任意角的三角函数练习题加答案

这个视频我来给你讲讲任意角。高中阶段里，咱给角的定义是这样的，一条射线绕着他的端点欧，从欧 a 旋转到了欧币，这样就形成了角埃法。 也就是说，脚是通过射线旋转得到的，其中开始位置的这条边就叫史边，最终位置的这条边就叫中边。 旋转的度数就是角的度数，所以像这样就是四十五度角，像这样就是一百八十度角。如果把这条边再旋转过去，转满一圈就是三百六十度，要是还继续旋转三十度，那这个角是多少度呢？千万别看它长得跟三十度角一样，你得看转的度数， 所以他应该是三百六十度，再加三十度，得三百九十度才对。同样的，如果再转一百八十度到这，那这个角就是三百九加一百八，得五百七十度了。 发现没？用这种旋转的方式来定一脚，那脚就不再只是零到三百六十度了，而是可以更大。不仅如此，咱可以把脚再推广一下，比如同样转三十度，逆时针转和顺时针转也是不一样的，那要怎么区分呢？既然方向相反，那可以用正负来区分。 我们把逆时针定为正，顺时针定为负，所以逆时针旋转得到的为正角，比如这个角就是正三十度，顺时针旋转得到的则为副角，所以这是副三十度角。那要是 o a 没有旋转呢？嘿嘿，那就是菱角，你看角可正可灵还可布， 这样脚就从零到三百六十度。推广道尔，任意脚，比如射线 o a， 逆时针旋转一圈后，再转四十度，得到的就是三百六加四十得四百度角。如果把 稍微顺时针旋转一百八十度，得到的就是负一百八十度角。再看桌面，分针在二十分钟内转过的角度恰好是一百二十度，那得到的是一百二十度角吗？这么想你就挂了。因为分针是顺时针旋转的，所以答案是负一百二十度。 讲到这，相信你已经明白啥是任意角了。对于这种用旋转方式来定义的角，不仅要注意他的度数，还要特别留意他的方向。今后为了方便讨论，我会在直角坐标性里讨论任意角，并且规定 脚的顶点必须和圆点重合，使边必须和 x 的恢复半轴重合，这样就只有中边可以随意转动了。根据周边的不同位置，咱给脚做了分类。像这样，中边在第一象限，这个角就是第一象限角，如果周边在第二象限，这个角就是第二象限。 总之，周边在第几项线就是第几项线讲，这就是向线讲的概念。以三十度角为例，就是第一项线讲。再比如负一百二十度，就是第三项线讲。 不过像九十度、一百八十度这些周边在坐标轴上的角就不属于任何象限了。认识了象限角，咱再来认识一类角。以三十度角为例，把它的中边逆时针旋转一圈，就加了三百六十度，也就是三百九十度。 这两个角虽然度数不同，但周边显然一样。如果再转一圈，就又加了三百六十度，变成了七百五十度角，周边显然还是相同的，这些角就叫做中边相同的角。 不难看出，只要把一个角转上整数圈，周边就是相同的，所以这些角之间都相差整数圈，也就是相差整数倍的 三百六十度。这类周边相同的角我会在接下来的视频中讲到。好了，以上就是这个视频的全部内容。首先，咱用旋转的定义方法把角推广到任意角， 对于任意角特别要留意正负他，包括正角、副角和菱角。其次，你还要知道什么是象限角和周边相同的角。怎么样，你学会了吗？如果学会了就速速刷题去吧！

这个视频我们来讲一下三角函数中任意角，我们在初中主要讲的是锐角，三角函数接触的角呢，都是零到一百八十度的角，那上了高中以后，我们 给了任意角的一个概念，那么什么是任意角啊？比如说一条射线，一条射线，我们绕着这条射线的 这个端点啊，旋转啊，绕着这个一个端点来旋转，那么旋转，如果我们是旋转这个射线呢？我们称为十边 啊，十边，然后旋转过后，如果我这是逆时针旋转啊，这是逆时针旋转，然后这个叫中边， 中边，那么这是旋转旋转的角度啊，如果是啊法，那这个呢？我们这样逆时针旋转的，我们称为正脚啊，这正脚的概念，正脚就是逆时针旋转的 逆时针旋转，如果我旋转了六十度，那么这个脚呢？就是六十度，六十度，那 如果我顺时针旋转呢啊，比如说往这边旋转，中边到这里啊，中边到这里这样旋转， 那如果这个角度转转的是六十度啊，我旋转了六十度，那这个角呢？我们称为负角，是负六十度啊，负六十度，这是负角角。顺时针旋转呢，我们称为负角， 那还有零角，零角就是这个使编不动，不选转，不进行旋转，我们就成为零角啊，不选转， 这是这几正角、副角和菱角的概念啊，我们通常是在坐标系下来考虑这个角度的啊，来讨论这个角，那我们先画一个坐标系， 通常呢是是把这个啊，这把，把这个圆点作为一个端点，然后把 x 轴的 x 轴的非副伴轴作为实边啊，作为实边，然后他的中边 啊，这是如果他进行旋转，往这边旋转，这个就是中边，这是十边。这 这个转这个角度呢？这个逆时针旋转的这个角度就是正角啊，正角。如果这个中边呢？在第一向线，这是第一向线的，那我们就称为第一向线角啊，我们叫向线角，向线角， 这是第一向前角。如果转到这边来呢，那就是第二向前角，这个角度呢，就是第二向前角。如果转到这边来啊，转中边到这边来了，那这个就是第三向线角啊，第三向线角，还有我们的第四向线角，这是第四向线角 啊，这是向线向线角啊，总共有四个向线角，那么还有我们的轴线角啊，这个是坐标轴，坐标轴是你看第一项线和第二项线的分界线啊，这 是分界线，这是轴线啊，轴线角，轴线上的角 啊，我们轴线这样角，这是零度，那这九十度、一百八十度和呃，二百七十度啊，这是我们的镶嵌角和轴线的角。那还有一一个是中边相同的角，中边相同的角， 它构成的集合是什么呢？比如说这个，这个是，如果角度是是阿法的话，那这个 这个中边的话，那我旋转一周再回过来，那么仍然是中边，仍然是这个中边啊，那我再旋转一周再回来，也仍然是这个中边。所以说中边是这个边的啊，是这个中边 的。他的角呢，是无无限多个啊，无限多个他构成的机合，我们可以怎么写呢？可以这样写啊，贝特角，那么贝特角呢，就等于阿法加上一个 k 乘以三百六十度，而 k 呢，是属于整数的， 整数的，那么这个就是中边相同相同的角构成的集合啊，这是中边相同的角构成的集合啊， 这是我们的知识点，我们来看后面的练习，这个锐角是第几相？线角，那么锐角我们当然是口头回答啊，锐角是第一象线的啊，锐角是 大于零小于九十度的角，我们称为锐角啊，第一向线角，那么第一项线一定是锐角吗？ 那么显然第一向线角不一定是锐角。你比如说我们第一向线角哦，比如说四百四百度，四百度，他呢？他是他和谁的重点？和 这三百六十和四十度的中边是一样的啊，因为四百可以写成三百六加四十，三百六加四十，那么和四十的中边，四十中边，他是第一向前角，那四百也是第一向前角啊，第一向前角，那么四百显然不是一个锐角 啊，这个是第一向前脚是锐角吗？不是啊，不一定是，不一定，这是锐角呢，是第一向前角啊，第一向线，那再分别就直系直角顿角来回答这样的问题。直 角的话，那我们画一个塑标器，画一个塑标器跟直角，这这个这个角呢，就是直角 九十度啊，直角。那么直角是第几向线角，那他是在第一向线和第二向线的分界线上啊，分界线上，那他不是向前角啊，不是向前角。那， 那这个反过来，这个第一向线和第二向线分界线线上的这个角啊，他一定是直角吗？那显然不是，那直角就是指的是九十度，那如果是负 一百二十七啊，负一百二十七，这样我逆时针过来，他也是，这是负一百二， 负二百七十啊，负二百七十，那么这个也是他的中边，也也在这个第一项线和第二项线的分界线上， 那他不是直角啊，直角指的就是九十度，直角就是九十度啊。那么还有我们顿角，顿角是特指的是大约 这个角度呢，是大于九十度，然后小于一百八十度是顿顿脚啊，顿脚，顿脚是第几向线呢？他显然是第二向线角， 第二箱线，然后，那么第二箱线角一定是钝角吗？那显然也不是啊啊，第二箱线角那有很多，我转两圈啊，已仍然到这个第二箱线，那么这个角度肯定不是钝角，已经超出了九十 到一百八十度啊，你比如说我们这个第一百二十度，比如说五百啊，五百度， 五百度，他就等于三百六，加上一个一百四百啊，一百四十度，他和一百四十度的中边是一样的第二向线角啊，但是五百度不是钝角啊。啊，这是第一问第一题啊，看第二题，今天是星期三，那么七 k 就是七的 七倍的 k 啊，那天后那一天是星期几，也就是就是一个周期，周期是 t 周期，一个周期是七啊。七，那 k 呢？ k 属于整数倍，那他星期三整数倍，一周又回来了， 那就是还是周三呗。啊，还是星期三那一天，那么七 k 天前往前走，七 k， 那也仍然是星期三啊，星期三，那么一比一百天后那一天是星期几呢？那我们呢？看 我除以七就可以了啊，七的倍数，我们看七除以七就是七，上个一 七三十四，七二十八啊，于两天，那么于两天，那于两天呢？星期三，星期四，星期五，那就是星期五了，那一天星期五啊，这是一个周期的概念，这是第二题，我们看第三题， 一只脚的顶点和直角作标系的圆点是重合的，那视边是 x 轴的非副半轴重合，那么 做出下来割脚，那么我们可以把它做一下啊，第一个四百二十度，四百二十度，那么我们以这个为实边啊， x 轴的恢复，半轴为实边，那我们先旋转， 哎，这个到这是三百六，那么三百六，再旋转六十，就是四百二了，再旋转六十，那我再旋转六十，比如说到这 旋转六十，哎，那这个角度呢？就是四百二，四百二十度，从这啊旋转到这就是四百二十度，那这是第一个啊， 我们看第二个，然后画出来做表细，这是 xy 啊， xy 做标系，然后这个是零，那这个是负七十五度，我们因为负角，我们要刚才正角呢，我们是逆时针旋转，那负角呢？我们要顺时针旋转，我们顺时针旋转七十五度就可以了。