山大附中高一立体几何测试卷

晋中的期末考试题居然和长治一中的考题一模一样，谁抄的谁？还是谁组织联考了？谁违反规定，谁违反纪律，跟我没有关系，我只对这份卷子题目做评价。这卷子吧，比太原市出的稍微走点心，但是呢，难度也不高。 长治一中和晋中的一众名校考制的卷子有点看不起自己的学生了，要是中考七百分以内的学校，做一做啊还比较合适 啊。有一些突出的尖叫声也能被最后道题的压轴题进行筛选出来。作为学校，即使购买试卷，也应该选择一份适合自己学生的卷子。 或者就像人家五中常青藤山大附中，我跟你们一起考一次，对比对比，我呢，还要自己再单独考一次来体现差距，查漏补缺。 话说回来，这份题啊，压轴题和太原市的去年的期末考题考的题型是差不多的，有那么点意思，值得多思考思考。其他题目没有考的同学就不用看了，参考意义不大。

期末双考就是两次期末考试啊，这就厉害了，能这么干的。猜猜太原有几所高中？如果我告诉你有三所，你猜一猜是哪三所？第一所，长秦塘。跟太原市考一次胶原史卷，再跟山大附中和一次山大附中卷，期末考四天可把大家折腾坏了。 两份考题，两个极端，太原市简单到有手就擒，山大附中卷难到令人窒息啊！咱们今天说一说山大附中卷， 高一卷子毫无意外，真是不简单。让我评价难度的话，我觉得可以继续和长治太行并列第一。附中卷子出的难一点一点也不意外，意外的是附中出题居然开始照顾考生心理了。 难题是有，但是送分题也不少，好多题在考察基础，也让大家别太难看。估计是跟人快过年了有关系， 过年拿着二三十分的卷子确实不好看。想拿卷子做的同学请注意，附中进度稍快，期末考试就已经考察到圆周运动大本学校还没有讲到，题目虽好，但是进度不合适，不如看成隔壁五中卷，咱们下个视频讲。

好，大家好啊，这马上期中考试了，对吧？然后正好昨天呢，咱们把那个呃立体几何的表面这个体型内容呢，都大概说了一下，那我看这份上到附中的这个卷子里面，就去年的期中考试卷子里面 那个立体几何的部分，也只有这个体积的部分啊，体积包括外界球啊，这些东西是正好适合咱们一起来做一个期中的复习。那么这份卷子呢，我就给大家全部把它录一下啊，把每个题呢都挨个讲一讲，因为里面还是有几个啊，特别经典的一些题的。但是整份卷子难度呢，整体不算大， 因为里面大部分都是一些常规题，因为他相对来说考地理几何，他没法考，太难啊。前面的解三角形的部分，就是最后一个题， 考了个分码点，这个分码点我们在之前在太行中学那份卷子里面，正好一模一样的题啊，几乎一样的，我们再来重新把它说一说。好吧，我们先来看这个第一题啊，从第一题开始，看看整份这个卷子难，难易程度啊，你们自己感觉一下 来。第一个，若负数 z 满足这个东西，那 z 的 虚部是什么？注意啊，虚部是不含 i 的， 所以这个 a 呢？ b 呢，就排了是不是？好，那把这 z 分 解一下， z， 它就是等于 i 乘过去就是 i 减 i 方就是加一，这等于一加 i， 是 吧？一加 i， 那 么虚部是什么呢？一 啊，虚部是一，是 a 加 b i 啊，这个 b， 它是虚部。好，第二个，如图，向量，这个向量的基本的向量算，他说 o a 向量是 a 向量， o b 向量是 b 向量， oc 向量是 c 向量，那么 o、 d 向量等于什么向量？用 a 向量和 b 向量和 c 向量的表示这个 o、 d 向量，那么这个向量它怎么去表示 o、 d？ 你们可以思考一下啊。那这地方这个好像感觉总感觉不太合适，对不对？那其实呢，你就考虑什么，那个 o、 a， o b， o c， o d， 它是从同一起点出发的，同一起点出发的，我只要得到个等量关系就行了，对不对？所以这个题考的还算是比较新颖的，我们就用 a、 d 向量等于什么呢？等于 b、 c 向量，它平行是不是平行的嘛？ a、 d 向量肯定等于 b、 c 向量，那 b、 c 向量是不是可以选择 o、 d 减 o a 啊？这等量关系不都来了吗？ 对不对？所以 o、 d 向量等于什么？等于 o、 a 向量移过来就是 a 向量，然后加上一个 c 向量，减去一个 b 向量， ok 吧？所以 a 加 c 减 b 啊，选 a 看这个方法是不是比较好一点啊，直接免得这线路转换，转来转去，你也不知道往哪个方向转，对吧？好，这是第二个。那这第三题啊，这是个体级问题啊，这概念问题，那去掉一个三等锥， a 撇 abc 的 之后，剩下的部分是看哪部分？剩下的是不是 a 撇 b， c， c 撇 b 撇 a， 对不对？那这是什么东西啊？这不是底面就是这么个样子吗？这不是个底面啊，底面是个四边形，然后有个顶点，然后顶点和它四个点都有连线，对不对？都有连线，这什么东西？是不是四人追啊？啊？四人追啊，看清楚，不是个组合题啊，很多学生看了好像感觉怪模怪样的对不对？ 好，那第四题啊，考了个投影向量的概念来，投影向量 a 到 b 向量上的投影，我就先写 b 方向上的单位向量，然后呢，再算一下 a 到 b 的 投影长度，对吧？ a 到 b 的 投影就是 a 和 b 的 数量级呢？除以 b 的 模啊，这是 a 到 b 的 投影啊，分两步写 好，然后 b， a 和 b 的 数量级就是负三加六就是三。除一个 b 的 膜， b 的 膜是一个五，然后乘以一个五分之 b 向量，那相当于是二十五分之三倍的 b 向量，是吧？ 哎，不对，这膜长不就是五吗？我看看啊，投影向量， 它算投影向量 b， a 在 b 方向上投影向量嘛， a 和 b 的 数量级。咦，我算错了，负一负三哦，不是二次得八嘛，负三加八嘛，是五嘛，对吧？这个是五啊， 我这干啥了这是在，然后这个算数算的没答案呢，摩擦，是五没问题。那 a 和 b 的 数量级算错了，负应该是负三加六了，二四得了八啊，负三加八是五，所以这个地方就等于五分之 b， 对吧？五分之一倍的 b 向量好，五分之一倍的 b 向量就等于五分之三，五分之四选二 b 啊，这是第四题。好了，看第五题， 三角形 abc 当中呢？啊，这么个条件是吧？那看这个东西， a 方 b 方 c 方，是不是肯定考虑余弦定力啊？两边同时除以二 a b， 这不有个二 a b 吗？除过来二 a， b 除过来，这边没有了，对不对？所以左边就是考三以 c， 右边就是根号三倍的三以 c， 然后把它除过来，就是摊进了 c， 它是等于三分之根号三，那 c 是 不等于三十度， 对不对？ c 等于三十度好，那 ab 加 ac 等于 bc 的 膜， ab 加 ac 什么东西？那 abc， abc 向量加 ac 向量，它应该是等于二倍的 ad 向量，对吧？二倍的 ad 向量，然后它是等于 bc 的 膜， 这角 b 等于多少啊？相当，我知道角 c 是 一个三十度， 然后 ab 加 ac 是 什么东西？ ab 加 ac 是 不是就是这个 bc 边上的斜边呢？斜边上的中线对不对？那中线的两倍等于 bc， 说明中线等于斜边一半嘛，这不就直角嘛。所以角 a 是 不是就直角 角？ a 是 直角角， c 是 个三十度，那角 b 是 不是六十度啊？就三分之派嘛，对不对？就这个题，是不是考了这个啊？一个特殊的三角形啊！特殊三角形 好，你看这个第六题，三角形 a、 b、 c 当中呢？ b、 c 等于三倍的 b、 d 啊，这又看是个比例问题啊，做过什么 m、 n 呢？是不是三点共线的问题啊？那这个把一写 a、 b、 c 好， b， c 呢？等于三倍的 b， d、 d 是 个三等分点，对吧？然后 c、 f 相当于二倍的 f， a、 f 点是 个三等分点，对吧？也是个三等分点。好， e 是 ab 的 终点， e 是 ab 的 终点， 把三个点都写出来。什么？然后 e、 f 呢？与 a、 d 交于 p 点啊， e、 f 和 a、 d 交于 p 点 啊？交于 p 点。若 a、 p 向量等于多少倍的 ab 加多少倍的 ac， 则 m 加 n 啊。这题这还是三点共线，对吧？那么因为我这地方 a、 d 向量， 那 a、 d 向量它和 e、 f 交于 p 点， p 点在 e、 f 上，所以用什么？用 a、 e 向量和 a、 f 向量和 a、 p 向量三点共线来做对不对？ p、 e、 f 三点共线来做，那 p、 e、 f 三点共线，那这个 a p 向量 等于多少倍的 a e 加上多少倍的 af？ 那 么也就是说现在我得知道什么 p 是 占了 ad 的 极等分点的是不是？那先把这个地方写出来。所以 a p 向量我假设它是等于什么？等于那么大倍的 ad， 可以吧？啊？ ap 它等于那么大倍的 ad， 那 ap 等于那么大倍的 ad， 然后 ad 向量呢？我要往 ae 和 af 上转， ae 和 af 上不好转，我先往 ab 和 ac 上转，因为 ad 往 ab 和 ac 上特别好转，它等于那么大倍的 ad。 ad 可以 选择三分之二倍的 ab， 然后加上一个三分之一倍的 ac， 对不对？ d 是 靠近 b 的 三等分点嘛？那学会写这个东西好。然后等于三分之二阿拉伯的 a b， a b 就 写成二倍的 a e 加上个三分之一倍的阿拉伯的 a c a c 可以 写成三倍的 af， 是 不是？所以就等于三分之四阿拉伯的 a e 加上个三分，加上阿拉伯的 a f。 啊，三分之一和三约掉了。好，你看我现在把 ap 向量呢，等于多少倍的 a e 加多少倍的 a f 是 不是表示出来了？那表示出来的前面的系数和是不等于一啊？那系数和等于一是不是做完了？所以三分之四阿拉伯加阿拉伯等于一，那就三分之七阿拉伯嘛，阿拉伯等于七分之三， 那么呢，等于七分之三。好，那么呢，等于七分之三，所以 a p 向量等于多少倍的 a b 加 a c， 那 不就已经写出来了吗？这玩意不对，对不对？所以 a p 向量就等于七分之三倍的三分之二倍的 a b 加上一个三分之一倍的 a c， 那 这系数和一个就是 m， 一个 n 嘛，是吧？一个就 m， 一个 n 加 n 的 话，你看三分之二加三分之一是不是等于一啊？一乘七分之三就是七分之三嘛，对不对啊？当然你也可以算出来啊，就是 这个三分之二乘七分之三，加个三分之一乘七分之三，那不就还是七分之三吗？是不是？好，这是第六题啊，说这个题就考了我们之前的那个什么，就两条直线，对吧？两条直线，然后相交，相交了一个点，然后这个点呢？然后他和这个 e f 的 焦点，那怎么去换算的？就三点公线的一个结论。 好看。第七题啊，第七题，这个题是个立体图形，考了个圆台的体积，是吧？