人教版六年级数学不变量解题技巧

简单方法我只告诉你，数学有理皆大欢喜。大家好，今天我们一起来看一下六年级分数乘除法这一块的重难点的应用题，找不变量作单位，一来解决问题。 这一种方法解题类型是我们这个分数乘除法的难点内容，也是学生必须要掌握的一个板块。 那我们来先分析一下这种类型题，看一下它的特点是什么。这种类型题啊，我们在应用的时候一定要先去审题，我们在做题的时候会发现数学一般跟三个量有关 啊，我们看一下这三个量有什么样的变化。某小学五十六名同学，其中男生占七分之三后， 后来又转进了几名男同学，这个时候男同学占全班的十五分之七，你会发现这种类型题，我们跟以前做的不太相同的地方就是他转进了男同学。那么现在老师想问你个问题，转进了这男这几个男同学之后，你想一想什么人数变化了？ 那么我先分析一下，在这个问题当中，他是不是一共包括三个数学量，一个是什么呀？男生，一个是全班人数，还有一个是女生人数。虽然这这里没有提到女生，但是我们知道全班的话一共就是男分男生和女生， 对吧？那么这个时候你转进来几名男生的时候，你会发现男生发生了变化，全班人数也发生了变化，唯独 女生的人数是一个不变量。那我们再回到题目当中来看一下，这个时候啊，全班男生占全班人数的十五分之七，而这个全班人数你会发现他是一个变量。 如果我现在用这个变量来做单位一的话，因为他到底增加了几名男生，我是不知道的，所以这个时候你想用全班人数来做单位一解决问题是不现实的，所以这个时候我们就需要用到一个方法， 用不变量来进行转化来解决这个问题。那么做这种类型题，我们做题的步骤是什么呢？第一步我们先去要找出不变量 啊，先把这个不变量找出来。第二步就是要变把什么呢？把你需要的分滤句，你看哪一个 分率距，需要你把需要变化的这个分率距，把它转变成以不变量为单位一的分率距。 这第二步，第三步的时候，我们再用亮绿对应啊，或者是其他的解决问题的方法来解决实际问题。 那么回到这个题目当中来，我们一个分类句，一个分类句的去分析，第一个是其中男生占七分之三，我们先分析一下这个分类句里面的单位一是多少， 男生占谁的七分之三呀？是全班人数的七分之三，那么我们要先找到不变量才可以，那这个不变量我们现在已经找到了，就是女生，那么女生通过第一个分类句我能不能算出来呢？第一个分类句我需不需要转变呢？因为这个单位一啊 不是不变量，所以这个时候我们可以直接算出来，所以我可以先算出女生一共是五十六人，男生占七分之三，那么女生是不是就占一减七分之三就是七分之四啊？所以这个时候我就可以找到女生人数一共是三十二人。 当然在这里我们也要把男生算出来，因为一会也会遇到男生吗？因为他问题问的是增加了多少男同学，所以男生人数的话就应该是用五十六乘以七分之三，他应该等于二十四人。 那么这是第一步，找到不变量，而且能把不变量求出来的先求出来。第二步就是变，我们说了第二个分率距是需要改变的，全班人数我们现在不知道，那我们是不是可以把它转化成以不变量为单位一的分率距呢？那所以这个时候我们就要把它变一下，变的时候 我们租的是以女生为单位一做分类句，所以把这个我们看一下，男同学占全班的 十五分之七，我把它变成男同学占女生的 几分之几呢？注意这里面我们用的方法就是分数法，先理解十五分之七的含义， 男生占全班的十五分之七，也就是把全班分成十五份，男生占其中的七份， 这就是十五分之七的含义。那么这个时候男生还是七分，女生呢？是几分？八分，所以男生就占女生的多少八分之七，这是非常非常关键的一个点。我们用的是分数法，那么通过转化了之后，我们再继续往下 看，如果我转化了，男生占女生的八分之七，女生是知道的呀，女生是三十二人呢，所以此时男生就应该是三十二乘以八分之七等于多少？二十八人， 那么这个时候男生变成了二十八，原来的男生是多少呢？二十四，所以二十八减二十四等于多少四人，这就是我们增加的忍数。 总结一下，找不变量做单位一，我们的方法就是这样的一个三步啊，找不变量变需要的分率距为以不变量为单位一的分率距，然后去解决问题，你学会了吗？

六年级的一个难点分数应用题，当中的找不变量。我们来看阅览室里有三十六名学生看书，其中的九分之四是女生，后来呢，又来了几名女生，这时女生占到总人数的十九分之九。问阅览室 到底来了几名女生呢？对于这道题呢，我们要分析一下啊。女生前后是发生改变的，那么我们的总人数也是发生改变的，那么谁不变呢？就是我们的男生人数 不变，这就是我们要找的不变量。那么男生人数不变，他到底有多少人呢？我们来根据第一句话来看啊，其中三十六名总人数当中的九分之四是女生，那么男生就占了其中的九分之五啊，占我总人数三十六的九分之五，那就是九分 十五乘三十六二十人。好，男生二十人，前后不变。我们来看这时，这时女生来了之后，他的总人数达到了我们男女生总人数的十九分之九， 那么女生占了十九分之九，男生呢？是不是占了一减去十九分之九，也就是十九分之十，这是男生所占的分率。那么男生的实际人数呢？是二十人。所以说我们的确定的人数除以我们的分率，就是我们的总人数 二十除以十九分之十，也就是乘他的倒数约分等于三十八人。好，我们的总人数找到了，这是一个知识点。我们的知识点是什么呢？就是如何去求总数。 当知道我自己的一个数据的时候，我又知道他在总人数当中，总数当中的分率，他俩一除就相除，就是我们的总人数了。也就是今后我们在学单位一的时候，代表了单位一的量好，就是这么简单。你听懂了吗？记得给杨老师点赞加关注！

