五三八下数学试卷一次函数湘教版

期末考试又要来了，乡教版的数学期末怎么复习哪里是重点？今天呢，郭老师给大家简单说一下， 乡教版数学初一期末肯定要重点抓平方差和完全平方公式，这里呢，不论是选择、填空还是计算还是压轴，都是有可能会考到的。其次就说不等式的内容，尤其是含餐的不等式压轴题，考到的概率在百分之九十以上。 最后就是三线八角的综合题必考。相较版数学初二的核心呢就是四边形以及函数这两个板块，压轴题一定会考什么呢？半角模型、截长补短等等这些常见的模型 函数部分一般要么考察函数图像的理解题，要么呢考察含己综合题。最后，郭老师把相较版初一初二数学的复习资料和期末考试的复习试卷都给大家整理好了，需要的家长呢，可以点赞关注之后在评论区输入相较郭老师给大家公益分享。

还有四十三天了，我现在只能教你怎么摸选择题了，哎，不要再给我圈选 c 了，来吧，记着点，来。第一个，对数比大小， log 三五， log 七八五七三十五，三八二十四，三十五大于二十四呗，所以 log 三五大于 log 七八。哎，记住，只有底数大于一才能用哈。 来。第二个，函数最值问题用科西来解，你 low 不 low 啊？来吧，看好。如果题目是这样，那么最值就是这个公式，给它代入， a 等于一， b 等于负二， c 等于负三， k 等于四，最小值就是七分之八秒出答案了。来。第三个，等差向量，等比向量， 咱们先看等差啊，只给你一个关系式，直接把每一项给它看成 x 三 x 等于十五，那么 x 就 等于五，那这 x 加 x 两个 x 不 就是十吗？完事了再看等比， a 二 a 五等于四，一二一二的嘛。 x 乘 x 等于四， x 就 等于二，那么就是 a 一 二 a 二二 a 三二 a 四二 a 五二，这个 log 二二就是一一一一 等于五。就这么简单学会了吗？这下你要是再考不好，我真的要爬出来揍你了。好像这样好用的解析技巧，一共五十五条，选择填空都是可以直接用的，想要啊，来吧。

二零二六年高考数学全国一卷三角函数解答题，考中线，考角平分线，求范围还是考。留下你心中的答案，期待奇迹诞生的时刻！

还有六十三天了，我现在只能教你怎么蒙选择题了，别全选 c 了，记着点。知道了，老师，对数比较大小 log 三五 log 七八五七三十五，三八二十四，三十五大于二十四，所以它大于它。会了吗？会了，老师你会个门啊， 只有底数大于 a 才能用。知道了第二个函数对值问题，给你的函数在负一到五上，求最大值加最小值，直接上升式，最大值等于这个公式，而 a 加 b 就是 两个区间，负一和五一代入二分之 f o， 负一加五互为等于二分之 f 二，你计算 会了吗？会了，我不信。第三个，等差除以，等比除以。先看等差只有跟你一个关系式，那分别设成 x x x 三， x 等于十，五， x 等于五，那这块 x 加 x， 那 两 x 那 十。完事了， 下个等比， a 二乘 a 四等于四，一样的说成 x 乘 x 等于四，所以 x 得二，那么所以就是 a 一 二 a 二二 a 三二 a 四二 a 五二等于一，一一一等于五就可以了呗。学会了吗？学会了考不好我打死你。

这个视频我们来讲一道八下，同学在学一次函数单元一定会碰到的一个难点题型，是一次函数跟实际应用的结合，像这种题型的话呢，百分之九十五的同学思路都是不清晰的，但其实这种题型只要三步核心思路就可以非常轻松的解出来了， 那这个视频花三分钟来带大家梳理这三步核心思路，像以后这类型的实际应用都能够轻松解出来。好，那还有更多一次函数单元的一个重点题型， 我都整理到了这份一三二四的专项练习里面，可以拿去练习巩固好。我们来看一下这个题目特征哈。题目特征的话呢，首先会给出一些信息 啊，通常来说都会有 ab 两款呢，或者加一两 d 啊之类的这种信息哈。然后的话呢，是给出了一些进价跟售价给出表格的信息，并且设出了这个书包的个数是 x， 并且后面一堆东西好。然后最后的话呢，就问 怎么样才能获得最大利润，然后去求最大利润。