八年级下册数学二次根式教程画图

二次根式这里呢有三大亚洲难题，其中有一类呢，就是这种双重二次根式的化简，有百分之九十的同学做不出来，就是因为没有掌握它的解析方法。那今天的视频呢，梁老师就教下大家这类问题该怎么做。 来，咱们看题，让我们对这个式子进行化简。那大家来观察一下这个式子，你看这是不是有两重根号，所以就称为双重二次根式。 那如果我想要求这个式子的值该怎么办？我是不是要想办法把这根号给它去掉？怎么把这根号去掉呢？就要用到一个很重要公式啊，就是根号 a 的 平方等于 绝对值 a， 所以 我要对它进行化简的话，也就是说我要想办法把根号里边的这一部分给他变成某一个数的平方，对吧？ 那我怎么把它变成某一个数的平方呢？就是要把九减四倍的根五给他配成一个完全平方公式。 好，那大家来回忆一下，什么是完全平方公式？就是 a 加减 b 的 平方，等于 a 方加 b 方加减二 ab， 对 吧？ 所以你看这儿的九呢？哎，它其实对应的就是这儿的 a 方加 b 方，那么四倍的根五呢？对的，就是这儿的二 ab， 所以你要把它配成一个完全平方公式的话，也就是说你要对这两个进行拆数，把九拆成两个数的平方之和，把四倍的根五拆成两项乘积的二倍。 那怎么拆呢？咱们来看一下，你看九我是不是可以拆成五加四，对吧？那么五的话就是根号五的平方，四的话就是二的平方，所以九是不是拆成了这两个数的平方之合 就是根号五的平方加二的平方，减去二乘以二，再乘根号五首平方尾平方，这是首尾乘积的二倍，所以这是一个完全平方公式， 它就等于根号五减二的平方，根号九减四倍的根号五就等于根号下 根五减二的平方，那么去掉根号就是根五减二的绝对值，那么绝对值里边是一个正数， 正数的绝对值是它本身就是根五减二，所以它化简的结果是根五减二。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套二次根式必刷的八大题型拿去练习，就能轻松解决这类问题。

双重二次根式的化简，它是我们这个寒假必须要掌握的题型，那为什么？因为这个是我们下册第一次月考必考的题，而且好多同学都不得分，那其实这个双重二次根式的化简，它的思路非常简单，对不对？ 思路简单，你照着这个思路去做，不管什么样的题，咱们都能给它解决了。你看下面有根号，那无非就是把下面这个代数式，你给它化成某一个数的平方， 你平方再开方，那直接不就开出来了吗？就是这个原理。那么我们来看 a 加 b 的 平方，它的形式展开是 a 的 平方加二 a， b 再加 b 的 平方，对不对？那么你看我们这个根号下四加根号下十五， 那么这个常数我们可以给它拆成 a 方加 b 方，这个根号呀，十五呢？我们给它对应着这里的二乘 a 乘 b。 但是大家会发现这一道题有点难，为啥？因为这个根号十五前面没有这个二， 而且你从这个根号十五里面你也开不出来一个二，这时候没有这个二，你就无法统一成这个完全平方式的形式，那这该咋办呢？非常简单， 那你乘二再除以二不就得到了吗？你看这个思路是非常重要的，是什么？除以二上面再乘二，那不就是八加二倍的根号下十五， 对不对？好，我给大家多写一步，下边是根号二，待会我们再处理。上面是根号下 八加根号下二倍的根号下十五。大家你想一想，这个二倍的根号下十五，十五可以看成根号三乘根号五，而这个八又可以看成五加三， 那五是根号五的平方，三是根号三的平方，那上面不就凑成了完全平方式的形式了吗？你看是不是这样的？来，再来一步，那么它就等于 根号二分之，谁呢？根号下我多写一步，那么就是五加二倍的根号下十五，再加三 就可以了，那么就等于根号二分之。根号下这个括号里边是一个完全平方式，那就是根号五加 根号三的平方啊，我直接往这边写了，那就是根号二分之多少？根号五加根号三 是吧？分母有理化，给大家分割一下，分母同乘，根号二就完事了，那就是二分之根号十加根号六，那么这个是可以作为最终结果最减二次根式。分母上不能有根式，而且每一个根式都得 开的，能开出来的一定要全部开出来，开的尽方就才可以双重二次根式的化解。月考重难点题型你学会了吗？

