淮安高一数学第二次月考时间

好的各位同学，这里是切峰解数学，今天开始呢，我们帮各位同学进行高一上月考复习的第二次月考复习，希望这次复习可以帮各位同学在考前多拿二十分。 那么这个部分重点复习的是函数综合零点问题和三角函数这三个部分。那函数综合这个部分呢？我们是从指数型函数开始的， 那你像这种题目上已经给定我们这个具体的函数的式，一看，哎，是个指数型的函数，这时候 a 选项要求值域，那这时候我们考虑函数类型已知，我们就可以选择画图，它前面这个 y 等于二分之一，整体的 x 方是个单调递减的函数， 哎，画一下，接下来呢，减一，那么就向下平移一个单位，对应的就是画出来图像应该长成哎呦这个样子，那这个是负一，所以他的直域是在负一上侧，负一到正无穷，没啥问题。接下来第二个二 b， 根据 a 选项，你已经得到了它具体图示是个单调递减的，那这时候看到这个比大小的一个问题，所以这时候考虑叫做抽象函数不等式问题，所以把一呢也得先转化成 f 括号什么的形式。那这时候 你看，你观察这个式子，你会发现 x 等于负一时，它是刚好等于一对吧，那所以这个式子可以写成 f x 加一大于 f 负一，这时候它在全体实数上 f x 都是怎么样的单调递减的？那所以呢， x 加一小于 负一，所以最后算成 x 小 于负二，那么它给的范围不对，所以二 b 错了，所以它说 f x 图像与 g x 图像关于 y 轴对称，那你先观察这两个表达式之间的一个联系区别， f x 是 二的负 x 方 整体减一，那么 g x 呢？是二的 x 方减一，它俩的唯一区别就是这个 x 和负 x 刚好是 x 变成了相反数，对吧？那么关于 y 轴对称，我们前面也学叫做关于谁对称谁不变，所以对应的如果 f x， 它关于 y 轴对称就应该是把 x 变成负 x， 那 这时候一看，哎，刚刚好你 g x 刚好是把 f x 变成了 f 负 x， 所以 它就是关于 y 轴对称的那四 d 呢？他这时候他问你说，若关于 x 的 方程， f x 绝对是等于 a， 尤其仅用一个实数根问你 a 的 范围，那这时候的话， 它如果这个方程只有一个实数根，就说明 f x 整体的绝对值与 y 等于 a 只有一个交点，那么我们已经知道它具体表达式了，所以可以选择画图，那整体在绝对值的话叫做上不变，下翻上， 那上面部分在这下翻上的话，那么对称翻上来，他本来底下是负一，在负一，这对吧？那翻上来之后，他对称，那么进一线就变成一了，那么这时候的话，如果他只有一个实数根，那就只有一个焦点，只有一个焦点，那这时候就应该是 a 要 大于等于一大于等于，因为他取了一的时候仍然是一个焦点，那所以这道题应该选择 a c 选项。 那么所以这道题主要考的一些知识点呢？在旁边给各位同学罗列了。首先第一个就是如何来求解抽象函数不等式问题，第二就是如果函数是关于外周对称应该怎么来表示？以及整体带了绝对值之后，他的这个翻折方式叫做上不变，下翻上。那么接下来我们来看的是 指数它与这个不等式结合之后的一个对应问题，那么他说已知三的 a 次方等于二加上三的 b 次方，则问你二 a 减 b 的 最小值。 那么这道题目看起来还是有些难度的，因为前面是指数的形式，后面直接问的是二 a 减 b 的 最小值，那这时候我们要考虑肯定是从形式上他得先统一，这样的话才能进行后续的一些操作，所以直接给他取三的二 a 减 b 次方，这样的话，一会我再给他取 对数，把底数消掉就可以了，对吧？那所以这时候把它展开，写成三的二 a 次方比上三的 b 次方，那么接下来同时有 a 和 b 肯定不好算，所以我们考虑消元，那么把 这个上面消掉，因为下面消掉的话，一会不好操作，所以消上面写成二，加上三的 b 次方，整理成平方，比上三的 b 次方整理成平方， 然后再比上三的 b 次方，那此时你把它拆开，写成四比上三的 b 次方，加上四加上三的 b 次方，这时候一看，它其实应该就是一个基本不等式的形式， 因为三的 b 次方不管 b 取啥，它都一定是大于零的，所以这时候直接对它使用基本不等式，它应该大于等于四，加上这个四也就是个八，所以这时候我们可以得到三的二 a 减 b 次方，整体应该是大于等于八的， 那么接下来把底数去掉，那两边同时取以三为底，那么它就写成了以三为底三的二 a 减 b， 四方整体的对数 大于等于这个以三为底八的对数。那么化简一下，左边是二 a 减 b， 右边是大于等于三倍的以三为底二对数， 对吧？那这时候就可以得到它整体的一个形式，所以各位同学看到这种问题，还是从形式出发，再考虑其他的一些解法和方法。那接下来我们来看的是对数型函数单调性，也就是这道题目， 它首先看上去就是个对数的类型，对吧？但是在这里它其实是一个嵌套类型复合函数，它说在这个负四到负三上是单调递增的。问你这个实数 a 的 取之范围， 那么它是一个对数型的嵌套函数，这数的话，我们把它分成两个部分来观察它的这个单调性，所以一个部分写成 y 等于以二分之一为底 t 的 对数，另外一个写成 t 等于 x 平方加 ax 加 a 减一，那么这数的话，因为 啊这个 x 平方加 ax 加 a 减一，这个部分是它整体的真数，所以真数要大于零，这也要注意。那么接下来就是 那么上面这个函数在他整个定义范围内都是单调递减的，而底下这个二次函数开口向上对称轴是 x 等于负的 二乘一分之 a， 也就是负的二分之 a， 那 这时候他为了保证在这个范围上是单调递增的，那么根据我们之前学同增异减，所以就必须要求这个负三呢？ 或者负四到负三这个范围之内，它底下这个函数也必须是减的，这样的话它单调性相同，整体是增的，那所以这个负三就必须要在对称轴的左边或和对称轴相等，所以这时候得到负三是小于等于负的二分之一的。 那么在这里其实各位同学容易遗漏一个问题，就是他得先保证他定域是成立的对不对？那所以这个负三带到这个 t 的 这个式子里面去，它也必须得是大于零的才行，所以这时候把它代入得到九减三， a 加 a 减一要怎么样？大于零，那所以把它两个式子算一下，上面这个式子算出来应该是 a 要小于等于六， 然后底下这个式子呢？呃，这个挪过去应该是八要大于二 a， 那 a 要小于四，对吧？那所以两个同时求这个交集，最后算出来应该是 a 小 于四，选择二 b。 那 么对于这个 定域横成立或者定域要成立，这个事情是非常容易遗漏的，各位同学还是要再注意和小心一点。 那么这个部分的知识点主要是千道类型复合函数单调线同增异线的一个使用，那接下来就是这个对数型函数的对应的一些性质的操作， 将这道题目它给了你 f x 表达式，第一问让你求 f x 定律，第二问让你求 f x 奇偶性，并加以证明。第三问让你求的是这么一个式子，让你求这个实数 m 的 值范围，对吧？ 那么第一问，求函数 f x 定域，因为它是对数形，所以这时候要求真数要大于零，所以它要同时满足二减 x 大 于零 以及二加 x 大 于零，那所以算一下，得到 x 应该是大于负二小于二，那所以它定域是负二到二的一个开区间。 第二问呢，判断 f x 奇偶性。首先，那么通过第一问可以得到它的定域 x 属于这个负二到二，所以它的定域关于元的正对称。接下来就是，呃，我们可以通过 f 负 x 和 f x 之间的一个关系判断，对吧？那所以把负 x 代入它应该是 log in， 这是二加 x 加上 log in 二减 x， 那 你会发现这个式子和原来那个 f x 长一模一样，对吧？所以它 f x 呢，应该是一个偶函数， 偶函数好到第三问了，那第三问看起来应该是一个求抽象函数不等式的问题，但是我们前面不知道它的单调性，所以这时候你不能把它写成抽象形式，而应该把它写成啥呢？把它写成具体的形式。那因为这个式子给你了，所以我们这时候可以直接选择进行代入， 那么代入之前要小心，因为它有定域，所以这个二 m 加一呢，必须也是大于负二小于二，那么这时候把它代入它的另外一个式子就应该是， 那么上面这个式子如果化简下，它是不是会写成 lo 二减 x 乘上二加 x， 对 不对？那所以把二 m 加一代入，这时候它应该是 lo 二减二 m 减去个一乘上这个二加二 m 加上个一，整体小于唠隐三，那么唠隐是个单调递增的，所以这时候得到它括号里面的部分或者是真数上部分，应该是啊， 化简一下，一减二 m 乘上一个三加二 m 整体怎么样？小于三 除以三。好，那么接下来把这两个数字解出来是不就可以了？那上面这个解出来，是啊，两面同时减一，那么再乘二分之一 m 大 于负的二分之三 小于二分之一，底下这个呢，还是得拆开来算一下。负四 m 平方，然后这是 减去一个四 m， 然后再加上个三小于个三，那所以呢，一项可以得到四 m 平方，加上四 m 就 大于个零，那所以四 m 乘上 m 加一就大于个零，那你把它解出来， m 小 于负一或 m 打一个零，这时候你应该求的是它俩的交集，那所以我们画个图像，那么一个，是啊，小于负一大于零， 好，那另外一个呢？是大于负的二分之三小于二分之一， 好呢？这时候的话你取，那你取它公共部分，那其实对应的就是两个部分，对吧？一个部分是这个 负的二分之三到负一的开区间并上，另外一个是零到二分之一，那这个就是我们说的这道题目，那这道题目为什么不用抽象的方式来做？是因为单调性 未知，对吧？而且他给了你的这个表达式，所以你把它带入之后进行求解，完全是没啥问题的。那这个是我们说的对数型函数性质的一些应用和相关题目。接下来就是这道题目，其实各位同学非常熟悉，是我们之前讲过的，叫做给了你函数表达式之后，如何来判断它的这个 图像。那么这时候的话，这个函数明显是一个，这个只对综合起来一个函数。首先还是第一步是判断它的定域，那定域的话，应该是它有对数要求，这个 x 本来要大于 零，对不对？但是他现在带绝对值了，所以这个 x 取要怎么样？不等于零是不可以。好，那接下来就是分母上这个 e 的 x 方减 e 的 负 x 方又不能等于零，那他能不能等于零，或者什么时候等于零呢？