如皋一模数学15题解题过程

我们一起来看这道选择压轴题，我将向大家展示一个数学老师是如何做出这道题的。我们一起来读题说，在二梯三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度， a、 c 等于三， b、 c 等于二点， d、 e 分 别在这两条边上，其中 c、 d 等于一，说明地点是一个定点， a、 d 这样就等于 二。以 b、 d、 b、 e 作为边，做一个平行四边形，这样我们就有边平行的关系和边相等的关系，这样我们就知道这个角也是直角，并且有 b、 d 和 e、 f 相等继续连接 a、 e、 f 这道题的问题比较刁钻，他说当三角形 a、 e、 f 的 周长最小的时候， 问我们 b、 e 的 长度，所以我们就要来分析一下这个三角形 a、 e、 f 周长的构成。 e、 f 是 跟 a、 d 相等的，那么我们通过耳机三角形 b、 c、 d 的 边的关系可以把 b、 d 求出来，也就是 e、 f 等于根号五， a、 e 和 a、 f 都会随着一点的变化而变化。这道题让我们求的是 b、 e 的 长度，那么我们就可以设 b， e 是 x， c， e 就是 二减 x， 那 么通过勾股定律，我们是可以把 a、 e 表示出来的。接着我们再来看 a、 f， 我 们会发现 d、 f 是 等于 b、 e 的， 所以这个边是 x， 所以 a、 f 也是可以通过勾股定律得到。那么要求周长最小，也就是要求这个式子取到最小值的时候 x 的 值。作为老师，我想到绝大多数的同学肯定都不会去继续往下算，所以此时我回过头来思考 这道题有没有一个几何方法。好，我们继续来看几何做法。根据我们刚才的分析，我们知道 e、 f 的 长度是一个定值，那么本道题我就需要找 a e 加上 a f， 它能够取到最小值的时候， f 点是随着 e 点的变化而变化的，所以 n e 和 a f 是 同时向上走或者同时向下走的，通过现有的形状，我很难找到它的最小值在什么地方。那么这时候我们要想办法把这两个动点 联系起来。结合刚才我们题目当中的提议， b e f d 是 一个平行四边形， d， f 的 长度 始终和 b e 相等，这就给了我一个很好的思路，构造一个全等三角形，可以在 b 点的左侧构造一个三角形，跟 a d、 f 全等，这样的话我们就可以把 if 的 这个长度挪到这边去。 好，我们从 b 点向右边做一个 b h， 使它的长度等于 a d 为二，然后连接 e 点和 h 点，这个三角形 b h， e 是 跟三角形 a、 d、 f 全等的。通过这样的方法，我们就把 a f 这个线段的长度挪成了 h e 这个线段的长度。当我们的 e 点在运动的时候， a e h 就构成了这样的一个有折角的图形，那么此时有一种情况能够使 a e 加上 e h 最小，就是连接 a h， 我 们给他的交点一个字母 m， 那 我们现在要做的就是算出 b m 的 长度。这里我们可以通过相似三角形，也就是三角形 b h m 相似于三角形 c a e， 这样 b m 的 长度除以 m c 就 等于 b h 除以 a c， 那 么我们可以设 b m 是 x， 那 么 m c 就是 二减 x， 然后等于二比三。通过这个方程我们可以解出来 x 等于五分之四。

好，接着上一个视频，我们继续再来分析一下。呃，我们今年海门英模的数学试卷的剩余的解答题，我们一题一个看。首先十七题和十八题是比较基础的，那么第十七题的时候解方程记得检验一下就行。十八题是一个非常基础的题目，记得答一下，并且他要求答案保留根号，并且这道题的话稍微注意一下，他说的是求函数 ab 的 值， a b 的 值的话，你可以直接不要在单位，没关系的啊，然后最后记得答一下，或者说写个所以也行。十九题，这是我们老生常谈的一个问题，就是利用，就是让你对这个命题去进行一个研究啊，研究它是个真命题啊，或者假命题，对吧？考法很多。那么这道题的话，有一点我说一下啊，就是说我们要这是一个菱形的一个判定定律，对吧？咱们都知道的， 那它怎么去证？你要写出已知和求证，并且你在最终证明它是个菱形的时候，记住了啊，一定要采用菱形的定义去证明，因为菱形的定义它也是菱形的一种判定方法， 所以说我们最后证明的时候，要回归到定义一组零边相等的平行四边形啊，从而推出是一个菱形，那么内容也不难。那么这要求学生在学新课的时候不要死记硬背，要理解这些东西是怎么来的。那么上过我参加课的初二的学生都知道啊，我在笔记本上都讲过了，都分析过了，对不对？所以说我们平时的话不要不要只知其然，而要知其所以然，一步一步的搞明白它的本质。二十一题，二十题， 二十题，这道题的话相对来说比较活啊，非常活，你说他难，他也不难，但是他比较活，所以说如果说你这个脑袋瓜子转的不是很灵的那种孩子，你可能就说想不到他的一个突破点在哪里，或者说他的解析思路在哪里，但这道题绝对是不难的，所以说到时候我要看看我们几个初三的学生能够做的怎么样啊。这是海门的二十一题，是一个简单的概率题，那么这道题的话要注意两个红色的球，红色球的话我们可以标一下红一和红二，答案是九分之四，然后最后可以答一下。 二十二题是一个圆的综合题，那考的非常基础啊，非常基础就是送分的啊，比之前我们做过的很多题目都要简单很多，包括二十三题是一个二次函数跟实际问题相结合的一个题目，并且引入了咱们的一个热点，对吧？速烧，那么这三问都是比较基础的，都是比较基础的啊，这我就不说了，你自己主，主要就是说注意一下就是在不在一些，对吧？你求到的 x 在 不在这些范围之内，对吧？然后写写答就可以了，然后过程不要跳步骤就行。 那么进入了咱们压轴题的部分，开始有一些难度了。二十四题和二十五题，一道二次函数的性质考察题，再加上一个几何综合题，那么这两道题的话， 呃，我们先来看一下二十四题啊，二十四题，当然了，咱们这个不管怎么样，第一问对不对是要拿分的，第一问好像是四分，那你尽量做对第二问的话，从这个面积去入手，那么这个面积你在做的时候，你可以画一个图形表示一下，然后你就从中可以得到一个关键性的结论，就是 ab 等于三倍的 o v， 那 么这里面也涉及到了一些计算的过程，所以你们要把这个 x 一 x 二算出来，用 m 去表示，用 m 去表示 就可以了。那么在这边在算的过程当中的话，我一开始还算错了，就是你看你可以看得出来，对吧？这边应该是 x 减二 m， 它的平方，我刚开始写的是 x 加二 m， 因为我自己是逼着自己就说现实去完成的，所以说稍微有些紧迫感，但是我后我回头做第三个的时候，我自己发现这个第二个问题说，哎，有一个对不上，然后我就从头再去看，所以说大家在考试的时候大家记住了，不要盲目去追求第三题，你当你确保第一题和第二题完全没问题的时候，你再去再去看第三题，这样的话你的分数就是说会 会那个更加稳一点，对吧？你不要到时候追寻一个第三题，你还不一定能做对啊，然后的话那个第二题这个分数都拿不到，这个就太可惜了，所以说一二两问是必须要要做对的，尤其是咱们成绩比较好的孩子啊。然后第三问说实话稍微有些难度，首先第一个问题就卡在这个翻折，有很多同学他都不理解啊，翻折之后是什么样子，那我们把这个图形图像大概换一下，并且的话我们要精确的找出几个点，一个是负三加二 m 连接点，还有一个是什么？对准轴是二 m， 还有一个是三加二 m， 你 把这三个关键的点找到，然后你再去分析一下一二它到底落在哪个区间，哪个位置的时候，我能够让 y 小 于 y 二横成立 啊。所以说这边的话涉及到一个恒成立问题。恒成立问题的话，呃，我们以前考的不是很多，但是现在的话陆陆续续也出现了，为什么呢？我想的话最本质的一个原因就是说他想让这个学生跟这个高中数学相结合，因为在高一我们会大量的去接触函数，并且的话经常会遇到，对吧？恒成立对吧？或者说 b 部分成立，或者说存在性问题，对吧？ 那到时候难度肯定比这道题的时候，你要，首先你要理解这句话啊，首先你要理解这句话对不对？然后你要精准的去找到区间一和二它到底分布在哪里，所以说我们找了一下一和二可以在这样的这样的一个区间，那么也就是说这个二的话，你只要怎么样呢？ 小于等于负三加二 m 就 行了，所以说这是第一个情况， m 大 于等于二分之五就可以了，这是第一个对吧？一和二就在这个单调递增区间上面。然后第二种可能性的话，就是，呃，这个一和二可以落在这边啊，对吧？ 可以落在二 m 的 左右两侧，但是由于这个 x 取二的时候这个 y 更大，所以说我们要求这个二距离二 m 要更远一点，所以我们可以用对数的一个做法去做，只要让这个二 m 小 于等于二分之三，这个对数小于等于二分之三即可，但是除了确保这个条件之外的话，咱们怎么样还要再加几个特殊条件去限制一下。因为咱们考虑的时候，这个二是在三加二 m 的 左侧，也可以是正好等于三加二 m， 如果说二正好在这，那么一的话，可能在这个 这个地方，那么这个一和二它就会形成一个单调递增的一个区间，这也是可以的。然后的话这个我们还要卡一下这个一的范围，一的话它一定是在负三加二 m 的 右侧，那么它到底能不能等于负三加二 m， 这个你也要考虑一下。所以说这道题的话，我看了一下总共是六分，六 分的话，它涉及到一个范围的话，我们就会得三分，所以说这个三分我建议大家可以把这个拿一下。当然如果说你前提是你不太知道这道题的一个解题的突破点的话，那你怎么样？就是这六分的话，说实话也是比较难拿的。所以说第三问的时候，大家在考场上争取一下三分就行啊，或者说由 a e 等于 f， 然后我们可以证一个全等啊。第一问就是说纯粹的一个送分题可以得到一个九十度，然后在第二问的时候的话，他说我在线段这个基地上面截取一个截取的 a g， 那 么首先你先画一个示意图，然后再去证，那么在证这个是终点的时候的话，我自己 我自己发现了，如果说这两个线段相等，那么这边会诞生一个四十五度，哎，然后我看到这个四十五度，我立刻想到了一个一个一个四十五度的一个半角模型，所以说我把这个三角形进行了旋转，旋转之后我根据角的关系，我也验证到了边相等，我做出来也不慢也不慢，速度也是可以的。所以说这个平面几何为什么说它是 初中的一个天花板？就是很多同学都觉得初中平面几何很难，就是因为有的辅助线你想做，你想做你就做不出来。但是大家记住，条条道路通罗马数学它的解题方法还不止一种， 只要你能够言之有理，你的过程比较严谨，然后你不跳步骤，让阅卷老师能看到你的思路，你就放心大胆的把它写上去，没关系啊。那么这一份做好之后的话，那接下来的话，我想的是这个 i 也是 b h 的 终点，一定是在第二问最后一问当中能发挥作用。那么最后一问非常简单啊，非常简单。我把几个二法一标的话，发现这里面隐藏了一个全等，从而的话我们就直接就得到 a e 等于等于这边的 i h， 然后从而直接算到等于三啊。因为， 所以我在用这个方法，虽然说我这个方法比标准答案可能看似步骤多一点，但实际上我把这些 r 法，我把这些角的关系全部都推导出来之后的话，你再做最后一个时候，反而很快，反而很快，知道吧。所以说条条道路通罗马， 我也是非常鼓励学生用多种方法去做的，不要拘泥于一种好，那么这个是整个海门一模的一个初三的数学试卷，呃，我觉得它总体难度我觉得并不是说特别特别难，但是你要获得高分确实也是不容易的，也是需要这个学生是有一定的能力的，并且的话就是你像这个二十题，对吧？是比较活的，然后十九题这种， 这种那个呃，命题的证明题的话，如果说你的格式写的不太对，你也会扣分的啊。然后有关于这个试卷的问题，如果说大家有不明白的地方，或者说需要我详细讲解的地方，我也可以单独出一个视频给大家详细讲讲解一下。那么距离我们的中考还有最后 一个半月的时间，对吧？一个半月时间，你说白了也就一个月时间差不多了，对吧？那么在这一个月的时间之内，呃，我觉得大家就是说把平时的错题可以多拿出来看一下，然后不要只是说盯着他看，你也要把答案遮着，然后形成一个自己的一个系统。遇到这种题目我会想到哪些哪些东西要形成这样的思维，我觉得你在数学这条路上才能走得更远。 但是呃，老师的话，带老师的话也有一句话分享一下，就说时刻相信自己啊，不要，不要老是去否定自己，你要相信你数学能学的好，你数学才会学的好。