ياخشىمۇسىلەر ئاتا ئانىلار ھازىر 八年级 نىڭ بالىلىرىدا مۇشۇ خىل سوئالنى خاتا ئىشلەش ئەڭ كۆپ ئۇچراۋاتىدۇ شۇڭلاشقا مەن بۈگۈن مۇشۇ مۇشۇ خىل سوئالنى ئىشلەشنىڭ ئەڭ ئاددىي ئۇسۇلىنى ئېلىپ كەلدىم ھە پايدىلىنىپ قېلىڭلار大根号二十一减去小根号八十。第一步我们看题前面的二十一看错是 a 方加 b 方，后面带格号的八十看错是二 a b。 在 画箭的时候，最重要的是前面这个系数二，带根号的八十没有这个系数二吗？ 那我们把这个数拆成有一个系数二，根号加二十。所以我们 这个题变成了根号加二十一，减去二倍的根号加二十。前面的二十一看作是根号加二十的平方，加一的平方 一的平方。这个时候是答案为根号加二十减一。

好，我们来看一下这个八字根式的一个加减法，它的意思，首先拿到题目括号，根号下二十四，减去括号下零点五，加上二百根号下三分之二，再减去括号，根号下八分之一，减根号六。那么这个题 减二减二字根式加减法，我们首先第一步要写什么东西？减延时等于多少是不是？ 好，那这个题二次根式的加减法，我们第一步是要把所有的二次根式给它化成最减二次根式，那么请问根号下二十四的最减二次根式是多少 多少？二十四个字可以写成四乘六，那四乘六四个字就可以开了，开了多少？二百，最终结果就是二百两百六。好，第一个是多少 减去根号下零点五，二次根式小数跟代分数我们都要给它化成分数，化成分数，那么零点五的分数就是多少，十分之十分之五，我们是二分之一，嗯，二分之一。开灯开了多少 二分之根号二，二分之根号。注意，二分之一，其实我们是可以开开成根号二分之一，但是分母必须要进行有理法，所以最终你是多少 三分之二，二分之根号啊，这个二倍根号下三分之二， 看到没有？首先把你的分数给他看看，看到多少 三分之二，这是三分之根号六，然后前面乘以几啊，所以最终结果就是三分之二倍根号六。好，减去 这个括号，我们可以把它打下来了，省略掉，减去括号这边括号前面是负因子，去括号的时候，括号前面括号里面的每个因子要变成它的相反数。好，根号下八分之一， 我们最多的就是多少四分之根号几，想一下四分之根号几？ 八，可以可以看成二倍根号啊，分之一就是八，就是八分之一，我们可以看成二倍根号二分之一，但是分必须有的话，分子它们同时乘以根号，所以最终就是多少减去四分之根号啊？是不是？ 前面是，这里是正的，是负，同号的正，一号的负，所以这就是负号，这里同号的正，所以加上括号。好，下一个单数。 也可以说用我们以前学过的整式的加减法当中的一个合并同类项来说，还有种方法，也就是什么 合并同二次根式最减二次根式过后。好，我们来看二百根二六，这个叫什么根式？跟这一个叫，跟，这个叫什么根式？ 同类二次根式，同类二次根式。合并的时候只要把它们的因素进行到相加减过后。好，同样的， 这个这个啊，这个这个，这个，第三个是同类二次根式，然后这个和我们这个它又是同类二次根式。好，下面进行合并，合并了多少自己下去合并啊？

