4个球分别放到4个盒子有几种方法

今天给大家讲讲大名鼎鼎的隔板法，七个相同的小球放入四个不同的盒子，有多少种不同的方法？咱们先研究一个简单模式，如果 每个盒子飞空，那该怎么做呢？我就相当于把这七个一插入三个板给他插开就行了，所以说这有几个空？一二三四五六，答案就是 c 六三 就可以，但是现在这个题问的是每个飞空是没有的，那该怎么做呢？高老师教一个很牛的方法叫做借球， 你现在不是有七个球吗？你跟高老师借四个球，就相当于你有十一个球，然后你把高老师接你这四个球，每个盒子都放一个，然后说高老师你拿走吧，我还你了。然后相当于你有七个球还在手里拿着呢，那每个盒子你就随便放了呀，只就相当于这个题转化为你有 十一个相同的小球，放入四个不同的盒子，每个盒子飞空有多少种不同的方法？跟这个逻辑一样，如果是十一个小球的话，有十个空，在十个空里边，你只需要选出三个插入隔板就可以了呀，这答案就是 c 十三，同学们，这种方法你们掌握了吗？

各位同学大家好，今天的每日一题我们要给大家分享的是排列组和经典方法之中的间接法， 那么接下来的几天每日一题之中，我们也将逐步给大家继续分享，就是排列组合，一些经典的解题方法和一些比较好的这种题型。 好，那么下面我们来看今天的这道题，排列组合的问题呢？如果直接听往往不太容易听懂，或者说不太容易进入状态，所以建议大家先自己浏览一下题目，尝试着做一做，然后等一会再来听。 好，我们来读题目。将这个红黑蓝黄四个不同的小球放入三个不同的盒子，注意盒子也是不同的，每个盒子放一个球，并且红球和蓝球不能够放在同一个盒子，则 我们不同的放法的总数有多少种。因此这道题呢，他的要求也就是红球和蓝球不能够放在同一个盒子。今天我们标题给大家起的是间接法，因此第一种接法，我们就先给大家分析间接法怎么做。 如果用间接法，他的基本的思路就是先不考虑题干的限制条件，咱们先随便放，然后再把不符合要求的剪掉就可以了。 所以我们这里如果先不看这个限制条件，就是红球和蓝球不能放在同一个盒子，那我们先随便放，看看有多少种放法。 首先呢，我们知道有三个盒子，但是我们有四个球，说明有一个盒子里面他肯定要放两个球，所以呢，我们先从三个盒子中选一个盒子出来， 假设选出来的这个盒子，他就放两个球。我们举个例子，盒子我们编个号，假设这个是一号，这个是二号， 这个假设是三号盒子，不妨假设这个 c 三一，我们选到的就是一号盒子，也就是说这个盒子他就要放两个球，那他放的是哪两个球呢？所以我们从四个球之中随便选两个放到一号盒子中去。比方说，我们假设选到的是红球和 黑球，那于是现在还剩了两个球，就是蓝球和黄球放到后面的两个盒子中去就可以了，各一个，彼此之间呢可以交换，所以乘以 a 二二，这样的话，我们就把四个小球放到了三个不同的盒子之中去。但是我们没有管这个限制条件，就是红球和蓝球 不能放在同一个盒子，所以我们接下来还要把这种情况剪掉，那这种情况他有几种方法呢？ 其实呢，如果说红球和蓝球放到了同一个盒子之中，那么从球的这个分组的角度来说，肯定就是红球跟蓝球分为一组，放一个盒子，然后这个黑球放一个盒子，黄球放一个盒子， 所以我们现在完全可以看成三个球放入三个盒子，这样来理解就可以了，彼此之间可以交换。所以一共有 a 三三种方法，就是三个元素的全排列， 这种就是不符合要求的，减掉就行了。因此我们算一下结果， c 三一等于三， c 是二呢，等于六，然后再乘以后面的二，再减掉六，容易求出这个结果，等于三十， 所以答案是三十。那我们第一种解法采取的就是见解法，先不考虑限制条件，然后把不符合限制条件的情况剪掉。其实这种题也可以直接考虑，那下面我们就看一下，如果直接考虑如何来进行处理。 当我们要直接考虑的时候，首先我们知道一共是四个球放入三个不同的盒子，然后每个盒子至少放一个，他要求的是这两个球不能够放在同一个盒子里面。 咱们呢不妨就站在红球的这个角度来进行考虑，这个红球如果他是单独放的一个盒子，那当然也就能够满足咱们题干的限制条件了。所以呢，我们分类， 分类的标准就是红球单独放，以及红球和另外的一个球一起放，当然那个球不能是篮球。 