威海中考数学二次函数个角

一个视频，学会一个集合模型，今天我们利用一线三曲直来解决一下二次函数中四十五度角存在性问题，给出一个二次函数随量点 p 是 第一线线，抛物线上一个动力，当角 c、 b p 等于四十五度时，让我们求点 p 坐标。 做题的时候，看到四十五度，我们很容易联想到等腰直角三角形，也就说这道题将来我们需要构造垂直，而从这里开始，很多同学开始出现错误， 那么这里大家需要注意的第一点，我们需要过一个已知点去做垂直，而题目中和角 c、 p、 b 有 关系的点分别是点 p 与点 c， 那 么这两个点哪一个是已知点呢？ 由于抛物线解析是已知，所以我可以求出点 b 与点 c 的 坐标，那么也就意味着这里的点 c 是 作为已知点出现的，而点 p 是 动点，他的坐标不知道，所以咱们应该是过点 c 做垂线。好，这是第一个。然后大家需要注意的第二个， 我们是过点 c 做 b p 的 垂线，还是过点 c 做 bc 的 垂线？第二点，大家需要注意的是，当我们找到已知点之后， 需要把已知点作为垂足，也就是第二个原则，自垂，把它自己当成垂足。所以对于此题，我们选择过点 c 做 bc 的 垂线，同时延长 b p 相交于点 d。 这个时候大家不难发现题目中出现了一个等腰直角三角形 bcd， 那 么接下来 这里一个直角，这里一个直角，我们需要构造一个一线三垂直进过点 d 做 x 轴垂线。此时啊，大家会发现一左一右出现了两个三角形，分别是三角形 b、 o、 e 与三角形 c、 d、 e， 非常轻松可以证出来两个三角形等。那么由于三角形等，我可以得到对应边相等，也就是 b、 o 等于 c， e 等于三， o， c 等于 d， e 等于六。这样的话，我就可以求出点 d 坐标 为九六，那么点 d 坐标已知，点 b 坐标知道。所以接下来咱们也可以将其连力求得直线 b、 d 及其式为 y 等于三分之一， x 加三，而点 p 恰好是直线 b、 d 与抛物线的交点， 我们只需要将抛物线与直线连力调到这么一个方程，然后对方程进行求解，调到两个答案，一个答案为三分之十三，另外一个答案为零。 当然了，这里大家注意，零是点 p 的 横坐标，我们需要舍去，也就说此时点 p 横坐标为三分之十三，将其带入直线或抛物线进行时，可求得纵坐标九分四十，搞定，收工 so easy！

同学们，今天我们来学习二次函数与角度问题。第九课时，大家可以暂停几分钟，看一下题目，或者尝试做一做，等会儿再看我的讲解。 现在我来讲讲这道题怎么解。如图，点 f 在 线段 c、 b 的 延长线上，角 a、 f、 c 等于角 d、 a、 b。 我们知道两个角相等，要么正等腰，要么正全等相似，但是这两个角所在的三角形并不全等，也不相似，所以不能直接用这两个角去求解，要转化角再去求。 那怎么转化呢？我们再看看题目。题目中提到， t 减角 a、 c、 b 等于二，如果我们求出角 a、 f、 c 或角 d、 a、 b 的 正切值也等于二，那就说明这三个角是相等的。 也就是过点 d 做 d h 垂直 x 轴交 x 轴于点 h， 则 t 减角 d、 a、 b 等于 d， h 比 a、 h 等于四，比二等于二。 所以角 a、 c、 b 等于角 d、 a、 b 等于角 afc。 三角形 afc 为等腰三角形， cf 为底边。 过点 a 做 a、 n 垂直于 c、 f 交 c、 f 与点 n， 利用等腰三角形三线合一，得到 c、 n 等于 n， f 等于二分之一 c、 f 也就是求出 c、 n 的 长度，就能求出 c、 f 的 长度了。 在直角三角形 a、 c、 n 中， tan 角 a、 c、 n 等于 a， n 比 c、 n 等于二， ac 等于三倍根号二，所以 c、 n 等于五分之三倍根号时， c、 f 等于五分之六倍根号时。

同学们，今天我们来学习二次函数与角度问题。第十二课时，大家可以暂停几分钟看一下题目，或者尝试做一做等会再看我的讲解。现在我来讲讲这道题怎么解。 如图，点 p 在 抛物线上，角 c b， p 加角 a， c o 等于角 abc， 可以 得到点 p 在 c b 上方和下方两种情况。当点 p 在 c b 上方时，题目中所提到的三个角不存在特殊的位置关系。 如果要去求解，我们得找一找还有没有什么数量关系呢？此时不难发现，点 b 坐标三零，点 c 坐标零三，所以 b o 等于 c o 等于三 角 o， c b 等于角 abc 等于四十五度。又因为角 c b， p 加角 a， c o 等于角 abc， 所以 角一加角二等于角 abc， 角一和角 o， c b 在 y 轴两侧过点 c 做角三等于角一加 x 轴于点 h， 得到 c a 与 c h。 关于 y 轴对称，我们知道关于 y 轴对称， y 不 变， x 变为相反数。 用待定系数法求出 c a， 解析式为， y 等于三 x 加三，就可以得到 c h 的 解析式为， y 等于负三 x 加三， 因为角一加角二等于角三加角四，角三等于角一，所以角二等于角四。 c h 平行于 p b， 所以 直线 c h 和 p b 的 解析式 k 值相等。 p b 的 解析式为， y 等于负三 x 加九，再连立直线 p b 和抛物线的解析式解得 p， 点的坐标为二、三。 第二种情况，当点 p 在 c b 下方时，由于第一种情况已经求得 b o 等于 c o 等于三角 o， c b 等于角 a， c o 等于四十五度。又因为角 c b， p 加角 a， c o 等于角 a b c， 所以角一加角二等于角 o c b。 我 们仍然过点 c 做角三等于角一，得到 c a 与 c h。 关于 y 轴对称，求得 c a 和 c h 的 解析式。 再利用角一加角二等于角三加角四，角三等于角一，得到角二等于角四 ct 等于 b t， 设出点 t 的 坐标，用两点距离公式得到点 t 的 坐标以及 b t 的 解析式。在连立直线 b t 和抛物线解析式就可以求出点 p 的 坐标了。

大家好，这个视频我们来解析这道二次函数图像的判断题，看一看在二次函数类型之中，我们的代数思想如何去解决部分 啊。知识点，首先读题已知二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 图像如图所示，有下列的结论，第一个 a 大 于零。 第二个 b 平方减 c， c 大 于零。第三个四， a 加 b 等于一，第四个不等于是 a， x 方加上括号 b 减一，括号 x 加 c 小 于零。 解集为啊，一到三，正确的结论有几个啊？拿到手之后呢啊，我们首先 看图，然后把相应的条件能标到标上啊，当然，这一题好像没什么太多需要标的啊，我们可能知道的就是，你看，一得号一是它的 啊，顶点坐标。答案题目中呢，也没说啊，这时候呢，我们也不能说完全说一得号一就是它的顶点坐标啊。那，呃，一个一个来看。首先 a 大 于零， 开口向上一是对的，这很简单，包括像第二个也很简单， b 平方减四 a c。 我 们在学啊，应用二次方程的时候学过啊，待它 b 平方减四 a c， 当它等于零的时候，有两个相等的，当它 大于零的时候，是两个不相等的，当它小于零的时候是，呃，不成立的， 是没有的啊，没有输入根的啊。那这边怎么去看呢？实际上你看它如果是 b 平方减 c， c 等于零，包括像 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， 让它等于零的情况，不就是什么 判断它与 x 轴有几个交点的问题吗？那 b 平方减 c， c 大 于零，它应该有两个解，两个解的话， 两个解的话，它与 x 轴应该是有两个交点，那有没有两个交点啊？没有，所以第二个是错的。好，这题比较有趣的呢，是第三个和第四个。你看他说的是四 a 加 b 等于一， 拿到手之后，有同学去带了，老师，你看啊，四 a， 那 么 x 等于正负二的时候啊，就有四 a 了，但带入进去，你看啊，假如我们带入正二，就是四 a 加二， b 加 c， 负二的话，是 四 a 减二， b 加 c， 行不行啊？不行，不像我们走的方向。那这题怎么办呢？ 这很简单，我们函数类的题目总归还是代数，代数呢，就要想到消元和降次。你看他跟我们的什么有关系啊？跟我们的 ab 有 关，跟 c 是 没有关系的，那想法肯定是把 c 给消掉， c 消掉之后，你看题目中又有一逗号一和三逗号，这两个点，我们是在指数上的，所以我们不妨先把它给带入进去，因为带入进去，你才能连立 abc 三个参数的方程。 好，我们先把三等号三带入进去，变成了九 a 加上三， b 加上 c， 它是等于三的。我们设置第一个式子，第二个式子是 a 加 b 加 c 等于一，它是第二个式子。 那这时候你看，四 a 加 b， 与 c 是 无关的。所以呢，我们用式子一减去式子二，它等于什么？ 九 a 加三， b 加上 c， 括号减去 a 加 b 加 c， 括号等于三减一，左边减左边等于右边减右边嘛，对不对？话减之后等于八 a 加上二， b 等于二，那么四 a 加上 b 不 就等于一了吗？所以对不对啊？对，是吧？你看他其实就是想办法把我们的 c 给去掉，然后找出 a 和 b 之间的等量关系式，那 a 和 b 的 等量关系式，他只要能成立，他一定能算出四， a 加 b 等于一的 好，第四个，第四个拿到手之后啊，只要是这种类型的，你要跟原来的二次函数去啊，去看什么？去？这个 结合一下，去比较一下，结合比较发现什么？你看它是不是 a x 方加上 b， x 加上 c， x 小 于零啊？ 所以不就变成了 a x 方加上 b， x 加上 c 小 于 x 吗？是不是？那写成这样有什么用啊？你看 a x 方加上 b， x 加上 c， 它不就是我们这边的一次函数啊， 那 x 呢？它不就写成 y 等于 x 吗？所以啊，它的意思就是我们去分析比较一下。分析比较一下什么呢？比较一下我们的一次函数 啊， y 等于 x 这个一次函数。然后呢，假定它是 y 一， 它是 y 二， y 一 小于 y 二的时候， 它的取值范围为多少为多少啊？你看一嘛，三嘛，所以在一和三以内，你看在一到三以内，二次函数 是不是在一次函数的下方啊？所以它是正确的四，所以这题的答案选择的是 c。

二次函数里常考的题行为你顶点与交点组成的三角形，判断其形状。常规解法，先算每条边长，再用勾股定律判断。 等你算完，学霸已经上高中了，今天教你一个学霸会用的判断方法。二次函数 y 等于 x 平方加 b， x 加 c 的 图像与 x 轴相交于点， a、 b 顶点是 c。 判断三角形 a、 b、 c 为直角三角形， 当戴尔塔等于十二三角形 a、 b、 c 为等边三角形，当达尔塔等于三分之四三角形 a、 b、 c 为角， a、 c、 b 为一百二十度的等腰三角形。 看一道真题，当二次函数的图像与 x 轴交于 a、 b， 两点零点为 c， 且戴尔塔等于十二，则角 a、 c、 b 的 度数为。这道题直接给了戴尔塔值， 那我们就得知三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，那么角 a、 c、 b 就 等于六十度。学会了做两道题巩固一下。