那肯定是当这个啊 x 等于零时，这时候对应的 前面是不是一减去，后面也是一，最后等于零，所以这 x 也不能等于零，所以它整个定律就是 x 不 能取到零，那么一看四个图像都没啥问题，接下来就是判断他的 啊这个奇偶性，那么因为孬眼 x， 孬眼 x x 带绝对值了，这里是 x 的 绝对值，所以它上面是一个偶函数， 而下面呢，这个 e 的 x 方减去 e 的 负 x 方，那么这个咱之前也讲过，那它一定是一个奇函数，对吧？那你或者你把负 x 带入试一下， e 的 负 x 减去 e 的 x 方，是不是刚好相反数的关系，所以底下是一个奇函数，那么整体就是一个奇函数，那所以这时候把二 b 选项和四 d 选项排除了，就剩了啊 a 和 c 了，那么 a 和 c 它俩的这个区别还是比较明显，你看 a 的 话，它从某一个点处开始，接下来当它 x 取到很大的值的时候，它对应的是一个 这个很就是比较靠近零的一个负的函数值，对吧？所以这时候我们取谁呢？我们取 x 等于一百，那么得到 f 一 百就等于上面是捞引一百，比上底下 e 的 一百次方减去 e 的 负一百次方，那么上面是大于零的底下呢？ e 的 一百次方肯定是大于 e 的 负一百次方，对吧？他的意见也是大于零的，那 这时候的话，底下肯定是更大一些，所以他应该是一个靠近零的正的值，所以我们应该选择 a 选项， a 选项，那所以以由这个函数表示来判断函数图像的方法还是我们今天说的三部，分别是判断定律，判断结构线以及带入他剩下图像的不同的 不同的部分的 x 值，进行特殊值的一个判断就可以了。那这个是我们说的图像的问题，那接下来就是如果它出的是一道函数综合性的问题这道题目，那各位同学能不能完整的把它做出来呢？ 那么这道题 a 选项它是，若函数 f x 定义域为零到二 b 虚线，则函数 f 二 x 定义，那很明显是一个抽象函数，求定义，对吧？那么它填入相同对应关系里面部分 范围一样，那么前面的范围是 x 大 于等于零，小于零二，后面的就应该是二 x 大 于等于零，小于零二，所以它求出来这个 x 对 应的应该是大于等于零，小于等于一，所以它范围错了。 接下来二 b 选项，他说函数 f x， 那 这个 f x 很 明显是一个对数类型的函数，对吧？这时候他说图像横过定点，那么说对，关于对数类型的函数横过定点，要求这个真数为一，那么二 x 减三等于一，所以你可以得到 这个 x 等于二，然后呢？那么真数等于一的话，前面这个对数就等于零了，那么所以它的 y 就 等于一，所以它横过定点二，一是没啥问题的。那么 c 的 话，它是一个指数型的， 指数型的一个嵌套类型符号函数，对不对？那所以这时候还是把它分成两个部分，一个部分是 y 等于二分之一整体的 t 次方，另外一个是 t 等于负的 x 平方减一。而接下来就是上面这个函数在定义范围之内一定是一个单调递减的，那接下来二次函数开口向下对称轴是 x 等于零，这时候对应的他在零的左边， 他在零的左边是一个单调递增的，右边是个单调递减的，他要求的是最大值，那他左边是一个增的， 右边是一个减的，那根据同增异减来看，那么这时候因为上面外面这个整体都是减的，那所以这个 y 等于二分之一的负 x 平方 减一四方，这么一个函数的话，他就一定是一个先，那么外面减，里面增，那所以整体是减的，那么外面减，里面减，那么是增的，所以他应该是一个 先减后增呢？先减后增应该是只有最小值，而且它是在 x 等于零处求最小值，所以你把它带入的话，它 y 的 最小值应该等于这个二分之一的负一次方，也就是二，那所以它这里完全错了，对吧？那么四 d 选项 四 d 选项这道题可能看起来比较隐晦，但是他还是我们之前讲过的，叫做啊反折类的一个问题，也就是你看这里他给 x 在 绝对值了， 那么前面是 x 平方，那么各位同学如果比较熟悉的话，他仍然可以直接写成 x 绝对值乘平方减去二倍的 x 绝对值加上个五，那这个是给所有的 x 带绝对值，那所以它的翻折方式应该是按照我们之前讲过的，叫做这个右不变右翻左， 所以它图像应该先画出这个 y 等于 x 平方减去二， x 加上个啊，接下来再去啊，根据这个方法去画，对吧？那所以我们先画它这个二次函数，二次函数对称轴， x 等于负的二乘一分之负二，那对应的就是一， 也对称轴是一好，那 x 等于零时，它取多少呢？它取这个五在这。那么接下来你把一代入算成它的这个对值， 最直就应该是个四，所以他这个图像大概画出来应该长成这个样子。好，为什么我不画左边？因为一会我把右边翻翻过去，左边是本来就不要了，对吧？所以我画左边就属于多余了。接下来就是我右翻组，那么把右边图像关于外轴对称再画过来是不就可以了？好 对个称啊，好对称的，它不是很对，各位同学能理解它对称就可以了。那接下来就是它让你求它单调递增区间，那么对应的这个是负一，这个是一，所以应该是在负一到零和一到无穷。 那么他这道题写的非常不错，为啥？因为他中间用的用的是逗号，用的是逗号，因为我之前说了，如果你要描述啊，多个单调曲线，应该用逗号连接或用和来连接，所以四 d 选项呢？也没啥问题，所以这道题应该选择 b d 选项。那所以这道题考的内容还是比较多的。第一个就是抽象函数求定域， 对吧？其次就是这个指对过定点的方法，叫指零真一。还有就是他的这个翻折的方式，如果给所有的 x 带绝对值，到底是怎么翻的，那这个各位同学还是要熟练掌握。接下来就是这个部分一个常考的问题，叫做啊指对比大小问题， 那么这道比较大小的问题呢？可以先化简，对不对？那么化简的话，他现在还不是一个完整的指对横等式的形式，他写成 这个二的以二为底二分之根号三的对数次方整体的平方，那么里面就可以写成二分之根号三 整体平方了，那么接下来它就是四分之三。好，那么 b 呢，是以十四为底七的对数，那么 c 呢，是以十二为底六的对数，那这两个看起来其实规律性还是挺强的，念这是十四，这是七， 这刚好是二倍关系，这是十二至十六，是不是也是二倍关系？所以它就可以先化简成十四比乘个二，那拆开就是一减去 这个以十四为底二的倍数，那底下这个也是一样，它写成以十二为底乘二比二，那么就是一减去 这个以十二为加二的对数，那这时候话其实已经可以比较，但各位同学如果觉得还是不是很清晰的话，可以通过换点公式把它写成捞引二比上捞引十四，底下这个写成捞引二，比上捞引十二，这样的话 全部就只有分母不一样，那么分母捞引 x 本来是个单调递增的，那所以捞引十四肯定是大于捞引这个十二，那么一减去这个小的数，是不是剩的就多了？所以 b 大 于 c 啊。接下来你只需要判断一下 a 和 b、 c 之间的关系，那肯定是先判断 a 和 b， 这样的话，他如果 a 大 于 b 就 结就结束了，对吧？那么你 b 和 c 都写成了一减什么的形式，所以 a 也得写成一减什么的形式，它写成一减去四分之一，所以你只要判断四分之一和这个 以十四为底二的对数谁大谁小就可以，那四分之一可以写成啥？他写成以十四为底，四次根号下十四，那么后面这个写成以十四为底，四次根号下十六。那么因为他以十四为底， x 的 对数是单倒立增的，所以呢， 你这个啊，四次更换下十六，肯定是大于四次更换下十四的，那所以以十四为底 二的对数大于四分之一，那么这时候的话，一减去小的肯定剩的多，所以 a 呢？剩的多， a 大 于 b 大 于 c， 所以 应该选择 a 选项。所以这道题主要是通过构造相同形式的方法来进行求解，那其他的各位同学记住这个口诀肯定是没啥问题的。那接下来就是零点问题这个部分， 那么在零点问题这个部分有一些比较简单的题目，它让你判断这个零点所在区间的话，那其实我们就可以直接使用这个零点存在性定例，因为这个函数它肯定是个连续的，这时候我们只需要判断它的这些区间端点对应的函数值是否是这个异号的就可以了。 那所以你看你对应的你把 x 等于负一代入，那这时候得到 f 负一就等于负一减二减四小于两。 好，那么 x 如果等于零呢？你把零代入 f， 零就等于个零加零减四，还是求那它俩同号，说明这时候它里面应该是没有零点，那继续 x 等于一呢？那对应的 f 一 就等于 一加二减四还是小于零，那所以在零到一之间也没有，那么继续， x 等于二的话，对应了 f 二，他这时候就取得八，加上四减四大于零，这时候说明你看在 x 等于一 和 x 等于二之间啊，他一个是小于零，一个大于零，他俩是一号的，说明他俩之间一定存在一个零点， 至少存在一个零点，所以这时候的话应该选择 c 选项，那所以这种题目不需要再去画图，或者说是解方程，那用这种方式来解还是比较方便的，各位同学如果不是很 了解这个零点存在性定律的话，可以再稍微学习一下。那接下来就是这个部分呢，稍微难度大一些的问题，就是，呃，他综合了负函数之后的一些零点问题， 那么这道题已经给了我们函数 f x 表达式，然后给了函数 g x， 啊，很明显 g x 是 由 f x 复合而成的，对吧？这时候他说这个 g x 差五个零点，那有零点呢？就是让 g x 等于零嘛？ 等于零，那么这时候我们本来可能要考虑一下就能不能这个因式分解或其他一些方式，但是看完之后发现都不太行，那之后咋办呢？那我们就想个办法令 这 f x 等于个 t， 那 现在他就写成了什么呢？他写成了 t 方减去二 m 加二倍的 t， 加上四 m 等于个零。好， 那这时候 f x 等于 t， 那 么我们肯定是要看一下，我把 f x 这个图像画出来之后， f x 等于 t， 也就等于某一个数字的时候，他有没有五个零点这么一个事情，对不对？那所以呢，我们先画出 f x 它的图像， 那么它是个分段函数，这时候对应的就是三， x 方是 x 小 于等于零时，这时候单调递增增的，这是 e。 好， 另外一边呢？它这是给以三为底， x 对 数整体啊，带了绝对值，那叫做上不变下翻上，对吧？那上不变下翻上，那对应的就是这块上去，这块下来，好， 那完整图像画质就是这，那这时候对应的。你看，当我 f x 等于某一个数字 t 的 时候，这时候我在这画一条直线，那么按道理来说，他如果要有五个零点，他必须要有五个交点，对吧？