重幂的数学含义

一分钟理解数学概念，今天讲密运算同底数密相乘，底数不变。指数相，家用字母表示为， a 的 m 次方，乘以 a 的 n 次方，就等于 a 的 m 加 n 次方。 注意，这里的底数 a 可以 是数，也可以是单项式，也可以是多项式。密的乘方，底数不变。指数相乘，即 a 的 m 次方的 n 次方等于 a 的 m 乘 n 次方， g 的 乘方等于把 g 的 每一个因式分别乘方，再把所得的密相乘，即 a， b 的 n 次方等于 a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方。同底数密相处，底数不变，指数相减，即 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，等于 a 的 m 减 n 次方。这里要注意， a 不 能等于零。 拓展一下逆运算的知识，一、任何不为零的数的零次幂都等于一，零的零次幂无意义。二、一个数的负整数指数幂等于它的指数相反数次幂的倒数， 即 a 的 负 n 次方等于 a 的 n 次方。分之一，我们也可以用前面同底数幂的除法的逆运算，把 m 等于零代入，得到这个结论。 三、一个数的分数分子为一分母为正，整数次幂等于它开分母次方。这里要注意，当 a 小 于零时， n 不 能为偶数、负数开，偶数次方不在实数范围内。宝子们可以把平时遇到的密运算的问题留在评论区，我们可以一起讨论。

初中数学逆运算四大核心公式，今天一条视频讲后来初二同学这个视频呢，老师教一下大家逆运算的四大基本公式来。先看第一个同底数密的乘法，就是同底数密相乘， 底数不变，指数相加。那第二个是同底数密的除法，就是同底数密相除，底数不变，指数相减。那第三个是密的乘方， me 的 乘方的话，就是底数不变，指数相乘。那么第四个是 g 的 乘方，就是给 g 里边的每一个音式分别乘方。好，那么大家来看一下，你看 前三个，你有没有发现前三个里边它的底数都是相同的， 对吧？那么你再看第四个，第四个，你会发现它的指数是相同的， 所以 b 的 运算其实就两种形式，要么底数相同，要么指数相同。好，那我们现在来看这道题，这道题目呢，让我们来求四的 x 次方乘以三十二的 y 次方的值。 好，那么你会发现这里头的底数和指数都不相同，对吧？那么都不相同的情况下，怎么做呢？我可以想办法把它画相同， 那怎么画呢？你看它的指数是 x， y， 这个画不了吧。那我们来看一下底数，底数是四和三十二，来，你想想看这个底数跟谁有关，是不是都和二有关？ 那么四呢，就是二的平方，所以这个就是二的平方的 x 次方。那三十二是二的五次方，所以它是二的五次方的 y 次方。好，那到这之后，你看它变成谁了，是不是就变成了 me 的 乘方？ me 的 乘方底数不变，指数相乘，所以是二的二 x 再乘以二的 五 y 次方。好，到这之后是不是变成了同底数幂的乘法？那么同底数幂相乘，底数不变，指数相加，就是二的二 x 加五 y。 好， 那么二 x 加五 y 是 多少呢？就是四嘛，对吧？所以它就是二的四次方，那么二的四次方就是十六，所以这个的值为 石榴。今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话再把我整理的这套整式乘除必刷题拿去练习。关注梁老师每天一道经典题。

各位同学大家好，下面我们来看这道题。 a 零等于零， a 一 等于一，然后是 a n 加一等于三倍的 a n 加四倍的 a n 减一， 这是一个递推关系定义的竖列，最后要求的极限是 a n 加一比上 a n 的 极限。 那么一种想法呢？我们想能不能从这头把 a n 表达式求出来，但这个呢，我们看不大方便，那还有什么办法呢？因为他要求的是这个极限就是 a n 后项比前项，我们能不能让这个式子里边出现后项比前项， 那一个基本的想法就是两边同除以谁啊？ a n， 这个时候左边就会出现 a n 加一边， 那如果给这个式子两边同除以 a n， 这呢就出现了 a n 加一边，然后这个地方呢，我们把它颠倒一下，这也出现后向比前向， 哎，那这样的话，如果我们令 b n 加一等于 a n 分 之 a n 加一的话，那这个东西就是谁 b n， 那 么这样的话，我们就得到 b n 的 一个递推关系式。 注意，这个递推关系式啊，那比上面这个要简单。那现在呢，要求这个极限，实际上也就是求这个式子所定义的这样一个 b n 的 极限，这也是个递推关系定义的竖列极限。 那么这种极限问题呢？我们说通常主要是两种方法，一种用单调与界准则证明存在，然后等式两边去极限。 那么另外一种呢，就是先求一个初步极限，最后证明这个结果就是他的极限。到底用哪个方法呢？那往往主要看这个呢？竖列，他的单调有界，好挣不好挣， 但这个数列呢，我们一看他就不单调，因为什么？因为他的递推函数是谁？他的递推函数 f x 应该等于三加 x 分 之四。 由原来这个式子，我们知道这个 a n 是 大于零， b n 也就大于零，那当 x 大 于零的时候，这个是一个减函数， 那我们知道当地推函数是减函数的时候，那这个竖列就不单调。既然这个竖列不单调，那往往就不好用，单调有界准则，往往就用方法二先算一个初步极限， 那么这个等式两边呢？取极限，假设 b 的 极限是 b， 最后呢，我们一解的话，可以解出这个 b 的 极限是四， 但这时是一个初步结果，所以我们就要证明 b n 确实以四为极限， 如何证呢？那么在这呢注意我们要放松，首先看 a n 是 大于零的啊，从一开始，但 a n 等于零，那么 a n 大 于零，那这个时候呢，我们就知道 b n 大 于零， 那这个时候呢，我们立马就可以知道这个 b n， 就 从这个式子可以知道 b n 是 大于三的，这个时候呢，是要用到的。 那为了证明 b n 以四为极限，那么考虑 b n 加一减四绝对值，如果能够证明这个趋向零这个问题就证明了。 这个时候呢，把边加一，用上面这个递推关系式给他带进去，那么这样的话，一整理就得到这个式子。 到这来以后，注意我们注意到这个边是大于三，再把分母用三换掉，我们就得到这样一个递推关系，这就是我们所要的，对他一次前面多了一个大于零小于一的数， 这个方法我们讲过很多次，那么递推一次多一个三分之一，再递推一次又多一个三分之一，一直递推到 b 二， 然后前面就是三的 n 减一次方分之一。由于我们知道 n 曲线无穷，这个是曲线内，后面是常数，所以这个叫曲线内， 那么这个取向零呢？左边这个显然是大于等于零，那左边这个绝对值取向零，那里边就取向零，从而就证明了 b n 以四为极限， 所以这个第一问题就解决了啊，这个 n 加以 b n， 极限是四。好，下面呢，我们再来看求这个密集数的收敛域及和函数， 那在这呢注意这个密级数呢，它的这个系数恩赐下的系数 a n 就是 我们刚才这个地推关系定义的， 怎么求收敛域呢？通常一个办法是求谁啊？收敛半径，然后再考察端点半径，如何求呢？那我们半径的公式有两个，一个是后向系数，后向的系数比前向系数， 所以我们第一问正好求的是 a n 加一 b n， 那 么所以呢，这个球收敛半径，那我们就用后向比前向啊，就是用这个密集数的后向比前向取绝对值，因为它的系数是正的。 那么最后呢，我们会得到一个 n 加一或者 b n 加一，而这个分子是取向于四的，下面取向无穷，所以这个取向零，那么这个取向零，我们就知道这个收敛半径是正无穷，所以它的收敛域就是负无穷到正无穷， 那这个时候呢，如何求它的和函数呢？那这个时候注意 a n 是 不知道的，但是我们可知道了 a n 的 一个递推关系式， 那为了用那个 a n 的 递推关系式，那么这个时候呢，我们就想办法把它这个先求一次导数啊，那么求一次导数以后呢？然后我们得到 s 一 撇就等于它， 然后完了以后呢，注意，我们在这个地方呢，把它做一个改写，为什么要改写呢？因为这个时候他给的是 n 加一和后面的关系， 那注意，我实际上就是把这个式子里边的 n 改写成 n 加一，那这就是 n 加一，这一下呢又变成了谁 n 的 简称。