哈喽，同学们大家好，今天我们来接着讲二零二五年的湖北 啊，中考数学题第二十四题，二十四题也是一道压轴题，但是他比二十三题要简单一些啊，比二十三题要简，特别是二十四题的第一题，第一小问是送分，第二小问也可以说是送分，然后第三小问稍微要难一点，但是比 比二三题还是简单啊，比二三题还简单。好，那么我们一起来看一下啊这道题。好，我们先来读题，抛物线 y 等于二分之一， x 平方减 x 加 c， 如 x 轴加入点 a， 点 a， 告诉了好看图， 点 a 在 这里，点 a 的 坐标为负一零啊，点 b 在 这里，点 b 在 这里啊， y 轴加入点 c， 点 c 在 这里啊，看图一，点 c 在 这里，然后 t 是 抛物线的顶点， t 是 抛物线的顶点， t 是 抛物线让一动点设点 p 的 横坐标为 t， d 问，求 c， 求 c， 那 这个求 c， 看这个抛物线方程告诉咱们的是， y 等于二分之一的平方减 x 加 c， 也告诉你抛物线上一个点 a， 点 a 的 坐标也告诉直接带进去，那不就等于 c 了吗？这一位是不是等于送分啊？简单的快速写一下 啊，这是不是送分直接什么将什么将 a 点的坐标负一零大于方程就得到什么啊，大于方程就直接可以得到， 看，我们再试一下， s 等于负一啊， y 为零，是不是？ y 等于 s 等于负一，那就二分之一加一加 c 等于，那 c 不是 等什么？等负二分之三吧啊，第一问就做出来了，对不对？第一问做出来了，好，现在我们把这个抛物线的，把这个抛物线的方向给写出来。 好，那抛物线不是等于什么？ y 等于二分之一， x 平方减，就是减去二分之三，对不对？是不是？这应该是每个人都能听懂的吧， 这应该是每个人都听的，也是比较简单的啊，也比较简单的啊，我们最好最好是把这个方程呢？ y 等于二分之一， x 减减， x 减二，再把它化简一下，化成一个标准形式 啊，化成一个顶点式，这化简一下，这化简，这个相对来说还是蛮简单的。它的化简，比如说 这提出一个二分之一，提出一个二分之一啊，这两个会画进多大？这里就不画了，他是等二分之一的 x 减一，平方减二。剩这么多啊，我们再把它写到上面，写到上面来，嗯，啊，写在这里。 二分之一 s 减一，平方减二， y 是 这么多，对不对？ y 是 不是第一问啊？做出来了，顺便把抛物线的方程给简化了一下啊，再看第二问，嗯，再看第二问，第二问，他是什么？如图一啊，图一，在这 点 p 的 对点， p 在 对称轴对称轴的左侧，点 p 在 对称轴左侧，点 p 在 对称轴的垂线啊，垂足为 h， 再说， 这样做过来对不对？垂足为 h， 想求什么？求 p h， 这个线段长度的平方比上 t h， 哎，这两个线段 p h 的 平方比上 t， 也是这个很，这应该是可以说是我们啊，可以说是很简单。为什么我们知道 p 点的横坐标为 t 啊？他告诉我们 p 点的横坐标为 t， 横坐标为 t， 横坐标为 t， 横坐标为 t 啊，是不是又说 这个点 p 啊？在点处，左侧，左侧抛物线知道。那抛物线的点处你也知道啊？抛物线的顶点你也知道，那说明这样，这个这里很容易用 t 表达出来这个这里也很容易用 t 表达出来啊。表出来。好，我来看下怎么表示，清理一下。 那先来表示什么？嗯，我们先来表示 p h 好 了。 p h 是 不是应该等啊？是不是应该等这个抛物线的对称轴啊？ 这个对称轴，你说对称轴到点 p 的 距离啊？对称轴到点 p 的 距离不就是这个抛物线的顶点的？什么顶点的横坐标 啊？减去点 p 的 横坐标。哎，点 p 的 横坐标为 t。 那 这个手这个手抛线顶点的横坐标是多少呢？刚刚是不是特意写的啊？特意化减的，那顶点是 是不是啊？特意化减的啊？化减咱们再写出来啊，咱们再写出来，是不是 x 减一，平方减二？问一下，它顶点是不是顶点？是不是一分二？直接得到一分二，对不对 啊？直接能得到一份啊？换成这个顶点式，一定要换成这个顶点式，这就好看。那顶点，这是 t 的 坐标对不对？那 p h 是 不是等于什么 e 减 t 啊？ 对不对？简单吧。那这个 t h 呢？ t h 是 不是应该是这个垂直 h 到点 t 的 距离啊？那不就是相当于什么 p 点的纵坐标？减去顶点 t 的 纵坐标 是不是纵坐标不就是把这个 t 横坐标大于这个方程式？大于这个方程式是不是等于什么？是不是应该等于 二分之一啊？有二分之一 t 平方减 t 减二分之三。好，今天要减去什么？减去点 t 顶点 t 的 啊？中值表，它上面负二减，负二就加二，它这种化减的就等于二分之一 t 减一的平方好，那 p h 平方比上 t h 不 就等于一减 t 的 平方比上二分之一 t 减一的平方啊。这两个是相等的，这里面一减 t 的 平方跟 t 减一平方是一样的，那下面来一比上二分之二好。第二遍做完为二， 目前来说还是比较简单目前来说还是比较简单好。接着我们清理一下，看第三位。第三位就有一点小小的复杂，先清理一下，看第三位 好。先读题，读题第。抛物线上两点 m n 之间的部分叫做抛物线 弧 m n 什么意思？假设 m 点在这 m 点在这 m n 这一单叫做抛物线弧 m n 含单点 m n 过 m n 分 别做一次角的垂线啊，比如说做一次角垂线，这样 l 一 做 s 轴垂线， l 二好过抛物线弧 m n 的 最高点和最低点分别做 y 轴的垂线啊。你说这个抛物线弧 m n 呢？它最高点，那是不是这个 m 是 最高点，它做什么？做 y 轴的垂线，那不这样， 是这样的，对不对？这个垂的啊。然后最低点也做 y 轴最低点啊，这低点不是这个 n 哈，最低点是它的顶点，顶点 是不是现在是不是围成一个矩形啊？围成一个矩形啊。现在围成矩形，他要把这个矩形的什么周长啊，周长啊，矩形的周长给算出来啊。矩形的周长，而且这个矩形叫做弧啊，抛物线弧 m n 的 特征矩形啊，特征矩形啊。 但是这个手啊，这很对，你看这个 n， 我 们是画到这里的手，他的这一点是在顶点的位置，有可能啊，有可能。看啊，有可能。这 n 是 不是在这里？在这边 是不是啊？他最近在这，就是说明这道题肯定要分类讨论，那做的时候肯定有分类讨论的思想，好跟他看他的问题。他说若点 p 在 第四项线，点 p 在 第四项线 g， 抛物线 c， p 的 特征，轴心的周长为 f， f 啊，第一问是求 f， 关于 p 的 函数解释好，他说什么？说点 p 写的第四项线好，你说点 p 跑哪来的？还是要先清一下，清一下。点 p 在 这里， 在第四项线在这里，第四项随便找一个点就点 p， 求什么？求 cp 的 特征，矩形的周长 做成，矩形的做成啊，这个时候啊，把这题目要读懂了，它的矩形也会划出来。首先是什么？首先是这两个点 啊，这两个点什么？首先这两点分别做 x 的 矩形，这样做啊，看他用到 c 点了， c 点是在 y 轴上，也说是抛物线， y 轴的什么？ 抛物线与 y 轴的交点，对不对？抛物线与 y 轴的交点。嗯，那 c 点我们应该可以把它的坐标算出来，我们算出来是零负二分之三啊。比如说点 p 做 y 的 垂线，那 c 点做 x 的 垂线，那 c 点做 x 的 垂线，不就是这个 y 轴吗？ 对不对？那这两条线一旦确定了，就相当于知道了这个矩形的其中一条边的长度 是不是这个一点变成长度，不就是这个 p 点的横坐标吗？ p 点横坐标减 c 点的横坐标，那就是 p 点的横坐标， p 点是 t， 那 就是 t， 对 不对啊？你说他横坐标这个矩形呢？无论这个 p 点，无论你在哪里，在这里，还在这里，横坐标始终为有横坐标啊，横坐标始终为 t， t 减零，它有一小边，始终为长度，我们用 t 来表示，那重要的是什么？ 重要的我们要能表示他的表示他的什么表示他的两个横。横坐标能表示，要重要是表示他两个纵坐标的差值。好，这是屁点，在这，这时候 他说这手是什么？这条弧的最高点与最低点做 y 轴垂直，那最高点与最低点，这个手当屁点在这，最高点是在这里，最低点是到顶点，对不对？像这样， 那这个时候这个矩形的另外一边的长度应该是 p 点的纵坐标减至顶点的纵坐标，对不对？ 对不对啊？这是一种，这是一种。这是当什么啊？这是一种，这是当这个 p 点高如 c 点的时候， p 点高如 c 点的时候。那还有个呢？ p 点低如 c 点的时候，那这个时候，这个时候它的纵坐标应该是 c 点 的坐标减去这个顶点坐标，是这一段距离啊，希望大家看明白啊。啊，希望大家看是这一段距离，刚刚是这一段距离。 p 点高入 c 点嘛？当 p 点 d 入 c 的 时候，那就是这一段距离 啊，这一段距离。这是追星呢？并不说。嗯， p 点 d 入 c 点就一定是这个，你当这个 p 点跑跑，跑到这个对应轴的左出来的， 那他应该是 c 点的动作表，减去减什么表？你说这里要分类讨论这里要分类讨论。你说读题的时候你就能画图的，你就一边做这个题，一边读题一边画图，你会发现这第三个要分类讨论 啊，分类讨论，分类讨论。好，那这时候我们一起来做一下啊，我们一起来做一下。 有点啊，有点复杂，但是第一问只要做出来的，第二问就非常简单啊，第二问就非常简单。好， 我来看，因为什么？因为这个时候他说了点 p 要在第四项下啊，点 p 在 四，在第四项里告诉了。好，但是当时是把这个 c 点求出来了，再把 c 点求出来，把顶点坐标求出来。顶点是不是已经求的是一负二，把 b 点 b 点求出来， a 点刚告诉了啊，负一零。 这个球啊，我是变种做啊。变种做？嗯，因为有这题目，知道这个抛线的带线轴啊，为直线，为这条直线 应该是直线一二，对不对？好，这个时候我们开始当啊。当什么？ 当？这个 p 点呢？他是在对正轴的左侧的时候，比如说这个 p 点是，这个 p 点是在弧 c t 之间，在这档看，这样看，这个，这个 p 点是在这一段的时候，这一段是，嗯，在这一段时候是当这个 t 啊。当 t 什么？当 t 大 于零，下二等于一的手，这是一下二等于一的手啊，下二等于一的手啊，这个手。这个矩形的两条边的边长都能表出来。你刚说的刚也分析了，它其中有一条边始终是 t， 是 不是？那有一条边始终是 t 啊？另外一条边就是 c 点的中子表。减去啊，减什么？减去这个 p 点的中子表啊，这种得到是什么？这种得到是 负的二分之一 t 加 t， 负的二分之一 t 加 t 啊，那他的这个 f 是 不等这两个矩形的边两条边的合成二，那不就是二乘以 t 减二分之几加 t 啊，这里把它化减一下就等于什么？等于负的地方加四点。这第一种情况还有当，嗯，当 p 点， 当 p 点在对称轴的右边那个，但是它又在这个 c 点的下方， c 点的下方，嗯， 这是应该把 c 点这个关灯的灯点给散出来啊，给散出来，此时这个 t 啊， t 的 值方应该是 t 大 于一，小于等于二 啊，然后他的此时这个矩形的两条边的边长分别是什么啊？分为什么这个比较好算的？这个比较好的这一条边始终是 t， 另外一条边的长度就是 c 点的动作表减 t 点是二分之二 啊，最终最终他给三的减数是等于二七加一啊，用相同的方法，用相同的方法啊，相同的方法，比如说当这个 p 点他高于这里，就这样做的时候， 他是应该是 t 是 什么？ w 二加二等于三，四是三的，这个 f 是 等，等什么啊？ f 是 等于 t 加一方那，哎，然后把它整理一下，这三个情况，这三个情况 啊，这里这三个情况啊，整理一下啊，这一问就做完了这一问做完了，第二问就比较简单啊。第二问就比较简单啊，清理一下，看第二问轻轻的。 第二问是什么？过点 p 作 p q 平行 x 轴交抛物线与点 q， 点 q 与点 c 不 成和啊。 g 抛物线弧 c q 的 特征就成了 g。 我 就说那很简单，那用同理可以先把 g 表出来，对不对？ g 表出来，再加上我们第一问球的 f 等于可以把这个 t 解出来啊， t 解出来就是相当知道 p 点坐标，你知道 p 点坐标啊，你知道 p 点的坐标，那就知道 p q 差。 好，那这个时候把这个 g 表出来，还是一样的先表示一个好 p 点啊。题目说在第四项形， 第四项线啊，因为 p 点有三种情况，那上面就 q 点也有三种情况啊， q 点也有三种情况啊。从第一种情况开始，当这个 t， 当 p 在 c t 之间，在这点处，就是这，这是 p 点，那它做 p q， 平行于 s 轴，它不是这样的吗？ 这样，这，这是什么点？这 q 点，这 q 点啊，此时还是一样的，你知道的 p 点的啊， p 点的坐标，横坐标还是会 t， 对 不对啊？横坐标还是会 t， 然后大于求值快 t， 此时 q 点的横坐标多少？知不知道能不能直接写出来？这点很重要。那 p 点跟 q 点， p 点跟 q 点是关于什么？是关于 对称轴，抛物线对称轴啊，对称的啊，对称的能直接写出来能直接写出来。 q 点很多边是二点几， 那二点零，你看他们两个啊，看啊，他们两个。 p 点跟 q 点，他们两个。纵轴边应该相等的啊，纵轴边应该相等的。嗯， 纵轴边应该相等的啊，纵轴边应该相等啊。不管相不相等，你可以也可以直接把这个带带。这个 y 二减 t， 是 不是啊？是不是？好， 这个是 d 五，还应当 t 大 二点，小二等于一十啊，小二等于一十，此时啊，这是什么？此时？ c q 啊，此时。看啊，原本是 cp， 现在是 c q 这张图， 哇，这根火，他的最高点是 c， 最低点是 t 啊，最低点是 t， 那 此时啊，他的什么？他有一条边，一定是什么？一定是他点的，这样， 这样， c 点的这么大点 t 呢？有一条边，一定是二分之一啊，再看另外一条边，嗯，做 y 轴，那不就是一个什么，不就是这个它吗？横着边二减七吗？对不对？不就二减七吗？是不是要说你说这两条边长能知道它，把它相乘，乘以二， 那第一种情况，第一种情况不要三条的等于什么？这个 g 值等于什么啊？ g 值不就等于二分之四，二分之五减二 t 吗？ 五减二 t 还是要用同理啊，用同理能算出第二种 g， 用相同的方法能算出这种情况。比如说 t 是 大二一小点二的时候，此时 t 是 负极方加四啊，你说再分析还是给你们分析一下， 比如此时此时呢？好， 这是单 p 在 这里，那 q 就 跑这来了， q 就 跑这来了 啊，这个就相当刚刚的。什么刚刚的？求第一问的第二种情况。第一问的第二种情况是一模一样的啊。第一问的第二种情况，你说最高点是 c， 最低点就是啊，这是 q， 这种算出来它第二种情况， g 是 单，这是等 负四， t 负负 t 加四。还有第三种情况，这三种就不再分析了，大家以此类推啊。第三种情况啊，老师私下在草纸上算的是 t 三减四，然后八就是刚刚的。什么分别于刚刚的啊，你说这个 t 是 大于零，小于这个是 t 大 于一，小于二，这个是大二，小大于二，小于三啊，小于等于三，然后刚刚的 f， f 一 连力加起来，加起来，加起来加起来等于什么？等，然后散出来对应的 t 啊，有的不符合，有的符合 啊，有的不符合，有的符散出来啊，你加 t 散出来， p q 就 解出来了啊， p q 这种解的是这个变成二或 这样式题，你说看，这题也讲完了，其实这道题啊，只是有点复杂，只是有点复杂，做是能做的，是有点复杂，对不对？相对于相对于二三题来说还简单很多啊。这是关于二次函数的一个压轴题 啊。这个啊，这一题其实让考大家的耐心，因为毕竟这一道题大家的精力都消耗完了，谁还这么能把它做出来，那肯定是基本功啊，做基本功，做时间，做的都比较过瘾。好的，那么这个题目咱们讲到这里。