比的应用比中不变量的问题，一共有三种题型，第一种是不分量不变，第二种和不变，第三种差不变。在差不变的时候，我们要知道解题关键是统一分数差，按照 前后分数差的最小公倍数来统一，接下来要求出一份量的数量。比如说这道题， 很多同学一看见字这么多，一定很难做应用题，我们要学会提取有用的信息，那么这么长的数字当中有用的信息就那么几句话来， 甲是乙的七分之四有用，各增加了一百五十四有用，甲和乙的比是五比六 有用，让我们求甲和乙的数量，那我们提取完有用信息之后，这道题是不是就变得很简单了？首先我们看甲是乙的七分之四，写成乙的形式，怎么写啊？ 甲有四份，乙有七份，所以甲和乙的比就是甲比上乙，也就是四比上七，那这是原来 甲乙各增加了一百五十四，那甲和乙的比变成了五比上六，这是后来 好由四比七变成五比六，是因为甲乙各增加了一百五十四。好，那么我们思考甲乙各增加了 一百五十四，谁没有发生变化，是不是他们的叉没有发生变化？原来甲比乙多这么多，那同时增加了相同的数量，甲比乙增加的数量是不是依然是这么多呀？ 是不是有点类似于年龄的问题，你长一岁，我也长一岁，我永远比你大这么多。好了，那我们看原来甲和乙相差了几份？ 甲是四份，乙是七份，相差了三份，增加一百五十四之后变成了五比六，那这个时候甲和乙相差了几份？六减五，相差了一份， 那么由三份到一份，很显然不统一。那咱们说了，他们的差值是相同的，所以我们想要做这道题，必须要 统一分数。如何统一？根据最小公倍数。三和一的最小公倍数是几啊？是不是三呐？那最小公倍数是三， 原来四比七，咱们不用动，需要动的是一份，也就是五比六，也就是说比的前项和后项，我们需要同时扩大 三倍，那扩大三倍，五比六就变成了三乘五等于十五，比上六乘三等于十八。 好，这个时候我们是不是就统一了十八和十五相差了三份，那原来相差三份，现在相差三份没问题了。好了，那我们看甲由四份变成十五份，增加了几份，是不是十一份啊？那同样乙有 七份变成十八份，是不依然增加了十一份，那么甲和乙是各增加了一百五十四，他俩都增加了十一份，所以一份的数量应该如何？求 一百五十四除以十一，答案等于十四。求一份的数量，一份是十四。问我们甲乙原来的数量，那原来甲有四份，所以甲的数量就是 四乘十四，答案是五十六，别忘了写单位。原来已有七份，那就是七乘十四，答案是九十八，别忘了写单位。好，那我们讲完之后再来回顾，你是不是就理解了叉不变的时候，我们先怎么样 统一分数？差那分数？原来相差三份，后来我们同样要让他俩相差三份，那怎么统一？要结合 前后分数差的最小公倍数来乘以最小公倍数，然后怎么样求出一份的数量？接下来我们就看问什么我们就答什么就行了，听懂的，下课。

大家好，我们再来学习六上关于笔应用的一个题目。我们来看这道应用题。甲乙两个车间，原有人数。笔是四比三， 甲车间掉十二人，到乙车间，甲一两车间的人数比变成了二比三， 假车间原有多少人出。看这道题目，感觉就是无从下手。 那这个时候呢，我们就要去找一个不变，到底谁不变？他从甲掉到乙，甲和乙，他们的总车间的总人数是不变的， 甲和乙的合是不变的啊，也就是总人数是不变的。 我们来看谁在变化。甲车间的人数在变了，乙车间的人数呢？也在变。那我们就可以从甲肉数。那么甲车间的人数第一次甲占总人数的多少？ 甲乙的比是四比三，甲占总人数。第一步，甲占总人数的比是四加三分之四，那么也就是甲占总人数的七分之四。现在掉了十二个人，走以后，甲占总人数以后的多少呢？ 我们把它写甲一撇啊，调走以后甲占了多少？二比二加三，那么就等于五分之二。我这个呢是写的比较详细，方便大家就理解啊。啊就转了。十二 掉了十二个人以后，甲占了总人数的五分之二。原来甲是总人数的七分之四。 假掉十二到乙车间，总人数都是不变的。也就是我总人数的五分之二和总人数的七分之四会有相差。这相差是多少呢？相差是十二人。 我原来比现在多了十二人。那么也就是说总人数的七分之四减去总人数的五分之二，等于十二人。那我们通过这个式子就能把总人数求出来。那总人数是多少？ 十二除以七分之四，减五分之二。 好，我们来算一下。十二，这里除以三十五分之二，十减十四，那等于三十五分之。这里二十二十，减去十四的话等于六。所以算出来等于七十 啊，就乘以六分之五。那么总人数我们求出来的是七十人。题目问我们甲车间原有多少人？ 甲车间我们刚刚说了占总人数的七分之四，所以甲车间原来有的人就是七十乘以七分之四，那么等于 四十人。答甲车间原来有四十人。你学会了吗？关注每日一道题，学习数学不迷路！

我们来看一道分数百分数的应用题，我们将用两种方法来求解这个问题。 看题目六一班，原来男生占全班的百分之六十，又调来四名女生， 男生就占全班的九分之五，那么这个班原来有几名女生？ 那第一个方法我们用分数法来求解啊。用分数来求解的时候，我们的做题步骤。首先要先去找题目里的分数或者百分数，我们看到啊，这里有九分之五和百分之六十。 然后要去找他们的单位一，好看，百分之六十的单位一是啊，男生占全班的 百分之六十，所以他的单位一是全班人数。再看九分之五的单位一啊，男生占全班的，哎，他也是全班。 好了，我们看到他们两个都是以全班人数为单位一的，那是不是就一样了呢？ 哎，我们看字是不是一样的，但是大家要去体会啊。原来到后来是调来了四名女生，大家去想啊，你又转来了四名女生， 那么是不是全班人数就发生了变化，对不对？所以第一个全班人数到第二个全班人数实际上要加四的，其实他们两个并 不相同啊。那我们知道分数法去求啊，应用题的时候，如果单位一不统一， 那我们就没有办法让百分之六十和九分之五相加减，因为是没有意义的。那下一步我们就要给他啊，找一个统一的，也就是前后没有发生变化的做单位一。 我们去体会啊，由原来到后来是增加了女生，那我们就知道女生会增加，全班人数也会增加， 但是男生是不是没有发生变化，所以我们就选择用男生做单位一。我们知道男生占全班人数的百分 六十啊，也就是五分之三。那我们可以转化一下，把它转化成是全班人数占男生的。 哎，反一反，是不是应该是三分之五？这是我们原来的第一种状态。再看后来，他是男生占全班人数的 九分之五啊，那也给他转化成全班人数占男生的。哎，分子分母又要相互 换一下。那现在我们看到啊，单位一都是男生啊，因为男生前后并没有发生变化，所以三分之五和五分之九是可以 加减做计算的啊。那我们去观察，本来全班人数占男生的三分之五，后来全班人数占男生的五分之九，为什么发生变化了呢？ 是不是因为哎，你就是增加了四名女生，对不对？那所以我们就可以得出这四名女生，他对应的分率就是五分之九和三分之五的差。 那油分量，油分率两者做一下除法就可以得到。单位一。那我们看到啊，单位一是男生。所以啊，我们不单列出了柿子，还要知道啊，最终 求出来的是男生的人数。然后我们把它计算一下就可以了。 最终我们可以得到男生人数是三十。好了，问题问的是，这个班原来有 多少名女生啊？我们看到男生是三十人，那么女生应该有多少？要怎么求呢？ 我们可以先算出全班人数，因为我们知道原来全班人数占男生的三分之五，所以是三十乘三分之五， 就是全班人数。再把男生人数减掉，就可以得到我们的女生人数是二十人，这个就是原来的女生人数。 那我们用笔求解的方法就给大家放到我的下一个视频里了。