再注意你把 n 写成了 n 加一， 那么这个时候这个下面从哪开始就带一下？看，你看这如果带一，那这就是 a 一， 那你注意这个地方你要带一，这就是 a 二了，那所以这得从零开始，带，零刚好是 a 一 好了，写这个的目的就是把这 a n 加一，就可以用刚才那个呢往里边带，就是我们这套再求一次倒数啊，就得到这个式子。然后完了以后呢，就是把这地方的 a n 加一， 用这个谁三倍的 a n 加四倍的 a n 减一带进去。带进去以后，大家注意这个时候你注意这是 s 两撇，然后呢注意这个地方呢有两项，一个是 a n， 一个是 a n 减一的项， 那么所以底下怎么办呢？那肯定是要想办法把右端这两项用我们这个地方的 s 和 s 一 撇的形式把它表示出来，所以呢这个时候呢，就首先要把它拆成两项， 那么拆了两下以后呢，大家注意这个时候，你看这是一个上面是 a n， 那 么这呢是 x 的 n 减一啊，然后底下又是 n 减一的结成， 那这个东西呢，向哪个靠拢呢？实际上呢，我们看一下啊，就这个地方，它呢应该说跟这个东西看， 你看这是 n 减一结成 a n x n 减一，实际上它就是谁 s 一 撇， 然后完了以后呢，这个向谁靠拢啊？这个跟那个还有点不一样，你看这是 n 减一，这是 n 减一，你注意，你看这是 n， 这是 n， 这是 n， 那 无非就是这 n 从一开始， 那么 n 从一开始，那么这个地方呢，也是 n 从一开始，那么 n 从一开始的时候，这个地方呢，就有个 a 零，但是 a 零实际上是等于零的，那么所以相当于他从二开始，但是他从二开始，实际上就是这个式子， 那么所以呢，我们经过分析以后，那你看这个地方呢，就是三倍的 s 一 撇， 这呢我们认为 a 零是等于零的，所以这就相当于这从二开始，这个从二开始，实际上跟这个是一回事，那么所以呢，他就可以写成谁啊？这个改写是为了凑这个形式，那就是把这的所有的 n 减一都写成谁 n， 那么 n 减一写成 n 以后，你这 n 从二开始的时候， n 减一等于一，那我们这 n 应该从一开始身上是写这个形式，那么所以呢，就得到三倍的 s 一 撇加四倍的 s， 这样一来我们就得到关于 s 的 一个一阶限二阶限性长系数。其次微分发展， 然后这个时候呢，就可以找着他的特征根写他的通解，那么他的特征方程呢，也很好写，请注意他的特征方程是谁？二的平方减三二，然后减去四， 特征根也很很容易找啊，那么显然这个四呢负四，那可以写成这个负四乘上正一， 所以呢，就很容易找出两个特征根，一个呢是四，一个是负一，可以写出通解，然后注意通解里边有两个任意常数，那所以呢，需要找两个出式条件， s 零是从这得到的， 就是把 x 用零带进去，因为这从一开始显然是等于零， s 一 撇零呢，那这个时候呢，应该带这个式子， 那这个时候注意 s 撇零，那这呢这个零带进去，这个是后面呢？ n 要的从一开始等于零，但是它是从零开始， 那么 n 等于零的时候，零的结成约定为一，上面这个地方有个 a 一， 那么所以呢， s 撇零，它实际上应该等于谁？应该等于 a 一， 它是等于一的，这唯有两这两个条件，才能把通结当中任意常数定出来， 那么通解当中让以常数定出来，那这个题目就做完了。所以你看这个题呢，是一个非常好的一个综合性的题目。第一，综合了地推关系定的数量极限， 这是高等数学常考的一个重点和难点。第二，又综合了密集数、求和函数， 这也是我们的一个重难点。同时这里边还结合到了微分方程啊，就是二阶线型长系数奇数方程，这是我们考察的一个重点， 所以这是一个非常好的题目，所以希望同学们能够认认真真把这个题目来做会好。那么有关这个题目呢，我们就看到这个地方。

二六单招数学复数私密怎么做呀？快去请宋芬格格来！宋芬格格来了，让我来用我的一个小技巧，四次一循环。那我们直接看上面的次数，那二零二五 它除以四啊，它是一个余一的，那么余一我们就直接选择 a 选项秒了。 不愧是宋芬格格呀，做题就是快，宋芬格格单招全靠我，靠谱，大家如果有其他不懂的话可以打在评论区或者来后台私信老师。

一二三四五六七嚯。他真他真来了，七个互动题。好吧，七个互动题就七个互动题吧。首先第一题秒一下啊， 我们今天金币都不够发了，我只敢每道题五个金币。来第一题，还是每个题都让大家练一下啊。第一个是得 a 的 多少次分？ 那我们尽量就每三十秒一个啊，同学们加快点速度。好吧，今天题都是一些特别小的题。 好，可以倒计时了，三二一结束作答啊，正确率百分之九十一啊。有一百一十六名同学选 a， 你 那个第一个 a 还有个一次方呢，你是不是把那个一次方给漏了呀？啊， 这些得 a 的 十七次方的同学们，你这还有个 a 的 一次方，一次方省略不写了呀。所以你应该是一加三加五加九，这个东西应该等于 a 的 十八次方，错就错在这了。好吧，错就错在这了，这是我们的第一小题，来第二小。

好，大家好，那咱们今天一块继续往下看啊，咱们来看二次函数与幂函数这章节。然后第一个，咱们来看一下幂函数的定义，那一般的啊，咱们管这种函数， y 等于 x 的 a 次方叫做是密函数，其中 x 是 自变量， a 是 这个常数，那这个 a 呢？可以取一二三，也可以取负一，负二负三，包括也可以取到分数像二分之一。那以下第二点是常见的五种密函数图像，那包括了 包括这个 x 的 负一次方，也其实就是 x 分 之一啊，那相当于是这个双曲线。 那第二个 y 等于 x 的 二分之一次方，那 y 等于 x 的 二分之一次方，这个其实就是根号下 x， 注意这块的 x 它有一个定域，相当于是它的 x day 大 于等于零啊，对应的图中是这条曲线， 那第三条是 y 等于 x， 是 一个一次函数，对应的是这条直线。那第四条是 y 等于 x 平方，是二次函数一条抛物线。 第五条对应的是 y 等于 x 的 立方，是一个奇函数，对应的是这个函数图像， 那不同的 a 的 取值会有不同的图像，那对于这种函数呢，咱们统一是较为密函数，那咱们这此刻主要是来看一下密函数的一个具体性质，还有这些性质究竟可以在什么题目当中去出现。那第一个咱们说密函数呢，它在零到正无穷上其实都是有定义的。 第二个，当 a 大 于零时，也就相当于是 y 等于 x 的 a 次方啊，这个 a 大 于零时，咱们来看图，密函数其实都会过点一一和点零零， 那其可以从图中来读出来，都过这个零零点以及这个一这个点，那第二个，当 a 小 于零时，密函数图像都会过一点， 包括咱们的反比例函数这个 y 等于 x 的 负一次方。第四条，当 a 为基数时， y 等于 x 的 a 次方是为奇函数。 好，那注意这个奇函数它对应的，咱们说它的定义就是 f x 等于负的 f 负 x， 这也是咱们去证明奇函数的一个定理。那第二个，当 a 为偶数时， y 等于 x， a 次方就是为偶函数。 那对于这个奇偶函数的时候啊，咱们说既可以通过 f x 等于负的 f 负 x 来判断它这个奇函数，也可以通过 f x 等于 f x 来判断它是一个偶函数。 那同时，假如说两个函数相乘的时候，咱们也可以通过函数相乘的一些方法去判断那个相乘的函数究竟是一个奇函数还是一个偶函数。举个例子，假如说 c x， 它是由 g x 和 f x 相乘的， 那咱们去判断 z x 的 基有性的知识。基有性的时候啊，咱们第一个，咱们需要去判断一下这个 z x 它的一个定域，那假如说定域是对称的啊，那咱们就需要判断它在取负值和取正值时，它们函数值的一个正负关系。 那咱们也可以去看这个 g x 和 f x 对 应的是一个偶函数。那注意，假如说 g x 和 f x 同为基 或者是同为偶数的时，偶函数的时候啊，那奇函数乘奇函数，包括偶函数、乘偶函数，它们俩得出来的都是一个偶函数。那假如说 g x 和 f x 其中一个是奇， 另外一个是偶的话，那一个奇函数乘上一个偶函数，得出来的结果仍然是一个奇函数， 仍然是一个奇函数，那其实咱们可以把奇函数给它理解为是一个负数，偶函数理解为是一个正数啊，这样负乘正仍然是一个负数啊，那负数的话仍然是一个奇函数嘛？ 好，那咱们接着往下去看啊，来看二次函数，那二次函数呢？