加上根号 b 的平方大于等 等于二倍的根号 a 乘根号 b， 也就是 a 加 b 大于等于二倍的根号下 a 乘 b。 我们再把这个不等式调过来，就可以得到根号下 a 乘 b 小于等于二分之 a 加 b。 这时我们就得到一个结论，对于任意的 a 大于零， b 大于零，根号下 a、 b 都是小于等于二分之 a 加 b 的，当且仅当 a 和 b 相等时，等号成立。 我们通常称这个不等式为基本不等式。其中二分之 a 加 b 叫做正数 a 和 b 的算数平均数，根号下 ab 叫做正数 a 和 b 的 几何平均数。那么从基本不懂事当中我们可以看到，根号 a、 b 小于等于二分之一加 b， 表明两个正数的算数平均数应该不小于它们的几何平均数。 好，那么你能不能利用我们前面学过的不等式的性质来去证明基本不等式呢？ 在这里大家当然可以去联系我们前面学过的实数比大小，可以用作差比较法来去证明它。 那么今天呢，老师要给大家介绍一种新的方法，叫做分析法。分析法呢，是我们数学中 一种常用的证明方法，他呢是一种执国索因的这么一种方法，就是要从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直到最后 把你要证明的结论呢归结为判定一个明显成立的条件。这个条件呢，可以是已知条件，也可以是我们原来学过的定理、定义、公理等等为止。 那么我们要证明的基本不等式，对于 a 大于零， b 大于零，要想证明根号下 a， b 小于等于二分之 a 加 b， 只要证二倍。根号下 a， b 小于等于 a 加 b， 那么要证二倍。根号下 a， b 小于等于 a 加 b， 只要证二倍。根号下 a， b 减 a 减 b 小于等于零， 那么要正二倍。根号下 a， b 减 a 减 b 小于等于零，就是要正负的根号 a 减根号 b 块儿平方小于等于零， 那么要正负的根号下 a 减根号 b 平方小于等于零，只要正根号 a 减根号 b 括号平方大于等于零， 我们可以看到根号 a 减根号 b 括号平方大于等于零，这个式子是显然成立的，并且呢，当且仅当 a 等于 b 时，等号成立。 那么这时我们只要把上面这个过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了。 那么经历过上面的推导过程以后呢，大家可以看到，我们从要证明的问题一出发， 逐步去找寻每一个命题成立的充分条件，直至最后到五。这个式子是一个显然成立的公式。通过前面的证明过程，我们可以看到，我们经历了从要证明的问题一出发， 逐步寻求使命题成立的充分条件，直至最后归结为判定一个明显成立的公式五，也就是根号 a 减根号 b 括号平方大于等于零这个公式为止。这个呢，就是我们今天给大家介绍的分析。 那么下面请同学们想一想，我们在上面证明过程中，每一步推理的依据又是什么呢？ 比如说我们由二推一，也就是我们由二倍根号下 a 乘 b 小于等于 a 加 b 来推得，根号下 a， b 小于等于二分之 a 加 b， 是根据我们不等式的性质， 在不等式左右两边同乘以一个正数所得到的不等式与原不等式呢，是同向的。 这里呢，我们根据前面所学的中药条件的知识可以知道，这个二式应该是我们 一式成立的充分条件。那么由三式推二式，也就是由二倍根号下 a， b 减 a 减 b 小于等于零，推得二倍根号下 a， b 小于等于 a 加 b。 我们是根据不等式性质，在不等式两边同时加上正数 a 加 b 所得的不等式呢，应该与原不等式同项。这里我们根据前面的知识也可以知道，三式是二式成立的充分条件。 由四式推三式，也就是由负的根号 a 减去根号 b， 块平方小于等于零，推得二倍根号下 a， b 减 a 减 b 小于等于零。这里呢，我们是运用 完全平方差公式打开计算化减得到的。那我们也可以得出四式是三式成立的充分条件。 由五式推四式，也就是由根号 a 减根号 b， 括号平方大于等于零来推得负的根号 a 减去根号 b， 括号平方小于等于零。 这里呢，我们是根据不等式，在不等式左右两边同乘以一个负一，那么所得不等式呢，应该是与原不等式反向。 