济南一模数学16题几何法

hello， 同学们，大家好，咱们在一块看一下二六年济南市市中区初三数学一模题里边的最后一道大题，也是咱们的话几何压轴题 啊。当然了，这个题目还是有一定的小难度的哈，不是，并不说咱们一些常规的一些考法哈，相对来说就是和咱们以往的大多数的考法稍微有一点小小的不一样的地方哈。 来，咱们一块看一下第一位，第一位的话在什么东数学课上，然后这一只 abc 是 一个等腰直角三角形，然后的话得 b 绕点得再给他 啊，顺时针给他转了个九十度，然后让他们去找 c e， c d 还有 a d 之间的一个向量关系，他给了个解的思路，在 b c 上截取了一点 f， 使得 cf 等于等于 b， cf 等于 a， d 这段长等于这段长，对吧？然后的话，很明显第一个空就是 c 的 等于啊， b f， 对 吧？ 因为 c a 的 和 c f 相等， ac 就 等于 bc 相减就可以了哈，然后的话，最后咱就挣出来全等，所以说就可以搞定了。 c f 加上 c， 这地方就出现了 c， f 加上 c f 方，加上 c 的 方就等于的 f 的 方。因为 c 的 f 是 一个等腰直角三角形吗？对吧？ 因为 c f 等于 a 的， 换一下 c 的是 c 的， 得 f 是 不是又等于 c e， 对 不对？都给它换出来，就换成了 a 的 方加 c 的 方等于 c e 方，为什么换这个？因为题目中要找的是 c e a 的 c 的 之间的一个关系吗？对吧？ 这个的话，第一位非常简单哈，来再看第二位，第二位的话，呃，这个题的话难度也不是很大哈，还是说并不是咱们常规的一些考法，咱常规的考法可能会考到一个手拉手模型，然后正全能，对吧？两个等效值公屏键旋转吗？对吧？但是这个的话，所以说我刚才说了，这个并不是咱们常规的一些考法哈， 然后类比分析，所以说的话，你看这个题，当时可能就有同学就想着连接 a e， 因为很多同学就熟悉啊，为什么连接 a e 啊？因为连接 a e 之后，大家会发现三角形 a e、 c 和三角形得 c b 全等，对吧？但是你会发现和咱要求的 e f 方加上得 f 方加上等于两倍的 c f 没啥用， 对不对？所以说的话，这个地方的话就刚才说到了，考的不是很常规的一道题啊，然后如图三，在等腰直角三角形中， a、 b、 c 是 一个等腰， a， c、 b 是 九十度，对吧？很明显 ec 的 也是一个等腰直角三角形，对不对？ 一 c 的 也是一个等腰直角三角形啊，所以说的话，咱们会发现他们的话都是等腰直角三角形，对吧？那怎么办？和上一问的话肯定很像，对吧？上一问的话是截取了一段长，对吧？等于谁，对吧？那所以说咱们在这一个问里边的话，也得需要模仿第一问，对吧？ 学以自用嘛，对不对？类比贪赃嘛，对吧？模仿，然后我要截取，有点啥呢？很明显这地方的话又构造出了一个新的制药才行，为什么？因为咱们要去求的是 e f 方加上得 f 方等于两倍的 c f 方嘛，对吧？所以说的话，我要把 e f 方还有得 f 方给它凑一块，这样才行， 对不对？你看啊，他上一个位是截取了一个 a 的， 等于 cf 在 b c 上截取了一对，对吧？那这一块咱也在 b c 上给他截一下，截谁呢啊？我这个地方我就因为，因为这地方的话他还要正全等，是吧？因为第一位也就全等，很明显咱还用上角一 角二，为啥呀？角一加角三是九十度，角二加角三是不是也九十度？是不是典型的手拉手，对吧？角一等角角二，那这样的话，那我就想着是角一等角二，而且的话 c e 是 不是还等于 c 的， 对吧？那我是不是就差个 cf 了？那我在 bc 上我截取一段 m 吧， cm 我 使的 cm 等于 cf， 那 么我再连接的 m， 大家看一下啊，我连接起来之后，它这样的话，大家会发现三角形 e c f 这个三角形和的 c m 这两个三角形是不是全倒了，对吧？角一等于角二，角相等， c e 等于 c d 我 写在这边 c e， c e 等于 c 的， 这是咱能知道的，对吧？角一等角二是咱已经求出来了， c f 等于 c m 是 不是我截取的，对吧？所以这两三项是不是全等了？大家看，这时候的话，那 c e 等于 c 的， 不用管他了，那 e f 跑哪去了？ e f 是 不是就能等于的 m 了，对吧？全等吗？是不是？哎，这样的话的 m 和的 f 是 不是就给他放在一块，就 e f 和的 m 放在一个三角形里边了？所以说，那我这时候我再去连接 fm， 对吧？哎，那这样的话，大家会发现三角形得 fm 都出现了，对吧？ fm， 哎，看着像个斜边，对吧？那我如果能挣出来得数是直角就行了。角， 我再给他标个阿拉伯数字，给他放大一点哈，这样为了我好写过程哈。这地方是角是很明显是不是等于四十五度？ 角四是不等于四十五度？为啥呀？因为三角形 e、 c、 d 是 一个等腰直角三角形，对吧？角五全等是不等于角 e 是 不也等于四十五度？所以说角 f d m 是 不是等于九十度？三角形 的 f m 是 不是一个直角三角形，对吧？那很明显的， f 方加上的 m 的 平方是不是等于 f m 的 平方，对吧？ f 方不用管他，因为咱要知道要求的这个得 m 是 不是等于 e f 的 平方，对吧？那 f m 是 不是要找到和 cf 的 关系？很明显， cf 等于 cm， 那 fm 的 平方它是不是就等于 cf 的 方，再加上 cm 的 方， cf 和 cm 相等，所以就两倍的 c f 的 方，那所以说的话，这就挣出来了，对不对？还是用了一个核心的思想叫做模仿，对吧？上一位也是给他截取了一段，这一位也给他截取一段，对吧？怎么截？很明显这地方截了个全能，对吧？借助于题目中给他条件就给他截就很容易了哈。 来，再看第三位，第三位的话学一直用这一位的话，关系密，不是和上面的话不那么密切了。为什么呀？因为上面的话都是等腰值，对吧？下边的话你会发现，哎，这个平时有个六十度， 按照咱们的那个以往的这种经验来看，那前面是等腰直，下面给了六十度，那有两种情况，要么是三六九，要么是等边，对吧？因为他得特殊一点的才行啊，对吧？ 来咱一块看一下啊。 ab 等于六， a 的 等于十角， b 是 六十度，哎，这角是六十度，角的是不是也是六十度，对吧？角 eaf 这角也是六十度，哎，这么多六十度，是吧？ 然后，呃， a e 等于二根七，哎， a e 等于二根七，大家看一下哈，角 b 是 六十度，所以说我就想着过 a 往下做条垂线， a e 也是，也能搞定，也能知道，对吧？那做垂线垂足假设为 m， 那 么我就能知道 b m 等于三， 对吧？为什么用角 b， m 是 三十度，三十度，所以角面斜边一半，对吧？那么 am 都等于三根三， am 三根三，这个 a e 是 二根七，所以说 m e 是 一， b e 就是 四，那 e c 是 六，哎，又出现了个六，是吧？ 又出现了个六，那这样的话，咱们要去求得 f， 哎，得 f， 大家会发现得 f 在 这有六十度，那我如果能找到一个三角形和 a 的 f 相似，那这个问题是不是就搞定了， 对吧？大家会发现，那这的话怎么用呢？啊？咱现在知道长度了，那我把这个，因为我为什么要把这个图给他删擦一下呢？哈，也不能说删掉擦一擦，为什么给他擦一擦呢？是因为大家别忘了，这地方还有一个很明显的就是角一加角二是不是也等于六十度， 对吧？角一加角二也等于六十度，哎，角一加角二等于六十度，为什么呀？因为角 b 等于一百二十度，角 b 等于六十度，对吧？同胞内角互补，两两直线平行，就同胞内角互补，对吧？角一加角二等于六十度，那么我如果这地方，你看哈，角一加角二等于六十度，我如果能出现， 哎，这些角就行了，对吧？那我如果过 e， 或者说我在这个 a 一 上，我取一点 q， 使得 a q 等于二，那么 b q 是 不是等于四？因为 b e 是 不是也等于四？那么大家看一下三角形 b e q 是 不是就是一个等边三角形，对吧？它是个等边三角形，那大家看一下这个地方， 我标红色的这个角，那么他和角一的相加角三吧，是不是等于六十度了？角一加角三是六十度，角一加角二也是六十度，角一加角二是六十度，角一加角三也是六十度，对吧？为啥呀？因为角一加角三是不是外角， 是不是角 b 一 口的外角，对吧？然后，所以说，哎，角二等角三了，对吧？角二等角三， 角二等于角三角二都要，但是这个角得和角一不相等，角一也不等于六十度，对吧？咱模仿一刚才的方向，看看这得数能不能再照个等边三角形。我在 f 处这边这边，然后我再照个等边三角形。 这地方的话是 p 吧，大家看哈，我在使得在 a 的 上取点 p， 使得角的 p f 也是六十度，那么的 p f 是 不是等于三角的？那我求的 f 的 长，是不是求 p f 的 长，对吧？ 大家看一下此时角二等于角三，大家会不会发现，角四加角二，哎，也等于六十度啊，是吧？那么所以说角四是不等于角一，角二等于角三，两个角相等，那么我就这幅相出来了，这两个三角形 是不是就相似了，对吧？而且相似了之后，大家会发现，咱们三角形 a q e 三边长都是已知的， a e 是 二根七啊， a q u 是 二， q e 是 四， 对吧？然后呢？ af p 这个三边都不知道呀，那我求的 f， 我是 设它为 x 的， p 也是 x， p， f 也是 x， ap 是 不是十减 x 了，对吧？对应边乘比例就行了呀。 十减 x 比上四对吧？等于 x 比上二对吧？对应边乘米的就把它搞定了。交叉相等四 x 等于二十减二 x， 那 六 x 等于二十 x 等于三分之四，那么得 f 就 等于三分之四，就把它给它搞定了哈， 对， f 就 等于三分之四哈。所以说的话，总的来说，这个题的话就是辅助线比较多一些，辅助线比较多，所以说不是那么好写，对吧？就是构造了一个啊相似，进而就能求出来了哈， 其实的话，就和上面的话相对来说的话不是那么一样的，就上面的是正的是相似啊，也相当于截线段了吗？截线段构造出来等等，边三也行，那边是构造出来直角三也行啊，所以说的话也是有一定的类通的。 当然哈，在做这个题的时候，在想到这个方法之前，我更多的第一想法，因为我第一想法的话，我不是这样做的。第一想法，我是给大家在相对的简单的说一下，我是想的是解析 间隙的话，但是有个坏处，因为我自己在亲自算的过程中发现这个计算量有点大啊，所以说就想，哎，能不能再去弄一些相对来说简单点的方法哈，但是这个间隙的话比较思路比较简单，对吧？怎么建呢？很明显，我就过 a 向 b， c 这条垂线，我就以它为外轴， 为啥与它为外轴？因为角 b 是 六十度，对吧？它是六，刚才说了，这是 m， 这地方是三，这是一，这是三根三，这是二根七，对吧？然后我就以 bc 至少在的直线为 x 轴，对吧？那我求得 f 的 线段长，那我把得点和 f 的 坐标表出来不就完了吗？对吧？得点坐标，很明显它是 a 的，是十，那就是十。逗号三根三， 这点坐标搞定了。我现在就是关键的要求 f 点的坐标，对吧？ f 点坐标怎么去求 c 点坐标的话，这地方是六，那他就是七六零，对吧？那我要去求 f 坐标，那就求 af 的 表达式和 c 的 表达式连力就行了， 这就是咱的一个方向， af 的 解一式，还有 c 的 解， c 的 解一式，很明显是不是能搞定？我把两个点带进去就行了啊。 y 等于 呃，根三， x 减去七根三啊。这个的话我就不不强行的就算了啊。现在关键是求 a， f 的 表达式，对吧？ a f 的 表达式也能知道 y 等于 k， x 加上三根三， 对吧？现在关键的就是求这个 k， 对 吧？很明显，求这个 k 的 话，怎么去求他？就就是这条直线的 k 值，就是这条直线与 x 轴加九的正弦值，对吧？ 这个角 a f a 的 是不是相当于 l 轴？因为它和 l 轴平行嘛，它们加角就相等。我就是这个 alpha， 我 就要求 tan alpha 的 正弦值，对吧？那 k 的 绝对值等于它，因为它经过了二次相线，所以说 tan alpha 的 加反数就是这个 k 值， 那这个 r 法怎么去求，对吧？很明显大家会发现这地方，我给他标一下，这地方是角一角二，角一和角二的和，再加上 r 是 不是等于九十度？那么我只要能把角一角二的和的正切值求出来就可以了。探角一 很明显一比上三根三等于九分之三，对吧？探角二 明显啊，他等于六十度，那是不等于根三，对吧？因为角二等于六十度啊，对吧？那所以说探括号里角一再加角二，他用个和差公式就行了，那就等于探角一加上探角二，再比上一减去探角一乘以探角二，对吧？ 他等于九分之根三，再加上根三，再除一个一，减去九分之根三乘以根三，对吧？分子的话是九分之十，根三分母的话是九分之 三，一减九分九分六，三分之二，对吧？那这样的话就能三分之二，那就那就是九分之十跟三乘以个二分之三，对吧？一五，然后一三，他等于三分之五跟三，对吧？ 这个角一和角二和 r 法，角一和角二的核和 r 法是不是互余的，对吧？那所以说探 r， 那 就等于它的倒数，那就等于三比上五根三，那就等于 五分之根三，这就是探值啊，对吧？那 k 值呢？ k 值那就等于它的相反数，那所以说它就等于 负的五分之根三。 x 再加上三根三，那么他俩连立是不是求出 f 的 坐标来了？求出了 f 的 坐标之后呢？再用两点间距离公式，那就把得 f 的 长就给他求出来了啊，那得 f 的 长一求出来也是三分之四啊。只不过是这个方法的话，相对来说思路很简单， 但是的话，他就有一个问题啊，就一直在强调的问题，他就是是那个计算非常麻烦，你一步出错，那这个题就可能做不对啊。当然了，这个方法的话，大家一定要掌握它，为什么？因为这个方法就是 你会发现他思路很简单，对吧？你就只要计算不出错，基本上这道题就能做。对啊，两个不同的方法，一个是 啊，几何法，纯几何法。纯几何法就有个难点，就是做辅助线比较困难。但是他有个好处，计算量小。间隙法呢？他也有坏处和好处，坏处就是计算量大，好处就是好想啊，大家的话尽可能把这两道方法都给他掌握掉啊。掌握了。