假如说七十五度在这 啊，我们旋转七十五度，那么这个角呢？就是负七十五度角，那么再看这个八百五十五度角，八百五十五度角， no， 这是 sy 啊， 八百五十五度角，那他等于说三百六十度，几个三百六度，两个两个三百六，然后再加上一个两个三百六，这是七百二、七百二，然后是一百三 三十五，一百三十五，那我就从这开始旋转，逆，逆时针旋转啊，因为正脚正脚要逆时针旋转，旋转一周，这是三百六，然后再旋转一周， 这是七百二、七百二，我还要旋转一百三十五度，一百三十五度，那么大概就是这个角度 啊，这个角度，那这是九十度，再加四十五度旋转四啊，到这我们旋转这个角度呢，就是八百五十五度角，八百五十五度角，那么我们再看这个 负五百一十度，那负五百一十度是负三百六，再再往再旋转啊，负的 啊，多少呢？这是一百五啊，一百五十度啊，一百五十度，正好是五百一，那我们这样旋转，我们逆时针旋转啊，逆时针旋转啊，这是逆时针旋转，是正脚，我们顺时针旋转是正负脚， 顺时针旋转，这是三百六，负三百六了，然后我们再旋转一，一百五，一百五在这个位置，这个一百五啊，这个角呢是三十度一百五。哎，到这，那么这个就是负 五百一十啊，负五百一十度，那我们就知道了啊，他问画出的角度了以后，那么并指出第几向前角，那么显然 这个是第一象限，这个呢是第四象限，这个呢是第二象限，这个呢第三象限，这是第三题，我们看第四题啊，在零到三百六十度方位内，找出与下列各角中边相同的角，并指出他们是第几象限角， 那与下列各角中边相同的角，那我们有中边相同角的这个机合啊，他是这样的一个机合，那背他角呢？是背他等于 阿法加上一个 k 乘以三百六十度，而 k 呢是属于整数的，整数的。那么第一我们来看一下五百四十度的五百负 五十四度十八分啊，十八十八分，我们可以写成什么呢？我，我们要把它转成这个范围的角，这个转转成这个范围的角，那么可以写成三百零五度四十二分， 加上一个负一 k 乘负一啊，负一乘一个三百六十度啊，三百六十度， 那找出在这个范围内，找出与下列各角中边相同的角，那当然是就这个角度了啊。三百，也就是三百零五度四十二分，这个角度就是和 负五十四度十八分，他俩是中边相同的角，并指出他第几向线，这个显然是第四向线啊，这是第四 的详细。 那第二个我们把它画一下，就三百九十五度 八分，那么他就等于，那就是一乘以三百六，加上一个，他加上一个三十五度八分，就加上一个一乘以三百六，那么也就是这个角在这个方位，在零到三百六十度的， 在这个范围内，这个角三十五度八分和三百九十五度八分，他们的中边是相同的，显然这个角度呢，是第几向线呢？第一向线啊，第一向线， 你看第三，第三，这个是负一千一百九十 十度三十分，这个我们可以写成谁谁呢？可以写成是负四，你看我可以写成负四乘以三百六，那加上一个啊，加上一个谁，加上一个二百四，我们算一下，就二百四十九点三 啊，就是四十九度二百四十九度三十分啊，三十分，这个他们俩他加起来正好等于负 是一千一百九十度三十分啊。那么这个角就是在这个方位内，与与这个负一千一百九十度三十分，这个角度是中边相同的角，那么这是第几相线呢？这显然 在一百八到二百七之间。第三项线，这是第三项线的角，这是第四题。第五题呢，我们写出下列各角中边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式 这个范围内的负七百二十度大于等于七百二十度小于三三百六十度的元素，这个背的直， 那我们先把它中边相中边相同角的集合先写出来啊。那么第一题， 这就是可以写成什么呢？这个贝塔，贝塔等于直接写这个数一三零三度十八分，然后加上一个 k 乘以 三百六十度，也就这个是中比，这个 k 呢是属于整数的，那这就是中边相 从角的集合，那和这个中边相同的角那，并且我们要规定这个贝塔呢，是要在大于等于负七百二到小于三百六这个之间，我们那有，我们可以有这个贝塔 大于等于负七百二十度小于三百六十度这个范围得， 也就是他在这个范围内，也就是一三一千三百零三度十八分，加上一个 k 乘以三百六十度啊，大于等于负七十 七百二十度小于三百六十度啊，我们可以解得你把把这个减过来啊，我们可以得到负两千两百二十三度十八分啊， 那么我们就 k 乘以三百六十度呢，就在这个方位大于等于他小于负九百四十三度十八分啊，在这个范围内的 k， 因为 k 是属于，又因为啊， k 是属于整数的整数，那么所以我们是这个 k 可以等于一个是我们算一下啊， k 是等于负五，可以啊，负五是可以的，在这个范围内，然后负四也可以，负三也可以，我们就是可以得出这三个指在这个范围内的，那 我们来算一下，当 k 等于负五的时候，这个贝特值应该等于啥呢？贝特就等于 一三零三度十八分，加上一个负五乘以三百六十度，我们算一下，就等于负的四百九十六度四十二分， 这是 k 等于负五的时候， k 等于负四的时候，把贝塔算一下，贝塔之 就等于一三零三度十八分，再加上个负四乘以三百六十度，那么他等于负 一百三十六度四十二分，然后 k 等于负三十，那么贝塔值呢？就把这个 k 等于负三带进来， 我们算一下，就等于是 这个二百二十三度十八分啊，这是第一个，我看第二个，第二个 一样的啊，我把它的机合先写出来啊，中边相同的角的机合，就是贝塔等于这个二八二八，就是负二百二十五度，加上一个 k 乘以三百六十度，那么 k 呢？是属于整数的， 那我们有这个贝塔呢，是大于等于负七百二十度，然后小于三百六十度，我们可以得到， 就是这个在这个范围内，就是负二百二十度，加上 k 乘以三百 六十度，大于等于负七百二十度，然后小于三百六十度，那 我们可以得到 k 乘以三百六十度，大于等于把把这个移过来啊，我们换可以换算一下，就等于负四百九十五度，然后他是小于移过来，就是五百 八十五，五百八十五度，五百八十五度， 那我们哦得出来这个，我们就来看一下这个 k 的值， k 是属于整数的啊，又在这个范围内，所以说 k 应该是等于一个是负一零或者一这三种情况，那么就是当 k 等于负一时，你把它带一下，把贝塔值求出来，贝塔呢就等于负二百二十度，加上一个 负一乘以三百六，那我们得出来是等于负的五百八十五度啊，负五百八十五度， k 等于二十，这个是不是负的啊？这个是加过来，这是，这是五百八十五啊，这个是五百八十五，五百八十五度。那 当 k 等于零时，贝塔呢？等于负二百二十五度，加上 一个零乘以他零乘以三百六十度，那就等于负二百二十五度啊。当 k 等于一十，那就是贝塔只等于负二百二十五度，加上一个一乘一个三百六十度， 那么他就得出来是一百三十五度啊，一百三十五度啊，我们找到他 中边相同的，我们先把这个集合求出来啊，把集合中边相同的角的这个集合求出来的，然后我们要求求这个方位的角，那我就把它带进来，把这个 k 满足的 k 的值 取出来，求出来啊，有三个都满足，那我再把这个可以带到这里面，把贝塔值求出来就可以了啊，就是类似的题，我们就这样来处理。

我们高中的脚是用旋转去定义的，那么他在旋转过程中会经历一段的区域啊。 那么这一段区域的角我们应该怎么去表示呢？接下来看第三个区域角的一个表示。如图 已知阿发的中边落在了阴影内，那你能写出阿发的范围吗？这个区域的话，他是由两条线组成的，所以我们要把区域两个边界给他写好。我们刚刚已经学过中边的角的集合。 先来看这条线，这条线是不是三十度啊？好，那我们就写一个三十度啊，然后从三十度转到这里。那么这个大角是多少度啊？我们用一百八十度减去这个七十五度，就能得到一百零五度。这个角是一个一百零五度， 也就是他从三十度转到了一百零五度。我们给他写完整阿法大于等于三十度，小于一百零五度。因为题目中这里是实线，而这个位置啊，是一个虚线，虚线是取不到的啊。 好，那这样写是不完整的。因为我们学了任意角，可以适当的让他多转几圈这个三十度角的中边呀，这里加个三百六，是不是回到他自己了？这条线就漏掉了吧。所以我们要加多少度啊？一百八十度。 好，所以这里加一个 k 背的一百八十度，加上三十度，一百零五度的也是一样啊。这个虚线的是不是转了一百八十度就到了这里吧。啊，加上 k 背的一百八十度就可以了，他转一个一百八十度就到了这个位置。那如果转两 整个一百八十度呢？他是不是又到了他自己啊？所以我们给他写成一个集合的形式。阿法三十度加上 k 背的一百八十度，小于等于阿法小于一百零五度，加上 k 背的一百八十度。注意这个 k 是属于 z 就可以了。第三，这道题它的区域是由两条直线所构成的。那么跟踪练习里边呢？是由两条射线所构成的。我们一起来学习一下。让我们写出阴影部分角的集合。先看图一， 他是从欧币一直旋转到欧一，这样才能扫过的。区域是这内部欧币。这个角是多少度呢？你看他是从这里到这里是三百三十度吧。那还剩的角呢？是不是三十度？但是他是这个位置，所以他是一个负的 三十度。 oa 这个位置是直接从 x 去旋转的，他是一个七十五度，所以我们就可以写负三十度小于等于 ct 小于等于七十五度。这里要开始让他绕圈了。绕几圈？ 显然 ob 要想达到他自己，一定要绕一个完整的三百六，所以要加上 k 背的三百六十度就可以了。我们给他写成集合形式来看一下。第二个，他从哪开始绕的呢？他是从 ob 这条边是一个逆时针旋转到 ov， ob 从 x 开始绕，他绕到了两百二十五度。所以这里边剩下的是多少度啊？