好，因此我们分别考虑一下。第一种情况，如果红球单独放， 如果这个红球是单独放，那有几种方法呢？咱们可以这样考虑，首先 c 三一表示从三个盒子中选一个，把这个红球放好。好，我们来画一下示意图， 这是一号盒子，二号以及三号，我们从三个盒子中随便选一个把红球放进去，比方说红球就放到了一号盒子， 那么接下来还有三个球，就是黑蓝黄，放到后面的两个盒子就行了。我们仍然采取刚才类似的做法，因为这两个盒子中肯定有一个要放两个球， 所以我们先 c 二一选一个盒子出来，这个盒子就放两个球。那比方说我们 c 二一假设选到的是二号盒子，于是放哪两个球进来呢？我们又要从剩下的三个球之中选两个放进来，就 c 三二， 比方说我们假设选到的是黑球和蓝球，那还剩一个球，剩下的这个球就自己放到最后这个盒子就可以了，也就是黄球，这样的话咱们第一类就考虑完了， 那么接下来我们再来考虑第二类。第二类呢，也就是这个红球组合放他和另外的一个球组合到一起，放了一个盒子，这样的话我们就可以先从除了这个篮球之外的剩下的黑球和黄球两个先选一个出来，就是 c 二一 选一个出来干什么呢？就是和红球组合在一起，比方说我们假设选出来的是红球和 黑球，这两个就放到一个盒子里面去，那意思就是剩下的这个蓝球放到一个盒子，以及黄球放到一个盒子，我们把这两个球因为他要放到一个盒子里面，我们就看着一个球，所以总共呢可以理解成三个球放到三个盒子 乘以 a 三三就行了。这就是第二种，就是红球和其他一个球组合一起放的这种情况。我们把两种情形都算一下，第一种应该是三乘以二，然后再乘以三，可以求助，这个结果等于十八。 然后第二种就是二乘以 a， 三三等于六乘以十二，所以这两者加在一起，我们会发现十八加十二也 等于三十，和咱们刚才第一种接法算出来的结果是一样的，因为这里我们是分的类，所以分类呢应该用加法技术原理好，这是我们给大家讲解的第一道题，用间接法和直接考虑都是可以的。 那下面呢，我们在这道题的基础之上新增加一个限制条件，把问题呢变得稍微复杂一点。我们来看一下， 还是刚才的这四个不同的小球，我们要放入三个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，这些呢都是一样的，那么要求红球和蓝球不能放在同一个盒子里面，跟刚才也一样，同时这个黄球呢不能放在一号盒子， 所以我们新增加的限制条件相当于就是这个，就他要求黄球不能够放在一号盒子，则我们不同的放法总数一共有多少种？ 那么这道题限制条件呢就更多了，怎么考虑呢？我们仍然从两个方向来给大家分析，第一个方向还是用间接法，间接法那么有两个限制条件， 这种处理的思路就比较多，咱们可以先不考虑任何限制条件，然后等一会把不符合要求的剪掉。有的时候我们也可以先在不考虑某些限制条件的情况下 来进行研究，最后呢把限制条件加进来就不满足了，咱们给它剪掉。这里呢，我们可以这样来考虑，就是这一个限制条件我们先不管， 也就是我们先考虑如果他只要求黄球不能放在一号盒子里面，有多少种不同的方法，但是这个呢，我们就没有管这个蓝球和红球有没有放在同一个盒子中，因此呢，等一会我们 要把这种情况呢要剪掉。好，那么下面我们来算一下，就是如果我们考虑的黄球不能放在一号盒子，那有多少种方法呢？我们先把盒子画出来，这是一号盒子，二号盒子， 三号盒子，由于这个黄球它不能够放在一号盒子，所以我们先 c 二一，就是从二号和三号之中选一个把这个黄球放进去，比方说我们假设黄球放在了二号盒子里面， 那下面还剩了三个球，就是红球、黑球和蓝球这三个球有可能咱们三个盒子各放一个，有可能这三个球只放到一号和三号这两个盒子中去，都是能够满足其他要求的，反正他要求的是每个盒子至少放一个球就可以了。所以呢， 下来我们可以分个类，怎么分呢？就按我们刚才分析的，如果第一种就是剩下的三个球就放到一二三号盒子中去，这个很明显有 a 三三种方法，就是三个元素的全排列这第一种。 第二种就是剩下的三个球，他只放入一号和三号两个盒子中，如果只放入两个盒子，那肯定有一个盒子要放两个球，所以我们先 c 二一，就是从两个盒子中选一个这个盒子来放两个球放的是哪两个球呢？