高一下册数学第八章立体几何证明

挑战二十五分钟带你速通高一数学下一休二第八张立体几何的所有考点主要包括立体几何的表面与体 积空间点直线平面之间的位置关系，空间直线平面的平行垂直划重点从高一到高三高中每 考点阿斌老师我都会持续跟完，后续也会对重点公式的推导过程及典型考法持续更新。做这个系列的原因在于，数学其实本质就是公式的灵活应用，但最重要的是这些公式你能熟练的背下来才能灵活应用。关注阿斌高中数学，带你躺着学高考数学也能 多拿三十分！第八单元多面体旋转体的定义多面体定义若干个平面多边形所围成的几何体图形如下。 相关概念，面围成多面体的各个多边形棱相邻两个面的公共边顶点棱以棱的公共点旋转体，一条平面曲线绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，如图所示。注意，轴形成旋转体所绕的定直线称为轴。棱柱的结构特征棱柱的概念定义有，两个面 互相平行，其余各个面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都是互相平行的。由这些面所围成的多面体叫做棱柱图形即表示， 如图可记作棱柱 abcdef 杠 a 撇 b 撇 c 撇 d 撇。 相关概念，底面两个相互平行的面叫底面侧面，其余各面侧轮相邻侧面的公共边顶点侧面与底边的公共顶点。轮柱的分类按底面多边形数来分，三轮柱、四轮柱、五轮柱。按侧轮 是否与底面垂直，侧轮垂直于底面的轮柱叫做直轮柱，侧轮不垂直于 底面的棱柱叫做斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。知识点，三棱锥的结构特征，棱锥的概念定义，有一个面是多边形，其余各边都有一个公共顶点的三角形， 由这些面围成的多面体叫做楔，图形即表示，如图可记作楔 s、 杠 a、 b、 c、 d， 其中 s 是 顶点。相关概念，底面 是多面形，侧面有公共顶点的各个三角形，面侧能相邻侧面的公共边。顶点各侧面的公共顶点楔四楔，底面是正多边形，并且顶点 与底面中心的连线。垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。知识点，是棱台的结构特征。 棱台定义，用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥底面与截面之间大部分多面体叫棱台，图形即表示。如图可记作棱台 a、 b、 c、 d 杠 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇。 相关概念，上底面平行于轮锥底面的结面，下底面圆轮锥的底面、侧面，其余各面侧能相邻侧面的公共边。顶点侧面于上下底面的公共顶点 分类有，三轮锥、四轮锥、五轮锥。捷德的轮胎分别叫做三轮台、四轮台、五轮台。知识点，五圆柱的结构特征，圆柱定义，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边寻找一周 形成的面所围成的旋转体叫圆柱，形状及表示。图中圆柱表示为圆柱。 o 一 撇 o。 相关概念，圆柱的轴旋转轴，圆柱的底面垂直于轴的边，旋转而形成的圆面。 圆柱的侧面平行于轴的边，旋转而形成的曲面。圆柱侧面的母线无论旋转到什么位置，平行于轴的边。四点六、圆锥的结构特征圆锥定义， 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图形，即表示图中圆锥表示为圆锥。 s o 相关概念，圆锥的轴旋转轴，圆锥的底面 垂直于轴的边，旋转而形成的圆面。侧面直角三角形的斜边旋转而形成的曲面母线，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。知识点七、圆台的结构特征圆台 定义，用平行于圆锥的底面的平面去结圆锥底面与结面之间的部分叫做圆台。图形，即表示图中原台表示为圆台。 o 撇 o。 相关概念，圆台的轴旋转轴，圆台的底面垂直于轴的边，旋转一周所形成的圆面。圆台的侧面 不垂直于轴的边，旋转一周所形成的曲面母线，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。知识点八、球的结构特征球定义， 半圆，以它的直径所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。图形，即表示图中的球表示为球。 o 相关概念，球心， 半圆的圆心半径连接球心和球面上任意一点的线段，直径连接球面上两点并经过球心的线段。 知识点九、简单组合体的结构特征概念，由简单几何体组合而成的这些几何体叫做简单几何体基本形式，一种是由简单几何体 拼接而成，另一种是由简单几何体截去或者挖去一部分而成。知识点时水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤，第一， 画轴，在已知图形中取相互垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于 o 点。 画直观图时，把它们画成对应的 x 撇轴与 y 撇轴两轴相交于 o 撇，且使得角 x、 o、 y 等于四十五度或者一百三十五度， 它们确定的平面表示水平面。第二，画线，已知图形中平行于 x 轴或者 y 轴的线段， 在直观图中分别画成平行于 a 撇轴或者 y 撇轴的线段。第三，取长度。已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图形中保持原长度不变。平行于 y 轴的线段在直观图形中长度为原来的一半。 知识点十一、空间几何体直观图的画法几何体直观图的画法步骤，第一，画轴与平面图形的直观图画法相比，多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z 撇轴。 第二，画底面平面 x 撇、 o 撇。 y 撇表示水平平面。平面 y 撇、 o 撇、 z 撇和 x 撇。 o 撇， z 撇表示数值平面。按照平面图形的画法画底面的直观图。第三，画侧能 已知图形中平行于 x 轴或者在 x 轴的线段，在其直观图中平行性和长度都不变。 第四，层图去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。知识点十二， 能住、能追、能抬的表面积多面体对应的图形以及表面积。多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积点。十三、能住、能追、能抬的体积能住体积为 v 楞柱等于 s 乘以 h， 其中 s 为楞柱的底面积， h 为楞柱的高楞锥， v 楞锥等于三分之一， s 乘以 h， s 为楞锥的底面积 h 为楞锥的高 楞台， v 楞台等于三分之一。括号内 s 一 撇加上根号下 s 一 撇， s 加上 s， 括号回来再乘以 h， 其中 s 一 撇 s 分 别为轮胎的上下底面面积 h 为轮胎的高知识点。十四、圆柱、圆锥圆台的表面积对于旋转体，圆柱 底面 s 底等于 pi r 平方，其中 r 为底面圆的半径，侧面积 s 侧等于二 pi r， l 表面积 s 等于二 pi r 括号内是 r 加 l， 其中 l 为圆柱的母线，圆锥底面积 s 底等于 pi， r 平方侧面积 s 侧等于 pi r l。 注意， l 是 母线，不是高圆台。 上底面面积 s 上底等于 pi， r 撇的平方，下底面面积 s 下底等于 pi， r 平方，侧面面积 s 侧等于 pi。 括号内 r 撇乘以 l， 加上 r 乘以 l。 l 为母线表面积，表面积 s 等于 pi， 乘以括号内的 r， 一 撇的平方加 r 的 平方加上 r， 一 撇乘以 l， 加上 r 乘以 l。 四点十五、圆柱圆锥圆台的体积 几何体积圆柱微圆柱等于 s 乘以 h 等于 pi， r 平方乘以 h。 说明圆柱底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 圆锥圆锥的体积等于三分之一 s 乘以 h， 圆锥底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 圆台体积圆台的体积等于三分之一。括号内的 s 加上根号下的 s 乘以 s， 一 撇加上 s 乘以 h， 等于三分之一 pi r 的 平方加上 r 乘以 r， 一 撇加上 r 的 平方，再乘以 h， 其中圆台上底面圆的半径为 r， 一 撇面积为 s， 一 撇下底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 知识点十六、球的表面积和体积公式一、球的表面积公式 s 等于四 pi r 平方，其中 r 为球的半径。二、球的体积公式 v 等于 pi r 的 三次方。知识点十七、平面 一、平面的概念几何中所说的平面是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的。立视于直线，向两端无限延伸。几何中的平面是向四周无限扩展的。 二、平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，他的锐角通常画成四十五度，且横边长等于其邻边的二倍。 如图一，如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，被遮挡部分用细线画出来，如图二，但平面的表示法。图一的平面可以表示为平面 r 法，平面 a、 b、 c、 d。 平面 a c 或者平面 b d。 注意， a、 c 和 b、 d 都是对应的对角。知识点十八、点、线面之间的位置关系一、直线在平面中的概念如果直线 l 上的所有点都在平面阿尔法内， 就说明直线 l 在 平面阿尔法内，或者说平面阿尔法经过直线 l。 二、一些文字语言与符号语言的对应关系 点 a 在 直线 l 上对应的符号表示 a 属于 l。 点 a 在 直线 l 对 应的符号表示是 a 不 属于 l。 点 a 在 平面阿尔法内， a 属于平面阿尔法，点 a 在 平面阿尔法外， a 不 属于平面阿尔法。直线 a， 在 平面阿尔法内，直线 a 包含于平面阿尔法 直线 l。 在 平面 r 法外，直线 a 不 包含于平面 r 法，直线 l， m 相交于点 a， l 与 m 的 并集等于点 a。 平面 r 法与平面贝塔的并集等于直线 l。 四十点十九、平面的基本性质及作用 基本四十一、过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面，相关图形表示符号 abc。 三点不共线存在唯一的平面阿尔法使得 abc 属于阿尔法。作用，一是确定平面，二是证明点线共面问题，三是判断两个平面重合的依据。 基本四十二、如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，点 a 属于直线 l， 点 b 属于直线 l， 且点 a 属于平面而法点 b 属于平面，而法能推导出直线而包含于平面而法 即可判定直线和点是否在平面内，又可以说明平面是无限延展的。基本是十三、如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 p 属于阿尔法，且 p 属于贝塔，能推导出阿尔法与贝塔的并集等于 o 且 p 属于 l。 用途，一、判定两平面相交的依据 二、判定点在直线上。二、利用基本四十一和四十二，再结合两点确定一条直线，可以得到下面三个结论， 推论一，经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。推论二，经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三，经过两条平行直线有且只有一个平面。 知识点二十、空间两直线的位置关系意面直线定义不同在任何一个平面内的两条直线。 意面直线的发滑衬托平面法如图一、二、三所示。为了表示意面直线不够面的特点，作图时通常用一个或者两个平面来衬托。三、判断两直线为意面直线的方法一、定义法二、两直线既不平行也不相交。 空间两直线的三种位置关系，共面直线和异面直线在共面直线中分为了相交直线，即在同一平面内有且只有一个公共点。 平行直线是在同一平面内没有公共点。相交直线与平行直线都属于共面直线。异面直线不同在任何一个平面内没有公共点。 知识点二十一、直线与平面的位置关系直线 a 在 平面阿尔法内则有无数个公共点符号表示是直线 a 包含于平面阿尔法对应的图形表示。若直线 a 在 平面阿尔法外，则有两种情况，一是直线 a 与平面阿尔法相交， 则公共点只有一个公共点，也就是直线 a 与平面阿尔法的并集，等于点 a。 直线 a 与平面阿尔法平行没有公共点的时候，则直线 a 平行于平面阿尔法对应的图形表示。 知识点二十二、平面与平面的位置关系若两平面平行，则没有公共点对应的符号表示平面阿尔法平行于平面贝塔。图形表示 两平面相交有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上，也就是平面阿尔法与平面贝塔的并齐，等于直线 a o 对 应图形表示。知识点二十三、基本是十四、平行于同一直线的两条直线平行。对应的图形语言符号语言，直线 a、 b、 c a 平行于 b， b 平行于 c， 则能推导出 a 平行于 c。 作用 证明两条直线平行。说明基本四十四、表述的性质通常叫平行直线的传递性。 知识点二十四、空间等角定义定义如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 对应的符号语言， o a 平行于 o 撇 a 撇 o b 平行于 o 撇 b 撇，推导出角 a、 o、 b 等于角 a 撇、 o 撇 b 撇或者角 a、 o、 b 加上角 o 撇、 a 撇、 b 撇等于一百八十度。 注意关键点，两角相等或互补。对应的图形语言作用判断或证明两个角相等或互补。推广，如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所形成的锐角或者直角相等。 知识点二十五、直线与平面内一条直线平行， 那么该直线与此平面平行。对应的符号语言，直线 a 不 包含于面，而法直线 b 包含于平面，而法直线 ab 平行，则能推导出直线 a 平行于平面，而法 对应的图形语言知识点二十六、直线与平面平行的性质定律一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。 符号语言， a 平行于平面阿尔法 a 属于平面贝塔，平面阿尔法与平面贝塔的交集等于 交线 b 则能推导出直线 a 平行于交线 b 对 应的图形语言知识点二十七、平面与平面平行的判定定律 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行对应的符号语言， 直线 a 在 平面阿法内，直线 b 在 平面阿法内，直线 a 与 b 的 交集等于点 a， 且直线 a 平行于平面北塔，直线 b 平行于平面北塔。 推导出平面阿尔法与平面贝塔平行对应的图形语言知识点二十八、两个平面平行的性质定律 文字语言如果两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行对应符号语言，平面阿尔法平行于平面贝塔，平面阿尔法与平面伽马的交线等于直线 a。 平面贝塔与平面伽马的交线等于直线 b 不 能推导出直线 a 平行于直线 b。 对 应的图形语言 知识点二十九、两直线的位置关系意面直线定义不在任何一个平面内的两条直线画法有以下三种，两条直线的位置关系可以是共面直线和意面直线。如果是共面直线，只有一个公共点，平行直线没有公共点， 意面直线也没有公共点。两个定理基本事实是，文字语言平行于同一直线的两条直线。平行符号语言，直线 abc、 直线 a 平行于直线 b 直线 c 平行于直线 b， 则能推导出直线 a c。 平行。作用证明空间两条直线平行 等角定理内容，如果空间中两个角的两条边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。作用证明两个角相等或互补是平面内两条直线的夹角定义，平面内两条直线相交成四个角，其中不大于九十度的角称为这两条直线所成的角或者夹角。 规定两条直线平行时夹角为零，垂直时夹角为九十度范围。两条直线夹角阿尔法的范围是零到九十度。 知识点三十、意面直线所呈的角定义，已知两条意面直线 a、 b 经过空间任意一点 o 分 别作直线 a 一 撇平行于 a， b 一 撇平行于 b， 则意面直线 a 与 b 所成的角就是直线 a 撇与 b 撇所成的锐角或直角范围 c 塔大于零，小于等于九十度。特别的，当 c 塔等于九十度时， a 与 b 相互垂直，记作 a 垂直于 b。 知识点三十一、直线与平面垂直的定义定义，如果直线 l 与平面阿尔法类的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面阿尔法相辅。垂直记法， 直线 l 垂直于平面阿尔法有关概念，直线 l 叫做平面阿尔法的垂线，平面阿尔法叫做直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足图，是画法。 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直。注意 过一点垂直以已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 知识点三十二、直线与平面垂直的判定定律文字语言，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 符号语言，直线 l 垂直于直线 a， 直线 l 垂直于直线 b。 直线 a 在 平面 r 法内，直线 b 在 平面 r 法内，且直线 a 与 b 的 交点等于 p， 则直线 l 垂直于 r 法。对应的图形语言知识点三十三、直线与平面所成的角有关概念， 斜线一条直线与平面阿尔法相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。如图中直线 p a 斜竹斜线与平面的交点图中点 a 摄影 过斜线上斜轴以外的一点向平面引垂线过垂足和斜足的直线，叫做斜线。在这个平面上的摄影图中，斜线 pa 在 平面阿尔法的摄影为直线 a o。 直线与平面所成的角。 定义，直线的一条斜线和它在的平面的摄影所成的角途中角 p a o 规定一条直线垂直于平面，它所成的角是九十度。一条直线和一个平面平行，或在平面内，它所成的角是零度。 取值范围设直线与平面所成的角为 c 塔，则 c 塔大于等于零，小于等于九十度。知识点三十四、直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一平面的两条直线平行符号语言， a 垂直于平面 r 法 直线 b 垂直于平面， r 法则直线 a b 平行对应的图形语言注意，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离。 如果两个平面平行，那么其中一个平面的任意一点到另一个平面的距离都是相等的， 我们把它叫做这两个平行平面间的距离。知识点三十五二、面角的概念定义从一条直线发出的两个半平面所组成的图形相关概念， 这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。画法 记住，二面角阿尔法 l beta 或者二面角阿尔法 ab 杠 beta 或者二面角 p 杠 l 杠 q 或者二面角 p 杠 ab 杠 q， 其中中间是表示的是直线二面角的平面角 若有点 o 属于直线 l o a 在 平面阿尔法内， o b 在 平面贝塔内， o a 垂直于 l o b 垂直于 l， 则二面角 阿尔法 l b 的 平面角是角 a o b。 二面角的平面角阿尔法的取值范围是，大于等于零，小于等于一百八十度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角。知识点三十六、平面与平面垂直一、 平面与平面垂直的定义定义一般的两个平面相交，如果他们所呈的二面角是 直二面角，就说这两个平面相互垂直对应的画法记住，平面 r 法垂直于平面贝塔平面与平面垂直的判定定律文字语言，如果一个平面过另一个平面的垂线， 那么这两个平面垂直对应的符号语言，直线 l 垂直于平面阿尔法直线 l 在 平面贝塔内，则能推导出平面阿尔法与平面贝塔垂直对应的图形语言。 知识点三十七、平面与平面垂直的性质定律文字语言，两个平面垂直如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直对应的符号语言， 平面 alpha 垂直于平面 beta， alpha 与 beta 的 交线为 l 直线 a 在 平面 alpha 内， a 与直线 l 垂直，则能推导出直线 a 垂直于平面 beta 对 应的图形语言。好了，以上就是本期视频所有必考知识点和公式结论，一定要点赞收藏哦！从高一到高三，高中每册考点阿斌老师我都会持续跟完， 后续也会对重点公式的推导过程及典型考法持续更新。关注阿斌高中数学，带你躺着学懂高考数学！