一百三十五度，但是他是负的，因为他是从这里开始往那边绕的。 oa 呢， oa 是从 x 的时候绕了一百三十五度，所以我们直接给他 写成一个集合的形式。 c 塔负一百三十五度，加上 k 倍的三百六小于等于， c 塔小于等于啊。写在下面啊。 一百三十五度加上 k 背的三百六十度。好， k 是属于 z 的， 我相信。已经有同学开始乱了，我来帮你解答这个疑问。首先，我们这题的做法是什么？ 先写两个确定的角，再去加上整数圈，对不对？都是这样的吧。好，第一个，可能有同学有疑问，我为什么不能写三百三十度到七十五度呢？再加 整数圈。我们先来做第一步工作。你如果写成三百三十度一直到七十五度，这是不合理的。有没有可能有一个角 比三百三十度大，还比七十五度小啊？是没有的。同理。第二个，你不能写两百二十度到一百三十五度也是不合理的，没有一个角满足这个条件，对吧？所以我们把这个角写成一个负角 就可以了吧，从负的到正的进行旋转。那有同学又有疑问，我既然这个脚不行，我可不可以把它加上一个三百六十度， 也就写成两百二十五度，小于等于 c 塔，小于等于四百九十五度。哎，这样就满足提议了吧。可以是可以， 但是这个数据太大了，有什么必要？那我们还学副教有什么用呢？不是追求更简洁更方便吗？对吗？好，同学们，这一题是两条射线形成那个区域，而上一题呢？是两条直线形成的区域。 直线的话是加一百八的，射线的话呢，是加了三百六。大家一定要注意区分理解。

迪达课堂带你每天进步一点点这节课我们一起来做一下中边相同的角的练习题。来看例子题。第一小题，与六十度角中边相同的角是下面两个选项， 与他中边相同的角可以表示为六十度，加上配备的三百六十度，那么与他中边相同的角是相差整数倍的三百六十度。 a 选项它相差的是六十度，不满足 b 选项呢？负三百度与六十度刚好相差整数倍的三百六十度为三百六十度，所以 b 选项正确。 个题主要考察了与 r 法角中边相同的角的集合，是相差整数倍的三百六十度。第二题，与六百一十度角中边相同的角可以表示为什么样子？我们直接写就是六百一 适度加上配备的三百六十度就行了。但是要注意，通常情况下我们的基础小，要小于三百六十度。好，我们把它画 成小于三百六十度，角是三百六十度加上两百五十度，再加上开背的三百六十度， 他们俩合并是 k 加一倍的三百六十度。因为 k 是整数，所以我们直接可以写成是两百五十度加上 k 倍的三百六十度。整数还用 k 来表示，那么他的结合是 k 乘上三百六十度加上两百五十度， k 是属于整数。 第三题，若尔法贝塔两脚的中边互为反向延长线，且尔法是等于负的一百二十度，那么问贝塔它是为多少与尔法它的反 像延长线？我们在之前的公式中有讲过，反差像延长线是等于一百八十度，加上尔法再加上 k 倍的三百六十度就行了。 k 是属于整数尔法呢，是负的一百二十度，那么用公式来代替奶，负的一百二十度代替奶是等于 一百八，减一百二是等于六十度，加上 k 背的三百六十度，这是脚背，他表示出来是这样子的，注意 k 的取出范围。那么我们写下来，这是用公式直接来带另外一种方式呢，我们也可以画图来看一下 角 r 法是等于负的一百二十度，负的一百二十度大概在这里，这样的一个角负的一百二十度，那么角杯它呢？是不是它的反向延长线，这里就是六十度，对顶角，这里也是六十度， 那么就是六十度角与他中间相同的角的集合北塔也是等于六十度，加上配备的三百六十度，用公式或者画图都是可以来做， 这是利息第一。接下来看一下利息第二。第一角题已知减二法等于四十五度，在区间负的七百二十度到零度，这个必须间内找出所有与角二法有相同中边的角贝塔的值为多少。 那么先来看一下与角二法有相同中间的角的几何为多少呢？是四十五度加上 k 倍的三百六十度， 而现在 b 他的值在这个区间里边，那么 k 要取到负的里边的话， k 一定要负数，我们来带一下 k 等于负一的时候，带一下是四十五度，减去 三百六十度，那么是等于负的三百一十五度满足要求，当 k 等于负二的时候呢，四十五度减去两倍的三百六十度，是七百二十度，是 等于负的六百七十五度，也在这个曲线里面，但当 k 等于负三的时候呢，这里是减去一千零八 八十度，四十五度，减去一千零八十度，他是小于负的七百二十度，所以不在这个区间里边。那么 k 的值只能取负一和负二，那么背他的值，一个是负的三百一十五度，一个是负的六百七十五度，这是有关背他的值。 第二题，如阿尔法与五倍的阿尔法的中边重合，那么先问阿尔法的值为多少？与角阿尔法中边重合的角的集合可以表示为尔法加上 k 倍的三百六十度 就行了，那么我们把它的集合表示用贝塔的表示，贝塔等于阿尔法加上 k， 贝的三百六十度是与角阿尔法中边重合的角度集合。现在说五倍的尔法的中边也与阿尔法的中边重合，那么贝塔是不是可以用五倍的尔法来代替 来戴一下？五倍的阿尔法是等于阿尔法加上 k 倍的三百六十度，那么把阿尔法移到左边，是四倍的阿尔法等于 k 乘上三百六十度，那么阿尔法是等于 k 乘上九十度， 所以 r 法的集合是 k 乘上九十度， k 都属于整数，注意这里的 k 都是属于整数。最后我们来做一下小节有关，这节课我们学习了中边相同的角的集合，与阿尔法中边相同的角的集合是阿尔法加上 k 的三百六十度，这是一条设， 所以加上整数倍的三百六十度。第二呢，与阿尔法中边互为反向延长线的角的集合，那么是这条边，我们首先要找出一个基础角，以他为基础角，这个基础角是一百八十度加上尔法， 因为这是一条射线，所以再加上配备的三百六十度。第三个与角二法中边在同一条直线上的角的集合是这条直线，那么我们也要找上一个技术角，记住角，我们就以阿尔法为基础角，因为也是以他为中边是直线，那么我们加上整数倍的一百八十度， 中边与阿尔法中边垂直的角的结合，使这一条直线问他的角的结合为多少？首先我们找出一个基础角，以他为中边，基础角是九十度，加上尔法基础角，我们找出 因为是一条直线，所以我们加上 k 背的一百八十度与脚二法中边关于 s 轴对称的脚的集合。首先找出一个 技术角与 s 轴对称，这边是耳法，那么这边呢？是负的耳法，技术角找出来了，因为是射线，所以加上 k 边的三百六十度 与角二法中边关于外轴对称的角的集合。首先我们来找出一个基础角，是关于外轴对称，这里是尔法，那么这里呢也是尔法，这是逆时针旋转的，那么这个基础角的话，以他为中边是一百八十度 减去二法，所以他的记住角是一百八十度，减去二法，因为是射线，所以加上整数倍的三百六十度。有关与中边相同的角的集合该怎么样来做呢？通常情况下，用 一个假二法表示中边所在的位置，就是一个确定的度数，也可以是集合，现在我们学的是确定的度数，在后边我们可以学到集合有关假二法的一个中边表示， 在此基础上再加上整数倍的某个度数，这个度数呢，看是中边转多少度到下一个中边。为什么说十二线是加上整数倍的三百六十度呢？因为你看一下 这里是耳法的度数，那么再转到这边的话，是要多转了一个三百六十度，所以加上整数倍的三百六十度。 为什么直线的时候是加上一百八十度呢？这边是阿尔法度，那么转到他下一条中边的时候呢？是不是尔法加上一百八就行了？所以这样射线和直线加上整数倍的三百六十度和整数倍的一百八十度是这么来的。好，这节课我们就讲到这。

同学们大家好，现在给同学们更新的是高中数学人教 a 版 b 修第一册第五章的内容，从今天这堂课开始，我们将要学习到第五章三角函数。那咱们今天这堂课呢，首先要学习到的是五点一，任意角和弧度字。第一课时任意角。 首先我们来看到知识梳理知识一，任意角的概念，这个知识一呢，我们需要学习以下几点内容，第一点，角的概念。第二点，角的表示。第三点，正角，负角，菱角。第四点，两角相等，第五点，相反角。 首先我们来看到第一个概念，角的概念角可以看成是平面内一条射线绕着他的 端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形，对吧？同学们来看到这幅图首先有一条射线 o a， 然后它的端点是 o， 然后我们绕着它的这个端点，将这个 o a 呀旋转到 o b， 那么就形成了这样的一个图形，这个就是一个角。在这个图里边，我们需要掌握这几个概念， 第一个概念，角的死边，角的死边呢，指的是这个射线的起始位置，也就是 o a 角的中边呢，也就是射线转动的时候，它的中指位置 ob， 我们把它叫做角的中边，而这 个角的顶点也就是射线的端点，就是我们的点鸥。那这个角怎么样去记他呢？ 这个角阿尔法，我们可以把它写成这个样子，叫阿尔法，也可以直接把这个符号给他省略掉，直接写成阿尔法，那有些时候呢，我们也会把它写成角 a o b。 好这两块内容呢，老师就不再细讲了。接下来我们来看到咱们的重点，就是我们的第三点，正角、负角、菱角。 首先我们来看到正角的定义，既然这个角呀，他是旋转所形成的图形，那旋转的时候就会有方向了，对不对？所以呀，咱们的这个正角负角菱角，他 就是按照旋转方向来分的。好，正角是这样来定义的，按照逆时针方向旋转所形成的角就是正角。比如咱们的这幅图，它的死边是 oa， 中边是 ob， 他旋转的方向已经用箭头标出来了，是逆时针方向，所以此时咱们的这个角 aob， 他就是一个正角。 如果这个时候这个角我把它记为阿尔法，还告诉你，他是逆时针旋转了三十度。哎，那此时这个角阿尔法他就等于正三十度， 这个正号我们通常呢省略不写。