海淀2026二模初三数学新定义

结构快，但是我新定义还能提示商。哈喽，大家好，我是玉浩老师啊，那么咱们今天一块来看一下海淀二摸的这个选择加注题，那这个选择加注题呢？各位啊，它就是一个考察动点问题的一个题，那这道题其实你只要分析好动点问题，限制的什么，没限制什么，那做起来还是比较简单的 啊。你就比方说在题干当中，各位，你会发现，首先直线啊，它给了我们 k 小 于零， b 大 于零的一个限制，但是具体是多少没有给 好。菱形 o m a n 当中呢？这个线段 m n， 它有什么限制呢？你会发现，作为对角线， a m n， 它必须在 a o o 的 中垂线上， 这是老师给你的一个限制，就是它限制了 m n 的 位置，但是它没有限制什么呢？各位，它没有给你限制 m n 的 长度，它只是告诉了你点 n 要在第一项线就 n 点一定要在上边， m 点一定要在下边，这就是它的一个限制。 所以当你分清楚了这个限制了之后，你就会发现第一问就特别好做了。第一问 k 和 b 给了你之后说菱形是不是存在无数个？那各位，就是刚才我说的，它只是限制了 m n 的 位置，但是没有限制 m n 的 长度，所以你想让点 n 在 哪？ 你想要点 n 距离 o a 多长都可以，所以那肯定就是无数个，依旧是正确的。好，那接着我们来看圈二圈二，哎，说当 b 等于二的时候，也就是 b 线确定了， b 确定之后，说对于 k 的 每一个确定的值。各位，也就是说你虽然在研究它的时候不知道 k 是 多少，但是你在研究具体一种情况的时候， k 一定是个确定的， 那在这种情况下，各位 k 确定， b 确定，其实在你研究的那种情况下，三角形的周长就是确定 好，那在三角形 a、 o b 周长确定的时候，它让你去找什么呢？让你找是否存在菱形的周长和三角形的周长相等。那各位，在这种情况下，你就会发现了， 也就是说我们要在 o a b 都确定的情况下去看，去探究 m n 他 们在的位置，能不能让菱形的周长和三角形的周长相等啊？因为啥？因为叫对每一个确定的值，我们可以把 k 就 看成确定 好，那在这种情况下，各位，我们就可以使用什么呢？使用我们的极端性原理加连续性原理。哎，我们就干嘛呢？我们就找点 n， 在刚刚一开始，也就是说刚刚冒个头的时候啊，各位，我们会发现，当点 n 刚刚冒头的时候，我们所形成的这个菱形 o m a n 的 面积呢？啊，这个周长呢？它可能 啊，或者不是它可能，它就明显不如。什么呢？不如 o a 加 ab 的 面积啊， o a 加 ab 的 这个长度， 各位，就是点 n 刚刚出头的时候，他刚刚出头一点，那这种情况下，你知道 o n 加 a n 虽然会比 o a 要大，但是也大不了多少去，那在这种情况下啊，大不了多少去呢？那 ab 很 明显就会远远比他们的 ab 加上 o a， 两条线段之隔就肯定会比菱形的这个周长要大，那更别说再加上一个 o b 了。 所以刚开始的时候呢，菱形的周长一定是小于三角形周长。好，然后你在干什么呢？极端性，你再找一个最远的时候，就远到什么时候呢？远到光靠 o n 一 条线段的长， 对吧？反正你也没有限定点 n 的 位置，我就让点 n 足够远，然后 o n 一 条线段长，它的长度呢，就超过三角形的周长。那你会发现，刚开始的时候，菱形周长小于三角形周长， 而最后菱形周长一定大于三角形周长。那中间，因为点 n 是 一个连续的从下方往上方移动，那肯定有一个时刻是存在他们两个周长相等的，所以圈二也是对的 啊。好，再来看圈三圈三这道题，老师所给的提示其实挺多的。首先第一个老师特意提醒你，哎，我在圈三的时候对点 n 有 限制了，点 n 要在 ab 上。 好，那这个限制我们就来研究一下呗。我们之前已经说了，哎，点 n 它首先在 a o 的 中垂线上，那现在点 n 又在 ab 上，那其实点 n 的 位置对于这个图形来说就是唯一确定的，它一定在哪呢？一定在 ab 的 中点上面。 为啥？因为点 p 是 o a 的 中点呀，然后 n p 又是垂直 o a 的， 那很明显， n p 就 和 o b 构成了一个中位线的一个结构，所以点 n 就是 ab 的 中。 好，这是第一个题型。第二个题型老师非常奇怪的给了一个点 a 的 坐标，为什么说它奇怪呢？因为点 a 的 坐标竟然是单纯的用 b 来表示的， 所以在这种情况下我们会干什么？哎，我们会想，另外一个跟 b 有 关系的是谁呢？大 b 的 坐标零都 b。 好， 那在这种情况下，我们就会发现，点 n 又是 ab 的 中点，那点 n 的 坐标是不是我们就能够用中点坐标公式给它求出来？ 好，那各位，你会发现 a、 b、 n、 o 四个点的终点坐标我们都知道，甚至点 p 的 终点坐标，哎，你如果想标的话也能标出来，那接下来让你去找菱形 o m， a， n 面积是不是有最大值？那各位，你是不是应该首先看到菱形的面积啊？ 怎么看到菱形的面积呢？各位，就是式子表一切嘛，老师都把这个饭喂到你嘴里了，都给了你点的坐标了，那你接下来肯定是式子表，一切有式子就能一直算下去。所以各位，我们直接用菱形面积等于对角线之积除以二，发现 它其实就等于 o a 乘以 p n， 那 我们列完之后，它的一个式子就是负的 b 方加 a 加五 b， 那各位，这不就变成了我们函数压轴题当中经常研究的那个新函数吗？对吧？ s 是 关于 b 的 一个函数， 那关于 b 的 一个函数，我们注意到二次向系数为负，一开口向下，那也就是说 b 在 等于 a 使用一个对称轴的一个坐标公式二分之五的时候， s 取到最小值 啊，取到最大值，那各位，这个时候别忘了检验一下，你会发现此时 b 点的坐标是零到二分之五， a 点的坐标是五到零 a， 这两个点呢都是存在并且合理的，所以他肯定会有最大值啊，我们就做完了 好了啊，那各位，这就是我们海淀二模的选择大问题啊，如果你对于这三个选项有问题，可以在评论区里啊提问，或者说你对这三个选项有更好的一个求解的方法，也都可以在评论区里面去跟大家分享。好，那我们就讲到这里。

我们北京初三的家长们，昨天呢说海边二模考完了，整体来说呢，难度接近中考，题型正统， 含金量还是很高的，区分度非常清晰，实战性很强，贴近今年中考的命题方向，一定要让孩子吃透这套卷，才能精准把控中考的考法。 今天张老师带着大家主题拆解一下。首先选择题基础稳，拿分压轴更注重数形结合，前七个都是常规的基础考点三是图，数轴的估算概率科学技术法，平行线，角度尺规作图，还有这个圆的问题， 知识点平稳认真审题，基本能够做到不丢分。压轴的第八题格外的灵活，依次函数与坐标系，包括这个存在性问题，周长与面积的最值综合 重点考存在性的判断。树形结合侧数的范围分析，尤其是用代数式表示图形，这也是张老师课上反复强调的，先定坐标，再定图形，最后再验证临界的条件。 填空题基础为主，压轴考最优的方案。前面几道同样是以基础为主，分式有意义，因式分解，判别式， 概率预估，假命题，反方形对称的面积。十五题呢，整体在解直角三角形，还是在求面积，这里包括计算，今年的难度都有提升，绝对是不白给的，该拿的分一定要拿到。 填空压轴第十六题，以农产品装箱呢为背景，重量限制，求最值，阅读量适中，情境真实，需要孩子耐心审题，有序的猎取，先选高价值的组合，微调方案，心细，逻辑清晰，才能拿到满分。解答题前五道基础 基础必须拿到满分，也是我们的基本盘，整体变化不大，题型非常稳定，一分也不要丢。十七题，实数的混合运算，十八题，解一元一次的不等式组 首题，代数式化简求值，尤其是条件整体代入的意识。二十题，四边形综合， 这里边解直角三角形，整体重规重矩。二十一题，列方程解应用题，整个的叙述比较灵活，难度适中，这部分的分数稳住，才能有高分的保障。中间三到中档的解答题，重规重矩，细心不翻车。 依次函数综合正比例函数与依次函数的焦点问题有一些变化，给了线段长度范围，数值线段的长度求字母的范围，这里边注意数形结合，看清焦点与区间列式要准。 统计综合贫数值方图中位数达达标，估计提出即值，计算依旧是以中位数和平均数为主导，信息多，看图要准，结论必须结合图表描述。 接下来就是圆综合，依旧是解直角三角形，外加平行的八字相似，依旧是解直角三角形，与相似为主。这道题呢，解直角三角形的量不小，外海淀一模的圆综合类似难度不大，但是灵活，步骤写全不丢分。 同时注意今年增大了计算量，尤其重点考察了三角函数，最后三道压轴题是冲高分的关键，全是我们的高频核心考点。 代数综合，今年海淀考察了，比大小可以用数形结合法，也可以用代数法，注意等号是否可取，这也是我们反复练的重点。今年代数综合呢，结合一模二模，整体来说有把新函数最值与对称性比大小的和临界点整合在一起的趋势， 这个非常值得我们关注。几何综合中卫线加三线合一，尤其是在导边，这里加入了多层的等量代换。这个有二零二三年北京中考几何综合，这个题目的审运，导角的顺畅，思路自然能写完整，那自然而然能拿到高分。 最后一道题的压轴新定义依旧是多动态的轨迹问题，阅读量整体比较大，条件相套的比较多，是顶尖学生拉开差距的题。整体来说呢，这份海淀二模考点覆盖全面，题型正统， 难度贴合中考区分度合理，甚阶段，适合孩子检验水平，查漏补缺的一套题目，孩子考完可以好好分析哪些题目是稳拿分的，哪些题目在做的时候思路卡壳了，针对性查漏补缺更重要。 需要这份海淀二模数学试卷的家长瞧，海淀二模，我发给你，一步一个脚印，把错题吃透，各位加油！

