北师版数学六年级下册微课正比例

嗨，同学们大家好，欢迎来到卡老师的数学小课堂，我是最懂你们的卡老师，今天我们要一起学习的是同步小学数学六年级下册第四单元的第二课时，叫做正比翼。那什么是正比翼呢？我们通过下面这道例题啊，来了解一下。 下面是正方形的周长，边长、面积，他们之间的一个关系。好，我们呢先把这个表格填写完整，然后呢说一说你分别发现了什么。来，我们先来看第一个表格呢，说的是边长和周长之间的关系，那接下来呢，前面已经给了我们一组数据了，当边长等于一厘米的时候，周长等于四厘米。 揭开这两个空，我们能不能直接填出来呢？哎，这个很简单，其实就是考我们周长公式的，对吗？我们说正方形的周长呀，等于边长乘以四，所以呢，这个空二四得八，这个空呢三四十二。 紧接着呢，我们其实还可以再往后写一组数据，前面是边长分别为一二三的时候，那接下来呢，我按顺序写一个，写一个边长为四的时候，那求他的周长呢是四四十六。 那第一个表格呢，我就填完了，第二个表格呢，也是一样的。好，在这里面呢，我们探究的是边长和面积之间的关系，所以呢，边长为一的时候，面积等于一，那边长为二的时候，面积等于多少呢？应该是边长的平方，所以是四， 当边长等于三的时候呢，面积呢，就变成九了。接下来这个我还是按顺序再往后写一个好，那么四四十六， 那这两个表格对大家来说应该都是特别简单的，对吗？我们着重呀，要分析的是下面这个问题，现在说呀，对比这两个表格，周长与边长，还有面积与边长，他们的变化规律是否相同？那首先我们来看一下， 在第一个表格里面呢，最直观的就是，当边长呢，逐渐增加的时候，周长也变大了，第二表格呢，边长增加，面积也变大了，那这么来看的话，两个表格的规矩是不是一样呀？哎，别着急，我们仔细的分析一下， 在这里面呢，我们来对照一下第一个表格和第二个表格，第一个表格里面，边长每次增加了一厘米，那么第二个表格呢，也是一样的，但是 第一个表格当中，周长呢，随之每次增加四厘米，对吗？好，他们两者之间的差是相等的，而到了面积里面呢，你会发现他们两者之间的差就不再相等了，分别是 三平方厘米、五平方厘米和七平方厘米，对吧？所以这样仔细分析一下，好像这个变化的规律多少还是有一点不同的。好，那我们再详细的分析一下，你会发现，根据周长和边长之间 关系啊，我们可以得到，这二者之间其实是一个倍数关系。怎么说呢，周长除以边长不就等于四吗？对吧？现在把刚才我们用的那个周长公式倒过来了，而在这里面呢，如果你用面积除以边长得到的是什么呢？面积除以边长 还是边长？而这个边长呢，在整个这个题目当中呢，又是一直在变化的，所以相对来说的话呢，他得到的量是一个变样，对吧？而刚才我们说的周长除以边长 得到的则是一个不变样，一直都等于四。好，那么这是二者之间的一个联系和区别。那接下来呢，我们再来看这道例题，一辆汽车呢，以九十千米每小时的速度行驶，行驶的路程啊与时间如下表所示。 现在呢，还是让我们先把这个表格填写完整，然后看一看能从表中发现什么。那首先呢，这道题考察的是一个路程，时间，速度之间的关系，我们也已经滚瓜烂熟了，所以呢，老师就不再多说了， 直接把这个数据填进去，我们来看一下，根据第一组数据呢，一个小时走九十千米每小时，那后面这个那就是五个小时，四百五十千米，六个小时呢，五百四十千米，七个小时则是六百三十千米。紧接着呢，后面还有一栏，这栏我们还是按顺序写， 当行进时间是八个小时的时候，那对应的路程应该是七百二十千米。好，那从这个表格里面我们能发现什么呢？首先一点还是最基础的，从左到右，时间一直在增加，路程也随之增加，对吧？好，那接下来我们还用刚才 a 二刚刚用过的这样一种分析方式来分析一下，你会发现，时间每次增加一小时的时候啊，这个路程呢，随之增加九十。好，接下来我们可以把二者对比，你就会发现这里面啊， 路程除以时间得到的这个值怎么样？是一定的，都是九十千米每小时，比如说第二组数据，一百八十除以二也是九十，二百七十除以三也是九十， 相当于就是把路程除以时间求了一下速度，对吗？好，那说完了这个之后呢，其实我们就得到了今天正比例的一个含义了。