北师大版六年级下册正比例的教案

哈喽，同学们，今天我们一起解锁数学新奥秘，跟着小汽车开启正比例之旅吧！看，小汽车开了一小时，跑了六十千米哦，又开了一小时，现在一共走了一百二十千米了。 快看，时间越来越久，路程也越来越远，这组数据藏着什么规律呢？看完汽车行驶，我们去文具店逛逛，佩奇买一本笔记本，花了两元钱，再拿一本两本笔记本一共四元，很划算吧。 佩奇买的笔记本越多，花的钱也越多，这组数据又有什么特点呢？大家看，屏幕上出现了两组神奇的表格，左边是汽车的时间和路程，右边是笔记本的数量和总价。 我们来算一算，汽车的路程除以时间，六十除以一等于六万零一百二十除以二还是六十，接着算，不管是几十路程除以时间，结果都是六十，这个数一直不变哦。 再看笔记本的表格，总价除以数量，二除以一等于二，四除以二等于二，六除以三还是二。 算完了，总价除以数量，结果一直是二，从来没有变过，发现了吗？两组数据里，一个量变，另一个量也跟着变，而且相处的结果一直固定。 那像这样的数量关系是什么呢？他们有一个专属的数学名字，它就是我们今天要重点学习的正比例，里面的奥秘可多了，快和老师一起探索吧！