新鲜出炉的海淀新概念，看上去很乱是吧？别提天焦虑，面包会有的， c 的 和 k 会有的，这道题还是挺有意思的。然后呢，首先这个定义，同学们给了你 c 的， 给了你这些东西看上去很乱，是吧？首先第一个，按照老谢的哲学，别提天焦虑， c 的 和 k 会有的，面包会有的啊。 然后呢，另外，各位一旦看到一个点，一定要和圆，一定要看圆内圆外，圆上。人家说了圆外，这是个前提，也是个细节确认，因为它会涉及到有些啊，要是虚线的圆。 另外一个呢，看到这种定义很害怕的话，我告诉你，你要用我的决定性思维，你会发现，如果一个 a、 p、 b 这样的三角形，比如说啊， 它给了你 c， 它还给了你这两个边的比例，它不就给了你这个三角形的形状吗？所以这道题它其实已经给了你一个三角形 a、 p、 b 的 形状了 啊。然后呢，并且如果这道题是一个动态的题，很有可能会用我们讲的很多遍的以动致敬，加个体到整体啊，俗话说的瓜豆原理啊，比瓜豆原理更拓展的一般化的一个东西啊，以动致敬，加个体到整体啊。第二个呢， 就是还是跟昨天我录的西城的一样，以圆为背景的心力，只要研究一种情况，因为从圆心看，哪个角度都是正方向。好，第一个的话呢，我们先从负四零切入，我们会发现非常巧，米奇老师这个设计的 就是当他在负四零的时候，你呢，先往这个圆做两条切线，会发现，因为这个长度是四， 这个长度是二，所以这个角正好是三十度，这个角正好是三十度，因为你能看出来六十度杠一，按照这个定义，其实就是他说的是 p a b 是 个等边三角形， 你会发现，当点 p 在 这里的时候，哎，点 a 在 这里，点 b 在 这里，你会发现它正好是一个 p， a b 是 个等边三角形，并且你会发现，如果 p 离的远一点， 这个六十度的角就和圆就没交点了，所以点 p 离圆心的距离不能超过四， 但是如果近一点，肯定有啊，甚至还不止一个， ok， 所以呢，这样的话，第一问就很轻松了啊，零多号五肯定不行了，因为太远了啊，二多号二呢？因为比四近是吧？二多号二到圆形的距离是二倍的，根号二还是小于四的，所以这个 p 一 和 p 三应该是，你们看我有没有算错啊？这第一问 到第二个，各位，我们就要用个题到整体了，是吧？根据定义，根据六十度杠二，就说 a p b 等于六十度，并且 p a 等于 p b 的 两倍。我们不难发现，这面题老师其实给了一个非常简单的三六九 好，那有的同学说，老师我研究这个，研究这个算那个 o， p 的 长度，不好算哎，你要直接算，可能不太好算。这个时候我们可以用以动致静，啥意思啊？就是我们可以看一看啊，咱们这个 ab， 按照我们双题的讲吸引力的方法，这叫埃涅万达法， 我们随便画一个 ab， 点 b 在 圆上，点 a 在 圆上啊，然后呢，咱们可以把点 p 看成什么呀？看成 a 以 b 为圆中心，哎，顺时针，当然你也可以逆时针啊，你算完以后会发现是一样的啊，顺逆时针， 然后呢卷九十度，并且因为三六九，所以这个长度是这个长度的根号三倍，所以这就变成原来的三分之根号三了。 所以你会发现一个点屁，就是一个点 a， 绕一个啊，绕点 b， 哎，逆时针或者顺时针旋转六十度，并且缩小为原来的三分之根号三倍得到的。那么所有点屁呢？就是所有点 a， 所有点 a， 因为点 a 的 身份就是在圆上，所以它能代表圆， 也就是整个圆 o 绕点 b， 哎，顺时针旋转九十度，并且缩小为圆的三分之根号三被得到了。好了，我们接下来要让圆 o 绕着点 b， 顺时针旋转九十度，或者逆时针旋转九十度 啊，并且半径变成原来的三分之根号三，所以各位，这时候我们会发现，基于我的决定性思维，旋转圆就是旋转圆心啊，因为咱们这时候，首先各位啊，首先 我们把这个圆心 o 绕着点 b 旋转九十度，并且这个边变成原来的三分之根号三倍，咱们就找到了圆心 啊，找到了圆心以后，各位，你会发现这个时候啊，然后呢圆心在这里半径呢就变成原来的三分之根号三倍了，也就是二除以根号三，这个半径是二除以根号三， ok， 这个时候我们会发现点屁的轨迹是啥呀各位，这时候点屁的轨迹是在圆外这个圆弧，这个 u 弧差不多啊，各位， 那么咱们这是研究的是任意一种情况，咱们圆心以圆为背景的圆，我们只需要研究点屁到圆心的距离，你会发现根据双截棍模型，最长的时候就是这种情况下， 然后这个长度，这个长度因为三六九，因为它是转了九十度，这个边是这个边的根号三倍啊，那么这个边就是它的二倍啊，是这个 o、 e、 b 的 二倍，所以根号三分之四，加上这个绿圆的半径，所以 o p 的 最大值 就等于根号三分之四，加上根号三分之二，等于根号三六，就是二倍的根号三。 ok， 这个时候我们就会发现，点 p 到 o 最远是二倍的根号三，最近是无限贴近于那个圆 啊，那么这个时候我们就会得到圆环了，这个青色的圆环半径就是二倍的根号三，里边这个就是圆 o 啊，我算了一个答案，你们看对不对啊？因为我着急尽快给你们录视频，这是第二个答案啊，我们接下来再看第三位， 有了第二问答理，我们第三问，至少我们还可以先研究三角形的形状了，别被这个根号七吓着，别被这个七的绝对值吓着，没啥啊各位，我们先随便画出来这样一个 a， p b 等于一百二十度， 并且 pa 等于二倍的 pb， 我 们用初二的知识不难算出来，这个时候你会发现人家给的这个根号七，太巧了，这个时候如果 pa 等于二 m， pb 等于 m， 那 么 ab 就 等于根号七倍的 m， 那 么我们要以动致敬的话，我们要让点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 并且你看啊，原来 a 到 b 的 距离是根号七，现在变成一了，所以就变成原来的根号七分之一， 所以跟第二个是一样的啊，还是典型的从个体到整体好，在这种情况下，各位，我们就知道，哎，怎么通过点 a 得到点 p 了，跟第二个一样，各位 啊，我们随便画一个 ab， 然后各位你们体会体会，我们还是啊，点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 刚才那个 alpha 的 正切值咱们是知道的，就是这个 alpha， 它的正切值是根号三，比上二啊，然后呢，我们让 这个 a 绕着 b 旋转 alpha， 就 会得到点 p， 那 么所有的点 a 就是 整个这个圆 t 啊，整个圆 t 绕着点 b 旋转 alpha 啊，并且变成原来的根号七分之一倍就得到。屁撇。各位，这种情况下啊，你自己可以算一算，也就是说 我们得到这样一个圆以后，我们照样算点 p 到圆心 t 的 距离的最大值，就是那个圆环的外外径啊，我们算一算，根据那个图，这是 t， 这是根号七 t， 这是二 t， 还记得吗？来再看看这个图啊，二 t， 那 么并且这个半径是 t 的 绝对值啊，我都只是说 t， 其实就是 t 的 绝对值，那么这个也是 t 的 绝对值，所以你会发现，最远的这个 p 到 pr 圆心的距离，最大是三倍的根号 t 啊，三倍的 t 的 绝对值不是根号 t 啊，然后呢，最小的话还是啊，但是还不能取等，就是这个半径，所以到这个时候各位，我们就得出来， 就是说我们的这个点 p 的 轨迹还是一个圆环啊，内径就是原来的圆 t 啊，根号七 t 的 绝对值，外径就是三倍的 t 的 绝对值，这个可以去等。 ok， 到这的话呢，各位，我们就把 p 的 轨迹找到了，很多同学看到至少存在两个的时候，可能被两个给吓着了，是吧？这个昨天西城的，今天也是两个， 我告诉你，如果你看不懂，今天老谢关于这道题跟你说了两次，不要提前焦虑，你到了高考要做题的话，也要用我这种哲学，别自己吓唬自己啊，车到山前必有路，把能做的都做了，做着做着就咋回事了啊，就知道咋回事了。 好了，那么接下来各位同学你可以暂停一下啊，然后呢，看一看，给你分析到这以后，你知道了点 p 的 轨迹，然后点 t 还在 y 等于 x 上动啊，你让他全面细致去动，看能不能想到临界情况以及临界情况对应的数值。 好，那我们接下来呢，就让这个点 t， 让它一开始在这个 y 等于 x 的 最右，最右上方啊，对，从右上方啊，不是左上方，右上方向，左下，全面细致有序动啊。然后呢，一开始，因为你会发现这个点 t 在足够靠右上的时候，他这个圆非常大，因为这个这个半径是你的这个这个这个横坐标的根号七倍吗？对吧？就非常大，所以呢，就没有，所以各位同学你就会想到他的第一个临界情况，就是这个点 t 往下走，往左下走，然后呢，正好那个圆环 啊，正好那个圆环，这个圆环的内径是吧，就是还是根号七 t， 外径是三 t， 还记得吧，这是第一个临界情况，然后他再往下，再往下，各位，这是第二个临界情况 啊，临界情况呢，我刚才让邵老师给大家算了一下啊，各位，这个数算的啊，让人真的有点发虚啊，因为这数算的太那什么了啊。然后各位，算完以后，这两种临界情况对应的是啊，一个是 这个二分之一到五分之三倍的根号，十减一，因为他需要俩点，所以虽然零件情况二这是已经是可以取一个了，但是人家需要俩 啊，那你呢？还得这种情况不行，也就说得刚刚从好几个啊，缩小为一个的时候啊，那么其实是无数个了啊，因为一个圆环和一个线段，要么没焦点是吧，要么像现在这种情况，一个焦点，要么再来的话就无数个焦点 啊。 ok， 这是第一个临界情况，第二个临界情况，他继续往下走，哎，这个圆环就这个半径啊，本来呢，往这边走了以后，他因为他这个 t 越来越小，他这个圆越来越小，所以和这就没有了，没有呢，慢慢慢慢过了这个负的这个圆点以后， 因为这个 t 的 绝对值在变大，所以这个圆的半径也在变大，所以呢，又开始接触上了啊，然后呢，这是一个临界情况，然后再大，大到一定程度，这个圆还会很大，因为虽然这个点往这边走，但是它的半径是它根号七倍啊，是它绝对值的根号七倍，所以各位同学请看啊，这是 邵老师给大家啊算的啊。来，各位，这就是 最后这个答案啊，两个临界情况，因为这种怎么算呢？各位，其实这个算倒不难，因为就是两点之间距离吗？因为你只要在圆周上到圆心的距离就是半径吗？是吧，这个整个这四个临界情况的算法都是这样的，然后呢，大家看一看啊，这是我们算的 哎，后边啊，临界三，临界四对应的数，然后呢，这是我们刚才临界一，临界二对应的数，如果答案有问题的话，咱们再探讨啊，发现这道题的思路呢？就是我们这个视频是给大家提供这个思路啊，有新的思路咱们再进行探讨，这是我看到题以后第一时间给大家录出来的。