那圆台这个体积公式，他上底面告诉我了，下底面告诉我母线告诉我，没有告诉我高。那么他的一个半球两个部分构成半球的密度啊，他这个 半球的密度是圆台密度的三倍，圆台的质量是一百九，他求总质量。这个不倒翁总质量啊，那就求体积就行了吗？ 我得先通过原台的质量和原台的体积算出来原台的密度，原台的密度，再算出来半球的密度，再乘以半球的体积，就是半球的质量，是不是？这个思路好，来看看。现在算原台的体积，母线长是根号十，然后上半径是二，下面是个三， 那你做做个高，对吧？做个高，这个就是一嘛，那这个高就是个三嘛？根号十减减一嘛，对吧？就是三。 好，三的话，那就体积公式，三分之一倍的上底面积四派，下底面积九派，加上根号下乘积就四乘九三十六开根号六派， 是吧？乘一个高，高是个三，这就是圆台的体积啊。圆台的体积我们算一下，它是等于十九派，对吧？十九派，那圆台的质量是一百九十克，所以密度就是一百九十克除以十九派，这是圆台的密度，算出来球的密度就是乘个三， 那密度再乘以一个球的体积，球的体积半球，球的体积是三分之四，派半球就是三分之二派，乘一个 r 的 三次方就是二十七，是吧？这个就是球的一个 那重量啊，然后再加上一个那个什么那个圆台的一百九啊，我们来算一下，那派和派约掉十九和一百九，约了是五百四吗？对吧？五百四加上个一百九，六七百三啊，所以选四 d 看看。就这个题，他本身其实也不难，他就考这个圆台的体积公式啊，看这个圆台体积公式自己能不能记住是吧？那记不住的话，就把它还原成圆锥啊，还原成圆锥自己算一下。好，我们看第八题， 第八题是一个折算，折算告诉我一些信息，你看半径为三， a、 o b 是 一百五十度，然后点 e 和 f 都在 ab 和 a， ab 弧上和 c， d 弧上，然后 f e 向量呢？是等于二倍的 o f 向量，所以 o f， e 三点正共线的，对吧？这个半径我知道的， a、 o b 的 半径是三啊， 那 o f 又等于 e f 一 半，说明 e f 是 二嘛， o f 是 一嘛。那么要求 af 和 o e 的 数量级，那 af 和 o e 的 数量级， af 这个东西就是感觉悬空的一个向量，对不对？所以咱们尽量把这个悬空的向量转化到什么同一起点，那你肯定转化成 o 点比较方便。所以把这个 af 向量 和 o e 向量的数量级，你把 af 直接写成什么 o f 减 o a 吧， 是不是 o f 减 o a， 你 看这多方便，因为 o f 和 o e 的 数量级太简单了， o f， o e 数量级就是假角，是零度嘛，就一乘三就是三，减去个 o a 和 o e 的 数量级好。 o a 和 o e 的 数量级， a 是 不动的，就 e 在 动， e 在 这个弧上动，对不对 啊？ o e， a 是 不动的，那我知道 o a 的 模长吗？你看这地方，我们说如果我知道这个顶这两个点的距离是不动的，那我知道两个向量其中一个膜的话，那其实两个向量的膜我都知道。 这就很简单，其实 o a 和 o e 的 数量级，对吧？就这个假角的一个范围嘛，就这两个摩擦都知道就是个三，当然你也可以用投影来算，是吧？都可以啊，都可以。所以这个 o a 和 o e 的 数量级，它等于 o a 的 模式三。 o e 的 模式三，三三得九，乘以个烤山 and c 塔，那 c 塔不就这个角吗？那么这个角的范围是不是从零度到一百五十度呢？对不对？所以烤山 and c 塔的范围它是小，等于一，大于多少呢？一百五十度是负的二分之高三， 那这是 o a 和 o e 的 向量积它的一个范围，然后乘个九倍就行了，对吧？然后用三，所以 o a 和 o e 的 向量积，它就小于等于九，大于等于负的二分之九倍，根号三，然后再用三一减，然后减最大的就最小的就是负六， 对吧？减最小的就最大的，就是三加二分之九倍根号三，二分之九倍根号三，那就选四 d 嘛， 对不对？选四 d。 所以 看这个题，它本身其实难度不大啊，就是看你把这个 a f 要转换到 o f 减 o a 上，就这个限行转换的问题啊，数量级里头的。好，这是第八题啊，第九题啊，这个斜二侧画法来通过这个题啊，咱们讲讲斜二侧，正好咱们昨天没讲，对吧？咱们讲讲这个斜二侧。 斜侧画法就是把原来的一个直角坐标，咱们说一下啊，把原来这个直角坐标呢，把它改成了一个什么假角，是四十五度的一个坐标，那么长度怎么画的？就是横坐标不变，重坐标砍一半，就它这个规则啊，重坐标变成原来二分之一 就是 x 不 变，重坐标变成二分之一就完了。好，我们来看看这个还原一下，这不是直观图吗？我把它还原成原图 来，原图就直角坐标系就原，保证这个原则就行了。我们看看他说 a 撇 b 撇等于一，那 o 撇 b 撇是不是等于一， b 撇 c 撇等于三，来， o b 等于不变，横坐标不变啊？它是一，这个地方还是一，是吧？横着开就是一，然后 c 呢？是 bc 等于三呢？ c 是 四嘛， 所以 c 的 坐标就是四零嘛，是吧？然后看看 o a 等于多少，你看 o a， o a 是 隔号二， o a 是 隔号二，这里面值起来就翻倍，对吧？还原就翻倍嘛，那就成二倍根号二，所以 o a 它等于二倍根号二，然后 a 撇 d 撇不变， a 撇 d 撇横着不变，那就是二 到二这个地方，然后这 d 在 d 和 c 连起来。所以原图啊，原图就这么个东西，看看原图就这么个 c 连起来，所以原图就这么个 d 和 c 连起来，所以圆图啊，圆图就这么个 c， d 这么个四边形， 所以你画出来之后，你看选项就选出来了。 ab 等于几？ ab 这个二倍根号和一是吧？八加一是九吗？九就是三吗？选 a 吗？是不是好？ ab 等于三，然后 cd 呢？ cd 的 话，那不就是二倍根号二，这个是二就是八，八加四，八加四十二，二倍根号三是不是选四？ d， 所以 选 ad 啊。第九题，这就是我们斜二侧画法，它基本的画法 就以前这种题其实考了很多啊，习二测这可能就是负重，还喜欢考一考，其实其他的地方已经考的很少很少很少了啊。这个习二测知道他一些基本原则就行了，我们经常以前的话经常还考一些什么习二测的原图和直观图互相划来划去的，对吧？那现在已经考了很少了啊。好，我们看第十题，第十题也是个立体几何，一个组合题，看看 他是高相等的几何体是高相等的，胜似能助和胜似能追。注意啊，这胜似能助很多学员，你看着啊，正方题你不要看到图里面是啥，你就想的是啥，是吧，看清楚题，正似能助 啊，正似能助底下这个正方形没问题，然后直直似能助，对不对？就这几个，就这几个条件，然后正似能追他的高相等，说明这个高呢？和这个高度相等的 该几何体的底面边长，底面边长是十，四能追的，四能长是十，所以这个是十，这个是十，对吧？那这个也是十， 所以这个就是正八面体的一半，你看上面这个地方是不是正八面体的一半，对吧？啊？正好咱们昨天讲过，你看十十， 然后这个地方的话就是五倍根号二，对吧？ o a o a 等于五倍根号二的购物地，你算这个是不是也是五倍根号二， 对吧？我可以把高算出来啊，所以这个是五倍根号二，那么 s o 等于五倍根号二，那么 a e 也等于五倍根号二啊，那就全部做完了，对吧？让我们看看第一题，该几何体的高，几何体的高就总共这个高嘛，总共这个高是五倍根号加五倍根号二啊，就十倍根号二，所以 a 是 对的。 该几何体的表面积啊，算表面积，注意哈，是上面四个侧面，底下五个面，对吧？上面四个侧面，四个侧面的话就是四个正三角形，十为边长就是四个正三角形的面积。四分之根号三倍的 a 方嘛， 对不对？然后加上底下是四个侧面五十倍根号二啊，就前面这个面是五倍根号乘十嘛，五十倍根号乘四就是二百倍根号二，还要加上个底面的呀，底面是个一百嘛，对不对？那你再加起来应该看起来不对嘛，因为他没有一百啊，这里面都是个根号三，根号二，对吧？ 一百倍根号三，这二百倍根号二还少了一百吧，所以说 b 不 对啊， b 不 对好， c， 该几何体的体积为三分之两千倍的根号二， 体积就上面一个四能锥的体积就是三分之一倍的底面积乘以高，底面积是一百，高是一个五倍高二，然后再加上一个底下这个长方体，对吧？长方体就底面积一百 乘一个五倍根号，所以上面是一个三分之四倍的。一百乘一百五百吗？三分之四乘五百就是三分之两千倍根号。对的啊， c 是 对的。好，第一只小蚂蚁呢啊，这不，展开图，从 s 从一点爬到 s 点爬到这个点，那从这个点爬到这个点怎么爬？ 他肯定是什么沿着面来爬，沿着面的话肯定不可能绕到后面去，肯定是前面这个面，所以把前面这个面展开就行了。所以底下是一个，算，是个长方形吧，对不对？长方形，然后高是个五倍高二，这是个十啊，上面是一个正三角形， 展开就这样子的嘛。正三角形，这个是十十十，他要求这个一点到这个 s 点的距离，什么最远，什么最短的话就是什么。 这不直线最短吗？对不对？直线最短。好，直线最短算这个长度很简单，因为十五倍根二，这个是六十度，这九十度，这一百五，这不余弦定律就搞定了。所以这个 s、 e 的 平方 它等于余弦定律啊，就等于一百加上一个五十五倍根号二的平方，减去个二倍的十乘五倍根号二，然后再乘一个，多少呢？负的二分之根号三，对不对？考上一百五十度嘛。负二分之根号三，所以就等于一百五加上一个， 那这个解啊，二和二约了，那就五十倍根号，五十倍高六啊，五十倍高六。说 s 一 的平方等于一百五加五十倍高六，那 d 选是对的吧？他知道开根号嘛，对吧？所以大家选 a、 c、 d 啊。 a， c、 d， 所以 这是第十题啊。所以这个难度看还好吧，是吧？不是特别难啊，不是特别难，都是一些算是有一些小技巧的题在里头。 好，我们看第十一题， a、 b 等于七， a， c 等于五， b 三角形都确定了吗？然后 d 在 a、 b 上， 你看这个题啊，是不是考了四个题就等于是高怎么求，中线怎么求，角分线怎么求，所以这个题你们完全可以整到笔记本上，对吧？那这个题就是考你们的基本方法，看用的熟不熟练，它里面没有任何技巧可言，就三五七全告诉你了。一个三角形， a， b， c， a， ab 等于三， ab 等于七，然后 ac 等于个五。啊，就这吧。好，来看看这个。 那那那我就画一下吧，估计有的学生又说我呀，说那个图画的又不标又不标准，对吧。其实我是觉得无所谓啊，这个东西三大概这样子吧。 啊，三五七是吧，三五七来看看这个。呃， c、 d 如果是高的话，他求 c d 高的话，那不等面积法吗？