鲁教版反比例函数ppt

反比例函数双曲线待定只需一个点， k 的 正负是关键，决定系数的关键 正 k 落在一、三线， x 增大， y 再减负。 k 落在二、四线， y 是 x 再增减。图像上面任意点矩形面积都不变，对称轴是小分线， x， y 的 顺序可交换，你学会了吗？

上课，同学们好！老师好，请坐！ 同学们，我们在初二学习函数的时候，从实性问题出发，抽象出函数模型。现在让我们一起来回顾一下函数的相关概念。首先，我们学习了函数的定义。谁还记得函数的定义是什么？ 好，请念！函数的定义是在某个变化的过程中，有两个变量， x 和 y。 对 于变量 x 的 每一个值， 变量 y 都有唯一的值与它对应。嗯，且非常牢固。嗯，接着说，那我知道 y 是 x 的 函数，其中 x 是 四变量， y 是 因变量。嗯，这回请做。那这里要注意，对于 x 的 每一个值， y 都有唯一的值和它相对应。接着，我们学习了函数的表示方法有哪些？ what？ 你 先说有关键式法，图像法的列表非常清楚，请做有关系式法、列表法以及图像法。通过这三把钥匙解锁了函数的奥秘。 接着，我们学习了什么函数？一一一次函数后，我们理解了一次函数。那同学们，你还记得我们在学习一次函数的时候又是按照什么路径进行研究的呢？ 好坐好，学习了一次函数的定义，然后学习了一次函数的图像性质，学习了一次函数的应用。对，请坐，同学们，我们从实际问题出发，抽象出一次函数模型，将实际情境转化成数学语言。 接着呢，我们遵循由数到形的这一认知规律。我们系统的来探讨了依次函数的图像与性质。将抽象的依次函数概念在依次函数的图像当中进行化， 由此我们将数与形紧密相连。在此基础上，我们拓展了依次函数的应用边界，以依次函数的图像与性质为核心工具， 我们深度探讨了一元一次方程的解、一元一次不等式的解集以及二元一次方程组的解和图像之间的内在联系， 深度剖析了这几者在数学本质上的内在联系，以及他们的通信和转化关系。最后，我们回归实际问题，将学过的一次函数知识来解决生活当中的实际问题， 完成了我们从问题抽象到知识建构到实际应用的完整闭关。希望同学们能类比依次函数的学习路径，更好地掌握本节课的知识。 同学们，二零二五年九月三日是中国人民抗日战争暨世界反法希斯战争胜利八十周年，这天在天安门广场举行了盛大的阅兵仪式。现在让我们跟随士兵一起重温精彩瞬间， 向前向前向前！ 听党指挥，敢打全胜，作风优良，团结必胜！团结必胜！团结必胜！ 同学们，看完视频你有什么感想？高田毅，你来说看完这个九三大阅兵呢，我就觉得这个很激动，而且这个现场的画面也非常的震撼。 呃，里面有整齐的步伐，也有先进的装备，然后这，这就体现了我们祖国今天的和平与强盛，然后这份和平与强盛也是来之不易的，所以我们要牢记历史，珍惜现在。呃，我们也要好好学习，为祖国的未来贡献出自己的一份力量。嗯，好，请坐！ 是啊，这一天是一个特殊的日子，历史不能被遗忘，我们现在的美好生活都是我们革命先辈们用热血以及他们的生命为我们拼搏而来的。少年强则中国强，希望同学们从现在开始学好本领，将来为我们祖国贡献出自己的一份力量。 其实在阅兵现场也隐藏着许多的数学知识，现在让我们切换成数学视角来看阅兵，看看数学和家国情怀又能触碰出怎样的火花呢？ 现在呀，让我们来玩一个小游戏，问题驱动呢，会出现五个问题，每个音频结束之后呢？同学们想好就站起来直接回答，回答出来，美人加两颗星，准备好了吗？准备好了。问题 第一，迎面走来的是徒步方队，徒步方队的行进速度为八十四米每分钟，受方队行进的时间为 x 分 钟路程为 y 米。你能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ y 等于 x， x 特别好听，做 y 等于八十四 x。 问题二，已知空中梯队起飞地点距离天安门城楼距离十五千米。如果军机的速度为 x k f h， 到天安门城楼所需的飞行时间为 y h， 你 能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ 返回 x 十五，好，请坐。那刘瑞祥，你是怎么想的？呃，因，因为他的时间时间等于路程除以速度，所以说 y 等于路程是十五千米，然后除以速度是 x， 所以 y 就 等于 x。 乘十五列了一个括号算式好，请坐。 三问题三，装备方队距离天安门城楼的距离为一点六千米，已知中甲车的速度为十千米每小时，设中甲车行驶之间为 x h， 中甲车距离天安门城楼的距离为 y k m。 你 能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ y 等于 x 等于 x 减十 x， 嗯，有两个声音好，请坐。有的人说一点六减十 x， 或者说是负十 x 加一点六都是正确的。好，问题四， 问题四，摄影师要给天安门广场阅兵观礼台观众拍照。已知观礼台每各方块区域可容纳七百人，每排人数相同，设每排人数为 x， 人排数为 y 排。你能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ y 的 y 才是七百，声音很统一，请坐 y 的是好。最后一个 问题五，察机沿线有一个周长为五十米的长方形花坛，设宽为 x 米，花坛面积为 y 平方米。你能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ 头有两个声音好，请坐好。