刚拿到海淀二模试卷，整体试卷看了一下，难度确实依然在啊。我们这个视频来说一下几宗的考察。首先先说一下他很有水平，他跟二五年海淀的那个模考题大差不差。好，那首先我们来看一下应该是怎么做的。他 告诉我们说，在三角形 a、 b、 c 当中，角 b， a、 c 等于九十， a， b， c 等于阿尔法。点 d 在 bc 的 延长线上， e 是 c， d 中点好，那看到九十度就去标角就好了， a、 b、 c 等于阿尔法，又看到有一个 e， a 旋转一百八十度减二，阿尔法得到 e、 f， 所以题目当中有的信息都给它标好。第一问告诉我们说阿尔法等于四十五，我们把它写出来。好，这个角是四十五度，那这也是四十五度，所以它就会是一个等腰值好，等腰值出来了之后， c、 d 又等于 bc， 所以 这就是 终点，对吧？点 c 的 位置会是一个终点的位置。接下来告诉我们说，求证 c、 f 垂直 bc， 这个时候我们要注意的是，阿尔法是四十五度，那一百八十度减二，阿尔法就可以得到九十。当你看到在一条线上出现了一个角，这个角刚好是九十度的时候，并且这个角的两条边相等，那你手想的一定是三垂， 所以我做的辅助线就是过 a 点做 am 垂直 bc， 为什么我要往这个方向去做？因为我 c 这个位置是不是要让我去正垂直的？好，那接下来我就去证明这两个三角形全等就好了，怎么去正倒角？可以得到的是这个角 m， a， e 等于我们的角 c， e、 f 一个角等。其次第二个一条边等， 再来第三个，我们又可以根据终点得到 am， 是 不是等于我们的 bm 等于 mc， 所以 am 就 应该等于 bc 的 一半，而 c e 呢，等于 cd 的 一半，所以等量代换 c e 就 等于 am。 那 现在一组边等，一个角等，另外一组边又等，所以这两个三角形全等，一旦全等了就会出现，这是九十，所以第一问考察到的是三垂模型。 好，那接下来我们来看第二问。第二问就看图二了啊，因为这比较小，所以我单独画了一个，他说直接写出我们的角 b、 f、 d 的 大小看好了。首先第一步，即使你正不出来，你是不是也得把它的大小先写出来，肉眼可见，它应该是一个什么 九十度啊，所以你要先写出它等于九十度，那接下来怎么去证明？还记不记得我们之前就不断反复的跟大家去说过，看到题目当中有阿尔法有一百八十度减二阿尔法，就要想什么 想互补的关系，什么意思？就是阿尔法和一百八十度减二阿尔法什么关系？没关系对不对？但是一百八十度减二阿尔法和二阿尔法是不是互补的，对吧？所以我的辅助线就一定得去想他们之间怎么能构造相关的点，这是第一个思路。其次，第二个，我接下来要想的就是点 e 是 终点，他为什么要给我这件事？ 当我们看到题目当中有终点的时候，我们那几个终点模型就可以去使用了。所以呢，现在我们来去看，结合刚刚我所说的这两点，一个点 e 是 终点模型就可以去使用了。所以呢，现在我们来去看，结合刚刚我所说的这两点，一个看到阿尔法变成二阿尔法，就 和一百八十度减二阿尔法可以去结合。好，那怎么去做阿尔法？在这怎么变成两个阿尔法？是不是最好用的方式是什么？做对称，所以我去延长 c a 到点 m 是 am， 等于 ac 连接 bm， 那 这个时候是不是这就有一个二阿尔法了？ 好，那在我做完这个之后结束了吗？并没有，你会发现，当我把它加倍延长出去之后， a 点就是终点， a 点是终点， e 点是终点，所以 a e 就 可以构成中位线，那我再去连接 md 就 好了， m d 等于二倍的 a e， 这是第一个，那接下来我们会发现 a e 这条边就被我转移到 m d 上去了，那我能不能把 e f 也给它转移掉呢？那怎么去转移？还是一样的思路， e 点是中点，那我除了做这边的中位线之外，我还可以做这边的，所以我去延长 d f 到点 n 时， f n 等于 d f。 好， 那接下来连接 c n 连上之后， c n 这条线段就等于二倍的 e f 也是中位线，所以现在 m d 和 c n 就是 对应相等的，这是一组边等。 其次第二个 b m 等于 bc， 这是两组边等看到了这两组边对应相等，找加角就够了吧，找出来加角之后，就能证明这两个三角形是手拉手了。 好，那怎么去找加角？倒角就用上了。首先我们可以看到的是这个一百八减二阿尔法暂时还没有用，对吧？好，那我接下来就可以去把我已知的角都标上，这是九十减阿尔法，所以这就是九十减阿尔法。好，那接下来我们又可以根据这一个角，比如说我说这是贝特， 好，如果这是 beta 的 话，那是不是也就意味着这个角就是九十度减阿尔法减 beta？ 用外角的定律。好，那这个角就是九十度减阿尔法减 beta， 所以 这整个大角就是一百八十度减二，阿尔法减 beta， 看到了吗？一百八十度减二阿尔法减 beta， 一 百八十度减二，阿尔法在哪来着？在这， 对吧？好，那它减掉一个 beta， 是 不是就是这边的这个角 c e f 这个角，那 c e f 因为平行的关系就等于我们的 b c n， 所以 这也是一百八十度减二，阿尔法减 beta。 那 现在是不是就出现了边角边两个三角形全等，一旦全等了，结论是什么？ b n 就 等于我们的 b d， ok， b n 如果等于 b d， 说明 b n d 是 一个等腰三角形，等腰三角形底边有一个中点，所以它就会构成三线合一，那这就是直角九十就结束了， ok 吧，这个思路跟我们去年的思路是完全一致的啊。那今天因为时间的关系，就没有给大家去录多解，后面有时间的话可以给大家去多讲一讲关于我们几种的辅助线的思路构成。好，那我们就先说到这，拜拜。

几何快，代数稳，新定义还能提值上？大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的海淀新定义，这道题还是挺有意思的啊。 然后呢，首先这个定义同学们给了你， theta 给了你，这些东西看上去很乱是吧？首先第一个，按照老谢的哲学，别提一天焦虑， theta 和 k 会有的，面包会有的啊。然后呢，另外，各位一旦看到一个点，一定要和圆，一定要看圆内圆外圆上。人家说了圆外，这是个前提，也是个细节确认， 因为它会涉及到有些啊，要是虚线的缘。另外一个呢，看到这种定义很害怕的话，我告诉你，你要用我的决定性思维，你会发现，如果一个 a p b 这样的三角形，比如说啊， 它给了你 c， 它还给了你这两个边的比例，它不就给了你这个三角形的形状吗？所以这道题它其实已经给了你一个三角形 a p b 的 形状了 啊。然后呢，并且如果这道题是一个动态的题，很有可能会用我们讲的很多遍的以动致静，加个体到整体啊，俗话说的瓜豆原理啊，比瓜豆原理更拓展的一个一般化的一个东西啊，以动致静，加个体到整体啊。第二个开始就用了啊。第三个呢， 就是还是跟昨天我录的西城的一样，以原为背景的新意，只要研究一种情况，因为从原心看，哪个角度都是正方向。 好，第一问的话呢，我们先从负四零切入，我们会发现非常巧，命题老师这个设计的就是当他在负四零的时候，你呢，先往这个圆做两条切线，会发现，因为这个长度是四， 这个长度是二，所以这个角正好是三十度，这个角正好是三十度，因为你能看出来六十度杠一，按照这个定义，其实就是他说的是 p， a b 是 个等边三角形， 你会发现，当点 p 在 这里的时候，哎，点 a 在 这里，点 b 在 这里，你会发现它正好是一个 p， a b 是 个等边三角形。并且你会发现，如果 p 离得远一点， 这个成色的这个六十度的角就和圆就没交点了。所以点 p 离圆心的距离不能超过四， 但是如果近一点，肯定有啊，甚至还不止一个， ok， 所以呢，这样的话，第一问就很轻松了啊，零多号五肯定不行了，因为太远了啊，二多号二呢？因为比四近是吧？二多号二到圆形的距离是二倍的，根号二还是小于四的，所以这个 p 一 和 p 三应该是，你们看我有没有算错啊？这第一问 到第二问，各位，我们就要用个题到整体了，是吧？根据定义，根据六十度杠二，就说 a p b 等于六十度， 并且 pa 等于 pb 的 两倍。我们不难发现，这面题老师其实给了一个非常简单的三六九好。那有的同学说，老师我研究这个，研究这个算，这个 o， p 的 长度不好算哎，你要直接算，可能不太好算。这个时候我们可以用以动之境。啥意思啊？ 就是我们可以看一看啊，咱们这个 ab， 按照我们双提的讲吸引力的方法，这叫埃涅湾大法，我们随便画一个 ab， 点 b 在 圆上，点 a 在 圆上啊，然后呢，咱们可以把点 p 看成什么呀？看成 a， 以 b 为圆中心，哎，顺时针，当然你也可以逆时针啊，你算完以后会发现是一样的啊，顺逆时针， 然后呢卷九十度，并且因为三六九，所以这个长度是这个长度的根号三倍，所以这就变成原来的三分之根号三了， 所以你会发现一个点 p， 就是 一个点 a， 绕一个啊，绕点 b， 哎，逆时针或者顺时针旋转六十度，并且缩小为原来的三分之根号三倍，得到的那么一个点 p 是 这么得到的，那么所有点 p 呢？就是所有点 a， 所有点 a， 因为点 a 的 身份就是在圆上，所以它能代表圆，也就是整个圆 o 绕点 b， 按顺时针旋转九十度，并且缩小为圆的三分之根号三倍得到了。好了，我们接下来要让圆 o 绕着点 b， 顺时针旋转九十度，或者逆时针旋转九十度 啊，并且半径变成原来的三分之根号三，所以各位，这个时候我们会发现，基于我的决定性思维，旋转圆就是旋转圆心啊，也就是咱们这时候，首先各位啊，首先 我们把这个圆心 o 绕着点 b 旋转九十度，并且这个边变成原来的三分之根号三倍，咱们就找到了圆心 啊，找到了圆心以后，各位，你会发现这个时候啊，然后呢圆心在这里，半径呢就变成原来的三分之根号三倍了，也就是二除以根号三，这个半径是二除以根号三， ok， 这个时候我们会发现点屁的轨迹是啥呀？各位，这是点屁的轨迹是在圆外这个圆弧，这个 u 弧差不多啊，各位， 那么咱们这是研究的是任意一种情况，咱们圆心以圆为背景的圆，我们只需要研究点 p 到圆心的距离，你会发现根据双截棍模型，最长的时候就是这种情况下， 然后这个长度，这个长度因为三六九，因为它是转了九十度，这个边是这个边的根号三倍啊，那么这个边就是它的二倍啊，是这个 o e b 的 二倍，所以根号三分之四，加上这个绿圆的半径，所以 o p 的 最大值 就等于根号三分之四，加上根号三分之二，等于根号三分之六，就是二倍的根号三。 