y=ax+bx+c一般式配方法

二次函数 y 等于 ax 的平方，加 bx 加 c 的函数图像和性质。 先研究一个具体的二字函数， y 等于二分之一， x 的平方减六， x 加二十一的图像和性质。配方可得， y 等于二分之一， x 的平方减六， x 加二十一， y 等于二分之一，括号 x 减六的平方加三。由配方的结果可知， 抛物线外等于二分之一， x 的平方减六， x 加二十一的顶点是六。三对称轴 x 等于六。先利用图像的对称性列表， 然后瞄点， 最后连线得到 y 等于二分之一， x 的平方减六， x 加二十一的图像。 一般的二次函数 y 等于 ax 的平方，加 bx 加 c。 可以通过配方法化成 y 等于 a， 括号 x 减 h 的平方，加 k 的形式，即外等于 a， 括号 x 加二， a 分之 b 的平方，加 加四， a 分之四 ac 减 b 的平方。因此，抛物线外等于 ax 的平方，加 bx 加 c 的对称轴是直线 x 等于负二， a 分之 b， 顶点是负二 a 分之 b， 四 a 分之四 ac 减 b 的平方。 让我们一起讨论一下二次函数 y 等于 ax 四平方，加 bx 加 c 的函数图像和性质。 抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最直。 y 等于 a， x 平方，加 bx 加 ca 大于零，负二 a 分之 b， 四， a 分之四 ac 减 b 的平方。直线 x 等于负二， a 分之 b。 由 ab 和 c 的符号确定。向上再对称轴左侧歪随 x 的增大而减小。再对称轴右侧歪随 x 的增大而增大。 当 x 等于负二 a 分之 b 时，最小值为四， a 分之四， a， c 减 b 的平方。 y 等于 ax 的平方，加 bx 加 ca 小于零， 负二 f 分之 b， 四 a 分之四 ac 减 b 的平方。直线 x 等 等于负二 a 分之 b 由 ab 和 c 的符号确定。向下再对称轴左侧歪随 x 的增大而增大，再对称轴右侧歪随 x 的增大而减小。 当 x 等于负二 a 分之 b 时，最大值为四 a 分之四 a c 减 b 的平方。 练一练 抛物线位置与系数 abc 的关系，一、 a 决定抛物线的开口方向。 a 大于零，开口向上。 a 小于零，开口向下。 二 a d 决定抛物线对称轴的位置。 ax 等于负二， a 分之 bab 同号对称轴在歪轴左侧， b 等于零，对称轴是歪轴。 ab 一号对称轴在外轴右侧。 三、 c 决定抛物线与外轴焦点的位置。 c 大于零，图像与外轴焦点在 x 轴上方。 c 等于零，图像过圆 点点。 c 小于零，图像与 y 轴，焦点在 x 轴下方。 课后总结，一、公式法球抛物线顶点坐标 y 等于 a， 括号 x 加二 a 分之 b 的平方加四 a 分之四 ac 减 b 的平方。 二、抛物线外等于 ax 的平方加 bx 加 c 的对称轴是 x 等于负二 a 分之 b， 顶点是负二 a 分之 b 四 a 分之四 ac 减 b 的平方。

哈喽，小伙伴们，我是贝贝莫老师，今天我们要讲的是 y 等于 ax 的平方加 bx 加 c 的图像和性质。现在我们要将一般是 y 等于 ax 的平方加 bx 加 c 这个形式化成顶点式， 而这样的话，我们就只能带着字母来计算了。首先第一步还是将 二次项的系数化为一，那么就这样 a 提出来，里面就变成了 x 的平方。加好，接下来所有的项都要去除 a， 那么就是加 a 分之 b， x 再加 a 分之 c， 好，然后呢，我们需要加上依次向系数一磅的平方，那么就是依次向的系数为 a 分之 b， 他的一磅就是除以二，然后平， 那么 x 的平方加 a 分之 b， x 上面要加上二分之 a， b 的平方，好，再加上后面的 a 分之 c， 我们多加了一个二 a 分之 b 的平方，那么就要减去二 a 分之 b 的平方。 好。接下来呢，前三项可以构成完全平方公式，那么就可得 x 加二 a 分之 b 的和的平方，再加上后面的 a 分之 c 减四 a 的平方，分之 b 的平方。 接下来呢，大家打一下草稿， a 分之 c 减四 a 的平方分之 b 的平方等于多少？那左边同乘四，再同乘 a， 那么上面就是四 ac， 好，那么结果就是四 a 的平方分之四 a， c 减 b 的平方好，接下来把 a 乘进去， a 乘 x 加二 a 分之 b 的和的平方，再加好，同乘一个 a， 好，我们刚刚送出的这个式子上面乘上一个 a 的话，这个 a 就会和分母上的一个 a 约掉，那么就是加上四 a 分之四 a， c 减 b 的平法，这就是我们配方之后得到的结果， 那么这个配方的结果他依旧满足， a 乘 x 减 h 的差的平方再加 k 好，此时的 h 就是等于负二 a 分之 b， k 就是等于四 a 分之四 ac 减 b 的平方，所以这样我们就得到了对称周 x 是等于负二分之 b 的顶点坐标是负二 a 分之 b， 逗号四 a 分之四 a， c 减 b 的平方。这些呢只是新客预习中的一小个部分，那么如果需要完整的视频，可以扫描屏幕前的二维码，大家就可以进入这样一个页面里面， 这个装栏里面呢包含了九年级上下两侧的同步新课讲解视频的总数量会在六十个以上，每一个视频的时长都在十五分钟到三十分钟之间。如果大家有需要的话，可以扫描屏幕前的二维码，或者是点击评论区的链接进行购买哦。

大家好，我是刘老师。呃，今天给大家讲一下那个二次函数里面一个非常重要的知识点，呃，是顶点式的配方啊。配方，呃，我们在二次函数呢，我们知道有一般式，有焦点式，有顶点式，那么其中这个顶点式呢，特别的重要。 好，我们看一下啊。首先是一个一般式的形式， a f 方加变与加 c， a 不等于零，这是二三处的，我们怎么把这个一般式把它配方长顶点式啊？这里呢？基本方法，大家注意啊。第一步， 把二次项的系数 a 提出来，千万两边不要除以啊，这不是方程啊，这是一个函数，所以把 a 提出来变成 x 方，加上 a 分之 b x， 因为配方主要配的是二次相和一次相，因为二次相和一次相都含有 x， 所以长出相我们可以放在后边，但是也有的，我们把长出相也也把它提进去啊，最后当然还要把它弄出来，我觉得会比较麻烦，所以我们可以选择这个更简单的方法。 好，那么紧接着我介绍配方了啊。配方，我们看一下配方，根据完全平方公式，他的一字像必须还有一个二，所以我们这个时候是要提出一个二，这变成二乘以二， a 分之 b 再乘 x， 这时候我们就要配了，是不是 m， 比如说我们说 x 方加二 x， y 加 y 方等 x 加 y 的平方，所以这边有 x 方呢，有 r x， y 还加一个 y 方，所以需要配一个二 x b， 特别这里提个二出来，这一点大家特别注意，没有二你就想办法提盖，提盖后面跟除盖就行 啊，这样的话，这个意思像还是这样乘以分别，不会不会发生变化啊？然后呢？加 c， 因为前面我们会发现我们在前面相当于加配方的时候，给他加了一个，这是四 a 方分之 b 方，乘一个 a 是四 a 分之 b 方，所以我们需要把这个四 a 分之 b 方，在后面把它再剪掉， 好解掉。这样的话呢，我们可以知道呢，前面 a 就等于 a 被的 x 加上二， a 分之 b， 破解的平方加上，后面把通分一下变成四， a 分之四 a， c 减 b 方。 那我们把这个式子和我们的顶点是 a 背的 x 减 h 的平方加 k 进行 一个对比，这样我们就可以知道对称轴 作为 x 等于 h 等于负的二 a 分为 b 啊，因为这是加，这是减，所以我们可以把它变成减去负二月份的 b 啊，谢谢。而顶点坐标 都把它变成了，这是 hk， 那在这里我们就可以把它变成了 h 啊，变成了负的二 a 分之 b， 然后四 a 分之四 a， c 放。 