一次函数与动点最值问题

有关一次函数的问题是许多八年级学生的薄弱点，如果把函数问题在结合上动点最直，那可谓是难上加难。 今天我们讲一道题，希望对您有所帮助。好，我们来看题。如图，在平面直角坐标系中，长度为三的线段 cd 在 x 轴上移动，点滴在点 c 的右侧。另外又告诉我们 a 点和 b 点的坐标连接 ac 和 bd， 这 ac 加 bd 的最小值为多少。 我们首先来看问题中的这两条线段，在线段 a、 c 的端点中，点 a 为已知坐标的定点点 c 是动点。 而在比敌中，点比为定点点，敌为动点。另外，动点 c 和动点 d 他们都是在 x 轴上运动的，并且在运动的过程中，两点之间的距离始终保持为三。这和我们之前讲过的将军野马模型有着许 相同之处。不同的是，在此题中是有两个动点，而标准的将军营马是只有一个动点的。那这时我们就要考虑能否把问题里两条线段中的某一条通过等长转化使他们拼接到一起，从而把两个动点转化为一个动点。 好，我们就以 b、 d 为对象，想办法把 b、 e、 d 转化为另一条与自身长度相等，并且又和 a、 c 有着公共端点的线段。 这时我们可以通过平移，把 b、 d 沿 x 轴向左平移三个长度单位，也就是线段 c、 d 的长度。 这样我们就得到了一个平行四边形 e、 c、 b、 d。 而根据平行四边形的性质，无论 c、 d 这条线段在 x 轴上运动到什么位置，在平行四边形 e、 c、 b、 d 中， b、 d 的长度总是等于它的对边 e、 c 的，并且 e、 c 和 a c 又有着公共端 点 c， 那此时题目中要求的 a c 加 b d 的最值问题就被我们转化成了求 a c 加 e c 的最值问题。而在 e c 这条线段中，它的端点 e 是由定点 b 向左平移三个单位后所得到的对应点， 因此点 e 他一定也是一个定点，并且通过点 b 的坐标，我们很容易可以求得点 e 的坐标，即为负三斗四。现在我们再来看 ac 加 ec， 因为点 a 和点 e 是定点，点 c 是在 x 轴上运动的动点，那这是不是就是一个标准的两敌一动将军引码问题？ 接下来我们即可按照将军引马对垂对联的解题步骤，先做出点 a 关于 x 轴的对称，点 a 一撇，那它的坐标即为零豆负二，然后连接 e a 一撇，再利用两点距离公式求出 e a 一撇的长度，因为 e a 一撇的长度即为 a c 加 e c 的最小值，那同时也是题目中要求的 a c 加 b d 的最小值。 总结一下，像这道题中这类两定两动并且两动点之间的距离为定值的线段和最小值问题，我们可以通俗的称它为将军六马形象的说就是将军牵着马到河边饮水后，并没有立刻返回军营，而是沿着河牵马走了一段路后才开始前往军营。 在将军六马问题中，我们往往是把要求最直的两条线段中的某一条线段经过平一定长的距离， 或者说利用构造平行四边形进行线段转化，单点一线把双动点问题转化为我们所熟悉的单动点问题，再通过将军营马的解题方法，构造轴、对称权等对锤对联化折为值。

想在压轴题上拿分，你要先拿下这道题。依次函数结合平行四边形的动点最值问题。 好，我们来看题，已知菱形 oabc 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 a， 他的坐标是十豆零对角线 ob 的长度是八倍的根号五 点 p 是对角线 ob 上的一个动点，而点滴的坐标是零斗一，那它就在歪轴的正版轴上。问我们，当 cp 加 dp 最短时，点 p 的坐标为多少？ 我们来分析问题，因为题目中问的是当 cp 加 dp 最短时，点 p 的坐标为多少，那我们首先就要把这一个点 p 的位置给确定下来。 我们来看这两条线段，在线段 c p 中它的一个端点 c 是这一个菱形的顶点，因此呢，它为一个定点，而点 p 是在 o b 上运动 的一个动点，而在另一条线段的 p 中，点的又是 y 轴上的一个定点，因此呢，他就是一个两定一动的最值问题。而动点 p 的运动轨迹又是一条直线段，因此他就是我们之前所熟悉的将军引码模型。 