那根据我们前面的重要条件的知识，也可以知道，五是应该是四是成立的充分条件，显然我们五是是显然成立的，而且当且仅当 a 等于 b 时，五中的 等号是可以取到的。 那么经过上面的分析，大家能总结总结我们分析法的证明格式是什么吗？ 我们知道，因为分析法呢，是要从证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，所以分析法在书写过程当中呢，必须有相应的文字说明， 一般每一步的推理呢，都要用到要证什么什么，只要证什么什么的格式。 那么当推导到一个明显成立的条件之后呢？指出显然什么什么成立。 同学们，经过了从前面基本 不等式的代数解释，你是否能联想到我们从几何角度基本不等式也有背景和它来对应呢？下面呢，我们一起来探究一下。请同学们看我黑板上的这幅图， 在圆中 a、 b 呢是圆的直径，点 c 呢是直径 a、 b 上一点 a、 c 的长为 a， b， c 的长为 b， 那么我们过点 c 做垂直于 a、 b 的弦， d、 e 连接 a、 d 与 b、 d。 那么你能在这个图中分别找到二分之 a 加 b 和根号下 a、 b 所对应着哪条线段吗？同时你能从这幅图中得出 我们基本不懂事的几和解释吗？下面我们一起来看一下。 我们观察这个图形可以看到，因为 a、 b 是圆的直径，而 a、 c 的长是 a， b， c 的长是 b， 那么 a、 b 的长就是 a 加 b， 那么二分之 a 加 b 就应该对应着是我们圆的半径， 那么根号下 a、 b 又对应着谁呢？那么我们就要去想，在图中哪条线段有可能是由 a 与 b 的乘积构成出现呢？ 在这里我们比较容易能想到去证明三角形 a、 c、 d 与三角 形 b、 c、 b 相似，通过相似三角形当中对应边乘比例，我们可以得到 c、 d 的平方是等于 a 乘 b 的，那么 c、 d 的平方等于 a 乘 b， 也就意味着 c、 d 等于根号下 a、 b。 那么在这里呢，我们就找到了二分之 a 加 b 应该是对应着我们圆的半径，根号下 a、 b 呢，是对应着我们圆中弦长的一半，那么根据呢， c、 d 小于等于圆的半径， 我们就可以得出根号下 a， b 小于等于二分之 a 加 b。 当然，当点 c 与圆心重合时，也就是当我们 c、 d 等于半径时，我们就可以说上面的等号是成立的。 好了，在刚才这幅图中，我们从条件和基本不等式出发，发现了圆的半径长为二分之 a 加 b， c、 d 等于根号下 a、 b。 因此我们所学的基本不等式可以利用圆中直径不小于任意一条弦来得到解释。当且紧当我们弦过圆心时，二者相等， 我们把这个就可以看作是基本不懂事的几何解释。 前面呢，我们学习 起了基本不等式的定义，并且呢，利用分析法和不等式的基本性质，给出了基本不等式的证明，而且我们还学会了在图中给出基本不等式的几何解释。 那么下面我们来看一看利用基本不等式如何解决我们简单代数式的求最值问题呢？我们一起来看一下。利一， 已知 x 大于零，求 x 加 x 分之一的最小值。 请同学们观察我们要求的 x 加 x 分之一这个结构，我们发现这两个正数的成绩得一，那么联系前面学过的基本不等式， 我们可以利用正数 x 和 x 分之一的算数，平均数与几和平均数的关系来得到 x 加 x 分之一的最小值是二。 下面是我们解答的过程。因为 x 大于零，所以呢，根据基本不等式， x 加 x 分之一应该大于等于二倍的根号下， x 乘 x 分之一，也就是等于二。 当且仅当 x 与 x 分之一相等时，即 x 平方等于一，也就是 x 等于一时，等号是成立的。那么因此呢，所求的 x 加 x 分之一的最小值应该就是二。那么在这里呢， 老师要问大家，在我们写的过程当中，是否一定要写明当且紧当 x 等于 s 分之一，也就是 x 等于一时，等号成立呢？ 我们说是一定要写明的，因为只有当 s 等于一时，我们这个代数是 x 加 x 分之一，才能取到这个最小值二。 那么请同学们再想一想，如果我有一个 y 零， y 零呢，是小于二的，这时我们能说 x 加 x 分之一大于等于 y 零乘以吗？你能说 y 零就是 x 加 x 分之一的最小值吗？ 那我们知道，如果 y 零小于二的话， x 加 x 分之一大于等于 y 零确实成立，但是呢，我们找不到一个 x 零， 使得 x 零加上 x 零分之一呢，等于 y 零。