八上数学优化设计平方差公式电子版

各位同学们好，我是来自北京市第八中学的窦博，今天我们来学习平方差公式，在前面我们已经学习了同底数密的乘法、除法和乘方运算， 以及整式乘法中的单项式成单项式、单项式成多项式和多项式乘以多项式。今天我们来先学习平方叉公式，它可以帮助我们简化运算，提高运算效率。 请同学们和老师看这样一个问题。小明和小蓝分别负责两块区域的值日工作，小明负责一块边长为 a 的正方形空地，小蓝则负责一块长方形空地。长 为正方形空地，边长加五米，宽为正方形边长空地减五米。现在有一天小明对小兰说，咱们换一下值日区域吧，反正这两块的面积大小都是一样的，你觉得小明说的对吗？ 如图，绿色部分就是小明的值日区域，黄色部分就是小蓝的值日区域。小明说他们的面积大小是一样的，下面我们来计算一下， 正方形的边长为 a， 所以它的面积为 a 方平方米。长方形的长为 a 加五，宽为 a 减五，所以它的面积为 a 加五，乘以 a 减五。 前面我们已经学习了多项式乘以多项式的法则，乘开以后化减得到 a 方减二十五平方， 容易看到长方形的面积比正方形的面积少了二十五平方米，所以小明说的是错误的。请同学们和老师计算一下下面这些式子，通过计算你能发现什么规律呢？ 相信你已经很快的计算出来了结果，他们的结果分别是 x 方减一、 m 方减四和四 x 方减一。 我们首先来观察一下这些式子的左侧，他们是两个多项式相乘，而且这两个多项式中其中一项是两数之和， 另外一项是这两个数的差，所以我们能总结出来规律就是两数的和与这两数差的乘积。而右边呢， 你能尝试总结一下吗？没错，右边就是这两个数的平方叉，所以我们能得到这样的规律，两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差。 那你能用含有字母的一般式来表达一下这样的规律吗？我们不妨可以设这两个数为 a、 b， 左边可以表示成 a 加 b 乘以 a 减 b， 而右边可以表示成 a 方减 b 方。 这样我们就得到了一个规律， a 加 b 乘以 a 减 b， 等于 a 方减 b 方。那同学们想一想，我们怎么推导这个规律呢？没错，我们前面学 学习了多项式乘以多项式的法则，利用法则呈开以后为四项，中间两项合并同类项后就能消掉了，所以最后得到 a 方减 b 方。 那么这个规律我们发现它的结果为两个数的平方之差，所以我们称它为平方差公式。用文字序数来表达，就是两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差。 我们观察到平方差公式是多项式乘以多项式化简之后却只得两项，因此我们可以利用它简化运算。那什么样的多项式相乘可以利用平方差公式呢？我们先来看一下公式的结构特点。 在公式的左侧是两个多项式相乘，这两个多项式中都有字母 a， 并且 a 的符号相同，这两个多项式中也有 b， 一个是 b， 一个是复 b， 他们的符号相反。 而右边呢，是两数的平方之差，是谁的平方减谁的平方呢？没错，是相同。向 a 的平方减去相反，向 b 的平方。 利用平方叉公式可以大大提高我们的运算效率。这里 a 和 b 不光光只能代表字母，也可以代表数字单项式或者是多项式。除了从代数的角度说明平方叉公式，请同学们想一想，如 何从几何的角度说明平方差公式呢？还记得我们引力中的问题吗？这里 a 加 b 乘以 a 减 b， 可以看成长方形的面积。这个面积我们可以看成由一个长为 a、 宽为 a 减 b 和一个长为 a 减 b、 宽为 b 的两个小长方形组成。现在我将这块浅黄色的长小长方形切割下来，拼接到大长方形的下方， 如图所示。我们发现这块面积可以看成是大正方形，面积缺了一小块，而缺的这部分面积恰好就是边长为 b 的正方形，所以它的面积可以表示成 a 方减 b 方。 那我们知道这两块图形的面积大小是不变的，所以我们得到了 a 加 b 乘以 a 减 b， 等于 a 方减 b 方。这样我们就从几何的角度说明了平方差公式。 下面请同学们利用公式尝试做这几个习题吧。注意能否利用平方差公式计算，需要找到公式中的相同项 a 相反向 b， 所得结果应该为相同项 a 的平方减去相反向 b 的平方。 我们先来看第一个题， x 加二分之一乘以 x 减二分之一，这里 x 是相同项，相当于公式中的 a 二分之一和负二分之一是相反项，相当于公式 中的 b。 