就从红黑蓝三个球中选两个， 只要这个放好了，那么另一个肯定就直接放入剩下的这个盒子中去就行了。好，于是这个问题呢就完成了，这个是我们在没有考虑限制条件，红球和蓝球不能放入同一个盒子的情况 得出的结果，还要把不符合要求的剪掉，不符合要求的是什么呢？也就是黄球不能放在一号盒子的情况下，同时这个红球和蓝球还放在了同一个盒子里面， 这种情况应该是比较简单的，因为我们这样想就行了，那现在呢，我们就把这个球分成这样的三组，就是红球和蓝球这个肯定就一起放了，因为这是我们要考虑的不符合要求的，然后黄球他自己放一个盒子，以及这个黑球自己放一个盒子。 所以接下来我们就这样考虑，首先由于黄球这个他仍然不能够放在一号盒子，我们仍然是 c 二一，就从二号和三号选一个，把黄球放好，然后再乘以剩下的两组球放到剩下的两个盒子 中去，鼻子之间的可以交换，乘以 a 二二就行了。好，这个就是不符合要求的剪掉，那我们算一下，前面的这个 c 二一是二，然后里面 a 三三等于六，这个 c 二一乘以 c 三二也是六，再减掉后面的就是四，所以我们发现呢，总共有二十种， 也就是这道题答案为二十。这是我们考虑的第一种方法，间接法。那类似的我们也给大家分析一下，就是如果用直接法能不能考虑直接法呢？我们这里的要求有两个，就是红球和蓝球不能放在同一个盒子里面， 还有黄球不能够放在一号盒子里面，那我们在考虑的时候可以确定一个分类标准，比如说这个红球和蓝球他既然不能放在一个盒子里面，我们仍然考虑两种， 第一种就是红球单独放的时候，红球单独放， 那这样的话我们看一下有几种。咱们首先把这个球分成三组， 那既然红球是单独放的，所以这个红球就自己分作一组了，然后剩下的黑球、蓝球、黄球有两个要一起放，那是哪两个呢？ 我们 c 三二，其实这里无论选到哪两个都是可以的，这都不会影响我们接下来的这个结果。所以我们随便考虑一种情况，比方说假设是黑球和黄球一起放了，就这两个 被选出来了，他们要放在同一个盒子里面，还剩下一个就是篮球。这样一旦把这个球分组分好了之后，我们只 需要把它放到三个盒子里面去，就是一号盒子、二号盒子、三号盒子。反正我们不管这个黄球到底是自己放的，还是和另外的一个球一起放的， 只要有黄球的这组，咱们不要放入一号盒子就可以了。所以下一步我们先把有黄球的这组放好，就是除了一号，剩下的两个选一个，把这组放好， 还剩下两组球，两个盒子彼此之间可以交换。 a 二二就行了，所以这个就是三乘以二乘以二，得出的结果是十二，这是第一种红球单独放，那么第二种我们再来看这个红球组合放。 红球组合放，意思就是和另外的一个球一起放，当然另外的这个球不能够是蓝球，那既然不能是蓝球，就只能是黑 球获得黄球。所以我们首先 c 二一，就是从黑黄两个球之中选一个跟红球组合在一起。咱们举个例子，比方说我们假设选到的是红球和黑球 这两个放在一个盒子里面，那么意思剩下的篮球以及黄球他就各自要放一个盒子。其实这个问题接下来的考虑和咱们刚才就一样了，反正我们在放这个球的时候，先考虑黄球所在的这一组， 这种因为他不能放入一号盒子里面去，所以从剩下的两个盒子中选一个。比方说按我们现在的这种分法，假设黄球就被放在了这， 还有两组球，两个盒子彼此交换就可以了，乘以 a 二二，我们发现这个总共等于八，咱们是分的两类，于是最终一共呢？还是十二加八 等于二十种，和我们刚才第一种用间接法算出来的结果是完全一样的。好，这是我们在刚才的这道题做了一个简单的改变，新加入了一个限制条件之后得出的这个结果。好，那么今天的每日一题，这个呢，就给大家分享到这里，再见。

大家好，这里是亮哥数学之排列组合，我们今天来看一道排列组合的题目，将四个不同的小球放入编号为一二三四的和，四个和字当中则恰有一个空，和的方法有几种？ 好，那么这题我们先画四个盒子， 既然有一个空盒，也就是说有一个球，有一个盒子放了两个球， 然后有一个是空的，这个时候我们就将空盒看到第四个元素加两个球，看到一个元素，将另外两个单独的球也看到两个单独的元素，那么总共就是 c 四二乘以 a 四四等于一百四十四，然后选 d。 哎，那么这个方法我觉得相对有些教科书上讲的一些传科方法要便于大家理解和记忆，你学会了吗？