一般解析式是有三种形式的，一个一般式是 f， x 等于 ax 方加 b， x 加 c。 大家注意来看这块有 a、 b、 c 三个数啊，那就假如说咱们需要解一个二次函数，具体的解析式咱们需要三个定点 啊，因为它对应的是有三个这个未知量嘛。假如说两个未知量就需要有两个定点。 第二个顶点是 f x 等于 x 减 m， 整体的平方加 n， 那 顶点坐标就应该是 m 代号 n， 那 这块咱们知道其顶点坐标应该是负的 r， a 分 之 b， 逗号 c， a 分 之 c， c 减平方，对吧？那这块其实也是可以通过一般式来进行一个推导的，那这块咱们一块来推一下。 好啊，咱们来看右侧啊，那咱们先来写一下，这个一般式是 f， x 等于 a 的， x 方加 b， x 加 c， 咱们去找顶点式的一个 形式。好，那咱们需要先把 a 提出来，提 a 的 话，相当于是里边剩的是 x 方加上 a 分 之 b， x 加 c。 注意，咱们来看第一个和第二个之间啊，那它其实都是一个等式的一个变形，就是说咱们提一个 a， 咱们要保证这个式子整体的大小是不变的。 那第二个咱们需要去配方，那对于这种配方的话，咱们就是去配一次项系数一半的平方， 这个一半的平方啊，这是一个配方的一个法则，那咱们来看这个一次项系数相当于应该是 a 分 之 b， 应该是 a 分 之 b， 那 a 分 之 b 一 半的平方就应该是它的一半，就应该是二 a 分 之 b， 那 二 a 分 之 b 的 平方就应该是四 a 方分之 b 方啊，所以说里边应该加的是四 a 方 分之 b 方，那注意，咱们在里边加了一个 c 方分之 b 方，咱们在外边就要减一个 c 方 分之 b 方，那注意咱们加的其实并不是 c 方分之 b 方，注意它前面还成了一个 a 呢，所以说咱们加的应该是一个四 a 分 之 地方，所以说咱们在外侧要减去一个四 a 分 之 b 方，好，再加上一个 c， 这个 c 别忘了啊，那咱们把这个 c 通到这个里头去，所以说咱们最后可以得到 a 乘上里边其实就应该是 x 加二 a 分 之 b 整体的平方，然后再加上 加上四 a 分 之四 a， c 减 b 方。好，那来看里边这个 里边这个咱们利用 x 加二 a 分 之 b 等于零的话，那注意解出来这 x 的 话，就应该是等于的是负的二 a 分 之 b 就 等于 x 加二 a 分 之 b 等于零，那注意 x 就 应该等于的是负的 二 a 分 之 b。 同理，当 x 等于负的二 a 分 之 b 的 时候，前面这一项就消失了，因为它为零，那后边咱们就可以得到它的顶点的函数值，也就是 c 分 之 c c c c c 减平方啊， 所以说顶点坐标，一个咱们可以用 m n 来写出来，另外一个咱们也可以记这个负的二 a 分 之 b， 四 a 分 之 c， a c 减 b 方啊，咱们去好来回顾一下这个顶点式究竟是怎么推出来的。 那咱们来看最后一个零点式，这个零点式其实也很好用啊，相当于是咱们可以通过假如这个题目告诉了你这个二次函数两个零点，那咱们可以通过写零点式把这个二次函数很快的找到。那假如说 x 一 和 x 二为这个函数的两个零点，那它的写法就应该是 f x 等于 a 乘上 x 减 x 一 乘上 x 减 x 二，注意 a 不 能等于零啊，因为 a 等于零的话，这个就变成了 f x 等于零，注意它就不是一个二次函数了。 好，这是咱们说二次函数的一种三种形式，这个三个形式呢，其实在不同题目当中，它会以不同的形式来出现啊，咱们具体情况，然后边咱们来具体分析。 那第二个咱们来看一下二次函数的图像和性质，对于函数这块啊，他这个图像其实要比他的代数形式我觉得是要更重要一些啊，咱 们可以通过图像来判断一个函数的一个增减性质，来准确的找到一个函数的一个零点问题啊，因为咱们做题做多了，能发现，其实不管是一开始学函数啊，包括这个二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，包括后续的这个 导数。其他最后对于咱们的一个大体来讲，一般都是要落到和零点一些相关的问题，包括一个横大于问题、横小于问题、双交点问题、零点问题啊，其他本质上都是一个函数与图像轴一个交点问题， 那咱们来看一下二次函数图像和性质。那先来看左侧，那左侧他说的是 a 大 于零的情况，那二次函数 a 大 于零，因为这开口是朝上的，对吧？那定域不管 a 大 零和 a 小 零，注意定域都是 r， 咱们说对于二次函数来讲，它的定域是没有限制的。 r 其实是实数啊， 就可以任意取，可以从负无穷到正无穷，其中正数、负数、分数都可以取到 第二个值域啊。那值域对于这个左侧的 a 大 于零来讲，咱们能看到，其实他的最高点是要顶到中无穷去的啊，因为这个图像画的并不完整啊，他如果应该是顶到最高的 顶上去，顶上去的，但注意他的最小值，最小值是要是在他的对准轴上去许多，那他的对准轴应该是负的二分之 b， 那 在他 在取 x 等于负的二 a 分 之 b 的 时候啊，那它另外一个函数值就是四 a 分 之四， a c 减去方，对吧？咱们在零点式的时候已经是推过的， 那咱们直接写出值域，值域最小值就应该是四 a 分 之四， a c 减去方。对值域说的是函数值的一个取值范围，并不是 y x 值 c c 减 b 方到这个正无穷啊。注意，咱们说左 b 是 右开的啊，因为左边是可以取到的，它的顶点嘛，右侧是不能取啊，咱们说正负无穷都得是开局键。那咱们来看右侧这个 a 小 幺零，这个 a 小 幺零，最小是可以顶到负无穷，但它的最大值是只能取到 的顶点的这个坐标吧。同样咱们也是啊，应该是从富无穷到 c 分 之 c， a， c 减去方，注意，是左开右闭啊，一定要注意，咱们说区间嘛，其实比较好写，但得注意它的一个开闭取值范围。 好，再往下咱们来看它的对准轴，对准轴统一是为 x 等于负的二 a 分 之 b， 那 顶点坐标咱们直接写出啊，是为负的二 a 分 之 b， 四 a 分 之 c， a c 减比方。 注意，这个点是可以取到的啊，是它的一个极值点啊，是它的一个最值点。好，那第三个极偶性，那当 b 等于零的时候，注意它是一个偶函数 啊，也就是意味着这个 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 当 b 取零时，它就转化成什么了呀？当 b 取零时，它就转化成了 y 等于 ax 方加 c， 那 ax 方加 c， 你 能看到 ax 方其实就相当于是一个偶函数。 c 是 一个常数吗？也是一个偶函数，那偶函数加偶函数 仍然是一个偶函数，偶函数加 g 函数啊，咱们判断它的一个奇偶性质， g 函数加 g， a 函数仍然是一个奇函数。 好单调性啊，咱们可以通过图来看得出来。那左侧当 a w 时，在对称轴的左侧，也就是负无穷到负的二分之 b， 它是一个单调递减的，也就是在负二分之二分之 b 到正无穷上是一个递增的，所以说它先递减 再递增。好，那 a 小 令是完全相反啊，它是先递增后递减，因为是开口是朝下的嘛，所以说对准走的左侧是递增的，右侧是递减的啊，所以说是先递增。 好，那记住知识啊，咱们就说到这块，因为咱们说二次函数呢，它其实比较简单，而且咱们在初中的时候，其实这个问题啊，咱们应该都说过，而且应该是研究的比较深入的。 好，那咱们来看一些具体题目啊，咱们先来看几个判断题。第一个，他说 y 等于二分之一， x 的 二分之一次方是一个幂函数，这个是错的啊，因为咱们说了对幂函数这类初等函数，咱们说前面不能有鱿鱼啊，就它前头不能有，只有二分之一， 包括像这个 x 的 二分之一次方加上一，它加了个一也不可以，它都不是一个初等函数啊，也不是一个密函数。第二个，若二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 横在 x 轴的下方， 则 a 小 零且 d 它小于零啊，这个 d 指的是咱们说了 d 它大于零时，两个交点， d 等于零时，一个交点， d 小 于零时， 没有交点。好，注意，这个和 a、 b、 c 的 取值是没有任何的关系的啊，咱们只需要求得它得它，就等于是 b 方减 c、 c 啊，这个要记清楚。 