大家好，今天我们来看一道六年级的抓捕变量解题，一杯盐水呢，盐蘸盐水的八分之一，又加入四克盐，盐蘸盐水的六分之一，问，原来盐水有多少？ 我们一起来看一下如何做。呃，这道题呢，接下来我要介绍几种方法，我们先来看一下第一种方法，第一种方法呢，就是抓不变量，解题的方法， 我们看一下，在这个过程当中啊，加入四克盐，什么是不变的，对吧？我们要抓不变量很关键， 盐的话是加入四克，那么盐总质量会发生变化，对吧？水有没有变化呢？ 水当然是不变的，因为往里加盐，水也没往里加呀，对吧？所以水不变啊，所以这个题很关键啊，不变量是 水，那我们接下来呢，把水看作不变量来解题。呃，盐蘸盐水的八分之一，那我们看一下盐蘸水的多少， 对吧？这是盐水的话，我们看分为盐和水，对吧？ 盐蘸水的多少呢？我们看一下，一开始盐蘸盐水的八分之一，说明盐是一份水呢，是这个盐水是八份， 八减一，对吧，也就是说八减一分之一，盐蘸水的七分之一， 这是一开始，那么后来呢？ 后来延展水的多少？ 你们看一下 后来是不是盐蘸盐水的六分之一啊？同样的方法，我们就可以求出盐蘸水的 多少，六减一分之一，对吧？也就是五分之一啊，五分之一， 那么我们看一下，从七分之一到五分之一啊，这个分率是增加了的，对不对？从七分之一到五分之一是增加了的， 那增加了几分之几呢？我们看是不是应该用五分之一给他减去七分之一啊， 增加了的分率啊，对应的分量是多少呢？是不是告诉了四克对吧？四就是对应的分量，所以我们用对应的量 除以对应的分率，是不是就可以求出单位一了，对吧？四除以直接给他四乘啊，三十五分之几，三十五分之二对吧？二分之三十五， 呃，二七十对吧？算数等于七十，那么在这里七十是什么呢？ 七十当然就是水了，因为我们在这里把水看足不变的量，水呢是单位一，所以你求出的就是水啊，说明原来的水呢有七十克， 盐占水的七分之一，问原来盐水有多少？这个很简单，我们用七十是水， 那延占他的七分之一就是七十乘以七分之一啊，对吧？就是等于八十克，所以说 原来的盐水呢有八十个啊，这就是正确答案。那咱们来看一下现在啊。呃，这是第一个解决的办法，我们用单位一的方法抓不变量来解题。第二种方法呢，我们也可以用笔的方法 啊，笔的方法什么的，同学们看一下。呃，一开始这个盐和水的比对吧，我把它取出来，盐和水的比是一比多少呢？一比七对吧？一比七，呃，后来盐和水的比，我们写到这里， 盐蘸盐水的六分之一说说明盐和水的比是一比五，对不对？一比五， 那么这个水咱们来看一下，他们是相等的，对吧？水是相等的，可是 在这里是五份，在这里是七份啊，不相等怎么办呢？我们给他画成相等就可以，五和七的最好不会数三十五，直接给他写成五比上三十五。那么这里一比五呢，就可以写成啊，乘七就行啊，七比上三十五， 你们看一下是不是这样就可以了， 那也就是说看一下，呃，后来呢，这个由五份变成七份啊，增加了多少？是否我们可以算出来 五分变成七分，增加了两分，那咱们直接用四除以七减五的差，对吧？就可以算出一份是多少，就是说 盐原来是五占五份，现在呢占的是七份，五到七增加了两份，两份就是四克，一份就是两克，那原来的盐水占多少份呢？一共就是再乘以五加上三十五，因为他们一共是四十份，五加三十五，四十，我们来算算等于多少？ 四除以二等于二，二乘以四十等于八十克，对不对？同学们看一下啊，这个方法也很快啊，我们先啊，把这个笔给他画成就是 后像一样的啊，因为水始终不变啊。然后呢，我们，呃去求出一份是多少，再求一共是多少啊，也是比较简单的。 呃，这道题呢，其实还有第三种啊，第三种就是什么，什么就是这个方程啊，第三种就用方程来解 方程的话的好处是什么呢？就是可以直接算出结果。在这里呢，我们可以直接设啊，原有盐水 直接设为原有盐水 x x 扣 就可以了，然后直接练方程就行。方程也很简单啊，就是盐蘸盐水的八分之一，那么就是八分之一 x， 这就是盐再加入四个呢，加四就可以了，这个时候他在盐水的六分之一呢，就是，呃，六分之一 括号，那么我们看一下，你加入了四克，那么盐水就变成 x 加四，对吧？ 这样，呃，这里的话空间有限啊，我把这个解题过程我们写到这里吧，八分之一 x 加上这个四 等于六分之一 x 加上六分之一乘四十三分之二，对吧？好，然后六分之一 x 减去八分之一 x 等于四，减三分之二 六和八通一下分啊，通成二十四，二十四分之四就是二十四分之三，二十四分之一 x 等于三分之四的话是三分之十二，三分之十 ox 呢，是等于三分之十乘以二十四。呃，二十四除以三等于八，八乘以十呢，等于八十。 同学们看一下，这样解。呃，用方程的思想啊，去做的话就是，好处是什么？就是说一步到位啊，直接解除就是 x 等于八十克，所以说原有盐水呢就是八十克。好，以上呢，就是三种啊，解决这类问题的方法啊，同学们学会了吗？