提问讲解一下，同学们可以暂停先看一下题目啊， 我们来看一下这个题目对应的这个，把这个线段呢改成了射线，其他条件是不变的，跟上面一样。 然后呢，另外多加了两个条件，一个是 b d 等于二，另外一个呢是 b e 等于四，我们最终呢求 c n 的 长好了，我们在这边呢，做题的时候呢，一定是要学会呢，把刚刚的所有的条件呢，能够复述一遍记在脑子里， 这样子的话，我们就不会漏条件。在解决的过程中呢，把能标注在题上的，先把它标注好，这段长是二，这段长是四，对不对？然后呢，在刚刚的这个 解析的过程中呢，他这个地方是不是有一个垂直的，因为他是中垂线吗？然后我们前面的那个过程中呢，他是证明出了这个 f n 等于 f e， 证明这两个相等呢，我们前面的提示，我们是用什么样的方式来证明他这个线段相等的，用构造全等三角形来证明他 相等，那么呢，也就为我们最后呢一问呢埋下了伏笔，因为呢不会有无缘无故的这个第二问和无缘无故的前面的内容，所以说呢，他这个后面的大体上呢，我们铺垫呢，应该是构造全等三角形 来解决问题啊，那么首先呢，我们这两个线段相等，暂时呢没有思路，我们要求的是这段的长度啊，这段的长度， 那么我们仍然是把刚刚的辅助线来做一下啊，构造一下那个前面的这个辅助线，虽然说没啥用啊， 那我们先写一下啊，先写一下，这个肯定是给我们有有用的东东西啊，现在暂时不知道有啥用，那你就利用沿着刚刚的那个思路吗？因为这个辅助线呢，我们在第二位，后面呢用的是前面，用的时候呢也不擦掉， 那么这段长呢，我们是想办法，我要求 c n 的 长，那么这里面给了你一个一个二，一个是四啊，很明显的啊，不太好处理，那么我们这个绿色的，蓝色的这个线段啊，能不能求出这个具体的长度，那么通过观察呢，可以发现你这个地方是个二， 唯一呢，这个地方四十五度唯一，能够利用的呢，是不是往这个地方做一个垂线呀？往这个地方做个垂线以后有什么作用呢？那就是说我这个长是根号二了吧？ 啊，这个长也是根号二，因为呢等腰直角三角形的三面关系是一比一比根号二，那么这个时候呢，立马你就要想到，因为 f 呢是中垂线，也就是 f 是 中点，然后呢你这两个线段是不是平行的呀？你这两个线段所在直线就平行，平行的话呢，我们就能得到这段长 中位线的性质啊，这段长呢也是这个二分之根号二，也是这个二分之根号二，所以说呢，我们现在呢 就得出了这个线段长是二分之根二，同时呢，我们在上一文证明的过程中呢，这段长和这段长是不是相等的，你会发现一个垂直，两个垂直，三个垂直呢，那么它本身呢，就是一个什么图形啊 啊？三个垂直的话得到它是矩形，那因为呢，你这个上面英文正过了这两个三角形呢， f c n 和这个三角形 f a、 e 呢，是全等的，所以说我得到了这段长呢，也是这个二分之根号， 也是这个二分之二，下面呢，它会出现两种不同的思路，第一个思路呢，就是我们所说的，嗯，利用上面的结论呢， 用整体代换的方式求出这个 c n 的 长，怎么个整体代换法呢？我们设这这个垂足为 p 和 q， 那 么对应的这个线段长呢？它不是相等的两个线段吗？因为第一上面的那一问呢，证明出来这两个线段长也是相等的， 我们分别说这段长是 a 好 不好？那么由于呢，我们在这边，我们的这个 c n 的 长 啊， c n 加 a 的 长啊，用 c n 加 a 吧， c n 加 a 的 长，我不是证明过全等吗？ c n 加 a 的 长是不是可以等于这边的这个 ap 的 长呀？是不是等于这个 ap 的 长啊？等于 ap 的 这个长度， 那么 ap 的 长度，你会发现 ap 这个又是 a 啊，这段长的又是二分之根号二，整个这段长呢，又是个四。 所以说我能不能尝试把这个 ap 的 长表示一下呀？因为我的 ap 的 长加二分之根号二，是不是整个这个长度的整个这个 ab 的 一半呀？啊，你可以看我的 ap 呢， 加上二分之根号二，就是说我的 a p 这段长加上个这段长啊，这段长和二分之根号二一样的啊，这是正方形，是不是等于这个 am 的 啊？等于这个 am 啊，等于这个 am am 的 话呢，你又可以怎么表示啊？ am 的 长 啊，你会发现跟这个四是不是有关系啊？把这个已知条件四是不是可以用一下呀？那么把这个已知条件四用一下的话呢，那就是我们用四呢减去这段长啊，减去这个 m e 啊，我们写一下，就等于这个四减去这个 m e， 那 m e 这段长呢？ m e 这段长，我是不是又可以用二分之根号二减 a 来表示啊？所以说四减去这个二分之根号二 减去这个 a 这段长来表示这个 m e， 所以 说把它化简一下呢，就会得到它是四减去二分之根号二加 a 啊，加 a， 那 么所以说呢，那么 am 不是 g 等于它 又等于他吗？那么所以说我的 a p 就 可以表示成我的四减去二分之根号二，再加 a， 再减去二分之根号二，所以说呢，是等于四减去根号二加 a， 这是 a p 的 长，那你会发现 a p 的 长有一个加 a， c n 加 a 的 长呢，也有个加 a， 所以 说是不是能把两个整体合起来一写是不是就可以了？这个和这个合起来，也就是 c n 加 a 是等于四减根号二，再加 a 呀，所以说我就能得到 c n 呢，是等于四减根号二的啊，这个呢，想的这个思路呢，就是整体代换的原则，设而不求啊，这个方法呢，是不是叫设而不求啊？ 设这个 a， 但是我不求这个 a， 但是呢，这个只是沿用了上面一问的这个辅助线，利用整体的代数思想来解决这个问题，那有没有其他的方案来解决这个 c n 的 长度呢？那我们要迎合我们上 上面的第二问，第一问所讲的那个内容，构造全等三角形来进行证明，这个才是出题人的这个本意啊。我们来看一下这个 构造全等三角形来求这个 c n 的 长的话，也就是说我求这个 c n 的 长并不是特别的好求，那我们可以转移到通过导边的方式，转移到和它相等的线段中，我们会发现呢，这个地方 c n 不是 很好导，那这个角 啊，这个边啊，这个边啊怎么处理？是不是他跟这些边都是相等的呀？那么所以说呢，我们尝试把这个三角形呢，找一个三角形和它全等是不是就可以了？所以说呢，还是沿用了刚刚这个思想，你这个地方有个二啊，我这个地方做垂线呢， 你这个地方肯定是根号二，然后呢，利用斜中半的原则，你发现这个是 f， 是 a d 的 中点啊，直角三角形斜边的一半的原则，我的这段长 做完一个垂线了以后，这个是 p 吧，那么我们连接这个 f p， 你 会发现这个 f p 的 长 等于 a d 的 一半， fc 的 长呢，是不是也等于这个 a d 的 一半呀？那么这两个是不是这个相等的这个线段呀？好，这两个线段相等，又更加坚定了我们可以往这个全等方面走的这个这个 思路啊，那么我把这个相等，现在把它画出来，这个地方 fc 等于这个 f p 啊，这是一个相等的线段。另外呢，我们前面还提示我们了，第二问中还证明了这个 fe 用一个其他我们喜欢的颜色啊，重新标一下，画一个 fe 呢，又等于 fn 啊，那么这个时候是不是，呃，基本上就能定义出，我们再乘一下啊，这两个三角形是不是就可以说明它是全等的啦？ 好，我们来试一下，现在是不是有了两个相等的线段呀，相等的线段的话，我们在这边这个角呢，是不是等于这个角等于这个 r 法的呀？ 斜边斜中半吗？啊，然后呢，你这个 r 法是不是跟前面一样啊？是不是等于上面这个 r 法呀？所以说呢，我们就能得出三角形的 ncf， 嗯，全等于三角形 e p f 啊， e p f， 这是全等，全等了以后呢，我们主要的我的 c n 呢，就变成了我们求 p e 等于多少？这不这样的一个问题啊， p e 的 话就非常简单了，因为整个这段长是四呗， 啊，整个这段长是四，这段长是不是根号二啊？所以说我的 p e 的 长呢，就变成了四减根号二，这才是出题人的这个本意。通过构造全等三角形来得出这个我们所需要的这个线段的长呢，就变成了四减根号二，这才是出题人的这个本意。通过构造全等三角形来得出这个我们所需要的这个本意。通过导边的方式 啊，通过导边的方式来得出我们能求出的线段的长度，进而呢求推导出我们要求的线段的长度，这是 第一种作图方式啊，那当然了，它如果说我们把这个题目呢，把这个线呢弄到这个外面去，因为它可能在 c b 的 这个射线上， 而且呢，这个题目中呢，很明显给我们出现了这个备用图，所以说呢，这个题的最后一问呢，一定是起码有两种或两种以上的这个可能性，对吧？那么我们继续沿沿用呢上序的这个上述的这个方法完成的。 第二种情况的一个求解。第一种情况呢，我们是通过整体代换的方式设而不求来处理刚刚的那个二 啊，还有一个，谁的长是四啊？ b 的 长是四，我们仍然呢，把这个地方呢一个直角画出来，那肯定是方法肯定是一样的，你甚至说你的辅助线想都不用想啊，肯定跟上面的辅助线是一样的啊， 那么仍然是有个 p 的， 那这段长是个根号二，这段长还是一个根号二，那么我们下面呢，求这个 c n 的 这个长度， c n 的 这个长呢？我们怎么来求那刚刚的那个辅助线前面的辅助线呢？第一问的这个方法呢？还是用延续，你往这做垂直，哎呀，这个不太要垂了，垂不下去了 啊，就跟题目一样啊，猛锤屁啊，不是屁，我们重新标个字母， a， b， c， d， f， g， h 啊， g， h， 那 我们仍然是呢，利用刚刚的那个方式，嗯，你这个是根号二，根据中位线这段长，是不是仍然是二分之根号二啊？啊，二分之根号二， 放大一点啊，那么还是跟刚刚一样哦，三个垂直得出是矩形，因为两个绿色的线段相等，所以说他是正方形啊，也是二分之根号二。 那么这个时候呢，我们仍然用刚刚的这个手段，我想求这个 c n 怎么表示，对吧？那么 c n 的 话呢，我们把是把两个相等的线段都设为 a 了吗？那这段长 n， g 和这段长 he 呢？都设为这个 a， 然后利用这个代数的思想来解决这个问题就可以了啊， 好，我们的这个啊，我们的这段长 c， n 呢，是不是等于这个 c m， 嗯，加上这个 二根号减 a 啊？嗯， c 就是 看竖着这段长啊， c n 是 不是等于这个 c m 加上这个二分，加上这个 m n 的？ 我写一下啊，我们的这个 c n 等于 c m 加上啊，二分之根号二减，这个 a 的 减，这个小 a 就是 这段长 c n。 那 么我们要知道啊，我们这里面的 c m 呢，为什么要先写成分成这个 c m？ 因为 c m 呢，跟这个啊，是不是这个 直角三角形，这个斜边的一半跟这个长度是有关的啊，所以通过这个 c m 呢，把它转移走 c m 的 长呢，也很简单，是不是这个 c m 的 长是不是等于 mb 的 长呀？是不等于 mb 的 长，加上个二分之根号减 a 的， 你的 mb 的 长呢，是不是用这个四来表示这段长是四四加 a 再加二分之根号啊？这三段，那不就行了吗？四加 四加 a， 加二分之根号二，那么再把刚刚的二分之根号二减 a 一 起写上去，最后的结果呢，就是四加根号二，那么刚好跟我们前面的那个第一种方法呢，整体代换呢？四减根号二 啊，将契合也是适而不求，整体呢，消去了这个 a r e 啊，最终呢也是适而不求，这是刚刚的第一种方法啊。第二种方法呢，就是我们利用斜中半的这个东西呢，构造全等三角形啊，那辅助线呢，仍然是这个，先把这个东西拉一下啊， 嗯，好，嗯， p 好。 刚刚的那个辅助线是什么来着？就是斜中半，连一下你会发现这个斜中半 p f 呢，是等于这个斜中半 a e 的 吧？啊， c e 啊，这个是直角，我错了，这个 c f 啊，哎呦，这个线扯掉了， 在这 cf 啊，因为这个地方是直角选手版，这两个绿色的线段相等，对不对？且同时呢，我们刚刚说了，他还有这个最原始的这个 f n 等于 f e， 第二问也 也有，对吧？在前面也有哦，这这两个红色的线段呢，也是相等的，那么我们再找一个相等的 其他的，不就可以证明我们要求的这段长了吗？证明我们这个它俩相等，怎么证明的？我们仍然是采用刚刚的，你这个角不是而发吗？那么斜中半的这个原则，这个角是不是也是这个而发呀？那么在前面这个证明这个角也是而发，所以说这三个角呢，都是这个 相等的啊，这角都是相等的啊，那当然了，我们在这边呢，可能无法直接证明他是这个全等的吧，你这个是个边边角啊， 那么我们还可以通过这个倒角的方式啊，把这个再证明一下它全等，因为呢，你这个地方是 r 法，这个地方呢是 r 法，那么我们在这边是不是有个八字形啊？偏偏角肯定不行哦，那么在这边的话呢，你这个角呢是垂直的， 这个角呢也是垂直的吧，你是个八字型，所以说最终呢，能证明出这两个角呢，角一等于这个角二的，那，那这样子的话，我就可以边角边证明他全等喽， 那边角边证明他全等，我们在这边呢，最终就能得出我们的这个 c n， 先写全等三角形吧，三角形 c f n 全等于三角形 p f e， 那么你的这个 c n 呢，就等于这个 p e 了， p e 的 这个长呢，你可以看一下，它等于这个四，再加上这个根号二，就等于 四加根号二啊，前面的那个也是哦，不能直接通过这个边边角来证明它全等啊，还要通过这个倒角的方式啊？这边有个八字形，你看一下，来，通过边角边来证明它全等的哦。嗯。

