海淀空初三数学新定义

二零二二海淀初三期中新定义亚洲点赞收藏不迷路！哈喽，同学们好啊，我是李子老师，那么今天呢，我们给大家带来海淀区初三期中的新定义亚洲啊，当然 也是我们刚刚结束的一次考试啊，那么今年的这个新定义压轴呢，没有涉及到圆的问题，因为进度问题是吧，所以呢，主要呢还是考察了跟一蚕树相关啊，虽然这个题目当中呢，处处呢没有提函数， 但是其实处处呢又都透露着跟函数相关的一些知识，我们一起来看一下这个定义啊，那么他说啊，在坐标 c 当中呢，如果 a 点的坐标呢，是小 a， 小 b， p 点的坐标，给了一个如下的定义， d， x 跟 a 不等啊，也就是 a 跟 p 点的很 坐标不等，那么如果实数 k 满足这个表达是，那么我们就把 k 称之为点 p， 关于点 a 的一个距离系数啊，所以他有了第一个定义呢，叫做距离系数啊，这个并不难理解是吧， 但是我想请同学们想一下，包括我们在历次的讲解新定义的问问题当中呢，都一而再再而三的跟大家强调，同学们看这种定义啊，千万不要看表象， 你想一下，哎，这个柿子跟什么比较像呢？跟哪一个所学过的知识比较像呢？好，我们先打一个埋伏思考一下。接下来我们来看，他说，如果图形 m 上面所有的点啊，就是把图形 m 啊图， 图形是由点构成的是吧，那么都跟点 a 的距离系数求出来，那么求出来之后呢，那么你必然是不是就存在一个最小值啊，对吧？ 好，那么我们把这个最小值呢，称之为图形关于点 a 的距离系数好了，那么因此其实这个定义呢啊，从字面上来理解呢，并不复杂对不对？ 那么简单来说呢，就是两个，第一就是点关于点的距离系数怎么算的好，他给了我们一个公式。第二个呢，就是 图形关于点的距离公啊，那个距离系数是怎么算的呢啊，就是把所有的点图形上所有的点的距离系数都算出来，取最小的那个号，所以我们在这给大家提前标注一下这个东西呢，叫做取小运算哈，我 提前跟大家说一下，就同学们以后做多了就知道啊，你不要说这种题目，如果是取消运算，最后一般问你的就是最大情况， 如果是取大运算，最后问你的一般是最小情况。当然，无论是取小运算的最大情形，还是取大运算的最小情形，最后同学们算一算你就知道了，最终的结果呢，就是相等的情形，也就是说在那种情况下，极限情形是两者相等。 所以其实同学们想一下，你看一下这道题目的最后一问，图形关于点 a 的距离系数本身是一个取小运算，还问你最大值是二分之三，然后巴拉巴拉怎么样 啊哈，所以他的这个出题套路呢，非常之死刑了啊。好了，当然我们还是回到前面的定义 本身当中来，我们也一直跟大家讲啊，就是看这个新定义的问题啊，千万不要看表象，因为他告诉我们了，大家看一下我们把定义啊给同学们去进行拆解啊，因为这个 x 呢，跟 a 啊，他其实是不等的， 所以同学们想一下，也就意味着 x 减 a 呢，他肯定是不能为零的，对吧？好， 所以大家再把定义是改写一下，就是这个 k 等于什么呢？等于 xy 减 b 的绝对值，除以 x 减 a 的绝对值。 好，当然，我不知道有多少同学在学一次函数的时候，有老师给你去补充过一些结论啊，当然没有补充过啊，对于咱们这道题目呢，也没有影响啊，我不知道大家看到这个柿子有感觉， 学吗？如果我们把绝对值符号都去掉，你知道这个式子叫什么公式呢？叫做斜率公式，直线的斜率公式啊，也就是说一残数的斜率，斜率怎么算啊？纵作比较之差，除以横左边之差，不加绝对值 啊。不加绝对值的情况下，其实这个东西呢，很好推倒啊，同学们想一下看看，如果我愿意给你的假定，这个就叫 p 点，这个就叫 a 点，那么 ap 两点连线的斜率啊，也就是说，他们的 就是直线的 y 等于开 x 加 b 当中的那个 k， 那么应该怎么写呢？好了，我们我为了方便同学们理解啊，我在这啊，特意给大家写假定 a 连的坐标呢，就叫小 a， 小 b 是吧？ p 连的坐标就叫做 xy， 那么我问 ap 这一条直线，也就是说这个一单数的表达式，同学们会算吗？很容易算是吧，就是把点的坐标带入吗？是不是？ 好了，不要看书，语文数。老师，这是 xy 啊，这是 ab 啊，你要明确， xy 也好， ab 也好，都是具体的数字，只是数字是多少人家没告诉我而已，对吧？所以我们在这里补充一下，叫做 kap， 也就是说 ap 连线的这个 k 值应该等于什么呢？ 应该等于纵坐标之差除以横坐标之差。当然在这我不给大家推倒了啊，其实这是一个小的结论性问题， 那么重坐标之差除以横坐标之差，也就是 ap 这一条线连线就是一次函数嘛，依次函数的开值啊，那么他应该等于重坐标之差除以横坐标之差。而现在题目当中给我们的定义是什么呢？ 是纵坐标之差的绝对值，除以横坐标之差的绝对值。所以其实题目当中的定义 k 就是连线，两点连线 k 的绝对值啊，就是两点连线 k 的绝对值。 当然同学们呢，可以自行去验证一下，或者说你自己去推导一下他是不是这样的一个公式啊，是不是这样的一个公式？ 好，所以我们能够得到，你看嘛，这两者之差，差别就在这，是吧，差别就在这，当然我说了容易讲说，老师，我，我不知道这个什么什么两点连线的这个开值，是吧，那怎么算呢？ 好了，当然我我们也讲，就是说同学们去推倒的时候呢，你可以啊，这个结论呢，我们还是建议大家记住，就是任意两个点，当然很多 标不相等啊，那么他们的重坐标之差除以横坐标之差，那么这一个笔直就是这两个点连线形成依次函数的 k 值，请大家把这个结论记住了。