那么当然一看你会发现，不管交直线画在哪，都不可能有五个交点，那说明啥呢？说明 f x 等于 t， 他不止等于一个 t， 他 在这等于 t 一 的话，那他还得再有一个 f x 等于 t 二，就这样的话，你看他等于 t 一， 那我如果画成现在这个样子，他是不是有三个零点了，对吧？还是不还差俩，对吧？那差那俩就只能通过 f x 等于 t 二，然后再画条直线，如果再有俩的话， 再有俩的话，这样话说刚刚好，哎，这样刚刚好。所以我们这时候得了 t 一， 他得有三个焦点，那有三个焦点的话，这时候这个 t 一 的范围就必须是要在零到一之间，那零肯定不能取，取零的话只有一个焦点，那么这个 啊，一能不能取？一可以取，因为取一的时候他是三个焦点，所以是在零到一的左开右闭区间，那这个 t 二呢？ 这个 t 二他已你取 t 一 的时候，他都已经有仨了，那么一共就五个，所以 t 二的时候只能剩俩了，所以这时候 t 二的范围必须是在一到无穷这么一个开区间范围之内，就他有这两个值的时候，对应的才能够取到刚好五个零点， 对不对？那把这个要理解清楚，接下来就是那这些都有了。也就说我上面这个含 t 的 方程现在解出来必须要有几个解，几个根呢？两个。那所以他要满足第一个要求，嘚儿，它要大量， 那对儿它大于零呢？对应的就是四倍的 m 加二乘以平方减去四乘一乘四 m 大 于零，那光有这个还不行，因为你看我现在如果画出这个 t 的 这个方程的图像， 它有两个交点，然后我知道这是 x 一， 这是 x 二，那么它的范围是不是给了它一个是在零到一之间，那这是零，这是一。 然后这时候的话我们是不是可以得到这个？如果我把零和一带入，它是不是也得满足大于零和小于零这么一个要求，对不对？那所以它除了这个要求之外，还得满足把零带入，那么就剩个四 m， 四 m 必须怎么样？哎，这 对应的是大于零，那么把一带入，这时候对应的就是一减去二乘上 m 加二，然后再加上个四 m， 这时候因为这个一 他能取到，他能取到，所以这时候的话这个 t 一 可能等于一，所以这时候的话他应该是怎么样？小于等于零，他可能等于零，所以这里是小于等于零。好，那接下来把这三个全部都求出来，那我们的任务就完成了，对不对？所以你把他求一下 上面这该约的约语，那么对应的上面这个展开就是 m 平方加上四 m 加上四减四， m 大 于零。好，上面这个横乘以，那所以上面这个 m 属于全的实数。好，接下来继续啊，中间这个呢，它算出来就是 m 大 于零，然后底下这个 啊，一减去二， m 减去个四，加上个四， m 小 于等于零。然后呢，我们稍微的把它算一下，它对应的就是这个 m， 这个对应呢，这个 m 应该是要小于等于二分之三， 那所以最后求交集， m 大 于零， m 小 于等于二分三，所以应该选二 b 选项。那所以这道题可能对各位同学来说就是不好理解的是它该如何恰有五个零点，那这时候我们的方法就是令 f x 等于 t， 然后换成图像，判断在什么情况下能够产生五个交点， 对不对？然后来判断他到底有几个根，几个结，这么这么一种情况，各位同学把它捋清楚，那这个清楚之后，接下来就是比较常见的一个零点问题，就是已知零点个数之后求参数问题， 那么这道题目他就给了你 f x 的 表达式，然后告诉你说 y 等于 f x 减 m 有 四个不同零点，那这个式子要比刚才减的很多，对吧？他有零点，就是让 y 等于零，那么 f x 就 等于 m， 就说我现在画出 f x 图像之后，只要有一条直线，能够同时让它产生四个焦点，是不是就可以了，对不对啊？所以这时候的话啊，我们还是应该先画出 f x 的 这个大致的一个图像，那它一边是，嗯，大于零，小于零二， 一边是大于二，那么这时候哈，它大于零小于零二的时候呢，是给这个以二为底， x 对 数整体加绝对值，那叫做上不变下翻上，那么对应划出来就应该是从这到这，哎，这个值对应的是一， 然后接下来下翻上，把下面翻上来，就到这。好，那么继续。呃， x 大 于二的时候是个二函数，这时候 x 如果等于二，你算下这个值是多少，那么对应的是四减十六加上十三， 刚好是个一，那它也在这，那接下来对称轴 x 等于负的二乘一分之负八，那么就是个四。好，四，大致就在这， 那这时候你把四代入呢？就是十六减去四八三，十二加上十三，这时候应该等于负三，负三二三，那大致就在这。好，那所以我们这时候画图， 好，从这上去就可以了，就可以了。那有了这个草图之后，接下来就是我们要画一条直线，保证他一定要怎么样呢？有四个不同的交点，所以这时候你只能画在零到一之间，因为这时候才有一二三四，那么根据 根据他题目上说的这零点四个零点大小关系，所以他应该标成 x 一 x 二，这个是 x 三，这个是 x 四。好，那所以这时候你这个 m 的 范围必须要怎么样呢？ 必须是大于零小一，那所以他这个范围说错了。好，那接下来 他说 x 一 乘 x 二的值等于多少，那这时候对应的啊，其实我们就可以直接来算，因为 x 一 所在这一段呢，它是翻上来的，那它原来是，那它相当于是关于 x 轴对称，对吧？那关于 x 轴对称，那么 x 不 变外变成相反数，所以它的表达式应该是给前面整体加 负号，那所以这时候对应的，那么你负的以二为底， x 一 的对数等于多少呢？等于 m， 那 这时候你先把它表示出来，对吧？那所以它就可以，那这样我们把它这个符号乘过去，以二为底， x 一 的对数就等于负 m， 好， 那继续 x 二 x 二，它记到图像就是本来的那个以二为底 x 对 数的图像，所以它直接就是以二为底， x 二的对数就等于 m， 那 这俩加起来，那么就是以二为底， x 一 的对数乘上 x 一 乘 x 二，整列对数就等于它来加零，那所以 x 一 乘 x 二就等于一，所以二 b 它就是一， 对不对好， c 呢？ c 这个其实是非常明显的，为啥？因为啊，它这个在 x 大 于二的时候，它的图像是有二次函数，那对称轴是四，那么这个 x 三和 x 四，它其实是应该关于这个 x 等于四对称 对称的，所以这时候的话， x 三加 x 四除以二，就应该等于对称轴四， 那所以呢， x 三加 x 就 应该等于八，所以 c 也没啥问题。那么四 d 四 d 的 话，那由这个 b 和 c， 其实我们前面已经得到了对应的一些内容，也就说 x 三加 x 等于几呢？等于八，那就是八乘上 x 三，比上那么 八倍的 x 一 乘 x 二是一，再乘个一，那就是约定 x 三，所以他其实现在要求的就是 x 三的这个范围，对吧？那么你从这个图图上来看的话， x 三这个焦点就必须在哪呢？在二和这个焦点之间，和这焦点之间，那所以就我们求一下就可以了。求，当 我这个 x 平方减八， x 加十三等于零十，那么对应的 x 就 等于负 b 八加上加减根号下 b 方六十四减四乘一乘十三，比上一个二 a 二乘二乘一 好，那么有了它之后呢？接下来把该算的算一下，那中间是六十四减去这个四乘十三五十二，那就是八加减根号十二啊，比上二，那么再约一下，就是四加减根号三， 四加减根号三，那么因为 x 三是小的那个，所以它这个 x 三必须范围就在二到四减根号三之间， 对不对？所以四 d 也是没啥问题的，所以这道题应该选择 b c d b c d。 那 么这种呢，和我们之前说的方法是一样的，就是你把图像画出来之后，找到一条直线，然后你可以用行 m 的 式子来表示 这几个零点，对不对？当然你如果能发现其中规律，直接算的话，也是完全没啥问题，这个就是零点部分，就是难度适中的 啊，一类题目，各位同学还是要熟练掌握。那接下来就是三角函数这个部分，那有些同学如果还没有学到的话，那就认真去复习前面部分，如果已经学到了，我们就再来看看三角函数部分到底含了哪些内容。首先就是三角函数基础， 那么三项函数基础呢？其实也没有那么基础，对各位同学来说，如果不小心的话，还是非常容易出问题。那么 a 选项他说三项，而法是负的二分之一，他说而法范围是派到二分之三派，那你画图其实就能判断出来，派 到二分之三派之间是不是应该在第三项线，第三项线的摊着呢？一定怎么样了？是不一定是正的，但这里给了个负的，所以他错了， 猜错了。而 b 选，他说阿尔法是第二象限角，那这时候你要考虑怎么来表示第二象限角，那先找到第二象限的这个边缘是不在二分派到派之间，那所以阿尔法大于二分之派到派，但这个不能完全表示第二象限，因为你看你这可能是刚转一圈， 那我可能转两圈，对吧？我可能转三圈，仍然可以落在这个二分派到派中间的这些中边上，所以这时候呢，他要再加上到底转了多少圈，那就是二 k 派，那后面呢？也是加上二 k 派， 那接下来二分之二法呢？就是啊，两面同乘二分之一，那就四分之派加上 k 派，然后小于二分派加上 k 派，那这时候你在画图呢， 它对应的就是先找边缘，四分派在这，二分派那还在这，所以这时候它围成面积是这，但这时候是不还没转呢？它如果转一圈，那这时候它转多少呢？它一次转的是派，那所以四分派 转个派的话，是不刚好平角过来到这，那么二分派转完到这，这时候它的阴影部分分别在第一项线和第三项线角呢，是没啥问题。然后 c 选项， 那么这时候你要注意，你看这里他写的是三引一和烤三，二一没有带那个圈，所以他表示的是弧度，那一弧度约等于啊五十七点三度，对吧？那么三引在第一项线是正的，大于零，那么烤三引二的话，那大概都一百 一百多了，对不对？都一百多了，所以他应该在哪呢？他应该在第二项线，第二项线烤三引是负的，是小于零的，所以他应该选择 正的乘负的是不是负的，对吧？所以 c 也没啥问题， c 也没啥问题，好是 d， 他 说阿尔法是第四象限角，那么这时候他说这个 p， 那 第四象限的话，三眼耳法在第四象限，那么 y 是 负的，所以三眼耳法也是负的，然后贪着的阿尔法在第四象限，贪着的阿尔法， 那么第四项线横纵坐标是一号的，他也是负的，那所以两个坐标横纵坐标都是负的，应该在第三项线，第三项线，所以这个题应该选择 c 选项，所以就是他还是非常考察各位同学的这个基础的基础的。