那首先呢，课本上对于正比例的定义是这样的， 像路程和时间一样，两样呢，一个样变化，另外一样随之变化，而且呢他们的笔直一定，那么这两样呢，就是正比一的样，他们之间呢就是正比一的 关系。对于这个定义呢，太长了，不太好记，所以呢，老师直接把它简化为三个字，其实笔直一定不就是商一定吗？对吧？所以只要这两个样啊，他们无论怎么变化，商是一定的，那么这两个样就是正比例的样。好， 在这里面呢，老师还要再补充八个字，叫做你大我大，你小我小。好，这个怎么理解呢？这个你可以把它当做一个正比喻的性质， 比如说我们刚才前面举的几个例子，你会发现都是随着一个样增大，另外一个样呢也随着增大，对吗？好，当然你也可以反过来看了，如果从右往左看的话呢，这个样变小的时候，另外一样也随着变小。好， 这两个我们都需要记一下。好，那说完了这个呢，接下来我们再来看一下立四，那立四呢，直接就让我们分析一下圆的面积和半径是否是成正比。好，来说一说你是怎么想的？那这个 我们就需要从正比例的定义入手了，就记住刚才老师说那三个字，商一定。好，那我们分析一下他俩之间的这个商是不是一定的，那我们就需要用面积除以半径。 这道题里面没有给我们具体的数据，那怎么办呢？哎，我们直接从这两个样之间的关系入手去分析一下。那首先呢，提到面积，提到半径，那自然而然我们要联想到什么呀？我们要联想到圆的面积公式啊，圆的面积公式是 s 等于派二平方。 现在呢，我用这个面积除以这个半径，同学们看一看，得到的是什么？哎，用等式的基本性质，可以把这个式子呀，变换一个形式，两边同时除以一个半径就可以了，那得到是什么呢？其实等式的右边就变成了派啊， 也就是圆周率乘以半径，对吧？我直接用汉字的形式呢，把它写出来，圆周率 乘以半径，那么根据我们前面所说的，如果要乘正比例， 商必须是一定的这样一个原则，你可以对比一下，在这里面呢，面积和半径呢，是两个变样，对吧？一直在发生变化，而最后的这个结果呢，由于 半径是在发生变化的，所以这个结果怎么样？是不是也要跟着变啊？因为结果里面有一个半径啊，虽然圆周率是固定不变的，对吗？所以我们就可以得到了，二者之间啊，不是正比例的关系，因为 比值是不一定的，也就是那个商一直在变好。那这道题其实可以改一下，怎么改呢？我可以让他这样来说，面积和半 半径的平方成正比。哎，同学们想一想，这是为什么呢？我还是从这个公式入手啊，如果是面积和半径的平方，那我就需要用面积除以半径的平方，也就是 s 除以二平方。 好，那这个结果得到的应该是什么呢？根据这个式子，我们很明显能看出来，得到的应该就是派，也就是圆周率了，对吗？而这个派我们说了 固定不变的一个样，所以啊，他俩之间是可以成正比例关系的，但是单独一个半径是不行的。好，类似的，还有什么呢？类似的还有比如说正方形的面积和正方形的边长之间也是这样一个关系，就是我们在刚刚第一道例题里面提到的那个。好，那接下来呢，我们再来看一下。例五， 乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。那首先呢，填这个表不难，我们来看一下，乐乐呢，分别是六岁， 七岁，八岁，一直到十一岁，那爸爸呢？是三十二岁，三十三岁，那接下来是不是也是每年长一岁啊？对吧？我们直接填就可以了，三十四，三十五，三十六，三十七。 现在让我们讨论他们的年龄是否成正比例，为什么依然是从定义入手，我们就求一下他们之间的比值，或者说那个商一样不一样就可以了。好，那我们随便找两组数据。 我说呢，我找一下前面这两组，那第一组数据当中呢，三十二除以六，结果应该是多少呢？等于三分之十六。好，这个地方不需要用小数表示，直接用分数就可以了。那接下来呢，三十三除以七 等于七分之三十三，这个不用多说了吧，明显这两个值就不一样，对吗？后面呢，就不用一个一个再挨个试了。所以呢，我们说他们之间啊，不是正比喻的关系。 好，其实我们还可以换一个角度来看。怎么来看呢？我们纵向对比一下，对比一下乐乐和爸爸的年龄之间还有什么关系？ 当乐乐六岁的时候，爸爸三十二岁，差了多少呢？差了二十六岁。好，那接下来呢，当乐乐七岁的时候，爸爸三十三岁，是不是还是差二十六啊？