同学们大家好，今天呢，我们来做一道二次函数的综合题，二次函数在中考里面是必考点，必考点，一定要记住，是必考点。我们的先来复习一下知识点。第一个， y 等于 a， x 方加上 b， x 加 c， a 不 等于零，这是什么？二次函数的一般式？还有一个， y 等于 a 倍的 x 减 h 加上 k， 这是什么平方，这是它的顶点式， 这是一般式。好，这里面它的对称轴都是什么？ 顶点又都是什么？增减性又都如何？一定要滚瓜烂熟自己脑海子，脑海里面应该是有这个图像的啊。 来，我们看题。第一题，已知抛物线 y 等于 ax 方减二， ax 加上三， a 不 等于零，与 x 轴有两个交点， a b 给出来了 b 的 坐标。第一问，让我们求表达式和对称轴， 哎，对称轴怎么求？对称轴是负的， x 等于负的，二 a 分 之 b， 这个是自己记住的，不用往这写啊，等于啥？负的二 a 二乘 a 还是 ab 是 负，二 a 等于一，所以对称轴就是一啦。然后我们把点 b 三零带进来，零等于什么？ 三三得九，九， a 减去六， a 加三推出来，三 a 等于三，三 a 等于负，三 a 等于负一，所以它的表达式就是， y 等于负的 x 方加上二， x 加一， 这就是它的表达式了。第二问，若大 m 大 n 是 抛物线上的两点，且小 m 大 于 n， 求 c 的 取值范围，这里有一个八， 那我们画二次函数它的草图出来。第一个，它的对称轴是等于一等于一的时候，它的最高点是多少来着？负一加二加三等于个四， 一个点是三零，这是一二三。好，这样平滑的下来啦，另外一个对称点呢？三负一 这样上去啦，然后这样又下来啦，这边也下来啦，我们的八肯定是在这边的，对吧？八 n， 然后若大 m 的小 m 大 于这个 n， 所以 我们这边求出来另外一个横坐标。关于 x 等于一对称，谁呀？负六， 这个是负六，这边就是小 m。 假如啊，这还不能用，不能用小 m， 我 们给他用个 y 吧。 这样一个值，小 m 大 于 n， 小 m 是 不是得在这一块？所以我们这个 c 的 取值范围是啥？大于六，小于几？小于八，这个就是画草图就能得出来啦。 第三问，已知当 x 大 于等于负一，小于等于 q 时，抛物线对应函数的最大值，最小值的叉是五，叉是五，这才是几，这才是四呀。所以我们这个 q 的 值是在这边， q 的 值是多少？ q 的 值。这里面第三问的 y 是 等于个负一，把 y 等于负一 带进来就得出来， x 是 有两个值， x 一 是等于个一减根号五 x， 二是等于个一加根号五，这个要舍去。为什么？因为 x 由去值范围， 所以我们 q 的 值就是一加根号五。这个题不难，这个题不难，要拿满分啊。 用不用带着你们整理一下做题步骤？不用吧，这题多简单，划出来就好了啊。做个预告，我们五月十七号就要直播，播什么？播中档题？ 中档题啊，我们不播压轴题，我们只播中档题。中档题最容易拿分了，有基础，稍微练一练就能够把分给拿到了。压轴题现在去练呢，也来不及了，所以我们不做压轴题了。 另外就是我们的黑白卷马上就要到了，黑白卷免费分享，一定要点个关注私信我，我给你们发啊，或者在评论区里面艾特我都可以。好，今天的内容就到此结束了，大家明天见喽。 啊不对，明天没有了，我们这个系列的高频考点已经更完了，我们后面就给你们更一些易错的点。好，依然是明天见。

各位同学大家好，今天我们一起来看一道关于二次函数的题目。大家读题 已知，二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 啊，自变量 x 和函数之 y 的 对应部分啊，如这个表格所示， 它现在让我们判断 a、 b、 c、 d。 这是一个潍坊市二零二五年的中考题，是一道多选择题。那我们一起来看一下，他说若 c 小 于等于零，则函数的图像开口是怎么样的？大家看， 对于 x 等于一和 x 等于二时，都有 y 等于二。那所以啊，根据这里啊，我们是不是可以判断出这个二次函数的对称轴来啊？对称轴应该是， 应该是 x 等于，是不是二分之三啊？二分之三对称轴应该在这里啊，二分之三在一和二之间。那么如果 c 小 于等于零， c 是 小于等于零的 好，小于等于零的，大家看在这个时候 x 的 取值是怎么样的？在对称轴左边对不对？对称轴左边 x 不 断变大，那 y 值呢，是不是也不断变大？那所以啊，我们可以随便画一个函数图像哈，假设这是对称轴， x 等于 二分之三，那 x 不 断增大，他的 y 值啊，也是从小于等于零到二，是不是也是不断增大的？那所以这个对称轴 根据对应轴可以判断出来啊，这个开口啊，是不是向下的，只有向下 x 和 y 他 们才都是要同时增大的，那看 b 选项，他说关于 x 的 方程， a x 方加 b， x 加 c 啊，等于 m 的 两个根是负一和四，那大家看，这里有 m， 是 不是这个表格当中也有 m 啊？ 那我们把负一和 m 带入的话，那是不是也就意味着左边这个方程它的一个根是负一啊？大家看，当 y 等于 m 的 时候， x 是 不是等于负一？那这个方程它的一个根是不是就是负一啊？那根据我们刚才 说的对称轴是 x 等于二分之三，那所以是不是负一加上另外的一个根 s 二吧，就等于什么？是不是等于二分之三乘以二啊？是不是就等于三啊？那所以 s 二是不是等于四啊？那所以 b 选项是不是正确的？ 那再看，嗯， c 选项，他说 a c 啊，在依次函数 y 等于二， x 加二的图像上，那这里呢，我们就要找一找 a 和 c 之间的关系了，那找 a 和 c 的 关系啊，大家看， 在这个函数当中啊，我们可以找，是不是可以找到 abc 之间的关系啊？对不对啊？那看 abc 之间有什么关系啊？ 我们把这组数据代入的话，那 x 等于一时，那是不是 a 加 b 加 c， 是 不是就等于二啊？对不对？刚才我们又得到了对称轴是二分之三，那是不是负的二 a 分 之 b 啊？对称轴的表达式，负的二 a 分 之 b 啊，是不是就等于 二分之三？那这里我们可以得到什么？是不 b 等于负的三 a 啊？我们将 b 等于负的三 a 再带入到这个式子当中去，能得到什么？是不是负的二 a 带入啊？负的二 a 加 c 是 不是等于二啊？然后我们就得到 c 等于二， a 加 二百，那你看 c 等于二， a 加二，你把这个 a c 代入，是不是也是啊？ c 把 c 带到 y 这个位置来，那 c 是 不是等于二 a 加二啊？ 那所以 c 选项也对了，那大家看 d 选项，他说代数是 bc 的 最大值为二分之三，那这里大家想想我们 b 等于什么来着？ b 是 不是等于 负的三 a 啊？对不对？那 c 呢？ c 是 不是在这里已经求出来了 c 和 a 的 关系？ c 等于二， a 加二啊，对不对？那 b c 的 最大值，那是不是就是负的三 a 乘以二， a 加二啊？就是求这个式的最大值呗。那我们把它化简一下，它是不是等于负的六 a 方减六 a 啊？ 那它是不是还等于负的六倍的 a 加上二分之一，它的平方加上二分之三？把这个式子我们写成这样的一个顶点式的一个形式，那大家看 负的六 a 方减六 a 是 不是等于它？然后这里 b c 的 最大值是不是就是我们这个关于 a 的 函数的最大值啊？那这个函数的最大值是不是当 a 等于负的二分之一时能取得最大值啊？最大值为多少？二分之三啊，对吧？ 最大值为二分之三。那所以这个 bc 的 最大值是不是就是二分之三也是正确的？那所以这道题目，嗯，它的正确的是 bc 的。 好了，以上就是这道题目的讲解。