所以如果给你一个，一般是你怎么把这个一般是快速的得到他的顶点是多少， 或者快速的变的里面是这个时候我们只需要把这个长，把这个细数 abc 啊，然后长出 cb 啊，都把它记住，把它套进去，同时就行。 在这里我们举个例子说，我们说 y 等于 x 二 x 方加上四， x 减三，假如是这样一个二三数，我们怎么把它的顶点是 多大呢？还是要配方啊，提一个二变成 x 方，加上二， x 减三，然后呢？正常的 x 方加 x， 需要配一个一，对吧？ 那前面加了二，后面加，把这个二减掉，最后变成二倍的 x 加一发， 这是我们用配方的方法，可以把一些一般是推荐给一个市场，但是如果我要直接求这个，一般是他的真正轴和焦点过半，我们就可以 公式，比如我们知道 a 是等于二， b 是等于四， c 等于负三呢，这个是要对准 x 等于负的二， a 分之 b 带着去 就发现大的去，然后呢这个最值啊，或者 k 等于四， a 分之四， ac 减 b 方应该可以把它套进去，四， a 就是八， cc 就是负二十四减去十六，比方十六，结果就等于负， 也可以直接得到。所以配方法啊，在我们在学医院的方程里面，就用了配方法来解医院方的求医院方的根啊，那么在二， 而且函数的顶点是里面，我们仍然要使用到配方，而且配方法在我们后面的式子运算过程中是非常非常重要的一种方法 啊，希望大家能够把它弄懂回去，把它掌握好，好，谢谢大家。

前几个视频，我们花了大量的时间去研究 y 等于 a 倍的 x 减 h 的平方加 k， 它的图像和性质，但实际生活中，我们更多的时候用到的是一般式，为什么要花那么多时间去研究顶点式呢？因为我们一般式要想办法转化为顶点式，再通过顶点式的图像和特征去推导 一般式的重要核心特征。那首先，顶点式的图像他的特征你是否能够清楚明白？给你一个式子，你能够能否立马说出他的所有的特征？如果不知道，请返回上一个视频观看。啊，好，那一般是怎么转换一顶点式？显然我们要用到我们所讲的配方法， 那我们先回顾最简单的配方啊，比如说 x 方减十二， x 加三十六，它是不是可以配成完原平方？公式，配成 x 减六的平方，好，那它本来就是个完原平方公。 是啊，那如果说没有这个三十六，只有一个 x 方加减十二，那我是不是要给他配一个三十六，然后呢？加了个三十六之后，再减个三十六，保证这个式子值没变好，把前面的三项配在一起，变成 s 减六的平方，后面应该减三十六，有时候照抄这个就叫配方法。 好，那我们就要想啊，那 y 等于二分之一， x 方减六， x 加二十一，像这种式子怎么怎么变啊？前面一个式子 x 系数为一，那我们就直接去想办法配方就可以了。如果说前面 x 有一个系数，不管是分数也好，还是整式也好，那我们都要想着先把这个系数是不是提出来， 把这个二分之一提出来，剩下的式子变到括号里面去，那你看啊， x 方减十二，是不是就刚才我们所讲的，我们需要把它变成是不二分之一乘以 x 方减十二，加上一个三十六，再减一个三十六，保证这个数字没变，再加二十一。 好，也就是说我们把这个三十六是移到外面去，把前面放在一起啊，变成二分之一乘以 x 方减十二， x 加三十六，再减去二分之一乘以三十十六，是不减去十八加二十一，然后呢，把它配成完全公式，刚好是 x 减六的平方，负十八加二十一，是不是加三？ 也就是说这就是我们配方的步骤，第一步是不是提提出二十项系数？第二步是配把括号类的这个配成完成平方公式。 第三个是把它化简化，简成顶点式，这个是我们任意的一个式子，你怎么去配方？配方之后呢？怎么化成顶点式？好，那比如说现在我们给一个呃，普普通通的啊，一般是带有字母的 abc 代系数为 a、 b、 c 的这样的一个，一般是怎么化成顶点式呢？那跟我们一元二次方程的公式法的公式推倒 其实是很类似的。那我们还是第一步是不先提，提完之后是把 a 提出来，那剩下的是不是把它放到括号里面去，那再配啊？配，是不是配他一半的平方？是不加上二 a 分之 b 的平方，那再减个二 a 分之 b 的平方，跟这个 a 一乘，是不是减去二 a 分之 b 的平方乘以 a， 后面这个加 c 是不是照抄 好？配了之后它是不是刚好就是 x 加二 a 分之 b 的平方，把它化减啊？ s 加二 a 分之 b 的平方，这里是不是，你看啊，减去 a 乘以四 a 方分之 b 方加上 c， 那是不是就等于负的四 a 分之 b 方，我们把这个 c 也展开一下啊？是四 a 分之四 a c， 那这样的话是不是就是负 b 方加上四 a c 除以四 a， 那我们把它展开一下，就变成四 a c 减 b 方除以四 a， 这个 就是我们将一个带字母 a、 b、 c 的式子，把它号配方配成的完全公式。好，那你看啊，这个既然我们知道了这个公式，我们这个公式我们跟是不就是一个顶点式啊？我们通过这个公式和顶点式我们做对比，你会发现中间有一个不同，这里是加，这里是减， 所以我们想办法把它先变成减，那他是不是就等于 a 倍的 x 减去负的二 a 分之 b 的平方，再加上 四 a c 减 b 方除以四 a。 好，你看中间把它变成减啊，那这样的话，我们就知道它的顶点坐标是负二 a 分之 b， 四 a 分之 c， a c 减 b 方啊，这个就是我们的顶点坐标，横坐标刚好就是这个里面的 h， 那对应的动作标就是 k 啊，后面加的这个整体是不是就是 k？ 所以说四 a 分之 c a c 减 b 方九十 k。 好，那对称轴是不是就是 x 等于直线， x 等于负二 a 分之 b。 一定要知道啊，这地方是负二 a 分之 b， 这个负负号是很容易弄错的，你不要把负号漏掉了，因为我们的顶顶点是这里是减号啊。 好，那既然知道这个，那我们就任意一个图像，我们就可以通过这个画出对称轴，画出他的开口知道他的开口知道他的顶点和对称轴，我们知道他的草图，我们只要画出了草图，那他图像的所有的性质我们都知道，比如说开口 是吧？那这边啊，如果 a 大于零的时候，是不是开口向上，那对称轴是不是就是 x 等于负二 a 分之 b， 是吧？那顶点坐标我们是不是知道了？刚才知道了负二 a 分之 b， 然后呢？四 a 分之 cac 减 b 方，是吧？然后有最值啊，是不是有最小值？ 那增减性，我们是以负二 a 分之 b 为分界线，当 x 小于负二 a 分之 b 的时候，它下降，所以 y c a 增大而减小。 x 大于二分之一的时，大于负二 a 分之 b 的时候，它就是上升，所以是 y c x 增大而增大，是吧？你看，反反过来啊，当 a 小于零的时候，我是不是开口向下， 对应轴是不是还是它顶点，是不是还是这个点啊？负二 a 分之 b 啊，那个这个式子那有最大值 是吧？那灯增减性的话，是在左边的话是上升，所以 y c， x 增大而增大，右边是不是下降，所以 y c、 x 的增大而减小。 所以你会发现，我们任意一个一般式，我们就先把这个一般式配方配成顶点式，再通过顶点式的图像核心纸推导出一般式的顶点和图像核心纸，那这样的话就并不难了。好，我们看一个例题啊，比如说这个柿子怎么样去配方，你看这个柿子直接就是 x 减一的平方啊，那直接就配完了是吧？我们就不用那么多式子啊。那你看后面加的话，实际上是加了个零，所以他的顶点坐标是不是一零，是吧？你要知道他的开口啊，对应轴啊什么的都能说出来，是吧？你看这边有一个二，我们就把二提出来， 这个六不动它，对不对？把二提出来，变成 x 方减二 x， 那再配个一嘛？加个一，减个一，然后配上呢？是把二倍的 x 减一方加四，所以它的顶点坐标是不是就是一四？所以任意给你一个二四函数，你知道它的顶点坐标，知道它对称轴开口肯定就是向上了，对不对？ 好，我们再看一题啊，比如将这个式子化成顶点式的形式是配方是不？ x 方减六， x 是加个九，再减个九，再加五，变成是不是 x 减三的平方减四，对吧？那第一问，就是 x 减三的平方减四。第二问，对称轴和顶点坐标对称轴是不是直线 x 等于三，顶点坐标是不是三负四直接通过公式啊？ 第二问， x 取和值的时候， y c s 增大而减小，这个增减性只取决于 a 和对称轴。所以说抛物线首先看啊， a 大于零，它 a 是一嘛？所以它开口向上，开口向上， 对称轴是不是 x 等于三啊？我们三负四，你其实不需要去了解到它的顶点坐标是多少，我们只需要知道它的开口向上，所以对称轴 x 等于三，所以它大概和草轴就是这样的。所以 y c x 增大而减小，下降的趋势是不是 x 小于或等于三的时候， y c x 增大而减小？ 好，我们来总结一下啊，那一般是我们怎么去？我们要探究一般是的图像和性质，我们就通过配方去化解成 它的顶点式，再通过顶点式去了解到，或者说我们通过公式法跟我们之间所学的球跟公式是很类似的啊。去化验成它的顶点式，那顶点式之后呢？我们就知道它的顶点，知道它的对称轴，一定要知道对称轴是 x 等于负 r a 分之 b， 这个千万不要记错啊。