六年级三班女生人数是全班人数的五分之二，后来又转入三名女生，此时女生与全班人数比为七比十六。问六年级三班原有多少人？ 这道题懒做了不少的尖子生，这道题究竟该怎么做呢？这道题的关键是早补变量， 我们来看。后来又转入三名女生，女生忍术在发生变化，从而引起全班忍术发生变化。因此这道题补变量是男生忍术嘴为补变量， 我们就把谁看作单位一。我们来看看女生忍术、全班忍术、 男生忍术前后有什么样的关系。女生忍术原来是全班忍术的五分之二， 我们可以把女生忍数看成十二分，全班忍数为五分。那么男生忍数是几分呀？我们是不是就要用五减二等于三分量？ 既然是把男生忍数看作单位一，那我们就要找一找女生占男生的几分之几。原来女生为二分量，男生忍数为三分量，这个时候女生忍数占男生忍数的三分之二。 转入三名女生后，这个时候女生人数与全班人数的比为七比十六。 我们把女生的数看成七分量，全班的数为十六分量，这个时候男生的数就为十六减七，等于九分量。 这个时候女生忍数占男生忍数的几分之几呢？女生七分，男生九分，所以女生忍数占男生忍数的九分之七。由原来的三分之二变成九分之七。 分率变大了，是因为转入了三名女生，我们找到这三名女生所对应的分率就是九分 十七减三分之二。量。率对应用除法，这样算的是单位一，也就是男生忍数等于二十七人。这道题要求六年级三班原有多少人，我们还要求出 女生原有的忍术，原来女生忍术占男生忍术的三分之二，所以女生忍术我们就用 二十七乘三分之二等于十八的。所以全班人数原有二十七，加上十八等于四十五人。 同学们，你们学会了吗？这类型的题，关键是找补变量，谁是补变量，我们就要把它看作单位。一、关注老师，学习更多的解题技巧！

变笔问题怎么做？抓不变量很重要。这道题中告诉我们，甲乙两个人的前数是三比一，那么当甲给了乙六元之后，他们的笔就变成了二比一，这个时候甲的前数变了，乙的前数也变了，但是给 给来给去核不变，这个钱始终在他俩手里，没有给到第三个人，所以他们的核是保持不变的。那么三比一的时候核是四份，二比一的时候核是三份。要想保持相同，找到三和四 四的最小公倍数，把他们变成十二，那么三比一就要跟着变化，变成九比三，而二比一就要变成八比四。这个时候我们观察发现，减 甲从九份变为八份，少了一份，因为他给了以六元，所以一份就是六元。那么既然核是十二份，一份是六元，那么核我们就可以 求出来了，十二乘六，也就是七十二元。所以这道题的答案就是两人共有七十二元。

有甲乙两堆酶，原来甲堆酶的质量是乙堆的八分之五，如果从乙堆运三十三吨到甲堆，那么甲堆酶的质量是乙堆酶的九分之七， 原来甲乙两堆酶各有多少吨？这道题其实只要找到单位一就可以轻松解决，那么这里谁可以做单位一呢？想想甲堆的质量还是乙堆的质量都不行，为什么？因为他俩往来运酶，那么甲堆和乙堆酶的质量是变化的， 变化的量怎么能做单位一呢？好，我们知道有这样的一个公式，我们用实际的量，然后除以其对应的分率，那就得单位一。那么这里我们刚才分析甲乙两 两对眉的质量，因为是变化的，都不能做单位一，这里我们要找到变化中的不变量。什么不变？我管你甲乙两对眉怎么运眉，那么他俩的质量之和是不变的。就是什么可以做单位一啊？总质量， 哎，甲和乙的质量之和是不变的，那么我们现在只有哪个量呢？是不是只有三十三吨这样的一个量？ 那么我们只要找到这个三十三吨占总质量的分率，那么这道题我们就解决了。那关键是这个三十三吨， 呃，占总质量的分率是多少呢？我们来分析其实也比较简单，那么原来甲是乙的八分之五，那么后来甲变成乙的九分之七，那么七十我们用三十三 除以什么呢？后来他占多少呢？甲是乙的九分之七，那么甲占七份，乙占九份，总共是十六份，那么所以是甲占这十六份中的七份，所以是九加七分之七，然后减去 原来甲是乙的八分之五，那么甲是五份，乙是八份，总共是十三份，而甲占这里面的五份，所以我们计算这个，我们就可以得到它等于 六百二十四吨。那也就是说呢，甲乙两堆煤的总质量是六百二十四吨，那么接下来我们随便找一个啊，他问的是原来，对吧？我们按比例分配就可以了，所以甲堆煤的质量就是六百二十四，乘 这十三份中的五份，那就等于多少呀？二百四十吨。而乙堆煤的质量呢？哎，这是减啊， 一堆原有六百二十四中的八加五分之八，那就等于三百八十四吨。好，其实后边这一个呢，你直接用六百二十四减二百四也可以得到它。

