0.5阶乘的计算方法

好，那么二分之一的阶乘等于二分之根号 pi， 我 们就推导完了。嗨，大家好，今天来分享一下神奇的分数阶乘。我们都知道阶乘的定义， x 的 阶乘等于一乘二乘三，一直乘到 x， x 的 阶乘等于一乘二乘三，一直乘乘乘到 x 减一，再乘以 x， 这就是 x 的 阶乘的定义。但是呢，这个阶乘它只是用于自然数范围， 他对负数及分数是无效的。那么今天我就来分享一下二分之一的阶乘， 因为阶乘他对于这样的分数是无效的，我们只能硬算下去，看能算出来什么。首先，我们先拓展一下阶乘的范围，来看一下两个数相加的阶乘， m 加 n 的 阶乘，其中 m、 n 均为有理数。好，它们相加的阶乘，根据上面的阶乘定义， 它是等于一乘二乘三，一直乘乘乘到 m 减一，一直再乘到 m 加 n。 好，那么这个呢，是 m 加 n 的 和的结成的表达式。我们发现这个表达式我们可以给他砍成两段，前面一段，后面这些单独一段，前面这段直接就是 m 的 结成了， 他等于 m 的 结成。后面这段呢，我们就要抄上 m 加一， m 加二，一直到 m 加 n 好 了。那么现在呢，我们换一种方法，把 m 加 n 的 结成看成 n 加 m 的 结成，再来计算一遍， 把它看成 n 加 m 的 结成。好。再次，根据结成定义， 他等于一乘二乘三，一直乘乘乘，先给他乘到 n 乘 n 减一乘 n， 好， 再继续乘。后半段乘上 n 加一，一直乘到 n 加 m。 好，这个表达式我们仍然可以分为两段，第一段是前面乘到 n 的 部分，而 n 加一乘到 n 加 m， 我 们把它看成第二段好，第一段它的值仍然是 n 的 结乘， n 的 结乘好，那么后面这段还是照抄上去， n 加一， n 加二，一直到 n 加 m 好了。那么现在呢，我们得到了 m 加 n 的 结成的两种表示形式，因为 m 加 n 的 结成等于 n 加 m 的 结成 好， m 加 n 的 结成的表达式呢，是这一个，也就是 m 结成乘以 m 加一， m 加二，一直到 m 加 n， 好，它是等于右边 n 的 结成， n 加一， n 加二，一直到 n 加 m 的 好。那么居然这两个式子是相等的，我们在两边同时除以后面 n 加一， n 加二，一直到 n 加 m 这一段， 也就是 n 的 结成等于 m 结成， m 加一， m 加号，哒哒哒，一直到 m 加 n 好， 再除上下面什么 n 加一， n 加二，一直乘到 n 加 m， 好， 现在呢，我们得到了 n 的 阶乘的表达式，这个阶乘我们就可以把它推广到有理数范围内了。 现在因为我们要计算二分之一的阶乘，但我们现在呢，不要急于把 n 先给二分之一代入了，我们呢，先让其中的 m 趋近于无穷。 因为呢，我们锁定了 n 等于二分之一。以后呢，这个 m 它是什么都可以，只要 m 是 个有理数，是没有限制的。 好的，那么现在呢，我们 n 的 阶乘等于让 m 趋近于无穷。 limit m 趋近于无穷，好，这一大堆 m 的 接乘， m 加一， m 加二， m 加二，一直乘乘乘乘到 m 加 n， 再比上 n 加一， n 加二，哒哒哒一直到 n 加 m， 好。 现在呢，因为它 m 趋近于无穷了，所以呢， m 趋近于无穷的话，那么 m 其实是等于 m 加一的，它还是等于 m 加二的，一直可以等于到 m 加 n。 好 的，那么现在呢，这一些项就全部可以用 m 给代替了， 那就是 n 的 阶乘等于厘米， m 趋近于无穷。好，现在呢，我们上面直接是 m 的 阶乘，这里用 m 的 n 次方代替了，再除上下面的 n 加一， n 加二，一直到 n 加 m。 