各位家长，各位同学，大家好，我是数学蒋老师，您身边的私人辅导老师。黑板上的这道题目，很多同学表示没有思路，今天的蒋老师帮大家来理清这道题的思路。来看题明明和兰兰玩摸球游戏，盒子里呢，一共放了二十个球， 两人轮流从盒子里边拿球，每一次呢，只能拿一个或者两个，谁拿到最后的一个球，谁获胜。那么如果兰兰先拿，为了确保获胜， 他第一次应该拿出几个球？接下来应该怎么拿？读完题目之后，狗同学，我们的蓝蓝如何获胜呢？我们从我们的 规则出发，每一次只能拿出一个或者是两个，那谁最后一个球，谁拿谁就活受。那沟通也考虑一下我们应该怎么办？ 如果澜澜想要获胜，那么最后就要留谁呀？留三个给对方。 那看一下为什么当我们最后留三个给对方的时候，对方如果拿一个的话，兰兰可以拿几个呀？哎，兰兰可以拿两个 对吧？如果对方拿两个的话，兰兰最后拿谁呀？拿一个。请问不管怎么拿，最后一个是不是都是兰兰的？那到这一步，各位同学考虑一下，我们最后留三个 的时候，兰兰是不是就赢了？那前面的这些怎么办呢？来大家考虑一下，如果我把后边的这三个给盖住的话，你考虑现在是这些数量的话，我们应该怎么办？是不是还要留 三个给对方拿呀？高同学考虑是不是？那如果继续再这样操作的话，是不是我们还得留三个给对方拿呀？ 是不是保证能赢啊？那考虑一下我们把这二十个球怎么样啊？按照三个三个三个为一组，是不是进行了一个谁呀？ 那我们把这些是不是找到了他重复的一个规律啊？画出这个图之后，各位同学你考 一下，如果把这两个盖住，我们这个是怎么样的呀？是不是前面我们学过的周期问题啊，大家考虑一下 是不是对了，我们按照每一次三个为一个周期，为什么是三个？因为一加二每一次取的加起来等于三。按照三个为一个周期，用二十除以三等于 六个周期，于谁啊？于两个。狗同学能看懂吗？那大家考虑一下兰兰应该怎么拿？兰兰应该先拿两个，这两个先一拿， 其余的我们是不是就剩下三的一个？那接下来我们按照明玉拿两个，拿来拿 一个，明明拿一个，来了拿两个，这样三个三个周期的来拿，最后一个绝对就是谁啊，蓝蓝的。那高同学，这道题目你听懂了吗？

哈喽，同学们好，欢迎来到马桶课堂。 ok， 今天我们来看排列组合里面的第六个模型，分球如何问题。 ok， 多了两个字啊，分球如何问题？ 我们看第一个要求呢，就是六个球按照下面的方式放进这个盒子里面，总共有多少种不同的方法？ ok， 第一个，六个不同的小球放入到三个不同的盒子里面，要求盒子可以空，这个条件很重要，六个球放到三个不同的盒子里面，这个其实叫什么呀？ 要求盒子可以空了，是不是就是重复排列问题啊？允许重复排列的时候是不是球密的原则呀？对吧？那他对应的哪个模型呢？就跟对对应我们什么呀？投信的那个模型吗？对吧？哎，多少双多少分信，投入几个信箱的问题吗？对吧？ ok， 你看第一个球有记住 种区有几种区法，三种区法，第二个球三种区法，第三个球三种区法，对吧？那每个球都有六种，每个球都有三种区法，总共六个球呢，就是三的多少？三的六次方， 对吧？三六次吧。 ok， 第二个，六个不同的小球放入三个不同的盒子里面，要求每个盒子至少有一个，就说盒子不能空，对吧？六个球放到三个不同的盒子里面，那不就是一个什么呀，风阻排湿的问题吗？ 对吧？就我们之前讲过的平均分配或者是部分均分的问题，对吧？分完了之后要注意一个问题，就是要排入到三个不同的盒子里面，对吧？就三个人的站队嘛，先对他们进行分组，六个球分成三组有几种方法？首先一二三一种 对吧？一二三一种，还有呢？还有是平均分配，二二二一种，还有呢？还有是四一 一，是吧？或者是一一四，没问题吧？哎，总共六个球，分成三组，就这三种方法，对吧？平均分配或者是部分军方，我们给出的公式叫做什么呀？分到指定的位置，在除以堆数相同的阶层，第一堆 c 六一，第二堆剩四，剩什么呀？剩五个，五个里面挑出来两个 c 五二，剩三个，三个是第三堆除以堆数相同的阶层。