哈喽，同学们大家好，我是栗子老师，一日不见，甚是想念。今天我们要学习的是二次函数 y 等于 abx 平方加 bx 加 c 的图像和性质的。第二课时用待定系数法来求解二次函数的解析式。 我们还是先来看一下本节课的学习目标， 会用待定系数法来求二次函数的表达式。那我们记得我们在八年级下册 学习那个依次函数的时候，是不是也学也学过这个待定序数法？那么我们用待定序数法当时求的是依次函数的表达式，那我们今天用它来求二次函数的表达式。我们来看新课讲解一般式法求二次函数 的表达，是我们来探究归纳。二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 其中 a 不等于零，它有几个代定系数呢？ 我们来看一下这个 a 我们不知道对吧？ b 不知道 c 二次项系数，一次项系数，这个长数项是不是有三个代替系数？那需要几个抛物线上的点坐标才能把它求出来呢？那我们记得在 八年级的时候，我们学 y 等于 k， x 加 b 依次函数的时候，它是有两个代定系数，我们是不是需要两个点把它求出来？好，那么以此类推，我们这有三个代定系数，我们是不是要有三个点才能把它这个三个点的坐标才能把它的函数解析式表达出来？ 好，那我们来看下面是我们秒点法来画二次函数数，来画二次函 数的时候所列的一些表格，这里面的表格 x 和 y 一一对应，其实 x 和 y 就表明了我们是一些有序数，对对不对？比如说第一组我们是负三零，他是负三零，然后第二组他是负二一， 第三组他是负一零啊，这是一些有序数。对，我们就借助这个函数的有序数对，我们来描出他的点，从而画出他的图像。好，那我们就从中来选取三个点，来求一下这个我们所画的这个二次函数的这个表达式。那我们来看， 我们选取负三零、负一零零负三，我们随机在以上的那个表格里面选取三个那个点的坐标，让我们来求这个二次函数的表达式。那我们知道有了点之后，我们之前学过的待定系数法。待定系数法是不是有 几个步骤？一社二代、三解四起啊？所谓的待定系数啊，可能有的同学已经忘记了，就是我们把这个点带入，把他那个 不知道的那个系数，我们把它求出来，我们把那个不知道的系数称为待定的，对不对？好，我们把那个 a、 b、 c 把它求出来了之后，把它带进去，就把这个函数表示写出来，这个就是待定系数法。 好，一设设表达设，那我们设那个表达设为 y 等于 y 等于 a， b 的 x 平方加 b， x 加 c。 因为我们是要用一般式法来求二次函数表达式，对不对？一般式，一般式就长这样啊。那我们一设设完了之后，我们就二代 带的话，带什么呢？就带这个坐标，我们把负三零负一零以及零负三带进去。这个是什么意思？就是当 x 等于负三的时候，整个 式子 y 的值就是零，当 x 等于负一的时候，整个 y 这个函数值就是零。好，然后呢？接下来是零的时候，整个函数值就是负三，就是 x 等于多少的时候， y 等于多少，你把它带进去就可以了。带进去之后我们来看 就得出来了，比如说老师举个例子， x 等于负三的时候，负三的平方是九九 a， 第一部分就是九 a， 对吧？好，第二部分负三，那么我们就是减去三 b 加上 c， 我们就等于这个 y 值等于零。好，以此类推，我们把这带出来了三个这个，嗯， 以此类推，我们就把整个的这个方程组给它带出来了。带出来之后，接下来我们就开始解这个方程组，解这个方程组，我们来看一下怎么解？好。我们其中有一个 c， 它是已知的，它等于三，对吧？ c 它已知的等于三，我们接下来解 a 和 b 就可以了。那 a 这个 b 怎么减？我们看 c 等于负三，那么我们看九 a 加上三， b 加上 c 等于零，那证明加上负三等于零，那证明九 a 加上减去三 b 这一段是不是就相当于等于三？ 三加上负三才等于零，对不对？好，那我们来看 a 减 b 加 c 等于零，那证明 a 减 b 这一段是不是也等于三？ 因为三加上负三，我们现在就把 c 当做已知的就是负三，把这两个当做一个整体，三加上负三才等于零，那这样的话，我们就可以用加减消元法来求解咱们这个 二元一次方程组，那我们来看，我们把这个同时，我们可以把这个一是怎么样啊？一是把它缩小三倍，对不对？缩小三倍，我们同时除以同时除以三，我们来看一下就变成了三， a 减去 b 就等于一， 那和我们下面这个二式，下面这个二式我们可以用一，我们用这个这个式子减去二式，我们就还剩下了什么呢？剩下了三， a 减 a 就和二 ab 减 b 就没有了二， a 就等于一减三， 那就是负二，那我们解出来 a 就等于负一，那 a 等于负一了之后，我们来看一下，那 b 是不是也求出来了？负一减去多少等于三呢？那负一是不是减去负四啊？负一减去负四才等于三，所以说我们的 b 就等于负四，那这样的话，我们把 abc 都解出来了。 好，老师把屏幕亲一下。 好，这个刚才是怎么解的啊？同学们？嗯，可以，如果不懂的话，可以重复的反复的看两遍啊。我们这个 a、 b、 c 是怎么解出来的？我们用加减消圆法啊。 好，然后三解解出来了之后呢，我们开始四写写，就是我们把这个求这个待定系数，这些系数我们已经都已经把它求出来了，求出来之后我们就把它带到原来的这个方程式里面。比如说 a 等于负一，那是不是负 x 平方， b 等于 负四，那就是减四倍， x 加上负三，那就是减三。所以求的二次函数的表达是，就是 y 等于负 x 的平方减四， x 减三。 好，这个就是我们用一般式法来求二次函数表达式的方法。老师再把它总结一下，假设我们是已知知道三点来求二次函数表达式的方法，我们把它叫做一般式法，那步骤就是刚才一式先设，你是一般式吗？我知道三点我就去求他的一， 一般是对不对？那一般是我们就是这个长这个样子好，射出来之后我们二带，把刚才那三个点带进去之后，就得到了一个三元，依次方针组， 带完了之后一舍二代三解解，我们来解这个 a、 b、 c 的值，四写，对不对？四写，我们把这个带，把这个 a、 b、 c 用数字，就把用，把我们求出来那个数字，把它换掉，我们就写出来了这个函数表达式。好，所以就是步骤就是一舍二代三解四写好，你自己可以简记一下。 好，那刚才是一般是来求二次函数的表达，是现在我们来看用顶点法求二次函数的表达，是 我们看选取一个顶点负二一和任意的一个点一负八来试求出这个二次函数的表达式。好，那对于我们这种顶点，我们知道顶点，咱们是不是 a 去 k 啊？ 顶点是不是 h， k 啊？那证明我这里的 h 是不等于负二， k 就等于一，那对于这种啊，知道顶点和其中一个点，我们设的时候，我们就设顶点式， 我们来看，知道顶点我们就去设顶点式，咱们顶点式就是 y 等于 a 倍括号 x 减 h 的平方加 k， 对吧？