这个时候请同学们注意了，我是告诉你他逆时针旋转了三十度，对吧？好， 他旋转了三十度，落到 o b 这个地方。好，这个时候假如同学们他继续旋转这个方向，注意，我沿着这个方向继续画，他再旋转 一圈，回到了这个地方。好，那这个时候你们说这个阿尔法还是三十度吗？就不是了，本来一刚开始他是三十度，然后他又旋转了一周之后， 他就不再是三十度了，而是在三十度的基础上多了三百六十度，因为他旋转了一周一圈嘛，对不对？就是多旋转了 三百六十度，那这个时候的阿尔法就不再是三十度了，而是三十度加三百六十度，也就是三百九十度。 此时这个角阿尔法依然是一个正角，因为他始终是逆时针旋转的好，同学们，再比如他继续旋转，注意了 看这个方向，他没有停，他继续旋转，再旋转一周，回到这个地方，那这个阿尔法他又在三百九十度的基础上又增加了一圈，也就是三百六十度，那就是三百九十度加三百六十度，也就是 七百五十度。好了，这个呢，就是正角的概念。那负角呢？我们就是把按照顺时针方向旋转所成的角，就把它叫做负角。 同学们来看，这幅图，四边是 o a， 然后是顺时针方向旋转，中边是 ob， 此时这个角 aob 就是一个副角，我们把它借为角阿尔法吧。好，这个阿尔法他就是一个副角。同理，如果我告诉你他旋转了三十度，那这个时候阿尔法 他就等于负的三十度，这个负号不可以省略，你体现了他是一个负角，对吧？好，假如呢，他没有停止到这个地方，他没有停止，他继续旋转，再旋转一周回来， 那这个时候阿尔法等于多少呢？好，注意，他旋转的方向依然是顺时针，顺时针他旋转了一圈之后，是不是就是在负三十度的基础上，又负了三百六十度，对不对？所以这个时候的阿尔法他就等于负 负的三百九十度。好，如果他转到这个地方还没有停止，他继续在旋转一周，那是不是又是在负三百九十度的基础上又负了三百六十度，那这个时候阿尔法他就等于负的七百五十度。 这个呢，就是正角和负角的概念，以及我们如何去表示他。通过这两个概念，其实我们就可以看到了，这两个箭头， 他的方向是非常关键的，因为他的方向决定了这个角是一个正角还是负角，对吧？因此我们在表示角的时候，箭头的方向我们是不可以省略的。好，接下来我们来看到第三种角，就是菱角 射线，从起始位置 oa 没有做任何旋转，注意第一个关键点， oa 没有做任何旋转，中指位置 ob 与起始位置 oa 重合， 这个是第二个关键点，同时满足这两个关键点的角，我们把它叫做零度角， 又称为菱角，一般呢我们就直接讲是菱角啦。好比如咱们的这幅图，它的起始位置 o a 没有做任何的旋转， 它的中指位置 ob 与 oa 是重合的，那这个时候咱们的这个角，我们把它记为阿尔法，它就等于零度，它是零度 负角。我们在学习了这个表格之后，咱们就知道这个旋转的方向是非常重要的，直接决定了他是正角，负角还是菱角。 那这个时候如果咱们要衡量两个脚他是相等的关系，那这个方向肯定是必不可少的一个重要因素。好，接下来我们来看到第四点，两脚相等 角阿尔法由射线 oa 绕端点 o 旋转而成。角贝塔由射线 o 一撇 a 一撇绕端点 o 一撇旋转而成。如果他们的旋转方向相同， 并且呢旋转量相等，那这个时候我们就称阿尔法是等于贝塔的。 这段话是什么意思呢？现在给同学们仔细的解释一下。同学们来看到这幅图， 如果我告诉你这个阿尔法他是如何构成的呢？他是由这个射线 oa 绕着他的端点 o 顺时针旋转了三十度而成的角，那此时这个阿尔法他就等于负三十度， 它是顺时针旋转，因此这个地方是符号好旋转了三十度，这个三十度它就是旋转量。 现在我又给到一个角角贝塔，他是如何构成的呢？他是由这个射线 o 一撇， a 一撇，绕着端点 o 一撇，同样的是按照顺势 时针方向旋转，也是旋转了多少度呢？三十度，那这个时候就构成了咱们的这个脚贝塔，此时你的这个贝塔他也是等于负三十度的，因为他的方向也是 顺时针方向，它的旋转量也是三十度，那这个时候呢，我们就说阿尔法和贝塔是相等的关系， 那总的来说，两个脚要相等，必须要满足旋转方向要相同，旋转量要相等。 接下来我们来看到括号五相反角，我们把射线 oa 绕端点 o， 按照不同的方向旋转，拉相同的量，所成的两个角， 我们就把它叫做互为相反角，他的这个系法类似于相反数的系法，叫阿尔法的相反角，我们就把它系为负阿尔法。比如这个负角负三十度，他的相反角就是正角 三十度，这个三十度可以怎么来呢？其实呀，就是在负三十度这个整体的前面添一个符号，就变成了正三十度吗？ 讲到这个地方呢，咱们简单的给同学们提一下角的运算，比如我现在给的一个角阿尔法，他是一个正角三十度，然后给他一个角贝塔，他也是一个正角十度。好，那这个时候咱们的这个阿尔法加贝塔显 就是四十度吗？对不对？好，从图像上来提现。同学们注意看了，我首先把这个阿尔法给他画出来，他是由这个射线 oa 逆时针方向旋转了三十度所构成的角，这个角他就是角阿尔法他是等于三十度的。好，在这个基础上还要加十度，那还要加十度的话，这个时候我们就把他的这个中边 ob 再按照逆时针方向旋转十度。好，假如落到 o c 这个位置，此时这个角他就是贝塔吗？对不对？这样一来的话，他们俩一加阿尔法加贝塔就是最大个角， 那这个时候 alpha 加贝塔就等于四十度。如果这个时候我让同学们计算的是 alpha 减贝塔，好了，注意， alpha 减贝塔的话，和咱们的时速运算是一样的， 减去一个数等于加上这个数的相反数，那同理这个地方减去一个角，就等于加上这个角的相反角， 也就是负贝塔。现在我把这个角阿尔法画出来，他是等于三十度的，这个时候我们来看贝塔等于十度，那么负贝塔他就等于负十度，此时我要加上的是一个负角，而负角他是顺时针 旋转，那这个时候我们就将这个 o b 它顺时针方向旋转十度就可以了。好，注意，顺时针方向旋转十度，假如落到 o c 这个位置， 这个时候咱们的这个角他就是负贝塔，那这个时候呢？阿尔法减贝塔就是最终得到的这个角角 aoc， 也就是阿尔法减贝塔，他就等于正的二十度，他是一个正角。 这个地方要给同学们讲一下，老师呢，通过画图呢，是想让同学们知道，从图上我们要这么来理解，我们真正在算的时候，不需要去画图，就类比实数的运算来计算就 可以了。好，接下来我们来看到注意的这个地方，括号一角的概念推广之后，那么角的范围就不再限于我们初中所讲的零度到三百六十度了。 来看第二点，确定任意角的度数，关键看中边旋转的方向和圈数。 举个例子，比如说现在有一个角，他是这样来形成的，是将这个射线 oa 作为死边，然后呢，顺时针方向旋转一圈， 好构成了一个角角阿尔法，此时他旋转了一圈，对吧？又是顺时针方向，那这个阿尔法就等于负的三百六十度。再比如这个 个 o a， 他是逆时针先旋转一圈，然后继续旋转四十五度， 那这个时候这个阿尔法他是一个正角，他是多少呢？就是三百六十度，再加四十五度，因为他先转了一圈，然后又转了四十五度，都是逆时针方向，所以此时呀，这个阿尔法实际上就是四百零五度。 好，接下来我们来看到第一小点，表示角是箭头的方向，代表角的正负， 因此箭头不能丢掉。这个我们刚刚在讲正角负角的时候就已经强调了。来看第二小点，当两个角的死边相同的时候，若两角相等，则中边一定是相同。 注意，前提条件是这两个角的死边是一样的，但是反过来说，中边相同，而这两个角呢，就不一定相等了。 举个例子给同学们看一看。现在我将这个 oa 逆时针旋转三十度。好，如果他落到 ob 这个位置，此时这个角，我们把它记为阿尔法，那这个时候阿尔法他是一个正角，他是等于三十度的，对吧？ 此时贝塔是这个角。好，那这个时候我们可以看到这两个角的死边都是 oa， 中边都是 ob， 但是这个时候贝塔他是一个负角，他是等于负的三百三十度的。同 学们呢，把这幅图画在这句话的旁边就可以理解了。好，接下来我们来看到第三点，死边和中边重合的角不一定是菱角。 刚刚讲菱角的时候就已经强调了两个关键点，只有没做任何旋转，并且使边与中边重合的角才是零度角，简称菱角。同时也可以举一个返利给同学们看一看。好比如我现在给到这样的一个角， 它的死边是 o a， 然后没有做任何的旋转，并且呢，它的中边 o b 和 o a 是重合的，此时这个角它就是一个菱角，对吧？菱角的话就是零度嘛。那 如果你的这个死边 o a， 它是逆时针旋转了一圈之后，哎，回到 o b 这个位置就是刚好重合了，那这个时候你看它的死边 o a 和中边 o b 就是重合的， 此时这个角不是菱角，而这个角的大小是正角正三百六十度，所以死边和中边重合的角不一定是菱角。 好了，同学们，由于时间关系，那么今天这堂课就给同学们讲到知识一，然后下一堂课开始呢，再给同学们讲这个知识二。