来，同学们，我们来做个游戏，听前音，说现象，猜成语，看谁最快猜出来。风吹起来了，草会怎么样？猜成语，好，请你说， 风吹草动，风吹草动，真棒！对了，好，请坐！水涨起来了，船会怎么样？猜成语，好，请你 水涨船高，嗯，对，看来同学们的成语知识真丰富，请坐， 同学们啊，风吹草就动，水涨船就高。都有一个共同点，一个事物随着另一个事物的变化而变化。 上一堂课，我们学习了变化的量，今堂课我们来继续研究这些量的变化规律。请看下面是正方形周长与边长，面积与边长之间的变化规律。 谁来说一说，图中分别有哪两组变化的量？谁的眼睛最水亮？好，第七组的这个男生，你来说， 边长和周长，还有边长的面积？哦，边长和周长，边长和面积。哇，这个同学真棒，他一下子就观察到了。同学们，请，现在呢？拿出学习单，把表格填完整。 请大家拿出学习单， 好，我看到很多同学都填完了，现在呀，谁来帮助老师把表格填完整？谁来说一下你填了什么数据？哪个同学来说一下？好，请你来。 好，说一下。八，嗯，也就说边长为二，周长为八。嗯，边长为三，周长为十二。嗯，边长为四，周长为十六。嗯，还有呢？边长为二，面积为四。 边长为三，面积为九，边长为四，面积为十六。同学们，他都填对了吗？填对了，好，请坐，还有其他填法吗？ 好，你来他最后一个，他最后一个格，两个都是空的，他这样，这就是证明他不是一定可以 要填这个数，平常可以填五，可以填六，可以填七，做出来也不一定是十六，可能是二十二十四之类的。哦，原来他发现了我们最后一个格是怎么样的，空空的，他举了很多例，老师也举了一个例，如果这里像他那样说，如果这里填八 三十二，他还说了还可以怎么样？继续填。哎，同学们，如果我这里填 a， 下面填什么？四 a， 真棒！现在啊，老师把这里挡住了， 你们还会填吗？会，嗯，为什么能填？因为它除以二等于，四 十二，除以三等于。哦，真厉害，原来大家都找到规律了，同学们，同样面积和边长还能继续填。 好了，现在请大家来看每个表格中两个数据的变化有什么相同点？请大家继续填，在学习单上 写的很清晰，那个过程非常棒。 好啦，我看见大家都基本上填完了，那么谁来说一说你的想法？哪个同学来说？ 嗯，同学们都很自信。好，你来，大眼睛来。对，这位小女生，你来，他们都是随着另一个数的变化而变化。哦，他们都是随着另一个数的变化而变化。好，请坐，谁来？再说一下谁还有其他想法？ 好，第四组的这位女生，你来说一下。我发现正方形的边长在增加，它的周长也随之增加。 相同的是，第二个表格中，正方形的边长仍然在增加，它的面积也同样在增加。哇，这个同学的表述非常的准确，你能出来只给大家来看一下你是怎样观察的吗？好，请你出来， 大家请听我说。我发现边长在一二三四的增加，它的周长也是四八十二十六在增加。 一样，边长一二三四在增加，它的面积也是一四九十六在增加。嗯，表述的非常的精确，也很自信，老师太喜欢你了，谢谢请进，同学们，大家都听到了吗？好，我想问还有其他想法吗？ 嗯，这样，老师把他刚才这个同学是从左往右观察，老师把他调转过来，从右往左，四三二一，收藏十六，十二十八四，那么你们有什么发现？ 哎，第八组，你来说，他的手举得高高的，真有自信。 它，它的边长随着随着边长的缩小，它的周长也会随之缩小，而面积的那里也一样，边长边长缩小，然后面积也会跟着缩小。 嗯，同学们，我把它呢换另外一个字，缩小，我把它说成减少，这样可能呢，大家呢，更容易理解，好，请坐。对了，同学们，我们刚才啊几位同学都很准确的发现了这里的 的相同点，我们来看，原来啊，正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加，也可以说随着边长的减少而减少。同学们， 这样我们就说他们的变化趋势是一致的。 刚才大家都非常棒，找到了这两种数据的相同点， 现在呀，我们来找一下他们的不同点，请看学习要求。一、独立思考二、小组类分享你的想法，现在开始 好了，同学们，已经写好的小组请站起来讨论。 啊啊， 好，大家来说一下， 如果他边长过两倍，他的面积会在四倍，如果他的 边长扩大三倍，长面积扩大九倍，可以得出结论，边长扩大几倍，周长也扩大几倍，面积扩大的倍数。嗯，非常棒，把它给我。 好，你来说一下，我发现周长与边长的倍数相同。这个结论可以从四除以一等于四，八除以二等于四等等来看出来，但面积与边长的倍数并不相同，比如一 除以一等于一，四除以二等于二，他们两个并不相同。嗯，非常棒，看看你来说一下 不一样，第一组的知识和等因素关系的，是第二组的知识运用最基础的地方。嗯嗯，很好， 好啦，我看大家呢，都讨论的差不多了，老师这里呀收集了几个同学的作品，请大家来看一下。第一个有请李文谦同学来说一说。 呃，大家听我说，我的观点很明确，边长加一，周长加四， 边长增加一，面积每次增加的却不一样，所以我的观点是，边长增加一，周长增加四，面积增加不一样。哦，原来他通过数字啊，把这个发现也很明确的告诉了大家。好，说得很好，请进，那我们请第二位同学。 第二位，欧阳小慧同学，请你来说一下欧阳小慧， 这样我把它的字变大一点点。 好，请你来说，请大家听我说，我通过计算发现数据，四除以一等于四，八除以二等于四十，二除以三等于四十六除以四也等于四，所以周长是边长的四倍。 面积一除以一等于一，四除以二等于二，九除以三等于三，十六除以四等于四，得出结论，周长与面积的倍数关系不一样。哦，原来啊，我们的小葵同学是通过了计算发现了以下两点，好，请记 好，那么我们再来看一下。还有同学有发现上南，欧阳上南，好，请上南同学出来讲一下。 大家请听我说，它的边长扩大两倍，它的周长也扩大两倍，它的 边长扩大两倍，它的面积却扩大四倍，所以可以得出结论，边长扩大几倍，周长也扩大几倍，面积扩大的倍数不一样。哦，原来啊，上男同学这样横着看，发现了 这里的不同点。好，好，可以了， 现在我们来请嘉文同学出来说一说你的想法。 大家请听我说 我。我从第一组数据发现了边长扩大多少倍，周长也会随之扩大相同的倍数。我们看第一组数据， 边长一到二扩大了两倍，周长也随之从四到八扩大了两倍，他们扩大的是相同的倍数。可第二组数据，边长扩大了，从一到二扩大两倍，面积 却是扩大二的平方。四从一到四扩大了四倍，从而我得出两组数据的变化规律是不同的。 哦，原来我们嘉文同学刚才根据数据来说，也是说得有理有据，非常棒，谢谢你。好，可以了，请进 陈乐新，有请陈乐新同学来讲一下。 请大家听我说。我发现周长和边长是，四除以一等于四，八除以二等于四十，二除以三等于四十，六除以四也等于四，商是一样的。 再看面积和边长，一除以一等于一，四除以二等于二，九除以三等于三，十六除以四等于四，商是不一样的。好了，同学们，我把乐星同学的也写在这里。 好，他就通过这里我们来看他说的三一样。这个三，其实你是怎样算出来的呢？我用边长除以周长，边长，我用周长除以边长。嗯，不用紧张哈。 嗯，他用周长除以边长。同学们，啊，都是等于几啊？四， 他得到的结论写了，三一样。同学们，三一样，我们也就可以说是比值一样，比值一样，我们也可以写是比值，一定对，很好。 好，那么我们再来看乐星，请你把第二个再来说一遍，第二个是面积除以边长。好，大家来帮老师把数据也说一下吧。 四除以二等于二，九除以三等于三，十，六除以四等于四。 好，同学们，我想问这里的算式是怎样得到的呢？一，一边转。 好，我看一下。三不一样。好了，乐星，那么我们来看一下三，分别是 一、二、三、四，其实啊，也是正方形的。对，真棒，我们也可以写等于边长，刚才 左边是笔直，一定，那么这边我们应该怎样说呢？笔直不一定。 好了，刚才乐新同学他非常棒，你来看他用数据啊，把这里的发现都写得非常的什么清晰。好，谢谢你， 同学们，我们刚才啊，通过研究都发现了正方形周长与边长，面积与边长的相同点，还有不同点。 好，同学们，除了图形，我们生活中也存在着大量变化的量。请看 一辆汽车以九十千米每时的速度行驶，行驶的路程和时间如下，大家来看， 时间在不断的变快，路程也在变快。好，我想问当时间为五十的时候，路程应该是多少？全班说四百五十，嗯，说的很精确。好，时间为六五百块四十，时间为七六 百三十。老师还能继续填吗？能，对，我们还能继续填。现在请同学们思考以下问题，表中的量是怎样变化的？ 它们的比值一定吗？请大家把你的思考记录在学习单上。 好，我看到同学们都写得差不多了，现在大家来。好，我看到同学们都写得差不多了，现在大家来第一个问，来说一下 第一个问题，谁来回答？表中的量是怎样变化的？谁来说一下第一个问题？好，你来说一下。