你发现这三堆他们的数量，他们的数量各自都同样不同，所以要想除以堆数的相同的阶层，其实就是除以三个一的阶层，是吧？那除了和没除是一样的，所以 最后结果就是这个，对吧？分完之后还要注意一个问题，你只是把他们分成了三组，我的要求还要到三个不同的盒子里面呢，还要进行第二步工作。第二步工作就什么呀？排列的问题，还要乘个 a 三三，这叫做分组排序问题，先分再排， ok， 第二个平均分配，平均分配 c 六二， c 四二， c 二二，这是不分成了三队啊？分到指定的位置，再除以堆数相同的阶层，是不是还要除以一个 a 三三呀？三的阶层， 对吧？这只是完成了分组，分完组之后还要干什么？还要再乘以一个 a 三三，进行什么呀？排列排到三个不同的盒子里面，对吧？那最后一个四一一呢？四一一分到指定的位置 c 六四， 对吧？还剩个 c 二一，没问题吧？还剩个一个 c 一一，除以堆数相同的阶层，只有两堆数量是相同的，所以我们只需要除以一个二的阶层是不就可以啊， 对吧？除个二的阶层。这只是完成了对他们进行分组，分成了三组，还要乘一个多少？还要乘一个 a 三三，没问题吧？还要乘个 a 三三，再乘 一个 a 三三，排到三个盒子里面吗？对吧？这呢就是第二个问题，六个不同的小球放到三个不同的盒子里面，每个盒子至少有一个，对吧？ ok， 第三个，六个不同的小球放到三个相同的盒子里面。看关键啊，上面第二题，什么呀？不同的盒子，第三个呢？相同的盒子， 盒子相同了，也就说需不需要对他们进行排列？不需要，你直接把他们分成三组就行。那分成三组的结果是哪个？就是我上面第二题我们写的红色笔的这些位置，就只是进行了一个分组的问题，没有进行排列，对吧？ 为什么没有进行排列？盒子是相同的，怎么放出？就是一种情况啊，对吧？所以他的结果呢？就是多少？就是 c 六一，再乘以 c 五二，再乘以 c 三三，对吧？这是一种再加啊。注意刚才刚刚 才的这些结果的怎么样？加到一起是吧？再加上多少？再加上 c 六二， c 四二， c 二二，除以多少除以三的阶层，对吧？再加 c 六四， c 二一， c 二一，再除以二的结成，对吧？这就是所有的分法数。 ok， 第四个，六个相同的小球放到三个不同的盒子里面，哎，盒子可以为空。六个球，六个是相同的球，放到三个什么呀？不同的盒子里面要求盒子可以空，你就想 要求盒子可以空了，那我是不是可以对这个盒子进行分类啊？有一个空盒，哎，有零个空盒，有一个空盒，还有两个空盒，是不是就三种情况啊？ 有零个空盒是什么意思？就是把六个球分成几组，分成三组，对吧？有两个空盒，有一个空盒什么意思？把六个球分成 两组，对吧？有一个空盒呢？六个球就一组，有零个空盒，哎，有一个空盒， 有两个空盒。说错了，有两个空盒，接下来有两个空盒，是不是就把六个球分成一组啊？对吧？不就这三种形式吗？明白了吗？这是第一种常规思路。还有一个站叫做什么呀？叫做排序格办法。 ok， 我们先看常规的思路，第四个，第四个写到这啊。 第四个要求分类的问题，我们要求有什么呀？六个球分成三组。第一种情况， 分成三组怎么分？现在我有六个球，一二三四五六六个相同的小球，相同相同元素问题，隔板法，六个球形成了几个隔板？形成了几个空？一二三四五个空吧。 五个空怎么才能把它分成三组？就相当于我给了你一段绳子，我要求你把这个绳子给我剪成三段，你来几刀？你来两刀不就行了吗？对吧？那也说我在这里面什么呀？给你放上两个挡板不就行了吗？总共形成了五个空位，我要求放几个隔板，放两个隔板， c 五二，对吧？ c 五二没问题吧？ c 五二，这样我就把六个相同的小区分成了三组，分成三组之后，三个不同的盒子不就完事了吗？ 对吧？把他们分成三，不需要进行排列合作同学到这的时候啊，分成三组，再对他们进行一个排列，再乘个 a， 三三，需不需要乘个 a 三三？不需要乘个 a 三三。 相同元素隔板法隔开就可以，把他们隔成三组就可以。为什么说不需要再乘？你看，因为同学说那你的分成了一二三，你分成了三个，一组，一个，一组两个，一组放到三 三个什么呀？放到三个奥迪斯卡放到三个不同的盒子里面，那你放到三个不同的盒子里面，不应该还是三个的排列吗？