ok， 这个时候我们就会发现点 p 到 o 最远是二倍的根号三，最近是无限贴近于那个圆 啊，那么这个时候我们就会得到圆环了，这个青色的圆环半径就是二倍的根号三，里边这个就是圆 o 啊，我算了一个答案，你们看对不对啊？因为我着急尽快给你们录视频，这是第二个的答案啊，我们接下来再看第三位， 有了第二问打底，我们第三问，至少我们还可以先研究三角形的形状了，别被这个根号七吓着，别被这个七的绝对值吓着，没啥啊各位，我们先随便画出来这样一个 a， p b 等于一百二十度， 并且 pa 等于二倍的 pb， 我 们用初二的知识不难算出来，这个时候你会发现人家给的这个根号七，太巧了，这个时候如果 pa 等于二 m， pb 等于 m， 那 么 ab 就 等于根号七倍的 m， 那 么我们要以动致敬的话，我们要让点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 并且你看啊，原来 a 到 b 的 距离是根号七，现在变成一了，所以就变成原来的根号七分之一， 所以跟第二问是一样的啊，还是典型的从个体到整体好，在这种情况下，各位，我们就知道，哎，怎么通过点 a 得到点 p 了，跟第二问一样，各位 啊，我们随便画一个 ab， 然后各位你们体会体会，我们还是啊，点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 刚才那个 alpha 的 正切值咱们是知道的，就是这个 alpha， 它的正切值是根号三比上二啊，然后呢，我们让 这个 a 绕着 b 旋转 alpha， 就 会得到点 p， 那 么所有的点 a 就是 整个这个圆 t 啊，整个圆 t 绕着点 b 旋转 alpha 啊，并且变成原来的根号七分之一倍就得到 t 撇，各位，这种情况下啊，你自己可以算一算，也就是说 我们得到这样一个圆以后，我们照样算点 p 到圆心 t 的 距离的最大值就是那个圆环的外外径啊，我们算一算，根据那个图，这是 t， 这是根号七 t， 这是二 t， 还记得吗？来再看看这个图啊，二 t， 那 么并且这个半径是 t 的 绝对值啊，我都只是说 t， 其实就是 t 的 绝对值，那么这个也是 t 的 绝对值，所以你会发现，最远的这个 p 到 pr 圆心的距离最大是三倍的根号 t 啊，三倍的 t 的 绝对值不是根号 t 啊，然后呢，最小的话还是啊，但是还不能取等，就是这个半径，所以到这个时候各位，我们就得出来， 就是说我们的这个点 p 的 轨迹还是一个圆环啊，内径就是原来的圆 t 啊，根号七 t 的 绝对值，外径就是三倍的 t 的 绝对值，这个可以去等。 ok， 到这的话呢各位，我们就把 p 的 轨迹找到了，很多同学看到至少存在两个的时候，可能被两个给吓着了，是吧？这个昨天西城的，今天也是两个， 我告诉你，如果你看不懂，今天老谢关于这道题给你说了两次，不要提前焦虑，你到了高考要做题的话，也要用我这种哲学，别自己吓唬自己啊，车到山前必有路，把能做的都做了，做着做着就咋回事了啊，就知道咋回事了。 好啦，那么接下来各位同学你可以暂停一下啊，然后呢，看一看，给你分析到这以后，你知道了点 p 的 轨迹，然后点 t 还在 y 等于 x 上动啊，你让他全面系统去动，看能不能想到临界情况以及临界情况对应的数值。 好，那我们接下来呢，就让这个点 t， 让它一开始在这个 y 等于 x 的 最右，最右上方啊，对，从右上方啊，不是左上方，右上方向，左下全面吸的有序中啊。然后呢，一开始因为你会发现这个点 t 在足够靠右上的时候，他这个圆非常大，因为这个这个半径是你的这个这个这个横坐标的根号七倍吗？对吧？就非常大，所以呢，就没有，所以各位同学你就会想到他的第一个临界情况，就是这个点 t 往下走，往左下走，然后呢，正好那个圆环 啊，正好那个圆环，这个圆环的内径是吧？就是还是根号七 t， 外径是三 t， 还记得吧，这是第一个临界情况，然后他再往下，再往下。各位，这是第二个临界情况 啊，临界情况呢？我刚才让邵老师给大家算了一下啊各位，这个数算的啊，让人真的有点发虚啊，因为这个数算的太那什么了啊，然后各位，算完以后，这两种临界情况对应的是啊，一个是 这个二分之一到五分之三倍的根号，十减一，因为他需要俩点，所以虽然临界情况二这是已经是可以取一个了，但是人家需要俩 啊，那你呢？还得这种情况不行，也就说得刚刚从好几个啊，缩小为一个的时候啊，那么其实是无数个了啊，因为一个圆环和一个线段，要么没焦点是吧，要么像现在这种情况，一个焦点，要么再来的话就无数个焦点 啊， ok， 这是第一个临界情况，第二个临界情况，他继续往下走，哎，这个圆环，这，这个半径啊，本来呢，往这边走了以后，他因为他这个 t 越来越小，他这个圆越来越小，所以和这个就没有了，没有呢，慢慢慢慢过了这个负的这个圆点以后， 因为这个 t 的 绝对值在变大，所以这个圆的半径也在变大，所以呢，又开始接触上了啊，然后呢，这是一个临界情况，然后再大，大到一定程度，这个圆还会很大，因为虽然这个点往这边走，但是他的半径是他根号七倍啊，是他绝对值的根号七倍，所以各位同学请看啊，这是 邵老师给大家啊算的啊。来，各位，这就是 最后这个答案啊，两个临界情况，因为这种怎么算呢？各位，其实这个算倒不难，因为就是两点之间距离嘛，因为你只要在圆周上到圆心的距离就是半径嘛，是吧，这个整个这四个临界情况的算法都是这样的，然后呢，大家看一看啊，这是我们算的， 哎，后边啊，临界三、临界四对应的这数，然后呢，这是我们刚才临界一、临界二对应的数，如果答案有问题的话，咱们再探讨啊，反正这道题的思路呢，就是我们这个视频是给大家提供这个思路啊，有新的思路咱们再进行探讨，这是我看到题以后第一时间给大家录出来的。

代宗又变题了，其实我们在上课的时候就和大家重点强调过，代宗主要就是研究两个东西，第一个部分函数它的状态，第二个参与数之间的分类讨论的内容。这次海淀区考察的核心就是这个 啊，也是和我们上课时候讲的代宗的内容几乎一致。各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年海淀按摩的一个代数综合。呃，读完题目之后呢，有几个小点大家一定要注意，第一个就是他说是不重合的两个点，所以说我们一定要把 a 的 这个限制范例给他写出来，也许对于我们最后的答案有很大的影响。 第二个我们要知道这道题的对称轴是 x 等于 a， 然后呢，通过对称轴呀，我们会发现，你问这个三 a 减六到底怎么冒出来的呢？哎，我们发现对称轴等于 a 的 时候， a 点的对称点 a 撇，他就是三 a， 这个三 a 和这个三 a 减六，他们俩之间就会有一个相对的位置关系，这一点大家要注意好。那接下来呢，我们来看一下。第一题，让我们 比较 m 和 n 的 大小，此时 a 等于一，让我们就比较这个大小，这个非常简单，我们可以通过画个草图直接得到 n 呢，是大于 m 的， 这个呢，我们就在这里不做过多的赘述了，我们主要看一下第二题。第二题说抛物线 a b 两点之间的部分为图像 g， 你 看 区间函数，它这个图像一直在动，我们的脑海里要呈现出它的特点，对吧？过点 p 做一条垂直于八轴的线， 这个 r o 呢？和这个图像这只有一个交点，什么意思？就是现在有条水平的线，你现在 ab 的 这个图像呀，你不论怎么画，对吧？不论你怎么画，还是这样怎么画，咱们只能有一个交点，那也就是说你这个图像它的对称点和这个点两个点只能选择其一，这就是这道题最重要的一个内容， 对吧？这是第一个。第二个就是我们在做题的时候，你会发现它里面都是参数，那我们要干嘛？我们要去进行分类讨论。好，那我们来看一下。因为开口不知道，所以我们假设 a 大 于零或 a 小 于零这样两种大情况。 第一种情况，当 a 大 于零的时候，我们画出草图，这个零斗零和二 a 斗零都能画出来，对称轴呢是 x 等于 a， 这个呢也都知道。好，那接下来我们来看一下啊，我在这里边可以干嘛直接先画出来这样的一条线， 这条线就是我们所说的这条 l， 也就是这个 y p， 对 吧？那也就是说我现在呢， a b 两点之间的部分，要和他只有一个焦点，那怎么办？ 你这个点 a 啊，点 a， 他 要么在这条线的上方，要么在这条线的下方点 b， 同样的，对吧？那我们现在呢，要在这里边进行分类讨论，那这个时候你就要去思考这两种情况了。所以第一种情况，我就假设点 a 在 这上方，如果点 a 在 这上方，我要是想保证和他有一个焦点的话，那么点 b 必须在运动到 a 减二的右侧，所以你会发现点 b 的 红坐标一定要大于 a 减二，对吧？那你这个点 b 在 a 减的右侧都行吗？我一直运动，一直运动，一直运动，运动到这也行吗？那肯定不行，对吧？所以说点 b 的 红坐标还要保证在 a 加二的左边，所以要小于 a 加二这个地方不能去等了。那此时我们算出来， a 呢是大于 等于二，小于四的，第一个答案就出来了，第二个答案，点 a 呢，是大于等于二，小于四的地方。好，那三一减六在哪呢？ 大家一定要注意喽，这就是我们讲的，你看它的对称性就发挥了作用了，对吧？你这个地方是不是三 a 三 a 减六，是不是一定在它左边？如果你这个在这一侧，你会发现你和上面这个红色线有没有交点就没有了，所以点 b 只能通过点 a 往左边跑，这个时候你会发现它的限制条件只要越过了 a 减二就行， 所以说三 a 减六呢，应该是小于等于 a 减二，那这样的话，咱们和这条线是不是就有一个焦点了，对吧？那这个时候呢，我们会发现，你这里边算出来是 a 小 于等于二，那我们大前提是什么？大前提是 a 小 等于一，所以这道题的答案是 a 大 于零小， 这是两种情况，注意，你看，从 a 开始往这个方向跑啊，从 a 开始往这个方向跑，那为什么我们在这里面没有加等号？一开始大家一定要注意，我们在这里面加了等号，所以说在这里面的加这两者呢，大家一定要稍微的把它给弄清楚，就是你你在哪个地方加，如果他俩都都在这呢，就重合了，对吧？