第四组的这个女生 站起来说，我发现表中的量随着时间的变化，他们的路程也会变化哦，他发现他还可以怎样说了， 时间加一，他们的路程会增加九十。嗯嗯，对，还好，请坐。还有没有其他的说法？他说对了，好，还有没有其他说法？你来说， 表中的量是路程随着时间的变化而变化的。嗯，对，还可以怎样说呢？呃， 时间变化，路程也跟着他的时间而变化。嗯，对，好。同学们，我们再来看这些数字， 时间一二三四，这样路程好，还可以怎样说？也就是说，好，你来最后一个男生，时间扩大几倍，路程就扩大几乘九十哦，原来他发现时间扩大几倍，路程也扩大。扩大多少啊？ 扩大几乘九十哦，扩大几乘九十就扩大几。对。好了。那么我们可以说啊，时间随着路程的增加而增加。好。第二个，他们的比值一定吗？谁来说一下？哪个同学来说一下 好，谁来看 好？你来说一下 他们的比值一定，因为九十除以一等于九十，一百八十除以二也等于九十，等等都是九十 哦，所以你就说他们的比值一定对。好，请坐。那同学们，我们来看， 通过计算呢，我们都发现了，他们的比值是有时，也就是说比值一定。原来啊，这里除了变化趋势一致，他们的比值一定也是一定 好。同学们，经过了刚才的研究，我们回顾以上的图形，那么时间与路程的变化规律与上表中哪个表更相似了？你们认为？好，你来，第八组的这个男生，你来与上面的第一个表格更相似。 好，你能说一说这两个表相似的地方吗？因为刚刚已经算出来了，他他们的周长除以边长所得的比值都是 四，他他们的比值是一定的。然后呢，下，下面他的路程除以时间就等于速度，他的速度就是九十，所以他比值一定。哦，原来他们的比值是一定的，一定的。好，好，请坐。 同学们，像刚才正方形的周长与边长，路程与时间一样，一个量变化，另一个量也随着变化，并且它们的比值一定。我们就说这两个量成正比例。其实啊，在数学上， 当两种相关联的量，一总量变化，另外一总量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的比值一定，他们的关系就叫做正比例关系。 同学们，我们刚才研究了正比例的关系，现在请大家辨析一下，正方形的面积与边长成正比例吗？好，思考一下，谁来说一下你的观点。 嗯，好，这个女生，你来说一下，她的周长是一，面积是一，她面积是四，周长是二，她的面，她的 他的差是二。嗯，他的差。嗯，继续往后算，可以得出，他们的比值不一定，但是如果要组成正比例，他的要求是比值一定， 边长和面积的比值不一定，所以不是正比例。哦，好，请坐。刚才啊，这个同学很清晰的说了，他计算得到，原来啊，这里的比值不一定， 比值不一定，所以啊，他的也不成正比例。对，同学们，其实啊，虽然变化趋势一样， 但是不，不一定会成正比例，要比值一定比值相同才能成正比例。刚才啊，我们呢，学习了 很多的正比例，那么同学们，请大家说一说生活中和学习中你还知道了哪些变化的量成正比例？请同学们在主类互相说一下。好，开始。 好，做一下。我每天练习的个数就会随着时间的，随着时间我每天练习的个数越来越多， 是九十块钱吧，然后我买了三。 老师啊，刚才啊，发现大家讨论特别的激烈，我也听到了他，大家很多的想法，现在谁来分享一下。呃，好，你来说一下第四组的 假设我每一个小时用一米的修改修正带，那么随着时间的增加，我的修正带会越用越长。嗯， 用修正带用的米数除以时间，那么它们的比值一定，也就是说 它们是成正比例关系的。嗯，好哎，但是你的修正带每个小时用的数量都一样吗？ 我说的是假设我每个小时我只用一米。哦，他，哦，原来老师听漏了，他每假设每个小时都只用一米，嗯，这样就可以了。好，请坐。还有谁来说一下？还有谁，哎，你来说， 我买这支笔三元单价，一定买的数量越多，总价越大，买的数量与总价成正比例。哦，这个同学真了不起，他看到了手中的笔就想到了， 但是他有个前提非常好，他就说他的单价是一样的，一定，也就说笔直，一定，嗯，真棒，还有谁， 还有谁来说一下。好，你来第四组，戴眼镜。这个男生一个游泳池要注水，假设他的每秒注 每分钟注水量是相同的，那么随着时间的变化，游泳池里面的水将也会随也会随着时间的变化而变化。而 用游泳池里面的水除以他的时间就可以得出他每分，他们的笔值是一定的，这个笔值又就也就是他每分钟的注水量，所以他们是成正比例的。哇，这个同学真了不起， 思路啊，特别的清晰，很清晰的讲述了游泳池的问题，怎样能成正比例，非常棒，并且他已经也说到了，要笔直，一定给个赞，给你请坐。 同学们啊，我们的学识真是很渊博，大家都说到了很多这里呢，老师有也有几个正比例，看 每天看书的页数，一定看的总页数和天数也成正比例。看我们做操，每行的人数一定的时候，做操的总人数和函数也成正比例。还有两个电，交电费的时候，铺地砖的时候也有正比例。 其实啊，我们生活中和我们的数学中到处都有正比例。对，现在啊，老师有一个问题需要同学们帮忙解决，请看 学校科学小组在同一时间同一地点进行观察实验，测得竹竿的高和竿引的长，如下表。请大家打开数学书， 翻开四十二页练一练，帮忙老师解决。练一练的第一道题目开始写在书本的空白处。 好，同学们，停笔，我看到了，大家都基本上填完了。好，那么谁来说一说肝脾的肠与竹竿的高的变化关系？谁来说 好？第六组，这位男生，你来说，我发现竹竿的高增加竹竿，竹竿的那个影的长度也会随之增加。嗯，非常好，请坐，谁再来说一下？好，请你， 我发现竹竿的竿每增加一米，竿影的长就增加零点四米，嗯，他利用增加的数据说明了题目好，很好，谁再来说一下，谁还有想法？好，请你第五组这位女生。 竹竿增加一米就会，竿影就会增加零点四米，也就是说竿影竿影会随着竹竿的变化而变化，嗯，也非常棒，也是用数据说明哈。请做 竿影的长随着竹竿的高的变化而变化。看第二题写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？谁来说， 谁来说一下，我们来看。好，你来。呃，因为那个杆影的长比杆影的高是一比零点四， 呃，第二，第二个，第二个是二比零点八，第三个是三比一点二，第四个是四比一点六，他们的比值都是一样的。嗯，好了， 同同学，我想问一下哈，我们来看，有同学发现了问题了吗？ 好，你自己有没有发现的？有，哎，我们给个机会给这个同学，让他纠正一下，大家都很棒，都帮他了， 都帮忙，他找到了。好，我们来看他应该是反过来。是。哦，为什么要反过来？ 因为他第一个是干引的长比，他是干引，是干引的长比干竹竿的高，所以说应该是零点四比一，嗯， 等于一分之零，一分之零点四，嗯，零点四比一，然后，然后第二个是零点八比二，第三个是一点二比三，他们的比值都是一样的，第四个是一点六比四，第五个是二点四比六， 第四，第五个是三点，不是，第六个是三点二比八，嗯，你来算出他的比值，他们的比值都是零点四。对，所以，呃，所以肝影的长 与竿竹竿的高是正比例，嗯，是正比例。对，还可以通过数据我们都看到，因为它的比值一定，刚才的这个同学已经猜到了，原来他们是呈正比例。那么 你刚才就说成正比例，也就说他必须满足哪两个条件呢？必须一定变化趋势一日，嗯，对，非常棒！好，请坐看。来呀，同学们啊，正比例的知识掌握的非常好。 同学们，大家来看古斯拉科学家泰勒斯，他非常了不起，他利用正比例的知识把金字塔的高度啊都测量出来了。请看， 今天我们给大家讲讲泰勒斯巧测金字塔的故事。有一天，法老突然想知道金字塔的高度，于是在全国发布法令，寻找最聪明的人， 如果用绳子量，但不能爬到塔顶。如果造和金字塔同高的梯子，但花费巨大。恰巧泰勒斯早年游历埃及，他应法老要求，竟然没有登上金字塔，就测出了金字塔的高。 原来泰勒斯是放根棍子在塔旁，钢棍的影子长度等于棍长，此时塔底到尖顶投影的距离就是金字塔高度。泰勒斯是利用什么数学知识呢？其实是图形的放大与缩小，是比例知识的简单运用 啊！同学们，哇，刚才啊，泰勒斯，他实在是很聪明，利用了什么知识 正比例。那么你们学到方法了吗？学到了，同学们看，这是我们学校的标志性大榕树， 请你用学到的方法测量一下我们学校大榕树的高度，会了没有？会了好，请大家课后与组员一起研究，一起测量大榕树的高。 通过金堂课的学习，同学们，你们有什么收获了？谁来说一下？谁来说一说你的收获？好，请你来说， 我的收获是，如果要成正比例。嗯，变化趋势要一致，之后的笔直要一定才能成为正比例。哦，原来他学到了判断正比例的方法。有两点好，请做。 还还谁来再说一说你的收获。好，请你来说一下。我收获了。在生活中和学习中，我们可以看到许多的正比例 哦。非常棒哈，请坐，看来你的收获真多。好，以来我收获了。正比例，不仅不仅可以用于数学，还可以用于用于现实中，比如说计算一些根本不可能，不可能用正常方式计算不出来的物体。