来看这十八题，嗯，给了一个 c 一 啊， c 一 的这个图像，如图所示，对称轴是 x 等于负二，然后 c 一 向右平移两单位，向右平移两个单位的话，那对称轴， 那不就是外轴了吗？对吧？本身对称轴是 x 等于负二，然后向右平移两个单位，那对称轴就是外轴了啊，就是大概是这样。 哎，这样，那对称轴是外轴的话，那这个解一式，它的 b 一定就是零啊，因为负的二， a 分 之 b， 嗯，对称轴也是 x 等于零，这条直线就外轴了， a 不 可能是零，所以 b 一定等于零啊， b 就是 零了。所以这个咱们要找的这个式子， p 等于 b 加 c 减 a， 那 b 的 部分，这就是零 啊。 c 呢，与外轴的交点就是 c， 对 吧？ c 这个数，那那一定是交于外轴的正半轴啊。所以 c 是 正的啊， c 是 正的，然后开口向下， a 是 负的，那减去一个负的，那这也就是负， a 不 就是正的了， 所以相当于是零加上一个正的，又加上一个正的，对吧？所以最后这个式子，它一定是个正数，选 a。

二次函数是中考数学的重中之重，每年必考二十分左右。今天我们用几分钟梳理二次函数的所有核心考点，帮你轻松应对中考。 首先，二次函数的定义，形容 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 且 a 不 等于零的函数叫二次函数。 它有三种表达形式，第一，一般是 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c。 第二，顶点是 y 等于 a， 乘以括号 x 减 h 的 平方加 k。 第三，焦点是 y 等于 a， 乘以括号 x 减 x， 一 乘以括号 x 减 x， 二 与 x 轴交于 x， 一 零和 x 二零。二次函数的图像是抛物线。记住这几个关键点， 第一，决定开口方向， a 大 于零，开口向上，小于零，开口向下。第二，对称轴是 x 等于负的， b 除以二。第三，顶点坐标是负， b 除以二。四 a， c 减 b， 平方除以四。 a 的 绝对值越大，开口越窄， a 的 绝对值越小，开口越宽，图像平移。记住八字口诀，上加下减，左加右减。 比如 y 等于 x 平方向右移动两个单位向上移动三个单位就变成 y 等于括号 x 减二的平方加三。系数 a、 b、 c 各自的作用， a 决定开口方向和开口大小， b 和 a 一 起决定对称轴，有个口诀叫左同右异。 c， 抛物线与 y 轴的交点是零到 c 的 开区间。 求解析式是中考必考题。已知三点用一般式已知顶点和一点 用顶点式已知与 x 轴两个交点用交点式。掌握这些考点，二次函数题目迎刃而解，记得多练习，中考加油！

同学们好，今天继续给大家分享一道中考题里边的二次函数的压轴题。这个题第一问是求抛物线的解析式，第二问还是根据最值的问题解决点的坐标的求法， 咱先看这个解析式的求证，朋友们啊，已知这个二次函数二次项系数 a 未知，一次项系数 b 未知。经过点， a 的 坐标，抛物线与 x 轴的两个焦点坐标出来了，一个 a 四零，一个 b 负二零，求抛物线解析式。 那么最原始的方式，朋友们依然是要把四零和负二零带进去，组成 ab 的 二元一次方程组，解这个方程组求 ab 就 可以了，这是比较传统的方式，那么朋友们再观察还有没有比较新颖的地方呢？ 有没有发现他给提供的这两个点是抛物线与 x 轴的两个交点啊？所以说这个题我们求抛物线解析式，依然可以用啊交点式来解决这个问题，那么咱们就可以啊，设 y 等于 a 倍的括号里 x 减交点的横坐标减四乘，以括号里 x 减另一个交点的横坐标减负二，那就是啊，加二了。 有的人我会社交点式，但是接下来怎么求 a， 我 还是不会，那同学们，你们观察这个时候怎么去求这个二次项系数 a 呀？会求吗？有的人就给了两个点，我把这两个点都用进去了，那怎么去求 a 呢？显然没办法求，还不如直接把这两个点带进去，组成 a b 的 二元次方程组呢。 那出题者肯定是让你不会做的同学，那个那个传统的传统的方式，传统的同学就用这个方式，那聪明一点的同学就用下面这个方式，老铁们，观察怎么求这个 a 一定要注意审题！同学们啊，这种这种题我也分享了不止一次了，一定要注意审题。有没有发现二次函数里边解析里面还有一个已知的数字负四啊？ 这就是在告诉我们，这个点， c 的 抛物线与 y 轴的坐标是零啊，负四啊。 那如果这个题他要这么说，这里是个 c， 说这个抛物线经过这这这这三个点，那你肯定能看出来他有零四零负四这个点，那么一旦放到解析式里边去，就往往会被好多同学忽略掉。 所以说，接下来咱们再把零负四给他带进去，负四就等于 a 倍的括号里零减四，乘以零加二，这里就是负四。所以 a 等于的是二分之一啊， a 等于二分之一，把 a 等于二分之一给它乘进去就可以了。哎， a 等于二分之一， y 就 等于二分之一。对了，先把后边展开，同学们啊，后边用多些的乘法去展就可以了。减二， x 再减八，然后把二分之一乘进去二分之一 x， 方减 x， 再减四， 二分之一 x 减，这就是抛物线的解析式了。 y 等于二分之一 x 啊，方减 x， 再减四， 这就是二次函数解析式。那么接下来呢，我们还需要求一个 a c 的 解析式，观察一下 a 的 坐标和 c 的 坐标。同学们，那 o a 的 长度显然是个四， 而 oc 的 长度显然是个负四的绝对值也是个四。所以说 ac 的 解析式等于。我只看这两个四，我就知道 ac 的 解析式是什么，它一定是 y 等于 x 啊，减四。那同学们有没有好感到好奇，为什么我一看见这两个四，我就知道它的解析式 y 等于 x 减四呢？ 同学们，有没有这个这个思维定式啊？有没有这种思维的方式？因为这个形成的是一个等腰直角啊三角形。既然他是等腰直角三角形，同学们，那说明他就是由一三向线的角平分线向下平移四个单位长度得到的。 一三象限的角平分线是 y 等于 x， 二四象限的角平分线是 y 等于负 x。 只要一条直线以坐标轴为成的是等腰直角三角形。同学们，那他一定就是一三象限角平分线，或者是二四象限角平分线平移得到的。咱们一看就应该知道答案啊！那么当然你也可以设他的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 然后把零负四还有四零带进去去求，对吗？传统的方式就是这样求，那你让老师写这个解题过程我也得这样写，但是我出答案的时候，我直接口算就出来了。 那么接下来咱们求这两个解析是有什么要领呢？就是为了第二份做准备的，第二份看题目。点 p 是 抛物线上位于直线 a c 下方的一个动点，涉及到动点问题，你们依然要形成思维定式，涉及到抛物线二次函数或者一次函数的动点问题，我们就要设动点的坐标， 然后他过点 p 做 p d 平行于 x 轴， p e 平行于 y 轴，也就是 p e 垂直的是 x 轴， p d 垂直的是 y 轴。那么两条线段有数值方向的铅垂线段，也有水平方向的水平线段。 那么就让我们来求一下这个 p d 加 p e 最大的时候，求点 p 的 坐标。 b 是 指这个直线与这个 ac 的 交点。朋友们啊，这个 d 是 这个直线， 是与直线的交点啊，不是与那个 y 轴的交点，这里是 d 啊。 p d 平行于 x 轴，也就是 p d 垂直于 y 轴，但是垂足不是 d， 垂足是这个与 a c 的 交点。那么当 p e 加 p d 的 值最大的时候，求点 p 的 坐标，这显然 看，他肯定认为是一将军一马的问题，是不是一条河，两个村庄的问题啊？你只要能找到那条那条河。 d 这个屁，他不是直线上的动点，他是抛物线上的动点。所以说，这不是将军一马的问题，将军一马问题，那个动点屁，他是在直线上运动。 那么接下来咱们还是直接设动点的坐标。设 p 点的横坐标是 m， 那 纵坐标就是二分之一 m 方减 m 减四了。那点 d 的 点 d 的 坐标怎么设也依然要用 m 来表达。同学们啊，点 d 的 坐标用 m 来表达，那同学们，观察 p 和 d， 他 们俩和 y 轴垂直，垂直于 y 轴，那说明 p 和 d 的 什么坐标相同？同学们， 哎，这就是这个题新颖的地方，他和以往的题目不一样，以往咱们设一个动点的垂直的，这个铅垂上的这个这个线段长度，横坐标相同，把横坐标带入解析式，就能表示纵坐标。而这个 p 和 d， 他 显然是啊，纵坐标相同， 他们的纵坐标都是二分之一啊， m 方减 m 减四啊，纵坐标相同，关键是怎么去表示点 d 的 横坐标呢？ 这不是有点地所在的那条直线的解析式吗？你让他的纵坐标 y 等于二分之一 m 方减 m 减四不就可以了吗？横坐标 x 不 就求出来了吗？这边一个负四，这边一个负四，左右两边都加上一个四， 左右两边都加上一个四，那这个负四和正四就没了，负四和正四就没了。所以说 x 等于的就是二分之一啊， m 方减 m 了呀，这就是 p 和 d 这两个动点的坐标就设出来了。接下来咱们再用点 m 含 m 的 代数式去表示 p d 和 pe 的 长度啊， p d 的 长度，水平线段的长度最慢。咱们也总结过水平线段的长度，用右边的横坐标减左边的横坐标， p 的 横坐标是 m， 减掉它的横坐标，那就是减二分之一 m 方，再加 m。 我 去，括号的同学们啊，合并同类项，就是负二分之一 m 方加二 m 了， 这是 p d 的 长度。再看 p e 的 长度，那显然就是 p 的 正坐标的绝对啊，值了， 也就是 e 的 纵坐标零，减掉 p 的 纵坐标就可以了，也就是点 p 的 纵坐标的相反数。同学们啊，因为它是一个负数吗？负数的绝对值等于它的相反数，那就是负二分之一 m 方 加 m 加四了。求它的相反数，给它加括号，括起来，加括号，括号加起来显得就是负 m 方了。那么 p d 加 p e， 咱们给它加起来，显然就是负 m 方了。 这里的正 m 跟这里的正二 m 相加，显然就是三 m 了，还剩一个四，你给他抄下来就可以了。新的二次函数就产生了，这显然不是将军印码问题，这是构建新的二次函数关系式，借助于二次函数的顶点坐标来解决问题。 那么接下来咱们看一看， m 取和值的时候， p d 和 p e 会有最大值，显然 m 等于负的二 a 分 之 b e 啊，就是等于二分之三的时候， p d 和 p e 就 会有啊最大值，这个最大值是多少？没让我们求，你急着求的话，你把它带入解析式就求出来了。 让我们求的是点 p 的 坐标，那 m 有 了，同学们， m 等于二分之三，带到这里边来点 p 的 坐标，也就啊产生了这个题，依然是构建新的二次函数关系式， 借助二次函数的顶点坐标来解决问题，这是一点。再一点就是水平方向的线段，他们是纵坐标相同，同学们 纵坐标相同的时候，怎么跟你纵坐标相同去表示横坐标，这才是一个难点，这是所有的学生走到这里都是会卡一下的，那么你只需要把他的纵坐标带到解析式里边去就可以了，你们去求他的横坐标就可以了。 跟你知道横坐标去求纵坐标道理是一样的，你把横坐标带进去求纵坐标，同样也可以把纵坐标带进去去求横坐标。水平线段的长度往往是用右边的横坐标减左边的横坐标。希望这个题能够帮到大家。