我们一起来做这道题啊，题目呢，告诉我们阿法和贝塔的都是锐角，然后上的阿法和口上的阿法加贝塔的盒了啊，题目也给我们了， 第一问是要求扣上二阿法的值，那这个呢，是考察的同学们对二倍角公式是不熟悉啊，因为扣三眼二阿法，它是可以展开成一减去二倍的三眼阿法的平方。好，那三眼阿法的题目是告诉我们是五分之四啊，所以我们就把五分之四带入进去，好 好，然后接下去把它答案算出来就可以了， 最后算出来应该是负的二十五分之七啊，看好，这是 第一问啊，会比较简单啊。然后第二问，第二问呢，是要求这个脚背塔的正弦指啊，题目呢，只给我们阿法还有阿法加贝塔的和他的三角函数啊，他是没有给我们脚背塔的三角函数的啊，所以我们应该要思考啊，怎么样才能利用题目条件给我们的阿法， 还有这个阿法加贝塔的盒啊，构造出角贝塔出来了，这个同学们应该能想到啊，因为贝塔的应该是等于阿法加贝塔的盒减去阿法啊，所以题目要求的这个 sin 贝塔啊啊，他其实就是 sin 这一坨东西。 ok， 好了，现在的同学们把这个阿法加贝塔看作是一个整体，那这里我们就可以用两脚和插公式把它 展开展开了，就是沙眼阿法加菲塔乘以口三阿法 得到了这个柿子啊，展开来之后，好，我们观察这个柿子，然后会看到了在这个柿子里面抠赛阿尔法加菲塔了，题目已经给我们了，然后赛尔的阿法啊，题目也给我们了，但是啊，这个公司前面啊， 前面这两部分呢，沙眼阿法加贝塔的盒，还有这个口塞阿法都没有啊，都是让我们自己去算的。好，那怎么去算呢？比如这个口塞阿法， 我们就可以根据这个三啊法是五分之四啊，用同角三角函数的基本关系来算啊，之一老师写在右边啊， 我们可以用 啊，这一个同角三角函数基本关系那因为沙眼拿法了，题目已经告诉我们是五分之四啊，谁在拿法方，那就是二十六分之十六， 然后我们把这个扣上，把法方算出来二十五分之九。好， 那接下去呢，可以得到啊，扣上阿法应该是正负的五分之三是吧，但是呢啊，题目是有告诉我们啊，阿法和贝塔都是锐角来的啊，都是锐角啊，所以阿法是 大于零小于二分之拍的，所以扣三的拉法呢，他应该是正的五分之三呢啊，负的五分之三呢，应该是要舍掉了啊，应该是要舍去的， ok， 好，这样子我们就可以把这个口上阿法算出来。好了，还有一个部分呢，就是我们还要算这个沙眼阿法加贝塔，还要算这一个，这个的话呢，我们可以利用 扣上阿法加贝塔的核啊，利用这个条件来算啊，其实也是用同角三角函数的基本关系啊，因为这个角是阿法加贝塔，这个角呢，也是阿法加贝塔，对吧，他们两个角是一样的啊，所以也是用 同角三角函数基本关系这样子来算。好了，题目呢，是告诉我们这个库塞尔的阿法加贝塔是负的五分之根号五啊，啊， 这个就是负的五分之根号五的平方啊， 嗯，然后就啊把这个算出来，这个数的平方应该是二十五分之五，那就是五分之一啊， 好，那么就可以得到 这个 sin 阿法加贝塔的核的平方呢，是五分之四。好 啊，那如果接下去算的话呢，应该是杀人阿法加贝塔啊，应该是等于正负的根号下五分之四，但是呢，我们刚才已经啊看过题目条件了，因为这个阿法是锐角， 这个贝塔呢，也是锐角啊，所以阿法加贝塔啊， 他应该是大于零小于拍的啊，就是零度到一百八十度之间啊，那就是第一或者是第二象线啊，那他的腮眼啊，这个角的腮眼痣应该是正的啊，所以腮眼 然后放加上贝塔的盒啊，应该是等于正的正的根号下五分之四。好，那整理出来啊，应该是五分之二倍根号， ok， 好，那现在呢，我们需要的啊， 这个柿子啊，里面啊，他需要的啊，这些树呢，我们都已经知道了，然后就把它带入进去就好了。这个沙眼阿法加贝塔啊，刚刚算过的啊，它是五分之二倍跟好五八乘以 cocyan 的阿法啊，高山阿法是在上面算的，在这里啊， 五分之三啊，五分之三，然后减去这个扣三，要拿法加肥，它就是负的五分之跟二五啊， 然后上海的阿法啊，五分之四，这是题目条件，然后呢，我们就把它算转二十五分之六倍，跟号五减去 负的二十五倍，四倍更好。五啊，加起来是二十五分之十倍更好。五，好，那最后得到啊，化解出来应该是五分之二倍更好，五， ok， 这个就是最后的答案。

哈喽，大家好，这里是 jason， 今天我们来讲一下五点一任意角和弧度指， 我们首先来看一下任意角的一个概念啊，啊，我们规定一条射线绕其端点啊，逆时针方向啊，旋转行程的这个角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有做任何的旋转啊，那么他就是一个菱角 啊，那什么意思啊？比方说我们这样画一条射线，比方说以这个为端点啊， o 点，这是 a 啊啊，这条射线如果按照逆时针的方向转了一定的角啊，比方说转到这里好，那么这个角的话啊，这个角二 法就称之为是一个正角，那么如果这条射线往下转啊，转到下面表示这个角是贝塔，那么这个贝塔啊，就是一个负角，那么如果这条射线他没有做任何旋转啊，就称之为是一个菱角啊，这的话啊，就是一个角的概念啊。 好，让我们再看一下下面这个图啊，他说这个图啊，五点一点，五点一杠三啊，一中的角是一个正角，他的角的话等于七百五十度 啊，这个和我们初中学的有点不一样，初中的话只有零到三百六的，现在他超过三百六了啊，那么这个角的话，他是怎么形成的啊？ 他原本啊有一条射线 oa， 那么 oa 绕着这个点 o 逆时针讲转了，讲转了一圈多啊，然后这个到了 ob 的位置啊，那么这个角的话就可以是七百五十度啊，这条 oa 的话称 之为是始边啊，就是他开始的地方啊，然后 b o b 的话就是一条中边啊，就他到最后结束的地方啊，好，然后后面这个啊，正角二法他等于了二百一十度，就这个蓝色的部分， 蓝色的部分它等于二百一十度，后面负角贝塔它等于负的一百五十度啊，杆码的话是等于负的六百六十度啊， 啊，这个的话啊，就是一个任意角的一个概念啊啊，然后他这里总结了一下啊，这样我们就把角的概念啊推广到了任意角，就是不管是正的还是负的，有没有超过三百六十度啊，他都可以表示出来啊，都是一个角，这个的话叫做任意角。 好，然后你会发现啊，呃，如果这边啊，它的始边是 o a， 中边是 o b 的话，它这个角不一定是等于七百五十度的。比方 说我刚开始这样转一定的度数，要从这里转到这里，你会发现他屎边在这个位置，中边也在这个位置啊，然后如果是到了这里之后，他又转了一圈，那就多转了一圈啊，还是到这个位置，那么他的中边和屎边他的位置也是一样的， 那就说如果这条死边固定了中边的位置固定，那么他的角度的话，他可以是不一样的啊， 好，那么这里啊，如果他们啊这边还有一种啊，如果他们的旋转方向相同，并且旋转量相等，那么就称之为这两个角是相等的， 就必必须他转的圈数他也是一样啊，这样的话，我们才能称之为这两个角是相等的，如果单独说死边和中边他是一样的，那么他就不一定相等了。 go， 然后那么这里啊，有一个 总结，他是一般的啊，所有与角二法中边相同的角，连同角二法在内啊，可以构成一个集合，那么把这个集合啊，就写成这个样子， s 啊，等于贝塔，贝塔的话等于 a， 加上 k 乘上三百六十度啊，这里 k 的话属于一个整数啊， 啊，就是刚刚的意思啊，比方说啊，十边在这个位置中边他在这个位置，那么这样转过来，比方说这个角是阿尔法，那么如果他多转了一圈，那你会发现他其实就是阿尔法加上一个三百六，那如果再多转一圈还是回到这，那么他就是阿尔法去加上两个三百六十度 啊，乘个二啊，所以的话，这里写二把加乘上这个三百六乘上 k 啊，那么这个 k 的话，它可以是正的，也可以是负的啊，就它反过来转也可以啊，就表示反过来啊，转到这个位置，或者在 转多转一圈啊，回到这个位置，那也是可以的啊，所以这里 k 啊，它是属于 z 的啊，这个的话就是一个任意角的一个表示啊，我们再看一下下一个啊，下一个知识点叫做角度值和弧度值， 那我们知道啊，角可以用度为单位来进行度量啊，就比方说刚刚说的啊，二百七十度啊，三百六十度啊，这些都是用度来度量的，那么一度的角就等于周角的三百六十分之一 啊，因为整个圆啊，他是三百六十度的，那么每一度的话占了三百六十度的分之一， 这样的话啊，这个的话就叫做角度值啊，就是我们的单位是度啊，那就角度值啊。然后接下来的话又讲了一个叫弧度值啊，那么弧度值是什么意思啊？我们来看一下这个啊， 如图五杠一啊，五点一杠九啊，这个图，他说射线 oa 啊，绕着这个端点 o 旋转到 ob， 形成了一个假二法， 然后在旋转的过程中，射线 oa 上的一个点劈啊，他的轨迹的话是一条圆弧啊，那么这条圆弧对应的圆心角是阿尔法， 好，然后是阿尔法是 n 度啊， op， 是啊，那么这个圆弧的长啊，写成 l， 那么由初中的这个知识啊，就是 l 等于一百八十分之恩派啊， 就这个是一个弧长公式啊，好，然后把这个弧长啊去除上了一个啊，就 l 去除上了一个啊，那么它就相当于本来是 n 派啊，然后一百八除了嘎的话，分子分母同除了一个，我们用个红色的字，这样同除了嘎之后，那么这 两个二就可以约掉了，他就变成了一百八十分之 n 派， l 除长二好，然后的话，那么就可以发现啊，这个圆心角阿尔法所对的弧长与这个半径的比值只和阿尔法的大小有关 啊，也就是说啊，这个比值随阿尔法的确定啊，唯一确定就阿尔法在变，那么这个就在就在变了， 然后的话，就可以通过这个圆的一个弧长与半径的关系啊，来度量一个圆形角， 就角的话，不用度数来表示了，是根据这个 l 和 r 的关系来表示啊，那么这个时候啊，我们就有一个特别的规定，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度啊，就是比方说有这么一个圆啊， 这边画了一个就不画了，这边有一个圆，如果有一个圆弧的长，就表示这段蓝色的弧长啊，他所对的这个圆心角， 这，这应该是这样，这边的弧长，我们用个红色的来表示，这段红色的弧长和半径长，如果是一样的啊，那么这个弧长所对的这个角度就称之为是一弧度，就有一个圆里面。