对吧？以此类推，后面几个都是差二十六， 实际上这个就相当于是年龄问题当中的一个小知识点，叫做年龄差是不变的，你长一岁，我也长一岁，对吧？所以二者之间的这个差是固定的。好，那所以呢，他们之间其实有这样一个关系，就是二者之间的差是一定的， 但是切记，我们说正比例是商一定，所以差一定一定就不成比例了。好，那么说完了这些例题呢，我们来看看今天的练习题。首先第一个，让我们判断下面个体 当中的两个样是不是正比例的关系，并且说明理由。那依然还是从第一入手。我们先来看第一小问，每袋大米的质量是一定的，大米的总质量和袋数。好，那我们就需要把这三个样怎么样 联系起来，想一想他们三者之间有什么样的关系。好，那这个关系呢，其实不难，我们可以看到，总质量呢，除以袋鼠是不是就等于每袋大米的质量，对吧？有点类似于平均分。好，所以这个不多说了，他除以他等于他，而他现在呢，是一定的，那么我们就说商一定 成正比例。好，那接下来第二个，一个人的身高和年龄。哎，我们试着除一下，如果用身高除以年龄或者年龄除以身高，你能得到什么呢？是不是什么都得不到呀？据生活常识来想一想，人在小的时候呢，刚开始随着年龄的增长，身高是会增长的， 但是慢慢的这个身高是不是就不长了，而年龄还在变化，所以呢，这两者之间啊，根本就不是相关人的两个样好，更谈不上正比例了。那接下来呢，第三个，宽不变，长方形的周长与长。好，那我们依然是想一想，这三者之间有什么样的关系？ 那是不是就联系到长方形的周长公式了？我们不妨呀，把这个周长公式先给他写出来，那应该是什么呢？周长等于 长加宽的和乘以二，我们现在要得到是什么呢？我们现在要得到的是周长比长等于什么？ 如果最后得到这个结果呢，是固定的，那么我们就说他们之间是一个正比例了，对吧？好，那我们来看一看， 通过上面这个式子，你能不能得到下面这样一个结果？好，我们可以看到啊，周长其实就相当于是两个长加两个宽，那也就是说他们之间应该是一个和一定的关系，对吗？求周长。好，那你现在利用和怎么能表示出来这样一个关系呢？很明显是求不出来的。所以呢，我们说在这里面， 二者之间也不是正比喻的关系。接下来呢，第二期，淘气呢，去购买邮票，买邮票的数量与应付金额的情况如下表，把表呢填写完整，看看从中能够发现什么。并且啊，让我们回答一下，应付金额与所买邮票的数量是否成正比喻关系。 好了，首先呢，前面已经给了我们两组数据了，第一组数据很关键，一枚付了零点八元，那就相当于是告诉我们有票的单价了，对吗？那接下来后面啊，我们就直接用单价乘以数 数样把这个总价算出来就可以了。一组数据里面呢，其实我们能直观的看出来，一枚邮票付了零点八元，那就相当于是已知 有票的单价的，那后面几个我们直接用单价乘以数量，就可以把对应的钱数算出来了。好，那老师呢，直接把它算出来，打在表格里面。好，现在我们要探究的是这两者之间是否成正比喻的关系。 好的，老规矩，从第一入手，直接用他呀，相处看一看，得到的伤是否是一定的，对吗？其实这里面啊， 即便没有下面这些数据，我们来看一看应付的金额。除以这个数养求得的是什么呢？那么就相当于是总价除以数养等于单价吗？而这个单价呢，是固定不变的，就是一枚赢面吧，对吗？所以二者的伤又是一定的了，那么我们就可以得到他俩之间是正比喻的关系。好，所以判断 正比例，简单来说就是一个方法，直接从定义入手，看一看商是否一定好。那关于正比例呢，我们就先介绍到这里，同学们，我们下一节课再见。

画正比例关系的图像， 师傅，我饿了。嗯，想吃桃子。先解答为师的问题， 你能不能说出被挡住的那部分数据哦？观察这个表格中的数据，可以发现， 总价与质量的比值是二，也就是说每千克桃子两元钱啊！这个表格我会填，通过单价乘质量等于总价。当卖出五千克桃子时， 总价是十元，卖出六千克而是十二元，而七千克而是十四元。哎，师傅，单价是定值，说明总价与质量之间是成正比例关系啊。嗯，是的， 师傅，现在可以给我买桃子了吧？哎，学知识不能一知半解。为了能更清晰地表示成正比例关系的两个量之间的变化关系，我们可以通过画图像来探究。 