这个题咱考试的题目当中也有，是吧？类似的，所以讲这个题，那个题你就会了，讲这一个啊。好了，大家看，这里已知 a 等于二加根三分之一。 好，前面咱已经学习了这种的化简根式的方式，是吧？所以我可以把这个题的什么怎么样就可以化成最简二次根式， 分母乘杠二减根三。哎，二加根三乘二减根三，上面也乘杠 二减根三，好，就等于下面是一。嗯嗯，所以写下来是二减根三啊。好，这是 a 的 取值范围。好，接下来我们来求它，让我们求这个的结果，是不是要给他进行化简来看，化简了等于 好，根号 a 方减二， a 加一。很明显，这个二次根式里边一定满足的是完全平方公式 a 减一括起来的平方，是吧？好，下面呢，我给他一式分解一个 a 乘括号的 a 减一括起来。 好，要接着化简这个二次根式。那 a 减一的符号咱必须得确定了，是吧？ a 的 符号已经确定了，对不对？在这 a 是， 这个，我写一， a 减一，是不是得二减根三，再减个一， 是不是等于一减跟三，嗯，哎，一减跟三一定是怎么样的？小羊两的，那既然小羊我要把它开出来的话，好，开了吧， a 乘二， a 减一，快去了来，它的符号是负，所以开出来应该是 一减一，一减 a， 我 再加一步啊，是不是 a 减一的绝对值啊？好，来，再往后走， a 减一的绝对值，因为 这个是负的，要变成它的相反数，所以就是负的括号里 a 减一过去了，这样的话， a 减一和 a 减一直接约掉，就等于负的 a 分 之一， 负的 a 分 之一。看，这，这是 a 吧，同学吧， a 分 之一是多少？是倒倒过来吧？倒倒过来就是二 加根三吧，倒过来是二加根三吗？所以直接在里边就是负的括号里二加根三，去括号等于负二减根三。

无论 x 取任何实数，代数式都有意义，则 m 的 取值范围是什么啊？代数式有意义，所以这个 x 平方加六， x 加 m 应该怎么样啊？它要大约等于零啊， 也就是无论 m 取什么值，它都要大于等于零。那这个是什么意思呢？换句话说，就是它的这个 x 平方啊，就是无论它，无论 x 取什么值，它都大于等于零。换句话说，把写上去啊，不写意思不对啊。无论 x 取何值， 这个总成立， 对吧？就这个意思啊。那这句话翻译一下什么意思呢？它其实就等于 x 平方加六， x 加 m 的 什么 最小值？因为它永远比零大，所以它的最小值要怎么样啊？大于等于零 啊，所以我们这道题目要求的是什么？求的是 x 平方加六， x 加 m 这个 设置的一个最小值。问题啊，那怎么求啊？配方，配方，所以它就等于 x 平方加六， x 加九，加上 m 减九 啊。就等于 x 加三的平方加上 m 减九啊。所以它的最小值是什么？ m 减九，最小值是 m 减九啊。我们说最小值要怎么样？大于等于零，所以 m 减九要大于等于零， m 大 于等于九 啊，答案就出来了。好吧，所以这这问题是 m 大 于等于九啊。

今天我们要讲的是二次根式的加减乘除，那么我们来看一下二次根式的加减，其实二次根式的加减呢，主要就是合并同类二次根式，所以呢我们这里要给大家讲清楚什么叫同类二次根式。 那我们的同类二次根式呢？就是指把它化为最减二次根式以后，如果他们两个二次根式或者两个以上的二次根式，他的被开方数是相同的话，那他就叫做同类二次根式，那我们才能够进行合并，也就是才能够进行加减的意思。那我们举个例子， 根号下八加上根号二，那你看我们来首先先把它全部化为最减二次根式，那根号八很明显不是最减二次根式，它可以化成什么二倍根号二，那我们的根号二呢？它就是最减二次根式，所以我加上根号二， 那我们看一下它的被开方数，是不是这里面的被开方数是二，这里面的被开方数也是二，所以这两个就是同类二次根式，它就可以进行加减。那么二倍根号二加上根号二，它就等于什么？等于三倍根号二是这样去计算。那么再举个例子，比如说根号三减去根号二，我们该怎么去计算 啊？那我们来看一下，根号三是最减二次根式，根号二也是最减二次根式，但是他的一个被开方数是三，一个被开方数是二， 那么他的被开方数不同，所以他就不是同类二次根式，那么也就是说就不能进行合并，也就不能进行加减，所以我根号三减根号二是 不能再继续算了，所以它就等于什么？它就等于根号三减根号二来，再去费力的去算，它一定等于多少了哈。那么我们接下来讲二次根式的乘法，那它的 法则呢？就是根号 a 乘以根号 b， 它就等于根号下 a 乘以 b。 当然因为二次根式有非复性，所以我的 a 要大于等于 b， 要大于等于等于。举个例子就是根号二乘以根号三，那就可以写成根号下 二。根号二乘以三，可以写成根号下二乘以三，那它就等于多少？等于根号六了啊？那我们的除法，那就是根号 a 除以根号 b， 它可以写成根号下 a 除以 b 啊，当然也有非复性，所以 a 大 于等于 b 要大于零。为什么 b 要大于零呢？因为我的 b 是 在分母上，所以它不能为零。那我们举个例子，就是根号二除以根号三呢？说写成根号下，根据这个运算法则就是三分之二， 那根据我们上个视频里面讲的最减二次根式的标准来说，他就不是最减二次根式，所以我们要把它化为最减二次根式，是不是应该是上下同时乘以三就可以？所以就是最后的答案应该是三分之二乘三六，所以根号六啊。那么这就是我们二次根式的加减乘除，以及一些例题的一个讲解。