当然了，在咱们这个题目当中，实际上就是告诉你这里的小 k 啊，这里的题目当中的这个所谓的距离系数啊，这个小开叫距离系数啊， 我们把它用大白话写一下啊，题目当中告诉我们的距离系数应该等于什么呢？应该等于两点 连线形成啊，依次啊，形成的依次函数。 呃， k 的绝对值啊，我就把它写成 kap 吧，就是任意两个点连线的形成的依次函数，他们的，呃，这个 k 的绝对值，我们叫 kap 的绝对值，好吧。 啊，当然了，我说了，其实这个你，你如果说一下子反应不过来，或者说原来从来也没有老师跟你讲过，也没关系啊，其实对于题目来讲不影响，但是有了它呢，你会方便，你会发现呢？解题起来呢，就要方便的多了。 好，所以其实你会发现第一个问题，咱就是说现在你都知道了，是这样的一个结论了，对吧？ 其实后面所谓图形关于点的距离系数，不用管他，原因很简单，因为那东西就是把所有点挨个算一遍，取最小的那个叫取巧运算，对吧？所以他其实本质上来讲就 只有一个定义，叫做距离系数啊。那么这个距离系数是什么？其实就是我们给大家翻译出来的这一句话，那有了它，这个问题就简单多了啊。咱们先来看第一问，那么现在说，如果 a 点跟 p 点重合，欧点重合，也就是 a 点的坐标是零零 p 一 p 二 p 三，那么关于他的距离系数是一，那我跟大家讲，现在你套公式来算就简单多了，也就是说两个点的纵坐标之差除以横坐标之差的绝对值等于一， 所以谁满足啊？只有 p 一和 p 三是满足的，大家看一下，二减零除以二减零的绝对值等于一， p 三当中呢，是四减零除以负四减零的绝对值还是一，对吧，还是一，其实大家也能算出来， p 二点跟啊，那个 a 一点的距离系数是多少呢？应该就是一减零除以负二减零的绝对值等于多少呢？二分之一，这个你用定义来算就行了啊，很简单。好，那么接下来我们再来看第二个问题， 他说啊，如果点 b 的坐标呢，是负二，逗号一点 c 的坐标呢？是，呃，一逗号一，那么 bc 就是一个什么啦线段了，对吧？那么关于点 aa 点的坐标是 m， 逗号负一，注意， a 点有什么特征呢？ a 你有什么特征？好了，重坐标肯定为一，对吧，就是 a 一定在 y 等于负一这一条直线上啊，也就是说他一定是在一条水平直线外等于负一啊，外等于负一是一条水平线好吧，那么一定在这一条线上，那么他 说他的距离系数小于二分之一啊，距离系数小于二分之一，实际上同学们来看一下啊，实际上大家想一下，线段关于点的距离系数要小于二分之一啊，线段关于点的，那也就是说线段上面的每一个点 bc 其实是一条水平线段，对吧？好，那我们刚刚也跟大家解释了，其实所谓的距离系数呢，就是任意两点连线啊，形成依次函数的啊，对应 k 的啊，绝对值。 好了，其实就是纵坐标之差除以横坐标之差的绝对值，对吧？横坐标之差的绝对值，所以同学们想一下看看啊，其实这个第二问呢，特好写，原因很简单，你有没有发现 bc 是个水平线段哦， bc 这个线段上面的任意的一， 咱们假定这个任意的一点就叫做，我就在底下写了，好吧，啊，就在这写了吧，好吧，就是我们假定设 p 点啊，在 ab 上或者说设 bc 上任意一点 啊，比这张任意一点的重坐标。 同学们想一下，比非上任意一点的重坐标是什么？一定是音吗？对不对？这个能不能理解？ 肯定旨意用 bc 也是个水平线段的，所以我们要保证距离系数小于二分之一，也就是看点 a 跟 bc 上哪一个点形成的 k 的绝对值是 最小的，并且要保证最小的还要小于二分之一，所以很显然这是一个单动态问题哦。单动态问题的核心考察的是什么？定向分析 是吧？定向分析啊，我在这就简单给大家写一下了啊。嗯，不给大家写特详细的了，什么叫定向分析？你 a 点反正在 y 等于负一上面，对吧？ 所以，那我就可以这么理解吧，假定，那他就是从左啊，特别靠左的位置，咚咚咚咚咚咚咚咚咚，一直往右移，对吧？一直移到右边特别特别大的地方，是不是就可以了？ ok 啊，当然了，这个其实不太难对不对？因为同学们能够直观的想，你不借助图形，你直观想都能想的出来，你想嘛，如果你这个 离的靠左呀，特别特别的远，此时他跟哪个点形成的距离系数一定是最小的呀，一定是跟 bc 的右端点，也就是 c 点，是吧？ 当然，反过来讲，呃，如果这个 a 点跑的特别靠右的时候，大家想一下他跟哪个点形成的距离系数是最小的呀？一定是跟左边的点嘛？是不是一定跟左边的点 好了，那么因此我们就很容易能够得到他，当然这个是我们借助啊，这个脑海直观想象的啊，那么因此你会发现，就是 a 点在左边跟 a 点在右边，一定会产生一个零件情况，一种情况就是 ac 啊，距离系数恰好等于二分之一，当然不可取啊。还有一种情况就是 ab 啊，距离系数恰好为二分之一，当然这种情况 也不可取，所以他们在两个零件位置分别往右跟分别往左，怎么样啊，就一定是满足要求的 好了，那么当然了，为了方便同学们理解啊，我在这里呢也给大家呢画了一个图啊，大家就能看得出来了，是吧，单动态问题呢啊，呃呃，单动问题呢？定向分析，假如说你看啊， a 点靠的特别远，大家想一下看看啊， a 点跟 bc 当中，哪一个点的连线形成的开的绝对值最小啊？大家注意啊，在这边我们原来在讲一次函数的时候啊，等一下给大家补一下，还有一个结论，叫什么 叫做开的绝对值越小，也就是说 ap 连线的绝对值越呃，形成开的绝对值越小，这个直线叫什么？越平缓，如果对应的绝对 值越大，那么这条直线就越竖直啊，越竖直，所以你要保证它的距离系数小于二分之一，就是两点连线形成的 k 的绝对值要小于 二分之一，也就是保证这条直线越平缓越好，对吧？所以一定是往两侧走的，那么在左边呢，他必然会出现一种零件情况，也就是说，此时于 ac 形成的距离系数刚好是什么是最小的？当然这个时候同学们其实可以算一下啊，恰好应该在负三啊，就是负三负一的位置 啊，因为这个时候大家能观察了出来，重坐标之差为二，横坐标之差为四，二比四等于二分之一，对吧？当然如果你往这走怎么样啊？就不满足了，对不对？就不满足了啊？因为这个值明显啊，要比。