画图像，首先在方格纸上用横轴表示质量，单位是千克，纵轴表示总价，单位 是圆。把表中的数据在图中表示出来就行了。表示的方法可以用数对表示，质量在前，总价在后，写成一个数对。比如第一组就是一二，第二组就是二四，以此类推。 是的，接下来就是秒点。比如一二，先在横轴上找到一是这条线，再在纵轴上找到二，他们的焦点就是一二。这个点。 用同样的方法把其他点描上去。这里需要注意，当买的桃子质量是零时，该怎么表示呢？当购买的质量是零 时，总价也是零，所以应该是零零。这个点没错。下面把各点顺次连接。发现了什么？ 我发现每一组数所对应的点都在同一条直线上，而且是以零零点为起点。 是的，由于情境所限，我们现在看到的正比例关系的图像是一条以零零为起点的射线，以后随着我们学习的不断深入，就会发现正比例关系的图像是经过零零点的一条直线。 八戒，你能说出图中点 a 表示的含义吗？嗯哦， a 点对应的横轴是十二 二，纵轴是二十四，所以 a 点表示的含义是，当购买十二千克桃子时，总价是二十四元，并且 a 点在这条直线上，所以他对应的总价和质量符合这个正比例关系，哈哈。嗯， 是的，在这条直线上的每一个点所对应的总价和质量都满足这个正比例关系。看来你已经得到了为师的真传， 我来总结一下图像能够更清晰的反映出成正比例关系的两个量之间的变化关系。画图像时，第一步，在方格纸上标出横轴和纵轴，第二步， 把相关连的量写成数对，第三步，秒点，第四步，连线。 哈哈哈，我才是师傅最聪明的徒弟，哈哈哈。

刚才那节课我们研究了变化的量，那这节课我们来学习正比例。 什么是正比例呢？这也是同学们课前提出的问题。大家还记得在第一节课中，在找变化的量时，有位同学说到了边长与周长以及边长与面积之间的变化情况。 那这节课我们就用这个熟悉的数学知识继续研究。同学们，请看 下面是正方形周长和边长、面积和边长之间的变化情况。请你先把表格填写完整，再说说你分别发现了什么？ 请看你和老师填写的答案一样吗？你都发现了什么？让我们一起来听听同学们是怎么说的。 我发现不论是周长与边长还是面积与边长，他们都是边长增加，周长或面积也增加，边长减少，周长和面积也减少。 这位同学找到了他们的相同之处，那除了这个还有别的发现吗？ 我发现无论怎么变化，正方形周长都是边长的四倍，但是面积与边长的倍数关系却不一样。我来补充，正方形的周长 和边长的比值一样，都是四，而面积和边长的比值不相同。 这位同学通过对比发现了他们的不同之处，像周长和边长这组变化的量，他们的笔直不变。 而像面积和边长这组变化的量，他们的笔直不相同。而像这组变化的量，我们到了中学还会继续研究。那这节课我们就来研究这种情况。 你能从生活中找到像周长与边长这组笔直不变的两个量吗？请你先想一想，下面我们来听听同学们都找到了哪些例。 我想到的是汽车行驶的路程和时间这两个变化的量，大家请看。我列了一个表格，表示出汽车行驶的路程和时间的变化情况。 我发现路程和时间是两个变化的量，路程会随着时间的变化而变化，通过计算，我发现他们的比值都是九十。 我发现工作总量和时间是两个变化的量，工作总量会随着时间的变化而变化，他们的比值也是相等的，都是六十。 我想到了我在科技小组做过的一个观察小实验，这是 我们的记录单，竹竿的高和杆影的长是两个变化的量，杆影的高度会随着竹竿长度的增加而增高， 而且他们之间的比值不变，都是二分之五。谢谢这些同学们的分享，下面我们把他们找到的例子放在一起，请你再来看看这些例子，你有什么新的发现吗？ 他们都是两种变化的量，一个量变化，另一个也随着变化，而且他们的比值都是不变的。正向这位同学 所说，两个量一个量变化，另一个量也随着变化，而且笔直不变。我们就说这两种量成正比例，例如 路程和时间两个量时间变化了，路程也随着变化，而且路程与时间的比值，也就是速度一定。我们就说路程和时间成正比例。 你能像老师这样说一说吗？路程和时间两个量时间变化，所行驶的路程也随着变化，而且路程与时间的比值，也就是速度一定。我们就说路程 和时间成正比例。这位同学表达的真清楚，那谁能像他这样说一说下面这个例子， 我来说一说工作总量和时间两个量，时间变化，工作总量也随着变化，而且工作总量与时间的比值，也就是工作效率一定。