每天拆一个数学技巧，今天拆， 今天拆二次函数的实用技巧，今天是我们拆实用技巧的第十二天，希望大家能够点个关注主页有更多的实用技巧。 好在正式讲二次函数的实用技巧之前，我先给大家讲解一下，我们接下来几天着重的会讲二次函数的所有的技巧。第一天我们分享的是二次函数的六大常用技巧， 然后第十三天我们就会讲那个二十函数的最重要的一个区间最值技巧，一句话就可以实现破题。第二个就是二十函数的看图说话，在最后一个选择题经常会说一二三四这种序号题，然后呢给你一个图像，让你去判断哪些是正确的，就这种题型啊，我会有个常见的总结啊，常见的总结，第十五天的话，我们就会用二十函数会讲一个用图像的观点来看， 方程不等式，甚至方程不等式，它是有三种形态的，三种形态，然后第十六天我们就会用二三学习这个二三数的切平模型，就是什么叫切平模型呢？就是二三数加这样子，这样子，然后呢这里有个点，然后呢问你，他到这个线段数值的距离什么时候最最 大啊？什么时候，当然不是顶点的时候最大，这肯定不是的啊，就是他这个切皮，什么叫切皮呢？为什么他叫切皮呢？因为他这样相切的时候他是最大的啊，相切的时候最大，后面我会详细说，然后第十七天我们就会用二三数来解决那种价格涨了，他的销量就会降低的这种利润最值的，后面我会详细说，然后第十七天我们就会用二三数来解决的公式，实际上就可以解决， 一共是可举。好，这就是我们接下来要讲的关于二十函数的使用技巧，总共有六个啊，总共六个，所以说我们接下来六天都会来学习二十函数的常用技巧。好，废话不多说，我们今来开始今天的学习二十函数的六大常用技巧，这就是我将要讲解的二十函数的六大常用技巧，今天我们只讲技巧这六个我将会从以下六个方面来讲解。 第一方面就是四点一轴为核心。什么叫四点一轴为核心？就是对二三数来讲，他有很多的一些知识点，关键就围绕在这四点一轴，哪四个点呢？就是第一个就是与 x 轴的两个焦点，第二个就是与 y 轴的焦点，第三个顶点，那这四个点，哦，然后就啥一轴一轴就是什么对称轴，你只要把这四点一轴搞清楚， 怎么算，怎么求，它是代表什么意思，那么我们对于二次函数的一个核心的东西就可以基本上可以过了。好，我们来看一下这具体的这四点一周怎么样去学习。首先来讲这两个点，这两个点是与什么？是二次函数与 x 的 交点，首先这两个点怎么求？ 这一条是不是令令那个 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 这个函数的等于啥？零，它与 x 的 交点呢？有什么特点？在 x 上所有的点的横坐标都为谁零，所以说我令 y 为零，所以就可以这样解一个 啊，一元二次方程，那解出这个一元二次方程是不是有两个根，对吧？还有两个根，但是取决于这两个根到底是有多少个根，你还得根据这个二次方程的平方减四 a c 来判断，那不一定是一定有两个焦点，这样子是不是就只有一个焦点了？ 那只有一个焦点，那这样子是不是就没有焦点了？所以你得根据的来判断。所看到这这两个点，你得知道第一个他怎么求？他什么时候他的这两个解的情况是根据的， 而他来判断的。然后呢？这两个点是不关于什么对称，怎么对称？有一题他就会给你，他给你不画全把图，这样，这样给你画，然后给你一个对称轴，那别人这里标了一个负一，我想这里标了个二，我想问你通过这个距离是不是可以求出这个距离，然后你就能知道这个点坐标到底是多少，所以说这两个点是关于对称轴怎么样对称的，这也是需要知道的。好，这就是关于这两个点的。那还有一个点就是与外轴的交点，与外轴交点怎么求？刚刚是这两个点是与什么 x 轴的焦点对不对？那 y 轴的焦点怎么求啊？你想啊，在 y 轴上的点有什么特点？是不是 x 等于零？所以你就令这个 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 这个什么，那它是什么？ x 等于零，实际上这个点实际上就是 c 啊，实际上这个点就是 c 啊，这个点就是 c。 好， 然后就是最后重要的一个点，顶点，顶点，首先要知道顶点要怎么求？顶点的横坐标就是什么二 a 分 之什么负 b， 然后呢，纵坐标就是什么 背公式就是四 a 分 之四 a c 减 b 平方。知道这公式不用背啊，后面我们在后面，我们马上会讲这个为什么不用背啊？不用背，所以你只需要知道什么它的横坐标是什么，二 a 分 之负 b 就 可以了。好，这四点一轴讲清楚了，然后关于这个顶点的实际上运用会很多啊， 很多地方都会提到顶点，然后后面我们这个关于顶点的深刻理解，我会重点讲顶点，这里我就不过多的讲顶点，你只需要知道它怎么求好。关于对伸轴，对伸轴就是什么？对伸轴表示什么？表示 x 等于什么？二 a 等于什么负 b 啊，这对伸轴所有的点都是不都关于这样， 这两个对，只要它 y 轴相等点，是不是关于对称，怎么样对称啊？这是后面会讲的。好。第二，这是我们的四点一轴啊，了解这些核心啊，了解这些核心，好，第二个点呢，就是两点法函数图像。因为什么？我经常讲就是对于函数来讲，无什么无图像，不函数， 就是不管是二次函数还是一次函数，还是正比还是反比，就是你，你首先得学会怎么样去画函数图像，如果说你把函数图像都画出来，他问你最大值，最小值，单调性哪个区间的最大值，是不是很多都可以迎刃而解？关键是要怎么样去画二次函数的图像啊？后面我会讲一一的讲是哪个函数图像，怎么样用技巧去画好。我总结出两点法，画函数图像，就是哪两点呢？顶点与 y 轴的交点， 顶点以外的焦点，只要你知道这两个点，就一定可以画出二项图图像。我打个比方，我打个比方，比如说你这个知道它的顶点在这里了，这是顶点喽，然后呢？与外的焦点在这里，那我想问它只能什么只能？是不是只能这样子啊？只能开口向下这样子啊，对不对？只能这样子啊？ 就大概是这叫草图吗？大概是这样子喽，只能是这样子的，它不可能是开口向上的。明白，好，就知道顶点和与外的焦点来，我们随便再画一个。就比如说这样子的， 我知道它的顶点在这里啊，与 y 轴的交点在这里与 y 轴。那我这个图像是不是只能这么画？我还能其他方法吗？没有没有。好吧，没有啊，所以这是草图，就很简单就可以画出来。好，只要知道顶点坐标啊。顶点坐标怎么求的？二 a 分 之啥？负 b， 然后中轴标是四 a 分 之啥？四 a c 减 b 平方。但这个玩意不用背后面会讲啊，会，会讲，然后与 y 轴顶点。刚不是说了吗？ y 轴顶点就是什么令谁令 x 等于谁零，就可以求出 c 吗？剩下的点就是 c。 好，是说两点法画还是同样是很好的运用技巧。就是你在一个题目中，你记住在一个中，不管是填空题还是大题，你只要他给了你一个二三十吨，就他， 他已经具体给出了。就是有时候他 c 不知道，也可以有句话，因为他 c 不知道大，大不了就是个洞点喽，对不对？大不了就是一个洞点，就比如说 y 等于二 x 平方加三 x 加 c， 就 算这个 c 不知道，你是不是可以先大概知道它的一个对称轴，因为二 a 分 之负 b 是 知道的呀，对称轴知道了，但它的 开口方向又向上，他大概就这样子的，他无非就这样子在动啊，就你可以大致画出他的一个图像。所以说你关键是要找什么？两点就顶点有什么 y 轴的焦点，顶点有 y 轴的焦点。好， ok， 这就是两点法，画函数图像啊，画函数这样。第二个就是关于顶点的深刻理解啊，关于顶点的深刻理解，怎么样去理解就顶点，首先理解他的函数表是这样的，公式就是二分之负 b 或者负二分之 b 是 一样的。 然后呢，中轴边又是什么？四 a 分， 这是啥？ c a c 减 b 平方。这个有些东西背起来有点难，而且用的时候有点麻烦，因为它有有的二还 b 平，那等于啥？ b 平方减 c a c， 对 吧？ b 平方减 c a c， 然后这个是四平方减 b c 就 有点麻烦。就说这个这个公式，这部分是不用背的啊，我直说这部分不用背， 那你真正在用的时候怎么办？用的时候你只需要把二一分之负 b 求出来，之后你把这个反带入函数的里面， a x 平方加 b 加 c， 你 把 x 换成这个横坐标，是可以求出重坐标，那这个重坐标不就可以求出来吗？这样其实有时候比你背公式会更简单，而且背公式基础弱同学还会背错。这最主要的就是我们讲了一个简单的方法，就是你知道横坐标你怎么求重坐标，直接带入 y 就 可以了，对不对？ 直接带入他的函数解析式就可以了。好，所以你看到没，这个重坐标是不用背的，你只需要把横坐标还是重坐标， 你知道纵坐标，求横坐标，你就带入函数，你知道横坐标，你就要求纵坐标，你也可以带入函数，就是要有这种思维。好， ok， 所以 说这个顶点其实很好解决，特别是复杂的部分也是很好解决的。好，那你看还有一个对于顶点的深刻理解，不仅仅是如此哦，不仅仅是你知道横坐标，把它带入外头就可以带，带入，带入函数，解析式就可以算，就可以算纵坐标， 不止是如此，就是深刻理解，还有什么呢？就是横坐标。这里你要记住他的横坐标不止是他的横坐标，就顶点的横坐标除了是顶点的横坐标还是什么？还是对行轴，这个有什么好处？就是你要能明白，比如说题目中他告诉你他说顶点的横坐标为，嗯，横坐标为三， 对吧？顶点的他告诉你他顶点的横坐标为三，那你要知道这个他实际上也在告诉你什么对心轴等于三，就你要能反应出来这个事情，当然我线下来说大家肯定都知道，但是你要能够在题目中反应出来这个事情，所以说你脑袋里面一定要对顶点他有个深刻的理解，就是顶点的横坐标，他不只是顶点的横坐标，他还是什么？ 还是对心轴还是对心轴。就像拿重坐标是不是重坐标，是不是可以把横坐标带入 y 去解，那顶点的重坐标除了是顶点的重坐标，他还是什么， 对吧？对顶点的众标来，他除了是顶点坐标还是什么？当开口向上的时候，他就还是最小值，当开口向下的时候他还是什么最大值？所以说顶点的众坐标，他除了是顶点的坐标还是什么？还是最大值或者最小值，这个有个什么好处呢？就是在 还有一个好处，最大的好处就是在你求那个函数解析式的时候，他会说函数的最大值是多少，那你设的时候你不要去，你就不要去设什么一般式，你就直接设顶点式。 就后面我会讲到什么时候用顶点式，因为第一个函数的题一般就是求什么顶点，求它解析式喽。那顶点式有一般式和顶点式喽？那什么时候用一般式？什么用顶点式，我会总结什么时候用顶点式，它告诉你一些关于顶点的延伸的东西的时候，就想到用顶点式就可以了。后面我会总结，所以说你在这里必须要深刻的理解这些东西。后面我讲一些更多的小技巧的时候，你才知道我在讲什么，要不然你压根就不知道我在讲什么。 好吧，所以这里是必须要，就是六大常用的最基本的技巧，你是需要知道的啊，知道的好。关于第四个技巧就是 y 轴相等的， y 轴相等的 两个点的坐标，它是可求对称轴的，就题目上它告诉你它不会告诉你说它不会说 y 轴相等。这几个字，我想表达它会给你说，呃呃。在函数图像上过 a 点的坐标，它说是三点 m， 然后过 b 点的坐标是什么呢？负二点 m， 然后我想问这个时候你就能够反应出来，它实际上是想告诉你什么，实际上是想告诉你它两个坐标怎么样， 众标怎么相同，那众标相同，你就能反应过来一个事情，就是它关于对称轴对称，那你就可以通过一个负二，一个三去求它的对称轴，你把这怎么求？对称就中点坐标啊，怎么求？两个点中点坐标， x 一 和 x 二的中点坐标怎么求？后面我也会分享。如果不知道同学，那直接把 x 一 加上 x 二来除以二就可以了 啊，就是他的终点坐标啊，不是减法啊，是加法，是加法，后面我会详细讲啊。所以，所以说他这种只要你知道一个点，这边你看这里图像，从图像上表示，就这样看到没有？有些时候他会给你哦，他给你这样一个图，他也不会给你画对准走啊，不会给你画对准走，他就这样子写了一个 m， 甚至把 m 给你写成一个具体的数字，这里写了个负一，这里写了个三。我想问这样子是不是告诉你他也可以求对准走？ 明白了没有啊？所以说他的表后面我说了一句，看到注意，就他有很多种表现形式，文字的表现形式，就我刚刚说的，他给你直接告诉你两点坐标，三点 二和 b 点坐标是呃，五点二来，这样你能不能反应过来？我想问你，这样子你能不能反应过来？他实际上是想告诉你，除了过这两个点，你可以代入函数解析式以外，你还能直接求他的什么对数，你可以直接把这两个加起来除以二，实际上对数就等于谁四。因为五加三等于八吗？八加六等于四，所以他实际上是想告诉你，他对数等于四， 就是他通过文字坐标的形式，文字坐标的形式表示出来，你要能够反应出来，他告诉你的是重坐标相等的两个点，关于对数对乘，要可以求对乘，这是文字的表达形式 啊，还有一种图像的表达形式，就像我这样给你一个图像，告诉你这样随便写个三，这样子，你要能够求什么？求对称轴啊，这图像的表达形式，还有一种表格的表现形式，就它跟一些表格 啊，这是 x， 这是 y， 这里是零，这是一，这是二，这是三，然后这里写了个负一零，然后这里又写个负一，然后三，这样子，那你看这两个点重置表是不是一样的，那重置表一样，它是不？关于对称轴，是不是就可以求它的对称轴，就是它有三种表现形式，三种表现形式，文字图像 表格就是有这三种形式，你要能够反应过来，它实际上是告诉你什么 y 作比较相同， y 作比较能干什么，可以求什么？对，听懂， 这是需要记忆的啊，这是大家自己去下去记啊，就是边听的时候边记，就是它可以表现形式有两种，因为这个表格写空格写不下的时候，我就只只给大家提示了一下，就是表现形式，就是有三种的文字表格图像， 大家自己需要学会做笔记啊，可以暂停做下笔记，然后再继续往下听啊，然后我们来看这个就是一个小妙招了，接下来就是小妙招，关于对称轴的小妙招啊，就是比如说这告诉你一个二项式图像，二项式解析式啊，他说这图像关于 x 轴对称长啥样 对不对？关于 x 轴对称长啥样就长这样子啊。首先这是一个函数图像，它关于 x 轴对称，然后我想问结果啊，我想告，先告诉你结果，这是关于 x 轴对称后的图像解析，应该长这个样子。但我想告诉我想问大家，你画 x 的 时候，你是横着画的还是竖着画的？我们画坐标是不是都是横着画的？ 好，这样你知道这个横的话，你就好理解这个事情。前面说了，好，你这是不是，这是不是一个二三数的解析式？那你想，如果我这样子画一个横坐标， 对不对？你不要管歪啊，你不要看歪啊，就，就看这部分啊，就看这个解析式，这部分就看这部分。然后呢，你说你画一条横坐标，你是不是得这么画？ ok， 你 这横坐标穿过了谁？是不是穿过了 abc？ 好， 记住，你记住一个事情，就是穿过了 abc， 谁说 abc 都要变号，看到没？说 a 变成负 a， b 变成负 b， c 变成负 c 变成负 c， 这样你就可以直接写出它的什么关于对称和对称的。 好，这是关于 x 轴对称啊，记住， x 轴怎么画的是横坐标，横，横横着画的，那就穿过了 abc， 当你别说又穿过了 y 啊，就别去想 y 的 事情。跟你讲了，你只看这部分，对吧？只看这部分？好，那同样的道理，我们来趁热打铁学一下关于 y 轴对称的小妙招，怎么样学习呢？我想问，同样的关于一个二项，是不是长这个样子？ 我想你画 y 轴，你是怎么画？你是横着画还是竖着画的？你是不是竖着画的？我想问，关于这三项来讲，如果说它要对称的话，你觉得这条线要想这个四指对称，你想这个四指对称，那怎么画？你是不是得从中间画？ 你不可能从这么画吗？是个人他都不可能从这么画，对不对？那基本都从中间画呀，你不要看歪，听没叫你别看歪，你别说中间画成这样，那你就不要看歪啊，就看这三部分，你要这三步，要对称，是不是从中间画个 y 轴？好， ok， 你 就记住，那你从中间画歪轴，穿过了谁，是穿过了 b， 那 b 就 变化，其他角度就不变， ok， 这就是结论。这是一个很好用的小妙招，就是关于一般形式啊，注意啊，它是一般手， 一般是可以用的小妙招，它是顶点式的啊。顶点式，关于对称，我们后面再讲，用顶点式的话，你直接看，实际上直接就看对称这个顶点坐标，关于这个对称轴，关于哪条轴或者微轴对称要变到哪里去，你直接用直接写顶点式就可以了，因为顶点式好的用好的，用处在于什么呢？就是你直接用顶点式去写 解析式，不就很简单吗？你先从它原来的顶点式，把它通过这个两点法，通过两点法画出，这样把顶点找到，找到之后它关于 x 轴对称，你想啊， 如果它的顶点是关于 y 九 x 图像，你是不是可以这样子，直接把它顶点坐标写出来，然后这里是二，这里是负三，那就是二和正三了，那顶点就是二和正三了，你直接写顶点式啊，然后 a 又是不变的，就是开口向下吧，变一下就变成相反数了，那就是变成负 a， 括号 x 减二， x 平方加三，就直接就写出来了，就能先画出它的顶点的，是吧？ 顶点关于 x 对 称后的坐标，然后直接写顶点式，然后把开口方向变一下就可以了。关于 y 轴对称，是不是这样的？中轴标没变了，今天很很 中轴是没变的，横轴是会向竖，然后开口方向是没变，那 a 就 没变，这样就直接写了。所以说关于顶点，它顶点式，它其实更好理解，你只需要通过两点法画算数，这样甚至你就不用画，你直接脑袋里面看一下顶点坐标到底是多少，然后再去想它对称轴长在哪里就可以了。但纹头起见基础弱，还是要画图像的啊，通过两点法，所以说这几个方法它是不是不是单独的，它可能相互之间也有联系。 好，我讲的是这种一般式的，为什么一般是不用顶点式这种思维呢？因为我想你一般是你要用这种思维的话，你是不是还得求顶点坐标那些，但我这个就不用啊，对不对？我这小妙招我就不用求，我直接看图像就可以了，这样穿过一个手，然后穿过一种变 b， 对 不对？好， ok， 这就是我们关于什么 x y 的 什么对称小妙招，小妙招啊，这就是我们关于 x、 y 的 对称小妙招。 好，关于六函数，函数、二三函数常用的六大技巧啊，我们就分享这些，再给大家总结一下。第一个就是四点一轴为核心，就是他的二三数，他离不开这些东西，离不开这些东西。有 x 轴，焦点 与 y 轴交点，点点坐标啊，点点坐标怎么求，对吧？然后呢，这个对称轴那点坐标是不是又在这里又深刻的理解了点点坐标？深刻理解两个，三个，三个事情，第一个事情就是这个顶点中坐标是不用求的，然后你直接求横坐标带进去， 然后呢，对于顶点坐标，横中坐标的深刻理解就是它除了是顶点的横坐标还是对行轴，它除了是顶点的横坐标还是什么？最大值和最小值，然后就关于它 y 坐标相等的这个点，一定要注意它有三种表现形式，对吧？注意是注意的是表现形式啊，三种表现形式，哪三种你都能够反应过来，它是 y 坐标相等，可以求什么对行轴 好，然后关于就是 x y 轴的对乘小妙招，这是可以很好记的。这个倒是很好记啊，最主要的是如果记住弱的同学，这几个啊必须要熟记于心，因为后面我所讲的这些技巧，比如说二三数的区间最值，那我肯定会用到两点法画二三数图像， 把图像画出来之后，再去讨论他在某个区间内的最大值和最小值，都是要运用到这些技巧的。所以说我必须要首先先给大家把这个我们最常用的这个六大实用技巧讲完之后，我后面再给大家去分析的时候，大家能就能够听清楚我在讲什么啊。 ok， 这节课呢，我们就先讲到这里，大家可以截个图啊，截个图 好， ok， 今天分享到这里啊，明天我们继续。