好，那他说了横在 x 轴的下方，这个假如说是 x 轴的话，那当 a 大 于零时，你觉得它能 横在他的下方，不能吧，是吧？因为无论如何咱们说这个最小值取的多，小的话，取的很小，最后他也会到中无穷去，那他到中无穷的话，他一定会穿过 x 轴，一定会来到 x 轴的上方。所以说假如说横在 x 轴的下方的话，他的开口 这个大碗一定得是朝下的，他一定得朝下的。但注意，朝下也会有三种情况，第一种，没有焦点。第二种，一个焦点。第三种，两个焦点。你们看 分别是三种情况，没有焦点，横在下方，所有的全在下方，是不是只能是第一种情况？那第一种对应的，咱们说是不是得它是小于零的，所以说既得满足 a 小 于零，又得满足，是得它小于零，所以说第二个是正确的啊。好，那横在 x 轴上方的话，必须得满足， 必须得满足 a 大 于零且 delta 小 于零，对吧？咱们用 a 和 delta 去卡一下啊，它的一个靠方向，还有它的一个焦点问题啊，那对于这种横乘的问题啊，一般来讲是可以解决的啊。第三个，二次函数 y 等于 a 乘上 x 减一整体的一个平方加二啊，它的一个单调增区间应该是到 不说是在 e 到正无穷，注意，这个应该是错的吧啊，因为它并没有说 a 的 一个正负。那假如说 a 是 大于零的话，那 a 大 于零，它的开口啊，一定是朝上的。 好，那它的对准轴，注意，这是一个对准轴啊，是为 e， 那 当它开口朝上的时候，它在 e 到正无穷是一个递增的，那假如说它的一个开口朝下的， 那它在对准轴到中轴，应该就是一个单调递减的了啊。所以说，对于增减性来讲，咱们不不仅需要考虑它的对准轴的一个位置，还需要考虑它的一个开口方向。 第四个，若 m 函数 y 等于 a 的 啊， y 等于 x 的， a 次方是偶函数啊，则 a 为偶数，对，这个也是错的啊，它这个并不这样。 好，那咱们接着往下去看啊。第二个选择题啊，已知密函数 f x 的 图像是过四分之一二，这个点，则 f 四等于什么啊？这块的话，咱们可以通过带定点 把密函数具体的一个密函数求出来啊，因为咱们说初等函数密函数 y 等于 x 的 a 次方，它只有一个位置量，所以说一个定点足以解决它那个位置量。好吧，那咱们就可以带一下， 那咱们来写一下的话，就是四分之一的 a 次方等于二，对吧？咱们把四分之一往 x 里边带，然后二分之一往 y 里边带。啊，可以得到这个，那这个时候有的同学他看不出来，但注意咱们可以把四分之一给切换成是二的负二次方， 因为咱们说负号可以当得分出线往下拉，所以说二的负二次方，它就是为二分之一的二次方，它就等于是四分之一负号可以当成是分出线往下拉。好，那二的负二次方的 a 次方等于二，那根据 这个运算法则，是吧密的一个运算法则，这二的负二 a 次方，它等于的就是二，那负二 a 就 应该等于是 一吧，那 a 就 等于的是负的二分之一。好吧，那咱们就可以具体的把这个密函数解出来，它就应该等于的是 x 的 负的二分之一次方。好，那咱们带四入带四进去的话，就应该是四的 负的二分之一次方。同理，咱们解决这个函数的话也是一样啊，咱们说负号当中的分寸线就变成了四分之一的二分之一次方，那二分之一次方其实就是给它开方，那四分之一开方的话，就应该是为二分之一，就是选择咱们的， 这是第二题啊，都比较基础。然后来看第三个，它只求一个二次函数的一个值域问题，那对于值域问题的话，咱们需要把握一下，它一定是给一个区间，让你去求它的值域。那对于二次函数，咱们需要看一看这个值域这个定律里边，它包不包括 包括这个对称轴啊？因为二次函数的最大和最小值一定是取在对称轴上边的，所以说对于这种问题来讲，咱们不能只单独的去带它的两个端点啊，也不能带负一和一， 你单独去带负一和一的话，有的时候他一般来讲是会错误的，因为这个初级老师一般是会把这个对准轴囊在这个负一到一里边去啊。那咱们来看这道题，这个对准轴呢，就应该是 x 等于负的二分之 b， 那它就应该等于是负的二， a 就 应该是 a 是 为二嘛，所以说二 a 的 话就应该为四， b 的 话就应该是 b 负一嘛，所以说它就为负一，就是为四分之一。好，那你会发现这个四分之一就是在负一到一之间啊，那它的最小值，因为 a 是 大于零的，所以说开口朝上嘛，它的最小值是在对称轴取得， 比如说咱们就把四分之一带入进去，可以求到他的最小值啊，在四分之一的话，就应该是二乘四分之一的平方，减四分之一，再减一就应该是为负的八分之九，对吗？这我就不算了啊，同学们可以动笔写一下啊，这个取得的是最小值， 那最大值的话，咱们就可以取一下负一和一啊，你去比较一下这两个哪个大，你带入的话，你会发现 这句话应该是负一大一些，因为你来看啊，其实咱们都不太需要去两都带，咱们会发现它的对准轴呢，其实是咱们说的四分之一，哎，是这个位置是四分之一，那一应该是在这块，这个负一应该是在这个位置 啊。那对于二次函数来讲， 那对二次函数来讲，这两个点哪个点距离这个对称轴越远，那它的最大值就去在哪个位置。相反，当 a 小 二零开口朝下的时候，这个 两个点哪个点更远离啊？这个对称轴它的值就越小啊，咱们也可以去比较它的一个相对距离啊，你会发现这个负一 到四分之一的距离要比这个四分之一到一的距离是要更大一些的，所以说他就会更大一些。咱们直接带负一就可以了，带负一的话，就应是二乘负一的平方减去负一，就应该是加一再减一，对吗？就应该是为二，所以说这个第三题应该是选择四 d。 好，那咱们来看第四题啊，他说已知 f x 等于 x 方加二乘上 a 减一的 x 加二，区间负无穷到负三上是一个单调递减的啊，那他说则实数 a 的 一个取之范围究竟是什么？那咱们来看一下，他说了啊，他在负无穷到负三上是一个递减的。 好，那同学们可以想一想啊，这个是负无穷到负三上是递减的，因为他的左侧是顶到负无穷了， 所以说它的弧形到负三啊，这个是负三，一定是这三根鱼是它的左侧吧，一定是一个减的吧，所以它开口一定是一个朝上，对吧？一定是一个朝上。 好，他说在负无穷到负三是一个递减的啊，那我，那我想问问啊，这个负三在这个位置可不可以是不可以的，在这个位置在对准轴上是不是也可以？但注意，假如说这个负三在对准轴的右侧是不是就不可以了？因为他先减后增了吧， 先讲后脏了吧。所以说咱们第一个得保证 a 是 一个大于零的啊，它给你保证好了，那等于十一。第二个，咱们还得保证它的对准轴是不是得在负三的左侧，也可以取等，对吧？ 好，那咱们还是带一下负的二分之 b 啊，我们求的这个顿轴就 x 等于负的二分之 b。 呃，这个 a 的 话就是一，就所以说应该就是负的二分之二 a 减一，二和二可以划掉，所以说就应该是 这个一减 a， 对 吗？咱们要算这种的时候一定要慢一些啊，因为它二和二划掉之后，前面还有一个符号，一减 a 啊，那咱们说了，这个一减 a 得怎么样？这一减 a 是 不得是比这个负三要小一 点，对吧？所以说得是带的啊。 好，那解出来之后，这个 a 呢，应该就是斜等于四的啊，注意，咱们可以取等，因为在对角轴上的时候也是正好可以取得的， 就相当于是对角轴和负三重叠了。对角轴取在这个位置啊，所以说你会发现它在负无穷到三到负三上也是一个递减啊，所以说就相当于是负无穷到四。 好，这第四个啊，那微点提醒的话，这会我就不读了啊，同学们可以暂停去看一下啊，这个其实也是在总结和归纳一些密函数的性质。好，继续咱往下啊，来看题是 e 理解啊，他说下例命题中正确的一个。是啊，咱们来看 a， 当 a， 当 m 等于零时， y 等于 x， m 四方是一条直线 b， 这个是错误的，对吧？ 因为他并不能过零那个点，就 y 等于 x 零次方的时候，注意 x 是 不能为零的，所以说他并不是一条直线啊，他中间是有个断点的，是两条 射线啊。首先是从零这个点给它掰开了啊，左侧是这样去接的，中间是一个空心圆啊。那第二个二 b 密函数图像都经过零零和一一两点，这也是错的吧， 咱们说叫密指数小于零时啊，假如说是 y 等于 x 分 之一啊，注意这个也是 x 的 负一次方啊，它的图像应该是过一三象限的，它一定不过零零这个点啊，所以说这个 b 选项也是错误的。 