我们就说工作总量和时间成正比例。 电视机前的同学们，让我们一起来说说最后这个例子。 竿影的长和竹竿的高两个量，竹竿的高变化，竿影的长也随着变化，而且竹竿的高与竿影的长的比值一定。 我们就说竹竿的高和杆影的长成正比例。通过刚才的交流，我们知道了什么是正比例。那再来看看刚才的第一个问题中，周长和边长，面积和边长他们成正比例吗？ 我们来听听同学们的想法。周长和边长两个量，边长变化，周长也随着变化，而且周长与边长的比值是一定的，所以周长和边长成正比例。 这位同学的判断非常正确，而且在表达自己的想法时有理有据，让别人一听就能明白。那面积和边 边长是不是也成正比例呢？让我们来听一听面积和边长两个量，边长变化，面积也随着变化， 而面积与边长的比值是不一定的，他会变化，所以面积和边长不成正比例。 这位同学通过计算，让我们看到了面积和边长他们的比值在变化，从而判断面积和边长不成正比例。那听了这两位同学的发言，你会判断两个量是否成正比例了吗？ 让我们来试一试，请你思考圆的面积与半径成正比例， 把你的想法在纸上写一写，下面我们来看看同学们是怎样写的，又是怎样说的。 我是这样想的，圆的面积等于派 r 的平方，当 r 等于一时，圆的面积等于三点一四。当 r 等于二十，圆的面积等于十二点五六。 当 r 等于三十，圆的面积等于二十八点二六。我认为圆的面积随着半径的变化而变化，所以圆的面积和半径成正比例。你听明白这位同学的想法了吗？你是怎么想的？ 我不同意你的想法。虽然圆的面积和半径是两种变化的量，但是 通过计算，我发现圆的面积和半径的比值却不相等，所以我认为圆的面积和半径不成正比例。这两位同学的想法好像有点不太一样，你同意哪位同学的想法？说一说你的理由。 我同意第二位同学的想法，我来给他补充。通过原面积的计算公式，我发现派儿的平方比儿等于派儿 半径变化，半径的派倍也会随着变化，而派 r 的平方比 r 的平方的比值等于派派是一定的，所以圆的面积和半径的平方成正比例。听了这位同学的补充， 我们知道了圆的面积和半径不成正比例，而圆的面积却和半径的平方成正比例。那借就借助刚才收获的经验，我们再来看看下面这个问题。乐乐和爸爸的年龄变化情况如下， 他们的年龄成正比例吗？请你观察表格想一想，我们来听听同学的想法。 通过观察表格，我发现乐乐的年龄在变化，爸爸的年龄也在变化。我又进行了计算，我只算出前两年中乐乐和爸爸年龄的笔直， 六比三十二，七比三十三，这两个比值不相等，所以说乐乐的年龄和 爸爸的年龄不成正比例，但是我也在这两个量中找到了一个不变的年龄差。爸爸年龄减乐乐的年龄等于二十六， 差是一定的，因为如果两个量成正比例，那么两个量的比值是一定的，年龄差不是比值，所以也可以说明乐乐和爸爸的年龄这两个量不成正比例。 你听明白这位同学的想法了吗？他也找到了不变的量，但他却说爸爸的年龄和乐乐的年龄不成正比例，这是为什么呢？ 我知道他找到的是乐乐和爸爸的年龄差，而两个量要成正比例，比值是不变的， 年龄差不是笔直。所以乐乐的年龄和爸爸的年龄不成正比例。那听了这么多同学的发言，怎样判断两个量是否成正比例呢？说一说你的方法。 我的方法是算一算题目中两个量的比值是不是一样的， 我来补充。我觉得首先要看两个量是否有联系，是不是一个量变化，另一个量也随着变化。第二才是算一算这两个量比值，比值一定，这两个量才成正比例。 正像这位同学所说，判断两个量是否成正比例，我们首先要关注到两个量的变化规律，然后再去算一算他们的比 笔直笔直，一定，两个量就成正比例。那讲到这里，老师想到了一个数学故事，他和我们今天的正比例知识有关，我们一起来看一看。 据说埃及的金字塔修成一千多年后，没有人能够准确地测出它的高度。人们尝试过很多方法，但都没有成功。 古希腊人泰勒斯站在金字塔前，让别人测量他影子的长度， 当他的影子长度与他的身高完全相等时， 立刻在大金字塔的投影处做一处记号，测量出金字塔影子的长度，这样就得到。