二零二二海淀初三期末数学新定义压轴，点赞收藏不迷路！同学们好啊，我是栗子老师，那么今天呢，我们给大家带来海淀区初三期末的新定义压轴体的解析啊，因为这个呢，也是今天刚刚结束，对吧， 算是第一时间呢，给大家带来一个解析啊。那么这个题目呢，坦率来讲啊，就是最后一道题目呢，还是最后一问啊，有一点难度，前面的话，只要你把定义转化出来了，还是非常非常简单的啊，当然我们先来看一下这道题目啊， 那么今年这个定义给的特别的简单，对于一个点 p 跟一个线段 ab， 如果 pa 或者线段 pb 的垂直平分线，哎，看见这个吗？我们都知道了垂直平分线定理对吧，于线段 ab 有公共点，那么我们就把它称之为融合点啊。好了，非常非常经典的关于点的定义，当然我们要知道啊，关于点的定义的核心 啊，同学们应该听了，我讲了不少题目了，哈哈，我一向都是不太喜欢直接做题，那我们的核心就是你能否告诉我能否把这个定义转化一下， 问大家一个最简单的问题，我随便给你一个线段 ab， 你能够给我找出线段 ab 所有的融合点具体在哪一个位置吗？它具体能够出现在哪呢？如果你能把这个问题想明白， 或者说想清楚，那么我想接下来呢，你至少能得到一半以上的分，这个问题你想不明白， 做起来将会非常的困难。好了，那么当然我们知道这个定义的这个迁入点呢，一定在于字垂直平分线，我们都知道垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离怎么样啊？相等，所以同学们来看一下， 我们在这呢给大家随便画了一个线段 ab 啊，大家来看一下，就在这好了，那我们知道，假如我随便画了一个点 p 啊，随便画了一个点屁，那么我们看一下线段 ap 的垂直平衡线，那么这一条线，这一条线与直线段 ab 呢，有一个焦点 q， 那么因此这样以来呢，我们就把屁点称之为融合点了，是吧？ 那么我们反过来想，因为垂直平分线要于线段 ab 有公共点，或者说有焦点，那我就在 线段 ab 上任意找一个点 q， 如果我确定了点 q， 那么我想问一下啊，所有的融合在这种情况下的融合点能不能画出来啊？那就一定是在以 q 为圆心啊 qa 的长为半径的圆上，为什么？大家看一下， 如果我确定了随便画了一个点 q， 那么大家看 q a 跟 q p 是不是一定相等？也就说你在这个以 q 为圆心， qa 为半径的圆上，任意找一个点 p 啊，任意找一个点 p， 大家都看一下，哎，这个时候你看一下 ap 的垂直平分线是不是一定都是经过点 q 的， 对吧？好，那么也就是反过来想，假如我在 ab 上找到了一个点，这个点我假定就是垂直平分线于 ab 的焦点，那么 通过这个点，我就可以倒推出，在这种情况下的所有的融合点 p 应该在以 q 为圆心 aqa 的长为半径的圆上。那么当然大家都知道了，有无数个点 q 啊，那你就会产生无数个这样的圆，所以 大家会发现，如果我单纯以 ap 来看的话，所有的融合点在哪？就应该是在 啊，以 b 为圆心， aba 的长为半径的红色的圆上及其圆的内部都可以，对吧？因为实际上是蓝圆的， 上面的点屁都可以称之为融合点，当然因为有无数个嘛，所以大家看图还是能够直观看得出来，对不对？所有的融合点在这，当然了啊，另外一个还有个 pb 呢，对不对？另外一个就根据对称性我们知道，就是以 aa 为圆心， ab 的长为半径，再画一个红色的圆。所以实际上我们给大家总结一下， 只要你随便给我一个线段 ab， 我就可以画出线段 ab 的所有的融合点在哪？ 以 a 为圆心， ab 这个线段长为半径，画一个圆及其内部，同时以 b 为圆心， ab 的长为半径，画一个圆及其内部， 所以其实一个线段给我们了，那么所有的融合点是在这两个红色圆的边界进行内部，都可以称之为线段的融合点。 所以你会发现，这样一来这个问题就非常简单了，至少我想对于前面的第一问的一二小问还是非常容易求解，对吧？人告诉你， 你说啊，已知 a 点跟 b 点都已经有了，那么问大家哪一个是融合点？哪一个是线段 ab 的融合点？第二，如果在水平横线上面存存在着线段 ab 的融合点，求踢的范围是不是特别简单？ 哈哈，现在我们来看一下这个问题啊啊，大家来看一下，我们把图也给大家画出来了，刚刚已经跟大家说了对不对，以 a 为圆心， ab 的长尾半径画一个圆，以 b 为圆心， ab 的长尾半径画一个圆，两个红色的圆及其内部就可以了啊，两个圆及其内部就可以了。 那么因此看图说话，一眼一目了然。 p 一 p 三是融合点， p 二是吗？不是啊，不在里边对吧？当然，又要保证水平横线上面能够存在融合点，就只要保证水 y 等于 t， 这个水平横线能够与这两个圆怎么着啊？有焦点即可吗？所以上方相切 t 等于二，往下往下往下往下往下，下方相切 t 等于多少负二，所以在什么负二到二之间都可以，对吧？ 所以同学们看一下，只要你花一点点时间把定义转化出来，我给了你 ab， 那么所有的融合点在哪？