老师上班之前喝的那个牛奶的量在发生变化，很好，观察的非常仔细。牛奶的量在数学中我们就会说是牛奶的体积。还有吗？ 好，你来说。潘老师每做一件事情的时候，是时间在发生变化， 同意他的说法吗？同意，很好，像这样不断变化的量，在数学中我们就都把它们称为变量。那你能描述这些变量之间的联系吗？ 好，你来试一试。比如说汤老师上班的路程，他的路程和时间，时间过得越长，他行的路程就越多。说得真好，请坐。还有吗？好，你再来说一说 汤老师喝的那杯牛奶，每汤老师喝的越多，牛奶的量就会牛奶体积就会变得越来越少。 听清楚他说的了吗？我喝的牛奶越多，我杯子里面牛奶的体积就会越来越少。少。很好， 那像这样一总量变化，另一总量也随着变化，我们就说这两种量是相关联的量。 简单来说就是如果你发生变化，那么我也跟着你一起发生变化，那么你和我就是一 组相关联的量。像刚刚同学们找到的路程变，时间也变，所以我们就说 路上的时间让你的想法也没有量。说的真好，像那位女生找的我喝的牛奶的量和杯子里面剩下的牛奶的量，他们 很好。那汤老师想请问一下，牛奶的体积和我骑车的速度是一组相关联的量吗？是为什么呢？谁来说一说？ 好，你来说一说，因为他们两个没有互相影响。说的真好，掌声送给他。 这是刚刚视频中出现的数据，请你口算每个时间段的速度，你发现了什么？ 口算的结果可以直接用分数表示。 谁来说一说？ 好，高卓，你来试一试。 时间就是等于速度，那就是三分之五百，然后第二组的话就是六分之一千把，他们约分也是三分之五百。第三组就是九分之一千五，把他们约分完之后也是三分之五百。 路程除以时间，根据除法与比的关系，我们也可以说路程怎么样？路程对时间等于速度， 那么它们之间的比值就表示速度，速度。 而且刚刚高卓也说了，每一个时间段速度都等于三百，分之五百， 都等于三分之五百。在生活中，我们就会说，汤老师骑车的时候是在匀速行驶，但是在数学中，速度都是三分之五百，速度不变，我们就称它为速度。一定。 唐老师，这里还有一个情境，请同学们观察一下上面这个表格。谁来说一说，表中有哪两种变量？ 好，你来说。 我发现表中的变量是，呃，彩带的米彩带的数量越来越多，总价就越也就越来越多。 很好，你不仅准确地找到了变量，还找到了它们的变化规律。那第二小问，这两个变量它们相关联吗？为什么？ 好，你来说，哦，它们是相关联的，因为数量增加了，它们的总价也在增加。 说的真好，也就是说数量变，总价也跟着变。第三小问，老师，想请一位同学来帮我读一读题目，并且把你觉得需要注意的地方重点读出来，先来试一试。 好，你来。四人为一组，每人取两组数据，不重复算一算总价与数量的比值分别是多少，再和小组内的同学说一说，你发现了什么？ 听清楚要求了吗？好，下面请同学们开始 啊， let's go 哈哈 啊， 完成了的小组请用你的坐姿告诉老师。 好的，基本上都完成了。那哪一个小组上来说一说你们组的这个过程 啊？高卓，那请你带上你们其他几位同学的学习单放在上面先给大家展示，并且边说一说每一位同学是怎么计算的，最后再说你们组的发现好吗？ 哦，就是首先这旁边已经标了有那个总价和单价呃， 然后这然后这里就是用总价乘以数量就会等于单价，然后单价就会等于然后单价就是三点五，它是一定的。 然后呢，我们第二组，呃，也是用它的总价乘以它的数量也会等于它的那个单价值三点五哦，比值也还是一定的。 这是第二个同学这里他也是用，他也是用了他的那个总价除以他的数量 呃，这里也是用他的总价除以他的数量也是三点五，还是他的单价。 这个同学他还是一样的，他也是用那个总价乘以数量等于单价也乘以一定的。 哦，这是最后一张哦，这个是这个就是单价去乘以三点五就会等于他的总价，然后再反过来也就是总价除以单价等于数量等于他的那个。 呃，除除以数量等于他们的单价，他们的单价也是一定的。第二组的话也是他们的单价乘以他们的数量等于他们的总价，总价除以数量也等于单价。已知还是一定的。掌声送给他。 刚刚最后一位同学学习单上面还进行了电算，把数量和单价相乘，看是不是等于总价， 对不对？好，我们梳理一下刚刚这一位小组，他们算出来的总价与数量的比值都是一定的三点五， 而且他们组用了一个非常专业的词，这节课新学的是一定一定。 这个三点五表示什么？我再请一个后面的同学们说一说，看你刚刚听清楚了没有？好，你来说 这里的三点五表示他的单价，同意吗？同意，很好， 所以在这里我们就说他们的笔直单价是一定的。那请同学们对比一下刚刚我们研究的两个表格，和你小组内的同学讨论一下他们有什么相同的地方，给大家一分钟的时间。 好，讨论完的小组坐姿，告诉老师谁来说一说你们小组的发现。 好，这位女生，第一组的数据，他们的速度也就是他们的比值是一定的，就是三分之五百。第二组的数据，他们的单价依旧是他们的比值是一定的，也就是三点五， 同意吗？同意，很好，也就是说这两个数量关系，他们的比值都是一定的， 还有别的发现吗？ 啊，你来说，我还发现他们都是相关联的量，说的具体一点。呃，我还发现这两组数据都是相关联的，谁和谁相关联？嗯 嗯，首先他的路程，路程和谁时间，然后总价和数量， 你们发现了吗？哎，这个两个表格中，他们研究的这两个量都是相关点的一种量，在数学中我们就把这样的关系称为正比例关系， 所以在这里我们就说路程和时间是成正比例关系，路程和时间是一组成正比例的量。同样的，下面我们可以怎么说？ 重量是成正比例的量，他们两是一组成正比例的量。很好，但是我们这样说还不够严谨，下面请同学们拿出教材，看看书上面是怎么定义正比例的。 看到下面部分，像这样，我们一起去读一遍，像这样预备起像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 好，下面再请大家自己默读一遍，这一次边读边圈出你认为在这段概念中比较重要的关键词，想一想，你是怎么理解它的？ i love you love you， 谁来说一说？跟大家分享一下你圈了哪些词？你是怎么理解的？好，你来说 中的正比例关系，我理解为就是两个互相有关系的数， 什么样的关系呢？好，谁来帮他补充一下。什么样的关系他们就是正比例关系呢？好，你来。是，是他们两个同时，呃， 就是这一种变化，另一种变化，那也就是说这两个量它们必须要是相关联。还有呢？谁再来谈谈你这个关键词？好，你来说一说。 我圈了两个词，一个是成正比例的量，还有一个是正比例关系，他这里两种量叫做成正比例的量，所以这里是一个量关系，叫做正比例关系，所以一个是量，一个是关系。 很好，他还找到了他们之间的区别。还有吗？ 好，你再来分享一下。我选出来的是两棵树的比值。一定，如果这两棵树的比值不一定的话，这两种量就不能叫做成正比例的量，同样他们的关系也不能叫做正比例关系。 你补充的真好，好结合刚刚同事们说的，大家都找的非常准确。那现在老师想问大家，如果两个量他想要满足成正比例关系，需要什么条件呢？ 好，你来说，首先他们得是相关的量，其次，一种量变化，另一种量也要随着变化。之后呢？他们两个官司一定要是底局一定要是一定的，是 吧？很好，掌声送给他。 也就是说，两个量想要满足成正比例关系，首先他们必须得是正关系，其次他们还得满足理智。很好， 那既然同学们已经知道了什么是正比例关系，并且也知道了两个量想要满足正比例关系所需要的条件，下面请同学们完成学习单的第二大题，我会判断。 hahaha ah， 好，完成了的同学用坐姿告诉老师， 第一小题谁来说一说你的判断。 好，你来说， 为什么呢？因为对方是忠诚的家，他的忠诚也就是忠诚家，也就是说他们俩，嗯，有关联。对，是以血缘关系的呀。然后呢？ 没有了是吗？那他们两相对应就一定成正比例吗？好，你再摇头，你来说。并且他们还需要，呃，比值。一定，他现在的比值是四。 好，好，非常细心的男孩子，我们根据正方形的周长和边长之间的数量关系，正方形的周长等于什么？边长成四，那么周长比边长就 等于四，那这个比值始终都是一定的，一定的符合我们的要求。好，第二题谁来试一试？ 好，你来说，我认为第二题也是对的，为什么呢？因为它这里说这双数的面积和边长是这比，这个是对的，因为它的边长根据面积等于边长，边长就等于面积， 所以当呃，编程增加的时候，它的面积也是会增加的，同意吗？同意。首先他非常觉得肯定的一点就是他找到了他们之间的数量关系。但是老师刚刚看到有我们在默默的摇头，谁能来说一说你的见解 好还是你啊？我认为这也是错的。首先，呃，我是这么想，先设了一个数字啊，面积等于编程的平方， 呃，也就是边长乘边长。呃，首先，我设边长为一，那么它的呃面积也是为一，就是一乘一。呃，然而，如果它边长是二，呃，那么面积是二乘二就等于四，这里的比值它是二，而前面设一的比值设为一的，所以说它的比值不一定。 谁听懂了，谁能再来说一说。 好，你再来说一说。就是正方形的面积与边长，它们之间的比值是不一定的，因为，呃， 面积和边长和面积等于边长和边长，而又有边强似的变化，所以它们的比值也是不一样的。很好，掌声送给这两位同学。 第一位女生说出了他的数量关系时，我们可以稍微变形，把它写成面积和边长的比的形式，那么他们的比等于什么？ 面积除以边长等于什么？等于边长，也就是说他的比值是边长，但是边长是在怎么样？ 哎，他在变化，他不一定，所以他不符合我们的哪一个要求？已知一定是的，所以他们成正比例吗？不符合。好。第三题，谁来试一试？ 没人举手，那我就点喽，你来说一说你的答案 好，没关系，请坐。老师看到他的答案是对的，他判断他是对的。那谁来说一说理由？ 好，你来说。因为每天睡前阅读，他说的个数是一定的，所以 要看书的总页数除以他的天数就等于他们每天阅读的页数，而他们的笔直都是一定的。 说的真好，他找准了总页数和看书的天数之间的数量关系，并且他们的笔直是一定的，符合我们今天学的正比例的要求。 我们的生活中有这么多成正比例关系的量，在数学中，我们通常都讲究简洁美，那如果我用字母 y 和 x 来表示这两个相关点的量，用 k 来表示它们的笔直， 那正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？ 所有人一起告诉我， x 等于 a， x 分 之 y， 我 们也可以说是 y 除以 s， y 除以 x， 也可以是 y 除以 x 等于 k。 然后通过我们刚刚的研究，我们知道这个 k 它是一定的，一定的。 好，请大家齐声把这个式子读一遍。 y 比预备起 y 比 x 等于 k， k 是 一定的，一定的。 好，那康老师想做一个课堂小调查，大家对今天自己的表现满意吗？满意的同学请举左手。 那比较满意的同学请举右手。 ok， 不 错，好，我们班上的总人数一定。请问满意的人数和比较满意的人数成正比例吗？不成。那为什么呢？谁来说出理由？ 好，你来说。他说我们班总人数一定，他说我们班总人数一定。把满意的人数和比较满意的人数是不能成为任意的，因为我们班上的人数是一定的。不， 所以把人数和比较满意的他是，呃，他也就是固定的，哪怕是人数不是一定他再加一点，那么的话，嗯，也有可能只加是满意的，或者是比较满意的，不可能两个同时加， 加也不加也不会是，呃，同时加一样的，谁能说呢？再清楚一点。好，你来。简单来说就是这个总人数，呃，他不是一个变量，这是我们的人数，他是不会变的。满意和比较满意的人是不会变的。 满意的人数和比较满意的人数不会变吗？ 哦，我们刚刚做的调查就是人数是固定的，对吗？还有不同的理由吗？好，你来说。我觉得如果满意的增加了，那么比较满意的他就会减少，所以说我觉得他们不能成正比， 那也就是说他们两个比值怎么样？不一定，不一定的，对不对？他会变很好。 我们刚刚已经学习了什么是正比例关系，其实正比例的图像也很有意思，还是刚刚的这个表格表中的数据，我们也可以在图中把它表示出来。 之前我们学过用竖对来表示位置。如果我们把每一组数据看作一个数对，你能在途中找到这几组数据的位置吗？请你完成学习单的第三大题，我会画 好完成了的同学，同样的还是用坐姿告诉我。我们来看看这几位同学的作品， 他的脸都找对了吗？完成的非常漂亮，而且还标出了竖队掌声。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元，用正比例解决问题。首先我们来复习两道题，下面相关联的两个量，成比例吗？成什么比例关系？ 第一题，单价一定，总价和数量。首先想总价和数量它是两个相关联的量，单价一定，思考怎么求单价？对，总价除以数量等于单价， 当单价一定的时候，那也就是总价与数量的比值一定，两个相关联的量比值一定，那我们就判断这两个量成正比例关系，所以总价和数量成正比例关系。第二题， 速度一定，路程和时间路程和时间是两个相关联的量，速度一定，那怎么求速度呢？ 对，路程除以时间等于速度，当速度一定的时候，那也就是路程和时间的比值一定， 两个相关联的量比值一定，那么这样的两个量就成正比例关系，所以路程和时间成正比例关系。判断两个量是不是成正比例关系，我们只需要看这两个相关联的量的比值是否一定。 看来呀，正比例关系在我们生活中应用非常的广泛。孩子们，那今天呢，我们就学习用正比例来解决生活中的实际问题来看。例五，张阿姨家上个月用了八吨水，水费四十元， 李奶奶家上个月用了十吨水，李奶奶家上个月的水费是多少？首先我们把这些信息用表格来整理，特别的清晰来看，张阿姨家用的水量是八吨，水费四十元。 李奶奶家呢，用了水量十吨水费。不知道那孩子们，这道题该怎么解决呢？ 用我们以前的方法能不能解答？请你按下暂停键，在练习本上试一试吧！一起来分析。张阿姨家用了八吨水，水费四十元，那么四十元除以八吨，能不能求出一吨水的水费，也就是水的单价， 那李奶奶家水的单价是不变的。李奶奶家用的十吨水，单价乘十，是不是李奶奶家的水费，所以四十除以八等于五元，这求的是水的单价。 李奶奶家用的十吨，一吨五元，那十吨呢？对，就是十个五元，这就是李奶奶家用的水费 五十元。在这个题里边，水的单价不变，所以我们先求出水的单价，再根据水的单价求出李奶奶家用的水费。那除了这种方法，还有别的方法吗？孩子们思考一下，能不能用比例来解答呢？大家思考这样的几个问题， 题目中哪两种量是相关联的量，哪种量是不变的量？第二，他们成什么比例关系？ 根据比例关系列出比例。四、试着结比例好了，孩子们用比例来试一试吧！来一起分析一下，题目中哪两种量是相关联的量呢？ 对，一个是水量，一个是水费，两种相关联的量，哪种量是不变的量？水费除以水量，求的是水的单价，那也就是 单价是不变的量。我们知道水费除以水量等于水的单价，那么水的单价是一定的，所以水费和水量成什么关系？对，正比例关系。 那么我们能不能以单价为等量列出比例呢？根据信息，我们知道，张阿姨家的水分除以张阿姨家的水量，就是张阿姨家水的单价。李奶奶家的水分除以李奶奶家的水量，是不是也等于单价？ 那好，以单价为等量，可以列出比例。可是李奶奶家的水费不知道怎么办呢？对，我们可以解 设，李奶奶家上个月的水费是 x 元，所以我们就可以列出比例，四十比八等于 x 比十。接下来我们解比例。 怎么样结比例呢？对，根据比例的基本性质，两内向的积等于两外向的积，所以八 x 等于十乘四十， 两边同时除以八， x 等于十乘四十除以八。为什么我要写成这种分数的形式，孩子们这样便于约分，所以通过约分 x 等于五十，以单价为等量，列出了比例。 除了这种方法，还有别的方法吗？水的单价不变，那李奶奶家用的水量是张阿姨家的几倍，李奶奶家的水费就是张阿姨家的几倍， 所以我们还可以列出这样的比例，十比八等于 x 比四十， 水量的比就等于水费的比。因为单价不变，仍然根据比例的基本性质进行结比例，那八 x 就 等于十乘四十， x 等于十乘四十除以八， 约分 x 等于五十。看来呀，在四个量中，只要告诉其中的三个量，我们就可以用解比例的方法求出另一个量。我们的解答是否正确呢？接下来要进行检验。先看张阿姨家 水分除以水量是不是水的单价，水的单价就是五元。那再看李奶奶家水分五十除以水量十，水的单价也是五元。 单价相等，证明列比例解答是正确的。最后写出答案。答，李奶奶家上个月的水费是五十元。好了，孩子们，我们用以前所学的算术法和现在比例方法都解决了这个问题， 那这两种方法他们有什么不同或者相同点呢？那我们先看第一种方法，算术法，算术法是必须求出这个不变量的具体值是多少才能解决， 再看我们的比例解决方法，以单价为等量，根据数量关系式表示出不变的量 都可以。看来呀，用比例解答，虽然写个解设有点麻烦，但是只要找到左右相对应的量，那么这样的比例 都是正确的。掌握了用比例解决问题的方法来看一道便是练习，王大爷家上个月的水费是六十元，他家上个月用了多少吨水？我们仍然整理信息，王大爷家的水费六十元，他家用的水的吨数。 不知道你能用比例的方法来解决这个问题吗？快在练习本上试一试。我相信呐，这道题一定难不住大家。我们解社，王大爷家上个月用了 x 吨水，根据单价不变，四十除以八表示张阿姨家水的单价， 六十除以 x 表示王大爷家的水的单价，单价为等量，列出比例，然后解比例，求出 x 等于十二。答，王大爷家上个月用了十二吨水。 好了，孩子们，我们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？我们学习了用正比例的知识解决问题步骤是怎么样的？来一起总结。第一步，首先根据不变量判断题中哪两种相关联的量成正比例关系， 接着找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例。第三解，比例。最后别忘了检验，写出答案。孩子们，今天这节课你学的怎么样呢？