同学们大家下午好，我们现在来看一下这个函数以几何综合的一个题型。如图，矩形 o、 a、 b， c 的 边 o a， o a 是 在 y 轴，然后 o， c 是 在 x 轴。反比例函数 y 等于 x 分 子 k 的 图像经过矩形 o、 a、 b、 c 的 对角线的交点 d， 也就是说点 d 是 在， 也就说点 d 是 在反比的上的，然后前与边 a、 b， 然后 b、 c 分 别交于点 e、 f， 然后 e 跟 f 也是在反比的上的， 然后直线 e、 f 是 交 x 轴于点 g， 所以 e、 f 这根直线，它是 g 点，也在 e、 f 这根直线上。好，那我们来分析一下题。第一问是让我们去求 f 的 坐标，第一问让我们求 f 的 坐标， 第二问是让我们去求去证明 a、 g、 c 是 一个平行四边形。好，我们来看一下，目前我们是不是只知道这个低点坐标是四二，然后又在反比例上，我们用代定系数法把它带进去反比例的函数解析式里面，可以求出这个反比例函数，对吧？然后 一根 f 在 好，然后这又是一个矩形，我们又想到矩形的性质有什么？这是连好的对角线，我们去想矩形有关的对角线的性质是 对角线，互相平分且相等。所以点 d 是 不是 o b 的 中点 已经知道了 d 点的坐标，那我们根据中点公式可不可以求出 b 点的坐标来？好，那我们 b 点坐标求出来了之后，既然这是一个矩形，所以 b a 是 垂直 y 轴， bc 是 垂直 x 轴，我们可以求出 a 点跟 c 点的坐标。 这是我们的一个思路啊， a 点 c 点作坐标，知道了之后，呃， b、 c 是 垂直歪着的，那也就是说 f 的 横坐标跟 c 点的横坐标 是一样的，对吧？好，然后 f 又在反比例上，所以我们可不可以把这个 f 点的坐标求出来呀？那同理，其实 e 点也是一样的求法，所以目前很多点都是可以求的， a、 b， c， d， e、 f 这些点目前都是可以求出来的。那我们来写一下求的过程。 因为四边形 o， a， b， c 是 矩形，所以 o、 b 会等于 a、 c， 然后 o， d 等于 b， d 等于 a， d 等于 c， d 好， d 点坐标是四二， 根据中点公式可求出 d 点坐标是八四。好， 又因为它是矩形，所以其实我们嗯 角 o， c， b 是 等于角 o， a、 b 等于九十度的，所以我们可以知道 c 点的坐标是八到零，因为 c 在 f 轴，然后 a 点坐标是零四。好，我们也可以写一下。 好，刚刚说了， d 在 反比 d 上，我们把一四二带入 y 等于 x， 分 之 k， 求出 k 等于八，对吧？所以反比 d 的 函数解析式是 y 等于 x， 分 之八。 我们可以假设 f 点坐标是它的横坐标，跟 c 点的横坐标是一样的，我们可以假设它点的坐标是八到 m 加 f 八， m 带入 y 等于 x 分 之八， 求出 m 等于一，所以 f 是 等于八到一的。好，那其实同理，我们知道一点坐标是可以假设它是 n 四，对吧？因为一点的纵坐标跟 a 点的纵坐标是一样的，然后也可以求出一点坐标是二四。等下可以求啊，因为第二问总会用上，对吧？好，然后目前我们 目前我们知道哪些点知道 a、 b， c， d， e、 f 都知道，对吧？那还差这个距点，距点是在哪里啊？距点是不是相当于是 e f 与这个直线？ e f 这个直线它与 x 轴的一个交点，所以我们求 x 轴交点，就我们可以先写下，是吧？如果我们要求几点，就相当于是呃 y e f 与 x 轴交点，然后我们要令 y 等于零，对吧？这是我们等下的一个思路啊。第二问，第二问是要证明它是一个平行四边形，那这里考的也就是平行四边形的判定。首先我们可以梳理一下平行四边形的判定，它有五个判定啊， 看左边这笔梳理一下，首先第一个是两组对边分别相等，第二个是两组对边分别平行， 第三个是一组对边平行线相等，第四个是两组对角分别相等。 好，第五个是对角线互相 平分。好，那我们先把第一问的过程先清屏清一下，先，等下我们已经把一些点的坐标都已经写出来了，然后这个函数解析式等下我们也可以记一下，因为第二问也会用上。好，我们可以先来看一下，我们要证明 a e g c a e g c， 它是一个平行四边形，我们目前是已经知道了 a o b c 四边形， a o b c 是 一个矩形，对吧？那所以我们是可以矩形的对边会平行，所以目前是可以知道 a b 是 平行 oc， 也就是说 a e 是 平行 c g 的， 对吧？这是目前已知 a e 是 平行 c g 的。 好，那我们来看一下这五个判定里面跟平行 c g 的。 好，那我们来看一下这五个判定里面跟平行，所以我们现在已经有一组平行了，我们就要去正， 我们要正另外一组平行，也就是 a c 会平行 e g。 好， 这个时候一组对边平行且相等了，所以我们这里是已经有一组平行了，对吧？那我再证明他相等，所以这里是要正 a e 会等于 c g。 嗯，目前这里没有太多的去提到角对角啊，很难去正对角相等。这两个对角相等，所以我们第四个我们不去考虑。第五个是这个题目都没有去连对角线，所以对角线互相平分这个证明方法在这个题上我们也不用去考虑。 ok， 然后对边两组对边分别相等，我们要去求出边相等的话，计算来讲会有点复杂，所以说我们这里也不考虑。好，那我们就从第二个、第三个去入手，也就说现在先考虑两种方法，所以这个题是不是涉及到一个一题多解 好。呃，我们现在目前要证另外一组平行，那我们要证明平行是要什么？内错角相等，然后呢？同位角相等，同旁内角互补，对吧？ 内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，但是这个是属于几何的内容，目前我们角度的信息是比较少的，然后也不好去证明，所以我们再去想在函数里面涉及到平行的，有一个内容是，我们知道如果说把一个函数什么往上平移，或者说左右平移， 他是不是都是平行的，平行平移完了之后，他的 k 也会相等，所以我们知道一个支点叫做两直线平行 k 相等， 在函数里面哈，两直线平行 k 相等，所以我们可不可以去 去求出直线 a c 来解析式，然后求出直线 e f， 也就是 e g 的 解析式，看一下它们的 k 会不会相等，如果 k 相相等的话，所以就挣出了平行。好，那这个方法我们可行啊。然后第三个是，我们要证明 a 一 是等于 c g 的， 目前 a 一， a 点坐标是零四，一点坐标是二四，所以 a 的 长度是二，对吧？ 那 a 的 长度是二的话， c 点坐标。我们知道，我们现在是不是要求 g 点坐标，刚刚也说了，求 g 点坐标是 y， e， f 就是 直线 e， f 与 x 轴的交点，我们要令 y 等于零，所以 g 点坐标也是可以求的。求出来了之后，如果我们得出 c， g 也等于 a 一 等于二，那我们这个判定我们也是可以可以用的。那既然思路知道的话，我们先把第一种写了先啊， 我们先写第一种来写下证明过程。上面这个说已知，虽然说我们目前知道它是已知啊，但是我们是不是也要写一下是怎么证出来的呀？好，因为 四边形 oabc 是 矩形，所以 ab 平行 oc， 那 也就是 a 一 会平行 c g。 好， 我们假设直线 a c， 解析式为 y， a， c 等于 k， e， x 加 b， e， 把两个点代入，把 a 点零四，还有 c 点是八零代入。那这个证明过程我们先简单的写，我们就直接求出 y， a， c 等于负二分之一， x 加四 e， f， 我 们是不是要求啊？我们假设 y， e， f 等于 k 二， x 加 b 二，然后把一点一点是二四， f 点是八一带入，求出 y， e， f 等于负二分之一， x 加上五， 所以目前我们是不知道 k， a， c 等于 k， e， f 等于负二分之一，所以 a， c 是 平行 e， g 的， 对吧？ 然后再结合，且 a、 e 是 平行 c、 g 的， 所以什么所以 四边形 a， e、 g、 c 是 平行四边形。这第一种方法，第二种方法我们要去证明 a、 e 是 等于 c、 g， 所以 我们要求出 g 点坐标。那刚刚我们是第二种方法，我们也是简单的去写一下啊，我们是不是已经求出了 y、 e、 f 等于负二分之一， x 加上五啊？我们求点 g 要令 y、 e、 f 等于负二分之一， x 加五等于零，所以 x 求出来等于十，所以 g 点坐标是十到零，对吧？那此时 c、 g 是 不是等于二啊？然后是不是也是等于 a 一 的呀？那我们现在一组对边平行且向的人，我们且 c、 g 是 不是等于 a 是 平行 a 一 啊？ 所以我们也可以证出来它是一个平行四边形。那有没有其他的方法呢？做其他的方法的话，我们 其他的方法我们想要去证明平行，还有个思路哈，我们可以用相似的方法去证。首先 a 一 是知道的，那一 b 的 长度是几啊？一 b 的 长度是六， b、 f 的 长度是三，因为这是一嘛，所以 bef 跟 bac 这两个三角形会相似，因为 两边对应成比例，加上他们的夹角都是九十度，所以正出来了，他俩相似，那相似，所以这个角跟这个角是相等的，这里是属于同位角，同位角相等，两直线平行，所以第三种相似的方法我们就不展开来写哈，那么这个题先讲到这里，谢谢大家。

下面我们看一下二零二六章丘一末的最后一个几何压轴大题，就是这个二十五题。 嗯，上面有一段话，就是说旋转、平移和对称是一种研究图形的方法，所以第一小问呢，就是讲旋转，嗯，然后这个角是四十五度。 第一想问的是我们常见的一个几何模型，叫做半角模型啊，这个角四十五度，然后呢把这个小三角形，嗯，旋转到这个位置，下面来证这个三，这两个三角形全等 转过去之后呢，这个边等于这个边，然后公共边这个角是四十五度，所以这个角加这个角是四十五度，那这个角转到这个地方来，所以这个角的是四十五度， 所以这样 s a s 啊，就三角形全等。注意的是什么呢？你旋转过来之后呢，需要正一下这个 m a e f 是 贡献的很好，正这个角九十，这个角也九十，转过来这个角九十， 所以这是这说明贡献，说明这是一个三角形，然后刚才 s a s 正出全等来， 这样第一小问就成成立了，是吧？第二小问，这个圈啊，这个长度是五，这个长度是十二，计算 abcd 的 周长，然后那样勾股定底，马上能求出这个边长度是十三。 根据这个已知条件啊，就根据第一小问，我们正的这个加这个就等于它，所以这两个相加就是十三， 它两个相加是十三，然后再加五和十二，不就是正方形周长的一半吗？ 是吧？十三加上五，再加十二，十七，再加上就是整个的就是三十啊，三十乘以二，所以周长就是六十。好的，这是第一小问，然后看一下括号二， 告诉我们呢，是在这个图二当中， a、 e 和 c、 f 相等， 嗯，这样的话，这两条线还平行，说明这就是个平行四边形，然后这个角度还是四十五度。 我们来猜想 a， m， m， n 和 n c 的 关系，方法已经有了，是吧？因为就是图一的方法，因为这个角的度数还是四十五度呀，所以下面旋转，旋转这个三角形， 因为旋转必须得有边向的，这两个边向的，所以正合适。嗯，转过来，嗯，我们把 bnc 转过来， bc 转到 c 转到这个位置，然后呢， n 撇大约是在这， 然后下面我们看，嗯，这个角度四十五度，这个角加这个角就是四十五度，这个角转到这里，所以这个角就四十五度 啊。 