如果我这样画一条半径 啊，这边又画了一段弧线，这段弧线和这段半径啊，如果是一样长的，那么这段弧所对过来的这个角 alpha 就称之为是一弧度啊，我们写的话就写成 e、 r a d， 这个就读作一弧度啊。 然后还有个特殊的，就是把半径为一的这个圆称之为是单位圆，半径为一啊，叫做单位圆。 好，然后根据这个规定啊，那么在半径为 r 的圆中弧长 air 啊，弧长为 air 的弧啊，所对应的这个圆心角就是 alpha ad 啊，那么有这么一个公式啊，这个 alpha 的话，它就是等于 air 去除上 a 的啊，这个的话就是一个弧度值啊。 好，然后具体的话啊，我们一般的话就是直接把这个 pad 写成一百八就可以了， 因为根据这样一个啊，这个角度的话，就是如果是这样一个半圆啊，他是一百八十度，那么他连出来的话，应该是刚刚好有这样三个半径，就这边一个二，这边一个二，这边一个二，然后 这边的话他会多出一段啊，多出一点，那么刚好就是一百八十度，他是等于派的，因为派的话，他是三点一四多一点点啊，后面的这个多出来的这部分，其实就是这个零点一四多一点啊，所以我们只要记得这个一百八十度，他刚好是等于派弧度啊，就可以了， 那我们具体再来，下面再来看一下啊，就这个公式啊啊，这边写了一个公式啊，一百八十度，他就等于 pad 弧度啊，然后的话，那么就是有一个角度制和弧度制的一个换算啊， 方算的话，就这边写了一度等于一百啊，派去除上一百八一弧度的话，等于派分之一百八，那这里其实我们只要按照比值来算就可以了啊，因为一百八十度他 是等于派的，那比方说如果我要表示六十度，那么他应该是一百八的三分之一啊，所以他就等于三分之派啊， r a d 啊，就弧度单位啊，可以写上 啊，当然也可以不写啊，这两个的话，他就是相等的，比方说你要表示一个九十度啊，那么是一百八的一半，所以他就是二分之派。弧度啊，这就是弧度和角度的之间的一个转化。 让我们来看一下这个思维导图啊啊，需要的同学可以截个图。 好，然后我们来具体的看一下例题啊。第一个，任意角的一个概念，下列说法正确的。是啊，第一个，中边相同的角相等啊，那这个肯定是错的啊，因为中边相同的话，他可以赚好 多好多圈啊，他的位置也可以一样的，但是他角度不相等，比选项相等的角中边相同啊，那这个肯定是对的，角度一样大了，中边肯定有 c 选项小于九十度的是锐角，如果是初中阶段，那就对的啊。但现在的话，因为他有负角，比方说负二十度，那么他就不是锐角，锐角应该是零到九十度之间啊， 然后第啊，第一象线的角是正角啊，那我们可以画一下啊，第一象线的角，那么这个角应该在这边啊，就他可能是这个角二法，那么也有可能是这样转一圈之后，他的这个中边啊，在第一象线 啊，那么所以的话，这里应该不对啊。啊，那这里的话就出现了一个象限角的概念啊，啊，当这个角的中边在第几象限， 他就是第几象形角啊，比方说你画出来啊，这个角度中边在第二象形，那么他就叫做第二象形角，角度中边在第三象形就是第三象形角啊，第四象形就是第四象形角好，再看例二啊，下列说法正确的是哪一个？ 如果阿尔法是第一项线脚，那么这个负阿尔法就是第四项线脚啊，那这个的话应该是对的。就阿尔法的话 啊，比方说他现在阿尔法他在这里，那么负阿尔法应该是刚好和他相反的方向旋转，那么转过来这段他就是负阿尔法，就算你多转了一圈啊，他的位置应该也是一样的 啊，所以 a 选项是对的啊，再看 b 选项，如果阿尔法北塔是第一象形脚，且阿尔法是小于北塔的啊，那么这个正弦和余弦它的关系是 什么啊？这里的话，我们可以取个特殊字啊，比方说二法取一个三分之派哎，就是六十度 beta 的话，取一个四分之九派好，然后我们算一下它的正弦和余弦啊， 就是上面这个六十，呃， sun 的六十度，那么它应该是这样子啊，六十度对过来，它应该是二分之根号二， 二分之根号好，二分之根号三好，然后下面这个的话，他应该是这样转了一圈多一点， 就应该是二派去加上了一个四分之百，相当于他现在是这样，这个脚应该是四十五度的时候，然后他多转了一圈， 这样多转了一圈啊，回到了这里，那么实际上我们算的就是三四十五度啊，那么三这个四十五度的他等于二分之根号二啊，所以这个就错了。 好，然后 c 选项，若角阿尔法是锐角，则角二阿尔法一定是钝角啊，那这里肯定不对啊，阿尔法比方说三十度，那么两倍的阿尔法，它就等于六十度啊，它都是锐角，所以 c 错了。 d 选项，角阿尔法等于两倍的弧度啊，两倍的弧度的话， 那么一百八十度它是等于派弧度啊，那么两倍的它应该是在这个位置啊，就这个角它就是二法，所以第四个应该是对的啊，所以选 a d。 那么再看题型二，坐标细中还调的概念及其表示。 角度一啊，就是中边相同的角与二零二二中边相同的角是多少啊？那么这个角的话，我们怎么样去拆啊，我们就看它有完整的几圈啊，就可以写成 alpha 加上 k 乘上三百六这种形式， 我们把这个完整的一圈给剪掉啊，那么二零二二的话，可以把它啊给拆开了，拆成五乘以三百六，去加上二百二十二度啊，那么这个就是一个完整的圈啊，所以我们只要看后面的这部分就可以了， 那就相当于现在有这么一个角度，然后转了这些完整的圈，这些圈数我们可以把它剪掉啊，所以这里答案选的就是 d。 再看角度二，中边在某条直线上的角的集合 啊，这里中边落在直线 y 等于根号三 x 上，它的一个角的集合是多少啊？那么 y 等于根号三 x 啊， y 等于根号三的话，就是它的一个正确值啊， 啊，这边的话应该是一根号三二，所以这边这个角度他应该是等于六十度的啊，那等于六十度的话，他应该就是，呃，三分之派啊。好，所以的话，这里我们选择的是 b 选项啊，三分之派的，这里有三分之派 啊，然后是 k 去加上这个三分之派呢？还是二 k 派去加上三分之半 k 派的话，那么相当于是加了一个一百八十度， 这边的话加了一个三百六十度啊，那么其实加一百八十度就可以了，就转一百八十度，他这条线还在这个位置，因为这是一个中心对称图形啊，所以将转一百八十度之后，那么他这根线还是同一条啊，所以的话选的是 b， 那我们再看看角度三啊，这种是阴影部分的一个啊，区域角度问题 啊，这个集合啊，这么一个，他的研究对象的话是二法，也就这个角，他说这个角啊，角中所表示的范围是哪一部分啊？他这里是啊，首先我们单独的看啊，这个二法大于四分之派， 大于四分之派的话，应该就是大于了四十五度啊，那么大于四十五度的话，我们可以大致上画一点，比四十五度要大，那么 取一个中间的部分啊，大于四十五度的，只要我这个角阿尔法超过了这根中边啊，超过了这根中边啊，那么他就是大于四十五度的， 那么我画个红色的啊，就比方说如果这个角在这个位置啊，那么他就可以了啊，但是他的要求还有一个啊，就小于了二分之拍，那二分之拍应该是九十度啊，那么也就是说小于了这个一个直角，那么也就说我需要的是这一部分啊，另一部分就这个红色的部分 啊，然后前面他又加了一个 k 牌啊，这边也加了 k 牌，那也就是说多转了一百八十度啊，那么在这个的基础上，相当于把这个红色的阴影部分顺着啊逆时针转了一百八十度啊，那么转一百八十度之后啊，你把它这样反向延长过来就可以了，也就是 在这边啊，所以的话，这里啊，答案应该选的是 c 选项。好，那我们再看一个啊，提醒三啊，确定 n a 即 n 分啊，就 n 二法和 n 分之二法的中边所在的一个象限 求，这的话就是一个倍数角的问题啊， n 倍的二法就是比如二法，原来啊，比如说等于二十度，那么 n 倍的二十度，他在第几角线啊，下面的话，就是一个几分之几的问题啊啊，然后已知二法是一个锐角，那么两倍的二法啊，他的话应该是什么角？ 因为 alpha 是略角，所以 alpha 它应该是要在零到二分之派之间。 零到二分之派啊，那么两倍的二法啊，我就在这个基础上去乘个二就行了，也就是零到派之间，那么零到派之间的话， 他应该是选的应该是 c 选项啊，就小于一百八十度的一个正角，因为第一项线角的话啊，他有可能是好很大很大的角，就是比方说二十度啊，我再去加一个三百六啊，那也是可以的， 对，但它就不是锐角了啊，然后这个第二下线角的话，那么它只包含了九十到一百八十度之间的啊，当然加上三百六也可以啊，然后 c 选项的话，就刚刚好是零到排之间， 嗯，然后第七，若二法为第一象限角，则二分之二法，它是第几象限角啊？那二法是第一象限角，那么它应该啊表示为是二 k 派啊，去加个零啊，然后小于了二 k 派，去加上一个 二分之百，也就说你画出来的话，他应该是在这一部分啊，在这个位置，那么也就说他应该大于零度，然后小于九十度，那么加了个二 k pad 之后，相当于多转了一圈，就本来是在这里多转一圈之后，那么他还是在这里 好，那么二分之二版啊，我直接对于这个整个不等式啊去出杆。大于那么 k 派啊，然后小于了 k 派，去加上了一个四分之派。 好，那么这个时候的话，我们就要看一看啊，他到底是在第几项线的前面的，这个的话，他啊，你可以把它看成加上零啊，我单独的画一下啊，比方说这个是 零，零在这个位置，然后四分之派，那么是四十五度的位置，在这个位置啊，但是他前面加上的是 k 派啊，比方说如果在这 根线上，那么我加上 k 牌，应该转到了这个位置。好，那么他横着的加上 k 牌，他应该是转到了这个位置 啊，那所以的话啊，我们取的部分应该是这边这部分和原来的这边这部分啊，两个蓝色的阴影部分啊，所以这里应该是第一象限和第三象限交啊，那所以答案选 d， 我们再看题型四啊，弧度值的一个概念，如果这个角二法啊，他等于了负五 id 啊，则这个角二法他的中边在第几项线啊？