就是这个好。第二个，当 a 开口向下的时候 啊， a 小 于零，开口向下，嗯，开口向下，我们同样画这个草图，同时我们先把这条线给他画出来，这条线画出来 a 有 可能在这条线的上方，有可能在这条线的下方，依旧是这两种情况 啊，这两种情况呢，就会分出来两种小前提，对吧？这个大家一定要弄清楚。好，我当我们把这种情况捋清楚了之后，第一个我们就假设这个 a 呢，他在这个这条线的上方，如果 a 在 这条线的上方，那这个 b 他 应该在他的左边，那我们就跑跑跑跑跑跑 跑跑跑跑跑，一直跑到这个位置啊，一直跑到这条线的下方，是不是才能有答案？这个时候我们就得到了这个点 b 三 a 减六，他一定要小于这个 a 减二才行，当然能不能去等呢？可以，因为我们上面这里我们没有把它放一个等号， 那你在里面去等一就没有问题，所以算出来 a 呢是大于负一小于零，此时就有一个答案了，那这个时候大家可能会有一个疑问，说我点 a 在 这里，那我点 b 往这个方向走行不行？ a， 这里大家又需要注意了，我们这边的一个对称性，你这一个点是三 a， 三 a 减六是不一定要在 a 撇点的 a 撇点的左边，所以说 a 点一旦在这个这条线的上方的话，点 b 只能往这个方向走，它只要保证在这个点的下方就好了，这是这种情况。 好，最后那我们假设这个点 a 在 这条线的下方，如果点 a 在 这条线的下方，这一点呢是三 a， 那 你你这个往上一走，这是不是有一个焦点了，然后三 a 要在 a 撇点的下方，这边是不是又有一个焦点了？它是不是有两个焦点了？ 其实此时咱们都不需要去求，这种情况是直接不存在的。那最后呢，我们会发现一个答案是他，一个答案是他，一个答案是他，我们把这两个答案呢合在一块，对吧？ 所以 a 就是 大于等于二，小于四，或者呢是 a 大 于负一小于等于一，且 a 不 等于零，这就是我们这道题的最终答案，难度呢其实是非常大的，尤其考察大家的耐心以及分类讨论的能力和我们对于图像分析的能力。

好，我们继续来讲海淀初三按摩的这个几种体啊。第二个方法，我们说这种体的话，他其实我们在看到这个图的第一反应，对吧？他是有一个双垂直共切边问题，对吧？我们先观察啊， 来看一下题，题目当中 b、 a、 c 是 九十度，就知道是一个九十度， a， b， c 是 一个阿尔法点， e 是 一个终点，这个角是一百八减二阿尔法，连接 e a， 把 e a 的 话，绕着点 e 逆时针旋转一百八减二阿尔法，然后得到个 e f， 现在让你求成它这个九十度， 我们刚刚说过，对吧？它第一反应是有个双垂直共斜边问题啊。所以如果大家要是有这个方向的话，我们就可以延长 b a， 把它给延长，然后过点 d 向它做垂直，这里要来一个 s， 取什么呢？取 b d 的 中点 q， 然后连接什么？连接 s q， 对 吧？把它给连接起来，我再连接什么？再连接 f q， 我们需要做的就是你要去挣什么呢？挣的是上下两个东西，一个翻折的，所以我们在这缺条件，缺哪个条件呢？还需要连接这个东西， 这是考验大家对于几种的一个功底了，对吧？好，我再重复一下思路啊，也就是我们第一步要想用双垂直空斜边的话，我们首先要构造一个直角三角形，对吧？我取中点嘛，如果这个边等于这个边，对吧？等于他，等于他，这肯定是个九十度， 那么这个边是等于它的，对吧？我再连接下它嘛，只不过这根线不太好想，我只需要证明什么呢？这个边 等于 a， 对 吧？只要证明它们两个边相等，我是不是就可以得出也等于它 对不对？那如果要是等于它的话，中间一个公共边，再找一个夹角，上下两个三角形全等，这题就结束了。但是我们怎么样去证明这两个边相等是这个题的一个难点， 对吧？这个时候我们回头看，题目当中有个条件我们还没用，点一是个终点，所以我们可以干嘛？可以去背藏，背藏哪个东西？大家看好啊，我们需要背藏这个东西， 倍长 e， 倍长 e， 然后呢，把它也给延长了， 它们两个交于点 t， 也就是说我在这个地方再构造一个直角三角形， 对吧？与什么呢？就相当于是延长 a e 与 s d 的 延长线交于点 t， 大家要注意注意哪个地方？这两个线是一个平行关系，平行加重点出八指，所以说这两三角形是个全等， 那么它就相等了。所以我先给大家写下过程啊，过点 d， 做一个 d， h 垂直于 b， a 于点 h 取 bc 取 b d 的 中点 q 连接 q f 和 q h， 对 吧？还要连接谁？连接 h e， 对，我们把 h e 也给连接起来，好，我们还要干嘛？这个时候我们是得出这两个线的个平行吗？平行加中点出八字，我们还要延长 a e 交什么了？ h d 的 延长线与点 t， 所以 这两个线平行有一个，这两个边相等，有一个夹角，一个内错角，我们是有一个八字全等 三角形 a、 c， e 全等于三角形 t d e， 我 们也就得出 a e 等于个 t， e 等于个 h e， 对 吧？为什么？因为这是一个直角三角形，又一个斜中线， 所以说这就把这个边转到这了，还转到这了，对吧？中间一个公共边，我们只需要证明这俩加角相等就行。好，那么这俩加角相等的话，应该怎么处理？可以跳角，这是一个 bet， 这是一个九十度减 alpha， 对 不对？所以说这个角就是九十度减 alpha， 再减 bet， 那 么它的对顶角， 这个对零角的话，也是一个九十度减二法再减摆头，对吧？那整个大角多少度呢？是一百八减二法，所以说下边的话应该是九十度减二法加摆头。 好，大家完了吗？没有，大家要注意，这个地方是有一个摆头，上面也是有一个摆头，对吧？因为这是一个直角三角形，里边呢有一个摆头，对吧？因为这个角是二摆头， 所以我们是能够得出二 bet， 加了一个九十度减二法减 bet， 是 等于九十度减二法加 bet， 下边也是九十度减二法加 bet。 我 们通过导角 是能够得出角 h e q 等于一个角 f e q， 对 吧？这两个角相导，然后呢？ s a s 去证明三角形 h q e 全等于 f q e， 那 么也就得出 h q 等于 f q 等于 b q d， 所以 角 b f d 等于九十度，这是我们通过斜中线的一个角度去思考的啊，当然它不是那么好想，对吧？没有我们的中线好想啊，好，这是我们的方法。二。

好，我们来看一下海淀初三七初三二波的这个带中题啊，这个带中题的话，猛一看就是公共点的问题，对吧？ 但是呢，他考察的核心依然是我们春季课讲过的一道题，哪个题呢？给大家看一下啊，是我们春季课后边补充的带中里面的这个八一的联轴题，就是过他做外周的垂线 l 图像记，他这个函数段最高点和最低点分别位于 l 的 上方和下方， 基本上和这个题的思路是一样的啊，只不过海淀的二模体这是需要分析。分析什么？分析 a， 所以 说我觉得我们的课程是能够覆盖就现在的考试个体型， 所以说大家就是不要盲目的去做新题啊，更多都是把讲过的题给理解透，因为万变不离其宗啊。好，我们废话不多说，直接看一下这个海淀的二模题，我们接下来看第二吧。啊，抛线在 ab 之间的部分为图形记，对吧？这是一个函数段的问题啊， 抛线到一个点，做垂直于外周的垂线 l 与图形记有一个公分点，那不就是最高点和最低点一个在上一个在下吗？ 对吧？但是它有一个东西可以怎么了？可以重合，对吧？相当于是有一个东西可以重合到，这也可以。好，我们在做这个点的时候，第一步先分析对称轴 负的二 a 分 之 b 等于个 a， 所以 这个 a 的 话，加括号里边说的是 a 不 等于零，我们要分两种情况啊，第一种，也就是说如果是当 a 大 于零， 它是一个开口向上，这样子，对吧？我们把它都画出来啊，放到这个地方，好，然后呢，这是一个 x 等于 a， 我们要学会定位，对吧？这个 a 的 话，一定是在左侧这种，比如说来一个负 a 多少？一个 a 有 一个什么？有一个 a 加二， a 加二的话，我假设在这个地方，我们给它来一个对称， 对吧？人家说的是直线 l 与平行 g 有 一个公共点嘛？我们先把整个图给它分析一下啊，逐步分析，对吧？这张是有一个 a 减二。好，大家想一个问题啊，也就说整个图是在这个地方，这是什么？这是咱们的 y 等一个 t， 对吧？它是个 y 等于 t 啊，然后呢？ ab 之间，对吧？ ab 之间的图形为一个 g， 而且人家说的与它有一个共点，所以我们先勾图在这，这就是我们的 b 点，它的横轴是几？横轴是一个三， a 减六， 所以我们有一个限定，有一个图不等式一写不就出来了吗？对吧？不等式应该怎么写？负 a 小 于等于 a 减二， 对吧？小于等于三， a 减六，三 a 减六怎么了？小于 a 加二，他不能等于 a 加二啊，如果他要等于 a 加二的话，这地方应该是两个交点了，对吧？只要这个头和他不接触，他都有一个交点， 那么我们来解一下这个不等式，这地方是二， a 大 于等于二， a 大 于等于一，第二个的话是二， a 小 于八， a 小 于个四，所以二小于等于 a 小 于四， 这是我们的第一种情况啊。好，我们继续调整，把这个图继续往右走，准确来说应该是往左边啊， 对吧？把这个图像继续往左边走，怎么样走呢？大家看好啊，这是我们的负 a， 对 吧？他是一个负 a 啊， 往这边挪一下，然后我们刚刚什么，刚刚是让这个三 a 减六在右边，那么三 a 减六，它能不能在左侧呢？ 当然可以，这是 a， 这是 b， 这是我们的图形 g 与什么呢？与这个 t 有 一个交点，就是这是 y 等于 t， 这是一个 a 加二，这个地方应该是一个 a 减二， 对吧？它也有一个交点，所以说这种图的话，应该是三 a 减六小于等于 a 减二小于等于负 a， 对吧？然后咱们一项二， a 小 于等于四， a 小 于等于二，二 a 小 于等于二， a 小 于等于一，因为 a 是 大于嘛？这个零小于 a 小 于等于一，好到这完了吗？没有，我们还有第三种， 对吧？第三个应该怎么了？开口向下嘛，对吧？如果它的开口向下的话，我们这个图它应该怎么处理呢？这是有一个对准轴，这个对准轴的话是一个 a， 对 吧？ 