b， n 等于 b， n 撇公共边，所以下面要连接这个 n 撇 m， 这样我们就马上证出来这两个三角形是全等的。 s a s 边角边 全等之后， m、 n 的 长度就等于它，此时 n、 c 的 长度就等于这个边， 所以我们下面只需要证明一下这个角度是九十度就可以了。嗯，那这个角就和这个角相等，所以这个角和这个角是互余的， 而这个中间我们说了，它是个平行四边形，所以这个角它是和这个角相等，而这个角又和这个角相等，所以互余得到九十度。 这样我们就得出来，这个平方加这个平方等于它的平方，而这个边就是 n c， 而这个边就是 m n， 所以 关系就是 am 方加 c， n 方等于 m n 的 方。 好，这是前面的两位，难度不是很大，我们看一下第三小问，第三小问呢？是 啊，这个相当于是一个等腰直角三角形，嗯，因为这个角四十五度，这个角本来就四十五度， 然后把它旋转一定的角度得到这个三角形，所以这小的就等腰直角三角形，然后连接 d n， 取中点问这个 c e 和 c m 的 关系，嗯，它们两个的数量关系， 这里有一个等腰直角三角形，所以我们想就是要利用相似来解决。而等腰直角三角形最常见的方法就是手拉手的相似，你看这里也有个等腰直角三角形， 所以是不是很很合适的样子，感觉是吧？当然好像是和这个关系并不是很大， 嗯，哎，你看在这，这个和这个是小手，那这个和这个是大手，那这个三角形就会和这个三角形相似，是吧？哎，但是和我们这个 c e 啊关系不是很大，所以下面我们想， 嗯，怎么能和 c e 联系上啊，怎么能和 c m 联系上，而 c m 呢？在在这个三角形当中，所以我们想还是要构造等腰直角三角形，构成手拉手的相似， 所以可以怎么办呢？可以顺向的，就是相当于刚才把这个三角形旋转到下面来， 哎，这不就符合符合我们这个题目的意思吗？要旋转啊，所以 ab 正好是转到这啊，所以这个也要转到这个位置，那这个边上这来，是吧，这样这个三角形就转到了这里， 下面我们把负数线做出来， 哎，转过来，这个也是一个等腰直角三角形啊。 b a d 旋转到 b c d 撇 等腰直角三角形，这样的话，手拉手的相似就很容易构成了，是吧？哎，因为，嗯，这个和这个就是小手， 那 b c 和这个 b 的 撇就是大手， 所以下面连接一下 n d 撇，所以能得这个小三角形和这个三角形相似。这个角加这个角四十五，又加它四十五，所以这两个小角相等。嗯， 然后这个边比这个边一比根二，这个边比这个边也是一比根二，所以 b m 比 b n 就 等于 bc 比 b d 撇，只有两边对应成比例，且加个相等正数相似，所以 c m 和这个 n d 撇就是一比根二的关系， 嗯，所以它就是它的根二倍。那 c e 和 d n 撇的关系，哎，到这里就很明显了，因为 e 点是得 n 的 终点，而 c 呢，又是得得撇的终点， 所以这个是中位线啊，所以它俩之比一比二啊，所以这个就是一份，这个就是两份而的 n 撇啊，而 n 的 撇是 c m 的 根二倍，所以这个边的长度就是根二份， 所以它两个之比一比二。这样我们就挣出了这个题名，嗯，就是也要，嗯，通过旋转构造手拉手相似啊。因为这里已经有一个等腰直角三角形了，这里有一个，又有一个， 所以你你得想办法和 c m 有 关。 c m 和 c e， 所以 c m 恰好落在这个三角形中，所以想办法构造这样的相似，嗯，和这个三角形的相似。 当然这个题目也有别的方法，下面我们再介绍一个方法啊， 下面也可以怎么办呢？就是过点 c 往这个地方做垂线， 然后，哎，这不就也是一个等腰直角三角形吗？和这个小的等腰直角三角形构成手拉手的相似， 嗯，这样的话就连接 o e， 就是 这个小三和这个小三， 这个边和这个边之比是一个根二比一的关系 啊，那这条边和这条边哎，是不是也是跟二比一的关系？因为这个是，这个是中点，这样 o 也是中点，这个是一份，所以 o e 就是 三角形 d b n 的 中位线，所以 b n 的 长度就是二， 而 b m n 是 一个等腰直角三角形，所以它就是根二分，所以这样我们得到 b m 比上 o e， 就 等于这个 b c 比上 o c， 这样两边对应成比例就有了，那只需要正一个夹角相等。 好，我们看一下夹角相等，夹角就是这个角和这个角， 怎么正这两个角是相等的呢？看着好像是挺困难，但是样也不是特别难，我们只要把握它的本质啊，因为我们发现这个角的一条边是它 和这个角，它的一条边是 bc， 这两个角所成的角度是四十五度，而这条线啊，就是这个角的另外一条边，它和这条边所成的角度也是四十五度，而这条边和这条边是平行的， 也就是说这条边和这条边所成角度也是四十五度，所以说就是下面这个角啊，这个是角一，这个是角二吧，也就角一的两边和角二的两边所成角度是一样的。 这个我们在初一实验就学过，如果一个角和另外一个角的两边啊，这两个角的两边分别成的角度是一样的，那这两个角的关系就是相等或互，那显然这个相等，所以我们只需要怎么样呢？ 把他们的边的关系给显性化啊，所以我就延长这个 b m 和这个 o e 交于点 f 吧，这条线和这条线平行，所以这个角度和这个角度就相等。两直线平行，内错角相等，这个角是四十五度， 哎，这个角四十五度，那这个角也是四十五度，就是这个角是四十五度，那这个角也是四十五度，这两个角又对顶角， 所以我们马上得到角二和角一相等，哎，这不是一个八字形的相似吗？八字倒角，或者说蝴蝶形倒角是吧？这样我们得到角一等于角二，这样我们就挣出了两个三角二，这样我们就正数了两个三角二，这样我们就正数了两个三角相等 啊，所以最难的就是在这个岛角上还有构造这条浮线上啊，这样我们仍然是挣出了它们两个之比，是一比二的关系 好，这是这个题目的第二种解法，哎，感觉这个方法呢，比第一问的方法呢要稍微复杂一些，还是第一问的方法比较好，而且它还传承了这个前两位的旋转这样一个关系啊，就是上来我们发现这个小三角形和 这个小三角形是一种相似的三角形，哎，旋转相似是吧？但是不合适的在于 cm 这条边和 c、 e 这条边的联系并不大啊，并没有 把它们牵扯其中，所以我们哎通过旋转就可以把它构造到了手拉手相似当中来，从而解决了题目。嗯，所以这个题还是一个很不错的题目，哎，可以多去理解一下。好了，这个题目，这样我们就分享到这里。

大家好，今天跟大家分享的是来自于山东济南一模的填空的一个压轴题，也是一个非常经典的一个翻折问题啊，但这个翻折问题，他在求最值的时候啊，还是很有特色的，我们来看一下， 在矩形 abcd 中， ab 呢等于六， bc 呢等于八，那么点 e 和 f 啊，分别在 a d 和 bc 边上 将四边形啊 ab， 呃， fe 沿着 ef 做一个翻折点 a 的 对应点呢是点 h， 点 b 的 对应点呢是点 g， 然后告诉我们呢， 呃，恰好落在了 c d 边上，这个点 g 呢恰好落在了 c d 边上，然后呢连接 b h， 让我们求的是呢，三倍的 b h 加四倍的 ef， 最小的时候 f g 多长？ f g 等于 f b， 呃，他俩是相等的，实际上呢，就让我们呢找到一个 f 点，使这个 f 点呢正好能满足呢咱们这个三倍 b h 加四倍的 e f， 呃，这个取值呢会最小。 那么我们大家来分析这个问题啊，首先就是这个式子，两个线段前边都有系数，我们一定要想办法把这个系数呢给消灭掉。 然后呢，大家在这里头啊，注意观察这两个系数之间的关系，大家看三四六八好像正好成比例啊，它们之间会不会有一定的关联呢？ 哎，这个是呢，咱们在这里头啊，需要呢特殊考虑的问题，由于是一个翻折问题啊， e f 是 对称轴，所以呢，我们大家呢很难会能想到呢，把两个对应点呢给它联系起来， 那这个时候啊，他会与咱们的这个对称轴啊，形成一个垂直平分的这么一个关系。哎，那这个角呢，我们看啊，他呢对应的就是呢一个直角， 那么有了这个是直角啊，大家看我们这个 e f 与我们的这个 bg 啊，就满足了一个垂直的这么一个关系，那这个垂直会带来什么呢？这里头非常重要的一点啊，你知不知道呢？这个十字架模型， 十字架啊，在咱们这个矩形还有正方形翻折的时候非常有用，那像我们这个呢，典型的是一个矩形的翻折，这个时候啊，实际上呢，我们这个 b g 和 e f 之比应该等于四比三， 为啥呢？这个里头我们可以简单的证明一下啊，我过 e 点往 bc 上做一个垂线段， 那做完了这个呢，大家注意观察啊，我们呢，呃，这个角，这是一个直角角， c 呢，这也是一个直角，所以 f c g 加上呢，我们这个焦点 会呢构成一个四点共圆，当然你不做这个四点共圆，你去导角也能导出来啊，我们只是这样做呢，会方便一点。那这个四点共圆之后呢，我们知道圆的内接四边形，外角等于内对角，所以 e f p 这个角， 那么就应该和 b g、 c 这个角相等，再加上都有一个角是直角，那就能证明呢，三角形 b g c 与三角形啊， e f p 这两个三角形呢，应该是相似的，那对应边之比， b g 比上 e f 不 就等于 b c 比上呢？呃，我们这个 e p 吗？那就等于呢四比三。哎，这个结论呢，对我们来讲非常重要， 哎，我们要想办法呢，要能够把这个系数啊，要么给它去掉，要么改成什么呢？这两条线段的系数相同，然后我们发现这个 b g 啊，三倍的 b g 恰好等于四倍的 e f， 呃，这个结论呢，我们把它先给大家展示到这啊，三倍的 b g 等于四倍的 e f， 所以我们这个三倍的 b h 加四倍的 e f， 可以 想三倍的 b h 加 b d， 大家看，把系数提出来之后，只要括号里的最小就行了呗，你看，我们就巧妙地把这里面的系数给去掉了， 这个就是呢，咱们在这解题的时候的一个要领，哎，把这个系数给化掉，为啥能化掉？就因为 我们这个系数之比啊，恰好与我们这两条线段边长之比啊，那么是一样的。好了啊，那现在呢，变成了 b h 加上 bg， 我 们发现还是搞不了，为啥呢？因为这里 g h 都是动点， h 点的轨迹还不知道， 只有 b 点是一个定点。这个呢，我们不行，还是做不了啊，两条线段之合。但这个呢，能够让大家呢，呃，更快的会想到呢，我们想办法把它画成呢，两静一动，现在是什么呢？是两动一静，那怎么画呢？大家看啊， 我们其中的一条线段是 b h， 是 呢，原来的点 b 和 a 的 对称点 h 的 连线，那我们根据对称性啊，我们大家知道他一定与跟谁相等呢？跟 a 点与 g 点之间的连线距离应该是相等， 这是咱们对称的一个基本的一个性质啊，有翻折的时候呢，一个基本的性质，我们连接上 a g， 那么这个时候呢，我们可以证明出来， b h 和 a g 相等，那怎么证啊？大家可以证明三角形 b h g 啊与三角形啊啊， g a b 这两个三角形呢，是全等的，怎么证全等呢？用边角边，大家看这两个三角形都有 b g 这么一条边嘛， 都有一个公共边是不是？然后呢，我们这个 h g 和 ab 也是相等的，又要找了一条边，那再找假角呗，看这个角 h g b 这个角它等于九十度减去 f g b， 对 吧？再我们再看这个角 g b a 这个角，它等于呢九十度减去呢 f g f g b 和 f b g 是 相等的，所以啊，我们就可以证明这个三角形全等啊，全等之后呢，呃，这个结论就有了， 那这个时候啊，我们大家就可以呢把这个结论化成呢三倍的 b g 加 a g， 那 这个时候 a 和 b 都是定点，只有 g 一个是动点， 那么 g 又在 cd 的 这条线上运动，所以这个就是典型的一个将军野马问题。 那么下边呢，这个解法呢，大家都很熟了，我就快点说了，我们延长呢 bc 到点 q， 使 c q 和 bc 相等，然后呢再连接上呢 g q， 那 这个时候啊，我们这个 g b 和 g q 就是 相等的，哎，这是咱们这个对称的性质， 那么有了这个之后呢，我们就可以把原来的这个式子，我们就可以变成是谁呢？三倍的 a g 加 g q， 那 么 a g 加 g q， 我 们大家知道两边之和大于等于第三边，我们就想到呢把 a q 连上，那这个时候啊，当 g 点恰好落在 a q 这条线上的时候， 哎，就在这个时候，我们呢就能够取得咱们的对应的我们要求的这个数值最小值，其实这个时候呢，就是 a g q 三点共线的时候最小， a g 加上 g q 最小，那这个时候呢，三倍的 b h 加上四倍的 e f 也最小，那这个时候大家注意，由于 c 啊是 b q 的 终点，所以这个 g 啊，也一定呢就是我们这个 a q 的 终点， 那么所以啊，我们这个 c g 呢，他就是一条中微线，哎，他呢就长度就应该等于 ab 的 一半啊，那当然是终点时候，你说等于 c d 的 一半也行啊，这就是一个一半的问题了，那么下面要求谁？大家看我们要求这个时候的 f g 的 长度， f g 在 这呢，他和 f b 相等，那咋求啊，这个时候没什么好办法啊，列方程是最简单的， 我们呢可以呢设这个 f g 等于 x， 那 你这个是 x， 这个不就八减 x， 这是三吗？那就可以解勾五定里就行了，那我们会有呢， x 的 平方等于八减 x 平方加三的平方， 这个方程看着挺复杂，实际上 x 方能约掉，这是一个一元一次方程，非常好解，解出来的 x 等于十六分之七十三， 这个呢也就是咱们呢对应的这个 b g 啊，它的一个 f g 啊，它的最后的一个取值，哎，当 f g 等于十六分之七十三的时候，三倍的 b h 加上四倍的 e f 就 最小了，这就这个题啊， 这个题呢，我觉得还是有一定的难度的啊，给了四星，大家还有什么好的办法？欢迎呢大家分享到评论区，咱们今天分享这个题啊，咱们就讲到这。