不是那么回事，明白了吗？因为你只是什么样？ 因为你这里面其实已经包含了这种情况，你是形成了什么呀？你是把六个分成了三组，你看你隔板放到这和放到这是三一二，你放到这放到这，他表示什么呀？他表示一二三三，一二一二三包括什么呀？二三一 是不都出现了呀？所以说不需要进行排列的，只需要把他们分成三组就可以。这是第一种情况。第二种情况 把这个 c 五二写到这啊？ c 五二没问题吧？第二种情况，两组 对吧？六个球分成两组，一二三四五六。六个球分成两组还是一样，一个格，两个格，三个格，四个格，五个格， 总共有五个格，五个格里面插入一个空位多少？ c 五一万，对吧？哎，我现在就是什么呀？六个球分成两组有几种方法？ c 五，一种方法，分完之后，我要求现在有分成两组是什么意思？三个盒子里面放到两个盒子里面，但是你知道放入到哪里，哪两个盒子吗？ 不知道，也就说我现在要求是不是要空出来一个盒子呀？我总共三个盒子，我问你空哪个？几种空法是不？三种空法呀？所以你还要乘个多少？是不还要乘一个三呀？没问题吧？这个你看这个他就得乘一个三。他乘三的问题，他乘三的原因什么样？ 三个什么呀？三个不同的盒子，我现在分成两组的意思是什么呀？求分成两组的意思是有一个盒可以空出来，到底空哪个？是不是你不知道啊？那总共三个盒子空哪个？三种空法吗？对吧？这是分成一组，这是分成两， 那接下来分成一组。分成一组是什么意思？分成一组就是六个球进入一个盒子里面有几种金法？总共有三个盒子，那不就三种金法吗？对吧？所以把他们的结果加到一起呢？就 c 五二是多少？ c 五二是四，五二是十，十加上十五， 对吧？十加十五，二十五再加三，所有总共结果有二十八种，对吧？这是一种思路。还有一种思路叫做什么呀？叫做 排序隔板。什么叫做排序隔板？你现在总共不六个球吗？对吧？放到三个不同的盒子里面，盒子呢？可以控制慢，你想我这么想， 我现在把六个球如果是分成三份的时候什么样？你不能保证盒子可以空，那怎么办？我就他人为的填上三个球，填三个球之后原来是一二三四五六，对吧？我又给你加了三个球，一二三，几个球，九个球了。九个球之后形成了几个空位？形成了一个空位、两个空位、三个空位、 四个空位、五个空位，六个空位，七个空位，八个空位，对吧？八个空位，把他们分成几组就行啊？我这三个盒子嘛，分成三组是不是就可以啊？所有只需要 c 八几啊？ c 八二是不是就可以啊？ 八个空位怎么把它分成三组？来两刀就可以放入两个挡板， c 八二， c 八二就把他们分成了两组。有同学说，那你分成了两组，我三个盒子呢？别着急，你只是给他加了三个球，你看我把它放上两个挡板之后，把他们分成了三组，你每一组里面给他拿掉一个， 是不是就符合第一了？是不是就还是六个球放到三个不同的盒子里面，盒子可以为空，对吧？你比如说，哎，你放的这两个挡板，你放成了这样，放成了幺幺， 你这个当麦放成了这种情况，这种情况也就说你把他们分成了三组，一一加七，接下来一 一七，你每一组里面拿出来一个球给他排除，那就变成零零六了吗？不就相当于空了两个盒子的问题吗？对吧？这就叫做排序隔板法。 c 八二， c 八是多少？ c 八二 四七二十八，对吧？五十六除以二吗？没问题吧？二十八，你看这就是什么呀？分类的问题，这个呢，就是直接用一个排序格办法，一步到位就可以解决。 ok， 第五个， 六个相同的小球放到三个不同的盒子里面，六个球放到三个不同的盒子里面，六个球放到三个不同盒子，每个盒子还至少要求有一个，就是把六个分成几组，分成三组，相同元素，相同元素。隔板法 直接就是我们刚才第四个里面的第一种情况，分成三种啊，直接就多少就是 c 五啊，对吧？这个简单。 ok。 第六个，六个相同的小球放到三个相同的盒子里面，六个相同的小球放到三个相同的， 每个盒子至少有一个。注意，球相同，盒子也相同，盒子相同了，意味着需不需要进行排列，不需要排列，球又相同，对吧？就问你六个球分成三组总共有几种方法？每个盒子必须得有一个吗？分成三组， 一二三，这是一种方法，还有呢？二二二，这是一种方法，还有四一一，对吧？总共有几种？总共有三种方法。