c54组合数怎么求

呦，这是几？一二三四，这是几啊？五，嗯，是说 他想组成五和几能组成五，这个一好，所以四加一等于五好，五，挑战成功了让一回去， 这是几呀？六，嗯，四说他也想变成，他也想变成六好。四加二等于六好让二回去， 这是几呀？七，嗯，是说他也想变成七。三，四加四等于七好， 这几呀？八是说他也能组成八，他叫上好朋友也能组成八。 四加一等于八。四加二三等于四。加一加三等，再加一等于八好，让他们回去， 嗯，这是几啊？九，嗯，是说它叫好朋友也能组成九。 十再加二好，四加三再加二等于等于九好，挑战成功九了， 这是几呀？十四说他也能叫成叫上好朋友能变成十 三 再加二再加一，嗯，等于十。对，四加三再加二再加一等于十，嗯。

给你安个左括号，安个右括号，随便排成一排，多半都能配对，对吗？当然不对了！在组合秀鞋中，存在一个专门纠正这类季节偏差的秀列，被称为卡特兰秀。他给出的答案极其严苛。当你有 n 对 括号时， 真正合法的匹配方式并非随心所欲，而是严格限定为卡特兰秀。它的通向公式为， c， n 等于 n 加一分之一乘以二， n 中选 n 的 组合数，也就是 c， n 等于二。 n 的 阶梯比上 n 的 阶梯与 n 加一的阶梯的乘积， 这个数列安息了一个极其反常习的系型。随着括号对休 n 的 增加，随机写出合法系列的概率会急剧下降。我们可以通过一个简单的例子来验证，假设 n 等于三，即三对括号，如果你将它们随便排成一排，所有可能的排列方式共有二十种组合。 但在这二十种排列中，真正满足任意前缀中左括号不小于右括号的合法匹配系列只有五种。仅仅三对括号，蒙对的概率已降至四分之一。如果将 n 增加到十对，合法比例更是不足二十分之一， 这个合法的数量就是卡特兰数。在计数这个原理可以转化为一个更直观的几何类比。想像你站在平面直角坐标系的圆点，每拿到一个左括号，就向右下方走一步。每拿到一个右括号，就向右下方走一步。所有合法系列对应的路径就是从圆点走到终点 r n， 且绝不跨越 x 九之下，始终保持尊严的走法。一旦路径不小心触碰到了 x 九下方的底线，这段括号系列在数学上就失效了。 卡特兰秀精确技术的正是那条不能逾越的底线之下所有可能路径的总秀。感情里最忌讳的就是用凭空挥霍去透支对方早已给出的耐心。你必须先拥有，才有资格去匹配。

计数问题啊，是数学里面的难点，很多孩子来看到计数问题不知所措，那今天彭老师教你一招对应法，能解决差多少的问题？他说在一个圆桌上 有一个红点和四十九个难点啊，那这里的难点呢？我把它换成黄色的点法，大家看起来清楚一些。 那所有顶点都是难点的凸多边形的个数，那这个凸多边形呢？就包含三角形，四边形，五边形啊，然后呢，与有一个顶点是红点的凸多边形的个数，相差多少？ 好，相差多少？有很多同学呢会去算啊，看看所有顶点是蓝点的多边形几个，然后呢，有一个顶点是红点的多边形几个，那这两个个数算出来再做差，这个方法呢，能做，但是呢相当麻烦。好，那怎么办呢？那今天彭老师教你一招这题呢，可以用对应法， 什么意思呢？就是这两种凸多边形，我们看能不能建立一个对应关系啊？什么叫对应呢？就是一个对一个，一个对一个，看看最后哪个多多几个好。那怎么对应呢？我可以这样对应。 那我把这个蓝点呢换成黄点啊，大家看起来更清楚一些，比如说黄色的点组成了三角形， 我只要添加一个红色的点，就能组成一个四边形。所以呢，这种黄色的三角形和有一个红点 的四边形，这两种的数量是一样的，这两种的数量刚好是一一对应。是不是？那同样道理， 黄色的点组成的四边形和有一个红色的点组成了五边形，这两种刚好一一对应，对吧？这种图形加一个横点就变成这个图形，这个图形减一个横点就变成这种图形，是不是这两种是一一对应的呀？ 好，然后呢，很多都可以建立出一一对应的关系，那什么对应不了呢？哎，这种就对应不了， 你看啊，比如说这种多边形里边是存在两个黄色的点，还有呢，一个红色的点来两个黄色的点和一个红色的点组成了三角形 啊。然后呢，这种三角形你能不能去掉一个红色的点，两个黄色的点组成一个多边形啊？不行啊，因为两个黄色的点不能组成多边形，多边形至少得是三个点，至少得是三角形，是不是？所以你发现 下面这种，哎，是不是多了这种图形没法和上面对应啊？其他的都能对应，就这种对应不了。所以呢，这两种凸多边形差的就是这种图形， 那相差几个，就看这种图形有几个。那这种图形有几个呢？是不是选一个红点，选两个黄点，是不是选一个红点？就一种选法？因为就一个红点，选两个黄点，那就是四十九个里面选两个，所以呢？ c 四十九二。 好，所以答案就是这个吧，那算的时候应该知道怎么算吧？四十九乘四十八再除以二啊，然后最后答案是多少？你选择平行八。

哈喽，艾瑞巴蒂，我是神奇小猪，今天我要给大家介绍的是技术原理的基础知识，我们先给大家介绍加法原理和乘法原理，以及什么是排列，什么是组合，最后再来点技术原理的简单应用。 ok， 接下来我们来看整个技术原理的第二个，也是最核心的部分，叫排列和组合。 在正式讲课之前，先给大家举几个好玩的小例子，比如说非常常见的一个站牌问题，现在班级一共有五个人啊，我们现在从中挑出来三个人， 排成一排照相。哦，排成一排，那肯定左中右仨位置呗，我们想象一下那一共有多少种情况。我们把整个任务想象成三步，第一步，左边在五个人当中出来一个人，我分三步进行呗。 好，那我问大家哦，这五个人，比如说我记忆为 a、 b、 c、 d、 e， 第一步我要选左边了啊，哎，那有几种情况呀？你要么 a 来，要么 b 来，要么 c， 要么 d， 要么 e， 一 共那就五种情况呗， 这肯定没有任何意义啊，比如说啊，比如说这五个人当中的 c 已经来了， c 站到这第一个位置当中。好，那接下来没拍完吧，你中间这个人，咱是不是还得看看谁来呀？好，那我问大家中间有几种情况，还是 a、 b、 c、 d、 e 五种情况吗？ 咱是不是这五个人当中已经有人站到左边了？那这个人还能站到中间不？有没有可能一个人既在左边又在中间，一个人站俩位，或者说两个不同位置上居然站了同一个人，这太可怕了对不对？不能出现这种情况啊，太吓人了， 那我只能怎么办？我只能在剩余的 a、 b、 d、 e 四个人当中是不选一个过来啊，那有几种情况，要么 a， 要么 b， 要么 d， 要么 e， 那 就成四种情况了。所以说明，每当我确定完一个位置的人之后，我接下来另外一个位置能去的人就少一个，对不对？ 那接下来我不说，大家知道了，那第三个位置，哎，你前两个位置都确定完了，五个人当中已经有两个人，比如说 c 和 d 啊，已经被你选走了，你说接下来还剩几个人，那我当之无愧就剩三个人了吧。 我只剩三种选择可以让我选，所以五乘四，乘三，这就是所有的排列情况。 哎，是不挺简单的。五个人跳三个排一排，我会了，那我换一个数，十个人跳六个排一排，你会不会？我还会跳六个人站一排，那我最后站出来，那一共是六个人，一、二、三、四、五、六。 第一个位置有十个人给我选，我随便这十个人里面来一个，但是第二个位置已经有人站在这了，十个人里面现在就剩九个人来选给我来站了，每站一个就少一个，每站一个就少一个。我最后是十乘九，乘八，乘七，乘六，乘五， 每一步比前一个情况数都要少啊，最后这么多数乘完才是最终的情况。哦，那如果换成字母，那大家就更会了。现在班级里有 m 个人，我挑 n 个人来站牌，那有几种情况呀？ 哦，首先 n 个人站牌，那我最后呢？肯定是有 n 个位置，怎么算？那如梦中捉鳖，一共就 m 个人。哦，那第一个位置就有 m 中选择，第二个有 m 减一，然后 m 减二， m 减三， m 减四，一直乘到最后，最后应该是 m 减 n 再加一。 哦哦，为啥是这个？减 n 加一？小笨蛋，你第二个位置减了一，第三个位置减了二，那么你说我第一个位置减了几，我就减 n 再加一呗。这种从一大堆人里面选几个，然后排排站这个情形我们经常经常经常遇见，所以干脆我们把它当成一个经典情况，经典案例来分析。 从 n 个不同元素当中取 m 个元素，然后按照一个顺序排排站，排成一排也好，这个过程我们起个名字啊，叫排列。 哦，那显然，哎，咱从 n 个数里面选 m 个， n 和 m 谁大呀？哦，那肯定是 n 大 呀，对不对？ n 大 于等于 m， 那 么这个整个过程一共有多少种情况呢？我们其实也会算了，那不就刚才这么多数相乘乘完的情况吗？ 哦，那因为这个情况，这个情境实在是太经典了，对不对？咱每次做题，哎，咱都这么乘，乘乘来表示的话，你说你挑的人越多，这乘的数就越多，这表示的起来就越长，对不对？ 而且说实话，这么多数去乘的话，除了计算器之外，咱用人手去算的话，好像也不太方便。因此，莫不如咱直接发明个符号来表示这个排列呀。我们用 a 来表示， 五个人里面选三个来进行排列，我们记为 a 五三。 a 五三等于几啊？就等于五乘四乘三， 十个人里面挑六个，我就记为 a 十六，怎么算？就等于十乘九乘八乘到五。 所以以后，哎，我从 m 个人里面挑 n 个人站成一排，还用写这么一大坨不？ no， no no， 我 直接写，从 m 个数里面挑 n 个排列记为 amn 就 可以了，是不是特别轻松？ 那接下来我们继续来研究研究这 amn 啊，究竟怎么算啊？每次算咱都列这大长式子，说实话，真的非常非常不美观，太费劲了。所以呢，我们在排列组合里面再发明一个符号，这是一个运算符号，叫阶乘。 我们记 n 乘 n 减一，乘 n 减二，一直乘到最后，每一项都减一，最后乘到一，这个值等于 n 感叹号。 所以以后遇见什么五的阶乘，那就是五乘四乘三乘二乘一，遇到什么一百的阶乘，啥意思？你得知道，这叫从一百乘到九十九，每一项都减一，最终减到三乘二乘一， 那很显然，这数相当相当大，对不对？所以有了这个符号啊，我们再去表示这 a 几几就特别好算了。比如说，你看五乘四乘三，咱可以怎么表示？ 哎，我们现在会的是什么呢？是五乘四乘三乘二乘一。哦，那我这个数跟原来比多成了谁？多成了二乘一没关系，我再除呗，除以二乘一啊。所以上面就是五的结成，下面是二的结成呗。那你一乘到五是五的结成，那一乘到二，那可不叫二的结成吗？ 那么类似的 a 十六怎么用结成来表示啊？哦，他是十乘到五，没关系，我会的是十乘到一，我多成了谁呢？ 人家是十乘到五，你这是十乘到一，相当于我多成了一二三四，对不对？我多成了的是四的结成，因此，这一个连成的式子，我也可以用结成来表示，写成十的结成，除以四的结成。 十怎么来的啊？十其实就是下边这数的结成。四怎么来的？就是下边大的数减去上面数，得到的就是四。 你看刚才这也一样，这底下这二怎么来的？那就是下面这五减去上面的三，对不对？因此，如果我问大家 a m n 怎么算，我也会了，它就是下边大的数的结成，除以下边数减上面数，它的结成， 这就是 a 级级的排列计算公式。那么放到真正的定义之下，我们来看一下，现在我从 n 个元素里面取 m 个元素啊，这跟刚才那个数是反着的，咱刚才举的例子是 m 个里面取 n 个，现在反过来了啊， 是从 n 个里面取 m 个。那无论怎么变，大家得记住我下边的数，从 n 个里面下面数是大的，然后取出来小的数，这数怎么算嘞？首先它有分子，分母分子是大的数减去小的数的结成。 那我取几个不同值，我来体会一下这个值怎么样啊？比如说 a n 零是几啊？哦，我 m 取零了，相当于我从 n 个元素当中取零个元素进行排列啊，我没取，那你说最后排完等于几嘞？ 哎，这好像不太好说，对吧？我班级有十个人，我一个人都没过来，那你说这最后的情况，数算零还是一啊？我们规定 a n 零是一啊，这没办法，人家规定的，记住就好了 啊。第二个情况，那我再举个特殊的，比如说 a n 一 类，什么意思？本来咱班级里有 n 个人，我从这 n 个人里面就选出来一个人进行站排，你说有几种情况 啊？我们知道 n 个人里面选出来一个，大家有没有发现，你选出来之后，这一个人自己自动成排，你不用排，他自己就是一排，选完直接结束了。那你一共有几种选法嘞？ n 个人里面选一个，那当然就有 n 种选法了 哦。但是为什么是 n？ 这 a n 一 等于 n？ 刚才我是用情境来给大家看的哎，那如果带入公式，其实也是一样，把这里面的 m 都带成一，对不对啊？随分子就是 n 的 结成，分母是 n 减一的结成。啥叫 n 的 结成？那是从 n n 减一， n 减二，最后乘到一。 那分母啥叫 n 减一的结成呢？那是从 n 减一，作为最大的数往后开始减 n 减二， n 减三，最后也乘到一。那宝贝们有没有发现，这一大坨都是一，最后答案算完就是 n 吗？哈，是不是挺简单哦？再来，那如果是 a、 n、 n 呢？ 我一共班级里有 n 个元素，我把 n 个元素全取出来啊。从 n 个元素里面取出来 n 个，那不就 a、 n、 n 吗？按照一定顺序排列，就是你班所有人全都进行一个排列，全都站牌，这只等于几呢 啊？其实我们可以算对不对？咱就像刚才第一开始没学排列的时候，那么算，咱们现在不是有 n 个人吗？ n 个人全都出来了啊，全都让我拎出来开始站牌。所以理应现在咱们班站完牌之后，应该有多少人就有多少个位置。 从 n 个人里面选 n 个进行排列，那第一个位置有 n 种情况，第二个位置有 n 减一种情况，第三个位置又少一个人有 n 减二种情况。一直到最后，当我就剩最后一个位置的时候，那也就剩最后一个人跟他对应了，就剩最后那么一种情况 哈。因此这个事咱如果乘一下，从 n 乘到 n 减一，乘到 n 减二，再最后乘到一，那啥玩意？那不就是 n 的 阶乘吗？ 这是我们按照情境来理解。那如果代入公式呢？现在是 a n n 啊，这里面的 m 取 n 了哦， m e 取 n， 我 发现这分母怎么分？ n 减 n 的 结成？哎，出现了一个好像我们看似没有办法理解的东西， n 减 n 结成，零的结成。哎，这好像没有办法理解，对不对？没关系，我们又规定零的结成永远等于一 啊，那我除个一，当然最后就是 n 的 结成了，咱就把这个问题完美解决了。这 a n 大家算是会算了，但它的含义大家一定要记住，这其实蛮重要的。我们把 a， n， n 称作叫全排列， 啥意思？这作为排列的一种特殊形式，意思就是说，咱从 n 个元素当中啊，不抽 m 个，直接把 n 个元素全都抽出来，那这相当于抽没抽一样。哎，你搬十个人，咱抽出来十个，那不跟没抽一样吗？