那这个时候我们直接把顶点代入 顶点代入，老师说了是 h 就等于负 k， 哎， h 就等于负二，对吧？ h 等于负二了之后我们带进去看是一个什么样的效果，因为 h 等于负二，那你看你 x 减去负二，是不是就整个变成了 x 加二啊？所以 h 等于负二， x 减去负二，你就这样带进去，把 h 等于负二带进去减去负二，就相当于是加上二，那 k 就是一啊，我们直接把它带进来，那这个时候我们来看一下，是不是就只剩下这一个带定性数 a 了？因为 b 和 c， 我们就相当于现在就已经弄出来了，就只剩下了一个 a 这个带定系数了，那现在我们还剩下一个点呢，对不对？负一和八，一和负八，我们带进去， 那我们把一个负八带进去，因为他只剩下一个代替系数了，就是把 x 等于一的时候，整个式子等于负八，那我们带进去，就看 x 等于一的时候，整个式子就是负八。好，那我们就就只求这一个 a 的值。那我们来看一下 a 乘以一加二的平方加一等于负八，那证明前面这一整个部分是不是就等于 负九，对不对？等于负九，我们来看一下那一加三的平方，一加二的平方等于三，三的平方是等于九，那证明 a a 和九乘等于负九，那 a 是不是就等于负一啊？ 好，那这样我们把 a 就解出来了，那我们把式带进去，你可以写成这种形式，就直接写成这种顶点式。比如我们 来说，你看刚才那个 a 不是负一吗？你负一带进去之后，就负一乘上括号 x 加二的平方加一，这是顶点式。然后你如果不想写顶点式啊，你可以再把它划分开，拆成这种一般式。 好，这两种写法啊，你具体还是要看那个题目中的要求，如果题目中要求你写出他的一般式的话，你最好就给他转成这种形式，如果没有要求你写这种形式，他也是可以的。好吧，这两种形式都可以，你主要还是看题目里的要求。好，我们来总结一下顶点法来求二次函数的表达式， 这种我们已对于已经知道了抛物线的顶点坐标，我们来看求他表达式的方法叫做顶点法。那设的时候还是一设二代就是解，对吧？三解就解除这个值吗？四解还是这几个步骤，我们但设的时候我们换了，知道顶点坐标，我们就设的是这个顶点，设 顶点是，然后把 h 和 k 带入之后，我们就得到了一个关于 a 的一元一次方程，因为那个时候是不是就剩下 a 未知了，对不对？那将另一点的坐标带进去，我们就把这个 a 的值求出来了，然后又把 a a 的值用竖 数数值换掉，我们就把这个函数表达式就写出来了。好，这是顶点法来求二次函数的表达式。第一种我们求的是那个一般式，对不对？知道三点设那个一般式，那知道现在知道顶点，我们就设顶点式。好，这是针对不同的 方，就针对不同的这个点的坐标，我们来选取不同的方法。求二次函数的表达是，我们继续往下看，还有一个焦点法来求二次函数的表达是，这是什么意思呢？我们来看一下这个有已知的三个点，我们来看这三个点啊，他有一个负三零，负一零， 我们来看负三零和负一零是不都相当于是重坐标等于零，重坐标等于零是不就相当于是跟 x 的 x 轴的交点？ 那我们来看，我们知道负三零，负一零，它是抛物线与 l 轴的焦点，所以我们在设的时候就设这个函数的表达，是为焦点式啊，这个咱们前面没有设计的，我们今天讲一下焦点式，就是说你跟 x x 坐标 x 交点的两个坐标都是纵坐标为零，那我们就设它与 x 的交点是 这个形式，这叫焦点式啊，就是 a 被括号 x 减去 x 一，括号 x 减去 x 二，其中 x 一和 x 二为焦点的横坐标，也就是这里面负三就是 x 一，负一就是 x 二，你把这个 x 一和 x 二带到这个 表达式里头，我们来看一下，好，式子，就变成了 y 等于 a 倍，括号 x 减三，因为我们知道这个 x 一它不是负三吗？那 x 减去 x 一，就相当于是减去负三，就变成了加三， 这个减去 x 二，就是相当于减去负一，就变成了加一。好，所以这个式子就变成了这样的一个形式。好，接下来我们是不是还有一个点我们没用到啊？是零和负三，对不对？我们再把零和负三，也就是说当 x 等于零的时候， y 的整个值是负三，我们把它带进去。 好，那就是 a 乘以零，加三，再乘以零加一，那么等于负三。那这样的话，我们来看一下三倍的 a 再乘以，那就相当于是看三乘以一是三，三乘以 a 就等于负三，那么解出来了，我们的 a， 它就等于负一，我们把 a 的值再替换掉，你可以 写成这种焦点式，对吧？直接把 a 的值给替换掉，等于负一，或者是你给他画成这种一般式，你给他乘出来之后，这个一般形式就是负 x 平方减四， x 减三。 好，这个就是我们已经知道了两个与 l 九焦点的那个坐标就是几零几零这种形式，那我们就把它设成这种焦点式，然后再把它带进去，跟前面的方法是一样的，一设二代，三解四斜。好，我们把焦点法求二次函数表达式的方法，我们来总结一下， 像这种我们已经知道与 x 轴焦点来求表达式的方法，我们叫它焦点法，也就是比如说 x 一零对不对？ x 二零，只要你看见这种了，它都是与 l 轴的焦点，那我们就设它的函数表达设为这种焦点式好，然后再把两个这个两个焦点的横坐 x 一和 x 二分别代入到这个表达式里面，就是我们的二代代了，代了之后我们就只剩下了一个代定系数了，就是关于 a 的这个一元一次方程，那我们就开始解，对不对？我们把方程的解代入代入，然后求出这个 a 的指，最后四写就是把 a 的指用数值换掉，我们写出函数表达式。好，整个的流程就是一设二代，三解四写。你这个步骤啊没有什么太大的差别，就是你设的时候，你设这个表达式是非常关键的，你要根据你不同点的这个坐标，你设出不同的这个表达式。 好，这是我们第三种方法好。还有一种就是特殊条件下的那个二次函数的表达式，我们要怎么来求？比如我们来看一下已知二次函数 y 等于 ax 平方加 c 的这个图，像过这两个点，那我们呢，发现 这个就相当于我们 bx 一次项，他是不存在了，只剩下二次项和常数项，那也就是相当于只剩下两个带定系数，那么是不是我们就只需要这两个点，我们就能把这两个带定系数给求出来了，这个就类比于我们前面学的依次函数了，对不对？两个带定系数我就用两个，两个点 好，同理好，这个带定系这个二字函数的表达是别人已经告诉我们了，对不对？这个设的这个模型已经告诉我们了，我们就直接就代入就可以了，因为他已过二三和负一负三两个点，那我们就相当于当 x 等于二的时候， y 等于三， 当 x 等于负一的时候， y 等于负三，我我们就把它带入到这个二次函数的表达式里面，我们就得到了这个方程组。好，我们函数你可以用加减消元的方法，我们把它求出来，解的这个 a 就等于二， c 就等于负五。好，那我们函数 这个二次函数的表达式我们就求出来了， y 等于二倍， x 平方减五。好，那我们把今天咱们的这个课程啊做一个总结， 我们用带定系数法来求一二二次函数的解题是我们一般是要看他已知什么条件，然后来选取他所用的方法。那我们来看，假设我们已知道三点的坐标，我们是不是就用一般式来设这个一般式，对吧？那假设我们知道 顶点坐标或者是对称轴或者是最直，我们也是，我们是用的是这个顶点法好，因为顶点坐标我们直接带，那对称轴是啥意思啊？对称轴，比如说 x 等于多少， x 等于多少，是不是就相当于这个 h 的这个值，我们就知道了。最值是啥意思呢？最值是不是那个 h k h k 那个那个我们知道了之后，我们这个最值是不是相当于那个 k 啊？那个 k， 然后我们往里带啊，它也是一样的。 好，接下来我们再来看一下第三种方法，已知抛物线与 l 轴的两个焦点，那我们是不是就设的是那个焦点式，对不对？焦点式啊？ x 一 x 为焦点的横坐标，然后那个第四种啊，第四种就比较特殊，对吧？你直接 知道他的那个二次函数的表达是你直接把那个点往里带就可以了，那个比较特殊，直接往里带就可以了，求出他的那个带的系数。好，那咱们今天的课程啊，就讲到这里，同同学们记得来评论区完成老师的作业，我们下节课见。