好，第三个密函数 y 等于 x 的 m 次方啊，它的图像不可能在第四象限内， 这个是对的吧，咱们找不到一个是在第四项链内的吧。好，四 d， 若 m 函数 y 等于 x， m 次方为基函数啊。左 y 等于 x 的 m 次方在定义内是一个 增函数，这个也是错的，因为咱们说 y 等于 x 的 负一次方啊，它也是一个基数吗？负一吗？对， x 的 分之一图像还是过一三项项，它就是一个，在各个区间内是一个递减的， 在各个它的区间内是一个递减，所以说第四个也错了，这题应该选择 c 选项啊。那咱们来看第二个， 他告诉了你啊，这是一个密函数图像啊，是四个图像，对应的是四个函数，那 c 一、 c 二， c 三和 c 四，那这回话咱话咱们其实对于这种问题的话，咱们可以， 你看这道题还比较简单啊，他告诉了你这个负二负二分之一，二分之一二去挑，是吧？那他不给你的话，其实咱们也可以大致的判断 c 一、 c 二、 c 三 c 四的一个大小关系啊。那咱们先来看一下 c 二， c 二的话，他一定是一个二分之一次方，是介于零一之间的， 因为这个 c 二的话，这个 y 等于二分 x 的 二分之一次方，他对应的就是根号 x， 对 吧？那他的图像就应该这么画的吧， 可以记一下啊，它的 x 还是得大于等于零的啊，是有一个定义域的，你怎么说偶数方根也是不能为负值的啊，不能为负值的开这个偶数其方根啊。 好，所以说 c 二呢，对应的就是咱们的二分之一，对吧？所以说应该是从 b 和 d 边去调一个。好，那咱们来看这个 c 一， 这个 c 一 一定是为二的数吧，它是一个二次函数， 那主要是来比较这个 c 三和 c 四的一个距离，那咱们能发现，其实这块的话，其实咱们 这个 c 三呀，一定要是要比这个 c 四要大一些的啊。这块的话，其实你可以假如这道题告诉了你啊，一个是为负二分之一，一个是负二，你可以假如说你是另一个 y 等于 x 的 负二分之一次方，另外一个是 y 等于 x 的 负二次方，你来代一代，假如当 x 都取二的时候，那都取二的时候，第一个就应该是为二的负二分之一次方就应该是二分之一的 二分之一次方就应该是二分之一，开根就应该是二分之根二，对吧？然后另外一个二的负二次方，二的负二次方就应该是二分之一的，二次方就应该是四分之一，你会发现为负二分之一的时候，它的值是要更大一些的，那它值更大一些的话，它应该是更靠上一些， 所以说在二这个对应的点， c 三是要更靠上一些，你看这个点不是要比这个点放大一些啊，这个点不是要比这个点是要更靠上，所以说它的值是要更大一些，所以说咱们应该是选择二 b 选项，选择是二 b 啊， 对于这种选择问题的话，其实咱们可以灵活一些啊，这个其实是一个有的时候他也会让去比较 c 一 c 二、 c c c 四的一个大小关系啊，有可能是咱们之后会碰见那种比较指数对数逆函数的一些大小关系啊。对于那种比较大小问题的话，咱们一般来讲 是零一负一，包括有些咱们会用二分之一去比较一下啊，也就正值负值零啊去比较 好。那咱们来看第二个啊，它比较跟训练二啊，这思维升华也是大家刻下 啊，这个视频可以暂停一下啊，去看这个跟踪训练一啊。密函数 f x 等于 m 方减 m 减一，乘上 x 的 m 加二，这 m 的 二次方加 m 减三次方，在零到这个圈是一个单调的减的啊，则使出 m 的 值是为多少？ 那这块的话，它是一个密函数，那对于密函数来讲的话，它的系数得是为一的，也就是前面这个整体得是为一，那 m 方减 m 减一等于一的话，就应该是 m 方减 m 减二等于零，对吧？ 就作为一个等式，一个变形，但这块的话，其实咱们可以十字交叉成，左侧是一一，右侧的话应该是负二一对了，两个 m 的 取值应该就是 m 一 等于二， m 二的话应该就等于就是负一。 好，那咱们分别把二和负一带进去，当它等于二的时候，它其实就是应该为 x 的 二平方，加二减三就应该是四加二减三，六减三就应该是为 x 的 三次方，注意，它在零到正无穷上是一个单调递增的，对吧？所以说 m 只能为负一 选择是二 b 选项啊，这个负一你可以带进去看看，带负一的话，应该就是 x 的 一减一减三就应该是 x 的 负三次方，对的是 x 的 立方分之一。那它的大致的形象呢？也有点像那个反比例函数啊，是两个之， 同学们可以秒点画图看一下啊，也是相对比较简单的，只不过它的趋势，它的一个增减的一个趋势略微比那个反比例函数是略有改变的，它大体的一个增减性质是一样的啊。然后括号二，已知函数 f x 等于 x， a 次方 a 为常数，则下列长。这个说法正确的是哪个 好？图像横过零一点，这肯定是错的吧，一定是横过一点是吧？你看 x 等于一的时候，就应该是一的 a 次方，注意，它一定是为一嘛，就一的任何次方都应该是为一，所以说应该是横过一点，它不横过零一点啊，注意，零的 a 次方不一定等于 这个，之间都是那个多选啊。我为了这个好讲一些啊，咱们就改成了是单选好第二个二 b 选项，当 a 等于负一时， f x 是 一个减函数啊，咱们能看到，当 a 等于负一时，它其实应该是为 x 的 负一次方，对吧？ 那注意， x 的 负一次方，它并不是一个完整的一个减函数，它在它的各个象限内，在一三两个象限内，它是一个递减的。但注意，当从第三跳跃到第一象限的时候，你会发现这个是有一个 变大啊。所以说对于反比的函数来讲，咱们得格外小心，它并不是和咱们之前的那些函数一样，咱们用一个完整的区间去说，而是得去用两个小区间去描述， 这是咱们的二 b 啊，也是错的。第三个 c， a 等于三时函数 f x 呢，是一个基函数，那 a 等于三的话，应该是 x 的 立方图像啊，就是这样去画， 所以说能看到它是一个奇函数啊，你也可以带负 x 去看一看啊，你带负 x 的 话， f 负 x 带入的话，应该是负 x 的 三次方。注意，这个符号可以提出来就是负一的三次方还是负的嘛，就是负的 x 的 立方，它就等于是负的 f x 啊， 所以说你能看得出来， f 负 x 等于负的 f x， 也就意味着 f x 就 等于负的 f 负 x 吧。这个符号可以来回变动吗？它是一个奇函数啊，没有问题，做一个 a 等于二分之一。是啊，值域，注意，值域的话并不是零到中位数，这个零是能取的啊，咱们一定要注意集合的一个关键问题啊， 这题应该选 c 啊，咱们做这种题目的时候都比较简单啊，所以说咱们要更注意一些细节啊。咱们大部分的数学，不管是期末考啊，月考还是咱们的高考啊，它大部分题目还是由基础题型去组成的啊，所以说咱们要更重视基础一些 来看这个例二啊。这个例二的话，他说已知函数 f x 等于 f 二等于负一， f 一 等于负一， f x 的 最大值等于八啊，是求该函数的一个解析式。那对于这种问题的话，其实很好解啊，因为咱们说二次函数嘛，不管是哪个式子啊，三个式子嘛，一个一般是第二个顶点式，第三个两点式啊，对于哪个来讲的话，其实咱们都是相当于是只要有三个已知信息都可以求得出来啊，因为最多是 a、 b、 c 三个嘛， 那咱们可以用顶点式啊，顶点式的话，就像是 y 等于 a 的 x 减去 b 的 平方加 c， 是 吧？那这个 b 和 c 其实对应的就是那个顶点，这个顶点的话也很也很好找。你看啊， f 二等于负一， f 一 等于负一啊，两个之一啊，你想想，他拿他的对准轴是不是应该就是在二和负一的中间呀？ 二和负一的中间的话，应该就二加负一除以二，对吧？二加负一除以二的话就应该是二分之一，那他已经是过二分之一八这个位置的，你可以带入进去， b 就 求出来了， b 和 c 就 求出来了，然后你再带任意一个点解出那个最后的那个未知量 a 就 行了啊，而且 a 也得是一个 加一零的啊，因为他说最大值是为八嘛，所以说他的开口是朝下。同理，你可以用一般式来代 a， x 加 b， x 加 c 也可以。因为三个点，所以咱们说解方程的一个前提啊，咱们说三个点一定有三个， 三个未知量一定得有三个点去解决嘛？那方程的一个规则是吧，两个未知量咱们就有两个点去解决啊，包括像 一个未知量那一个点就足以了。