就说这十个人，这 n 个元素全都干嘛？直接站牌， 我省去了选的那个步骤。哎，这么多元素，直接开始站牌。这答，以后不用慢慢算了，直接就是 n 的 结成。比如多举几个例子， 三个人排排站，有几种情况，那就是 a 三，三就是三的结成，就是三乘二乘一，就是六种情况。哎，不信你看。我每举一下啊，比如说 a b c a c b c a 或者 b 在 前面， b a c b a 或者 c a b a， 好 像的确正好是这六种情况，对不对？ 或者十个人直接站排啊？那我这十个人没法排列了，我就直接写 a 十十了，直接进行全排列，等于十的结成结束 啊。这个作为一个小插曲，因为我们未来呢，经常经常用，所以呢，在这我单独给大家讲一下啊，讲了这么一大堆例子，这么多废话，大家知道两件事情就行。第一，咱从 n 个元素当中取 m 个进行排列排序或者排队，这情况叫什么呢？叫 a n m。 那具体怎么算？就用这公式算就完了，所以说实话，这个公式宝贝们得牢牢记住的啊，所以咱多来算一算，比如说 a 六二，如果用公式算，那就是六的结成，大的数除以大的减小的四的结成， 那这值是多少嘞？上面是六乘五乘四乘三乘二乘一啊，下面是四乘三乘二乘一啊，咱该约的约一约，发现它是六乘五， 这是第一种标准算法，用公式算呗。那第二种算法咱也可以理解着来。怎么算？咱六个人里面抽两个啊，六个人里面抽两个进行排队，那就是俩位置呗， 俩位置，第一个位置有六个人，可以选第二个位置，六个人里面已经抽完一个了，还剩五个，咱就六乘五， 这算完的结果肯定是一样的，对吧？所以以后你如果直接算也是可以的，咱把这分母放在第一个位置，那一共接下来要乘几个数呢？上面这一个小角标决定着咱要乘几个数，它是二，咱就乘两个数，依次排列下去。 那我再换一道题，是 a 六三嘞，咱乘几个数，咱从六乘五乘四乘三个数，所以不带公式，咱也是可以直接算的，这样算可能反而更快啊，再换一个 a， 一 百四，从一百个人里面抽四个人进行排队，这等于几呢？一百 九十九，一共乘几个数？上面告诉了，一共要乘四个数，依次减下去这九十九答案，宝贝们会了吧？哦，以上就是排列的所有书上的概念，但是呢，今天我要大逆不道一下，我要把这概念改一改。 因为很多同学你会发现，在做题的时候，你如果完全按照这个概念去做这概念，说啊，你必须得按照一定顺序排成一列才叫排列。我觉得这概念本身说的并不好， 难道你光排成一列叫排列，我反过来排成一排就不叫排列了？我斜着排就不叫排列了。 所以，为了防止大家扣字眼，我把这个稍微改写一下，什么叫排列？当我从 n 个不同元素当中取出来 m 个，放到不同位置，就叫排列。这不同位置，你可以 是一排，也可以是斜着排，无论怎么样，只要是不同位置就叫排列。 咱多举几个例子，比如说班级五个人挑三个，前中后排成一列，哎，咱刚才讲的是左中右，现在变成什么？现在变成前中后，一样不？我问大家，那不一样的吗？这不就是三个不同的位置吗？所以五个人里面挑三个进行排列。 a， 五三， 能理解吧？我只要是识别出了我挑完这些人，放到了不同位置上，就叫排列，就能算。甚至我再进一步，你看，五个人里面挑三个，我站成两排，第一排两个人，第二排一个人。宝贝们，这你怎么算？ 有同学哎，学的特死，怎么做，哎，你第一排排两个人，我先画在这，第二排排一个人，我也画在这来开始选了啊。当然这三个位置咱从谁开始选都是一样的啊，比如说我就从他开始选，这位置里面一共咱就五个人，对不对？那你说这位置有几种情况来选，那当然是五种情况喽。 哦，那五个人跳完一个，还剩四个人，那四个人接下来竞争第二个位置有四种情况，哎，两个人跳完还剩三个人，第三个位置有三种情况，没错吧？那最后答案是啥呀？ 那不就是五乘四乘三吗？那就是什么嘞？那不活活就是 a 五三吗？ 从五开始数三数五乘四乘三， a 五三没错吧？啊，那这个我是按照提议这么做，但是以后还用这么做不？ 有的题目更离谱啊。啊，说班级里有一百个人啊，挑出来十个，站成两排，第一排五个人，第二排五个人，宝贝们，你咋算？ 你甭管第一排几个，第二排几个，我问大家，这是不是十个不同位置，没错吧？每一个位置都有他的地理上的，物理上的独特性， 这是十个不同位置，那你说怎么排呀？那我们就从一百个人里面挑呗，一百九，十九，九十八，九十七、九十六、九十五、九十四，一个一个乘下去吗？本质上就是从一百个人里面挑出来十个，放到这十个所谓的不同位置上去，就是 a 百十。我这里换成第一排四个人，第二排六个人也没关系，还是 a 一 百十，我换成第一排三个人，第二排七个人，还是 a 一 百十，因为本身人这就是十个不同位置，你怎么分配那都是十个。我答案是不变的， 所以在我们排列组合问题里面，这个位置的理解特别重要，他甚至哎可以从物理的位置里面抽象出来，他可以是一个抽象的位置，我们摆脱站牌这个情境啊。我再举个例子， 现在我班级里有五个人，我挑三个人干嘛呢？我分别担任数学、语文、物理课代表。哎，你看着，哎，好像，哎，不是站牌问题了，哎，变成选课代表的问题了。小笨蛋，你数学、语文、物理三科课代表是不是抽象的三个位置啊？ 哎，你班老师开始选人了，来，选一个数学课代表站在这。选一个语文课代表站在这，选一个物理课代表站在这。虽然你看着表面上是三个课代表，但其实就是三个物理上抽象的一个位置吧。 数学几个人来选啊？有五个人来选，那一个人当完数学课代表之后，班级里还剩几个人？还剩四个人，四个人里面在竞争语文，最后三个人在竞争物理，那不就是 a 五三吗？ 因此，通过这三个例子，一点一点给大家讲清楚了，我们排列问题，不一定是非得站排，而且不一定是排成一排或者一列，你排成一列也行，排成两排也行，甚至是抽象的。当什么客代表，当什么人大代表，都是可以的，只要是不同位置，就叫排列了。 给大家举一道具体题目，现在集合零一二三，呃，五七十一，任取三个。哦，那这个过程相当于我不能取重复的，对吧？我这三个不能全都是零，或者全都是一。咱取的时候，这三个各不一样啊，它分别呢？作为这条直线的 abc， 然后问所得的直线，经过坐标原点的直线，宝贝们，咋才能经过坐标原点啊？ 我把零零带进去，这方程得成立对不对？意味着，如果把零零带去了啊，你零加零加 c 等于零，那你说 c 等于谁？抱歉，咱一定是把 c 这个位置放零是不才行啊？ 意思就是说，哎，我如果想经过原点，意味着 c b 等于零，我已经把零摘出来了，放在 c 的 位置这上才能满足提 e。 我 已经找好零的位置了，它一定确定在这了，这是唯一确定的一步，必须得这么做，对不对？ 最后，人家问，一共有多少种这条直线呀？多少种情况？那我就看 a 和 b 怎么排布，有几种情况不就得了吗？ 啊，那宝贝们，零已经选完了，零还能用吗？就不能再用了，那么我还剩一二三四五六，还剩六个数，对不对？在这六个数当中，哎，咱取一个放到 a 的 位置，咱再取一个放到 b 的 位置，我们以前怎么做？ 咱把整过整是不是分两步啊？第一步，先来选 a 啊，那 a 有 几种选择嘞？一共还剩六个数，这六个数里面任意选一个，放在这一共六种情况，这肯定没问题 哦，那第一步， a 选完了，还得选 b 吧？ b 还有几种情况？好家伙，哎，你一到十一，这六个数里面已经有一个数，比如说，举个例子啊，已经有一个数放到 a 的 位置里面去了，那还剩几个？一二三四五，还剩五个数。 所以以前我们的做法很简单，第一步，六种情况。第二步，五种情况，一共五六三十种情况。我们是这样做的， 但现在我们学完排列了，我们可以换一个思路来理解，我们在除了零之外的六个数当中，我肯定是要选出来两个，然后一个给 a， 一个给 b， 所以 我确定了一定是零了。那这是啥问题啊？ 班级里六个人选两个放在两个不同的位置上去，那不就是 a 六二标标准准的排列问题吗？我直接算从六再乘到五，不就是三十吗？ 这题，哎，把我们刚才排列里面那个位置变成了数学方程里面的系数，你说吧， a 和 b 是 不是两个不同位置？的确是，只要是不同位置，那就是一个排列问题， a 六二。没错 啊，以上就是我们一个经典的问题，叫排列。那除了排列之外，我们还有另外一个经典问题，叫组合。我们来一起看看是咋回事。 什么是组合呀？组合跟排列息息相关，我直接把这两个例子放在这，你看什么叫排列？排来说，刚才讲了，班级一共五个人，我挑三个排成一排，这三个人比如说我挑了 abc， 让他们站排的时候吧，我发现，哎，他是有左中右不同位置区别的， a、 b、 c 和 c， b， a 和 b， a、 c 等等等等，这是不同种情况对不对？这个过程我们叫排列。 那什么叫组合呀？就是班级我有五个人，然后挑出来三个之后，哎，我不进行让他们站排，他们不需要站排，我直接让他们组成一个小组，我挑完之后圈起来凑成一波就行了。比如说我画个图，我挑出来 a、 b、 c 之后，把他们圈起来像小猪一样，让他们独立直接组成小组。 那我问大家，这个小组的内部有没有 a、 b、 c 位置的区别呀？我写 a、 b、 c 跟我写 b c， a 跟我写 a、 c、 b， 是 不是一种情况？完全一样，它内部没有位置区别？ 所以一句话总结，排列跟组合有什么区别？组合比较简单，五个人里面你挑三个，直接结束，你挑出来谁直接组成小组了呀？但排列不行，那排列吧。哎，你五个人里面挑三个，光挑没用，还得接下来要站排呢。 这俩概念的区别大家了解了，那怎么算嘞？咱排列叫 a 五三，用 a 来表示我们组合呢，也用一个字母，我们用 c 来表示。五个人里面挑三个组成小组，叫 c 五三。 那宝贝肯定想问了， a 五三我有公式会求 c 五三是什么公式啊？怎么做嘞？最笨的方法，咱不是有五个人吗？ a、 b、 c， d， e 选出来三个，哎，那么难吗？我没举呗。比如说什么 a b、 c 啦，三个人啊，什么 b c d 啦， c， d， e 啦， a， c， e 啦啊等等等等，我一个一个一个全都举出来，可不可以？哎，当然可以是吧，毕竟这五个人比较少。但是你说我要十个人呢，你说我要二十个人呢？我要是一百个人呢，你还能没举不？好像就不行了，对不？ 所以我们还是尽量得推出来一个公式来算。怎么算？我们用排列，用上面这东西去算下边这组合。我们把整个排列的过程分两步，第一步，叫五个人里面挑三个组成小组。 我先挑解一下啊，五个人里面挑三个组成小组，给他拎出来，拎到外面去，然后怎么办？第二步，再让这拎出来这三个人站一排，照相，让他们进行全排列。 那宝宝们有没有发现，这排列整个过程，他的第一步其实就是一个组合的过程吧？哎，这不，这不一模一样的吗？你五个人里面选三个，有几种情况？那不就是 c 五三这么多种情况吗？ 哦，虽然现在我不知道 c 五三是多少，但是没关系，我先用代号给他写出来。第一步我算出来了，叫 c 五三。那第二步嘞， 咱选上这三个人，直接进行排列，这有多少种情况呀？哦，三个人排列，第一个位置有三种情况，第二个位置还有两种情况，第三个位置还有一种情况，那不就三的阶乘吗？换句话说，那不就 a 三三全排列问题吗？刚讲过的呀。 因此我们把排列分为两步之后，我发现第一步我会求 c 五三，第二步我也会求全排列，他俩乘完就应该是最后的这个 a 五三，对不对？ 所以公式出现了， a 五三等于第一步 c 五三，再乘以第二步 a 三三。因此我现在问 a 五三是多少，把它除过来呗。 c 五三等于 a 五三，比上 a 三三，咱就可以用排列把组合算出来了吧。我把五个三都变成字母组合的公式就有了。你看， 我们把从 n 个元素中抽出来 m 个，组成一个小组，这个过程叫组合，记为 c n m。 那 c n m 怎么算呢？用排列来算，你看，排列第一步，我先从 n 个元素里面取出来 m 个，这第一步究竟有多少种情况？那有 c n m 种情况， 我先把这 m 个元素选出来啊，比如说 a 一、 a 二、 a 三，一直到 a m。 好 了，这么多元素让我选完了， 但是这过程还没完，我还要把它放到不同位置上去。那你说 m 个元素放到 m 个不同位置上，我进行全排列，那怎么算？那就 amm 呗，这两步我一乘完，算完这个值是咱刚才讲的 am， 所以 公式就有了。 我想把它单独拎出来，那它就等于 a n m 比上 amm， 我 看着好像挺绕口的，是不是？哎，我把上下这俩东西吧都给它展开了。上下不都是有公式的吗？上面是 n 的 结成，除以 n 减 m 的 结成，下面是啥？下面是 m 的 结成，所以最后我就会算了， 它等于 n 的 结成，比上 m 的 结成和 n 的 结成。以后它光记这个小例子哈，比如刚才的。呃， c 五三怎么算？ 它有分子有分母啊，两个部分分子直接把底下这个数结成就可以了。所以分子是五的结成。分母一个是 m， 一个是 n 减 m 啊，看好了，是谁呢？一个是 m， 一个是 n 减 m， 咱把上面这数抄一遍，三的结成再乘以五减三的结成，那就是二的结成呗。所以你一定会发现，下面这俩小数相加三加二一定等于二的结成呗。所以你一定会发现下面这俩小数相加三加二是不一定等于 n 呢。 这数可太好算了，大家刚学我慢慢算啊。五的结乘是五乘到一，下面一省到三和一省到二，该约的全都约掉，最后答案等于十，会算了吧。 那我再多举几个例子啊，比如说 c 十七，大家表示一下就可以。怎么表示？分子把大的数直接结成分母俩数，一个是七，抄下来七的是另外一个，七加七等于十，把它展开计算就可以了。 呃，再来 c 五十三十二，咱从五十个不同的人里面抽出来三十二个人，一共有多少种情况嘞？ 啊，会算大的数，直接接生，下面俩数一定比都比五十小，一个是三十二，另外一个三十二，加几等于五十呢？呃，加十八等于五十，又会算了。 以上就是排列和组合的基础内容，首先得知道什么时候是排列，什么时候是组合。如果你只单纯的从一大堆人里面抽出来一些人，那这叫组合抽出来这三个人当中没有谁大谁小，谁左谁右这个位置的关系。 但是如果你说，哎，我光抽出来还不行，你发现，哎，我抽出来之后，我还让他们排一排，谁在前，是 abc 还是 cba？ 你 发现完全不一样的时候， 咱对顺序有要求的时候，是在站排了，放到了不同位置上，那他这就是排列。或者一句话，大家不是抽人吗？哎，你抽完人之后，你看这任务结没结束， 如果你抽完人，直接自动组成一组，任务结束了，那就是 c。 但是如果你发现你光抽不行，这任务没结束，咱还需要对这抽完这几个人进行内部的一个排序，那这毋庸置疑就一定是排列 a 了。 