也就是说你找不到一个 x 零，代入到 x 加 x 分之一中，使得他取到你这个 y 零。 那么所以我们 y 零小于二的时候呢，是不能说它是我们 x 加 x 分之一的最小值的，也就是说，只能当 x 等于一时，我们 x 加 x 分之一等于二，这个二才是我们 x 加 x 分之一的最小值。 通过立一的学习呢，我们知道，如果有两个正数，他们的乘积为定值时，我们可以求他们和的最小值，那么下面我们看一下这个立二，已知 x y 都是正数， 求证。第一问，如果 g x 乘 y 等于定值 p， 那么当 x 等于 y 时，和 x 加 y 有最小值二倍根号 p。 第二问是，如果和 x 加 y 等于定值 s， 那么当 x 等于 y 时，乘积 x 乘 y 有最大值四分之一 s 方。 下面我们先来看第一小题，如果两个正数 x， y 乘积等于 p， 那么当 x 等于 y 时，和 x 加 y 有最小值二倍根号 p。 在这里呢，因为 x 和 y 都是正数，利用我们前面学过的基本不等式，我们可以知道二分之 x 加 y 大于等于 根号下 x 乘 y， 又因为 x 乘上 y 呢，等于 p， 所以呢，我们可以得到二分之 x 加 y 大于等于根号 p， 当且仅当 x 等于 y 时，这个不等式当中的等号呢？乘以， 也就是当 x 等于 y 的时候呢？我们这个和 x 加 y 有最小值二倍根号 p。 我们再来看第二小题，如果两个正数 x 和 y， 它们俩的和等于一个定值 s， 那么当 x 等于 y 时呢？它俩的乘积有最大值四分之一 s 方。 还是根据我们前面学的基本不等式，当这两个正数合 等于定值时，我们知道根号下 x 乘上 y 应该小于等于二分之 x 加上 y， 因为 x 加 y 呢，等于定值 s， 也就可以写成根号 x， y 小于等于二分之 s， 进而我们得到了 x 乘上 y 小于等于四分之一 s 方， 那么当且仅当 f 等于 y 的时候呢？上面取到了等号， 经过立二的学习呢，我们可以看到，如果给我两个正数 x 和 y， 那么这两个正数的乘积如果是一个定值时，我们可以求这两个数和的最小值，当 这两个数相等的时候呢，取到等号，如果两个数和等于定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，也是当这两数相等的时候取到最大值。 好，那么经过我们这节课的学习呢，我们需要同学们掌握三点。第一， 首先我们要知道基本不等式就是两个正数的算数，平均数不小于他们的几何平均数， 用我们数学符号语言来表达，就是对于任意的 a 大于零， b 大于零都有根号下， ab 小于等于二分之一加 b， 当且仅当 a 等于 b 时，等号是成立的。 第二个呢，我们还学了用分析法，根据前面我们学习的不等式的性质，证明了基本不等式，并且我们在语文中呢，利用一些已知线段的大小关系，记住了基本不等式的几何特征。 最后，我们在利用基本不等式求代数式的最值时，首先要明确这个代数式是否能转化成两个正数的和或者积的形式， 并且他们的和或者积是否是一个定值，而且这个不等式中的等号是否能取得到。通俗的来讲呢，就是要做到一正二定三相等， 我们就可以利用基本不懂事来去求解代数式的最值问题。好了，这节课我们就上到这里，祝大家学业有成，同学们再见！

大家好啊，我是招数老师，天冷了，注意保暖啊。咱们呢，今天呢，讲第二章的第二节啊，讲这个基本不等式。 咱们呢，先回顾一下上节课所学的知识啊。咱们上节课呢，讲了这个不等关系和不等式。那么这块呢，咱们把这个不等式的一些性质说一下啊。第一个呢，是对称性啊， a 大于 b 和 b 大于小于呢，是等价的。 然后传递性啊， a 大于 b， b 大于 c， 能够推出来， a 大于 c， 可加性啊， a 大于 b 能够呢，等价于 a， c 啊， a 加 c 大于 b 加 c。 就是说不等号两段同时加减一个数啊，不等号方向 不变。第二个呢，下一个啊，是这个同项可加性啊，同项不等式的话，可以相加。所以呢， a 大于 b， c 大于 d 的话啊， a 加 c 呢，是大于比较力的。 然后可成性不等式两端如果同时呈上一个正数啊，不等号方向不变，乘以负数呢，不等号方向要变号。