看一道六年级必考题一杯盐水，盐蘸盐水的八分之一。加入十四克盐后，盐蘸盐水的九分之二。盐有盐水多少克？这道题目呢？盐发生了变化，盐水也发生了变化， 水没有变呢，那就是水没有变。所以这道题目咱们还是要通过抓不变量水作为突破口。那么怎么突破呢？我们知道呀，加入十四克盐之后，含盐率自然就提高了。 那么十四颗盐对应的分率是九分之二减八分之一吗？当然不是。为什么呢？因为这两个分率的单位一不一样。八分之一的 单位一是原来的盐水，而九分之二的单位一是现在的盐水。单位一不一样，这两个分率呢，就不能相加减。所以我们要把它们转化为以不变量做单位一的分率。 怎么转化呢？咱们来看一下。盐占盐水的八分之一，说明原来的盐水是八分，那盐就是一份 水呢，八减一七分。所以这句话我们可以转变为原来盐蘸水的八减一分之一，也就是七分之一。 那现在呢？盐占盐水的九分之二，也就是说现在的盐水是九分，盐呢，是两份，那水呢？九减二七分。那这句话 我们也可以转变为现在盐蘸水的九减二分之二，也就是七分之二。原来盐蘸水的七分之一。现在呢？盐蘸水的七分之二。为什么变多了呢？因为加入了十四克盐。 那么十四克盐对应的分率是多少呢？就是七分之二减七分之一。那咱们量率对应就可以求出单位一 水十四，除以七分之二，减七分之一，就得到单位一水九十八克。题目要求的是原有盐水多少克， 那咱们看一下原来盐蘸盐水的八分之一，那么水蘸盐水的几分之几呢？那就是 一减八分之一。水呢？是九十八克，对应的分率是一减八分之一。那咱们量率对应就可以求出原来的单位。一盐水九十八，除以一减八分之一，就等于原来的盐水一百一十二克。

好，同学们好，今天呢，我们讲的这种类型题啊，是我们这个单元非常常见的一种类型题。这种题目的特点呢，就是它的单位一往往是不统一，且没有办法转化成统一的单位一。 所以我们很多的同学遇到这样的题目，不知道应该如何下手。但是这种题目呢，往往他又隐藏着一个不变量。所以今天这个视频我们就来讲讲用列表法解决不变量问题。 那么即便是列表法，今天老师要准备用两种方法来讲，看我们的同学更喜欢哪一种方法。我们先来看一下这道题。 说这道题啊，说六一班学生缺席人数是出席人数的五分之一，那么首先第一个五分之一是以出席人数为单的一的。后 后来有一名请试驾的同学返回班级，于是缺席人数是出席人数的六分之一。表面上看起来他的单位一并没有发生改变，都是出席人数。但是同学们只要细细的想一下就知道，原来的出席人数和现在的出席人数已经发生了改变。 所以这道题是一道典型的单位一不统一的问题。那我们看一下怎么用列表法来解决。首先我们可以用列表法把题目中的已知条件进行一下摘抄。我们摘抄一下，原来现在 那么有缺席人数，有出席人数，那我们在列表的时候，同学们可以想一想啊，缺席人数发生了变化，同时出席人数也发生了变化。那么 这道题什么没有变呢？对了，是班级的总人数没有发生改变，所以我们在列表的时候，还需要把这个不变的量总人数把它列出来。 好，我们来看一下原来缺席人数数。出席人数的五分之一，说明缺席和出席人数的笔试 一比五，那么总人数就可以看成六份。而现在缺席人数是出席人数的六分之一，缺席人数是一份，出席人数变成了六份，现在总人数变成了七份。 好，我们先来讲第一种方法，用分数做。我们来看一下这道题谁没有变。刚才我们说了总人数没有变，我们把它圈一下，这个是 是不变量。那么他不变，我们就让他来做单位一啊，谁不变，谁才有资格来做这个单位一。那我们只要盯准了出席或者缺席中的任何一个就可以了。为了计算的方便，我们可以仔细的去看一下缺席人数， 我们会发现像原来的缺席人数占总人数的多少呢？六分之一。而现在的缺席人数占总人数的多少呢？七分之一 对吧。这个六分之一和七分之一都是以这个不变的总人数为单位一的，单位一是统一的，没有问题。那为什么会从六分之一变成了七分之一呢？就是因为有一名请试驾的同学返回了班级，导致了我们缺席 人数少了一个人，而出席人数多了一个人。所以原来的缺席人数和现在的缺席人数之间正好差一个人。那么这一个人跟他们俩的差就是一组对应分量。 那对应分量除出来的是谁呢？我们只需要去看一下，六分之一也好，七分之一也好，都是以总人数为单位一的，所以得到的就是总人数。

大家好，欢迎来到奇学妙数学，下面接着讲六年级奥数渣不变量。解题十一请看到题目。一个分数，如果分子加五，这个分数就等于二分之一，如果分母减三，这个分数就等于三分之一。 最后呢，求这个分数是多少？好，这道题呢，告诉了我们四个数据啊，前两个数据 说明了一种变化情况，第一、后两个数据也说明了一种变化情况。所以这啊告诉我们的四个数据， 实际上是告诉了我们两种变化情况。第一种变化情况是分子加五，分母不变，这个分数呢，他的直 就等于二分之一。第二种情况，变化情况是分母减三，而分子不变，这个分数就等于三分之一。好，那么在这两种变化情况里面，分母变了，分子变了，分数值也变了， 所以我们扎不变量，扎分母也不行，扎分子也不行，加扎分数值也不行，那怎么办？ 所以呢，像这道题呢，也是比较难的题目，怎么办？首先我们要通过这两种变化情况 哎进行推倒出分子和分母之间的倍数关系有分裂，我们就会能找出他们之间的倍数关系。 下面第一种变化情况，如果分子加五，这个分数就等于二分之一，说明什么呢？分子不到分母的一半分，也就是分子是加上五才等于分母的一半 啊。那反过来说，分母的一半就是分子的一倍加五。 那么再进一步推理的话，分母就应该是整个分母就应该是等于 分子的两倍加上两个五。所以根据第一种变化，我们就可以推出这么一个结任。分母是分子的两 两倍多十，这个十是两个五啊。在根据第二种变化情况，我们可以推出分子和分母之间的有什么倍数关系呢？ 如果分母减三，这个分数就等于三分之一，说明什么？如果分母减了三，分母还是分分子的三倍，如果分母不减三的话，他应该是比分子的三倍还要多三吧。 所以有第二种变化情况，我们就可以推出分母是分子的三倍多三。好，那么这样的话，我们就把分两种变化情况都推出来了，分别推出来一个倍数关系。有第一种变化，推出分母是 分子的两倍多十，那么分子是一倍数，我们抓住一倍数不变，分母是他的两倍多呃多十。第二种变化情况呢，我们推出了一个结论是分母是分子的三倍多三。所以呢，这里面呢， 一个是第一个是变化情况，是跟两倍比。第二个情况呢，是分母跟分子的三倍比。所以呢，我们做这个题目怎么办 啊？推出来了这两个结果，我们再根据这两个结果画一画图就出来了。下面我们来画图分析一下 啊。分母要跟分子的两倍比，又要跟分母分子的三倍比，所以分子我们要画三倍。分母呢， 比他的三倍还要长一点是吧？好，这是分子的三倍， 这是分母比他的三倍还多三是吧，比他长一点好。分子呢，是其中的一倍 好。下面我们跟分子跟分母来比较啊，一个是跟两倍比，一个是跟三倍比，这是分子，这是分母，这是跟三倍比， 这就是跟两倍比。好，这多分子的两倍。分母是分子的两倍多十，那么十是表示哪里的数据呢？是表示这一段，这一段是分子啊。分 母比分子的两倍多的地方是多两个五好。 第二个比较情况，分母是分子的三倍多三，哎，这是三倍。那么这一部分是他的分母比他的三倍多的部分，应该是多三好。这样的话，我们很明显的可以看出 这一段是多少这一段。这一段的分子的这一段，也就是分子的一倍是吧，他是等于多少呢？等于五，两个五减三， 他比十少三是吧。所以呢，我们可以推出这一段呢，是等于五乘二减三的。这一段就是分子的一倍。 分子的一倍怎么得出来的？就是三倍比两倍多这一倍是吧？所以用三倍比两倍多一倍。我们用五乘二减三除以三倍减两倍得出来呢，分子就等于七 好。分子是七，球出来了。现在我们再来求分母。分母有两种球法，可以根据第一种情况球，也可以跟第二种情况球。根据第一种情况是用两倍多十多两个五，就是二乘七加二乘五。 也可以根据第二种情况分子，分母是分子的三倍多三，所以用分母啊，用分子乘三，七乘 三加三。我这里用第二种变化情况来算，分母是七的三倍多三，等于二十四。做到这里呢，分子和分母都算出来了，所以这个结论也出来了，我们可以填下去。好，今天的数学讲到这里，再见。