尤其是对于初学者来说，这排列跟组合经常有同学分不清，哎，我有的时候是到底是用 a 还是用 c， 为了解决这件事情，我今天帮大家一起做一个小游戏，我给大家创设不同的情境，大家去判断，去抢答，这是 a 还是 c？ 是 在排列还是在组合？大家准备好了吗？ 首先来看第一个情形，小美啊，特别热爱逛街，已知小美班级里面哎，他有五位好闺蜜，他决定从这五个人里面随机抽三个人组局，然后进行邀请 他。每个人呢，只要是邀请了，他一定会来问最终参与活动的情况，数这个情形是 a 五三还是 c 五三，三秒钟时间 判断是 a 还是 c， 很 简单。哎，咱不就是从五个人里面抽三个吗？你就看抽出来这三个人当中有没有顺序的区别。在这个行径里面，我要不要求谁在前谁在后， 邀请出来这三个人？哎，有没有顺序的区别呀？是不是我邀请完之后，他们自动就直接来了？来完之后，我直接这个活动就已经组起来了，就不需要再对我邀请这个来的人，哎，再排过去说，谁跟我最好，谁跟我第二好，谁跟我第三好，没有这排序对不对？所以应该是 c 五三。 但是我如果换一个情景，为了检验王老师的这个教学水平，校长亲自出马了，他准备了五道不同的数学题。干嘛呢？从这五道里面抽出来三个随机抽，分别给班级里的三个不同的同学去做，每人一题，题目还不重复？三道题对应三个人，问有多少种可能情况？ 那这道题是 a 是 排列还是 c 组合嘞？那我就想呗，哎，反正肯定是从五个不同题目里面抽出来三个。我抽了啊，抽完了。那问题是，你抽完这三个之后，任务有结束没？你是不是需要把这三个不同的题分给三个不同的人呢？ 换句话说，这三道题得放到三个同学的不同的位置上，他们的座位上去啊，是不是有内部的一个排序？所以整个这过程里面分了两步，第一步你先抽，从五道不同的题目当中抽出来三个，那我单纯抽的话肯定是 c， 但是没完。我第二步还得 把我抽完的 a、 b、 c 三道题放到甲乙丙这三个位置上去，仨不同东西放仨不同位置上全排列 a b c c b a c 一 共有 a 三三种情况， 两步计算。哎，那最后这是这谁呀？这谁呀？这不就是 a 五三吗？刚讲过的啊，刚讲过的。所以这是排列，不是组合啊，讲的其实已经非常慢了，如果宝贝们再不会，没关系，我再举例子， 现在王老师很偏心，他决定，哎，偷偷把讲义当中的五道题抽出来三道，哎，他抽了啊，他说抽了五道题，抽三道放入纸袋当中，偷偷给成绩第一的小美来做，问，有多少种可能情况，这个情形是 a 还是 c？ 三秒钟时间 怎么判断？你就看这五道题抽出来三道之后，这任务有没有结束，还需不需要对你抽完的三道题进行排序。我问大家，哎，我是不是直接从五道题里面抽出来三道，这 c 五三之后 有这么多种情况完了呢？任何一种情况，我直接都把这三道题装到袋子里了，然后直接就给小美来做了，我有没有偷偷的在这文件袋里？ 这 abc 三道题还在那争，谁先谁后，谁是第一道，谁是第二道，有争没有？这个排序没，没有吧，我是不是直接一大坨分完组，直接咣当扔给小红来做了？因此这单纯就是在组合，没有进行排序，所以应该是 c 五三。大家做对了吗？ 我真觉得挺简单的，你就看抽出来之后任务有没有完成，你抽出来之后，这任务直接完成，直接扔给小美就完事了哈。再给大家举最后一个例子， 又是王老师啊，王老师看到这个学生的月考成绩之后，心情非常差，哎，决定呢，向没及格的五位同学的家长告状啊。班级里五个人没及格啊，要向他们告状，但是呢，由于快下班了，所以只能呢先随机抽取其中的三位同学， 抽取幸运儿，依次给他们家长打电话报告，问王老师一共有多少种电话拨打的情况，这是 a 还是 c 啊？那就想想这情形呗， 一共五个人，我先随机抽出来三个，我坐到这随机抽，那我肯定是 c 五三，这单纯是在组合对不对？但是你抽完之后结束没？人家是不是有一个次序啊？哎，你光抽出来张三李四王五 abc 了，但是你打电话的顺序是不是还得排列一下呀？ 你是先给 a 再给 b 再给 c， 还是先给 b 再给 c 再给 a？ 是 不是有很多很多种排列情况？他们这三个人要在三个不同的一二三的位置上进行全排列，有次序的区别。任务没结束，所以这是在排列，而不是在组合。 举了这么多例子，真的希望大家能听懂， ok， 那 我们回过来再把我们刚才没讲的这个组合的一些小知识点补充完，再去做真正的高考题啊。组合呢？这 c n、 m 大家现在已经会算了对吧？ 都想多给大家举几个小例子来看看。比如说 m 取零的时候，我从 n 个东西里面什么都不抽， c， n 是 几啊？一班五十个人，我今天抽出来零个人，我一个都不抽，这是几种情况？这是唯一的一种情况啊，什么都没抽吗？情况确定了。 哎，不信咱用公式来看，也一样的， c n 零，咱们把这个 m 啊带成零啊，把 m 你 带成零之后呢？它变成了 n 的 结成，除以零的结成，再乘以 n 的 结成， n 的 结成， n 的 结成没有了，就剩个一零的结成。是谁？零的结成，刚才规定的也是一对不对，所以一除以一就等于一。 哈，挺有意思的吧。好，这是我们从 n 个东西里面抽零个，但是我换一个，我从 n 个里面抽 n 个嘞，一般一共十个人，我把十个人全都抽出来，这是几种情况？是不就是也是唯一的十个人都出来，就那么一种情况呀？ c n n 也是一 哦，挺神奇的哈。哎，我抽出来的人不一样，但最后结果，哎，情况数居然可以是一样的。由此呢，我们其实也可以隐身一个有关组合数非常重要的一个性质。我从 n 个人里面抽 m 个，跟我从 n 个人里面抽 n 减 m 个，它的情况数完全一样。 咱公式推其实特别好推，你看 c n m 就是 这公式啊，我放在这，那， c n n 减 m 是 谁嘞？我来尝试做一下，它是 n 的 结成，除以上面这数它的结成，再乘以上面这数减去下面这数，它的结成啊，上面这数减下边是谁啊？ n 减去 n 减 m 就是 m， 我 就写 m 的 阶层，你发现这俩玩意长得一模一样的，就调换了个位置，对不对？值是一样的，这在公式上的一个理解。那我在情境里怎么理解呢？大家来想啊， 比如说现在我班级有十个人，我现在，呃，选出来三个人，我给他们什么呢？给小红花，那这一共是多少种情况呢？那其实就是十个人里面选三个直接给小红花，十个人里面选三个，那不就 c 十三吗？ 这没错吧？好，这大家都会。那如果我换一个说法，我选三个人给小红花，跟我反着选七个人不给小红花，是不是一回事？这情况数一不一样， 因为咱们一共不就十个人吗？咱只要选出来三个人给了小红花，那剩余的自动剩七个人，就相当于你没给小红花呗。你每确定一个三个人有花，就一定自动确定另外的人几个人没花， 情况一定是一一对应的。相当于你可以正向的去想，我十个人里面选三个进行奖励，那是 c 十三。那我也可以反过来想啊，我十个人里面选七个人，我不给奖励，那不就 c 十七吗？这情况数完全一样， 这个性质在我们题目当中啊，或者说大家在以后在分析当中可能会经常遇见，所以呢，今天先讲，那除此之外，其实还有教材上的另外一个小等式，那等式用的比较少啊，所以今天先不讲，我们今天先来做题，再看真正的考试题目，真正的高考题人家是怎么考的？ 来看第一个，现在呢，有四个数字一，还有四个数字二，他可以组成多少个不同的八位数？哎，宝贝们一看这题，哎呀，那这怎么组啊？ 那没思路的时候，那我肯定就瞎做呗，是吧？哎，比如说什么一一一一这四个先放一起，那剩余的二二二二放一起呗，或者说，哎，我一一二二二一一二，哎，这也是一种情况对不对？那这一共有多少种情况啊？这我要是没举可太难举了，没法这么做，对不对？ 那我一想，哦，一共有八位数，那我先画八个横杠，先画八个不同的位置，反正这八个位置要么是一，要么是二，不可能出现别的东西。 几个一几个二呢？人家说了一共就四个一和四个二。好，那这个问题其实没有那么复杂，我只要在这八个不同的位置当中选出来四个，比如说我随便选啊，就选这四个，我放一， 我一旦一的位置确定下来之后，那二的位置我们还用选吗？就不用了，是不剩余的，自动把二添上去，这情况必然是确定的了呀。啊？其实没有那么复杂吗？ 好，那分析分析完了，那究竟这个式子怎么列嘞？我们在第一步非常关键，在八个不同位置当中选了四个，那我问大家这第一步是 c 八四还是 a 八四嘞？ 判断标准还记得吗？一句话就是咱先选，你看选完之后还需不需要看他们不同东西之间进行排序，如果不需要看谁到底在前面，谁到底在后面，那就是 c， 那 如果你发现选完这四个东西他还需要排一排。 我发现，哎，我给他排成 a、 b、 c、 d 跟我排成 c、 a、 b、 d 是 完全的不同情况的时候他们位置的不同。的确，我算作不同的情况的时候，你需要排序了，那就是排列。 那我问大家，在这个问题里我八个位置直接先选啊，先选出来四个，你看一二三四，我选完之后，我这一步的任务有没有结束？我是不是选完了，直接只需要把 e 放在这，我就确定好 e 的 位置了， 我难道还需要？哎，来看一看，哎，再再把这四个页再排一排啊，给他们进行一个，呃，简单的排序啊，谁在前谁在后，哎，我来排一排，有这必要没？你有没有发现，你无论怎么乱窜，你无论把这四个怎么排，人家这是一种同样的一个情况， 你怎么乱算都是一一一一，你排序是没有意义的，你排序完他依然是相同情况，不是不同情况，对不对？意味着我选完直接结束了，所以我这直接就是一个简单的组合问题，这直接用 c 八四，而不能用 a 八四， 我选完了，对吧？好，那接下来那我再问大家二怎么办？我是不是选完一之后，剩余的自动就填二了，不会产生其他别的情况了吧？直接任务确定了，整个过程就这么一步，我把一的位置确定完， c 八四，别的剩余的直接填二， c 八四就是最后答案。 但是如果有个宝贝哎说，哎，我非得画蛇添足，我还怎么办呢？哦，咱这不是还剩了四个位置吗？哎，我把这四个位置啊，四个里面挑出来四个给二，哎，我这么算行不行？当然也行了，因为 c c 四就是一吗？你乘一不乘一，那不一样的吗？这我就算完了呀， ok， 但有的宝贝学的特别死，哎，我刚讲的时候呢，可能会，呃，多给大家举一些比较错误的这个案例哈，我不知道有的宝贝想这么做啊，你 c 八四我是懂了，从八个里面选四个给一，哎，那我第二步呢，我再从八个里面选四个给二，我也写 c 八四，对不对嘞？ 小笨蛋。哎，我做完这第一步之后，我已经把四个位置给一了，你还哪来的八个位置？还剩几个？还只剩四个了呀，你怎么可能再把已经给一的位置再给二，这是不允许发生的，你只剩四个给你选，你只能写 c 四四，你不能写 c 八四啊。 哦，所以这是一个错误的思路啊，大家要引以为戒，有些东西选完之后就没有了，第二步的时候就不用再考虑了。 哦，那如果大家做的不够爽，那我再来给大家扭到小试一下。你看，现在六名同学，呃，到甲乙丙三个场馆去做志愿者，每名同学只能去一个场馆，你不可能说一个同学继续甲又去乙又去丙，啊，这不能这样。然后说什么呢？甲场馆安排一个人，我画个图啊， 甲来一个，乙人说来两个，那丙呢？那就来三个呗。哦，说实话，你这道题是不还挺仁慈的？你有没有发现这一加二加三正好是六，说明我这六个人全都用上了，对吧？ 好，那他问不同的安排方法有多少个，这难吗？哎，一共就三个场馆，我如果想把三个场馆都塞满的话，那我就一步一步一步一个场馆一个场馆去看呗。 首先，哎，大家可以来看先看甲，也可以先看乙，也可以先看丙。哎，其实都可以啊，那我给大家增加点难度，我今天先来看丙，我从六个不同的同学当中选三个，直接放到丙这个体育馆里，那宝贝们自己想，那是 c 六三还是 a 六三呀？怎么判断来着？我先选 六个同学，我比如说选了出来三个，比如说就选了 abc。 好 了啊，我选这个过程肯定是 c 六三，但是你要看他有没有接下来的第二步。我需不需要对 abc 在 丙长管里面进行一个排序？说，哎， abc 谁当老大？谁当老二？ 这道题是直接要求把 abc 组成一个小组，咣当扔丙那个长管里就结束了。没说让 abc， 谁站在丙长管的前面，谁站在丙长管的后面，对不对？ 我不需要对 a、 b、 c 进行排序，我 a、 b， c， b， c， a， c， a， b 都行，没有顺序区别。所以这道题我用的是 c 啊，不能用 a。 好 了，那接下来的问题变成什么？我一共是有六个人的啊， a、 b、 c， d， e、 f。 那 比如说，我已经选出来三个出去了， a、 b、 c 已经没有了上饼长管理了，那接下来还剩几个？当然还剩三个，我就要在剩余的三个里面选两个人，放到一里面。三个人里面选两个是啥？ c 三二喽，就这么多种情况啊， c 三二是几啊？你可以简单算一下， c 三二就是三的阶乘，除以二的阶乘，再除以一的阶乘就等于三，正好对应着。你看，我选 d e 一 种情况， e f 一 种情况， d， f 一 种情况，一共就这么一 二三三种情况，对吧？ ok 啊，那比如说啊，比如说我举个例子，比如说我把 d、 e 选走了， d， e 已经没有了，那最后是不是就孤零零的就只剩了一个 f？ 你一饼长管都确定完，我 f 是 不是自动？自动必须得去假长管，没有任何其他情况，这情况是确定的。我第三步还用做不？其实可以不用再做了， 但是如果你说非得做，哎，我就得做怎么做。但从唯一的这么一个人里面选出来一个，放到假长管当中，那是 c 一，一写他不写他是无所谓的， c 一 等于一嘛。所以，这最后答案，我帮大家简单算一算啊， c 六三是六的结乘除以三的结乘除以三的结乘。 c 三二刚才算完了啊，三的结乘除以二的结乘除以一的结乘。我该约的约一约， 然后分子是一乘到六，大家刚学，我就慢慢算啊。呃，分母三乘二乘一，二乘一，二二约掉，三，三约掉。最后答案，六是选 c， 说实话，大家应该还能接受吧。这第一题我其实本质上分了两步，我先取四个放 a， 然后剩余的放二。 第二题，我其实分了三步，我先从六个里面取三个 c， 六三放饼里，然后呢，剩余几个还剩三个，三个里面取两个 c， 三二放到乙，最后还剩一个，一个人里面 c 一 放到甲，三步运算。 那如果宝贝们觉得不爽，我再举一个例子，这可就直接能口算了啊，七个人当中选四个人负责啊，假期工作怎么办呢？他说第一天安排两个人，第二天第三天都安排一个人。哎，这题跟刚才可有点不一样了啊， 一共三天，一二三。第一天要求有两个人来，第二天第三天都要求有一个人，哎，二加一加一，哎，正好是四个。说明什么？