对应结果 a 方减 b 方可以得到。最后结果为 x 方减去二分之一的平方，化减后得到 x 方减四分之一。 再来看第二小题，你能尝试说出相同项和相反项吗？ 我们来看一下三 x 加二乘以三 x 减二，这里三 x 是相同项，相当于公式中的 a， 正二和负二是相反，向二相当于公式中的 b。 利用公式的结果得到三 x 的平方减去二的平方。注意，这里是三 x 整体的平方化减之后应该得九 x 方，所以最后我们这 这道题的结果为九 x 方减四，你做对了吗？再来看第三题和第四小题，你能尝试说出它的相同项和相反项，并尝试利用公式计算出结果吗？你可以在你的导学案上尝试画出来。 我们来看第三题，负 x 是相同项，正二 y 和负二 y 是相反项，所以利用公式得相同项的平方减去相反项的平方，也就是负 x 的平方减去二 y 的平方 化减后得到 x 方减四 y 方。在第四小题中，负二 a 是相同项，三和负三是相反向，所以利用公式得到负二 a 的平方减去三的平 放，最后结果为四 a 方减九。 通过上面的学习，你是否掌握了平方差公式呢？下面跟着老师一起练习一道题吧！ 在下列公式中，不能运用平方差公式的是，我们知道如果能够利用公式，则必须要满足公式的结构特点， 也就是我们需要在式子中找到相同项 a 和相反项 b。 如果两项均为相同项或者均为相反项，则无法利用公式进行计算。 我们来逐项分析一下。在 a 选项中， m 是相同项， n 和负 n 是互为相反项，所以它可以利用平方差公式。 b 选项呢， x 方是 相同项，外方和负外方是相反向，也就是他也可以用平方叉公式。在 c 选项中，负 m 和 m 是相反向， n 和负 n 也是相反向， 所以我们发现他不符合平方叉公式的特征，因此 c 选项不能利用公式。最后来看一下四 d 选项。在四 d 选项中，二 x 是相同项，三和负三是相反项，因此他也可以利用公式。 所以综上所述，最后不能运用平方差公式的是 c 选项。 下面请大家尝试计算这四道题。我们先来看一下第一小题。 第一小题是一个混合运算，其中他有两部分。通过观察我们发现前半部分是可以利用平方差公式进行减算，化减结果得外方减四。 而后半部分呢，他不符合平方差公式的特点，因此我们需要利用多项式乘以多项式的法则进行计算。 通过计算后半部分，我们可以计算出结果为外方加四百减五。注意减这个整体需要带上括号，所以最后我们的划减结果为负四百加一。 再来看第二小题。第二小题是两个数字相乘，这两个数字非常有特点，一个是一百零二，它可以写成 一百加二。一个是九十八，他可以写成一百减二。写成这种形式后，我们发现他可以利用平方叉公式进行减算，减算为一百的平方减去二的平方，因此我们化减后得到结果是九千九百九十六。 所以我们发现平方差公式不光可以运用在整式乘法中，如果数字中满足这样的特点，同样可以利用它进行简算。 再来看第三个小题， x 的 n 次方加四乘，以 x 的 n 次方减四，这里 x 的 n 次方是相同项，可以看成公式中的 a 四和负四是相反项，四可以看成公式中的 b。 利用公式我们就能 够得到结果，为 x 的 n 次方的平方减去四的平方。前面我们学习过密的乘方，所以最后我们的化减结果为 x 的二 n 次方减十六。 再来看最后一个小题，最后一个小题我们发现它是三项相乘，而前两项相乘符合平方差公式的特点，因此我们可以把前两项先计算出来， 利用平方插空式得到前两项的结果为三 a 方的平方减去二分之一 b 的平方。 化减的结果为九 a 的四字方减去四分之一 b 方。我们发现这个结果和后面的一个结果相乘，还是可以利用平方差公式。所以 最后我们化解的结果为八十一 a 的八次方减去十六分之一 b 的四次方。所以我们在遇见多个多项式相乘时，需要先观察能否利用公式简算。 若发现有可利用的公式的式子不在一起时，可利用乘法交换率交换位置，进而再使用公式计算。 我们再来看下面一道例题，在括号中填入适当的整式。这道题与前面有些不同，是给了我们运算的结果，根据运算结果去反推原来乘法中的一个因式。 怎么来做呢？首先，我们需要先观察此题的结果为两数的平方之差，所以我们想到可以利用平方差公 式，再对比左侧已知的音式，分析一下谁是相同项，谁是相反项，进而求出另一个音式。 来看一下第一个小题，它的化减结果为， a 方减 b 方， a 方是相同项的平方，在左边多项式中有 a， 因此它应该作为相同项。