咱们来讲笔的动态笔的题啊，拍完拍完啊来。那么这个题和前面的题不同在哪里呢？先读题课外兴趣小组上学期男生人数占九分之五 先告诉我单位一是谁啊？占女生的九分之五。占什么？跟你说了，上学期男生人数占，你想一想占什么呢？九分之五 这地方是不是省略了一个总人数啊？这个地方要清楚啊啊，下学期增加二十一名女生后，男生人数就只占五分之二，占谁的五分之二是不此时的总人数啊？此时的总 人数。有人问我，老师为什么要加个此时来，把你的语文功底给我拿出来。现在加，增加了二十一名女生，你这个总数和原来的总数是一样的吗？ 思考第一个问题，现在女生增加二十一名之后，人数总人数和原来一样吗？ 不一样。那显然我不能以他为不变量了，对不对？好，接下来读题这个小组现在有女生多少名？哎，我是不是还是要去找女生有多少名啊？但前面和这里都是描述是男生占总人数的， 那我能不能找到女生占的份数了？可不可以？好，第一句话来，朋友们，以后第一句话可以知道男生和女生，我们叫之前。好吧， 之前的笔是多少？男生有五份，九代表什么？总数有九份。那我想问一下，你的女生就应该有几份呢？四份，这个能理解吧？这个能理解吗？看一百啊，张凯跟我看一百。 好，第二句话，这里增加了二十一名女生后，男生就只占五分之二。那我想问一下，现在男生有几分？ 两份，女生要几份？三份是不是五减二等于三？好， 你看男生的笔是不是在发生改变啊？是个动态笔，是不是动态笔？那我现在要去找不变量，你能不能告诉我这道题不变量是什么呀？思考， 男生人数非常好，男生人数，这到底变的是谁啊？女生人数，女生人数变了，导致总人数变了，但是唯一不变量是谁啊？男生，男生人数不变啊，我把它框起来，是不是？那么我们是不是要去统一他的分数啊？多少 来？五和二的最小公倍数是多少？十十，所以他要扩大两倍，他也要乘二，对吧？那他要乘几五？五，他呢？五。 好，那么这个笔就写成了多少啊？十，这是几啊？八，这是几十，这个几十五啊。那现在我根据找已经找到不变量了，我是不是现在要根据题目的意思啊？增加了二十一名女生，现在我去看谁啊？现在去看谁？ 你增加了二十一名女生，你看，原来女生八分，现在十五分，增加七分，你是不是找对应量啊？女生增加了二十一名，你去看男生， 我让你去买汉堡包，结果你去跟我吃牛排了，对吧？我们要搞清楚啊，我现在是不是要找到对应量了？ 女生增加二十名，那我是看女生的份数改变，对吧？由八份变成十五份，增加了几份啊？七份，是不是增加了七份？那么请问他对应的量是多少？二十一，二十一名，对应七份，一份是几三， 所以一份就是几人呐？三人啊，现在他问现在有女生多少人？现在女生有多少分？十五分啊？有些同学会拿三去乘三等于九人，不对啊，不对， 看黑板。为什么不对？有同学已经乘出来一份，是三人，为什么要去拿三，去乘三呢？三是不是你之前的笔啊？是没有统一以后的，我们要用统一之后的这个分数来乘，所以女生一共应该是十五乘三等于四十五人。 清不清楚？清不清楚。所以这道题和前面的题不一样。地方在哪里？刚才上面一题动态笔，是因为找到和不变了， 对吧？还有我跟你讲的年龄差是不差不变的，那么像这样一道题是不？其中某一个量是不变的，对不对？我们一定会在题目中找到不变量啊。所以仔细读题，听清楚了吗？好，听懂了没有？会了吗？好，自己做一下。我看我的啊，自己做。