然后呢，同向可成性啊，然后呢，可乘方性啊，这个就是这个不等式的性质啊。 咱们呢，这回呢，看一下这个重要不等式啊。说对于任意的 a， b 属于 r， a 方加 b 方大于等于二 a， b 啊，当且紧当呢， a 等于 b 的时候啊，这个等号成立。这个呢， 咱们把这个等号不等式啊，右端的这个二 a， b 啊，给它挪到不等式的左端，这样呢，左端呢，就能够配方了啊，这一配方呢，就是 a 减 b， 括号的平方大于等于零。咱们发现呢，这是横成立的。所以呢，对于任意的 a， b 属于 r 啊，这个都成立。 这个叫什么呢？叫做重要不等式。一定要记住啊，当且紧当 a 等于 b 的时候啊，取得等号。 那么这时候咱们把啥呢？把这个 a 啊，给它换成根号 a， 把 b 呢，给它换成根号 b。 所以呢，就有对于任意的 a 大于零， b 大于零， a 加 b 大于等于二倍的根号下， a 乘 b， 当且仅当 a 等于 b 时区的等号。也就是说呢，用根号 a 替换 a 啊，根号 b 替号替换 b。 这样呢，就出现了一 一个另一个形式是不是？那么这个形式啊，就是咱们今天所要讲的基本不等式，又叫做均值不等式。说如果 a 大于零， b 大于零，则有呢，根号下 a b 啊，等于二分之 a 加 b。 咱们呢，刚才那个通过重要不等式变形的话啊， 是什么呢？是 a 加 b 大于等于二分之大于等于二倍的根号下已成 b， 对不对啊？把这个二呢除过来。所以就有根号下 ab 大于等于二分之 a 加 b。 他为什么要这么书写呢？就是为了告诉咱们啊，两个正数的算数平均数不小于他们的几何平均数。 什么叫做算数平均数？什么叫做平这个几何平均数呢？其中啊，这个根号下 a、 b 哎，就叫做 a 和 b 的几何平均数。根号下 a b 啊，叫几何平均数。 然后呢，二分之 a 加 b 哎，就叫做算数平均数。也就是说呢，两个正数的算数平均数大于等于两个正数的几何平均数啊，这要知道。然后呢，咱们试着呀去证明一下。 咱们呢第一节讲了，如果想判断两个数的大小的话，最实用的方法就是做叉法。嗯，那么咱们让二分之 a 加 b 减去根号下 a、 b。 然后呢，给它通分啊，通分通分以后啊，把这个 a 呢，看成根号 a 的平方， b 呢， 看成根号 b 的平方。所以呢，分子呢，就能够配方了啊，配方成根号 a 减根号 b 块的平方。所以呢，他是大于等于零的哎，所以当且紧，当 a 等于 b 的时候，哎，二分之 a 加 b 大于等于根号下 ab 啊。 这个呢，是用的做叉法。咱们呢，还可以用这个逆推法啊，逆推法叫分析法，也是从这个结论入手。咱们想啊，要想证明二分之 a 加 b 大于等于根号下 ab， 你只要证明什么呢？ a 加 b 大于等于二倍的根号下，已成 b 吧。 所以呢，你只要正 a 加 b 减去二倍的根号下 a， b， 哎，大于等于零。哎，你只要正呢，根号下 a， b 减根号下 a 减去根号下 b 的括号平方大于等于零。那么很显然， 那这是成立的。一个数的平方一定大于等于零啊。并且呢，当且点当 a 等于 b 时，等号成立啊，这叫分分析法啊，也叫逆推法。那么呢，咱们看一下这个例题啊，说已知 x 大于零，求 x 加上 x 分之一的最小值。 咱们想啊， x 大于零的话， x 分之一呢，就大于零。这样的话呢，根据这个基本不等式， a 加 b 大于等于二倍的根号下已乘 b， 所以 x 加上 x 分之一，他就大于等于二倍的根号下 x 乘以 x 分之一，所以等于二 啊。当且紧，当 x 等于 x 分之一，这样的话， x 方等于一， x 等于正负一，对不对？由于呢， x 得大于零啊，及 x 等于一的时候，等号成立，所以它的最小值是二。 那么咱们解这个题的时候，咱们会发现一个规律啊，第一个，这个 a 和 b 呢，必须得是正的，所以叫一正。第二个，这两个数的 g 呢，是个定值。 二定三呢，当切紧当 a 等于 b 的时候，等号成立。所以呢，这个就是咱们用这个基本不等式啊，或者说均值不等式啊，或者叫最直定理时候，需要注意的叫一正二定三相等。这三点呢，你要都得满足才行啊。 咱们接着看 说如果啊，已知 x y 呀，都是正数啊。