说明，按照题目说的，这七个人并不是所有人都有工作，对吧？七个人里面只有四个人有活干，另外那三个人回宿舍去啊，爱干嘛干嘛去，别来问这安排总数有多少 啊？那简单了，首先给大家讲第一个方法，我先不去关心，不去看这七个人，到底哪四个人有工作啊？我先不这么看，反正呢，在我面前就是非常单纯的七个人， a、 b、 c、 d、 e、 f、 g 站在我面前了，我是老板啊，我是老板，我要在这呢，要选人了， 首先我要想，哎，这第一天谁来呀？啊？我在七个人当中随意选两个，我只选没有排序，对不对？所以直接是 c 起二，七个人里面直接我选两个人，放到第一步，任务结束了， 比如说我就选了 bc， 他 们有活干了啊，那为啥不用 a 起二？很简单，因为我只挑出来组成一小组，直接就扔到第一天了。我选 bc 还是选 c， b 是 一种情况，它没有顺序的区别啊，所以是 c 不是 a。 那 你第一天安排完第二天呢？我要在剩余的一二三四五五个人里面挑一个人，放到第二天五个里面挑一个，那就 c 五一呗。 呃，比如我挑了 e 过来啊，我随便举谁举谁都行啊。那第二天你搞定了，还剩几个人？还剩一二三四。哦，还剩四个人了，太可怜了，四个人里面我只能挑一个人，放到第三天，那这四个人里面哪一个选一个？四个里面选一个 c、 四、 e， 比如说 g 比较幸运有活干，他过来了开始给我打工，那剩余的 adf 自动没活干，回宿舍结束，这是第一个方法。 哎，那第二个方法我还可以这么做，现在我面前有七个人，我先不关心谁去，第一天谁去，第二天我先选哪四个人，要给我干活嘞。那可能是 a、 b、 c、 d， 可能是 b， c、 d， e， 可能是 c、 d、 f、 g， 我 在七个人当中先选四个， 我把它作为第一步。 c， 七四好，我选完了，比如说我只选了 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g 让我淘汰了，然后我把活安排给 a、 b、 c、 d 这四个人，先选两个人放在第一天，那哪两个人过来呀，四个里面选两个 c 四二好，选完了，比如说 a、 b 来了，还剩几个，还剩 c 和 d， 还剩俩人， 那我想第二天谁来两个里面选一个放到第二天呗。 c 二一，比如说你选了 d， 放到第二天，那还剩谁？还剩 c， 就 剩那么一个人，自动他就添到第三天上去，你最后这个 c 一 一写不写都行，一个人里面挑一个放到第三天，那不就 c 一 一吗？ 这俩数最后算完肯定是一样的啊，最后大家自己算是四百二好了。以上就是这个视频的全部内容，我们给大家讲了什么是加法，什么是乘法， 讲了什么是排列，讲了什么是组合，而且还给大家举了一些比较简单的题目，这三道题都是单纯的选人问题啊。 那么后续接下来我们给大家介绍一些有关排列组合更难的，更复杂的一些题目，比如说需要什么分类讨论的啦，以及一些比较特殊的，什么相邻不相邻的排序问题等等等等，我们将在下个视频给大家讲，拜拜！

哈喽，艾瑞巴蒂，我是神奇小猪，今天我要给大家介绍的是计数原理的知识，很多宝贝在刚学排列组合的时候，完全摸不着头脑，根本不知道那式子该怎么列， 那么今天咱们就来一个一站式讲解，我们先来讲讲计数原理的基础知识，我们先给大家介绍加法原理和乘法原理，以及什么是排列，什么是组合，最后再来点计数原理的简单应用。 我们在下一个视频，也就是下周再给大家进行进阶模块的排列组合讲解，比如说什么最短路径、捆绑插控定序、分组和分组分配、数字排列以及染色的等等问题。 但在观看视频之前，我需要再强调一下，本视频为奶妈级零基础视频，难度不算高。更多精彩的核心内容详见下期快点开始吧！ 这一整章就教大家一件事情，就是如何数数。咱第一部分内容会讲两个数数的原理，一个叫加法，一个叫乘法。 先给大家举两个例子，第一个，我想从家到学校，那怎么去呢？两种方法哎，我一种可以坐公交车去，有三辆不同的公交车，六幺二六幺二、六幺五和六幺八，或者哎，我也可以坐地铁去一号线和二号线，我一共有几种方法从家到学校嘞？ 我坐公交车也行，我坐地铁也行，我三加二，我姥姥也会算，一共有五种方法吧，我这里面分了两类情况，一共五种方法，它各不相同。任何一种交通工具，任何一种方法都能使得我完成从家到学校的这个任务，这个就在加法原理，当我分类讨论的时候，我用加法 啊，再举个好玩的例子，记得啊，原本是我要从家到学校的，但我今天比较淘气，我先去游戏厅玩游戏，所以这一个游戏厅把我整个的路成分了两个部分，第一部分我从家到游戏厅，第二部分从游戏厅到学校。我在前半部分有两条路可以走， 一个两个，后半部分从游戏厅到学校呢，有三条路可以走。那我一旦把一个任务一分为二了，还像刚才一样，所有的情况是二加三吗？不是喽， 我来给大家每举一个，一个数出来，一种情况，两种情况，三种情况。好了，接下来四种情况，五种情况，一共是六种情况，对不对？六咋来的？那是二乘以三。 当我们好好的把一个大任务一分为二，分为前后两步才能完成的时候，那么前后的数字之间不用加法，而应该用乘法，分布用乘法，这两句话特别重要。 ok， 这就是我们今天的一个重要内容，分类用加法，分布用乘法。 那为了让大家刚学的时候彻底分清到底什么时候在分类，什么时候在分布，我给大家举两个非常形象的例子啊。首先来看第一个，现在小帅特别喜欢使用， 他收藏了各种精彩的视频，包括什么呢？三级学习视频，四级动漫，五级科普视频。现在问他今天心血来潮，在这三类视频当中随机选一级观看，问观看的可能情况数， 啥叫随机选一局，意味着这么多视频啊，我从中随便选一个就能满足我的要求，三个学习视频也好，四个动漫也好，五个科普视频也好，哎，哪个都行。 这时候显然我在分类讨论嘛，他们之间是或的关系，我要用加法来做。一共有这么多种可能情况，那我再换一个情景，给大家做一个类比，大家再来体会一下。今天他又要干嘛呢？他又决定劳逸结合了哦，他在学习动漫和科普三类视频当中各选一集。 啥叫各选一集？第一种视频里面选出来一个，每一类我全都要，所以相当于说，哎，我为了满足各选一集这要求的话，这一整个任务我得分三步，第一步，三集学习视频选一个。 第二步，四季动漫选一个。第五步，光他俩选的还不够，我还得在最后科普视频当中的五个当中选一个。 那我一共的所有情况用加法还是乘法嘞？当然用乘法。哎，宝贝，你别看这俩例子挺简单，你能判断出来加法和乘法，但以后有的时候，在一些比较复杂的情形当中，经常有同学非常混淆，我教大家一招，尤其是初学者，特别好用 啊。比如现在我随便写了一个数字，哎呀，这数字我写完，接下来我到底用加法还是乘法呢？你就判断一件事情，就这数字所代表的这个情况，你选了一个吗？对吧？你看他有没有完成任务。什么叫完成任务？ 咱拿刚才这例子来看，我问大家，这三辆公交车有没有完成从家到学校的任务，是不是人家完成了，人从头到尾把这任务结束了呀？一下都完成了，说明这是众多类当中的一类。 我在分类讨论，用加法，加法前后连接的任何一个数字，人家都可以独立完成任务，但乘法不一样，你看乘法前后连接的这俩数字。我问大家，这二所代表的这两条路，你走完之后完成任务了吗？你到学校了吗？根本没到。 所以这相当于是整个大任务当中的一小个步骤，我在分布吗？没完成任务，接下来还有其他的步骤需要去做，不与不之间分布了，所以我们才用乘法。宝贝们听懂了吧， 那接下来我们多给大家举几个例子啊，大家来体会一下。他说啊，现在有灯笼，有什么灯呢？有宫灯、纱灯和吊灯，现在有四个不同的人，怎么样呢？每个人从这三种灯里面任选一个，问不同的选购方式有多少个？大家做题的时候，你就切身的想象一下这个情境。现在啊，咱分别安排四个人， a、 b、 c、 d， 他 们去市场了，在市场上选灯了，他们从一、二、三三种灯里面任意选一个。那几种情况 傻子都知道，三种呗，咱总不能在三种灯里面选出来第四种，对不对？好，那第一个选吧，第二个人也该选了吧，我也是在这三种灯当中任选一个，还是三种情况，第三个人也是三种，第四个人还是三种。那问题来了，我最后是三乘三乘三还是三加三加三嘞？ 聪明宝贝肯定一看就会了，但如果大家刚学，咱用刚才那招，你看这三有完成任务吗？我光这一个人选完灯了，任务完成没？怎么别人不选了呀，任务不是没完成吗？所以这相当于四个人团购这一整个大任务，我分成一二三四四个人分别去采购这四小步呗。 那不与不之间，我们应该用乘法。最后答案八十一。那接下来我换一个情境，再来考察一下大家，会不会啊？我变成啥了？不买灯了，变成投信箱。现在我有四封信投入到三个不同的信箱。当然，这引言，这四封信是不一样的啊，不一样的信投入到三个不一样的信箱当中，问不同的投信方法有几种？ 有个小笨蛋一看这道题，哎，太开心了，简单，我画仨信箱往信箱里放信呗。我从信箱的角度啊去选。你看啊，第一个信箱在四封信里面哎，选一个有四种情况，同理。第二个信箱，哎，也能有四种情况。第三个信箱还有四种情况。让他用四乘四乘四这么做，对吗？ 这里就涉及到你是香选信还是信选箱的问题，咱这任务到底是把四封信全都送出去，还是把三个信箱全都填满呢？ 咱是不只要把四封信送出去就可以了。谁说仨信箱一定都得有信呢？所以咱不能用信箱的角度去分布。我们的任务是四封信送出去，所以咱从信的角度去思考，去分布。 这第一封信在他面前有 abc 三个信箱，那他有几种情况选？当然，当之无愧就有三种情况， 第一封信投完啊，第二封，第三封，第四封。每封信人家都有三个信箱可以选。我一二三四四封信都投完了，这任务才结束。我一共分了四步，步与步之间用乘法九。答案九九八十一。 所以讲这道题目的就一个，大家得理解好整个问题的任务真正是什么。这道题的任务是把信送出去，而不是把信箱塞满。 大家有了这个意识之后，哎，有些题目就非常好做了。你看啊，现在他说公交汽车上有十位乘客，十个人，沿途呢，有五个车站，问乘客下车的可能方式。哦，那这道题怎么做？咱是从十个乘客的角度去想把整个问题分十步，还是从车站的角度去想把整个问题分五步嘞？ 哎，这一整个路程啊，他分了五步，一共五个车站耶。他说第一个车站，哎，可以有十个人下来，对不对？十种情况。第二个车站也可以有十个人下来，第三个，第四个，第五个，所有的全都有十种情况，十乘十乘十乘十，十的五次密，他特别开心，这么做对吗？ 咱难道是把所有的车站都塞满吗？有没有可能某一个车站没人下车，其中某一部可能根本就不存在，甚至有可能。哎，这十个乘客里面，有两个或者三个或者十个，全都在第一站，全都下车了。我们现在的任务是把这十个乘客排布到五个车站去，把乘客分好了， 在整个任务里面，咱这乘客是不可以重复利用的。你不可能说一个乘客，我既在第一站下车，又在第二站下车，那不闹鬼了吗？ 就像刚才这四封信一样，我的信不可能既出现在第一个里，又出现在第二个里，对不对？我的信是具有唯一性，具有不可替代性的，每封信前后只能出现一次。所以我用信的角度去做，我是信选香，而不是香选信。 那刚才这题也一样，我是人选站，还是站选人呢？反正乘客是不可重复利用的吧。所以要从这十个不可重复利用的乘客角度去分析啊，每个乘客随便人家有五个车站来选第一个乘客，我随意说啊，我在五个车站当中选一个，第二个乘客也一样，每个乘客都是 每人都有五种情况来选，一共分了十步，最后应该是五的十次密，而不是十的五次密。这么讲大家应该能听懂了吧？ 哦，这是三个实际的情境，其实大家得分好，谁选谁。我，第一题是人选灯，不是灯选人。第二题是我是信选信箱，你不能反过来。第三题，我是人选车站，不是车站，放在这选人。好了，那我们跟数学再联系更紧密一点， 再给大家举个简单例子啊，你看他说从一到十当中的正整数里面，一二三四五六七八小时任意随意抽取两个，他问，相加的和是奇数的不同种情境，有多少个就俩数一到十的相加，想出来奇数，哎，我们知道啊，偶数加偶数，肯定是偶数，对不对？ 哎，那基数加基数呢？比如说三加五，三加五，好像也是偶数，对不对？想出现何为基数？只有一种情况，那就是一基一偶相加才是基数吧。所以这个部分大家得给他翻译一下，把整个问题变成，我抽取两个，抽取的是什么呢？必须得一基一偶。 好，那整个任务就出现了，我们现在一共有一到十个这么多数，哎，那我先来看一到十这些，哎，有谁是基数，谁是偶数啊？忒简单了，一三五七九是基数，二四六八十是偶数呗。哎，所以我先把它分好类啊，第一类，第二类。 哎，我在整个这么多当中想抽两个，还想一鸡一偶的话，那我把它想象成两步。第一步，哎，咱想抽出来一个基数，从哪抽？那肯定在上面五个当中抽一个呗。几种情况？五个里面抽一个，要么他要么他要么他要么他不可能出现第六种情况，一共就那么五种情况， 那还没完，你光把基数抽出来了，还得再抽个偶呢，对吧？哎，在这五个偶数里面再抽出来一个，一共也是五种情况，分布匀算五乘五，答案选 d。 这题其实就是想告诉大家，有的时候这一个任务特别难完成，这一个任务可能里面有特别多的要求，没关系，一个要求，一个要求，一步一步做。虽然他说的是我一次性抽两个，然后呢？保证一期也偶，但是我可以想象怎么样的呀？我可以先抽出来个基数，再抽出来一个偶数，那不就是一下抽两个一级也偶吗？ 所以接下来我们很多进阶问题也是类似的，大家首先得理解这一个大任务是什么，然后一步一步一步做。 在咱真正考试里面啊，不是每道题都像刚才一样，用个加法，一个乘法就结束了，很有可能在题目当中他给大家设置一些限制。本来好好的一个选数问题啊，现在，呃，什么九张算数算数九张，然后什么算精？一共三本书， 然后甲乙丙三个人同学计划每个人在图书馆中从中选择一本来阅读。已知图书馆三种图书，哎，库存都是充足的。这句话啥意思？ 就是说这三种书每种都有好多好多本，你随便选。然后接下来他讲了一个非常重要的限制条件，哎，不是随便选啊，怎么样呢？他说三个人选的书你不能完全相同，问这不同的选法有多少种？那啥叫不全相同啊？ 就是不能说三个人都选其中一本啊，这叫不全相同。那可以出现什么情况？第一类情况哦，三个人各不相同，这肯定叫不完全相同， 或者呢，三个人当中有两人相同，比如说其中两个人，比如说甲和乙。哎，选了九张算数，那丙同学就不能再选九张算数了，就选另外两本书的一个。我要是这样分析，正向的分析，那么有一、 二这么两种情况，我得分别去算这数有多少。这可能对于初学者来说，这可能还没那么好算，我们可能讲完排列组合之后再回来算会更简单。那现在是不是做不了了嘞？不是， 我们经常可能在题目当中遇见什么什么不怎么怎么样，出现不怎么怎么样的时候呢？