如果是像运费那些的话呢，就是最低运费，然后去求最低运费。好，那这种的话，其实相当于是一次函数跟实际应用结合中的最值问题，也就是要用一次函数，然后去结合到实际应用去求最值 好。这边来看一下这个核心解析思路哈，其实解析思路非常的简单，就是三步，第一步的话呢，是要先去求自变量，也就是 x 啊，通常是 x 的 一个取值范围， 然后第二步的话去求函数解析式，第三步去根据自量取值范围去求对值就可以。为什么是这样子哈？我们来看到去掉这个实际应用之外，我们来看到一次函数什么时候是有对值的呀？一次函数，比方说哈，如果是这样子，一个 k 大 于零的一个 函数的话，那它是没有最大最小值的，对吧？因为是一条直线吗？然后是没有最大最小值的，所以如果说要取入这个函数的最值的话，其实这个 x 的 话，它就需要有一个取值范围，比方说这个 x， 这个是 x 一， 这个是 x 二， 是这个取值范围是在 x 一 到 x 二之间，那对应的话，也就是图像就是这段， 那什么时候有最值啊？很明显就是这个点嘛，对吧？也就是 x 等于 x 二的时候是有最值的， ok， 所以 为什么需要有这个 x 的 取值范围？就是为了取到直线变成一个线段，这样子才能够去求最值。那同样的，当这个，呃，一次函数它是 k 小 于零的情况下， 它也是一条直线，所以的话呢，也是需要说，哎，这个有一个曲值范围在这里，它才能变成一个线段， 然后才能有最大值和最小值。所以的话呢，套到实际应用里面，那我们需要找到的元素就是第一个是 x 的 曲值范围。曲值范围的话呢，会根据题意会有实际意义跟题目限定两种。什么是实际意义呢？比方说书包，书包它个数 它是要大于等于零的，对吧？这个就实际意义嘛，然后题目限定是什么意思呢？比方说题目中这里的话，能看到哈，如果勾进这两种书包的总费用不超过 一万八千元，也就是小于等于嘛？这里的话就会出现一个不等式， ok， 那 这里的话就会得出，综合去得出 x 的 一个取值范围 好了。第二个呢，求函数的解析式，那也就是根据题意去得出，我们看到哈要获取最大利润，也就是去找这个最大利润跟这个 x 之间的关系嘛。这边题目已经设了是 w， 哈利润是 w， 那 也就是去找 w 跟 x 之间的函数关系， 那然后再在这个取值范围内去求最值就可以了啊，就是这样子的思路。那我们结合到这道题来讲解好。第一步的话呢，先去求这个数量的取值范围，首先实际意义，实际意义的话就是这个书包的个数是 x， 那 这个 a 是 x 的 话， b， 也就是我们看到哈一共是四百个吗？ b 的 话就是四百减 x 吗？ ok， 实际 e 的 话，也就是 s 代等于零，四百减 s 代等于零，对吧？然后再看到题目限定，题目限定的话，也就是刚才说了购进两种书包的总费用不超过一万八，总费用在哪里啊？也就这一项嘛，就进价嘛，对吧？所以的话就是 a 的 费用加上 b 的 费用 小于等于一万八就可以了。所以第三个不等式，也就是四十七 x 加上三十七乘上书包的，呃，那个 b 书包的个数也四百减 x， 然后是小于等于一万八， 那就可以了。好，那这里的话就可以去列出这个不等式组，然后去解出来，那解出来的 x 是 大于等于零，然后是小于等于三百二十。好，第一步就做完了， 就求这个自变量取这个方面吗？第二步是求这个函数解析式，我们看到哈，最后是要求这个利润最大，所以的话呢，是要去找利润跟 x 之间的关系。题目已经设出来了，利润是 w 了，所以的话，也就是要去求 w 跟 x 的 关系嘛， 总利润，总利润也就是 a 的 利润加上 b 的 利润， a 的 利润是什么呢？也就是 a 的 个数乘上它一个的利润就可以了吗？ a 一个的利润，也就是它售价减去进价六十五减四十七，这是 a 一个的利润，再乘上 a 的 个数，也就是乘上 x 好， 然后再加上 b 的 利润， b 一个的利润是五十，减去三十七，然后再乘上 b 的 个数，也就是四百减 x， 好，那这个就是 b 的 利润， a 利润加 b 的 利润就是总利润，然后化简这个函数。