把这个问题想清楚了，那我想就非常非常的简单了啊，所以在这呢，我们直接给大家呢，把这个答案写一下啊。第一问呢，一二想问我就不多说了哦， p 一和 p 三是融合点，小 t 的范围应该在负二到二之间。好，非常容易啊！那么第二个问题又来了，第二个问题，又是一个非常典型的看你一下就头疼的问题， 哈哈哈，因为什么？因为这里面的变量太多了，对吧？啊，我们来先来读一下这个问题啊，他说啊， 元欧的半径是四好了， a 点的坐标呢？是 a 零， b 点坐标是 a 加一逗号零，说明 b 点在 a 点的右边，并且 ab 在 x 轴上长度恒定等于一，对吧？ ab 是长度横定为一好，现在他说直线 l 啊，过点替零负一好，又是一个动态啊，我，我根本不知道直线然后怎么画吗？对不对？ 好了，那么他说啊，记啊，线段 ab 关于 l 的一个对称线段叫 a 撇 b 撇，那么现在对于呃时速 a 啊，就 a 也不知道多少，也就是说线段 ab 也是动的啊，直线 l 也是动的啊，这么一听，我的天老师好像 是双动态了呀，啊，头大是吧？接下来他说使得圆欧上面存在的 appbp 的融合点，那么请你写出 a 的举止范围啊，存在之间就是有就可以了。那我们首先想一下啊， 这个问题当中呢，确实理论上来讲的动态非常的多， a 点是动的， b 点也是动的，直线 l 也是动的，对吧？好了，那么我们先想一下啊，就是他说语言欧尚要存在 app 的融合点，倒过来推，我们先想一下 app 的融合点在哪？ 我能不能画出来，对吧？哦， a 撇 b 撇的融合点， a 撇 b 撇由谁得来呀？哦，其实是由 ab 得来的对吗？是由 ab 得来的， ab 在哪？不知道 好，他是个动态的，所以动态的问题叫什么？以静为动？我们首先要把它想象一下一个静态的问题，那我们就假定，假如存在在一个任意的 ab， 我随便画一个 ab 呗，是不是？然后我再加上一个任意的 l， 我随便画个 l 呗。 我能不能在这样的情况下，首先在定态的情况下分析出所有的融合点在哪，对不对？我能不能把这个问题先分析出来？ 如果我在定态的问题下已经分析出来了，那我们随着他的改变运动，我们再来进一步的去啊，详细的看一看所有的融合点，满足一个什么样的图形，最后来运， 这不就行了吗？所以这个核心的逻辑叫什么？以静为重啊，所以不要被动态的问题所吓唬到了啊。好，那么当然我们给大家呢，也再次的来看一下，朋友们看一下啊，我在这呢，就是随意给大家画了一个线段 a b 啊，就是 a 点者定，其实 b 点就定了，对吧？那我们知道啊，就是 ab 呢，关于这一条直线，直线，我也是，我，我也是任意画的啊，随便他在哪，我也不知道他在哪，这条直线呢，就直线然后经过 t 点吗？是吧？ 随便画的，那么这个时候呢，大家会发现，很显然，你是不是可以做出 a 撇 b 撇，这个作图应该没问题，是吧？这个很容易啊，做对称嘛， a 点关于 a 要对称， b 点关于 a 要对称，得到了 a 撇 b 撇，而我们前面给大家解释过，只要你给我把 a 撇 b 撇画出来了， 那么所有的 app 的融合点有没有了，就有了，对吗？是不是也就有了呀？好了，那我们就想一下，这个是在静态的情况下，任意情况下，我给大家做出来的，那么问题来了，他也不是任意的呀， 好，那么他是不是有两种动态啊？第一个就是 ab 是动的，第二个呢，直线 l 是动的。好，我假定 ab 在这样的一个情况下不动 啊，控制变量法，这个我们原来说过很多，是吧？多动态问题，我们用控制变量法，刚刚是两个都是静态的分析。好，我现在我们假定 ab 还是定的， 不管他，我们来看一下，假如直线 l 变化了，那么这个时候线段 a 撇 b 撇怎么变？他变化了以后对应着的啊，这个融合点怎么变？大家看一下，我们假定啊，把这个直线 变化一下，哎，你会发现这个 a 撇 b 撇啊，大家通过做一点图啊，你自己可以做两个图啊，你你你做一下图，你会发现，哎，好像随着直线 l 的变化， a 撇 b 撇呢？再怎么样啊，在旋转，其实这个呢，也很容易理解，为什么，大家想一下吗？ 因为你 aap 横定是关于这个直线 l 对称的吗？ bbp 也是对称的吗？所以你，你说你这个 l 变化啊，直线 l 在旋转的时候，是不是保证 ta 跟 tap， 你看一下 ta 跟 tapa， ta 跟 tapa 是不是肯定相等啊？ 对不对？是不是很宁乡的？ tb 跟 tbb 还是不很宁乡的？ ok 了呀，好了，所以你会发现，这样一来，那 a 撇点的坐标就有了吗？ 有了吧，呃，比较左边有了，就是 app 的运动的位置有了吧，因为你不管这个直线怎么变化，其实就是相当于 ta 跟 tap 是肯定相等的， tb 跟 tpp 肯定相等的，所以 ap 在哪？ a 撇就在以 t 为圆心， ta 的长为半径的一个圆上。 b 撇在哪？ b 撇在以 t 为圆心啊， t 为圆心， tb 的长为半径的一个圆上。因为 tap 跟 ta 肯定相等， tbp 跟 tb 肯定相等，所以其实啊，这样一来啊，我们就知道 ap 到底在哪， bp 到底在哪。 那么请问你能够找到所有的融合点吗？那就很简单了，融合点在哪呢？融合点在我们这个图当中来看啊，我们现在 所画的这个图当中来看，他就应该在以 ta 为半径减一 啊， ta 减一和 tb 加一啊，为圆 a 为半径的圆环及圆环的内部。