经常可能需要我们进行分类讨论。那么其实有一个另外一个思路，大家来看， 这题不是有这限制条件吗？哎，我先不管这限制条件，我不看他了，我假装这限制条件不存在。我问大家有多少种情况，那就随便选呗。一共现在有三个人假过来选出有一二三三种选择，而选完之后，乙又来选了一二三三种，丙也有一、二、三三种。每个人都有三种情况。 我把三个人选说的过程分三步，甲选完之后，乙选乙选完之后，丙选分布匀算，用乘法，这是所有的情况，这没问题吧？一共三、三、三二十七种情况， 但是这不是一道题答案，对吧？因为这二十七种情况里面有一些情况，人家指明了题目，说不能有，不能存在人说三个人选择不能完全相同， 所以我需要在刚才这么多种情况里面，减去三人选择完全相同的那类情况。其实就是一个反面思维呗，我把所有情况算出来，再减去不符合题的情况，那就是符合题的情况。 所以现在变成了一个简单问题，现在问三人选择完全一致，有几种情况呀？啊？你手上一共就这么三本书，你说有几种情况？ 要么甲乙丙三个人全选了九张算数，这是一种，要么全选第二本书，要么全选第三本书，一共就一二三三种情况，所以就答二十七减三，等于二十四种。 ok， 这第一题咱讲完了，我现在这一页里面有三道题，这三道题放在一起不是没有原因的啊，你看着是各种各样的情境，但是很多逻辑是一样的。比如说你来看第二个， 这个如果集合 a 啊， a 集合里面有一二三三个数，还有个集合 b， b 集合里面有一四五六四个数，他说从这两个集合当中各取一个元素， a 里面抽一个， b 里面抽一个，作为平面直角坐标系当中一个点的坐标。问，能确定的不同点的坐标啊，它的个数是多少个？ 当宝贝们刚学你遇见这种复杂情境的时候，你可以试两回啊，比如说 a， 咱抽一个，比如说我就抽个二好了啊， 那 b 呢？我也抽一个，我就抽一个六，然后这俩数要组成一个坐标。哎，好家伙，那有同学就想了呀，哎，坐标我们知道，他是有前有后的，二和六组成坐标到底是二六还是六二 意味着虽然我抽完数字了，确定完一种情况之后，但是最终结果他还能进行一个前后的排列，是不是？所以我把整个问题哎得分为这么几步，第一步， a 集合抽个数。 第二步， b 集合抽一个啊，当然俩数抽完还不行，还得一个前，一个后，一个后，一个前，还得进行一个前后排列。 这三步操作做完，哎，咱们才得到一个具体坐标对不对？哦，那具体咱每一步都有多少种情况嘞？慢慢来数呗。首先来看第一个 a 里面抽一个 a， 一 共一二三三数，我想抽出来一个有几种情况了？ 我奶奶都知道，你要么抽一，要么抽二，要么抽三，一共就三种情况，咱怎么可能再抽出来第四种情况呢？那类似的 b 也是一样的， b 也是一二三四个数，抽出来一个，他也仅有四种情况可抽， 所以三乘四就是我所有的抽数的情况。那抽完了该干嘛了？咱们再抽一个数，一种情况的基础上还得乘二，因为它会产生两种坐标吧，一共分三步，把他们仨数撑起来。 这题咱看着哎，好像分析的挺对的，但是呢，咱如果抽的是二和六还好，因为这里面二三四五六他各不相同，对不对啊？两个不同的数，你前后排列二六六二，的确会产生两种不同的情况。但是大家想，如果我抽的是一一类， 这一前一后可是有两个数长的是一模一样的吧。如果我抽的是一一，那他仅会产生一种坐标，那就是一一 不会像别的数一样产生这种前后的排列，对吗？所以意味着刚才我在抽取，在乘二的过程当中，我把每一个 a b 抽出来的东西，我都成了二，但是其中有一种情况，一一的时候能乘不，不能乘我一一调换位置前后，那还是一种情况呀， 相当于我多数了一种。所以最后大家别忘了，你得减去你多数的那一种，一一的那种，本来一就这么一个点的坐标，但是我在这里面乘二了，相当于呢？我把一种情况当成两种情况算多数了一个，所以要减一， 因此答案三八二十四，二十四减一，一共有二十三种，完美。哎，两道题都是你先甭管人家要求什么，先把所有情况列出来，再减去那些不合理的情况就可以了。 那我们牛刀小试再来一道事先声明。哎，这第三题是拔高题，但如果第一开始学的时候能听懂是最好的，如果听完之后稍微有点迷糊也没关系，我们学完排列组合之后再回来做这道题，大家可能也会有全新的理解， 所以基础比较好的宝贝可以跟我一起来做一做，想一想，那如果基础没有那么好，这题可以先跳过，先把所有后续的基础内容都听完了再回过来做，也是可以的。 准备好要开始讲喽，现在一二三四五六七八九这九个数我任取两个，比如说你可以取什么一三呐，取两个，或者让取五七，取两个 啊，怎么取？没人管你啊，现在其中一个作为底数，另外一个作为真数，他能得到最后不同的对数值有多少个？哎，所以这道题吧，跟刚才好像还挺像的，是吧？咱要是光取俩数，比如说，哎，取个三啊，取个五，能确定最后的对数值不？ 三和五谁是对数，谁是真数，是不？还是不知道哦，因为我们知道整个对数值下边这数会影响他的值，哎，上面这真数也是会影响他的值的。 咱底数得在这么多值当中选一个，真数也得在这么多值当中选一个，对不对？这第三题比刚才其实要难一点，因为刚才这道题，人家把 a 和 b 分 了两个集合，人家说了俩集合当中各取一个元素，我 a 集合抽一个， b 集合抽一个，这样分布， 但现在人家没有把这一大坨数分两组，人家混在一起的，那这个时候我们怎么分布？咱是不可以按底数选一个，真数选一个，这样分布啊，哎，这不就舒服了吗？对不对？哎，那我们来看底数，哎，底数啊，九也好，八也好，六也好，四也好，好像都行，但是，哎， 这里还有一嘞一能当底数吗？咱学过的吧，以 a 为底的对数， a 必须得大于零，且不等于一啊。 所以这里面最难的点在于，一到九这么多数，他并不是完全等价的，地位，他们地位不一样，这里面有一个特殊元素是一，因为这里面一如果选的话，他只能当真数，人家不能当地数，对不对？ 因此整个问题，我们在计算的过程当中比较纠结，你一旦纠结了，哎，我就想，哎，这一到底有没有他呀？一纠结，那就得分类讨论，因为本身一呢比较特殊，而且我还不知道我究竟选俩数，这俩数里面有没有一，那怎么办？讨论呗。第一种情况我选了一， 那第二种情况呢？你要么选一，要么不选一呗，对吧？一共就两种情况，我没选一。那哪个情况比较简单，比较好讨论呢？那肯定第一个呗，因为你想如果啊，如果我选了一，一，现在确定有了，你一只能放在哪啊？ 一只能放在真数，对不对？所以意味着无论我底数选了几，以任何数为底，一的对数数总是零啊，这值是不是一个确定的值？人最后问，可以得到不同的对数值有多少个？所以如果我们选了一的话，别的数不用选了， 因为求无论怎么选，哎，咱算完的值都是零，全都是一种情况。那接下来问题就简单了，我不选一，那一到九这里面，我就当这一死了，他没了。现在我只从二三四五六七八九这里面数去选这个我想要的底数跟真数。 好，那我要分布计算了啊，我要先选底数，再选真数，但是你反过来我，你说，哎，我非得先选真数再选底数，哎，一样的啊，这顺序无所谓， 我先写一下啊。这个过程，第一步先选底，第二步再选真数。理论上，哎，咱底数真数确定了之后，哎，这数值是不是就确定了呀？ 后面，哎，可不用再乘二了啊。跟刚才可不一样，刚才是你选完之后不确定谁在前谁在后，我才是二，现在我选的时候已经确定了，我先选了底，就在放在下面我，然后我第二步选了真数放在上面， 我选完之后任务看着，哎，就应该是结束了的，对不对？好，那我开选了。那怎么选底啊？有几种情况哎，你二到九不随便选吗？八个数，任何一个放在这都是合理的。二到九一共八种情况，我这第一步填八。 好，那接下来有个非常严重的问题啊，你底选完了真数嘞？如果说，哎，那他也是二到九八种情况一样的嘞，我也填个八好了，这对吗？你以为像刚才一样选灯笼，或者像第一题那样选书呢？ 咱选书的时候怎么说？他说书的库存是充足的，甲与丙互不干扰的，随便选对不对啊？甲有三种情况，乙有三种情况，丙也有三种情况，但是现在一样吗？ 现在这情形下，我从这么多书当中任取两个，我一次性的取两个出来，他俩一定不同。 咱一共一到九就九个数，不像刚才一样叫库存充足。现在库存不充足，每个数是具有唯一性的，就他这么一个是非常独特的，你不可能在这九个数里面抽出来两个六六只能出现一次，对吗？换句话说，我抽出来这俩数，必然不能重复，能听懂吧？ 所以，如果咱真的算成八乘八，那是怎样的一个情境啊？那叫二、三四五六七八九，每种数有无数个，你随便选 第一，如果我选了二，哎，我真数还可以再选二。你随便选的时候啊，那的确是八乘八，但现在不是。你选出来一个，这池子里面这六就没有了，就消失了，咱二到九就不可能再出现六了。 换句话说，你选一个数就少一个。因此我在乘的时候，大家要注意，我不是已经先选了底了吗？啊？有二到九八种情况，那我选完底之后，比如说啊，我随便举个例子，我把六选出去了，六现在光明正大的就当底了。那接下来我再选真数的时候， 这整个池子里面还有几个数可以选呀？还能选六吗？六没有了，咱就剩二三四五七八九这七个数了吧？ 咱从八种选择就只剩接下来的七种选择了，到这八乘七才是我们真正把数选完。 所以今天我们讲排列组合，第一节课就给大家辨析这两种不同的情境。第一种情境，我每一种东西我库存充足，我随便选，我选的时候可以是重复的啊，都选什么？九张算数啊？什么都选这个，那这个时候你算的时候，那就三乘三乘三这么算。 但是如果另外一种情况，我从一大堆每个都具有独一性的这些东西里面选的时候，如果人家说任取两个，因为这两个他不能重复，对吧？我不可能六出现两次，那我每选一个就少一个。我选底的时候有八种情况，那我接下来再选真数的时候，就有七种情况了。 好了，目前我已经把所有的数选完了，那最后答案是不是？哎？我分类讨论了吗？对不对？有的宝宝一看啊，七八五十六，一共分了两种情况，我在分类讨论，分类讨论的时候，我要相加，我一加上五十六，一共等于五十七种情况，这样做对不对？这题还有陷阱， 这题当之无愧是我们整个前半部分最难的一道题了啊，陷阱在哪啊？我们现在只是选完数，对不对啊？把底数真数都安上数了，但是人家说最后对数只有多少个，有没有可能我选完了两组数啊，一组真数底数放完了，另外一组底数真数也放完了，但是他们的值 是一样的。有可能吧，但对数计算里面怎么学的？我们知道以 a 为底 b 的 对数，如果我把它们底数真数哎，都乘以 m 次密，哦，那然后呢？我把 mm 下头公式都提出来哦，变成 m 分 之 m 被 the log 以 a 为底， b 的 对数， m 分 之 m 就是 一了 啊，就不看了。这公式有印象吧，所以，哎，对于一个真数来说，如果把它的底和真数全都多少同一个次密的话，这值是不变的吧。 啊，比如说，你看啊，我选了二和三过来，我们知道以二为底三的对数和谁是一样的？我把二和三同时平方 和以四为底九的对数居然是一样的，哎，相当于啊，我刚才选的时候，我二和三，我底选二真选三是一种情况，底选四真选九也是一种情况，我算的时候看成了两种，但是最后它的值是一个值， 我在这么多种情况里面，得把这种情况减去我多数了呀，你看，这是两种情况的东西，但实际上最后人家只是一种情况而已 啊，对吧？啊，那跟这个 log 二三类似的还有谁啊？哈， log 三二呗， log 三二和 log 九四是一样的，对吧？ 除了这两个之外，还有别的没？这可能就非常考察大家对数你学的好不好了，刚才咱这把底数真数都多少多少次密了。那除此之外，我举个例子啊，比如说以二为底四的对数，这虽然你看的是一个对数值，但实际上这值等于几？这值是二 四，不正好是二的平方吗？其实这值算完，你三是一个整数对不对？那谁算完也能是二啊？我以三为底九的对数是不是也是二 啊？以四为底十六的对数啊？当然这里面这题里面没有十六，对吧？那这个的确就不用再往下考虑了，但是我们知道这俩数是一样的，虽然是二四三九两种情况，但是它值是一个值。 同样跟他类似的，我们底数真数调换位置，以四为底二的对数和以九为底三的对数也是一样的，它等于二分之一。所以整个问题选数的所有情况是七、八五十六种，但是其中有一、二、三、四四种情况，我们多数了，咱得减去四， 这也太难了，这一共有多少种情况？第一种情况有一种，第二种情况五十六减四有五十二种，那最后答案是一加上五十二，分类用加法，最后答案等于五十三。 以上就是我们技术原理的第一个部分。我们讲了两个原理，分别是加法和乘法。当我在分类讨论的时候，我用加法，当我在分布，哎，把一整个大任务分两步进行，每一步之间我用乘法来做。 刚才咱做了几道进阶题了，咱把所有情况练完之后，题目当中哎可能会直接给你一些条件，咱就把不符合这些条件的 这种情况减去。当然也有可能题目像第二个和第三个一样，那限制条件是隐含的，咱需要对题目本身进行深刻的理解，大家才能知道有些情况是我们多数了的。比如说这个一逗号一这个坐标，我们在进行三乘四乘二的过程当中，多数了一回，咱得减去它， 或者这个对数也一样，二三四九三二九四、二四三九四二九三。这四组数咱算的时候把它看成了八种不同的情况，但实际上人家是四个一样的数， 咱得减去四。那显然后面这两道题就属于比较难的题了，大家得深刻理解它隐含的限制条件。