解析式，等于五 x 加五千二， 好，那第三步的话，就是根据这个取值范围，然后去呃求这个最值就可以了吗？来，我们看到这个函数，它的图像大概是怎么样的？大概是这样子一个图像，对吧？所以的话呢， 它 k 是 大于零的，所以是一个，呃，就是倾斜向上的这样子一个图像， k 大 于零的情况下，所以是 w 是 随着 x 的 一个增大而增大了，所以我们看到也就是零到三百二十， 是这一段，对吧？那什么时候 w 最大值啊？很明显，这个 w 最大值就是当这 x 等于三百二十的时候吗？ 所以带进去，带进这个解析式里面去，就可以求出 w 最大值六千八百，那就可以了， 好，同学们可以做好笔记，像这种一函数求最值，问题都是这三步。核心解析思路可以点赞，保存，反复学习，那像这些属于课内的重难点内容以及课外的拓展内容，我都整理到了我的系统视频里面，如果说有需要了解和试听，可以在下方留下这三版本。

关于变化率呢，我们研究两类啊，一个是损失的，一个呢是平均的啊。另外呢，我们还要给大家介绍这个切线的斜率以及这个切线方程啊，这些内容呢，相对来讲比较基础，但它很重要。 首先我们来介绍一下这个损失变化率，咱们呢，在物理上啊，经常会接触到这样的一个概念啊， 他反映的是一个变化快慢的一个特征啊，在这里我们假设啊，我们用多少 x 来表示什么呢？用 x 二与 x 一，他的差啊，就表示时间的一个变化量啊， 然后用 dot y 来表示什么啊？函数值的一个变化量啊，我们用 fx 二减去 fx 一啊，好了，那么我们讲函数的这个平均变化率呢，我们用谁呀？ dot y 啊， 除以德尔特 x 啊，来表达他的一个平均变化率啊，如果这时候呢，这个德尔特 x 他要趋近于零，就什么呢？就时间变化一点点， 很小很小的，要多小就多小，对吧？那这个呢，这个瓶颈变化率呢，他就曲径于什么呢啊？函数在 x 零 x 一啊，这一点的什么损失的变化率， 就像我们在学物理上讲那个速度一样，是在 x 那一点，他的损失速度，对吧？嗯，好了， 那么这个损失变化力呢，他是可怕函数的在某一点的一个变化的一个情况啊，这是一个，呃，关于损失变化力的一个概念啊。第二个我们来说一下这个平均变化力啊，他和咱们讲那个损失变化力呢， 有相同的地方啊，损失呢，就是指的是时间很短暂的某一点，而平均变化率呢，它指的是在啊有一段时间内，比如说从 x 一到 x 二这一段时间内，这一段时间可以长一点，对吧？比那个损失时间要长一些啊。 那么我们定义他的时候呢，和这个水质的定义的方法是相同的啊，在这里得知他 x 同样用 x 二与 f 一的差啊，得知他 y 呢，用 f 二 fx 二与 fx 一的差啊， 那在这里我们来表达这个平均变化的平均变化力的时候呢，用得了 y 与得了 x 的笔直啊，就可以了。好，这两个概念呢，他两个有相同的地方哎，唯一的区别就在那就在时间的差上啊，时间长一点的话，我们把它记为是平 平均变化率，如果时间很短，极限趋近于零，那就表示的是损失的变化率。 ok， 好，我们来看一个立体啊， 这里边他讲自由落体的运动啊，我们学过这个物理上我们知道啊， st 等于是呀，二分零 gt 方啊，这一个公式啊，其中呢，这个 g 呢，是九点八啊， 他下面给我们来一个观音式，咱们看一下这个 s 什么呀，一加多少题啊，减去 s 一 啊，就说啊，时间在啊，一加多少 t， 这个时间于一这段时间，这段时间内他的什么呀？一个平均的变化率啊。这里如果他给我们取了一个什么多少少 t 取经于零的话，应该指的是什么啊？是一个损失的，所以呢，你要看到这个 关键的信息，就可以很容易判断他是平均速度啊，还是水润速度啊，对吧？所以呢，在这里提应该指的是谁啊 啊？