这道题是今年西城一模的原综合真题，百分之九十五的孩子啊，拿不到满分。好同学们，我们来看题啊，他说如图啊， a、 b、 c、 d 均为圆 o 的 直径，也就说 a、 b 是 一个直径，然后 c、 d 是 一个直径， 然后做这个 a、 e 和 c、 d 是 互相垂直的，也就说这个 a、 e 和 c d 垂直。这有个角是直角与点 f， 然后连接 ac， 他 把 ac 给连上了，然后过点 b 做圆 o 的 切线。比如说这个角度啊，他应该是一个直角， 因为 c、 b 是 圆 o 的 切线啊，然后交 a、 e 的 延长线与点 j。 第一小问让我求证的是角 c a e 这个角， c a e 这个角，那就我们给它标一下啊，应该是这个角就是这个点角，它等于的是二分之一倍的角 a o c 啊，等于这个弧角， 那我们应该怎么正呢？朋友们，因为我发现啊，朋友们，这个点它是一个 o 点，这是垂直，所以根据垂径定律，这个条线段的长度和这个线段长度相等，所以我立刻想着去把 c e 连上， 因为等弧它可以对这个等弦，所以因为这个弧 c、 e 和我们的这个弧 a、 c 相等，所以这两段它应该是一个相等的关系。那这个是点角，那这个角它就应该是一个点角， 所以我们再来看一下，因为弧 a、 c 是 我们在圆当中的一条公共的弧，所以一条弧所对的圆周角和圆心角之间是应该是一个一半的关系。第一问就正完了啊，然后第二问，让我们去连接第 e， 咱们把第 e 这个线给它连上， ok， 那 当我们连完这个 d e 之后呢？因为 c d 啊，他是这个远 o 的 直径，所以直径所对的圆周角应该是九十度，我们能够得到的应该是这个角度，他应该是一个直角啊。 呃，然后他告诉我 d e 是 四倍根号六，这个 d e 的 长度是一个四倍根号六， 然后扣散引角 c a e c a e 正好是这个点角，它的这个余弦值是根号六比三，然后让我们去求的是这个 e j 的 长度，这个 e j 啊，求这一小段啊， 那我们应该怎么做呢？朋友们，当我们知道直角的时候，就可以用这个点差去标下图，所以呢，我们的突破点在哪里？还是在这朋友们，这个图当中，所有跟这个角跟角 c a e 相等的这个角，它的余弦值应该是一样的， 那么我们可以说这个角是一个叉角，朋友们，根据这个角是一个直角，所以这个角它就应该是一个点角，这个角是一个直角，所以这个角呢就是一个叉角，这是直角这点角，所以这个角它应该是一个叉角。 下面我们就可以在这个 r t 三角形当中，我们看一下咱们给的这个边啊，是这个 e d， 所以 先要在这个直角三角形当中去求一下，我们能够求出什么呢？朋友们啊，咱们来求一求啊。也就说第二小问，咱们在这个 r t 三角形 e f d 当中 应该是 cosine， 咱们这个角就是 f d e f d e 这个角它应该等于的是邻边比上斜边，所以等于 d f 比上它的斜边就是四倍根号六， 然后它应该等于我们这个 cosine 角 c a e， 然后应该等于一个根号六比三。 好，那我们就可以利用这两个式子，同学们，我们看能求出什么呢？咱们是不是可以去求一下这个 df 的 长，所以是不是应该就是三个 df 是 四倍，刚好六乘上一个刚好六，所以是四乘六，等于二十四，所以我们能够求出 这个 df 的 长度啊，它应该是一个八，然后这个 d 的 长是四倍，刚好六，我们就可以知道这个 e f 的 长是一个四倍，刚好二， 然后接下来这个 e f 的 长，它是一个四倍根号。那么在这个 r t 三角形 c f e 当中，我们还可以去用这个相等的两个角的三角函数值相等， 所以呢应该是 cosine 角 c e、 f， 它等于 cosine 角 c a， e 这两个角相等啊，它的三角函数值相等，那我们 cosine 值应该是邻边比，斜边是四倍。根号二比上 c e， 所以 它应该等于的是根号六比三， 所以我们立刻可以去求出咱们这个 c e 的 长度，所以 c e 呢，就等于四倍根三。 ok， 朋友们，这个 c e 的 长度啊，它就是一个四倍根号三。 然后我们可以再利用勾股镜里去求一下咱们这个 c f 的 长度，所以 c f 的 长度就等于四，好，这个 c f 的 长就是四，那么我们就发现这个直径就出来了，所以咱们这个 c d 和这个 ab 相等，然后它应该都等于的是十二， ok， 等于十二，那么他是十二。之后 a o 和 ob 相等，就应该等于六， a o 等于 ob， 然后他应该等于六。朋友们，那么下面我们要求的是这个 e j 的 长度，这里边有一个反 a 字形相似，我们下面把这个相似三角形这个列一下，应该就出来了啊，咱们写一下这个相似的过程， 我们找到这个反 a 字形相似，所以应该是三角形 a f o， 它应该就是 a f o 这个三角形，这个 a 角是公共角，这是一个直角，所以这两个三角形相似，那么 a f o 这个三角形和我们的这个大三角形 a b g 这个三角形相似， 那我们现在要求的是谁呀？要求的是这个 e j 这个边，那相似三角形对应边是成比例的，所以我们来比一下，应该是 a o 比上 aj， 然后呢？对应边成比例啊， a o 比上 aj， 那 应该等于的是 f o 比上一个 b j， 等于 f o 比上 b j， 然后还应该等于的是 a f 比上一个 ab， 那 相似三角形对应边乘比例。咱们写完之后看一下，我们要求的是要求 e j， 要想求 e j 的 话，我可以想办法去求出来这个 a e 的 长度，因为 a f 的 长度也是一个四倍根号二，所以它加一块应该就是一个八倍根号二， 只要我能够求出这个，咱们先要求 aj， 只要求出 aj 的 长度就可以了。那关键是这个 aj 的 长，咱们怎么求呢？咱们看这个里边可不可以求 ao 的 长度是一个六六比上一个 aj， 然后等于我们还知道谁呀？ f o 的 长度好像不知道，然后这个 b j 的 长度呢？ af 的 长咱们知不知道啊？ af 的 长我们可以看一下啊， af 的 长是四倍根二，所以这个是知道的。四倍根二比上 ab 的 长度，咱们也是知道的，应该是一个十二， 对吧？正好是我们的直径，所以从这个里边我们能够去算一下这个 aj， 这个 aj 一 算的话，它应该是一个九倍根号二， aj 是 一个九倍杠二，那我们要求的这个 e j e j 的 长度，它应该等于的是 aj 的 长度减去 a e， 所以 aj 呢是九倍根号二，减去 a e 的 话，它是一个八倍根号二， 所以最后呢，它就等于根号二，所以这道题最后 aj 的 长度，它应该等于的就是根号二。好朋友们看一下啊。就是我们还是利用相等的角的三角函数值相等，然后持续的去 传染边，然后把它求出来，然后再利用这个相似三角形对应边乘比例，我们可以去求一个线段的长度。好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

同学们大家好，今天我们讲一下二零二六年山西中考榆次一模数学卷第十五题填空压轴题的五种解题方法。我们首先先看题 十五、在三角形 a、 b、 c 中， ab 等于 ac 等于十三， bc 等于十点， d 为 ac 的 中点，连接 b、 d 并延长到点， e 连接 c、 e。 若角 b、 a、 c、 e 等于二倍的角 a、 c、 e 则切断 d、 e 的 长为多少。 通过做相关辅助线，我们可以快速的知道， a、 m 等于十二， b， m 等于 mc 等于五， d， n 等于六 m， n 等于 n， c 等于二分之五。本题考点一、等腰三角形的性质三线合一二、三角形全等的判定与性质八字相似。三、勾股定律及其逆定律四、三角形中线的性质 五、角度关系转化利用角的倍数关系构造全等等腰三角形方法一、等腰三角形的性质加勾股定律过点 a 座 a， m 垂直于 b， c 于点 m 过点 d 座 d， n 垂直于 b， c 于点 n， 则 b、 m 等于 m， c 等于五 等腰三角形三线合一， a、 m 等于十二，所以角 b、 a、 m 等于角 c、 e。 因为 d 为线段， a、 c 的 中点异正 a、 m 平行于 d， n 平行于 c、 e， 所以 d、 n 为三角形 a、 m、 c 中位线，所以 d， n 等于六 m， n 等于 n， c 等于二分之五，所以 rt 三角形 b、 n、 d 相似于 rt 三角形 b、 c、 e， 所以 c， e 等于八， 所以解 r、 t 三角形 b、 c、 e， b、 e 等于根号下 b、 c 的 平方加 c， e 的 平方等于根号下十的平方加八的平方等于二倍。根号四十一。依据平行线分线段成比例可得 d， e 等于四分之一， b， e 等于二分之根号四十一。 方法二等腰三角形的性质加相似三角形过点 a 做 am， 垂直于 b， c。 于点 m， a， m 交 b， e 于点 f 过点 d 做 d， n 垂直于 b， c 于点 n， 则 b m 等于 m， c 等于五等腰三角形三线合一， am 等于十二， 因为点 d 为 ac 的 中点，所以 d， n 等于二分之一， am 等于六，因为角 b， a， m 等于角 c， a， m 等于角 a， c， e， d 为 ac 的 中点，所以三角形 a、 d、 f 全等于三角形 c， d、 e。 因为 rt 三角形 b， n、 d 相似于 rt 三角形 b， n、 d 相似于 rt 三角形 b， c、 e， 所以 f， m 等于二倍的 f， m 等于八， 所以解 r， t。 三角形 b， c， e， b， e 等于根号下 bc 的 平方加 c， e 的 平方等于根号下十的平方加八的平方，等于二倍，根号四十一，所以解 r， t。 三角形 b， n， d 得 b， d 等于根号下 b， n 的 平方加 d， n 的 平方，等于根号下二分之十五的平方，加上六的平方，等于二分之三倍，根号四十一，所以 d， e 等于四分之一 b， e 等于二分之根号四十一， 或者 d， e 等于 b， e 减 b， d 等于二倍的根号四十一，减去二分之三倍的根号四十一，等于二分之根号四十一。方法三 勾股定律将相似三角形过点 a 作 a， m 垂直于 b， c 于点 m， a， m 交 b， e 于点 f， 则 b m 等于 m， c 等于五等腰三角形，三线合一， a， m 等于十二，所以 b， a， m 等于 c， a， m 等于角 a， c、 e。 所以 am 平行于 c， e。 因为 ad 等于 cd， 角 adf 等于角 c、 d、 f。 所以 三角形 adf 全等于三角形 c， d、 e。 所以 af 等于 cd 等于 d， e。 因为 am 平行于 c， e， b， m 等于 m， c， 所以 f， m 为三角形 b， c， e 的 中位线。所以 b， f 等于 f， e， c， e 等于二倍的 f m。 设 f， m 等于 x， 则 a， f 等于二 x， a， m 等于 a， f 加 f， m 等于三 x， 所以 a， m 等于十二，等于三 x。 解得 x 等于四，所以解 r t。 三角形 b， c， e， b， e 等于根号下 bc 的 平方加 c， e 的 平方等于根号下十的平方加八的平方等于二倍。根号四十一， 所以 d， e 等于二分之一 f， e 等于四分之一 b， e 等于二分之。根号四十一。方法是勾股定律将相似三角形 过点 a 作 a， m 垂直于 bc 于点 m， 过点 d 作 d， n 垂直于 e， c 于点 n， 所以 rt 三角形 b， m， f 相似于 rt 三角形 b， n， e。 三边比为四比五比，根号四十一。 因为 am 平行于 c， e。 角 b， a， m 等于角 c， a， m 等于角 a， c， e， 所以 rt 三角形 m， a， c 相似于 rt 三角形 n， c， d。 三边比为五比，十二比十三。设 e， n 等于四 x， 则 d， n 等于五 x， c， n 等于十二 x， 所以 ec 等于 e， n 加上 c， n 等于十六， x 等于八， x 等于二分之一，所以 d， e 等于根号四十一乘以 x 等于二分之根号四十一。 方法五、勾股定律加相似定律过点 a 作 a， m 垂直于 bc 于点 m， 过点 d 作 d， n 垂直于 a， m 于点 n， 所以 rt 三角形 b， m， f 相似于 rt 三角形 d， n， f。 三边比为四比五比根号四十一。因为 am 平行于 c， e， 角 b， a， m 等于角 c， a， m 等于角 a， c， e， 所以 r， t。 三角形 m， a， c 相似于 r t。 三角形 n， a， d 三边比为五比，十二比十三。 设 n， f 等于四 x， 则 d n 等于五 x， a n 等于十二 x， 所以 a f 等于 a， n 加 n， f 等于十六， x 等于八 x 等于二分之一， 所以 d， e 等于根号下四十一乘以 x 等于二分之，根号四十一。今天的讲解到此结束，谢谢大家的收心！

老师，关于我才如果临终尚出现，听说咱儿子一模，一模很年啊！嗯，屏幕前的如果，家长请注意啊，我们初三一模已经结束有几天，目前根据孩子的反馈， 如皋地区的一模试卷整体难度还是可以的，这种情况很正常，按照往年的经验来讲，一模的试卷都不简单。陈老师这边整理了各区县的一模试卷，我们也去分析了，的确有难度。陈老师这里再给大家提个醒， 我们的家长和孩子心态一定要放平，不要因为这次考试的分数搞得特别慌张，特别焦虑。 陈老师给大家一个建议，英模的成绩我们不不要看分数，记住要看排名，分数可能不怎么样， 但是我们还是要参照全市的排名来看，因为在最后的录取，我们是按照名次来录取的。第二，我们当下要的是好好复盘，通过这次考试 去发现问题，及时解决问题，在接下来还有不到五十天的时间里面，好好复习，去解决知识漏洞，积极面对接下来的二模、三模的考试。比如说这个五一假期，我们就可以安排孩子去练一练其他缺陷的 一模实践，去了解一下他们的题型。那么我们要让孩子通过一模、二模、三模，让问题被发现并去解决问题。 那陈老师在这里希望我们孩子在一模、二模、三模考试中成绩能稳固提升。第三，陈老师给初一、初二的家长和孩子一个建议， 通过初三的一模考试，我们可以看出，孩子如果他没有自学能力，没有时间去攻克压轴题，一旦考试试卷变难， 他的分数可能就会不理想，那所以陈老师建议大家，特别是初一、初二的孩子，现在一定要去培养自己的一个自主学习能力。最后陈老师祝愿今年的考生都能考取一个好成绩，加油！