所以先把 a 填入括号中， b 方是相反向的平方，左边多项式中有 b， 因此括号中应该填入它的相反数复 b， 这样我们这道题就完成了。 再来看一下第二小题，第二题中化减结果为 n 方减 m 方，也就是 n 方是相同项的平方。 在已知多项式中有一项为父恩，因此括号里应该填入他的相同项。父恩， m 方是相反向的平方，在已知多项式中有一项为 m， 所以括号中应该填入它的相反数负 m， 因此括号里应该填入负 n 减 m。 听了上面两个小题的分析，你能不能自己尝试做后面两个小题呢？三、中化减结果为一减九 x 方， 则我们可以得到相同项为负一相反向为正三 x 和负三 x， 所以我们得到括号中的因式应该为负一加三 x。 在第四题中，化解的结果为， a， a 的四次方减 b 的四次方。对比左边的已知多项式，得到括号里应该填入 a 方减 b 方。 这四道小题我们就做完了，你都做对了吗？对于这类题，我们一定要抓住公式的特点，结合已知条件去分析相同项、相反项，问题就会迎刃而解。 再来看这样一道例题，已知 x 方减 y 方等于十二， x 减 y 等于二，则求 x 比 y 的值。 首先，通过已知条件，我们发现给了我们 x 方减 y 方的值和 x 减外的值，所以很容易能够联想到今天所学的平方叉公式，也就是 x 加 y 乘以 x 减 y 等于 x 方减 y 方。利用这两个已知条件代入公式，我们就可以得到 x 加 y 的值， x 加 y 计算出来等于六。 结合已知条件中的 x 减 y 等于二，我们可以发现这两个可以组成一个二元一次方程组，从而我们可以解得方程组求得 x y 的值，进而可以求出 x 比 y 的值。 这是我们这道题的思路，我们来看一下具体的解题过程。 由 x 加 y 乘以 x 减 y 等于 x 方减 y 方。还有已知条件中的 x 方减 y 方等于十二， x 减 y 等于二。将这两个 条件代入公式中，得到二倍的 x 加 y 等于十二， x 加 y 就等于六。结合已知条件中 x 减 y 等于二和我们刚刚求出来的 x 加 y 等于六，求得 x 等于四， y 等于二， 所以 x 比外的值我们就很容易求出来了，最后的结果为二。 好了，同学们，本节课到此就接近尾声了，下面请你想一想我们今天学习了哪些知识呢？ 首先，我们学习了平方叉公式， a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 b 方。对于这个公式，它有自身的结构特点，所以我们在应用公式时，需要 要先观察所给式子是否满足结构特征，再利用公式进行计算。注意，这里的 ab 具有广泛含义， 平方差公式用文字语言来描述，就是两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。 我们不光学习了平方差公式，还学习了平方差公式的推导过程，利用代数法推导，本质上就是利用多项式乘以多项式的法则化减运算得到结果。 我们还可以利用几何推理法，也就是把这个长方形剪切后重新拼接，利用总面积不变，从而证明了平方差公式。学完了本节课， 你是否掌握了本节课的知识呢？下面是一道拓展习题，热爱思考的你不妨试试吧。 我们先观察一下这个式子的结构，都是和的形式，而前半部分它的数字很有特点，二二的平方，二的四次方，二的八字方和二的十六次方，后半部分都是加一。 那这样的式子不能利用平方差公式，为什么呢？因为他没有差这一项，所以我们想到可不可以构造一项差，从而利用平方差公式求解呢？ 这里我们前面可以构造一项二减一，成了一个二减一，要保持原式不变，所以我们需要除以一个二减一， 这样我们就可以看到分子上是满足平方差公式的特点。我们把前两项乘出来，就是二的平方减一，从而逐项利用平方差公式，最后就可以求得了结果，最后的结果为二的三十二次方。 同学们，相信你经历本节课的学习一定收获很多，但是也需要继续的巩固和练习，才能掌握的更加牢固。这是本节课的课后作业。 第一题，下面各式计算的对不对？如果不对，怎样改正？括号一 x 加二乘以 x 减二，等于 x 方减二，括号二负三， a 减二。乘以三 a 减二等于九， a 方减四。这是第 第二道题，是一道计算题。这道题和我们课上讲的习题非常类似，同学们可以尝试自己完成。 好了，同学们，本节课就上到这里，谢谢各位同学们！同学们，再见！

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