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点五点二，直线与平面平行。好，来到了我们的第二个平行的课程，线面平行。 首先呢，我们对平行做一个简单的定义，因为呢，我们没有正式的去啊，很严格的去定义，他课本也没有写，因为这个东西他比较简单，就是说无论我们的线线还是线面还是面面的平行，只要是平行，他就是四个关键字，没有交点。 好吧，没有焦点，或者说永不相交啊，意思都一样，这个是他的核心逻辑，当然在线线平行的关系当中，他还会有一个限定，就是在同一个平面，但这个才是核心的逻辑，对吧？所以就这样子没有焦点。 如图一道例题，用我们上节课的知识，幺呢在平面 r 法上，然后呢？幺直线呢？平行于这个直线 m， m 呢？不在平面 r 法上，我们去证明 m 平行于 r 法这个地方，同学们说，哎，还没有给任何的知识，对的， 我们来从我们最数学底层的角度来说看一下，我们说平行就是什么，它的核心点就是没有焦点。 然后呢，我们上一节课就教了同学们去思考，我们在什么情况下会想到使用反正法，因为我们说什么正 无的难度永远都是比正有要大的，对吧？我们生活当中，我们的推理当中都是那么没有焦点，在一条 两边无限延长的直线 a m 和四周无限延长的平面 r 法上，怎么证明它永远都没有焦点呢？这个是很难的一件事情，对吧？很难的一件事情， 所以这个时候呢，我们就想到使用反证法，说，不是说我们，哎，我看答案的时候，反证法啊，我就知道，但我怎么想到反证法就给同学们这样的一个思路，所以这个时候呢，我们用反证法，假设 它不平行，那么假设它不平行，就是它们有焦点，它们就长这个样子，对吧？那么有焦点，那么假设这个焦点为 a， 而题目给了幺平行于 a m， 那 么很显然，这个 a 点是干嘛？不属于这个 直线幺的，对吧？不属于这个直线幺，那这个点不属于这个直线幺。那此时会不会想到我们上一节课的一个结论 啊？我们上节课结束的时候，我们有一个结论，就是直线与平面相交于一个点，那么该直线与所有的 在平面上，这个平面上的，而不过这个点 a 的 所有的直线都是异面的关系，对吧？他得到了一个关系就是异面，而他会跟谁矛盾呢？ 跟它平行矛盾，平行就是共面的，所以呢，这个意面的结论就会跟它平行的结论矛盾，总得到一个矛盾的结论，所以假设不成立，所以这个时候呢，这个直线是会平行于平面。阿法的。 好，这个呢，其实就是我们的判定定律，我们如何去判定线面的平行？如果平面外的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 符号语言表达如下啊，这个地方停一下，同学们自己先写。好，我再次再次。最后很婆妈的提醒啊，在我们必修二，整个高中阶段，最简单的必修二的九，第八章，第九章，第十章。 哎，这这里面一定最后的机会在简单的地方去锻炼我们的符号语言， ok 吗？因为进入到了我们的选 b 一， 后面会出现连续出现五道全是大题， 我们前面的，我们前面的这个两本必修书只有一个解三角形是会出现在大题上，后面五道大题到了难的部分，解析几何的部分，导数的部分， 竖列的部分，大家还看不懂，看的很辛苦，很痛苦，满满密密麻麻的文字，那这个就很很痛苦了，所以趁着简单最后的机会，一定要去锻炼，跳出舒适圈， ok 好 不好？ 所以呢，语言要去使用啊， language， ok。 然后呢，我们来看，如果平面 y 平面是谁啊？ alpha， alpha， y 不 包含于 alpha 一 条直线，我们讲的是谁啊？我们说的是啊，这里说的是 l， 对 吧？这里说的是 l， 那 么平面 y 的 一条直线 l l 不包含于 alpha， 对 吧？我们知道它们都是属于集合点的集合，所以用不包含于于此平面内的平面也是 alpha 平面内的一条直线，是谁啊？ m m 包含于 alpha 平行，谁跟谁平行啊？ l 平行于 m， 好， 三个条件 来推导出谁啊？这条直线指的是 l 和这个平面阿法平行，好吧，所以我们会有一个条件，两个条件，三个条件。而刚才我的写法呢，就是未来关于空间几何的证明题，我们建议通过以下方式来进行书写，会更加清晰。 假如说因为我们之后呢，会有一个就是，呃，空间向量啊，基本上百分之九十五以上的情况下都会使用空间向量哈。但是我们如果使用到合成几何，那么我们建议用这样子的书写方式，因为改卷老师将会具体按照推断的所需条件 逐一审查，听着哈。如果说我这个地方有三个条件，但是我们没有去写 r， 不 包含于啊，不在这个平面 r 法上啊，我只写了两个条件， 这个推论是错的，不要觉得这个严严格啊，这个是很严谨的一个东西，对吧？那你说我们三个人去开家公司啊，我有，我有团队，你有资金，是不是？然后呢？你过来了之后，你说啊，我没有资金，我一分钱都没有，那这是很离谱的一件事情， 能理解吗？或者说我过来了之后我没有人，我就两个人啊，开一家呃，大很大很大的公司，对不对？那所以大家理解到这个点没有一个条件他是不完备的，没有这个条件他有可能在面上他就是一个思维的什么严谨性啊？在数学里面这是很重要的一件事情，你没有想清楚就是没有想清楚， 但这个地方呢，我不是让让同学们像背古诗一样去背，包括后面的什么面面平行啊，面面垂直、线面垂直等等啊，我就这里三个条件，那里五个条件不是这样背，就像正常的理解，正常的，像我刚才说的用符号语言说话，这样去说出来哈，去理解一下这个点。然后呢？我们来看例二， 求证。空间四边形，相邻的两边啊，我们画出来，对吧？相邻的两边，比如随便找两边他的中点的连线平行于经过另外两边啊，这里是一边两边，另外两边的面，这是课本的一道例题好不好？ 我们来看一下，当然我们会想到中位线，中位线跟他平行的关系啊，对不对？平行的关系，然后我们要走那个流程，是不是要记得，首先 e、 f 是 三角形 a、 b、 d 的 这个中位线，所以它平行， ok 了，那此时所以三个条件来推断出我们的这个 e、 f 平行于这个平面， b、 c、 d。 好 吧，那么前提呢，是它是空间四边形，所以它为什么 e、 f 不 包含于这个平面？就是因为什么？就是因为啊，如果它在这个平面上的话呢，那么就不不是空间四边形了，对吧？不是空间四边形， ok， 然后呢，我们来看，刚才是判定啊，现在来看性质，就假如我们已知线面平行有什么性质呢？如果直线与平面平行，那么会有什么样的性质呢？我们想到呢以下的生活场景，那这个呢？就什么呢？很生活的场景啊，门， 那对吧？没有同学没开过门吧，无论这个贫富如何，对吧？门是一个长方形，其对边平行，普通的门，那不说特殊的，所以呢，我们在转动门的时候啊，一扇门，门把手的一边， 门把手的一边， a a 一 撇，永远平行于转动轴啊，这个是转动轴 b b 一 撇，所以此时根据线面平行判定定你，我们就会知道这个 a a 一 撇啊，就是代表门把手的一边永远都会平行于门在关闭时所在的平面呢？阿法，对吧？ 那么抽象出出来这个模型，我们就能得到以下的结论，一条直线与一个平面平行。我们来看一下抽象出来的 好一条直线，这个 a a 一 撇与一个平面平行。阿法，平行，那么此时如果过这条直线的平面， a a 撇 b 撇 b， 是 不是过这个平面？呃，直线的平面 与这个平面相交于点 b b 撇，那么该直线与交线平行，我们就会得到了这样子的一个结论，我们来看一下。好，这个地方，我们来看 l 呢，我们已知这个跟这个平面阿尔法是平行的，而这个 l 呢，属于这包含于这个平面 beta 好 不好？包含于这个平面 beta， 那 么所以就是说我们所说的什么叫做什么？过直线的平面？过直线的平面是不是我们的 natural language？ 我 们的自然语言有好多种表达，是不是啊？我们都是属于逻辑是统一的， 包含于这个平面，那么此时我们说，呃，这两个平面它相交于一条直线 a m， 那 此时干嘛呢？这个交线就会跟这条线是平行的关系。好吧，这个呢，就是我们知道线面平行之后的一个性质， ok， 那 么我们可以去严谨的去证明它，我们自己去证明它，因为刚才我们的整个不是一个严谨的推理过程，我们是从生活的这个模型出发去抽象出来，来归纳出来，但是不是严谨的。 同样的，我们说要证明它平行，有什么要证？没有交点，我们又继续地使用反证法。 如果直线 l 不 平行于直线 m 不 平行，那么假设 l m 相交于点 a， 那 么由于 a 呢？ 它既属于 m 啊， m 呢又属于 alpha， 因为 m 呢，是整一个都包含于 alpha。 好， 之后我们在讲这个的时候，哈，语言不重要，因为我们写的时候反正都是这个意思好吗？所以有时候呢，就是没有关系啊这个东西。然后呢写不是没有关系，我就说没有什么关系呀，然后呢，我们说这个 m， 它是在这个平面 alpha 上的，那么这个点 a 呢，又是属于 m 的， 那么当然这个 a 就 当然就属于这个平面 alpha， 那 这个时候呢，我们就会知道，我们就能推理出这个 l 会跟这个 alpha 相交于点 a， 对 吧？那显然就是跟什么，跟原来给的条件 l 平行于 alpha 没有交点是矛盾的，所以假设不成立，好吧，假设不成立， 所以呢，这些地方呢，同样的，包括我们的反证法也是的，在这么简单的问题当中，同学们一定要使用，不然在难的问题，我们就不会使用反证法了。 我们在很多地方都有可能要用到反证法来进行证明的，包括说我们的数列的，证明函数的，都有可能会用到啊，不只是在我们的几何题当中啊，都是一个很重要的证明方法。好吧，接着我们看例四啊，这是课本的一道例题， 这是一道就是很生活实际的一道立体哈，就是木工哎。首先跟同学们讲一个点，同学们知不知道木工这个东西啊， 工资是很高的，我们的很多的一个工种当中啊，我们并不是说在干工地的，或者说干装修的啊，我们的水滴工什么的都差不多干苦力活，因为木工他既是苦力活，他也要有一定的， 他不是说很多都没读过书啊，但是他有一定的技能和技巧，怎么样锯的好是很重要的。同学们，所以这个地方呢，就说一个题外话，木工的工资是很高的啊，每天的一个收入，他是个实心的木料，他看不到中间， 那么这个能 b c 呢？平行于这个平面， a 撇 b 撇这个平面，那么我们第一个呢，叫经过这个 a 撇 c 撇里面的某一个点，我们要把木料均匀的锯开，对吧？我们要往这边去锯， 那么在木木料的表面应该怎么画线？我们来思考一下这个实际的问题，什么意思啊？就是如果我们切斜了一点，他最后发现，哎，就切不准了，对不对？那么我们要干嘛？我们要画线才能切得准，那么怎么画线呢？对不对？哎，这个就是我们呃的这个问题， 那我们会想到哈，就是什么呢？在这个平面内过点 p 做一个直线，等一下我们再来看它为什么是这样子过点 p 做直线， ef 平行， 然后呢？相交于两条能于 e、 f， 然后连接，那么这个平面就是我们一切过去 切到的平面，而这个平面当然是看不到的，但是这个橙色的线是能画出来的，因为它是表面，也就说比如说我拿着一个锯子锯的时候，我就盯着这根线和这两根线啊，盯着它锯就一定会锯到这个地方 啊，同学们可以想一下为什么会这样子，好吧，所以这个就是它印画的线，那么很显然我们的什么，我们的这个 b、 e 和 c f 啊，因为他说所画的线这里有三根线嘛，那么 b、 e 和 c、 f 就 不用说，这肯定相交，所以我们关键要看的就是这个 e、 f 这条线， 我们这条线呢，我们会很简单的知道，就是因为 b、 c 题目给的嘛， b、 c 平行于这个平面上面的这个平面，那么我们的平面 b、 c、 c 撇，呃， b 撇是经过这一条直线的，所以经过这条直线跟它相交，然后呢 b 撇 c 撇就会平行于 b c， 然后呢我们做出来，人为的做出来平行的时候，就会使得 b c 和这个 e、 f 是 平行的关系， 对吧？啊？这里是我们的走的另外的一个流程，对吧？刚才我们说的流程，三个条件，一个条件，两个条件，三个条件。所以啊，这里我们又给出了另外一个写法，刚才我们给出了这个写法，现在呢给出另外一个写法， 就是右音，因为这个地方呢，我们说一共三个条件，而这个地方是第一个条件，第第二个条件，三个条件。所以啊，这是另外一种写法，前面已经有了，或者说比方说我们后面有五个条件的啊，我这个地方正了第一个条件，这里正的右音一、二、三。那这个地方呢，也要写清晰，间隔清晰啊，对吧？ 三个条件来证明，所以平行，唯一一组平行线，唯一的确定一个平面，这个就是我们在非常生活的应用啊，看不到他怎么去画出来？这个就是我们几何的一个，呃，简单的一个应用哈，简单的一个应用，好，然后接着呢，给大家做一个 思维导图啊，为什么做一个思维导图呢？因为会出现一个问题，我们来看一下哈。上节课首先我们来说平行线，对吧？ 然后线线平行，我们是什么东西呢？平行于同一直线的两直线，平行啊，我们通过这样的方式是它其中的一个判定方式，然后我们知道呢，那个平行线之后呢，就会有等角定律，它推出来的，但这个东西呢，没什么好讲，但是它的判定也有 平行，两条平行线就成千上万种，只是罗列出了其中的一种啊，对吧？ ok， 这是线线平行，接着呢，我们线面平行， 线面平行，它的定义是没有交点，然后是怎么做判定的？如果平面外的一条直线，对吧？外面的一条直线跟平面内的其中一条直线平行，那么就平行，然后 接着呢，它的性质呢？能推出现线平行，就我们说过一条它的平行线的这个平面跟它相交，这两条交线交线平行。所以呢，关键是什么呢？我们会得到这个东西， 这里感受的不是很深，但后面的很多大家就能越来越感受到深了。就是说我如果要证明线面平行啊，比方说这个东西， 我们到时候呢就会发现，哎，我们在这里面想来想去都想不到线线平行的方法，或者说不不太好证。我们有可能就要用面面平行先来证明面面平行，再通过面面平行的性质来推导这个 啊，这个思维导图，同学们在下一节课呢，可能陆续的会感受到会更深一点哈，我们在下一节课面面平行再完善，继续完善我们的这个思维导图哈，这个就是我们的本节课哈，我们下节课再见，同学们，拜拜。

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点五点一，直线与直线平行，那么来到了我们的八点五啊，最后的两个小节，八点五和八点六。首先呢，给大家一个大纲啊，大家要知道我们按怎样的一个脉络来学习。 我们说我们要研究空间当中点线面的位置关系，那无非就是五种，对吧？点线 点面啊，点和点就不用研究了吧？对啊，点点没有什么任何研究的价值，对吧？点和线，点面线线线面面关系， 那么点线和点面呢？包括说点在不在线上，在不在面上，然后呢，三点共线，四点共面等等的这些问题，它是在我们的选 b 一 啊下一本书的第一章要研究的，那不在这里研究，那么我们剩下的线线线面和面面呢？而且是未知关系。首先未知关系无非就两个， 平行和垂直，所以它们分别就是我们这两个小节里面的六节课哈，线线平行，线面平行，面面平行，然后垂直，对吧？那么首先我们的这节课， 八点五点一，线线平行，那同同学们说线线平行，那这个对吧？就是加了一丢丢的这个在空间当中的一个东西，我们来讲一下，这个很熟悉了，对吧？在同一平面内，两条不相交的直线是平行。直线，这个不讲了吧，平行线的基本是十， 在一个长方形的房间当中，我们去观察三条墙的交线哈，这里呢有两面墙啊，这个地方呢，我们有，呃，三个交线，他当然还包括了这里面画出来的墙啊，对吧？然后一共呢，这里有三个交线， 同学们一定是身处在一个房间当中，无论是你们在卧室当中，还是在哪个地方，还是在课室来看听我的课，对吧？那么这个时候呢，我们会看到哈，我们墙与墙的交交线处啊，就 a， a 一 撇， b， b 一 撇， c， c p 一 撇，它们都是平行的，对吧？那么此时我们也会看到 a， a 一 撇也会平行于 c， c 一 撇，所以我们会发现哈，空间当中平行线也有类似于平面当中，我们说平面当中我们的什么，我们的平行线是可以干嘛有传递性的？ 在平面当中 a 平行于 b， b 平行于 c， 那 么可以推出 a 平行于 c， 好， 这个传递性在空间当中也适用， 就这样子啊，就告诉大家，也 ok 哦，在空间当中就行了，所以这个是基本事实。四，所以这个是以公里的逻辑告诉大家的，就我们发现大家可以去干嘛？可以去正轨，对吧？如果没有人能正轨，他就是对的。平行于同一条直线的两条直线平行，这个就是基本事实。四， 好，这个就是它的数学模型，对吧？ l 平行于 m， n 平行于 n， 那 么 l 也平行于 n， 那 么这个呢？我们会看到，哎，这个就是在我们的一个长方体里面出出现出来的，对吧？在两个长方形当中，我们都会知道 l m 平行，然后呢？ m， n 也平行，然后这两条也是平行的，所以这个就是我们的平行线在空间当中传递性的一个，嗯，这个体系， 然后看例如图，已知在棱长为 a 的 长，呃，正方体当中 m n 呢？分别是中点，这个是中点，这个是中点啊，对吧？然后呢，求证四边形 m n a c m n a c 啊，是一个梯形， 我们梯形就说它有一组对边平行，有一组对边不平行，所以我们的首先的定一个点肯定是要证明啊，一条边一组对边是平行的，那当然我们会知道，你看看到这个平行的，对吧？我们怎么证明？不难证明吧，在这个地方画一条辅助线， 那么这里呢，因为它是中位线， m n 是 这个三角形 a 撇 c 撇 d 撇的中位线，所以呢，平行，那么这里面呢，这里面是一个矩形，它也是就平行四边形嘛， 对吧？那这个怎么证明，对吧？这个平行于这个，而且平行且相等，所以它是一个平行四边形，所以这个 a 撇 c 撇也会平行于 a c， 所以呢，就通过传递性我们就会知道 a c 平行于 m n 啊，对吧？所以呢，连接 a 撇 c 撇，然后 m n 呢是它的中位线，所以呢就是平行，所以呢啊，在这个地方因为比较简单，我们就直接忽略了这个 a 撇 c 撇和 a c 的 一个证明啊，对吧？三个都是平行的。 接着呢，我们说梯形，那么要么就证明我们的另外的一组对边不平行，要么就是我们的这两个它是不相等的，两个都行啊，我们其实更快的就是因为中位线嘛，我们可以证明什么，因为 a c 它的长度是等于 a 撇 c 撇的， 那 a 撇 c 撇呢，是等于两倍的 m n 的 中位线，所以呢，它们之间长度不等，我们就不需要管另外一组对边的问题了啊，不需要去单独去证明它们两个不平平行，那么这这个时候呢，它们平行一组对边平行，且它们不相等，我们就能知道它是梯形。 好吧，简单的题目，第二课本的立体如图，空间四边形。好，这里有个概念哈，空间四边形， 什么叫空间四边形？就是这个图形 a、 b、 c、 d， 哦，它不是在同一个平面内的，但是它不是立体图形，同学们要注意 这个地方啊，课本没有单独去进行定义，但这个东西应该也不难理解，对吧？不要把它看成是一个密闭的 a、 c 连起来变成一个三棱锥，不是的，它就是一个折起来，然后呢，放在空空间当中，它就是一个空间的平面图形。 空间四边形，那么这个时候呢， a、 b、 c， d， e， f， g、 h， 它全都是中点。那么第一个问题呢，求证，这个是一个平行四边形，那么我们中点当然又想到了中位线，对吧？这个平行于这个，且是它的一半， 那个 f、 g 呢？也是 b、 d 的 那个中位线啊，也是 b、 c、 d 三角形的中位线，所以也是平行，且是一半，所以它们两个平行且相等，对吧？这是简单的一个应用， 都是中规线，所以平行，然后也会有这这个东西，然后，所以呢，平行会有传递性，而且它们长度相等。好吧，那么所以呢，它就是平行四边形。那么如果在此基础之上增加一个 a、 c 等于 b、 d， a， c 等于 b、 d， 那 么我们会知道 e、 h 和 f、 g 这组对这这组对边，它是 b、 d 的 一半， 那么这个我们的邻边 h、 g， 它也会是 a、 c 的 一半， 而 a、 c 等于 b、 d， 所以 就是邻边相等，所以它是个菱形啊，对吧？所以呢，它是个菱形。 接着我们看例三，在空间当中， a b 平行于 a 撇， b 撇， a c 平行于 a 撇 c 撇，请证明它们这两个角要么相等，要么互补。首先我们画出这个东西，画出这个东西 有没有两个情况，同学们去思考一下，为什么会有两个情况，对吧？首先第一种情况呢，我们这个应该会比较好想到，对吧？它们两个都是平行的， a b a 撇 b 撇平行， a c a 撇 c 撇平行，那么此时我们可以怎么去证明呢啊？我们看一下，分别在这两个角上截取四段线段，而且它们得是相等的，好截取它们相等的线段， a， d， a d 撇 a e， a 撇 e， 那 么使得它们是相等的， 我们呢？有时候呢需要一点，其实我们无论是在做初中的几何题，还是高中的几何题，其实我们会知道一个事情，就是很多时候感觉我们的空间感觉是很重要的，我们从可能说从第六感出发，我们认定了一个东西，然后我们再去做严谨的证明，比方说这个这个地方我们一连接起来， 我们就能感受到这两个三角形一定是全等，对不对？一定是全等的，而且我们可以干嘛？我们可以从结果推过程，因为我们的结果这两个是相等的，此时相等的情况下呢？ s， a， s 呢？他们一定是全等的，所以我们把它做一个连接 来看一下，那么此时我们已经有了两个 s， 对 吧？ s， s 已经有了，那么我们能不能证明这个等于这个我们也是感觉出发，我们会告诉能告诉自己一 d d 撇一撇，它是个平行四边形，那么这个时候呢，我们可以往这个方向去做证明， 因为我们是干嘛我们截取了这个 a、 d 等于 a、 d 撇，而且这两个不仅相等，而且平行，所以我们就能证明 a 撇 a d、 d 撇是个平行四边形。同理，我们也可以证明 a 撇 a 一 一撇是个平行四边形，那么我们就会有 这个等于且平行于一一一撇，那么这个时候呢，就会有一一撇 干嘛等于且平行于我们的 d、 d 一 撇，那这个时候我们就能证明到一 d d 撇一撇是一个平行四边形，进而我们就能在平行四边形当中知道一 d 等于一撇 d 撇，那么这个时候就凑齐了 s s s 他 们全等，我们就能证明这两个角相等了。我们看一下这个证明的过程，好吧， 同理证明两个啊，我们只需要写一个步骤，如果另外一个证明过程完全相同，我们直接同理就可以了，那么所以通过这个平行的传递性啊相等啊，然后呢就能证明他是一个平行四边形，最后呢 得到了这两个相等，那么结合刚才的两个信息，也是我们去设定的截取的，那么可得他们两个三角形全等，然后通过全等来证明这两个相等， 那情况二呢，就是他是往另外一边按，这个也是平行的情况，那这个其实证明就比较简单了，因为我们可以在射线就是另外一个方向延长，继续干一个同样的事情，就是我们的证明过程跟刚才情况一模一样，我们最后证明到这个角 等于这个角，而此时我的什么 c 撇、 a 撇 b 撇不再是在这边，而是在 c 撇在这边，那么这个角角一等于角二，那么角三这个互补，我们这个关系就出来了，好吧，所以这个证明也很简单，只要在反方向延长，然后做相同的部分就可以了，所以我们就能证明出来。 好吧，那这个呢？是角等角定律，非常重要。那这个东西同学们也不陌生了吧，在初中里面也会有，对吧？所以这节课有没有发现 我们就是在说啊？我们的平行线，在空间当中的平行线可以传递他有等角定律，而这两个东西跟我们的平面是一模一样的，平平面能用，空间也能用，就这样子啊，对吧？所以说如果空间当中两个角的两条边分别对应相等， 不对应平行，那么这两个角相等或者互补，两种情况，对吧？都很简单啊，对吧？都是可以从平面迁移过来的，好吧，这个就是我们的这节课啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。