来三五七，咱们算下面积。算下面积我看看啊，用哪个角？ c， d 是 个角分线， 咱们算下角 c 吧。好吧，咱们算下角 c， 可能对对 c 选项可能有点用啊，我们看考三角 c 等于多少？考三角 c， 它等于九加二十五减四十九，对吧？然后底下是一个二乘五乘三， 上面是一个三十四，三十四减四十九，正好是负十五吧，底下是个三十，你看是不是负二分之耶，你看这个题，巧了嘿， 对不对？我感觉，可虽然有一个，我算算出来个角 c 乘个一百二十度，角 c 一 百二十度，两个边就是都有，简单了对不对？那面积等于多少？面积就等于二分之一倍的三乘五乘的三一百二十度 啊，所以就等于四分之十五倍根号三，然后它等于二分之一的底层高，对吧？所以 c、 d 等于多少呢？ c、 d 等于十四分之十五倍根号三，这有个根号三在里头呀啊，所以 a 肯定是不对的啊，是不是？好，我们看 b 选项，那 b 选项如果是 c、 d 是 中线， 那中线的话，三个边都这张背长中线就比较方便，对吧？背长中线，那背长中线平行四边形对角线那里，那就 c、 d 是 x， 那 这个是 x， 那 这个也是 x， 是 不是？然后两个 对角线的平方和就是四 x 的 平方加上个七七四十九等于什么呢？等于二倍的零边的平方和九加二十五啊，那看看这个对不对？四 x 方等于个三十四，六十八，六十八减四十九等于十九， 所以 x 等于多少？等于二分之根号十九，没毛病，对吧？所以 b 是 对的，好了，看 c 啊，角分线，角分线定律啊，用粘角定律来写的更快一点，就是二倍的，就如果这个角是阿尔法的话，是不是咱们有个结论，什么二倍的，可三角阿尔法除一个 c、 d 等于什么？等于三分之一加五分之一，是不是这玩意 你这么写的会比较方便一点啊，就直接就免得用面积了，当然你要是记不住这个的话，那你就用等面积法去写一下。好，二倍的口三幺二法是个六十度，那就是一，那就 c、 d 分 之一，是吧？等于十五分之八，是不是这意思？所以 c、 d 就 等于八分之十五，你看很快， c 是 对的， 好看 d 选一下。若 c、 d 等于三，这 d 是 线段 ab 的 三的分点，它告诉你 c、 d 等于三，那算 d 点在哪？这怎么搞？ 那对方你用角度也不方便。那我还不如就直接调头过来我看看。如果是三等分点，那么它长度等不等于三不就行了吗？对不对？关键是三等分点还有两个啊，三等分点它有两个， 那角 c 是 一百二十度，那角 c 一 百二十度，对吧？然后呢？ a a、 c 等于五啊，这个是 a 吧，这是 b， 这是五，这是七，这个三， 那个 d， 它有两种情况，一个是这个，一个是这个，是不是得算两遍啊，这低血糖，这有点讨厌啊。这个啊，它毕竟是十一题嘛，是吧，给你拖点时间还算是可以的。所以看两个啊，可以看看第一和第二，看看左边这个啊，先看左边这个，左边这个，看看 c、 d 等于三， 能不能看出来呢？我怎么感觉左边这个一看就不像等于是三，那个钝角，这钝角，这个三可能最大的嘛，这个边，可能这两个边可能都比三要小，是不是咱们直接算这个边嘛，算这边嘛，这边是有可能的，是不是这边是有可能的？ 好，我们看看右边啊，看右边这个 c、 d， 那 c、 d 的 话，咱们要算这个 c、 d 的 长就简单用向量嘛。 c、 d 向量等于什么？等于二分，那是三分之一倍的 c、 b 加上一个三分之二倍的 c a， 是 不是？然后这 c、 d 的 平方 就等于九分之一倍的 c b 九，加上个九分之四倍的 c a 的 平方就二十五，然后呢，减加上一个二倍的乘积，就是九分之四 啊，九分之四，九分之四倍的 c a 和 c b 的 数量级 c a 和 c b 的 数量级是三乘五乘负二分之一，就乘一个负的二分之十五， 应该是这么个东西，对吧？来算一下，前面是个一，然后加上一个九分之一百，然后减去个九分之三十， 这一看就不是整数吗？这哪是等于三呢？这不能等于三对吧？那 d 应该不对啊， d 应该不对，是不是？这是十一题啊？十一题啊，再来把这边再算一下也可以啊，算一下可以，那这个一看感觉不像对的，是不是？好，这是十一题，来看十二题好的题目题就有题找不见了啊，那我答案里面也没有这个题，主要是 我们看这个十二题，负数 z 满足他的模等于根号二，则负数 z 的 模的最大值多少，这是不？咱们说有两种方法对不对？负数里面一个是画图，再一个用什么用三角不等式，是不是特别特别方便？ 说，你要求这个 z 的 模最大值，我已知这个模，那么所以这个负数是已知负数，那么 z 呢？是个未知负数，所以未知负数通过已知负数表示一下，就 z 减二减二， a 加二加二加二 a， 是 不是他是小于等于这个负数 的膜加上一个二加二 a 的 膜的，它要算最大值吗？这不直接放出来就行了。所以这个是几根号二，这个是几二倍根号二，对吧？所以整个三倍根号二最大值就是三倍根号二，这不直接很快就写出来答案了就。那你画图也可以啊，画图的话就是圆吗？对不对？ 好，我们看十三题，已知求 o 的 表面积为二十 pi 平面阿尔法截求 o 所得的截面面积呢？为三， pi 则以 o 为顶点，截面为底面的圆锥的体积为多少？来画个球，教你们画过啊，球怎么画的？画个托盘。 这平面截面嘛，截面面积是三派，所以半径呢？根号三啊，半径是根号三，以 o 求 o 为顶点的截面，截面为底面的圆锥啊，就这么个圆锥嘛， 对不对？求这个圆锥的体积，这太简单了吧。这个题是不是求体积的话，就底面积乘以高嘛？这个高是多少呢？那求的半径表面积是二十派， 四派 r 方等于二十派，所以 r 算出来是根号五，求的半径是根号五，这个是根号三的高就是根号二。那么圆锥的体积等于三分之一倍的底面积，底面积就是三派，乘一个高，高就是个根号二，是吧。最后就等于什么根号二派吧， 就这个答案是吧。这个题比较简单啊，十四题没找见啊，不知道在哪啊，丢了我们看，继续啊，看十五题， 那这个就是一个向量的问题，向量的求 a 向量加 b 向量的膜，首先通过这两个条件可以把这 x， y 把它解出来，对不对？ 那 a 和 b 垂直嘛？首先呢，第一个 a 向量和 b 向量垂直的话，就是数量级，数量级等于零好，就能得到 x， 加上个 y， 它等于零， 然后 b 和 c 平行，然后 b 平行于 c 啊，互乘比例对吧？那就是一比二啊，等于外比负四啊，谁算出来外等于多少呢？负二外等于负二， x 等于二是吧？那 a 向量加 b 向量，那这地方你可以分开算，也可以合理宽算， a 向量加 b 向量，就是那 a 向量的坐标，是不是就是二一啊？ b 向量的坐标是不是一负二？那 a 向量加 b 向量的坐标就是个三负一，那所以膜呢？ 就等于根号十啊，某点根号十来看第二个向量与向量的夹角的余弦值啊，那这就全是坐标了，对吧？那 a 向量加 b 向量的坐标，它是三负一，然后二 a 加 b 减 c， 它是坐标，可以写出来吧，就算坐标算就行了。二 a 就是 一个四， 四加一是五，五减二是三，先算横坐标重坐标二，二减二是零，零减负四就是四啊，就这个东西，是不是这两个向量的坐标都知道那么假角与弦值，所以 烤三 in c 塔，它就等于两个向量的数量积，就是三负一点。一个三四除一个三负一的膜啊，三四的膜就是五嘛，然后上面是一个三三得九，九减四就是五，五除一个五倍，根号十就等于十分之根号十， 是吧？这是余弦值啊，余弦值，这都基础题是吧？这些题啊，其实应该会做的。来看十六题第一个计算啊，计算这个负数，二加二， a 除一个一减 a 的 平方原式等于 啊，底下一减 a 的 平方就一的平方，加上个 a 的 平方就没了嘛，就是负二 a 嘛，是吧？负二 a， 然后这个二加二 a， 然后加上一个这个化简一下，一加 a 就 上下同城的一减 a， 底下就是个二，就是根号二倍的一减 a， 是 不是？然后它的二零二二，二零二零之方啊？二零二零之方。 好，那这地方来看看前面的，咱们可以把二约掉， 约了之后是一个在上下同城的 a， 底下就没了，底下这个负 a 方嘛，就是一嘛，对吧？就是一加 a 乘以 a 啊，这倒好说，主要是后面这个，你们怎么处理啊？是不是后面这个啊？看清楚，二分之根号二，我先不管，他就是二分之根号二， 反正是他整体的二零二零次方，对不对？乘以一个一减 a 的 二零二零次方，主要是要处理这个东西了，对不对？那我知道一减 a 的 什么他的二次方，这个是有规律的，因为一减 a 的 二次方， 这个化解出来就 i 减个一，然后加上一个，这底下是二的二零二零次方，上面是一个根号二，其实就是二的二分之一次方，就二的一零一零次方嘛，对不对？就能约掉啊。然后这地方乘一个，你先写成一减 i 的 平方的一零一零次方， 那一减 a 的 平方等于啥？是不是一加一减二？ a 是 不是一加一减二？ a， 它其实就是什么负二 a 的 一零一零次方。好，这就拆开二的一零一次方，一拆等于 i 减一，那么二的一零一次方，一约和这一约不全没了吗？再加上一个 a 的 一零一零次方， i 的 一零一零次方等于多少？我说 i 的 四次方是等于一，所以四个四个一循环，那么一零一零它除以四是余几啊？是不？一零零八能够被四整除，所以余了个二，所以就等于什么呢？ i 减一加 i 方， i 方等于多少？负一就等于 i 减二啊， i 减二， 这是第一个来，第二个 i 是 虚数单位 z 八表示 z 的 共和负数，那么 z 满足这个东西，那求 z 的 模，那 z 满足这个东西 啊，它这没法通过有理计算，对不对？因为它这个 z 八在里头，是吧？那就设呗，我说不能能通过有理算的就直接把算出来。 z 不 能通过有理算的就设代替系数法设。 z， z 等于什么？ a 加 b i， 那 么左边就是一加 a， 乘以一个 a 加 b i， 然后等于个 z 八，就是 a 减 b， i 加个一 来，左边把它展开，就是一个 a 减 b， 然后加上一个 a i 加 b， i， 就是 a 加 b 倍的 a， 它要等于右边的 a 加一，然后减去个 b i， 所以 a 减 b 等于 a 加一，所以 b 等于负一， 对吧？然后 b 等于负一的时候，变成这个 a 加 b， 还要等于什么呢？等于这个负 b 啊，所以 a 就 等于负二， b 负二， b 不 就是二吗？ 是不是？所以 b 等于负一， a 等于二，那所以 z 它就等于二减 a， 那 么 z 的 模呢？就等于根号五。好，这是我们这个十六题啊。