我把这句话再重复一遍啊，我把这句话再重复一遍，有点绕口， 就是当 ab 啊，位于这个右侧的时候啊，位于这个外轴的右侧的时候，就我们如图所画的一种啊，情形来看的话，刚刚已经解释了 a 撇在哪， b 撇在哪， 那么但是我要找的是什么融合点？融合点怎么来的呢？以 a 撇为圆，心意为半径，又画了一个绿色的小圆。以 b 撇为圆，心意为半径，又画了一个绿色的小圆。所以所有的融合点实际上在哪？ 所以融合点在意在我们如图所示的情况下啊，就是 ta 减一和 tb 加一为半径的圆环及圆环内部，也就是我所画的两个粉色的圆。 为什么？因为你 a 撇确定的话，那么看融合点以 a 撇为圆，心意为半径，所以极限情况是不是以 ta 减掉一个一啊，减掉这个半径一就是最内侧的圆啊，这个粉色的圆， 那么当然最外侧的融合点能够在哪？最外侧的融合点是不是就是在以 tb 的长为半径，然后再加一啊？因为你往外吗？对不对？再加一，所以所有融合点是不是就在这个粉色的圆环及其边界及其内部，对吧？也就是 说其实是在两个之间啊，就在这个圆环之间，所以你会发现，这样一来，我们就明确了。那么当然同学们想一下，这是假定 ab 在定的情况下，也就是说 ab 确定的时候，所有的融合点在哪里？在一个圆环里面，当然了， 随着 ab 的运动，这个圆环嘛，也就在逐渐的变化，对不对？再逐渐的变化，因为你 ta 跟 tb 长度在变嘛，对不对？ 好了，所以最后我们只需要能够保证圆，红色的圆就是以欧为圆心四为半径的圆上也能存在融合点，那不就说明这个红色的圆能够在这个什么紫色圆的，呃，这个粉色圆的，呃，粉色圆环的边界及内部就行了，对吧？极限情况有几种啊 啊，想一想就知道了，四种，哈哈。为什么？因为如果你 ab 特别远吗？那肯定不能了，对不对？因为你，你这个红色圆怎么能在内部呢？所以啊，定向分析哈， 那我们假定从右往左就是这个时候，圆环越来越小，越来越小，越来越小好。第一零件情况是什么？大家看一下，很显然就是 ta 减一就 ta 的长减一就此时应该就是紫色啊，粉色圆的半径对吧？粉色圆半径为多少？ 注意啊，因为红圆半径是四啊，那个粉色的圆它是以 t 为圆形的啊，所以这个时候是减是五，也就是说第一零件情况是 ta 减一就是最小的这个半啊，最最大的这个啊，那就是最内侧的 这个圆，他的半径应该是五，怎么算？ ta 减一对吧， ta 的长减去小要减去一等于五，也就 ta 为六啊，此时 ta 为六 好，那么移动这个时候都满足吧，红色的源能够在这个区域里边能有的，对不对哈？移动移动移动移动移动移动移动。第二零件是什么？ 很显然就是 tb 加一等于几，就是这个外侧的字跟这个红圆怎么样啊？相切对吧？相切此时应该是 tb 加一应该等于啊，同样的是吧？还是啊，这个这个时候还还是还是满足的啊。这个还不算零件啊，下一个零件应该在哪呢？继续走，继续走，继续走啊，走到这里 啊，就是此时 tb 加一就是外侧的这个小粉圆啊，恰好与红圆怎么样啊？是一个内切的情况， 那么此时应该就是 tb 加一，就是这个长度应该等于几呢？应该等于这一段长，这段长是几啊？这段长应该是二二三，对吧，因为整个红原半径是四啊， t 的话是零负一，所以这段内切的话，这段长应该是三，所以应该是第二零件情况是 tb 加一等于啊，这个三啊，我先帮大家写一下啊，我们刚刚已经分析出来。第一零件情况呢，就是 啊， ta 减一恰好应该等于五，第二零件情况就是 tb 加一应该等于三。注意啊， 是 ab 在右侧的时候啊， ab 在右侧的时候，那么接下来呢，我们再讨论一下怎么样啊，他在左侧的情况下，对吧？好，继续往这边挪。 对，一旦挪到左边的时候啊，这个时候其实改了，改成什么样了呢啊？改成了， ta 更长， tb 更小了，对不对？好了，所以这个时候大家看好。第一零件情况还是外侧的圆，此时外侧的这个圆应该怎么算呢？ 此时外侧的圆应该怎么算啊？好，同样的道理，对吧？还是跟这个红色的圆怎么样啊？相切对吧？相切。但大家注意一下此时外侧的这个长度， 他应该是拿 ta 的长啊， ta 的长度加一对吧， ta 加一等于三。好，继续走，这个时候是满足要求的啊， 然后继续走，都满足要求，因为只要保证红圆能够于这个圆环啊，红啊，粉色圆环有焦点就可以了。好，继续走，继续走，继续走，继续走，继续走！好，极限情况又到最后的是什么呢？就是里边的这个小的粉色的圆与红圆怎么样啊？相切 注意，此时里边那个小的圆的这个半径应该是多少啊？反过来了，应该是 tb 减一啊， tb 减一是吧，因为 tb 更短啊，所以 tb 减一等于五啊。好了，所以，因此呢，我们又可以得到两个零件情况啊，最后一个呢，是 tb 减一等于五啊，这个应该第三零件应该是 ta 加一啊， ta 加一等于三，所以大家看一下，这个是在 右侧的时候啊，这个在左侧的时候分别算一下即可，对吧？当然，我在这呢给大家就快速的稍微算一下啊给大家快速的稍微算一下， 因为这个题目呢，坦率讲啊，就是分析呢，倒不算特别难。那恶心的是什么呢？恶心的是计算好，大家看一下，我们把零借值算出来，小 a 的范围也就有了，对吧？好，第一个呢， ta 的长呢？ t 呢是零负一， a 呢？是，呃，小 a 逗号零，所以 ta 的长 等于根号下 a 方加一啊。好，这个因此再进去算一下，就是根号下 a 方加一应该等于六， a 方加一应该等于三十六， a 方应该等于三十五， a 应该等于根号三十五，因为这个是在右侧啊，根号三十五，同理。 