增加，哇，这个同学的表述非常的准确，你能出来只给大家来看一下你是怎样观察的吗？好，请你出来， 大家请听我说，我发现边长在一二三四的增加，它的周长也是四八十二十六在增加， 一样，边长一二三四在增加，它的面积也是一四九十六在增加。嗯，表述的非常的精确，也很自信，老师太喜欢你了，谢谢请进，同学们，大家都听到了吗？好，我想问还有其他想法吗？ 嗯，这样，老师把他刚才这个同学是从左往右观察，老师把他调转过来，从右往左，四三二一，收藏十六，十二十八四，那么你们有什么发现？ 哎，第八组，你来说，他的手举得高高的，真有自信， 它，它的边长随着随着边长的缩小，它的周长也会随之缩小，而面积的那里也一样，边长边长缩小，然后面积也会跟着缩小。 嗯，同学们，我把它呢换另外一个字，缩小，我把它说成减少，这样可能呢，大家呢，更容易理解，好，请坐。对了，同学们，我们刚才啊几位同学都很准确的发现了这里的 的相同点，我们来看，原来啊，正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加，也可以说随着边长的减少而减少。同学们， 这样我们就说他们的变化趋势是一致的， 刚才大家都非常棒，找到了这两种数据的相同点，现在呀，我们来找一下他们的不同点，请看学习要求，一、独立思考二，小组类分享你的想法，现在开始 好了，同学们，已经写好的小组请站起来讨论。 啊 啊， 没有 好，大家来说一下，如果他边长扩大两倍，他的面积会扩大到四倍，如果他的 边长扩大三倍，长面积扩大到九倍，可以得出结论，边长扩大几倍，周长扩大几倍，面积扩大的倍数。嗯，非常棒，把它给我。 好，你来说一下。我发现周长与边长的倍数相同。这个结构可以从四除以一等于四，八除以二等于四等等来看出来，但面积与边长的倍数并不相同，比如一， 一等于一，四除以二等于二，他们两个并不相同。嗯，非常棒，看看，你来说一下第一组数。第一小组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组 是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组是一组。 好了，我看大家呢，都讨论的差不多了，老师这里呀收集了几个同学的作品，请大家来看一下。第一个有请李文谦同学来说一说。 呃，大家听我说，我的观点很明确，边长加一周长加四， 边长增加一，面积每次增加的却不一样，所以我的观点是，边长增加一周长增加四面积增加不一样。哦，原来他通过数字啊，把这个发现也很明确的告诉了大家。好，说得很好，请进，那我们请第二位同学。 第二位，欧阳小慧同学，请你来说一下欧阳小慧， 这样我把它的字变大一点点。 好，请你来说，请大家听我说，我通过计算发现数据，四除以一等于四，八除以二等于四十二除，以三等于四十六除，以四也等于四，所以周长是边长的四倍。 面积一除以一等于一，四除以二等于二，九除以三等于三十六除以四等于四。得出结论，周长与面积的倍数关系不一样。哦，原来啊，我们的小葵同学是通过了计算发现了以下两点，好，请记 好，那么我们再来看一下。还有同学有发现上南欧阳上南好，请上南同学出来讲一下。 大家请听我说，它的边长扩大两倍，它的周长也扩大两倍，它的 边长扩大两倍，它的面积却扩大四倍，所以可以得出结论，边长扩大几倍，周长也扩大几倍，面积扩大的倍数不一样。哦，原来啊，上男同学这样横着看，发现了 这里的不同点。好，好，可以了， 现在我们来请嘉文同学出来说一说你的想法。 大家请听我说 我，我从第一组数据发现了边长扩大多少倍，周长也会随之扩大相同的倍数。我们看第一组数据，边长一到二扩大了两倍， 周长也随之从四到八扩大了两倍，他们扩大的是相同的倍数。可第二组数据，边长扩大了，从一到二扩大两倍，面积却是随之扩大。 这个边长的平方从一到二扩大两倍，面积却是扩大二的平方，四从一到四扩大四倍，从而我得出两种数据的变化规律是不同的。 哦，原来我们张文同学刚才根据数据来说，也是说得有理有据，非常棒，谢谢！你好，可以了，请进 陈乐新有请陈乐新同学来讲一下。 请大家听我说，我发现周长和边长是四除以一等于四，八除以二等于四，十，二除以三等于四，十六除以四也等于四，商是一样的。 再看面积和边长，一除以一等于一，四除以二等于二，九除以三等于三，十六除以四等于四，商是不一样的。好了，同学们，我把乐星同学的也写在这里。 好，他就通过这里我们来看他说的三一样。这个三，其实你是怎样算出来的呢？我用边长除以周长，边长，我用周长除以边长。嗯，不用紧张哈。 嗯，他用周长除以边长。同学们，啊，都是等于几啊？四， 他得到的结论写了，三一样。同学们，三一样，我们也就可以说是比值一样，比值一样，我们也可以写是比值，一定，对，很好。 好，那么我们再来看乐星，请你把第二个再来说一遍，第二个是面积除以边长。好，大家来帮老师把数据也说一下吧。 四除以二等于二，九除以三等于三，十六除以四等于四。 好，同学们，我想问这里的算式是怎样得到的了？一，一边传。 好，我看一下。三不一样。好了，乐星，那么我们来看一下三，分别是 一、二、三、四，其实啊，也是正方形的。也对，真棒，我们也可以写等于边长，刚才啊， 左边是笔直一定，那么这边我们应该怎样说呢？笔直不一定。 好了，刚才乐新同学他非常棒，你来看他用数据啊，把这里的发现都写得非常的什么清晰。好，谢谢你， 同学们，我们刚才啊，通过研究都发现了 正方形周长与边长，面积与边长的相同点，还有不同点。 好，同学们，除了图形，我们生活中也存在着大量变化的量，请看 一辆汽车以九十千米每时的速度行驶，行驶的路程和时间如下，大家来看，时间在不断的变化，路程也在变化。好，我想问 当时间为五十的时候，路程应该是多少？全班说四百五十。嗯，说的很精确。好，时间为六五百块四十，时间为七九百三十。老师，还能继续填吗？ 能，对，我们还能继续填。现在请同学们思考以下问题，表中的量是怎样变化的？它们的比值一定吗？请大家把你的思考记录在学习单上。 好，我看到同学们都写的差不多了，现在大家来。好，我看到同学们都写的差不多了。现在大家来表中的量是怎样变化的？第一个问，谁来说一下 第一个问题，谁来回答？表中的量是怎样变化的？谁来说一下第一个问题？好，你来说一下。第四组的这个女生，站起来说变化他们的路程。也。 哦，他发现我发现表中的量随着时间的变化，他们的路程也会变化。哦，他发现他还可以怎样？说了，加九十， 时间加一，他们的路程会增加九十。嗯，嗯，对，还好，请坐。还有没有其他的说法？他说，对了。好，还有没有其他说法？你来说 表中的量是路程随着时间的变化而变化的。嗯，对，还可以怎样说呢？呃， 时间变化，路程也跟着它的时间而变化。嗯，对。好。同学们，我们再来看这些数字， 时间一二三四，这样路程好，还可以怎样说？也就是说，好，你来。最后一个男生，时间扩大几倍，路程就扩大几乘九十。哦，原来他发现时间扩大几倍，路程也扩大。扩大多少啊？ 扩大几乘九十哦，扩大几乘九十就扩大几对好了。那么我们可以说啊，时间随着路程的增加而增加。好，第二个，它们的比值一定吗？谁来说一下？哪个同学来说一下 好，谁来看好？你？来说一下。 他们的比值一定，因为九十除以一等于九十，一百八十除以二也等于九十，等等都是九十 哦，所以你就说他们的比值一定对。好，请坐，那同学们，我们来看， 通过计算呢，我们都发现了，他们的比值是九十，也就是说比值一定。原来啊，这里除了变化趋势一致，他们的比值一定也是一定。 好。同学们，经过了刚才的研究，我们回顾以上的图形，那么时间与路程的变化规律与上表中哪个表更相似了？你们认为？好，你来第八组的这个男生，你来与上面的第一个表格更相似。 好，你能说一说这两个表相似的地方吗？因为刚刚已经算出来了，他他们的周长除以边长所得的比值都是 四，他他们的比值是一定的。然后呢，下下面他的路程除以时间就等于速度，他的速度就是九十，所以他比值一定。哦，原来他们的比值是一定的，一定的。好，好，请坐。 同学们，像刚才正方形的周长与边长，路程与时间一样，一个量变化，另一个量也随着变化，并且它们的比值一定。我们就说这两个量成正比例。其实啊，在数学上， 当两种相关联的量，一总量变化，另外一总量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的比值一定，他们的关系就叫做正比例关系。 同学们，我们刚才研究了正比例的关系，现在请大家辨析一下正方形的面积与边长成正比例吗？好，思考一下，谁来说一下你的观点。 嗯，好，这个女生，你来说一下，她的周长是一，面积是一，她面积是四，周长是二，她的面，她的 他的差是二，他的差。继续往后算，可以得出他们的比值不一定，但是如果要组成正比例，他的要求是比值一定， 边长和面积的比值不一定，所以不是正比例。哦，好，请坐。刚才啊，这个同学很清晰的说了，他计算得到，原来啊，这里的比值不一定， 比值不一定，所以啊，他的也不成正比例。对，同学们，其实啊，虽然变化趋势一样， 但是不不一定会成正比例，要比值一定，比值相同才能成正比例。刚才啊，我们呢，学习了 很多的正比例，那么同学们，请大家说一说，生活中和学习中你还知道了哪些变化的量成正比例？请同学们在主类互相说一下。好，开始。 好，做一下，我每天练多久？一个数二十个，随着时间的，随着时间，我每天练出的个数越来越多， 是九十块钱一包，然后我买了三。 老师啊，刚才啊，发现大家讨论特别的激烈，我也听到了他，大家很多的想法，现在谁来分享一下。呃，好，你来说一下第四组的 假设，我每一个小时用一米的修改修正带，那么随着时间的增加，我的修正带会越用越长。嗯， 用修正带用的米数除以时间，那么它们的比值一定，也就是说 它们是成正比例关系的。嗯，好。哎，但是你的修正带每个小时用的数量都一样吗？ 我说的是假设我每个小时我只用一米。哦，他，哦，原来老师听漏了，他每假设每个小时都只用一米。嗯，这样就可以了。好，请坐。还有谁来说一下？还有谁，哎，你来说 我买这支笔，三元单价，一定买的数量越多总价越大，买的数量与总价成正比例。哦，这个同学真了不起，他看到了手中的笔就想到了， 但是他有个前提非常好，他就说他的单价是一样的一定，也就说笔直一定。嗯，真棒，还有谁 还有谁来说一下。好，你来第四组戴眼镜。这个男生一个游泳池要注水，假设他的每秒注 每分钟注水量是相同的，那么随着时间的变化，游泳池里面的水将也会随也会随着时间的变化而变化。而 用游泳池里面的水除以他的时间就可以得出他每分他们的笔值是一定的，这个笔值又就也就是他每分钟 的注水量，所以他们是成正比例的。哇，这个同学真了不起，思路啊，特别的清晰，很清晰的讲述了游泳池的问题怎样能成正比例，非常棒，并且他已经也说到了要笔直，一定给个赞，给你请坐。 同学们啊，我们的学识真是很渊博，大家都说到了很多这里呢，老师有也有几个正比例，看 每天看书的页数一定，看的总页数和天数也成正比例。看我们做操每行的人数一定的时候做操的总人数和函数也成正比例。还有两个电交电费的时候，铺地砖的时候也有正比例。 其实啊，我们生活中和我们的数学中到处都有正比例。对，现在啊，老师有一个问题需要同学们帮忙解决，请看 学校科学小组在同一时间同一地点进行观察实验，测得竹竿的高和竿影的长，如下表，请大家打开数学书，翻开四十二页练一练， 帮马老师解决。练一练的第一道题目开始写在书本的空白处。 好，同学们，停笔，我看到了，大家都基本上填完了。好，那么谁来说一说杆引的长与竹竿的高的变化关系？谁来说 好？第六组这位男生，你来说，我发现竹竿的高增加竹竿，竹竿的那个影的长度也会随之增加。嗯，非常好，请坐。谁再来说一下？好，请你， 我发现竹竿的高每增加一米，竿影的长就增加零点四米。嗯，他利用增加的数据说明了题目。好，很好，谁再来说一下，谁还有想法？好，请你。第五组这位女生， 竹竿增加一米，就会杆瘾就会增加零点四米，也就是说杆瘾，杆瘾会随着竹竿的变化而变化。嗯，也非常棒，也是用数据说明哈。请做 杆瘾的茶随着竹竿的高的变化而变化。看第二题写出杆瘾的茶与竹竿的高的比，你有什么发现？谁来说？ 谁来说一下，我们来看好你来。呃，因为那个钢镚的长比钢镚的高是一比零点四。 呃，第第二，第二个，第二个是二比零点八，第三个是三比一点二，第四个是四比一点六，他们的比值都是一样的。嗯，好了， 同，同学，我想问一下哈，我们来看，有同学发现了问题了吗？ 好，你自己有没有发现的？有，哎，我们给个机会给这个同学，让他纠正一下，大家都很棒，都帮他了， 都帮忙，他找到了。好，我们来看他，应该是反过来。是，哦，为什么要反过来？因为他第一个是干引的长 比，他是干引，是干引的长比干竹竿的高，所以说应该是零点四比一，嗯， 等于一分之零，一分之零点四，嗯，零点四比一，然后，然后第二个是零点八比二，第三个是一点二比三，他们的比值都是一样的。第四个是一点六比四，第五个是二点四比六， 第四，第五个是三点。不是，第六个是三点二比八。嗯，你来算出他的比值，他们的比值都是零点四。对，所以，呃，所以肝影的长 与竿竹竿的高是正比例，嗯，是正比例。对，还可以通过数据我们都看到，因为它的比值一定，刚才的这个同学已经猜到了，原来他们是呈正比例。那么 你刚才就说成正比例，也就说他必须满足哪两个条件呢？必须一定，变化趋势一致。嗯，对，非常棒。好，请坐看。来呀，同学们啊，正比例的知识掌握的非常好。 同学们，大家来看古斯拉科学家泰勒斯，他非常了不起，他利用正比例的知识把金字塔的高度啊，都测量出来了。请看， 今天我们给大家讲讲泰勒斯巧测金字塔的故事。有一天，法老突然想知道金字塔的高度，于是在全国发布法令，寻找最聪明的人， 如果用绳子量，但不能爬到塔顶。如果造和金字塔同高的梯子，但花费巨大。恰巧泰勒斯早年游历埃及，他应法老要求，竟然没有登上金字塔，就测出了金字塔的高， 原来泰勒斯是放根棍子在塔旁，钢棍的影子长度等于棍长，此时塔底到尖顶投影的距离就是金字塔高度。泰勒斯是利用什么数学知识呢？其实是图形的放大与缩小，是比例知识的简单运用 啊，同学们。哇，刚才啊，泰勒斯他实在是很聪明，利用了什么知识？ 正比例，那么你们学到方法了吗？学到了，同学们，看， 这是我们学校的标志性大榕树，请你用学到的方法测量一下我们学校大榕树的高度，会了没有？好，请大家课后与组员一起研究，一起测量大榕树的高。 通过金堂课的学习，同学们，你们有什么收获了？谁来说一下？谁来说一说你的收获？好，请你来说！ 我的收获是，如果要成正比例，嗯，变化趋势要一致，之后的笔直要一定才能成为正比例。哦，原来他学到了判断正比例的方法，有两点，好，请坐！ 还还。谁来？再说一说你的收获？好，请你来说一下我收获了。在生活中和学习中，我们可以看到许多的正比例 哦，非常棒哈！请坐，看来你的收获真多。好，你来，我收获了！正比例不仅不仅可以用于数学，还可以用于用于现实中，比如说，计算一些根本不可能，不可能用正常方式计算不出来的物体， 运用正比例的性质来来进行计算。哇，他。