这是个 x 等于 a， 这地方呢有一个负 a， 这个时候负 a 应该是在右侧啊，负 a 在 右侧，好，然后我们要去区分什么呢？区分一个 a 加二，对吧？我第一种情况啊，我把这个 a 加二呢，放到这 左边，有个有一个是 a 减二，对吧？然后人家说的是在 a b 之间的图形为一个 g， 所以 它现在有个什么？有一个是三 a 减六，三 a 减六，肯定是一个负的，对吧？ 它肯定是一个负的啊，负的，我们可以来算一下，先把这个图给它补一下啊，你说这是一个题， 这个三 a 减六，应该是这样子，对吧？这是一个 a 点，这是个 b 点， 所以它的不等式也就出来了， a 减二小于三， a 减六小于等于 a 加二小于等于负 a， 对吧？ a 加二小于等于负 a， 好， 我们来算一下啊，这段应该是四小于二 a a 大 于二，这就一定舍掉了，因为这个不等式主，它的解集与咱们的 a 小 于零是不符的啊。好，我们继续再来分析第四种情况 往这走。呃，然后有一个什么呢？有一个是负 a， 它肯定是在右边，对吧？这是有一个负 a， 或者说我往左边划一下， 这是个 a， 对 吧？我们刚刚说这个负 a 的 话，是比 a 加二大啊？它有没有可能 a 加二跑到这呢？当然有可能， 对吧？这是一个 a 点，这是一个 a 加二，左边这是一个 a， 减二，对吧？那么这个时候我们只需要什么？我们只需要这个 b 的 话，是在哪个地方？在下边是不就可以了？这样， 这是一个，这是一个比，它的横坐标是一个三 a 减六，对吧？这是个三 a 减六，所以不等式也就出来了嘛，我们只需要让这个三 a 减六小于等于 a 减二， 让这个负 a， 对 吧？小于谁？小于个 a 加二， 对不对？他要小于一个 a 加二啊？但呢，他们俩能不能相等？大家想一个问题， 如果他要跑到这的话，对吧？他如果要跑到这的话，和咱们的左边他就两个焦点了啊，这就不符合了，对吧？所以说我们在解这个不等式主，解这个不等式主的话，他应该是一个，呃，上边应该是 a 二， a 小 于等于二， a 小 于等于一，左边的话，应该是 a 大 于个负一， 所以说它是 a 小 于零，大于负一，小于零。所以这个题的答案应该是有三个啊， 中上负一小于 a 小 于零，或者是零小于 a 小 于等于一，或者是二小于等于 a 小 于四。好，这是这个题的一个思路解析。啊，好，这个题我讲到这里。

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，给同学们来解析一下刚刚结束的海淀区初三二模的压轴题啊。先来说一下今年的函数压轴题， 坦率讲啊，这个确实是做了一些这个改变啊，那么跟我们往常说那个什么动点跟线段关系问题呢啊，明显的还是不太一样的，但它的本质呢，还是没有变啊。我们其实北京考察二三数的核心就是树形结合， 好，来，我们来看一下。第一个问题，不多说了啊， a 点 b 点在抛物线上不重合啊，那么 a 等于一的时候， m 跟 n 的 大小关系带进去算一下就行了，对吧？带进去算一下啊， 好，第二个，当抛物线在 ab 之间的时候为图形 g， 那 么在抛物线上面的点 p a 加二逗号 t 做直线啊，就是水平线垂直于 y 轴嘛，那么直线 l 如果与图形 g 有 且只有一个公共点，求 a 的 去的范围。 好，那么其实这个题目呢，从本质或者说从逻辑上来讲呢，跟我们前些年非常喜欢考察的比大小的问题呢，非常的像啊，非常的像， 那么它的核心呢，是你做一条水平线要与呃， ab， 就是 这个图形 g， 尤其只有一个公共点，核心是要确定 a b p 在 图像上的位置啊，在图像上的位置， 那么这个是核心，所以竖形结合是最关键的。那么所谓的竖形结合就是当我确定因为 a 不 等于零啊，当我确定了 a 大 于零，就是开口朝上的时候， a b p， 它到底在对称轴的左边呢？右边呢？还是在同侧呢，还是在异侧呢 啊？那么我们这个就需要严格的分类讨论，所以从思路上面来讲，它还是非常清晰的，就是 确定啊，或者说对 a。 分 类讨论，当 a 大 于零的时候，我们判断 a、 b、 p 在 对称轴的左侧或者右侧，谁更高谁更低，是吧？那么当 a 小 于零的时候，同样的道理好，那么只不过这道题目呢，确实讨论的情形呢，稍微繁琐一些啊，我们来看一下， 当 a 大 于零的时候，我们刚刚已经解释过了，这是一个开口方向朝上的二次函数，对称轴是 x 等于 a。 好， 同学们注意，因为 a 点的坐标呢，它是负 a， 所以 a 大 于零的时候，负 a 小 于零，此时 a 点一定在对称轴的左侧啊，一定在对称轴的左侧。 那么呃， p 点呢？ p 点呢？横坐标是这个 a 加二，所以同学们要知道， p 点一定在哪呢？ p 点一定在对称轴的右侧， 这个是 x 等于 a， 对 吧？ a 加二一定大于 a， 但是 b 呢？因为 b 点的横坐标同学们知道是三 a 减六，三 a 减六，我们就并不清楚三 a 减六到底是在对称轴的左边呢还是右边呢？ 不清楚对吧？不知道。而且那如果说他在左边的时候，有没有可能就是因为我们除了确定他的位置之外，还要确定他们的高低就是左右，还有高低就是谁更高谁更低， 那么 b 点有可能还在 a 点的左侧， b 点也有可能在 a 点的右侧，当然 b 点有可能还能越过对称轴，对吧？好，但是点 p 呢？同学们要注意一下， p 点一定在对称轴的右侧。 好，那么接下来我们就需要对 b 的 位置进一步的讨论，讨论什么 b 点如果在 a 的 左侧，那么什么样 p 点在哪的时候，才能确保只有一个公共点呢？对吧？好， p 点在啊， b 点在 a 的 右侧，但是在对称轴左侧以及 b 点跑到对称轴右侧，那么它的位置不同，那么我们所做的图形也不太一样。 好，那么我们先来看按照定向分析啊，所谓的定向分析就是我们假定 b 点从左往右看， 那么 b 点如果是在呃对称轴的左侧，并且还要在 a 点的左侧， 意味着什么呢？意味着，同学们看，保证 b 点的横坐标三 a 减六啊，要小于呃，这个负 a 啊，要小于负 a。 好， 但是注意一下，三 a 减呃，这个三 a 减六，要小于负 a， 那 么这个时候呢，就能确保点 b 在 点 a 的 左侧， 那我要过 p 点，因为 p 点在对称轴的右侧，要能够画一条线，于这一段图像有一个公共点，那么什么情形？ 就是找出 p 点关于对称轴的对称点 p 撇，当然这个很好算啊，它是 a 加二都好提，那么这个呢，对称轴是 a， 所以 就是二， a 减去 a 加二，就是 a 减二，所以 p 撇点的坐标就是 a 减二，都好提， 那么同学们看，只需要满足。如果 b 点在 a 点的左侧的时候，只需要满足 p 点的对称点， p 撇位于 a b 之间，是不就一定可以了？ 好，那么因此大前提是三 a 减六小于负 a 的 时候，当然同学们算一下， a 呢，应该是小于二分之三，当然前提 a 要大于零啊。好，那么只要保证 b 点的横坐标三 a 减六，小于等于 a 减二， a 减二呢？小于等于负 a 啊，当然有人说老师在这边怎么取到等于号了啊， 因为他其实取等的情况呢，并不完全相同啊，所以你稍微解一下好解得这个范围应该是 a 要小于等于一，当然大前提是零到二分之三啊，所以最终呢，是零到一。那么因此 b 点在 a 点的左侧是满足的， 但我们也讲了，也有可能就是 b 点还是在对称轴的左侧，但是 b 点呢，在 a 点的右侧，对吧？也就是说三 a 减六， b 点的横坐标要小于等于 a， 但是它要严格大于负 a 好， a 大 于二分之三，小于等于这个三的时候，那么这个时候要保证，因为 a 到 b 是 递减的啊，所以只要 p 点的对称点屁撇位于这个之间就行了，对吧？相同的式子就是保证对称点屁撇的横坐标。 a 减二要大于等于负， a 小 于等于三， a 减六， 当然算得 a 大 于等于一， a 大 于等于二，同大取大， a 大 于等于二，当然前提小于等于三，所以 a 在 二到三之间也可以好。那么当然第三种情形呢，就是 b 点除了在对称轴左侧，还可能跑到对称轴右侧， 那么在如果 b 点跑到对称轴右侧大，前提就是三 a 减六一定要大于 a。 但是同学们要注意一下，那要是老师在对称轴右侧的话， a 跟 b 谁高谁低呢？ 请注意， a 点一定更高。为什么呢？因为 a 点关于对称轴的对称点呢，是三 a， 逗号 m， 因为 a 点是负 am 嘛，是吧？那么对称点 a 撇就是三 a， 三 a 肯定是大于三 a 减六的啊， 也就是说 a 撇点的横坐标一定在 b 点啊的右侧，就是 a 撇点一定在 b 点的右侧。 好，那么在这种情况下，同学们更要注意了，如果只有一个公共点，那屁点只能在哪？屁点只能在这，是吧？也就是说，屁点要位于 a 撇 b 之间，并且注意，不能与 b 重合， 不能与 b 重合，因为如果你屁点与 b 重合完了，这个地方就有两个焦点了，这地方一定要注意一下，所以保证屁点的横坐标啊，本来就是 a 加二啊，一定要严格大于三， a 减六，注意啊，严格大于三， a 减六啊，不能等啊！ 好，那么并且小于等于三， a， 就是 p 点跟 a 点重合，行不行？行，它只有一个焦点啊，因为我们说了， a 撇点一定在 b 点的上方啊，就是 a 撇点在 b 点的右侧。好，那么当然这种情况算下来呢，是一小于等于 a 啊，要小于四，当然 a 要前提大于三啊，因为它跑到右侧来了，所以三到四， 当然二到三，三到四，把这两个一结合，那就是二到四，对吧？好，那么当然 b 点呢，也有可能呢，继续跑，但是他在 a 点的下方，那有没有可能这种情形啊？ 注意，也就是说， b 点的横坐标如果比 p 点的横坐标来的大，行不行呢？不行啊，此时一定不行。为什么？因为这个时候同学们画出来的线一定就有俩焦点了吗？他就不满足要求了 啊，不满足要求了，对不对？所以如果你 b 点继续往右跑，跑到 p 点上方，这种情形是一定不可以满足要求的啊，一定不能满足要求啊，所以这种情况呢，也就是不成立了，是吧？