损失速度应该是指的是 t 等于一这一时刻啊，从一到一加多少 t 多少 t 为零了，那就是说在以很附近的很短很短的那个时间内的速度，所以呢，我们应该选的是这个损失速度，应该选择 c， ok， 第二个我们来看一下啊，这里面含数 fx 等于 x 平方啊，减去深 x 啊，他在零到派，那在这里显然应该是一个比较长的一段时间了，所以呢，他要求的话，应该是求什么平均变化率的 啊，那所以在这里我们就按照平均变化率的这个关系来给他处理一下，那在这里，首先我们 可以确定谁啊，啊，这个得他 x 应该指的是谁啊？派减去零，对吧？啊，那么我们再找一下，这个得他 y 得他 y 应该是谁啊？ fx 二减去 fx 一，也就是这样， f 派减去 f 零 就可以了啊，我们把灯它外表示出来， f 派减去 f 零啊，灯的 x 呢，就是时间差派减去零啊，那所以我们给它带入公式啊，咱们看 f 派，这样派的平方减去 cn 派， cn 派是是零， 所以这是派的平方啊， f 零呢，在这里零的平方是零啊， c 零呢也是零，所以分只是派方减零啊，分母呢，是派减减零啊，我们约分就可以得到这个值呢，应该是等于派应该是选择 c 啊，其实呢，这个 体力板只要靠我们这个公式的啊，把我们这个平行变压力的公式给他套上去啊，求出得到他 y， 得到他 x 就 ok 了。好，我们来看第三题， fx 等于 ax 平方加 b， 他的图像呢，是一个开口向下的啊，我们知道啊， 这样呢，一个函数开口向下的话，那肯定就是一个二次函数，对吧？所以咱呢，这里 a 的词呢，应该是一个复制啊， 那么我们再来看这样的一个观音式啊，这个观音式里边你抓到一个关键的点是吧？ dota x 区域零什么意思啊？他应该是表达的是一个损失速度，不应该是一个平均速度，对吧？ 好了，那在这里分子应该指的是 dota y 分母，那是指的是 dot x， 那么我们需要把 dota y， ex 分别表示一下，来看一下这里啊。 啊，我们变量是谁啊？ a 加上多少 x 带到这个是里边的啊？ a 乘以把 x 换成多少 xa 加多少 x 啊，嗯，然后呢？平方照抄啊，然后加 b 也给他抄下来啊， 减去 f a， 对吧？那我们把 x 换成 a， a 乘以 x， a 的平方就是 a 的三方啊，减去 a 的三方哦，再减去 b 好了啊，那么我们再把这个关系是呢，给他去展开啊，来给他合并，这样的话就可以得到得到他 y 啊，那在这里同门，我们给他带进去啊，得到外一得到 x 的比值，其实就是，是吧，把得到他给他约分是不是？嗯， 你看这个多少 x 和多少 x 约分二 a 方，对吧啊，然后 a 乘以多少 x 平方啊，与这个多少 x 约 分后就 a 倍的 dotox， 嗯，那么我们下一步怎么算呢？同门，你想 dotox 啊，去曲径零的什么意思啊？你算的时候呢，就把 dotox 换成是零啊，这样的话吧， 来进行去计算啊，这里是二一的平方加上 a 乘以零啊，所以他的极限就是二一的平方啊，那条件高了，我们是等于四的， 那这样的话我就可以求出来 a 的平方等于二啊，我们考虑到他是一个开口向下的跑步线，所以呢， a 给他取上一个负值啊， 应该是 a 等于负的根号二，这样的话呢，就可以求出来了。这道题里边同门看一看啊，我们直接给他套公式啊，把到他 y 到他 x 分别求出来，然后呢，用他这个极限往里边去带，记住，这里边有一点细啊，一个细， 这个很关键啊，在这里同门想，我在下一步里边我爸多少还是换成零了，我为什么没在上一步做呀？在这里你想想，如果在这一步爸多少换成是零的话，那就分不做零没有意义了。 所以呢，朋友们一定要先把德特外求出来，然后和分母的特特特约分，约完分以后再带入，好吧，这是一个细节啊， 咱们再来看一个第四题啊，这里边讲一个字典的运动方程啊， s 等于八减去三 t 的平方啊， 让我们呢求支点在一到一加多少 t 这一段时间内的平均速度。好了，同，我们来看一看，这指的是什么？这就是一段时间有的时间了，不是多少 t 等于零的时候了，取经以零的时候，所以呢，我们要求的 是平均速度，那么我们求平均速度啊，求平均速度也好，水晶速度也好，那是不是都要是要把 dot y， dot x 分别求出来呀？