这个视频讲解用正比例解决修路问题，保姆级教程适合刚接触这部分知识的孩子。首先找关键词，照这样的速度，这句话是什么意思呢？就是每天修的长度，也就是工作效率是固定不变的。而我们知道工作总量除以工作时间等于工作效率， 这里的工作效率是比值是一定的。我们知道当比值一定时，工作总量和工作时间成正比例关系。接下来我们就用正比例来列方程。题目要求剩下的还要几天修完，那我们就先求出剩下的公路长度，总长度是七点二千米， 已经修了四点三二千米，剩下的长度就等于七点二减四点三二等于二点八八千米。接着说剩下的还要 x 天修完，因为工作效率不变，我们把一天修的长度表示出来。第一种情况，比修的长度，比已用的时间，比直时表示工作效率。 前十二天修了四点三二千米，就要用四点三二比十二。第二种情况，剩下的长度，比剩下所需的时间比值也表示工作效率，就要用二点八八比 x。 因为工作效率一定，所以这两个比是相等的。由此我们可以得到一个正比例关系的比例式。接下来解比例就行了，交叉相乘得到四点三二， x 等于十二乘二点八八解方程 四点三二 x 等于三十四点五六 x 等于八。最后求得剩下的还要八天完成。

同学们生活里藏着好多一起变化的量，路程随时间变，总价随数量变，电费随用电量变， 它们到底藏着什么规律？我们知道，路程除以时间等于速度，总价除以数量等于单价， 当比值保持不变时，两种量就会形成一种特殊关系。今天我们就一起来认识正比例，学会判断什么是成正比例的量，发现生活中无处不在的正比例秘密。 生活中有很多相互关联的数量，一总量变化，另一总量也跟着变化，他们的变化有没有固定的规律？ 笔直保持不变时，又属于怎样的数量关系？我们该如何判断和描述这种关系？今天我们就一起来探究这类数量变化规律。

六下数学最难的正比例、反比例吃透这五十道题，考试就将抄答案！六年级下册数学正比例与反比例应用题专项练习今天给同学们整理好了， 这个专题是本学期的重难点，熟练掌握正反比例的关系是解决问题的关键。无论是期中考试还是小升初考试中，出题率都非常高，家长可以给孩子打印下来，让孩子课后多练一练。

吃一碗饭拉两坨屎，吃两碗饭拉四坨屎，吃三碗饭拉六坨屎。吃的越多，拉的就越多，同增同减这种关系就是正比例。这里的饭量和屎量就成正比，它们的比值 一定是固定的。饭量比屎量等于消化吸收率，用 y 表示饭量， x 表示屎量， k 表示消化吸收率。比值 k 不 变， x 和 y 就 成正比例。什么是反比例呢？ 当饭量不变，那你吸收的越多，屎的量就越少。你的屎量越多，吸收的就越少，这就是反比例关系。用 k 表示饭量， x 表示屎量， y 表示吸收率乘积， k 不 变， x 和 y 就 成反比例。

今天咱们用正比例关系搞定这道经典的具钢管应用题，保证听完就会再也不踩坑。这里的关键字眼就是照这样计算，意思就是每句一次的时间是一定的。那怎么算每句一次的时间呢？ 就是总时间除以次数比之一定，总时间和距的次数成正比例。题目说距成五十厘米的小段，要距四十四分钟，那每距一次的时间就要用总时间除以它距的次数，所以我们要把时间和次数表示出来。 先算第一次锯的情况。第一次的总时间是锯四十四分钟，那次数呢？它需要锯几次？已知钢管长六米，把它锯成五十厘米的小段，那需要锯几次呢？比如一根木头，锯一次变成两段， 锯两次变成三段，所以锯的次数等于段数减一，这里要先求段数。总长六米，锯成五十厘米的小段，先统一单位，六米等于六百厘米，就是求六百厘米里面有几个五十厘米，那段数就等于六百，除以五十等于十二段， 所以十二段需要锯几次呢？次数就等于十二减一等于十一次。现在可以把每次用的时间表示出来了。 锯十一次是用了四十四分钟，就要用四十四除以十一。接着看第二次锯的情况，每锯一次的时间等于总时间除以次数。如果把它锯成四十厘米的小段，要锯多少分钟？是要锯 x 分 钟， 那这时候就需要把次数求出来。先求段数，就是求六百里面有几个四十厘米就有几段等于六百，除以四十等于十五段， 那十五段需要锯几次呢？次数比段数少一，也就是十五减一等于十四次。现在可以把每锯一次用的时间表示出来了，总时间 x 除以次数十四。因为每锯一次的时间是不变的，所以这两个比是相等的。 现在你看到的就是一个正比例，接下来结比例交叉相乘十一， x 等于四十四，乘十四，两边同时除以十一， x 等于五十六，最后求得要距五十六分钟。

路程和时间他们两个总是九十倍，那么这个九十倍实际上就是什么呢？ 速度就是其中所给的速度，那也就是说路程和时间之间呢？它存在着一定的。呃，统一的一个规律是这样，也是每个里边用路程除以时间，或者说路程比上时间那个比值，总是一个什么呀？固定不变的数，那也就是什么 在这里边这公里不变的数，实际上就是速度，对吧？好了，那就是路程比上时间在这里边走是几啊？九十，九十，我知道这九十实际上就是速度提提供给的条件，是不是？好了，我看一下。嗯， 刚才我们研究的表格一和表格三里边的内容，周长与边长，路程与时间也说呢，其中一个量总是随着另一个量的变化而变化，对不对？而且他们的什么总是一定的笔直，笔直总是一定的， 那么我们就说周长和边长，或者说路程和时间是成正比例的，成什么？正比例？ 这就是这以后我们要研究的两个变化的量之间的一个重要的关系。成正比例关系。那我反过头来看一下，如果如何判定两个量是否成正比例关系，他必须得符合哪些条件呢？ 欢迎来说。我觉得他应该有两个变量和一个不变量，两个变量指的是，哎，这里边的周长、边长、路程、时间那个不变的量指的是什么？ 是什么？哎，就是咱们的笔直，对不对？那也说呢，他们要符合其中的一个条件，就是笔直必须得是不变的，对不对？是这样。然后另外一个条件是什么呢？就是其中一个量 要随着另外一个量变化，变化，我们说这两个量必须是相关的量，说特别好，也说呢，如果两个量复合了这两个条件，我们就说这两个量是虫 虫比非常好啊。好了，那我们就带着这个收获一起看一下下面这个问题， 看一下这两个量是否成正比，这是同一时间、同一地点量得足花的高与其影子的长度表中的一些数据。

一年一度的思路，万国商贸大集即将开市，这是我们商队跨越千里、扬名立万的绝佳时机。 作为商队新任的掌柜，这次跨越茫茫大漠的所有物资筹备和路线调度全由我一人负责。大漠千变万化，我必须有一双能看破规律的慧眼。 哪怕这大漠里的情况再复杂，我也一定能理清头绪，把咱们商队安排的妥妥当当，准时抵达大吉。出发前的第一件大事就是采购整齐划一的商队木箱。这可是个精细活，我该怎么才能快速算清楚所有的账目呢？ 专门定制的这批正方形木箱，随着购买的数量不断增多，需要支付的通宝钱币也越来越多，购买的数量在变，总价也在变，这数据也太庞大了， 大家快帮帮我，这里面是不是藏着什么不变的规律，能让我一次性把总价算明白呀？ 货物装好了，接下来得准备掩盖货物的正方形防风帆布。帆布的边缘越长，整块布的面料就越大。不对劲啊，帆布边长只多了一点，怎么整块布的大小却变大了这么多？这和刚才买木箱使的规律完全不一样，这是怎么回事？ 最后一步，核对行程，我们的骆驼队伍每天行进的步伐极其稳定，这羊皮网格图上记录着我们前三天的脚印轨迹，奇怪，前几天的行走轨迹在网格上连 成了一条笔直斜线。顺着这条线，你们说，我们能猜出十天后商队会到哪里吗？ 见证奇迹的时刻到了。当两个量成正比例时，它们在网格地图上描出的点，只要用尺子一连，竟然都在一条笔直的斜线上， 太完美了！货物毫发无损，形成分毫不差。历经千辛万苦，我， 我们终于顺利抵达了万国大吉！面对变幻莫测的大漠与繁杂物资，能看破表象，直击本质，方可成为商队领袖。 这眉间骆驼徽章，我们当之无愧。我彻底明白了，纵世间万物变幻，只要找到其中不变的纽带，就能掌握一切规律。这次的大漠巡回之旅，真是一场酣畅淋漓的大丰收。 历经千辛万苦，看破变幻莫测的表象，我们终于找到了大漠中那条笔直一定的不变真理。这节课，你最大的收获是什么？