学习原来如此简单，再一次欢迎来到小明哥的课堂，我们今天学习的是二次函数的基础知识。 函数我们都已经学习过了啊，那我们把函数的基础内容的话回看一下我们的。呃，一次函数啊，那什么是二次函数呢？我们今天学习的 好，那我们定义一般的，如果 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加 c 啊，那 a， b， c 都为常数，且 a 不等于零的时候，那么我们就叫做 y， 是这个 x 的一元二次函数。好，所以这里有几个重点，一个是要注意我们这个自变量的次数为两次，最高次数为两次，而且二次项的这个系数 a 还是不等于零。好，这个就 想到了我们之前的什么二次方程，方程是 a x 平方加上 b， x 加上 c 等于零啊，那如果他是一个二次方程的话，那这个 a 也是不能等于零的。好，大家要理解。那么来看一下这个二次函数到底是怎样子的呢？ 首先我们来看一下最简单的二次函数，那就是 y 等于 x 的平方。好，我们以前做一次函数的时候，比如说 y 等于 x， 是不是找到两点， x 等于一的时候带进去， x 等于二的时候带进去， s 等于一，那就等于一，对不对， x 等于二，那就等于二。然后我们连线，连出了这条直线，就是我们的 y。 抖音 x 这条直线。好，当我们画二次函数的时候，并不是两点就能确定，因为我们知道二次 函数他可能不是一条直线，对不对？那我们来看一下他是怎样子的，那我们来看一下他是怎样子的一条曲线呢？画函数的话，我们都是用描点法把它描出来的，那我们现在一般用五五点描点法， 五点秒点法。好，那比如说当 x 等于负二的时候， x 等于负一的时候， x 等于零的时候，一的时候，二的时候，我们通过函数的赤字，然后把它的点算出来。好， x 等于负二，歪就等于四， x 等于负一，歪就等于一， x 等于零， y 等于零， x 等于一， y 等于一， x 等于二， y 等于四。好，那我们就获得了这五个点，我们将五个点标到我们的这个图像里面，我们画出来看一下。当 x 等于负二的时候，那就等于四， 就是这个点，对不对啊？这个是负二和四啊？那当 x 等于负一的时候， y 等于负一，是不是这个点啊？这个是负一跟 一。好，然后按，当 x 等于零的时候， y 等于零。好，就是这个点好，这个点是零零啊。当 x 等于一的时候， y 就等于一，好，那这个是一一 啊。当 x 二的时候， y 等于四，那就这个点啊，这个点就是什么啊？我们的二四，我们将这些点怎么样均匀的连接起来，然后就会形成一个像这个形状的一个线，我们这个线我们也叫做抛物线 啊，为什么叫抛物线呢？就是东西抛上去的时候，他会掉下来，就是将这个 这条线啊，然后对称过来看，那是对称过来看，是先上去后下来，就好像扔东西一样，所以叫做抛物线。 这个是我们 y 等于 x 平方的，那当 y 等负 x 平方是怎样子的呢？好，我们也来瞄一下点。好，当 x 等负二的时候，然后 y 就等于多少负四，当 x 等负一的时候， y 就等于负一， 大 x 等于零的时候， y 等于零。大 x 等于一的时候， y 等于负一，大 x 等二的时候， y 等于负四。我们先把点先描出来，然后再连起来啊，分别是，呃，负二跟负四，好，负一跟负一， 然后是零零，然后是啊，一跟负一啊，然后是二跟负四， 我们把它均匀的连起来，发现什么，他就刚好是反过来了，对不对？那我们最简单呢，这个二次函数就是 y 等于 a x 平方，好， 我们整个是 y 等于 a x 平方加 b s 加 c 的啊，那我们比较简单，就是 y 等于 a x 平方的，那图像就如图所示这样子，如图所示。好，这里是画了所有的我们 y 等于 a x 平方的啊，这个函数，那你看一下。 呃， y 等于 x， 就是黑色这条线，黑色这条线是 y 等于 x， 然后蓝色这条线 y 等于二 x， 啊，红色这条线是 y 等于三 x 平方，好，我们会发现这三条线怎么样好，都是往上张开的，对不对？ 好，我们这个张开，我们叫做开口。好，那我们总结出来，那当我们 a 大于零的时候，那么就获得这个开口向上的图像，开口向上， 好，同样道理，我们来看一下这绿色，这是副 s 这绿色，然后这个紫色的是负二 x， 然后这个橙色的是负三 x， 不对，那也就得到当我们 a 小于零的时候，开口是怎么样的？好，开口是向下的，好，这个就是我们 y 等于 a x 平方的性质了， 好，那我们往后加点东西，我们来看一下，我们将后面加一点东西上去。好，我们原来这个呃，负二负一零一二的是四， 一零一四，对不对？好，是这从这里开始啊，这点，这点，这点 好，这点，这点，就刚刚我们画的是这样子的图像，对不对？好，那我们来看一下，如果将它减二会是怎样子的？那么一样也是 负二，负一零一二分别这个横坐标为这些的时候的对应的点啊？负二的时候，那这个变成多少？变成了二，对不对？这个变成了负一，这个变成了负二，这个变成了什么？变成了负一， 好，也是负一，对不对？好，这边变成了什么？二，对不对？好？把点描出来。负二，二是这个点， 对吧？然后负一是这负一，负一是这个点，对不对？然后零跟负二是这个点 好，然后一跟负一是这个点，对吧？然后二跟二是这个点，好，那我们把它均匀的连接在一起， 好，那么就得到了一个什么像这样子向下移动了两个单位，你看从这里这是远远还是远点，对不对？向下移动了两个单位的一个另外一个数，对不对？好，所以我们发现将这个函数然后加减的话， 函数就会发生一个平移转换。好，那我们来看一下具体的图像，好像圆函数，就是我们刚才画的圆函数，是这样子的，对不对啊？那如果函数加二，那得到黑色这条线，对不对？就相当于这个图像往上平移了 两个单位，对不对？呃，蓝色图上加三是往上平移了三个单位，对不对？好，然后红 红，呃，这个橙色橙色图上减二，就相当于这个减去了两个单位啊，所以我们就把它，呃，如果是 y 等于 ax 零方加上一个 h 的话，那得到就是他们啊，上下移动过后的，那加就是上，向上移动，减就是向下移动啊，听懂了没有？ 好，我们再往下看啊，比如说这个图像，这个图像是 y 啊， y 等于二 x， 那我们一样，我们按照刚才的思路，然后把它负二，然后负一，然后零啊，一二带进去。好，这里刚好是等于多少？ 二，二得四就是八，对不对？好，然后这个是二，对不对啊？零，然后这是二，然后是这个是八。好，八就在上面，对不对？然后负一二 是不？一，二是这个位置，对不对？然后是这个位置，然后是，嗯，一，一二是这个位置，对，对，八是在上面。好，我们就 得到这样一个独像，对不对？好，然后我们来看一下，然后将我们 s 让，然后减少。一来看的话， 那我们之前学过图像平移是怎样子的？好，对 x 进行加减，那就是左加右减。好，实际上我们就将图像发生了一个平移转换。好，我们来具具体看一下，这个我们就不画了啊，我们来看一下啊，具体的图像是怎么变换的？ 好，那原图像是 y 等于二 x 方，也就是蓝色的这条。好，那如果将我们呃 x 去加二的话， 刚才说的左加，然后右减，是不是？他就将蓝色这个图像然后向左平移了两个单位，对不对？向左是加吗？对不对？然后蓝色图像像这个里 s 减一，那就向右向右移动了一个单位，右减，对不对？ 好，那这这个就得到了，我们如果是 y 等于 a 乘以 x 减 h 的完全方的话，那对里面的 x 进行加减，就相当于进行左加右减这个变换， 那统一来说，我们就是啊，上加下减，就是我们在外面加一个东西，对对，加一个东西，就是上加下减啊，那里面加减就是左加右减。