一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到立体几何平行的全 体行，在这节课，我会给大家把见面平行，面面平行所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是怂问题。 那么首先呢，我们来看到线面平行，你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b， 使得 b 和咱们的 a 是 平行的，那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈， 那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推导咱们的 a 呀，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢，给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的， 但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边他是平行的哈， 所以说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b d 呀，对吧？所以说我们直接连 b d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时来我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的，而此时来咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目。 那么我们再来看看第二种题型，就是我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点， 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了， c e 在 这的，我们要去找它平行于平面， a， d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给它平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a， d， e 看起来就很像了，但是我要怎么去说明它看起来很像，但是实则它是一个平行关系嘞？你会发现哈， 这看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明它是一个平行四边形嘞？那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于咱们的 c， d， e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢， dc 为二的哈， dc 为二，那么平移上去， c， d， e 也是为二的，所以说你又有平行，又有相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈， 因为咱们的 c 一， 第一它是平行于 cd 的 cd 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 cd 一 啊，它是平行于 ab 的， 又因为咱们的 a 一， 它等于 cd 等于 cd， 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 cd 一， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以立刻推到咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c 一， 它平行于 a、 d 一， 然后你就可以说，哎，因为一个包含也是个平面，另一个不包含也是个平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 咱们再来看到第三个题型哈，就是证明面面平行，大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，他就可以唯一确定一个平面，他就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思。那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行四边的平的平行，那， 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我看到中点我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时来它让你去证明的是咱们的 a、 e、 e、 f， a、 e、 f 来画一下哈， a、 e、 e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d g 的 a d g， 哎，也就是后面这个大的三角形，那大家来观察一下哈，我们这两个平面，它会出现哪两组线线平行啊，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行， 对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么？先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e g 连 e g， 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形 哪一个嘞？是不是咱们的 a e g， d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d e 平行于咱们 e g 啊？对吧？ a e、 d e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b e、 c e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的，所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形，所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了。我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来？ 正，咱们的 a、 d 一 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b、 c、 d、 e 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a、 b 它是平行且等于 d、 e、 c、 e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写了？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢，我这里和这他是什么？他是相交直线哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得整两个平面是平行的。那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，它是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢？是一个点一个动点， 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e b f 时， p a 它要平行于 e b f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的， 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c 就是 四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行。你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大解题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页，这里群聊数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。

哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二，第八张立体几何初步八点五点三，平面与平面的平行来到了我们的平行的第三个，对吧？面面平行，好，我们来看一下。首先同样的第一道立体，如图，我们会看到 直线 l 和直线 m， 它们都平行于平面贝塔，而 l 和 m 呢，是属于这个平面阿法的，而 l 和 m 呢，它相交于一个点 a， 这两条直线它是相交的关系，然后呢，去证明平面阿法平行于平面贝塔。 同样的，我们上节课开头的时候就跟大家讲了，我们说平行，对吧？我们第一次接触平面与平面平行的这个概念，但是只要是平行，它的核心就是什么没有焦点， 那么没有焦点正无的问题，我们用反正法假设它不平行，那么我们尝试一下，会得到什么样的结论呢？我的平面阿法跟平面贝塔不平行的啊，比方说平面阿法这样子啊， 那么我们就会知道哈，阿法和贝塔它会相交，假设这条交线为 n， 那 么我们上节课的线面平行，告诉我们什么东西啊？ 这条直线幺，它位于阿法上面，而直线 n 呢，位于贝塔上面，是它们两个平面的交线，对吧？那这个时候呢，由这三个条件我们就能得到什么过 平行于平面的这条直线的这个平面和这个的交线跟这个平面，是啊，跟这条线是平行的关系，是吧？跟这条直线是平行的关系，所以呢，我们通过这样子的方式呢，就能得到这条直线幺和 n 是 平行的，那么后面呢，我们同理 m 和 n 也是可以证明平行的，同样的，相同的道理，我们过 m 的 这个平面和贝塔相交，那么这两条线也都是平行的，那根据平行线的传递性，那么就会有 l 平行于 m， 对 吧？那么 l 就 会跟 m 平行， 那 l 跟 m 平行，很明显就跟这个条件，就是它们是一个相交的直线，是矛盾的， 是矛盾的，所以与这个矛盾，所以假设不成立。所以呢，这里五个条件，这个就是我们面面平行的判定定律。如果一个平面内的两条相交的直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行符号表达语言表达如下， 来试一下，我们看一下，如果一个平面内，那现在这个平面是谁？阿法，那两条相交的直线谁啊？幺和 m， 那 么 ok， 这个是阿法上的两条直线，那幺包含于阿法， m 包含于 阿法，好与啊相交直线。第三个条件啊， a o 和 a， m 呢？是相交的，相交于谁啊？点 a 与另外一个平面平行，谁跟谁平行啊？直线，两条直线分别，所以 a o 呢，也平行于贝塔， m 呢也平行于贝塔，哈，把它写出来。所以这个地方有多少个条件来证明出这个面面平行？五个条件哈，所以有五个条件证明出来，判定出两个平面是平行的关系。那么这个地方呢，给一个应用实力，继续我们的木工师傅， 木工师傅呢？把水平仪，首先这个水平仪啊，他只能去证明一个方向上他是水平的，那么怎怎么证明这个桌面上他是水平的呢？他往一个方向坐， 另外一个方向也做，哎，不重要，具体什么方向不重要，关键是他们不能是平行的，他们得是相交的，对吧？他们相交的，那么只要是相交的方向不同的，两个不同的角度，那么两个都平行，那么就说明整个桌面他就是水平的，这个是一个，也是一个非常日常的常规的应用。 ok， 然后呢，我们来看一下课本的一道例题，如图，已知正方体，然后呢，求证这两个平面平行，那么我们会知道呢，我们要去证明两条直线跟某一个平面，嗯，比方说我们找其中的一个吧，比方说我们去证明 绿色的这个平面上面有两条直线，我们来看一下，比方说 dc 一 撇，因为都行哈，三条线都很好证明，比方说 dc 一 撇， 我们很容易能想到他跟谁平行，他跟 a b 一 撇平行，对吧？我们通过证明这个东西，那这个东西又怎么证明的呀？我们通过什么呀？ b 撇 c 撇 b 撇 c 撇， 跟 a、 d 跟 a、 d 干嘛？平行且相等，对吧？能够证明出来平行四边形， b 撇 c 撇 d、 a， 是 吧？那么根据平行四边形，我们再来证明出这个东西，证明出了，然后呢，通过三个条件结合另外两个条件，对吧？然后就能推出我们的这个什么 d、 c 一 撇是平行于这个平面， a、 d 撇 b 撇的，那么走两次这样的方式啊，这里是我们证明了 d、 c 一 撇，大家也可以去证明 b、 c 一 撇 去平行于这个平面， b、 c、 b 撇这条边就跟谁啊？跟我们的 a、 d 一 撇， b、 d 呢？跟我们的 b、 d 一 撇啊，是吧？通过线线平行，通过线线平行，你看我们的思路哈，线线平行来证明出我们的什么线面平行， 再通过我们的线面平行进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们的线面平行，进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们后续所学的这个 啊，那个线面垂直，面面垂直接新的概念，它其实最核心最基础的都是，首先回归到我们最熟悉的线线垂直和线线平行，它都是一个基础，它都是一个基础，从从一个到第二个到第三个，你们发现这样的规律，所以我们来看一下， 在正方体当中，我们这个地方用了什么呢？首先我们第一条用的是 a、 b、 a、 b 平行于 c、 d 啊，我们用的是 a、 b、 c 撇 d 撇的这个，我们去证明这个是一个平行四边形，进一步呢，我们证明出 这两条边是平行的，那么又因为啊，我们走程序，对吧？我们又因为一个条件，两个条件， 三个条件啊，我们千叮嘱万叮嘱的这三个条件，五个条件，那一定一个都不能漏，对吧？又因为这里集合集齐了三个条件，然后接着呢，我们才能证明 a、 d 撇平行于这个平面，对吧？啊？然后接着呢，我们有了这个 东西之后呢，我们再正下一条边啊，同理，因为它的逻辑是相同的，同理我们可以证明这一个平行于这个。看在这个答案当中，就反过来，我们在红色的里面找找两条线啊，去跟绿色的这个面平行啊，都是一样，对吧？找了这条边和这条边 跟它平行，然后最后呢再加三个条件，你看右音，你看一个条件，两个条件，是吧？然后呢，这里可以是三四个条件， 因为逗号隔开了两个表并列，逗号表并列，然后呢，相当于说 a d 一 撇属于啊，那个包含于这个平面， b 撇 c 呃， d 撇呢，也包含于这个平面，然后呢，所以这里算两个条件。这个地方五 同学们考试呢，就最好不要这么写啊，考试最好不要这么写好不好？然后呢，这个地方可以分开来写，两个条件会清晰一点，一二三四五个条件，所以我们证明出两个平面是平行的关系，严格的去按照这种严谨的逻辑思路去进行证明，然后我们来看它的性质， 面面平行之后，他有什么样的性质呢？第一个呢，就是跟直线平行的传递性是一样的，平面平行也有传递性质，对吧？就是说如果阿法平行于贝塔，而伽马又平行于贝塔，那么他可以传递过去，阿法就会平行于伽马。好，除了传递性呢，我们还有另外两个性质， 性质，一两个平面平行还在这个地方，阿法平行于贝塔，如果一条直线在其中的一个平面上啊，这里画出了一条直线幺，他在这个平面阿法上，那么该直线与另外一个平面平行， 这一条直线就会平行于另外那个平面啊，对吧？我们会得到这样子的一个结论，这个其实也很好证明， 因为直线幺我们说平面是没有交点的，那当然我们的 alpha 和贝塔都没有交点的，而这个直线幺是在 alpha 上面的，它当然是没有交点的，对吧？所以呢，这个是很好去理解的一个点。 那么第二个性质呢，就是如果两平面平行，同样的 alpha 平行于贝塔，那么分别属于两个平面的两条直线必然没有交点，对吧？我们会知道，因为 分别分别属于两个平面的两条直线 l 和 m， 它一定没有交点，因为它是分别属于两个平面，两个平面平行，它没有交点，对吧？那么没有交点，我们说有两种情况，是不是 要么平行像这种情况，要么就是像这种情况是意面的，对吧？它一没有交点，其实有两种情况， 那么当直线平行的时候呢？我们说如果一面直线不能确定一个平面，但是如果两条平行的直线能够唯一的确定一个不与该两平面平行的平面，没问题吧？伽马。那么所以呢，我们就猜想如下的结论，什么结论呢？两个平面平行啊，阿法平行于贝塔， 如果另外一个平面就是伽马，就是另外一个平面与这两个平面都相交啊，伽马交阿法会等于 l， 伽马交上悲惨会等于 m， 那 么这两条交线就会平行，那么三个条件就能推出 l 平行于 m， 理解它，然后说出来，对吧？这个符号语言，那么这个时候呢，我们去证明一下这个结论。我们来看一下 两个平面平行，如果它相交，那么两条交线平行，我们来看这个就比较简单了，因为我们直接我们都不用反证法了，因为我们说两 个平面平行没有交点，而分属于两个平面的两条线一定没有交点，而如果他们是在同一个平面上的，没有交点就没有交点，他分两种情况嘛？第一种情况就是不属同一个平面，那么就是异面，对吧？ 那么属于同一个平面，又没有交点，那么就是平行，那么他都说有第三个平面跟他们相交，那么就说明 l 和 m 是 干嘛？是共面的， 就相当于说共面的没有交点的这个直线直接我们顺着推，我们就能推得出来，他们两个相交一定是没有交点的共面啊，因为他们没有交点， 且你看我们有没有说专门给我们的两直线平行说这个符号语言呢？没有吧？没有说 l 和 a m 平行，是 l 和 a m 相交等于空，然后呢？干嘛？ 然后呢？就是他们两个不属于，呃呃，要属于同一个平面，有没有？ l， 呃，那个和 am 它都属于同一个平面，对吧？这里其实是三个，三个条件，对吧？三个条件推一个。我们有没有在当时直线与直线的八点五点一单独说这个东西？没有，所以说我们的这个东西是整理不进的。这个就再一次提醒同学们不要去背， 不要去背啊，像我们说要锻炼自己的符号语言的这种表达能力，对吧？我们想到什么就说什么就可以了。所以这两个条件说明了他们相交，且他们没有交点，且在同一个平面内，所以他是什么？所以他是平行的。好，这个就是我们的性质。二，刚才有三个性质，对吧？第一个 平面的平行是可以具备传递性的啊，好吧？比如说我们的一楼的天花跟二楼的天花和五楼的天花，对吧？一楼的天花平行于二楼的天花，二楼的天花平行于五楼的天花，那么就传递性，对吧？一层一层的楼板， 同样的道理啊，对吧？然后呢，另外的两个性质啊，第一个性质就是我们啊这个，然后还有刚才的那个性质一和性质二，好吧，这两个归类一下有多少个性质？ 然后呢，我们继续来完善这个思维导图。我们上节课呢就说，哎，我们第一节课八点五点一线线平行，八点五点二线面平行，我们这节课呢讲的是面面平行，对吧？面面平行呢？平面与平面没有交点，好吧， 那么我们通过什么样去证明面面平行呢？通过线线平行，对吧？你们发现我们都是从哪里啊？你看线面平行怎么判定线线平行啊？平行线者不用讲。然后呢，线线平行去判定面面平行，所有的基点都是来源于线线平行， 为什么在每一句结论的时候呢，都给大家一个这样子的一个标题啊，对吧？那么他呢？有两个结论，我们不说那个传递性哈， 第一个呢，就是两个平面平行，如果另外一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行，所以呢，他的第一个性质是推出谁啊？我们先看清楚他推出了线线平行，第二个推出了什么？两个平面平行，如果一条直线在其中一个平面上，那么该直线与另外一个平面平行，他推出了一个线面平行， 然后我们来看一下他的关系，线面平行是不是能推断出什么呀？看到没有，我们如果想要推断线面平行，当大家的脑袋永远都想着啊，线面平行，我要证明啊，什么东西？这根这条直线跟平面上的一条直线平行，那他不一定在现实的条件当中他好去证，那么我们就会有另外的一条道路， 是吧？有另外的一条道路，大家能理解吗？这个就是整理的原因啊，这个是面面平行的关，同样的，谢谢。平行哎，这个也是证明平行线的一种方式，所以我们会看到一个点哈，比方说这道题目，我们来看一下 正方形 a， b c d， a b c， d 是 个正方形和正方形 a b e f a b e f 侧面的也是个正方形，所在的平面呢？相交于 ab， 那么在 a e， b， d 当上面呢？会有一点 p 和有一点 q， 是 吧？两点且 a p 等于 d q。 同学们先好好想一下这道题目哈，去求证 b q 呢？平行于里面的这个 b， e， c， 我们想一下，然后停下来想一下，我们来思考一下，我们想到线面平行，我们说什么？我们去证明什么？通常来说它的最核心，最简单、最基础的一个判定定律就是这条直线平行于上边的一条直线，对吧？ 那么这条直线它不好找，大家会发现大家会发现它不好找啊，那么这个情况下，我们就说我们怎么样去证明呢？我们怎么样去证明呢？同学们先看一下这个方向有没有办法能够找到， 那没有办法找到的话，我们是不是叫思考有没有可能是另外一条路径，这条路径，这条路径就是我们干嘛呢？我们先证明一个平面平行， 对吧？我们来看一下这个路径，先从面面平行一直证明正到他的一个先面平行，那么这个路径我们看一下怎么找找哈。首先他过点 p 做 pm 平行于 e b 啊，我做一个这样的平行过来的，然后呢，连接 m a m q， 哈，连接 m q 这个表述同学们一定要说清楚，千万千万不要说我做一个 p m 平行于 e b， 然后做一个 q m 平行于什么 b c 啊？这是不对的哈，你怎么知道做了两个平行线，它会相交于一点呢？所以不能这么讲啊，我是做了一条平行线，当然也可以从 q m 做过来，然后连接啊，对吧？