其实这题呢，我们可以首先列出 x 乘二十五减 x， 最后把它展开， y 等于负 x， 方加二十五 x。 同学们的反应都很迅速，那现在呢？请同学们结合刚才我们得到的这五个式子思考下面这两个问题，完成在你的答卷上， 很多同学也已经会讲完了。好，第一个同学，第一个来思考一下，结合函数定义思考 y 是 x 的 函数吗？为什么 有人讲 y， y 是 x 的 函数？因为在这个式，在这个等式中有 x， y 两个变，两个位置，两个变量，然后 对于 x， y 都有唯一的值与它对应。嗯，紧扣 x 定义，对于 x 的 每一个值， y 都有唯一的值和它相对应。好，请坐。那第二个，你能利用所学知识对上述关系进行分类吗？ 好几页，我觉得可以把第一个和第三个分为一类，然后把第二个和第四个分为一类，第五个单独一类，你是怎么想的？第一个和第三个，第一个是正比例函数，第三个是。呃，依次函数，他们两个都属于依次函数。 嗯，二，第二个和第四个都是呃。字面 x 在 分母上是一个除法算式就是分式。然后第五个是 x 的， x 的 最高次项为二，次项是一个二次。嗯，它是通过字面 x 的 指数来进行区分的。能不能尝试给圈五进行命名？ 我觉得圈五应该命名为二次函数啊。请做根据指数也可以给它命名一个二次函数。那对于刚才出现的二次这种形。

初三，反比例函数里边有这样一种题型，就是和一次函数综合，根据函数图像来判断范围的问题，这几乎是必考题型 啊。然后在这必考题型里，这个是非常难的一种题型，带绝对值的来解决这类题，专门有一种方法，就图像法就可以秒掉这类题。一次函数 y 等于负 x 加四啊，这是一次函数 y 等于负 x 加四。好，现在又来个反比函数 y 等于负的 x 分 之五，反比例函数 y 等于负的 x 分 之五。然后问这不等式，它大于它的值啊，它大于它的解集为多少？ 有人没搞清楚，说前面这个负 x 加四的绝对值大于它，有的人还想去绝对值然后算呢，不是这么做的，你看这里的负 x 加四啊，负 x 加四是不是就是这个 y 啊？ 负 x 加四就是这个 y， 然后啊，然后那不就是一次函数 y 值进行了绝对值吗？相对把 y 进行绝对值。什么意思？ 大于等于零，绝对值之后的结果大于等于零，所以他最终的图像要的是什么呢？这个大于零这部分肯定要 一直到这，哎，就要折上去了，就要折上去了，来，把这个拐弯就要折上去了。注意啊，原来下面这负的因为加了绝对值就要把它翻折上去，所以真正的啊，我们应该是红色的部分， 哎，红色这部分，这是它的最后的图像，那现在它要大于，它的意思就是它的函数图像在上面， 它的函数图像在下面，反比例函数图像在下面。主要函数值大的图像在上面，或者图像在上面，函数值大，图像在下面，函数值小。好，这反比例函数它不就是 y 等于它吗？和 y 等于它的问题吗？ 好，那他在上面哪一部分是在反比例函数图像上面来看这，这有个焦点这有个焦点。反比例函数图像如果在上面， 注意啊，这个直线图像在上面，反比例函数图像在下面，那说明这一段 对不对？说明的是这一段他在他的上面，叫他在他的上面，能跟上吗？啊？他在他的上面来 看这啊，所以对应的值 a 点，比如说这 a 点的坐标是多少呢？ a 点是负一， a 点是负一。来来来啊， a 点是负一，这 a 点怎么来的？完全可以解方程解出来。负 x 加四等于负的 x 分 之五， 然后同时啊，这个先乘以负一吧，就 x 减四等于 x 分 之五，把 x 乘过来， x 方减四， x 减五得零。十字相乘法， 交叉相乘再相加，正好负四 x， 那 就是 x 加一乘以 x 减五得零，然后一个是负一，一个是五啊，一个是负一，一个是五， 一个负一，一个是五，好了，这个焦点就是负一，对吧？焦点负一，然后这个焦点。注意啊，这个焦点是五，但这块是什么呀？这个焦点是 直线和 x 的 焦点，先不用着急求它，我最起码知道当 x 小 于负一时， 这个图像直线在双曲线的什么呀？直，现在双曲线的上边小一负一的时候啊？直，现在双曲线的上面。好，我们再看啊，我们再看啊，直线在双曲线的上面 来，我们再看。还有哪一部分直线在双曲线上面看，这从外轴右侧这直线再加这直线 在这双曲线的什么呀？上面右侧啊，这直线，这直线在这双曲线的上面，所以这块是零，那么整个对应的答案是 x 大 于零， x 小 于负一或 x 大 于零这两部分拿下答案选的是第二个啊，选第二个还是非常有难度的，通过看图像， 首先带个绝对值，就把它翻到上面去，然后又大于它，说明它的图像底在双曲线上面，你这双曲线这不在下面吗？这个整个都在它上面，听懂了吧？来点赞收藏分享一下。

它的一些性质，那我们还可以从什么角度去研究函数的性质呢？图像很好，那今天我们就一起来探究反比例函数的图像与性质， 它的图像是怎样的呢？ 我们观察反比函数表达式， y 等于 x 分 之 k， 那 么 x 它作为分母，它肯定是不能取，它的取值可能是不能为零的，那么在表达的图像上，那它应该它的它就应该和 y 轴是相等的，那么同理， k 不 等于零， x 也不等于零，那么 y 也不等于零， 那么是不是图像它是不是也和 s 轴也是相等的呢？这个应该是可以去证明的。 呃，我发现反比 d 函数 y 等于 x 分 之 k， k 是 不等零的，那么 k 的 取值应该就是 k 大 于零，或者是 k 小 于零， 所以当 k 大 于零的时候呢？ x， y 的 乘积大于零，当 k 小 于零时， x， y 的 乘积也小于零，所以我猜测这个反比 d 函数的图像 y 等于 x 分 之 k， 它在平面直角坐标系内的位置可能与 k 的 取值有关。 两位同学不仅提出了猜想，还给出了依据，他们说的对吗？那你能画出他的图像吗？ 可以可以，可以不可以 啊？能画出图像吗？不可以，那不能的原因是，哈哈哈，对吧？啊，那在这里面我们说 k 不 等于零，那 k 可以 取哪些值呢？ 很好，是不是 k 的 取值是可正可负的，对吧？那为了便于研究，我们先共同来看反比例函数 y 等于 x 分 之四的图像，那它的图像又怎么画呢？ 列表描点连线， 你认为在列表时候 x 如何取值呢？张一翔， 嗯，我认为在列表的时候呢，我们首先要注意这个 x 的 范围要比较完整，首先要分为两类，第一类是 x 大 于零的部分和 x 小 于零的部分，其次要考虑到，嗯，便于便于计算的原因，所以我们可以一些较较好为计算的，比如说四 四的因素之类的数据。其次，我认为，呃，为了使这个图像更加完，更更加完整，画出来可能会更加连续一些，我们可能要多取一些点。其次我觉得还可以再取一些这个比较特特殊的，比如说 无理数之之类的，来来进一步验证我们的同意吗？同意吗？同意，同意。那他刚提到了哪些？我们先回顾一下，说有点多，第一点他提到了取到取证上，第二点提到提到的是 四的一四的一个整数。啊，那其实目的是为了方便我们去计算，还有秒演。好，那还有呢，是吧？好啊， 小杰。呃，因为那个啥要便于这个画出方便还是外的 x 分 之四，所以就应该取一些 在这个网格点上的一些作文，所以群里说话太难划了，我觉得不应该群里说，那你会取哪些书？呃，比如说负八，负四，负二，负一，然后负二分之一，二分之一，一二四八。 好，那我们现在呢，请同学们自己来完成表格，并尝试画出它的图像。 好，下面华文同学同桌两人可以先相互交流一下啊，看看你们画的像。 哎呀 啊， 好，我们一起来看一下。黑板上两位同学也完成了画图，老师也收集了一些同学们画的图像，我们一起来看一下，仔细观察，你有什么发现呢？ 来，你说。嗯，我认为就是，比如说看他的最后一幅图，最后一幅图他相当于在这幅图上只交了三个点，这三个点可能我认为不怎么能体现这个函数的一整条线的普遍性，而且可能假设这个函数后面有变化的话，他也没有体现出来， 所以我认为他这个人是不怎么正确。有点，嗯，是有点错误啊，有点错误，因为没有体现后面的变化，是吧？ 啊？那你认为他应该是什么样的？嗯，我认为他应该就是再多取几个点，烤蒜的几个点，然后取出来之后将整个盐一连起来，不要停在就是他取的最后一个点上去延长出来，因为他是一个相当于其实是一个无限长的一个过程。说的好不好，好，非常好啊，掌声送给他啊。 好，来，你说。比如说在呃，二二和一四这两这两个点它连的这个线段里面取上一个这个它俩之间的中点嘛，就是二分之三三， 然后我们发现二分之三三呃，它并不符合 y 等于四比 x 这个呃表达式，所以其实它这个画的应该是错的， 然后我们可以用多画一些点，然后才就证明他的这个呃形状是一个平滑曲线，非常好。来，请坐，他刚提到了，之所以这位同学这样连接，是因为我们目前取的点不够多，对吧？好，那我们借助几何画板来看一下， 刚开始我和大家一样也是取了这些整数点， 然后呢，在每两个点之间不断的取点， 现在我们是不是能看出来图像的一个趋势，对吧？好，那让 x 呢？不间断的去取值，我们会发现这个时候 x 取了无数多个值，那对应在图像上就有 无数个点，而这些密密麻麻的点构成了反比例函数 y 等于 x 分 之四的图像，对吧？那通过几何画本的演示，我们发现它的图像确实是刚才同学所说的，在连线时应该用 平滑的曲线，应该用光滑的曲线去连接，那 x 大 于零是这样的， x 小 于零呢？也是这样类似的，对吧？啊，所以黑晚上两位同学是用曲线去连接的，非常好。还有没有想说的 让一下。呃，就是我是看到这个第一幅图，它其实是图像跟 x 轴和 y 轴都是有交点的，但是刚才我们在那个反比例函数的表达式中已经分析出来了这个反比例函数，它的 x 和 y 都不能等平， 所以如果画成图像的话，就说明图像跟 x 轴和 y 轴都没有交点，所以这个反比例函数的图像应该是无限趋近于 x 轴和 y 轴，但是不会相交，非常好。来，请坐。那怎么去理解无限趋近呢？ 为什么会无限趋近？那这个图呢？ 来，你红钱。呃呃，就是我看这个图就是他的在第一下线里面，他 那个过了点以后，他那个函数的那个曲线有点向上弯了，就是，呃，结果我刚才在几个弯弯中看到的图像，我认为他这个有点不太不太符合。因为你如果是向上弯的话，那我是不是可以认为你这个函数的图像应该也是在往后继续向上弯，所以我觉得他这个是有问题的。 然后呢，我觉得应该修改成那个点出头的那一部分，应该是趋近于 x 轴，而不是离 x 轴越来越远。很好，你是通过观察几何画板的演示，对不对？好，很好，那我们还可以怎么去说明呢？ 说明就是我们知道这个反比例函数，它的解析式应该是 y 等于 x 分 之 k， 然后所以我们可以对它进行变形，就是 x， y 等于四， 然后它的 x y 乘积是一定的，所以当 x 减小的时候， y 必须要增大才能是保持四，然后 y 增大的时候， x 必须要减小才能保持四， 然后所以它这个图像它是 y 增大了，但是 x 也跟着一起增大了，它就不符合乘积是四了， 能理解吗？能，好，那也就是说从视的角度，还有我们几何画板的演示，我们都能发现它不仅和坐标轴不相交，在它变化趋势的过程中，应该是 越来越接近，接近，接近三十四，应该接近坐标轴的，对吧？