六年级分数易错题，一杯盐水也占盐水的二十分之一，加入五克盐后，盐占盐水的二十一分之二。问原奶有盐水多少克？我们先来分析题一， 一杯盐水，盐在盐水的二十分之一，我们把原来盐水的质量看作单位一，加入五克盐后，盐在盐水的二十一分之二， 这里把后来盐水的质量看单位一。请思考，这两个单位一是不是一样的，他不是一样的，因为前后盐水的质量并不一样， 也说这里的单位一并不统一，那咋办呢？我们必须统一单位一，也就是解答此题的关键所在。 我们要把不变量看单位一，这里总共有三个量，盐水、盐水，想想水才是不变量哦。 加入五克盐，显然盐的质量在发生变化，盐水的质量也随着发生变化， 那不变量只有谁了？所以我们要把谁的质量看作单位一。这里我们要换一种说法，我们叫说 盐占谁的几分之几，我们来看圆的盐占谁的几分之几。 这里有一份盐，二十份盐水，我们就用盐的份数去除，以水的份数， 总共有二十分盐水，我们就二十减去一，这就是水的份数，就等于十九分之一。再看后了，盐 占水的几分之几呢？后来有二份盐，我们就二去除，以二十一份盐水，那水就是用二十一 一减二，这是水的分数，就等于十九分之二。点赞，水的比率在发生变化是因为加入了五克盐。 首先我们要求出单位一的量，我们就要用量率对应，求单位一，我们就用五去除，以对应的分率，我们就用 十九分之二减十九分之一就等于九十五克，这算的是水的质量。这道题要求原来盐水的质量，我们看原 盐占盐水的二十分之一，这里呢，我们已经求出了水的质量是九十五克，要求盐水的质量，我们就要用量率对应， 找到这九十五克水所对应的分率。盐水为一，盐占盐水的二十分之一，那水所 对应的分率是多少呀？就是一减二十分之一量率对应，这样我们可以求出原来原水的质量就等于一百克。 解决这类分数应用题，我们一定要统一单位一，要把不变量看作单位一。同学们，你们听懂了吗？关注老师，学习更多的解题技巧！

在接下来的几个视频中，我来讲讲浓度问题。为了说明啥是浓度，我先要介绍几个与他有关的基本概念。比如把糖放入水中，你就得到糖水。把盐放入水中，你就得到盐水。 这里的糖和盐是被溶解的物质，就称为溶质。这里的水是溶解其他物质的液体，就成为溶剂。而这里的糖水和盐水是溶脂与溶剂的混合物，就成为溶液。 有了这三个概念，你还可以分析一下酒精溶液。在酒精溶液中，纯酒精就是溶质，水就是溶剂，他们合在一起就是酒精溶液。 不难看出，溶制加溶剂就是溶液。比如溶制五克，溶剂十克，那溶液就是十五克。有了这个公式，你就可以解决一些简单问题了。比 比如一杯盐水两百克，其中含水一百六，让你求含盐多少，你只要用溶液两百减去溶剂一百六，就可以得溶至四十了。如果反过来告诉你，盐有八十克，溶液还是两 两百，那你一样可以用溶液两百减去溶脂八十，得溶剂为一百二。明白了这三者的数量关系，接着咱就可以讲讲啥是浓度了， 还是拿糖水来说，现在有两杯糖水都是两百克，其中一杯含糖四十，另一杯含糖六十，问你哪杯甜？这简单总量一定肯定是含糖越多越甜呗。 不过，为了更精准的表示含糖量，你必须使用浓度的概念。所谓糖水浓度，就是糖占糖水的百分比。比如这两百克糖水含糖四十，他的浓度就是四十，除以两百，得百分之二十。 如果含糖六十，那浓度就是六十，除以两百，得百分之三十。含糖百分比越大，浓度就越高，也就是通常所说的越浓糖水浓度。你明白了，接着就可以把它推广到所有溶液了。对于一般溶液而言，浓度就是溶质占溶液的百分比，写成公式就是溶质除以溶液，通常情 况下，浓度都得写成百分数。像刚才我没有写零点二或十分之三，而是写成了百分之二十与百分之三十，就是因为这一点，因此你在写答案时也得写成百分数。所以浓度计算公式一般都会填上成百分之百这一项，意思就是要化成百分数。 不过话又说回来，你绝对不能因为浓度在写法上特殊，就以为他跟普通分率有啥区别了。从分数应用题的角度来看，溶液就是单位一，溶质就是部分量，而浓度其实就是部分量所对应的分率，所以浓度跟所有部分占总体几分之几，这样的分率在本质上是完全一样的。 下面我就举个好玩的例子让你更明白这点。比如一个班有四十人，男生十六，女生二十四，男生占总数的十六，除以四十得零点四，也就是百分之四十。那我就可以说男生浓度就是百分之四十。这里男生好比是汤，女生好比是水，男 男女混成一个弯，就好比是一锅糖水，男生这个部分占全班这个整体的百分之几，就是男生的浓度。怎么样？是不是很好玩？以后凡是遇到部分占整体几分之几这样的分率，你都可以管他叫做浓度。 以上就是与浓度有关的基本概念和简单计算。首先你要理解溶剂、溶剂、溶液这三者之间的数量关系。其次，你得明白，浓度其实就是溶质占溶液的百分之几，是一个部分占总体的分率。 明白了这两点浓度的基本概念，你就算明白了。在上个视频中，我讲了浓度的定义，作为浓度，就是溶质占溶液的百分比。写成公式就是，浓度等于溶质除以溶液成百分之百，其中溶液是单位一，溶质是不分量，浓度是分率。 在这个视频中，我接着来讲与浓度有关的简单计算。比如，将二十五克糖放入一百克水中，让你求糖水的浓度，这简单 用二十五除以一百不就是答案了，得百分之二十五。你要是这样想，就掉进坑里了。因为公式中的分母可不是溶剂，而是溶液， 而溶液既得包含溶剂，还得包含溶质呢。像这里的溶液，糖、水不止含有一百克的水，还含有二十五克的糖，所以溶液得是一百加二十五，得一百二十五才对。这样相应的浓度就得拿二十五除以一百二十五了。 算，算得百分之二十以后，你可记住了，浓度是部分占整体的百分比，而这个整体既得包含像水这样的溶剂，也得包含像糖这样的溶质，两者缺一不可。 知道了溶脂和溶剂让你求浓度，你会了，如果我告诉你溶液和浓度让你求溶质，那又该咋算呢？比如，现有果汁八十克，浓度为百分之四十，让你求纯果汁有几克？由于浓度为百分之四十，就意味着纯果汁，但全部果汁的百分之四十，因此，你只要拿全部果汁沉 上浓度，就是纯果汁的量了，算一算，结果等于三十二。知道溶液和浓度让你求溶制，你会了。如果我告诉你溶制和浓度让你求溶液，那又该咋办呢？ 比如盐水含盐三十克，浓度是百分之二十五，要你求盐水十几克。由于百分之二十五就是盐占盐水的百分比，因此三十克的含盐量恰好与百分之二十五这个分率对应，有的量率对应。你拿量除以率，就可以得到单位以盐水溶液了，也就是三十除以百分之二十五算，算得一百二 以上，就是与浓度有关的简单计算。这种计算从本质上讲就是分数应用题。因为根据浓度公式，溶液就是单位一溶制就是部分量，而浓度则是分率。 所以你只要拿解分数应用题的那一套方法出来，就很容易搞定这种问题。怎么样，不难吧？在之前的视频中，咱遇到的问题也比较简单，你直接利用浓度公式就能解决。 在这个视频中，我要讲讲在原有溶液基础上添加溶剂或溶剂的题目。比如现在有一百克糖水，浓度是百分之三十，如果再加入二十五克糖，药理球加入后糖水的浓度是多少？ 根据公式要求，加糖后糖水的浓度，你只要把加糖后糖和糖水分别算出，再相处就可以了。那咱先来看糖，他有两部分组成，一部分是原有的糖，一部分是后加入的糖。原有的糖就是一百乘百分之三十得三十克，后加入的糖就是二十五克，那现在的糖就是三十加二十五，得五十五克。 再来看糖水是不是还是一百没发生变化呢？你要是这样想，就大错特错了，因为后来的糖水还包括新加入的糖呢，因此，糖水就是一百加二十五，得一百二十五克。现在加糖后的糖跟糖水都有了，那你就可以求糖水的浓度了。用五十五除以一百二十五，结果就是百分之四十四。在上述过程中， 你只要按照浓度公式，将加糖后的糖跟糖水分别求出，然后再相出既得结果。刚才加入的是糖，溶脂和溶液都发生了变化。如果加入的是水，那又会咋样呢？ 比如现在我把这个条件去掉，换成加入五十克水，要你求加水后的浓度，那根据浓度公式，只要把加水后的糖跟糖水算出来即可。还是先看汤。由于加入的是水，糖压根没变，因此现在的糖就等于原来的糖。原来糖是三十克，那现在糖也是三十。 再来看糖水，和原来相比，增加了五十克的水，因此，你只要用原来的糖水加上五十，就是现在的糖水，也就是一百五。现在加水后的糖跟糖水都有了，那你就可以求浓度了。用三十除以一百五，结果就是百分之二十。 刚才这两个例子，一个告诉你加了多少糖，一个告诉你加了多少水。尽管加的不一样，但算起来都很简单，只要严格按照浓度 公式，把相应的糖跟糖水算清楚即可。但如果不告诉你加了多少糖或者多少水，而是告诉你加入之后浓度是多少，让你反过来求加入了糖和水，那你又该咋办呢？ 比如我把条件变成加入一部分水后，浓度变为百分之二十五样理球加水多少克？根据刚才的分析，加入水时糖不变，那你就可以利用这个不变料来解决问题。开始的糖是三十克，那加水后的糖就还是三十，而他恰好对应的就是此时的浓度百分之二十五， 用它除以百分之二十五，得到的就是后来的糖水，也就是一百二。将后来的糖水与开始比较一下，不然发现增加了二十克，那这二十克就是后加入的水了， 因此答案就是二十。在上述过程中，最关键的就是抓住糖这个不变量，取出后来的糖水，再用后来的糖水减去开始的糖水，就是加入的水了。以上就是我要讲解的全部内容，如果我告 你加了多少糖或者多少水，要你求加入后的浓度，那你只要按照公式进行求解即可。如果反过来告诉你加水后的浓度，要你求加了多少水，那你就得紧紧抓牢溶至糖这个不变量进行求解了。怎么样，明白了吗？如果明白的话，就自个动手试试吧！