我们这个地方只是做连接，所以要搞清楚，在我们的设定当中， p m 是 平行于这个 e b 的， 但是 m q 没有说平行于 bc， 哈，我们要看清楚这个点，然后呢，连接完之后呢，我们很容易证明说什么我们的 a e 等于 d b， 这个就不用说了吧，一个相同边长的正方形的对角线相等，就 a e 和 d b 相等，这个不用讲了吧？那这个时候呢，我们会有什么样的结论呢？首先第一个 a p m 的 三角形，因为它是平行于底边的，会和这个三角形 a e b， 它是干嘛相似的？那么它们相似呢？当然我们就能得到三边成比例，对吧？ 那么我们究竟要干一件什么样的事情呢？我们想，如果我们也能证明这个 m q 平行于 a d a d 平行于 b c， 那 么我们这个两个平面的平行问题就能得正了。 那这个时候，如果他们是，哎，像我说的，用题目嘛，用结论来推过程，对吧？这个不是搞科研题目，用结论可以推过程，因为他们这两个平面一定是平行的，那么所以这个平行于这个也一定会平行于 m q， 那 么所以我们会知道什么？ 我们用这个 d p 等于 d q 来做一个媒界看一下哈。我们首先 am 比上 ab 等于 ap 比上 a e， 这一部分是我们的相似三角形的结论，对吧？而后面的一部分呢，就不是哈，我们要看清楚这个式子啊，这一个部分呢，好， 我的 part 一， 这个是 part two， 那 么第二个部分呢？这个部分呢，是 a p 比上 a e 会等于 d q 比上 d b， 这是题目给的条件。首先 a p 等于 d q， 所以 这个等于这个 a e 和 d b 的 a e 和 d b， 刚才我们说了，它是正方形的， 呃，相等边长的正方形的一个对角线，它们相等，所以这个会等于这个，所以我们以这个作为一个什么？作为一个媒界， 以这个作为媒界，调节起了这两个的比值，那么有了这两个的比值呢，我们就会知道什么东西呢，就会知道它们是 相似的，就是我们的 b m q 和 b a d 两个三角形是相似的，再加上它们有一个公共的一个角嘛，对吧？那这个时候呢，我们就能证明了， m q 平行于 a d 又平行于 bc， 那 这个时候是不是就是，哎，五个条件，对吧？五个条件， p m 又平行于，呃，下面啊，我们要，还要，还得先证明啊，线面啊。对，我们还得先证明线面啊。又，因为 m q 呢，不属于不，不包含于这个面 b e c b e c 底面，而 b c 呢，是底面 b e c 上面的一条线，所以三个条件哈，这个地方一个条件， 两个条件，三个条件，所以 m q 平行于底面。同样的，我们相同的推理过程，是不是就能干嘛就能同理了？同学们一定要去多使用这样的，不然到时候呢，我们做题的时候就要写很多很多，对吧？因为它们的相同步骤，我们就没必要再写一次了，对吧？啊？同理， 异正 p m 又平行于这个底面，那这个时候呢？一个条件，两个条件，我们是不是又因三个条件，一个两条件，两个条件，三个条件，一二三总共五个条件，它们两个属于包含于这个平面，然后呢相交，对吧？于点 m 啊，一共三个条件，一共五个条件， 然后呢去证明出两个面平行，然后我们知道 p q 是 这个面上的其中的一条线， 所以 p q 看到没有？如果同学们没有刚才我们做的这个什么东西啊？那个思维导图，同学们就会出现一个问题，就是疯狂的在没有这个的时候，疯狂的在底面找一条线，会找得很辛苦 啊，会找得很辛苦，而这条线呢，它会变，关键是这条线它是会变，它不是一个固定的线。有没有发现，你比方说我的 q 在 这个位置对下来，我先不管，大大概是这样子的吧， 那我的 q 如果在这个位置，因为他给了 a p 等于 d q 嘛，他有可能长这个样子， q 有 可能在这里啊， d q 比较长呢， a p 也会比较长，那这此时对下来是这样子的， 那么我们当然就会发现，这两条线是不是是不一样的两条线，因为 b p q 也在变，这个的角度也在变，我们是很难证明的，除非我们要用动线啊，这个现在来说应该是解决不了的这个问题， 对吧？那所以呢，我们怎么办呢？这个东西我们就通过另外的一条路径，先证明他过这条线的其中一个平面，那这个就是我们刚才的思维导图， 当我们在大脑当中的时候，我们就会在这个图里面去搜寻有什么样的方法，我们想到有没有可能先证明一个平面平行于另外一个平面，不然你们就会干想没有其他的办法，所以呢，这个就是我们大脑当中要有一个清晰的思维导图的重要性。好， 接着我们来看一下例五，继续是课本的一道例题，夹在两个平行平面之间的平行线段哈，这两个平行线段阿法和贝塔呢，是平行的 两条直线呢，它是平行的，那么夹在中间的这个线段 a、 b 和 c、 d， 我 们要证明它相等，我相信这个应该也不难想到吧，很容易能够想到，它们连起来呢，这个是一个平行四边形，那么它的对边就会相等， 那么现在呢，我们来看一下怎么证明。首先 a、 b 平行于 c、 d 是 题目给的条件啊，已经有一个了，那么我们能不能证明 a、 c 也平行于 b、 d 啊？这个也很简单吧，最基础的我们的一个平面平面， a、 b、 d、 c 啊，这个平面是吧？那这个平面它会哎，首先我们要确定它是一个平面，对吧？为什么它是一个平面？因为 a、 b 平行于 c、 d， 所以 两条平行线唯一确定一个平面，所以这个是一个什么？这是一个平面。 我们如果要严谨的去证明，要先说明一下这件事啊，它是一个平面，不然 a、 b、 c、 d， 它不一定是一个平面啊，如果严谨的证明，那么这个平面跟两个平面阿法和贝塔相交于线， a、 c 和 b、 d， 它就会干嘛？ 就会平行，那么我们就会得到两组对边平行，就能证明到 a、 b、 d、 c 是 一个平行四边形，进而就能证明，所以这个不难证明哈，来看一下， 这个并不是很难证明，通过证明平行四边形，好吧，好，那么这个呢，就是我们的下一个结论。面面平行之间的线段长度，我们会知道它们是相等的。阿法，如果两个平面呢，是平行的，而 a、 c 在 阿法上面， b、 d 在 贝塔上面， 那么此时我们就能这两个条件说明它是一个线段，说明这个和这个是一个夹在中间的线段，而此时 ab 平行于 cd 啊，四个条件，我们就能说明夹在两个平行平面来看，两个平行平面 夹在线段是这两个平行线，这个四个条件我们就能推断出 a、 b 等于 c、 d， 对 吧？这个就是我们的这个性质新增的一个性质来看。第六，如图，已知 e、 f 是 正方体的棱的中点， e、 f 是终点，求证这个 b、 e、 d 撇 f 是 平行四边形啊，对吧？我们来看一下，那这个呢，我们可以怎么去证呢？我们可以啊，通过通过这个，比如说这个拉过来， 这个平行于这个且相等，对吧？相等长度就很好说明了，这个勾股定律就能证明了，是吧？ 平行我们要证明什么？拉过来之后，这个跟这个平行且向下且相等，我们就能证明这个打斜的 e、 b、 c， 比方说这是 m， 这是一个平行四边形，那么我们就能证明这个和这个平行且相等，进而这个 m、 c 和 d、 p、 f 平行且相等啊，这个不难证吧？所以我们这样子取这个中点 g， 然后我们这样连接， 然后证明 e、 g、 c、 b 是 个平行四边形，然后呢我们就能证明平行的传递性， 而且呢这个长度相等，对吧？我就简化了，因为这个很简单，考试也不会出这么简单的，我们就捋清一下思路，所以它是平行四边形。好，这个地方呢，同学们可能就想， 不用这么复杂，对吧？我直接干嘛？我直接这个平面 e、 b、 f、 d， 他 跟我们的左右两边和前后两边的两个平面相交，那么这个对边平行，这个平行不就得了吗？所以这里呢，就给同学们一个经典的一个错解， 也是刚才我们一直在提的一个点，我们在做任何一道空间题目，如果有四个点，务必要确定他是否共面。 像在这道题目当中，你如果用这样的方法，那有一个前提，你得先证明 e、 b、 f、 d 撇这四个点是共面的。我们题目的条件有说这个东西吗？没有说这个东西，你得先证明它是共面的，然后接着走这套流程， 那这个才是正确的。同学们一定要在以后做所有的空间几何的题目当中，都要注重注意 四点，他是否共灭的问题啊，是否共灭的一个问题，这个很重要哈，这个是非常的关键。好吧，那这个呢，就是我们的这节课的内容。好，我们下节课再见，同学们，拜拜。

好，那今天我们来计算二面角的大小，我们通过第二面角， 然后呢，平面角是九十度，就叫做十二面角，两个平面就垂直，这跟初中定义两个直线垂直是对立的， 那这一局我们的任务就是来求这个二面角的大小。那首先我们回顾一下什么是二面角？一条能出发的两个半平面构成的图形出二面角， 那怎么来度量它的大小呢？它需要用平面角来度量，是吧？ 那哪一个角是它平面角能上去一点，分别处垂线所形成的图形，比如说我们的图中是一个钝角，这是它平面角， 为什么这个脚可以来衡量贝塔香奈儿法的位置呢？ 别人就不行呢？啊？最大？什么最大？什么角度最大？如果我做 b 点不垂直的呢？ 那这条线 b o 撇跟 r 所成角在哪里啊？ 哎，我们刚才是钝钝的二面角，是吧？所以它的射影是谁啊？ 我们把这点记做 h 好 不好啊？那 bo 跟 bo 撇所成的角是谁啊？ 这两条线跟二把所成角是谁啊？一个是 b o h， 一个谁？ b o 撇 h 谁更大？因为对边带一样长一样长，而 o 撇 h 比 o h 来的长，所以这个角度应该来的大， 所以我们用的是用的是什么角？是面里面的线和另外一个平面所成角里面最大的角，最大的角，这就确定呢？这是唯一的来定义， 来定义贝塔相对二法的情节程度，对吧？那比如说在这里，那应该在这个陷面角的什么角？五角，如果钝角的时候是最大的陷面角的五角，最大的陷面角是什么呀？五角，如果他是内二倍角呢？ 那就是我们的什么最大的陷面角，最大的陷面角啊， 好，那第一个是大小的度量来看题，这是一个三轮锥， v c 根号三，其他都是二， 其他全是二。请问 b a b c 大 小谁是零？ ab 两个半平面， v a b 跟 c a b， 那 我怎么做它呢？你们讲我们注意到 v a、 b 是 什么原因？ 等边， c a d 也是等边能上取一点，分别引垂线，那就取什么点，那就去取谁的终点。 a b 终点，我们把它记作 m 吧。然后呢，连接 m v 跟 m c 兄弟连起来，连起来。然后呢，则怎么样？则 v a v m 垂直于 ab， v m 垂直于 ab， v c 呢？ m c 呢？垂直于 ab， 所以呢， a 角 c v m c 为 二面角的平面角。六，这三段都知道，所以这个角度几度？六十六十，然后下结论。所以二面角的大小多少？ 其实是三步骤是吧？第一步是干嘛呢？对吧？第一步，我们在做的是什么？什么活来度，把这个角度做出来。 第二步，我叙出了一堆来证明这个角数是二面角的一面角。 然后第三步，去去什么取，把这角给取出来，所以有三步骤。那我们把这种求二面角的方法叫什么法来，第一个方法叫什么法？定义法是吧？ 特别的构成这两个半平面是有特点的，是不是那两个都是全等的？等边塞，那我 v m 若垂直连接 cmcm 度也一定垂直啊，这两个是全等啊。 来，接着我们拆开第二二面角六十度， 那我们画一个四域图，二面角六十度，等于是 l a、 b 在 a、 b 分 别在二百根贝塔内，到它的距离是二根四，这是两个单位，这是四个单位距离，距离是垂直的。 然后再来这条长度为十，长度为十， 求 ab 跟 l 所成角正弦值是多少？ 呃，事实我都看明了，是吧？在哪个东西没看到？没看懂啊。六十度在哪里啊？ 能上几点？分别引垂线？哎，我虽然是引了垂线，但是几个点 两个点，说明啥意思啊？说明我 a、 c 跟 b、 d 这两个异面直线所加的几度。 我真的那意念直接转下六十度那意念了怎么办？共灭。怎么变成共灭呢？你已知之爱。 其次，我要求线 a、 b 跟 l 所成角，我也得去什么啊，所以也得去平移。所以怎么做过 c 做 b b 的 平行线，然后再过 b 做 c， b 的， 这全部都搬过来了。 哎，当完以后这个 a、 c、 e 这个平面长的什么特点？ 这个平面跟人什么关系啊？哦，你们人是不是垂直的？这个 c、 e、 b、 e 有 什么特点？ c、 d， b 是 什么？什么形啊？什么矩形啊？ 那我所乘角在哪里？ a、 b 跟 l 所乘角在哪里？哪个角？ a b a b a b 换哪里？研究 ab， a、 b， e 是 什么原因？因为 b、 e 跟正面什么关系？所以说什么原因？ 我的六十度在哪里？ a c， a、 c、 e， 这是根据什么来的啊？还是刚才那个问题出定义法？上局一定有分别是以权限六十，这等于二，这等于四，这 道等于几十，所以这条是什么？十 正弦值等于谁啊？就等于两倍的根号差除以几啊，对了没？所以刚才这个二面角我们怎么处理呢？第一把你有锤子吧，横上取一点，分别引全线， 如果是一点引全线，一步到位都是两点的半移在一起就变成一点了吧。你过来啊，你过来啊！第三题， 已知三人追踪， s a b 九十， s a c 九十，还有 abc 也九十，知道吗？ s a 跟 ab 相等， s b 跟 bc 相等， 那信息我都给它可塑化了，在图上给它标识出来了，清晰可见，对吧？ 这是啥东西啊？哦，原来是编码的模型，编码的模型对吧？第一步，这名 s b， c 跟 s a、 b 垂直，判定定命 运垂直，通过评估一下谁的权限好走，是 s a， b 好 还是 s b c 好？ s b c y 似的是不是？ 而 s a、 b 是 绿色的，它又是边到的模型，所以它的垂线是谁啊？啊？ b c b c 垂直于平面 s a b， 然后我 s b， c 过 b c 垂直了没？ 二，求二面角 a s c b 来思考一遍。 uhh， 那这个编码的模型所有的长度，这个关系度都清楚了。所，所以我们设 a b 为 a， 但是都可以标注出来的 啊，那构成这个二面小的两个半平面， a s c 角三角 形，斜边为几？哎，斜边为二 a， 所以 这两边直角边 a 跟二三 a， 另外一个呢？ s c， b 呢？啊？ s c， b 是 等腰直角三角形 能上去一点分别引垂线好做吗？是吧？不好做，这招怎么办呢？ 我们的目标是不是做能 l 的 垂线， 那如果要线线垂直，那什么呢？我们线线转换什么？空间里面线线转换成什么？是不是成了固面的线？线垂直也就转换什么线，找一条线在另外一个面呢？啊，是说射影所成的角 摄影垂直是斜线垂直吧，你看我们这是 s c， 这里面一个 a， 这里面是一个 b。 来，那你要用摄影三垂线来找摄影，所以我过 a 列记住 s， b， c 的 垂线， 这步 a 点在这边的摄影做出来了。那如果我这里做垂直呢？我做摄影垂直，则一定有什么斜线做垂直， 或者我斜线如果垂直，那摄影呢？而且这是一个什么原理？所以我们第二招用三垂线法来做 三垂线啊。三垂线， 因为这两个半平面同一点做不好做，因为两个半平面不是相等的，对吧？咱们也没什么确定不好做，所以我们去构建会知道在哪。 那怎么样？那现在到底是 b 去做 s， a， c 的 垂线好做，还是 a 去做 s， b， c 的 垂线好做？ b 比较好做是不是？ 然后过 b 点做 s、 c 的 垂线，那就只要做谁的垂线就行了啊，是不是？兄弟，那这条线我就去做 b e 吧。 b e 谁是 a c？ 那 b e 会不会谁是背面？这是 a， 根号 a， 根号三 a， 谁这条长度 二， a 除谁根号三 b 去做正面的垂线垂足，我记住 e 这条长度是几？二， a 除根号三。接着呢？ 先生，你过 b 点去做人的垂线可以，你过 e 点去做人的垂线，可不可以效果一样一样。 那到底是 b 点好做还是 b 点？为什么 b 点好做？那取它什么点？取中点连起来，这个 b o 是 不是全是 n c？ 而 bo 在 s a， c 的 射影是谁啊？ o e， 哦， bo 跟 s c， 谁是谁？ o e 呢？谁是谁？这个角就是 二面角呢？一面角，而且这个三角形是什么意思？ 那 o b 多长嘞啊？ o b 是 a 这么长，是不是？所以这个角的什么值可以搞定了？正弦值，所以正弦值？是啊， 二除以 c 搞定了没？不有可能是二啊，根化二大于一，根化二除以根化三搞定了。 因为我要做人的垂线嘛，是不是叫做人的垂线？ 所以，所以我要斜线跟你垂直，我摄影跟你垂直就行了吧？摄影跟斜线不也垂直啦？所以我们勾线，勾线，线面垂直来勾线这个二面的弧面的。 大哥们，那刚才我们做出来的这个面跟人什么关系啊？垂直的什么跟人垂直啊？所以我要找二面角和平面角，其实就是找一个面跟人怎么样垂直， 所以找一个面跟人垂直，所以我们这种话就叫做垂楞管。啊，垂楞管， 那既然跟人垂直，所以我做的这个面跟阿尔法贝塔什么关系啊？做也垂直了，第一次，那就是垂面法， 我如果做一个面跟阿尔瓦贝塔都垂直呢？我做一个面跟你阿尔瓦贝塔都垂直呢？那我跟你的交线什么关系？垂直的，那就 l 是 垂直我这个面，那 l 是 垂直我这两条线，所以这个角是二面角，平面角， 那其实都是一回事的，就是做一条，做一个面跟人怎么样？做一面跟人垂直就行。那要做一个面跟人垂直，就是做一个面跟阿卡贝塔都垂直，是做面的曲面。 好，接下来我们来看一下，已知平面被塔内有一条直线，是 a c a c 跟二百三十度， a c 跟 b d 四十五度，请问这个二面角的大小多大？ 哎，三十度这条线在哪里啊？过 a 点做这面的怎么样？垂线，这垂足为 a 型，然后呢？ 所以这个角度几度？三十度，这个角度三十度， a c h 三十度，我 h 跟里面谁知道把脚面都摆上要求的平面角在哪里啊？ 这二面角的平面角在哪里啊？啊？三垂线法是吧？有线面垂直的，我只要做交叉垂线就行了嘛，所以过过 h 点也行，过 a 点呢也行。过 a 做 b d 的 垂线垂足为 o， 然后连接 o h， 所以 这个呢？而且 a h o 什么概念？不知道这样的哎，搞定了没？ 哎，那现在我这个二面角大小都减减，直角大于谁啊？啊？ a o h 是 吧，都减下 a o h 设了，它为 a， 那 c o 呢？ ac 呢？ ac 更换为三十度，谁搞定了？ a h， a h 是 二倍的根化二，二倍二是它一半，二分之根化二 a 一 半呢？三十度 这个数只要占一半一半 a， 那 a o s 数两边知道了， 一边是他这个角的什么值？左边对边，一边是边边，所以这角的什么值可以取出来啊。所以正弦等于几啊？二分之根号二，所以大小四十九。好的， 那刚才我们是用这一定是吧。用三垂线法，三垂线， 斜线，垂直的摄影角，所以得到的是二面角的平面角，用三垂线法来做来。那继续我们再看。 已知 abcd 是 一个正方形， pa 跟底下垂直，并且 pa 的 长度跟 ab 一 样长。 九 p a b 跟 p c d 所成二面角的大小。 哎，这个模型叫什么？羊马是吧？ 现在这个二面角长的什么特点呢？各位 能能没刨出来是不是？但能是不存在的。我们这两个半明明是有交界的吧，有姑娘对一条交界这种的话，我们把它叫做无能二，命小啊。 第一种结话，零人怎么办？五人法是不是 怎么补这两人？这两人长得什么样？那不就是球 p c d 跟 p a b 的 交线了？ 你都知道他是养马了，那补一下，这是谁啊？从宋康里的一条人啊。为什么 我们说 p a b 交 p c d 于 l l 有 什么特点呢？ l l 是 跟谁平行，为什么 l 跟 ab 平行呢？那个点， 为什么 l 跟 ab 平行呢？过线这面找标线什么前提？所以这线是平行呢？因为 ab 平行 c 力，所以 ab 会不会平行平面 pcb， 然后呢？过线过线又 ab 再平面 pcb 中过线 做了一个面，找到谁交线，结论， a b 平行，谁来了？右 pa 垂直于底面，所以 pa 垂直谁 a b 所以 pa 垂直，谁来了， pa 又垂直来了， 那 pd 会不会垂直 l 啊？也会是吧？选 pd 也垂直 l。 所以 二面角的平面角是谁啊？啊？ a p d 什么 a p d？ 这不就是我们二角平面角， 那这个角度为几度？四十，所以这个二内角大小为补，能把能给补出来，但是大家你们发现我们补来补去补来的寂寞， 哎，你们都不要把二段就行了哈。为什么不要把二段也行啊？你要做二面小的比面小，事实上是 做一个面，做一个面跟谁谁吃，跟 l 谁吃，是吧？要做一个面，跟他交界谁吃。就是要做一个面跟这两个面都垂直， 都要做一个面，跟这两个半明面都谁吃啊？所以刚才我们有一个方法，几方法是叫什么法啊？水念法是吧？来，我们具体怎么实施， 先证谁先证平面 p a d 垂直平面 b a b， 然后平面 p a d 垂直于平面 b c d 这两个平面交于 l 则怎么样？ 这两个平面都跟他垂直，他的交界跟我这平面有什么关系？你看地板平面比，这个地板平面跟你左边的墙面，他们的交界跟我这平面有什么关系？所以我 l 跟跟谁 p a d 是 垂直的， 所以呢？ pa 会不会垂直 l p d 会不会垂直 l？ 所以呢？咱们下结论说三个角平面角对不对 啊？在这个角度是不是四十五度？搞定了没？所以五个人二面讲两招，一定要把它补出来，是不是 一定要把它补出来？第二招呢？第二招，我们找他的面的水面或者人的水面 啊，那这是我们今天啊讲的内容就是侧面讲我们常见的招数啊，第一招是地面法，第二招是全面法 啊，第三招是三权现法，对吧？第三招是三权现法。第四招呢？ 就冷的水面跟什么啊？根面的水面对吧？把它吹起来叫做什么啊？常见的是这三招，常见的是这三招。 好，那今天第二个任务，上一周大家做的一些题目，我们来点评一下吧，对了， 难受的地方在于什么？ 如果没有根号五，咱们彩笔的招数是将军一号啊，将军一号拉直的是不是折线度拉直的？ 但是这屏幕的特点是，这是一个直角三，这条边为一，这条边为谁？你看数据太吉利了。根号五根一啥意思？破 m 做他的什么线？ 你说 m 撇吧，那我这是不肯定大于等于根号五倍的谁 啊？根号五倍的 m n 撇是不是谁啊？你这不根号五比一嘛，所以根号五倍的 m n 撇就是谁啊？就是 a m 撇是不是 另外一条呢？ m a， m a 是 斜线段最小，什么叫最小？垂直的上最小，那就 m n 撇吧。 那现在就变成 a m 撇加上 m n 撇吧。 a m 加上 m n 撇等于谁啊？这恰好是不是等于 ab 的 长度啊？因为我们这边是一个什么形，所以它就是 abd 的 长度，是不是就等于杠五？ 所以呢，当然以后我们学完语言以后，根号五倍啊，经常会去找他的叫做还原点啊。还原点，因为我们语言可以看作是到两定点距离之比，是一个 定值，对吧？所以根原上点根号五倍就等于另外一段。这有一个系数的问题，我们记得以后也经常会用到这一招啊，这一招啊，当然今天我们就这样。另外一个呢？ 另外一个角度，一个根号五跟 pm 存在一起有点像。什么面面积？总面积除以二分之根号五，这面积可以分成几块？ a， b， e， m 跟谁啊？ b e， m c 是 吧？ 