中考想拿高分，最后三十天怎么办？每天我带你主题精讲中考全部题型，每吃透一套题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们来看这第一道我们的圆周角定的应用，题目给的是我们这个角 a、 c、 d 啊，是三十五度， 我们注意圆周角定里同弧所对圆周角是相等的是吧？他对的弧是 a、 d， 所以呢，我们可以连接 a、 b、 d， 那 当然这个也是三十五度，是吧？题目要我们求 b， a、 d 也是这个角，我们知道 ab 是 直径，所对圆周角是不是九十度啊？所以呢，这个九十度，这个三十五度，我们一剪这个可以得到是五十五度，也就答案选 b。 这道题堪称中考分数测测范围，我们来看一下这种二次函数区间取值的怎么办？ 屏幕给了我们一个二乘以 x 减 h 平方加一，是吧？那我们这个可以知道，我们这个图像开口是向上的，对称轴是我们的 x 等于 h， 是 不是直线，他说 s 满足一到三范围内，它的最小值是十。像这种问题呢，我们就拿区间取值问题，那这种问题我们怎么来解决呢？它一般要分三步， 第一步我们要知道对称轴是 x 等于 h， 是 不是那一到三是它的哪个范围里面呢？我们要观察，那它有三个情况，第一个情况也就是 当这个一到三啊，在 h 的 左边，大家可以看图，这里是一假设这里是三，也就是 h， 对 称轴是在三的右边的，大于等于三的时候，我们可以看出来，那最小值是不是三这里取得啊？所以呢，最小值就是 y 的 最小值，是等于把 s 等于三代入三减 h 的 平方 加一，题目说是等于十的，我们可以直接解出 h 有 两个答案是吧？第一个答案是零，第二个答案是我们的六， 所以呢，又因为 h 是 大于等于三的，是吧，所以呢，我们这个 h 等于零呢，这个就要舍去，所以 h 只能取六好了，这是我们第一个情况。第二个情况呢，就是我们的这个对称轴啊，刚好在两个之间，也就是如果这边是一，这也是三，这种呢，也就是 h 在 一和三之间， 那这种我们可以看观察图像可以知道，是吧，最小值肯定是在中间，这里对称轴取得，也就是 y 的 最小值呢，当 s 等于 h 的 时候， h x h 零是吧， y 就 等于一，所以呢，这个是不符合题目的十的是吧？第三个情况呢，就是我们的当一和三都在对称轴的右边的时候，那么也就是这个情况，这里是一 是吧，这里取是三，那 h 在 一和三的左边嘛，也就是 h 小 于一的时候，那这种我们怎么办呢？小于等于一的时候，那最小值是不是一这里取得啊？所以呢， y 的 最小值 就等于我们的把 s 等于一代入，也就是一减 h 的 平方加一等于十。我们也可以求出 h 有 两个答案，题目 h 就 等于是吧负二或四，又因为题目给了我们刚才说范围 h 小 于等于一，是吧，所以呢，这个四也要舍去，所以呢，我们制得只能取得 h 等于负二， 那中上我们可以看出 h 只能是六和负二，是吧，所以这题我们答案就选 d。 我 们来看这个分式方程的应用 题目给了我们一个，那个船的航速是三十五是吧，他说顺流的时候走一百二的时间和逆流走九十的时间是相等的，他说顺流速是 v， 我 们知道顺流速度是相加是吧？逆流速度相减，所以呢，我们顺流的速度就是三十五加 v 逆流我们的速度呢，也就是三十五减 v， 那 时间相等哦，时间等于路程除以速度，那顺流我们的路程是一百二十八除以速度顺流时间逆流呢？我们的路程除以速度是不是也等于时间啊？所以呢，他们两个题目说相等，也就列出我们这个分式方程，答案选 d。 这里要提一下哈，分式方程如果应用题呢，大家一定要记得检验 好，这一道是我们最基础的一个计算啊。题目说 a 零次方加上负一次方，是吧，记住，除零外，任何数的零次方是等于一的，然后呢， a 的 负 n 次方呢，它是等于 a 的 n 次方，分之一的，它跟负数无关哈，它是取一个倒数的，是呢，二分之一的负一次方呢，是等于二分之一的一次方的倒数是吧，也是等于二，所以一加二等于三。 这道题堪称学霸分水岭，很多同学看到这种一元二次方程的，就直接用伟大定律就想直接带出来或者解出来了，那这种题是不一定能解决的。我们来看这一道题目，给了我们一个方程是吧？还有参数题目要求我们这一堆数字之后，求我们参数 k 的 值。像这种题，很多同学就第一步没 问题，写出我们的伟大定律， s 一 乘 s， i 等于 a 分 之 c， 是 吧，就等于负 k 加二，然后呢，我们的 x 一 加 s 二等于负 a 分 之 b 直接代入就是我们的 k 减一好了，然后再来化解我们这个式子，我们可以观察发现， s 一 减 s 二看做一个整体，加二减二是一个 平方差公式，是吧？所以呢，我们第一步可以把它变成 a 方减 b 方加二， x e s r 等于负三，我们直接把它拆开化简，等于 s e 的 平方减二， x e s r 加 s r 的 平方减四加二 x e s r。 观察可以发现， s e s r 两倍的是不是可以直接消掉啊？ 所以得到 s 一 方加 s 二的平方是等于我们的一的，到这一步之后呢，我们当然要配方进行，用我们的伪达定理来计算，是吧？所以呢，我们直接加一个二倍的 s 一， s 二等于一，加上二倍的 s 一 s 二，然后呢，左边就是我们的完全平方公式， 右边就是一加我们的二 x 一 x 二，我们直接把这个伪达定理代入求解。 s 一 加 s 二等于 k 减一，也就是 k 减一的平方 等于我们的一加两倍的负 k 加二，然后呢，这是关于一个 k 的 一元二次方程，是吧，我们就直接化简求解。等于一减二， k 加四，所以呢，我们 k 方就等于四， k 就 等于正负二，然后很多同学就写正负二，那么你就错了，像这种题我们直接写正负二是不对的，因为题目的解答定律说了有 s e s i， 大家注意，回答定律能直接应用的前提是它的判别式 一定要大于等于零。像这题我们没有进行判别式的计算，所以呢，我们要先算判别式，掉它等于 b 方减四， a， c 也是 k 减一的平方，减四倍的负， k 加二要大于等于零，是吧？那我们要进行这正负二要验根， 那我们看一下二代入，我们得到二减一的平方是吧？就是一减负二加二，零大于等于零，所以呢，二是可以的，是吧？ 继续我们把负二代入就变成负二减一变成三的平方，也就是九负二代入就是二加二四，九减十六是小于零的，也就是当 k 等于负二的时候，这个吊塔是小于零的，是无解的，是吧？所以呢，我们这题答案只能 k 等于， 这道题呢，很容易错的地方呢，很多同学用伟达利你算出来之后呢，没有进行判别式的一个验算，也就是伟达利你前提一定是掉塔大于等于零，大家要注意了。好，我们来看这一道三角函数的应用。题目给了一个我们条件，从 a 呢看 b 呢，这个假角北偏西是六十度是吧，还给了我们 ab 的 长度是等于四千米的， 然后呢， b 看 c 呢，也是这个假角是四十五度，题目求这个 b c 的 长度。像这种题呢，我们就可以直接用三角函数或者勾股定力可以直接解决，我们看一下 这里延长之后，这里是不是也是三十度啊？三十度，所以直角边斜边的一半，所以呢，我们这条是二，根据勾股定律，我们可以求出这个是二倍根号三来啦，题目给了我们这个四十度，所以这个也是四十五度，从而得出这个三角形是一个等腰直角三角形是吧？然后呢，这个是二倍根号三，所以呢，这条也是二倍根号三， 根据勾五定律，我们可以直接算出 b， c 就 等于二倍根号六。好，我们来看这一道分式化简求值的题，题目给了我们这个括号计算的基础习惯，我们先算括号，里面进行通分化简，我们这个呢，这个二 x 呢，我们写成 x 分 之二 x 方，是把通分 减去 x 分 之一加 x 方，然后呢，我们除法变一个乘法变成 x 减一分之 x 方，就 x 方了，减一乘 x 减一分之 x， 大家观察这里 s 方减一，我们能进行平方差公式因式分解，是吧？ x 加一乘 x 减一乘，以 x 减一分之 x， 到这一步为止呢，我们就到最后一步了，能约分的把它进行约分， s 可以 约掉， x 减一约掉，所以最后化简就是 x 加一，题目给了我们 x 等于根号二，是吧，所以我们直接代入，最后答案就是根号二加一。 好，我们来看这一道堪称学霸丢分神器的题目，题目是求二次函数的一个最值问题，是吧，看一下，看一下，题目给了我们 a 点坐标四斗零， b 点坐标是零斗负二，他说一个二次函数 y 等于负 s 方加二 a， x 加 b， 它的顶点啊， 在这个一次函数上，它求这个 b 的 最大值，是吧？那像这种题，我们如果没有思路怎么办呢？我们就按部就班，第一步，顶点坐标是吧？顶点的话，我们坐标公式，我们要知道，第一步是我们的负二， a 分 之 b 四， a 分 之四 a， c 减 b 方，我们直接代入 a 和 b， 是 吧，我们直接可以求出顶点坐标来，负二分之 b 就 等于 a， 这个算出来是 a 方加 b， 也就是这个是顶点坐标。第二步，他说这个顶点在 a b 直线一次函数，是吧？我们可以求出 a b 的 解析式来。我们设 a b， y 等于 k， x 加 b 也是代入我们的谁啊？两个点， 一个是四斗零，一个是零斗负二，我们也可以直接求出来， y 是 等于二分之一， x 减二，是吧？然后呢，因为这个顶点在这个上，所以呢，我们这个点是不可以直接代入啊，也就是把这个点代入 这个一次函数里面，我们可以直接得出 a 方加 b 是 等于我们的二分之一， a 减二。好了，到这一步为止，其实都还算比较简单，题目要我们求 b 的 最大值是不是？那我们就把 b 给画出来，也就是 b 是 移项得到我们的负 a 方加二分之一， a 减二，是吧？ 然后呢，这题我们到这里为止就基本上解决了，这里的 b 用我们的 a 表示是一个二次函数，是吧？所以呢，我们直接把它配方等于负 a 减四分之一的平方减十六分之三十一。 好了，到这里为止，我们都还是比较简单的，容易错的地方呢。注意，这里一定要注意 a 的 取值范围，我们看一下 a 是 哪个范围啊？ a 是 这个顶点，横坐标是不是在 a 和 b 之间也是，这个 a 一定是大于零小于四的，是吧？ 我们看一下这个二次函数开口向下对称轴是四分之一，所以呢，当 a 等于刚好可以取四分之一的时候， b 是 不是取的最大值啊？最大值，那我们就是我们的负十六分之三十一了。