单价数量，对了，那就是单价数量。总价，单价等于总价除以数量单价等于总价除以数量。 好，这是黄老师一次加油的一个视频，那请你仔细看一看这个视频，请问你看到了哪两个量的什么变化趋势？ 好？谁来回答一下？哪两个量的什么变化趋势？请你来油量和金额。好，我们在上面看到了油量和金额，那你还发现了什么？有变的量没有？ 三架。哎，很好，在我们的加油视频当中，有一个料始终是没有发生变化的。三架？谁呀？三架没有发生变化，那变化趋势是什么呢？油量和金额它在变化。变化趋势是什么？ 好，杨明熙，从低到高，从低到高，我没听太明白，谁能把这一个变化趋势说的让我能听得更明白，更细致一些。 油价在上升，金钱也在不断上升，是油价上升还是谁上升？ 流量谁在上升？金额，金额在上升，金额上升是因为谁上升了？流量增多。好，请坐。那这里就是当我们的油量越上升的时候，金额就会越来越高，那所以这两个量是哪两个量呢？ 数量来两个量，总价，数量和总价，也就是这个具体视力当中的油量和心和。 那这两个量是不是单独来发生变化的？不是不是，不是，是因为有 三十六，有 x 变化，才会有金融力量的变化，所以我们在表示变化趋势的时候，我们要表述的更加的完整， 也就是随着一个量增加，另一个量也会增加。哎，那除了这样的变化趋势，那我们的实际生活当中还会有其他的变化趋势吗？ 想一想，这里是随着一个量的增加，另一个量增加，还有没有其他变化趋势？ 好，你来买文具。嗯，高速变化趋势，随着 市场你买一只钢笔的话三块五，买两只钢笔的话就是七块，会越来越高，那也是随着数量的数量，数量的增加，金额也增加。 好，相同的变化趋势，我们暂时先不讨论还有没有其他的变化趋势。 油墨和铅笔，嗯，但你要用笔，买了一支笔，嗯，你用过，你假如那只笔也是你笔， 你一千米，十厘米用多少厘米，他剩下的量会给你多少啊？那就是随着一个量的增加，另一个量反而在减少。那我们刚刚发现了两种变化趋势，一个是随着一个量的增加，另一个量在减少。刚刚 有位同学提到了，随着一个量的增加，反而另一个量在减少，那还有没有其他的呢？那我们就从下面的几个具体情境当中我们来找一找，发现一下。 请拿出你的学习单，读清楚我们的学习要求，先独立思考三分钟，然后小组合作四分钟，完成学习单的分类要求开始， 请自己把握时间。 你们在写变化趋势的时候，王老师刚刚提醒大家了，要表示完整，那就是一个谁在增加，另一个量也在怎么样？ 我发现难点都在第二上面。那我给大家一个小提示，这个 r 是 一个什么工具啊？中长，谁的中长工具？我的中长工具。好，那它应该属于哪一类呢？仔细想一下，其实 我去，好， 你想一下， 你看这里树上的一根香蕉有一个吗？有，对呀，那这个是什么呢？ 这是要正方形中间来吃的吗？可以再来吃周长，周长等于边长乘四，然后再想一下 啊，现在这段时间大家可以讨论一下，有同学已经出来了，哎，有同学可能还没有想法，听听别人怎么说的，心里 我发现了有好几个同学已经能够第一次就玩完全正确的分了啊 啊 就是， 哈哈， 抓紧时间啊， 经过讨论以后有些子的同学 有些同学已经分配越来越准确了啊。好，时间到来我们先取下来， 先来看一下这个同学的 好，首先谁来具体的说一说，你觉得哪一个是最容易的，最容易去判断的？七和三是一个几和几，七和七，三和七五。好，来我们先来看一下三， 他的变化趋势是什么？一个 一个数量一二三四五六一个数量在增加，剩余的长度在减少，也就是总长度，铅笔总长度一定的时候你用的长度越来越 多，那剩余的长度就越来越少。好，和他一个量在增加，另一个量在减少，和他相同变换形式的一个相同。七七七七，听到你们的呼声说七，我们来看一下 这是什么东西？一定 a 在 成都， a 在 在结果是什么东西不变？四十八，四十八是他们的什么结果？一一个乘法三十里面的积不变的数，一个因素 增加，一个因素减少，一个因素增加，另一个因素在减少，所以三和七是一类，他写的是随着一个量的增加，另一个量就在减少。正不正确？正确，还有没有和他同一类的？ 和这一个变化趋势统一的？还有没有没有？好，那么我看到了他说一二四五是以内，那我们具体下来看一看。一， 先来具体说一说。好，你来觉得一个量的增加，另一个量也在增加，哪一个量在增加，数量在增加，总价也在增加。