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各位同学们好,我是来自北京市第八中学的窦博,今天我们来学习平方差公式,在前面我们已经学习了同底数密的乘法、除法和乘方运算, 以及整式乘法中的单项式成单项式、单项式成多项式和多项式乘以多项式。今天我们来先学习平方叉公式,它可以帮助我们简化运算,提高运算效率。 请同学们和老师看这样一个问题。小明和小蓝分别负责两块区域的值日工作,小明负责一块边长为 a 的正方形空地,小蓝则负责一块长方形空地。长 为正方形空地,边长加五米,宽为正方形边长空地减五米。现在有一天小明对小兰说,咱们换一下值日区域吧,反正这两块的面积大小都是一样的,你觉得小明说的对吗? 如图,绿色部分就是小明的值日区域,黄色部分就是小蓝的值日区域。小明说他们的面积大小是一样的,下面我们来计算一下, 正方形的边长为 a, 所以它的面积为 a 方平方米。长方形的长为 a 加五,宽为 a 减五,所以它的面积为 a 加五,乘以 a 减五。 前面我们已经学习了多项式乘以多项式的法则,乘开以后化减得到 a 方减二十五平方, 容易看到长方形的面积比正方形的面积少了二十五平方米,所以小明说的是错误的。请同学们和老师计算一下下面这些式子,通过计算你能发现什么规律呢? 相信你已经很快的计算出来了结果,他们的结果分别是 x 方减一、 m 方减四和四 x 方减一。 我们首先来观察一下这些式子的左侧,他们是两个多项式相乘,而且这两个多项式中其中一项是两数之和, 另外一项是这两个数的差,所以我们能总结出来规律就是两数的和与这两数差的乘积。而右边呢, 你能尝试总结一下吗?没错,右边就是这两个数的平方叉,所以我们能得到这样的规律,两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差。 那你能用含有字母的一般式来表达一下这样的规律吗?我们不妨可以设这两个数为 a、 b, 左边可以表示成 a 加 b 乘以 a 减 b, 而右边可以表示成 a 方减 b 方。 这样我们就得到了一个规律, a 加 b 乘以 a 减 b, 等于 a 方减 b 方。那同学们想一想,我们怎么推导这个规律呢?没错,我们前面学 学习了多项式乘以多项式的法则,利用法则呈开以后为四项,中间两项合并同类项后就能消掉了,所以最后得到 a 方减 b 方。 那么这个规律我们发现它的结果为两个数的平方之差,所以我们称它为平方差公式。用文字序数来表达,就是两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差。 我们观察到平方差公式是多项式乘以多项式化简之后却只得两项,因此我们可以利用它简化运算。那什么样的多项式相乘可以利用平方差公式呢?我们先来看一下公式的结构特点。 在公式的左侧是两个多项式相乘,这两个多项式中都有字母 a, 并且 a 的符号相同,这两个多项式中也有 b, 一个是 b, 一个是复 b, 他们的符号相反。 而右边呢,是两数的平方之差,是谁的平方减谁的平方呢?没错,是相同。向 a 的平方减去相反,向 b 的平方。 利用平方叉公式可以大大提高我们的运算效率。这里 a 和 b 不光光只能代表字母,也可以代表数字单项式或者是多项式。除了从代数的角度说明平方叉公式,请同学们想一想,如 何从几何的角度说明平方差公式呢?还记得我们引力中的问题吗?这里 a 加 b 乘以 a 减 b, 可以看成长方形的面积。这个面积我们可以看成由一个长为 a、 宽为 a 减 b 和一个长为 a 减 b、 宽为 b 的两个小长方形组成。现在我将这块浅黄色的长小长方形切割下来,拼接到大长方形的下方, 如图所示。我们发现这块面积可以看成是大正方形,面积缺了一小块,而缺的这部分面积恰好就是边长为 b 的正方形,所以它的面积可以表示成 a 方减 b 方。 那我们知道这两块图形的面积大小是不变的,所以我们得到了 a 加 b 乘以 a 减 b, 等于 a 方减 b 方。这样我们就从几何的角度说明了平方差公式。 下面请同学们利用公式尝试做这几个习题吧。注意能否利用平方差公式计算,需要找到公式中的相同项 a 相反向 b, 所得结果应该为相同项 a 的平方减去相反向 b 的平方。 我们先来看第一个题, x 加二分之一乘以 x 减二分之一,这里 x 是相同项,相当于公式中的 a 二分之一和负二分之一是相反项,相当于公式 中的 b。 