那么前面说啊，这里的话应该派啊，他是刚好是等于一百八十度的，我们看一下这个 负五他应该是多少啊？负五的话，我们先要看一看，他应该是这样逆着转的，就啊，顺 顺时针转啊，往这样往下转，如果转到这边啊，他就是一个派，那一个派的话，他应该是得三点一四多一点好，那负五个派的话，那肯定是超过了三点一四的好，那么应该还要继续往往下转好，那么转到这个位置的话，他应该是二分之三派 好，那二分之三派的话，应该超过的啊，因为三点一四的一半，他应该是一点七多一点，就一点一点五多一点，那一点五多一点，这两个加一加的话，那三点一四去加上一点五，他五还没到了，所以还要往下再转一点 啊。但是转的话，他应该没有转到二派，因为二派的话，他是要六点多了，他只有负五啊，所以的话，他转过来应该刚好在这个位置啊，那么他应该在第一象限 好，然后看 t 型五啊，角度与弧度的一个互换啊。下列结论错误的是哪一个？ a 选项把负的一百五十度画成弧度啊，是这么多，这里的话，我们可以直接套公式啊，负的一百五十度去乘上一百八十分之拍 啊，那么他应该等于负的六分之五啊，所以这里应该错了啊，然后 b 选项， b 选项啊，也也可以啊，直接套公式，负的三分之派啊，去乘上一个派，分之一百八啊，那么他应该等于负六百 啊，所以这个是对的啊，这里选错的，我们就选 a 就可以了啊，那么 d 啊， c 选项的话， c 选项比较麻烦，他是一个读分秒的形式啊，所以我们先把它转化一下，写成六十七点五度啊，去乘上一百八十分之判。 好，那么把它约个分啊，它应该八分之三排啊，所以它是对的啊，然后 d 的话，十二分之派去乘上一百八十啊，除上派，那么它是等于十五度的啊，所以这是对的。 看第六题，用弧度啊，表示角或者是它的一个范围， 若角二法的中边与这个函数 f x 等于了 x 减一的图像相交啊，那么则角的集合是什么？好，那我们先画一下这个角， 好，先画一条这条线，负 x 啊，就 x 减一，那他们他应该是这样子的，这点是一，这点是负一啊，好，然后角的中边与这个函数图像相交啊，中边相交， 那么像这个样子啊，他就相交的啊，那什么样子会不相交？不相交的话，应该就是平行的时候啊，如果这个角的中边和这条直线他平行，那么他就是不相交的啊，那么平行的话，这个角度啊，他应该是四十五度， 因为这边是一个等腰直角三角形啊，所以肯定四十五度啊，那四十五度的话啊，他应该就是四分之排， 那四分之 pad 啊，这边有这两个，它是四分之 pad 啊，然后的话，那么如果再转过来一点，反正转到了这边啊，那么它应该也是平行的 啊，中间转到第三下也是平行啊，也就在四十五度的基础上就加了一个一百八十度啊，就加了一百八十度啊，那么这里的话啊，他没有写成这种， 他都是减法，这个 c 和 d 这个选项里面，他都是减法，那减法的话，那相当于就是反过来转了，就是从这个 x 轴的位置这样反着转过来，那反着转过来的话，我应该转的是一百三十五度啊，那么一百三十五度的话，应该就是四分之三了， 四分之三派，然后又是因为它是顺时针转的，所以是负的啊，所以这里我们答案就选的是 c 选项。 好，然后我们看题型。七啊，弧长公式与扇形面积公式的一个应用 啊，这里半径是二厘米，然后中心角为三十度，他的扇形的弧长啊，那我们前面啊，他是二法，绝对值，二法，他是等于了 l 去除上二的啊，有这么一个公式 好，那么这里啊，直接把他带进来就行了，他要求胡躺，也就是求的是上面的这个 l 啊，那么 l 的话，应该就等于这绝对折二法去乘上一个二，也就是六分之派，去乘上二， 我们就等于三分之派啊，我们需要把这个三十度转化成六分之派，就把角度啊转化成弧度，然后套到这个公式里面，所以啊，答案他就是三分之派。 那我们再看第十三题，如图，上环 a、 b、 c、 d 中这个弧 a、 d 等于四， 然后弧 b、 c 是等于二的啊， a、 b 等于 c、 d 等于一，则这个上环的面积是多少啊？那我们算它的面积的话，应该就是二分啊，应该两个面积减一减， 就 s a， o， d 却减去了 s b， o b， o c 啊，那么就是套一下这个面积公式，二分之一 l r， 二分之一的 o、 a 的长啊，就是半径去乘上它的一个弧长，再减掉一个二分之一的 o， b， 去乘上一个 b、 c 的弧长，那就是二分之一 a， r 这个公式啊 啊，然后的话把数据带进来啊，二分之一 o， a 的话去乘上了二， a、 d 的话是互乘，是四啊，然后减去二分之一 o， b 是等于了一啊， b c 的话它是等于二啊， 所以直接套起来啊，答案的话就等于三。好，那我们今天啊就讲了一个任意角和弧度字，如果喜欢的话，请记得给我点个三连。

这节课我们一起来学习任意角的三角函数的第一。首先我们先来复习一下初中阶段我们所学习的三角函数的第一 分阶段。角的范围是零度到三百六十度。假设这个角是阿法，这个角是九十度，那么这是阿法的对边，这是阿法所对应的零边，这是这个直角三角形的斜边。 单引耳法的指呢，是等于对边笔上斜边。可相应耳法的指呢，是等于零边比上斜边。而抬进的耳法的指呢，是等于对边比上零边的。是这样的一个情况。而现阶段我们要学习任意角的三角函数的定义， 这阿法是一个任意角，阿法是属于实数，他的中边与单位圆交于点， p、 p 点坐标呢是 x 和 y。 所谓单位圆，也就是这个圆，他的半径是为单位长度 一，你看圆的半径是单位长度一，从 a 点我们也可以看出来。那么根据这样的一个情况，我们可以得出角阿尔法的三个三角函数值。 p 点的中坐标 y 叫做阿尔法的正写函数。相应儿法是等于外的。屁点的横坐标呢？ x 叫做阿尔法的余限函数，可相应儿法是等于 x 的， 而 p 点的中坐标比上横坐标，外比上 x 叫做阿尔法的正前函数。胎记的阿尔法是等于外比上 x， 因为 x 作为分母，所以 x 不能等于零。由此我们得出三角函数的定义，正弦与弦正切都是以角为之必量，以角为之必量。 以单位圆上的点的坐标或坐标的笔值为函数值的函数。单位圆上的坐标或坐标的笔值为函数值的函数，我们将它为统称为三角函数。这里 一点，他是与中边和单位元的交点。假设加阿尔法，他中间上另外有一个点，他点叫做 q 点， q 点的横坐标是 m， 中坐标是 y， 他没有与单位元相交，不落在单位元上。那么如果只知道这个点，能不能求出减二法的三个三角函数值呢？当然也可以怎么样来求我们做 q 点垂直于 x 轴，做屁点垂直于 x 轴。可以看出来，这个直角三角形和这个大的直角三角形，他们俩是相似的。 根据相似三角形对应边成比例，我们来看一下怎么样来求。那么这条边是一， 而这条边呢？他的横坐标是 x， 他的中坐标是外，他的重坐标呢是 n， 横坐标整个呢是 m 对应边， n 比上 外这条直角边，比上这条直角边是等于这条长的斜边。比上短的斜边是等于这个长的斜边等于多少长的斜边。根据直角三角形中 两指甲边的平方和等于斜边的平方，那么我们开根号 n， n 的平方加上 m 的平方，也是等于根号 m 的平方加上 n 的平方是没有问题的。是等于长的斜边比上短的斜边，短的斜边就是等于一 两个三角形相似，那么对应边乘比例，注意对应边乘比例，这里要加上绝对值符号，但是因为 n 和 y 他们俩在同一个象限，那么 他们俩的重坐标的值呢？是同号的，同号绝对值可以直接去掉。 n 就等于 n 比上 y 好， y 的值是等于多少？ y 的值是等于 n 比上根号 m 的平方 加上 n 的平方。上面有想三 e r 法的值就是等于 y， 所以三 e 儿法的值就是等于 n 比上根号 m 的平方加上 n 的平方 是等于 n 比上。这里由此我们可以得出科三应儿法的值是等于多少呢？是等于 m 是等于零边比上上边这条斜边根号 m 的平方加上 n 的平方。 胎记的耳法的值呢，是等于这条对边比上这条零边是等于 n 比上 m。 接下来我们做一下例子题，已知减二法的中边过点 p， p 点坐标是负二一，现在求下列三角函数的值。三廿二法和三廿二法以及胎记的二法 一点的坐标我们就知道了。根据刚才我们所说的做他的一个垂线，这里呢，他的只是一，这里呢是负二，那么他的鞋边 长是等于一的平方加上负二的平方，然后再开根号是等于根号五。三音 r 法，它的值是等于对边比上斜边三音 r 法 是等于一比上根号五，好是等于五分之根号五，我们把它揪出来了。口相应阿尔法的值呢？口相应阿尔法的值是等于零边比上斜边负二比上根号五，那么是等于负 五分之二倍。根号五好也把它揪出来。第三个胎形的耳法呢？胎形的耳法的值是等于对边比上 零边是等于负的二分之一。三个三角函数值我们求出来了，现在求他三倍三应平方，而法加上两倍胎记的二法，三应平方，而法他就是等于三应，而法括号的平方好，前面有个三倍，我们来算一下，是等于三乘上三应儿 法是等于五分之根号五，然后加平方加上二乘上胎记耳法，胎心的耳法是等于负二分之一，好，他们相乘，这里呢是五分之三，减去 一，那么是等于负的五分之二，求出他的值是等于负的五分之二，这是历史题，接下来我们看一下历史第二求下列个角的三个三角函数值，零派二分之三派零，这里没有度，所以他们三个都是弧度值，该怎么样来求呢？