十六题。好，来，继续看这个十七题啊，这由立体几何的题。那三棱柱 侧能垂直于底面，其高为二，高为二，底面三角形，边长三十五啊，直角三角形，他没告诉我哪个直角。其实无所谓啊， 咱们就把这个当直角吧，你看很多学生肯定把它角变当直角，但是我觉得立体图形里面这个 b a、 c e 这个角更像直角，对吧？其实无所谓啊，哪个都行，那就三四五嘛， 对不对？好，以上下底面为为底的内切圆为截面，挖去一个圆柱啊，他这地方要求这个几何体剩下的几何体，那就是只用总共的大的三等柱减去这个圆柱嘛。 那大的三等柱减圆柱，那我只要弄清圆柱的一个体，那圆柱的高我知道是个二，那么下面我要求的就是什么，什么圆柱这个底面圆的一个半径，那底面圆就是 a、 b、 c 这个三角形的一个内切圆嘛？是不是 其实内切圆它是个直角三角形，直角三角形内切圆，咱们有一个结论在里头，其实当然你不知道这个结论，咱们可以用等面解法来做，也可以啊，什么结论呢？咱们可以简单复习一下， 你看这个地方这个是几，这个是 r， 这个也是 r， 这个也是 r， 对 不对？那么这个是 a 边，那么这个是 c 边的话，这一段就是什么 c 减 r， 那 么这一边是 b 的 话，这段就是 b 减 r， 对 不对？然后你把这么做垂线，所以这段是不是 c 减 r， 这段是不是 b 减 r， 对 不对？所以你会发现这个 c 减 r 加上的 b 减 r 是 等于 a 的， 所以这个 r 就 等于什么直角边的和减斜边除以二， 就通过这个很快就能算出来内切圆半径，因为它是直角三角形，就可以这的干。但是咱们可以用等面积法，是一样的啊，说算出来三加四减五就是二，二除以二就是一啊，内切圆半径等于一，你用等面积法的话，是不是也很简单啊？等面积法，所以第一个来三分之一倍的， 不是三分之一啊，就是二分之一倍的三乘四，这不是直角三角形面积吗？等于什么？等于二分之一倍的 r 乘以个三加四加五就是十二， 这是不是算出来这个 r 类等于一啊？都可以啊，都可以，所以第一问好，第一问内千元半就算出来就做完了，是吧？那么剩余的部分体积 v， 它等于什么呢？ v 三等柱，就这么写， v 三等柱减去个 v 圆柱 三，三等柱的体积等于底层高，底面积三乘四除二就六高，高是个二，然后减去个圆柱的体积，圆柱的体积高是个二，整个底面积底面积是个一，就是一乘 派，对吧？啊？派二方，所以就等于十二，然后减去个二派，这就是剩下的体积 v， 然后第二问，求该三棱柱的外接球的表面积， 那求外接球的表面积，那你想想球心在什么地方？是不是三棱柱？对柱体来说，我要求的其实不用找这个球心，我只要知道 abc 三角形的 注体啊，咱们昨天正好说过了，你看这个注体，你不管这个圆心在什么地方，我要求的是什么东西，我要求的是啊，圆球心在这个地方都投影下来，对不对？这个记应该是什么？应该是 a、 b、 c 的 一个外接圆圆心啊，外接圆心，其实我画了这个图，里面 a、 e、 b、 c 一个直角三角形外接圆心应该在这， 对吧？这个就是球心，对不对？这个就是球心，然后呢？连起来是二分之五吧？是二分之五，直角三角形斜面上中线等于斜面一半吗？二分之五就它外接圆半径吗？对不对？这个二分之五，这个高的是一个五厘米，是外接球半径 啊，球心在这个面上，对吧？所以球心它永远是在哪呢？在这个外接圆圆心的正上方啊，这一半的位置，这个是二，这不就一吗？那我画了这样子的话，就比较抽象一点，这地方就比较具体一点，是不是？所以这地方如图 说，假设对不对？这个 a 一 b 一 等于三，然后呢， a 一 c 一 等于四， b 一 c 一 等于五，所以三角形 a 一 b 一 c 一， 它的外心在哪呢？在 b 一 c 一 的终点， 对吧？在 b 一 c 的 终点。好，然后这地方我说一说外接球半径，没有求过这种大题啊，一般都不用想写过程，所以啊，外接球三能住 啊。外接球的半径 r y 它等于什么呢？就这个地方啊，这个 o 啊，这个就是我要找的这个球心，对吧？连起来，连起来高度是个一根号下一加上一个二分之五的平方，就是四分之二十五， 等于二分之根号二十九，对不对？根号二十九，那表面积，所以表面积就等于四派， r 方就是四分之二十九，它就等于二十九派啊，就这样子的，所以这是实体系， 去看看做体啊，做体我们找外接球球心是吧？他的核心点就是底面多边形的，不一定非要是三角形，底面多边形的外接圆圆心，然后他的正上方高的一半，那个地方就是他的。什么外接球的球心啊，这是做体还比较简单的 好看。十八题啊，十八十九，两个减三角形的题来看，十八题，这个题就是我们说的十有八九考的题啊，就十个题有七八个，八九个考的全重题啊。十八题来看面积， 这有三 a， 那 你这个面积化简的话，我肯定用什么就是二面积，用二分之一倍的 bc 三 a 了吧，就三 a 就 能余了嘛。然后右边的有个 a 方加 c 方，这是边呀，全是平方的式子，我肯定想到余弦定律了，所以咱把这个角也全部把它换成，是吧？换成边， 然后呢，乘以一个换成边的话，就是 bc 通分，就是 b 方加 ac 吧，对不对？这不就是 b c 通分不就 bc 分 之， b 方加 ac 好。右边呢，就是 a 方加 c 方，乘以个三 a， 那 你看是不全约掉了？那三 a 三 a， 三 a 约了 b c， b， c 约了二和二分之一约了，所以就是 b 方加 a c 等于什么？ a 方加 c 方， 那 a 方加 c 方减 b 方等于 a c， 所以 a 方加 c 方减 b 方除以个二 a c 是 不是等于二分之一？它就等于考上一 b， 所以 算出来角 b 是 个六十度。 好，第一问，角 b， 我 算出来，那么角 a 和角 c 的 比例是个一比三，那不正好一个三十度，一个九十度吗？是不是三角形面积？所以啊，因为 a 比 c 等于一比三， a 加 c 还等于多少？一百二十度，是不是？所以角 a 等于三十度，角 c 呢，等于九十度，那么三角形 a、 b、 c 为直角三角形。 好，这是第一位来看第二位。若 b 等于二，你看是不是对面对角问题？角 b 六十度， b 边等于二， 对边对角问题。这个条件可以用的啊，这是我们通过母条件得到的，对不对？所以这个条件可以用的。下面这个不能用啊，下面这个不能用，所以 b 等于六十度，角 b 等于二，你看对边对角，还告诉我面积算 a c， 这不太简单了吗？对不对？所以面积等于什么？二分之一倍的 a c 三以 b 是不等于四分之根号三倍的 a c， 我 可能用这个呀，它等于根号三，所以算出来 a 乘 c 等于四，那你要求 a 和 c 分 别的值，还差一个等量关系是不对？边对角两个边是不是三边？一角用余弦，所以考上一 b 等于二分之一，是不是？ a 方加 c 方减 b 方就是四？除一个二 a c， 那 a c 我 都知道了， 所以 a 方加 c 方等于八是吧？ a 方加 c 方等于八， a 乘 c 等于四，你就直接写解得就完了。你不用写，解的过程了解得看都看出来了。 a 等于 c 等于二，对吧？ 那四加四不就是八吗？对不对？ a 等于 c 等于二啊，所以这个就是 a 和 c 的 一个值。来第三问三角形，锐角三角形看见没？告诉我，那没有告诉我对边吧， 只是告诉我这个角这个角 b 是 一个六十度，角 b 是 一个六十度还是个锐角三角形？按道理说肯定换成角，那题目给的就是角，这简不简单？这不直接削圆就搞定了吗？所以这个题啊，还是比较容易的。三 a 加三 a， b 是 二分之根号三加三 a c 三 a c 什么鬼？三 a 加 b 是 不是直接削圆做啊？等于三 a 加上一个三， a 靠三影六十度，靠三影 a， 三影六十度 对不对？再加个二分之根号三好，前面就是个二分之三倍的三引 a 加上一个二分之根号，三倍的口三 a 加上个二分之根号三，那等于多少？你把这个根号三提出来，前面就是一个二分之根号三就是口三，三十度就是三引 a 加六分之派， 对不对？加上一个二分之根号三，是不是换成了辅助角的形式，好变成这个样子。求取之范围呢？ a 的 范围是多少？因为角 b 等于六十度， 不用写的很详细啊，所以角 a 的 范围是多少，你只要能确定下来，大于三十度，小于九十度，锐角三角形嘛，对不对？ 好，所以那 a 加六分之派的范围就是小于三分之二派，对吧？然后大于呢？三分之派，那么这个三 e 呢？ a 加六分之派，它的范围最大可能能取到九十度的时候就是一，最小六十度和一百二十度，对呢？就是二分之二三， 对不对？所以最后原式你直接写，不用抄啊，这原式的范围它就是小于，等于把一带进去就是二分之三倍根号三大于二分之根号三乘一个根号三就二分之三，二分之三加根号三啊，所以就这个范围 是不是？所以看看啊，你们做题，做这种题能不能，最后的过程能不能写的行云流水，这么直接咔咔咔一步写完，是吧？特别特别熟练那种感觉。所以这种题啊，应该是个啊，不能说送分题，也差不多了啊，也差不多了，好，这是十八题。 好了，看这个十九题啊，十九这个飞马点这个题其实和那个太行中学这个题，你看和这个题几乎一模一样的问法都是一样，你看对不对啊？问问法都是一样，所以这个他这个十九题飞马点，他就是两两夹角，都是一百二十度。来，他说第一问 边长为六的等边三角形，他叫大家体验一下。等边三角形一百二十度正好是正中心，这个角不都一百二十度吗？对不对？一百二十度， 那求该三角形的飞马点到各个顶点的距离之和，那距离之和是多少？这是 a、 b、 c 边长是六，那比如说那个外形、内形、重形的正中心那个点嘛，对吧？那么 o、 a、 o a 等于几？ o a 是 整个高的什么？三分之二，那么高是多少呢？这个边是个三，那么高，这个 a、 d 呢？它是等于个 a， d 是 等于三倍根号三的，对吧？所以 a、 o 点多少呢？等于二倍根号三， a、 o 等于二倍根号三，那么 b、 o、 c、 o 都是二倍根号三，那所以高各个顶点距离之和和为多少呢？六倍根号三， 那这第一问，那第二问，它三角形 abc 分 别对的是 abc 呢？ a， b， c 等于三 a， 你 a 比 b 等于三 a， 他 就把条件改了一下，你 a 比 b 等于三 a， 啥意思？同换成同角了吗？只能角吗？你角不能换成边吗？边能换成角呀？是不是三 a 比三 a 等于三 a， 那 三 a 三 a 三 a、 b 是 不是就一啊？所以 b 是 不是九十度，那是不是直角三角形？ 