这是一道今年刚考过的西城一模的几何综合，百分之九十的同学啊，都做不上。好朋友们，我们来看题啊，在这样的一个三角形 a b c 当中，他告诉我说这个角是 r 角 b a c 这个角就是这个角， 它是 r， 然后呢， ab 等于 ac， 也就说这个边长和这个边长它应该是相等关系，是一个等腰三角形啊， 然后 c d 垂直 ab， 也就说这个角度，这里边有两个直角三角形 c d p 和 c d b 这个三角形 过点 b 去做一个 b m 和 ac 平行，那么朋友们一定要注意啊，这里边有平行，平行能干嘛呢？平行可以去倒角之间的关系，所以你看一下描这个角的两条边，然后呢，你再描这个角两条边，描边来描这个角两条边， 再描这个角的两条边，描边描边，描共线边，所以这两条线它也应该是互相平行的关系，那我能够知道这个角它也是 r， 对 不对？ 好，接下来咱们来继续啊，它做一个角 c a、 q 这个角，也就说现在我能够知道角 c a、 q 就是 这个大角， 它和谁呢？它和咱们的这个角 c p、 d 应该是一个啊，就是相等的关系，就是角 a p c 啊，也是咱们的这个角 c、 p、 d 是 同一个角，所以这个角呢，我们可以设它是 beta 角，那这个红色的就是 beta 角，然后我就可以立马表示出这个叉角，它应该就等于咱们的 beta 减去一个 alpha。 好，接下来我们来继续啊，那么根据这两条直线应该是互相平行的关系，所以这个角我们是也能标出来，应该是一百八十度减去一个贝塔，我们再来看他，第二问让我们干嘛？他说 e 点是这个 a p 的 终点，那终点的话， a e 这个线段应该和我们的 e p 这个线段是相等的关系，因为它是一个终点嘛， 然后让我们用等式表示 d e 和 b q 之间的数量关系，那么两条线段之间的数量关系，它有几种情况呢？同学们，你想想，要么就是相等的关系对不对？ 除了相等还有二倍的关系，要么就是跟二倍的关系，要么就是跟三倍的关系。所以到底是什么关系呢？我们可以采用先猜后正，所以呢，你拿尺子量一下，量完之后呢，我们发现正好是一个二倍的关系，是两个 d e， 然后他应该等于的是一个 b q。 那么接下来关键问题是，我如何去证明呢？朋友们，我们之前已经做过很多类似的题目，就是当我们遇到直角三角形的时候，你要勇于去把它翻折。 所以呢，你看这里边有两个直角三角形，一个是三角形 c d p 这个直角三角形，还有一个是三角形 c d b 这个直角三角形。那有同学有疑问了，我到底翻谁呢？那你肯定翻跟这个角 b 的 有关的这个三角形，这样的话我就可以去转化角， 所以接下来我们把这个三角形给它翻过去。朋友们，那你的辅助线怎么写？是不是延长咱们的这个 p d 啊？然后呢，跟咱们这个有一个交点，比如说咱们就交于这个 m 一 撇，那下面呢，我能够知道 dm 撇和这个 d p 应该是相等的，所以你的 beta 角它就被转化到这个位置上，它就是 beta， 那 是不是这个角立马可以表示一百八十度减去 beta？ 好， 同学们啊，当你写到这个位置的时候，你会发现一个事情，就是这里边会出现全等啊， 因为咱们北京中考的二十七题，主要考你的就是全等啊，基本上都是全等，当然啊，有时候也可以用相似做，所以你是不是发现这个三角形，它和这个三角形，你看它俩啥关系？有一个边 ac， 这个有个边 ad， 然后呢？你还有角，你看有 alpha 角，那这个是这个是一个 beta 减去 alpha， 然后呢？同学们，你看啊，这个角是 beta， 这个角是 alpha， 所以 这个角是不应该也是 beta 减 alpha， 所以 在这个图形当中啊，你用角角边，你看这个角，然后这个边这个角对不对？这个角，然后这个边这个角角边角也是可以的啊， 所以我们就得出一个全等，那应该是三角形 a c m 一 撇应该全等于三角形比 a q， 那 么这个全等的话，你看一下你写角边角或者是角角边都可以啊， 全等永远不是目的，目的是得边等得角等。朋友们，你看一下，所以 b q 是 被它减 r 法对着这个边，那么上一个被它减 r 法对着这边，是不是 am 撇？所以是不应该是 am 一 撇，它应该和 b q 相等， 那么也就是说我们现在把这个 b q 就 转移到 am 一 撇，跟我们这个 d e 就 转化至在一条线上了，所以我们做题就会比较方便。 接下来呢，我们想要去表示这个边长，那缺边长的话，朋友们，你想想，你缺边的话，我们就设餐就可以了，所以下面我们可以去设一个参数啊， 怎么设呢？朋友们，你比如说你设这个 dm 一 撇，它等于的是 a， dm 一 撇，它是不应该和 d p 相等，我们就设它等于 a， 可以 吧？朋友们，这大家能理解啊，你看啊，这个长是 a， 这个长也是 a， 我们可以去再表示一个参数啊，咱们设 em 一 撇等于 b， 所以 这时候 em 一 撇，他就应该是一个小 b， 我 们在这个图形当中来表示一下 e p 等于什么？哎，你发现 e p 看一下，朋友们，是不应该等于的是一个 b 加上两个 a， 所以 应该是 b 加二 a， 那么 e p 和谁相等呢？ e p 是 和我们的 a e 相等，所以它应该等于的是 a e， 它应该等于 a e 啊，然后它题干中让我去表示这个 d e， 我 们来看啊，这个 d e， 你 写一下 d e， 它等于什么呢？朋友们， d e 的 话是不应该等于的是 d m e 撇加上一个 m e 撇 e， 所以 是不应该等于的是 a 加 b， 你的 d e 是 a 加 b， 咱们题干中有这个 d 啊，接下来我们看一下这个 b q， 这个 b q 呢？它和 ame 撇之间应该是相等的关系啊，然后这是我们的 a e 的 长度，咱们有了，所以 d 有， 那我们看一下 b q 等于啥？咱们接下来写一下这个 b q， 朋友们， b q 在 哪里呢？ b q 其实就是 ame 撇的长度，那就是 a e b q 等于的是 am e 撇， 那 am 一 撇应该等于什么呢？朋友们， am 一 撇的话，是不是等于 a e 加上 e m 撇好，那么 a e 和谁相等呢？ a e 就是 b 加上二 a， 然后所以它应该换成啊，就是咱们的 b 加上二 a， 再加上你的 em 一 撇就是个小 b， 所以你看是不应该等于的就是二 b 加上二 a， 所以 啊，我们 b q 啊，它应该等于的是二 b 加上二 a， 所以 应该是二倍的 b 加上 a。 你 看啊，你现在 d e 的 话是 a 加 b， 你 的 b q 的 话是两倍的 b 加 a。 所以 是不是我们发现了，原来两个 d e 就 应该是一个 b q， 所以咱们就挣完了。两个 d e 等于一个 b q， 这不正好是一个二倍的关系吗？因为 d e 是 a 加 b， 你 看 b q 呢，它应该是两倍的 a 加 b， 这不就是两倍的 d e 是 一个 b q 吗？好，同学们，我们就做完了，你学会了吗？记得点赞关注哦！

下面我们来看一下二零二六天桥一摸的填空题，第十五题就是这个，呃，填空压轴题哈。已知条件，正方形边长是一，这个 b e 的 长度是三分之二， 然后将它翻折一下，折到这个 e j c 这个位置，然后延长到 f， 求这到 ab 的 距离，好，我们看一下啊，嗯，翻折过去之后呢，就是这个三角形是和这个三角形全等的 啊，所以这个是三分之二，这个是一，这个角是个直角啊，所以有一个直角求的是谁呢？求的是这道 a b 的 距离，就这一块，所以我们想到了一个方法，就是这个直角可以构造一线三垂直 啊，就是画一下弧线， 就这样啊，假设这个点是 p q 吧， 垂直，然后这个是直角，这样我们就得到这两个三角形是相似的，并且相似比是三分之二，比一就是二比三的关系， 所以下面可以设这个是二 a， 则这个长度就是三 a， 而这个呢就是一减三 a， 嗯，这个边呢，这个边就是三分之二加二 a， 所以马上这个边，因为和这个边是对应边，所以这个边比这个边就等于二比三，这样我们就能求出 a 的 值来，嗯， 所以最后可以求出来这个长度应该是十三分之八，嗯，然后这是第一个方法，一线三垂直，嗯，因为这里有直角，就可以勾到这个方法， 嗯，那我们再尝试看看有没有其他的做法。第二个想法呢，就是我们发现呢，就是这个点 b 和点 g 这两个点是关于这条线是对称的，嗯，所以可以连接对称点， 对称点的连线是被对准轴垂直平分的，嗯，所以这个是直角，并且这个长度和这个长度还是相等的，嗯，所以到这里呢，我们发现，嗯，这个三角形， 嗯，这是一个直角三角形，这就成了斜边上的高啊，所以这就是摄影定律基本图形啊，这个三角形，这个三角形，还有这个最大的三角形是相似的，嗯， 所以呢，这样的话，我们可以求一下这个边的长度啊。这个长度呢，可以利用什么来求呢？也可以利用 就是只要三角形斜边的高，可以利用面积法来求啊，这个是一，这个乘，这个除以二是面积，然后呢固定你算它来，然后呢底乘以高，除以二，也是面积，就可以算出这个高来， 嗯，然后呢这样这个总长度就知道了，总长度知道了之后呢？然后呢我们来求这块，那这个三角形和这个三角形，这不就十字架模型吗？它俩是相似的 啊，所以也能求出这个长度来啊，这是一个思路，嗯，再一个呢，也可以， 嗯，这些三角形是都是相似的，所以他们的两条直角边之比呢，就应该是二比三的关系，就三分之二比一，就是二比三， 所以这样的话，我可以设他是嗯，四 a， 那 这个边的长度就是六 a， 二比三嘛，他比他也是二比三，那这个就是九 a， 这样根据这个 这个字母形的相似，就这个三角形和这个大三角形相似，就是能够得到四 a 比三分之二，就等于三分之二比上这个十三 a， 所以 就是三分之二的平方等于这个边乘以这个边，这样我们就能把 a 给求出来， a 求出来，这个是六 a， 这个就是十二 a， 十二 a， 这样的话我们就能够再利用这个三角形二比三比根号十三的关系，就能求这个边啊，所以这样也可以， 嗯，再一个哈，我们再说一下第三个方法，嗯，第三个方法呢，我们可以就是看到这个长度哈，这个长度是一，嗯，这个长度是一，然后呢这个地方还是个直角， 所以下面我们可以把这个这个 e j 这个线延长， 交这个 a d 边于点 h 吧， 这样的话我们就得到这个边长度是一，这个边长度也是一，所以一连它就能证明两个三角形是全等的啊。 h l 公共边一条一一条还有直角直角， 这样我们就能挣出全等来，挣全等来有什么好处呢？ 正全等来我们马上就能得到啊，这两个角是相等的，这两个角又相等，所以中间这个角就是四十五度，这样我们就构成了一个半角模型，这样就可以设这个边的长度是 a， 那 这个边的长度也是 a， 那 中间就是三分之二加 a， 而这个呢长度是三分之一， 所以 a h 呢，就是一减 a， 这样勾股定律就能把这个 a 给求出来啊，求出这个 a 来之后呢， 这样的话我们就可以过这个地方做一个，做出它到这个 a b 的 距离来 啊，因为这样的话这个边和这个边就都知道长度了啊，还有这个边，这样的话就可以利用相似就能求这块啊，这个边比上它啊，就等于三分之二比上这个三分之二加一 啊，也还是好可以的啊。这第第三个方法就是半角模型，下面我们还有一个方法，就是 我们看呢，我们看这个方法就是我们直接去做这个 g 啊，就是要求这块长度，对吧？ 加上这个点是 h 吧， 这个长度是三分之二，所以我们发现只要知道这个角或这个角的三角函数值就可以， 因为这个角呢，它有个特点，它是等于这个角的，是吧？嗯，因为这个四边形，这是一个，这个是直角，这个是直角，所以它们是四点共圆的，那这个角和这个角就互补，这个角又和这个角互补，所以这个角就等于这个角 啊，四点共圆的四边形，外角等于内对角，而这个角是这个角的两倍，这个角的正切是知道的二比三， 所以可以利用两角和的正切公式，或者说二倍角的正切公式算出这个这个大角的正切来 啊，而且我们发现这个正切算出来还是一个很好的数呢，是吧？这个正切公式啊，你也可以补充一下啊，二倍角的正切公式就是 tanthan 二 alpha， 等于两倍的 tanthan alpha， 一 减 tanthan alpha 的 平方 啊，这样的话，我们算出这个角的正切正好是五分之十二，所以这个三角形，这个是五份，这个是十二份，这个是十三份啊，三分之二除以十三，再乘以十二，就算出这个边的长度来。 好了，这是第四个方法啊，第四个方法需要你要知道这个两角和的正切公式或是二倍角的正切公式。 好了，这是我们分享的四个方法，同学们看看还有什么优秀的方法可以打在评论区，我们共同的去分享它。