好，我们来看第四题，时数 ab 在 数轴上的位置，如图所示啊，化简这个式子啊，化简这个式子啊，大家就牢记这个法则。 还有一个是根号下 a 的 平方等于 a， 这两个是永远是成立的，不看 a 的 这个符号，不看 a 的 符号，这两个成立的情况，不看 a 的 符号的。所以先平方再根号就是绝对值，先平先根号，再平方，直接约掉啊，所以这边都是先平方再根号看到吧，所以都把它先把它变得绝对值， 绝对值 a 加一，加上绝对值， b 减一，减去绝对值， a 减 b 减去绝对值，一减 a 加 b 啊，然后我们可以算一下啊， 这边 a 加一， a 加一， a 加一的话是负的啊，这个是负的，负的话就应该是负的。括号， a 加一， b 减一， b 减一是正的，就加上 b 减一 啊。 a 减 b， a 减 b 是 负的，负的话 a 减 b 的 绝对值对它相反数，所以负的 a 减 b， 本来有个符号变成加号， a 减 b 一 减 a 加 b 一 减 a 是 正的，再加个 b 肯定也是正的，所以这个肯定是正的啊，正的就是一减 a 加 b， 它本身这去绝对值。然后我们可以算一下对负 a 减一 加 b 减一加 a 减 b 减一加 a 减 b 啊，然后就等于 a a a 三个 a， b b b 减 b 负一负一，负一减三就结束了。好吧，这是第四题啊，第四题。

今天给大家讲一个复合二次根式的一个化简，什么叫复合二次根式呢？就是指我的根号里面还有根号，那么就比较复杂的一个二次根式的化简呢，我们叫做复合二次根式的一个化简。那么其实呢，复合二次根式的化简呢，它的依据是我们的完全平方公式，就是差的或者和的 完全平方公式，它等于 a 方加减二 ab 加 b 的 平方。那化简这类题呢，它其实是有套路的，就是我们要先看有理数部分是五，对吧？那它的有理数部分我在这写一下哈，有理数部分呢，就是等于什么？是不是在这个里面是五，那它等于什么呢？它其实等于 a 的 平方加 b 的 平方， 然后它的无理数部分是什么呢？等于二 ab， 那相当于说我们要找到两个数分别的平方加起来等于五，同时让他乘起来应该等多少呢？这两边同时约掉二，是不是同时乘起来等于根号六？ 那么只有什么根号三和根号二这两个恰好我们是这样子的，所以我们就可以找出 a 应该等于根号三， b 等于根号二这样子。那么我们这里就可以写成根号下根号三的平方加上二乘以根号三，再乘以根号二， 然后呢，再加上根号二的平方，大家看一下，根号三的平方三加上根号的平方二，就刚好等于这个五，而二乘以根号三，再乘以根，根号二，刚好是二倍根号六，然后呢，这个刚好是符合我们的完全平方公式的，所以它应该等于根号下 根号三加上根号二括号的完全平方，所以呢，他就等于开放出来，应该就刚好等于根号三加上根号二，那么我们这道题就把它化解出来了。