三角形中出现了中线，该怎么去求它的边长？咱们一起来看看这道题目。这是一道南通高三的天空压轴，他说在这个三角形里面，满足两倍的 ab 减去 ac 的 膜，等于 ab 加上 ac 的 膜。后面又有一个等式，问这个里面那么大的最小值， 那么首先咱们要把前面这一部分做一个化简，所以化一个三角形 ab 减 ac 其实就是 c、 b 向量的膜， 所以它的意思就是两个 c b 向上的膜等于，那么 a、 b 加 a、 c， 那 就是中线 a、 d 的 两倍，所以它就等于两倍的 a、 d， 那也就是说 c、 b 的 膜就等于 a、 d 的 膜。那接着我们来看，既然这两个边长一样点 d 又是一个中点，我们就可以去设未知数，假设这一段是 x， 这一段是 x， 那 么这一段就是二 x。 接着再来看后面这个等式里面出现了两边都是正弦的二次的结构，所以进行一个边角互化， a 方就等于 lamb 的 乘以 b、 c， 而 a 就是 二 x， 所以 它就是四 x 方，等于 lamb 的 倍的 bc。 那 如果你想求 lamb 的 值，咱们就要看一看 b 和 c 这两条边能不能用 x 去表示。这个边是 b， 这个边是 c， 那么在 a、 d、 c 当中，我们用一次这个角的余弦定里就可以求 b， 在 a、 d、 b 当中，再用一次余弦定里就可以求 c， 所以 两次余弦定里得到了 b 方等于 四 x 方，加一个 x 方，再减去四 x 方，乘以 cosine 角 a、 d、 c， 而 c 方就等于四 x 方，加上 x 方，减去四 x 方倍的 cosine 角 a、 d、 b。 然后我们看这两个角是互余的，所以这俩余弦值应该是相反的，我们把一式和二式做一个加法，这一部分正好就没了， 所以 b 方加 c 方就等于十 x 方。那么看到了这个，再由这个就可以想到，用一次基本不等式大于等于二 b c， 所以 b c 小 于等于五 x 方，那么 lamb 的 就等于四 x 方。比上 b c b c 小 于等于五 x 方，那整体就大于等于五分之四，所以 lamb 的 最小值就是五分之四。 对于这道题目来说，大家记住在三角形里面出现了中线，我们要算边长的时候，可以利用这两个角的两次余弦定里去解决一下边的关系。

啊，胡不归的思路，所以模仿马老师思路，胡不归怎么做呀？第一步看他这个结构怎么去变形，是提个二出来，是不是 b m 加上二分之一的 pm 呀，对吧？然后二分之一想到多少度，这就是三三十度， 所以造一个三十度的角，以哪个边呀？是不是以这个顶点，这个 p， 这个边做一个三十度的角， 大概在这这，咱们画一个三十多角，然后过这个点 b 做条垂线， 哎，大概就在这了，这就是最短的了，对吧？啊，真正的焦点是我新画的这个 m 就 不是原来那个了，然后这呢，我标个 q， 对 吧？是不是咱们这就能转化了？把二分之一的 pm， 二分之一的 pm 是 不是转化到了 qm， 那就变成了 q m 加 b m 呗。所以这个式子就是二倍的 b m 加 q m， 也就是二倍的 b q， 这道题思路就迎刃而解了，是不是也就是 b q 题里给的 b q 就 等于四倍根三加四了，就是这个思路了，就这思路了，对吧？啊，那么后面就迎刃而解了，看 这三十度吧，这十五度吧，其实这是一个四十五度角，这也是一个四十五度，虽然画的不是特别香啊，但是紧接着这个 b p 也能求了，对吧？哎，当然 b p 求完了，没有太大的用啊，它还能求谁啊？是不是 p q 也是它，对吧？ p q 一 有了，是不是就在二 t 三角形谁中啊？ 啊？ p q 一 摇了，就在二 t 三角形 p q m 中，在这个三角形里，三十度，六十度，九十度，是不是都能修了？是不是就能用这个 p q 除以根号三就能得 q m 再乘个二倍，是不是就是 p m 了？后面这所有的边都能修了 啊？所以总结一遍这道题思路啊！这道题就是马老刚才说的胡不归的模型方法，两个步骤，第一步，看见二分之一了，看见这二分之一了吗？做一个三十度的角。第二步，做垂体给的 四分之根号三加四。好，各位同学，各位家长啊，这是属于马老师讲的啊，所有的难点模型中的其中一种 啊，像是，嗯，南开区考的将军印吗？像和平考的逆等线等等，每个区都有二十五题难点模型啊。哎，想要啊，马老师，这些模型的各位家长，各位同学，点击头像点击啊关注评论区，输入中考模型四个字，中考模型四个字，马老师把五十四个难点模型都发给各位同学。

今天呢我们就用我们的金字塔模型或者我们的万能公式来解一下这个题呢，应该怎么去做，怎么叫万能公式呢？万能公式呢就是我们在给同学们在讲压轴技术，我们讲过的系统，系统包括第一层条件，第二套呢是模型，第三套呢就是系统， 就是我们之前一直给大家讲的金字塔模型当中，我们用这一套思想可以解决所有的事物题，包括我们可以解决我们的二十三题，所以说这一套思想如果你学会之后，基本上你的机会没有任何问题的。 我们先看一下这个题的条件，首先他给我们条件呢是三角形， b、 c、 d 是 直角上去，我们先做一下简单的标记，这个地方呢是直角， b、 c 等于几？ b、 c 等于二，好做标记， b、 c 等于二， c、 d 呢等于三。 那么一旦 bc 等于二， c 等于三之后，相当于我们可以用勾股定律知道 b、 d 的 长度，二平方三平方，根号减，这是个根号十三， 对不对了？那么我们在讲金字塔模型所讲过，一旦出现直角三角形，而且知道每条边的长度之后，首先你第一要确定的就是你知道什么东西啊？你知道不是边长，而是知道了三角函数值， 你把你知道的三角函数值，我们把这个地方查一下，三角函数值是我们条件里面的其中一个非常非常重要的条件，三角函数， 明白吗？你知道很多三角函数，比如说我们起这个名字叫 alpha， ok， 这个叫呢叫 beta 是 吧？我们清楚 alpha 和 beta 的 三角函数值，因为在实物题当中，我们可以通过角的相等来传递三角函数值，如果你没有建立三角函数值的概念，那么你这种题呢肯定是做不好的。 你把，所以说我们条件当中一个非常非常重要的条件就是三角函数值，而这个不仅仅包含边长相等或者角相等，最重要是你要理解三角函数值。 ok， 在 第一个，我们今天往后看，这里面给我们一个角，说什么？说 a、 d 呢？是平行 bc 的， 这里面出现个平行， 然后又说角，平分线，是吧？对，角线必定呢，平分角 a， b、 c， 也就是这里面又出现个角，这个角叫 off 票，哎，我们把相同的角用相同的字母进行表示， 这是我们经常讲的一种方式吧，这叫什么？这叫作标记，你看这就是我们整个系统里面的一个工具，叫作标记，而我们作标记推荐的方法呢，就相同的角用相同的边长来进行表示。好了，这，这个， 这是我们系统里面的其中一个工具。 ok， 这个呢作标记属于我们系统里面的其中一个工具。紧接着我们再去想， 我们说这里面有模型，这两个角相的又出现什么？又出现了平分，哎，平分加平行，是不是我们经常讲的什么东西啊？经常讲的三，经常讲的一个模型叫平行加平分等于等幺，所以说，好， 这就出现我们的模型叫平行加平分等于等幺， ok， 那 么这个是二百票， 对吗？因为呢 a、 d 和 bc 平行，所以说我们这个地方就有个角呢，也叫 ar， 对 吧？我们可以起个 ar 双片， ar 双片， ar 双片，有了之后你会发现 ab 和 ad 相等， ab 和 ad 相等， 那么 ab 等于几？ ad 等于几？我们清楚不清楚，我们并不清楚，对吧？但是我们说 abd 就是 我们常见的一个模型里面的三角形模型，你看我们到现在为止出现几个模型，出现了 两个模型，这叫三角形模型。好，所以说我用这节课时候呢，就把我们的万能公式呢给大家讲一下，那么这里面属于三角形模型里面哪个模型呢？叫 a s a 模型， 因为 r 片和 r 双片呢，它的三角函数值都清楚，都等于谁？都等于角， r 的 三角函数值再加上 b d 的 长度确定的，所以说这就我们的 a s a 的 模型。 ok， 当 asa 模型清楚之后，那么以我们对三角形模型的理解，我们是可以很容易求出谁求出 ad 的 长度， 包括 ab 长度。哎，所以说你看 ab 和 ad 是 我们因为有了这个模型，它是一定能够求出来东西，所以说我们把一定能够求出来东西，其其实呢就可以把它当做一个已知条件。 那么到现在为止，我们先假定 a d 呢？是一致的，对吧？因为 a d 和 a b 相等，所以说这两个都是一致的。你可能会问，那老师究竟是等于几啊？究竟等于几不是我们现在要做的事情，我们现在要做的事情，要把整个解题的流程要梳理清楚，那么一会要算的时候，我们再去算它究竟等于几。 所以说因为三角形模型 a s c， 所以 说我们很清楚 a b 和 a d 是 可以求出来，究竟等于几？一会再求，现在不着急，现在我们要搞清楚这个题究竟要怎么去做， 对吧？好，这第一个第二呢，他又说 a、 d 和谁相等了？ a、 d 和 d 相等，对吧？那又出现什么？角和角相等，那比如说我们把这个角呢，标成一个杠，对吧？那另外一个角呢？也标成一个杠票， 对不对了？那么在前面的时候，我们已经知道 a、 d 的 长度，那么在三角形 a、 d、 e 当中又出现了三角形模型，你看这第几次出现了？这是第二次出现了，只不过这个时候三角形。谁？三角形是 a、 d、 e， 对吧？那么在三角形 a、 b、 e 当中，阿尔法和阿尔法票清楚，你说老师我不知道它的三角函数值，怎么办呢？对不对了？你把阿尔法和阿尔法和阿尔片的三角函数不清楚怎么办？这个很容易求出来的， 那非常容易求出来。当然我们说你如果要求出来，我们只需要做一条垂线就 ok， 比如说啊，过点 d， 对 吧？过点 d 做 a 的 垂线， ok， 或者你不求，或者你不用它也可以啊，因为这个地方正好是我们不用到它，所以我就不讲这个了啊。那么一旦出现， 一旦出现等腰之后，我们会想到什么了？会想到你把这个中垂线要给它列出来，或者三线合一呢？给它列出来，比如说或点 d 做 a 的 垂线，交于一个点 a 字吧。 ok， 我 们标一个垂字符号， 这个时候，好，我们现在来看，其实呢，这就是我们的一个三角形模型， ok， 三角形模型，只不过这个三角形是 a、 d、 e， 那 么这个角阿尔法，他的三角函数怎么去求呢？你可以放在 a、 b、 d 当中去求， 只不过这个题呢，他不要用到阿尔法或者三角函数值，所以说我们就不用去管他了， ok， 不 用去管他了，那么我们现在来看一下这个题呢，怎么去做？ 这个题怎么去做啊？开始解了，现在辅助线有了吧，就是给我点 d 做 a、 e 的 垂线，交一个点 h， 然后我们有两个模型，第一个是平行加平分等于等腰，第二个呢是 a、 s、 e 三角形模型。 这这完全是在我们之前讲题当中，我们整个扁平化的金字塔模型里面的，没有逃出我们的范围，无论你怎么变，我们这个模型都能够给它解出来，而且非常的快。现在我们来解下这个题应该怎么去做？ 首先我刚才说在三角形 a、 b、 d 当中，我们是可以很容易求出，可以很容易求出 a d 长和 a b 长，那么三角形模型当中我们怎么去求边长呢？我现在把这个图呢给它转过来啊，这个是 a， 这个是 b， 这个呢是 d， ok， 这个角呢叫 alpha 对 吧？这个角呢叫 alpha 片。然后呢，我们知道 b、 d 长度等于根号十三，现在呢，我要求 a、 d 长度，怎么去求呢？很简单，我们只需要做垂线就 ok 了。三角形模型呢，我讲过，你要这个垂线怎么去做呢？就做两个角之间的点就可以了。做垂线， 因为 alpha 片的三角函数可以求呢， a、 d 长呢，就等于谁？比如说这个点是个点 o 吧， a d 糖是不等于个 o d 除以谁了？ o d 除以个口舌二百票，对不对？ o d 除以口舌二百票， o d 等于谁？ o d 等于个二分之根号十三，因为呢是一个终点，是吧？所以说其实这个辅助线这样来做啊， 你看，如果你放在这个图当中，我是这么做一条辅助线，对吧？那么如果我不想做一条辅助线呢？也无所谓， ok， 也无所谓啊，因为呢，我可以把它单独的拿出来，对吧？我可以把它单独的拿出来，我就拿到这个地方去算，所以说我就省了一条辅助线，我把这条辅助线额外拿到一个局部去算它。 所以 a d 长等于谁？ a d 长呢？等于个 o d 除以一个 cosine 二片，你说老师，那也就是等于几呢？就等于个呀，这个地方不太够了啊， 这个地方不太够了，我就说下思路吧，好吧，好， o d 呢？ o d 等于个二分之根号十三，那 cosine 二片等于谁呢？ cosine 二片我们可以通过 cosine 来算，而 cosine 二等于个根号十三分之二， 所以说 o d 除以一个口算二十二片，我们是可以很容易算出 a d 的 长度，对吧？那么 a d 的 长度有了之后，相当于这 ab 长度是也有了，那也就说这个长度， 这个长度我们是可以很容易求出来。 o d 长等于几？等于个啊？等于几呢？二分之根号十三，是吧？ 除以几，除以一个口径 alpha 口径 alpha 等于一个根号十三分之二，所以说你可以算出来应该等于个四分之十三，对不对？这是 a d 的 长等于一个四分之十三， a d 的 长等于四分之三，所以说 ab 的 长呢，也等于个四分之十三。那么 ab 有 了之后，我们再看下这个图形， 你看，因为 alpha 和 alpha 不 相等的，对吧？然后呢，这里有个垂直，所以说我们可以很容易看出有一个全等的三角形，叫 d h、 b 和 d c， b 是 一个全等图形，那么 c、 d 等于三，说明这个长度也等于三， d、 h 长度也等于三， 是吧？第一次长度也等于三，那么第一次等于三之后，你包括，哎，你会发现这个长度是不是也可以求出来这个长度也这个长度等于二，那这样的话，我们用四分之十三减去二是不等于个 a h 长度， a h 有 了之后， a h 长度 和这个长度是不相等呢，对吧？和这个 h 是 不相等，因为它是一个，因为 h 是 a e 的 一个终点，明白了吗？终点那么好， 那么我们现在知道 a、 e 长度，是不就可以很容易求出谁求出 b 的 长度？现在你要让我算 d b 的 面积， d， b 的 面积就顶层高，我们只需要做一条垂线就 ok 了，做条垂线对吧？所以说他问的是我们， 他问的是我们这个三角形 d、 b 的 面积，其实是问的谁，其实问的是我们 n、 e 的 长度， 因为我们说 b、 d 这个底是清楚的，那只要你求出 n、 e 的 长度是不 ok 了？现在我们已经知道 b、 e 的 长度，那么求 n e 是 不是很求好求，我们只需要用 b e 乘以什么， b e 乘以一个 c e 二个片就可以算出 n e 的 长度，那么 n e 算出来之后，底乘高乘以二分之几，是不是很容易算成面积， 对吧？所以说这个题简单不简单，非常非常简单，我们几乎连一分钟都用不了，我们整个思路就有了， 为什么呢？首先我们说第一步，因为他跟我们二三，我们就知道了吗？这个三角形 b、 c、 d 他的所有属性，比如说他的边长根号十三，以及他每一个角的三角函数值， 这第一个我们是很容易分析出来，这第一第二呢，我们说好，因为你角和角相等，所以说出现角平分线，再加的平行线，得到我们第一个模型叫平分加平行得到等腰，这是不是我们的模型？ 好吧，你有了两条等腰了吗？那我就出现了 a、 b、 d 这个三角形，那么在 a、 b、 d 三角形当中，因为 r 和 pi， 它的三角函数值是确定的，所以说我们就得到第二个模型，三角形模型叫 asa， 当我们有这个 asa 模型之后，我们是可以很容易求出什么求出 ad 长度的，我们只需要把这个长度呢拿到局部去算，放在这个地方去算就可以了，所以说完全可以把 ad 和 ab 当做已知条件来。 第三，你又告我什么了？ a、 d 和 d、 e 相等。好，那我们是直接做什么？做三线合一，我知道点 h 呢？是什么？是这个 a、 e 的 终点，这条辅助线是不是我们很容易算出来的， 对吧？那我们当有了这个辅助线之后可以知道呢？ b、 c、 d 和 b、 d、 e 是 一个全的图形，那么全的时候也就相对的边长给他放过去，比如说三放在这个地方，二呢，放在这个地方， 这样的话，我们刚才所有思路已经这么讲过了，我们可以求出 a、 h 长度，也可以求出 h、 e 长度乘以二，就知道 a、 e 的 长度，然后我们用 ab 减去 a、 e 长度，是不是得到一个 b、 e 的 长度？ 当我们有了 b、 e 字母，你让我们求三角形 b、 d、 e 的 面积，其实就相当于求这条高 e n 的 高 e n 高是不是好求啊？因为你 b e 有 了 b e 乘以个 c r 片，是不是可以知道高，所以整个题没有任何的卡顿 迷茫？那么只要你按照这个系统去做，或者我们这个万能公式来做这种题几乎就一分钟用不了，思路全部出来，而且计算量并没有那么大。 但如果你不懂这套万能公式，我估计你这道题啊，可能会做的比较麻烦一些，所以说，大家一定要做这种题，一定要用万能公式来做，对吧？当你用万能公式时候，实物题基本上对你来讲，那就已经属于降维了，降了两个维度， 明白了吗？将来两个维度，如果你不懂万能公式，你会做很多的辅助线，而且会非常非常的绕。所以说给我们所有的同学一定要谨记，做这五题，一定要去用万能公式。 当然呢，如果你想学万能公式啊，可以在我的评论区打一个万能公式，我会呢，教你怎么去用万能公式。好了，这呢就是我们第十五题的一个讲解。 goodbye！