好，这个要理解啊，那么二次函数 y 等于 a x 减 h 的平方加 k， 跟 y 等于 a x 平方的图像又有什么样的关系呢？好，我们来看一下这个图像啊， y 等于 a x 平方，是不是这个图像对不对？就蓝色这个图像就是 y 等于 s 平方的啊，这个 a 等于一嘛，就在 a 等于一啊，下面的 y 等于 a s 减 h 的平方加 啊 k， 那我们把这个 h 用二代替，然后这个 k 用二代替啊，那得到我发现什么？好，这个东西，我们二次函数最上面这个东西，我们称之为顶点 啊，那顶点原来是，原来顶点坐标是多少的？是不是零零的？后来顶点坐标又变成什么？变成了二二，对不对？好，那我们这个式子，原来这个式子是不是可以画成 y 等于 x 减零的平方，然后再加上零啊，对不对？好，原来的这个顶点就是零一，对不对？现在的顶点就是二二。好，也就说我们得到这个式子 好，是不是可以用 h 跟 k 表达他的顶点，那这个二次函数的表达是里面的 hk， 那就代表了这个二次函数的顶点坐标。 好，所以我们来看一下啊，一般的我们平移二次函数会得到像这样子的式子好，这样的图像，那因此我们这个 y 等于 ax 减 h 的完全偏方加 k 的图像是一条抛物线，它的开口， 呃，方向对称走顶点，就跟这个表下面讲的一样啊，当我们 a 大雨淋的时候开口向下， 刚才已经讲过了，对不对？ a 小于零的时候，开口是向下的，对不对？好，然后我们对称轴啊，对称轴也可以补充一下。好，什么是对称轴呢？我们来看一下啊，就是我们这个图像刚好是左右两边，是不是完全对称的，对不对？好，那这里就是相当于 啊，关于 y 轴对称，这里相当于跟二对称对称轴，他跟什么很像啊？他跟他的，呃，顶点的什么横坐标是不是一样大小的 啊？那这个对称轴是不是 x 等于零啊？因为对称轴是一条线，那这个 x 等于零才能表达为一条线啊，然后我们顶点坐标刚好是零零，然后对称轴是，呃， x， 这次 x 等于二。好，那他的顶点坐标是二等于二， 对不对？好，我们发现对称轴所对应的横坐标是不是跟我们这个顶点横坐标一模一样的，对不对？好，所以如果在这个式子当中，然后他是 x 表示我们的顶点横坐标的话，他的对应的对称轴直线就是 x 等于 h。 好，这里要理解。好，同样的，他顶点坐标就是 h 和 k， 好，这里要理解，理解了没有？ 好，我们继续啊，那我们经常看到的二次函数的形式，一般都是从这种形式存在的，对不对？好，那顶点是我们是比较少见的，好，注意啊，它是 a， 不能零的。 好，那我们这个式子是否能够画成一件事呢？好，这个是我们今天要做一下的啊，那我们来画一下 一下。好，我们顶点是怎样子的？ y 等于 a 乘以 x 减 h 的平方，加上 k， 对不对？好，其中 hk 分别是顶点横坐标、重坐标， hk 就是他的顶点坐标，对不对？好，所以我们是不是应该将这个式子 化成一个完全平方状态，对不对？那将柿子化成完全平方，是不是很马上就要想到是什么配方的方法，对不对？好，我们就配方一下， 那将这里配方要怎么办？那配方我发现里面配的完全偏方 x 的系数是唯一的，所以我们先要把 x 系数化为一，那就是 y 等于 a 提出来 x 的平方，加上啊， b x a， 那这里 b 一里面没有 a 啊，怎么办呢？啊？其实它就是 a 分， 对不对？那你看一下把 a 乘到 a 分的 bx， 是不是得到原来的 bx 啊？这里理解吗？好，最后加上 c 啊，那它就等于什么？ 把里面进行配方，那怎么配呢？怎么配呢？那里面就是配成二 ab， 这个后面这个东西配成二 ab， 那就是 x 的平方好，加上二乘以 a 就是 x 的呢？ b 就是剩下部分，那我们要保持原来不变，那 b 应该就是 二 a 分之 b， 对不对？就是我们在啊，老师说的二 ab 就是我们完全秘方公式里面的 a 加 b 的平方，等于 a 平方，加上二 ab 好，再加上 b 平方，对不对？那我们里面是不是要表表达为二 ab 的形式？那其中呃 x 是不是 相当于就是这个 a 啊，对不对？然后这个中间这个就二 ab 好，所以加上 b 就是这个东西的平方，那就是二 a 分之 b 的完全平方，好， 然后加，加了原来是没有的，所以我们要怎么样再减回去？减二 ab 的完全频道，对不对？好，所以这个要变成中过哈，好，然后再加上 c， 好，这个理解吗？好，那我们继续画。那原来就可以画成什么 a 啊？要有括号啊，成语， 我们 x 加上二 a 分之 b 的完全平方，对不对啊？这边造型能减去多少啊？减去四 a 平方， b 平方，对不对？然后再加 c， 好，这个是指继续往下画，然后 a， 然后提出 造血，对不对？然后我们这个柿子是造血的，那这里是不是要提出来啊？提出来是不是要 a 乘过去啊？对不对？好，所以他就得到了我们啊，这个是原来的，这边造血 x 加上 二 a 分之 b 的完全平方，然后减去那这个，这个东西减了 a， 呃，不，这个东西成了 a， 他是只剩下四 a， 少了一个，对不对？好，约掉一个四 a 分至 b 平方，就对，加上 c， 好，我们把后面这一部分进行同分， 好，那得到 a 乘以 x 加上二 a 分之 b 的完全平方，减去四 a b 平方，然后加上啊，加上我们的四 a 分之啊，四 a c， 对不对？好，一般我们会 把正的写在左边，对不对？好，所以他就得到 a 乘以 x 加上二 a 分之 b 的平方，然后 加上我们四 a 分支，然后把分子写起来 a， 然后抱歉，四 a c 再减去 b 平方， 好，那就得到这个式子，好，所以我们一般是他画画成顶点式的样子，那就变成了 y 等于 a x 加上二 a 分之 b 的完全平方，再加上 四 a 分之四 a c 减去 b 平方，对不对？好，那其中你看这里是不是就刚好等于 hr， 对不对？好？ h 就等于多少 h 是等于二 f b 吗？你看一下，我这个是减号，我们这个是加号啊，所以 h 应该是等于多少？负二 a 分之 b， 好，因为这个，这个我们是不是可以写成 s 减去负二 a 分之 b 这样 然后的平方对不对？好，这个因为我们上面也减，这里也要用减哈，所以我们 h 其实是等于负二 f b 的对不对？好， k 就照写，就是这个分式，那 k 就等于 四 a 分之四 a， c 减去一平方，好，所以我们得到在一般市里面，我们顶点坐标就可以用 负二 a 分之 b 跟我们四 a 分之四 ac 减去 b 平方去表示他好，这个理解没有好，这个配方的话，大家一定要自己重新配一下啊，也可以按照老师这个步骤，然后自己再配一下，好吧，好，那么得到结论。 好，那我们二次函数的表达是，我们一般习惯性的用两种，一个是顶点式， 这是平点式啊，下面一个是，呃，一般式，这是我们的一般式啊，那其实我们后面还会学到呃，两呃两点式， 两点是这样子的， y 等于 a 乘以 x 减 x 一，然后再乘以 x 减 x 二，好，这个我们后面再讲啊，这个叫做两点。是 啊，那当他是顶点式的时候，然后 h 他的对称之后 x 就等于 h， 然后他就呃好，顶点坐标就是 hk 啊，一般是的时候， 对线轴就是 s 等于负二 f 的 b 对线轴就是负二的 b 灯和四 x 四 s 减一平方，好，其实上面三个是 比较特殊的情况，那这个第一个试纸，其实我们可以画成什么 y 等于 a 乘以 x 减零的完全平方加上零，对不对？相当于变成顶点式，就是顶点为零，零嘛，对不对？所以顶点为零，零，好，然后 顶点行，坐标就是对称轴 yx 等于零，对不对？好，这个我们也可以画成什么 y 等于 a 乘以 x 减零的完全平方，加上 k， 对不对？所以顶点坐标就是零元 k 嘛，对不对？好，对称轴就是 x 等于零， 好，下面这个就是加上零，对不对？好？加上零，然后顶点坐标就是 h 跟零，这个 h 跟零对不对？好，所以他顶点横，所以他的对线轴就是 x 等于 h， 好，这个应该容易理解，好吧？好的，那知识点就先讲那么多，下面我们来做一下练习。

