周长相等时什么图形面积最大

有小朋友问我啊，说为什么在同等周长的所有图形当中，圆形的面积是最大的呢？还有同学问我说，为什么在所有等面积的立体之中，球体的体积是最大的呢？ 这个问题啊，听起来好像是很简单，但实际上证明起来非常麻烦，人们证明这个定理证明了两千多年。那我们今天就在一起研究一下这个问题。我们首先呢，先从古代开始 说一下这个问题，对于圆形面积大这件事啊，最早的应用应该是在公元前八百一十四年。公元前八百一十四年呢，有一个啊，国家建立了，这个国家呢，名字叫加泰基国 加泰鸡，这个名字啊，大家可能听说过啊，它的含义是什么呢？它的含义叫一张牛皮啊，说为什么叫一张牛皮呢？这是怎么来的呢？传说啊， 加泰基是现在的突尼斯那个位置啊，传说呢，在加泰基国建立之前啊，有一个古老的国家，这个国家里面有一种人叫菲尼基人，这菲尼基人本身是西亚的人， 他们国家内断了，所以呢，有一个国王的姐姐，或者是一个公主啊，就是这么一个人物，他带着他的族人来到了突尼斯。到了突尼斯之后，他想向当地的人买一块地皮，送给当地人很多礼物，当地人呢，又不卖，他就说我只要一块牛皮能够围起来的面积就可以了。然后 当地人一想，一块牛皮能有多大，那你就围吧，于是就让他围，没想到他把一块牛皮啊剪成了很多个小条，然后在海岸这围成了一个半圆形， 围成个半圆形，那我们可以想象，如果你剪得非常细的话，这个面积很大啊，于是就在这个地方呢建立了一个国家，这个国家就叫加太基啊，后来加太基发展的非常强大，成为当时和希腊并行的啊， 中海延安最强大的国家，最后被罗马灭掉了啊，这个应该就是人们对于这个圆形面最大的最早的应用啊，那么为什么圆形的面积最大呢？这件事吧，我们称之为啊等周定理。等周定理， 等周定理怎么说的呢？他这么说的，那等周定理说说，在啊，在周长周长一定的平面图形之中，周长一定的平面图形中啊，圆形他的面积是最大的， 圆形的面积是最大的，这个呢就是等周定理。最开始的时候，人们并没有证明出这个定理，但是人们都在不停的使用它，而且没有人怀疑这定理是有问题的，而且他确实是对的啊，那么最早尝试去证明这个人呢 啊，是一个古希腊的数学家，名字叫芝诺多罗斯。啊，芝诺多罗斯， 这个智诺多罗斯，他去证明这定理的时候啊，分了这么几个步骤啊，比如说呢，他证明了这么一件事，他说呢，在等周的多边形中啊，正多边形， 正多边形面积大。也就是说呀，你如果是一个五边形，我是正五边形，那我就面积比你大啊，在 周长一定的情况下啊，你是六边形，我是正右边形，周长一定的情况下，我面积就比你大。那正多边形面积大，这是第一个，那证明呢？第二个在 在同样等周的正多边形中啊，边数越多，边数越多，面积越大，边数多面积 大，那我们来举几个例子啊，比如说正多边形变数多，面积大这事我们先以三角形为例吧。假如一个三角形他必须周长，一定吗？我们假设周长是一，那这样的话，三个边，每个边边长是三分之一，对吧？ 我们知道三角形面积公式是二分之一底层高，底是三分之一，这高是多少呢？三角形比底边长了一半六分之一，然后这个高线因为这角三十度，所以他他他刚好三倍啊，这个高线应该是六 六分之根号三，所以这个面积呢，就是二分之一乘以底，再乘以高，就这么一个数，那么这个数呢？等于零点零四八幺幺啊，这是正三角形。假如我把周长为一的图形变成一个正方形呢？啊？这个正方形呢？变成 长应该是四分之一，对不对？那这个面积就很简单了，就是四分之一乘四分之一嘛，结果是十六分之一，就是零点零六二五，你看一下，从正三角形变正四边形，他面积变大了，对不对啊？