那 b 是 个九十度啊？ p 是 个飞马点。来第一小问， 他说 a 乘 c 这个 a 边，这是 c 边， ac 等于四倍方程，那我通过这个直角三角形 a 乘 c 是 不是只能知道面积？ 所以面积它就等于二分之一倍的 ac， 它等于二倍方程。三角形的面积我知道，那你求什么？这个 p， 那 一百二、一百二、一百二，对吧？求这个 pa 和 pb 的 数量级啊， pb 和 pc 的 数量级啊， pc 和 pc 的 数量级，它的和， 想了什么呢？我知道这个顶角，那么我现在唯一知道的就这个三角形的面积，我是不是肯定要考虑这个三角形面积 对不对？所以同样的再讲一遍啊，这个关于费马点的问题，费马点的问题，这个 pa 和 pb 的 数量级，它这个东西是和三角形 pa 这个三角形的面积呢，是有强烈的关系的，特别是我知道这个顶角一百二的时候，是吧，它的处理方式啊，就这样子的。所以 pa 我 们看看啊，面积， p a， b 的 面积，它就等于 p a 和 p b 的 一个数量级啊，不能说，不能说数量级啊，就是 p a 乘 p b， 二分之一的 p a 乘 p b 乘一个什么？乘一个 sine theta 是 吧？乘一个 sine theta 好， 然后看 p a 和 p b 的 数量级呢？ 它等于什么？它是不是就等于二分之一倍的啊？没有二分之一啊，就是 pa 和 pb 的 模乘一个，它的余弦值考上一个 c， 它两个一比，是不是摩擦成绩就抵交了？所以 pa 的 面积比上一个 pa 和 pb 的 一个数量级，它是不是等于二分之一倍的？ pa 和 pb 的 数量级乘一个它的 c 它， 所以你看 pa 和 pp 数量级呢？它是和面积是完全能有关系的，并且 c 塔我还知道是一百二十度，是不是很方便了，对不对？因为面积和是确定的呀，因为这个三角形，三角形的面积，三个三角面积和，我知道，那么数量级的和是不是可以马上就算出来了？这题考察的就是这个啊，数量级和这个面积之间的关系，所以 那面积和 p a， b 的 面积加上一个 p a， c 的 面积加上一个 p b， c 的 面积，面积和是等于二倍根号三的，那么也就是二分之一，它 tan 的 c， 它会化解一下负的二分之根号三倍的 p a 和 p b 的 数量级吧， 所以面积就是负二分之三倍的 pa 和 pb 数量级，所以每个都有负二分之根号三。提出来乘一个什么呢？ pa 和 pb 的 数量级，加上一个 pa 和 pc 的 数量级，加上一个 pb 和什么 pc 的 数量级，对不对？它是等于二倍根号三的，所以我知道这个数量级的和 加上个 pa 和 pc 的 数量级，然后再加上一个 pb 啊，和 pc 的 数量级，它等于多少？等于负四，是不是它就等于负四 啊？就这么处理的啊？这三角形数量级。想到面积，因为这题目告诉我的就是面积嘛，对不对？好，这是第二问来第三问啊，叫做第三问吗？第二小问， 求 pa 加 pc 比上 pb。 你 看这个题是不是和泰航中学一样，他就要求这个 t 的 最小值，他这个是不要求他那个最小值，所以就求 t 的 最小值是一样的。所以你要研究的是 pa， pbpc， 它面积也没告你，对吧？啥也没告，就是 pa， pbpc。 那 你想想看，你怎么得到这三个边的关系。 那么现在我们能知道的就是这三个边是有关系的，就外面三个边是个直角三角形，有 bc 的 平方， ab 的 平方和 ac 的 平方，对吧？他俩个勾股定律我知道，那你怎么得到里面的关系呢？是不是就余弦定律了？那还能怎么办？三个边，这不是一百二十度。余弦定律是不是能得到 c 方，能得到 a 方，能得到 b 方， 对不对？一百二十度啊？夹角一百二十度来看看，那 c 方就等于什么？是不等于 pa 方加上一个啊？干脆我设一下啊，我把这个 pa 呢设成 x 吧，对吧？那写的方便点。 pp 等于 y， 然后 pc 等于 z 啊。这个是 x， 这个是 y， 这个是 z。 好， 那么就有 c 方就等于 x 方加 y 乘以个负二分之一啊，就加上一个 x y 嘛。 那同理，就有 b 方，他就等于 x 方加 z 方加 x， z， 对 吧？ a 方他就等于外方加 z 方加 y z。 那我知道的是 a 方加 c 方等于 b 方，通过它是不能把 abc 全消掉，谁能得到 a 方，那就它加上一个，它是等于中间这个的，是不是？那就是 x 方加上个二 y 方加上个 z 方加上个 x， y 加上个 y， z， 它是等于中间这个 x 方加 z 方加 x， z。 好， x 方 z 方消掉，所以就是二 y 方加 y， z 等于 x， z， 那 不对，还有 x， y 加上 x， y， 对 吧？等于 x z， 好， 你选择这个东西了，下面要求什么呢？我 x， y， z 的 关系好像只能找到这个关系了，那么下面我要求的是这个，求的是 x 加 z， 比上 y， 对不对？我要求他的最小值，你看已知条件里面都是二次的，有三个未知数，这我要求的也是三个未知数，这未知数太多了，我肯定要消圆呢。但是 x y， z 的 关系就一个，我怎么能消圆呢？别人要求最小值必须能消成只有一个未知数才行， 是不是？你看这个式子是不全是歧视的，因为咱们校园满共就两种校园，要么什么带入校园，要么歧视校园，你想想看。所以这个地方拿到之后肯定是歧视校园，因为最后你要求的是外分之 x 和外分之 z， 所以 把这个式子里面直接两边同时除以什么同时除以外方式就可以了。 说原式啊。对，这个式子两边同时外放，就是二加上一个外分之 z， 加上一个外分之 x 乘以。你知道外分之 x 什么？等于外分之 x 乘以外分之 z， 那 你把它外分之 x， 外分之 z， 一个换成 a， 一个换成 b， 行不行？ 然后另外一分之 x 等于 m， 那 外分之 z 等于 n， 相当于已知条件什么？来看看已知什么？已知二加 m 加 n 吧。等于 m 乘 n 吧。求什么？求 m 加 n 呢？它的最小值啊，简不简单 是不是？那这就基本不等式了吗？你校园也可以做，用基本不等式也可以做，对吧？都可以的啊，我带入校园都可以做。那要求 m 加 n 换成 m 加 n 嘛。那 m 乘 n 是 小等于四分之 m 加 n 的 平方的， 所以二加 m 加 n 呢，它就小等于四分之 m 加 n 的 平方，是吧？把 m 加 n 当个整体直接画，就是 m 加 n 的 平方，减去个四倍的 m 加 n， 然后减个八，它要大九零。 那是不是直接减了个不等式就行了？到最小值嘛，算出来 m 加 n， 它最小值就多少呢？它是大于等于二 a 分 之负 b 加减吗？肯定是加吗？减这个负的，加上根号一下， b 方减四 a c， b 方就是一个十六 减四 a c 四 a c 的 话四八三十二，对吧？就是四十八，四十八的话就是四倍根号三吧。 所以这个 m 加 n 啊，也就是等于这个 y 分 之 x 加 z 啊，也就是这个 pb 分 之 pa 加 pc， 对 不对？它的最小值呢？就是二加二倍根号三 啊。所以整个我又重新讲了一遍啊。看看这个题是吧，之前那个太行那个本来也是一样的，一模一样的题，我又重新跟你们讲了一遍，你们看看自己能不能弄懂了啊？他们操作过程主要是后面这个操作过程，从这一步开始到后面特别特别有借鉴的意义， 因为这个东西你看不仅仅一次遇见了，在任何地方，任何时候都有可能考出来这种销员的一些技巧在里头，对不对？好，这是整份这个上到复读啊，去年的一个期中考试的卷子，然后跟你们挨个挨个题都过了一遍， 主要是这里面关于立体几何的，正好昨天咱们都讲过了，是吧？啊，正好可以讲了啊，这本卷子整体难度适中啊，不算难，因为里面好像没有一个特别难的题， 是吧？除了十九题之外啊，除了十九题之外可能稍微难一点，然后剩下的题应该都是属于啊，基础题啊，基础题都到不了偏上啊，都到不了偏上，十一题也是个常规题是吧？需要处理的可能这个十四题，这个缺失的这个题可能会有点难，但是不知道这个题是啥题啊？没，我没找见 好，这这本整份卷子啊，就讲到这个地方，你们下来之后根据这份卷子的啊做的情况，那检测一下自己啊，看看自己最近学的怎么样。好吧，好，然后自己再复习一下。好，我们下一个视频，再见啊。

上头又下头的，真是让你给全占了。本套试卷循序渐进，紧跟山大附的十月份和期中考试承上启下，前两次考试总结到位的这套试卷就比较友好，如果遗留问题没解决，那这套试卷依旧有问题，比较难。 一到五题送分题，不喜欢看材料的同学，第七题就是搞你心态选择压轴题。第八题是最难的，单调性即偶性，外加求只能做做不能做猜就行。三个多选难题占了俩 最基本的体面分，估计都拿不下，只能靠平常多做好事，积累运气。填空压轴题又提高了难度，好几个大题看似不友好，其实静下心来还是能完全写出来的，前提是时间够考的。就是你考场的心态， 会参变分离，会双变量问题，如果你还会倒序相加，前四个大题基本拿下，那已经很牛了。最后一个压轴大题是真的看着复杂，但确实也很不容易做出来，估计只能做出来第一问，第二问也只能做一小部分， 整体来说上一百分没有任何问题。想要取得更高的分数，得多看，多做一些长得就抽象的题目来练习。

好，那我们今天一起来聊一聊山大附的高一期中考试卷啊。呃，这套卷我是在星期一在飞机上去写完的。首先我感觉这套卷对于 天体圆周和抛体的重难点的考察把握的非常到位啊。我觉得很符合现在新高考的一个命题趋势，就是用基础的公式来解决复杂的一些问题。 首先这套卷在第七题上就已经很明显的能体现到这件事，你只需要会最基础公式，然后把它推出来就完事。而在这张卷的整个的大体，他的计算量是特别大的，那需要你有很强大的计算能力。唯一我觉得可能送分的只有多选题是非常简单的。 总的来说，如果你这套证能考到八十五以上，我就觉得已经算是高手了。但是如果你的分数在六十分甚至不及格，你的基础框架一定有问题，下去赶紧查了补缺。你觉得这次考试难不难？来评论区聊一聊。