好，大家好，今天呢，我们来看一下开放式中考题目的第十五题，这个题目呢，他把折叠问题和新定义问题做了一个结合，那其实新定义问题在去年中考的第十五题中是出现了的。好，下面的话，我们一起来看一下这个题目。 他说一个三角形三边之长满足三比四比五，那么就称他是一个勾股三角形。现在在这个矩形 abcd 中， ab 是 六， ad 是 八， 现在把三角形 a、 b e 沿着 b e 进行一个折叠折叠，我们知道一定要先找什么呢？对应边和对应角对应边相等，以及我们的对应角相等。 好，那现在过点 f 做了这个 f g 垂直于 bc， 说这个三角形 f b g 如果是一个勾股三角形，让我们来求 b e 的 一个长度， 那我们知道勾股三角形满足三边之比，三比四比五，那现在斜边是固定的，我并不知道这个直角边谁是三，谁是四，所以就需要我们分类讨论。我们先来看第一种情况，我们让这个 f g 呢给它设成是三 x， 那 毕竟呢，就是四 x， b f 呢就是五 x。 好， 第二种情况很自然的对应的就是让我们的斜边依旧是五 x， 那 此时我们的 f 和 b g 是 不是分别交换一下，分别是四 x 和三 x， 这是第二种情况。 好，我们来看一下第一种情况，第一种情况的话，我们设完这个未知数之后，其实是可以把我们的 f g 和 b g 分 别求出来的，那 f g 是 不是就等于六除以五乘三，等于五分之十八呀？ 那毕竟呢，就等于六除五乘四等于五分之二十四。好，那这个题目让我们来求谁呢？让我们来求 b e， 那 我们的目光肯定放到这个直角三角形 a b e 中，我们利用勾股定律来求， 然后关键的问题就求出来，我们的 a e 和谁啊？ e f 就 可以了。那我们注意到这里面已经有两个垂直了， 那所以说你是不是会想到构建一线三垂直呀？而且折叠问题中经常会出现这个一线三垂直的模型，像我们上个视频中讲到的这个信阳的一个中考第十五题，也是出现了这个折叠问题中的一线三垂直问题。 好，下面的话，我们就把这个是 f g 给它干嘛呢？延长交 a d 与点 m， 是 不是就能构造出我们的一线三垂直？那此时这两个三角形 f e m 和这个 f b g 应该是相似的， 两个三角形相似，那它们的三边比例关系应该都是一样的，都是三比四、比五，那此时我们的这个三边 e f m 的 三边之比就是三比四、比五。 好，我们要求这个斜边 e f， 我 们此时求出来我们的这个 m f 是 不就可以了？好，我们的 m f 呢？是不就等于我们整个这个矩形的长宽六减去 f g， 也就是六减去我们的五分之十八，就应该等于我们的五分之十二。 好，那 m f 是 五分之二，所以我们的 e f 是 不是就好求了？哎， e f 就 等于五分之十二，除以四乘以五，哎，就能算出来 e f 等于三，那 e f 等于三，那 a e 是 不是也等于三呀？ 好，那所以我们的 b e 是 不是就等于这个时候三角形可以利用勾股定律来算，就等于根号下三的平方加六的平方应该等于三倍的根号五。 或者我们也可以直接用这个三边的比例关系来求，因为它是一比二，斜边就是一比二比根号五，那它直接 b e 就 等于三倍，根号五，就直接口算出来了。 好，下面的话我们来看一下第二种情况。第二种情况的话，让 f g 呢？是四 x， 那 b g 呢？是三 x， 那 我们再求这个 b e， 那 做题方法和我们的第一种情况是一模一样的。我们先来求一下，我们的 f g 应该就等于六除五乘四，等于五分之二十四， b g 呢？哎，就等于六除五乘三，等于五分之十八。好，同样的，我们来给他构造一线三垂直，把这个 g f 延长交 a d 于 m， 那 这个时候我们构造出来一线三垂直之后，得到的是 e f m 和这个 b f g 应该也是相似的，那它的三边之比也是三比四，比五，只不过这个数我们要交换一下，此时 m f 是 三， 我们的 e m 是 四， ef 依旧是几啊？是五。好，我们同样的，我们此时可以算出我们的 m f， m f 是 不等于 ab， 减去我们这个 f g 啊，就等于六，减去五分之二十四，就等于五分之六。 好， m f 等于五分之六，那 e f 呢？哎， e f 是 求这个斜边用五分之六除以三，再乘以五，等于几啊？等于二，那所以我们的 a e 也等于二， a e 是 二， ab 是 六，所以 b e 就 等于根号下二方加六方，应该是等于二倍的，根号十的， 所以我们最终的答案就是三倍根号五，或者是二倍根号十。

了解二零二五和平一模二十五题第一小关， b 等于二，直接写进解析式中， a 点负一零代入可知 c 等于三，解析式秒得。利用顶点坐标公式求出 d 点坐标，又告诉 p 点位画出图像。根据 b、 d 点坐标求直线。 b， d 解析式 y 等于负二， x 加六， p 在 直线上直接设 p 点坐标， t 负二， t 加六，因为 p， e 等于 pc。 利用两点距离公式列方程求得 t 等于二， p 点坐标直接可值。第二小问，直接在坐标轴上标出 e， m， b 点位置，按要求将 b， m 绕 m 点逆时针旋转九十度， 连接 e， n。 根据刮动模型，同样将 m， e 绕 m 点逆时针旋转九十度，得 m f。 两蓝色三角形全等对应边 e， b 等于 n， f 长度为固定值。三角形 m， e， f 等腰直角三角形 m， e 等于根号二， e， f 等于二，也是固定值。根据三角形三边关系列出 n， f 加 e， f 大 于 e， n， 当 n， f， e 三点共线时， e、 n 有 最大值，分析出各点位置关系。画出图形后，将 a 负一零代入， y 等于负， x 方加 b， s 加 c， 中 c， b 关系是 c 等于 b 加一， 得出新的解析式。同时一点坐标为二分之 b 零。三角形 m， e， f 等幺直角三角形过 m 做 e， f 垂线， mk 等于一。简问求证过 三角形 m， n， f 全等于三角形 m， e， b， m， g 与 mk 作为两全等三角形，高线也相等为一 m 点坐标就设为 m 一 代入解析式，得一式。再看三角形 m， g， e 是 直角三角形，利用勾股定律得 m， g 方加 e， g 方等于 m 一 方，把各长度代入二式， 一二连 d 得 b 等于负二，正负二倍，根号二。因为 c 等于 b 加一，相应得两个 c 值。题干强调 c 大 于一，舍去一个 c 等于负一，加二倍，根号二。