那接下来就是我们说这个部分还涉及到了啊，面积，什么样的面积呢？扇形面积， 那么他这道题目，他说一个扇形的周长是十六，那么一个扇形包括哪些部分呢？你画一个扇形 啊，我们随便画一个，它就包括两个半径和一个弧长，所以它这个周长就是两个半径加上一个弧长等于十六。接下来他说当这个扇形面积最大时，那么面积 s 扇，它是不是有两个公式，一个是二分之一半径乘上弧长， 是吧？还有一个是二分之一这个半径的平方乘上圆形角。 c 塔 啊，那在，但是你在这里，因为你已知条件里面已经有了半径和弧长了，所以这时候你肯定选用这个半径和弧长。那么什么时候这个面积大呢？那么这个是刚好满足基本不等式，那我直接二 r 加 l 使用基本不等式大于等于二倍根号下二 l， 那这样的话他是不是肯定能取得最大？那他什么时候取得最大？说当前仅当 二 r 等于 l 的 时候， ok 吧？那这样我把它带回来，他 l 换成 r 的 话，是两个 r， 那 所以他四个 r 就 等于十六，那么 r 呢？ 就等于四，那同样道理，两个 r 换一个 l， 所以 二 l 等于十六， l 等于八。好， r 和 l 都有了。他问你这个圆心九，那 c 塔此时它的值应该是 l 比 r 吗？那么就是八比四，最后结果就是二 九十二，那所以这个他的单位是啊，弧度对吧？但是 r a d 一 般可以省略不写，这都没啥问题，但是这个公式各位同学要记清楚，那接下来呢，就是三角函数部分常用到的一些公式，叫做同角公式。 那么你看他这道题，他给了你它的 x 等于二，这时候他问你这个三 x 平方减去三倍的三 x， 可三 x 的 值， 这时候你肯定是考虑把它朝着这个贪婪 x 去转化，或者把贪婪 x 朝着后面去转化，对吧？那我如果要把后面朝着贪婪 x 去转化，能不能直接转化呢？肯定不行，因为这时候我肯定要除这个考三眼 x 平方， 是不是才能把它转化成？但我也不能直接除，我要除肯定是等号两边同时除，或分式上下同时除。哎，那各位同学想到了分式上下，那么这时候他分母上是不是也得有 这个什么三引 x 平方或 cos x 平方出现，是不才能上下同除？那么让各位同学想到那个公式叫做同角公式， 三引 x 平方加上 cos x 平方是当一，那所以这时候类似于一的代换或一的妙用，它可以写成 cos x 平方减去三倍的 cos x 考三 x， 那 么分母上本来写的是一，那一就等于谁呢？就等于三 x 平方加上考三 x 平方，那么接下来上下同除考三 x 平方，那对应的就是 tan 整数平方，减去三倍的 tan 整数 x 比上， 这是 tangent x 平方，加什么一。好，那接下来代入 tangent x 等于几呢？等于二，那所以它对应的就是这个四，减去一个六，再比上一个 四加一，那就是五分之二，那负的五分之二。 ok， 那 么第二个他说已知三引阿尔法加考三阿尔法等于五分之一，阿尔法呢？是负的二分派到二分派。那所以你看这个范围的话，其实也非常明显，这个范围应该在哪呢？ 是不是应该在这个一次象限？在一次象限这时候你肯定是要么 就是直接把它表示出来，求出来，要么就是求出来这个三眼耳法和考塞耳法之之后，然后再把它求出来，对不对啊？那这时候的话，已经有了三眼耳法加考塞耳法等于五分之一，那么这时候我们两边同时平方可以得到 三引二法，平方加上可三引二法平方加上二倍的三引二法，可三引二法就等于五分之一整体平方，那也就是二十五分之一。好，那前面的加减等于几？等于一，那所以二倍的三引二法，可三引二法就等于 负的二十五分之二十四，他是个负的个三亚尔法乘考三亚尔法是个负的，说明他俩是一号的，对着没一号的，那么你这个阿尔法本来是在这个一四向前，这时候他要一号，就只能阿尔法在第几向下呢？在第四向下，因为在第一向下，他俩都是正的， 所以这个尔法呢，它的准确范围应该是大于负的。二分派小于零，小于零，那所以这时候三眼尔法就是啊，小于零的考三眼尔法呢？是大于零的。那有了这个， 有了这个，我就可以怎么样来操作，我就可以把原来的减法写成什么？写成加法。你看三眼尔法减去考三眼尔法，整理平方， 它就等于，那你把它展开，它是不是一减去二倍的三引阿尔法？乘口三引阿尔法，那么代入就可以了呀。那么就一减去，这是负的二十五分之二十四，那就是加上二十五分之这个 二十四，那么就是二十五分之。呃，四十九，四十九啊。接下来因为三眼耳法小于零，考三眼耳法大于零，所以你把平方去掉之后，它三眼耳法减去考三眼耳法，一定怎么样？是个负的，它就等于负的五分之七。 好，那加的也有了，减的也有，那我现在说算一下就可以了，对吧？你这三幺二法加上考三幺二法等于五分之一，以及这三幺二法减去考三幺二法等于负的五分之七。所以呢， 两个式子一加二倍的三眼耳法就等于负的五分之六，那么算一下，三眼耳法等于负的五分之三。啊，那么三眼耳法等于负的五分之三，那靠，三眼耳法你这把带入是不是可以得到它？应该是这个五分之三。好，那所以摊着它， 这是尔法啊。摊长尔法等于啥呢？就等于这是三尔法比考三尔法，所以是负的五分之三，比上五分之四，所以就是负的四分之三， 负了四分之三， ok 吧？所以这道题其实主要考察了各位同学，对于啊同角公式里面平方和为一以及这个商数关系的一个应用，还是要稍微灵活一些才行。那最后就是三角函数这个部分，还有一种考法叫做给值求值位， 那么给值求值的特点就是他会给你一个，你看这个角度其实不完全知道，对吧？这是他对应的三个函数的值，让你求另外一个不完全知道角度的三个函数的值，那这种问题呢？称之为给值求值。那这种其实我们也有非常规范的做法，叫做 啊先凑位置，再凑已知。那么因为他这个角度里面分别有位置的角度和已知的角度，所以我们一般是先凑位置，把位置的角度凑成一模一样，再去凑已知的。那这道题比较简单，就是他已经给你凑好位置了，那你只要凑已知就行，也就说我们在这里， 你前面这里面这个已知角是负的四分派，后面已知角是四分派，那所以我不管变前面还是后面都一样，那我把它写成这个负的二分之派，加上尔法加上四分派，恒等变形，对吧？然后接下来对它使用这个 右导公式。右导公式，那么你把尔法加上四分派，看成一个锐角，前面是负的二分派，所以先把三角函数符号换成 cosine。 接下来就是那负的二分派 转完应该落在这个 y 的 负半轴上，对吧？那再加上个锐角，锐角应该是 逆时针转，那么再转一点，最后落在第四象限，那所以第四象限是负的前面加负号，那么你刚才把 r 法加上四分派看成锐角，所以现在括号里面填的是 r 法加上四分派，而这时候的话，那么它就等于什么？等于， 那前面这不是三分之一吗？就等于三分之一，所以考三以 r 法加上四分派就等于负的三分之一，所以选择四 d 选项，那所以这个就是我们说的 给职求职。那各位同学把这些知识内容都梳理清楚之后，最后就祝各位同学逢考必过，跟着峰哥学数学，不用发疯就成功。

大家好，我是麦斯利，今天我们与大家来平息一下六盘山高级中学二零二五至二零二六年高一上的第二次月考试卷， 那么这次试卷可以说大家的题量还是比较大，他依然采取了八加四加四加六的这个试卷结构，比我们现在八加三加三加五的题量相对来说要大一些。 我们看了一下整个试卷基本，这一次以三角函数和我们的函数部分这两块内容为考察点， 那么我们的统计与拆解之后，这份试卷大家应该达到的防守分数为一百二十一分， 那么我们下面来把每一个部分得分的情况给大家做一下拆解。那么具体你应该防守住哪些题，我已经以贴图的形式放在了屏幕上，大家去自行查询。 我们先来看一下单卷题，这次八道题我们依然应该防守住前七道题，其实第八题也并不难， 前七道题里边可以说非常基本。第六题，我说一下这道题来说考的是一个基本不等式，让你来去求 a 加 b 的 什么最值，那么大家只要能够把基本的不等式这一块的相关题型解决，可以说这个题应该是很容易来应对的。 第八题，这道题为什么可以允许大家错呢？因为他是以一个理解型的概念来去出的这个题，那么我们可以允许大家错，但如果你能够真正的分析到位，这个题也应该比较容易基本考察了我们三角函数的什么定义， 只要你围绕定义，大家最终就可以表示出这个解析式。其他的题我认为都属于非常常规的题型，大家应该都能够把它抓住，我们下面来说一下多选题，这次出了四道题， 我们给大家的防守，那么要把三前三道题要抓住，也就是分别是九十、十一，那么这三道题那么可以说是属于送分题了。那么第十题我重点说一下，基本考的是一个符合对数的什么求参数的范围问题， 那么告诉你这个符合对数在某一个区间单调递增。求参数这一块大家必须要知道符合对数要满足两个东西，第一个就是他的定域问题，大家要去考虑。第二符合函数的增减性是怎么出来， 大家要知道同增异减这样的一个结论。那么十二题也就是我们最后一道题，也是在函数部分比较爱考的，它是以三角函数为背景，那么让你分析和理解，那么这道题还是大家只需要按照单选来处理它即可， 你只要把确定后的答案把它填出来，这道题应该没啥问题了。填空题也是给了四道题，那么我们依然防守前三道题， 十三题考察你弧度化为度数，这个大家只要套公式基本就可以出来了。十四题那么可以说考察了一个二次函数的动轴定区间问题， 这个问题已经反复出现，这属于我们初三二次函数的一个非常经典的题型， 大家只要能够把二次函数化为什么顶点式最终区间放在图像，他告诉你为单调函数，你看看对称轴在区间的哪一侧能够使得这个函数单调递增或者单调递减， 这样的情况下我们就可以求出 m 的 范围，那么十五题，这道题属于我们三角函数的定义问题， 那么这是一个难点在在我们三角函数的第四个题型，我们重点帮大家解决了两类三角函数的定义，这属于其中的一类， 当你把根号下二倍 cosine x 减一，那么这个式子满足大于等于零之后，大家应该整理出 cosine x 大 于等于二分之一，一定要去结合我们讲的这个方法，把对应的图像画出来， 找到满足大于等于二分之一的部分，最终确定出 x 范围，千万不要忘记了它的周期问题。