我们画坐标系 零弧度，他的中边刚好落在了 s 乳的正半轴，那么我们画单位圆，单位圆与他的中边的交点坐标，我们记为 a 点， a 点的坐标是一和零，那么我们得出 c a， 零是 a 点的重坐标 等于零，扣三以零呢，是 a 点的横坐标是等于一。胎记的零呢，是 a 点的重坐标比上横坐标零比上一，他是等于零的，所以我们求出三应零扣三零以及胎记的零的一个值。接下来我们看派的一个情况， 派的话，他刚好中点，中边与 s 轴负半轴是重合的，那么与单位元的交点我们称为 b 点， b 点的话， s 等于负一， y 是等于零，所以我们得出相应派，他是 b 点的中坐标，等于零 口。相应派呢，是必点的，横坐标是等于负一。胎记的派呢，是必点的，重坐标比上横坐标零，比上负一，他依旧等于零，所以派的三个三角收值我们也求出来了。最后我们来看一下二分之三派，二分之三派，他的中边 刚好落在了外轴的负半轴，外轴腹部自然轴与单位圆的交点呢，细点，他的横坐标是零，重坐标呢是负一。所以我们来看一下 相应二分之三派，他是细一点的，重坐标是等于负一的，可三应二分之三派，他是细一点的，横坐标等于零。看见二分之三派，他的 值是等于纵坐标比上横坐标，因为这里横坐标等于零，所以他的值是不存在。最后我们求出三引，二分之三派是等于负一，可三引二分之三派呢，是等于零。那么一定要注意， 角的中边如果落在外轴上，那么正确值是不存在的。不管是外的正半轴还是负半轴，他的正确值都不存在，因为这里他的 x 的值都是等于零，分母不能等于一。 我们给出一个表格，三角函数，正弦、余弦正切他们的地域，正弦和余弦地域都是二。但是呢，如果当 x 这里是一个角度的时候，这个角他不能等于二分之派。加上开派，也就是这个角的中边刚好落在外轴上的时候，是不可以的。 最后我们来做一下小结，这节课我们学习了任意角的三角函数。第一是阿尔法，是一个任意角，阿法属于实数，他的中边与单欧元交于点 p， x 和 y， p 点中坐标叫做阿法的正弦函数。三应儿法等于外 p 点横坐标呢，叫做阿尔法的余弦函数。可 c、 l 法是等于 x， p 点的中坐标比上横坐标，外比上 x 叫做阿尔法的正前函数。抬进的阿尔法是等于 y， 比上一个字 x 作为分母，所以 x 不能等于零。那么三角函数定义正弦、余弦正前 都是一角为之变量。以单位圆上的点的坐标或坐标底值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 另外，我们要注意正弦、余弦他们俩的定律都是全体输入，但是正切的时候他的角的中边不能落在外轴上，也就是这个角不能等于二分之派，加上 k 派， k 是属于整数。好，这节课我们就讲到这。

这里给大家补充一道题目，帮助大家理解这个象限。已知阿法是第二象线角，那么二分之阿法它是第几象线角呢？首先阿法是第二象线角，我们来看一下图， 他是不是从这里九十度到一百八十度之间的这个区域叫做第二向前角吧。我们给他表示出来是九十度啊，小于阿法，小于一百八十度，再加上什么 k 倍的三百六。 先把阿法给他表示出来，再来看二分之阿法，那么二分之阿法就应该小于，同时除以二是九十，加上 k 杯的一百八十度。好，这边左边是四十五度， 加上 k 背的一百八十度，一百八十度啊，一百八十度，他是不是应该是一个直线形成的区域吧。我们再把它给他画出来，假设 k 等于零，那么他就是四十五度到 九十度之间，就应该是这个区域的角。那如果 k 等于一的话，把四十五度旋转了，一百八十度是不是到这个位置了？把九十度旋转，一百八十度是不是到这个位置了？我们把这两条线给他描出来，是不是他形成的角在这里啊？ 好，所以二分之二法是第几项线角？是第一或什么第三项线角。这里要注意啊。因为题目没有取到等号，所以我们应该用虚线给他表示一下，不等式的问题，一定要注意边界哦。一百八十度是直线 形成的区域，三百六十度是射线形成的区域。大家一定要注意理解。那这里给大家留一道思考题，如果这个二分之二法改成三分之二法，你知道他在什么位置吗？

我们上面的课已经知道了什么叫做弧度字，但是你如果建立不了弧度与角度的一个联系，你学弧度字等于白学。接下来我们就通过几个题目去熟练一下。第一个，把角度和弧度啊互相转化，七十二度， 他就应该等于七十二，乘上一百八十分之 pi， 等于五分之二 pi 啊，这就给他画成了一个弧度，乘多少乘一百八十分之 pa。 第二个，负三百度，那么他就等于负三百，乘上一百八十分之 pa， 他就等于负的三分之五 pa。 注意啊，这里乘的也是一百八十分之 pa。 第三个，第三个，这个 r 呀，它没有度， 他就一定是弧度，弧度的 red 是可以省略的。两弧度等于什么呢？等于二，乘上派分之一百八十度，他就等于派分之三百六十度。我们乘的是派分之一百八十度啊。 第四个，负的九分之二 pa， 它显然也是一个弧度，它就等于负的九分之二 pa 乘上 pa 分之一百八十度， 就等于负四十度。我们乘的是派分子一百八十度。至于为什么要乘上这几个数据，有疑问的同学可以翻看前面的视频哦， 我们来看一下跟踪练习啊。已知啊，给了一些角度，让我们比较他的大小，比较大小之前，一定要把单位给他统一了，那么我们要动谁呢？这个是角度，这个也 角度，所以我们宁愿动少不去动多。我们先把这两个角度给它画成弧度，是 alpha， 它是等于十五度的，它等于什么？十五乘上一百八十分之 pa， 就等于十二分之 pa c， 他等于一百零五度，就等于一百零五，乘上一百分之 pa， 就等于十二分之七 pa。 那同学们来看一下这几个数据， 显然阿法最小，其次是白塔，然后是伽玛，然后是 say 塔。 say 塔呢，是等于 five 的。好，这里提一下 这个字母读作伽马，伽马射箭，他是怎么写的呢？他像一个小耳，但是他绕了一下，啊，像这种感觉绕出来的这个字母啊，读作发。

大家好，欢迎收看数学王子特训营，我是魏老师，我们继续来看高一数学第一册。期末考试复习三角还是我高考这题啊。诱导公式主要考察是诱导公式啊，那十个字一变哦，不变符号开箱线啊。 没有必要非得记那些公式的啊，只要把这十个字理解透就好了。记变哦，不变符号开枪线， 这十个字理解透啊。我们做题就是根据这十个字来走的。符号看，相信前五个字很容易理解啊。基变偶变就看你看他适合于什么，什么是用这种 x 加上个二分之 k 对吧。你要看后面的啊，一定是二飞之拍的总数倍，而且一定是二分之八的基数倍或者偶数倍嘛。 你基变基数倍就要变 c 就变成 coc 了，这是第一步啊。符号开向线，我们要看前面的向线啊，前面的正符号决定后面的吗？我们都假设 x 锐角，你看三十度吧，把 x 当做具体的三十度啊，三十度加九十度，是不是第二向前角啊？ 第二先讲的正弦是正的，所以你这边就是正的，那么就对了，知道吧，就这样简单的啊。 ok。 然后我们看第一题啊，这是二零一零年新课标全国卷的第一题。 oc 三百度三百度。你们可以先做一下拍段啊。三百度是第四线下剪啊，第四线下剪的鱼线是正的，所以先把 ab 排除掉啊。 看啊，你的周期是三百六是不是啊？所以 coc 三百度我们先化解就等于 coc， 你看我们先用周期啊，三百度减去三百六十度，你看这个时候我们用周期来用的，这就等于 qc 负六十度啊， 是不是啊？那么又因为 qc 是偶还说呀，所以就变成了 qc 六十度，那么 qc 六十度就是二分之一啊，对吧？所以这个题来选 c 啊，很简单的一个题。 ok， 我们接着看第二题啊， 二零零七年新课标全国二的一个题， coc 三百三。你看和刚才那类似吧。首先把负的排除掉嘛。第四，先先讲的鱼全是正的呀， qc 三百六啊，不是 qc 三百三十度，我们用周期还是一样的啊，他就等于 coc 三十度啊，是不是？那 qc 三十度是多少呢？是二分之口塞啊。对的， 打野，这个打野选 c 啊。 ok。 然后我们再看第三题，这是二零一九年新课标全国依据的一个题。现在让我们求参进。头二百五十五度。我们知道对于正期来说的话啊，对于正期来说， 我们是没有那个有导公式的，没有那个那十个字的啊。我们用他的周期你看，摊进他二百五十五度，你的周期是一百八十度，所以我们就可以写成摊进他 二百五十五度，减去一个周期先，是不是数越小越好算啊，那么就变成了贪念的七十五度啊。 那么摊进的七十五度的话，你看用排除法很简单了，就首先富的就排除掉了呀，对吧？ ab 就排除掉了。而且摊进的七十五度肯定是大于 摊起的四十五度的。在零到九十度上面带到地增带，参见四五度是一啊，所以他是大于一的数啊，大于一的数，那所以 c 也排除掉了。所以如果用排除法的话，答案选 d。 你看，接下来我们再用合脚公式啊，转换成摊紧的七十五度， 那么摊进的七十五度就等于摊进他四十五度加上三十度啊，对吧？然后用合脚公式啊，直接写了，那么他就等于摊进的四十五度是一，加上个摊进的三十度是三分之二三， 对吧？然后下面是一，减去你俩的成绩对吧？你俩的成绩不就是三分之二的三吗？就变成这个样子了。然后我们分子分母同时先乘以个三，把它变成三，加上一个根号三，下面是三， 再减去个根号塞，对吧？然后此时呢，你看我们分子分母同时乘以三加根号塞的平方， 那是不是分子分子同时乘以三加个三，因为下面就变成了九，减去三，那就是六了呀， 对吧？那么此生的再整理一下啊，三三得九，九加三十二除以二，那就是二， 再加上一个根号三，对吧？最好把它记住啊，三径七十五度就等于二加根号三对。这三个题目就讲完了啊，谢谢大家收看，我们下期再见。