让咱们求证， 如果 g x y 等于定制 p， 那么当 x 等于 y 时和 x 加 y 啊，有最小值二倍括号 p。 需要让咱们证明一下， 因为 x y 都是正数对吧？根据基本不等式，二分之 x 加 y 呢，就大于等于根号下 x y。 人家不是说了吗， x y 等于定制 p 吗，对吧？哎，所以二分之 x 加 y 就大于等于根号 p。 所以呢， x 加 y 就大于等于二倍的根号加 p， 当且仅当 x 等于 y 的时候，哎，他成立。 所以呢，这时候咱们会发现，如果机是定值的话，和有最小值是二倍根号 p 对不对？所以叫和 基定核最小哈，基是定值的话，核有最小值。第二个说已知 x y 都是正数啊。如果呢，核 x 加 y 等于定制 s 说，那么当 x 等于 y x 的时候，基是最大值是四分之 x 方，这是一样的啊。 又因为呢， xy 啊，是正数，所以根据均值不等式啊，或者基本不等式，二分之 x 加 y 大于等于二倍的大于等于根号下 xy， 由于它是定值 s。 这样呢，把 x 加 y 换上 s 啊。也就是说呢，根号下 x 乘 y 小于等于二分之 s 一平方 x， y 小于等于四分之一倍的 s 方当且仅当 x 等于 y 的时候，等号成立是吧？所以呢，这叫什么呢？核定积最大， 如果两个数的和是定值，它的积有最大值是吧？哎，那么做几道例题啊。 已知 x 大于一，说 x 加上 x 减一分之四的最小值。咱们想，他为什么要说 x 大于一呢？他是不是在强调 x 减一分之四 是正值啊？咱们说了，如果你要想用，基本不能试啊，得满足一正二定三相等，是不是？哎，所以呢，他得想办法得满足一正。那么要用的话，除了一正以外，第二个就是二定啊，对不对？基得是定值啊。 那怎么办呢？那 x 乘以 x 减一分之四不是定值啊。咱们呢，可以进行构造，可以进行配凑， 怎么配凑这边来啊，由于呢， x 大于一，所以 x 减一大于零。然后呢，把啊，这不是 x 减加上 x 减一分之四吗？对吧？哎，我给他减一个一，后面我再加一个一。 那么这样的话，你发现没有，这两个数的积就是定值了。所以呢，根据基本部分，是 a 加 b 大于等于二倍的根下，他俩相乘啊，这一约没了。 四开方是二，二乘以二呢是四，四加一呢，得五。那么到这没完事，咱们说了叫一正二定三相等。所以呢，一定要强调这个等号取得成立的时候对应的 x 的值。或者说你要验证等号能否取得成立。那么当且减，当 x 减一 等于 x 减一分之四的时候啊，这样一算呢， x 等于三的时候，等号成立，它的最小值呢，就是五。可以吧，你们随时听到哪块没理解上去的话啊，可以那个重复听一遍啊。或者说呢，给他暂停，自己好好理解理解，自己算一算 啊，这个就是进行的构造啊，或者配凑。下一个说二 x 小于零啊，大于三， 怎么说二 x 大于零，小于三啊，让咱们求这个数的最值。还是啊， 为什么要强调二 x 小于三呢？是在告诉咱们三减二 x， 怎么的大于零吧。哎，为了满足一正是吧。那么第二个需要满足的是二定的。 你没发现吗？这两个数的积和和是不是都不是定值？但是呢，咱们只要构造一下，就是定值了。你看三减二 x， 这是 x 吧，我只要把这个 x 给它变成二 x 啊，三减二 x 加二 x， 是不是就等于定值三了？所以呢，咱们这个就是这个思路啊， 因为二 x 大于零，小于三，那么二 x 呢？就大于零，三减二 x 呢，也大于零。 把三减二 x 乘以 x 啊，给他进行配凑啊，这不是 x 吗？我乘一个二，我再乘一个二，分之一，相当于乘一个二，我再除一个二，这样没有改变他的大小。 然后呢，把它两个就可以用基本不等式啦，对不对？这是啥？两个数相乘吧。哎，根据 基本不等式，根号下 x y 啊，根号下 x y， 它是不是小于等于二分之 x 加 y 啊，对不对？ 那么这样两端平方的话呀，我错了啊，这个是乘啊，这怎么的了？说乘还写个加号啊。 x 乘 y。 这样的话呢，不等式两端同时平方，不就有 x 乘 y 哎，小于等于二分之 x 加 y， 括号的平方是吧。 哎呀哎，括号的平方。这用鼠标点真费劲呢。完了，我还不会做课件，你说要会做课件的话多好是吧？这就下载现成的， 这样省事。我要是用黑板讲的话啊，这一节课四十分钟下不来，这样哈，少很多事，还得用它。