好，那我们来看一下八时间啊，八 t 去动一下一加多少 t 和 t 等于一的时候分别带入啊。 这里边呢，我们由于咱们表示是 s 一 t 的关系，所以呢，咱们把这个多少万呢就看成是多少头 s 啊。好了 啊，我们把这个最后这个时间是吧啊，结束的时间，一加多少系带进去啊，八减去三提方就是一加多少提方啊， 然后再减去八乘以，这个其实的时间是一对吧？把 t 等于一带进去， ok， 就是 y 二 s 二和 s 一的差，嗯，然后呢，我们把这个四字呢 再去展开啊，然后来整理到这以后，那朋友们你看一看，我们要想求的是平均速度，这个平均速度的关公式要记一下啊，是多少 ts 除以多少 t 啊，咱们物理上经常会用到这一公式啊， 好了，这个平均速度我们就会得到了啊，是负六减去三倍的多少系啊，这个多少？系统们，我要不要把它换成是零呢？这个称千万不要了，我们是求的是平均速度，又不是求那一个点， 他要不让你求时间？ t 等于一的时候那个损失速度，如果让你求替等于一，那个时候的损失速度，你可以把多少题换成零，如果没有，那这样的话，你就把多少题保留着啊，以后比如说我让你求一秒到两秒，或者一秒到三秒，是不是你可以把多少题求出来，而把 代入就可以求他这一段时间内的平均速度了， ok， 好，咱们再来看第二问，他就告诉我们让我们求在 t 等于一的时候的损失速度， ok， 那这个问题就来了，我们是 让这个时候的大家 t 是不是趋近于零啊？我们要求他的极限啊，这个关系是同样要写好了啊，损失速度我们表达的时候写成是 v， 不要写成为平均啊。然后呢，我们把这个关系是写成是呀，写成极限的形式啊， 就利用他多少 t 取经零，我们求谁的多少孩子以多少 t 的这个比值啊。好了，那同我们看一下多少 t， 这个取经一零的时候，我们是把这个吃的换成零啊，前面呢，就可以得到这个损失速度应该是等于负六啊，这是一道小题，考了两个概念， 把这两个概念做一下比较啊，有区分。咱们再来看一道第五题啊， 这里边呢，我们前面讲过 dota lty dota s x b 值啊，我们当 dott 曲径零的时候，我们知道它表示的就是损失速度啊。那么同门你想一想，他让我们求啊，这原函数告诉我们 fx 等于 x 四方啊，让我们求证一下 这 fx 的倒数啊，他等于四 x 平方三方啊。那其实就是说什么意思呢？让我们呐，求 什么，在某一个点处，他的切线的斜率啊，也就是什么是损失的速度啊，所以呢，这是一个很关键点，你要把它理解成损失速度就 ok 了啊，不是平均速度啊。嗯， 然后呢，条件里面给我们提供了 x 加都是 x 的这个四十方，他要求我们用这个蜜的形式给他去展开。好了， 我们回归到基础，就应该用它的定义啊，损失速度的定义，我们需要把到它 y 以到 x 分别表示一下，来看一下原含若 fx 有了啊，我下一步来表达一下这个 x 加上 d x 啊。 所以呢，这里边 f x 加 dos x 关系是应该是 x 加上 dos x 的四指方啊，那么 do y 呢，应该是等于谁啊 啊？ fy r u f y x x 一 x， 他们呢，还是知道叉对吧啊？ x 加灯 x 四十方，减去 x 四十方，然后呢 呢，除以这个得了 s， 我们呢需要这样的一个观音式，就是先把他们两个的笔直做出来，然后我们再给他进行球挤一下， 这样的话呢，就可以求出啊，那在那一个点处的什么呀？啊，切换的斜率啊，或者是在那一点处的那个损失速度啊。 好了，这个呢，我们展开时候同门有一个技巧，在这提醒同门一下他的分子同门，你有没有发现他可以用平方差公式，可以这样子简化运算对吧？用他那用平方差公式展开，然后再继续运算啊， 那么预算完以后，我们让他分子分母含有多少 x 地方给他约分约掉啊，这是我们约分后的一个结果啊，那么都是他外一多少 x 笔直。我们出来以后，下一步我们就开始怎么来求集， 哎，这是一个步骤是吧？把这个极限公式给他写出来，这台就取定零的时候，我求他们的什么极限值，那在这同学们看，这是 x 要取零，这是不是就是零啊？ 