啊，那其实黑板上两位同学已经画的很标准了啊，那我们来看， 在连线时，需要大家用光滑的曲线连接，那观察这个图像，你有什么发现呢？ three， 呃， k 大 于零的时候，反比列的反比列函数是由呃，两条光滑的曲线组成的， 我们说它是由两支光滑的曲线组成，对吧？因此我们说 y 等于 x 分 之四的图像就是 x 线。对， 好，还有什么发现呢？董晨，呃，可以发现这个 y 等于 x 分 之，这个图像过一三相切， 一定在一三相线吗？呃，一定，因为。呃， x y y 等于 x 分 之四，可以写成 x， y 等于 x 乘 y 等于四，然后所以说明 x y 是 同正，或就是他们同号，所以他们他他他这个象限应该就在一三象限， 能理解吗？我们发现他的象限一定分布在一三象限，很好啊，还有什么发现呢？ 来，陶思远，我发现两条曲线关于圆点的对称啊。理由，呃，因为，因为，呃，当在取值的时候，当取 呃负八的时候， y 值是负二分之一，当 x 取到 x 正半轴的时候，取的值是负，取的值是八， y 的 值就取到二分之一，发现他们是相反数， 所以在图像上是关于原点对称的。说的很好，他是通过表格去观察到了图像，对吧？那表格毕竟是有限的，是不是？那只取了这一个能说明所有的问题吗？那还可以怎么去理解 好？那对字眼你来说，呃，我觉得可就可以设，就是其中的一个点是 x， y， 之后它关于原点中心对称后的点就是负 x 负 y， 然后负 x 负 y， 它也是在这个 图像上的，就是他的成绩都等于四啊。是因为 负 x 乘负 y 等于 x 乘 y， 就是 都等于 k 等于四，所以他们都是在这个图像上，所以他们，所以这个图像的两条曲线就是关于 与圆点中心对称，能理解吗？能好，所以我们说反比函数 y 等于 x 分 之四，它是一个中心对称中心，而它的对称中心是圆点。 好，还有什么发现吗？雷志，通过这个图像，我猜测它应该是个轴对称图形。 咱们先看这个表格，这个表格中点一四和点四一都在这个图像上，然后他们刚好是红绿标调换一个位置，所以我猜测他这两个点应该关于 y 的 x 对 称， 所以他这个图像应该也是关于 y 的 x 对 称。然后再看这个表格，点复四负一和点一四，他也同时在这个反比还是图像上， 然后它这两个点不仅仅是红色标调换了个位置，它变成各自相反数，所以我就猜测它这两个点应该是关于 red and fx 的， 所以它这个图像应该也是关于 red and fx 的， 所以我认为这个图像是个轴对称图形，它对称轴应该是 y 等于 x 和 y 等于负 x， 你 们有这样的发现吗？也许有，那还可以怎么去说明它的轴对称性呢？ 魏子啊，我们可以把这个呃反比例函数的图像给它描在这张纸上，然后描在这张纸上之后呢，我们就可以把它对折一下，因为对折之后，如果它 轴对称的定义就是如果一个图形对对折之后能够完全重合，它就轴对称图形，那你上来给大家演示一下。 然后呢，这就是刚描出来的那个反比例函数的图像，然后这两条铅笔画的线就是 y 等于 x 和 y 等于 f， 但是这个头到上面是反的，应该没什么关系。 然后呢，先沿着这个就是我手里的 y 等于 x 对 折，然后。

今天我们一起来学习中考一对一的一个专项培优的一个题目，是关于反比例函数的一道中考真题。呃，如图，我们的点 a 是 在反比例函数 y 等于 x 分 之四的图像上， b 在 另一个反比例函数图像上是 y 等于负的 x 分 之二。 呃，剩下的就是连接，这有个条件，若 o a 和我们的 b o 是 垂直的， 我们认真的把每个条件分析一下，因为中考它是相对比较综合一点。呃，第一个就是反比例函数啊，我们遇到反比例函数，呃，一个就是它的一些图像性质，我们要知道还有一个就是我们的什么反比例函数配的绝对值的几何意义？ k 的 绝对值的几和 e， 它是不是代表的是我们反面函数的上的点分别做 x 轴， y 轴的垂线得到的这个矩形的面积，对不对？当然了，我们也要知道，二分之 k 的 绝对值代表的是，比如说过点 b 做 y 轴的垂线，然后呢，怎么样 再连接我们的 o b 得到的这个是小三角形的面积，对不对？好，呃，这是我们要注意的，一个是小三角形的面积是二分之 k 的 绝对值， 这是一个。呃，第二个就是我们这出现了一个什么呢？很特殊的角，是直角啊，我们做题做多了，一定要有这样一个意识，出现直角， 然后我们这个题目又是在一个直角坐标系里头，所以这个辅助线到底出现点 a， 点 b 辅助线到底应该怎么做呢？优先要想到有可能会用到我们的什么呢？ 一线三直角，很明显它这条线上中间出现了一个直角，对不对？那我们就要优先想辅助线有可能要过点 b 做 y 轴的垂线，过点 a 做 y 轴的垂线， 呃，交于一点，这交于一点 c， 这交于一点 d 做垂线。呃，那它的依据有两个，一个就是我们的一线三直角，另外一个就是我们刚刚说的，它不是刚刚好会得到一个 obd 这个三角形的面积吗？对不对？以及什么呢？ aoc， 这个三角形的面积一定是可以知道的，我们稍微写一下， 其实就是三角形 b o d 的 面积，它是不是就是二分之一的什么呢？呃，负二的绝对值得到的就是一。那另外一个三角形 a o c， 它是不是就是二分之一四的绝对值得到的就是二？好，这两个部分面积是知道的。 呃，那根据一线三直角的话，我们是不是也能得到这两个三角形什么呢？我们的 d o b 一定相似于三角形什么呢？ c o a 啊，这是比较容易得到的。但是怎么来证明呢？比如说我们这有一个角，我们标一下， 这有一个角一，好，这有一个角二，然后这边有一个角三，那我们很明显知道就是角一加角二等于九十度，角二加角三又等于九十度，那么必然就能得到一个结论，是不是 角一等于角三，所以它们相似，对吧？好，呃，那看一下问题啊，问题他说现在要求 tan 这个角什么呢？ b a o， 那 他的正切值 b a o 这个角的正切值不就是我们的对边比零边，也就是 o b 比 o a 吗？对不对？呃，通过我们刚才分析了一通， 这里要求的这个正切值不刚刚好就是我们这两个相似三角形的一个对应边的比吗？对不对？呃，当然 o、 b 和 o a 的 比值 结合我们这个题里头是不是出现两个什么三角形的面积？当然我们这里还需要知道的就是我们的两个相似三角形，它们的面积比应该等于相似比的平方，这个千万不能错。好，大概我们就可以有一个思路，现在就是怎么样能把这个过程来写一下， 正着写一遍其实就可以了。首先我们需要做的辅助线就是过点 a， 做我们的 a、 c 垂直 y 轴，简单的写一下，然后，嗯，过点 b， 嗯，做我们的什么 b、 d 垂直 y 轴。好，呃，那接下来我们是不是，嗯，可以得到我们的这个？呃，两个角就等于九十度 角，嗯， d、 d、 o 是 不是等于角 a、 c、 o。 当然同时角 a、 o、 b 是 不是都等于九十度，对不对？所以能得到角一 加角二是不是等于角二加角三，所以角一就等于角三结合九十度，所以这两个三角形 d、 b、 o 就 相似于三角形 c、 o、 a 用的是两角对应相等，两个三角形相似，那当然我们说了，呃，想要它们的对应边的笔是不是由它们的 面积来得到的，对不对？所以我们先把它的面积来单独写出来。又因为我们的三角形 b、 o、 d， 它是不是等于什么呢？二分之一 k 的 绝对值九十一，然后三角形 a、 o、 c， 它的面积等于二分之四的绝对值九十二， 那我们是不是就能得到这两个三角形相似，所以就能得到什么呢？它的对应边的比一， 嗯，的平方就等于相似比一，所以三角形 d o d b o b o b 一个意思，比上三角形 a、 o c， 它就应该等于我们的什么 o b， 比上 o a 的 平方，那得到的不就是我们的 o b b o a 刚刚好就是等于什么 根号下我们的一比二，对不对？稍微化解一下就是我们的什么二分之根号二，那自然我们的什么要问的 ten 角 b a o 不 就刚刚好是我们的二分之根号二吗？ 呃，相对来说这个题还是比较综合一点啊，所以我们在中考一定要具备的就是一个，呃，综合应用的一个能力。那后续如果我们有需要一对一的可以私信了解，主要涉及到三个部分，就是一个基础的查漏补缺。第二就是类似的一些综合题的一个专项的培优。 嗯，把一些元二次函数啊，特殊的平行四边形相似分板块来练习。第三，我们随时在晚上十二点以前，呃，有什么问题的话可以随时进行一个答疑。那有需要我们可以私信了解。

看到反比例函数加面积，很多同学就慌了，又是公式又是坐标，算到最后还容易出错。掌握反比例函数 k 的 几何意义，面积压轴直接口算，数学考试省十分钟的秘密，今天西西老师带你揭晓。大家首先看到下面这张图， 反比例函数 y 等于 x， 分 之 k 上随便取一个点 p 过 p 向 x 轴， y 轴分别做垂线， 垂足为 a 和 b， 这样就围成了一个矩形 o a p b。 那 我们来算一下这个矩形的面积。矩形的面积公式是长乘宽，那么长就是点 p， 横坐标的绝对值， 宽就是纵坐标的绝对值。所以面积 s 就 等于 x 的 绝对值，乘 y 的 绝对值等于 x， y 的 绝对值。 而点 p 在 反比例函数上满足 y 等于 x 等于 k， 变形下就是 x 乘 y 等于 k， 带入进去 s 就 等于 k 的 绝对值了。也就是说，不管你在反比例函数的哪一支上取点，只要过这个点，向坐标轴做垂线围成的矩形面积永远等于 k 的 绝对值。哪怕你取 p 二 p 三面积也都是一样的， 都是 k 的 绝对值。同样取点 p 指向 x 轴做垂线，垂足标为 a， 连接圆点 o 和 p 形成的直角三角形 o a p 的 这个三角形面积该怎么算呢？ 底是 o， a 等于 x 的 绝对值，高是 pa 等于 y 的 绝对值。三角形的面积公式是二分之一的底乘高，也就是 s 等于二分之一的 x 绝对值，乘 y 的 绝对值等于二分之 k 的 绝对值。 大家看他正好是刚才矩形面积的一半。所以结论也很简单，从反比例函数上任意取一点，向 x 轴或 y 轴做垂线， 连接圆点形成的三角形面积永远等于二分之一 k 的 绝对值。这两个基础结论大家一定要刻进脑子里，这是后面所有变形题的万能钥匙。掌握了基础题型，我们来看他的两个高频变形题，也是考试里最喜欢考的压轴题型。 先看这张图，点 a、 b， 在 同一个反比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 同一之上连接 o、 a、 o、 b、 a、 b。 求三角形 a、 o、 b 的 面积。像这样的三角形，我们把它叫做圆点三角形。 很多同学一看到这个题就懵了，不知道怎么下手，直接记住一句话，轻松搞定！圆点三角形的面积等于重加横减除以二， 这个公式是怎么来的呢？其实我们可以用割补法把它转化成我们熟悉的梯形面积。 