好， 那么现在呢，我们再让 n 等于二分之一， 那么我们呢，就可以得到二分之一结成的一个确切表达是 m 的 结成乘以 m 的 二分之一次方，下面变成了二分之一，二分之一的结成等于厘米， m 趋近于无穷，二分之一加一，二分之一加二， 一直到二分之一加 m， 好， 现在呢，这个就是二分之一结成的表达式了，我们再给他计算一下，他等于。 很显然，现在重点在于怎么简化下面这一堆东西，哎，我们给下面的这堆东西来通分一下，二分之一加一，也就是二分之 二分之三再乘上这里二分之一加二，也就是二分之五乘二分之七，一直乘的啦，乘到这里呢，是二分之二 m 加一， 二分之二 m 加一。好，现在呢，上面也就是 m 的 结成 m 的 二分之一次方，我们这里不用动。好了，现在呢，我们给下面提取一个公因数，二 给下面这么一乘，它就等于厘米，它 m 趋近于无穷。好，这里变成二的 m 次方，分之上面三乘五乘七乘的 乘以二 m 减一，再乘二， m 加一，然后上面再来一个 m 的 接乘 m 的 二分之一次方。 好，现在呢，我们把这个二的 m 次方乘到上面来，下面就只剩下了三乘五乘七乘到二 m 加一， 我们把这个二的 m 次方给提到上面来，也就是二分之一的结乘，等于下面只剩下三乘五乘七，一直乘乘乘到二 m 减一，二 m 加一， 这里厘米，它 m 趋近于无穷。好，那么上面呢，原来有一个 m 的 结成 m 的 二分之一次方， 我们再给他乘上一个二的 m 次方，现在呢，再来看怎么简化这一整个式子。好，我们呢，先来给左右两边平方一下，也就是二分之一结成的平方等于厘米，它 m 趋近于无穷。好，那么我们分子和分母都要平方了，就是三方乘五方乘七方，一直乘乘乘到二 m 减一方，二 m 加一， 上面呢，也要平方，就变成了 m 结成的平方，乘以二的二 m 次方，再乘以 m 的 二分之一次方的平方，就只剩下了 m。 好， 现在呢，这一段式子，我们呢，再给他把上面这两项给拆开一下，也就是它等于厘米 m 趋近于无穷。好，下面还是照抄。三方乘五方乘七方，呃， 这里平方乘以二 m 减一的平方，二 m 加一的平方。好，分之上面呢，我们给它变成一乘二乘的乘到 m 的平方，二的二 m 次方就是二的 m 次方的平方就是二乘二，它乘二 m 个二给它平方，最后乘上这个 m， 好， 现在呢，它就又等于 厘米 m 趋近于无穷。好，这里三的平方乘 五的平方乘乘乘到二 m 减一的平方，再乘以二 m 加一的平方。分之上面，我们把两个括号相乘一下，再平方，一乘二等于二，二 乘以二乘二等于四，一直乘到 m 乘二等于二 m 二 m 的 平方，再乘上一个 m， 好，现在呢，我们根据极限的运算法则，我们这里二 m 加一的平方分配一个二 m 加一给右边的式子，再把这个 m 分 配给右边，也就它变成了两个极限相乘的形式。 好，变成了三的平方乘五的平方，乘的乘的二 m 减一方。注意，这里变成二 m 加一了，这里不再平方了。 好，上面呢，还是二乘四乘的乘到二 m， 它的平方再乘上厘米， m 趋近于无穷。好，这里呢， m 比上二 m 加一。好，现在呢，我们重点来看左边的式子，这就是著名的沃利斯乘积。沃利斯乘积，它说的什么呢？就是 limit m 趋近于无穷，三方乘 五方乘的，乘二 m 减一方，再乘二 m 加一 分之二方乘四方乘的，再乘到二 m 的 平方。 好了，这个极限式子，他的值是等于二分之派的，这就是握力斯乘积。好，我们呢，把这个握力斯乘积，他其实和圆式是一样的，就是圆式，左边这一项就是二分之派，再乘上右边这一项， 因为它 m 趋近于无穷了，所以 m 趋近于无穷的时候，二 m 加一，它是等于二 m 的。 好，我们把这个二 m 加一替换成二 m 厘米，它 m 趋近于无穷， m 比上二 m， 哎，右边这个式子就可以看出来，它的结果是二分之一， 也就是二分之派，乘上二分之一，也就等于四分之派。好，现在呢，因为我们是平方了，二分之一结成的平方等于四分之派。 好，现在呢，我们再回到二分之一的结成，他就等于根号，四分之配就等于二分之根号配好了，那么这样我们就得到了二分之一的结成的结果，他就等于 等于二分之根号 pi， 这就是二分之一的阶乘。哇，好复杂呀。