所以说前三道题都属于大家应该防守住的题型。 最后这道题如果你没有时间，或者这个题没有思路，还是大家可以去跳过，但它属于我们函数的零点问题了， 所以说这道题我在这先不注数了，那么我们进入到解答题部分，先来看十七题。十七题，这道题基本考的是一个对数的计算型问题，以及三角函数的化简求值问题，这两道题可以说大家都应该抓住分了，也就这道题要防守住这十分 应该比较容易，只要你的公式到位过关就没有问题。下面我说一下十八题。十八题，这道题也是一个十分的题，那么考察了我们三角函数诱导公式的运用， 也就大家只要能够把我们的二十七个诱导公式理解到位，对吧？你做这道题不应该有任何的问题，大家只要把它的象限判断准确，到底为正还是到底为负，你把这个问题解决，基本就出来。 十九题，这道题考察的三角函数可以说最基础的什么？基本的问题，这种题可以说也就是这次月考会出到后面，比如说大家在期末考试，我认为就不会再出到这么简单了。那么属于我们给大家概括的六大类问题。 第一道，第一问，让你来去解决它的最大值，以及求得最大值是 x 的 集合，那么这个题你的方法记住，只需要令 omega 加 f 等于二分之 pi 加二 k pi， 那 么最值一定要分清楚它是什么情况下，求最值是 x 属于 r 还是某一个区间，我们这道题很显然是 x 属于 r 的。 第二问来说，让你求单调递增去解，大家只需要令二 x 大 于等于负二分之派加二派，到二分之派加二派，单调递增，最终解除谁的问题，解除 x 的 范围，这个问题就解决了。所以说十九题也是一个送分题了， 那么二十题，这道题是一个应用型问题。这个题来说，放到这我还是给大家的建议是把它放在最后一道题来解决它。 如果说那么三千三问的题，大家重点抓住前两问，第一问，你只要能够去把解析式根据题能列出来，那么第二问相对来说就容易很多。还是这句话，大家遇到最值问题，一定要有一个思考的方向， 到底是二次函数型还是基本不等式型，这个取决于你化简出来的解析式， 这个解析式一旦具备了某一个特征，你的思路应该明朗。那么二十一题，我来说一下，这道题也属于我们三角函数这一块的比较重要的一个题型， 称之为叫给出函数图像。确定解析式的问题，无外乎我们要确定三个量，第一确定他的 a， 第二确定奥密克确，第三确定数呀斐。 当大家把这三个量只要确定出来，你的解析式就可以解决了，那么第二问来说，很显然，那么涉及到两角的一个和差问题，大家只需要结合已知条件，通过 f x 等于二分之一，你应该能够推导出一个式子， 就应该能够解决考三二减减四分之派的值。这道题我认为大家重点来防守前两问，第三问也说一下，那么第三问来说，大家可能完整的把它去能够化解且推导出来， 我认为对大家会有一些挑战的，但是并不代表我们不能去蹭一些分。老师说的蹭分的逻辑是什么？大家最起码可以先去把 f 四分之派减 x 先表示出来这个式子，你把它左右通过移项来去进行一下化解。 其次你应该能够观察出它出现了指数型的二次形式，比如说四的 x 次方，你可以把它理解成是二的 x 次方括号的这么平方形式。这样的话大家去做一下简单的推理， 那么也就能够在前两问的基础上，大家能够多抓两到三分出来，这样的话我们这道十三分的题，你的得分就能上升到九到十一分了， 所以大家在处理这道这一问的时候，一定要注意这个技巧。那么我再说一下最后二十二题，这道题给的是十七分，也是大家这一次试卷的一个压轴题部分，那么我们考察的依然是一个符合对数。那么这道题来说，第一问让你求什么定律， 那么很显然告诉你 b 等于二，大家带进去之后，我们只需要让真数这一部分满足大于零， 那么这个题就其实又转化成了一个什么指数型的二次函数了。那么指数型的二次函数的形式，但要注意它里边有二的这个 x 方和二的 x 方分之一， 那么大家要知道怎么去处理它，你需要通过换元的方法来把它转化成一个一元二次，但是在换元的时候，大家要注意你换元变量范围的一个确定。这道题我认为大家的第一问 应该是没有什么大的问题，你只要有基础都应该可以得上一些分。第二个来说，让我们来用定义法证明这个函数在定义内的单调递增，也就是一个单调性的证明问题。那么你首先要知道我们如何来证明某一个符合函数的什么 这个单调性，那么前提是大家要注意底数 a 已经明确了范围，也就是 a 是 大于一的。当你把真数这一个整体部分看作一个新的函数的时候，你只需要来考虑这个函数的增减性， 当这个函数为增函数，复合出来，原函数就为增函数，如果新的函数是一个减函数，复合出来就是一个减函数，剩下就是大家的一个推导过程。所以这道题我认为对大家也是很有挑战，但是希望大家能够 按老师刚才说的逻辑和步骤去进行一下简单的推理，这样大家可能这道题最起码能拿到七到八分了。 七到八分，最后这一问大家直接跳过以上就是我对六盘山这一次高一第二次月考试卷的一个平息了， 客观来说，试卷的出的层次性还是非常不错，但大家的挑战在在于你做题的熟练度，毕竟他的题量增大，分值在减小，这就是要求大家在掌握每一部分的内容的时候一定要踏实。 如果说你没有一定的熟练度，想必这份卷子大家也会被虐的不轻。客观来说，里边的一些题还是对大家有很强的要求的。我也希望大家通过这次月考好好去 复盘一下，把自己不足的地方，还没有掌握的地方好好的赶快去解决掉。以上我们就说到这，感谢大家今天对这期视频的观看，关注我，你的数学不再困惑。

十五、十六号，然后某些学校考的一个月考卷子啊，十二月份的月考卷子，所以这地方呢，我把这份卷子整体把它分析一下啊，有些经典的题目，挨个讲一讲啊，然后如果你们有还有卷子想让我分析的啊，就可以私信发给我，完了之后我就抽时间给大家录个视频啊，给大家讲一讲上面一些关键的题。 好，我先说一下这份卷子我的整体难度吧，我大概看了一下，反正没有我录的三套卷子，任何一套卷子难， 肯定和华师大附中的没法比，和三大附中的也没法比。我昨天录的那份卷子，整体来说难度不大，但是后面有些题计算量还是挺大的，是吧？然后这份卷子呢，它整体上来说， 呃，如果让我做的话，可能也就是半个小时左右吧，对吧？估计要要不了半个小时，可能如果加上大题写过程的话，可能半个小时左右， 整份卷子大概就是能把它做完啊，并且他没有任何考向计算的部分，对不对？那每一题呢，还是比较简单的， 所以这份卷子你看看你们考的过程当中，考完了之后错的哪些题啊，那些题的话是哪些地方没有掌握好，这个还是很重要的，因为这份卷子除了我看看哪些题可能稍微有点难度， 看一下啊，看这个十一题啊，我感觉十一题可能稍微有点难度啊，然后再一个是十四题，对吧？这两个题，然后剩下的大题，包括这个创新题，十九题， 看起来特别很长一段话，把很多学生吓到了，这其实本身从头到尾你只要仔细去读题的话，把写出来他压根就不难啊，并且比我们讲过的这种类似的题，对吧？咱们讲过好好多回了啊啊，难度都要小很多。 好，我们来看一下这份卷子，来，挨个挨个，我们来分析一下来第一个题考了什么集合这个问题啊，里面涉及到一个根号，那这地方有个 x 小 于等于一，要大于等于零，你看大于等于零，这地方你写没写， 并且还要保证 x 属于什么自然数，那属于 x 只能等于什么零和一啊，只能等零和一对不对，然后负 x 小 于二，那就是 x 要大于负二， 那零和一不就零和一吗？就选 c 啊，是吧。所以这种题他有些易错点在里面，就很多学生可能做快了之后，这地方漏看了呀，或者括号里面忘记写，忘记写大于等于零了呀等等这些啊，这第一题，然后第二题是个充分必要条件，同样的一个对数不等于 x 小 于零啊，这个大于零你写没写 对不对？所以很多学员写的是冲要条件啊，说 x 小 o 一 能不能推出零到一之间呢？推不出来，但零到一能不能推出小 o 一 啊，可以，随时必要不充分，对吧？啊？选 b， 那 第三题，这个比较大小，我们说啊，比较大小和谁比了？和零比，和一比，这个题都不需要。为什么呀，他每个值都能算出来，你看第一个是多少二分之一，第二个是多少二，第三个是多少四分之一，你看这有什么好比的是不是？这就是一个简单的计算题啊， 然后第四题，零点所在范围，这就我们说的，给你个具体函数，首先看单调性啊，这个函数单调递增的，那么零点所在区间，就把这几个指往里带，我们一般不要带边上的，是吧？就从二开始带， 对不对？你把二带进去，那就以三为底，二的对数啊，减去个五，加个二，加个四就减个一，那肯定小于零的，取二小于零，那取三就大于零了呀，对吧？那选 b 啊，选 b， 所以 这一题呢，还很好判断的。 然后第五个就是关于指数不等式的题，这地方直接给指数计算，三分之一就是三的， x 减一次密小等于九九十三的平方，就是三的二， x 减二 x 方， 是吧？然后三是个递增的，他要比他小，那就是分那个指数上的 x 减一小等于二， x 减去个二 x 方，然后解一个不等式就可以了，对吧？解个不等式就可以， 所以这是一些基础题啊，这地方我就不再去解了。来第六个，若密函数 f x， 它的图像经过这个点啊。同样的，首先它是密函数，还记不记得密函数前面的系数一定是要等于一的，所以啊，不要说 m 不知道等于多少啊， m 等于二， 那最后 f x 等于 x 的 阿尔法方，把十分之一带进去，算，它等于十，那阿尔法不就是负一吗？所以这个 f x 其实就等于 x 分 之一， 对吧？好，他说 x 分 之一呢，要大于二， x 分 之一大于二的解集啊，这地方可能可能选择把二移过来，其实这地方我们说不需要移，为什么？ 因为 x 分 之一比二都大，那 x 是 肯定是正的， x 既然可能是正的，那我 x 能存过去啊，那就是二， x 小 于一，那就是 x 小 于二分之一大于零啊，灵活变通啊，灵活变通，说 x 的 范围呢？是零到二之间的，对吧？零到二分之一之间，选 a。 好，你看那个第一期题，函数 f x 什么有两个零点啊？ m 的 取值范围，那么说了，这种分段函数要考虑零点问题，函数零点问题就是方程有解问题，方程有解问题，改成图像焦点问题，是不是？所以看这种题，你们自己做的轻不轻松啊？ 自己做的行不轻松啊？