来，今天我们来看市中区九年级一模的天空压轴题，这道题如果已经看了参考答案的同学会发现这道题的辅助线非常多，很多同学一看到辅助线就蒙了。 然后这道题依然是四边形的折叠问题，他跟我们之前讲的其他几个区的四边形的折叠问题又有什么样的区别呢？我们一起来看一下。在矩形 abcd 中， ab 等于六， b， c 等于八点， e、 f 在 边 a、 d、 b、 c 上将四边形 a、 b、 f、 e 沿 e、 f 翻折，翻折之后 a 点的对应点是 h， b 点的对应点是 g， 并且 g 恰好落在了 c、 d 的 边上。然后我们连接 b h， 求三 b h 加四 e、 f 取最小值时 f、 g 的 长度。 那么这道题还不是直接求三 b h 加四 e、 f 的 最小值，而是找到这个最小值情况时候 f、 g 的 长度。所以这道题啊，四维链条是比较长的，也是比较难的。 首先这道题跟其他区不太一样的地方是，其他区更多涉及到的是折叠，前后是三角形，这道题涉及到的是四边形。 第二个求的是两条线段相加取最小值，而且都是带系数的。很多同学一碰到这种带系数的问题就头大， 之前呢也接触过一些带系数的问题，比如胡不归问题对吧？但是之前接触的更多的是 pa 加上 k、 p、 b 这样的形式，只有一一条线段带系数，但是这道题现在两条线段都带系数，很多同学碰到这样的题就不知道如何去处理了。 其实我们来观察这道题，先不要想太多，还是从最底层的解析思维来出发。我们观察一下 b h 和 e、 f 现在是两条交叉的线段， 求两条交叉线段的最小值，还是回归到本质四个字 化折为直。所以这道题我们要想办法让 b h 和 e f 能够达到化折为直的目的，也是这道题的难点所在。 我们先来分析一下这两条线哪一条比较好转化，我们看 b h 是 这条线， e f 是 什么？是 正好是折叠前后的对称轴。那么这两条线哪一条比较好转化呢？我们观察一下 b h 是 b 点和 h 的 连线，对吧？ b 和 h 的 连线怎么样进行转化呢？ 这个时候我们就要考虑到对称的这个性质， b 是 对称前的， h 是 对称后的，对称前的一个点和对称后的一个点连起来了。那么根据折叠的性质，我们看 g 和 a， 如果连起来 看 b h 和 ga 相等不相等呢？我们会根据折叠的性质会发现 b h 和 ga 是 相等的，那么 b h 就 能转化到 ga 上啊，这一点不明白的同学去复习一下我们折叠里面的最基础的性质。 好，现在 b h 我 们转化完了，那么 ef 如何转化呢？而且 b h 和 ef 前面都是带系数的， 那这个时候我们需要第二点回归到本质，这个三和四包括任何这种带系数的，求两条线段相加之和最小值的问题，他的系数都是经过精心设计的。 那么这道题的三和四经过了什么样的精心设计呢？我们看图中给我们的两个数， ab 是 六， bc 是 八，我们会发现六八三四 他们的比例关系是固定的，都是三比四的关系。所以在转化 e、 f 的 时候啊，我们就要考虑跟 abbc 边的这个比例关系进行结合， 怎么样进行结合呢？我们来看 ef 这条线是什么？是对称轴，对吧？对称轴它垂直对应点的连线，垂直谁呢？垂直于 g b， 那这两条线之间有什么样的关系呢？这个时候我们要想到一个非常重要的内容，就是在矩形或者是正方形里面出现这样十字架的结构，而且这个十字架是 互相垂直的，这里这两个十字架之间的线段是可以进行互相转化的。我们看啊， 因为 e f 是 垂直平分 g b 的， 这个时候在矩形里面形成了这样一个十字架的结构，这一点还不太熟悉的同学课下可以去扩充一下。 那这个十字架的结构我们看怎么样进行转化？现在这里面转化的过程， e f 他 现在不在任何一个三角形里，所以是比较难转化的。那根据十字架里面的这样结构的处理办法，我们可以把 e f 平移啊， 平移到 ap 的 位置，这样通过平移之后， ap 和 gp 也是互相垂直的关系，但是现在 ap 它所在了一个直角三角形 abp 啊，那这个 abp 这个三角形和 gp 所在的 cbg 这个三角形有什么样的关系呢？ 这里是垂直的啊，这个角加这个角等于九十度，这个角加这个角也等于九十度，所以这个角和这个角是相等的。 b j c 和 p b a 还共同有直角，所以这两个三角形是相似的。相似之后我们看啊，我们先把这块给擦掉， 三角形 b、 c、 g 相似于三角形 a、 b p 相似之后就有对应边成比例，因为我们要找 a p 和 b g 的 关系，对吧？所以 a p 比上 b g 就 等于我们刚才讲的要跟 已经知道的六和八进行结合啊。 ap 比 g b 就 等于 ab 比上 bc 等于六比八，也就是等于三比四，得到这个比例关系，我们交叉相乘，四 ap 等于三 b g， 四倍的 ap 等于三 b g， 而 ap 和 e f 的 长度又是一样的，所以四 ef 等于三 b g 得到了这个非常重要的东西。因为我们问题最后问的也是四倍的 ef， 所以 这个四倍的 ef， 我 们现在可以把它换成三倍的 bg， 那 么 三 b h 加上四 e f 就 可以转化成三 b h 加上三 b j， 也就是三倍的 b h 加 b j。 那 我们看 b j b h。 呃，我们看一下啊，三倍的 bh， bh 已经转化成 bh， 已经转化成 aj 了啊，所以再转化等于三倍的 aj 加 b g， 这个时候坐到这儿，我们看，实际上我们只要找到 a g 加 b g 的 最小值，那么这个最小值所在的这个情况是不是就已经明朗了？ 所以转化到这啊，转化到这，我们达到了非常关键的一步。接下来我们看 b g 和 a g， 它的最小值是 ab 是 定点， g 是 动点，并且 g 在 c d 上一个比较明显的将军印码模型。 那我们做 b 关于 c d 的 对称点 b 关于 cd 的 对称点 q， 那 么 b j 和 q j 的 长度是一样的，这个时候 a j 加 b j 的 长度就是 a j 加 j q 的 长度。那什么时候最小呢？三点共线的时候最小， 好，也就是图中黄色的这条线，这个时候点 j 是 在这个位置的啊，那点 j 在 这个位置有什么特殊的吗？我们看啊，因为 bc 和 c q 是 怎么样 的？是一样的对吧？是长度是一样的，而 bc 和 ad 的 长度也是一样的。那所以 这个里面啊，这两个三角形是全等的， q c j 和 j d a 是 全等的，也就是点， j 是 c d 的 什么点？ 中点啊？中点，这一点我们能够判断出来，那么 c d 的 长度是六，所以 c j 是 三， d j 也是三。 现在我们知道了 c g 的 长度，问 f g 的 长是多少？ f g 现在是这种情况，那么这里面我们需要再构建一个勾股方程，我们设 g f 等于 x， 根据折叠的性质哈。呃， g f 是 x， 那 么 f b 也是 x， 所以 g c f 就是 八减 x， 所以 在这里面 x 的 平方等于三的平方，加八减 x 的 平方 x， 非常轻松能够求出来。那么做到这里，这道题我们所有的思路就梳理完了， 然后看图形里面出现了非常多的什么线，辅助线，但是这道题我们分析到这 第一个线段的转化是根据对称的性质转化的，然后第二个线段的转化一定要观察好给我们两条线段它的系数是多少，三和四一定是经过精心设计的，题目中给我们的六和八也是经过精心设计的， 所以做这种类型题的时候，这个参数一定要敏感，能够给我给我们题目当中的数产生关联，就产生关联，或者结合我们学的一些其他的模型进行分析， 那么就能够比较容易的把这道题的解析思路给找到了。好了，这道题学会了吗？大伟帮你建大厦，思维开挂成学霸！

各位家长们下午好啊，历下初三的一模考试数学试卷，朱老师连夜对着二零二五年的济南中考试卷做了一个全面的对比，对比下来，基础题占了百分之六十以上， 但是这次一模比去年的中考难度要大。咱先说说一样的地方，核心的考点啊，全部都是重合的，像实数计算、整数计算、几何全等相似，还有函数等这些中考必考的一模全考了， 而且都是基础题打底，中档题拉分难题啊，就百分之十五，所以跟中考的题分梯度啊，是完全一致的。 所以说，吃透基础题一定是拿分的关键。当然不一样的点呢，也非常的明显，也是一模的新亮点。 当然，一模把济南本地大数据、央视春晚、 ai 红包这些热点融入到题里了，比中考的日常场景啊，更新鲜 啊。然后几何题呢，更多的考的是尺规作图和线段预算，函数的压轴题是平移加上面积的动态分析，比中考的设问啊更加灵活。 还有呢，是题干是非常多的，是考察孩子的审题和提取信息的能力。其实这次一模考试啊，是今年中考的新的风向标哈，他是三个方向，第一呢，是百分之六十以上的基础分，还是根本偏题怪题一点没有。 第二是做题会贴合济南本地的发展和科技热点，他不纯考理论哈。第三呢，是去套路化了，像几何的动态分析啊，作图啊，这些啊，都是考察的知识运用，不能死刷题。 最后给大家说一下，最后我们的七十天应该如何备考，像孩子这边呢，每天十分钟基础计算打卡是必须的哈，吃透尺规作图和几何运算，这也是必须的。我们一定要记住几个一定 函数题一定要多结合图像分析，读题一定要圈化关键信息，错题一定要按模块复习。咱家长这边呢，不用逼娃死磕压轴难题， 重点的去盯基础题和错题，监督娃现实做题，不要海量刷题哈，做一道会一道，这比什么都管用。 通过这次一模考试反馈出来哈，查缺补漏，抓牢基础，练会综合思维，这个数学就肯定是稳的哈。接下来朱老师还会给大家分享像语文啊，英语啊，物理啊，化学啊，关注朱老师，升学不用愁！

我们先来看一下题目，题目通过题目的信息知道， a 得是一个角平分线，然后 p q 呢，是这条 a 得的中垂线，然后有了这个信息以后呢，我们就把里边的这个条件去标一标哈，因为中垂线到线段两边距离是相等的嘛，所以我们把 e n 和 m e 也标出来， 当然了，这里边的 m e 没有用上，我把这个角标成 r 法， r 法， r 法，然后用了这个方法以后呢，去捣了半天角，发现，嗯，没有做出来。那接接下来呢，我就又想到了把 fa 也连起来， fa 和这个 ef 这个长度也是一样长的，那想考虑用这个方法来呃来解决，尝试一下。那你做到这个地方以后呢，那我们就知道了，底下的这个角，这个，嗯， 这个角 e a f 和这个角 f a e 这两个角应该是相等的。因为既然上面两个 f 角是相等嘛，所以我就把旁边这个角呢标成了 beta 啊，那也就意味着 alpha 加 beta 的 这个角和上面 alpha 加 beta 的 角是相等的。而这个三角形 a b d， 它的外角也是这个阿尔法加贝塔角，而里边呢，又一个阿尔法角，所以说角 b 上这个角就是一个贝塔角。所以这个题我觉得难就难再把角 b 的 这个贝塔角导出来，那导出来以后呢，而发现这里边这不正好有一组母子相似嘛，所以在这里边 a c f 这个黄色的三角形 和这个大的 a b f， 它俩就母子相似了，那母子相似了，我们就能得到结论了，就是 a f 的 方等于 呃，从 f c 出，从 f 出发的短乘长三乘以九啊，所以应该是三乘以九，而 af 呢，又等于 ef， 所以 等于 ef 的 方，那所以 ef 的 方等于二十七， ef 就 等于三根三就解决了。 然后选择题的第十题啊，这个题我不打算详细的去给大家讲啊，大家去参考一下图文解析里的答案也可以。我想重点去说一下第五个。 