对应结果 a 方减 b 方可以得到。最后结果为 x 方减去二分之一的平方,化减后得到 x 方减四分之一。 再来看第二小题,你能尝试说出相同项和相反项吗? 我们来看一下三 x 加二乘以三 x 减二,这里三 x 是相同项,相当于公式中的 a, 正二和负二是相反,向二相当于公式中的 b。 利用公式的结果得到三 x 的平方减去二的平方。注意,这里是三 x 整体的平方化减之后应该得九 x 方,所以最后我们这 这道题的结果为九 x 方减四,你做对了吗?再来看第三题和第四小题,你能尝试说出它的相同项和相反项,并尝试利用公式计算出结果吗?你可以在你的导学案上尝试画出来。 我们来看第三题,负 x 是相同项,正二 y 和负二 y 是相反项,所以利用公式得相同项的平方减去相反项的平方,也就是负 x 的平方减去二 y 的平方 化减后得到 x 方减四 y 方。在第四小题中,负二 a 是相同项,三和负三是相反向,所以利用公式得到负二 a 的平方减去三的平 放,最后结果为四 a 方减九。 通过上面的学习,你是否掌握了平方差公式呢?下面跟着老师一起练习一道题吧! 在下列公式中,不能运用平方差公式的是,我们知道如果能够利用公式,则必须要满足公式的结构特点, 也就是我们需要在式子中找到相同项 a 和相反项 b。 如果两项均为相同项或者均为相反项,则无法利用公式进行计算。 我们来逐项分析一下。在 a 选项中, m 是相同项, n 和负 n 是互为相反项,所以它可以利用平方差公式。 b 选项呢, x 方是 相同项,外方和负外方是相反向,也就是他也可以用平方叉公式。在 c 选项中,负 m 和 m 是相反向, n 和负 n 也是相反向, 所以我们发现他不符合平方叉公式的特征,因此 c 选项不能利用公式。最后来看一下四 d 选项。在四 d 选项中,二 x 是相同项,三和负三是相反项,因此他也可以利用公式。 所以综上所述,最后不能运用平方差公式的是 c 选项。 下面请大家尝试计算这四道题。我们先来看一下第一小题。 第一小题是一个混合运算,其中他有两部分。通过观察我们发现前半部分是可以利用平方差公式进行减算,化减结果得外方减四。 而后半部分呢,他不符合平方差公式的特点,因此我们需要利用多项式乘以多项式的法则进行计算。 通过计算后半部分,我们可以计算出结果为外方加四百减五。注意减这个整体需要带上括号,所以最后我们的划减结果为负四百加一。 再来看第二小题。第二小题是两个数字相乘,这两个数字非常有特点,一个是一百零二,它可以写成 一百加二。一个是九十八,他可以写成一百减二。写成这种形式后,我们发现他可以利用平方叉公式进行减算,减算为一百的平方减去二的平方,因此我们化减后得到结果是九千九百九十六。 所以我们发现平方差公式不光可以运用在整式乘法中,如果数字中满足这样的特点,同样可以利用它进行简算。 再来看第三个小题, x 的 n 次方加四乘,以 x 的 n 次方减四,这里 x 的 n 次方是相同项,可以看成公式中的 a 四和负四是相反项,四可以看成公式中的 b。 利用公式我们就能 够得到结果,为 x 的 n 次方的平方减去四的平方。前面我们学习过密的乘方,所以最后我们的化减结果为 x 的二 n 次方减十六。 再来看最后一个小题,最后一个小题我们发现它是三项相乘,而前两项相乘符合平方差公式的特点,因此我们可以把前两项先计算出来, 利用平方插空式得到前两项的结果为三 a 方的平方减去二分之一 b 的平方。 化减的结果为九 a 的四字方减去四分之一 b 方。我们发现这个结果和后面的一个结果相乘,还是可以利用平方差公式。所以 最后我们化解的结果为八十一 a 的八次方减去十六分之一 b 的四次方。所以我们在遇见多个多项式相乘时,需要先观察能否利用公式简算。 若发现有可利用的公式的式子不在一起时,可利用乘法交换率交换位置,进而再使用公式计算。 我们再来看下面一道例题,在括号中填入适当的整式。这道题与前面有些不同,是给了我们运算的结果,根据运算结果去反推原来乘法中的一个因式。 怎么来做呢?首先,我们需要先观察此题的结果为两数的平方之差,所以我们想到可以利用平方差公 式,再对比左侧已知的音式,分析一下谁是相同项,谁是相反项,进而求出另一个音式。 来看一下第一个小题,它的化减结果为, a 方减 b 方, a 方是相同项的平方,在左边多项式中有 a, 因此它应该作为相同项。