哈喽，艾瑞巴蒂，我是神奇小猪。在上一个视频，我们给大家讲了技术原理的基础知识，今天咱们来一个排列组合的大进阶，我们对一些最常考的题型做一个大梳理，那接下来我们来讲最后一类题型，也是考试，几乎可以说是最热门的问题，叫分组。 先给大家介绍一下什么是分组问题啊，比如说我手上啊有 a、 b、 c、 d 四个不同的东西，我把这四个不同的东西分两堆，比如说我二二分，一堆放两个，另外一堆也放两个。其实说白了，就你班一共四个人，这四个人我分两组，二二分咋分？ 我没局法给大家列一下哈，俩人配对呗，什么 a、 b 呀， a， c 呀， a d 呀， b c 呀， b d 呀， c、 d 呀，这些都是。 如果 a、 b 是 一组的，那另外一组那是谁呀？那肯定是 c、 d 啊，不可能， a 既在一个组里，又在另外一个组里，这这个情况不可能出现，对不对？好，那除了 a、 b 之外，我还有 a、 c， 那 a、 c 一 组， b、 d 就 自动成一组喽。接下来 a、 d 也可以连在一起， b、 c 又自成一组， a、 d， b、 c， 那我坐到这是不是所有的分组情况嘞？有同学说感觉不对哎， a、 b、 a、 c、 a、 d， 有 没有可能我在这一堆里面没有放 a， 我 放 b、 c， 感觉好像也行，第一堆放 b、 c， 那 我第二堆就放 a、 d 喽，这到底是不是第四种情况呢？注意，我们现在叫分组， 我需要把四个不同的东西分堆，看谁跟谁在一起，大家没发现吗？你看这是 b、 c、 a、 d， 但它跟上面这个 a、 d、 b、 c， 我 分组的方式是完全一样的，都是 a、 d 在 一起， a、 d 在 一起， b、 c 在 一起， b、 c 在 一起。 所以本质上这不是新的一种情况，它跟上面是属于同一种情况啊。因此我列来列去，其实一共只有这么三种分组情况。 因此总结一下，分组有什么特征。第一，我组内是 a、 b 还是 b？ a 没有区别，我组内没有顺序，而且组和组之间它俩也没有顺序区别。我不会认为我先写 a、 d， 再写 b、 c， 还是先写 b、 c 再写 a、 d 而出现不同情况。不是的哦，这俩可是同一种情况， 所以组内无顺序，组和组之间我也没有位置，没有顺序的要求，谁放前谁放后其实都可以。 ok， 给大家解释完什么是分组了，那题目当中他会出现什么情境，以及我除了没举之外怎么去算嘞？先给大家举第一个例子， 现在小帅，呃，手上有六本不同的书，我要按照一下要求，求一下不同分法。首先，小帅说啊，我要把这六本书分成两组，怎么分呢？第一种分法，我一组四本，一组两本。哦，那大家来讲六本书，我记 abcdef 六本啊，一组四本分两组，那我画圈了啊，一组四本，一组两本 咋算？选呗，我手上一共有六个不同的东西，我为了让其中四个组成一组的话，我在六个里面是不得选四个进来啊，这是我完成任务的第一步，我得先选吧，让六个里面抽出来四个。举个例子，哪四个呢？比如说 a、 b、 d、 e 这四本书我放进来， 然后我发现问题好像挺简单的，我手上就剩两本书了，我直接把它扔到这两人组里来是不直接问题就结束了， 我列一个 c 六四居然就已经够了，因为我一共其实就两组，选四个，分一堆之后，那剩余的那只能让 c f 配对到第二步 啊。但是如果有个宝贝非得写啊，你现在从两本书里面抽两本翻到这里来，咱后面加个 c 二二其实也可以啊，因为 c 二就是一乘一，不乘一都行，这是第一种分法，一组呢，我放四本，一组放两本， 那如果换一道题，现在一组三本，另外一组也三本，大家怎么分？如果我们还按照刚才那思路去做，哎，可以做，你看不是分两波吗？不每个都三本书吗？那我可开选了啊，六个里面选三个有多少种情况？那 c 六三呗。好，我选完了， a、 c、 d 进来吧。 接下来，哎，我就剩 b、 e、 f 这三本了，我直接把它放到另外一波自动乘一组，我啥都不用干。后面如果你想写，从三个里面抽三个，乘个七三三也无所谓。这式子的的确确是从我们刚才那算法当中得到的，但是我要提醒大家一点，这做法是错误的。 为什么这很多同学在刚接触这分组的排列组合的时候总搞不清，而且很多宝贝听老师讲也听不懂，所以接下来我可能讲的会稍微慢一点，讲的细一点，争取大家一遍能听懂。那如果有的同学这一部分的原理已经听得滚瓜烂熟，非常熟悉了，那可以直接去做这个视频后面的一些难题。 那接下来我要正式开始讲了。为啥刚才我一组四本，一组两本，我这么算可以，现在我一组三本，另外一组也三本，这俩数一样的时候，他就不对了， 那六本书太多了，我给大家解释的时候呢，我还用刚才那例子啊，用四本书来举例子，这四本书或者四个人，我二二分的话，那如果按照刚才这算法，那我第一步我从四个人里面先选两个人放进来，那就 c 四二 啊。比如啊，我随便选，我选了 a d， 那 选完了 a， 选了 d， 还剩 bc， 那 bc 自动就放到第二组里面去呗。我后面这个 c 二二乘还是乘一，其实都可以，对不对？那这俩数其实最后答案非常好算，四乘三比上二乘一， 这样算应该是六。我这么算的确是六种，但是我刚才没举。是六种吗？好像只有三种哎，咋回事？好奇怪。 小笨蛋，啥叫 c 四二？我四个人里面选两个，我可以能是 ab， 可能是 a， c， 可能是 a， d， 可能是 bc， 可能是 b， d， 还有可能是 cd， 我把所有情况全列出来了，一二三四五六，这题是才叫 c 四二。好，那你第一对每一个情况确定完了，它对应的另外一对 b d 的 时候，那我另外一组是 ac， cd 的 时候，另外一组那肯定就是 ab 呗。那刚才也说了，你看着是六种情况，但是 abcd 和 cdab， 我 组和组之间有顺序区别没？没有吧，相当于这俩其实就是同一种情况，一模一样的结果。我多数了，我把整个情况翻倍了。 a c b d 跟 b d， a c 也是一种情况， a d b c b c a d 还是一种情况，我费好的劲算完这么多情况，那即使我多数了，数重了，我这答案是正确答案的两倍。那正确答案是啥？我姥姥也会，你把这数 图二是不就行了？二，咋来的？我们在整个原来数的这个过程当中，我们把 a、 d 和 b、 c 进行了一个排序。光算分子的时候，我们以为啊， a d 在 左， b c 在 右跟 b c 在 左， a、 d 在 右是两种情况，但实际人家是一种情况， 我这顺序是我人为在算的过程当中，你给人家加入的，本来人家没有这顺序，所以两个东西排序的时候，那是 a、 r 二排序，所以我除的话，这二其实我除的就是 a r 二，咱把数的过程当中那分子的那个顺序给他消掉。 哎，没听懂。没关系，我再讲一遍，刚才是四个元素，现在变成六本不同书变成六个元素也一样。咱刚才不是得到了一个这个式子吗？这式子里面包含好多好多情况，其中一种情况就像刚才说的 a、 c、 d 一 组， b、 e、 f 一 组， 但其实我在选的过程中，这第一步 c 六三里面，我有可能 c 六三里面选了 a、 c、 d， 我 也可以在第一步的时候没选 a、 c、 d， 反而选了 b、 e、 f 吧，那我还剩谁？那我还剩的就是 a、 c、 d 喽。 宝贝们有没有发现，在这式子表示的这么多种情况里面，咱把这两个东西看成两种不同情况，但实际这两大坨之间只是分组，没有顺序的区别。你不可以把 a、 c、 d、 b、 e、 f 进行排序，我不关心顺序不可以有这种顺序，这种顺序需要人为的消掉， 说白了，其实就是咱多给人家乘了个 a、 r 二进行排序，那我为了消掉这 a、 r 二，那我就除以 a、 r 二。 这一段讲的有点墨迹，如果大家能听懂是最好的，那如果这原理没听懂也完全没关系，大家就记住。结论， 分组问题，组合组之间是没有顺序的，如果一组四本，一组两本，这俩数不一样，那还好，你就直接算就好了，算完肯定是答案，但如果你发现俩数如果一样了，数字相同，要消序。 ok， 那 这个原理给大家讲清楚之后呢？我们多来看几个不同的分法，大家来算一算，把所有在考试当中大家可能会遇见的一些长线分法都做一遍。比如说我现在不分两组，分三组了，会不会做？我也会，你看 一组三本，一组两本，一组一本咋列式子？你不是有六本书吗？你为了使得一组有三本，你是不是得选哪三本进来啊？六本里面选三个 c， 六三，第一步选完了，比如说啊， a、 c、 d 进来了， 那我问大家还剩几本？看着一二三，好像还剩三本，对不对？没错，他们又怎么分？我另外一组只要两本，所以相当于我要在剩下的三本书里面再选两本进来。哪两本？几种情况？ c 三，二种情况， 三本里面选两个。比如说我随便选，选了 e 和 f 进来， e， f 有 位置了，还剩谁？还剩孤零零的一个 b， 甭选了，唯一的一本书直接放进到最后一组后面， c 一 可成可不成，这式子列完我就选完了。 那需要消序吗？拜托，三二一这组和组之间数量是不一样的，不会出现刚才，哎，因为他这个数量是一样的，谁在前谁在后啊，不会有这种情况，不用消序。但如果人是另外一种问法，人家分成二二二的话，那可就得消序喽。 首先先选六本书里面先选两本 c， 六二，选完之后还剩几本？一二三四，还剩四本，四本里面再选两个进入到第二组 c 四二。比如说 e、 f 进来之后还剩最后的两本 b 和 d， 两本里面选两个直接进来 c 二二，可成可不成？ 那最后最关键的一步，我在选的过程当中，人为的这里面其实是有顺序的，但其实人家是没有顺序的， 我不关心谁在左，谁在中，谁在右。你选 a、 b、 c、 d、 e、 f， 跟你先选 e、 f， 后选 a、 b， 再选 c、 d， 还是你先选 c、 d， 再选 e、 f， 再选 ab？ 在 这么多列的式子的情况当中， 你给人这三组三个不同元素进行一个排序，但是实际上不允许有排序，我就要把三个不同元素全排列，这 a 三三给它除一下，找到规律了吧？ 如果有两组书，它的数字是一样的，我就除以 a 二二。但是如果有一二三三组书数目一样，我就除以 a 三三。 那往后就不用我讲了，要是有四组书数量都一样，你就除以 a 四四。挺好理解吧，扭到小试再来，我真的要分四本了，还是 a、 b、 c、 d， e、 f 一 组两本，一组两本。一组一本一本啊，够恶心的，明显二二一样一一一样。没关系，我先选。先让六本书里面选两个放在第一组 c 六二。 那脑补一下啊，两个没有了，还剩几个？还剩四本书，四本书里面再选两个放到第二组 c 四二。那一旦前两组选完之后，我发现，哦，四本书已经有位置了，还剩两本书没有位置怎么办？这两本一个是 e， 一个是 f， 两本当中选一个放到第三组。 c 二一， 最后孤零零的，还剩一本书，直接放到最后一组。 c、 e、 e， 那 这份题有没有结束啊？没有，前两组都是二，有两组数据一样的，我得把这两组全排列的那个顺序消掉，我得除以 a 二二，还不够。后面那两组也一样，他俩之间也有排序，我也得把这顺序消掉，我再除以 a 二二，消序两次，这才是最后答案。原理我不管你懂不懂，这式子最后必须得列对，因为这考试经常考 不够爽。再来一组三本，一组一本一组一本，一组一本。好，先选吧。六本书里面先选三本，放到第一组 c 六三，比如说 abc 放到第一组，那还剩几本书啊？ d、 e、 f 三本书，三本书里面选一个放到第二组。 c 三一，选完之后还剩几本书？还剩两本书。 e 和 f， 这两本书选一个放到第三组。 c 二、 e， 每选一个我就少一个，最后只剩其中最后一本书，直接咣当，咱们就把它放到最后一组去。 c、 e、 e， 当然，别忘了你这么分，有没有数字是一样的？我发现有三组后三组数字都一样，它们三个内涵着 a 三三的顺序，内涵着 a 三三的全排列，我得需要把 a 三三除一下，三组数字一样，就除以 a 三三，这就是最后答案了。 那针对最后一个这种分的方式，我再讲另外一个分堆的方法，大家可以来算一下。你看这式子， c 三一，那其实三个里面选一个就是三， c 二一就是二， c 一 就是一，我下面 a 三三是不是也是三乘二乘一后面相当于，这其实就直接约掉了吧？ 好家伙，真的好神奇，其实我只要列一个 c 六三就可以了，怎么理解这件事嘞？大家设身处地的来给 a、 b、 c、 d、 e、 f 这六个人来想一想，就其中一组有仨人， 别的组都是孤单的，独立的一个人。所以大家有没有发现，我其实只要选出来这六个人当中哪三个是抱团的就行了吧？比如说 c、 d、 e 是 抱团的，那我直接就放到这三人组当中来呗，那剩余的还用你选吗？ 咱就剩 a、 b、 f 三个人，你要给三个人分三组，你没发现那分组的情况是唯一固定的吗？那肯定 a 一 组， b 一 组， f 一 组，他三之间没有顺序的区别。我选完 c 六三这个问题直接结束。 一旦 c、 d、 e 三人一抱团，那剩余的 a 自己， b 自己， f 也自己，这分的方法是确定的，任务是完成了的，对不对？ 这就是我们今天要讲的分组的第一大类问题。简单，分组会列式子就行。一句话总结，那就是如果出现数字相同的，你在均分一定要稍许，要除以 a 两组均分就除以 a 二二、三组均分，咱就除以 a 三三 分组。咱是讲完了，那考试有可能在分组的基础上再拓展一下，比如说我分完组之后，再加上一个分配， 什么样的一个情形呢？你看啊，刚才小帅是有六本书，咱不是分了四组吗？对不对？现在小帅说啊，你光分组可不行，我还得把这四组啊 分给我不同的朋友。比如说我分四组，一组两本一组两本，一组一本一本。像刚才那么分的，那分组情况有多少类啊？刚才也算了，六个，先选两个，还剩四本书，再选两个，还剩两本，再选一个，最后光剩一本直接放进来， c e、 e。 但是别忘了小许，二二是均分的，两组数据一样，除以 a 二二一一也是均分的，我还得再除 a 二二。 这是我分组的结果，但任务有没有完成嘞？他后面又追加了一个步骤。要干嘛？你要把你分好的这四组书，一组、两组，三组 四组，随机给他四个最好的朋友，放到四个不同的位置上去，分别给丽丽、思思、美美和妮妮。哦，你四个不同东西，放到四个不同位置上去，全排列呗，再乘以 a 四四， 这个就叫分组分配问题。你光分完组还不够。你如果想把不同的分完这个组啊，分配给不同的人，或者说分配到不同的位置上去，那你就再加上一个排列，加上一个分配就行了。 所以这种分组分配问题没有那么复杂，咱就遵循一个大原则，叫先分组。你把组分好了，才有资格去想这不同的几个组怎么去分配。先分组再分配是我们做很多题目的一个大原则。 咱直接扭到教室第一题，二零二零年的新课标二卷。他说四个不同的同学现在要到三个小区去参与垃圾分类，每个同学只去一个小区，你不能说，哎，有个人，这仨小区我全都去。不可以这样哦，每个同学用一回就行。 然后呢，你每个小区还得至少安排一个人，你不能说这四个人全去一个小区，把另外两个小区不管了，这也不行，问有多少种安排方法？答响， 这四个人跟三个地方好像数字不太匹配哎，你要是三名同学到三个小区，那就好办了，那直接 a 三三全排列。但现在不是，这不同的人数跟这不同的地方 数字不一样，所以需要咱先把四个人分三组，所以你得先识别出来，这是一个分组问题，得先分四个人分三组咋分傻子都知道。那我肯定得二 一一这么分呗。你别跟我说我一一二这么分，这是一种情况啊，因为我们这在分组的过程当中，谁在前谁在后是无所谓的，二一一之间没有顺序区别。 ok， 那 咋算呢？我先假装写一下，四个人分别是 a、 b、 c、 d， 四个人里面挑两个 c 四二，这是第一步。 ok， 两人组解决了。比如说啊， bc 来，那大家有没有发现，当如果剩余的组全都是一一的时候，你还用管吗？