这道题啊，很多同学会死算，珍惜生命，远离死算，说从一二三一直乘到二十一，再去除以三百四十三，然后得到的商千位是几？ 好，那我们先把一到二十一写出来啊，那就是一乘二乘三乘四，然后十五，二十二十一。哎，终于写完了，是不是 再去除以三百四十三？那三百四十三你可以把它分解一下，三百四十三相当于什么呢？相当于是七乘七乘七，是吧？好，那上面这个数除以三个七， 那可以约分吧？好，那怎么约分呢？你看上面刚好有三个十七的倍数，来，我们约分一下看看啊。你看这个七和这个七约分乘二， 这个二十一和七月份剩三。好的，所以最后的商应该是上面这些数相乘吧。那上面这些数相乘最后千位是几？这样。哎，你看，首先有一个十，所以最末尾一定是零，没问题吧？ 然后呢，有一个二十，所以末尾还有一个零，所以最后两位一定是两个零。好，那你再看啊，这个二和五相乘也等于十，所以呢？末尾还有一个零，是不是？那你再看啊， 十五乘以二等于三十，所以呢？末尾还有一个零，所以末尾一定有四个零，所以千位的数字是几？写在评论区吧。

零点五的阶层等于多少？相信大多数人第一反应都会愣住啊！三的阶层是三乘以二乘以一等于六， 二的阶层是二乘以一等于二，一的阶层是等于一。小学就会，对吧？但零点五呢？半路出家怎么乘？乘到零点五再乘零点四？不对啊，按课本他没有定义，抄干了啊！ 可数学最震撼的真相来了，零点五不仅有阶层，还有精准答案！它等于二分之根号派数值约等于零点八八六二。 一个小学的概念打理，居然蹦出了派圆的秘密！很多人心里都会疑惑啊， 明明只是数字连成，怎么跟圆周率扯上关系？看似八竿子打不着，一个代表离散数字相乘，一个代表圆形曲线规律。这里藏着数学大一统的内核。 我们日常数学的整数阶乘是离散的，点算计算，只适合一个个独立整数。但数学家问了一个疯狂的问题，如果硬要给零点五的阶乘乘一个答案，他该是多少？ 两百年前，欧拉干了一件大事啊！他发明了伽马函数，把点状规律顺滑连成一条连续完整的曲线。这条曲线在延伸的过程中，天然气和圆旋转积分之类连续几何规律。 圆周率派本就是描述连续曲线最核心的常数。当切成从整数小岛延伸到小数，连续虚切，必然会触碰曲线世界的密码，爱也就自然而然出现了。这背后藏着一个核武器级别的工具，叫解析圆通。 听着像天数，但你记住这句话就够了。如果一个函数在小范围里是光滑连续的，那它就像一颗种子的 dna。 大 自然已经规定好了，它出去以后该长成什么样子。 人为划定的定义域，从来不是困住你的围墙，只是你起步的基准线。最经典的例子是里曼 zeta 函数， 他在定域力老老实实，但经过解析研读，他居然告诉你，自然数之合一加二加三加四，一直加下去等于负的十二分之一， 不是玩笑啊！这是现代物理和数论的基石，这背后藏着两层深刻含义。第一，世间规律本是一体，人为划分只是认知局限。 我们课本把算数、几何、函数拆分成不同板块，看似互不相关，可真实的数学体系浑然一体。 离散数字与连续曲线、直线运算与圆形轨迹、底层规律互相贯通，打破边界，就能看见知识彼此交融的真相。 第二，局限视角看不到全貌，延伸探索才能窥见本质。站在整数范围里，永远察觉不到阶层和原有关系。 只有跳出固有定义域，用伽马函数拓展边界，依靠解析研拓探索全貌，才能发现隐藏的内在观念。这一幕，像极了茫茫大海上孤立的小岛，肉眼所见，海岸线就是全部边界， 岛与大小定格不变。可谁都清楚，海面之下还有庞大幽深的山体相连， 只是被既定范围遮挡了模样。学习数学，成长做人，我们常常都活在自己划定的小岛上。课本划定知识点，考试限定题型范围，我们默认超出区间就是未知无解，不必触碰。 