过点 ab， 分 别向 x 轴做垂线，垂足是 m、 n， 这样我们就得到了梯形 a、 b、 n、 m。 大家看三角形 a、 o、 b 的 面积等于四边形 a、 o、 n、 b 的 面积，减三角形 o、 b、 n 的 面积， 而四边形 a、 o、 n、 b 的 面积等于三角形 a、 o、 m 的 面积。加梯形 a、 b、 n、 m 的 面积等于二分之一 k 的 绝对值，而三角形 o、 b、 n 的 面积也等于二分之一 k 的 绝对值。这两个三角形的面积是相等的，所以它们俩相减就抵消了。 最后得到三角形 a、 o、 b 的 面积就等于梯形 a、 d、 n、 m 的 面积。而梯形的面积公式是上底加下底的和乘高除以二。 上底和下底分别是 a、 m 和 b、 n 分 别是 ab 两点重坐标的绝对值，高 m、 n 就是 ab 两点横坐标的差。 所以口诀，圆点三角形的面积就等于重加横减除以二。也就是说，同一条双曲线同侧上两点与圆点构成的三角形面积等于这两点向 x 轴做垂线形成的梯形的面积。 这个结论能帮我们快速秒杀这类 k、 o。 再看下面这张图， ab 两点分别在两条不同的反比例函数 y 等于 x 分 之 k 一 和 y 等于 x 分 之 k 二上连接 o、 a、 o、 b、 ab。 求三角形 a、 o、 b 的 面积。 这里我们可以直接用刚才的基础模型来算过， a、 b 向 x 轴做垂线垂足，在同一条直线上形成两个直角，三角形 a、 o、 b 的 面积等于三角形 o、 b、 n 的 面积。减，三角形 o、 a、 n 的 面积等于二分之一 k 二的绝对值。三角形 o、 a、 n 的 面积等于二分之一 k 一 的绝对值。 所以三角形 a、 o、 b 的 面积等于二分之一 k 二的绝对值，减 k 一 的绝对值的差。今天我们学会了反比例函数 k 的 几何意义，核心就是一句话，面积永远与 k 的 绝对值挂钩， 别再死记硬背公式，数学真的有捷径！掌握 k 的 几何意义！反比例函数面积题就是送分题，每天一个小技巧考试，多拿十分不是梦！关注我，带你轻松搞定初中数学，拜拜！

今天要分享的是学霸笔记初中数学乳教版五四至九年级上册教学课间。 这是一套精心设计的教学课间，覆盖九年级上册全部内容，包含反比例函数、直角、三角形的边角关系、二次函数投影与仕图等章节，每课时都有详细课间，适合教师备课使用， 学生也能轻松掌握重点。现在看到的这份资料是初中数学主教版课间，内容聚焦二次函数，详细解析图像与性质，适合九年级上册使用，资源丰富且实用，教学辅助效果显著。

就是这两个变量 x 和 y 的 成绩是 开的，四个垒一定要看好，一错点一， 眼睛一错点二，把反比例函数和正比例函数搞混，记住，正比例函数、自变量指数 一错点三，以为只要分母在下面， 一体完全符合，一般是分母 式。图像落在第一和第三项线 在占屏幕上，小红点的滑动随着 x 的 增大，也就是往右走，小红点是再往下掉的，也就是说在 x 的 整体也就是 k 减二。所以我们列出不等式 k， 搞懂了图像核心至到了考场上，我们最常遇到的实战题型就是求解析。 算 k 的 时候符号丢了，或者符号算反了。现在我们来看经典立体六，已知图像经过点二负三求解析。 遇到这种题不要慌，跟着箭头分两步走，第一步，先求出解析式，是我们 自己二，所以解析式就是 y 等于负的 x 分 二。第二步，把新的字变量 x 等于六，代入这个钢球出来的解析式不是二除以六。

大家好，我是夏梦老师，今天我们要学习的是反比例函数。 当杂技演员表演滚滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗。但有人却说，钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么呢？ 我们这节课的目标，理解并掌握反比例函数的概念。二、能判断一个给定的函数是否为含反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。 三、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。体会函数的模型思想。 知识点一、反比例函数的定义下列问题中变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式。 一、京沪线铁路全程为一千四百六十三千米，某次列车的平均速度为单位千米每时，随此次列车的全程运行时间 t 单位小时的变化而变化， 也就是 v 等于 t 分 之一千四百六十三。二、某住宅小区要种植一块面积为一千平方米的矩形草坪， 草坪的长 y 单位米随宽 x 单位米的变化而变化，此时 x， y 的 积为一千，那么 y 就 等于 x 分 之一千， x 不 等于零。 三、已知北京市的总面积为一点六八乘十的四次方平方千米，人均占有面积为 s 单位 平方千米，每人随全市总人口 n 单位人的变化而变化，此时 s 等于 n 分 之一点六八乘十的四次方。观察这三个函数解析式有什么共同点， 我们会发现这三个解析式都是 y 等于 x 分 之 k 的 形式，其中 k 是 非零常数一般的 形如 y， y 等于 k 分， x 分 之 k 为常数， k 不 等于零的函数叫做反比例函数。其中 x 是 自变量， y 是 函数。 第一，思考 x 的 取值范围是多少，因为 x 作为分母，所以不能为零，因此自变量 x 的 取值范围是所有非零时数。