啊，含有多少 x， 你通通都给他换成是零就 ok 了啊，那所以剩下只剩下谁啊？四 x 的三次方啊，那所以他的极限就得到四 x 的三次方啊， 那他的极限我们的表示什么呢？就把他表示成这个 fx 的倒负，就在那一个点出的一个损失速度啊，就是四 x 三方就可以了， ok 啊， 这个题的做法我们仍然是回归了定义，我们才是第一节课啊。所以呢，像平均速度，损失速度你都跑不掉谁啊？先求多少外离多大的比值，如果要求这个损失速度，你就再用一个什么呀，极限公式 啊，把这个写成极限的形式啊，如果要是求平均数的话，你就不需要了，对吧？ ok， 咱们来看一道第六题啊，啊，这里边曲线上有一个点屁啊，让我们求啊，在点屁处的七线方程 啊，那么同门想这是一条曲线啊，那么我们这个点应该是曲线上的一点啊，也就说让你过这个点做这个曲线的一条切线， 是这样的一个意思，对吧？那么我们去想切一下方程是不是也就是直线的啊？我们要想把这个直线的方程写出来，我知道这样的直线上的一点弯， 那下一步我就需要要么再找一点，要么是怎么这样，我把这个切线的斜率求出来，可以用点斜式来确定这个直线的方程，那所以在这我们再找点的可能就是没有了，只有这么 我们在啊，确定这个啊，这个切线的斜率，那么我们怎么来确定切线的斜率呢？我就需要在这个点系处 我找点屁那一个点，那一个点是什么呀？损失速度而不会是平均速度吧，就在某一个点，是不是所以应该是损失速度，那么所以呢，我可以把这个函数再点屁的损失速度给他求出来啊， 啊，同样的话，我们求他的损失速度，也就是说现在这个学率啊，我可以求谁啊？求这个啊，损失速度的什么呀？ 极限啊，就是他的这个企业啊，来看一看，得了 y， 比上得了 x， 我们给他算出来，让 x 换成啊， x 换成什么？一加上，对，因为他的 在横着标是一处，对吧？横着标取一，所以呢，它的增量就是一加对，它 x 啊，平方 这个呢啊，分成一对吧，分成一，这是 y， 二，这是 y 一，他两个含水这么长，然后除以这个字变量是不是一加 d x 减去一就是 d x 了。嗯，好了， 那下一步呢，我就需要把这个设备进行怎么了？通分整理，记住啊，一定要注意，先通分再整理，你不能够在这个地方就开始把道上 x 等于零带进去，这样的话是不行的啊， 那怎么办呢？就把这个分子给他通分啊，分母通分啊，然后我们来看，继续，我们继续给他去去整理，整理到什么地方呢？到这以后我们可以把这样这个没有意义 多少 x 去取你零是吧？我要把它约分约掉，这样的话才可以啊，你看把多少 x 约分约掉，分母呢？就是一加多少 x 方，分子呢？是负多少 x 减二，这个时候我们就可以让什么多少 x 换乘，是谁啊？零来进行去代入了， 哎，到这个地方好了，也就是算算结果是谁啊，是福二好了啊，也就说我们说啊 过这个一这一点呢，切线的斜率啊， k 等于负二啊，那所以有直线的斜率了，有这个点啊，我们就可以用点斜式来确定这个切线的方程了啊，这样的话就可以达到目的了啊， 这里我要强调，我要强调一点点，很关键地方，为什么同门，你看前面你这个大 s 七零一直都没有带， 一直没有带过算，只有在最后这一步的时候呢，你记好了，最原始的最简单的方法就是什么了，你前面带的时候，你发现你把它带成零了，你就没法算了， 没啥意义嘛，分不为零对不对？这样就好理解了吧。好，这是一个关于求切线的方程啊。呃，套路很简单，知道一个点，然后求协律，求协律的方法就是求绳子速度。 ok， 好，这节课我们给大家提供了四个方面内容啊，一个是损失变化率，一个是平均变化率。这两个呢也好好理解。损失呢，就是很短很短时间内啊，平均呢？是有一段时间内。 ok， 嗯， 关于切呢，斜，对，我们给他转换成了损失速度问题，对吧？切换方程我们给他转换成这个直线的点斜式问题来进行去处理的。好，这节课我们就讲到这里。