久而久之，思维被死死框住，只会解答圈内题目，划出一步就束手无策。但数学里藏着一个震撼底层逻辑。定义域从来不是一堵墙，而是一条起跑线。一个函数在有限区间内 模样普通，可它本身自带完整的运行规律与成长蓝图，只要顺着本质规则向外延伸推导，就能打破原有边界， 算出原本以为不存在的答案。就像阶梯，原本只浮于整数，借助解析研拓、向外拓展定义，就能顺利适配小数分数，解锁全新计算结果。 那些看似不存在的答案，从来不是凭空诞生，只是原本就藏在事物本质里，被边界掩盖而已。很多孩子觉得自己只会算课本上这些， 但就像零点五的阶层有答案一样，你今天的范围不等于你能力的极限，超出范围的不是没有答案，只是还没被发现。这份道理不只适用于冰冷的数学公式，更适配每一个人的成长。 孩子学习不必局限课本考点，规定范围只会禁锢思维天赋啊！每个人的潜力都如同拥有完整内核的函数，当下掌握的知识只是极小一段。定义域不要被眼前的边界定义自身上限， 打破固有认知的牢笼，顺着事物本质不断向外探索延伸，你会发现，原本无解的难题有答案。 看似渺小的自我，藏着远超想象的辽阔天地，走出局限的那一刻，才是真正见识自身潜能，遇见广阔世界的开始。数学里没有超纲，人生里也没有，你的 dna 里早已写好了更大的世界，有启发吗？更多精彩内容可以预约直播呦！

观众老爷们，你们好，今天我想与大家来谈一谈用 c 语言如何来实现数的阶层。数的阶层想必大家都不陌生，这是一个数学术语，我们都知道数的阶层里面负数呢，他是没有阶层的， 然后零的阶层啊，是一，那之后的阶层呢？大家都知道，就是给定一个正整数，然后求出啊，所有小于以及等于该正整数的积， 比方说我们给定一个正常数五，那五的阶层是不是用这样的符号来表示啊？那他就可以得到一乘二，乘三，乘四，乘五，最后我们得到结果是一百二十。那今天呢，我们不仅仅 用 c 语言来实现数的阶层，还用到我们之前的提到几种方法，也就是我今天要给出的几个要求，第一要求就是直接在组函数里实现， 第二要求就是要写一个子函数并吊用，第三个是写个地规函数，这样做呢，不仅仅是帮助我们理解 如何实现数的阶层，更是帮助我们理解之前我们 c 员讲的一些方法。好，我们先来看一看流程图，这里的流程图应该怎么画呢？我已经给大家画好了。首先第一个是组函数直接写的，那我们 是不是要先给定一个正整数啊？那给定一个正整数，是不是输入一个正整数就用到一个 stele 啊？对吧？那我们要把给定的正整数所有小于以及等于 正整数求出他的积，是不是要便利便利比正整数要小的数啊，对不对？然后呢，再在这个循环，那样他要不停的相乘，对不对？好，那话不多说，我们来实际操作一下，试一下。 好，这里是我之前写好的，我先把先给去掉，我们先给定一个最基本的一个组函数，这就是我们最基本的一个组函数吗？对吧？那我们是不是要先输入一个正整数，我们先初始化定义一个数， 然后呢？我们之后是不是要用到一个 spf 啊？输入这个正整数用的之后，我们是不是要写一个货循环啊？要便利， 注意，我们这里是从一开始的，因为零的阶层啊，他是一，我们这里从一开始我们零的阶层。等一下我再跟大家讲零的阶层，零的阶层不是一吗？到时候他是怎么来写的？好，观众朋友们看这里， 我们在这里写的时候，我们这里的主要目的啊，是不是把所有的癌给输出出来啊？是不是把所有的癌给变了一遍？那这里的癌得到的结果是不是从一开始到五啊？一二三四五啊？ 比方说我输入五，一二三四五，那我们的目的是不是要五乘四乘三乘二乘一，对不对？那这个时候我们是不是要需要一个数来存储这个癌啊？对吧？那我们是不是这里要就要定一个数了？我们因为阶层的英文是 fact tore， 有我们就 fact。 又来表示，那这里的 facetoreel 啊，他是不是每次都是要与这个 id 相乘啊？ 要有这个哀伤者，但是我们这个 face tore 哦，我们是从几开始的？