跟刚才那类似，其实一样的， 选完一组是三本之后，别的都是一本一本一本，我直接选完 c 六三之后，后面不列了，因为就剩三本书，放到三个不同组自乘一组，情况是确定的，你乘的这玩意乘的是一， 所以这也一样，剩余组每组都要一个人，你就剩俩人，还分两组，那我肯定 a d 分 呗。我情况是确定的，你也别跟我杠说。哎，那我要是万一是 d a 呢？傻了，刚说完，组合组之间，我们在分组的时候不要求顺序，顺序变了也没事，我把它看成一种情况， 所以 c 四二我们就已经分好组了。那如果有同学说我就非得死脑筋，我笨，我就想奔着算可不可以？好啊，咱四个人里面挑两个，那是不还剩两个人，在这两个人当中挑一个进来？ c 二一啊，挑完之后还剩几个人？还剩那么孤零零的一个人，最后一个人放到一组上去， c 一 一， 但练完没结束，咱要是一旦一步一步一步去做的话，这俩顺序是要消掉的，你要除以 a 二二，这上面算完是二，下面算完也是二，你写完跟没写一样，这整个过程我们是在分组， 那光分组行吗？啊？你光把这四个人啊，是分成仨组了，你看着好像的确挺满意，但这三组谁去甲小区？谁去乙小区？谁去丙小区，你确定没 这三个不同大元素是不还得排一排选一选呀？三个不同的东西放到三个不同位置上去， a 三三得排一下，这算完才是最后答案，算完应该等于三十六。所以依然贯彻了我们刚才那个原则，叫先分组再分配。 那同学可能比较疑惑呀，咱今天学的方法也太多了，到底什么时候用这分组分配嘞？题目总让我分东西，我自己做的时候总弄混，大家记下来一句话就好了， 什么时候用分组分配？当我把不同的东西放到不同的位置上去的时候，而且东西的数量跟位置的数量啊，数量总不统一，你把四个人放到三个位置上去，或者把十个人放到五个位置上去，咱有的东西的数量比位置的数量要多， 那咱就必不可少的需要把不同东西塞到一堆上去，委屈他俩成为一组，然后再跟其他人一起分配，听懂了吧？ 这跟刚才我们分明额可不一样。分明额什么时候用？你可别搞错了，分明额也是分东西。分的是啥？分的是名额，分的是相同东西啊。你把八个相同东西给四个地方去给四个人，那的确是分明额，咱用挡板法或者用切面包的方法。 但如果今天我们分的是不同东西，不同的八本书，八个人，八个小球，每个都不一样，你放到四个位置上去，或者三个位置上去的时候，那这可就得用分组分配来解决了。 好了，那我出的再难一点好了，因为我发现刚才你四个人分三组其实很好分，肯定二一一这么分，这情况完全确定了，多好分呐。 那我变了，现在人数变多了，我五个人分，分成几组呢？分成花样滑冰、短道速滑、冰球三个项目进行培训。他说每个志愿者呀，只能分配一个项目，而且每个项目得有人去，这跟刚才他这限制条件是完全一模一样的啊， 有多少种分配方案？所以相当于是把刚才的四变成五了。分三组咋分？我一想，好家伙，五个人分三组能咋分？比如说第一组分三个人，三加几等于我，哎，三一一正好是五，挺有意思的。 那就这一种方法吗？有没有给人这三人组其中一个人放到另外一组上去，分成二二一类？这么分也是五个人，也是三组，也满足其一吧。所以我在分组的过程当中还没算嘞，就已经有两种情况了，我得分类讨论对不对？ 我第一大类，如果是三一一这么分，简单一，越多越简单，我直接把五个人选三个放到一组就行了， 比如说这里面的 a、 b、 c、 d、 e， 我 一旦让 a、 b、 c 到第一组来，剩余的 d 和 e 自动成一组。单人单组 情况是确定的，分组任务直接结束。好，这我分完组了，然后别忘了分组之后它有没有分配。你光三一一分完了，那你这三组谁滑翔滑冰，谁速滑谁冰球啊？不知道，我得分配一下，再成个全排列 a 三三，这才是我们第一类的答案。 那下一个也一样，我改成二二一。这么分啊，那我就慢慢算一下，先分组再分配。怎么分组？五个人里面选两个，放到第一组， c 五二，还剩三个人，对不对？哦？三个人选两个放到第二组， c 三二，就单独就剩一个人，放到最后一组 c 一 一。 那我在一步一步算的过程当中要注意什么来着？是不是有一个顺序，我得把这顺序消掉，我要除以 两组数字一样，我就除以 a 二二，这才是分组的结果。那别忘了我还得分配，最后再乘个 a， 三三算完了，第一类满足题，第二类也满足题，这上下俩数算完之后还得相加分类 用加法大家可以自己来算一下，上面这数是六十，下面这数是九十，相加等于一百五，这就是分组分配问题。 ok， 分 组分配问题就给大家讲完了，今天我们先讲了简单单纯的分组，组合组之间没有顺序区别，分班组结束了，那就单纯分组。那如果你发现分班组任务没结束，出题人非得把你分完的那几组给不同的人，或者放到不同的位置上去，那你还得再加上一个分配，一个全排列。 那最后如果我再损一点，你这种先分组再分配的题太模式化了，太简单了，怎么让整个这道题的这个难度啊，让他做题的这个感觉更上一层楼嘞？他会在分组分配的基础上 再加上一些特殊要求，比如说你分组的时候，人家说了谁谁谁必须得分在一组，或者谁谁谁不能分在一组的前提条件下，哎，那另外一个人还不能去另外一个地方， 够恶心吧。这种分组分配又有特殊要求的题目，可以说就是大家在排列组合当中非常难的题目了。 但我说实话啊，排列组合的题要多难有多难。那咱今天讲的这个加特殊要求的这种题目呢？呃，只能是排列组合最难题当中的保守估计，呃，也就是前百分之十。 在高中阶段，其实我们还会有更难的题目，在数字排列的问题里面，人家出的难一点，把各个题型全都混在一起出是有可能的。这之后吧，如果我们有时间再更一节习题课给大家讲一讲， 那我们先从简单的开始讲起。先加一个特殊要求，五名教师去三所学校。哦，你看是不是把五个不同东西放到不同的位置上去，而且五和三数字还不一样，那就是分组分配了， 其中呢，有一个教师夫妇，好夫妇，那肯定是一男一女吧，因为我们是在中国啊，所写的时候就一男一女俩人，那一共五个人，那另外三个不配用姓名，那就 abc 好 了，按照相关要求要干嘛？他说每名教师只能去一所学校，而且呢，每所学校都得有人，你看，呃，这类条件经常在分组分配当中出现啊， 那最后人要求什么呢？说这一男一女必须要去同一所学校，这在我们分组和分配的过程当中产生了一定的困难，但无论怎么样，这跟刚才上一道题是一样的。是不是五个人分三组啊？还记得咋分不？要 么三一一，要么二二一呗。每组的人数我是确定了，那接下来我得考虑啊，这里面有俩特殊元素，这男的女的要放在一组，所以我先考虑第一种情况。 大家，哎，你这俩人要放在一组的话，这俩人，哎，这，这能放在这俩组不？那俩组各一个人，你不能这么放，你这么放直接就给人家干分居了， 塞不进去对不对？好，我只能把这个夫妻这一男一女塞到这三人组当中，这情况一定是确定的，对不对？我直接写上来，男的在这，女的也在这。 好，那接下来的问题是，在男女已经占据了三个人当中的两个位置情况下，还有几种分法呀？注意哦，我这是在分组，这三组之间没有顺序的区别哟， 很难吗？还好吧，你想三人组里面肯定是有三个人的，你一男一女已经站好了，那我另外最后一个人到底是 a 来还是 b 来还是 c 来？你说几种情况？那不就 a、 b、 c 三个人里面选一个吗？就是一个非常简单的 c 三一楼，没错吧， 这情况就已经确定了。为啥我敢说确定，你试一试呗。如果 a、 b、 c 里面 a 来了，那你有没有发现还剩 b 和 c， 你 要各自成一组，那无论写 b、 c 还是 c， b 情况是同一种情况，因为我在分组的过程当中，它俩没有顺序区别，无论是 b c 还是 c b， 那 都是各自成一组， 我三个人里面选一个，看谁跟那对男女住在一起，确定完之后，整个分组任务就已经结束了。那最后别忘了，分完组之后还得分配吧。这三个不同的组，放到三个不同的小乡村位置上去，再乘以 a 三三，这简单。 那接下来第二类情况，那如果二二一这么分呢？那我还是我得先考虑这男女放在哪组啊？有的一看，哎，他太激动了，男女啊，肯定不能放在这，男女只能放在这，或者放在这， 他上来就很激动。哎，这一二两种情况上来，人家咣当写个二，这对还是不对呀。注意，还是那句话，我在分组的时候，在这五个人还没进去之前，这组与组之间有区别吗？这俩人组跟这俩人组是完全一样的， 你进这来，那是你俩一组，你进后面去，不还是你俩一组吗？这是同一种情况，所以绝对不能多成那个二，画蛇添足啊。不可以，因为这根本不是一个排列问题，你不需要考虑不同位置，所以你直接就只需要把男女关在一起，这一个小组里就结束了，他俩就分完了。 好，接下来这俩人组合完了，然后嘞，那另外这俩人组我怎么办？还有仨人还没地呢，在这仨人里面选两个放进来是不就行了？我直接写 c 三二呗， 一旦其中哪两个人进来，确定之后，最后还剩谁，自动放到最后一个 c 一 一，我可成可不成？最后别忘了，还得全排列 a 三三，达到先分组再分配的目的， 最后把这俩数一加，游戏结束。这特别好算啊，你上面这算完是三乘六，这是十八，下面这算完也是三乘六，也是十八，加完等于三十六。 那我特意给大家其实多选了第二道题，给大家开开眼，现在说什么？其实整个情形跟刚才一模一样，还是有五个人，还是分配到三个不同位置上去。哎，数字都一样， 唯一什么不一样？刚才是其中夫妇一男一女，俩人必须去同一所学校，现在反过来说，甲和乙不能在同一个地方，不能分配在同一组。那我咋做呀？ 还是先分组再分配呗。你五个人分三组，刚才一样的，要么三一一，要么二二一。我还是遵循先分组再分配的原则。好，那我现在问大家，分组的时候我怎么去考虑叫甲乙不能在同一个路口嘞？ 比如说甲在这，乙在这，或者反过来，甲在这，乙在这，或者甲在这，乙在这。你看着数的话，正向数。怎么这么多种情况？你分两类的时候，接下来还得分好多类，太麻烦，绝对不能正向做。那你怎么办呀？ 出现什么不能怎么怎么样？怎么怎么样？我是不是可以反过来想？这是今天讲的第三遍，你甭看这个条件了，你先让这五个人随便分，总会分吧。讲过了啊，三一一分，咱五个人里面一共五个，选三个人放进来， 那选完之后其实就已经结束了，因为后面呢，每一组都是一个人，不信你看，现在有甲、乙、 a、 b、 c， 我 一旦在这五个人当中选出来三个，放在第一组的时候，剩余的两个人自成一组，情况完全确定，这代表了所有的分组情况， 但跟我符合提议的分组情况差在哪？我这里面多了一些我不想要的，多了哪些？人家指名道姓说甲乙不能在一起，那我再减去甲乙在一起的情况是不就可以了？那有同学又犯愁了，哎，甲乙在一起，那情况怎么列来着？ 小笨蛋，刚才你不就列的是这俩人必须在同一组的情况吗？你不是已经算完了吗？我直接搬下来不就得了吗？我可不再算一遍了 是吧，太好玩了，你刚才算的就是在一起的时候，我直接搬下来结束了，这就是我想要的所有的分组情况。 下边这个我也会算，我先算所有情况，怎么分？五个人当中挑两个 c 五二，还剩三个人，三个人再挑两个放到第二组， c 三二，最后只剩一个人，大家别忘了要消序，二和二是一样的，两组数字一样除以 a 二二 分完组了吗？这是所有情况，我还得减去甲乙在一起的情况吧。我减一下，跟刚才算的式子一毛一样，这才叫完全分完组。我把这俩数一加， 那这题算完，这是不是最后答案嘞？我现在只是在分组哦，宝贝们，还得分配，把这分完的三个不同组放到三个不同的路口，最后加完还得乘以 a 三三分配，这可是妥妥的一道难题啊！一共是一百一十四种情况， 讲这么多，相信大家应该已经有点感觉了吧？那如果啊，真的出题人还不够难，如果他真的提了两个要求， 比如说，你看现在安排七名老师到高中三个年级上去，那是不是七个不同东西分到三个不同位置上，那是啥问题？叫分组分配啊，因为我分的是不同的老师，老师和老师之间肯定不一样，要求是每个年级至少有两名老师。我先读到这啊，我问大家，七个人分三组，咋分 才能保证每个年级这三组每一组都至少有俩人啊？哦，那我一想，你每个年级至少俩人，高一至少俩人，高二至少俩人，高三至少俩人，这已经是六个人了，那我七名教师就相当于我再挑一个放到其中一组，这两个人变成三个人呗。 所以宝贝们有没有发现，我其实对于这道题来说，因为人家附加了这每组至少两个人这个条件，所以我其实啊，每组的人数应该是确定固定为三二二的， 当然还是一样，我写二三二也好，我写二二三也好，没关系，我们在分组的过程当中没有排序，没有顺序。 ok， 那 七个人我先编个号，就甲乙丙 a、 b、 c、 d。 因为后面呢，对甲乙丙有要求，他说教师甲跟教师乙必须去同一个年级，教师丙，哎，还不能去高一。前面这条件是对分组产生一定要求， 那后面这条件其实是在对分配的过程有要求，他说某一个人不能去某一个地方，当然有的考试题也会给你改成什么某一个人必须去某个地方，这都有可能。 那这个太难了，你分组过程要考虑，分配过程还得考虑，不能瞎分。那来吧，反正一共两步，先分组再分配来分组。 怎么样才能让甲乙在一组啊？把它绑起来呗。哎，你要么俩人在三人组里面，要么俩人在二人组里面。 因此我分析着分析着，发现虽然是每组数量是确定的，但是甲乙具体在哪个人组里面好像又不确定，那一旦不确定，你还得确定，那是不是就得分类讨论了？ 第一类，甲乙在三人组当中。第二类，虽然我还是三二二这么分，但甲乙在两人组里，人家也符合题。 ok， 那 来算吧，分的组数有多少呢？首先来看第一类情况， 甲乙已经有位置去了，你不用看了。那我关心什么？那我关心这三人组里面除了甲和乙之外还有谁呀？还剩几个人？一二三四五，还剩五个人，反正无论是丙也好，还是 a、 b、 c、 d 也好，总得有一个人来吧，五个里面选一个呗。 对，这样的老师，其实我不需要在此再分类讨论，你说去讨论一下到底是丙来的还是 a、 b、 c、 d 当中谁来的？不需要再分类，原因呢，一会再给大家解释，大家一会就明白了。我先选着啊 啊，比如说已经随意有一个人跟甲乙已经放在一组了，那接下来呢？还剩一二三四四个人，二二分是不是均分呐？均分是不是一会得小许来着？我先在四个人当中选两个人， c 四二，那选完之后，比如说丙和 a 来了之后，那 c 和 d 两个人自动成一组， c 二二， 但没完，因为我是一步一步算的，二和二数字一样，我需要除以 a 二二，因为你是丙 a， c、 d 还是 cd？ 丙 a 其实是同一种情况，我多数了嘛。 好了，这就是所有的分组啊。那如果是第二类情况嘞，我怎么分组的？你看啊，甲乙已经占据了其中一个两人组，这组你就不用管了，已经满了，名额够了。 那我怎么办嘞？