如果他这种起来做的不轻松，那上课没听我的话，对吧？下来之后关于这个分段函数图像自己有没有练过，对不对？然后这种零点的这种转换的方式，自己有没有去尝试的？多去多去体会体会。好，来看，我们把这个题来画个图，然后 log x 加三，就向上平移的三个单位啊，去向经过一零一 二三，对不对？然后呢？小于等于小于等于零的时候，小于等于负 x 方减 x， 负 x 方减 x， 有 两个零点，一个是零，一个是负一吧，对不对？然后开口方向向下，那， 那怎么就有两个零点呢？这是实心点啊，这是实心，这边是无限逼近的，对不对？好，有两个零点的话，这边不就两个零点吗？是吧？这有两个，两个，两个到上面，这是一个，有两个的时候，还有什么时候？这个顶点的时候看见没有顶点的时候，所以不用算啊。就是 f x 等于负 m， 所以 这个负 m 呢？比零小就行吗？ 是吧？或者负 m 等于这个值，那不就是选 b 吗？那就不用算，学的能有了个结构的就是 b 啊，对吧？有这个结构的就是 b， 所以 m 它肯定是要大于零啊。 m 大 于零或者是负 m 等于个正的，那 m 肯定是个负数嘛，是不是 好？第八题，已知定义定义在区间负二到二上的奇函数啊。这个题啊，咱们可以来简单说一下它。首先负二到二上的 b 区间的奇函数，这地方要注意，负二到零零这地方是个 b 区间， 如果这地方改成负二到零，这是开区间的话，这题没法做。为什么咱们强调过如果是个 b 区间的话，那么还是奇函数，那我知道他在整个负二到二上都是单调 d 减的， 因为他正好的负二到零，这个 b 区间到这的确是减到零为止的，对吧？还是减到零为止的？那如果是开区间的话，他有可能无限 b 均零的，那么这个图就没法画了啊。他有两种情况了，是不是 好，若 f 零 x 加上 f 一 小于 f 零来看，负二到二上的极函数 f 零是不肯定等于零啊，所以就说 f 零 x 小 于负的 f 一 负的 f 一 不就是 f 负一吗， 对不对？好，它整个负二到二上呢，都是个单调递减的，所以就是零 x 呢，要大于负一嘛，对不对？大于负一单调递减，但要注意啊，零 x 本身还有范围，它必须在负二和二之间，对吧？它都大于负一了，所以大于负二就不用写了，你保证它小于二就行了， 所以 x 呢，就大于一分之一，然后小于等于一方啊，大于一分之一，小等于一方。所以看选择题第八题，他都不是很难啊，他都不是很难。 所以这地方有些细节部分的我还是要说出来，可能你们平时做题都没有注意过这方面，对吧？我考试，我平时上课我专门说过这个。一个基函数，如果说是负二到零是开区间，那他写个负二到零开区间，他有可能是负二，对吧？他从负二到零开区间，他有可能零在这没完，完全没问题啊， 对吧？他也是单刀递减，那么这个时候这个图的话，就这个题就没法做了，你看对不对？好，这是我们第八题啊， 好，第九题啊，这个是比较简单的，看起来这个选项特别复杂，但你要知道 f x 毕竟是个已知的函数，所以 a c d 很 快就能判出来，是吧？好，我们来看看 f 三， f 三就往下面带，这往下面带三分之一的三次方，九分之一肯定不对啊，是吧？然后呢？ c 啊， f 负一， f 负一等于多少？ f 负一往下面带就是一就是零吗？ f 负一等于零，那 f f 负一呢？不就 f 零吗？ f 零零往下面带就是一啊， c 是 对的，那个 f 负二， f 负二，它往上面带，就等于以三为底二的对数，是吧？然后 f 以三为底二的就往下面带，那就是三分之一的以三为底二的对数的负一是不是等于二分之一，是吧？所以 d 也是对的， 对不对？好，来看 b 选项好， f t 等于一，那这地方就分情况讨论一下。第一个， t 如果是小于零的 对不对？ t 如果小于零，那就以三为底，负 t 它等于一，证明 t 等于多少呢？负三啊， t 等于负三，那我还有一种情况呢，那如果 t 大 于零的时候呢？ t 大 于等于零的时候，那就是，那明显的还有 t 等于几啊？ t 等于零也可以啊，对吧？取零的时候不也等于一吗？那说很明显 b 是 错的啊， b 是 错的， 所以简单判断一下啊。 c， d 不 难吧，是不是不难？好了，看第十题， a 大 于 b 大 于零，你看这是不是考察了一些最基础的指数对数函数的单调性呢？那第一个负 a， 它比负 b 要小吗？整个是递增的，所以呢， e 的 负 a 说明它小于 e 的 负 b 值方，对吧？来 b， 它这个 d 减的以二分之一为 d， 减的 a 比 b 大， 那么整个比 a 比它小没问题， b 是 对的，然后 c a 减 b， 你 大于零。大于零什么意思？零是论一啊，所以 a 加 b 要大于 a 减 b 大 于一吗？那没有说呀，是不是所以 c 不 对啊？啊？ c 不 对，然后 d 呢？ 你不用选了，多选一下，那 b 都算了， d 肯定是对的嘛，对吧？ b 你 看看，就是 a 的 平方分之一和 b 的 平方分之， a 比 b 大， 那 a 的 平方肯定比 b 的 平方大，那倒一下，肯定什么比它小，是不是？所以选十 d 好？ 十一题啊，这个题我们来说一下。首先第一个以五为底四，这个简单，把它带进去，所以这种题就算难，他也有送分的地方，你看， 所以把它带进去，那就是等于一加上一个五的以五为底四，这个简单，把它带进去，那就是等于一啊。 a 是 对的，你选择 a 走人就行了吗？又不会做，对不对？好 b， 他说 f 负 x 加 f x 等于一，等不等于一呢？那你算一下啊， f 负 x 加上 f x， 那 就等于一加上个五的负 x 密分之五。加上个一加上个五的 x 密分之五啊，上下同乘一个什么五的 x 密，那就是五乘一个五的 x 密，加上个一加上个五 x 密分之五，那加起来等于几？ 看看你加起来正好五提出来就等于五吧。是不是等于一的啊？等于五啊，这 b 选项不对。 好，那通过这个其实我得了个性质，就 f 负 x 加 f x 等于五的，是吧？那 f x 的 值域呢？是零到五，来看看值域怎么求它。这是个反比的函数形式的。那分母在动吗？对不对？不是整体吧，当个整体反比的函数来，分母最小，整个就最大，分母最小最小。五的 x 最小是零啊， 他取不到零，那我可以把零带进去。一加零是几是不一？一分之五就是五，最大最大是五，但是取不到五呀，因为分母取不到一，他肯定比一大，所以整个一定比五小。 然后呢？五的 x 面最大最大是正无穷，你正无穷，分母是正无穷，正无穷，分之五是无限 b 均零的，所以 c 是 不对的，对吧？ c 是 对的啊，好看。 d 选项不等式大于五的解析你看来了啊，来了，你看这种 f 加 f 大 于五的解析，我就说这题考的肯定是什么，这个函数的中心对称对不对？ 题目里面正好你看 b 选项，它提示了，虽然 b 是 错的，但我推出来一个结论就是 f 负 x 加上一个 f x， 它是等于五的。 所以说所有的不等式是不是从等量关系出发？你要研究 f 加 f 什么时候比五大，我是不得弄清楚它两之和什么时候等于五呀？啊？它两什么正好互为相反的时候是等于五的。什么意思？一个负 x 一个 x， 它们重值标对应的正好等于五，那么整个是不是相当于关于二分之五中心对称？ 这个我还没有跟你们讲啊，但我需要你们自己去体会。你看取负 x 和取 x 总数标加起来匀为等于五啊。匀为等于五，那么整个是不是相当于是关于这个零二分之五中心对称？我这个图呢？随便画，然后这个函数是个单调递减的函数吗？对不对？我就这么画单调递减。关于二分之五中心对称就这个意思呗。 我就画成直的啊，我就画成直的，你看相当于是我取个负 x， 取个 x a， 他 俩的和等于五吗？ 好，他说什么什么时候正坐标的和要大于五了呢？是不是很明显就是你如果是一个负 x， 一个是 x， 他 们的和等于五，我只要这个负 x 往这边挪一点， 是不是正的更多？那你他加上他是不是肯定比五大了？那么等于五的时候是这两个点的横坐标正好在圆点的时候，对不对？那什么时候又大于五了呢？只要他俩的横坐标的终点在哪，在零的左边的时候就可以，也就是说我只要保证这个一加二 x 和这个 x 的 中点呢？比零小就行， 对吧？比零小，那也就是 x 要小于负的三分之一。这种题一定要学会啊。这种题我讲了快七八遍了啊，看这种题你们学会了没有？那好多卷子里面是不是都有这种题， 对吧？中心对称的，那虽然现在没有严格的说去啊，让你们去很快的判断出来他的对称中心啥的，但这种多选题啥他都有提示是整个难度是降低了的，如果他没有 b 选项，哎，这个地方你要知道，这个题就挺难的啊，没有 b 选项的难度，他什么又更更加什么变大了。因为通过 b 选项，你是能验证出来它是等于五的，对吧？这是十一题啊， 好，十二题。函数 f x 等于 m， x 的 m 减二次幺减加一，图像横过定点，我们说指数，这是横过定点啊，它这个密函数 对吧？不是个指数函数啊， m 函数要注意。你看这个题还挺新颖的，对吧？我还没仔细看过。那这个 m 函数横过定点，你看 m 函数只有什么？横过哪个定点？ m 为常数， 它横过定点，那 a 加 b 等于多少？那 a 和 b 是 哪个值？横过定点，那 m 函数已知函数 x 取零的时候， m 为常数吗？那 x 取零行不行？ x 取零就是横坐标，取零的时候，重坐标是能算出来的， x 取一呢？那重坐标不也能算出来吗？对不对？但是 m 为常数，他也没说这个 m 减二等不等于零啊。我觉得这个题怎么有点问题呢？图像横过定点 就是 x 不 管怎么取，它都什么样？就是 m 不 管怎么取， m 不 管怎么取，它都经过这个点啊。但是这地方如果 m 不 管怎么取都经过这个点的话，那就不能取零。为什么？因为零的零次方是没有意义的，是吧？那只有一的零次方才有一 是吧？一的零次方，一的任何次方都等于一吗？所以 x 等于一就是横坐标是一，横坐标是一，带就是一。加一等于二， b 等于二，那么 a 加 b 等于三。 那这地方如果很多学生说有零的话，那你要知道 x 如果取到零的时候，你 m 就 不能随便取了，是不是啊？