从零开始，那肯定不行，他每次都是零的吗？那肯定是从一开始，因为零的阶层都是一嘛，我们零的阶层都是一，所以我们就初始化定义， 初始化定义为一，对吧？那这样的好处是什么？我们掰个头肉大家看。掰个头肉，他是一，那他是不是一 就是一乘一等于一啊，对不对？那第二次的时候，哎，是不是变成二了？那是不是二乘一等于二？是不是前两个相乘了？那第三 单词是不是？那这个时候他就是二，单词是不是三乘二？是不是六了？第四次是不是四乘六？注意，这里是四乘六。所以说我们这里的 face to you 的目的就是比方说我们把 把前面一的阶层给求出来，那我们要求二的阶层是不是只要一的阶层乘以二就行了？那三的阶层就是二的阶层乘以三就可以，那五的阶层也是从两，但是五的阶层等于等于四的阶层乘以 乘以五即可，对吧？好，那我们这里呢，把它打印，是不是要打印到外面去？因为我们只需要输出最后的结果就行了，那这里呢，自然是用我们的 face to you 来表示了。好，接下来我们来测一下结果是不是？ 这是我们期望所得到的一百二十一样呢？我们先输个五，好，一百二十看测试是正确的。当然我们这里还要严谨一点，就是零的阶层是一，那我们用零来测一下是不是一，哎，也是一，因为我们这里啊，规定了他这里就是一， 零的阶层就是一，明白不？好，那我们接下来进行下一步，就是我们第二个要求，子函数并调用， 那子函数并交由。那其实很简单嘛，分子函数和主函数，子函数里输入正常数货循环以及不停枪式。好，这个时候我们怎么来写呢？就是我们这里给定一个子函数，注意我们这里用的子函数是用 wory 的，然后呢，我们为了清晰一点，用这个来表示 w。 好，接下来呢，我们就直接把这些啊全部放到这里面即可，这里呢直接调用这个方法即可。好，我们来测试一下最终结果是不是正确的， 一百二正确，然后零呢？试一下零的阶层是一吗？一好，正确，那这样说明我们的第二个要求也是满足了，接下来就来我们看看最后一个要求，就是第 地规函数的方法，分地规函数和主函数。地规函数我们是不是要不停的调用自身啊？对吧？好，那先来解决这个问题，不停的调用自身，我们这里 因为要不停这样子的，所以说我们这里就要用这个硬扯，那我们这里先就类似于构造器嘛，那如果说我们的恩啊，小于等于零，我们这小于等于零 目的是什么？防止负整数，防止负数以及零的零的阶层为一。好，然后呢，这里就直接返回 一个一即可。接下来我们是不是在每次返回一的时候，我们是不是要如果说 n 等于一的时候，是不是 n 要乘以前面的这种刷也是一吗？对吧？那我们这里的 factturir 就要把它变成 n 减一， n 减一，当然其实这里写成 n 小于等于一更好，当然 n 小于等于零也是可以的，比方说我们 n 等于一带进去，等于一带进去，一带入以后， n 这里是不是一啊？这不是发克托瑞琳啊，发克托瑞琳的指不就是一吗？所以说我们这样的目的啊，就是为了 让他哎与比他小小的正整数相乘，因为我们这最小得到正整数的结果是一吗？对吧？好，接下来是这里，我们这里是干，这个时候我们的这个南码就要写在这里了，初始化定义，然后是一个思量图， 写个斯干夫。好，接下来直接打印即可。嗯， 打印即可。其实这还是算很蛮简单的，难度并不是特别大，而且可以发现啊。好，接下来我们来测试一下，看一下结果是不是正确啊。这里这个注释忘记再来一下，跑一跑。好，运行成功了，我们来测一测五，输进去 结果是什么？一百二十正确，零呢？我再带入一个零。好，是一正确。大家可以 看到，与我们之前的两个方法相比较，第一归函数是不是显得更加的简略一些啊，而且代码的利用率也更高了，是不是非常简单。好，本期节目呢，就到这里，我们下期再见。拜拜。