所以先把 a 填入括号中, b 方是相反向的平方,左边多项式中有 b, 因此括号中应该填入它的相反数复 b, 这样我们这道题就完成了。 再来看一下第二小题,第二题中化减结果为 n 方减 m 方,也就是 n 方是相同项的平方。 在已知多项式中有一项为父恩,因此括号里应该填入他的相同项。父恩, m 方是相反向的平方,在已知多项式中有一项为 m, 所以括号中应该填入它的相反数负 m, 因此括号里应该填入负 n 减 m。 听了上面两个小题的分析,你能不能自己尝试做后面两个小题呢?三、中化减结果为一减九 x 方, 则我们可以得到相同项为负一相反向为正三 x 和负三 x, 所以我们得到括号中的因式应该为负一加三 x。 在第四题中,化解的结果为, a, a 的四次方减 b 的四次方。对比左边的已知多项式,得到括号里应该填入 a 方减 b 方。 这四道小题我们就做完了,你都做对了吗?对于这类题,我们一定要抓住公式的特点,结合已知条件去分析相同项、相反项,问题就会迎刃而解。 再来看这样一道例题,已知 x 方减 y 方等于十二, x 减 y 等于二,则求 x 比 y 的值。 首先,通过已知条件,我们发现给了我们 x 方减 y 方的值和 x 减外的值,所以很容易能够联想到今天所学的平方叉公式,也就是 x 加 y 乘以 x 减 y 等于 x 方减 y 方。利用这两个已知条件代入公式,我们就可以得到 x 加 y 的值, x 加 y 计算出来等于六。 结合已知条件中的 x 减 y 等于二,我们可以发现这两个可以组成一个二元一次方程组,从而我们可以解得方程组求得 x y 的值,进而可以求出 x 比 y 的值。 这是我们这道题的思路,我们来看一下具体的解题过程。 由 x 加 y 乘以 x 减 y 等于 x 方减 y 方。还有已知条件中的 x 方减 y 方等于十二, x 减 y 等于二。将这两个 条件代入公式中,得到二倍的 x 加 y 等于十二, x 加 y 就等于六。结合已知条件中 x 减 y 等于二和我们刚刚求出来的 x 加 y 等于六,求得 x 等于四, y 等于二, 所以 x 比外的值我们就很容易求出来了,最后的结果为二。 好了,同学们,本节课到此就接近尾声了,下面请你想一想我们今天学习了哪些知识呢? 首先,我们学习了平方叉公式, a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 b 方。对于这个公式,它有自身的结构特点,所以我们在应用公式时,需要 要先观察所给式子是否满足结构特征,再利用公式进行计算。注意,这里的 ab 具有广泛含义, 平方差公式用文字语言来描述,就是两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差。 我们不光学习了平方差公式,还学习了平方差公式的推导过程,利用代数法推导,本质上就是利用多项式乘以多项式的法则化减运算得到结果。 我们还可以利用几何推理法,也就是把这个长方形剪切后重新拼接,利用总面积不变,从而证明了平方差公式。学完了本节课, 你是否掌握了本节课的知识呢?下面是一道拓展习题,热爱思考的你不妨试试吧。 我们先观察一下这个式子的结构,都是和的形式,而前半部分它的数字很有特点,二二的平方,二的四次方,二的八字方和二的十六次方,后半部分都是加一。 那这样的式子不能利用平方差公式,为什么呢?因为他没有差这一项,所以我们想到可不可以构造一项差,从而利用平方差公式求解呢? 这里我们前面可以构造一项二减一,成了一个二减一,要保持原式不变,所以我们需要除以一个二减一, 这样我们就可以看到分子上是满足平方差公式的特点。我们把前两项乘出来,就是二的平方减一,从而逐项利用平方差公式,最后就可以求得了结果,最后的结果为二的三十二次方。 同学们,相信你经历本节课的学习一定收获很多,但是也需要继续的巩固和练习,才能掌握的更加牢固。这是本节课的课后作业。 第一题,下面各式计算的对不对?如果不对,怎样改正?括号一 x 加二乘以 x 减二,等于 x 方减二,括号二负三, a 减二。乘以三 a 减二等于九, a 方减四。这是第 第二道题,是一道计算题。这道题和我们课上讲的习题非常类似,同学们可以尝试自己完成。 好了,同学们,本节课就上到这里,谢谢各位同学们!同学们,再见!