它不是永远经过这个零一这个点啊？不是永远经过零一这个点，就是 m 在 变的时候，这个函数永远经过这个点，对不对？ 好，这是十二题。那十三题函数 f x 等于它，若 f 三等于十， f 负三等于多少？那么这个题我看见 f 三和 f 负三，我就想起什么咱们之前 g 函数做那种题，那我就开始判断会发现什么它并非是一个 g 函数或者中心对称的。那前面这就是 x 吗？三十根号下，这就是 x， 对 吧？就是 x， 那 后面这个东西以 a 为底，根号下 x 加一，和我们这个 g 函数很像，它本身它本身是一个什么偶函数， 所以这个时候你要算的时候，其实看规律看不出来。那我挨个把三带进去啊，你就把三带进去算就行了。你看，你把三带进去的时候，我看看，那就是三加上一个以 a 为底，根号十嘛， 它是等于十的，所以我知道这么一大坨这个东西等于几呢？它等于七。好，那你把负三带进去，那是负三加上一个以 a 为底，根号十，它等于几呢？还是七嘛？七加负三不等于几等于四嘛，对吧？等于四就可以了。 说这个题可能没有什么规律，有规律话就他俩差，他俩差是一个等于六的，是吧？他俩相差等于六。好， 我们看十四题啊，这个题看这个形式我就想到什么了，可能和基本不等式有关，对不对？好，这个地方他和指数对数运算，我们先把这个 x y 的 关系给搞出来啊。 x 等于啥？他告诉我了，二的 m 是 二的 m 是 密，那 y 呢？我是不是得写出来？就是以二为底， 然后这个 y 的 负一之旁提出来，就是以二为底 y， 然后等于三减 m， 那 么 y 呢？就等于二的三减 m 之密。好， y 等于三，二的三减 m 之密， x 呢？又等于二的 m 之密，那 x y 什么关系？ m 是 随便变化的 m 你 又不知道是啥，对不对？ 那 m 是 随便变化的，那么说明我只知道 x 乘以 y 等于几是不等于二的？三十分是不。定值等于八， x 乘 y 等于八啊，定值，乘积为定值，那你算 x 方加外方除以 x 减 y 取得最小值的时候怎么怎么的？你看这是个二次比一次的，我们二次比一次要干嘛？是不是令一次等于 t？ 并且你看我令 x 减 y 等于 t 的 时候，这个分子能不能用分母来表示？完全可以，因为什么呢？因为我知道 x 乘 y 等于八呀， 对吧？所以这地方，那么另分母等于 t， 那 么原式 x 方加外方是不是就是个 t 方？ t 方就是 x 方加外方减二 x y 嘛？那我再加上一个二 x， y 就 加上个十六不就行了吗？ 除以一个 t， 这等于什么？ t 加 t 分 之十六，那就完了，对吧？ t 是 什么东西？ x 减 y， x 比 y 大， 所以 t 是 正的，所以 t 加上 t 分 之十六呢？大于等于二倍，根号四啊。大于等于八好，取得最小值的时候，那没让求最小值对吧？它大于等于八的，而且简单， t 等于四的时候，也就是 x 减 y 等于四， x 减 y 等于四， x 乘外等于八，是不是？那你把这个 x 减 y 等于四， x 乘外等于八， 然后这个值是多少？看不出来啊？看看能不能，能不能看出来，好像看不出来能解方程呗。那就，那我们来解一下来，那就是， 嗯， x 要求，要求 x 的 值，那就是 y 等于 x 减四吧，带去 x 倍的 x 减四，它等于八， x 方减去个四， x 等于八，那就 x 减二的平方配个方等于十二，所以 x 等于什么？二倍根号三加二，二倍根号三加二， 正的吗？对吧？啊？二倍高，三加二，好，这我们十四题，所以这个这个题呢，它其实和基本不能是有等关系。那其实还是看你对这个整体这个式子的代换，对吧？分母上是一个 x 减 y， 分 子呢？是 x 方加 y 方， 你要分式形求值域，要么凑齐次，要么二次比二次，那么二次比一次，那么一次换成 t 的 时候，你会发现分子能够用 x 减外来整体表示，因为题目条件最后算出来 x 乘外， 也就是说你需要对那些什么 x 加 y 啊， x 减 y 啊， x 方加外方呢？ x 方减外方这些式子，你是不是得他们之间的关联要敏感一点啊？你敏感了之后，这种题他就很快就能想到这种方法啊。 好，这是十四题，那下面这个十五题，这纯求定义域啊，你看到零点是十二，就他等于零，等于零的时候， x 等于十二，带进去不是二倍根号三吗？ m 就 等于二倍根号三，对不对？然后定义域， 那就是 f， x 的 定义域，那就是 f， x 等于什么？它等于根号 x 减去个二倍根号三，它定义域不就是 x 大 于零吗？那它的定义域的集合 b， 那 就求这个集合。那这个很简单啊。很简单，我就不写了。然后第二个来，我们来表示一下这对数的换解公式，对吧？ 已知 log 二 log 三，那你表示 log m， log m 就 log 二倍根号三加上个 log 八，这太简单了，这个对吧？这都不用换底公式， log 二加上一个 log 根号三就是二分之一倍的 log 三，然后加上 log 八，就三倍的 log 二，是不是就四倍的 log 二就是四 a 加上个二分之一 b 吧。啊， 好，十六题，这个题呢就考了我们前面的一二是不等式的那种已知解集翻过来求 ab 的 参数的题，这多了快吐了是吧，看现在我忘了没啊。来解集是负三到一，说明这个不等式的什么？他的图像咱是能画出来的对不对？ 图像能画出来大于零的解集是不是开口向下的？一个是负三，一个是一，所以开口方向向下。我知道 a 一定是小于零的， a 一定小于零，然后呢？负的 a 分 之 b， 它等于两根之和负二， 然后 a 分 之 c， 它等于两根之几，等于负三。所以我知道 a 等于负一， a 等于负一， b 等于负二，对吧？ a 等于负一， b 等于负二。好， a 等于负一， b 等于负二。那第一个 f x 它等于什么？等于 x 方减去个二， x 加上个四，它在区间负二到二三的值域对称轴是个一， 是不是取一是最小的，取负二是最大的，你带进去就行了，对吧？这是我们第一题。好，第二个求不等式的解集。分式不等式改成整式不等式啊，都是基础题，所以就是 x 减二，下面就是个 x 加三，小数点零， 对不对？所以这个解就是 x 小 等于二，大于负三是吧？大于负三不能等于负三啊，要注意。好。第三个就纯计算来 b 方 b 四嘛，就是二嘛，对不对？ a 是 个负一，零嘛就是一嘛，来加上一个二， b 的 三次方，开三次方就是二， b 就是 负四，是吧？看清楚，然后加上一个零点五， 然后减去个 b 的 三次方，就减去个负八，是吧？加上一个以三为底，二十七是三的三次方，三的四分之三次方，那就是四分之三，然后加上一个 log 二十五， log 四就是二，对不？ log 一 百嘛，然后减去个三的三就是九啊，全把它加起来就可以了。 好，这是十六题，你看十七题啊，对数函数的经过的区间当中，最大值为三， a 还告诉你零到一了，你看单调递减的吧，递减是不是取六十四分之一的时候是最大的？所以我知道以 a 为底，六十四分之一，它是等于几等于三的，那 a 就 等于四分之一吧， a 等于四分之一，那求方程的解，他俩要相等是吧？就把 f 带进去，那就是以 a 为底二， x 加一等于以 a 为底， x 方减二， 他那相等，那不就是真数相同吗？对不对？那就是 x 方减二等于二， x 加一，那就是 x 方减去个二， x 减三等于零，那一个是三，一个是负一。好， x 减三乘 x 加一个三，一个负一，那能取几啊？那肯定负一不行啊，你取负一是个负的，对吧？所以这个要舍掉啊。所以解集什么就是 x 等于三， 那求不等式的解集。因为 a 是 个四分之一，它这个 d 减的它比它小，所以整个三 x 要大于 x 减一， 对不对？但你不能单独写这个，你还要保证什么？三 x 要大于零， x 减一要大于零，是不是都得大于零啊？所以这个范围应该是 x 要大于一啊， x 要大于一，对吧？所以这个 x 大 于一才行啊。 所以这是我们这个第二个好。第三个，若两个不相等的正数 m n， 你 看，这又是咱们讲过的关于什么加绝对值的一个图像的特点，是不是它 f m 就 把 m 和 n 带进去，它俩重度位相等，重度位相等我是不知道 m 乘 n 等于一来，你要是还不知道这个东西有点过分了啊，我已经讲过四五遍了对不对？ m 乘 n 等于一，那你最后要算的是二的 m 次幂乘一个四就是二的二 n 次幂，那不就是二的 m 加二 n 次幂吗？对，他也没说 m 和 n 的 大小关系，所以肯定能取到等号，那基本不等式就行了。 m 乘 n 等于一，那 m 加 n 直接大于等于二倍的根号下， m 乘二 n 对 不对？那就是二的二倍根号二次幂 啊。你这个地方写成四的根号二也可以啊，不写我就觉得无所谓，反正这个根号你也化解不了，对不对？四的根号二也不比二的二倍根号二要简单很多，是吧？ 所以这是十七题。所以这个题其实第三问，你要是不知道这个性质，的确算是比较难的题，因为你得自己去研究这个性质。但这个性质呢？我在课上反复强调过关于对数的绝对值，这个图像它有一个特点，并且这个特点到了后面高二之后，那个导数那一块，他还有新的特点呢。啊，这个图好，这十七题，来十八题， 十八题，这个题就是负函数，求值域。那么先把化简出来，对吧？你看 f x 它等于什么？等于以三分之一为底，就是负的以三为底九减以三为底 x， 你 把它全拆开， 对吧？然后乘以一个，然后这个是以九为底，就以三为底，是不是二分之一呗？以三为底吗？后面是九，对吧？九呢？加上一个以三为底 x 方，对吧？你正的看啊，正的看。好，那最后等于多少？负二加上一个以三为底 x， 因为这地方有 x 了，所以 x 肯定是个正的，然后呢？这个整体乘以一个，这不二分之一乘二就是一吗？ 然后这个二题中二分之一没了，就是以三为底 x 的 对数，看见吗？所以就等于以三为底 x 的 平方减二倍的，加一倍的，减一倍的以三为底 x 的 对数，然后再减去个二啊，这不是二次函数吗？ f x 就是 二次函数， 那 g x 他 也是一个二次函数，你看 g x 等于三的二 x 密减去一个什么三，乘以一个三的 x 密，再加个五吧，也是个二次函数。