哎，数量在增加，总价也在增加。好，那我们来看看二，二，谁想清楚了？ 因为我发现二是错误率最高的好预备。二是正方形，二是正方形的周长公式，而那个周，而那个周长如果扩大两倍，那他的那个四 a 也会跟着扩大两倍， 也就是谁增加会引起谁增加。正方形的周长会引起，会引起他的边长的问题。好，周长增加，边长也会增加，那我们一般是说边长增加， 高潮也会增加。好，刚刚对二有疑问的同学，现在还有问题没有？没有对好，他只是和我们这个表格的表示方法是不一样，不一样，他的变化趋势其实是一样。好，再来看一次， 怎么来？说好，小明的年龄会增加，王老师的年龄也会增加， 小明的年龄在增加，黄老师的年龄也在增加，增加的幅度是怎么样的？你增加一岁，那黄老师也会增加一岁。记住这个小秘密啊，如果我们需要好的早餐，来，再来看。五， 这个是不是随着一个量增加，另一个量也在增加。红色是二的是还是不是？是看这个是红色的。好，来，他随着底下年龄的增加，从六岁到十二岁，他表格上的身高也在增加，一百一十六厘米到一百四十二厘米， 一百四十二一号，也就是在小明六到十二岁的过程当中，随着他的 年龄增加，他的身高也在增加，那所以一二四五都是随着一个量的增加，力量也在增加。跳嘞， 没有，没有规律哎。这是一只股票的价格图，他随着时间的变化，他有上有下，所以他的变化趋势是不是固定的？不是。对，好，所以 you 这位同学把它分成了三面，同不同意？同意，一半分钟的时间，你的实习单上有问题的同学可以修改一下。 好，做单词的同学，我们知道你已经修改好了，那我们继续头脑通报一下。刚刚我们是通过 变化趋势将七个情境图分成了三类，那我们拿出来了四幅图，这四幅图都是哪一个变化趋势里面的？ 一个量增加，另一个量增加，另一个量也在增加，他们都是随着一个量增加，另一个量也在增加的四幅图。那你们根据他们的变化规律再进行分类吗？ 先思考，开始思考。好的同学举手告诉我。 好， 小智同学已经想好了。那没想好的王老师给你一个小提醒，我可以把它分成有规律和没规律。哎，对了，有规律和没有规律， 有规律的一二四，一二四。那你就是说一二四是有规律， 然后剩下的五。好，那我们首先先来看哦，单独的没有规律的这一个五怎么说？ 好，请停。他的身高是飘忽不定的， 听明白意思吗？听明白，我们的身高的增长，他是有快有慢，而且就是六到十二岁的身高，估计 那可能到了二十岁的时候，我的身高还会不会变化？不会，不会，他就会一个趋于一个稳定的一个状态了。好，所以他的变化就是没有规律。那意思就是说一二四都有规律喽？一的规律是什么？一个 好减零一，这个数量再增，增加一这个价，这个价格也在也就也就增加三倍。听懂意思的同学举手。好，那就还有很多同学没听明白。好，他的变化规律。拍展 数量每增加几一单价呢？也就是三点五，三点五，也就是数量每多一的情况下，它的总价就会增加三点五，三点五元。 这个三点五元是什么东西？他的单家，那也就是在这一个变化的当中，什么东西？单家？单家的，面对了，他有一个面的量，也就是单家面。好， 那这个思路给大家开放了啊，今天来先说说啊，他的变化是什么？嗯， 不管它变成五 a、 六 a， 哎，能不能把它变成五 a 或者六 a？ 不 能，你不能改变这一个，因为它只有四 a， 不 能改变这一个，四 a 就 等于三辆。 就是，哎，我们刚刚说了，这是一个正方形，正方形的周长，对，对，他是正方形的周长， a 是 什么？边长？ a 是 他的边长， 一条边的边长，他在变化当中，周长和他有什么关系？他的变化。 听明白。一起的同学举手啊，手放下，这个老师听明白多一些。也就是无论边长 怎么变，周长怎么样也会变，变周什么变啊？也会变，怎么变。 变。好，我们特别喜欢那一个，图表比较清晰，对不对？好，那我们就把它变成一个减一的，怎么样？ 当我的周长是一的啊，变成是一的时候，周长是四四，怎么来的？一乘？当我的周长是二的时候，变成二乘二的时候，就变成八四、八四了吗？ 想明白没有？你就是边长，我无论怎么变，周长都是边长的四倍，四倍。来，再说一遍，怎么变的？ 无论两边多少多少，然后周长都是边长的，都是边长的四倍，那所以哪一个都是没有发生变化？ 