寻找不变量是六年级分数应用题中的重点及难点。六一班共有三十六名同学，其中女生占九分之四。 后来调来几名女生，这时女生占总人数的十九分之九。问调来几名女生呢？ 调来女生，男生不变呀，男生是几人呢？最初三十六名同学，女生占三十六名的九分之四，那么男生就占三十六名的九分之五， 也就是二十名男生。后来调入几名女生，总人数变多了， 男生还是二十名。怎样求现在的总人数呢？我们要知道，女生在现有人数的十九分之九，那么男生就在现有总人数的十九分之十。 要求现有的主人数，就是要求标准量。要求标准量用男生的二十名除以他在现有总人数的十九分之十，可得现有的总人数是三十八名。 原来有三十六名同学，现在有三十八名，又转来两名女同学。

六年级必刷题统一不变量，单个量不变！大家好，我是小四老师，今天讲解六年级数学统一不变量中单一量不变问题。 首先我们一起看一下例题。小四老师班级里男生与女生的人数比是二比三，后来又转来三名女生，现在的女生与男生的人数比是五比三。 现在小思老师班里有多少名学生呢？分析题目我们不难发现，题目中只转来了女生，所以男生没有发生变化， 应该是相同分数。但题目中男生分数并不相同，说明此时两个比争 一份量不相等，故而我们需要统一男生的分数。此时注意题目中有一个小坑点，前面给出的是 男生，女生的笔是二比三，而后面给出的是女生，男生的笔是五比三。所以我们需要做一下调整。调整如上， 找到男生的最小公倍数六，上面乘三，下面乘二，那么我们就转化出他们统一之后的分数比一。 接下来我们就会很明显的发现，女生转来三个人后，由九份变化到十份， 根据两份对应关系求出一份，一份是三人，一份求出后，进而就可以把总分数求出来， 由一份三去重上总共的人数啊，六加十啊，现在是十六份，所以求得总共是四十八名同学。最后同学们别忘记写答， 同学们，你学会了吗？那么对于统一不变量问题，我们做一个小结。统一不变量的关键。 首先需要找出不变的量，统一这个不变量的份数，其他量根据笔的基本性 啊进行相应的一个变化。接下来根据对应关系求出一份，进而求出多份。 今天我们对统一不变量问题单一量不变的讲解 到这全部结束。感谢大家的聆听，我们下次再见。