那这面积数等于二分之根五乘以 p m 再乘以什么高高，你把 p m 变成什么？又高来？ p m 是 大于 二分之一乘以 m a， 再乘以这个角度 r， 好 吧，除以 m n 跟 b c 的 夹角处 r， 这是贝塔吧，对吧？上面是阿尔瓦这个贝塔，阿尔瓦贝塔有戒吧，所以给他放松一下，所以起来练习。 二分之一根号是谁？这边呢？二分之一左边呢？好了吗？两边都乘以二，是不是根号就出来了？所以第二个你要想到这里面是面积，所以可以面积把它记住 啊。再来再来，一四七面一十五皮， 打一个正方形的纸片。那你翻折的问题，我们首先 把它的平面图画一下咯， 我现在要把 a b， e 绕着 a e 处翻起来， 直角三角形，绕着斜边翻起来是什么？这样是不是旋转体了？是不是旋转体了 啊？刚给同学提到出两个圆锥，那旋转体的问题要注意啥？轴的什么线？垂线？那就过 b 做 a 的 垂线 是不是垂直过来，刚好是它什么点？终点，这是二，这是一随这段为二除根号，整条根号随这段为三除根号。那你这是二根号。这边出一个三等分点 啊， f o 的 三的分点数，这个，这个 b e 是 吧？呃，这有 b b 撇啊，我就 b e 啊，看见没？那你就翻起来呢？翻起来长得怎么样？ 这是 o 是 吧？所以这翻起来以后是一个啥？是一个圆圈的底啊？那翻到背面去，是不是这边的三角形？这里啊？ 翻到底下来是不是这个？所以点 b 撇的轨迹是什么？是一个圆，并且 b 撇 b o、 m 这四个点呢？共面是不是共面的？ 因为你这边要垂直吧，延长过去下一个终点啊，所以这个 f 啊， b 啊， o 啊， b 就 空空面了。再来， b 撇在里面摄影是谁啊？ 你这个 b o b b o， b 撇这个面的里面都垂直了，所以 b 撇在底下摄影出这条线上的某个点，摄影出在线上某个点， 没毛病吧？来，这 a b c d 哪个选项需要解释一下？ 比如 c 选项好不好？ c l 会零点吗？ f 点，然后 b 撇 f 跟底面所乘角， 线面所乘角就是谁了？ b 撇 f， 谁 用 b 撇 f， 而这这些是共面呢？共面呢？我看不懂，我把平面图画出来，这是 b 啊，这是 o， 对 不对？这是 b， 这里还有一个三分之一，这点是 f 点，你是长这样子的， 然后这个连起来什么社会最大？切切的话连起来是九十度，最大的一记，二除根号最大的一记， 单独跟好友，谁的挣钱是最大啊？不是这么多事情想恨着，明白吗？要再比如说，谁知道问题呢？ b 撇 b 会跟 a e 谁生呢？那 b 撇 b 的 投影是谁啊？ b f， 那 b f 跟 a e 会谁生？那是不是斜线这里也垂直的啊？斜线都可以做出来对吧？是旋转的问题。 再来，若两条异面所成角七十度，或空前一点，跟它们都成七十度，这样直线有多少度？ 所成角？那我们是不是都可以移到一起来啊？可以吗？ 那如果我过点 p 做一条直线，跟它所成角如果相等，这条直线长的什么特点？ 这个角跟这角相等啊？那我这上面找一点 q 做正面的射影，做 o， 然后过这做垂直过来， 比如说 q e 垂直啊，这个真 q 是 吧？这是 o 啊， q e 垂直 a q e， 如果垂直 a， 那 o e 呢？垂直 a， 那 q f 垂直于 b， 那 o o f 呢？ 这两个脚相等刚才这只直角，所以左右两侧的两个三有什么关系？全等，这两段是不是相等？ 这两段对于底面来讲叫什么？叫斜线？那斜线如何相等呢？投影是不相等， 这两段相等是啥意思啊？到角的两边距离相等，所以这个点在哪里？ 所以我们现在解决了一个问题，如果过点 p， 要做一条线，跟 a b 所成角相等，那这个这条直线 l 在 这底面射影，一定是谁啊？是角平分线， 所以你看我们这个是七十度是吧？那七十度这个区域里面是不是这个叫做角平分面啊？从上到下还有呢？还有是不从下到上 只有两个区域，上面可以做，做一条，底下能做一条。还有两个平面是谁啊？钝角一百三十，一百一十度，这边是不也有啊？ 看见没？看见没？这个角度，这个最小是几度啊？三是三十五，所以跟 a、 b 三十五这样子有几条？ 是不是？有，且只有在这个面上的这条，然后四十度有几条？ 这一边是可以做一条四十度的，底下能不能穿上来一条？可以。而在这个区域里面，你是一百一甚至几度？五十五最小几度， 最小是五十五。那你要做四十度，能做的来吗？做不来对吧？做不来， 因为我们刚才为什么这个是最小的？为什么三十度最小？三十度是什么？躺着的都躺着的， 所以我这个斜的一定比躺着的来着什么大，所以最小是几度啊？三十五是最小是三十五。来回到本题， 他说要做七十度的，是不是？那你这里最小几度？三十五，所以在这个区七十可以做几条？两条这边是几度？最小几度？五十五也可以做几条。什么时候是三 条？那七十度改到几五十五，那这样子线可以做几条？什么时候两条 三十五到五十五之间是多两条三十五度的叫几条？三十度？没有，没有是吧？搞定了吗？ 因为所成角是可以进行平移的，所以你都移到一起来，变成过一点的线。

哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二第八章立体几何初步八点六点三，平面与平面垂直。好，来到了我们的本章的最后的一节课哈，也是我们的这个垂直的最后的一节课哈，面面垂直的关系 好，我们通过呢。跟之前一样，我们说除了线面垂直是一个特例，他得单独定义之外，别的都是先定义角。我们这里看一下哈，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。同学们说，哎，没看懂什么意思？ 从一条直线出发两个半平面，什么叫半平面？我这个地方这条直线截了这一边，你就不要去延伸了，平面是往四周 无限延伸的，对吧？那这边不要延伸了，往这边延伸一半的平面叫半平面，这个东西哈，半平面和平面不要觉得它很复杂，我们只需要去类比半平面是什么射线， 那么平面呢？就是直线好不好？那么我们的这个另外一个呢？你看这边被塔这个整体所形成的图形，它就叫做二面角， 那么平面呢，会有两个角，也跟我们的直线是一样的，直线我们会有什么？平面角？它实质上是两条什么两条射线组成的角，它是有 零度到一百八十度的，对吧？那么另外一个呢？我们两边延伸，它又变成了什么？变成了直线，它的范围就是零到九十度，这个叫直线与直线所成角。所以其实我们的直线也有两个，我们就可以完全类比。 说很多时候哈，我们在画图的时候，我们都可以这样画啊，这个是非常重要的一个技巧好吧，比如说我们画这个角度的一个侧面，他就是什么，如果是平面，我们就画成什么，画成直线，如果是二面角就是半平面，我们就画成这个射线啊，就这样子。 好，这个叫二面角，那么这条直线呢？叫做二面角的棱，那两个半平面呢？叫做二面角的面哈，整体的整个东西叫做二面角。好，棱为 a、 b， 面，分别为阿法和贝塔。棱是什么？ a 和 b， 记作什么呢？记作阿法 a， b， b， 就是 说 我用这边的一个面，然后呢这个 a、 b 这条棱再加上另外一个面来做命名啊，这是一个命名的规则。那么有时为了方便，也可以在阿法和贝塔里面 棱以外的半平面的部分分别取点 p 和 q， 然后将这个二面角记作二面角 p， a， b， q， 那 同学们说为了方便它不方便呢？我，原来阿法 a、 b 那 个贝塔不挺好的，我还得找两个点，找两个点之后，这两个东西有啥区别吗？对吧？那么这里问题来了哈， 我们为什么要这么做呢？我们要有背景的，比方说我们看一下我们的正方体，那么比方说我们要去形容这个二面角，绿色的两个组成的一个二面角，好吧，那假如我们要使用平面的方式，我们就要写成这样子，对吧？ a， e， d， e， d， a， 一 杠 a， d， c， d， 然后呢，我们如果取点的话呢，就 a， e， a， d， b。 所以我们会发现什么问题啊？我们是要看上下文的，刚才我们要找这个点 p、 q， 我 们当然不去找了，对吧？对吧？而且刚才呢，我们有个面，这个阿法、贝塔现在没有嘛， 所以呢，当我们有这个点，然后这个面也没有做一个命名阿法、贝塔干嘛的时候，我们使用这样的方式是会方便简洁很多的，这个呢就是关于二面角的这个命名的法则的问题，对吧？ ok， 接着呢，我们来看刚才我们是定义了什么东西是二面角，我们还没有讲这个二面角多大，接下来我们看生活当中我们常说把门 开大一点，那这个是什么大呢？我们会知道哈，刚才定义了之后，会知道这个门跟我们的这个平面可以形成一个，比如说这里截住半平面，那这个就能形成什么？门面和墙面的一半就能形成一个二面角，那么这个二面角多大呢？就会涉及到这里的问题。我们来看一下 在二面角阿法 l 贝塔当中的棱上面任取一点，又哪任取一点，哪个都不重要， o 以点 o 为垂足，在半平面阿法和贝塔内分别做垂直于棱 l 的 这个射线 o a、 o b 好 垂直于这个垂直哈，不是 o a 跟 o b 垂直啊，这个不一定，我是 o a 和这个 l 垂直， o b 和这个 l 垂直啊，对吧？那么则射线 o a 和 o b 构成的这个角 a、 o b 就 叫做二面角的平面角，这个东西是不是就 跟我们的什么跟我们的这个平面角很像，呃，一样的，对吧？这样子二面角的大小呢？可以用它的平面角来做度量，好吧，所以呢，我们的这个平面角就是来量这个二面角的 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角，你看我们先花很长的时间来定义什么是面面所成角，然后呢九十度就是 直二面角呗，就这样子，二面角的平面角的取直范围是零到一百八十度，零可以取，就是他们闭起来啊，像嘴巴闭起来这样子，一百八十度像，像我说的，其实就跟我们的这个平面角一样的，如果我们从侧面图去看，就是一样的东西啊，对吧？好， 接着我们说平面与平面所成角，这个呢，课本在我们的下一本书选 b 一 那里才定义呢？很多同这很多老师，包括很多教材编辑教材的人都表示不理解，那我其实我就直接在这个地方讲了，因为其实关联度很大，我觉得没必要 平面阿法和贝塔相交，我们刚才是干嘛？半平面就这里是没有的，这里是没有的，那现在我们形成了四个二面角，如果是平面的就形成了四个二面角，我们把这四个二面角当中不大于九十度的二面角 称为平面阿法和平面贝塔的夹角，所以我们说干嘛用直线去类比就可以了，一模一样。那么这个地方呢，我就先做一个我们现在所接触到的所有所成角的定义， 因为呢，我们并不需要通过背这个角度的定义来记住以下五种，其实一共是六种，但是呢，我们的六种在我们的选 b 一 那里呢，我们做一个定义，因为还缺了一个。好吧，那么这个地方为什么在这个地方我们先讲一次，后面又总结一次呢？因为就真的太多同学在记这个东西了，这个鬼东西了， 永远选举所成角当中的叫小指，我今天提一个点哈，就无论你们学数学也好，学英语也好，你一定要相信别人是有规则的， 对吧？不要认为数学家闲着没事干，是不是他是正常人，而且科学家最喜欢偷懒啊。数学，科学，学科。直线与直线所成角范围是零到九十度，为什么呀？因为我们说一条直线，一条直线 会形成一个角，两个角，那我肯定是不要这个大的角，我贪麻烦吗？是吧？所以我要所成的角是小的，所以是零到九十度，这个不用记。 接着，如果，如果是向量与向量呢？向量是有这个点的，就是不是两边延伸的，他们的定义是拖到同一个起点，那此时是不是也可以这样子，所以他是可以零到一百八十度，那同样的，其实他也有一个大于一百八十度的，肯定不要大的，就这样子。 然后呢？直线与平面直线与平面，我们怎么定义的？我们的上一节课直线，我们的有一个摄影，对吧？投影，然后接着呢，这次也形成两个度，那我为什么，对吧？又是小的那个角度吗？简单的那个，然后就到了我们的这节课的半平面，对吧？半平面，我们说什么呢？我们就通过我们的平面角来做理解，对吧？ 射线，射线啊，这个是 o 啊，这个射线是一样的，这个就是半平面，而我们的平平面的整一个平面呢，就是直线啊，两个是可以完全对照的啊，这个地方呢，也是一个小的角，一个大的角， 平面一个小的角，一个大的角，所以这个东西呢，我从来一个都不可能背的哈，但我看到有些同学背的很辛苦啊，这个锁上角，这个锁上角背完之后呢，还会错啊，太夸张了，这个东西背来干什么呢？对吧？不，不要浪费这么多时间在这些东西上面所找到它的规律 啊，对吧？就是你们一定要知道，找不到规律是一定是你的问题。就像以前我们工作的时候就是在大公司，你如果觉得大公司的流程全都是很麻烦，很繁琐，都是有问题的，那一定是你的问题， 对吧？你一定要有这样的精神。很多同学看我的课，像我说的，如果我的课一百个人里面有五十个，有六十个没看懂，那么一定是我的问题。但如果有九十九个没看懂，有一个没看懂，那你就要知道，那一定是你的问题啊，对吧？这个是一个很简单的一个东西，我们一定要去理解对方啊，不要去这样死背， 所以这些东西节省很多的一些功夫，不要浪费时间在这些上面，这样子， ok， 我 们看一下利益。下列命题当中是真命题的，有两个相交平面组成的图形叫二面角呢，这个当然是错的， 一面直线 a、 b 分 别和一个二面角的两个半平面垂直，你看我们怎么画？这样的问题，我们要处理的时候怎么画两个半平面，还要去画平面，太难画了，对吧？太耗费时间了，用射线来表明就是这样子的，对吧？这个阿法， 这个贝塔，那我们会换另外一个颜色的笔，或者说画粗一点来表达，然后一面直线 a、 b 呢？分别跟它们垂直，这个是，哎，这个画细一点，对吧？这个是 b 啊，这个是直线，好吧，这个就清晰了，这个垂直，这个垂直则 a b 所成的角与这个二面角的平面角相等或者互补， 我们来看一下是不是的他们相等的相乘的角是这样子，这个，那这个是什么关系？互补，那有没有可能是那个什么？有没有可能是相等啊？有，比方说这个情况下小的，对吧？那这个时候，这个这个， 那这个时候呢？这个角和这个角就是相等的关系，所以我们怎么找他关系？怎么画，这样用剪图来画就可以了，明白吗？然后呢？所以这个是对的，这个是错的。 二面角的平面角呢？是从棱上的一点出发，分别在两个半平面内做射线所成角的 啊？半平面内所做射线，刚说做射线所成角的最小的角啊，那当然不是啊，这棱上出发干嘛要垂直，对吧？不是所成角的最小角是一定是垂直，那个是确定的，对不对？垂直，所以这个是错错的。二面角的大小与其平面角的顶点 在棱上的位置没有关系啊，这个是对的，对吧？我们说这个顶点是可以任意取的，哪里都可以，所以这题选二和四。然后接着呢，就是我们面面垂直的判定，那其实这个就是我们说的，我们定义了二面角，我们只要是九十度就可以了。那我们这个地方说一下有些什么样的情景呢？比方说 教室里面的墙面，墙面所在的这个平面与地面所在的平面相交，他们所成的这个二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上，那么一般的两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 啊，记作 r 法垂直于北塔，对吧？那么这个地方同学们说啊，半平面，半平面已经不重要了，因为它如果是垂直的状态呢，形成的两个半平面它都是九十度，对吧？那么画两个互相垂直的平面的时候呢？通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。我们来看一下 什么意思啊？画两个互相垂直的平面的时候，这个就会比较有立体感，对吧？这个是我们的画法。 ok， 然后接着我们看建筑工人呢，在砌墙的时候，常用铅锤来检测锁器的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的系绳紧贴墙面，什么意思啊？就说如果我们的这个，呃，木工师傅，我们要检测这个墙面 是否垂直于地面，他怎么做的？他垂下来一个这样子的，如果我们说右边的这个面，如果这条红色的绳子贴紧了这个墙， 那么我们就能认为这个墙面是什么是垂直的哈，这个方法我们说明了什么样的问题？因为我们刚才说我们定义了二面角，是啊，那个垂直是二面角，当二面角为九十度的时候，但是如果我每个场景都要去计算二面角等于九十度，就太麻烦了，所以我们有一个特别的判定方式， 那么这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，因为铅垂下来，这一个红色的线一定是垂线， 那么如果墙面经过他的垂线，如果他紧贴的时候，就说明他经过，那么墙面就可以判定与地面垂直，这个是这样子的一个应用，类似的结论呢，在长方体当中可以发现，比方说在右图的长方体当中， 我们的平面 a d、 d e、 a e 啊，也就是说我们左手边紫色的这个经过了平面下面的这个绿色的垂线 a a、 e， 对 吧？这个 a a、 e 是 底面的垂线，而左边的这个面经过了它，我们就已经可以判定它垂直啊这样子的东西。所以 一般的我们有下面判定两个平面互相垂直的定律，如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言表示为，对吧？这个就比较简单直接写出来。好，我们看。第二，在正方体当中求证 我们的平面 a 撇 b d a 撇 b d， 紫色的这个和平面绿色框的这个是垂直的关系，所以我们要很灵敏的看到哪些直线，我们是最好找的，应该能看到什么 b d， 我 们只需要去证明 b、 d 是垂直于什么？垂直于我的这个面 a c c 撇 a 撇的，而我的 b、 d 是 在这个平面 a 撇 b d 上的，那么这两个条件就足以让我去证明这两个平面是垂直的关系，所以这里其实只有两个，两个条件就能推反，而这个地方要五个，对吧？ 它垂直于两条相交的，而这个垂直这个 a a 一 撇呢？又垂直于它， a a 一 撇垂直于它呢？又要多一个步骤，我们要说明， a a 一 撇垂直于底面，它是底面的一圆，对吧？然后呢？这两条相交于点 a， 然后都属于这个平面，对吧？好，那这个地方在正方体当中， 然后呢，所以这个在正方体的对角线的关系， a、 c、 b、 d， 又因为 a、 a 撇和这个 a、 c 相交于 a， 而这两个呢，都在这个平面上五个条件，所以 b、 d 垂直于这个绿色的这个平面，而又因为又因 b、 d， 它在这个面 a 撇， b、 d 上面，所以这两个平面 垂直。看一下我们的表述哈，基本上这个表述是没有问题的，那么这个表述的语言它是精简的，怎么样去减少我们的书写？这个很关键，不要密密麻麻写一堆文章，然后还有一些点去是遗漏的，没有用的哈，数学不要嫌字多，一定要去精准、严谨、简洁就 ok 了，好吧， 然后看第三，如图，已知 p、 d 垂直于正方形 a、 b、 c、 d 所在的这个平面连接这些啊， p、 d 是 垂直的，它是一个 则一定垂互相垂直的平面。有几对？这里面就很考察我们有没有掌握到我们刚才的这个定律，我们怎么去找，我们怎么去找？我们一定要去有这个条理的去找。怎么样有条理去找呢？我们通过什么？因为 b、 d 垂直于这个里面，我们先通过线面，你看，我们通过线垂直于面， 然后呢，我们去找所有过 p、 d 的 平面来垂直于这个面， a、 b、 c、 d， 这样子我们就能做到不重不漏，对吧？过 p d 有 什么？有 p a， d， 有 p b d， 有 p c、 d， 所以 这个地方呢，我们找到了三个面的垂直关系，接着我们来看，同理 我们的 c、 d 和 ab， 它都会垂直于 p a、 d， 所以 那我们的 c、 d 和 a b， c、 d 和 a b 啊，这两条对吧？是平行的，它都会垂直于旁边的这个 p a、 d， 那 这里具体我们就不做证明了，对吧？这个也比较简单的证明，这个是直角，这个是直角，那么这个呢，我们就通过这组作为第二组 来找经过 c d 和 a、 b 的 都行，有什么有 p a、 b c， 有 a b、 c、 d 重复的，我们最后再排除掉它，我们最后再排除掉它。 第三组我们的什么呢？ a d 和 b c 啊， a d 和 b c 平行的两，这两个它会垂直于这个 p d、 c 的 这个面，那么这个时候呢，我们又找过 a d 和 b c 的 面，有三个，最后呢我们看 a c 垂直于 p d， b 啊，这个是很多同学可能会遗漏掉的啊，这个 p d、 b 和这个 a c， 那 么这个时候呢，过 a、 c 的 面会有两个，对吧？底面以及 p a c， 那 么所以这个地方怎么一共七对呢？三三三二，一共十一，那我们看一下重复的 p a， 这里出现了一个重复， 是吧？然后接着呢，这里出现了这三个都是重复的，然后我们来看一下还有什么啊？ pdc 啊，这个 pdc 和 a p d， 那 么和这个 p c、 d 这两个是重复的，所以 一二三四是重复的，所以十一减四等于七，我们就找出重复的部分就可以了。 所以这道题呢，关键要看我们是怎么样去把它分成四组的。如果我们要做穷举，我之前我说穷举也是有技巧的，同学们穷举也是有技巧的，所以我们要知道这个东西，我们在选 b 三就会特地的去讲这个点啊。 ok， 我 们的例四继续是课本的立体，如图， a b 呢是我们圆 o 的 直径， pa 呢？垂直于圆 o 所在的这个平面 啊？ pa 又是一个 pa， 是 垂直的 c 呢？是圆圆周上不同于 a b 的 任意一个点哈，随便的一个点，没有规则求证。我们的平面就是绿色的这个平面， 垂直于平面， b c p b c 啊，红色的这个平面，我们来想，当然，我们很容易能想到一定是跟什么相关，既然它任意，一定是跟我们初中所学的，我们直径所对的圆周角是九十度， 这个是相关的，对吧？那接着呢，肯定又跟 pa 平行于这个平面，那我们可以干嘛啊？ p 垂直于 pa， 垂直于这个平面，它就会垂直于 bc， 所以呢，我们就会知道这个是垂直的，就 bc， 它会垂直于 ac， 而 bc 呢，也会垂直于 pa， 那 这个地方呢？要去单独说明啊，在这个这个地方要有个证明，在这个地方，对吧？然后我们这两个相交 于点 a， 对 吧？然后这个和 pa 都在我们的 p a， c 上， 对吧？所有的这些，我们就能推动五个条件哈，这里两个哈，我们就能推出来 b c 垂直于这个面， p a c， 然后再加多一个什么，再加多一个 p c， 它包含于这个平面 p b c， 所以 得到 p a c， p b c。 平行 整个思维的脉络。你看，先这里拿整个思维导图，先从这里推出我们的这个这个结合这四个条件，我们得到了平行于平面，平行平面，再加多一个 b c， 得到了最终的，你看这个层级要很清晰，好吧，所以是这样子的一个东西，我们看一下， 直径所对圆珠角为直角，所以又因为，然后相交于 a， 所以 b c 垂直，平行垂直于这个平面 b b a c 又因为 p c 包含于这个面， p b c， 所以 这个很清晰很简洁的这个表达的过程，对吧？ 