四四，这个四是什么东西？四条边，四条边，也就是中长和边长的倍数学半数，哎，对数关系也就中长和边长的， 哎。你刚刚学到的这是什么？ a 和 c 一个数与商商也可以叫做可以。对了，是他的笔直不变。好，这是单脚不变，这是周朝宇非常的笔直局面。请问他是什么不变？你们刚刚说了他有没有 夏子璇应该最记得，因为黄老师给了你一个小情信在前面。好，姚丽熙比你快看一下你这是小明的年龄增加以及王老师的年龄。 那我和小明的什么东西不变？年龄差不？非常差。听明白意思，同学举手。 也就是黄老师始终比小明要大二十岁，黄老师永远要比小明要大二十岁。那也就是说我们刚刚在研究了这么多以后，发现 有规律和没规律，我们是要看什么东西不变的量，看有没有不变的量，有没有不变的量。 那刚刚我们有规律的有一二四四，还能不能再等待呢？ 你不确定，那我们尝试一下，请你根据他们规律的不同再进行细化的分类。 又给大家一个提示，看他说他是什么不变，等一下等于什么？等一个六的数量。数量好， 单价等于总价，总价等于总价，除以数量除以数量。 二是什么？不变？二，一局一条，一个四不变，四个谁和谁的平局。 中长和边长的边长的笔直不变，他是什么不变？年龄差？年龄差，那就是黄老师的年龄减，小学的年 baby 二十岁。我已经提示不够多了，请问它的规律不同，为什么不变和什么不变？ 他说笔直不变和啪啪啪变。那所以 谁和谁是一类？一和二和二类，那所以一和二是一类，剩下的四是一类，四是一类。 好，请坐，那我们经过分类了以后发现，哎，首先我们研究了变化趋势，刚刚我们拿出来的一二四五都是随着一个量的增加，力量也在增加，那变化规律里面我们会发现， 一和二都是一直变，四是差别。那我们分完的这一和二就是我们今天要重点研究的一个内容。 像这样两个相关联的量，一个量变化，另一个量也跟着变化，而且无论这两个量怎么样变化，他们的 一直变变总是一定的，那我们就称为这两个量成正比。好，一起读遍，像这样两个起 像这样两个相当于这样一个样变化，另一个样也随之变化。 但不管这两个量怎样变化，它们的比值总是一定的。我们就说这两个量成正比例好， 那像总价和数量的比值，周长和边长的比值，还有没有更多？其他的比值 有没有？就光是 k 好， 你一下子想，具体的例子可能想不出，那肯定是有的。那所以我们可以 统一的把它表示为 y 除以 s 等于 k， 其中 k 是 怎么样一定的月亮， k 就是 那一个月亮，也就是它是一定的意义 定的。好，这就是我们今天要研究的正比例的比例。那请你现在来再来说一说，用自己的话说一说，为什么一和二它们相关能量它是呈正比例关系的，谁来说一。 好，那我随意点一个十二号好吗？好，来，你来坐。一，具体数一，他为什么谁是谁和谁，谁要一增加，然后你交一等于是一比三等于 一比三，等于你就是数量在，然后谁和谁的比值不变？ 数量和比值，数量和总价的比值不变，数量和总价的比值都是多少？一比三等于五，然后呢？二比二比 七，他都是三点五分之一，那我们按照数学习惯来说，我们会把它干嘛呀？反过来倒数，倒数总价比， 数量等于单价。 好，请坐。它符合正比例乘正比例的两个量的条件。第一个，它的变化趋势是随着数量的增加，总价也在增加，而且不论它怎么增加，它们的比值也就是这一个什么 单架，单架，单架对它的单架是不会发生变化。好，来，二呢 二，边长和周长为什么成正比关系？首先看变化规变化趋势 好，比心都是随着边长的增加，然后呢，周长也在增加，而且不论怎么，不论怎么变，他永远他的比值永远是四，谁和谁的比值？边长和我的比值 是边长和周长，还是周长和边长和边长的比值？好，请坐，边长在增加，周长也在增加，但不论怎么去变化的时候， 周长和边长的比值都是四，四不会发生改变，所以谁和谁成正比关系？ 周长和边长成正比例关系，正方形的周长和边长成正比例关系。那为什么四又不成正比的关系呢？它不一样的，也是随着一个量的增加，另一个量也不增加。四为什么不成正比的关系？ 那我特别喜欢思考要活跃的同学，不要不敢举手啊。好，第一个你 这是因为它，因为这个四跟这个一和二是不同的，因为它们的差，四是四差。