二、在实际问题中，自变量 x 的 取值范围是多少？ 这个呢，就要根据具体的情况来确定了。例如在前面得到的第二个解析式， y 等于 x 分 之一千， x 的 取值范围是 x 大 于零，且当 x 取每一个确定的值时， y 都有唯一的确定的值，与其对应。 三、形容 y 等于 k， x 的 负一次方。 k 不 等于零的式子是反比例函数吗？形容 x， y 等于 k， k 不 等于零呢？ 注意反比例函数的三种表达式， k 不 等于零就是 y 等于 x， 分 之 k， y 等于 k， x 的 负一次方和 x， y 等于 k。 巩固练习，下列函数中哪些是反比例函数，并写并指出相应的 k 值，第一个是的， 第二个不是。第三个是的，第四个不是。第五个是的，第六个是的，第七个 是的， k 等于二分之三。所以呢，我们只需要紧扣概念，就是形容 y 等于 k， x 的 负一次方。 k 不 等于零的式子就是反比例函数，且反比例函数的三种表达式都可以，我们只需要抓住 k， k 不 等于零即可。 巩固练习，在下列函数中， y 是 x 的 反比例函数的有很明显啊，这个就是 c 考点，利用反比例函数的定义，求字母的值，已知函数 y 等于好，这一串我就不念了，是反比例函数，求 m 的 值。那此时 由于根据题意可知这个函数是反比例函数，那么我们能得到的是二 m 的 平方加三， m 减三等于负一，且二 m 的 平方加 m 减一不等于零，然后我们解出来即可。 已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程组求解即可。如本题中的 x 的 次数为负一，且系数不等于零，解的 m 等于负二。 好，这个巩固练习大家自己可以念一下，我就不讲了。考点二，用待定系数法求反比例函数的解析式。已知 y 是 x 的 反比例函数，且当 x 等于二十， y 等于六。 一，写出关于 y， 关于 x 的 函数的解析式。二，当 x 等于四时，求 y 的 值。好，我们可以用待定系数法做，所以设 y 等于 x， 分 之 k， 接着把二和 x 等于二， y 等于六，带入上式，能求出 k 的 值就是 十二。接着把 x 等于四，带入，能算出来 y 就是 四分之十二等于三。 最后来总结一下用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤。首先我们要设既设所求的反比例函数的解析式为， y 等于 x 分 之 k， k 不 等于零。二、待 既，将已知条件中对应的 x， y 值带入 y 等于 x， 分 之 k 中，得到关于 a k 的 方程。三，解既解方程，求出 k 的 值。四定既将 k 值带入 y 等于 x， 分 之 k 中，确定函数解析式。 好，这个巩固练习就不讲了，大家可以自己去做一下，再看到知识。点二，建立反比例函数的模型，解答问题。 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的， 车速增加，视野变窄，当车速为五十千米时时，视野为八十度。如果视野 f 度是车速 v 千米时的反比例函数，求 f 关于 v 的 函数解析式，并计算当车速为一百千米时时， 视野的度数。那很明显，我们首先要解数，解数了之后，将 v 等于五十和 f 等于八十，代入能解的 k 等于四千，那能写出此时的函数解析式，就是 y 等于，也就是哦， f 等于 v 分 之四千， 当 v 等于一百时， f 等于四十，所以当车速为一百千米每时时视野为四十度。好巩固练习，这里也不讲了，自己可以看一下， 这些都是非常基础的。我们再来看一个能力提升题。小明家离学校一千米，每天他往凡宇两地之间，有时步行，有时骑车。假设小明每天上学的平均速度为 v 米每分，所用时间为 t 每分，求变量 v 和 t 之间的函数关系。 那我们知道 s 等于 v， t， 所以呢， v 等于 t 分 之一千，因为它的路程是一定的， t 大 于零。 二、小明星期二步行上学用了二十五分钟，星期三骑自行车上学用了八分钟，那么他星期三上学的速度比星期二快多少？那我们可以先解，当 t 等于二十五时， v 等于四四十，也就是他 走路的速度是四十米每分。再当 t 等于八十， v 等于一百二十五，求出他骑自行车时速度是一百二十五米每分。 接着两个速度相减，能够得到他星期三上学时的频率，速度比星期二快八十五米每分。 最后我们总结一下反比例函数、 反比例函数定义以及三种三种表达方式，用待定系数法求反比例函数解析式和建立反比例函数的模型。大家下课之后要好好复习一下。