老师讲一下一线三垂直模型，还有四十五度角存在性问题吧。讲这道题，一个二次函数解析式给我们了，这是他的一般式，这是他的两点式。题目呢，我们读一下 炮线与坐标轴三个焦点， abc 的 坐标是可以求的，炮线上有一个动点屁屁，在运动过程中能否使角 pbc 等于四十五度？如果存在求出点屁的坐标。 审完题之后，你可能会有以下几点疑问。在读完题之后，你首先会想的一定是问题，而不是答案。 你可能会想到这样的一个问题，角 p b、 c 等于四十五度，它是什么意思？该怎么用？我该怎么利用这个条件呢？如果你是七十分的学生，你可能会接着往下想哦，那意思就是说在点 b 处做一个四十五度的角， 比方说这个角是四十五度，那这个角呢？与抛物线的交点是点 p， 那 么角 p b、 c 就是 四十五度，那么这个四十五度的角该怎么做呢？ 可能想到这里你就不知道该怎么办了。那如果你是一百分的学生， 你可能会想到做四十五度角的核心方法是构造等腰直角三角形，也就是以 bc 为直角三角形的一个边， 构造等腰直角三角形。那接下来构造的方式有哪些呢？是一种还是两种还是多种呢？接下来我们要考虑的就是这个等腰直角三角形有几种情况。 如果你有转化的思想，那这个题就可以转化为已知一边要构造一个等腰直角三角形，要讨论几种情况， 我们可以考虑到，我们可以用直角边和斜边为划分依据，为划分成两个情况，那么我们要使角 b 是 四十五度，就可以这样去讨论。 那么如果是 bc 是 直角边，角 b 是 四十五度，我们可以画这样一个直角三角形，那么这个边和抛物线所交的点就是点 p， 因为角 mbc 是 四十五度，所以角 pbc 也是四十五度，我们求出 p 的 坐标就可以了。它的第二种情况是在下边做一个直角三角形，等腰直角三角形 mb 和抛物线所交的点 p， 我们也可以简单的知道 pbc 是 四十五度，求出点 p 的 坐标即可。第二种情况， bc 是 斜边勾到的，是这个直角等腰三角形，点 p 呢？在这里。 第二种情况，这个等腰直角三角形在下方，因为 m b， c 这个角是四十五度，我们也可以延长 b m 交于点 p 角 p b， c 也是四十五度，我们分成直角边和斜边，这两种情况有 相同点和不同点，相同点，经过分析， mp 这个斜率它是一致的，那这在这个图里呢， mp 的 斜率 它也是一致的， p b 的 斜率相同，点 p 的 坐标是相同的，也就是说我们的结果是相同的。不同点呢，就是第一种情况，它的计算量更加的小。 第二种情况，计算量更加的复杂，因为计算量它体现在什么呢？点 m 的 坐标好不好？求 mp 这个直线好不好得到这道题，如果按照这种方式去做的话，点 m 的 坐标是比用下方这个方式，它点 m 的 坐标是好求的，所以它的不同点就是这个方法更加的简单。 那么接下来我们要做什么呢？我们知道了关键点呢，就是要把 bc 当做直角边来做这个等腰直角三角形。那么我们这两种情况 接下来该怎么办呢？如果没有思路的同学，那接下来就不知道该干什么。如果有思路的同学，他知道我们要求点 p 的 直线方程 与炮线进行连力进行求解即可。我们要想求直线方程，知道点 b 的 坐标，我们求出点 m 的 坐标就可以了。那怎么求呢？有思路的同学可能就卡在了这里， 那如果说既有思路又有方法的同学，他可以想到我们可以用一线三垂直模型来求点 m 的 坐标，那到底该怎么做呢？我们得到了这道题的解析思路，通过一线三垂直模型求出点 m 的 坐标， 进而求出 mb 的 直线方程，进而与抛物线连力求解解出点 p 的 坐标。所以说我们接下来过点 m 作 m， n 垂直于 y， 轴垂直于 n， 角二加角五等于九十度，角四加角五等于九十度，所以角二等于角四，这两个角是相等的，角一等于角三， mc 等于 bc， 这是我们做出来的，所以这两个三角形是全等的， a a s， 进而我们推出 m， n 等于 c， o 等于二， n， c 等于 o， b 等于四，进而我们能够得到 m 的 坐标是二六， m 的 坐标和 b 的 坐标都有，求出直线 m b 的 斜率，进而求出直线 m b 的 方程。将直线 m b 的 方程 和抛物线让它相等，求解得出 x 一 等于四， x 二等于五， 这就是直线和抛物线他们的交点的横坐标。点 b 的 坐标是四，所以点 p 的 坐标是五，点 p 的 坐标是五。 接下来该怎么办呢？我们刚才求出了 mb 的 直线方程和抛物线连立，这个计算过程就给大家省略了，求出两个值，一个 x， 一 是四， x 二是五， 接下来该怎么办？我们应该能够想到， x 一 等于四，他就是点 b 的 坐标，那么 x 二等于五呢？他就是点 p 的 坐标，那这个坐标我们能够取到吗？ 那这个地方又会有一些同学，他想不明白，他这个是五到底是什么意思？我们再回过头来，我们要的是过 bc 这个线段做一个四十五度的角， 这个四十五度的角和抛物线呢，交点应该是在这个范围，如果说他在点他的横坐标是五，那么点 p 是 不是就落在这里了？ 点 p 落在这里， pbc 它还是四十五度吗？它就不是四十五度了，它是对吧？一百三十五度，所以说 x 二等于五，它应该被我们舍掉，因为我们 bc 这样构造一个四十五度的角，那么他和抛物线的交点，这个点 p 的 范围应该是这一段是零到四之间，他在五处，他到这里了，那他就不是四十五度了。 这个地方要想清楚，接下来该怎么办呢？我们刚才算出了第一种情况，点 p 的 坐标横坐标是五， 由于五在下方，那么 pba 他 pbc 不是 四十五度，所以第一种情况，这个结果被我们舍掉了，接下来我们该怎么办呢？第二种情况，这个图 我们求接下来的思路，还是求 m 撇的坐标，求出 p b 直线方程连立，那么点 m 撇的坐标该怎么求呢？有两种思路，第一种思路，继续用一线三垂直模型， 那这个模型要求我们过点 m 往这条平行于 x 轴的平行线上做垂线， 这两个三角形是全等的，那由此呢，计算出 m 撇的坐标。如果你的思维更加的灵活，我们也可以用借助第一种情况，我们的点 m 的 坐标 把它画在同一个图上，这两个三角形应该是全等的，所以说点 c 是 mm 撇的中点，中点坐标公式写在这里， 我们在用的时候呢，我们进行一个思考， m m 撇横坐标相加除以二是点 c 的 坐标，那么点 m 撇的横坐标是什么呢？他的横坐标就是点 c 的 横坐标 的二倍减去点 m， 所以 说零的二倍减去二。点 m 片的横坐标是负二，它的纵坐标也是 c 的 纵坐标二倍除以减去 m 的 纵坐标， 所以说二乘以二减去六等于负二，所以 m 片的纵坐标是负二。这样呢， 对比一下这两种方法，其实第二种方法更加的简单，所以有的时候多想一步他解析步骤过程都会更加的简单。在求出了点 m 撇的坐标之后，接下来的解析思路是固定的， 根据这两个点的坐标求出斜率，然后用点斜式求出直线的方程，将方程直线方程与抛线方程连立，同时两边乘以六，再移项，可以得到这个式子。接下来我们可能我们可以有两种选择， 第一种选择用十字相乘法，左边呢只能配一和三，右边负二十。可以分成好几种情况，一和二十，二和十，四和五， 我们发现只有四和五，三四十二，他们呢可以得到七， 所以是负四和正五得到这样的一个式子，进而呢得到 x 一 等于四， x 二等于三分之五。第二种情况是用伟大定律方程，它的两个根之和是负一分之 b， 也就是三分之七。 我们已经知道这两个图形的交点，一个是点 p， 一个是点 b， x 二，它就是点 b 和点 p 的 坐标， 它俩相加是三分之七，所以点 p 的 坐标呢，就是三分之七，减去点 b 的 坐标，也就说减四等于负三分之五。 这里的这两个方法，其实韦达定力更加的简单。那通过这个呢，我们可以总结一下，如果说一个一二次方程，我们要进行求解，如果我们已知它其中的一个根，我们可以用韦达定力，因为这样计算更快一点。 接下来该怎么办呢？我们求出点 p 的 横坐标之后，接下来我们要做的就是求出点 p 的 纵坐标。我们也有两种思路，第一种带入直线方程，第二种思路是带入抛物线，它的方程很复杂， 很显然我们的第一种思路是更加简单的，我们代入直线方程，求出点 p 的 纵坐标是负九分之十七。最终呢，我们这个题就可以写答，存在点 p， 使得角 p b c 等于四十五度 p， 点的坐标为负三分之五，负九分之十七，那这个题就拿到满分了。做完一道题，不要着急，接着做新题，你要去总结，你要问自己从这道题中学到了哪些数学思维？ 那么这道题呢，可以学到什么？第一个问题导向，我们做题的过程就是不断的向自己提问，不断的进行回答，提问回答的这样的一个过程， 你要发现出这个题目存在的一些问题，然后进行解答，当这些问题全都回答完毕之后，这个整个做题的思路就很清晰了。 第二个，我们学到的是我们做题要从特殊到一般，做完题要进行总结复盘，从特殊的一道题中提炼出通用的解题方法。比如说我们这道题，我们可以提炼出 做四十五度角，它的核心是构造等腰直角、三角形，而且将我们的定直线作为直角边，它的计算量更加的简单。 第三个，我们学到的要谋定而后动，就是我们要先有一个做题的思路，然后再动笔先打草稿，确保我们方向是正确的。有三点好处， 谋定而后动的。第一个好处，我们思考的角度更加的全面，防止我们一头扎进计算中而忘了分类讨论，漏掉了情况，丢掉了该得的分数。第二个好处，如果遇到一题多解的情况，那我们可以把所有的方法都列出来，预估一下他们的计算量， 从而使用更加简单的方法提高自己的计算效率。 第三个好处，我们先分析解析思路，确保方向是正确的，计算是误，误的话一定能够算出答案， 这样的话我们可以建立对题目的掌控感，如果养成习惯，就可以建立我们自己的答题自信，有助于我们在考场上正常发挥，甚至超常发挥。如果你在学习初中数学的过程中有一些疑问，可以在评论区向我提问。