在之前咱学过排列数的公式，也就是 a n m 等于从 n 开始一直乘到 n 减 m 加一共 m 的数， 这表示从 n 个东西里取出 m 个东西排顺序的方法数。那这玩意也就表示从 n 个东西里取出全部 n 个东西排顺序的方法数了。咱们把这个就叫全排列。至于他的数值吗？应该等于从 n 开始一直乘到一向下，连续成了 n 个数。在这里，为了简单表示这 n 到一这堆数的乘积，他就用 n 和一个叹号来表示， 这玩意就叫做恩的结成。举个例子来说，五的结成就表示从五成到一，十的结成就表示从十成到一。有了这种形式，那咱就可以给排列处的公式化解一下了，这玩意就等于恩的结成。 而这里的 a n m 是从 n 乘到 n 减 m 加一的，和 n 的结成相比，少了 n 减 m 一直乘到一这部分。为了凑出 n 的阶层这种形式， 那咱就把这部分给他呈上，之后别忘了再除掉就行。很明显，分子这里就是从 n 乘到一记 n 的结成了，而分母则是从 n 减 m 乘到一记 n 减 m 的结成。到此，排列数的公式就可以简写成这样了。了解了这些，那咱就来看一道比较特殊的问题， 已知 a 二 x 三等于二倍的 ax 加一四，问你这里 x 等于多少？哎，这不就是个方程吗？只不过这里有排列数的符号，咱得先来翻译一下才行。先来看看左边这部分，这玩意根据刚才的公式，其实就等于从二 x 开始向下连续乘三个数， g 二 x 乘二， x 减一，乘 二， x 减二，这样等号左边就搞定了，而右边这部分表示的就是从 x 加一开始，向下连续乘四个数， gx 加一，乘 x 乘 x 减一，乘 x 减二，再乘上这个二，那等号右边就也搞定了。到此，咱就得到了一个特别长的方， 不过这也没啥难的，给这边提取个二。很明显，等式两边有相同的部分，而由于这个排列符号表明这个 x 一定是大于等于三的，那他俩就都不是零， 因此咱就可以放心约分了。把他们约掉，然后去掉括号化解一下，接着再来一个象，合并一下，再提取个公因数，咱就可以得到这玩意了。算一算， x 一就得零， x 二就得五，这就是方程的两个减了。 不过刚才说 x 是大于等于三的，因此这个解就得被舍掉了。那最后的答案就是 x 等于五了，搞定！ ok， 总结一下，对 这种包含在排列处里的方程问题，咱就可以利用排列数的公式写出相应的方程，然后把它解出来即可。不过最后可别忘了验证一下结果哟！怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！

同学们，语文当中的感叹号你会用吗？你会用的吧？可是数学当中的感叹号你会用吗？不会了吧？来，我老师来教你一下咋做个数学题。还有感叹号呢？感叹号代表什么意思啊？感叹号他其实有个专业的名字，叫做阶沉塔。 啥叫阶层啊？举个例子，比如说现在有一个数叫做八感叹号，那他就叫做八的阶层。八的阶层的意思就意味着是从一开始连续不断的相乘，一直乘到几为止呢？一直乘到八为止， 有毛病吗？没毛病。好，一旦了解了阶层是什么，那接下去我们来想个问题，阶层它能不能长大呢？当然了，来看这么一道题，说现在八的阶层乘以九，你说它等于几？八的阶层乘以九，八的阶层是等于一乘到八，而后 又成了个九，那就变成了一乘到九，那我们就可以把它写作九的阶层，有毛病吗？没毛病。好，那接下去我们就用这种方法来思考一下这道题。 上面一的阶层乘的是个一，二的阶层乘的是个二，三的阶层乘的是个三，这不符合我们这个天天向上想要变强的这个内心的诉求吗？那怎么 我现在三的阶层我最爱四，因为可以让我长成四的阶层，而我二的阶层最爱三，可以让我长成三的阶层。那么接下去我们就去满足他们嘛，啊，让他们去进步。好，所以呢，我们来给他做一个简单的一个小小的改造。好，现在我这里把前面这个一可以改成二减一， 那就变成了二减一，乘上一的阶层。那现在这一个二呢？啊，就去把它变成三减一， 三减一去乘上二的阶层。好，接下去。