二次根式的化简你会做吗？这个视频梁老师教大家一道二次根式化简的压轴题。来，咱们看题，若 x 大 于零小于一，那么求这个式子的值是多少？那我们先看根号里边的这一部分， 那么 x 减 x 分 之一的平方再加四，完全平方公式把它展开，就是 x 的 平方减二乘以 x， 再乘 x 分 之一，再加 x 分 之一的平方 再加四。好，那你看这两个约分之后，就是负二加四，负二加四就是二嘛，所以它就变成了 x 的 平方，加 x 分 之一的平方再加二。 好，那你有没有看出来这其实是一个完全平方公式？你看这个二，我是不是可以写成二乘 x 再乘 x 分 之一，对吧？那么它就等于 x 加 x 分 之一的平方， 好，那么同样的做法啊，那这一部分我对它进行化简的话，就是 x 减 x 分 之一的平方。 好了，那你现在来看，那原式变成什么了？是不是等于根号下 x 加 x 分 之一的平方？ 好，那我要对它进行化简，是不要先去根号，那去根号的话，你要先清楚一个公式，就是根号 a 的 平方，它等于谁？等于绝对值 a， 所以 这一部分呢，就是 x 加 x 分 之一的绝对值，那么这一部分呢，就是 x 减 x 分 之一的绝对值。 那接下来是不要去绝对值，要去绝对值的话，就要先判绝对值里边的正负好了。那你看 x 是 大于零小于一的，所以 x 加 x 分 之一，它是一个什么？它是一个正数，对吧？ 那么 x 减 x 分 之一呢？你来看一下，因为 x 大 于零小于一，所以 x 分 之一是它的倒数，它的倒数是不是应该是大于一的？那这一步大家能不能看明白呢？ 我给你举个例子啊，比如说我给 x 取一个二分之一，那么 x 分 之一就是它的倒数，是不是等于二，对吧？所以 x 减 x 分 之一是一个，什么是一个负数？ 好了，那么正数的绝对值是它本身就是 x 加 x 分 之一，那负数的绝对值是它的相反数，它相反数就是 x 分 之一减 x。 好，你看这个的前面是个减号，对吧？所以你这个地方是不要带上括号，那么去括号的话，就是 x 加 x 分 之一，减 x 分 之一，再加 x。 好 了，那么这两项是不是消掉了？ x 加 x 是 二 x， 所以这个式子值是二 x。 那 今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套二次根式必刷八大题型拿去练习，就能轻松解决这类问题。

这是一道二次根式加降次求值的综合题，这道题目呢，有百分之九十的同学没有做出来，就是因为不会对这个代数式进行降次。那咱们来看一下这道题。已知 m 等于根号三减二，求这个代数式的值。 好，那有同学说，我直接把这个 m 给它带入就行，但是你来看一下，这是 m 的 立方，你直接带入的话，这个根号去不掉，并且计算也很麻烦。那我们要解决这道题目的话，不妨从它的已知条件来看， 你看 m 加二就等于根号三。 好，那我想把这根号给它去掉的话怎么办？我给他的左右两边同时平方， 所以 m 加二的平方就等于根三的平方，那么左边展开的话，就是 m 的 平方加四， m 再加四 等于三，所以 m 的 平方就等于负四 m 减一。 好，你看啊，从左到右，是不是把平方向成了一次方，所以这个式子呢，就是一个降次式。好，那我们再来求一下 m 的 立方，你看， m 的 立方就等于 m 平方 乘以 m， 那 我把这儿的平方呢，用负四 m 减一来换，就是负四 m 减一乘以 m， 是 把三次降成了二次。 好，那我把这的 m 立方用负四 m 平方减 m 给它换掉，那么原式等于二倍的负四 m 平方减 m 减八， 就等于负八 m 的 平方减二， m 加八， m 的 平方减四， m 减八。好，你看啊，这负八 m 平方和八 m 平方是不是消了？负二 m 和负四 m 合并是负六 m 负六 m 减八。好了，那么 m 是 根三减二，所以它等于负六倍的根三减二， 再减八，就是负六倍的根号三加四嘛，所以这个式子的值是负六倍的，根号三加四。 那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话再把我整理的这套二次根式必刷的八大题型拿去练习，就能轻松解决这类问题。