面面垂直的性质定律，面面垂直，我们来看它有什么样的性质定律。我们有以下平面与平面垂直的性质定律。第一， 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另外一个平面垂直，两个平面是垂直的关系。如果有一条直线 l 它垂直于谁？垂直于交线， 那么这条线呢，就会跟另外一个平面垂直。好吧，符号语言表达为这四个条件啊，同学们啊，再次提醒，不要被这些会发现，好多好多，是吧？我们说理解就可以了， ok， 面面垂直呢，还有以下的这个性质定律，我们去拓通一下。第一个呢，垂直于同一个直线的两个平面平行， 如果一条直线垂直于一个平面，那么其所有平行线也都垂直于这个平面。我们来看一下模型。首先我们来看一下第二个结论，如果一条直线垂直于个平面啊，这个是跟这个平面是垂直的关系，其所有的平行线，所有的平行线都垂直于这个平面， 好吧。第二个呢，是垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线，这个或者这个都一样，两个平面是平行的， 那么所以这两个结论呢，告诉我们很重要很重要的一个东西就是什么呢？这些性质，我们会发现一个一些一件事， 相对比线和面的平行关系，我这样也行，这样也行，这样也行，对吧？我的课桌我拿着一支笔，这样子也是平行，这样子也行，这样转都可以，所以没有办法，去干嘛呢？去锁定 啊，用了一个很通俗的词语，虽然一个平面的平行线和垂直线两者都是无数条的，但是垂直线的方向是确定的， 这个很多时候像我们玩的套圈圈，对，套圈圈啊，或者那些积木啊，对吧？一根棍子，然后套进去，我这根棍子我可以放在这里，可以放在这里，可以放在其他地方，但是只要是这样放它上面套的圈圈的这个方向就是 固定的，所以这个呢，我们有锁定的意义。这个给到后续我们解决平面的问题提供了重要的思路， 就是我们在后续的呃，那个选 b 一 的第一章，我们就会知道怎么去做平面的问题呢？我们要用法向量，就是不是用它平行的向量，而是用一条法向量，到时候就会讲这个问题，所以这些呢，都是我们一些理论的基础，好吧， 接着我们看例五，如图，已知平面 alpha 垂直于平面 beta， 直线 a 呢，也会垂直于 beta， 那 这个 a 呢，是不在平面 alpha 上的，判断 a 与 alpha 的 位置关系，当然我们从感官上面来说，从空间感来说，就知道它是平行的关系，那么我们怎么证明呢？我们来看一下，设 ar 加贝塔等于 m 啊，我们这个地方，因为在题目当中上面没有讲在阿法当中呢，做直线 b 垂直于 m 啊，我们做一个 b 垂直于 m， 那 此时因为阿法垂直于贝塔，而且呢 b 包含于阿法，我们哪里的结论就是前面我们说一个平面内垂直于它们相交的棱 的这条直线啊，它会垂直于另外一个平面呢？前提是两个平面垂直，所以我们就会得到 b 会跟 beta 垂直，而我们知道 a 跟 beta 也垂直。那前面又有结论，垂直于同一平面的两条直线相互平行， a 平行于 b， 然后接着我们就知道了 b 在 阿法里面，然后呢， a 不 在阿法里面，是吧？那么我们就能得到 a 会平行于阿法，简单的一个证明，对吧？我们会知道这个结论，然后是我们的例六，如图，已知 p a 呢，垂直于平面 abc， 底面 平面 a p a b， 就 绿色的这个面垂直于平面 p b c。 求证 b， c 垂直于平面 p a b。 当然我们这个条件，两个条件，这个条件应该一眼就知道 p a 垂直于 b， c 是 这样去使用这个条件的，那这个呢？我们要想一想。 那么从感官上来讲，我们是很希望能找到 a b 和 bc 垂直的，我们非常希望找这个，对吧？但事实上，我们没有条件能做到这样子的事情，我们就要用什么样的心智。我们就要过 a 做一条垂线， 那么这条垂线就会垂直于这个，能，这个时候我们就能运用这个条件，那么比方说这个是 d， 那 么 a， d 就 会垂直于这个平面 p b c， 那么进而 a d 就 会垂直于 bc， 那 么我们 bc 用哪两条直线来证明这个垂直的关系？用 a d 和 ap 啊，这两个相交的直线，对吧？我们要搞清楚。所以呢，过点 a 做 a， d 垂直于 p b， 垂足为 d 啊，这应该要加多一个垂足为 d， 对 吧？因为平面 p a b 加平面 p b c 等于 pp 啊，这是它们相交的一条能，然后呢？ a d 呢？又在这个平面 p a b 上面，所以 a d 呢？呃，会 垂直于我们的 p a p b c， p b c 啊，那接着呢？我们的 b c 在 这个里面，所以 ad 会垂直于它， 好吧，那这个就很好使用了。 pa 和 pc 的 关系，所以这里一个条件，两个条件，加多三个条件，三个条件，四个条件，五个条件，一共五个条件，我们就能证明，对吧？这个 b c 和这个平面的垂直关系。 好，这个就是我们的这节课，我们做一个总结，我们前面说了，我们的线线垂直，线面垂直，对吧？然后呢？面面垂直，两个平面所成角为直，二面角， 然后呢，如果一个平面过另外一个平面的垂线，这个是判定的方式，对吧？我们通过线面垂直来判定面面垂直，这本身 特殊，这本身也是一个判定方式，我们可以通过求得他们所称的角是指二面角，但这个东西呢，它更麻烦，比起这个要麻烦的多啊，对吧？所以我们一般用这个， 然后它的性质会有什么呢？线面垂直，两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，就他们的能，那么这条直线与另外一个平面垂直，我们会得到这个性质是关于什么？线面垂直，所以这是不是又有一个路径？ 我们想要知道线面垂直的时候不一定要通过线线垂直，我们这个路径他也走得通，对吧？像我们之前的立体，所以这个网络也是要慢慢去搭建，去搭建起来哈，这个就是我们的这节课，也是结束了我们的第八章的一个学习啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到逆题结合平行的全体行，在这节课，我会给大家把线面平行，面面平行 所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是松问题。那么首先呢，我们来看到线面平行， 你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b 式的 b 和咱们的 a 是 平行的， 那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈，那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包 包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推得咱们的 a 啊，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的，但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边，你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边，他是平行的哈， 说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m、 n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b， c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b、 d 呀，对吧？所以说我们直接连 b、 d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时呢，我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的。而此时呢，咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n， 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目，这证明面面平行。 大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，它就可以唯一确定一个平面，它就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思， 那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行，四边的平的平行。 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d， 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时呢，它让你去证明的是咱们的 a、 e、 f， a， e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d、 g 的 a、 d， g， 哎，也就是后面这个大的三角形。 大家来观察一下哈，我们这两个平面，他会出现哪两组线线平行，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行，对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e、 g， 连 e、 g。 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形， 哪一个嘞？是不是咱们的 a、 e、 g、 d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d、 e 平行于咱们 e、 g 啊？对吧？ a e、 d、 e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b、 e、 c、 e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一、 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的。所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形。所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了，我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一， 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来 正？咱们的 a、 d 一， 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行，是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b c d e， 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明？来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a b， 它是平行且等于 d e c e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写嘞？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢？我这里和这他是什么？他是相交直线，哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得证两个平面是平行的，我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点。 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了？ c e e， 在 这的，我们要去找它平行于平面， a d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给他平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a d e 看起来就很像了，但是实则它是一个平行关系嘞，你会发现哈， 看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明他是一个平行四边形来，那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a、 b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于这，所以说咱们的 a、 e 就是 平行于咱们的 c、 d、 e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢？ dc 为二的哈， c 为二，那么平移上去， c 一 d 一 也是二的，所以说你又有平行，又有呃，相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈，因为咱们的 c 一、 d 一， 它是平行于 c、 d 的， c、 d 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 c、 d 一 啊，它是平行于 ab 的。 又因为咱们的 a 一， 它等于 c， d 等于 c， d 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 c、 d、 e， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以你可以推得咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c、 e， 它平行于 a、 d、 e， 然后你就可以说，哎，因为一个包含于平面，另一个不包含于平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，他是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d， 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢，是一个点，一个动点。 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e、 b、 f 时， p a， 它要平行于 e、 b、 f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的。 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 他说此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c， 这是四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行，你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干活， 分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字梳理我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这个群聊，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

准备好，请坐。那今天我们要讲一些立体几何部分的难题，动点的问题 以及动点形成的轨迹的问题，鞋面的问题， 概括重点运动形形相关的问题。来看一下这道题有没有思考一下？ haha。 来星星，嗯，就是因为它直线与平面无重叠，然后就把它 这个直线和你构成的平面照出来，也就是说这一些线跟那没有公共的线都在哪里啊？ 在这个平行的平面上，也就是动点成线，动线成面， 而你都要过 d、 c 点，对吧？这个是定的点，相当于你要过定点去做一个平面，这条线数都在我这个平行的平面里面 右，这个点右在哪里里面？所以我要去找他们的什么呀？交线，交线就是你点的什么呀？对，你知道啊？对，现在问题我们就转化为过第一做正面的 来过第一做正面的人呢？平行，那要做线跟啊做面，这样平行落实为做线平行。大家们怎么做这条线？那我们应该在平面里面做平行线，是吧？ 第一个我在哪个平面里面做它平行好做啊？ a、 e、 t 这个平面里面是吧？那它是中点，所以我这条就是面呢？对角线啊。呃，一条了，然后呢？ 在哪个面里面去做后面后面 后面，那后面要过，第一做一条跟他平行，只要过。哎，因为这两个平面是很平行的，所以我只要做一 b 的 什么线，所以取他的中点， 但是我这个平面跟底面的交线在哪里啊？不能延长啊，所以我们要把平面进行延展，那要延展平面就是延长线，所以把第一跟这一点连起来，连起来，那么这连起来以后这一点呢？ 哎，这两段就什么关系相等，然后交线出来了，没？连起，连起，连起。所以这点什么点？中点，这点是中点，所以这个点 p 的 轨迹处角 啊，这条线段，这条线段的长度正好正好 啊，所以我们抓住这一点，你这条是过定点的直线，他运动成一个什么平面，那这个平面跟他就没有公共点啊，所以就是过。第一，做正面的菱形平面。那怎么做平行平面呢？ 那就做线的平行线，那我们确定平面再做平行，是吧？先确定在哪个平面里面做平行线啊？ 来进行我们这一类的问题。这是一个直的三棱柱，比上角 a 还是直角， 那这是什么模型的直三棱柱？全角的模型可以补成啊。长方体再看 c h 等于 h c， 也就是 h 点是它的终点，终点，那么在 a、 b 上是否有一点 k 使得呢？ h k， h k 和 a e， b c 平行？ 哈哈哈哈， s c， s c， 谁想这个问题就想到 s c s 什么动线层面？就是去过定点 s 做 平面的平行平面。所以要做平线还是做谁做谁的平线好，做自己的。哎， 你要做 a、 b、 c 的 平行平面，那是不是做这些人的平行线就行了？ 哪个好做？哎，先确定平面再来做平行线，对吧？你要过 h 点，那应该是 a、 e、 c 中最好做的，找什么点？中点， 这一条竖跟这平面是平行的，接着呢，终点你都已经决定了，现在换换谁谁做定点， 就上面这个点啊，说细点。然后呢？这谁的平行就哪一条的好做 啊？ b c， 那 要说 b c， 那 就在哪哪个面里面做平行，把 b c 移到那来，以谁取它什么点中点？ 那这两条，那这个面跟它会平行的吗？会的话，那这个截面跟 a 一 b 一 的焦点就是 k 啊， k 就 它什么点中点，所以我们就看出来了，是吧？ 所以要使得它平行，是吧？那结论中使它的平行，那就当什么呀？ a 一 k 比去 a 一 b 一 等于 一比二十，怎么样？ h k 跟正面就平行，然后要给它证明一下了，是吧？证明一下来，各位怎么证明？怎么证明？ k h 跟正面平行，用什么法证明？ 我们刚开始在面里面找线，做好找，找完以后怎么正好正线面平行，一种三格考虑面面平行，还有线格考虑线线平行来， 那这样子考虑，那我要确定平面找交界啊？怎么确定平面啊？是中心投影好投影还是平行投影啊？投影平行，为什么平行投影啊？ h 处在 c c 以上， c c 跟上面一个焦点是谁？ c， 所以我过 k 点去做谁的平线， c c e 的 平线，那就做谁的平线， b b 的 平线，那就这样写，取它的中点为 e， 然后呢？连接这个是吧？ 则它将 a b 于 f 点， f 是 它的什么点？中点， f 是 它的中点， 然后，所以呢？ k f 就 菱形且等于谁？二分之一的，对不对？ 对不对？然后呢？又 h c 呢？菱形且等于谁？二分之一， 所以出平行线相等。 k f 平行线等于 h c， 所以 这个四边形是，而四边形是平行四边形，所以，所以 k f u 平行谁 啊？啊？要不要这个啊？要。好，那就 k f 跟谁平行，所以 k k h 哈，跟谁平行？ f c 平行，所以见个面 平行，然后中间要加一个什么啊，再跟，这就完蛋了。 那看来烫焦的时候通过什么来烫焦会比较好？烫焦啊啊，先把线运动成面，在面里面找平行呢？是不是好找 来，那继续再看一下。 ahh， that is a。 怎么证明线面平行？过线做面找交线，也就这样个考虑线线平行或者啊，深刻考虑面面平行 来，那过线做面找下面怎么找？这条线用什么投影来找？平行？平行投影，那也就过 c 点做哪一条？ 你 c 在 这里要切进去找标线，对吧？过 c 点有哪条线啊？已经有哪条线了，哎， c b 了，已经有 c b 了，所以我现在要过 e 点做 c b 啊。 c e 的 什么？ c b 的 什么线？平行线，那就只需做斜的平行线就行了。 a d 的 平行线，为什么做 a d 平行线就行了？线面平行，然后所以得到什么啊？线 b c 跟谁平行？ ad 平行，这边加什么条件？ 线面平行，过线做面找标线，那就 b c 在 平面 abcd 里面，对吧？然后呢，平面 abcd， 交平面 abcd 和 abcd， 所以 能不能让它们平行 线面平行，折线线平行，再面对找交线是平行的，所以这底是一个梯形，那梯形的话， a d 是 不是他们的啊？中间的环节我们通过 a d 过渡一下，只要找这个边就好了。 然后呢，那做平行线就是找比例的这点吧，那我在 pa 上取一个点，这点是几等分点？三等分点，哎，我们把这点记作 f 吧。 f， 那 就哎， 在 pa 上取点 f， 使得什么 p f 比去 fa 等于，哎，一比二， 对吧？取点，然后我们连线连接 c f e 连接 f e， 则则具有 f e 平行且等于几？三分之一的 a、 d， 对 吧？ 那你这边呢？哎，你 b、 c 数也平行，且等于三分之一的 a d， b， c 等于三分之一的 a、 d， 所以呢？