六个球分成三组，总共有三种方法吗？对吧？三组方法分完之后，盒子呢又是相同的，不需要进行排列，说总共就是三种没问题吧？ ok。 第七个六个不同的小球放进编号为一二的两个盒子当中，要求。要求盒子中的什么呀？盒子的球数不少于编号数，这个就属于定向分配的问题。六个球 也就说现在分成几组？分成两组，分成两组怎么分，对吧？分成两组之后，要求我们的每一个盒子里面球的个数还要不少于他们的编号数，也就说盒子能不能空，不能吗？盒子不能空了。所以第一组第一种形式分乘法就是多少，就是 一五，对吧？还有呢？二四，一五，二四三三，还有呢？三三。接下来是四二 四二，没有了吧？五一和一五是不是一样的呀？没问题吧？那这不就完事了吗？所以我能得到这个 c 一五呢就是多少？ c 六一 乘以 c 五五，对吧？ c 二四呢就是 c 六二， c 六二再乘以 c 四 四三三呢就是 c 六三，再乘以 c 三三，对吧？四二呢就是 c 六四，再乘以 c 二二。给他们加到一起是不就可以啊？这样你去排的时候是不是就保证了每个盒子里面的数量 他是大于或等于这个盒子的编号数啊？没问题吧？定向分配的问题，想通了吗？ 快？没问题啊。第八个，六个相同的小球放进编号为一和二的盒子里面。要求盒子中的什么呀？球数不少于编号数。哎，你看他第七个，第七个是六个不同的小球，现在我是六个相同的小球， 对吧？六个相同的小球，相同问题怎么办？你想要求每个盒子里面的球的个数要不少于这个盒子的编号数， 对吧？不少于他的编号数，那我就可以。什么呀？可以这么想，你看你总共是两个盒子吗？对吧？总共两个盒子，我第一个盒子里面给你放一个，第二个盒子里面给你放量放两个，这样 第一个盒子里面放一个，第二个盒子里面放两个，这样是不是正好满足啊？大于或等于一和二，对吧？接下来剩几个球？四个球， 对吧？接下来剩四个球。哎，接下来剩几个球？剩三个球，剩三个球，也就相当于我要把这三个球还要给他们放到这些盒子里面。这个问题是不是就有点像我们的第四个问题？叫做什么呀？叫做排序隔板法，对吧？三个球还要分成 两组，要求也就相当于。你先别管这个了，我现在就要求把这个题就等价转化成了，没有等价转化成了。我现在有三个球，一、二、三，三个球，三个球。你给我放到两个盒子里面， 放到两个盒子里面，盒子可以空。那和刚才的第四个问题，六个相同的小球放到三个不同的盒子里面，盒子可以空，是不是就一样了呀？现在是三个相同的小球放到两个盒子里面，盒子可以空，你别管里面的一和二。里面的一和二是保证了它什么呀？保证了它符合提议。每个盒子当中的球的数不少于编号数， 对吧？那按照我们排序问题排序隔板法，这是三个球，对吧？我只需要再给他人为的加几个球。人为的加一个球是不是就可以啊？ 对吧？认为的加一个够不够？我们要什么呀？我们要求每个盒子里面要拿出一个。

恶心也没有特别复杂，其实还是很简单的一个想法啊。最简单的想法呢，就是你把这句话划掉，大家会不会这个黑色的划掉会不会？会的。敲个一 四个人去三个地方，每个地方至少一个人，这个会吧，这个非常简单对吧？他只能有一种方法，就是二幺幺没问题吧？二幺幺的话，那你怎么写呢？那你肯定是挑出两个人作为一组啊，那么就是 c 四二能不能理解？ 然后你现在要有一个整体的想法呀，剩下两个人就不用写了，因为剩下两个人分成两种的话，只有一种写法。那么其实他没有难到哪里去。 他的想法就是说什么呢？你现在不是分成了三组吗？你管他是单人组还是双人组无所谓的。我们只知道在这三组里面有一组是包含着 a 的，其他 他两组都是没有 a 的。这个能理解的。同学敲个一，你管这个 a 在一人组还是在两人组都是无所谓的。 这个反正就是在三组里面总有一组，那一组里面有 a。 那么有 a 的话，他不是有特定的要求吗？ 他有特定的要求，他就优先思考啊。 a 不能去第一个地方的话，那么你就先让这个人找一个地方落个脚不就完事了吗？所以呢，这个人他还有两个地方可以选择呀，是的意思吗？所以就是 c 二一就是给这个人挑一个位置， 那么剩下两个位置就是这两组人去了，他们想怎么去就怎么去了。那两组人去两个地方呢？