同学们好，学数学就找张老师。今天咱们来讲一道二次根式的化简，这道题呢，很多同学容易做错，下面咱们来看这道题。 已知 a 小 于 b， 化解二次根式根号负 a 三次方 b 的 结果是多少？首先咱们写一个减， 因为 a 小 于 b 对 不对？ a 小 于 b， 那 么我们就得分情况来做，咱们先等一会来做啊。然后呢，咱们先看二次根，是根号负的 a， 三次方 b 啊，我们知道负的 a 的 三次方 b 大 于等于零，对不对？所以 a 的 三次方 b 小 于等于零小于等于零，那么 a 和 b 三次方，那么 a 和 b 应该是异号， 对不对？ a 啊，那么第一种情况就是 a 小 于零啊，小于等于零，那么应该小于等于零，他是负的，那么 b 必须是正的，对不对？还有第二种情况，就是 a 大 于等于零， a 大 于等于零了，那么 b 也必须大于零，对不对啊？但是呢，他这小于等于零，所以说不符合题意， 舍去，那么只有做上面这个 a 小 于等于零， b 大 于等于零，我们已经确定了，那么我们就可以化简啊。根号负 a 的 三次方 b 就 等于根号里面负的 a 的 平方乘以 a 乘以 b， 那 么就等于 a 的 绝对值。根号负 a b， 那 么就等于，因为 a 小 于等于零，所以是负 a， 根号负 a， b 啊，你做对了没有？

看这个题怎么化解啊？他给你给的是两个二次根式相加，里边是 x y 的 相关的式子，然后上边给的 x y 的 大小范围。我们来看第一个咋化解，首先把它化成我们手中的公式，这谁 是不是 x 减 y 或平方？第二个写出 x x 加 y 或平方，现在它就属于我们典型的根号下 a， 平方怎么往出开的问题，是不是对根号下 a 平方咋开呢？ 有几种可能性啊？两种？哪两种呢？要分 a 的 正负对不对？对，如果 a 是 大于零的，哎，如果 a 是 小于零的，我们把等于零放上面去， 当你是非负的时候，那你可以说就等于是 a， 你 自己当你是负的，而根据它的非负性，可以说不能为负，那就应该是谁啊？负 a， 所以 这也一样。现在看 x 减 y 到底正的还是负的，你就需要根据， 需要根据上边的条件，所以到这咋写？因为 x 小 于 y 小 于零，所以 x 减 y 能减过吗？ 减不了，啥零， x 减 y 小 于零， x 减 y 小 于零，那 x 加 y 呢？一套讨论上 x 加 y， 啥零？ x 是 负的， y 也是负的，两个负的加起啥零小于零，那就好了。所以上式我往出取，它就等于这个的被开方式是负的 平方，所以他开出去等于等于他本身的前面加个负号，是不是？换句话说，这个开出去等于谁？哎，相当于给他前面加个啥负号，再加上后边开出去 也是给他前面怎么样加负号？为啥前面加负号呢？因为他也是小于 unk 大 于的，所以相当于是这样， 对不对啊？对，那现在看，再画些去括号，第一个负 x 加 y， 第二个去括号，这个直接去掉，这变成谁 减？减 x 加啥？到底啥减 y 减 y 好， 来看负 x 负 x 是 不是负二 x 啊？加 y 减 y 等于多少零？那结果就这一个了，哪个选项 c 好？