已经不成立好， 那么当然第二种情况呢，相对好讨论一点，就是 a 小 于零， a 小 于零的时候，开口朝下负 a 大 于零，所以 a 点在对称轴的右侧，三 a 减六呢，一定小于零在对称轴的左侧，并且对称过来之后， a 撇点呢，横坐标呢，是三 a， 那 么我们知道三 a 肯定是大于三 a 减六的，那么 a 撇点还是在点 b 的 上方， 那么当然 p 点是 a 加二， a 加二肯定也在对称轴的右侧，所以你只需要保证对称的 p 撇点位于 a 撇 b 之间，同时还要注意 p 撇不能与 a 重合啊， a 撇重合啊， 因为一重合的话呢，你又能画出两个点了啊。所以，呃，要保证 p 撇点的横呃，横坐标就是 a 减二，严格的小于三， a 大 于等于 当 a 减六啊，当然算一下就是小于等于二或者大于负一，那么当然前提小于零啊，所以最终呢，我们只要算得 a 是 再负一到零好，那么最后我们也就把这问题明确好了 好，所以同学们会发现呢，我们在解决这一类问题的时候呢，海淀区的这个题目，我觉得更加看重的是从本质出发。什么叫本质？就是我们去或者说北京中考所研究的二次函数，我们研究的是什么？无论是这个 呃，前面比大小的问题，还是说这个什么公共点的问题，其实核心就一个，就是明确点在函数图像上面的具体位置， 而位置呢，考虑两个维度，一，在对称轴的左侧还是右侧？二，谁更高谁更低 是吧？那么我们根据定向分析，当 b 点从左往右依次讨论，看看它是否能够满足要求 好，所以这样一来就可以做到不重复不遗漏啊。当然最终把该合并的合并一下啊，所以 a 的 范围在负一到零，零到一以及二到四，注意一下啊，等于号哪些可取哪些不可取啊。 那我想的这道题目应该来说得分率应该比往就往期的题目要来的更低一点啊。确实有一点这个难度啊，讨论什么的难度好啊，所以这道题目呢，我们就给大家分析到这里啊。

截止到今天，大部分地区的二模已经考完了，综合来看，西城区是最接近中考难度的，海淀区、粤南、朝阳区过于简单，我重点给大家解读一下海淀、西城、朝阳三个区的数学试卷。这三个区前一到二十五题都比较常规，除了西城区的填空压轴题，大部分的题的难度都和中考持平或略低于中考难度， 尤其是原宗这道题上都是低于中考难度的。因此前一到二十五题没有太多我们需要关注的重点，就会落到后三道题上。先来看二十六题，海淀的第二十六题带中还是很难的，它的考点是我们平时反复在讲的，考点就是画图、分类、讨论、对称性等等。 但是这道题它的分类情况特别多，而且里面涉及到了比较多的计算以及大量的易错点，尤其是等号的取舍， 所以这个题在考场上有限的时间范围内难度是比较大的。再加上海淀区今年整张卷子比较难，时间又非常紧张，所以这个题的难度进一步被加大了。 那么大家可以在自己训练的时候重点看一看，你能在多长时间范围内比较完整的把它给写完，这个很重要。好，再来说一下系统的带动是比较常规的，最接近二零二五年北京中考的原题，那大家可以对于这个水平比较中等的同学来说，拿这个题作为标杆，去对照 整个带动的掌握情况是比较合理的。再来说一下朝阳这个二模，这道带动啊难度很大，但是他和海淀区啊走了另外一个不同的方向，就是他并不是我们平时讲的比较多的那些常规考点加大了难度，而是出了一个比较偏的方向，偏向于理解， 偏向于新定义的理解。这个题不作为大家重点关注的题，因为我觉得确实出的有点太偏了。再来看二十七题，这个题的三区难度依然是海淀大于西城，大于朝阳。西城和中考的难度最接近。海淀的这道几宗题啊，一方面是它本身出的比较难， 还有一个方面，他重点考察了终点。而很多初三的同学现阶段练的特别多的都是旋转。因为二五年北京中考核心是旋转，所以很多同学对终点问题又有点忽略。我们在呃最后最后的冲刺课中，会重点提到终点问题，为什么？ 不仅是因为海淀二模考了，更重要的是从二二年开始，二三二四这三年几宗终点都是中考中绝对的重点， 所以它不能因为二五年啊，没有放在终点上就忽略它的重要性。当然，这道题其实是有多种做法的，每一种做法都会围绕终点作为核心。西城的这道几宗题呢，它确实就是以二五年中考作为重点参考的一种题型了。它核心考察的 这个旋转呢，我们一直在强调的就是七字口诀、旋转、线段、带圈等。除此之外呢，它还有一个难点，也是大部分几宗题容易设置的一个卡点，就是倒角问题。对于倒角不熟练的同学，重点要研究下这道题。 朝阳二模的几栋没啥可说的啊，就两个字，简单。二十八题，难度依然是海淀大于西城，大于朝阳。为什么这么说？因为对于大部分同学来说啊，新定义主要就是看前两问，第一问一般呢就是送分题，只要时间充裕，大部分同学都能做出来。核心是看第二小问，海淀二模的这道 题的第二小问难度跳跃就非常大，所以很难得到第二小问的这个分值，一下就把整体难度抬上去了。而西城二模的呢，他的梯度设置的就比较合理，所以也是最接近中考的。对于二模以前两问为目标分数的同学来说， 重点可以做下西城这道题，如果你是想奔着满分去的，或者九十五加的同学，你可以重点去挑战一下海淀区这道题。朝阳的这道二模题啊，我真是觉得有点这个，为啥这么说啊？因为这个过于简单了，而且不仅是第一小问过于简单， 第二小问呢，也过于简单，并且到了第二小问，他都和新定义的后半段没有关联。这种出题确实有点匪夷所思了，不知道为什么会出成这样的状态。所以也引出一句话啊，就是 在中考的最后阶段，大家肯定会大量的去刷二模题，但并不是每道二模题都适合你去重点对待，一定要选对合适的题。除了二模题以外呢，还有就是往年的中考题也很重要， 所以我们最后的冲刺啊，一定是既围绕合适的二模和一模题，又围绕往年经典的中考题，甚至是往年一些特别特别重要的一模二模题，选对题真的非常非常重要。

几何快代数，稳心定力，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二六海淀二模的几何压轴题。那这个几何压轴题啊，如果你在考场上卡住了啊，或者说你在自己做的时候卡住了，你看你是不是卡在这几点呀？ 比如说有同学呢，第一问啊，有点太着急了，或者给自己压力太大了，就导致，哎呀，第一问就卡，或者第一问做了很长时间 啊。有同学呢，可能会觉得，哎呀，这个调问这个图啊，没见过啊，他怎么这给了一个直角，然后这个给了一个共端等长呀，这没见过，这还是个终点，哎呀，这没见过啊，没见过就有点慌，有点慌，哎，智商就没了，就做不出来了。 那如果说咱们有这样的困境的话，怎么解决呢？很简单啊，就找老乡，只要慌，咱就挖熟悉。 那我们双体的同学啊，其实应该是，哎，很有熟悉的感觉的，因为你要但凡，你去挖一下条件，对吧？你但凡去稍微读一下条件，你看你读到这九十度，你就立马想到，哎， 咱们的老题，复盘课上，彩虹老师是不是给大家说了，看到九十度对称出等腰，而且我们说如果是两个直角三角形都共顶点，那我就把两个直角三角形都对称出等腰。好，那这样的话，这个题其实他的第二问就方法就来了。 好，那我们呢，哎，给大家呢，示范一下，这个第一问和第二问都在考场上，怎么快速解决哈。首先来示范一下我们的第一问，那无论做哪一题，首先先标图啊，工具。哎，第一个呢，我们，哎，用 r 法是四十五度，我们可以标出来这是一个等腰值， 然后呢，一百八十度减二， r 法也是九十度，所以这也是一个垂直。 好在这种情况下，他让我们去证明这是垂直，那我们知道正垂直或者给垂直，我们先默认这是垂直的话，哎，先默认这是垂直，对吧？正垂直就默认他是垂直，那我们发现一个垂直，俩垂直，这是一个什么？ 这是一个一线三垂直的信号，对不对？所以这道题我们可以做一线三垂直啊，也就是说咱们呢，如果以后你看到这种哎，有一个 y 的 直角就斜直角，你就要想一线三垂直，那如果人家还让你正着直角，那肯定是一线三垂直， 那你都想到一二三垂直了，怎么做呀？从点 a 往下做垂，那么根据咱们的等腰直角三角形的性质，我们就可以得到 b h 等于 h， c 等于 a h， 那因为 e 是 c d 的 终点哎，所以 c e 呢？等于 e d。 又因为这一问，特意给了一个条件说 c d 等于 bc， 所以 我们知道 c d 的 一半 c h， 那 也，哎，不是 c d 的 一半 c e 也等于 bc 的 一半 c h， 所以 这仨边都相等。 好，那我们发现啊，现在 a h 等于 c e， 对 吧？哎，然后呢， a e 等于 e、 f， 并且这是直角， 哎，这个是要正的，那我们就再来个角吧，来，这是叉，这是点点加叉，九十度哦，你看中间叉角等于叉角，对吧？边角边这个三角形， a、 h、 e 就 全等三角形，这个 c 啊， e、 c、 f 全等之后，咱们就可以倒角，倒边那角啊， e、 c、 f 是 不是就等于角？ a、 h、 e 就是 九十度呀， 对吧？那这是，那我们就可以得到 f c 确实垂直 bc 的 啊。行，这是第一问， 那第一问呢？哎，它就提醒我们，你呢要去标图啊，你要去找熟悉的工具。那第二问呢？也是啊，我们来看第二问呢是说，哎，这个图它现在长这样子，这是九十度，这是 r 法， 然后 a e 转到 e、 f， 然后转的是一百八减二 r 法啊，那我们呢，从工具里边我们知道哎，对称出等腰，然后共端等长，有旋转， 终点有八中斜三，但是我现在不知道做哪一个能让我去弄这个正这个角，怎么办呢？来咱们，哎，不知道的时候，你呢就去开发你熟悉的条件或者是结论，并且呢，哎，去 想到我们之前给大家整理的一些条件反射啊，尤其是，哎，像这种条件，像这种结论，正九十度，对吧？直接写出 b、 f、 d 的 大小，我们一看就知道它肯定是九十度啊， 那我们要正九十度，那我们就默认它是九十度，我们就想工具啊，九十度背后的工具有勾股哎，斜边中线三线合一，对吧？哎，那我们现在要正这个九十度，而条件给的有 两个条件，又给了一个直角啊，所以我就想到，那正直角的话， 我就想到，哎，我可以做斜边中线或者三线合一，那条件里边这个直角三角形，它本身也在提醒我可以对称出等腰，所以我想到，那我要两个都对称出等腰，是不是就会出现一个旋转圈等，因为两个等腰共顶点就有旋转圈等，对不对？ 好，我们来看一下第二问。第二问呢是说，哎，连接 b f 和 d f， 直接写 b f 的 大小，那我们知道求这个角的大小，大小，它肯定是个特殊角，所以我们量哎，很容易发现它是九十度， 那正九十度我们想到啥呢？