山大附中内部进行了第一次的模拟测试，最近我分析的试算真的太多了，这一份试算的质量可以说是数一数二了，有创新性，有前瞻性，不愧是我们山大附中。 这份试算呢，我做了完整的拆解和分析，但是发布视频的时间稍微有一点晚了，今天我给大家分析一下这个试算的考试题型和内容，你们做一个参考，从试算中我们预测一下中考的重点，规划一下未来的学习方向。 好，我把这个试卷的十六道题一共是拆分成了八个模块，第四个模块的名著阅读考题和第八个模块的写作是最重要的，咱们来一个一个的去分析。 第一个模块是古诗词，第一题是标准的古诗词默写，第二题是古诗词鉴赏。最近几年这两个题型都比较固定，什么都别说了哈，这两个题目如果拿不下满分，那就去好好的把 把课本的目录翻开，每天去默写背诵至少五首古诗，把诗歌的情感内涵再去记一记啊，没有别的办法。第二个模块古文阅读。 第三到七题，三四五题考的比较常规，课内的古文诗词翻译、句子翻译以及课内的古文对比阅读分析啊，那第六第七题是课外的古文阅读 第七题，在这一次的试卷中，他考的是单篇文章的分析啊，但是我们二零二五年的山西中考已经改成了课内课外两篇古文的对比分析，今年起， 他的模拟实战也积极的从这个方向做出了改变，所以这个题目我还是建议大家去准备好。课内课外古文对比阅读的答题模板，多记多背，总体还是要去加强课内必考古文的记忆背诵，课内的基础打扎实了，课内外的对比阅读也自然不会有难度。 那第三个模块就是文学基础题，八九十题考了自营自省，补写句子和选词填空。最近我分析的大量试卷中啊，他都是这三个题目考题比较接近，所以你们重点一定要掌握的是什么题？ 补写和仿写句子该怎么做？二零二六年这次中考啊，真的有很大概率会考察你们补写和仿写句子，这个基础题一定要练到滚瓜烂熟。第四个模块非常关键，名著阅读。 在这份试卷中，名著阅读的考题是以串联述性文本的形式出现的，我们仔细的阅读一下这个题目要求 请你从西游记朝花夕拾、钢铁是怎样炼成的简爱中任选两部名著的人物经历。注意啊，是任选两部，而不是一部。不少同学因为审题错误，只选择了一个名著。分析题目的要求啊，是写出一段辩论词， 提出观点要鲜明，论据要充分，论证呢，要有逻辑，有条理。好，这就是典型的书写论书性文文的考试题型啊。 在二零二四年我们中考语文改革之后啊，这个题型就两年没有出现在山西考场中了。而这个民众阅读的考题，他真的是打开了一个新的思路，很有可能这个题型会以 这种民主考察的形式回归。所以这一届的中考试，要重新去复习一下这个题型的答题思路。对于名著的备考，还是那句话，你们重点要去，记得是每一本名著中核心人物的生平轨迹，把人物的经历串联起来了，整本书的核心内容你也就记住了哈。 第五个模块是文学类文本阅读两个考题。第一个考题啊，每年都是不固定考点，但是啊，每年的高质量模拟卷中，他都有压到的题目。去年太原一模的试卷中，他考的就是标题的不同含义及其作用分析。那我们二零二五年中考试卷考的就是理解词语的不同含义， 所以他的题型打法都差不多，就是精准的压重了。那么这个十二题的第一问，不固定考点你们怎么备考？核心要关注这些高质量 模拟卷中，他们的出题方向是怎么问的。我们这一份山大附内部测试卷中，他考察的是赏析加点字词表达效果，可以作为你们的一个备考的方向啊。第二个题型是固定的考题赏析微写作。我之前的视频已经系统的分析过这个微写作的考勤规律，今年最有可能考的是 小说文体会考主题思想角度和人物形象这两个角度。重点你们要练习起来啊。中考语文一共是十六个题目，八大模块最后的两个月，我们核心要做的就是快速的去梳理考点， 快速的过一下每一个模块下的所有考题，做一次题目，学一次方法，修改一次错误，考前快速集中的复习。这八个模块王老师这边都有七天的短频快提升，你考前哪一个模块导入可以找我集中的训练七天。好，我们来看第六个模块是议论文阅读， 议论文是咱们二零二四年试算改革以后才出现的问题问法。最近两年的考试题型并没有固定题型，但 但是议论文它作为一种实用类型的文本，它的考试的题型本来难度就不大，题型就不多，力求我们这个十分要拿下满分。在这次试卷中，他考的是论证思路的分析和论证方法的作用赏析。 除了这两个题型，还有另外的四个，你们需要高度重视，备考起来，那就是论据点评，论据的位置选择，以及议论文标题的作用，还有议论中心的梳理。 第七个模块是非连续性文本。这份试卷他考察的第一个题目是概括图表信息，这个考题在咱们山西已经有两三年没有出现了，针对图表信息概括，那今年的这个第一问很有可能会以图表形式的概括方式考察你。 第二个题目是图文转化，从二四年改革之后，这个题目大概率在山西是不会再考察了，基本上是被另外一个题目介绍事物的特征，也是八分六十个字，被这个题取代了。 如果我们后续在其他的模拟卷中还有看到，那大家也需要及时的去做好这个题型的复习备考啊，说明中考还是会有一定概率考的。 那第三个问题就是最近十年雷打不动的非典文材料总结题，八分一百个字，注意这个题目的要求是提取信息，不是让你写个人的读后感启示，千万不要审错题了。我们需要做的就是从每一则材料中围绕主题去提取相关的重要信息，然后把它整合在一起，回答 非联文所有的考题，本质上都是对于信息的筛选和概括啊，力求做到一分不丢。如果非联文第十五题扣分超过三分，就要预警了，加强非连续性文本的作题训练。 最后的第八个模块啊，写作，这个价值非常高，算是这份试卷中的王炸了，真的超级赞！这个作文在材料中就明明白白的给你写出来了。咱们山西中考就最爱考成长主题类的作文， 那成长主题内的作文应该怎么写？来我们看这个材料，他说一双眼睛向内看，可以用坚持、热爱、勇敢、从容、自律来去定义自己成长的力量。 那么这个意思就是说，你写一篇成长主题的作文，但是呢，这个成长的驱动力来源于你自己，不是通过外力帮助你成长的。那第二句话， 向外仰望，我们可以追随亲人、师长、英雄这些平凡奋斗中的足迹，在榜样的引领中坚定前行。那么这句话的意思翻译过来就是写一篇成长主题的作文，但是这个成长的驱动力来自于外部， 你是通过榜样的力量帮助你成长的好，这就是成长主题作文考察的本质。咱们山西往年的考场作文，本质都是围绕着这两个考法，围绕着你个人的精力，让你去写成长主题作文的。 所以从这一次的作文的练习中，你就能够彻底的区分清楚什么是内在驱动成长，什么是外在驱动型成长，以及具体该如何去写啊。咱们山西的考场作文中，你这一次写出来的作文，定稿的作文啊，在咱们山西的考场作文中，你基本上都能够套用进去， 所以说这个作文啊，就是王炸般的存在，你直接定稿的就能够用在你的考场作文中，还有其他的试卷，或者是私信发给我试卷。

下周呀，上大附高一，马上就要进行月考了，那我呢，总结出来三类必考的题型，好，那我们话不多说，我们直接来讲啊，首先第一个题呢，是什么呀？连接体的能量的问题，那这类型问题怎么去处理呢？我给大家写出来了这四步啊，你就要照着我这四步去做，你肯定能做对。好，那我们先来讲这个题， 那首先呢，大家在听我讲的时候，一定要先自己做啊，做完之后再听我讲。首先第一问，让我们求 p 的 质量，那这个 p 的 质量怎么求呢？我们就对 p 去做一个受力的分析， p 啊，受到一个竖直向下的重力， 还有一个延时方向的拉力 t 一， 还有一个右侧是延时方向拉力 t 二，那我会发现啊，这个时候这个章角是五十三和三七，所以这必定是垂直的，那我要想把这个大 mg 给它搞定，那我是不是得通过受力分析来去处理啊？如果我能求出这一根绳的拉力，其实我就把大 m g 就 搞定了。为啥呢？我们可以把这三个力先合成到一个矢量三角形，那我们选择平移 t 二啊，再把重力 m g 给它平移过来。 ok， 好， 那所以说我这个时候呀，知道这个小角应该是等于三十七度，如果呢，我能把什么呀？把这个左侧这个绳拉力或右侧这个绳拉力给它搞定，那我是不是就把 m g 就 搞定了呀？对吧？ 所以这个非常简单，因为提起头告诉我们一件事，他说是当我们小球处于图式的这个位置的时候，正好处于一个静止的一个状态啊，说明他能受力平衡， 而且这个时候呀，物体 n 对 地面刚好弹力为零，就说明什么呢？把物体 n 给你提起来了呗。所以 n 呀，就从他受到一个自身向下的小 mg， 还有一个向上的弹力，说明弹力呢，就等于 mg。 那这个时候我们再来看 q 啊， q 受到一个数值向下的重力，也是 mg， 还有什么呢？因为弹簧呀，这时候是被拉伸的，既然被拉伸呢，它必定有一个向下的一个拉力的一个力，所以这个拉力呢，我们刚才算了，就是 mg， 所以这个 q 呢，收到两个向下的 mg， 那 这个绳的拉力是不是就和 q 的 这两个向下 mg 相等呀？所以这个 t 一 的大小就是二 mg。 好， 如果我们知道 t 一 的大小是二 mg 的 话，那能不能出来这个三角形的斜边呢？肯定可以用三角函数嘛，所以我们就有 t 一， 再比上一个什么呀， cosine 三十七度啊，就等于我们的大 mg。 好 口算一下， t 一 呢是二 mg， 然后 cosine c 它呢是零点几零点八，然后它就等于大 mg， 那 由此我们就能推出来我们的大 m 等于什么呢？哎，就等于我们的二分之五倍的小 m 啊。 然后我们来看第二本，第二本就要用到哎，我这四步了。那首先我先给大家解释一下第四步啊，我这个什么意思呢？我说的如果这个题以后呀，没有给你这个弹簧的进度系数 k， 那 这个题你就放心，这个弹簧就是一个幌子，也就是说弹簧弹力它是不做功的啊。 呃，这个没有啥原因啊，就是经验之谈，每道题其实都是这么出的，那我们来看一下这个题是不是这个样子呢？那首先我们来看啊，这个题啊，原来出状态 它是什么样的呢？是这个屁啊，是在这个位置啊，也就是说你左侧这根绳松弛的，左侧这根绳松弛是不是 q， 应该是干嘛呀？要压缩弹簧，那这时候要压缩弹簧的话，弹簧弹力应该多大呢？是 m t， 然后末状态呢？刚才我们分析它变成了一个什么状态，变成一个拉伸的状态了，哎，拉伸的弹力也是多大呢？也是一个 m t 啊。哎，那所以说我会发现出末状态的弹力是一样的，那就说明出末状态相对于原厂的什么呀，拉伸量也是一样的，对吧？哎，那就能证明这么一件事， 既然初望状态单调 x 相同，那就说明弹簧弹力是不做功的，因为你没有弹性势能的变化量，对吧？好，那所以你看这个题以后弹簧就没用啊，所以整个过程中从出到末，其实弹簧弹力不做功啊。 ok， 那 我们就来列我们的这个什么呀，求这个第二问的这个速度。我说了求这种题，你要干嘛呢？先来列一个系统的动能定律， 如果我把这个 b q 弹簧看做一个整体，这个整体现在有什么力做功呢？只有 p 的 重力做正功， q 的 重力做副功，因为 p 往下掉， q 往上升，对吧？好，那我们先来写这个什么呀？ p 的 重力做的功，那就是大 mg 再乘以一个什么下降的高度 hp， 然后还有谁重力做功呢？ q， 只不过 q 的 重力啊，做的是负功，那么就设为是 h q， 那 它就转化成了什么呢？ 