好求不等式的解集。 g x 小 于三，那 g x 密等于 t， 对吧？那就是 t 方减去个三 t， 然后加上个二小于零，那就 t 呢？就是小于二大于一， t 小 于二大于 t 是 啥？三 x 密是不是就三 x 密小于二大于一啊， 对不对？那 x 什么范围？是不是小于以三为底？二的对数大于以三为底就大于零呗， 对不对？大于零啊？所以这是第一问，那第二问，求 f x 的 值域。 f x 是 什么？也是二次函数，是不是令以三为底， x 等于 t 啊？那你要有 t 的 换个字母，换个 miu， 对 吧？那所以这个 y 它就等于 miu 方减去个 miu， 减个二，那么它的值域用 miu， 它可以取到全体实数啊。 mu 它是以三为底， x 对 数，对数的值域是 r， 对 不对？可以取了全体时数，所以 mu 能取全体时数，那对称轴就取最小的时候呗。就是二分之一，所以 y 它就大于等于二分之一。带去四分之一，负四分之一，负四分之一，负四分之九， 那 y 大 于等于负四分之九，这第二个是吧？二次函数的值域应该要熟悉了，对不对？所以第三个若不等式，它小于等于五。对任意的 x 属于一到二横乘力，求 m 的 取之范围。那你看这地方谁在动是吧？ f m 在 动，它对任意的差变分离吗？ 我用蓝色的笔啊，我写到底下，好吧，你看 f m 相当于是小于 g x 加五横乘力吗？ 对不对？对，任意的 x 是 一到二横，正零是不？ fm 小 等于它的最小值是吧？小它最小值。好，那 g x 在 一到二，它最小值，那不就很简单吗？你还是这样的。令这个三 x 面不是等于 t 吗？那 x 的 范围是一到二，那 t 的 范围是不是就是三到九？ t 的 范围三到九，那么这个 g x 它其实转换成什么呢？就是 y 等于啊， t 的 平方减三， t 加五，你看 t 的 范围是三到九， 对称轴是二分之三，能不能取到？取不到，那最小值就取三的时候，所以 g x 的 最小值，它就是把 t 等于三带进去，就九减九加五就是五嘛。所以最后其实就是 fm 要怎么样？小于等于五加五，就小等于十，横乘以，对吧？就小等于十就行， 那求 m 的 范围，这简不简单？ fm 小 等于十， fm 是 以三为底吗？对不对？那就以三为底 m 加上一个五啊，减去个二不是加五小等于十， 那不就这个一元二次不等式，那就换不换元都无所谓啊，反正就是平方减去个以三为底 m， 然后呢？减去个十二小等于零，对吧？那就以三为底 m 负十二的话，就是个负四加三嘛， 对吧？负四加三，那这个就是以三为底， m 呢，就是小等于四，大于等于负三，对吧？那 m 呢，就小等于三的四次方大于等于什么？三的负三次方， 对不对？你要熟悉了啊，就赶紧这么写就行了，对不对？这是十八题啊，所以这个 m 的 曲子范围也很简单。这是第三问，你看这个十九题，他同样的也不难，他说定义域是 ab， 那 么直域是 k a kb， 那 么就乘 ab 呢，是它的 k 倍区间，是吧？ k 等于一呢，是特别区间。他问二到 b 是 特别区间， 就定义域是二到 b， 值域也是二到 b， 那 对于函数 f x 而言，你 f x 等于 x， 方减去个四， x 加六，你要研究二到 b 上那个最大最小值，肯定考虑单调性，你看这个对称轴就是个二，二到 b， 它肯定是个单调递增的就完了，很简单。 所以取二的时候等于二，你看把二带进去是不等于二？把二带进去是四减八加六，这不正好是二吗？所以把 b 带进去，它等于 b， 对不对？所以 b 最大嘛，就 b 一 方减去个四， b 加上个六呢？它等于 b， 那 所以 b 一 方减五， b 加六等于零，六的话就是负二负三，所以 b 等于二，或者是 b 等于三，因为是二到 b 的 区间， 是不是？所以 b 他 只能等于三啊？ b 只能等于三，因为 b 肯定要大于二的吗？是不是 b 等于三啊？这是第一问来看，第二问，他说 m 大 于零呢？他在存在特别区间来存在特别区间，什么意思？这同样的看单调性，我假设特别区间，就为什么呢？ a 到 b， 我是不是得研究他的值域，研究值域是不是得判断单调性，对不对？这个思路啊，就是过程你都要想明白，就为什么要判断单调性，对吧？你看这个函数单调递增，很多学生可能拿这种题就没有什么想法，说啊，怎么就值域是 a 到 b 了？你想想他怎么求值域嘛？你求值域就是判断单调性， 那么值域是定域，是 a 到 b， 那 这个函数又是单调递增的，那么取 a 是 不是最小值？所以取 a， m 减去 a 分 之一应该等于 b， 是不是？好？这什么意思呢？来这就和我之前一个卷子上的题差不多，就是 m 减 a 分 之一等于 a， m 减 b 分 之一等于 b， 他 求 m 的 取值范围，他说这个方程要满足必须有 ab 两个解，是不是？那这两个形式一样相当于什么？ m 减 x 分 之一等于 x， 这个方程怎么样？有两个解对不对？这个方程呢？有两个解啊，两个解分别是 a 和 b。 啊， 这是两个什么正数解是吧？啊？两个正数解，是不是正数解？哦？零到正无穷吗？是吧？两个正数解，有两个正解好，把 x 乘过来，那就是 x 方减去个 m， x 加上个一等于零。这个方程有两个正根，首先有两个根，你是不是得保证德塔要大于零啊？ 肯定不能相等嘛。 ab 对 吧？肯定要大于零。得到大于零，那就是 b 方减去个四 a， c 要大于零，那就是 m 要大于二，或者是 m 要什么小于负二。你还得把两个正根，这两个根我来定你啊， x 乘 x 等于一的。哎，同号的没问题，只要保证它们和大于零就行了，对不对？和大于零什么意思？ 就是 m 要大于零吗？所以综上所述， m 的 范围就是大于二，所以只要 m 大 于二，那肯定是什么在零到正无穷有两个解，两个解都是正的，对吧？然后小的就是 a， 大 的就是 b， 这存在特别区间吗？没毛病啊，这是第二问来第三问， 他说函数 f x 呢？等于二 x 密是否存在二倍区间？是否存在二倍区间呢？我假设存在呗，是吧？其写出符合二倍区间的条件的定义，那不符合，仅说明理由来假设存在吗？ 假设存在一是什么意思？就是 x 属于 a 到 b 的 时候，你这个二的 x 密属于什么？二 a 到二 b， 并且你看这二 x 密太简单了，它就是个单调递增的，你横坐标从 a 到 b， 那 的重坐标也就是二的 a 次方要等于二 a 啊，二的 b 次方又等于二 b 呗，是不就这意思。二的 a 次方等于二 a， 二的 b 次方等于二 b， 那么是不是就是二的 x 密一样的啊？二的 x 密等于二 x， 这个图像有两个交点对不对？他有两个交点来，你二的 x 密和二 x 是 不是有两个交点？ 就这个地方，你说啊，这个地方我们要正常情况，你要用到导数来判断他的相切的问题，但其实过远点就能看出来，那这个地方咱们就说咱们高一阶段啊，现在很多东西他出的题你要严格的去说的话，肯定得去严谨的判断，但是他出的题目里面数据呢，还是比较特殊的， 就不需要利用那些特别高端的一些导数啊，那些东西来去判断。你看二 x 面等于二， x 能不能看出来 x 等于几啊？ x 能不能等于一啊？ x 取一不就是二等于二吗？肯定是有一个焦点的，同样的 x 取二的时候呢？那是不是一个四？这题就是看出来的啊，你不要说有什么严谨的方法，你现在没我还没学。不用，用不着。那么 y 点二 x 和这图就有两个焦点，一个一，一个二， 对不对？那取一都等于二，取二等于四，那么所以他妈直接写出符合那存在，写出符合的定义域啊，若不符合说明理由啊，对不对？存在我写出来没有写出来啊，所以定义域为什么为一到二？ 做这种题做的时候就咱们数学题做，你得放松，你不能紧绷的啊，紧绷的？什么叫紧绷的？就耸着肩做题啊？你看看你耸着肩做题什么感觉？就整个人是揪到一块的，看到吗？那我们一般做题就放松啊，你放松的去做，这种题该怎么去做？是不是把自己的思路让他自由一点？哈哈，自由一点，慢慢放松是吧。 啊，我说过上我的课呢，进班的就是什么一定要让自己放松下来啊，不要特别紧绷，紧绷了之后皱的眉对吧，这种特别拧巴的那种状态，你会发现特别难受的啊。所以像这整份卷子，我从头到尾讲下来好像也没有漏到哪个题是吧？可能有些题没有算满，共才花了三十多分钟， 所以整份卷子难度是不大的啊。难度是不大的，一百五十分，我觉得这个题啊，如果你能考到一百二十五分以上，只能说明你的基础是没问题的啊，基础是没问题的对不对？ 然后这个地方如果你能考到一百一左右，或者是一百到一百一之间，那么说明什么呢？你平时还算是学了的， 学的还算是比较正常的啊，比较正常的水平，可能还有细节部分做题算错呀等等这些，对吧？啊？如果这个题啊，可能难度要增加了，因为像以前的话就我跟他说了，我说考六七十分啊，可能就是平时在学校里面可能就是好多地方都不太掌握好。那这地方这份卷子如果你考了九十分以下啊，如果考了九十分以下， 说明你平时在学校里面肯定有很多很多很多问题，肯定有很多问题你没有解决，你看这份卷子有哪些题是比较难的，你可以给我说出来，对吧？你觉得哪个题比较难？来评论区留言啊，你们看看你们觉得你们做题当中哪个题卡住了，对不对啊？我也好了解你们，看看你们到底是什么样的情况啊？ 好，你们有没有学生考了这份卷子呢？如果考了的话，可以啊，在评论区留言啊，我们一起来讨论一下啊，把你的试卷也可以发给我啊，可以给你们分析一下，好吧？好，咱们这份卷子就分析到这。好，我们下个视频再见，记得点赞关注哦。

高一的第二次月考，今天已经是第二天了，根据昨天晚上回来的这个反馈，考的不是很理想。嗯，估计是难度上去了，然后我家的这个玩心还是比较重， 但是有我们作为家长也不能给他太多的压力，因为毕竟小孩也在努力嘛。啊，看看今天这个考完以后整体状态吧， 反正，呃，通过考试发现问题，然后解决问题，然后就提高嘛， 而是像我们初中走过的一样，一步一步往上走，最终在高考的那一刹那，在那一瞬间取得最好的成绩，大家一起加油。