哎，我们就想到正九十度，就想到斜边中线呀，三线合一呀， 对吧？哎，这是我们常常用的倒角的工具。那在这道题目中，因为本来我们看到这个直角对直角非常敏感，我就想到对称出等腰了， 那么，哎，我在这里面我要正这直角的话，我也想到，哎，我要但凡对称出等腰，咱们只要能证明这是等腰，是不是就用三线合一就能正垂直了， 对吧？哎，那我们就开始盖啊。首先第一个，哎，九十度直角，我们就想到对称出等腰，我们先画出来。对称出等腰， 我们就是被长 c a 到点 h， 让 a h 等于 ac， 只要连接 b h， b h 就 等于 bc， 然后这个角是 r 法，这个角也标 r 法，对吧？好，这个角呢是九十减 r 法，这个角呢也标九十减 r 法。 好，接着呢是下一个。哎，我们呢条件给的是这个旋转到这共端等长，提醒旋转全能提醒自己啊。然后这个角是一百八减二 r 法 啊，这个角是一百八减二而法。那现在呢？共端等堂有旋转全等，但是我又不知道转谁，所以先放这，哎，就是永远从熟悉的下手啊，我熟悉的是什么呢？你让我正直角，哎，我想到三线合一，三线合一我熟悉，我会画呀，对吧？那我们就画 哎，我倍长 d f， 哎，这样的话就可以构造一个等腰三角形，注意，咱只是构造出来了，咱还没有证明了啊，来，我们，对，就是延长 d f 到点 m， 使 m f 等于 d f， 然后呢再连接 b m， 此时我们呢只需要证明 b d 等于 b m， 就 可以利用中线高线角，平分线三线重合得到这垂直。好，所以接下来的问题就是我们要证明这等腰了， 那么正等腰或者给等腰，咱们通通都要想到旋转圈等，所以呢，我们现在去找旋转圈等， 哎，那就我们已经发现旋转全等了，不对吧，这个等腰粉色的和这个等腰绿色的是不是正好共顶点呀？两个等腰共顶点，是不是铁定就有旋转全等， 所以咱们只需要哎连接这个 h d， 再连接这个 c m， 就 会出现旋转全等，哎，所以咱们接下来只要能证明三角形 h b d， 对 吧？ h b d 和 c b m 就 可以出旋转全等了。 好，那有的人说，老师，这个旋转圈的我发现不了，哎，我教你们啊，你就拿，你就拿这个，哎，腰短腰啊，就是短手，小手拉着个大手， 对吧？这个小手拉大手啊，就是这个当成手，当成一个小手，绿色当成大手，你拿这个小手拉着大手，小手拉着大手，所以说很容易能够找到这个粉色的旋转圈的， 那找到旋转圈等了就开正啊，对吧，我们看看条件够不够啊。首先是 b h 等于 bc， 这是我们自己已经做完的，然后，然后剩下的条件，哎，就没了，没了，赶紧看是不是有条件没用上呀， 来，哎，这个九十度我们对称出等要用上了，这个 alpha 现在标在这，哎，用上了，然后，哎，这个旋转线段没用上，对吧？这两个边相等没用上，那我得用啊，那我看这是一个中点， 哎，现在这个 a 也是 h c 的 中点，多个中点想到什么？ 哎，多个中点是不是提醒中位线呀？所以我们发现 a e 就是 h d b 的 中位线，所以呢，这个是不是就是两个 a e 啊？ 然后同理你看 e 是 终点， f 呢是 dm 的 终点，所以 ef 是 不是也是 cmd 的 中位线？那这就是二倍的 e f， 对 不对？好，那我们知道黄边等于黄边，所以二倍的 a e 是 不是等于二倍 e f， 哎，所以我们发现 hd 是 等于这个 c m 的 好，两个边了，就差一个角， 对吧？那我们就开始倒角了，就是应该是再正一个这个粉边和这个 h b 的 加角，就正这个角等于这个角，是吧？哎，那我们发现这两个角等啊，正不出来 啊，为啥呢？没信息啊？这，你看这个三角形整体都没信息，所以赶紧去找，怎么办呢？哎，这里面倒角工具是什么呢？ 哎，有中微线就有平行，对不对？我们倒角用上平行线啊，以及呢，陈老师之前给大家总结一个啊，就是无论是你正旋转圈等，还是给旋转圈等，如果你的倒角卡了，一定要关注第三边的夹角，什么叫第三边呢？哎，就这个 h d 和 mc， 它就是第三边，你呢，就关注这个第三边的下角，也就是延长 mc， 哎，交 h d 于点 n。 哦，那你就要关注这个角 啊，那我们根据平行，我们知道它是等于这个角的，是不是这两个同一线，哎，然后根据这个和这个平行也能发现等于这个啊，所以呢，我们可以发现这个角，哎， c n h 它其实是一百八十度减两个 r 法。 好，那我们关注这个角之后能干嘛呢？哎，那当然要看看它给我们提醒啥了。朋友们，你们不觉得这个条件挺别扭的吗？ 但凡遇到别扭的条件，他肯定在提醒我们啊，而且越是别扭的条件啊，越是别扭的条件，越是面条老师煞费苦心的提醒，当我们看到一百八减二十二发，我们就要想到他和二十二发是互补的， 互补角就在提醒你，延长会出角，等内角和，哎，内角和一百八也会出，可以倒角，对不对 啊？还有平行同胞内角都可以倒啊，所以我们现在观察一下啊，这是一百八减二 r 法，而这个地方刚出来一个二 r 法，哎，这就这两个是在一个四边形里，所以应该是想让我们用内角和倒角的，是不是来给大家画一下啊，在这个四边形 h、 b、 c、 n 中，哎，这两个角是互补的对不对？那四边形内角和三百六啊，这俩角互补，说明这个角标个角一啊，和这个角是什么关系？是不是也互补啊？ 哎，那又因为这个 b、 c、 n 和这个角三是不是也互补，所以角一就等于角三了，哎，角一就等于角三。好，那我们就发现，你看边角边，咱们就可以得到这个旋转全等了， 嗯，所以你看，哎，我们呢，本来是想要正这个垂直，哎，正垂直不知道怎么正的，我就知道这是直角三角形对称出等腰， 然后我要正垂直时，我就正着等腰，那正等腰或者给等腰，我们都要想到旋转全等，所以我想到要正这个粉色的三角形全等，哎，那正全等的时候呢，我们去利用上每个条件，就能得到边角边都对应相等的信息， 好，得到信息了，我们就可以轻松证出来他俩全等了，是不是？那全等式工具，工具立马到角到边，通过这个全等立马就可以得到咱们的 bm， 就 等于 b d 了，是不是？哎，那三角形 b m、 d 就是 个大等腰，等腰三角形三线合一，而 b f 现在是人家的中线，所以就是人家的高线，所以角 b f、 d 它就是九十度了。 好，那我们总结一下啊，这个题还是非常的有难度的，是吧？哎，其实在我们双题眼里，他就是看到直角三角形就对称出，等腰，等腰三角形出，旋转旋转，全等倒角，找第三遍就够了。 但是可能在一些哎，靠经验做题的学生啊，或者说靠灵感做题的学生来讲，你会发现他非常的难，因为他画的浮线特别多 啊。那如果说你想让自己能够哎，对辅助线不触哎，多复杂的辅助线都能想到的话，那么你可以去积累这些条件，反射就是去积累，看到每个条件应该怎么做。 咱们呢，在按摩后会开一个几何压轴的专题课啊，在课堂上像这个我第一节课就会给大家讲，这个呢，在几何压轴的第二节课也会给大家讲 啊，每一个条件，那我都会给大家示范咱们应该怎么想到，以及想到了之后该怎么做。大家呢？如果说想要在二模之后再冲刺一下几何压轴的话，可以来双体找彩虹老师。

好，我们接着来讲海淀初三二波的这个几种题啊，这个几种题的话出的非常好，对吧？猛一看他有点像二三年的北京中考题的一个改编，但这个题的话给大家提供三个方法啊，可能待会会录三个视频， 呃，就看大家考场上能不能反应过来，如果这个题能反应过来被藏的话，其实只要抓一个方向，对吧？这个题就可以迎刃而解啊。好，我们来看一下题目当中说的，他说的是角 b， a， c 是 九十度，我们直接看第二个啊， abc 呢，是等于一个 r， 点 d 呢？在它弦上，然后点 e 是 一个中点，连接 e， a， 把 e a 绕着点 e 转了个一百八减二， f， 就 这个角是一百八减二， f 得到一个线段， e f 连接 b， f 还有 d， f 直接写出它这个大小，它肯定是个九十度，对吧？而且这张是有一个相等的边，我们第一个方法的话就可以想被藏去构造中微线 法一，通过背长去构造一个中卫线，其实这个知识点的话，应该是八年级下册，对吧？你们的几中需要强化一下啊，就是现在学校进度都比较快，都忙不到，就是在讲那个初三的东西，其实中卫线和斜中线这两中应该强化一下啊。 好，我们应该怎么构造呢？就是把它给延长，把它也给延长这个地方， 然后呢？把它给连接起来，把它给连接起来。你这样子的话，好像是有一个手拉手， 对吧？有一个手拉手啊，我把它写成一个 q， 把它写成一个 h， 因为这个边 是等于这个边，对吧？他们两个相等，然后还有一个什么呢？我只需要证明这两个边相等，这个里是不是就迎刃而解了， 对吧？他俩就迎刃而解了啊？那所以我们再来看这个地方是有一个中点吗？对吧？我们背插完了之后，我们刚说要出中微线，所以还需要连接它， 然后呢？还需要连接它，你这样的话是不相当于就构造出来一个中微线，对吗？因为什么呢？因为这个边等于这个边，所以我们是可以得出 h、 c 呢？是等一个 q、 d， 对 吧？把它们连接起来，那这个地方就明显的是有一个，什么有一个手拉手的啊？ 那么手拉手的话，我们要抓什么？要抓夹角，因为这个地方是有一个九十度减二法，这个地方是有一个 b， 它 我们利用外角，对吧？它是一个掰它，我们为什么要用外角啊？因为我们要要去正，这个夹角是和这个夹角相等，而这个夹角等于谁？又等于个它， 那么利用外角的话，这是九十度减 f， 这是掰它，所以说这个角的话应该是九十度减 f 减 b， 它它们俩之间是有一个平行，所以说这个角 也是一个九十度减二法减摆它，因为这张是有一个中微线，然后这个大角总共是一百八减二法再减去它，所以说这个角应该是九十度减二法加摆它和这个角完美的相倒，所以我们再去勾手拉手， 因为这个手拉手的话怎么去正啊？因为这个边等于这个边，这个边等于这个边，它俩平行，所以说这个地方九十度减二法加摆它， 所以我们用这个 s、 a、 s 可以 去证明三角形 q、 b、 d 全等于三角形 c， b、 h， 所以 是不可以得出 h， b 等于个 b、 d 三线合一 叫 b， f、 d 等于九十度，对吧？这题就搞定了啊，这是我们的第一个方法。