我刚才说第五个这个题呢，其实靠蒙也是能蒙出来的，这个题因为它没有告诉我们开口是朝上的还是朝下的，所以这个题呢，你在做的时候，你就一定要先去纠结哈，先去纠结，万一要是开口朝上，这个 x 一 x 二和这个顶点有可能组成一个啊，等腰直角相形画的不是很像啊， 有可能组成一个等腰直角相形，那当然，开口朝下就相当于把它完全对称过来，也有可能呀，所以这个地方呢， 那也有可能朝下变成这样的一个函数图像会出现，有可能会出现两种情况啊。那这时候我们就应该去计算一下，这个顶点的这个纵坐标和我们 x 一 和 x 二之间的距离应该是一个二倍的关系，所以先去表示一下 x 一 减去 x 二这个长度， 而这个长度怎么表示呢？我就说了它跟历下区的二十四题。呃，第三问是比较接近的，当时用的这个方法呢，是用到了伟大定律啊，去算 x 一 减 x 二的平方等于 x 一 加上 x 二的平方，减去四倍的 x 一 乘以 x 二 啊，那这里边 x 乘以 x 二和 x 一 加上 x 二都是可以表示出来的，所以是可以先把 x 一 减 x 二的这个线段长呢，给它表示一下，而顶点也很好表示，用顶点的纵坐标去表示一下，去计算它俩的线段长就可以了，发现最终应该是有两种情况的结果，所以这个题如果要是正儿八经的算的话，计算量还是蛮大的啊， 这个就不再详细说了，大家可以参考一下思路啊。这个题考到了十字架模型， 十四象模型里边呢，是题目告诉我们了， ab 是 六，然后 bc 是 八，比如说长宽之比是六比八，加上它这里边本来有折叠，我们说十四象里边有折叠就有垂直，有垂直的话，那两条垂线段的长，换句话说就是 b g 的 长和 e f 的 长的 线长度之比，就应该等于它的长宽之比。所以这里边呢， e f 和 b g 的 长宽之比就应该是六比八，也就是三比四的关系，而恰好它两条线段之间呢，也正好就是三和四这样的一个系数关系。所以你要想到我去转化，那 e f 四份的 e f 就 可以转化成三份的 b g， 那么也就是三倍的 bh 加上三倍的 bg， 那 转化成三倍的 bh 加 bg， 那 这个长怎么去转化呢？那这里边还要再用一遍去转化啊， bg 有 了，那 bh 这条线段长我还是不会啊。大家可能会想到，哎，将军一马，但是我们的将军一马在这里边呢，你 两个动点是没有办法直接去用的，我们做谁的对称，这个是不会的。所以这时候更难的一点就在于我们如何去转化这个 b h 这两条线段都要需要去转化， 那 b h 这条线段怎么去转化呢？这个可能就需要大家呃，这个去想一想了啊，因为这里边呢， a h 连起来啊， a h 连起来，它和 ef 也是一个垂直的关系，当然呢， b g 跟它也垂直，所以我们就能得到 b g 这条边和 a h 的 这条边，它两个是平行的， 而一组对边平行，另外一组对边不平行的四边形是什么呢？是梯形。所以这在这里边，我们把 bh 这条边就转化成了 ag 梯形的对角线，等腰梯形哈，因为这里边 ab 和 gh 还是相等的嘛，等腰梯形对角线应该是相等的，所以这里边呢，这个 bh 又让我们转化成了 ag， 所以 就转化成了三倍的 ag， 加上 bg， 应该是这样，而 a g 加 b g 的 这样一个转化嘞，嗯，过来啊，把它擦掉。 而 a g 加 b g 的 这样一个转化，我们就可以把它转化成将军一马的类型了，这不就是一个动点嘛，所以过做其中一个定点的对称，比方说，我们做这个 b 点的对称，对称过来，这是 b 撇，所以这时候你的最小值就转化成了 b 撇， a 转化成了 b 撇 a， 那 这个是八，这个也是八，这个是六，所以最小的时候呢，就应该是它最小的时候，应该是转化成了 a b 撇的长。但人家题目并没有问这个 a b 撇的长，而是问的什么呢？ 而是问的 f g 的 长。所以接下来呢，你还要需要，你还需要把这个 f g 的 长表示一下，看看此时此刻 f 在 哪？ g 在 哪。因为此时呢，我们是知道 g 应该是刚好在这个 c 的 的终点的位置的， 然后找着终点以后，你这时候对应着再去找 f 在 哪里，再去找 e 在 哪，呃呃，这个，这个 f 在 哪里？然后还要用到这边啊，涉及到一个勾股定律，可以去求一下。这个线短长，后边我就不再说了，就比较简单了，其实前边拆解完了之后，后半部分大家在计算里边就没有那么大的难度了啊。 接下来来看一下第二十四题。二十四题呢，这个题第二问呢，题目求的是屁点到这条 b、 c 线段上的线段长是多少的时候，那这就是一条斜线段的长。那我们这条斜线段的长怎么去转化呢？我们是这样的啊，画斜为止，这个是 h 啊， 那把 p h 转化成根号二倍的 pm 就 可以了，因为这个三角形 p h、 m 和你的 o、 b、 c 它俩是相似的，都是等腰直角三角形， 所以知道 p h 的 长是二根二了以后，那么 p h 的 长就是四，我们用牵垂线的方法去表示 p h， 这条线的长上等于四，求出来就可以了，这个难度不是很大啊。 然后到了第三问，我刚才说了这个题呢，他的一个整体思路就属于每一步不难，但是你一合到一块就综合性比较强。我们一块来读一下题啊，这条这个抛物线呢，沿着 bc 的 方向， bc 是 什么方向？夹角是四十五度的这么一个方向，然后平移了根号二个单位。 那你想一想，平移根号二个单位的时候，我们要转化成横平竖直，哎，各是一个单位，所以他在平移的过程中，相当于是左移了一，上移了一。 那么知道咱们平移了平移的方式以后，原本上面这个解析式能求出来，那么你的外撇的解析式，通过上一右一的这么一个方式，你的外撇的解析式也是可以求出来的。好，到这， 然后接下来呢，他说这个 e 啊，是平移后 p 的 对应点啊，第二个，咱们 p 点就求出来了嘛，那知道 p 点的坐标，就知道了 e 点的坐标了，那么同时我们还知道它的平移方式，也就知道了它对应的这个，嗯， p、 pt 和 et 的 长应该各都是一个单位长度。 然后接下来说什么呢？他说，如果啊， e 这个 f 是 y 撇上的一个动点， g 为 x 轴上的一个定点。好， g 在 这哈，因为平移完了以后，这个 a 的 对应点刚好应该扑倒到负二上向左平移了一个单位嘛。所以 g 大 概在这个位置你是能够找到的，它是一个固定的点。 然后接下来说什么呢？ f g b f g b 这个角，这是一个未知的角，要也是我们要求的这个角加上一个四十五度角，等于 o p e， 而在这里边 o p e 全是固定的啊，全是固定的， 那也就意味着这个角呢，它是一个四十五度加一个问号角出来的。那这个问号角里边，我们来想一想哈，你的 o p e 里边刚才通过平移，咱们刚说了， 它里边呢，有一个平移了一一个单位，所以这个角 e p t 刚好是四十五度，咱们把这个四十五度给它叉掉以后，剩下的部分不就应该相等吗？所以这个问号角呢，应该等于 r 法， 应该等于这个 r 法，那我们这个角 f g b 现在就转化成了等于角， 嗯， tpo 啊，等于转化成了 tpo， 而 tpo 这个角呢，我们是很轻松能够求出来它的贪婪的值的啊，它的贪婪的值，因为 p 点的坐标是知道的，是二度六啊，所以这个角的贪婪的值呢，就应该等于三。 那知道这个角的贪婪的值以后，我们去找 f 点，这不就很好找了吗？ f g b 啊，那也就是说往上做一个角，是这个角的贪婪的值是三，或者是往下做，那我这个图应该是 往下左上它的这个 tangent 值是三就可以了，所以这个 f 点非常非常的好表示哈。 f 点呢，你给它把这个坐标设出来啊，这个我这个外撇的解释没背过啊。把这个外撇的这个解释背过，然后呢，这个 tangent 这个角 r 法就可以用 y f 比上这个， 这个应该是什么？换一个颜色的点，假设这个 f 点在这个位置吧， 啊，就应该用这个 y f 比上 g k 的 这个长，而 g k 的 这个长呢？ k 点的横坐标，这不就是 m 吗？所以这时候 g k 的 这个长也是很好表示的，就是 m 减去 负的三分之五，就是 m 加上三分之五，然后上边这个 y f， 你 就自己把它的这个解析式给它表示出来，让它的这个弹性值等于三就可以了。呃，然后当然了，这个弹性的值呢，你的 y f 得用两个式子来表示，有可能上边正的是它的 y f， 那 底下负的呢？就相当于是应该是 这个 y f 呢，就这个式子，它应该是一个负数了，所以你要考虑两种情况，或者是加绝对值，线段长和它的这个坐标是负的，我们的这个这个 y f 是 要变成相反数的，所以这时候你也可以说让它的这个比值等于三或者是负三，也可以啊，等于正负三， 然后就能求出来四个答案，但是四个答案需要舍掉两个，有两个不合适的，那就剩下了两种情况就做出来了哈。 嗯，所以这个题整个拆解了下来，这个角度存在性考的非常非常的简单，虽然他跟历下区的二十四题的第三问都是考的角度存在性，但他要比这二十这个历下的二十四简单很多啊。 然后接下来说一下第二十五题。第二十五题这个题的第二问就开始不太好做了，需要呃大家去截取 构造手拉手的这么一个思路。我们既构造手拉手呢，而且还不是用的外边本来给的这个 a b c 的 等腰直角三角形，而是在这我们需要做一个 c 跟 c f 一 样长的线段，然后把这个 c f h 吧 c f h 转化成一个等腰直角三角形。跟这那这样的话， 我们把这个这个的 h 也连起来，那就有了，那就有了左边这个三角形和右边这个三角形，它俩是 不对标。错了啊，那就有了左右两个三角形是手拉手的关系，那有了这个关系以后呢，那你的这个 e f 的 线段长就转化成了的 h， e f 转化成了的 h， 然后还有呢，就是得 f， 这个是不变的啊，得 f 加上得 f 的 平方，等于二倍的 c， 二倍 c f 的 方，也就是根号二倍的 c f 扩起来的平方，也就是等于 e h 的 平方。换句话说呢，你这里边就正一个手拉手，然后用一个直角三角形的勾股定律就可以出来了哈。第二个呢，还行，但是你得想到这个辅助线的做法，要结合题目的条件。这个题其实题眼在于什么呢？在于二倍的 c f 出现二倍 c f 的 方，那这个地方一定是根号二谁的平方出现来的，而跟 c f 相关呢？那哦，出现根号二倍的应该 构造一个等腰直角象形，这个东西如果想不到的话，那这个题可能就啊凉凉了啊。那我们来看一下第三问第 三的这个题呢，它是有了半角模型的一部分，一部分条件哈，就是有大角加半角，所以我们在做，我在做这个题的时候，优先考虑的是把它构造成一个半角模型，但半角模型的前提呢，是必须得有等腰，而这里边是不具备等腰三角形的。 那没有等腰三角形怎么办呢？我就想着把这个平行四边形给它补成一个菱形，那这样的话，我们不就有等腰了吗？所以我就按照这样的一个思路来做的。嗯，然后 因为在这里边呢，菱形本来对角线呢，就是平分对角的，所以需要把这个 a p 给它连起来，连起来以后啊，因为里边， 因为里边这个角是六十度，旁边这个角呢，也是六十度，所以我们把中间公共角标成圈角的话，那旁边的两个菱角这周都可以标成叉了，那么也就能得到这里边 a f 的 这个三角形和 a n p 这个三角形，它两个是全等的关系， 那有了这两个象形全等以后，我们要求的这个得 f 的 长就可以转化成 n p 的 长了。那你想去求 n p 的 长，怎么去求呢？我们可以先去考虑求 m n 的 长， 那 m n 的 长怎么去求呢？因为在这里边我们不是把它补成了一个菱形吗？所以 ab 是 六， am 是 十，一个六比十的关系。所以相似的话，我们如果能把 b 的 长求出来，那么 m n 的 长就可以求出来了， 而 b 的 长为什么可以求出来呢？因为题目给我们的条件正好在这一个三角形里边有三个条件。我之前给大家说过解三角形的话呢，对于一个三角形来说，我们知道三边和三角里边其中三个条件，这三个条件只要有一条边，我们就可以去去解这个三角形啊，我把这个， 我把这个 a、 b、 e 这个三角形呢给它拎到外面来啊，这样会比较好看一些。这边是六，这个角是六十度，然后这个边是二根七，所以我们见到六十度的话，把想把它构造到直角三角形里边，过 a 点向下去做垂就可以了。 那所以这个这个 b h 的 长呢？这就是三， a h 的 长呢？这就是三根三。那么这样的话，我们这个 he 的 长通过勾股定律就可以求出来，它应该是一，所以整个 b e 的 长就是四， 那 b e 的 长是四， m n 的 长就应该是六比十等于四比上 m n 的 长是三分之二十， 剩下 m p 的 长，这个不也是十吗？所以十减去三分之二十就是 n p 的 长呀，这个 n p 呢，就应该是三分之十，所以得 f 的 长也是三分之十就搞定了。我觉得我这个方法要比这题目 呃图文给的那个解析的方法要更简单一些，但是说实话呢，这个要依靠于你自己能够想到我们半角模型怎么去构造。呃，我这个题也是前段时间去刷题的时候刷到了一个类似的题，有一个思路的借鉴， 不然这个题我可能也未必能够一下就很快能想到做法。我觉得对于咱们同学来说，这个题的难度还是蛮大的，从第二个开始就不是很善良哈。啊，所以大家可以好好再整理一下这份题目吧。