tb 的长 呢，等于根号下呃， a 加一的平方，再加一的平方就加一了，那么他应该这个算一下，应该是 a 的长，呃， a 加一的平方再加一应该等于四，那也就是 a 加一的平方等于三 啊，所以 a 加一应该等于跟三，所以他应该等于跟三减一啊。这个大家自己算一下啊，我就不给大家相信算了啊，后面的是不是一样的算法，对吧？后面还是一样算法，就是如果跑到左边去了的话呢，其实题 a 呢啊，这个时候大家可以稍微算一下啊， ta 的长度还是根号下 a 方加一，对吧，就是根号下 a 方加一应该等于二， a 方加一啊， a 应该等于负的根号三，此时 a 等于负根号三 啊，好，那么后面呢，这个 a 呢，就是 tb 等于六，就是 a 加一的平方加一应该等于三十六三十五啊，负根号三十五减一， 负根号三十五减一啊， ok， 好了，所以我们把零借值分别算完了啊，算完了以后呢，只要写两个范围就行了，对吧？所以 a 的范围呢啊，在根三减一到根号三十五 或者 a 的范围，在负根号三十五减一到负根三之间， ok 吧啊，坦率讲，就最后这个题目呢，计算稍微有点点复杂啊，但是其实分析起来呢，还不算特别的难，对吧，因为他的这个呃难度系数呢，不算特别的， 但是这个计算呢，稍微有一点点的恶心啊，大家稍微注意一下就行了，好吧， ok 啊，所以这道题目呢，还是出的非常的典型啊，第一呢就是对于点的这个性定义的转化，第二呢就是 啊，这个转化完了以后呢，多动态问题，我们是怎么分析的？假定两个都是定的，那么其中一个定，另外一个动啊，两个都动，他到底是个什么样的情况？最后呢就是找临界去 计算就行啊，只不过呢，大家要注意一下，就是我们讲的那个粉色的圆圆环啊，最小的半径啊，跟最大的半径分别是什么啊？ 大家要注意一下，在左侧跟右侧的时候，最小半径跟最大半径转换过来了啊，在右侧的时候是 tb 更大， ta 更小，在左侧的时候是 ta 更大， tb 呢？更小啊，这个大家要把 我就想清楚， ok 啊，那么关于海淀的这道题目呢，我们就给大家解析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！

二零二三海淀初三一模新定义压轴，点赞收藏不迷路！同学们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给同学们来解析一下二零二三年海淀初三一模的新定义压轴题啊。今年的新定义压轴题目呢， 还是比较友善的啊，不是特别复杂，而且同学们如果有同学能够知道对应的结论啊，或者说解法的话呢，这个题目应该来说得全分，还是比较容易，并且也比较快速啊，我们一起来看一下啊！ 告诉我们，有一个点的坐标，如果叫 m n， 那么我们就构造了一个直线，叫 y 等于 m， x 加 n， 我们就把它称之为关联直线。如，呃，例如啊，点 p 是二四，那么它的关联直线呢？就是 y 等于 y， x 加四，这个理解起来我觉得都不用转化，太 简单了啊。所以第一个已知 a 点的坐标是一逗号二，那么点 a 的关联直线是什么？那就是一倍的 x 就是 x， 再加一个二，是吧？第二个圆欧跟直线相切，圆的半径是什么啊？那这个大家画一个简单的图看一下就行了啊， 换一个简单的图，这个呢，就是 y 等于 x 加二这一条直线在这儿，你说圆跟它要相切啊，圆 o 跟它相切， 那是不是长成这样，是吧？好，那么镶嵌吗？那就这个等于多少？这边就是什么垂直了吗？对不对？这边就垂直， 所以这个半径是多少？那太好看了，是不是因为大家要注意了他的，呃， k 值是一啊，也就是说一直跟同学们强调的这个角是多少度啊？这个 多少度啊？四十五度啊，对不对？好，这一段长呢，是二吗？所以这段长呢？根号二啊。好，这个非常基础啊，就快速过了啊。 那么第二个问题，他说如果 c 点啊是零，二， d 点是小 d， 逗号零啊，那么点 m 是直线上面的动点，当小 d 等于二的时候啊，小 d 等于二的时候，点 o 到点 m 的，呃，求点 o 到点 m 的关联直线距离的最大值， 所以我是不是得找出点 m 的坐标，然后才能找到他的关联直线，有了关联直线，我们才能找到最大值，对吧？好，所以同学们来看一下。对于第一个问题呢，我们简单解一下啊，因为这个小 d 呢，等于二啊，因为点 m 在直线 cd 上，对吧？所以啊， cd 这条直线呢，我们就可以把 把它表示出来，这个比较容易了。因为小 d 等于二， d 点的坐标啊，我就在这写了啊，就 d 点的坐标呢，就应该是二逗号零， c 点的坐标零逗号二， d 点的坐标二，逗号零，所以 cd 这条直线的表达式就应该是 y 等于负 x， 再加上一个二，是吧？ 那么点 m 是这个上面那个动点，我也不知道他多少啊，因为 m 点呢，在 cd 上我就设 啊， m 点的坐标呢，就叫小 m， 逗号重坐标就是多少呢，负 m 加二，这个能理解的对不对？假如我的横坐标叫小 m 重坐标呢，就叫负 m 加二，因为他在直线上面嘛。 好了，所以点 m 的关联直线 啊，关联直线我们也就能解出来喽，为 y 等于 m， x 加上，呃，我就写成二减 m， 好吧，我特意给大家加一括号啊，应该是加上负 m 减，呃，负 m 加二，对吧，我就写成加上二减 m 这个式子呢，我说了啊，就是如果有意识的同学，或者说提前咱们就学过的，因为我们之前其实已经跟咱们那个初三的同学们 啊，重点又强调过了啊，因为这个东西呢啊，放在高中里面来讲呢，其实高中的同学一眼就能看出来，是吧，哈哈哈，高二的高二以上的同学啊，因为叫直线系方程，或者说这个直线呢，他是经过定点的。 