所以 f、 e 就 平行于谁？ b、 c 且相等，所以它是一个菱形四边形，所以我们的目标 b f 平行于谁？ c 过线桌面找交线，交线就平行了。我们用的是什么平行啊？什么投影 中心投影机吗？这条线 c 在 怎么个中心投影啊？地点上的人场徐徐泽龙。怎么中心投影？ 谁个中心啊？地点在谁上面？ p d， 所以 我只要把 d c 给它延长， d， c 给它延长，那颗 a b 有 没有个焦点？有，那这是把 c、 e 投影到这个面来了， 所以以它为中心投影过来了。其实就是过 c、 e 做面找的怎么样交线，再利用 平行线分现在成比例的逆时针比例出平行了啊，然后在这里面出搞定了，或者呢，或者升格为面，那就过一点，要做正面的平行线，只需做斜的平行线 p a p a， p a 是 在背面边，这边能不能做一圈，然后，然后呢？把这再给他连起来，说明他们是平行的，所以我们这两个面，就 那面里面线数跟他数都平行了啊，是否成在线段上点的 a 使的什么？使的 c， d 上的任意点 m 都有 m n 跟正面平行动线成面，面 是不是在这上面取一点？你得做一个面跟已知平面怎么样？因为你这条动的直线都形成一个平面 啊，这个点在上面，那我就要去做这条线就跟他平行，会平行吗？对不对？所以那就相当于 因为我 m 点运动成这条线嘛，相当于过这条线做正面的，怎么样平行的搞定了没？就一步到位了。 当然那你写的是要先把它怎么样找出来几等分点，三等分点，然后我们证明这一个线跟正面怎么样平行。那现在用什么来做？连起来要用什么来做？ 我要不要面面平行？所以线要面平行，不用了，我就用什么把 m、 a 投影到这里面，用什么办法来投影？平行？投影过 m 点做 e、 f 的， 哎，过这个做做 e、 f 的 什么线？平行线则这一条平行也跟它相等，所以侧平点选侧的，这会平行。对，搞定了没？ 这是跟平行有关的问题。来，那我们接下来来看一下第四节弯曲重点绕着一条线旋转这种弯曲的问题。 三角形 o、 c、 d 是 边长为四的等边三角形 o、 c、 d 是 边长为四的等边三角形，且 ab 是 中点，那这条路中位线， 然后把它绕着 ab 旋转起来，到达点 p 的 位置，得到这个四棱锥， 来到这个四棱锥，设意为四棱锥上的三等分点。求证 a、 p 跟 b、 c、 e 是 平行的， 然后求面积的体积的比，来思考一下。 hahaha， hahaha， yes， 来来，各位怎么想这问题？你要把这个结的结构是摸清， 那关键就是我们这一块直观图不好看啊，所以我们把直观图还原一下， 把平面图画出来是吧？平面图是 o、 c、 d 是 边长为四的，等边的是不是 边三是等边的，然后是不是中卫线拉起来撞起来啊？那是谁来旋转 ab， ab 就是 旋转轴是吧？ ab 是 不是就旋转轴？ 那么这翻起来以后再折同侧的面有没有改变啊？ o、 a、 b 的 形状有没有改变？所以 p、 a、 b 是 全长为二，边长为二的等边三角形是吧？ 然后底呢？底是一个什么形？ t 形，说 t 形上底是下底的一半，一半是不是？ 那你转起来以后就得到一个，所以这个三轮的结构我们知道有一个面是等边，底下是一个等腰一行就这样旋转起来的。看下第一位，线跟面平行，要正线面平行， 线线平行，哪条线在哪里？过线做面找交线。怎么做？面 中心投影还是平投影？谁个中心？因为 e、 p、 e、 p 是 c 出到 c 点了，所以我们就把斜连起来， ac 连起来，交它于 f 吧， 对吧？交它 f， 那 这是不是 e、 f 就 它投影呢？会平行吗？会成比例吗？是平行的， 所以线跟线平行，所以线跟面就平行于第二个关起来以后体积之比 这两个，这两个底底呢？底什么关系？ b、 c、 d， a， b、 c、 d 是 底数，共面的 顶是共面了，那好高，就是 p 点到正面的距离是吧？ p 点到正面的距离跟一点到正面距离什么关系？三米二米二，我们设它为高为 h 一， 再高为 h 二，则 h 一 比 h 二 啊，高出三比二，那还有什么什么之比？比面积？四边形 a、 b、 c、 d 的 面积比去谁？ b、 c、 d， 哎，他们什么关系啊？ 这比是什么呀？一比二高一样不一样谁？这两块面积比就是 来一比二，所以整个是几问三问他几问三比二，所以他们几级比为九比四，有九比四。好的， 请问点 p 的 轨迹是什么？ 请问点 p 在 哪里的时候，这个 p、 a、 b、 c 力的体积最大，那我是不是要把这个动点 p 的 轨迹给搞定？ 你绕着谁来转动？这一条是轴，谁是轴？ a b 是 轴， 那么我们就想到我们刚学地理学的时候，企业的机构如果有行政轴，关键找什么啊？ 要旋转轴的话，你转起来是旋转体的话，关键就是找他什么线，从轴的垂线， 所以他从等边上绕着这来旋转，因此这个把中点连起来，中点都到了这里出垂直的，所以点 o 的 轨迹是 以 b 为圆心，以 o b 为半径的一个圆弧，是不是这个圆弧？ 那什么叫体积最大？那圆弧应该在最高点，最高点是跟这个底面是垂直的，垂直的。那此时我们发现，哎，这这个几何体是什么？ o a o p、 b 是 一个什么结合体啊？旋转的时候， o 啊， a、 o、 k、 b 是 一个什么结合体啊？转起来是一个圆锥的一部分，只有两个圆锥的组合体啊， 哎，你把这连起来吧，你看这些都是什么线？哎，母线是不是母线？所以你跟轴垂直，那就得到什么呀？圆锥是不是得到圆锥？ 所以点 b 在 运动过程中，它是一个圆啊，它是一个圆，理解了吗？所以旋转往往跟旋转体是相关呢？跟旋转体是相关的。 好，那如果动点到定点的距离是定长呢？ 那这空间里面就是什么球？这空间里面是不是球啦？来，那昨天我们这道题目没做完，我们继续来一起看一下，回忆一下这个，这是一个什么真理？ e f c e f 技术三个钟啊，终点， 然后呢？ d h 等于 e 是 啥东西啊？ d h 等于 e， 动点 h 到地点的距离为一，那他就是一个球球， 然后这个点既在球上又在什么面上？什么意思？那就这点是球被面截下来的，截下来的这个曲线上面是不是？ 所以我们要做的就是啊？球面面积得到是啥东西？小圆是不是？小圆？ 但是 e、 f、 g 整个洁面这个局部啊，所以我们要把它给延展。延展，那怎么做洁面呢？平行是不利用平行，利用平面的性质来做， 那 f g， 所以 我前面取它的中点这一条是跟背面这条平行的，接下来呢，把 f g 给延长。这边有没有交点？有，这个点既在前面也在 底面啊，底面这里是不是还有一个点？所以前面的底面的交线出来了没？那就取它的什么点？中点，那左右边的出来，左边呢？平行，所以取它什么点？ 这是一个什么东西？正六边，这六，这个正六边形跟 a、 e、 b、 c、 e 什么关系？ 这个，这六边形跟 a、 b、 c、 e 什么关系？平行的，所以这六边形也跟谁是垂直的？跟体椎腰线都垂直的，那体椎腰线跟它的交点在哪里啊？是相对于一切的终点啊， 那这个点就是我们这几何体的中心，是不是啊？ d、 o、 d、 o 跟正面是什么关系呢？垂直的，垂直的，那这段是不是他的高了？ 那这是点 d 到正面呢？是距离是几对角线的一半一半二分之根？号线 啊，球被一个面结得到的是一个小圆，球心到小圆的面积啊，高距离为几？二分之二三，球的半径为一，所以小圆半径问题解决了没？ 水到定点是定啥？它就是一个球，你又在某个结面里面，那就球被面结结出来的图形。 好，这是我们昨天做的哈，我们再回顾一下。哎，那空间几何体的截面，空间几何体的截面， 那特别呢？如果是球截啊，球被面截，那就人长为四的正四面， e、 f、 n 是 终点， 则正四面体的外接球被这个三角形所在平面截得的截面面积是多少？ 我们怎么研究正四面体的外界球半径？第一招是什么？ 正四面体，我们可以从规更规则的图形里面去找啊。正四面体的外接球跟正方体的一样不一样，一样 是不一样呢，所以，所以正方体的外接球是一样的，所以这个它的直径二 r 就 会等于谁来，你这是 a， 你这是 a， 是 正方形的边长是几？二分之根号 a 是 底角，对角线是二分之根号六，谁二等于谁？四分之根号六， 对吧？这是第一招。利用什么来做补体？补体来做第二招呢？直接，直接，直接法的话，我们是要去找球星的位置，是吧？ 球心在哪里啊？里面的重球心是不是这个前面的上方随 o h 跟正面是垂直的，而 a、 h 呢？也垂直，所以 a、 o、 h 上面共线， 那 o、 b 是 不是就是二了？ o a 呢？也是二，所以这段是 h 减二，是不是 h 减二？这恰好是不是三角形 a、 b、 c 外切圆的半径啊？所以我们说 r 方会等于谁？ r 方会等于 h 减 r 的 平方，再来加上小 r 平方， h 跟小 r 给它算出来，按能不减出来，这第二个数直接拿来做。我们的 h 是 多少啊？小 r 是 几啊？ 边长为 a， 所以 小 r 二分之根号三， a 的 三分之一开根号 a， 对 吧？ 哎，谁高是几啊？三分之二开根号，那就三分之根号六 a， 根号六 a， 可见二是等于多少的 h。 四分之三乘四分之三的 h。 哎，第三，内切球的半径呢？用什么办法来形容？内切球的半径？高等体积吧， 这个体积等于三分之底面积，再乘谁高？那么你有四个面，所以可以割成几个三棱锥？四个四个三棱锥，每个三棱锥的体积是多少啊？ 每个三分之一的三分之一底跟这底要不要要高就是我的什么，这些球的半径怎么样？ 所以这个那些球的半径等于谁啊？四分之一的可见怎么样？ 外些球，内些球半径之比为几？三十三比一，你看那边，我们讲过了考试又考，结果我们还有人错啊？还有人错， 三比一吧，三比一。所以每个问题用什么办法来解释？最优的？你要去比较一下，你这几种都要掌握，对吧？比一下哪个是最优？比如说壳补铁，那我们就给他补铁一下。来球外径球半径是比较好做的， 对吧？那些球一般来讲我们用什么会更更快一些啊？等一起是吧？等一起更快。好，那回到原地来，那这个被截面所截，那就是球被面截。关键是什么？要找出来 球形大小圆的什么呀？距离是吧？哎，请问咱们的距离是几啊？好意思啊，是多少的高？四分之一的高，是不是四分之一的高？ 四分之一的高，所以对斜的多少啊？那我们的这个这个外弦曲的半径是多少的高啊？四分之三的高，所以，所以呢？这个小 r 是 几啊？ 把四分高拿出来，是三一，所以等于二分之根号二 h， 而 h 是 三分之二，可根号 a， 三分之根号六，再乘以 a， 那 我这里 a 等于几？四？ a 零四，所以他应该是三分之四根号，有三十根号三，就把它放进去，搞定了没？ 所以球被他截最关键的就是要发现球心的位置啊，这个小圆圆心的位置在哪里？因为小圆圆心的球心连起来跟这截面是垂直的 来看，还是这个界面的问题？大家看一下，已知 h 是 在直径上，然后是直径的三等分点， a b 跟二法垂直，垂直于直径都截进去了，那么前面所截的的面积为派，这截下来的半径为几？ 哎，这小圆的半径为几？一小圆半径是等于几？哎，我们继续再往下看， m 为二把上的二把这平面内的一点，然后呢， m h 是 等于四分之二 破 m 点做球的结面，请问什么是二这个结面面积最大呢？破破圆形大圆是不是最大了？再再听听， 请问觉得面积最小的这个圆是几呢？ 所以过一点的前面最大最小的问题研究方法是什么呢？你们过圆一点，圆内一点做 啊？过球那一点做球的怎么样？前面什么时候会最小啊？ 那就是球心到他的距离要最最长的时候是什么时候会最长？把 o 点跟 m 点连起来，跟着前面是垂直的时候做最长，否则 不谁吃呢？又要过 m 和不谁吃呢？那连起来以后这个过程呢？直角三角形对不对？这是 o， m 是 他的神殿，神殿， 所以所以就垂直上弦心距离最长，圆的时候在弦心，弦心距离最长，所以弦长是最短，那在空间里面呢？ 就是球心跟这点这个中心连起来垂直的时候是最长，这个时候前面的半径最大，面积最小吧？ 啊？老铁们，那这个时候 o m 垂直的面是吧？那 o m 多长啊？ o m 垂多长啊？ 这是一比二，所以这段是几？这段是二分之二，这段是几？ 一比二，三，一比二。那这个应该是三分之二二，这段是三分之四二，这段等于等于一，怎么来求二？ 耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶。一方会等于三分之二二，乘以谁？三分之四二，那二能不能求出来？ 二柱可以求出来，那这段距离能不能求出来？对，可以，然后这等于四分之二过五。谷地里能不能把这个求出来？可以地求出来二，知道搞定了没？ 这是过熊那一点最大最小的解面问题啊。最大最小解面问题。好，那今天我们要讲的是这些 c 了吗？

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点四点二，空间点，直线平面之间的位置关系。那么这节课呢，是后续我们研究整个空间问题的一个理论的很重要的基础， 就是说我们的整一个空间当中，最基本的就是有点线面来组成的，那么他们之间有什么样的位置关系，就是我们这节课要总结的。首先第一点呢，就是我们上节课已经总结过的就是关于他们的从属关系， 我们会知道呢，我们在空间当中点是最基本的单位，它就是一个元素，而我们的直线和平面都是 无数的点的集合，所以他们呢，其实是一个集合，所以这个时候呢，他们的符号语言，其实我们只要想通了这个逻辑关系，我们这些东西是不用记的哈，就是给大家告诉大家去做个罗列 说，哎，我们的这个是一个元素，所以呢，元素与集合之间我们使用的是什么符号用的是属于，然后呢，这个直线与平面是集合与集合的关系，所以用的是包含于，就这样子， 所以呢，我们以后是不再需要啊，这个点 a 在 直线上，点 a 不 在直线上，所以我们的那个，呃，我们的文字在解答题当中是不用写这么多废话的哈，直接点在直线上， a 属于 l， 非常的清晰啊，全世界都能看懂，不管你说的是中文还是英文，所以这个就是符号语言的简洁、精准和通用性的这种魅力哈，我们来看一下。接着呢，我们来看 空间当中，首先看线线，直线与直线的位置关系，首先呢，我们说如果两条直线 l、 m 共面，共面我们就很熟悉了吧，我们从小学就很熟悉了哈，就是两条直线共面的情况，那么我们知道它们有三种位置关系，分别是相交、平行与重合。 而我们相交当中呢，我们又区分了一个特殊的一个 special 的， 就是垂直，对吧？重合呢？这个地方呢，这个符号是课本没有讲的，大家直接写重合吧，重合的情况其实也很少哈，直接写就好了。然后呢， 这个地方呢，首先我们先关注到这里哈，此外，我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做一面直线，关注这个定义哈，不在任何一个平面内。打个比方说哈，比方说我画一个什么，我画一个长方体哈， 比方说这个是 a、 b， 这个是 c 撇 d 撇。好，那 a、 b 和 c 撇 d 撇，我们看到它不同在哪里啊？不同在 a、 b、 b 撇 a 撇的这个平面内，那么我们能说它们是异面直线吗？不能，因为它们同在这个平面内啊，对吧？ 就是 a、 b、 c 撇 d 撇的这个平面，打斜的这个平面。所以我们一定要搞清楚什么是异面直线，不同在任何的一个平面内，也就说 当我们在这个世界上，我们找不到任何一个平面，能够包包容掉他们两个直线，包含了他们两个直线都在里面， 那么这个我们才叫做意面直线啊，我们一定要搞清楚这个概念。接着我们来看到，呃，平行线的概念， 在空间当中，在同一个平面内，永不相交的两条直线叫平行线。那么这句话的定义在我们的小学、初中当中呢，有不同的教材有不同的表述，首先基本上都这样表述，那这句话呢，有的教材就严谨一点，有写出来，有的教材呢，就觉得写出来还省的就是要跟大家去做解释，对吧？ 所以呢，我们现在知道永不相交的两条直线是平行线吗？我们知道意面直线它也是永不相交的，所以它一定是 一比一，一方面他得是共面，在共面的情况下，永不相交才叫做平行。那所以现在呢，我们要严谨的去表达是不是平行，对吧？然后呢，为了区别相交直线和意面直线的作图通常要用一个平面啊，一个平面 来衬托，就什么呢？我们看到这个东西，我们觉得，哎，这个意面和这个相交直线完全不同，他的两个意面直线， 我们要知道我们看到的屏幕纸张，试卷他都是平面的，对吧？那如果没有这个平面阿法，那这个直接划过来，那么就会发现，哎，其实意面直线和相交直线没有区别， 所以我们会知道我们是怎么画的，我们说你可以不画，被平面遮挡的这个部分我们可以不画，或者画成虚线都可以，这样子就会显得有立体感，所以呢，是要这样子去做的，好吧，接着我们来看直线与平面的位置关系有三种，分别是相交、 平行，还有直线在面内。当然从大的分就是，首先是直线在面内和直线在面外。首先我们来看，如果直线与平面有无数个公共点， 那么称直线在平面内。同样的，我们来看一下这个直线在平面内的定义，有无数个公共点，或者我们应该说直线上的任意的一个点，所有的点都会在这个平面上，才叫做直线在平面内，所以我们要知道不是说，哎，这种情况，平行啊，他不在平面内啊，这种呢？他在啊，不是的， 这个所有都统称是在面外，无论是他有零个焦点，还是有一个焦点，都是在面外，所以这个是有一个焦点，对吧？一个焦点，零个焦点，那么这个呢？他的焦点的个数是无穷啊，对吧？有无限个，这个才是指现在面内好不好。 那么当直线与平面相交或者平行的时候，直线不在平面内，也称为直线在平面外，好吧，在面内面外，不在平面内哈，相关的一些这样的一些表述。那么平行，我们知道平行，直线、线面平行和线面垂直，我们先通过一个非常感性 啊，课本也用了这个词，非常感性，我之前跟大家说，是吧？我们既要有非常严谨的，我们后面的六节课 就要非常严谨的去证明，那么我们也要有感性的这种空间思维，对吧？我们说了空间思维非常的重要，也是现在考察的点，所以呢，我先罗列出来，也是给大家干嘛呢？还没有做严谨定义的时候， 我们其实就能去理解了，像比如说像垂直这样的东西，我们其实生活当中很常见，像我们的旗杆插在这个地面上等等，对吧？所以呢，我们先了解，先做个初步的了解，后续的课程会严格的去定义它，好吧，去定义它，并且要看如何去做判定性质等等的一些研究。 接着呢就是平面与平面之间的位置关系有两种相交和平形，同样的相交当中特殊的是垂直，对吧？平行这样子的，像我们的天花板 和我们的地面之之间这样的关系，是吧？然后呢，我们的垂直就好像我们的墙面和我们的天花或者说地面这样的关系啊，对吧？那么这个呢，就是相关的关系，我们首先要关注的点是哦，我们要知道他们有这样的位置关系。第二个，哎，我们来看一下他的语言表述好不好，嗯，就这样子， ok， 我 们来看第一道例题，已知长方体这个当中判断下列直线之间的位置关系， e b 和 h c， 嗯，这两个是不是平行的？ a b 和 f c， f c 是 不是感觉它是一面的，对吧？嗨，我们这个地方不需要严格证明，只需要大家凭感觉去做就可以了，严格证明是后面的事情，好吧， h d 和 h c， h d 和 h c 啊，这个典型是相交嘛，是吧？ a b 和 f c， a b 和 f c， 哎，我们是不是也看到它也是异面的，它也是异面的， ok， 那 第二道题，若平面阿法外有两个点， a 和 b， 它们到平面的距离都是 a， 则直线 ab 和平面阿法的关系式。这道题目呢，就是没有同学们停下来想一想，想清楚一点啊，它的答案应该是什么？ 我们其实有两种情况哈，第一种呢，基本上很多同学都能想到，对吧？哎，他不就是平行的吗？对吧？有两个点，他们到这个平面的距离他都是 a， 对 吧？连起来他都就是平行的，但是我们要知道，他其实有另外一种情况，在这个平面上方和下方， 或者说我们说两侧，因为它不一定是打平的平面，对吧？我们说是在两侧，那么在两侧的情况下，它也是满足，此时它是相交的直线，所以它是什么？它是平行或相交。 第三课本的一道例题，用符号表示下列图形中直线平面之间的位置关系，我们来看一下。首先这个地方呢，就比较少元素面和面之间的位置关系，我们来看一下。首先这个地方呢，就比较少元素平面之间的位置关系，我们来看一下。首先这个地方呢，就比较少元素是干嘛相交的？ 那么相交它最终相交的结果，两个平面相交出一条直线，是哪条直线？这条直线幺，所以 a 加阿法加贝塔等于幺。然后呢，我们来看直线与平面直线，它标注出了什么？ 标注出了幺和 a 幺呢，它属于平面阿法，它也属于平面贝塔。那然后呢，这个 a 呢？哦，这条 a 的 直线是跟平面阿法相交于 点 a， 它跟平面贝塔相交于点 b， 所以 是这样子的，相关的一些位置关系好不好？ 那这个地方呢，我们来看阿法和贝塔，它相交于点啊，那个直线 l 跟刚才是一样的，跟这个是一样的。然后我们来看直线与平面，直线与平面之间呢？是什么呢？就是我们的 a， 它会属于阿法。嗯，好吧，直线 a 与平面贝塔会相交于点 p， 然后呢， b 会属于贝塔， b 呢，跟阿法呢，又会相交于点 p， 对 吧？那这是线面的关系，然后呢， l 当然也一样， l 呢，也是属于这个平面阿法和平面贝塔，对吧？然后接着呢，就是他们的线线关系，线线关系， a 交 b 等于 p， a 交 l 也等于 p， b 交 l 也等于 p， 对 吧？三个都是相交的关系好不好？相关的一些关系，我们的例式如图， a， b 交阿法为 b 点，然后呢？ a 不 属于阿法，哎，你看同学们就要慢慢的去熟悉，看这样的语言， 在试卷当中就不会再跟大家讲点 a 不 在平面阿法上，不会讲这么啰嗦的话了， a 不 属于阿法，嗯， a 不 在阿法上， 然后呢？直线 a， 它包含于阿法，就是直线 a 是 在阿法面内的，然后点 b 呢？不属于 a 啊，是直线 a y 的 一点，那么直线 a b 与 a 具有怎样的位置关系？为什么呢？ 好，这道题，首先我们从啊感性的空间思维的感觉，是不是觉得它应该是意面的，对不对？它应该是意面的， 那么现在我们就要去证明他，我们要知道一个点哈，就是我们后续包括前面也是反正法，我们前面也已经是了，对吧？反正法使用的非常的多，反正法是一个非常重要的一个东西，它用来什么东西呢？我们要知道，呃，正无，很多时候啊，正 无是会比证有要难很多的啊，这个在我们的法律层面啊，我们的一些，呃，嗯，推理悬疑上面我们也会知道。这个点，就是我那天晚上我去了那家酒吧， 那这个时候我要证明我去了，那简单很多，我要找到相关见过的人给我作证，我要看监控，对吧？我证明没有去，这就很难了，对吧？我在家里没人见过我， 我怎么证明我没有区呢？所以正无在绝大部分情情况下都难度要远远大于正有，所以我们要知道，就是说，哎，我们要知道它意面，就说那个直线，这个这条直线跟这个直线 a 啊，这个 a b 和这个直线 a 没有交点， 怎么证明它没有焦点呢？这个是很难的一件事情，所以我们通常来说这个呢，就是用反证法。我们来看一下，假设直线 ab 与直线 a 不是 异面直线，我们假设它不是，那么不是异面呢？就是共面喽，对吧？那是共面的话，则它们相交或者平行， 对吧？它们要是共面的直线呢？要么就相交，要么平行，我们不用管相交里面有特立垂直，因为这里我们看焦点不影响，对吧？ 此时我们两条相交的直线，或者说平行的直线，能够唯一确定一个平面，那这个是我们上节课的结论，对吧？设该确定的平面为 b 塔，我们画不出来。我们假设有这样的一个平面，因为它们唯一确定了，那此时 这些元素直线 a b、 点 a、 点 b， 还有直线 a 全部都属于这个平面 b 塔，因为它是唯一确定的嘛。那么我们又知道这个 b 点它不属于这个直线 a， 那么我们是不是知道经过点 b 与直线 a 有 且只有一个平面阿法，就说它三者，这个直线 a 和点 b， 它能够唯一确定一个平面阿法，那此时它又确定了一个贝塔，所以阿法它只能等于贝塔， 那只能等于贝塔的时候呢，我们就能推出。那既然是这样子的话，那整一条直线 a、 b 也都在上面， a 也会属于在上面，那很显然 题目的条件 a 就 不属于这个算法，大家能理解这个逻辑条件吧？就是我们从一个基点出发去进行推理，推理出一个矛盾的一个结果，对吧？这与 a 不 属于算法矛盾，所以直线 ab 与 a 是 一面。直线 反证法呢？我一直都在讲，它很关键，并且几乎没有人不可能在你们的这个年龄是没有用过反证法。不可能的哈，我觉得是不可能的，我之前我就讲过，只要你在你的生命当中讲过一句话，就是照理这么说或者相关的意思，对吧？ 照你这么说，那么你就用过反证法，对吧？我说哈，我跟你们讲啊，无论你有钱没钱，无论你怎么样，其他全都不用看，只要一个人身体健康，他一定非常开心，只要其他全都不用管， 呃，照你这么说我们的，呃，所有的流浪汉，对吧？只要他身体健康的，家破人亡在路边，对吧？也没有钱，他也很幸福，是吗？对吧？照你这么讲，按你这么说是不是 每个人都用过啊？就是说他干嘛呢？就是在数学当中，我们在反正法假设了之后，我们要用一个后续的一个证明过程，对吧？但是我们要知道反正法本身它是一个极度基础的，甚至基础到不需要去刻意去学习的一个东西 啊，就是这样子的东西。但大家不知不觉当中也不知道哦，我原来使用的这个东西，它就是叫反正法就这样子的东西。然后这道题呢，告诉我们一个很重要的事情，就是 告诉我们一种判断意面直线的方法，所以课本的例题哈，其实真的是非常，就是它是有很有目的性的啊，我们在这个地方会得到一个结论，与一个平面相交的直线 啊，我们这里的直线 ab 和这个直线啊，那个平面阿法相交于点 b， 那 么这条直线和这个平面内不经过交点的直线全都是意面直线，这个结论相当的重要， 好，同学们要看清楚，这个结论相当的重要，这个会帮助我们未来判断这个意面直线的，我们要形成这种空间的感觉。好吧，他跟这个直线这个平面相交于这个点，那么在这个平面内，只要这条直线有两个点，第一 他在这个平面内，第二他不经过这个点，那么一定是跟这条直线是意面的，我们也要记得这个模型来判断这个意面直线啊，这个就是我们的课本的这道例题要告诉我们的这个点。好，那么这节课呢？就到这里，那么下节课再见，同学们，拜。拜拜。