同理，改成四减一去乘上三的阶层，一直往后，那到最后一个的时候就会变成谁？哎，最后一个的时候他就会变成一百零一减一乘上一百的。 那这么改完之后的话，我们得去括号吗？有毛病吗？没毛病，来给他去一个括号。现在一的阶层乘个二，他就长大了，就变成了二的阶层， 而一的阶层乘上一，那还是本身依旧是一的阶层，那二的阶层乘三是等于 三的阶层，二的阶层乘一乘一，还是等于本身，所以依旧是二的阶层。那后面呢？来找抄，应该就是四的阶层减掉三的阶层，到最后就会得到 一百零一的阶层。减掉一百的阶层有问题吗？没问题。好，接下来我们来看下这个数字 里面有大量的就可以被抵消掉，这里有二的阶层，这里要减掉二的阶层，这里有三的阶层，这里要减掉三的阶层，那么等下四的阶层一定也会减掉四的阶层，一百的阶层一定也会减掉一百的阶。 全部抵消完了之后，就剩了个小尾巴，剩了个头，所以最后的结果就是等于一百零一的阶层减掉一的阶层，一的阶层就是等于一。计算就是这么简单，你学会了吗？

零的阶层等于一，这个概念直到现在我才明白它的意义。好，那我们理解这一点，我们可以用的第一个方法就是乘法。方法好，那如何写任意数的阶层？比如四的阶层，那就等于四乘三、乘二、乘一，那么三的阶层就是三乘二、乘一。 好，二的阶层，那就等于二乘一，那么一的阶层，那就等于一。但是我们可以用更简洁的方式来写，那么你会觉得是什么呢？那我们来通过发现，这里四的阶层是等于四乘三、乘二、乘一，而这里的三乘二、乘一刚好就等于三的阶层，那么四的阶层就等于四乘以二的 阶层。好，那么二的阶层就等于二乘以一的阶层。 那我们继续往下，那么一的阶层应该就要等于一乘以零的阶层。那么你看这里一的阶层是等于一，我们要使这个等式进行成立的话，那么零的阶层就要要等于 一。第二种方法是通过除法，那么我首先问一下大家，二的一次方是不是等于二？那么二的平方就等于四，二的立方就等于八，二的四次方就等于一十六。 好，现在我们反过来，我们运用的是除法，而不是乘法。二的四次方或十六，我们除以二，是不是就得到二的立方或八？那二的立方或八再除以二，我们是不是就可以得到二的平方或四？ 二的平方或四再除以二，我们就可以得到二的一次方或二。所以如果我们一直往回算的话，那么二的一次方 二再除以二，我们是不是就可以得到二的零？次幂应该等于一。零的阶层，也就是一除以一或一。同样，那我们把这个思想运用到阶层上面，那我们知道，一的阶层等于一， 二的阶层等于二，三的阶层等于三乘二乘一或等于六，那么四的阶层，那就等于四乘三乘二乘一，等于四乘六或二十四。现在让我们反过来计算，拿二十四除以四，那我们是不是就可以得到三的阶层？ 那么同样的道理，我们拿三的阶层六除以三，就可以得到二的阶层，然后我们再除以二，我们就可以得到一的阶层。如果我们往后再退一步，我们将结果再除以一， 那一除以一就等于一，而这里是四、三、二，一应该是零的阶层就等于一。第三种，我们是通过概念的方法，那这个就是我们对阶层概念的一个定义。任何数的阶层都告诉我们，将这么多的物体排列成一行，他有多少种不同的方法。 我们举个最简单的证明，你像我有字母 a、 b、 c， 那 么我们可以得到六种不同的排列方式。 这就是为什么三的阶乘等于六。如果我有两个字母 a、 b， 那 我们可以排列成两种不同的方式，那也就是二的阶乘等于二。如果我只有一个字母 a， 那 么就只有一种排列方式，所以这里一的阶乘就等于一。那么现在想想，我们有多少种方式可以排列零个物体，听起来很奇怪，对吧？但仍然只有一种方式可以排列零个物体，听起来很奇怪，对吧？但仍然只有一种方式可以排列零个物体，听起来很奇怪，对吧？但仍然只有空字不字。 所以根据这个定义，零的阶层一定是等于一的。第四种方法，数学当中并非所有的事物都是有意义接受零的阶层等于一这个事实，然后继续前进。关注我，带你玩转数学。