今天我们来看一下石家庄中考数学一模第二十三题，二次函数的压轴题。这个题说实话，这个题本身它并不难，很简单，但关键在于什么？这个计算量很大， 但是我们只要懂技巧就好了。也就是说，我之前一直跟大家说，我们现在这个中考也好，高考也好，他这种计算量会很大，特别是到压轴题，这个就是区分你的这个能力的问题了。 也就是说你懂得计算技巧，你又快又准，你要是不懂技巧，你又慢又容易出错。好，我们来看 第二十三题。首先这个我还是把这个过程都先写出来了，你节节省时间。我们 看点 a， b 在 直线这个上面， y 等于三分之一， x 上 o a 等于 o b。 那 你读到这就赶紧先去看一下 o a 等于 o b， 哎，那也就证明 a 是 o b 的 终点，那么它是终点是什么意思啊？那你就看 a 和 b， 他的横坐标就是啥关系啊？就是二倍的关系呗， 其实也就相当于 o a 和 o b 之间的关系。呃，我把它改成坐标的形式，也就是 x b 就 应该等于二倍的 x a， 这个你就别再利用什么相似三角形再去求了，或者用勾股定律了，就太浪费时间了啊。然后抛物线的解析式告诉你了，你看这里面 b 和 c 是 未知数， 经过点 a， b 顶点为 m， 他 说若点 a 横坐标为三，那你就直接把它都带进去就行了，所以说能够求出来就是待定系数法。那这一问我们就不管了， 接下来我们再看设点 a 的 横坐标为 t， 让你用含 t 的 代数式来表示 b 和 c， 那 你读到这一看，跟上面第一问是一模一样的，无非就是把这个三给它替换成谁了，替换成 t 了而已嘛。那你说整个过程是一样的， 所以说让你求当 t 为和值时，点 m 到 x 轴和 y 轴的距离相等，也就是我们说 x m 要等于 y m， 那 么你看，我们直接看答案把 a 和 b， a 是 t 三分之一 t 点参法，这个是必须会的吧，然后 b 二倍的关系，二 t 和三分之二 t 把它带进去。最后一，整理 这块注意啊，这一部分没有任何好办法，只能是直接带入，这就是稍微细心一点就可以了。最终解出来横坐标是这个，纵坐标是这个， 接下来他说点 m 到他距离相等，注意里面 t 大 于零， t 大 于零，你就不用去考虑所谓的这种距离绝对值的问题了，就直接把它写上就可以了。所以 x m 等于 y m， 接下来这一步计算是一个需要技巧的地方， 你看他最后解出的这个结果，这是一个很诡异的结果，很多人可能就不相信自己算的对错了，你看我把它变成这样一种计算， 首先我把这个分数给他整体的拆开，那么六分之九 t 就是 二分之三 t 加上一个六分之一，这边我得改写成四分之一 t 方加上二分之一 t 加三十六分之一， 两边相等了，我接下来怎么办？我先进行移项，我把这边移到右边来，也就变成了四分之一 t 方减 t， 你 看这是二分之三 t， 这是二分之一 t 一 减，那就是负 t， 所以再减去三十六分之一，减六分之一，等于负的三十六分之五，那么变成这种结果之后， 最害怕，你去怎么办？直接就去给我用求根公式，或者你去把它进行什么试着十字相乘，这个都太麻烦了。十字相乘你乘不出来求根公式，那简直就是太麻烦了， 而且特别容易错。你看，我先把它两边同时乘以四，那也就变成了二次项系数是一，那这就是四 t 减四 t， 这边呢？一约分，那就是减九分之五，到这之后还是千万千万不要求分公式啊。 你记住，我们在解一元二次方程的时候怎么办？我就告诉你首选是什么。十字相乘，这是首选 十字相乘，如果不行，马上就去转到这个上面。配方我之前专门教过这种配方的方法啊，你在我前面的视频里面能够找到，就是巧算还是硬算。那一块怎么配方？你看好了，二次项系数必须让他是一， 一，如果有系数把它提出去，那么这边直接是一了。他是 t 方，你就写 t， 他 是减，你就写减。先把括号写上，这是减四 t 一 次项系数，这是四，那你就乘以二分之一。记住，永远把一次项系数乘以二分之一就 ok 了。 他乘以二分之一就是二，然后一平方，这是一个二，那你后面再减去一个二的平方， 再减去九分之五，等于零。那接下来就变成什么了？ t 减二括号外的平方，把整个长数项全部挪过去，那就是四，加上九分之五，那就是九分之四十一。 所以我直接开根就行了吗？因为你现在这个 t 是 大于零的，所以说你现在按照正负来开就行了，所以 t 就 等于把二一挪过去，是不就是二加减根号下九分之四十一，也就是三分之根号四十一。 所以说因为 t 是 大于零的，所以负根把它怎么样舍负，把减号那个去掉，那最终结果，这不就是三分之六加根号四十一等于啥？ 跟我们是一样的，二加上三分之根号四十一。所以这种计算技巧一定要记住配方，配方啊，你以后见到的一元二次方程首选是谁？十字相乘不能乘，乘起来很麻烦，马上就去选这个配方。 好，接下来我们看最复杂的第三问，他现在设点 t 的 横坐标还是为 t， 这回他说的是把 l 向左平移后得到抛物线 l 撇，你看这是把图像向左平移， 图像向左平移，那就是左加右减，那你去看呗，你图像既然平移，顶点会不会变，那肯定不会变。所以说我过 m 先做一个平行于 x 的 直线，同样，既然平移，那你下面这几个定点 a 和 b 都不变。 所以说你再过点 a 做一个平行于 x 轴的直线，目的就是让它保持在一个直线上平移。你去好找那个点，他说若 l 撇恰好经过点 a， 那 好办， m 撇，你把它找出来大概的方位 点 a 在 这，大概把这个图像就画出来了，这就是平移之后的图像，那这个图像对应的是谁？这就是我们所说的这个 l 撇。那接下来让你直接写出 l 撇与 l 的 另一个焦点坐标，一个焦点坐标呢？就是 a， 另一个焦点坐标就在这， 那就是我们设它为点 n， 你 看我们设为点 n 之后，注意，前面我们说了，已经得出来了 a 点坐标，点餐是 t 到三分之一 t， 接下来 m 点坐标，也就是我们之前得出来的横坐标和纵坐标，这个是比较复杂的地方， 那么得出这两个坐标，你先把它自己写出来，写完之后你会发现，既然是平移，他又恰好过点 a， 那 你这个所谓平移是不就平移了这一段啊？也就是让 a 撇移到了 a 这个位置， 其实就相当于把这个 a 撇移到了 a 这个位置，然后 a 呢，又移动了相同的长度，那就到这来了，也就是这个地方最后变成了一个 a 了， 那你现在找出这个长度不就可以了吗？也就是 a 和 a 撇的长度怎么求啊？因为是平移， a 和 a 撇是关于直线，这个直线这个直线是谁？也就是 x 等于六分之九， t 加一 就是关于它对称的两个点，那所以说既然关于它对称，那 m 的 横坐标，也就是这个点横坐标，它的横坐标以及 a 撇和 a 横坐标是不构成一个中点坐标公式啊， x a 撇加上 x a 就 等于二倍的 x m， 所以 说你把它一带入，你看二乘以它再减去 a 的 横坐标就是二， t 加上三分之一， 所以我们把 a 撇的横坐标以及它的纵坐标就都表示出来了，纵坐标就是 a 的 纵坐标，那么现在 a 撇知道了那么两点间距离公式，这是不是就相当于竖轴上两点间啊？竖轴上两点间，那你就用右边的减去左边的， 不用管，绝对值了，那就所以 a a 撇，那就应该等于右边的，那就是这个左边的，也就是它 减完之后合并 t 加上三分之一，也就证明 a a 撇的长度是三分之一加 t 或者 t 加三分之一， 那因此我们就知道了，你 a 撇是移动到 a 这个长度，那 m 呢？移动到 m 撇，所以 m 移动 t 加三分之一的长度，那就达到了 m 撇这个点。 到 m 撇之后，要注意我们现在要写的是谁是这个 m 撇的横坐标，你把这个 l 撇它对应的顶点坐标写出来，我们利用它的顶点式方程，是不是就可以把它表示出来了？ 那因此 m 撇的坐标怎么写呀？这个地方是最容易错的啊，你要记住，点的平移一定是左减右加， 可不要和图像的平移，给他弄错了，图像的平移是左加右减，我现在移动的是顶点，所以用 m 原本的这个横坐标，我减去什么平移的这个长度， 那么就等于 m 撇最终的横坐标， m 撇的横坐标就是二分之一， t 减六分之一，那纵坐标呢？还是 m 的 纵坐标呗。所以最后把 m 撇的这个坐标再写出来。 接下来到这一步，你看第一个 l 撇的解析式，记住开口向下，那绝对是负的，它的顶点式的这种方程，那就是 x 减 h 括号 y 的 平方再加上一个 k， 也就是他的顶点的纵坐标。所以说你看我直接带入你这个地方，千万记住啊，你不要轻易的把里面这些括号都给它打开，你把它作为一个整体来带着，我始终强调一种整体思想，你先整体带着它， 你想他为什么给你出这种计算量，他绝对不会让你所有人都不会做，也不会让你所有人都去用复杂的方法做，就是看你会不会懂技巧，你一定要记住，只要遇到复杂的计算，能够整体带着的，先整体带着走， 那么 l 直线的方程也有了。那么既然我现在要解出来他俩焦点是不，把他俩一连立就可以了，他俩一连立方程组，你这连立方程组你怎么解？你如果要是现场去解的话，你可能十几二十分钟你都解不出来。这时候我们就要想到一点什么伟大定律， 也就是我们所用的这个两点，呃，根与系数的关系，你一定要记住这个啊，这是我们中考这两年新增的知识点，所以你看这个地方他又考到了。那么伟大定律是什么？ 两个根的之和等于负的 a 分 之 b， 为什么？因为 n 和 a 是 l 撇与 l 的 交点，所以他们两个的横坐标就是两个根， 那因此我直接连接方程组，你看三分之一 x 等于负的这一串东西，有人可能会发现你后面这怎么一大串，这是啥东西？这个玩意就前面这个 y m 撇， y m 撇是谁？就是这一大串东西，这就是 y m 撇。 我为什么没有把它写上呢？这就是需要你记住的地方。你要用求根公式，两根之合 a b， 也就说只合 二次项系数与一次项系数有关。如果你用两根之积，那么 b 项你就不用管它，你就可以像我这样用一个小括号来代替，把这个 c 长竖项这块给它写上， 你和谁有关你就写谁，因为我不需要去把它整整体的进行一个解。那接下来你看，我在整理三分之一 x 等于我先把括号给它打开， 负的，你看这个地方，注意啊，我现在把它进行一个整体的整理的时候，它应该是变成了，先把二给它乘进去，把符号也乘进去，负 x 方，这是减，这就变加那二乘进去，二乘以二分之一， t 就是 t， 再乘以负六分之一的，就负三分之一，括号 x， 然后再减去，后面还是常数项不变。接下来你要做的是什么？你要把含一次项的这个系数进行一个整理， 也就是这块，我要合并同类项，你再把它挪过来，是不是就变成了负 x 方，加上这个 t 减三分之一，减去三分之二，再用 x 一 次项 减去后面这一串，你看这个时候我出来的，这是二次项，这是一次项。二次项的系数 a 是 不就等于负一？那么一次项 x， 它的系数是不就等于 t 减三分之二？ 所以我上面这个 x n 加上 x a， a 的 横坐标，我们知道了是 t 等于这边负的 a 分 之 b， 那 一代入负的负一分之 t 减三分之二，那不就是 t 减三分之二吗？ 哎，所以说到这个地方，你看两边都有 t x n， 我 们直接就得出来了， x n 就 等于负三分之二。 那么接下来呢？你再把负三分之二带入到这个直线的解析式里面去， y 不 就出来负九分之二了吗？所以我们最终得出的这个答案，焦点坐标就应该是横坐标负三分之二，纵坐标负九分之二。 那么我讲这道题主要目的就是让你学会两点。第一点，你在解一元二次方程，尤其涉及到这种二次函数的时候，一定要记住配方是首选， 十字相乘一般情况下不会考你，因为太简单了，所以配方是你的首选。那么其次你要注意，你到最后解的时候， 只要是比较复杂的，这种连力方程组肯定不是让你把它完全的解出来，你就想什么伟大定律，记住啊，一定要去想伟大定律，也就是根与系数的关系。好，这道题我们就讲到这。

今天带着大家来看一下二零二六年广东东莞中考数学一模试卷，我们看一下第一题说六的倒数是什么？六的倒数很明显是六分之一，哎，这个题一点难度都没有是吧？好，我们看第二题，他说将数据两千两百一十五万，用科学计数法来表示哈。那么科学计数法是什么样子的？是不是二点二一五啊？ 二点二一五乘以十的几次方呢？我们看一下小数点后面有几位啊？一二三四五六七，所以就是十的七次方，哎，这个题就选第 好，我们看下第三题，他说，若二次根是根号下 x 减二有意义，则实数 x 的 取值范围。我们知道，要是二次根是有意义，那么 x 减二必须要大于等于零，所以 x 要大于等于二，那么这道题就选 c 啊。我们来看一下第四题，他说，若关于 x 的 一元二次方程， k 被的 x 平方减去六， x 加九等于零，有实数根。问我们 k 的 取值范围是什么？根据答案定理，但是它应该什么？ d 它应该大于等于零是吧？ d 它是什么？ b 方减四， a， c， b 方是什么？是负六的平方， a 是 什么？ a 是 k， c 是 九，所以 d 它就等于三十六，减去三十六， k 要大于等于零，是吧？那么 k 呢？ k 是 不是就要小于等于一？同时我们要看到一元二次方程， k 是 绝对不能等于零的，对吧？所以这道题的答案是什么？是不是 k 要小于等于一，并且 k 不 能等于零是吧？哎，答案选 d 好， 我们看到第五题啊，他说，某市大力推进新能源汽车充电桩建设， 助力绿色交通发展。截止到二零二五年初，全市公共充电桩数已从二零二三年初的十万个增长到十六点九万个。设全市公共充电桩数的年平均增长率为 x， 那 我们可以列方程是什么？ 如果我们的年平均增长率是 x， 那 么二零二零年是十万个，到二零二四年呢？二零二四年是多少？是不是十乘以一加 x 啊？好，那么到二零二五年呢？二零二五年是不是在二零二四年的基础上？哎，再去乘一个一加 x 啊？ 所以到二零二五年就变成了什么十乘以括号一加 x， 括号 y 的 平方等于什么？等于十六点九万个。哎，所以这个方程我们是不是就列出来了答案。选什么？答案是不是选 b 啊？