开口向上， a 为正，左减右增有最小。开口向下， a 为负，左增右减有最大 cd。 y 则得焦点。正正负负秒知道。 b 的符号 a 相关，左同右翼来确定。

同学们，大家好，我是快一点数学大讲堂的梦老师。这节课我们一起来探究二次函数一般式的图像和性质。 通过前几个视频的学习，我们知道把二次函数的一般式化解成顶点式，更方便我们来探究他的图像和性质。要把二次函数的一般式化解成顶点式，我们需要用到配方法。 首先把 x 的二十项系数 a 提出来，然后再把括号里边的给他配成完全平方式 整理，可以得到 a 乘 x 加二 a 分之 b 的平方，加四 a 分之四 ac 减 b 的平方。接下来我们就一起来探究二 函数一般是的图像和性质。当 a 大于零时，图像开口向上当 a 小于零时，图像开口向下。 我们可以看到这两个图像都是关于直线 x 等于负二 a 分之 b 对称的，所以他们的对称轴都是直线 x 等于负二 a 分之 b。 而且他们的顶点坐标都是负二 a 分之 b 斗四 a 分之四 ac 减 b 的平方。接着我们来看他们的增减性。 先看 a 大于零的情况。当 x 小于负二 a 分之 b 时， y 随 x 增大而减小。当 x 大于负二 a 分之 b 时， y 随 x 增大而增大。再来看 a 小于零的情况。当 x 小于负 r a 分之 b 时， y 随 x 增大而增大。当 x 大于负 r a 分之 b 时， y 随 x 增大而减小。 最后我们再来看他们的最值。先来看 a 大于零的情况。因为 a 大于零，所以二次函数可以取得最小值。也就是当 x 等于负 r a 分之 b 时， y 取得最小值。四、 a 分之四 a c 减 b 的平方。 同样的， x 小于零时，二次函数可以取得最大值。也就是当 x 等于负二 a 分之 b 时，歪取的最大值四 a 分支四， a， c 减 b 的平方。好。了解了这些基础知识之后，我们来看一个例子。 二次函数 y 等于二， x 的平方减十二， x 加十四。 首先我们要把它画成顶点式，等于二乘 x 减三的平方减四。然后我们还可以画出他的草图，我们可以看到他的图像开口是向上的， 对称轴为直线。 x 等于三， 他的顶点坐标是三斗负四。 再来看他的增减性，当 x 小于三时， y 随 x 的增大而减小。当 x 大于三时， y 随 x 的增大而增大。最后我们来看他的最直。 这里的 a 是大于零的，所以二次函数可以取得最小值。也就是当 x 等于三十， y 取得最小值负四。 好，二次函数的一般式的图像和性质我们就讲到这里，你学会了吗？

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各位同学大家好，今天我们来学习初中九级数学上册第二十二章二次函数第六课二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的图像和性质。 在学习之前呢，我们首先来明确一下我们这一节课学习的目标。第一呢，我们会用配方法把二次函数的一般形式写成顶点式。 第二个呢，我们会用配方法或公式法确定抛物线 y 等于 a x 平方加 b， x 加 c 的顶点对称，手指最直。第三个呢，我们会根据所给的制变点的曲子范围画出二次函数的图像。 首先呢，我们来学习知识点，一，二次函数一般是与顶点式的关系，这里我们给出了一个二次函数二分之一 x 的平方减六， x 加二十一的图像和性质。 我们可以通过配方法把这个一般形式化为顶点式，也就是化成二分之一括号 x 减六的平方加三。那么我们能够用几种方法画出这个图形呢？ 首先第一个，我们可以使用平移法，我们可以首先画出二分之一 x 平方的图像， 然后把它向左向右平移六个单位，再向上平移三个单位，这样就得到了二分之一 x 平方减六， x 加二十一的图像。 第二个呢，我们可以用秒点法，我们可以先用这个对称性，因为现在我们已经知道它的对称轴是 x 得六， 那么我们以 x 为六为对称性，那么我们在六的左右两边同时取几个值，然后秒点，这样的话呢，也可以把这个图形画出来。 我们看到画出的图形呢，它的开口方向是向上的，它的对称轴呢是 x 等于六，顶点是六三。 那么二次函数的一般式与顶点式的关系是什么呢？我们给出了一般式，一般式里面的 a 呢，是不等于零的，那么我可以把这个一般式进行配方，那么我们首先把 一次项和二次项的系数 a 提出来，提出 a 这个系数之后呢，我们可以把它换成 a 乘以括号 x 平方，加上 a 分之 bx， 再加上 c。 然后呢，我们给这个 x 平方加 a 分之 b 乘以 x g 配方，我们可以给他配上二 a 分之 b 的平方， 然后我们就可以把它画成顶点式，画出来的结果就是 a 乘以括号 x 加上二分二 a 分之 b 的平方，再加上四 a 分之 cc 减 b 的平方。也就是说，二十函数的一般形式可以通过配方转化为顶点式。 下面我们来学习第二个知识点，二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c。 图像图像与性质，我们通过配方法把这个一般形式转化为零点式。 那么我们现在就来写一下这个一般式的顶点坐标，这个一般式的顶点坐标呢，我们可以把它写成负的二 a 分之 b。 然后呢，是四 a 分之四， a， c 减 b 的平方，它的对称轴是 x 等于负的二 a 分之 b。 因此呢，抛物线的对称轴是 x 等于负的二分之 b， 而顶点的坐标呢，它的横坐标是负的二分之 b， 它的重坐标是四 a 分四， a c 减一的平方。 这个二次函数的图像呢，我们首先有两组， 第一种呢是 a 大于零，当 a 大于零的时候呢，它的开口方向是向上的，它的对称轴是 x 等于负的二 a 分之 b。 当 a 小于的时候呢，这个开口方向向下，它的对称轴是 x 等于负的二 a 分之 b。 至于他的增减性呢，我们可以看得很清楚啊。当 a 大于零的时候呢，这个在对称轴的左边， y 随着 x 的增大而不断的减小。在这个 a 大于零的时候呢，在对称轴的右边，随着 x， y 随着 x 的增大而不断增大。 当 a 小于的时候呢，在这个对称轴的右边， y 随着 x 的增大而不断减小。在它的左边呢， y 随着 x 增大而不断增大。 在这个开口向上的时候呢，这个二十函数有最小值。开口向下的时候，这个二十函数有最大值，他们的顶点坐标都是负的。二 a 分之 b 是 a 分之 c， c 减 b 的平方。 下面呢，我们通过表格把这个一般式和零点式做了一个归纳，其中呢，有开口方向， 这个他的图像顶点坐标对称轴增减性和最直。这个地方我强调一下，就是一个增减性，一个最直啊。 当 a 大于的时候，也就是开口方向向上的时候，它是有最小值的。当这个开口是向下的时候，它是有最大值的。 下面我们来做一 一个课堂的小节。二十函数 y 等于 ax 平方加 b 加 c 的图像特征与系数 abc 以及 b 方减 cc is deta 的符号之间的关系啊， 这个当字母 a 大于的时候呢，这个图像的开口是向上的，当 a 小于的时候，这个图像的开口是向下的。 当 b 等于零的时候呢，对称轴就是外轴。如果 a b 一号，那么对称轴是在外轴的左侧。呃， a b 同号啊， 如果 abe 号，那么对称轴是在外轴的右侧。当 c 大于的时候呢？这个二字函数他是经过圆点的。当 c 大于的时候呢？与外轴的正半轴相交，当 c 小于的时候，他与外轴的负半轴是相交的。