来看一道求合题。计算 s 等于一乘以一的阶程加二乘以二的阶程，一直加到一百乘以一百的阶程， k 乘以 k 的接成。我们把它列下，看成 k 加一，再减一乘以 k 的接成。 于是 k 加一乘以 k 的阶层变成了 k 加一的阶层，一乘以 k 的阶层还是 k 的阶层，这样你把它裂开了， 从而 s 等于二的阶层减去一的阶层，加上三的阶层，减去二的阶层，再加格格格加一百零一的阶层减去一百的阶层。然后这些拼 他都消掉了，只剩下一头一尾。所以答案是一百零一的阶层减一。你想明白了吧？高考加油！

今天我们来看一个有趣的问题啊，有没有负一的结成？在看这个问题之间，我们回顾下关于阶层的一些知识和阶层的一些拓展。首先最基础的知识就是 n 的阶层等于一，乘以二，乘以三，乘以四， 一直乘到 n， 而 n 加一的阶层，他写的跟 n 的阶层有关的形式就是 n 的阶层乘以 n 加一。通过这个形式啊，我们知道 n 的阶层等于 n 减一的阶层 乘以 n， 以此类推啊。二的阶层等于一的阶层乘以二，一的阶层等于零加一。也就是说，零的阶层乘一等于一的阶层，他们都等于一啊，零的阶层等于一啊。按照这种方法，我们推出来零的阶层等于一， 但是照这样去讨论的话，我们会得到，零的阶层等于负一的阶层乘以零，而零的阶层是等于一的。任何数乘以零是等于零的。很显然啊，这是一个非常矛盾的问题啊，那负一的阶层有没有呢？没有啊，没有这种定义啊， 有人就很奇怪了啊，为什么没有那么低呢？我们可以求出二分之一的阶层，甚至可以求出负二分之一的阶层，那为什么求不出来负一的阶层呢？那么我们就回顾下，如何求二分之一阶层，如何求负二分之一的阶层呢？啊， 在我之前的视频中曾经就分享过如何求划分的阶层啊，他用的是伽马函数，这个实际上是 x 减一的阶层和 n 的阶层，实际上可以写成 n 加一， 他这种形式啊，根据这种形式，我们实际上是可以算出来啊，他的积分是等于一的。同样的，这是我们之前算出来的一个结果，而负 out 分积的阶层代进去啊， 实际上这个是可以求出来的，我们稍微的写一下，而这个负二分的阶层实际上是可以求出来的，我们稍微把这个求一下， 好带到这里会发现。而关于这个的积分，之前我们就分享过如何求他把它换成三角函数的形式去求，比较简单，那这里就不说赘数了，里面这个积分 实际上是等于根号派除以二，也就说这整体是根号派除以二乘以二啊，等于根号派。我们把负二分率的积分也求出来了，但是呢，当我们把负一带进去的时候，我们求不出结果， 我们可以把它分成两部分，从零到一的部分和从一到正无穷大的部分。 我们知道这一部分啊，这一部分大于零，那么这个总体的积分肯定大于零啊。这边我们先不求，我们看这边啊，我们可以求这个范围啊， 一的 t 字方在 t 属于零到一时，这个一的 t 字方是不是肯定小于一的呀？ 也就是说一除以一的 t 值班肯定大于一分之一的呀，那么这个整体啊， 是不是大于我们把一分之一提出来，而这个呢，我们是可以积分的呀，他不就是一分之一乘以 non x， 它不就是 no x 的倒数吗？所以它积分就是 no x 从零到一啊，但是呢， x 没有取零的点，只能无限接近于零，这个时候 no x 是无限接近于富穷的啊，减去一个富穷， 他是一个正无穷，除以一也是个正无穷啊，说明个什么问题？说明这个积分呢？在零到一的积分，他是一个正无穷， 一个正无穷加上一团正数啊，那么就是正无穷呀。证明什么问题？证明负一的阶层带进去用伽马函数运算的话，他只能算出一个正无穷的，结果还没有明确的值，所以没有负一的阶层啊，无法定义负一的阶层。 所以我们可以看到有人求 f 分的阶层呢，有人求 up 分的阶层呢？有人求一的阶层，零的阶层呢？就是没有求负一的阶层的啊，因为他的用户强大，所以干脆就没有定义啊。 ok， 关注我，让学习变得更有趣一点。