正五边形不好算，咱们跳一个变成正六边形，正六边形， 正六边形面积好，算正六边形吧，他是可以分割成六个正三角形，每个正三角形边长都是六 分之一，对不对？所以他的高线也很简单，就是十二分之根号三，因此他的面积就是每一个三角形的面积，二分之一乘以底，六分之一乘以高，十二分之根号三。然后一共有几个呢？一共有六个，对不对啊？ 这个数它等于零点零七二二啊，他说呢，你按照这个规律去找啊，正多边形面积比非正多边 面积大，而正多边形之中呢，边数越多，面积越大，你把边数无限变多，他变成什么了？他不就变成一个圆形了吗？所以他就说在周长一定的时候，圆形的面积最大，周长一定，圆形面积 是最大的。好，那咱们来看一下，如果周长是一圆形的面积有多大？周长是一半径是多少啊？ 周长是一半径，应该是周长除以二派，对不对？所以说呢，他这个面积啊，就是多少？就是啊，这个派儿方派乘以儿的平方，等于派乘以 二派分之一的平方啊，这个数算出来等于零点零七九五八。好，你看一下圆形的面积比他们都大，对不对？但是他这个定理啊，证明的问题很大， 尤其是最后一步，你从正多边形，你要推出圆，看起来好像是一小步，但实际上中间涉及到一个极限的变化。而在那个时代，人们对于极限呢，无从小讨论都很不清楚，所以 这种证明人们认为是非常不严格的啊。那么在中世纪的时候，数学也没什么发展，在往后的时候呢，人们又去研究，比如很多奇怪的数学问题，没有人去搞他，包括高斯欧拉都没有去搞他，于是这个问题就一直流传下来。

同学们，家长们大家好，这里是胡说数学。今天我们一起来探究一个问题，周长一定是什么图形的面积最大呢？ 这个问题在人教版六年级圆这一章中就出现了，其实就是一根固定长度的绳子，看围成什么形状，面积能最大。 我们一起想一想，是三角形还是长方形还是正方形还是圆呢？我们好像感觉圆的面积最大，那么为什么呢？ 在这里严谨的证明啊，是非常有难度的。有兴趣的话大家可以参考中学数学杂志杜克君老师发表的文章， 也可以搜索李永乐老师讲等周定理的视频。那么今天老师给大家介绍一个原创的 神奇的思想实验的方法，大家准备好了吗？首先我们在大脑中把绳子围成任意形状， 然后呢，往图形中充气啊，或者说加东西，那么越加这个图形呢，面积呢？就会越来的越大。那么一直加一直加，最后他会变成什么形状呢？ 没错，就是圆，最后会变成圆任意图形，在这个操作下，最后面积都会变大，变成一个圆，所以周长一定是圆的，面积是最大的。如果你觉得这个方法不错的话，给老师点点关注吧。

今天我们用实验证明圆的面积最大。首先我用线穿入固定数量珠子，表示周长固定，然后在图右侧标出了实时变化的面积。当我尝试不同形状时，你可以看到面积是如何变化的。现在这个形状是凹的，因为这里凹进去了，还可以藏水。 我们看看如果沿着这条线翻转凹面会发生什么？你看到面积增加了吗？我们的目标是找到最大可能的面积，所以我们进行翻转。这里还有一个， 我会不断重复这个操作，直到我们的多边形变为凸形，面积每次移动都会增加。这个过程就像爬山，现在我们已经到达山顶，所以我们不能再往别的地方走了，因为任何翻转都会让我们下山。问题是这并不是我们要找的形状。你看，如果我们 从不同的形状开始进行几次翻转，我们会得到一个面积更大的。不同的形状有无穷多的起始形状，做另一种移动，面积就更大了，或者说爬的更高了。哎，这不是一个好的办法。再来， 我们将这个链条对半分及每边有相同数量的珠子，一个区域会比另一个大，所以我们可以重新移动这个区域变成对称的，从而面积可以得到提升。 现在看看这个凹面，这是一开始的翻转操作，再次起作用。更重要的是，这个镜像对称操作就像让我们登上了另一座山，使得面积更大了。 