以后咱们讲那个一些技巧类的题的话，用黑板。 你看，把三减二 x 看成 a， 二 x 呢，看成 b。 所以呢， a 乘 b 就小于等于什么呀？二分之 a 加 b 的括号的平方。嗯，这样的一算等于八分之九， 一证二定了哈，还得三相等，当且减。当三减二 x 等于二 x， 这样一算， x 等于四分之三的时候，等号成立，它的最大值那就是八分之九 啊。这也是用了一个配凑的方法。所以呢，你看啊，他遵循的原则呢，就是必须要一正二定三相等。然后这个题又变了， 跟刚才那个题是不是有点像。刚才那个题说的是 x 大于一的话，要求他的最小值，对不对？现在呢，给的是 x 小于一样求他的最大值。 x 小于一的话，是不就是 x 减一分之四是小于零呢，对不对？那么刚才呢，咱们配凑的话，是减去了一个一，再加上一个一，也是这样配凑 x 小于一，那么 x 减一呢，就小于零啊，一减 x 呢，就大于零，对不对？我配凑了啊，这块减去一个一，我这块再加上一个一，然后 x 减一不小于零吗？ x 减一分之四不小于零吗？我提个符号 啊，那就变成了一加一减 x， 加上一减 x 分之四，一减 x 是正的，一减 x 分之四呢，是不是正的。他这个括号里 里面就可以用什么呢？用基本不等式了，对不对？那么他这样一算，是不是大于等于他二倍的高下，他俩相乘大于等于。前面呢？还有个符号就变成了小于等于啊，这样一算呢，就是小于等于负四加一啊。三， 那么这块呢，你也可以啊，记另外一种变形。你说啥呢？我可以认为啊， a 小于零啊。然后呢， b 也小于零。有什么呢？有 a 加 b 小于等于负二倍的根号下 a 乘 b。 嗯，你也可以这么算。 这可以直接用啊，这节 挺有意思是不是？哎，他这个就是题符号啊，把它转成正的啊，以后的话，直接用 a 小零， b 小零， a 加 b， 小于等于负二倍的刚下一乘 b 就可以了啊。然后呢，看一个实际应用的题， 说呢，用这个篱笆呀，围成了一个面积是一百平方米的矩形的菜园。当这个矩形的边长为多少的时候，说篱笆呢，用的最短啊，最短的。这个篱笆的长度是多少？咱们呢 可以呢，设它的两边啊，一个是 x 米，一个是 y 米，对吧？那么篱笆的总长度呢？就是二倍的 x 加 y 是不是？或者说二 x 加二 y。 咱们根据基本不等式，二分之 x， x 加 y 呢，要大于等于根号下 x 乘 y。 也就是说 x 加 y 呢，要大于等于二倍的根号下 x 乘 y， 对吧。这是啥？ x 乘 y。 这不就是这个矩形菜园的面积吗，对吧？就是这个一百一百一开，根号是十，所以大于等于 二十。那么明显啊，明显 x 加 y 是大于等于二十的，所以二倍的 x 加 y 呢，那就大于等于四十。当且紧当 x 等于 y 的时候，这个等号成立。也就是说呢，当这个矩形 啊，他的菜园啊，边长是十米的时候，哎，而且是个正方形，所用的篱笆呢，最短，而且啊，这个一共用了多少米啊？哎，用了四十米。 这就是他的一个实应用。看第二个，用一段长为三十六米的立靶啊，围成一个矩形菜园，当这个矩形的变长为多少时，他的面积最大啊，然后最大面积是多少？ 那么根据题呢，咱们能够知道啊，他呢一共是长是三十六米，所以周长是三十六呗。那就是 x 加 y 的话，这样一算，是不是应该等于十六啊，对不对？嗯， x 乘 y 呢，表示的是它的面积， 根据基本不能试啊。钢号下 x， y 小于等于二分之 x 加 y。 刚才说了 x 加 y 的话，是不是等于十八呀，对吧，哎，所以呢，刚下 x， y 就小于等于九，所以 x y 呢，小于等于八十一。那么 这个面积的最大值就是多少啊？八十一吧。当且紧当 x 等于 y 啊， x 加 y 等于十八，完 x 等于 y， 所以 x 等于九的时候，等号成立啊，就可以了。 那么这节课呢，就讲这些。但是呢，我感觉这块呢，有一个非常重要的东西啊，叫做基本不等式量。这个啊，课件上没有，咱们得说一下。有时候咱们做题还比较容易。 a 分之一啊，加上 b 分之一。哎，分之二小于等于根号下 a 乘以 b， 小于等于二分之 a 加 b 小于等于根号下二分之 a 方加 b 方。 这个呢，叫做基本不等式量。前面这个，这叫调和平均数。 哎呀妈呀，调和，哎呀，这写在这真费劲呐。调和平均数啊，这个呢，是几何平均数，这是算数平均数。