呃，这个时候不用管弹簧弹力做的功啊，因为整个过程中弹簧弹力不做功啊，那所以它就等于我们的系统的末动能减出动能，那就是二分之一倍的 m v p 方，再加上二分之一倍的 m v p 方，这应该是个大 m v p 方，这应该小，按 v q 方 再减去，系统出动能是零，对不对？所以这个题呢，现在我们需要干有几个未知量呀？一个，两个，三个，对不对？所以我得列四组方程，是吧？那我分别来表示一下， h p， h q， v p， 还有 v q 啊， h p 等于多少呢？ h p 叫做 p 下降的高度，这很好算，因为我们提头已经知道了这么一件事，就这个神的长度呀，是一个 l 啊，既然神的长度是一个 l， 它下降的高度是不是就是这段距离呢？对吧？那这段距离怎么算？是，就是 l， 再乘以一个 sine 三十七度。 然后我们再来看这个 q 的 这个长度应该怎么算呢？ q 呀，原来是在哪，哎，那我们首先想， q 的 这个绳的伸长量应该就是它的什么呀？呃，它上升的一高度，什么意思呢？我们知道这个绳的总长度是不变的，所以它等一会往下摆的时候，一定做的是一个圆周运动，对不对？所以我们先画一下这个题的初状态，它初状态应该是这样的， 哎，首先这个，这，这个球在这个位置，然后这个绳只有这么长， 有人说这个题呢，左侧这根绳只有这么长，现在到末状态，它有这么长啊，对不对？所以这两根绳出末状态的什么呀？差值，那是不是就是我们的？哎，这个 q 球的上升的距离啊，对吧？ 好，那我们就来求下这两根绳的什么呀？差值。那我首先得求出来左边这一段。左边这一段怎么求呀？因为他做的是一个圆周运动，从这样摆下来的，所以后面这部分长度就是绳长 l， 那 我们想想，我们是不是可以用这的总长度减去一个 l， 就是 原来左侧十二的长度呀，对吧？那所以这根 这的总长度应该怎么算呢？是不应该是 l， 再除以一个 cosine 三十七度呀，对吧？然后再减去一个 l， 那 是不是又是这部分的十二长呢？这部分的十二长已经搞定了，我们想末状态这部分十二的长度是多少呀？应该是我们的 l， 再乘以一个， 看成它三十七度，对不对？是吧？ ok， 那 这个时候我们就可以写了，我们用末状态的神长减去初状态这段神长，那是不是就表示是这个绳的什么呀？拉伸量吧，对不对？那这根绳的拉伸量也是 q 的 什么呀？上升的高度，所以我们就可以写出来我们的 h q 的 大小了， 它大小就是我们的 h 啊，再除以一个 l， 再除以一个三十七， 再减去一个 l， 哎，这个，哎，这么写这末状态的长度，哎，不对，这初状态长度，我们再用末状态长度就 l， 再乘一个 ten， 它 三七度，然后再减去这么一坨，是不是就是 h q 的 长度呀，对吧？那现在我要解这组方程的话，你看这两个未知量我们已经搞定了，含短两个未知量就是 v p 和 v q， 对 不对？那 v p 和 v q 分 别怎么算呢？我刚才说了，这个题你还得再列一个什么样叫关联速度这么一个关系， 那怎么确定关联速度呢？那首先我们来看啊，这个小球它应该做的是什么运动呢？是这么一个圆周运动，所以它的速度呀，应该和你这根绳应该是相互垂直的，对吧？所以 它正好就是我们的 v p 的 速度。哎，你会发现，如果你的速度和这根绳垂直，那是就是沿着左侧这根绳的方向呀，对不对？所以你 v p 的 速度就是绳的速度，那我们就写出来，我们的速度关联就是 v p 其实是等于 v q 的， 对吧？ 好，那所以说这个题以后我们只要算谁的速度呀？ q 的 速度，那你把这个 v p 换成是 v q 即可。那所以你看我现在是不是列出来就四组方程，四个未知量呀，是吧？哎，这就是其实是数学中叫什么呀？叫这个行列式，或者说这个， 呃，列方程这么一个思想，思想啊，叫独立方程的思想，有几个未知量，你就要列几个方程。好，那这个我就不给大家去解了，最后解出来结果应该是一个七分之二倍根号，下什么呀？七 g l。 那 我们再来看第三问啊， 那刚才我说了，这个题里头我们要求这个轻神物体 q 做的功，我是不是刚才说了，还得再列个体动能定律啊，对不对？你看是不是第三轮考出来了呀？对吧？所以我们小球 p 从释放位置 轻神就是 q， 轻神对 q 物体 q 做的功应该怎么算呢？我们这时候单独对 q 来列一个动能定律，那对于 q 来说有什么力做功呢？我会发现这个十二八往起提，所以十二拉力做什么功呀？做副功对不对？哎，那所以说，我们就十二拉力做的正功 w 再减去自身重力，做的负功就是 mg， 再乘以 h q， 它就等于二分之一倍的 m v q。 方啊，叫末动能减去我们的出动能，对吧？ ok， 那 这样的话我就能把 w 也算出来。为什么呢？因为你上一问已经把 h q 和 v q 是 不都搞定了呀？所以你这个题 w 立马就做完了，所以 w 最后的结果呢？写出来是十四分之十一倍的。什么 m g l 啊？好吧，这计算大家下去算啊，我只带大家去做一个过程的分析。 ok， 那 还会考什么样的题呢？哎，比如说这个实验，一定会考一道机械能守恒的实验。对于这个实验呢？哎，我们就拿这一道立体来讲清楚，你只要能把我今天这个题搞定啊，你考试时候肯定没问题。

下周呀，上大附高一，马上就要进行月考了，那我呢，总结出来三类必考的题型。好，那我们话不多说，我们直接来讲啊，你只要能把我今天这个题搞定啊，你考试时候肯定没问题。好，那首先我们先来看啊，这个题第一个空，让我们求这个通过光电门的速度，光电门的宽度呢，是 d， 那 通过的时间又是 t， 所以 你的速度 v 啊，就是 d b t 啊。当然大家在写的时候不用写这个 v 等于什么，你就直接写个 d b t 就 行。 好，第二个呢，就是让我们问我们这个 t 方分之一和杠 l 这个图像满足什么样的式子能验证机械能守恒？那既然这个实验是验证机械能守恒，我们就来写一个机械能守恒的一个表达式不就行了呗，对不对？或者说这个题我就是要推 t 方分之一和 l 的 一个什么呀？函数表达式。 那怎么推呢？就是用机械能守恒来推啊，或者你用动能定律也行啊，我觉得这个没有什么，这个严格的一个要求啊，无所谓， 我不妨，我这个题我就拿动定力给你试一下啊。你比如说这个题头，他说的是释放位置距光电门的距离是一个 l， 那 我们来推导一下，整个过程中有什么力在做功呢？有 b 的 重力，就物块的重力，还有什么力呢？还有弹簧的弹力，对不对？所以只有这两个力在做功。那我们就写一下啊， b 的 重力做的功就是 mg 再乘以 l 的 平方啊， 它就等于我们的末动能减出动能，那就是二分之一倍的 mv 方，再减去零，而我们通过光电门的速度可以写作是二分之一倍的 m， 乘以个 d 比 t 整体的平方，对吧？ 所以这个时候就出现了 t 方分之一以及我们的 l， 对 不对？所以我们要让 t 方分之一是什么轴呀？ y 轴，那怎么办呢？我们把这个 y 前面的系数全部给它除到左边来就行。 好，那我们来干一下这件事，现在呢，就是 m g l 再减去一个二分之一倍的 k l 方啊，那等式两边我们可以先乘个乘个二，然后再除以 m， 再除以地方不就行了吗？对吧？所以它就变成了二 g l 再比上一个地方， 再减去一个。呃， k 比 m 再乘一个 l 方，再比上一个地方啊，它就等于 t 方分之一啊。所以这个时候我就写出来它的一个什么样表达式了，你把它带进来即可啊。 那很明显，你看这 t 方分之一是 y 嘛？这 l 方 l 这是不是一个二次函数呀？而且是一开口向下的二次函数，那是不是和这哥们一模一样呀，对不对？那你就把它的这个表达式就挣出来了啊？好，那大家自行把这个填到这个空就行。 那在第三问呢，他说的是这个什么呀？ l 一 和 l 三是两个对称的位置，然后我们一 k 一 减一 k 三等于什么？首先啊，大家来想，如果这两个位置是对称的，那就说明什么呢？哎，说明我们这时候的速度呀，是一样的。 为什么呢？因为你会发现，当我长度为 l 一 和 l 二的时候， t 方分之一是一样的，那就说明一个事，就是我的 t 就 通过光电门所需要的时间是一样的， 既然通过光电门的时间是一样，我们看这个速度的表达式，那是不是就是 d b t 啊？因为光电门的宽度是不会变的，所以就代表他们的速度一样，那言外之意就是两个哥们呀，落到这个，呃，通过光电门，他们的动能是怎么样？是相同的，对不对？既然通过动能是一模一样的，那就说明两个动能之差为多少呀？是不是零呀？ 那第二个就是什么样？我们的这个弹性势能之差等于什么？首先我们来看一下啊，既然你们的动能变化量是一样的，那什么才叫做机械能守恒呢？叫做我们的弹性势能 加重力势能再加上我们的什么样动能，应该是一个定值，这才叫做机械能的守恒。现在我们知道我们的动能变化量是一样的，哎， 那就说明这哥们和我没关系了啊。也就是说这时候如果动能变化量是一样，那就说明 e p 加上 e p g 应该也是一个什么值呀？是一个定值，对不对？既然他们加起来是一个定值，说明我们的弹性势能的变化量应该和我们的重力势能的变化量应该大小是一样。我加这么一个绝对值啊， 那也就是说这个题问我们弹性势能之差，本质上就是重力势能之差，对不对？所以第一个物块呢？它重力势能变化量是不就是 mg 再乘一个 l 一 啊，对吧？那第二个呢，就是重力势能变化量就是 mg 再乘一个 l 二，所以它们的重力势能之差就是 mg 倍的 l 一， 再减去一个什么 l 二，对不对？是吧？那它这个重力势能变化量，刚才我们说的就是弹性势能的变化量呗，对不对？哎，好，那这样的话，我们就把这个题搞定了。 最后一个就是什么呀？就是让我们求速度的最大值啊，这个速度最大值应该怎么搞呢？我们先想想在哪速度最大， 要想速度最大，就是通过光电门的时间应该最短。哎，那我会发现，这个在 l 二这个长度的时候，它通过光电门的时间就应该是最怎么样最短的。为什么呢？因为在 l 二的这个位置上是 t 方分之一是最大的， 那就说明你的分母是最怎么样最小的，那就证明你之后时间是最短的，对不对？所以在 l 二的位置时候速度最大啊。那我们直接可以把这个上面我列出来这组动能定力方程，你把这个 l 变成 l 二不就行了吗？各位，对吧？你这时候你的速度呢？可以给它变成是 这个是什么呀？ d 比上一个什么呀？ t， 对 不对？那我们就要求这个最大速度，当然啊，这时候不用变了，那我们看哪个是未知，哪个是已知的呢？