各位好啊，济南市立夏区一模已经落下帷幕，数学题目还是二十五个，聚焦题型和往常一致，咱们一块分析分析。首先是选择题，一到七题还是老样子，第八题考察概率，题目有点新，好好理解你能做出来。 第九题是尺规作图，利用角平分线、性质构造全等，好解出来了。第十题我认为是全卷中最难的一个题目， 当然不仅是计算量比较大，还有动点，不太好琢磨。但是呢，这个第十题他的考察方向啊，和咱二四年中考的第十题是类似的。 其次是填空题，填空第十一到十三题很常规，没有任何变化。第十四题是变量图， 要是你能通过计算求出两条直线的解析式，那么答案也就出来了。第十五题是折叠问题，嗯，这个折叠问题不算很难，是你可以通过计算求出来的。在这里老师着重说一句哈，在咱济南历年中考试题中，其实考察折叠的频次很高， 同学们可以有意识的多练一练折叠的专题。最后的话就是解答题部分，解答题部分是从第十七题到二十五题，第十七题到二十二题，考察点和咱往常一致，没有任何变化。 当然三角函数的题目有点新，但是归根到底还是解直角三角形，不算，很难能做出来。当然，老师想重点分析的还是二十三题反比例综合，二十四题二次函数综合，二十五题几何综合。 咱们先看反比例综合，反比例综合的第二问考察的是铅垂类的知识，化斜为直即可求解。第三问考察的是四十五度的存在性，看到四十五度，咱们优先想到建立等腰直角三角形，然后再利用一线三等角即可求解。 第二十四题呢，就是二次函数综合问题。第二问考察的是铅垂面积求最值。这是一个老生常谈的问题，在学校肯定是天天练， 这个问题我觉得应该是百分之八十的学生都是没问题的。当然，如果这类问题还有问题，科下必须得有意识的再去 练习练习。第三问考察的是角度问题，给你两个相等的角度转对称，然后一步一步去求解即可。肯定作为整套试卷的压轴题目，计算起来肯定是比较麻烦的，计算需注意哦。 第二十五题就是几何压轴了。第二问考察的是某条线段的长度，利用手拉手相似加减直角三角形，就可求出对应线段的长度。最后一问考察的是瓜豆和二五年章丘区一模 最后一个几何综合。最后一问考察点如出一辙。以上呢，就是小周老师对二六年历下区一模数学简单做了个试卷分析，总之题目难度不是很大， 如果你的分数没有在一百二十五分以上，那么你课下还需要继续努力。好嘞，今天就先到这里了，下一个视频咱们一块分析济南中考数学如何考到一百三十分以上，再见！

奇葩模型有点多，今天来讲逆等线。我们来看这道题，是驾轩七年级下期中的模拟选择压轴。 来，我们读一下题，如图，已知直角三角形 abc， 所以 这个角是直角角， abc 等于九十度， ab 等于 bc 等于五 点 d、 e 分 别是 a、 b、 b、 c 边上的动点满足 a， d 等于 b， e 连接 a、 e、 c、 d， 则 a、 e 加 c、 d 取得最小值时，线段 a、 d 的 长为多少？ 那么这道题就是典型的逆等线模型，也是常老师说的比较奇葩的模型之一。为什么说他奇葩？因为我们初中里面通常涉及到的几何变换会有什么呢？有平移，有旋转，有对称，对不对？ 好，那这道题常老师用另外一个思路来给大家解析一下逆等线模型它的构造和它涉及到的几何变换。 好，我们来看什么叫逆等线啊？这里面点 d 和点 e 是 动点，然后点 a 和点 b 是 定点， d 到 a 的 距离和 e 到 b 的 距离始终是相等的啊。 a、 d 和 b、 e 的 距离始终是相等，那我们看 d 如果往这运动一下，那 e 是 不是往这运动一下？ 哎， d 是 横着运动的，然后 e 是 竖着运动的，但是在运动的过程中，这个动点到这个定点和这个动点到这个定点的距离始终是相等的。那像这样的模型结构，我们就把它叫做逆等线 好，那么碰到这样的题，我们应该如何去解决它呢？如何去解决 a、 e 加 c、 d 的 最小值？我们看啊，点 e 在 运动的过程中， a、 e 是 在变化的， d 在 运动的过程中， c、 d 也在变化，而且 c、 d 和 a、 e 是 不是交叉的？那我们之前所讲的，不管是将军印码还是其他的模型，碰到线段和的最小值的时候，我们都讲过，它的底层原理是什么呢？是我们需要 化折为值，对吧？那么这道题我们看这两条交叉的线，我们怎么去化折为值呢？ 那他跟我们将军印码的这种对称又不太类似，对吧？所以在化折为值之前，我们先要做一件事，是不得先让这两条线接起来呀？ 哎，我们是不是是得把先这两条线给他接起来，然后再考虑化折为值的事？那现在这道题我们怎么把这两条线，这条线和这条线 接下来呢？我们是用对称，是用旋转还是用平移？那么都不是啊，这道题逆等线我们如何去构造？同学们只需要记住四个字就可以叫复制粘贴。 哎，这个构造比较奇葩啊，它和我们讲的平移、对称、旋转都不一样，那么如何复制粘贴呢？我们来看啊，这个时候我们来需要关注一下这里面存在的两个三角形，我们看三角形 a、 d、 c 这个三角形和三角形 a、 e、 b 这个三角形啊，这个三角形，那在运动的过程中， a、 d 和 e、 b 是 不是始终是 相等的呀？那我们现在需要做的是一个事，就是把三角形 a、 d、 c 给它复制，复制完了之后，然后和三角形 a、 b、 e 给它接起来啊，接起来之后这条线和这条线接起来，接的时候需要注意的问题是 定点对定点， 动点对动点啊， 什么意思啊？我们看这个三角形 a 是 不是定点呀？那和这个三角形接起来的时候， a 就 要和 b 接起来， d 是 动点，那和这个三角形接的时候就要和 e 接起来啊，这叫定点对定点，动点对动点。好，我们看看现在接起来它是什么样的？我们把这个三角形复制一份，然后经过旋转或者翻转之后， 哎，让它变成三角形，这个三角形啊，我先把这里擦一下，变成这个三角形之后，那我们看 a 点就相当于这个点， d 点就相当于这个点，然后这个三角形现在变成这样了，和这个蓝色的三角形接到一起了。 好，接到一起之后，那我们看 c、 d 啊，我们看啊，现在我把它擦掉， 我们看 c、 d 这条线是不是就转化成了 e、 p 这条线啊？好，那 这个时候 a e 加 c d 的 最小值是不是就是 a、 e 加 e p 的 最小值啊？ 好，那我们看 a、 e、 p 什么时候最小？那我们学过将军马，一定知道三点共线的时候是最小的。而且刚才在复制的过程中，我们看这个角 角 c、 a、 d， 它的度数是不是不发生变化，始终是四十五度的，那么它复制过来之后，这个角是不是也始终是四十五度的？然后我们看啊，这个角是不是也是 四十五度的？哎，所以这个时候 a、 c 和 b p 又是平行的关系啊，这条线和这条线是平行的关系，那我们看，接下来我们找一下最小值吧。 哎，我们连接 a、 p， 那 么这个时候点 e 是 不是应该在这个位置呀？好，我们现在把其余的都清除一下啊？ 好，我们看啊，这个时候 a、 e 的 长度在这，然后 c、 d 的 长度就等于 e、 p 的 长度，这个时候三点公线它是最小的。好，它让我们求的是什么？ a e 加 cd 取得最小的时候，线段 ad 的 长为， 那这个时候 a d 的 长是不是就变成这段了啊？变成了 b e 的 长。好，这个时候 b、 e 的 长是多少呢？我们来看啊。呃，刚才 a c 和 b p 是 不是平行的，所以 这个角啊，等于这个角，它俩都等于四十五度，然后这个角和这个角是不是对顶角呀？刚才复制三角形过来， a、 c 的 长度和 b p 的 长度是不是一样的呀？所以在这里面存在着一个八字三角形， 这个三角形和这个三角形就是全等的，好，全等的。那么这道题 c e 的 长度和 b e 的 长度是不是相等的？也就是说点 e 其实是 bc 的 中点 好， bc 的 长度是五，那所以 b e 的 长度就等于二分之五，也就是谁 a d 的 长度等于多少？ 二分之五。好了，这道题求出来了， a d 的 长度为二分之五啊，那么这道题就是一道典型的关于逆等线的 题目。那碰到这样的题啊，题目中有两条线段始终相等，这个洞点到这个定点，这个洞点到这个定点啊，距离始终相等。 呃，一般都是在三角形里啊，那这样的结构，我们就叫逆等线、逆等线。一定要记住常老师今天教给你的方法，记住四个字叫复制粘贴， 或者是复制粘贴都可以啊。我们把这个三角形复制完了，然后和它接起来，接的时候一定要注意动点对动点，定点对定点，那么我们就能够把两条 交叉的线给他接起来，接起来之后再利用三点共线来找他的最小值啊，有的时候是求他的最小值啊，有的时候是啊，找到最小值再去求其他的线段啊，都没关系，我们只要找到这个最小值的情况，其他问题都非常好解决。 好了，这道题就讲到这里，你知道什么是逆等线？你知道逆等线该如何构造了吗？ 它和我们平移、旋转对称都不太一样啊。今天我们采用了一个奇葩的方式，叫做复制粘贴来解决逆等线的问题。好了，你听明白这道题了吗？大伟帮你建大厦，思维开挂成学霸！

市中区的一模考试结束了，我们今天拿到了这套数学卷，和我们二零二五年的中考真题进行了一个对比。首先，两套试卷的相同点，基础题的占比是比较稳定的，如选择题的第一题到第八题，填空题的第十一到第十三题， 都是考察了相反数科学、计数法、概率概率计算这些基础的知识点。压轴题，第二十五题呢，是延续了几何变换和构造全等的一个命题思路。那不同点呢，是今年这套卷第十题新增了几何变换和构造全等的一个命题，他强化了数学的建模能力。 实际应用题呢，占比提升了百分之二十，比方说无人机的高度函数礼盒成本优化更加贴近我们的生活场景。 在难度梯度上呢，中档题是进行了扩容。今年这套卷里的中档计算题明显增加，第十九题的水龙头高度计算，第二十二题的限性规划，都需要结合着三角函数和不等式组来组来综合求减。 压轴题呢，也进行了创新。第二十五题的第三问，将旋转问题迁移至平行四边形，需构造六十度角辅助线。 二零二五年相似题型的难度呢，是有所提升的。接下来给孩子整理了针对性的一个复习建议。首先，我们一定要巩固基础，抓牢我们的送分题。一定要反复练习科学的技术法，试图判断概率计算，确保在五分钟之内要完成前十道题。 在易错点突破上呢，针对第六题的命运算，第七题的反比例函数增减性，整理我们的错题本，并规范我们的混淆点。 中档题呢，首先我们要训练我们的建模能力，突破我们的第十四题无人机相遇问题和第二十三题的反比例函数与直角三角形的综合掌握，射餐列式解方程的三步法。 那几何工具包呢？要总结我们的二十题的切线，证明第二十四题的抛物线平移的固定套路，比如要连半径正垂直顶点坐标平移法则。 压轴题也一定要进行分布拆解。对于第二十五题的旋转问题，按照截取线段、政权等孤固定力分布来得分，即使未能完成全题，也可以拿到百分之六十到百分之七十的分数。 对于新题型呢，我们要建议每周练习两道新定义题，如虚列数几何变换，重点要理解题干转化为数学语言的过程。 最后呢，还要特别提醒同学们一定要注意时间的分配，建议前四十分钟要完成我们的选择填空，留五十分钟来攻坚中档题，最后三十分钟专攻压住题。需要原题的家长可以在评论区留言，我是凡凡，关注我，济南中考有问必答！