当中有很多的量是固定不变的，比如说我们的课桌高度，我们教室里面的面积啊，我们书本的长度宽，但是也有很多是变化的，比如说我们的身高、体重， 我们的气温，那么这些变化的量，他们会有着什么样的关系？这就是我们第四招，所以也就的一个内容。首先我们看一下这几个学习目标。第一个我们要能够理性生活，实际通过具体的情景领悟函数的概念， 了解什么叫常量级。第一个从图中可以看出，我们凌晨四点的气温是多少， 我们一起了啊，元素的气温是多少？十度数，十四时的气温是二十度，那么在这个问题里面变化的量是什么？时间和温度的时间和气温 好。第二个问题，当正方形的边长取不同的值的时候，它的面积分别是多少？ 第一个到变成为一，面积为一，变成为二，面积为四、九、十六、二十五、三十六、四九。那么在这个里面变化的量是什么？变变长的面积， 那么如果用 x， 在 这三个问题里面啊，比如说我们加一个 x， 如果这个 x 取一个具体的值，比如说我们去加油，对吧？我加三十升，那么对应的这个费用是不是就是一个具体的数， 这是一个具体的数值，比如他，你这是一个确定的数值，对不对？那么怎么样呢？我看多少书到 x 取一个具体的值，那么看了多少页， 就是是不是这个算出一个具体的数字啊？当然这个也是一样的，如果这个边上确定，那么我们的面积会有一个值跟他确定吧。所以这三个问题啊，就是我们这边要取一个值的时候，这个 阴变量会有一个确定的值差，所以这一个叫做唯一确定，就是唯一确定， 所以我们再给出一个函数的概念来。那什么叫函数呢？好，这三个，这是一个函数关系啊，我们的函数就是我们的变量是另外一个变量的变化，并且对于质变量的值， 这个音标会有一个唯一确定的值与它所对应，那么我就称这个 y x 函数，我就得到对应的概念。 好，我们去看一下啊，一个变量 y 是 我们的音标嘛？随变量 x 的 变化而变化，并且对于 x 的 每一个值， y 都会有唯一的值与它对应，那么称 y x 函数。 记住，这个方法我们没见过的啊。反对 f， 所以 特别注意这个 f， 它不是 f 乘以 x， 那 你一悟，很多同学会悟到 f 乘以 x， 那 不是一样的，这个 f 表示的是一种对应关系， 那为什么用 f 表示呢？因为我们的变量它是不同的呀，对吧？我们我们气温从时间的变化有变化，你的变化变化，这个变化的规律是不一样的，对不对？我们很多变量和变量之间的关系， 他是不同的关系，知道吧？啊？所以比如说我们啊，你像我们的这个电话费，选择你的通话时间的增加，那么你的电话费也不增加啊，刚刚讲的，比如说你家里用水，你用的用水量的分数， 是吧？一增加，那么你所需要的水费也不增加，那么当他们之间肯定不是一样的关系吧。 啊？单价不一样是吧？就是收费不一样啊，就算这个电话费他也会有不同的收费方式，有的是包月，像我的啊，一百六十九块钱包月，对吧？一个月不管你打多少分钟电话，反正就是一百六十九块钱 啊。第二个有的是没有包月，就是你打好的电话就收好的钱，所以他是有不同的变化规律的，所以具体是哪一种我不知道，是吧？我就知道他是函数关系，那么对应的不同的函数就有不同的关系 啊。我们初中阶段，比如说要学一次函数，要学反面函数，要学二次函数，那么它们之间的 y 与 x 对 应关系不一样啊，所以我们现在只能用一个 f 来表示这种对应关系，具体怎样，那我们就要看具体的函数是一样的，所以大家这里要特别注意。就是啊， 我这个函数它并不是数啊，不是我们的什么有理数啊，无理数啊，实数啊，它不是数，它是一种对应关系， 至于是什么样的关系，那我们碰到具体的函数，我们就知道有几种什么样的关系啊。当然对于质量，就是每个指数 a 乘以音标对应的函数值，我们就记住 f a， 那 么这个 f a 也不是 f 乘以 a 啊，具体怎么算，我们就看这个函数是长什么样子的。 好的，这里特别特别重要的就是这个 y 必须要往 a 对 应，这个 a 对 应什么意思？就是一个 x 可以 一个 x 对 应一个 y， 也可以有多个 x 去对应一个 y， 什么意思呢？ y 等于 x 的 平方， 那么 x 等于二，等于负十， x 等于负二完成这个是呢？这个是完成 x。 