猜成语，看谁最快猜出来，风吹起来了，草会怎么样？猜成语，好，请你说。 风吹草动，风吹草动，真棒！对了，好，请坐！水涨起来了，船会怎么样？猜成语，好，请你 水涨船高，嗯，对，看来同学们的成语知识真丰富，请坐， 同学们啊，风吹草就动，水涨船就高。都有一个共同点，一个事物随着另一个事物的变化而变化。 上一堂课，我们学习了变化的量，今堂课我们来继续研究这些量的变化规律。请看下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变化规律。 谁来说一说，图中分别有哪两组变化的量？谁的眼睛最水亮？好，第七组的这个男生，你来说， 边长和周长，还有边长的面积？哦，边长和周长，边长和面积。哇，这个同学真棒，他一下子就观察到了。同学们，请，现在呢？拿出学习单，把表格填完整。 请大家拿出学习单， 好，我看到很多同学都填完了，现在呀，谁来帮助老师把表格填完整？谁来说一下你填了什么数据？哪个同学来说一下？好，请你来。 好，说一下，八，嗯，也就说边长为二，周长为八。嗯， 边长为三，周长为十二。边长为四，周长为十六。嗯，还有呢？边长为二，面积为四。 边长为三，面积为九。嗯，边长为四，面积为十六。同学们，他都填对了吗？填对了，好，请坐，还有其他填法吗？ 好，你来他最后一个，他最后一个格，两个都是空的，他这样，这就是证明他不是一定要 填这个数，平常可以填五，可以填六，可以填七，做出来也不一定是十六，可能是二十二十四之类的。哦，原来他发现了我们最后一个格是怎么样的，空空的，他举了很多例，老师也举了一个例，如果这里像他那样说，如果这里填八 三十二，他还说了还可以怎么样，继续填。哎，同学们，如果我这里填 a， 下面填什么？四 a， 真棒！现在啊，老师把这里挡住了， 你们还会填吗？会，嗯，为什么能填？因为它四除以一等于二等于四， 十二除以三等于。哦，真厉害，原来大家都找到规律了，同学们，同样面积和边长还能继续填。 好了，现在请大家来看每个表格中两个数据的变化有什么相同点？请大家继续填在学习单上， 嗯，写的很清晰，那个过程非常棒。 好啦，我看见大家都基本上填完了，那么谁来说一说你的想法？哪个同学来说？ 嗯，同学们都很自信。好，你来。戴眼镜的这位小女生，你来，他们都是随着另一个数的变化而变化。哦，他们都是随着另一个数的变化而变化。好，请坐。谁来再说一下谁还有其他想法？ 好，第四组的这位女生，你来说一下。我发现正方形的边长在增加，它的周长也随之增加。 相同的是，第二个表格中，正方形的边长仍然在增加，它的面积也同样在增加。哇，这个同学的表述非常的准确，你能出来只给大家来看一下你是怎样观察的吗？好，请你出来， 大家请听我说。我发现边长在一二三四的增加，它的周长也是四八十二十六在增加。 一样，边长一二三四在增加，它的面积也是一四九十六在增加。嗯，表述的非常的精确，也很自信，老师，太喜欢你了，谢谢请进，同学们，大家都听到了吗？好，我想问还有其他想法吗？ 嗯，这样，老师把他刚才这个同学是从左往右观察，老师把他调转过来，从右往左，四三二一，收藏十六，十二，十八四，那么你们有什么发现？ 哎，第八组，你来说他的手举得高高的，真有自信。 它，它的边长随着随着边长的缩小，它的周长也会随之缩小，而面积的那里也一样，边长边长缩小，然后面积也会跟着缩小。 嗯，同学们，我把它呢换另外一个字，缩小，我把它说成减少，这样可能呢，大家呢，更容易理解，好，请坐。对了，同学们，我们刚才啊几位同学都很准确的发现了这里的 的相同点，我们来看，原来啊，正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加，也可以说随着边长的减少而减少。同学们， 这样我们就说他们的变化趋势是一致的。 刚才大家都非常棒，找到了这两种数据的相同点， 现在呀，我们来找一下它们的不同点，请看学习要求，一、独立思考二、小组类分享你的想法。现在开始 好了，同学们，已经写好的小组请站起来讨论。 自制 面筋加一，面筋加一没有 好，大家来说一下， 它的面积会扩大四倍，如果它要边长扩大三倍，它面积扩大九倍，可以得出结论，边长扩大几倍，周长会扩大几倍，面积扩大的倍数，嗯，非常棒，把它给我。 好，你来说一下，我发现周长与边长的倍数相同，这个结构可以从四除以一等于四，八除以二等于四等等来看出来，但面积与边长的倍数并不相同，比如一， 一除以一等于一，四除以二等于二，他们两个并不相同。嗯，非常棒，看看女儿说一下 不一样。第一组的第三和第四关系的第二组的第四，第五组，第六组，第七组，第八组。嗯嗯，很好， 好啦，我看大家呢，都讨论的差不多了，老师这里呀收集了几个同学的作品，请大家来看一下。第一个有请李文谦同学来说一说。 呃，大家听我说，我的观点很明确，边长加一，周长加四， 边长增加一，面积每次增加的却不一样，所以我的观点是，边长增加一，周长增加四，面积增加不一样。哦，原来他通过数字啊，把这个发现也很明确的告诉了大家。好，说得很好，请进，那我们请第二位同学。 第二位，欧阳小慧同学，请你来说一下欧阳小慧， 这样我把它的字变大一点点。好，请你来说， 请大家听我说。我通过计算发现数据，四除以一等于四，八除以二等于四，十二除以三等于四，十六除以四也等于四，所以周长是边长的四倍。 面积一除以一等于一，四除以二等于二，九除以三等于三，十六除以四等于四，得出结论，周长与面积的倍数关系不一样。哦，原来啊，我们的小慧同学是通过了计算发现了以下两点，好，请记 好，那么我们再来看一下。还有同学有发现上南，欧阳上南，好，请上南同学出来讲一下。 大家请听我说。它的边长扩大两倍，它的周长也扩大两倍，它的 边长扩大两倍，它的面积却扩大四倍，所以可以得出结论，边长扩大几倍，周长也扩大几倍，面积扩大的倍数不一样。哦，原来啊，上男同学这样横着看，发现了 这里的不同点。好，好，可以了， 现在我们来请嘉文同学出来说一说你的想法。 大家请听我说 我，我从第一组数据发现了边长扩大多少倍，周长也会随之扩大相同的倍数。我们看第一组数据， 边长一到二扩大了两倍，周长也随之从四到八扩大了两倍，他们扩大的是相同的倍数。可第二组数据，边长扩大了，从一到二扩大两倍，面积 却是扩大二的平方。四从一到四扩大了四倍，从而我得出两组数据的变化规律是不同的。 哦，原来我们张文同学刚才根据数据来说，也是说得有理有据，非常棒，谢谢你。好，可以了，请进 陈乐新，有请陈乐新同学来讲一下。 请大家听我说。我发现周长和边长是，四除以一等于四，八除以二等于四十，二除以三等于四，十，六除以四也等于四，商是一样的。 再看面积和边长，一除以一等于一，四除以二等于二，九除以三等于三，十六除以四等于四，商是不一样的。好了，同学们，我把乐星同学的也写在这里。 好，他就通过这里我们来看他说的三一样。这个三，其实你是怎样算出来的呢？我用边长除以周长，边长除以周长，不用紧张哈。 嗯，他用周长除以边长。同学们，啊，都是等于几啊？四， 他得到的结论写了，三一样。同学们，三一样，我们也就可以说是比值一样，比值一样，我们也可以写是比值，一定对，很好。 好，那么我们再来看乐星，请你把第二个再来说一遍，第二个是面积除以边长。好，大家来帮老师把数据也说一下吧， 四除以二等于二，九除以三等于三，十六除以四等于四。 好，同学们，我想问这里的算式是怎样得到的了？一，一边长。 好，我看一下。三不一样。好了，乐星，那么我们来看一下三，分别是 一、二，三、四，其实啊，也是正方形的边。对，真棒，我们也可以写等于边长，刚才 左边是笔直，一定，那么这边我们应该怎样说呢？笔直不一定。 好了，刚才乐新同学他非常棒，你来看他用数据啊，把这里的发现都写得非常的什么清晰。好，谢谢你， 同学们，我们刚才啊，通过研究都发现了正方形周长与边长，面积与边长的相同点，还有不同点。 好，同学们，除了图形，我们生活中也存在着大量变化的量。请看 一辆汽车以九十千米每时的速度行驶，行驶的路程和时间如下，大家来看， 时间在不断的变快，路程也在变快。好，我想问当时间为五十的时候，路程应该是多少？全班说四百五十，嗯，说的很精确。好，时间为六五百块四十，时间为七 九百三十。老师还能继续填吗？能，对，我们还能继续填。现在请同学们思考以下问题，表中的量是怎样变化的， 它们的比值一定吗？请大家把你的思考记录在学习单上。 好，我看到同学们都写的差不多了，现在大家来。好，我看到同学们都写的差不多了，现在大家来表中的量是怎样变化的？第一个问，谁来说一下 第一个问题？谁来说一下第一个问题？好，你来说一下。第四组的这个女生，发现表中的 站起来说，我发现表中的量随着时间的变化，他们的路程也会变化哦，他发现他还可以怎样说了，加九十， 时间加一，他们的路程会增加九十。嗯嗯，对，还好，请坐。还有没有其他的说法？他说对了。好，还有没有其他说法？你来说 表中的量是路程随着时间的变化而变化的。嗯，对，还可以怎样说呢？呃， 时间变化，路程也跟着它的时间而变化。嗯，对，好。同学们，我们再来看这些数字， 时间一二三四这样路程哈，还可以怎样说？也就是说，好，你来最后一个男生，时间扩大几倍，路程就扩大几乘九十哦，原来他发现时间扩大几倍，路程也扩大。扩大多少啊？ 扩大几乘九十哦，扩大几乘九十就扩大几。对。好了，那么我们可以说啊，时间随着路程的增加而增加。好。第二个，他们的比值一定吗？谁来说一下？哪个同学来说一下 好，谁来看 好？你来说一下 他们的比值一定，因为九十除以一等于九十，一百八十除以二也等于九十，等等都是九十 哦，所以你就说他们的比值一定对。好，请坐。那同学们，我们来看， 通过计算呢，我们都发现了，他们的比值是有时，也就是说比值一定。原来啊，这里除了变化趋势一致，他们的比值一定也是一定。 好。同学们，经过了刚才的研究，我们回顾以上的图形，那么时间与路程的变化规律与上表中哪个表更相似了？你们认为？好，你来，第八组的这个男生，你来与上面的第一个表格更相似。 好，你能说一说这两个表相似的地方吗？因为刚刚已经算出来了，他他们的周长除以边长所得的比值都是 四，他他们的比值是一定的，然后呢，下，下面他的路程除以时间就等于速度，他的速度就是九十，所以他比值一定。哦，原来他们的比值是一定的，一定的。好，好，请坐。 同学们，像刚才正方形的周长与边长，路程与时间一样，一个量变化，另一个量也随着变化，并且它们的比值一定。我们就说这两个量成正比例。其实啊，在数学上， 当两种相关联的量，一总量变化，另外一总量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的比值一定，他们的关系就叫做正比例关系。 同学们，我们刚才研究了正比例的关系，现在请大家辨析一下，正方形的面积与边长成正比例吗？好，思考一下，谁来说一下你的观点， 嗯，好，这个女生，你来说一下，她的周长是一，面积是一，她面积是四，周长是二，她的面，她的， 他的差是二，嗯，他的差。嗯，继续往后算，可以得出，他们的比值不一定，但是如果要组成正比例，他的要求是比值一定， 边长和面积的比值不一定，所以不是正比例。哦，好，请坐。刚才啊，这个同学很清晰的说了，他计算得到，原来啊，这里的比值不一定， 比值不一定，所以啊，他的也不成正比例。对，同学们，其实啊，虽然变化趋势一样， 但是不不一定会成正比例，要比值一定比值相同才能成正比例。刚才啊，我们呢，学习了 很多的正比例，那么同学们，请大家说一说，生活中和学习中你还知道了哪些变化的量成正比例？请同学们在主类互相说一下。好，开始。 好，坐一下。我每天练腹的时候一个是二十个，随着时间的，随着时间我每天练腹的个数越来越多， 是九十块钱吧，然后我买了三。 老师啊，刚才啊，发现大家讨论特别的激烈，我也听到了大家很多的想法，现在谁来分享一下？呃，好，你来说一下第四组的 假设我每一个小时用一米的修改修正带，那么随着时间的增加，我的修正带会越用越长。嗯， 用修正带用的米数除以时间，那么它们的比值一定，也就是说 它们是成正比例关系的。嗯，好，哎，但是你的修正带每个小时用的数量都一样吗？ 我说的是假设我每个小时我只用一米。哦，他，哦，原来老师听漏了，他每假设每个小时都只用一米，嗯，这样就可以了。好，请坐。还有谁来说一下。还有谁，哎，你来说， 我买这支笔，三元单价，一定买的数量越多，总价越大，买的数量与总价成正比例。哦，这个同学真了不起，他看到了手中的笔就想到了， 但是他有个前提，非常好，他就说他的单价是一样的，一定，也就说笔直，一定，嗯，真棒，还有谁， 还有谁来说一下。好，你来第四组，戴眼镜。这个男生一个游泳池要注水，假设他的每秒注 每分钟注水量是相同的，那么随着时间的变化，游泳池里面的水将也会随也会随着时间的变化而变化，而 用游泳池里面的水除以他的时间就可以得出他每分，他们的比值是一定的，这个比值又就也就是他每分钟的注水量，所以他们是成正比例的。 哇，这个同学真了不起，思路啊，特别的清晰，很清晰的讲述了游泳池的问题，怎样能成正比例，非常棒，并且他已经也说到了，要笔直，一定给个赞，给你请坐。 同学们啊，我们的学识真是很渊博，大家都说到了很多这里呢，老师有也有几个正比例。看 每天看书的页数一定看的总页数和天数也成正比例。看我们做操，每行的人数一定的时候，做操的总人数和函数也成正比例。还有两个电，交电费的时候，铺地砖的时候也有正比例。 其实啊，我们生活中和我们的数学中到处都有正比例。对，现在啊，老师有一个问题需要同学们帮忙解决，请看 学校科学小组在同一时间同一地点进行观察实验，测得竹竿的高和竿引的长，如下表。请大家打开数学书， 翻开四十二页练一练，帮忙老师解决。练一练的第一道题目开始写在书本的空白处。 好，同学们，停笔，我看到了，大家都基本上填完了。好，那么谁来说一说肝脾的肠与竹肝的肝的变化关系？谁来说 好？第六组，这位男生，你来说，我发现竹竿的高增加竹竿，竹竿的那个影的长度也会随之增加。嗯，非常好，请坐，谁再来说一下？好，请你， 我发现竹竿的高每增加一米，竿影的长就增加零点四米。嗯，他利用增加的数据说明了题目。好，很好，谁再来说一下，谁还有想法？好，请你第五组这位女生。 竹竿增加一米就会，竿影就会增加零点四米，也就是说竿影，竿影会随着竹竿的变化而变化。嗯，也非常棒，也是用数据说明。好，请做 竿影的长随着竹竿的高的变化而变化。看第二题写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？谁来说 谁来说一下，我们来看看。你来。因为那个钢镚的长比钢镚的高是一比零点四， 呃，第第二，第二个，第二个是二比零点八，第三个是三比一点二，第四个是四比一点六，他们的比值都是一样的。嗯，好了， 同同学，我想问一下哈，我们来看有同学发现了问题了吗？ 好，你自己有没有发现的？有，哎，我们给个机会给这个同学，让他纠正一下，大家都很棒，都帮他了， 都帮忙，他找到了。好，我们来看他应该是反过来。是。哦，为什么要反过来？ 因为他第一个是干引的长比，他是干引，是干引的长比干竹竿的高，所以说应该是零点四比一，嗯， 等于一分之零，一分之零点四，嗯，零点四比，嗯，然后，然后第二个是零点八比二，第三个是一点二比三，他们的比值都是一样的，第四个是一点六比四，第五个是二点四比六， 第四，第五个是三点，不是，第六个是三点二比八，嗯，你来算出他的比值，他们的比值都是零点四。对，所以，呃，所以肝影的长 与肝竹肝的高是正比例，嗯，是正比例，对。