今天我们要讲的内容是面面平行的性质。 性质定力的内容是什么呢？也就是说我们已知两个面平行， 那么以他作为条件，可以推出哪一个呢？那当然是研究这两个面内的主线，他们之间什么关系，是吧？ 首先二反平面内的线跟被海什么关系啊？有没有公理？没有。所以面面平行，我们可以得到什么 啊？面跟面平行，那可以得到线和在一个面内的线都会平行于另外一个平面， 对吧？那昨天判定定你就是线面平行，可得到什么面面平行？那其次呢，两个面里面的线之间又有什么关系啊？ 为什么是平行或异面呢？ 直接来看线和线，这线跟线的话怎么样？如果两个面平行，那面里面的线呢？线跟线之间没有公共点，无公共点，那无公共点他们就是 平行或者平行或者一面。所以我们接下来要研究啊，研究，那么他们可能是平行的，可能是怎么样？一面， 那什么时候会是平行的呢？如果他们会平行，那这两条线 啊，能确定一个平面，如果在一个平面里面呢，那么他们就会平行，就会平行，所以两面平行，这两个面里面什么的线会平行，平行的， 共面的是不是平行的？那怎么找共面的呢？那就做一个面去跟他们找交线，那交线肯定是共面的， 那就没有公共点，所以他们就什么呀？就是平行的，所以我们就猜两个平行平面被第三个平面所截，交线呢？ 一定是什么呀？平行的，这就是他的性质定律啊，这就是他性质定律。两个平面平行，被第三个平面所截，这交线一定是什么呀？平行的， 那图形上面来讲是这样子的，你是阿尔法跟贝塔平行，然后呢？ 第三个平面跟他们的交线度都写出来，伽马加阿尔法于 a， 伽马加贝塔于 b， 则有 a 和 b 是 平行的，那这就是它的性质定力了。面面平行直接得到什么点和点？平行乘，正 因为爸爸跟贝塔平行，所以呢？ a、 b 无公共点，那公共点他们就意面或者平行，哪些意面不在任何一个平面内？不同在任何一个平面内，是不是意面？ 那么在一个面对就是他在一个面对吗？在，因为这 a 是 什么？ a 是 阿尔法跟伽马的交界， b 是 什么？ b 是 贝塔跟伽马的交界。那这两条线都在哪个平面里面？在面里面没公共点， 那就是我们在初中上定义平行的概念吗？在面对的公共点是不是就平行了？咋的？那这就是他的性质定了面面平行可以得到线，线平行怎么样的线后面的线后面他一定是平行的。 好，那我们在变斜的时候注意一下。比如第一个问题，已知两个不同的平面， m 为阿尔法内的一条直线， 那 m 跟贝塔平行是阿尔法跟贝塔平行的什么条件 是充分的吗？一条线管不住是吧？那判定定你需要几条线？两条，两条，而且代表两个维度的能代表整个平面呢？所以两条江江直线，所以才一条肯定就搞不定 面面平行。所以，所以两个面里面的线，或者说一个面里面线跟另外一个公点没有公共点，就叫做平行，所以是不是必要呢？ 也就是面面平行的另外一个性质是吧？面面平行可以推线，面平行可以推线线平行啊， 好，那性质定力就是应用，那应用就在证明问题上面的时候啊，怎么用？只要在两个平行平面间的线段，平行的线段 他们怎么样啊？他们是相等的，是吧？这个手势很相似，初步一下，我们证明过什么？平行间的平行线段是相等的，那我这平行平面间的线段是相等的，平行线段是相等的。等着 a、 b 已经平行了，我要证明三等三等 a、 b 一 共变了，那就证明 a、 b、 d、 c 是 一个平行四边形，是吧？证明平行四边形， 那你已经已经有一对是平行的，那我只要证明再来一对是，而 a、 c 在 二把， b、 d 在 对塔 分组两个平行平面，什么时候他们会平行呢？共面，共面，共面被第三个平面所截，是不是就平行了？那我们怎么写呢？ 第一个，我们应该先说这四点是共面，这四点为什么共面？因为 a、 b 平行 c、 d。 所以 啊，所以 a、 b、 c、 d 四点共面。 那这 a、 c、 d 跟 b、 d 呢？就是两个平面的怎么样？角形，是不是？ 所以，所以我阿法教平面 b、 c 于谁，这平面我就比 b、 c 吧。啊，他跟他教于谁？ a、 c， 然后贝塔教平面 b、 c 于 b、 d。 为什么他们是？他们是平行的，阿法跟对他平行，两个平行平面被第三个平面所截，所以交线就会平行。 交线这个平行，那另外一组也平行，两组对边分别平行，所以四边形。哎，四边形我们就简单一点写是 a、 d， 或者写成 b、 c 都可以吧？ 四成四边形，平行四边形，平行四边形，所以对边就啊三选是结论出来了 啊，利用平行的性质啊，利用平面性质被第三个平面所截，这交线一定是平行的。那从本节的讨论我们可以看到，由线线平行可以得到什么啊？线面平行， 但线面平行的性质可以得到线线平行。所以线面的问题我们可以怎么考虑啊？降格考虑什么？线线平行对吧？ 当然我们要得到线面平行，我们也可以深格考虑什么啊？面面平行，反而是在其中一个面的线就跟另外一个平面平行的， 当然我要面面的问题怎么考虑？只有一条路，价格考虑什么线？几条线，两个回顾的线，两条相 啊。所以这一些啊，是性子跟叛逆，对吧？也就是我们在社会上面降格考虑或者升格考虑。那我们刚才还有面面平行的性质呢？面面平行可以直接得到什么啊？线线平行对吧？ 但是有没有线线平行直接得到线面平行？没有，一定是先到线面再到面面啊，再到这边。 所以这种转化的思想在我们在解决这类问题的时候特别重要，特别重要。那对应的就是这六条的判定定律跟性质定律。 我们课本上面这六条判定一个性质，可以直接使用作为证明的依据，因为我们在课堂上都证过了， 可见他们之间是可以转化的啊。由判地定律，线线得到什么呀？线面线面的性质就得到线线能行，当然 那怎么找这些线？记下，过线做面，找表形。怎么做面？做一个平面， 我们经常是中心投影或者平行投影啊，中心投影或者平行投影，然后由线面平行有判定定力得到面面平行啊，然后呢？面面平行根据定力则有什么呀？线根面平行， 然后面面平行还有性质可以直接得到线线的平行，所以他们之间是互相这样子的转化的，互相这样的转化的 来。这是课本上的一个问题啊，我们思考一下这道题，已知现在三个平面是互相平行的，然后有一条直线， a 跟三个平面交于 a、 b、 c， 另外一个一条直线是 b 交于 d、 f 等有 ab 比 bc 会等于 d， e 比 c 也大，这有点像什么平行线的折叠层，升级版的。是不是 我们把线升级为谁？所以也有平行面分线段成， 怎么这样呢？它显得不太一个平面的。对啊，哎，我这个 a b 两条直线有没有想过面，如果过面，那是平面，里面是变成平行线跟现在成比例的。 问题是这里有没有讲共面呢？没有 ab 可能也是什么意面的。 有的人说把它平移过去，这一句话非常重要。什么叫平移过去啊？平移过去干啥呢？地面的问题，转换了没？路面问题，再来， 我要平移过来可以。或者还有别人说把他们，你用公共直线把他们都变成负面的吧，可以做到吗？怎么做到 要负面？我们和平行直线全是一个平面，我们还有什么也可以用平面干胶，干胶水怎么样？ 哎，把 a 跟谁 f 怎么样？连起来可以吗？连接 a f， 连接 a、 f， 它跟贝塔有没有空点？有，我们把这个空点叫做 g。 各位现在呢？现在有没有共面的问题了？哪个共面？ a， c， f 出共面了， 那这个 c， f 跟 b g 呢？平行，那在平面里面平行线分线段成，那 d， e 跟 e、 f 呢？ 那我把 g、 e 连起来，这是这五个点呢？共面，这两条是平行线，分线段成，可以吗？ 所以我们把异面问题通过他们之间的一条公共的实线，把它转化为共面的问题啊。共面的问题 啊，那写的三，把刚才你的想法描述出来，那就连接什么 a， f， 然后呢？交贝塔于 g， 然后再把谁连起来啊？再把这个 b， g， c， d， 还有呢？ a， b 跟 c、 f 连起来啊？连接起来， 那线，现在我们是通过 a g 比 g， f、 g 过度，是吧？那你要说这两条是什么线，怎么说他们是平行线啊？因为 a 和 b， 他 贝塔跟伽马是平行的，所以呢？所以 b 七交线， b 七跟 c f 就， 就 b 七跟 c f 平行，所以呢？所以 ab 比 bc 就 等于 c a t b 是 不是 又因为二法平行 c 被它，所以呢？ a b 平行 c e， 所以 是不是 先算出 d e 比 e f 是 不等于 a g 比去 g f 搞定了没啊？那个等数也传递了，那是不是得到这来，所以结论出来了 啊？所以确定平面以后聚结谁得到了？他们是互相平行的。那刚才好像还有同学提议说怎么样平移，怎么平移呢？有啊， 把一条移到另外一条所在的线上面来，对不对呀？所以我们把把这个 d、 a 这条移到哪里来？ 你就过 a 点去做 b 的 什么呀？平行线，过 a 点做 b 的 平行线。那现在交交于 h 跟啊？跟 m 吧，是 h 跟 m， 那这边就是三角形的中位啊，三角形的那个什么呀？平行线，对吧？所以这个比值是通过 a、 h， b， c， h， n， 那 这边呢？这边是三条什么线？平行线是三条平行线， n 是 成比例的。 总之一句话，把他们会不会共灭的问题转化成共灭，那该行的是共灭也行，不共灭处也行。总之我就要把你转化成共灭的问题，共灭的问题然后再处理 好。呃，我们经常会用面面平行啊，去做减面，以及以及跟这里面的一些动点相关的问题。比如说这个题 啊，有的人写四分之三，有的人写三分之二，到底是什么？来再回顾一下这道题 里面是边长为一的正方形，然后呢， e 在 棱上是一个几等分点， 四等分点，三比一分点 p f 等于半打倍的 p c， 告诉我们点 f 是 不是在线上的一个动点，到底是几等分点的动点才能够保证 b f 跟 a、 c， e 是 平行的？ f 在 哪里才能够保证我会平行呢？ 那所有跟它平行的线构成什么？所以一句话叫做动线，动点成线，那动线就成什么啊？面， 那所有的过这个脸的面都要跟它平行，是不是？所以你 b、 f 在 哪个面里面 错点 b， 错点 b， 且与 a、 c、 e 菱形的平面 过点 b 过定点，平行的平面几个，那我把这个水平面做出来就好了嘛， 对吧？那我要做平面就要去做点，很显然这个 b、 f 是 不好做的，是不是换别的地方 画哪里啊？做点去做面，找什么？找交线？ 你做出来平面跟他是不平行的，那被这个面截交线要不要平行过点，比哪个面的交线好做？连起来吧。这点什么点做？中点一二三 e 二，要不要跟你过 b 点呢？这条线平行。要要要要要要要。那就把把 p d 的 什么点找出来， 中点找出来了，你要中位线，这两段要相等嘛？那这是疑问，这是疑问剩下几问。所以这条会不会平行？所以我这个 b、 f 所在的平面是不是过这个点 再来做一条跟这平面的线平行了呢？你看这个 p、 c、 d 里面这条平行线是吧？然后这个比值是几 二比一，所以这个点在哪里才会这条跟他平行来，是不是也是二比一？搞定了没？ 我如果会跟你平行，那我这条线一定是过 b 点跟你这个平面平行的面里面的线， 对吧？所以我就过点 b 做一个面，跟你，跟你 e、 a、 c 怎么样？平行就好了。而两平面平行被第三个平面所截，交线呢？要平行，所以把做面就变成做线的问题。啊 啊？所以所以的话是多少啊？ p f 是 他的二比一，哎，三分之二，三分之二。 好来，各位，那你来看一下， 做一个洁面，做一个洁面 跟正方体的前后上下都有交线，这个洁面的话是什么形状的呢？ 就一次看他是，他是一次是不是随便切过去？你随便切的话，那一定有什么一言不合一句， 那我们需要利用面面平行的性质，是吧？两面平行被第三面所截呢？所以上下两个面的线平行前后的呢？ 但是根据平行的性质，那他就怎么样平行四边。为什么？ 有没有办法决定他是不是平行的啊？对啊，你这个位置就可以动的是不是？所以只能判断他是一个平行，可见我们就可以用面面平行的性质来做洁面，是吧？ 我要做洁面素跟每个面的交线，所以我找平行的平面交线一定是什么呀？平行的反过来通过平行去做洁面。 来，各位，我们继续来看一下，在人长为二的正方体中， b f 是 中点， 请问这个面跟侧面的交线多长？ 这个面从侧面的交线过程过这三年的平面阿吧， 平面是无限延伸呢。那什么是正方体？六个面围起来的这个几何体就在这正方体，所以你前面应该是 哎跟每个面的胶线都画出来围起来的一个多边形，是不是你的洁面 啊？ 来，想到怎么做的举手一下。 还是不多啊。怎么想的？这个结论有什么特点啊？ 这两点上面，这底下，这上面一点分属于两个 啊？什么平面？你既然分出两个平行平面，所以交这一定是，那我就过 f 去做谁的平行线。好，我们先把它移到这里来吧， 这一条数跟他是平行的。哎，你在这终点，那我应该终点这里应该找直角分点 在平面里面移，是不是？那现在能不能移下来了？是不是？这是不是也是平面从这里的起点那里？ 所以你看星星之火可以燎原啊。我们现在是不是已经已经把两个面都搞定了？ 现在他车面，车面里面是一个点 f 的， 还差一个点，是不是？ 哎，这才差差一个点，我们再把个 m f 怎么样？延长延长。 m f 延长到哪里？ 不用的，因为这两点知道，那这个这条知道没？然后再说我还是平平平，现在我右边已经做出来了，那下我就做哪一边？左边，左边， 那左边，我把这边过来。这是几等分点？四等分点啊，这四等分点就这一条， 但是你这是会平行的，但是我要过哪个点？一点，那这里应该移几个单位？半个半个，那这边也要移半个，所以这里应该多了多少个单位？四分之一，四分之一，是不是这里连起来？ 这是一比几，这是四分之一。四分之一这么长，是不是这段是二分之一，这段呢？一，所以是多少？ 到底这是几的分点，所以这边是三分之二，这段是三分之四。前面的那条线是不是已经出来了？ 这里啊？那现在我把这些啊五处的去掉，我就连起来了，搞定了没？ 我们一直刚才全程都用绳棒来画这个，这里平行，平行的性质，用平行的性质来画，所以这个是三分之二，这段是， 这段是三分之二，这段是一。这条是你的腰线的长度了，可见我们刚做出来的几片形 啊。五边形是五边形，所以这块你前面可能是五边形，也可能几边形，最多最少 三角形、四边形、五边形、六边形是都可能的，特别是六边形。六边形是长什么样？这六边形呢？哦，一堆的人的终点连起来的，是吧？六边形搞定了， 所以我们利用面面平行的性质来做结面，两面平行，对其将解所结挑线一定要怎么样？平行？还有我们不要从虚空里面去移，移一条线，应该是在平面里面做平行线嘛。所以你看我们刚才一开始是把 d、 e、 b、 e、 e 移到哪里去？ b、 e、 n， 对 吧？再把 b、 e、 n 移到另外这终点，跟它这边连线，然后是不是平移下来了？那平移下来我们用的是不是也是这条跟这条平行相等啊？跟平行四边形来移的， 所以平移一条线或者过一点做一条线的平行线，一定要先垂直平面，在平面里面做它的平行线。好，来继续来看一下 体型为两百一十六的正方形，它这个边上为几六啊？棱长为六的正方形中， m a 是 中点 啊， m 是 终点，然后呢， a 是 在这条线段上， m n 跟 b d 形，则 a m n 结这个几何体的结面面积是多少？ n 在 线段上的动点，但是要保证这个平行。首先 n 是 什么点？ a 意思过这两个钟点，过这两个钟点，然后呢，跟 a 点连起来是一个结面， 但是他只是洁面的，怎么样？你要把整个洁面做出来，他的面积是多少？洁面的面积多少？三十 四十一号准备一下。 haha。 哈哈， 来，各位可以不可以用平行的性质来做呢？可以吗？ m i 就 算上里面，那我应该要过 a 点 做 m i 也就做斜的平线， b， d， 他 说空间你看不懂怎么办？ 哎，这是 a 点对吧？你要做他的什么线？ 平行线是不是正方体啊？正方形，我要做平行线，过 a 点做他平行线，哎，他把这个延长，这延长只要取什么？哎，取这段跟这段是不就可以了， 对吧？你这四十五度，现在我这里要做四十五度嘛，所以我这一段就跟 a、 d 怎么样？一样长，骑车一样感觉一样，那是不是就平行了啊？所以是不是这条线？ 可是我们应该把 b、 c 延长，然后把 c、 d 呢延长，并且取根， c、 d 一 样呢？取根还一样呢？根据平底的知识知 根面，根据平面几何的知识知这三点就会贡献却跟 b、 d 平起， 反正你用平面的知识容易得到了，你就可以直接下结论。我刚才说有没有说做他平线，我说啊，取这个相等，这个相等则这三点共线，且跟比例是平行的啊，这样比较好说了啊。 哎，那还没有啊，交线还做了平行，交线在哪里呢？交点在哪里呢？ a 点跟他怎么样？ 谁能分点呢？这是一比几，一比二，谁是一比谁阶段为两个单位阶段 对称呢？谁后面呢？哎，这点呢，也是二跟谁不对头，对对，二跟谁四，十二跟四，然后 现在最后把这连起来，这连起来，所以它是几边形？五边形能看得明白吗？这是六，这是四，谁？这条为 两队的根号十三这段，两队根号十三这段 来，根号十三这里根号十三这段三，根号二， 五边形，这些线段都知道，这五边形是确定的吗？并是会动，是不是？那怎么办？来分割对吧？把谁来连在一屁股连在一起？ p q 周长六个角，所以这个是什么梯形？等腰梯形上底下底腰都知道，确定了没？ 这个 a p q 是 什么？等腰三角形底知道腰知道什么球，所以它的结面是五边形，五边形割成三角形，一个四边形搞定了吧。 所以关键就是做什么呀？解面前面我们会做就好了啊，那你说那还可以怎么做呢？那我们前面有 有讲过我们还可以用平面的性质来，是吧？还可以怎么做啊？把 m i 延长，延长，那个 a d 有 没有交点？这个交点记在 前面上，也在左边，左边还有那个点连起来线好了没？所以这个点 q 是 不是找出来了？同样的技巧，是不是可以把 p 给找出来了？所以前面就找好了没？ 所以可以利用平行的性质也可以用啊。有两点？是啊，有两个公点，那就有一条什么呀？公共直线，只有利用平面的性质，是吧？有两个公点就有一条公共的直线， 所以你看，我们就可以把这连起来，那这里的话是 a f n m d 伸出来了，可见它的面积，也可以怎么求？ 如果是这样子来做，面对个什么球？ a q p 是 什么概念？等腰的扣掉， 想个小的。什么三角形，是不是你的五边形？所以得这么来算啊，得这么来算 来。那我们继续来看一下这能长为二的正方体中啊，他现在是谁的终点？ b c 的 终点叫做 m c， c 的 终点叫做 n 点 p 点 b 在 这个面里面， 然后 p a e 要跟谁 a m n 平行啊？那我把 a m n 这个平面画出来， a m n 这个平面画出来，大家觉得吗？你既然是这个平面，那我平面应该要给他延展一下，这个应该比较好延展吧。 m n 跟谁平行啊？过 a 点的，所以我们是斜面出这个面， 那现在动点，那现在这条动直线，动线成什么？所以我就相当于要过 a 一 做这个结面的。什么平行的平面，所做的平行的平面， 再来哪里的好处？哎？上底的好处吗？好处，上底的只要跟 am 平行就好了，是不是？所以上底应该取什么点？中点？正面，正面，正面是要跟背面是平行的，所以也是什么点？ 所以点 p 是 不是在上面运动？所以，所以既要在层面，又要在我这个面里面，那不就在这条线段上运动吗？而这是什么原因？ 最短，是不是这个距离最短的最长呢？短点上是最长的，搞定了没？ 所以，所以如果是动线，那我们就让他成什么呀？面，在面里面找线就比较好找了。 还有的话局部的洁面不好看，怎么样延展一下，整个洁面找出来就好找。那就是我们解题解这类问题的一个层面啊。那我们今天课在这一节课班。

高中数学最难的立体几何证明全部背熟，稳进班级前三、立体几何证明专题一、平面的基本事实与推论二、直线与平面平行的判定及性质 四、直线与平面垂直的判定及性质完整版。