你可以将这些想象成更高的维度，但这相当抽象，所以我不会过多强调，只需要注意新的移动是如何帮助我们的。我们现在可进行翻转或镜像操作，因为这个区域比那个大， 我将翻转并重复，直至无法再进行。虽然形状为凸，但我们仍能在此处进行一次镜像。就像这样，无论如何切分这个链条。两个区域始终等大， 因此我们又一次停滞。有无数类似的形状可选择，面积各异，我们还需做些工作。再来，我将展示第三种移动，关注这半边和这里的角度。这个角度问题是不等于九十度。 看，如果我向此切分形状，并像剪刀般旋转外部部分。三角形外部面积不变，但三角形内面积会变。 三角形面积是底乘高，如果这是底，这是高，底不变，但高会变。显然，最大高是。当角度为直角，那就是我们的第三步。如果角度不是九十度，就像剪刀一样剪成九十度，并在另一半边做同 样改变，你可以视其为复合操作。现在其他移动又能使用，如同以前我只用镜像，他同时解决翻转问题。似乎我们又回到这里， 但我们可以稍展开这角度，那个也是。让我们把这个角度稍微收起来。那个也是。每次我们动作面积稍大一点，但不能无限增长，必须在某点停止及所有角度都是九十度。 无论起始形状是什么，过程，总以这种形状结束。这是什么形状呢？嗯，所有角都是直角的形状。 直角三角形有个重要属性及中线是斜边长度的一半，所以所有这些点都与中心点等距。就这就是一个圆。三个操作下来，面积不断变为最大，形状也逐渐变成了一个圆。

大家好，我是掌代研究所的丧，我们又见面啦，今天我们要研究的问题是，在周长相等的情况下，正方形和长方形谁的面积更大？以及我们知道这个之后在现实生活中能干什么呢？ 好，那我现在呢，来画一个长方形，这个长方形的长是四厘米， 宽是两厘米，那他的周长就是括号二加四，括号乘以二等于十二厘米。好，这是一个周长十二厘米的长方形，现在再来画一个正方形，这个正方形的边长 长都是三厘米，所以呢，他的周长就是三乘以四等于十二厘米，也是十二厘米。现在我们有了两个周长相等的图形，那我们再来计算一下他们的面积吧。 长方形的面积是长乘以宽，也就是四乘以二等于八平方厘米，那正方形的面积呢？三乘以三等于九平方厘米。哎，为什么正方形的面积却比长方形的面积大呢？ 虽然这是我们用数学公式算出来的，但是数学公式是一种很抽象的东西，那三四年级的小朋友们呢？刚从具象思维过渡到抽象思维，什么是具象思维和抽象思维呢？具象思维就是我们能看得见摸 得着的东西，就像我刚刚画了一个长方形和一个正方形，你可以看到什么是长方形，什么是正方形？那抽象思维呢？就是我们看不到摸不着的东西，例如你奔跑的速度， 我们的时间，或者是你手上千千万万的细菌。再往远了说，在那些我们还到不了的宇宙中的地方是什么样子的呢？有什么呢？ 这些都属于抽象思维的范畴，但是这些我们看不到摸不着的抽象思维，却可以用数学公式把它给算出来，是不是很神奇呢？ 例如科学家们，他们从来没有见过宇宙中的黑洞，可是他们怎么知道有黑洞这种东西存在呢？好了，说了这么多，回到我们的问题上， 刚才呢，我们用数学公式算出来，在周长相等的情况下，正方形的面积比长方形的面积要大。那现在呢，我们就来用具象思维观察一下，到底是不是这样子呢？ 我先来画一个竖轴，在这个竖轴上横着的箭头上有一二三四四厘米，那竖着的箭头上呢，也有一二三四四小格，代表四厘米。现在我把刚才我们画的那个长方形给他拽过来， 好放在竖轴上之后，很明显我们可以看出长方形的长是四厘米，宽是两厘米。那现在呢，把正方形也给他拽过来，正方形放在竖轴上之后，很 明显可以看出他的边长是三厘米。