既然是将军引马问题，我们就按照他的解题步骤来做对垂对联。首先，我们以动点 p 的运动轨迹 ob 为对称轴，做其中一个定点 c 的对称点，那我们根据菱形的性质就可以得知点 c。 关于 ob 这一条对角线的对称点即为点 a。 好，我们得到了定点 c 的对称点点 a， 此时我们再来做将军引马问题中的第二步，也就是对联，我们来连接另一个定点 d 与对称点 a 他们之间的连线，那此时连接线段 d a 的长度即为 c p 加上 d p 的最小值，而 此时 d a 与 o b 之间的焦点，即为当 c p 加 d p 最短时，这一个动点 p 它所在的位置。 好，那我们有了点劈的具体位置，我们如何来求这个点劈的坐标呢？因为这一道问题呢，是在直角坐标系背景下的一个问题。而 ob 这一条线段，它所在的直线刚好是经过直角坐标系的圆点 o 的，因此呢，它其实就是一根正比例函数的图像。 而线段 da 所在的这一条直线，它既为一根一次函数的图像，又因为点 p 是这两根函数图像的焦点，因此我们就可以通过连力这两条直线的解析式，再通过解方程组的方法来求得他们焦点点 p 的坐标。 那我们首先来看 d a 这一条直线，因为在 d a 这一条直线上，点 a 的坐标我们已经有了，是十斗零，而点 d 的坐标呢，又是零斗一。因 是我们通过待定系数法就很容易可以得到 d a 这一条直线，它的解析是即为 y 等于负的十分之 x 加上一。 好，我们再来看欧比这一根正比例函数的解析式，我们只要得到点 b 的坐标，就可以求得 ob 的解析式。接下来我们就是来看如何来求得这一个点 b 的坐标。 好，我们来观察图形，因为点 b 呢，是菱形 o a b c 的一个顶点。因此我们根据题目中所给的条件，可以用两种方法来求得点 b 的坐标。第一种方法，我们可以利用面积法来求得点 b 的坐标， 由此我们就可以得到点鼻的坐标，即为十六斗八。我们有了点鼻的坐标，就可以利用带定系数法来求出欧鼻，它的解析式也就是 y 二是等于二分之一的 x。 然后呢，我们 再通过连力这两根函数的解析式来求得他们的焦点 p 的坐标。那在这道题中呢，我们要求点 b 的坐标。还有第二种方法我们来看，因为 b h 这一条线段，它既是直角三角形 o b h 中的一条直角边，又是直角三角形 a b h 中的一条直角边。 因此呢，我们可以通过两次勾股来列出一个关于 a h 这一条线段长度的方程，再通过解方程去求得 a h 这一条线段的长度，那有了 a h 的长度，我们自然就可以得到 b h 以及 o h 这两条线段的长度，那也就是得到了点鼻的坐标。 我们虽然练的是题，但真正要提高的是我们的解题能力，因此呢，同学们要做好题后的总结。好，我们再来看下一道题。

胡不归问题一定是我们新初二考试当中的热门高频考点，如果一旦胡不归再遇上一次函数的综合，可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天薛老师带你用一个视频 彻底通透如何在依次函数当中调解胡不归的最值问题。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的，他说 p 点呢，为 x 轴上的一个动点，那你随便选个点啊， p 点在这个地方，好在连接我们的 bp。 那 么这个时候哈，他问这个动点， p 点在什么地方？我们的 p a 加上二倍的 p b。 哎，二倍的 p b， 这个两个边之合呢？正好有最小值啊！问，最小值以及我们 p 点应该等于多少？ 徐老师已经把依次函数经典题型包括面积问题等、腰三角形存在性问题、全等三角形存在性问题、背角问题 等点问题、新定义问题等考试必考题型，再结合往年考试专题，优中选优，整理成了一次函数十七大专题，练完考试直接拿满分，需要的家长我发领一份， 好来。同学们，哎，我们在讲这道题之前呢，我们先来简单回顾下弧不规模型的构造方法和技巧。好吧，来，我们先看这个图。哎，这个图呢，是这样去说的啊，他说 a 点和 b 点呢，为两个定点， p 点为直线上的一个动点。