hello 的 宝宝们，我们来看到第五十四题关于四点共圆的题目，这个题啊，不仅考察到了呃，四点共圆，还有手拉手，它是综合在一块考察的，我们一块看一下。首先，呃，有这么一个结论， 嗯，对角互补的四边形一定是共圆的啊。比如说 啊，这个啊，随便画一个四边形，假如这个角和这个角互补，那么这四个点 一定在一个圆上。好吧，这是结论，可以用啊，那现在呢？嗯，小明同学提出了一个新的问题，他说在线段 a c 的 同侧 有 b 的 两点，这是的，这是 b 啊，如果角 b 等于角的的话啊，那么这四个点呢，也在一个圆上。现在呀，我们要证明这个东西成立，那这个同学是怎么证的呢？我们来看 啊，如图二。图二在哪啊？啊，在这啊，经过啊，做经过点 a 点 c 点的圆 o 来看一下， a c 的 确实做了个圆 o 啊，然后在列或 a c 上呢，取一个点 e 连接了 a e c e， 嗯，比方点 e 在 这吧， 连接 a e c e， 那 则角 a e c 加角的是一百八的。角 a e c 加角的，那为啥一百八呀？ 因为这四个点是共圆的，共圆的四边形对角不是互补五吗？对不对？那别忘了，我们的已知条件是，角的等于角 b， 既然角 a e c 加角的等于一百八十度，那么角 a e c 加上我把角的换成角 b， 是 不是也行啊？哎，那我是不是就得到这个式子了？ 哎，所以这个空啊，又因为角 b 等于角的，所以这一行填的应该是角 a e c 加上角 b 等于一百八十度啊，那既然 这个角和这个角都互补了，那这个四边形不就是有一组对角互补了吗？那他不就是四边共圆了吗？啊，后面，这就是 后面这两行啊，就是这个意思啊。从而我们就证明出，当这两个角在 a、 c 的 同侧并且相等时，那么这四个点是共圆的，就证明出了这个结论啊。这是第一问来看，第二问第二复杂一点。 如图三，在二梯三角形 a、 c， b 中角 a c b 啊，是九十度哦， a c 等于 b c， a c 等于 b c 哦，这是个等腰直角三角形， 对不对？他说什么呢？将三角形 abc 绕点 a 逆时针，这样逆时针转啊，转到了 a n m 的 位置， a n m 啊，连接了 c m， 连接了 c m 交 b n 与点的啊，它是把 b n 和 c m 连接起来了。其实读到这，不知道你有没有发现，手拉手呢？是有的吧，谁是头啊？头是谁？ 是 a？ 大 第一组手是 a， c 和 ab， 另外一组手是谁呀？ am 和 an， ok， 那 拉手线是谁呢？我们顺便拉起来是 c m 还有 b n 的， ok， 那 这是啊，我能证出哪两个三角形相似或全等的关系呢？应该是三角形 a、 c、 m 相似于三角形 a、 b、 n 吧，就这个三角形和这个大的三角形是几 b 几呢？ 就是 a c 比上 ab 呗，那不就是一比二吗？因为三角形 a、 b、 c 是 个等角直角三角形啊，就读到这，你要能发现这东西啊，能得到这两个三角形相似以及拉手线的比例关系是多少啊？也就是 c m 比上 b n 是 一比上根二吧，因为它们就等于 a c m 啊，就等于 ac 比 ab 嘛，等于一比根二好吧，以及拉手线的夹角，也就是拉手线，就是 c m 和 b n 嘛，夹角是在这个位置的，这个角一一定是等于四十五度的，因为我能找到一个 八字， ok 啊，这是读到这你最好能反应过来的东西啊。我们再往后读题， 他说连接了 b m m， 是 啊，连接了 b m 和 a d 啊，小明发现，在旋转过程中，角 a、 c、 d b 始终等于四十五度， c d、 b 是 这个角啊，他确就是我们刚刚说的角 e 吧，他确实永远等于四十五度。这是两条拿手线的夹角啊。那第一问，根据这个角是四点共圆的，四点共圆的四象证明 得 n 等于得 b， 得 n 等于得 b 啊，也就是让我证明得是线段 n b 的 中点呗。嗯，怎么证呢？ 哎，你会发现三角这个 a a b 和 a n 什么数量关系啊？是相等的，如果 n 是 嗯 b n 中点的话，说明 a 的 就是这个等腰三角形。 a b n 的 什么线呢？中线？ 那你想到了什么？是不是三线合一？因为 ab 等于 a n， 你 要想证明 n 为 b， n 中点的话，我只要证明 a、 n a 的是另外三线中的另外两条线中的一条即可。你要么证明它是高线， 你要么证明他是顶角的角平分线啊，你就看哪个好正呗。如果要正高线的话，我就证明 a 的 垂直于 b n 即可。也就是证明 角一加角二等于九十度。也由于角一已经是四十五度四十五度了吧。也就说我只要证明角二是四十五度就可以了。而角二是不是四十五度呢？很好证啊，因为，哎，它为什么是四十五度啊？ 角二，那你这个角三是不是四十五度？比如说，我只要证明出角二等于角三就可以了，角三铁定四十五吧，对不对？那角二怎么证明等于角三呢？哎，角和角三是不是都是在 a、 c 先对 a、 c 同侧的两个角， 你看出来了没有？哎，这，这特别像四点共圆吧。比如说，我只要证明，嗯，角三，角角二等于角三了呢。 啊，有时候我应该先证明四点共圆，然后我发现角二和角三正好都是 a、 c 所对的圆周角啊，对吧？怎么正呢？ 我就证明，嗯，别的角呗。我发现角一和角四是不是相等的啊？角一等角四不对。我应该先说啊，证明 a、 c、 e、 d 四点共圆。 要证四点共圆，我发现啊，角一和角四可以利用，角一等于角四， ok， 那 角一等于角四很好证吧，角四一定是四十五度， ok， 所以 我们把过程写一写啊，我们圈一，因为角次等于角一等于四十五度， 所以 a、 c、 b、 d 四点共圆， 所以角二等于角三也等于四十五度了，所以角一加角二等于九十度，所以 a 得垂直于 n， b 又因为 ab 等于 a， n 所以 得 n 等于 得比啊。第一问就整完了， ok， 嗯，就这一问，他就考察了四点共圆的判定和性质。 你首先要利用一和四相等证明出四点共圆来，再利用啊，都共圆了，所以同乎所对的圆周角相等，证明角等于角三，这是第二第一问。嗯，大家看到第二问， 当角 b 的 m 是 直角三角形时，嗯，在这个三角形中有三个角， 你说它是直角三角形，那哪一个角是直角？我是不是得？呃，分类讨论一下。嗯，角一不是，不，它一定是四十五度，角一不可能是直角了，所以 可能等于九十度的角，分别是这个角就角的 m b 和角的 b m 这两个角没有，我们要分别讨论一下 啊。那先，那就这个图而言，这个 m 特别像九十度，是吧？我们就用这个图吧。先考虑当 m 为，当 m 为直角顶点时， 当角得 m b 等于九十度时，等，他说 b n 等于四，求 bc 的 长 b n 一 共长四，那么 b 得长二了，它又是个等腰直角三角形，三边之比满足一比一比根二，所以斜边既然为二，那我就能求出两条直角边了，都是根号二， 那么求 bc 呢？求 bc， 我 先想勾股定律， m 这个位置竟然是九十度，而这条，这是一条 笔直的线啊，所以旁边这个角五一定是一百八十度减九十度吧。所以角五啊，一定是九十度。那 角五九十，我我可以把 bc 撞到三角形。 mbc 里面， bc 是 斜边，所以 bc 的 平方等于 mb 的 平方加 mc 的 平方，那 mb 我 们刚刚已经借助这个直角三角形求出来了，所以 只要再求出 mc 的 长度即可，而 mc 恰恰是手拉手里面的拉手线，所以 mc 的 对应边是 nb。 那 m， 由于两个三角形相似相似比，我们是不是知道就是 a c 比上 ab 啊，是一比根二，所以 mc 比上 nb 呢，也是一比根二，而这个 nb 一 共长四，所以 mc 是 可以求出来的。 所以我们要先求 m c 啊，怎么求呢？很有意思啊，因为在啊，这个三角形相似，大家 z 正啊，我就直接往后说了，因为三角形 a c m 相似于三角形 a b n， 所以 c m 比上 b， n 等于 a， c， b 上 ab 等于一比根二，所以 c m 可求等于根二分之 b， n 等于根二分之四，等于二倍的根号二。嗯， c m 求出来了，怎么求 bc 呢？然后，也所所以在二 t 三角形 bcm 中，角 bmc 等于九十度 啊。 bc 呢，就等于根号下 bm 的 平方加上 cm 的 平方等于根号下 bm 是 根号二的平方， cm 呢，是二，根二的平方等于根号下 八。呃，等于根号十啊。对啊，这是第一种情况，还有没有别的情况呢？ 那肯定有吧，什么情况？就是这个三角形 bm 多是直角三角形，我们刚刚考虑的是谁当直角顶点啊？ m， 但还有可能是谁当直角顶点呢？就是 b 呀。 ok， 就是 这个角。不对，不对，这这个角有可能当当九十度啊。我们再画个图，这这个题的难点可能就是画图啊，你得，你得把它画画好才行。 这是这个，这是 m， 这个点是 m， a c 呢？转到了 am 的 位置，那 ab 呢？也要往上转，转到 an 的 位置 在这了， 并且得还得是 abn 的 中点。 嗯，这么这么画吧。那第二种情况呢？情况二， 当角得 b m 等于九十度时，嗯，我们再来标一下条件，那 c m 还是 c m 是 跟刚刚是一样的还是等于几呢？ 二倍的根号二的 b， n 还是等于四，所以 b 的 还是等于二。那 b 要求 b c 的 话，我还是想撞到直角三角形中，但这里面 b 这个角是九十度了， 嗯，这个角四十五度，怎么求？这个 p c 不 在直角三角形中吧。所以啊，我想到了构造。嗯，怎么构造呢？因为这个三角形是等腰直角，所以我过点 b， 往这往 b 蹲， m 做垂交于点 p， 那么就可以把 bc 装到这个直角三角形中了，你看另外两条直角边好不好求呢？你要我只要再求出 b p 和 mp 就 可以了。那请问三角形 b m p 是 个什么三角形啊？ 是不是等腰直角哎，斜边你知不知道啊？知道的， b m 等于二，所以另外两条直角边你可以求吧，是分别度是根号二啊。 啊，所以第二种情况，这个 b c 呢，就等于根号下 b p 的 平方加上 p c 的 平方， b p 呢，就等于根号二括号起来的平方啊。这根号大家自己求求吧，比较简单啊，这个 p c 呢，就是 pm 加上 m c 括号起来平方吧，等于根号二。 m 四呢，是二根二，也就是三根二 二加上三根二的平方是十八，结果等于根号二十，也就是二倍的根号五啊，所以综上， bc 等于二根五或者是根号十。嗯，所以这个题答案跳出来再捋一下，他考察到了哪些知识点呢？ 第一个是手拉手的，呃，模特征，你要会认出来。结论，你要知道这个拉手线长比例你得知道啊。第二个就是四点共圆啊，性质以及判定你要会啊，这是这个题的思路，你看能不能理解呢？

嗯，济南市淮阴一摸的考试已经过去了，淮阴一摸的数学难度怎么样？我们来分析一下它的题目 啊，其中的选择题，一到八题都比较的容易啊，没有很难题和偏题，怪题。 第九题就是那个做图题目啊，考察角平分线和垂直平分线性质等题目。这个题目呢，需要，嗯，把每个角度求一求啊，能求的都要求一下 啊，再利用一下垂直平分线性质，我们发现结果是一个勾股方程的题目，所以难度呢，也还可以，不是错特别大。 第十题就是二次函数的一个选择的压轴题啊，这个题目呢，他有四个选项啊，本来是有一定难度，但是这个题目呢，他给出的 a、 b、 c、 d 四个选项当中，他有一些啊，里面有三个的组合， 因为这个题目呢，圈一和圈二是很容易能够挣出来的啊，在圈三和圈四当中呢，嗯，圈四的推断呢，也还能容易一些，所以这样就能够推出答案来了啊。 嗯，所以这个题目呢，嗯，是有一定难度，但是就是这个选项给的降低了这个题目的难度。十五题，就是那个折叠很多的啊，这个题呢，看着非常的唬人，有五次折叠，试下， 这些折叠当中呢，很多的折叠是让我们是很熟悉的哎，比如说折出一个正方形来的那种操作，再一个把，嗯，折出一个三角形，把它的一个顶点折到了另外一个边上，这种情况， 所以呢，嗯，利用折叠的性质和直角就能构成一线三垂直的相似。这个题目呢，对于掌握比较扎实，比较优秀同学来说呢，拿下应该不在话下，我再看一下这个最后三个压轴题。 首先反比例函数，反比例函数呢，考察了一个一线三垂直视角啊，旋转也好，旋转的就是九十度 啊，再一个又会出现等腰角三角形，也是考察一线生值值，所以这是一个比较常见的热门的考点啊，计算量呢，不是很大，所以这个题目的难度不是很大啊，比较常规。 然后二十四题，就是那个几何压轴题，几何压轴题前两问，嗯，难度不大啊，第一问非常容易，他已经给出了证明，相当于只让你填空啊。第二问呢，可以根据第一问就能够正出相似来，所以呢， 前两位难度是不大的。第三位需要构造一下，所以第三位构造的话呢，肯定是要难度要大一点，而且他后面还利用了一个引圆的模型啊，出现了定角对定边的情况。因为先构造啊，应用模型构造，构造出一对相似的三角形， 然后呢，三角形相似之后呢，得到对应角相等，就发现了有定角和定边，因为要走动点的运动轨迹， 所以呢，这里面还有个引元的模型。这学校啊，引元呢，没有专门学，只有在培优的时候才会学这部分知识点， 所以呢，嗯，这个是有一定难度。第三位啊，最后二次函数的这个压轴题啊，他的前两位难度也不大啊。第二位呢，就是一个求嗯，牵垂的一个最大值的问题，转化成二次函数，非常常规啊。 第三小问难度比较大，因为它的计算量是非常大的，主要是它含有一个字母参数 m， 这样要用到带字母参数的这种一元二次方程的分解啊，式的相乘法分解它啊，所以呢，这个难度不小。嗯，运算量很大 啊，如果在这方面比较熟悉和比较熟练的啊，那同学才有可能能够做出来。哎，所以回过头来看呢。嗯，除了这些压轴题目，另外那个圆的题目，还有三角函数的题目，难度也不算很大 啊，属于中规中矩的，比较常规的题型。所以回过头来看，压轴题呢，只能说是最后两个压轴大题。第三位难度比较大啊。其他的呢，是中规中矩的啊，中规中矩的。嗯，总体难度不大 啊，要想考到一百三十多分或一百四十多分还是有希望啊，一百三十多分或者到达一百四还是有希望， 只要是简单题不出错啊，常规的题目做的比较熟练，就能够考到一百三十分及以上啊，甚至是能差不多到一百四十分。