哈喽，大家好，今天的话呢，给大家来讲一下反比例啊，这个反比例函数这部分，我们最近在给学生做中考复习的时候，我发现有很大一部分的同学 对于反比例函数里边没有给出具体坐标的，或者没有给解析式的啊，不管是直线还是反比例的解析式，只要没有给，然后给出来一个面积， 或者给出来一个周长的题目，几乎束手无策。那么这种题目呢，其实啊，我告诉大家，反比例函数的题目，它可以等同于送分题 啊，绝大部分反比例的题目都可以当做送分题来做的，现在我们一起来看一下这道题目怎么样啊，可以把它认为送分题。首先这道题目求的是什么？ k 的 值，我们先看一下 k 是 不是反比例的几个比例系数啊，发现它确实是。 那么在这里很多同学脑子里边就要想就想到了一个东西，说这道题目是不是要去求 a 点和 b 点的坐标，如果能够求得出来，那么我们用他们的坐标去算就可以了。那如果求不出来呢？我们是不是要考虑用别的方法好，具体能不能求我们现在还不确定，我们看题目给的条件 过 a 做 a， c 垂直于 y 轴。好，我们给大家去讲过啊，反比例函数图像上的点做 x 轴和 y 轴的垂线。一定要去注意一个东西，叫做 k 的 几何意义， 也就是说我们这个地方可以得到 s 三角形的 a、 c、 o 的 面积是等于二分之 k 的， 因为这里边我们这道题的 k 是 大于零啊，所以我直接等于二分之 k 就 行了， a、 c 呢？交 o、 b 于我们的地点，若 d 为 o、 b 的 终点好，出现了终点， a、 o、 d 的 面积又等于我们的三。 那么根据我们所讲过的知识体系，很多同学会想到一个东西说，哎，老师，我们在知识体系里边出现过一个东西，叫做出现的终点和面积，首先考的考虑到一个知识点叫做三角形的中线平方面积， 这个确实是我们给大家去整理出来的一个知识体系啊，也就是说很多同学在这一步的时候会想到我们要不要去把 ab 连起来，那么连起来了之后，也就是说 s 三角形 a、 o、 b 的 面积，我们是等于我们的六的，这个我是可以直接去算， 对吧？好，那么这种方法能不能去做呢？可以，为什么？因为 a、 o、 b 的 面积，其实我们根据我们学过的一个定，呃，定义啊，它其实是等于我们现在这个 梯形 a、 c、 e、 b 的 面积，为什么？你看一号和这个二号相加等于二分之 k， 那 么一号和三号相加也等于二分之 k， 说明什么？说明我们的二号和三号它们是一样的， 我们的这个三角形 a、 o、 b 是 二号和四号相加，那自然等于三号和四号相加，那就是这个矩形，也就是这个矩形的面积，我们是等于六，那么这个时候我们就可以去射出来我们的坐标，然后用坐标来求解啊，然后就可以了。 好，那么接下来我们来看啊，然后我们紧接着再次去射我们的坐标就可以了，大家这里边射坐标的时候要注意射的是谁。 设第一点坐标会是最简单的，因为它涉及到了中点第一点的坐标，你给他，比如说设成 m 的 n， 那 么 b 点的坐标是不是就是两倍的 m， 两倍的 n， 那 么 a 点的坐标，我们的纵坐标就是我们的 n， 横坐标呢，就是我们 的 n 分 之 k， 我 们是不是同样可以给他表示出来？接下来你表示这个的面积就行了，就可以把 k 算出来。 好，这是我听过我课的同学，可能有很多同学会是这么来做啊。可是呢，我再给大家讲知识体系的时候，我们还说过一个东西，如果是在坐标系当中出现终点，我们首先想到的其实是什么？是终点的坐标公式。 如果大家要想到这个东西啊，好，那也就是说，这道题目我是不是可以直接一来，我就能够用中点坐标公式表示出两个点的坐标，如果我设了 b， 设了 d 点的坐标，那么 b 点的坐标我就可以 二倍的 m， 二倍的 n 了，那也就是说我们的 k 就 要等于四倍的 m， n， 没问题吧？那么这个时候我是不是也可以去得到 a 点的坐标呢？横纵坐标就要为小 n， 横坐标呢？为小 n 分 之 k， 没问题吧？ 好，那么这个时候我们的 a、 d 的 长度等于什么？我们的 a、 d 的 长度是不是等于 a 点的横坐标减去 d 的 横坐标？ 然后呢，我们的这个 s 三角形 a、 o、 d 的 面积直接二分之一乘以一个 o、 c， 再来乘以一个 a、 d， 也就是二分之一来乘以一个 n， 再乘以一个 a、 d 的 长度， a、 d 的 长度就是 n 分 之 k 减去一个 m， 好， 那就把它乘进去，那就是二分之一乘以一个 k， 减去一个 m n。 好，然后等于多少？等于我们的三，那么 m n 等于什么？ m n 是 不是等于我们的四分之 k？ 那 所以你这里边一减就是二分之一乘以一个 k， 减四分之 k 要等于我们的三，那就是四分之三。 k 要等于我们的 六，那么我们就可以来算我们的 k 了。 k 就 等于六，来除以一个四分之三乘以一个三分之四，最终等于我们的八，这样直接就算出来了。你解一下为什么说反比例函数的这种大集里边往往是纵分题？记住，反比例函数设坐标 是非常非常管用的方法，有的题目虽然一个坐标都没有给，但是你只要设出来一个点的坐标，可能很多其他的点的坐标都能够知道，那么你就可以把题目算出来啊。 好了，那么今天我们就分享到这个地方，下期视频我们再见。拜拜。

欢迎来到中考数学路路通，今天我们来搞定反比例函数图像。 反比例函数 y 等于 k 除以 x 的 图像是双曲线画图，用描点法先列表 x 取值要对称，比如取负三，负二，负一一二三。 x 不 能等于零，正负两边都要取，连线要用光滑曲线。当 k 大 于零时，双曲线两只分别在一、三象限。一象限那只从左上方无限接近 y 轴，向右下方无限接近 x 轴。 三象限那只也是同样的趋势。当 k 小 于零时，双曲线两支分别在二、四象限。关于圆点对称是双曲线的重要特征点， a 到 b 的 开区间在双曲线上，点负 a， 负 b 也一定在双曲线上。 双曲线还关于直线， y 等于 x 和 y 等于负 x 对 称， k 的 绝对值越大，双曲线离圆点越远。 比如 y 等于十二除以 x 就 比 y 等于三除以 x 离原点更远。考试中常考双曲线与一次函数直线的焦点问题，连立两个解析式解方程就能找到焦点坐标。 焦点个数取决于方程解的个数可能有两个，一个或没有焦点。掌握这些图像特征，解析就快多了，中考必考，给我背下来！