五中一模数学卷难爆了！今天严老师从憨到拉，给每个题排个序，大家看看自己到底在哪个水平。憨爆了，从今往后慢慢来看，先点关注收藏， 拿出你的试卷，开始上课来分析。首先从前往后啊，选择题一二三四五六七，说真的，前七个题超级简单， 所以我们给他给到一个拉完的水平。如果你做错了，真的不应该吧，我觉得有些人说，那我有些题失误了，比如第四题我不会，那说明你第四题像这种几何题，曾经没有遇到他的陷阱，但是这些题真的不难，前七个 好，第八题说真的有点难度。第八题是一道菱形问题啊，我没有想到菱形对角线的关系，没有想到这个图怎么变形的，所以你这个题做出来，你才能称得上人上人水平。所以我把第八题给到人上人的水平， 这是有个陷阱，但是你不要被第八题难住了。第九题又来一道题拉完了， 不就是个审题问题吗？耐心读题，把文字看进去，咱就能做出来是不是？所以第九题文字多，但是很简单。这提醒大家，中考中可能遇到文字比较多的，你记住我说一句话，文字越多越简单，就成了第十一题。 很多同学在这被难蒙了，但是这个题难度称不上厉害的题，你能算出来的话，你借助等边三角形，借助正六边形的内容去算就行了，超级简单，再结合个全等不就行了吗？ 所以这个题我们到不了横的水平，只能到顶级。你能把十一题搞出来很厉害，但是也只能是顶级的水平。十二题，说真的， 个人感觉蒙也没办法蒙，你能把这个题蒙出来，夯爆了，你能把这个题做出来更厉害，所以十二题给到夯的位置。来，我们接下来看填空题，填空题，十三题，十四题 超级简单，这是现在考试中的一个方向，有没有简单部分有，简单到大家都能做出来，有没有难的部分也有，难到大家都做不出来， 是不是？所以我们要保证自己考试中的一个准确率是不是才行，所以十三十四题也超级简单，我们给到一个拉的，如果你做错了，真的不应该有同学说我十四题算错了，那科学计算算错怪谁？你不会自己上算算吗？ 是不是？不是？来，我们接下来看十五题，十五题我只能给到一个顶级的位置，这题有没有陷阱？有， 他考虑到嘚他考虑到伟大定律中的嘚他一个隐藏条件，所以说我算出两个答案，但是我忘了排除了。那你前段时间没有考试中没遇到这个问题吗？ 你但凡说老师教你，你一定要考虑嘚儿他的情况。有同学这题可能跳题跳了三四次了已经，所以这个题十五题来没写了。号，我把十五题写上去啊，十五题撑死给到一个顶级，但给不到号，因为出题人在这并没有给你设计陷阱。 让我们看十六题。十六题虽然说是填空题中的 最后一个题，但是说真的，他也到不了特别难的水平，你只要知道角平分线的用处以及三角函数，稍微一结合求个高就出来了， 不设。但凡对知识点有点框架的同学，稍微做一条辅助，先稍微理解一下翻折的问题， ok 就 搞出来，所以他到不了哈，他撑死是个顶级了。 以上选择填空结束了，我希望同学们在选择填空做题的时候，这张卷 我是花了半个小时做完的，我希望同学们做这张卷的时候时间能控，我是这张卷在半个小时之内啊，我希望大家在选择填空考试的时候控制在二十五分钟以内，如果你超过二十五分钟了，说明你做题是有点慢的，所以请大家注意到这一点哈。 接下来我们看大题，大题中说真的，这个大题出的个人感觉还是比较不错的，虽然有些那那地方它确实有点变态，对大部分同学来说不太友好哈。让我们看十七题，十七题， 第一问，第二问，我们分每小问来说，十七题的括号一和括号二超级简单，只能给到拉完的水平， 你这样错了，哭吧，哭都没人想听你哭。但是第三问说真的，涉及到我们在数轴中一个长度变化， 你需要知道长度就大减小，或者两数相减绝对值，你要知道这个，不过这个没考到绝对值啊，他考到什么？考到大减小，所以说这个题是有一点点难度，我们撑死给到 n、 b、 c 的 地方啊，就是十七题。 那第三个，一会我给大家算分，把分都算出来。好，我们继续去看， 是这题就结束了，看十八题。十八题也是我们非常简单的题一个位置，但是这个题有同学看表格就看不进去，就会看错啊。第一问，四分 超级简单，所以只能给到拉满的水平。第二问，说真的，这个中位数条件一多，有同学就算不出来，所以你在这做错 或者说数处处错了啊，你可能知道概念，但你就算不出来对不对，所以这里给到一个 n、 p、 c 的 水平。如果说你这题作出来哈，这是八题的第一、 二分，那你还是可以的理解这意思吧。来十八题第三分，同样道理，单纯就是计算。你说我式子列错了，抱歉，你式子列错，那你说明你曾经做这题的你没上心，或者你说你因为这题感觉他太简单，把他给放开了，结果考虑到他错了，那么怎么办？下次别错不就行了吗？ 所以这个也称不上特别难的题，我们给它到一个 n、 b、 c 的 一个位置哈。来看十九题，朋友们，十九题，这个几何题 属于我们在中考中常考的两个模型中的一个，一个叫什么 a 线三等奖，第二个叫什么手拉手，这属于什么手拉手？所以第一问，如果这个政权等你还不会，你真的有点 需要自己反思反思，给到一个拉板的位置，我做错了啊。但是第二问，说真的，这题如果把第二问涉及了两小问，还说什么任选一问，这些证明，我的妈呀，如果说让我出题，选啥选俩都正， 对吧，有什么好选的，全正。不过说真的，有同学说啊，我这个会挣钱等，但是我后面就是不会推这个位置 哦，那你可能对这手拉手模型还不是很熟悉，趁着这个题把它稍微的复习复习，是不是会更好，对吧？所以你如果说能把第二个这个搞出来，就是手拉手模型的一个延伸搞出来，你已经很厉害了，所以我们把这个题的位置给到人上人的位置啊。十八题的第二 问，你很厉害。好，以上前三个大题，手里拿着卷子跟我来听啊！来看二十题， 一个不太难的计算问题，但是我感觉这题出的好在哪？第一，你要认识图像，看他是干啥的。第二，你要会比大小。我天呐，这是道比大啥了？朋友们， 来吧！二十题第一问，我觉得你做错也是非常拉的水平，所以二十题第一问还给到一个拉的情况。但是第二问，说真的，你比较这四个哪个最大，你想比较大小还好，但是如果说他让你把理由搞出来， 我就很容易就在这就崩了是不是？所以这题你能搞出来，也开始变成人上人。二十题的第二， 你能做出来很厉害，这题不丢分，很厉害。说真的，有同学在说啊，这个计算题还应该错吗？难道计算题不能错吗？我们就是不会写，我记得去年一模的时候，有个类似于述论的题，让你求证，三个连续数一定能背六，整出那题很多人就不会， 不是不知道怎么回事，是不会写原音，所以这题要求写原音的，能做出来很厉害。好，以上前四个大题，我们已经过了简单的部分，接下来瞬间这题目就开始上难度了。 我们来看二十一题，依次函数，依次函数。说真的，这题的第一问给大家台阶了，你就求个数，带个数，再求个解析式不就行了吗？所以依然给到一个拉的位置。大家有没有发现发现，其实出题人是在想方的，让大家去拿个分， 但是他又不想让你拿太高的分是不是？所以第二问开始，你就出现了一些字母，有同学一看，这字母什么玩意，我看不懂， 但是说白了，这个字母称不上，特别难，你只要能看进去，读出来，套进去，第一问的解析式就出答案了。但是在这里很多同学在这可能就被迷住了啊， 所以二十一题的第二问你能做出来，给到你一个人上人的位置来，我们看第三问。说真的，这个第三问你能搞出来二十一题第三问你简直 很厉害，你对整个的图形，整个的一次函数之间的一个结合，以及你的计算都很厉害，我这个题我一眼就会，但是我觉得很多同学们，什么玩意啊， 哪来面积相等，还让我直接写得数。所以这题你能搞出来，我们真的给你一个憨爆了的位置， 你对整个的几何坐标式里面的一些应用已经非常非常非常牛了， 所以在这给大家一个汗爆为止。来接下来看二十二题，这个这叫图形问题吧，或者叫似宾型问题。 从这开始，很多同学已经逐渐在崩溃的边缘，字多字多 字多，或者同学上到这已经没时间了，所以你能坐到这继续往后写已经很厉害了。但是我们把后面几个题挨个分析完，二十二题第一问长度勾股定律，你要不会回去上圈二吧？ 所以二十二题的第一问的圈一也应该把它搞出来，做不出来就拉来了来看第二问，第二问，说真的，这题我觉得考到了我特别 哎，考的一点，我们在网格中出题的话，大部分考试就是考你旋转，旋转多少度，旋转九十度，这里涉及到一个如何在网格中找九十度垂直的问题，我记得我上课讲了好多次，如果说没做出来，说真的有点过分，但是这个题考的还是很不错的， 但是他难度不是特别大嘛，你能把他搞出来，或者是在梦也能梦出来，所以仅仅只能给到一个 npc 的 位置。 二十二题的第一问的圈，让我们看二十二题的括号，你看问题分的太细了，一个题九分干四问二十二题的括号二 一涉及到画图很，他就蒙了，我的娘呀，咋画呀？不会画。但是说真的，你只要 能认识中文，你能看懂二十二题的圈一，一个字一个图，一个字一个图，对上去看，你看完了， 他条件给的太多了，一连就连上了。所以这个题他没有特别难。但是难在哪？你没有静下心来去分析图像，我觉得这是很多同学在做题中失误的地方，因此说这 仅仅只能给到 npc 的 位置，它上不了上面，它的难度没有大家想象那么大哈， ok， 来二十二题的 框二的圈一。但是说真的，二十二题的最后一小问，直接给到憨爆了的位置，我说为什么？ 我们在求什么？求 bh 加二分之一 a h， 这个二分之一一出来，有同学就不知道怎么搞，所以你能把这个搞出来，就这个最值搞出来，太厉害了， 憨爆了。二十二题的第二问的题是非常深的，如果没有这个二分之一， 这题很多人都能搞出来，但是一旦加这二分之，他不知道如何把这二分之一转成次，就是前面吸收相同的就难了，所以这题你能做出来，很棒了！来看二十三题， 文字太多了，朋友们，但是记得我说那句话，文字越多越简单。这个题从头到尾咱不说，最后一问，都在引入到非常基础的函数里面的一些 最值了，相减了，这样图像了，平移了这样的知识点，所以你耐心看完他，难度不大，但是就怕你耐心看不完，所以在这上来之后弄出去，被题目吓蒙了。 你能耐心看出来第一问，把第一问做出来，我就给你人上人的位置。朋友们，你别看这题，第一问就求个解析式，但是和同学一到这，第一没时间紧张，第二就是字看不进去，你能把二十三题的第一问搞出来，你就已经是 人上人的位置。不要小看这个题的第一问哈，让我们看第二问。第二问开始又一大段文字，有同学就放弃了，什么玩意啊，放弃完看不懂怎么回事了，甚至还不知道他是考平移的。所以第二十三题第二问的圈一和圈二我都给到 一个顶级的位置，为什么到不到行？因为他难度不够，他难在哪？难在于审题，不难在于后面知识点上的联系，以及你对整个系统上的一个综合的一个考察，他仅仅是审题上比较困难而已，朋友们， 理解吧。好，接下来之后我们来看最后一问，说真的，这个第三问我搞出来了， 你能把这个第四最后一问搞出来，屌爆了，所以给到二十三题的第三，给到一个好的位置，太厉害了，真的 来，所以二十三题我感觉是上升了一个超级大的难度，很多同学在这可能拿个零分或者三分，让我们看最后一个二十四题， 二十四题这个位置同样一到这就怕了，但是这个题考了你对整个圆里面的一些动点，或者圆周角上，就是圆弧上动点的一个内容， 一点一点扣呗，能扣多少扣多少。是不是来二十四题的第一问，简简单单求个弧长，不会拉完了。所以大家有没有发现，所有题的第一问都是可以搞的，搞不出来你就拉完了来看第二问。 正常情况下，第二问求是不难的，你知道结论能直接出得数，但是难在哪？难在两种情况，有同学可能会被图像影响，只考虑到上面，没有考虑到底下，所以这题你能想到这，尤其在这个位置，这个时间节点，你能把这个题搞对人上人。 二十四题的第二问，从第三问开始，有同学可能已经没有机会看到他了，但是做题能做到这以及往下看的话，已经很厉害。二十三题，二十四题的第三问 的圈一，给到一个顶级位置不算难，你证明是能挣出来的，但是从这往下二十四题的圈二和括号四，你能把它搞出来，厉害，毁了，真的 叉二还可以，你可能通过一些几何图形中，因为他没有给特殊角度吗？他给的是一些贪的值，你去作可能说还有点困难啊，但是第四个你能搞出来，你对整个语言里面的动点引源问题，以及他的笔直的最小问题，已经很厉害了。 来，所以我把这两问都给到一个特别横的位置啊，这是第三问的圈二以及二十四题的第四。问 好以上的话，我们就已经把整个试题从前到尾都把每个题的哪一程度给到了一个对应的一个方向。 那么接下来给我一点时间，我去算一下每个题的分数，我帮你算出来每个分应该能到哪个分数段画一个等级。 算完了，朋友们，来，我们现在开始看自己到底在哪个水平，我把每个题的分值全都搞上去了，综合下来，如果说你扣十四分以内，能考一百零六级以上，憨爆了。朋友们，但是你说我没到这， 我考了多扣十七分，就这些题有些题错了，我考了八十九分以上，其实也已经很厉害了。咱基础没有啥问题，就是需要在做题的时候提高一下速度，多复习， 提高一下准确度，把审题该看的看出来，那么你也能到一个顶级水平。所以我觉得能考到顶级的孩子已经很厉害了。这次考试难度确实有，这张卷确实不简单，尤其在两个小时之内，你能把它 搞出来，写到你的答题卡上，很厉害，这不是说谁都能干成的事哈。来，如果你能考到七十分以上，也称得上人上人的水平。大家说你说我考了八十左右，那你也很厉害，你比这个人上人还要稍微的厉害一点点，但是还达不到顶级的水平， 那么如果说我们就是基础的灰，该搞的搞出来，我们就承担一个 npc 角色， ok， 那 么你至少得考到五十六以上。那在下的话不多说，拉，完了，朋友们，五十六以下，那说明你基础还不会，应该努力去看基础，把这些基础得搞出来是不是才可以啊，对不对？ 当然我们最后总结一下，一次考试代表不了什么，我们应该从这次考试中分析出自己目前在什么水平，但是你放心，中考一定不会这么难，至少要上升个十分左右， 理解吧，至少要上升个十分左右。所以不要被一次考试的难题给吓倒了。我们应该踏实的话，从每个题里面去找我们所遇到的知识点 的。不会你去解决知识点，哪个题不会去解决哪个问题，哪个类型不会解决哪个问题是不可以了。因为在中考，我们到目前为止还有六十天左右，我们能解决的问题还有很多，哪怕说一天就解决一个类型，那么咱在中考之前也能解决六十个类型， 不是吗？所以朋友们，我们考试的目的永远是查漏补缺，不要被一次考试难难住了，也不要因为一次考试我到达了憨爆了水平就沾沾自喜，那下次有可能你也会拉完了，对不对？好，以上的话是严老师对这次五中的 初三一模考试卷一个分析，难度不大嘴瓢了啊。考试是题，难度是很大的， 但是我们应该正确的理性的看待他，在中考的每个路上，我们所走的每一步都是算数的。同学们，中考加油，点个赞呗！