所以说咱们在解决不管是二次函数还是什么那种未知数的问题的时候啊，咱们在算之前呢，咱们先去看一下，他有几个未知量， 几个未知量咱们就得列几个方程啊，几个方程他都对应好了。假如他有两个未知量啊，你列了一个方程，那一定是解不开的，咱们最多是解两个未知量的一个关系， 两个未知量一个方程只能是解那个关系。同理，三个未知量两个方程也相当于是解那个三个未知量的一个数量关系 好。第三个 y 等于 a 的 x 减 x 一， x 减 x 二，用顶点式啊，也可以啊，这就不太好算啊，因为他没告诉你零点是吧，所以这道题咱们优先还是选择前两个啊，这我就必须算了啊，比较简单，因为咱们这个时间有限啊， 发到这个网站上不能太长时间啊。好，咱们往后啊，跟踪训练几啊，跟踪训练二是吧 啊，这个跟踪训练二比较好啊，他说图像过零三点对准轴位， x 等于二啊，问你还要告诉了你一个啊， x 等于零的时候，两根的平方和是为十的。 那对这种问题来讲啊，咱们可以来看一看，他主要是告诉了你这两个根的一个平方和，或者说告诉了你这两根的一个相乘关系，一个相加关系。咱们首先要想到伟大定律， 不管什么考试都是一样的啊，因为同样一个题目啊，其实对于函数题啊，包括导出题来讲，他的题心是有限的，所以说他处理题目的这个问题的这个方式其实也是 有限的。那一看他说两个根的平方和之为十，所以说一般来讲呢，咱们就是用 来定理，他说的是过零三点，那你会发现 y 等于 a， x 方随便写一个啊，加 b， x 加 c， 用哪个形式都可以啊，在零的时候 c 就 为三呗，所以说这个咱们直接改成三就行了，咱们尽量让这个未知量少一些， 不要未知东西太多嘛。你未知东西太太多的话，在那个尾来定理的时候啊，你那个不管是 x 加 x 二那个负的 a 分 之 b， 还是 x 一 乘 x 二 那个 a 分 之 c 啊，咱们初中学的是吧，都是要需要用到这三个变量的啊，咱们数越多越好啊，我觉得同学们也是能感受到这个假如说字母越多的话，最后在化简的过程中，它的难度呢，会更高一些。 好，咱们快一点。好，那咱们就可以写出来啊，可以写出来啊， 他说的是两个根的平方和是吧，也就是 x 一 方加 x 二方，注意这个就是是不是常见的一个化，就是一个化简的一个方式。咱们说改成伟大定律的形式，是不是应该是 x 一 加 x 二整型平方减去四倍的 x 一， x 二 减去两倍的啊？有的时候咱们要凑那个 x 一 减 x 二平方的时候，咱们是减四倍的，是吧？啊，这块的话咱们打开啊，不用打开啊，直接带入这个伟大定律就行了，该什么就带什么，就应该是 这 a 分 之 c， 咱们就写成是 啊，就可以把这往下带入一下啊，同时你会带发现带入的过程中其实这个变量还是比较多啊，但这块咱们还是可以用一个对准轴的一个问题，把这 a 和 b 的 关系找出来，是吧？ 因为咱们说 x 一 加 x 二嘛，就 x 一 加 x 二除以二的话，应该就是那个对准轴的问题啊，就是负的 r 一 分之 b 就 应该等于的是二，是吧？所以说咱们能找到，所以 b 呢，是等于 负整数等于二嘛，所以 b 的 应该等于负的四 a， 对 不对？所以说 x 一 加 x 二就是负四， a 除以 a 啊，负四 a 除以 a 就 应该是负四，是吧？负四前面还有个符号，应该就是 a 四，然后这块的话应该就是 a 分 之三，对吧？一个四，一个 a 分 之三，那咱们带入这个话就能解出来，这个带完之后化解的话，应该就是十六减去 a 分 之六啊， 那他说了是为十的啊，所以说这个咱们就可以很简单的解出来，这个 a 呢，其实是为一的，这个好解啊，这个左右同时乘 a 就 行了，左右同时乘 a 的 话就是十六， a 减去六等于十 a， 那 就相乘十六， a 等于六， a 就 等于一， a 等于一。 那咱们接着往下去看啊， a 等于的话，就相当于是咱们可以找出来这个极数，那就应该是 f x 等于 x 双减四， x 加三， 最后这个也是一样的啊，这个例四啊，这个例四的话，可以 当成那个训练题目啊，这个同学们下课自己去做一做啊，都比较简单啊，咱们还是在区间一到二上是一个递减的，所以说咱们只需要判断一下这个 a 的 一个开口，上面这个例子啊比较好 啊，它的一个开口的一个方向啊，在一到二上一个单调递减啊，然后咱们再去判断啊，根据 a 的 取值去判断 啊。同理这个最后一个也是啊，他说定域是负一到 m 是 吧？所以说值域的话是负四，是负四分之二十五到零，但咱们还是得优先去看一下这个负的四分之二十五，它究竟囊不难括那个顿轴。对于职业问题来讲的话， 同理咱们也可以判断出来这个 m 的 一个质值范围啊，这两个题咱们可以当成是课下自己去练练啊。好，那咱们就说到这。

密集数的和函数的第一，那么在讲这个和函数的第一之前呢？我们先来看第一的一个，还记得我们前面讲到过的一个东西，叫什么？叫常数项极数，对吧？这是第一小节，叫常数项极数。 好，那什么样的指数叫常数项极数呢？我们随便举一个例子啊，你比如说它是 n 等于一到无穷，怎么样呢？假设我们随便举一个二分之一的 n 次方，你看像这一种，我们是不是就把称之为叫常数项极数？ 因为密极数它里面是不是必须含有 x 的 多少次方，它才叫密极数嘛？是不是我们这个地方是没有含有 x 的 多少次方，所以它就叫常数项极数？ 那么对于这一个长数项结束来说，有人能告诉我他是一个我们长数项结束里面的哪一类结束吗？我们说结束有四大类，对不对？比如说我们的等比啊， p 结束啊，正向结束，还有一个叫交错结束，是不是四大类？ 但是对于我们这一道题来说，你一看他是不是写成了这一个什么 q 的 多少次方？ n 次方，对不对？那 q 的 n 次方的话，各位，这个其实我们要把它展开， 就是 n 等于一代进来，就是我们数列的第一项二分之一，对吧？加上 n 等于二代进来，是不是该二分之一的这个什么 平方，是不是？然后 n 等于三代进来，是不是该二分之一的三次方一直加，加到多少？加到二分之一的 n 次方，再一直往后面加，对不对？好，这个就是我们的常数项级数，也叫等比级数，那么等比级数大家先思考一下啊， 什么叫等比基数？是不就是从这个数列的第二项开始，对吧？每一项与前一项之比为同一个常数的时候，我们就把它称之为叫等比基数，是吧？那当然所对应的是叫等比数列，你看 二分之一的 n 次方去除以二分之一，是不？刚好是二分之一，他的平方除以二分之一约掉一个，是吧？三次方除以二分之一的平方，是不是约掉一个也剩二分之一啊？所以他是不是一个典型的等比 数列？那么等比数列大家想一下，我们的这个二分之一就是从第二项开始，每一项与前一项之比的这个数，我们把它称之为叫什么？是不是叫 公比，对吧？那么同时大家也知道，我们的这个长数箱叫等比结束，等比结束他一定是在什么时候收敛的呢？大家还记得吗？是不是公比必须要怎么样来着？是不是小于 一就可以了？是不是？只是现在的公比是二分之一，是刚好小于一，所以他是收敛的吗？对不对？好，那么在这里面 就牵涉到一个东西了啊，什么叫做和函数呢？就是只要你这一个常数向极数他收敛的，那么他就一定存在这样的一个和函数 和函数相当于就是把它加起来，但这个加的时候呢，我们先给他补充一下一个东西叫什么？对于我们的等比数列来说，大家还记得我们等比数列的前 n 向和的公式吗？ 好，前 n 项和的公式，那么前 n 项和 s n 其实就是啥？就是我们的这一个什么？ 这个就是从第一项一直加加到第几项来着？是一直加加到第 n 项二分之一的 n 次方。当然这个我也就不啰嗦了，我们直接把这个公式拿出来，它其实等于什么？ e 减去这个公比，就是 q 分 之什么首项，我们用 a 来表示，再去乘以一个 e 减去 q 的 多少次方呢？ n 次方，对吧？这个就是我们等比数列的前 n 项和的公式。其中 q 代表的是公比，就是 第二项和第一项的比值，或者第三项和第二项的比值，对不对？然后这里面是不是 a 代表的这个竖列的首项？好了，那这一个叫什么呢？这一个叫做前 n 项和公式，或者叫有现象的 公式。什么叫有现象求和呢？有现象就是你看他比如说是一百项或者一千项或者是 n 项，对不对？这个叫有现象。但是我们知道这个地方除了加到二分之一的 n 字方以外，他是不是还要继续往后面加呀？ 