六下数学最难的比例，就这十大题型吃透稳上九十八甲可打印六下数学正比例和反比例公式及练习一、两个变量的四种关系要牢记。二、正比例和反比例对比正比例，反比例要求要记要背。三、常见的正比例和反比例公式划重点， 工作总量等于工作效率乘工作时间长方形的面积等于长乘宽。重点知识搭配六年级下册数学比例乘工作时间，长方形的面积等于长乘宽。重点知识搭配六年级下册数学比例乘工作时间长方形问题题型三、行程问题 题型四、间隔问题题型五、规总问题题型六、铺地砖问题题型七、齿轮问题题型八、比例尺问题题型九、相遇追及问题题型十、分数相关问题以上十大题型完整区间码。

一年一度的思路，万国商贸大集即将开市，这是我们商队跨越千里、扬名立万的绝佳时机。 作为商队新任的掌柜，这次跨越茫茫大漠的所有物资筹备和路线调度全由我一人负责。大漠千变万化，我必须有一双能看破规律的慧眼。 哪怕这大漠里的情况再复杂，我也一定能理清头绪，把咱们商队安排的妥妥当当，准时抵达大吉。出发前的第一件大事就是采购整齐划一的商队木箱。这可是个精细活，我该怎么才能快速算清楚所有的账目呢？ 专门定制的这批正方形木箱，随着购买的数量不断增多，需要支付的通宝钱币也越来越多，购买的数量在变，总价也在变， 这数据也太庞大了，大家快帮帮我，这里面是不是藏着什么不变的规律，能让我一次性把总价算明白呀？ 货物装好了，接下来得准备掩盖货物的正方形防风帆布。帆布的边缘越长，整块布的面料就越大。 不对劲啊，帆布边长只多了一点，怎么整块布的大小却变大了这么多？这和刚才买木箱使的规律完全不一样，这是怎么回事？ 最后一步，核对行程，我们的骆驼队伍每天行进的步伐极其稳定，这羊皮网格图上记录着我们前三天的脚印轨迹， 奇怪，前几天的行走轨迹在网格上连成了一条笔直斜线。顺着这条线，你们说，我们能猜出十天后商队会到哪里吗？ 见证奇迹的时刻到了。当两个量成正比例时，他们在网格地图上描出的点，只要用尺子一连，竟然都在一条笔直的斜线上， 太完美了！货物毫发无损，形成分毫不差。历经千辛万苦，我们终于顺利抵达了万国大吉。面对变幻莫测的大漠与繁杂物资，能看破表象，直击本质，方可成为商队领袖。 这眉间骆驼徽章，我们当之无愧。我彻底明白了，纵世间万物变幻，只要找到其中不变的纽带，就能掌握一切规律。这次的大漠巡归之旅，真是一场酣畅淋漓的大丰收。 历经千辛万苦，看破变幻莫测的表象，我们终于找到了大漠中那条笔直一定的不变真理。这节课，你最大的收获是什么？

甲乙两地之间的高速铁路大约长一千六百千米，丙地在甲地和乙地之间，甲地到丙地的高速铁路大约长七百千米。 一列由甲地开往乙地的高铁列车，九十出发，十一时三十分到达丙地，按照这样的平均速度， 六小时能从甲地到乙地吗？这道题的信息比较多，孩子们我们给他画个线段图来帮助理解。 画一条线段表示甲乙两地的高速铁路长一千六百千米，丙地在甲乙两地之间，并且甲地到丙地的高速铁路长七百千米，那么丙地大约就在这个位置，那这一段的距离就是七百千米。 还知道一列由甲地开往乙地的高铁列车，九十出发，十一时三十分到达丙地， 按照这样的平均速度，六小时能从甲地到乙地吗？我们可以算出来从甲地到丙地所用的时间是多少。用结束的时间 十一时三十分，减去开始的九十，所用的时间就是二点五小时。好了，这么多的信息，我们用表格来整理一下， 知道了甲丙两地的路程七百千米所用的时间二点五小时，那我们能不能求出来从甲地到乙地六小时所行的路程，再和总的路程进行比较，是不是就可以了？ 那在这道题里边有一个不变量是什么呢？对，路程比时间等于速度， 速度一定，那就说明路程与时间的比值一定，那么这样的两个量就成正比例关系，那我们就以速度为等量，列出比例。首先解设六小时能行 x 千米，用路程除以六小时等于速度， 七百，除以二点五小时也等于速度，速度为等量，列出比例，然后根据比例的基本性质， x 等于一千六百八十千米，那也就是甲乙六小时所行的路程是一千六百八十千米，再根据甲乙两地的总路程，一千六百 一千六百八十大于一千六百，所以六小时能从甲地到乙地。 这道题信息比较多，孩子们，第一，你要画线段图帮助理解。第二，列表格分析，信息非常的清晰，根据速度不变判断这道题是一道正比例关系的问题，从而列出比例。