我只需要把接下来的剩余的五个人，一个分三组，一个分两组，这俩太好分了，因为这俩数字不一样，不需要消去对不对？我在五个人当中直接选三个人放到第一组上去，咱写个 c 五三，理论上就直接结束了。比如说柄 a b 放到它这， c d 自动乘一组， c 二二， 这是所有的分组情况。那分完组是不该分配了，你无论是上下的哪一种情况，你肯定是三二分了三组吧。我画的时候我不全都画圆圈啊，我故意画成不一样的图形，大有深意。为什么 画不同图形的原因？那是因为这三组是不同的组，因为你人已经进来了，你分好组了，你都分好组了，你组合组之间怎么还可能是一样的呢？对不对？所以现在是三个不同的组， 要干嘛？要放到三个不同位置上去，但是你不能随便的直接就成个 a 三三，因为人家有要求说叫饼不能去高一。 你看啊，三组要到高一、高二高三三个不同地方去，怎么分？那我得看饼在哪了，反正这里面肯定得有饼，而且饼只能出现一次，你在这在这在这，其实无所谓啊， 我其实不用考虑哎，丙是在三人组里还是？呃，在这个两人组里，反正一个组现在已经看成一个大元素，一个整体了，这三组当中必定有些仅有一组里边有丙，那我该分配了，人家丙是有要求的，他说丙呐，哎，不能去高一，那你说你丙只能去哪？你不去高一对不起，你只能去高二和高三，对不对？ 所以含丙这组挺倒霉的，他只有两种情况可以选，所以分配的过程当中，我先让带丙的这组来选。有两种情况啊，那如果一旦丙选完了，比如说他去高二，那接下来就好办了，剩余的两组有剩余的两个年级让他们选，直接 a 二二就好了， 这才是符合提议的所有的分配情况。那最后答案怎么做嘞？第一类我要，第二类我也要，类与类之间分类，用加法，那加完之后还别急不是？答案还得去乘一下 刚才的这个分配这个数，先分组再分配，在分组分配的过程当中去考虑一些特殊条件，这就属于妥妥的难题了，大家可以自己来算一下，一共有一百种情况，那数字还挺吉利的，是吧？ 好了，以上就这个视频今天要分享的所有的核心内容，咱讲了相邻问题，相邻用捆绑，不相邻用插空定序，整体排名额切面包。 最后也是最难的，不同东西直接分组，不同东西放到不同位置上去，那这是分组再分配，分组的时候注意数字不一样，直接一步一步写数字，如果一旦一样，要记得消序完结撒花。

好，今天我们来看一个组合问题，用一三、五、七这四个数字不重复组合，可以组成几个比二百还要大的数字。 那我们来看一下这个题，它可以分成两种情况，那第一种情况我们可以组成什么三位数啊？三位数是第一种情况， 那第二种情况呢？就是什么组成的？是四位数，就是一、三、五、七，这四个数字给它用完就是四位数字。 好，那我们先来看一下，组成的三位数字，要比二百大的话，那百位数只能，为什么？ 三五或者什么七，对不对？那不能为一，因为如果是一的话，他没有二百大，对不对？这是百位数，那十位数呢？那三五七 我们给百位数选一个以后呢？是不是剩了一共是四个数吗？还剩了三个数，所以了十位数啊，十位。这里面呢，也有什么三种情况啊？也有三种情况， 那个位呢？剩了几种了？你看百位把一个选了，十位把一个选了，是把两位选了，把两个数字选了，所以个位呢，有两种情况可以选择，那合在一起呢？一共就是 三乘，三乘以二、三三得九二九十八种啊，所以第三位数啊，第一种情况，三位数一共有十八个数字啊，有十八种可能。 那四位数我们看一下啊，四位数，首先第一个是千位啊，是千位。 好，四位数。第一个是千位啊，是千位，最高位是千位。那千位里面呢？我们在这四个数字里面呢，可以任意选一个，所以有四种可能。 那百位呢？把一个选走以后，还有三个数字，所以是三种克朗，那同样的十位有两种克朗，对吧？那个位呢？有一种克朗，所以合在一起一共就是 四乘三、乘二、乘一啊，三，四十，二、十二乘二、二十四。好，二十四个。那 一共有多少种？就是十八加上二十四啊，等于 四十二个。可能啊，所以我们可以一共可以组成四十二个数字啊，都是比二百大的啊，都是比二百大的，这种是一个组合问题。

八分钟带你速通排列组合，隔板法、插空法、捆绑法、萧许除结乘法，以此带你搞明白。 朋友们大家好，我们今天呢来讲一下排列组合中最常用的一个三个方法。然后呢我们在做排列组合的时候，一定要考虑一个问题，就是这道题到底有序还是没序？ 如果是有顺序的话就要用 a， 如果无序的话就要用 c， 这个大家一定要记清楚。然后的话我们三个常见的体型是这样的，第一个呢就是相邻问题，相邻问题最长的方法是不是叫做捆绑法对不对？ 然后捆绑法的话就是什么意思呢？就是说把相邻的元素干什么绑在一起，然后是做一个团，是做一个整体，但是呢我们内部有没有顺序，内部是有顺序的，所以不要忘记内部顺序。 第二个呢就是不相邻问题。第二，不相邻问题最长的是什么？是不是就插空法对不对？就是说把不相关的先排好，然后呢留下空隙我再去插。 第三个呢就是分组问题，分组问题的话一定要记清楚一个问题，就是说这个题到底考虑顺序还是不考虑顺序，就说我们看平均分组要除去，那是什么意思呢？比如说我们现在有六本书， 六本书三个人对不对？那六本书三个人，三个人一样吗？三个人是不一样的对吧？所以我们可以干嘛？比如说现在有三个人叫做甲乙丙，我们是不是可以给甲，是不是 c 六二从六个 书里面选两个给甲，那现在剩剩四个了，是 c 四二是不是到这，然后 c 二二给他对不对？但是我们这个时候是不是就不需要，就是说除以多少就是不需要除以这么个玩意，为什么呢？是因为甲乙丙三个人是不一样的，对吧？但是如果我这道题这样说， 我说把六本书分成三堆，六本书平均分成三堆， 那我们这个时候呢？我们是不是就要考虑是不是就是 c 六二乘以 c 四二乘以 c 二干什么？是不是要除以一个 a 三三？为什么呢？因为你，比如说，呃，你，你现在是 一号数和二号数，四号数放在这，五号数、六号数放在这和二三数放在这，一二数放在这，五六数放在这，一样吗？是不是一模一样的，对不对？这种情况其实是一个问题，就说我给他分成堆都可以了， 我没有说没有，我这个灯又没有顺序，对吧？当然你如果给他起个名字，比如说一号堆、二号堆、三号堆，这个时候是有顺序的，对吧？所以大家还是要看清楚到底这道题是有序的还是无序的。 好，我们接下来看具体例题。第一个说三名男生和四名女生排成一排，照相要求甲乙两名女生相邻，好，我们这看是什么？是不是相邻，对不对？那相邻的话我们怎么去处理？很简单是不是？就是， 嗯，把甲乙两个人绑在一起就可以了。然后说丙丁两名男生不能相邻，那我们这个时候是干什么？是不是通过利用插空法解决它，对不对？利用插空法。好，那我们接下来看怎么去做。 这个时候呢？我们想我们是不是把四个这两个甲乙两名女生绑成一个整体，我们来看就是把甲乙两个绑成一个整体，那他们内部呢？是不是有一个顺序叫做 a r 二，对吧？到底甲在前呢？还是乙在前？ 然后呢？就是将这个超级元，超级元素是什么呢？就是说将这个捆绑之后的这个整体对不对？还那绑完之后还剩几个女生？两名女生和一名男生，为什么是一名男生呢？因为他不是说对饼顶有要求吗？两个不能相连，那我就先不管饼顶，我是不是就考虑就是另外的一个， 呃，另外的一个男生，对吧？这是另外的一个男生，所以现在总共几个元素呢？是不是就是总共四个元素？他们干嘛？是不是全排？ 那我全排之后我们来看，比如说一二三四这四个人是不是全排了？那形成几个空呢？是不是？一二三四五，是不是形成五个空，对不对？然后那我丙丁两个男生干嘛？是不是往里面插空就可以？比如丙放在这，顶放在这， 我们他俩是不是就不相邻的？所以我们是不是干嘛？是不是可以列一个式子叫做什么呢？那你看我们这四个是干嘛的？是不是可以列一个式子叫做什么呢？那你看我们这四个是干嘛的？谁在前谁在后？是有顺序的， 是不是 a 四四，然后呢？我们是不是可以干什么？是不是乘以一个 c 五二？为什么要乘以 c 五二呢？是不是意思是 c 五二就从五个空里边选一个空，不是选两个空给和丙和丁，那么丙和丁之间有没有顺序呢？是不是有的是不要乘一个 a 二二， 当然我们不要忘记这个超级元素之间也有顺序，是不要再乘一个 a r 二，对吧？当然，呃，老的，当然有的人会说，哎，老师你这写的怎么和这呢？是不就是不一样的，对吧？那我们 c 五二乘以 a r 二，是不是就是 a 五二，对不对？ 我们一般都是干什么？是把先选出来再进行排，而不要直接去排，因为直接排的话你容易出错，但是我们把它选出来之后，我们再去考虑它到底有没有顺序。 好，我们接下来看第二道题目，第二道题目呢？是，哎，在这就是说将六本不同的书呢进行分配，然后这里有两个问题，第一个问题一呢，就说平均分成三堆，每堆两本共有多少种分法？我们这里呢就是分成几堆，这个堆呢是不分序号的，不分序号的。 所以我们这个时候是不是就要写成是不是 c 六二乘以 c 四二乘以 c 二二，是不是从六本书里面挑两本？从另外四本书里面挑两本？从最后两本书里面挑两本，对不对？但是呢，我们说他不考虑顺序，那我们是不是就要除一个 a 三三，对吧？因为如果你不除的话，是不是就有重复的，对不对？ 所以我们这个时候算出来应该是十五种，那问题二呢，这个时候就是平均分给三个同学，每人呢分两本，那我问大家，那同学一样吗？同学肯定不一样对不对？就比如甲乙丙三个人，这能一样吗？这不一样对不对？ 所以甲呢，是不是从六本书里面抽两本？我给乙对不对？丙呢？我是不是从两本里面抽两本？他干嘛？是不是给丙就可以了？ 所以这个时候呢，我们是不是有顺序的，对吧？因为你给假给 e 比给饼，你给的不书不一样，那对吧？最终结果就是不一样的，就比如你给假 a、 b 两本书，给 e、 c、 d 两本书，那和我给假 c、 d、 e、 a、 b 一 样吗？肯定是不一样的，对吧？所以这种算完是不是就是九十种？所以这种题目的话，一定要看清楚，你到底 对吧？你分的堆了和人了，到底一样还是不一样，对吧？好，那我们接下来看第三个题目。第三个题目呢，就说从五名男医生和四名女女医生中选区选出四人呢，组成医疗队， 要求呢？医疗队中呢，至少包含一名男医生和一名女医生，那问你共有多少种不同的不不同的组队方案，对吧？那他既然说至少包含一名男医生和一名女医生，那我们就要去想想，就是要有多少种情况，那我们根据题目，我们是不是可以出现这种情况？一男三女，两男两女，三男一女，对不对？ 好，那关于这种至少的问题的话，我们分为两种方法，一个呢是不是叫做直接法？一个呢？直接法，一个叫做间接法，对不对？那直接法什么意思呢？是不是通过这直接去算就行了？通过这到到底多少直接算是不就可以了？那什么叫间接法呢？是不是总共的 减去是不是不满不成立的，是不是就是我的成立的，对不对？ 好，那么这道题呢，我们先从间接法来给大家讲，那间接法呢，就要先去算总共的来看，是不是计算总方案对不对？那总方有多少呢？是不是从四个 就是总，现在总共几个人呢？是不是九个人取四个人，所以也就是 c 九四。 c 九四我们算出来之后，它应该是一百二十六种情况。好，那是，这是总的情况，对不对？ 接下来呢，是不是还有什么呢？找找不满足的。不满足的有什么呢？是不是反面情况一，全选男生是不是五个，男生是不是 c 五四，那就是五种全是女医生呢？是不是 c 四四就是一种？ 那么答案是不是不满足的减去不成？呃，不是满，总共的减去不成立的，是不是就是我们成立的就是一百二十种？好，这里是间接法， 同时呢，我给大家讲一下，直接法怎么去做？那直接法呢？我们是不是分为三种情况，一男三女。那我们来看一男三女几种情况？一男三女呢？是哪个男的呢？不知道是不是 c 五一，那女的呢？是不是 c 四三？对不对？那算出来呢？是不是应该是二十？ 接下来呢，是不是两男两女？那两男两女呢？是不是就是 c 五二乘以 c 四二，就是五个男生里面挑两个，五个女生里面挑两个，这样算出来应该就是多少呢？是不是就是六十？因为我们 c 五二是多少？是不是十？ c 四二呢？是不是六？ 接下来呢？是不是三男一女？三男一女怎么算呢？很简单，是不是就是 c 五三乘以 c 四一，那结果算出来多少呢？是不是应该是四十？为什么呢？ 是因为 c 五三它是十， c 四一是四，对不对？所以结果四十。那总共加起来是多少种情况呢？是不是可以算出来是不是也是一百二十种，是不是和我们间接法算出来的情况是一模一样的？ 好，这就是我们常见的排列组合体应该怎么去解决的一些思路和方法。然后大家如果还想听其他的一些，就比如思路了、方法了和体型了，大家可以打在评论区。

一百二十五，遇到这种题型的话，首先我们不要着急给他直接来算，大家来仔细先观察一下二十四，一百二十五，他是不是数字都很大呀？ 那么我们先来给他进行拆分，然后再来给他进行组合，那么我们拆的时候，我们给他拆小数，不要给他拆大数， 小数拆出来，他和后面的一个一百二十五，他就能进行一个整合了。如果我们来拆一百二十五的话，和前面的数，他就给他整合不了。我们来来看，二十四，我们可以拆成两种，那么我们就用两种方法来给他算，二十四可以拆成 四乘六，哎，有的同学就说了，四乘以六等于二十四，那么还有同学说了，三乘以八也等于二十四，对吧？那么我们就用两种方法来算，这是第一种方法，那么我们先用四乘以六来给他来算， 四乘以六，再乘以一百二十五。写到这一步的时候，我们可以运用乘法的交换率和乘法的结合率一起来给它算算，二十五移在前面，把六移在后面， 然后我们就是四乘以一百二十五乘以六，但是呢，我们要给它结合一下，给它把括号括起来， 四乘以一百二十五，然后再乘以六，就把乘法的 交换率和结合率一起给他应用了起来，然后再等于四乘一百二十五等于多少？哎，有的同学告诉老师了啊，四乘一百二十五，他等于五百，对吧？那么我们就来给他写下来，五百乘以六，他就等于 三千，这是第一种方法，那么我们就用第二种方法再来给他拆分和组合。 二十四乘以一百二十五， 哎，我们还是一样的把这个二十四给他拆分成三和八啊。有的同学就告诉老师，三乘以八比四乘以六他更简单一点，那么我们给他来拆分一下， 三乘以八乘以一百二十五。那么现在我们直接用乘法的结合率就给他算出来了，等于三乘以括号， 八乘以一百二十五。到这一步的时候，我们直接就用乘法的结合率给他算了， 等于三乘以，那么八乘以一百二十五等于多少呀？哎，有的同学就告诉老师，八乘以一百二十五，他直接就等于一千了， 那么他等于多少？三乘以一千，他是不是就等于三千呀？好了，同学们，这两种方法你们学会了吗？记得点赞关注哦！