现在这两个图形有重叠的部分，对吧？那还有不重叠的部分，我们把正方形多出的部分呢，涂上黄色，把长方形多出的部分涂上红色， 现在再来观察，很明显涂黄色的部分要比红色的部分大，对吧？那么现在再来用数学公式证明一下，涂黄色的部分，它是一个长方形，所以要计算出它的面积，长乘以宽，它的长是三厘米， 宽是两是一厘米，所以呢，面积是三乘以一等于三平方厘米。那涂成红色的部分也是一个长方形，它的长是两厘米，宽也是一 厘米，所以呢，面积是二乘以一等于两平方厘米，看和我们观察出的结果是一模一样的。 好，现在我们已经知道两个周长相等的图形，他们的面积是不一定相等的，对吧？那现在呢，我们再来多出两个图形，一个是三角形，一个是圆形。好，现在谁的面积更大呢？ 这就要等到你掌握更多的数学知识，能够更熟练的运用你的抽象思维的时候，再来解决这个问题。现在我可以把答案告诉你， 这四个图形，在周长相等的情况下，圆形的面积是最大的，可我们知道这个有什么用呢？那今天我在经过学校门口的时候啊， 我看到好多小朋友都带的有水杯，有的小朋友水杯是这样的，有的小朋友水杯是这样的。 现在我们假设你明天要去爬山，所以你要选择一个容量更大，能装更多水的水杯。 好，摆在你面前的就是这两个水杯，他们两个的大小都是差不多的，那高度也是一样，唯一的区别就是一个是正方形的，一个是圆形的。那你现在要选择哪个水杯呢？ 我们已经知道周长相等，圆形的面积是最大的，所以一定要选圆形的水杯，他才能装更多的水，对吧？那现在来看这个是什么呢？这个是我们大街上随处都可以见到的井盖，对吧？一个井盖， 为什么大多数的井盖都是圆形的呢？我们想象一下，如果一个工人叔叔，他想要下井去工作，那圆形他的面积更大，工人叔叔下井的时候，他的空间是不是也更大呢？工作起来就更方便，对吧？ 那现在我再来问你，什么形状的碗能盛更多的饭呢？你一定能答的出来，对吧？好了，今天的内容呢就到这里了，我们下期再见，拜拜。 嗯。

大家好，我是莹莹老师，这次我们要分享的是小升初的全真模拟系列，我们需要比较周长相等的圆正方形还有长方形，他们谁的面积大？我们一起来看题来分析一下。 用一条长一百厘米的铁丝分别围成了以下的图形，问谁的面积最大？里面有圆，有正方形，有长方形。那我们先写一下每个图形的面积公式，圆面积 应该等于派二的平方，正方形的面积应该等于边长乘以边长， 长方形的面积应该等于长乘以宽。那我们来写一下啊，他们的周长公式分别是 c 等于二，派二， c 正应该等于四倍的边长， c 长应该等于长加宽括号再乘以二。 那么我们首先啊，我们首先来比较其中的两个，比如说我们来比较正方形和长方形，我们来看他俩的关系，他们的周长用一百厘米的铁丝围成的嘛，他们的周长 长是一百厘米，所以我们可以得到正方形的边长就应该等于一百除以四等于二十五， 对吧？那么长方形我们能得到什么呢？是长加宽一共等于五十，那我们来讨论一下哈，如果这个长和宽一个是一，一个是四十九，可以吧？那你说正长方形的面积是不是就是长乘以宽就应该等于四十九， 对吧？那你说他如果是二十四和二十六，是不是也是可以的？ 二十四加二十六也是等于五十的，对吧？那二十四乘以二十六，我们不算出来是多少，是不是也知道他一定比他大，也就是说当长方形他的 长和宽数值越来越接近的时候，他的面积是最大的，对吧？那我们要想知道长方形的面积和正方形的面积，他们两个谁大， 是不是你就需要去比较二十五乘以二十五和二十四乘以二十六，谁大？是这意思吧？那我们来做一下哈，比较大小，我们一共有两个方法，一个是做插法， 一个是做伤法。做差法呢？