我现在研究一个具体的二次函数 y 等于二分之一， x 平方减六， x 加二十一。他的图像和性质。 思考一下，我们能否利用顶点式的有关知识来研究呢？我们不妨通过配方，先提取公因数二分之一，使得括号内二十项系数为一。然后利用完全平方公式 在化简，我们就将这个函数解析式转化成了顶点式。由这个顶点式，我们可以知道 y 等于二分之一， x 平方减六， x 加二十一。他的图像就是一条抛物线。再根据括号内左加右减，括号外上加 下减，我们可以知道他可以是由 y 等于二分之一 x 平方向右平移六个单位长度，再向上平移三个单位长度得到。由于 他的二次项系数是二分之一，是大于零的，所以我们能够知道他的开口是向上的，对正轴是直线。 x 等于六，顶点坐标是六三。而当 x 小于六时， y 是随着 f 的增大而减小的。当 x 大于六时， y 随 x 的增大而增大。由此 我们发现，对于这样的二次函数，我们可以巧用配方法将它转化为顶点式，从而方便我们的研究。 絕 a 使得括号内二十项系数为一。再根据完全平方公式，第二项应该是前后平方底数乘积的两倍， 前面是 x 的平方，所以第二项我们可以写成二 x 乘以 ax 分之一。这样第三项就应该是四 a 平方分之一平方。由于这一项是原来没有的， 为了保持最终结果不变，所以我们在后面要将它剪去，最后的 a 分之 c 保留。这样我们就可以将前面的三项化解， 后面的两项为了合并，我们利用分数的性质， a 分之 c， 上下同乘四 a 再合并，最后化解成顶点式。 通过顶点式，我们就能够知道二次函数 y 等于 ax 平方加 bx 加 c 的图像也是一条抛物线，它可以 由 y 等于 ax 平方平移得到。他的开口方向取决于 a 的符号。对正轴是直 直线， x 等于负的二 a 分之 b， 顶点坐标是负二 a 分之 b， 四 a 分之四， ac 减 b 平方。而对于他的增减性，我们则需要分类讨论。 当 a 大于零时，开口是向上的，所以在对称轴的左边，歪随 x 的增大而减小在他的右边， y 随 x 的增大和增大。当 a 小于零时， 抬口是向下的，所以在对称轴的左边，歪随 x 的增大而增大，在对称轴的右边，歪髓 x 的增大而尖形。通过刚刚的研究，我们今后面对这样的二次函数时，可 一把二次项的系数记为 a， 一次项的系数记为 b， 长竖项记为 c。 这样在求他的对乘轴时，就可以直接用公式 x 等于负的二 a 分之 b。 而顶点的纵坐标我们也可以通过公式 四 a 分之四 a， c 与 b 平方的差来求。当然，当我们知道了对称轴，我们可以直接将他的值带入解析式当中，进而求出对应的纵坐标，同样可以得到零点的坐标。 老师更推荐后者带路，这样可以不用死记公式。从具体的二次函数到一般的解析式， 这也体现了我们数学当中非常重要的数学研究方法，从特殊到一般。还有关注我，持续更新。

各位同学，大家好，在学习一月二次方程的时候，经常有同学问，老师说我在解决问题的时候，为什么很多问题解决不好呢？为什么经常出现错误呢？我觉得主要是同学们在解决一二次方程问题的时候，对于一些知识点啊， 在实际应用的时候，考虑的不够全面啊，在解决问题的时候啊，自然会出现一些问题。那这节课呢，和老师一起来学习一下啊，一月二次方程的他的解法和在解决综合问题的时候，需要考虑哪些方面？ 那么大家首先看一下这个一元二次方程，对于他的解法啊，咱们最主要的是三种解法，这个咱们需要掌握好三种解法，那这三种解法， 三种写法，主要是呢，咱们要掌握好配方法，再就是公式法， 就是掌握好求根公式。第三个方法是一式分解法，那么前两个方法呀，咱们大家一般都比较清楚， 那对于因式分解法，咱们学过提供因式法啊，公式法，因式分解，还有一种呢，是十字相乘的方法，那么今天咱们举个例子啊，看一下这个方程，解这个方程， 这个方程，对，这个 咱们可以用配方法，公式法啊，这咱们都会。那对于音式分解法，那么观察他的特点，这个放在左边，咱们发现提供音式不行 啊，那用公式法呢？他不符合完全变弯公式，平板扎公式啊，都不符合。那我们考虑用音式分解法当中的一种特殊的方法，用十字相乘啊，看是否可以 把二这样系数这二分解为一乘二，那这负六呢？分解的方法比较多啊，可以分解为负二乘以负三或者是四， 二乘以负三，或者是一乘负六啊，或者是负一乘六等等啊，这分解方法非常多，那么看一下怎样分解啊？怎样分解之后呢？能十字相承啊，能 用十字香肠来解，那我们首先考虑一下，比如我们看这个六啊，六呢，我们可以写为二乘以 三啊，写二乘以三，这是负六，那下面就看填数号啊，在什么位置填，那比如在三前面填符号，那这样十字相乘之后啊，十字相乘之后，二乘二是四，一乘以负三呢，是负三，那这个负三加上这四呢？是 是正一，但是这个意思像前面系数呢，是什么呢？是负一，因此呢，不能在三的前面填。负二应该在哪块啊？应该在二的前面填上负二啊，所以说应该分解为负二乘以三 啊，那就能够音式分解，那这样音式分解的式子就是啊，这样看， x 啊，这个 一呢，这个位置啊，写个 x， 这是减二啊，写上，写上减二之后，再乘以这个二呢，代表的是二 x， 那这个位置写上二 x， 然后呢，这个是个正三，咱们这个这个位置写上加三 等于零啊，那这样左边分解因式呢，右边是零，因此呢，我们就得到 x 减二等于零啊，或者是 二 x 加三等于零，那这样我们就能解出 x ex， 我们接着放上两个跟 x， 一是二 x， 二是负二分之三啊，那这样就可以解，这是对于这 方程他的解法，那么这种方程的解法，咱们说用因式分解法能解，那么有的呢？不适合的，不适合用因式分解法解的，我们就用配方法或者用公式法去解，这是关于三种解法。那下面说一下 四大知识点啊，老师，喜梅啊，喜梅 啊，那这四大知识点要考虑的是哪些？首先呢，对于一个育儿方程啊，是否有实术根，我们要先考虑他的判别式， 那这个判别是他写为德尔塔啊，德尔塔等于 b 方减四 a c 啊， 这时呢，可以作为第一技能啊。第一个重要知识点，那判别式我们能够判断根的情况，如果判别式是大零呢，有两个不等式入跟判别式等于零，有两个相等式入跟判别式小零，方程没有式入跟。 那还有一种说法呢，是判别是大于等于零。判别是大于等于零的时候呢，就说成一月二次方程有十数根啊， 这是关于判别式他能判别根的情况。那反过来，根据根的情况呢，也能知道判别式的情况。比如说一个婴儿操程有两个实数根，那就是判别式大于或等于零。 说有两个树根可能相等，也可能是不等啊，所以判别是大于等于，如果说这个一月二次完成有两个不相等的树根，那么就是判别是 大于零啊，就是 b 方险 cc 大于零啊。说育儿方程有两个时数根，或者说有时数根，那都是判别式大于或等于零啊，这个要清楚。另外如果是， 如果是一个一元长城有两个相等十六根呢，那就判别是等于零啊，就是等于等于零。再就是最后一种情况，那就是 一月二十四块糖，没有石树根，没有石树根呢，就是叛变式，应该怎么样啊？叛变式就应该小于两啊，这是关于叛变式他的用法，那么接着啊，第二技能， 第二呢技能是一道求根公式啊，这个求根公式要清楚，求根公式 x 等于二， a 分之腹壁 加减根号下 b 方减 cc， 那根号内是 b 方减 cc， 也可以写上判别式啊，这个叛变式德塔等于 b 方减 cc， 这是关于求维模式。 那这个球中是他应用的前提啊，他的前提条件就是这个判断是应该非负，就是格尔塔就是 b 方减 cc， 应该是非负大于不等于零。 第三，第三锦囊就是伟大敬礼，伟大敬礼， 那就是两根之和等于负， a 分之 b， 两根之基 x 乘 s 二等于 a 分之 c。 啊，这第三个， 那第四个经常同学好忽略的，在做题的时候容易忘掉的就是关于一元二次方程，他的二次项系数不能是零，那对于这个一元次方程来说， a 是二次项系数啊， a 是二次项系数，那二次项系数 a 他不等于零。在做题的时候，有的时候要考虑到啊，不能遗漏这几方面，在解决一元二次方程的有关问题的时候，特别是一些综合性问题，非常有效啊，那下面呢，同学来看这样一个例子。