这个呢，叫做平方平均数。 平方平均数，它为啥要好呢？哈，这个调和平均数说的是两个正数倒数和的关系是吧？这个是两个正数的积，这是两个正 证书的和，这是两个证书的平方和啊。它的前提当然了啊，都是 a 大于零， b 大于零。 有的时候呢，有的题啊，让咱们判断不等关系啊。你看看是判断的是啥？是两个数的机啊，还是两个数的和啊，还是两个数的平方和啊，还是两个数的倒数和啊？你设掉哪个用哪个就可以了 啊。而且的话，后面这两个啊，挺有意思吧。咱们现在学物理的时候有个结论记不记得，只要是做云变速直线运动的话啊，中间时刻的顺时速度一定小于等于什么呀？中间位置的顺时速度 对不对？为什么？就是因为你不管是做云加速直线，还是做云减速直线，中间时刻的算式速度就等于他的平均速度等于二分之 v 零加 v 对吧？其实就是这个二分之一加 b， 这叫平均。呃，算数平均数对吧。哎。然后呢？小于等于什么呢？中间位置的 速度。中间位置速度就是根号下二分之微方加为零方啊，其实就是平方平数啊。你不管是做云加做云减，他都是要小于等于的啊。其实就是根据这个不等式来的啊。今天呢，就讲到这里啊，谢谢大家的这个观看。

啊，好，把基本不等事录一下，因为这几天是有一点点生病啊，就是扁桃体发炎了。然后呢， 微信里面好多同学都在问这个问题，就是基本不能试，现在是旧版的书，高二也在学，基本不能试 新版的书呢，高一的同学也在学，基本不懂事，所以咱现在有必要啊，把它弄一下。基本不懂事，咱好好讲一讲啊。首先 我还是一样从基础开始吧，就算会咱也听一下啊，从最原始的一个式子开始啊，还记，哎，写错了啊，应该是这个，咱应该是什么呀？ a 减 b， 我们就直 接一个式子吧，去推倒一下，不用不去用那个图形啊，书上可能用的是图形 a 减 b 的平方大于等于零，这个是不是一个横成立的式子？也就是不管他怎么着，他都是一个成立的式子，对不对？ 所以因为一个平方吧，完全平方肯定大于等于零，所以咱把它展开，得到了什么呀？首平方加上尾平方击倒二倍，我把它放后边，不放中间了，然后大于等于零，对不对？然后呢，咱把这个二 ab 移向，移到右边，所以就得到了一个什么呀？ a 方加 b 方大于等于二 a b， 对不对？哎，就得到了这么一个式子，你像他这个式子是一个什么式子？是一个横成立的，对不对 啊？也就是说，不管他怎么着，这个式子都是横长立的，不管你的 ab 有什么关系，是正的还是负的，无所谓，对吧？ 那咱看一下什么时候取得这个等号呢？咱不是 a 方加 b 方大于等于二 ab 吗？对不对？那你什么时候取得这个等号？这里要取等号，咱换个颜色啊。 这里要取得等号的话，那是不是上边就得取到等号？上边要取到等号的话，就是这里要取到等号，对不对？那一个完全平方要等于零，那只能他得零，对吧？ 那就说 a 减 b 得得零，所以说应该是 a 等于 b 的时候，对吧？哎，应该是 a 等于 b 的时候，咱这里是取得这个等号，对不对？所以他叫做一个重要 不等式，也就是他是一个横成立的式子，对吧？哎，咱理解他，然后呢？回来接着走， 回到哪呢？这一块看啊，这嗓子有点不舒服。 ok？ 看后边就是根号下 a 减去根号下 b， 他得平方大于等于零，有问题没有？他是横成立的式子吗？那肯定不是横成立的式子，对不对？因为他 ab 要跑到根号底下去。那， 那他这个前提是什么呀？ ab 都得大于等于零，对不对啊？ ab 都得大于等于零，那 咱这里啊，接着看啊，有点卡，是有点卡，我这老显示丢，真的。根号 a 减根号 b 的平方 要大于等于零的话，咱应该怎么着啊？然后呢？把平方给他展开，对吧？啊？平方展开，那就得到了首平方 加上尾平方 g 的二倍，咱放后边，那就是二倍的 a 乘 b， 对吧？是不是应该大于等于零啊？二，然后呢，再一下，那就得到了 a 加 b 大于等于二倍，根号下 a 乘 b， 对吧？哎，这个就是我们考的特别多的叫做基本不等式，对吧？啊？他一样的，你看他的条件是什么？第一个，他有一个 前提条件，就是 ab 必须是正的啊，当然你说等于零也可以，那咱就直接给他说是正的也行呗，因为等于零的时候，零减零等于零，这完全没有问题，对不对？嗯，然后 二个呢？什么时候取得等号呢？我又来了，你说什么时候取等号啊？