我们是与零比较，做伤法呢是跟一去比较，这里面我们用做差法，我们来算一下，二十五乘以二十五，减去二十四乘以二十六。同学们还记 记得我们之前做过一个运用平方差公式来代替的，就是我们把二十四看成二十五减一，二十六呢看成二十五加一，所以他应该等于二十五乘以二十五 减去括号二十五的平方减去一的平方，对吧？这是一个平方差公式，如果你不会的话呢？我们可以把二十六看成是二十五加一，然后用乘法分配率去分配一下啊。因为这里面是一个计算的中间过程，我就选择用平方差了，再给同学们再演示一遍， 所以他应该等于二十五的平方减去二十五的平方，再加上一，最后的结果应该等于一，说明是什么？我们现在在用做叉法对不对？一肯定是大于零的，如果这两个数的叉大于零，说明 什么？说明二十五乘以二十五，他就一定是大于二十四乘以二十六的，也就是说， 也就是说什么意思？正方形的面积肯定是大于长方形的面积的，所以现在我们要想知道谁的面积最大，我们是不是应该比较正方形的面积和圆的面积谁大谁小，对吧？那我们来计算一下哈， 圆的周长是 c， 等于二，派二，对吧？他等于一百，所以我们能得到半径应该等于什么呀？半径应该等于派分之五十，是吧？ 那圆的面积应该等于什么呢？等于派 r 的平方就应该等于派，乘以 派的平方，分之五十的平方约掉一个派，所以他等于派分之五十的平方，是这意思吧？ 那现在我们要比较的就是二十五的平方和派分之五十的平方。 如果我们用做叉的方式，上面两个有平方，可是派并没有，怎么办呢？我们还可以怎么样？哎，我们还可以用做啊 商的方法。什么叫做商呀？他们俩肯定是不为零的，对不对？如果他们俩不为零，我可以给他们俩相处， 只不过除去的商，我们要跟谁进行比较？哎，要跟一进行比较，这就是做商法啊。我们来算一下，他就等于二十五的平方除以一个数等于乘 同意这个数的倒数，对吧？我们在这里面可以把二十五的平方和五十平方约一下分，他是不是就是五十乘以五十，五十跟一个二十五去约剩二，那么个两个呢？就是二的平方，所以就等于四，应该等于四分之判， 那么四分之派派是三点一四一五九二六，对吧？他肯定是小于四的，也就是说分子肯定是小于分母的，所以你说这个分数值应该怎么样？他肯定是小于一的， 是这样吧。同学们，那如果你判断出来他是小于一的，说明什么？说明这个数字是比这个数字小的，也就是二十五的平方， 方是小于太分之五十的平方的，二十五的平方是谁啊？哎，是正方形的面积， 太分之五十的平方是谁呢？是圆的面积，所以我们就得到了这样的关系，正方形的面积是小于圆的面积的，那也就是说在这里面谁最大呀？哎，圆的面积最大。通过这个计算呢，我们可以得到这样的一个结论， 周长相等的圆，正方形和长方形，他们的面积关系是怎样的呢？ 是圆的面积大于正方形的面积，大于长方形的面积。这个结论啊，可以直接拿来用。陷于填空或者选 选择的时候，我们需要比较大小的时候，你可以直接拿来用啊。周长相等的圆正方形、长方形，他们的面积关系是这样的，圆的面积大于正方形的面积，然后大于长方形的面积，这是一个结论， 我们通过坐插法和坐伤法两种方法来完成了这个面积的比较，同学们，你们掌握了吗？ 好了，今天的分享就到这了，我们下次再见。

好，我们来看这样一道判断题，周长相等的正方形和圆，他们的面积比是派比四， 我们看派比四，他没有写成三点一四去除以四，得出一个准确的结果来，他只要找到这么一种关系就可以了，所以呢，我们在解答的时候呢，也可以尽量用字母去表示，这样就省去了计算的麻烦。好，我们来看 正方形的面积怎么样，求周长，我们用 c 来表示除以四 就得出来了，正方形的边长，边长成边长得出来的就是正方形的面积。再来看 圆的面积，周长除以二派得出来的就是半径，半径的平方， 太 r 半径的平方，那么就是圆的面积。 然后我们把这个笔啊去进行化解就可以了，我们来化解一下这个笔，笔的前项等于的是十六分之 c 的平方，再看笔的后项 等于的是四派分之 c 的平方，然后接着进行化解啊，等于的就是派比四，可见这个判断题呢是正确的。