好问， p 点这个动点在什么地方？ b p 加上 m 分 之 n 倍的 a p， 这两个边之合呢？正好有我们的最小值。那这个 m 分 之 n 呢？它是我们 a p 边前面的一个系数啊，它是一个什么变化的值啊？那么在我们初二阶段，对于弧不规的系数考察，我们通常情况呢，有三种形式，哎，我们一起来分析一下啊。 对于 m 分 子，第一种形式就是系数等于二分之一的时候，那么就是 b p 加上二分之一 a p 的 最小值，那就是我去构造一个二分之一的 a p 边，对吧？来，这个时候大家思考一下，二分之一这个系数大家很熟悉吧？哎，我们在学了勾股定律之后，大家思考一下哈， 我们直角三角形当中，如果出现哪个特殊角，我们的边的比值会出现一比二呢？很简单，那无非就是我们什么呀，三六九的直角三角形来看一下，比如说这个角是九十度， 这个角呢是三十度，对吧？好，那么这个时候三十度对应的边为斜边的一半，这个为一份，这个为根号，三份，这个就为两份，所以一比二正好是三十度的对边， 比上它的斜边，对吧？好，我们再来分析这个二分之一 ap， 那 么这个时候斜边是长边，我们的直角边呢是短边，所以呢，这个 ap 边应该就是我们的 斜边，哎，斜边的一半，所以二分之一 ap 的 整体呢，它应该就是我们的三十度所对应的 直角边，对吧？好，所以分析出来之后呢，我们可以得到，我们应该在这个图当中呢，去构造一个以 a p 为斜边的含有三十度的直角三角形， 那如何去构造呢？来，我们看一下题目当中，我们要去构造的是二分之一的 ap， 所以 接下来哈，我们的方法和口诀就是，哎，绕着构造边的定点旋转对应度数。构造边，我要构造边，那么它的定点 不就是我们的 a 点吗？好，来 a 点，把构造边绕着它的定点往 e 侧方向旋转，对应度数二分之一，我们分析出来了，度数应该是三十度。好， e 侧 b p 在 上方，所以呢，我应该往下方啊， e 侧方向旋转，我们的 三十度，看到没有三十度，那这这个时候你看，三十度已经出来了， a p 为斜边，接下来还需要去构造一个直角，哎，因为三十度只有在直角当中才有一比二出现，对吧？哎，如何构造呢？很简单，过屁点做一条垂线 啊，这个就是我们的系列，你看 a p 是 斜边，三十度直角是不是出来了，那么这个时候呢？哎，这个边为一份，这个边为两份，所以呢，我的二分之一的 a p 就正好等于三十度的直角边对应的没问题吧，就是 p t， 那 就变成 b p， 再加 p t 这两个首尾相连的折线段之和的最小值。那么对于折线段之和最小，我们说应该当三点共线有最小值，所以呢，我直接过 b 点向它做 垂线，这个垂足点就是我们的 c 点，这个焦点就是我们的 p 点，是不是出来了啊，所以非常的简单哈，好，这是我们第一个看到二分之一，应该想到对应的度数呢，应该是三十度。好，第二种考察形式，我们的系数会变成二分之根号， 来看到二分之根号二，大家同样哈去回顾思考一下。那么哪个特殊角哎，出现在直角三角形当中，他的比值会出现二分之根号二呢？哎，只有一个，那就是 等腰直角三角形，看，这个角是四十五度，这个角呢，是九十度，对吧？好，一比一比根号二。同样哎，四十五度的对边比上斜边， 一比根号二，是不就是二分之根号二，哎，所以呢，我们可以总结一下哈，这里的 m 分 之 n 这个系数呢，正好等于咱们这个特殊角的对边，比上我们的斜边啊，哎， m 分 之 n 就 正好等于我们的对边啊，再比上我们的斜边，所以呢， m 分 之 n 的 什么，它的一个范围也出来了，因为我们对边肯定是小于斜边的，它要长一些，它要短一些，那对比斜， 它的比值肯定是小于一，然后大于零的，对吧？所以呢，我们弧部位的系数哈，一定是小于一的，大于零的。那么同样，所以二分之根号二，我们的旋转的度数也出来了，应该是 四十五度。好，第三个就是二分之根号三，哎，同样哈，来，大家回顾一下，二分之根号三，我们应该想到哪个特殊角度呢？哎，跟我们三十度很像，看到没有，这个是三十度， 这个是九十，那他就是六十，这个为一份，这个为根号三，这个为两份，对吧？