他取等，上面就得取，等，这里就得取等，那还是 a 等于 b 的时候才能取得等号，对不对？嗯，还是 a 等于 b 的时候取等号，对吧？ 啊？前面我就推一下这个公式啊，所以第一个公式咱是推出来了，在这里，对不对？然后呢，我把这个二给他除过来，那就变成二分之 a 加 b 大于等于 什么呀？根号下 a 乘 b， 对吧？那我换个位置的话，就变成根号下 a 乘 b 小于等于二分之 a， a 加 b， 对吧？所以呢，我左右同时给他干什么呀？完全平方，对吧？我给他左右同时平个方，那得到了什么？那就是 a 乘以 b 小于等于二分之 a 加 b 得完全平方，对吧？这个就是书上给的一个式子。 那咱接着把它画一下，就是什么呀？ a 乘 b 小于等于四分之 a 加 b 的完全平方，对吧？所以你可以记上面这个，也可以记下 下面这个啊，这两个都可以，那咱现在的重点就出来了，第一个在这里， a 加 b 大于等于这个，对不对？第二个呢？在这里，哎， a 乘 b 小于等于他，对吧？这两个公式 你如果能理解，其实挺好理解的，你能理解的话，自己推倒一下。如果理解不了，其实也不重要吗？咱说公式有多重要呢？对不对啊？这个公式怎么推倒的？咱现在高一或者高二，你不知道也行。所以说上课的时候如果老师给你推了，你就推一下，不推 你也别埋怨你老师对不对？你把它背了知道吧啊？你先背，然后再学着去用。 ok， 那我们这两个自己记住啊， a 加 b 大于等于二倍，根号下 a， b， a 乘 b 小于 等于四分之 a 加 b 的完全平方，对不对？咱先不动他了啊，我加一页，哎，这一页看一下就行。 ok， 那现在就是基本不等式的重点 总结到位。就是什么呀？三个三句话，或者说三个字。拿个黑色的吧，叫做什么呢？一正二定 三箱倒。哎，就这 正定等这三个字，所以一正二定三相等。咱一个一个来解释一下啊，一正是什么意思呢？就是你只要用到基本不等式，必须要保 正，这两个数必须是正的。哎，这两个数必须是正的，正的，好理解对不对？大于零等于零，咱说了他肯定成立，所以你不用管他，二定咱自己看。二定分两路， 我是这么记的啊，二定分两路，分哪两路呢？第一路是基定核最小，基定核 最小。我问你什么叫做积积？就是乘积对不对？那就说 a 乘 d， 他得是一个什么呀？为一个常数。哎，这就叫做积定 积定吗？必须是一个长数啊，你要记住啊，长数就是一二三四啊，根号三这种数叫长数。积定是一个定值和是最小的。那这个公式就是 a 加 b 大于等于二倍，根号下 a 乘 b。 我们现在基本上只考这个式子了，哎，这就叫机定和最小二定。还有一个定叫什么呢？叫做和定机 最大，合定积最大。那合定也好理解，是什么意思啊？是 a 加 b 为一个长 合定吗？那就是他们俩加起来是一个常数，合定的时候乘积是最大的，那就是我们刚刚推倒的第二个公式，叫做 a 乘 b 小于等于四分之， a 加 b 得完全平衡，对不对？哎，所以我跟他们说的是什么呀？我说你平时学这个就跟念经似的，一正二定三相等，基定核最小，核定积最大，你反复去练， 练上二十遍，脑子里面就形成了，后边我们再教了怎么去做，所以一正二定用完以后，这个就是自己挑公式了，对不对？回过头来，哎，然后要看三相等，咱刚刚说了，三相等 什么意思啊？哎，就是当且仅当，当什么？当且仅当？ a 等于 b 的时候 取得什么呀？是不是取得这个等号？也就说咱取得。你看这个啊，机定和最小机定 a 乘 b 是一个数，那二倍根号在 a 乘 b 是不是也是一个数啊？那 a 加 b 大于等于这个数的话，那 a 加 b 就有最什么值？大于等于这个数，那他的最小值就是他，所以咱说他的和是取得最小值， 当什么时候取最小呢？就是当这个 a 跟 b 相等的时候，取得最小值。哎，是这个意思，核定积最大也一样的， 所以我的要求就是把他背的要特别熟啊，特别熟练。哎，基本上你把这两句口诀掌握以后，我们这个不管你现在是高一还是高二，咱都能解决掉，基本不等式， 明白吧？我们到后边再讲例题啊，今天怎么着？我把例题给录完了。那天没录完啊，反正传上去没什么意义，我就没传。那好，再来一遍，一正二定三相等，基定核最小， 格调机最大，对吧？哎，当前紧张 a 等于 b 的时候取等号。那咱看例题。