五百六十八包中，八百六十八包夜，包夜能做什么？包日，其实吧，我也刚做不久，不是特别熟练， 要不老板你说点什么？我不是老板，我是老师哦，老师好，同学们好，那我们今天呢来带各位同学看一看这个今年新出炉的西城一模的这道圆锥体。 这道圆锥题呢，我相信各位同学其实在计算的过程当中应该被折磨的挺惨的，对吧？所以说呢，我们今天其实其实不带着各位同学专门的去练这个题目的计算啊，我们主要从背景的角度来看一看这道题目呢，他到底应该可以用什么样的几何方法来解决。 我们也趁着这样的一个机会呢，来跟大家去聊一聊这样的一个就是纯几何的一个命题背景。好吧，然后呢，大家就可以看到这道题目的话，它其实出题的来源呢是这么出的啊，好，那我们可以来简单的了解一下。首先呢，我们还是介绍一下这个知识点，叫什么呢？叫椭圆当中的辅助圆， 可以吧，什么叫辅助圆呢？哎，其实很简单，就是这道题目给的一个条件，也就是说我现在以它的一个短轴来作为一个直径，然后呢做的这样的一个圆，所以说呢，你可以理解为这个椭圆的方程呢，它其实就应该是 x 方比上一个 a 方 加上一个外方比上一个 b 方等于一，对吧，那里面的这个圆呢？哎，它的一个方程呢，其实就应该是 x 方加外方，这个东西呢，就应该等于 b 方。 ok， 写在下面，或者说呢，你要是把它也写成一个跟椭圆一样的一个结构的话，你可以把它写成一个 x 方，比上一个 b 方，加上一个 y 方，比上一个 b 方等于一。哎，这个能理解吧？ 好，它有一个什么样的性质呢？它这样的性质就是说我如果在这里有一个点 p， 它的坐标呢叫 x 零 y 的 话，然后呢你分别去做过 p 点，做它的一个垂线，哎，这个没有自动对齐的功能， 你过它做一个这边的垂线，做一个外轴的垂线，然后同时呢你再做一个，同时呢你再做一个这个圆的切线，哎， 可以吧？好，那这个时候呢，我就假设这个垂足呢叫做 h， 然后呢你在这边的这个切点呢叫做点 q 的 话。好，那我们有一个什么样的结论呢？叫做 p q 的 这个长度啊， 比上一个 ph 的 这个长度，它其实是个定值，这个呢就应该等于离心率。 e， 其实也就是我们正常所说的 a 分 之 c， 这能不能挣啊？ 我们会发现这个完全应该是可以很自然的挣出来的，而且你会发现你在考场上面的时候，你如果真的想要这个结论的话，它其实是可以非常简单的把它挣出来的。 怎么挣呢？首先呢，我们其实就可以考虑一个很简单的把它挣出来的。怎么挣呢？首先呢我们其实就一定会满足这个椭圆方程。 好，那我要证明的话，他的比例关系是 e 的 话，是不是就直接去证明他的平方就应该等于 e 方就可以了？好，他的平方怎么算呢？ 因为你直接算这个东西就是他的长度之比的话，你还会带着根号，这就会很麻烦，对吧？但是平方就不一样了，平方其实就算起来会比较好算一点， 那你会发现 p h 的 平方呢？这个没有什么问题，他就是 x 零的平方，所以就横着标的平方，然后呢，这个 p q 的 平方可以怎么办呢？ 你其实会可以利用一下这个的垂线，就是它的一个切线，这应该是个垂直，然后呢，你会发现这就应该是一个 o p 的 长度， o p 的 平方其实很好算，对吧？然后呢，你这个 p q 的 平方是不是就可以写成 o p 的 平方？减去个 o q 的 平方，是不是一个？这个 叫叫，呃，是，呃，对吧？这个我把这段拆一下啊，重新再来一下。然后呢，你这个 p q 的 平方是不是就可以写成这样的一个 o p 的 平方？减去个 o q 的 平方，其实也就是勾股定律来解决一下。所以说呢，你 o p 的 平方的话，写出来是不是应该就是 x 零方加 y 零方， 对吧？而 o q 的 平方。注意好了，你在这里面是不是应该是 b 啊？也就是它是以短轴来作为直径，所以说呢，减掉一个 b 方， 那这个 b 方可以怎么替代呢？哎，我们会发现在这里面他因为会在椭圆上，所以你可以这么玩，叫两边同时乘一个 b 方，角 a 方分之 b 方倍的 x 方，再加上一个外方，这就应该等于 b 方， 是这个道理吧？好，所以说呢，你这个 b 方的话，就可以直接替换成角 x 零方，加上一个 y 零方，减去一个，这是 a 方分之 b 方倍的 x 零方，再加上一个 y 零方， 可以吗？除一个 x 零的平方。哎，这时候就很舒服了，因为你的 y 零方呢，就可以直接消掉了，消完之后的话，你会发现这里面只剩 x 零方， x 零方也可以消掉，所以到最后的话就只剩一个，一减去一个 a 分 a 方分之 b 方， 是吧？那我们众所周知呢，你的这个分子就应该变成了一个 a 方减 b 方，然后呢分母是 a 方，那这个 a 方减 b 方呢，其实就应该是 c 方，所以得到这个结果呢，就应该是 a 方分之 c 方。哎，我们会发现它刚好就应该等于一个 a 分 之 c 的 平方。 好，所以说呢，我们其实就应该可以有这样的一个结论，就是你如果有一个辅助圆的话，椭圆上的任何一个点，做这个外柔的垂线和做这个圆的切线，那你会发现这个叫切线长的距离比上一个 就相当于这个点横坐标的绝对值，其实就应该这个离心力。好，那介绍完这样的一个结论之后，有同学说，那老师这个 p 乘的题可以怎么做呢？哎，我们就可以来看一看这道题，其实呢这道题目的话，你看他的模型就非常类似于你的这个刚刚我们提到的这个东西， 比如说我们可以来看一看，来他说什么呢？说做了一条切线，相交于这个 c d 两点，其实你会发现这个东西呢，他到最后的话跟这个 c 点是没什么关系的， 是吧？他这边有一个相切，然后有个切点，然后在这边的话其实来一个 d 点就可以了，然后呢说 q 点呢，就应该会在这样的一条直线 l 上，并且呢满足 o q 呢应该会垂直于这个 o d， 所以 你把这个 o d 连起来，然后呢你给它做一个垂线， 可以吧？做一个垂线，反正我这个其实这个图像画的不是特别好，我稍微把它调整一下，我还是用工具吧，感觉这个不用工具的话，可能还是画起来不是特别的得劲。 好，这应该是个镶嵌，是吧？然后呢在这边的话来一个点 d， 然后接下来的话，我去这个连一下这个 o d， 连一下这个 o d， 然后呢我过它做一个垂直 好，大家就凑合看过它做一个垂直垂足呢，其实就应该这个点 q， 是 吧？然后这应该是个 o， 这是一个垂直好，并且呢满足这个 o q 垂直 o d， 说过 q 点呢，去做一个这样的垂线 交于这个点 p， 让你证明什么呢？让你证明这个 a p 会平行于 b f 一， 所以说呢，我们就应该很自然的可以知道这个 a 点在这，对吧？然后呢 b 点在这，然后 f 一 呢是它的一个焦点，所以 f 一 大概在这个位置 好，所以说呢，我们现在的话，其实就可以把它连出来，也就是说你的这个 a p 呢，它大体上应该长这个样子，是吧？这是 a p， 我 把它换成一个橙色的吧， 这是这样的一个 ap， 然后呢你的这个 b f 其实就应该长这样， 哎， 是吧？你只要证明它平行就可以了。实际上呢，我们会发现一个很重要的问题，就是你在这里面 a b f 这三个点其实都是知道的，所以说呢，这道题本上来讲，就只需要去证明一下它的一个纵坐标，对吧？我只要知道这个 q 点的这个纵坐标，其实这个问题就很好解决好，那这道题目我们怎么用刚刚的几何性质呢？ 来，我们就可以想到刚刚我们是过地点做了一个这样的垂线，对吧？这应该是一个 h。 好， 所以如果说你在这边来一个点 k 的 话，比如说这个这个切点就要点 k 的 话，按照我们刚刚那个想法，其实是不是应该就可以得到你的这个 dk 比上一个 dh， 其实就应该等于 e， 也就应该等于等于这里的 a 分 之 c， 那 现在就产生了一个问题，我们怎么样才能去把它传递到这个 o p 上呢？ 哎，你看纯几何方法给你带来的一个帮助就是你可以利用你们初中学过的所有的这些相似也好，全能也好，你想用什么用什么。 然后呢我们会发现有一些死去的记忆开始清洗我们的这个大脑，你如果做一个这样的连接的话，那你这个 ok 呢？其实就应该他的一个切线，他就应该会垂直。那首先呢，大家能不能知道这个三角形 和这个大的三角形 o d k， 呃，就 o d q 是 不应该是个相似三角形，大家发现了吗？因为你要发现在这里面的话，你有这样的一个垂直，然后这边也有一个垂直，然后这是一个公共角，是吧？所以我们就可以知道三角形叫 o k d 会相似于这个三角形，这应该是 q o d 没错吧？好，那这个时候的话，大家会发现我就可以把这个 d k 比上这个 ok， 没错吧？好，那这个时候的话，大家会发现我就可以把这个 d k 比上，这个 ok， 其实我就把它转换成什么呢？把它转换成这个 o d 比上一个 o q 没问题吧？就是长边比上一个长边比上一个短边就等于，呃，就是相当长边比上短边，短边等于长边比上短边没问题。 然后同时呢，大家其实如果说仔细的观察的话，你还会得到另外一个结果，就是这个三角形啊，和这个三角形经过这个垂直的一个洗礼，这是你们初中特别熟悉的一个经典模型，叫一线三垂直，对不对？所以我还可以得到什么呢？叫三角形 o p q， 它也是相似于这个三角形叫，呃 o p q d h o， 对 吧？所以呢，这样的话，大家还会发现你的这个 o d 呢， 比上这个 o q， 其实就应该两个直角三角形的斜边长，哎，它还等于什么呢？等于 d b 比上一个 o p。 所以 大家就应该会发现一个很有意思的事情，这个东西和这个东西是一样的，说明这两个就应该会相等， 是这个道理吧？好，所以说呢，我们进而就可以得到，来来来， d k 啊，我还是换成这个颜色的笔吧，来，我们就可以得到你的这个 d k 呢？比上一个 ok， 这等于什么？等于 d b， 比上一个 o p。 所以想想看，我刚刚不是已经得到 d b， 呃，就是 d k， 比上一个 d h 就 应该是一个，呃，就应该是一个这样的，哎，我看一下这个 d b 啊， d h， 这不是 d b， 这应该是 d h， 不好意思，不好意思，这应该是 d h， 我 刚刚看把这个，把这个，就是把这个 b 和 h 看火，那这应该就是一个 d h， 比上一个什么？比上一个 op， 对 吧？ 所以呢，这样的话，大家会发现你这上面的话就应该写成一个 d h， 而我们刚刚应该会发现一个事情，叫 d k 比上 d h 是 不是应该就等于离心力好？所以你把这个稍微整转换一下，你的这个 d k 比上一个 d h 就 应该等于这个 ok， 比上一个 o p 是 不是基本上就出来了？ 大家会发现这应该是 e 吧，是不是？而 ok 的 这个长度是不是应该是那个辅助圆的半径啊？而这个半径的话，是不是应该就是它的一个叫 b 啊？所以说呢，我是不是就可以直接得到最后的一个结论，叫 o p 的 这个长度它就应该等于 b 比上一个 e， 合理吗？然后呢，如果做过这道题目的同学应该都知道，这道题目的纵坐标呢，算出来他要求的就应该是刚好三分之二，对吧？如果说你要算出来他是一个平行的情况下，那屁点纵坐标得到的应该是刚好三分之二，那这个刚好是谁呢？ 你会发现在这道题目当中 b 就 应该是一对不对，然后离心率的话，其实就是 a 告诉你了是二，然后 c 呢，是刚好三，所以这应该就是二分之刚好三，然后你会发现他刚好是刚好三分之二， 所以大家会发现这个辅助员的话，可能会让你直接通过几何关系来得到这个结果。虽然我们其实可以知道这道题目的逻辑很简单，但实际上呢， 我相信很多同学在这个考试上面计算的时候呢，体会到了他的这个计算的恶心程度，所以如果说你自己在这个额外的一些探牛的过程当中，可以去了解一下他的秘密背景，有的时候呢可以更好的帮助你去找准他的一个操作方向，好 给大家一个小的彩蛋。其实大家要知道海淀的那道题目本质上来讲也在考辅助员，大家可以尝试着接着老苏的这个结论，你去考虑考虑海淀那道题目他是怎么考辅助员的， 他那个长度是二倍杠二三，其实本质上来讲也是一个由相似三角形就可以直接推出来的结论，如果各位感兴趣可以自己回去试，收好，可以。