那么这里的是二分之根号三，就正好是六十度的对边，比上我们的斜边，所以呢，看到二分之根号三，我们该旋转 六十度，没问题吧？好，这是我们常见的初二阶段的哈，胡不归的三个系数。来，我们最后总结一下，看到这三个系数，我们什么应该想到对应的 旋转度数。好，那如何旋转呢？哎，就应该是绕着构造边，比如说二分之根号，我们就往一侧旋转四十五度，如果看到二分之根号三，我们应该往一侧下方旋转六十度，然后再过这个定点，向这个直线做垂线，就是我们的最小值， 听懂了吗？好，有了这个知识储备之后，我们来我们看这道题，那就非常简单了哈，他说 p 点为 x 轴上什么一个动点，对吧？来，我们找一个，这是 p 点。好，这个时候呢，连接我们的啊， b p 哎，连接 b p， 哎，需要什么？求我们的 p a， 再加二倍的 p b 的 最小值。 那么他跟胡不归很像，但是呢，又有区别，我们说胡不归的系数，一个是等于一，一个小于一，他是一个等于一个大于一，那怎么办呢？要把系数变成小于一，所以接下来我们应该提系数啊，提多少？提二出来，提二出来就变成 p b， 再加上二分之一倍的 p a 了，对吧？你看，这个时候就很简单了，我只要把这一点的最小值 求出来，再去乘以二就可以了。那看到二分之一，我说立马想到旋转三十度啊，来构造二分之一的 pa， 我 应该去构造边的定点，往异侧方向旋转三十度，构造边 p a 嘛，定点是我们的 a 点来，所以把 ap 绕着 a 点往异侧方向 p b 在 下方来，你就往上方。哎，这个很简单哈，旋转三十度，对吧？好，这个角度是三十度不就出来了吗？ ap 是 我们的斜边，我再过 p 点向这个边 做垂线，就是我们 t 点啊， t 点，所以二分之一的 pa 不 就是 pt 吗？就变成 b p， 再加 pt， 这两个首尾相连的折线段是和最小，当三点空线有最小时，所以呢，直接 过 b 点向它做垂线啊，做垂线。你看好，这个点就是我们的 p 一 点，这个垂足点就是我们的 p 一 点。是不是出来了，那最小值就等于我们求 b 七一应该等于多少？ 接下来就变成我们的大家比较熟悉的解三角形的哈。求边，我们一定要把它放到特殊三角形当中，有没有特殊角呢？当然有，你看这个是三十度， 这个是九十度，这是 o 点。好，那他就是六十度，是不是六十度，这个是我们 s 点，你发现没有，我们的 b t 正好在这个三六九的直角三角形当中。哎，我们只要知道一个边， 我们的所有边数都出来了，因为比值为一，比根号三比二。好，我们来算算哈。题目告诉我们，这个直线解决式是 y 等于 x 减三，那么所以我们的 o a a 点就为三到零， o a 就 等于三，对吧，那我们的 o b 呢？也等于也等于三。好，这个为三，那么这个是三十度，所以呢，我们 os 就 传 os 为几，一比根号三比二，对吧？一比根号三比二，那这个为三，这个边就为根号三啊，根号三， os 出来了，好， os 出来了，所以我们的 b s 也出来了，这个为根号三，这个为三，所以等于三，再加上 根号三。啊，这个斜边出来了，那我们这个直角边是不是也出来了？所以 s t 一 应该等于斜边的一半二分之三，再加根号三。好，所以我们的 b t 一， 那不就出来了吗？一比根号三，这是一份，这是根号三份，我再把它去乘以一个 根号三，哎，就可以了。好，等于几就等于二分之三，再加上三倍根号三。但是最后不要忘哈，你这个求出来的应该是这括号里面的最小值，你还说什么，前面再给他乘以个二，哎，我们分母正好递消掉了，等于三，再加上三倍 根号三。好，是我们第二个空，那第一个空也出来了，他要求 p 点坐标， p 点在这个点应该是最小值。这个呢，这个时候呢，他是三十度， 哎，这个边正好在这个直角三角形当中。好，这个为三啊，一比根号三比二，那所以我们的 o p 一 就等于等于三，除以根号三等于根号， 是不是根号三，所以 p 点坐标为多少根号三。哎，逗理哎，这道我们的依次函数和我们的弧部位的综合，你听懂了吗？关注徐老师，数学满分不迷路！