好，同学们，我们一起来看一下这道题，这个是高新系五模的联考题二、函数，这个相似出的比较别致，当时有很多同学采用的方法有问题，导致考场上计算量过大，或者说算不出来，那今天我们为大家介绍两种方法。我们先来看第一种方法， 第一问的表达式已经给大家写出来了，我们就不再求了，直接看第二问，第二问，他说 p 是 函数在第一象限内图像上的一个点过点 p 做了个 p q 垂直于 b c， 那 么永远有这个叫 p q c 等于九十度连接了这个 p c。 如果以 p q c 为顶点的三角形与三角形 a、 b c 去相似的话，那么求点 p 的 坐标， 那在这里呢？ p q c 始终是个直角三角形，其实也在间接的告诉我们， a c b 一定也是一个直角三角形，所以在做这道题的时候，大家一定要利用这个勾股定律的逆定律去推出这个角 a c b 是 九十度，这个一定是有分的一个步骤。 接着呢我们来看，那在这个三角形里还有两个角，一个是角 p， 一个是角 q c p， 那 这两个角呢，都有可能跟这个角 a 和角 b 分 别对应，我们就可以由减到南来看一下，那优先呢，我们让这个角 p c q 如果等于角 b 的 时候， 这个时候我们会发现他们两个呈现了一个内错角的情况，也就是说此时的 c p 一定跟我们的 x 轴是平行的，那么点 c 的 坐标呢？是一个零到二， 我们就可以令 y 等于二，直接求出点 p 的 坐标。这一步基本上如果观察仔细的同学都可以完成并算出来，那那就是我们的第二种情况，就是当我们的这个 p c q， 也就是这个角，它不再等于角 b， 而应该等于这个角 a 的 时候，那这个时候我们要如何求出此时的这个点 p 的 坐标呢？ 我们来把角给大家标一下，我用相同的颜色去标相同的角，我希望大家在做题的时候也能养成一个标角的好习惯，那么到此为止呢，我们把所有的相同的角已经给大家区分颜色标好了。 第一个想要给大家介绍的方法叫做一线三垂直，因为呢在这里我们的这个 c q p， 它始终会出现在这个 b c 直线上，那么一直会有一个悬空的直角出现，我们一直在强调有悬空直角，我们就去做这个一线三垂直， 我们不妨过这个点 q 去做整个 x 轴的一个平行线。那么做完这个平行线以后呢，我们来看一下，在这里面我们多出了一对同位角，也就是这里的 c q m， 它呢也是等于角 b 的， 都是等于红色的角，那在这里呢，因为我们的 abc 坐标呢，全都知道， 所以我们这里隐藏了一个条件，就是我们的这个红色角，它的三角函数值，我们会发现在大的三角形 b o c 中呢，它同样也满足一个一比二的关系。 实呢，我们在设好这个一线三垂直以后，不太建议大家按寻常的方法去设点 q 的 坐标，我们更好的一个做法呢，是去设这个边的长度，因为这里刚好是有固定比的，那如果说这个 c m 长度为小 m 的 话， m q 的 长度呢，就应该是二倍的小 m， 然后接着呢，我们可以根据一些关系把其他的边也给设出来，那么 c q 边的长度就应该是一个根号五 m， 那 我们会发现 c p q 这个三角形也是有红色角存在的， 它依然有一个这个一比二比根号五的关系。那么当 c q 是 根号五 m 的 时候呢，我们的 p q 就 应该是二倍根号五 m， 在 这里我们没有动它这个图就是有同学如果觉得这个边长让你看着不舒服，你就画一个标准的图， 把 q 的 位置往这个上方挪一挪，这样子你可能看起来会更舒服一点。那有了这个角以后，接着呢，我们来看我们刚刚的一线干垂直，还可以把这边也顺带标上，那同样的呢，对于这个三角形 p q n 来说，它呢也满足一个一比二比上根号五的一个关系， 所以说我们的这个 q n 呢，它的长度也应该是二 m p n 的 长度呢，它就应该是一个四倍的。好了，那截止目前为止呢，我们就把这个对应的线段的长度呢，都给大家表示出来了，那就不然会看不到我们的点 p 的 坐标，此时就可以用我们的小 m 来表示了。那么点 p 的 横坐标呢，就是二 m， 再加一个二 m 是四 m， 然后点 p 的 纵坐标呢，是这一段四 m， 再加上我们的下方，下方这段长度呢，跟这个 m o 是 相等的，我们整个的 o c 是 二，所以 m o 呢，就是一个二减去一个 m， 嗯，那就意味着我们整个 p 点的这个纵坐标就应该是一个三 m 加二， 那么有了这个点 p 的 坐标以后呢，我们把这个 p 的 坐标带进二次函数解析式就得到了三 m 加上二等于负二分之一乘以四 m 的 平方加上二分之三乘以一个四 m 再加上以二，最后大家可以解得这个 m 的 值 等于八分之三，所以 p 点坐标呢，就是二分之三到八分之二十五，这个呢就是我们第二种情况的第一种方法。那么接着呢，我们再来给大家介绍一下第二种方法。

同学们，今天我们来学习二次函数与角度问题。第八课时，大家可以暂停几分钟看一下题目，或者尝试做一做，等会再看我的讲解。现在我来讲讲这道题怎么解。 如图，角 c、 f、 b 等于角 b、 c、 o， 所以 角一加角二等于角三加角四。 又因为角一等于角三，所以角二等于角四。我们知道两个角相等，要么正等腰，要么正全等相似。此时不难发现，角二所在的三角形 f、 b、 d 与角四所在的三角形 c、 b、 f 有 一个公共角，因此这两个三角形相似，列出对应边的比，再根据两点距离公式代入数据，就可以得到 f 点的坐标了。