初中的同学呢，我们也跟大家讲过，就说如果一个点的坐标用同一个参数表示啊，那么这个点呢，一定在某条 确定的线上面啊，当然在这里呢，同学们就能很容易看得出来，这个题目考察的核心呢，就是经过定点 啊，就是这个直线呢，还有参数 m， 但是这个直线呢，不管参数 m 怎么变，他一定是经过一个定点的，经过哪个定点呢？我们也教了大家，其实你要看含参数的直线经过哪个定点，我就在这给大家多写一下啊，就是把 m 把参数提取出来， 写成这样。什么叫做经过定点呢？就是这个参数没用啊，就是这个 m 没用啊，没用是什么意思？就是 m 这个参数，如果他乘以了一个零啊，乘以个数字为零，那他是不是就没用了呀？所以 x 减一等于零的时候， y 呢，肯定为二 起啊。关联直线，关联直线一定经过 什么定点？我们假定就叫 p 点，好吧，定点一，逗号二， 也就是说点 m， 它虽然是动点，它会产生无数个关联直线，对吧？因为点 m 只要有一个确定的 呃呃这个坐标，那么他就会产生一个关联直线，虽然他会产生无数个关联直线，但是这无数个关联直线呢，有一个非常确定的特征，就是他们都经过同一个点点啊，就是一，逗号二 啊，都是就是一，都好二。那换句话讲，同学们也可以在奶粉当中脑补一个画面，就是孙悟空啊，一只手拿着一个金箍棒啊，在平面里面咚咚咚咚咚一通转， 就是所有关联直线都经过这个定点。那么现在同学，呃呃，题目问的是什么呢？点欧到关联直线的最大距离。我们知道啊，关联直线有无数条啊，但是无数条都经过同一个定点，就是一，都好二，所以同学们想一下这个最大值是什么？ 其实我就假定说啊，就是就在这个地方写了啊，所以对于这个问题而言， d 就是距离啊， d max 一定就等于 op 的长， 你不是问 o 点到关联直线的距离最大吗？这个最大的距离就一定是 op 的长。我先给大家写一下，这个值等于根号五，我来解释一下，为什么？好朋友们来看一下啊，假定啊，我就算了啊，给大家画一下吧。好吧，假定 这个就是 p 点，那么我们知道现在所有的关联直线都经过 p 点，同学们来思考一下，我随便画一条线，好，这是一，其中的一条关联直线，我再来画一条线， 好，这是其中的另外一条关联直线啊， ok， 那么我们假定欧点在哪呢？你就随便画就行了，是吧？假，假定欧点啊，假定欧点就在这个位置 啊，假定欧点在这个位置，那么大家都知道啊，其实有无数个关联直线，对不对？比如说这条关联直线叫 l 一，这条关联直线叫 l 二，我想请问一下，他到 l 一的距离怎么看？ 那不就是过 o 点做 l e 的垂线段？同学们注意一下，这个长度叫 h 的话， h 是不是一定小于 o p 的长，对吗？好， 同样道理，如果我 o 点到 l 的距离呢？那更简单了，就是这个垂线段，这个长度是不是也一定小于 op 的长？那么大家可以随便画，你比如说老师，我再画一条那个关联直线经过 p 点的，是吧？因为所有关联直线都经过 p 点，那么请问距离在哪？距离在这 对不对？是不是欧点到关联之间的距离啊？做垂线段吗？是不是还是小于 op 的长，对不对？好，所以同学们能想的出来吗？唯一能够确保 o 点到关联直线距离最大，这个距最大的距离一定小于等于 o p， 所以什么时候才能取到最大呢？哎，这个画的稍微有点偏了啊，什么时候才能取到最大呢？只有这一种情形啊，同学们来稍微看一下，我把它稍微移一下吧。 啊，也就是说，只有确保 op 跟关联直线垂直，就是这条线 l 为关联直线的时候，这个时候才能确保点到关联直线的距离最大。 因为什么？因为这个时候距离就是 op 的长，而在其余任意直线的情况下，你所画出来的距离一定都是小于 op 的长的，因为你是做了垂线段，然后再跟 op 连线， op 就相当于是斜边，在其余情况下他们都是斜边。 那么只有在我们所画的这种唯一情形下，你才能确保点到关联直线的距离最大，对吧？其余情况你都不满足，你可以画几个看一下。当然说实话啊，这个东西放在高中数学里面来讲，它就是一个结论性问题啊，就是直线性方程经过一个定点，那么在 外面有一个点，那么这个点到所有的直线当中最大的距离是多少呢？就是这个点到定点的距离 啊，就是到定点的距离，所以我们也可以告诉大家这个最大值，实际上他不是问 o 点吗？是吧？这个最大值实际上是怎么看的呢？就是 op 之间的距离，这个 op 之间的距离 p 点就叫定点啊，我就在底下写一个，我们假定 p 点叫定点，就是他的最大值。 所以如果你能理解了第二小问的第一小问，那么第二小问也就非常的简单了。同学们来看一下， 现在呢，他无非呢做了一点小小的调整啊，他讲说我替点呢，是负一，一为圆心，三为半径，做了一个圆替。好，那么在 m 运动的过程当中，当 m 点 m 呃的关联直线与原替交于 e f， 这个 e f 其实是什么？ 就是 e f 是什么？ e f 其实就是弦嘛，是吧，就是弦，因为 e 点 f 键在原上啊，就是弦。好了，那么我们就可以知道 e f 的最小值为四，请你求出此时 d 的值，就都不是范围，是个值。 坦率讲啊，我们也很少遇到说海淀区的这个最后一问的题目呢，不需要有大量复杂的图形解释啊，这个确实也非常的难得。 好，我给同学们来解析一下。第二小问其实也非常容易，简单来说是什么呢？现在呢，他跟第一问没关系了啊，就是点 m 仍然在 c d 上面，我们是不是可以把 m 点继续表示出来呀，是吧，好了，大家来看一下，因为此时 c 点的坐标呢，依旧是零二， d 点的坐标呢是小 d 都好零，所以 cd 这条直线就是 y 等于 嗯负的，嗯嗯， d 分之二倍的 x 再加二，是吧？