所以我们接下来要给他讲的这个公式叫什么？无限向如何去求他的这一个钱？呃，这一个求和公式是怎么样的？ 那无限向的叫无穷项是吧？就你一直在往后面加，那对于无穷项的这一个求和呢？他的这一个公式，我们一般设他为 s 是 吧？那他 s 就 应该等于什么？记住，就等于 e 减去公比分之首项，那就是我们的 a 了。 那有人说为什么没有我们的一减 q 的 n 次方呢？原因很简单，就是我们这一个地方啊，它必须有一个要求。什么要求？ 就如果你要保证它收敛，是不是必须保证 q 的 绝对值是不是要小于一等比，就说它才是收敛的，对吧？那既然它收敛了，你想 q 的 绝对值小于一，那你比如说我这个 q， 假如说就是小于一的二分之一加三分之一、四分之一，是不是都可以？ 那如果是 n 趋近无穷项的时候，是不是只能求极限？那我们知道 n 趋近无穷的时候，你比如说对我们的二分之一的 n 次方求个极限， 那其实你可以怎么写？你是不是可以写成 n 趋近无穷二的 n 次方？分之一，你把无穷带进来，二的无穷是不是还是无穷？无穷分之一就等于什么？就等于零，所以这个地方我们的一减 q 的 n 次方就等于零了吗？ 那一减零是不是等于一？那是不就是他了？看见没？所以如果是无穷项我们求和的话，那么他一定是要用到的。这个结果叫什么？一减去公比分之首项，各位，这将是我们这一小节用到最多的一个公式，所以一定要把它记清楚， 对吧？好，那有了这个知识点以后呢？接下来我们再来看一个东西，叫做这是常数项极数里面是不是有这样的要求啊？密极数。 我们举一个例子吧，比如说密集数 n 等于一道无穷，假设是 x 的 n 次方，那它是不是一个典型的密集数？因为它有我们的 x 多少次方了？ 那你也可以把它展开，那我们的这一个第一下把一带进来，那就是 x 的 一次方，把二带进来是 x 的 平方，一直加加到我们 x 的 n 次方，是不是再一直加下去，对不对？那这一个是不是我们的密集数了？ 那逆向数你会发现其实它是不是也是一个标准的什么等比级数，只不过现在多了一个变量，叫什么 x 而已，是不是？那你看，你把这个 x 带进去，比如说我们的第二项 x 方除以 x， 那 是不是就是 x？ x n 次方除以 x n 减一，是不是也是 x？ 从后一项开始，每一项与前一项的比值为同一个常数的时候，那它是不是叫做我们的什么啊？这一个等比 数，对吧？只不过这个密结数现在是密结数里面的等比结数，一样的遵循我们的这一个什么呢？呃，和函数的公式。那对于这一个和函数呢，我们就要用到的是什么？用 x， x 来表示。为什么用 x x 呢？因为它是一个关于 x 的， 我们刚刚讲的无穷项求和，它是针对常数项结束的，是不是？它同样遵循？只要是等比数列，它都遵循一减公比分之首项， 那所以一减去公比是谁？公比是不是就是 x 方除以 x， 那 是不是就是 x 分 之首项？首项就是我们的第一项，那第一项不就是什么 x 吗？来这个时候注意哦， 我们所有的这一个求和函数，是吧？和函数啊，都是建立在我们的收敛域上面的，所以在什么时候收敛呢？那它是不是满足我们的公比必须要怎么样？小于一的时候收敛， 你是不是也可以写成 x？ 绝对值小于不就是 x， 怎么样？大于负一小于一吗？是不是？那么这个数，记住啊，这个数我们就说这一个是不叫密结数啊，而这一个就叫它所对应的叫和函数。 所以和函数是不是既要写上这个函数的表达式，又要去写上我们的这一个什么定义域，是吧？这个定义域指的是谁？就是它的收敛域，就这个意思， 能懂吗？好， ok， 再来我多写两个啊。那这是从一开始的，那如果这个时候是从零到无穷呢？ x 的 n 次方呢？那你看带 n 等于零带进来，是不是 x 的 零次方？任何数的零次方是不是等于一啊？再加上把 x 等于 n 等于二一带进来是不该？ x 的 这一个一次方是不是再加？ x 等于二带进来是不是 x 平方一直加，加到什么 x 的 n 次方再一直加下去？你看，那这个时候它是不是还是一个 等比数列？ x 比一是不是 x 啊？ x 方数 x 是 不是还是 x 啊？那这个时候的 s x 就是 我们的和函数的表示啊？对， s x 它等于什么？ 它是不是等于一减公比？公比是不是还是 x？ 但首项是不是发生了变化？首项是谁？首项变成了一了？那这个时候一样的，是不是必须保证 x 的 绝对值小于一啊？ 对吧？所以你看它是不是就来的很快？那我再举例子，那如果是 n 等于这个一道无穷，那假设是 x 的 二 n 次方呢？ 那你看他怎么展开？是不把 n 等于一带进去？那就是竖列的第一项，那是不应该是 x 的 多少次方？二次方加上 n 等于二带进来是不应该是 x 的 多少二乘以二是不是四次方再一直加？加到后一项是不 x 的 二 n 次方再一直加？哎，你看 他其实也是一个等比竖列，为什么？ x 的 四方是不 x 的 平方？ 下一项是不是 x 的 六次方除以 x 的 四次方，是不是也是 x 的 平方？所以它是一个公比为多少 x 平方的这样的一个什么呢？ 等比数量，那所以它的这个和函数是不是应该等于一减公比？公比是谁？是不是 x 方分之首项？首项是谁？首项是不是就是 x 的 多少次方啊？ x 的 平方搞定，当然这里有要求，是吧？公比是谁？是不是 x 方？ x 方的绝对值是必须小于一，它才是收敛的。当然， x 方小于一的意思是不是就等于 x 大 于负一小于一吗？是不是可以解出来能懂吧？所以你把这个听懂了，等一会就好办了啊。再来， 我再写最后一个啊，自己大家去做。比如说我们写的是 x 等于多少呢？这个零到这个乘以 x 的 n 次方，那像这一个呢？ 那一样的，你把这个 n 等于零带进来负一的零次方，你 x 的 零次方是不是一再加上 n 等于这一个什么呢？呃，这一个一带进来是不该负一的多少次方？负一的一次方是不是还是负的？那这个地方是不该 x 的 多少次方？一次方是不该负 x 的 一次方，再加上第二项，第三。呃，这一个第二项就是 x n 等于二的时候， n 等于二，那是该负一的平方乘的吧？再来一个 x 的 二次方，再加上我们的第三项啊，依次往后面取吧，多取两下你就看得出来了。 那如果是 n 等于三的时候，负一的三次方，是吧？还是负的，那就该负的 x 的 多少次方是不该三次方，一直加加到我们的负一的 n 次方乘以 x 的 n 次方，你会发现，其实我们是不是也可以把它看成是一个等比什么？ 哼，是不是也可以看成是一个等比数列？为什么？第一项是不是一，第二项是不是负 x？ 负 x 除以一是不是还是 负 x？ x 方是不是就相当于负 x 乘以负 x 约掉负 x 是 不是也是负 x？ 所以 它相当于是一个首项，是为一 公比，为负 x 的 这样的一个什么？这样的一个密集数，那它的 s x 是 不一样的，遵循一减公比，只不过现在的公比是什么？负 x 分 之首项，首项是数列的第一项，那是一， 对吧？当然你就可以写成一减负 x， 是 不是一加 x 分 之一啊？注意写上它的这个原来的这个函数的什么呢？叫做的是收敛域， 那就相当于什么负 x， 是 不是负 x 的 绝对值只要小于一，一样的嘛？ x 是 不是大于负一？小于一不就完了吗？是不是？所以这个就是我们讲的逆极数，右边的这个东西就是它的和函数， 对吧？那当然这一些我给大家写出来的，你发现是什么呀？你发现是不是全部写的是一个标准的什么等比级数？ 为什么要写成等比结束？因为只要你写成等比结束，那么等比结束他的公式就是一减公比分之手下。第一你要能够找到公比，第二你要能够找到我们的手下，这就可以了。