大毛有八米长的篱笆，他要在院子里的墙角围一个长方形的养猪场，那他怎么围养猪场面积才能最大呢？咱们来试试。如果长是七，宽是一，面积就是七乘一得七， 换成六和二，面积就是六乘二得十二，换成五和三，面积就是五乘三得十五。而如果是四和四，那就变成了特殊的长方形、正方形，它的面积就是四四十六， 发现没？长和宽越接近，长方形，面积就越大，当他俩最接近时，面积就是最大的。 这些长方形长跟宽的核相同，都是八，这个时候他们越接近，成绩就越大，这就是我今天要讲的合同。进鸡蛋注意啦，要用这个规律去求最大成绩，一定要保证他们的核一直 不变才行。大宝养的猪越来越多，一个养猪场不够用了，于是他又买了四十米长的篱笆，准备围一个不靠墙的长方形养猪场。这样的养猪场面积最大是多少呢？ 周长是四十，长跟宽的和就是四十，除以二得二十和固定不变。那他俩最接近时乘积就最大，也就是面积最大。 最接近的是十和十，那面积最大就是十乘十得一百。利用合同间接大这个规律，咱们还可以解决一些其他的实际问题。 比如大毛、二毛、三毛、四毛、五毛和六毛进行其主比赛，他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那一共最多有几场比赛呢？如果大毛、二毛一组，其他四人一组，那大毛 就得跟他们各比一场。二毛也一样，一共就要比二乘四场，这个二就是这一组的人数，而这个四就是这一组的人数，所以这里的比赛场数其实就等于两组人数的成绩，两组人数之和是六，那他俩最接近时成绩就最大，也就是比赛场数最多， 最接近的是三和三，那最多就会有三乘三得九场比赛。好了，以上就是这个视频的所有内容，两个数的和一定他们越接近成绩越大，要用合同进阶大的规律去求最大成绩，一定要保证他们的和一直不变才行。怎么样，明白了吗？

我的数学我做主来看到圆的经典易错题，周长相等的圆、正方形和长方形，它们的面积比较的话是怎样的？ a 圆最大 b 正方形最大 c 长方形最大， b 一样大。 很多同学对于这道题的话，要么不会，要么只记住了答案，那这道题应该怎么做呢？ 其实我们常用的方法就是假设法，什么意思呢？我可以假设正方形、长方形和圆的周长都是多少？十六， 当然你也可以假设其他的数没有关系，则我就可以得到什么呢？正方形的边长是不是等于周长除以四啊？那就是十六除以四等于四，那我就可以算出正方形的面积是 四乘四等于十六，边长乘边长嘛。再来看长方形，长方形，这里它有一个特殊的点，我们在三年级学习长方形周长的时候就学过 对长与宽，如果长方形的长与 car 越接近的话，那这个长方形的面积就越大， 所以我取长为五，宽为三，因为它的周长是十六的哈，长和宽的和就是十六除以二等于八，我取长为五，宽为三，那长方形的面积就是五乘三等于十五。 那对于圆来说的话，我们知道圆的半径等于周长除以派除以二，那就是十六除 为派除以二，那这个算出来的话，应该是派分之八，也就是说圆的半径是派分之八，那圆的面积派二平方，那就是派乘上派分之八的平方， 最后算出来的话，他大约等于二十点三八，当然计算的话需要你自己去算，那我们再来比较，二十点三八大于十六，大于十五，显然余案的面积是最大的，你学会了吗？