好，这个能理解的对不对？就是 cd 的直线我们表示出来，所以 m 点的坐标呢，我还是叫他小 m， 好吧， 那么它的纵坐标呢？就是哈，负的 d 分之二 m 再加二啊，注意啊，我呀，我在这儿啊，我先不通分啊，我就直接把它放在。 那么所以点 m 的关联直线， 它的关联直线呢，我们就可以一一直接写出来了，对吧？那就是 y 等于 m 倍的 x 加上 d 分之啊二啊，算了，我把加一括号吧，好吧，就是负二， m 除以 d 再加上二。 同样的，刚刚教过大家经过哪个定点吧，注意啊，这里的小 d 其实是一个已知的数值啊，已知的数值。好了，所以我们教大家的方法是什么？你记住了啊，你只要把那个呃参数提取出来，就 d 是已知的啊。好了，所以大家看， y 等于 倍的 x 减 d 分之二再加上二，所以我们就知道定点是谁呢？定点就是 d 分之二，逗号二，因为只要 x 取到了 d 分之二， y 就一定取到二，是吧，我们把定点呢仍然叫做 p 点， 也就是说，所有的关联直线实际上是经过一个确定的点，叫 d 分之二，逗号二。然后确保啊，这一些关联直线跟圆所形成的相交所形成的弦最短，最短为四。那么我们画一个示意图给朋友们来看一下啊，这是一个圆 啊，这是一个圆，就是我们刚刚的圆 t， 那么我们知道有无数个关联直线，有无数个关联直线呢，就会产生有无数个啊，这个， 呃，就是会产生无数条弦，对吧？他说了最短的弦为四，大家想一下，什么叫最短弦啊？经过定点哈，那么同学们也都能想象的出来，你说这个屁点他有可能在员外吗？ 哈哈哈，不可能，因为如果 p 点在员外，我们所做的弦呐啊，其实可以比四更小，对吧，至少你想嘛，还有可能相切呢，哈哈，对不对？关键之间有没有可能相切？有可能，因为我们要保证他最小啊， 所以大家想一下，这个弦最小的话呢，是不是保证只需要 p p 垂直于 e f 即可，保证 即可保证 e f 最小来，为什么呢？原因呢？很简单啊，其实大家想啊，就要 p 点是一个定点啊，因为虽然他有小弟，但他其实是个数字，对吧？ t 点也是个定点， 大家想，如果 t p 因为 e f 就是我们的关联， e f 延长了之后就是关联直线嘛，对吧？同学们来想一下，我们就随便画一个视力图啊，大体上这样，也就是说 大家看啊，就是这个是 t 点，这个是 p 点，只要你保证垂直，这个时候 e f 就一定是最短的。前一问我们已经刚刚给大家解释过了，是吧？已经解释完了，解释了什么呢？就是什么时候 t p 最大，或者说 t 点到关联直线的距离什么时候是最大的，就是当 tp 与关联直线垂直的时候啊，就是 tp 的长，最大值就是 tp 的长，那大家想一下，什么叫距离啊，就是点到线的做垂线断了对不对？ 那么对于圆当中而言，不就是什么垂静定理吗？因为你过圆星座直线的垂线段，那不就得到了什么垂静定理了吗？ 是吧，垂静定理不就跟弦长啊啊建立关系了吗？所以你要保证弦长最小，半径又是定的，因为半径又是三， 你看嘛，他半径又是三，他是确定的，又要保证弦长最小，那你想半径确定，弦长最小确定，是不是说明 tp 此时就最大，对吧？你想啊，是不是这个道理？ tp 此时是不是最大？ 好了，这一段是二，那你说 t p 最大是多少啊？所以此时 t p 等于多少呢？根号五，这个是由垂径定理可以得到的啊，或者说勾股定理都行啊。 ok， 那么这个逻辑呢，就简单多了，现在就是问你，哈哈， t 点已经明确了，是负一一啊，然后呢？ p 点是 d 分之二，逗号二啊，那我们都清楚要保证这个值等于多少啊？根号五， 只要保证它俩之间的距离等于根号五，就一定可以确保了。因为，呃，如果 t p 的长度等于根号五，就说明 p 点就是圆心到所有关联直线的最大距离就是根号五，而如果就是圆心到关联直线的最大距离是根号五，那么就说明此时的弦长就最短，一定是四，对吧？根据 垂进定理可以得到啊。好了，所以这个问题剩下来了要说了吗？不用了是吧？因为 t 点的坐标负一一啊， t 点坐标呃，地分之二，逗号二啊，所以利用两点间的距离公式，根号下负一就是地分之二减，负一就是加一的平方，加上二减一的平方等于几啊？ 根号五啊这个号。所以其实只要保证什么呢？ d 的值等于几啊？ d 的值要么等于二是吧？嗯，或者是负的三分之二 啊，就可以了啊，所以小弟的值呢，也就能算出来了啊，当然小弟的值有了吗？啊，我们这个题目也就解完了对不对？所以我们稍微梳理一下，就是如果同学们呢？呃，对于第二问的第一小问能够明确，就是什么时候才能有啊？原 心啊，到这个关联直线啊，就点到关联直线的距离最大呢啊，就是只有一种情形是最大的，就是圆心啊，就说点到这个关联直线经过的定点与该关联直线垂直的时候，这个时候一定最大。 所以其实第二问的第一小问给我们做了提示，你能想到这个结论之后，第二小问也就简单了，因为他此时圆心也是什么 也是个点吗？对吧？那你只要保证他最大，什么？什么叫最大？好，这个逻辑很容易就理解了对不对？你弦最短半径又确定，你又做垂直， 他不就是保证 t p 最大吗？啊，就保证这个 t p， 是啊，点 t 到关联直线的最大值吗就行了吗？对不对？只有这种情形是满足的啊，好了，所以最后算一下就行了，好吧， ok 啊，所以关于这个问题呢，我们就给大家解析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！