这个 t 头我不知道 k 吧，哎， k 好 像知道了，对吧，那 所以这个方程直接就搞定了嘛，对不对？那就是 mg l 二再减去二分之一倍的 k， 乘一个 l 二的平方，那就等于二分之一倍的 mv 方了呗，对吧，那我直接就能算出来这个什么呀，速度的最大值了，好吧。 啊，好，那我最后我就不算了啊，大家自己去算一下啊。当然，这个题头好像是不知道 l 二对不对，那我们就把 l 二表示出来不就行了呗，很简单，因为我们高中里头一提到最大速度，那代表什么呢？ 就代表着加速度 a 等于零了呀，对不对？那就受力平衡嘛，所以我就有我的重力，其实就等于 k 倍的什么呀？ l 二呗，对不对？所以说你看 l 二，那是不是就是 mg， 再除以 k， 那 我就能算出来最后的这个结果了。好吧，好，我就不算了，大家下自己去算一下，这就是一个比较难的一个什么呀？ 叫机械能手环的一个实验。那最后一个我想讲的是什么呢？是这个机车启动的一个问题。那机车启动的问题呢？它有这么几种题型啊，分别最简单的是 v t 图像，还有 a v 分 之一图像， v 分 之一 a 图像，还有 f v 图像，还有 f v 分 之一图像，还有 v 分 之一 f 图像啊， 这些东西都需要大家自己下去去做一个推导啊，因为考试里头肯定会挑这几个图像里头去考这么一个啊，汽车启动肯定是一个必考的考点。那我们这个题呢，我不准备给大家去讲答案啊，我就想讲讲我做这一题的一个思路。那首先呢， 我们做这种题，我的建议是大家去把它这个 a v 分 之一的图像去转化成一个什么呀？ v t 图像。 那首先你看从 c 到 a 的 这个过程，它应该是一个什么样的过程呀？你会发现微分之一在减小代表着什么呢？哎，代表着你的速度在增大， 哎，所以各位啊，大家在做这种题的时候，这个图应该怎么看呢？应该是从右往左看，因为你机车启动呀，你车在往前加速呀，你不能速度减小吗？是不是你速度肯定要增大，所以这幅图肯定要从右往左看啊？既然你从 c 到 a， 你 会发现你的 a 是 不变的，所以它是一个横立过程，对不对？ 那从 a 到 b 是 一个什么过程？毫无疑问，那肯定是以恒定功率来启动了呗，对不对？因为你学汽车启动就学过两个过程，所以第一过程他是以一个什么呀？恒定的力去启动，所以他做匀加速直线运动。 第二过程呢，他应该做的是一个恒定功率启动，他做的是一个加速度在减小的一个什么速啊？加速最后匀速啊。 ok， 我 给大家去表示一下这个题的过程， 他所谓的那个 a 点在哪？在这，对不对？所以到 a 点的速度是多少？是一个二十？到达这个点的时候，我们会发现怎么样呢？是不是受力平衡了呀？对不对？那就代表着加速度 a 等于零啊，所以这的这个速度就是多少呀？是一个三十。 好，那这个时候我们就成功的把什么呀？把 a 和 v 分 之一的图像转化成了什么呀？这么一个 vt 图了啊， 那他所谓的这个 b 点就在这啊，那所以这种题的考点在哪呢？有这么几个，第一个就是建立起 a 和 b 的 关系，那你会发现 a 和 b 的 关系是在哪呀？是他们的功率都达到了什么值呢？都达到了额定功率，所以我对 a 点来列的话， 可以列这么一个式，就是我们的额定功率就等于牵引力再乘以我们的速度二十啊，那这个牵引力可以怎么写呢？可以写作是 m a 再加阻力 f 呀，对吧？他再乘以二十，而我们对于 b 可以 怎么去列这个方程呢？哎，那是不是他也达到了额定功率啊？我们先清楚，这个叫 p r 啊，这个也是 p r， 那 他就等于我们的这个牵引力是是三十，哎，不对，牵引力是多少呢？不知道，再乘以我们对应的三十，但是我们知道达到最大速度的时候呀， 一定是一个受力平衡的状态，那就代表着我们的牵引力和我们的阻力是不是相等的呀？所以这就可以写作是阻力再乘以三十啊，那可以大家记一个公式啊，如果你在做机车启动的问题，一看到的让你去求最大速度，那你立马就好反应过来，就是用我们的额定功率 再除以我们的阻力啊，就是我们最大速度。好吧，大家在考试时候，这个可以直接去用啊，就额定功率除以阻力就最大速度啊，具体怎么震自己下去震啊，这个非常简单， 那所以我们通过这个式子，我们就能得到 m a 再加上 f， 然后再乘个二十，是不就等于我们的 f 再乘以三十呀？因为他们的额定功率是怎么样相等的，对吧？所以这个方程中呢， m 和 a 都是已知量，对不对？那所以说我就能把阻力啊就给搞定了，对吧？大家自己去算一下，阻力就能算出来了。 然后第二个事就是如果考这个图像，你觉得它要考什么呢？第二就考它的斜率，对不对？那我们只推导一下 ab 这段的斜率啊， ab 这段斜率应该怎么算呢？它是以恒定功率去启动的，所以我们一起来写一个方程，就是牛二，就是牵引力减去我们的阻力等于一个 m a， 而我们的牵引力呢？可以给它写作什么呢？是不是我们的功率 p 再除以我们的速度 v 啊，再斜阻力等于 m a， 所以 我们要建立起 a 和 v 分 之一的关系，那怎么办呢？哎，我们来化解一下，那就是 a 就 等于一个 p 比上一个 mv， 然后再减去一个 f 比上 m， 所以 大家来看啊， p 比 m 是 不就是我们这幅图像的什么呀？斜率吧，对不对？那 f 比 m 是 纵轴截距，但这个题没给我给你画出来啊，如果画出来它在这啊，就是纵轴截距 b， 对 不对？ 所以你去求它的额定功率，可以怎么求呢？你是不是可以通过这幅图像的斜率可以搞定啊，对不对？所以它可以求出来额定功率，好吧， ok， 剩下的选项，呃，大家自己去算啊，这个题子最后结果就是 c 啊，好吧，就是 c， 好，就是我去讲到的什么呀？三大类必考的题型，那每一种题型呢？我都给大家去找这么一个例题去训练啊，包括还有就是去年的这个山大附高一的月考，我也给大家总结出来了大家需要的我这份讲义。还有就是去年山大附高一的考试题，在评论区打月考，我来发给你。

三大附中高一化学月考卷，孩子能考多少分才是真本事？最近，三大附中的高一化学月考卷出来了，实话实说，这份卷子难度真不低，说是咱山西高一化学的标杆卷都不为过。 孩子要是考在八十分以上，那绝对是班里的尖子生，基础打的特别牢。要考在六十到八十分，属于中等水平，知识点会但不精，稍微变个题型就容易卡壳， 要是低于六十分，那可得抓紧了。说明孩子氧化还原离子反应物质的量计算这些核心知识点压根没吃透这份卷子的难度系数，稳坐第一。先说填空，三道填空题里考了六个方程， 其中只有两个是必备的方程，剩余四个全是没有见过的离子反应方程式的书写， 对学生氧化还原离子反应核心知识的提出了高考新要求。再说选择，即使选择题出了二十个，填空题少三个，但这套卷子也休想快速做完。尤其是后五道选择题，一个个都是一顶十， 真要彻彻底底做个明白，需要花费的时间可不止分数的三分。不愧是附中卷，值得全省高医生对标练手，家长们别犹豫，给孩子找这份卷子练手，早发现问题，早解决问题，高一打好基础，高三才不会吃力！

最近考完的华大新高考联盟的一个模拟卷的数学的第八题，单选题换华中师大附中数的一套卷子。这道第八题是一道立体结合的题目，他讲的是一个球在圆锥里面滚动，然后能够跟圆锥接触到的面积是多少，这里讲的是什么？ 蓝色颜料图的小球，其实就是指跟他们接触的。这种题其实我们之前也做过，做了不少，有时候可能是把球放在长方体或者正方体或者圆柱里面，反正放在一个立体图形里面，把球放在里面滚动，能够接触到面积。 你之前做这种题，一般会去计算这个球呢，滚到那个边角位置的时候，跟那个立体图形接触不到的位置，然后去算接触不到的面积，那个把它拼起来会比较好算，然后把它剪掉，把立体图形总面积剪掉它。那这道题呢，他直接算能够接触到的面积，反正比较简单。我们先来看看这道题的题目，信息间 这是有一个圆锥啊，体积给出来了，然后呢，圆锥的母线跟底面的夹角也给出来，球的面积当然也会给出来了。那我们现在先利用已有的信息，这个圆锥的是吧 体积以及这个假角去计算这个圆锥的一些信息。线啊，三分之一，我们设这个圆锥的底面半径为 r， 三分之一 pi， r 翻乘以什么它的高应该根据这个六十度可以算出来的高，应该是根号三啊，然后等于三分之八倍，根号三， pi 可以算出来，这个 r 呢，等于二，也就是这个圆锥的底面半径呢是二，然后再根据这个球球的体积呢，同样也是可以算的出来，这个球的半径是三分之三，然后呢，我们去想象一下，这个球在这个圆锥里面滚动的时候，他到底接触到的面积是哪个啊？这里给一个图，这个球呢，滚到上面的时候，这个空间呢，是接触不到的，接触不到的，然后呢在下面滚一圈，滚一圈，下面也是接触不到的，所以他真正能接触到的位置呢，应该是侧面 这里这个空间这个位置能够接触到侧面这个位置，那把它展开呢，它应该是一个大扇形，减去一个小扇形，也就是一个什么 一部分的圆环，一部分的圆环了，这样的一个面积啊，那么这里特别要小心的就是什么呢？他只是问什么？他只是问跟侧面，不含底面啊，有些学生呢，就是 不小心呢，想多了，把这个底面也考虑进去，这个底面是什么？底面是这一部分啊，涂掉啊，因为这里呢，他也是能碰得到，因为这个球在这里滚的时候啊，底面也是碰碰得到的，他这个节点点在这里滚动一圈，这个位置是能够碰得到。那很多学生没注意到这个信息，反而还考虑的更加周到，其实实际上是没有注意到，把这个也算进去啊，这个球算进去，这个是不用算了，不用算了，如果只算这个环呢， 它的计算量还比较小一点啊，还放水了。然后呢，这个环呢，我们可以用什么？用二分之一的幺一幺二，假设这个是母线是 a， 那 它是二分之一的幺一幺二加幺二，然后再乘以 a， 把它当梯形算，就跟扇形可以把三角形的面积计算公式一样，这种大扇形减去小扇形呢，可以用上面的弧长加下面的弧长乘以它的母线长，再取个。 那我们为了算这个，拿出它的铺面图吧，轴表面的铺面图，轴表面的铺面图呢？然后呢，根据我们已有的刚刚算过信息，这条的长度呢是四 四，然后呢，这个球的小球的半径是三分之根号三，根据这个三十度啊，六十度啊，这个信息可以算出来，这一条线的长度呢是二分之一啊，二分之一，那也就是这一条线的长度呢，是一，同理的这边也是一样的，也可以算出来什么这条的长度也是一，这条的长度呢就是什么一，这条的长度呢就是三， 然后呢，再把它带到这个圆环里面去，算到这面积的公式的时候呢，就是二分之一的一乘以派加上三乘以派，也就是这个弧长一乘以派和三乘以派，然后呢，再乘以这一段长度应该是四减一减一，应该是二，再乘以二，那就等于什么四派，所以答案应该是 b 啊。