打好基础你也可以变得优秀。八下的二十根式的材料题，是我们八下期末常考的二十根式的压轴题，今天我们通过两步轻松解决它。 那在讲解之前呢，我们先要知道它的一个解析的思路，这种题呢就是根号里面再套一个根号，按照正常的算法的话，县级段我们没办法直接进行预算，所以他采取的思路就是要把根号里面这个整体变成一个 完全平方公式的形式啊，也就是说变成根号 a 加 b 括号的平方，或者根号 a 减 b 括号的平方，然后再可以化简成绝对值的形式，再进行化简就可以出来了。那么要变成完全平方公式呢，它的重要的一个点就在于我们中间这个二必须有一个二， 那这样子呢才能好搭配。那比如说我们这里面的话啊，四加二，倍加三，比如说我们要找到这个根号，根号，根号前面是必须要有一个二的。 好，那接下来呢，我们第一步呢，已经保证了这两个他都是有二的。第二步怎么办呢？就是拆解相乘得根号， 那拆解什么呢？就把这个四和这个五拆解开，让它构成一个完全圆公式。那我们怎么入手呢？通常是从根号里面的这个整数入手，而且我们通常是从常规的 这种，哎，比如说两个数相乘等于三入手的，你比如说三，我们通常会想到一乘三等于三，所以这个时候呢，这个四啊就可以拆成多少呢？就是一加三的形式，加上三，加上三 啊，拆解，拆解成这样子呢，我们进一步可以把它变成前面就是一的平方啊，后面就是根号三的平方啊，那这个时候呢，我们就满足了完全平方公式的一个框架，那我们就可以把它直接变成多少呢？然后一加根号三的整体的平方， 然后再把它打开，就变成了一加根号三的绝对值，那去绝对值呢？里面一加根号三是个正数，所以等于它本身，所以这个呢就是一加根号三它的结果。 那第二个呢？已经有二了，所以我们来看这个六六呢，通常我们会想到是二三得六或者一六得六，但是一六呢，相加等于七就不是这个五了，所以二三相加等于五就选择二三。 好，那这个时候呢，我们就可以拆成二，减去二倍的根号六加上三。那这个东西呢，我们又可以变成二呢？变成根号二的平方，减去二倍的根号六，加上根号三的平方，那现在就变成了完全平方公式，就是根号二减根号三的平方 化减就变成了绝对值。那去这个绝对值呢？你会发现根号二减根号三是一个负数啊，所以他的绝对值呢，等于他的相反数。我们交换一下位置，根号三比减去根号二， 那这是前面的这个已经有二的情况，他的难点在于什么样呢？第三问的这种，他前面没有二，没有二，我们要把它变成完全平方公式就没办法，呃，没办法去操作了，那怎么办呢？ 那我们需要给他添加一个二，这个二怎么添加呢？你不能单独给他添加，所以我们要整体添加。怎么整体添加呢？就是我把整体变成二倍，就是他要乘以二就变成八，他也要乘以二，减去二倍的根号十五。 但这个时候就有个问题啊，相当于说我这个整体啊，扩大了两倍，那我这个数就发生了改变，所以我要让他这个式子又不改变，就要把它啊乘回来，把它整体缩小两倍，就前面乘一个二分之一。 好，那接下来呢，我们就可以把它分成两个部分呢，前面就是根号二分之一，后面就是根号八减二倍的根号十五， 那前面这个很好计算，二分之根号二，后面这个呢，你看啊，有二了，有二了之后，我们看十五可以拆成多少呢？三五，十五，这是最常见的，然后三加五又等于八，所以我们立马就可以得到啊，把它拆成三 啊，这也是三减二倍的根号十五加上五，那这个呢，又可以拆成 根号啊，这是根号三的平方，减去二倍的根号十五，加上根号五的平方。 好，那这个啊，这里是减啊，那之后呢，我们就变成完全平方公式了啊，我们写到旁边来，他就等于多少呢？啊？二分之根号二，乘以我们的这个根号三，减根号五的平方，我们可以开一下啊， 那这一个打开的话，就相当于是呃，根号三减根号五的绝对值，那我们是一个负数，打开就是根号五减根号三。 好，那这里乘的就是根号五减根号三，接下来呢，我们就把这个乘到分子上，就是二分之根号五，乘根号二，就是根号十，减去根号二，乘根号三，就是根号六，那这个结果呢，就是这样子了， 所以解决总结一下，解决这种问题呢，第一步我们必须要保证根号前面是有二的，第二步呢就是拆解我们根号里面这个整数，我们往正常的这个乘法去 去去拆啊，人六二三得六五呢？三五十五，那它相加呢？要等于前面这个数，然后再把它变成完全平方公式开出来计算就可以了。