就是 a 二二，这样就可以了。答案呢是一样的啊。答案呢是一样的。 那么这样的话呢，是为了干嘛啊？为了解决这种问题。那么刚刚学生们在上课之前发了个问题过来啊，就是这个就是昨天的这个东西， 那我是没有讲到他的，因为昨天我们时间不够。那么学生们说哎，且假不去 ad， 不就是假不去第一个地方吗？那现在你知道该怎么做了吧？懂了没？懂了敲个一。 那我们的话就是正常分组就完事了嘛，对吧？正常分组的话就是幺幺幺三和幺幺二二嘛，正常分组给他分好。那么分好了之后呢？我们说不管是哪种情况，你先给他写出来，第一种呢，就是 c 六三， 第二种呢，就是 c 六二，然后 c 四二，再除以 a 二二，然后你分组分完了之后，反正你现在知道的事情是一二三四四组。那么其中有一组里面是 包含的假的，具体是哪一组，我其实不是很关心。我们只要知道这个人不去 a 这个地方，那你就先把他排进去不就完事了吗？那么他就是从剩下三个地方里面挑出一个地方来站，那么剩下三组的话，想去哪就去哪，那就是 a 三三。那这样的话呢，就所有的题都可以用这个思路去做掉了，理解了没？

欢迎来到梧桐老师的数学思维课堂来看这道题。四个相同的盒子排成一排，阿呆把一些相同的小球分装在这些盒子里，其中有一个盒子里没有装小球， 然后他就出去了。接着乐乐从三个装有小球的盒子里各取了一个小球放在空盒里，再把盒子重新的排了一下。阿呆回来后查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和小球。 请问乐乐移动之前这四个盒子中分别装有多少个小球？题目让我们求乐乐移动之前这四个盒子中分别装有多少个小球，而我们只知道其中有一个盒子 没有装小球，是空盒，也就是零个小球。那我们该怎样去求其他三个装有小球的盒子里分别有多少个小球呢？ 不难发现，乐乐明明动了这些盒子和小球，但是阿呆回来之后却没有发现，这是为什么呢？ 既然阿歪没有发现，说明乐乐移动完这些盒子和小球之后，应该和移动之前完全是一样的。 那么乐乐是怎样移动的呢？乐乐从三个装有小球的盒子里各取一个放到空盒里。显然这样移动之后，这三个装有小球的盒子里各减少了一个小球， 而原来的空盒里增加了三个小球。 明明改变了呀，为什么会和移动之前完全一样呢？因为乐乐还把这些盒子的顺序重新排了一下， 说明乐乐从这三个装有小球的盒子里各取一个放到空盒里。之后 四个盒子中小球的数量分布情况应该和移动之前原来四个盒子里小球的数量分布情况是一样的，只不过所处的位置不一样。 所以当乐乐重新把这些盒子排了一下之后，就和移动之前完全一样了。既然移动之前有一个空盒， 说明移动之后也应该有一个空盒。假设是这个，而其他三个有小球的盒子里各减少了一个小球，说明变成空盒的这个盒子在移动之前就应该有一个小球。 同理，既然在移动之前有一个盒子里有一个小球，那么说明移动之后也应该有一个盒子里有一个小球， 而这个盒子在移动之前就应该有两个小球。继续往下分析。既然移动前有一个盒子里有两个小球，说明移动之后也应该有一个盒子里有两个小球，而这个盒子在移动之前就应该有三个小球。因为原来的空盒 盒会增加三个小球，所以这个盒子里有三个小球。此时会发现，无论是移动之前还是移动之后，这四个盒子里都分别有零一、二、三个小球。 所以现在乐乐再把盒子重新排一下，就可以和移动之前完全一样了。这道题我们就做出来了。在乐乐移动之前，这四个盒子中分别有零一、二、三个小熊。 当然，我们也可以从原来的空盒现在一定有三个小球入手，推出移动之前一定有一个盒子里有三个小球。 进而继续往下推倒，求出原来四个盒子中分别有多少个小球。这个思路就留给小朋友们自己去思考啦。

怎样才能把这四个珠子同时放到中间呢？你看这个盒子是密封的，而四颗珠子都在同一个平面，只能通过倾斜的方式来让他们移动，但是只要往一个方向移动，总会有一颗珠子会反着方向走，那该咋办呢？ 思考一下，其实要想让珠子顺利的从这条凹槽中滑落下来，办法只有一个，那就是先让三颗归位，这还是很简单的，然后剩下的一颗只要用手指轻轻弹一下，就轻松滑落了。那问题来了，你知道如何将他们同时走到四个角吗？