对，密集数的和函数的性质啊，这个在书上有，大家去勾一下。第一个叫做，如果密集数在收敛区间负的 r 到 r 上的和函数，我们是 s x， 从这里面你可以看得出来，我们的这个和函数一定是建立在我们的什么叫收敛区间上， 其实它就是我们的，后面要讲啊，收敛域啊，要讲收敛域，而收敛域最后就是我们求出来的这个函数的定义域。好吧，来我们来看，如果它的和函数只要存在，那这个守信之一就是， 那么密集数 n 等于零到无穷 a n 乘以 x 的 n 的 和函数 s x 在 其收敛域上是连续的，对吧？为什么连续呢？因为它和函数它是一个基本出的函数啊，是一个出的函数， 那初等函数在定义上它就一定是连续的，所以这一个性质呢，不用去管它是不是。但是有一点你要知道，就是我们讲一个和函数，它必须是建立在什么它的收敛域上面， 而这个收敛域是不是就是我们上一小学给大家讲的如何去求一个密集数，它的收敛域啊，就是指的那个收敛域好不好？那接下来性质二就比较重要了， 性质二就是它的意思是哈，它的意思是密集数 n 等于零到无穷 a n 乘以 x 的 n 次方的和函数 s x 在 其收敛域上一定是可积的， 而且呢，它有逐项积分的公式。各位在这里我来讲一下什么叫逐项积分的公式呢？你比如说哈，我举一个例子啊，假设我们的这个密结数是 n 等于一到无穷，是吧？ x 的 n 次方刚刚讲过，它的第一项是不是相当于就是我的 x， 第二项是被 x 的 平方，第三项是被 x 的 三次方一直加，加到 x 的 n 次方再往后面加，对不对？ 那这个时候你看一下，那我们说它的 s x 其实就是啥？一减公比，公比是谁？是不是 x？ 分 之首项？首项是谁？是不是也是 x？ 其中我们的这一个 x 一定是属于什么？是不是属于我们的负一到一？因为公比 啊，就是 q 嘛， q 的 绝对值小于我们一，它才收敛嘛，是不是？所以它的收敛因子是负一到一，对不对？好，那接下来有一个东西大家就要注意了， 叫啥？什么叫做逐项积分？你来看我们这一个，你相当于你看他的每一项是不是都是一个关于 x 的 什么呢？啊？基本出的函数对不对？所以他一定可以干嘛每一项都去记一个分， 那每一项都积分对，意思就相当于是啥？就是我们的零到 x， 等一会我来给你解释为什么是零到 x 啊？ n 等于一到无穷 x n 次方，然后再来 d x， 是 吧？它其实就等于什么？ 右边是不是每一项都可以积分？为什么？因为你看嘛，它是不是后面就该 x 加上 x 方，加上 x 的 三次方一直加，加到 x n 次方再一直加，是吧？ d x， 你 想 这个是不是叫和差的不定积分？是不是等于不定积分的和差？那你是不是每一项都可以进行积分了？加上是不是每一项都可以进行积分再一直加，是不是加到 x 的 n 次方积分再一直加，能懂我的意思吧？ 所以它一定是有逐项积分公式。那逐项积分公式对谁？对我们的这一个零到 x， s t， d t， 各位，这是一个固定的写法，大家要掌握啊。 就是为什么是零到 x 呢？零到 x， 你 看我们现在是 s x 嘛？是不是？那相当于我们要对它两边记一个分，记一个分，为什么这个地方是零到 x？ 因为 零到 x 刚好算出来就是我们的 s x， 等一会讲题的时候你就知道了。好吧，所以只要是我们要对它积分，都是从零到 x 这一个来对它进行积分。 只不过这个函数本来应该是 s x 对 x 积分了。那我们知道一个定积分其实与上下线是吧？与变量是谁是不无关。什么意思？你比如说 零到一，比如说 x d x， 它和我们的零到一 t d t， 它是不一样的，只不过现在把零到一换成了零到 x， 是 不是变成了一个变现积分函数而已？所以这个地方是不应该是零到 x， s t， 就 把里面的变量换成 t 就 可以了。那么它等于什么？ 既然有逐项积分，这是为零到 x 对 我们整个的这一个什么密结数进行积分，那每一项都可以单独的积分，我是不是可以把最后求和的符号拿到前面来，先对每一项进行积分，然后呢？再来求和是不就可以了？ 那这个积分大家要知道怎么记啊？来，我写一下，零到 x 是 不该 a n 乘以 t 的 n 次方 d t， 这个怎么积分？很简单， 你对 t 积分，那么 a n 是 不是一个常数？常数是不是可以提前 a n， 然后再来零到 x 是 不是 t 的 n 次方 b t？ 那 这个找元函数就找呗，谁求到等于 t 的 n 次方，这个是不是有公式啊？ 呃， n 加一，那就相当于 n 加一，那就是 n 加一分之一倍的 t 的 n 加一次方，不要加 c 带上下限零到 x， 那么上线 x 带进来是不就是 a， n 乘以 n 加一分之一倍的 x 的 n 加一次方，下线零带进来，那这里面是不是没有了零的任何次方，是不是没有？所以它就是它，你看是不就是我们的这一坨， 然后我们再对这一坨是不是求和就可以了？相当于每一项先积了分，然后再把它加起来，是不就搞定？好吧，其中 x 属于我们的收敛欲，这个叫收敛欲啊。好，这就是我要讲的细节问题了。那接下来有一个这一个结论，大家一定要记住，叫做足项积分后所得的密集数， 是吧？就是我现在积完分以后的密级数，以原来的这个级数，它是有相同的收敛半径和相同的收敛区间，但是收敛域不一定相同，所以收敛域为什么不一定相同呢？因为端点值它有可能发生变化，所以这个端点值我们要去检查， 对吧？要去检验，当然一般对于我们专升本来说都是相同的，只是说以后你考研的时候可能要难度系数要大一点， 是不是？好，那么在这里面大家再思考一个问题，你想啊，我们现在是先对我们的这一个和函数，是吧？就是要本来是要求他的和函数，但是我们先对他是不是求了一个积分，就每一项是不是逐项积了分？那逐项积了分，我如何去得到他原来的这个函数呢？ 哼，是吧？你相当于对原来这个函数先积了一个分，所以你只有一个方法，怎么办？你先积了一个分，你要还原，那不只有求个倒吗？ 所以这个时候他所要用到的就是先什么先积分？但是你要还原怎么样呢？再去求一个导，所以叫先积后导或者再导啊。那先积后导吧， 好不好？先积一个分，以后还原，那一定就要再去求一个导就可以了。只是这里记清楚，我们往往是零到 x 对 我们的这一个进行积分。好吧，等一会我会讲一道题 来，这是我要讲到的这一个和函数的第二个性质，这个性质一定要掌握啊，一定要掌握。接下来在我们的这一个树上还有第三个性质，这个性质树上也有，所以主要以听为主，叫做的是。 那么还有，既然可以逐项积分，那么他的每一项是出的函数是不是也可以逐项去求一个导？所以在这里是这样的， 那么密集数的和函数在其收敛区间内可导，并有逐项求导的公式来。逐项求导的公式就是对我们的 s x 去求一个导，它等于什么？它相当于是不是就是我们 n 等于零到无穷 a n 乘以 x 的 n 次方，这个整体先去求了一个导， 那这个求导由于是足项都可以求导，我是不可以把求和符号先拿到外面来，那每一项先求一个导，再相加不就完了吗？对不对？那它是不是就是 a n 求导，是不是倍数提前 x n 次方求的是 n 倍的 x 的 n 减一次方搞定？ 注意，轴向求导以后所得的密极数与原来的极数相同的收敛半径是不是跟刚刚一样的？那么这里面就有一个问题了，什么样的问题呢？就是各位， 刚刚我们是先对我们的这个函数积了一个分，是不是要还原？是不是求个导？那么现在我们是先对这个函数求了一个导，那么你要还原怎么办？是不是要再积一个分？所以这个时候叫什么先导， 但是后积分，好吧，先导后积，还有一个先积后倒，这两个大家要注意啊，好，记住，不管他是先导还是后倒，是吧啊，不管他是先导还是先积，他都是主要做一件事情， 就是把原来给你的这一个密级数变成我们刚刚前面一直给大家讲到过的叫什么叫等比的密级数。等比的数列相当于等比数列，是不是有前 n 项和的公式啊？那不就是一减公比分之首项吗？是不是然后直接套公式就可以了？ 这个就是关于我们的一些核函数的性质，接下来才是正式的去给他讲一些题，来吧。在讲题之前我们把步骤拿出来。各位，这种题往往在我们四川，如果要考一定是考大题，当然填空选择也可以，是吧？填空选择就五分， 那么如果是大题，这个可能就是有十分啦，十一分是不是？那么这里面大题就算你不会做，实在没有听懂各位，十分的题，你也可以拿到 六七分，好吧，为什么？你看他的计算步骤，第一步求密集数的收敛半径，是不是我们上一小节讲的内容？ 求密集数的收敛域是不是我们上一小节讲的内容？但是这个是不是就是我们这一小节讲的内容了？ 好吧？所以他所有的东西都是建立在什么？建立在我们密集数的收敛域上面的，所以你得要按步骤去把前面的先全部梳理完，是不是？好， ok， 那 么只不过求密集数和函数它又分成了先导后继和先积后倒是不是，那么这个时候你就要具体的题目具体去分析就可以了。