函数是两个 x 跟一个 y 吧，但是不能让一个 y 等于两个 x， 比如说 y 的 比根值等于 x， 那 么 x 等于一个 x 等于 x， 那 么两个 y 等于一个 x， 这个就不行了，这不能是完成 x 的 函数啊，你只当一节 对应的关系。更准确的说法是，在一个变化轮中，如果有两个变量 y， 并且对于 x 的 每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应。那么我们就说 x 是 四变量， y 是 x 的 函数。 如果当 x 等于 a 时， y 的 b， 那 么 b 叫做将四变量的值为 a 时的函数值。 每个字我都认识，怎么连起来，我就不明白说的是啥了。别慌，小场面。你们不理解这个定义，是因为你们还没有理解唯一确定和方面的含义，因为是一道牌， 唯一可确定。这个就是我们这节课的重中之重，大家竖起耳朵认真听啊！简单来说，就是每一个 x 值只能用一个 y 值与之对应， 比如 y 等于二 x 加一幺 x 等于一十， y 等于三幺 x 等于二十 y 五，以此类推。我们发现，不管 x 取什么值，就以 y 是 x 的 函数吗？ 好，我问你一下， y， x 再加是吗？是是是是是是是吧？是 是。两个 x a 一个 y 是 可以的吧？ r 是 a， 我 们给它一个值，会发现只有一个 y 值与之对应，所以 y 是 x 的 函数。现在函数的函数关系也应该会了吧。 但是同学们要注意，不是所有函数关系都能用这样的式子表示，例如 n 会随着时间变化而变化， 一个时间对应这个温度，说明温度是关于时间的，但是他们之间的关系啊，却很难用尺子表示出来，所以像这样不能用尺子表示了，爱的关系大家也要能判断， 知道了什么是唯一确定，我们再来看，这样就容易多了。如果说 i 值是随着 x 的 变化而变化的，那么起主导作用的 x， 所以 x 就是 自导变量， 就像圆的面积随着半径的变化而变化，那半径就会变亮，温度随着时间的变化而变化，那瞬间就少变亮。 你们现在对这个概念的理解啊，最重要的就是这个唯一确定，那这个函数的概念它本身也是经过很多很多年这个数学家不断的去探索，当然以后我们到高中，到大学可能对这个函数概念也会有一定要我们等一下到最后的时候再跟大家分享。 好，我们对这个小的特别有幸来普及一下刚才我学的函数的概念。第二个公式， x 等于四三的时候，那么这个公式没有意义，这个公式没意义，那么就是说它的自变量值不大于 x， 不 等于三呗， s 不 等于负三，但是他满不满足。把 s 变化的变化我们直接看，第一个是两个变化 s， 第二个一个变化是另外一个变化的变化的变化， 满足吧。第三个为确定，就当 s 取一个值时候， y 是 不是有为的值，你能对应满足吧？满足满足，所以第二个是的，是的，所以好第二个和第一个，第二个是，而且第三个是因为第三个不满足，这个为确定 啊。这个图是遗忘曲线图，遗忘曲线图就是我们所学的知识，经过一段时间以后，它会慢慢的减少啊，所以我们要合理的安排我们的复习只有重复，有规定的重复记忆 啊，重复计才是最有效的计天才是重复事实最多的人，所以我们要给我们的一个遗忘，做斗争的话就及时的去复习，为什么我们学员要反复的去默契，是吧？为什么课代表的学员背首背，背，你就是为了我们的遗忘做斗争，否则你过了很长时间再去背，再去努力， 人就忘的差不多了，是吧？这点也没有困难，如果你及时的去复习，他马上就升上去了，对吧？你不升上去 啊？再跟大家思考一个问题，根据我们刚刚所学的知识，你能不能举出一些生活当中函数的例子，对吧？呃，七七哥写的时间变化啊，八十度 啊，速递用的前数随着一次的那个走的路程而变化。对，你像我们，你就比如说我们一样，我们吃的是 六块吧，起步价是六块，在两公里以内就是六块钱，在两公里以外，每超过一公里是不是加上两块？ 那么这个函数 y 是 怎样怎样的知道的吧？比如说我们的费用是 y， 我 们的路程是 x， y 等于什么？至少是六块是吧？再加上 x， x 减。