6.1分类加法与分步乘法计数原理

大家好，我是杨德老师，今天我们要讲的是分类加法技术原理和分部乘法技术原理的第一课是， 首先我们今天学习目标呢是通过实力能归纳总结出分类加法技术原理，分布乘法技术原理。第二，正确的理解完成一件事情的一个含义，能根据具体问题的特征选择分类或者分布。 第三，能利用两个原理解决一些简单的实际问题。好，我们先看看新指甲瘦什么是分类加法技术原理呢？我们首先要确定我们的任务是完成一件事， 那么完成这个事件有两类不同的方案，那么第一类方案中有 m 种不同的方法，第二类方案中有 n 种不同的方法，那么总共有 m 加 n 不同的方法。 那我们再思考一下啊，若完成一件事情有几类不同的方案，那么第一类有 m 一，第二类 m 二， dn 类有 mn 种，那么总共有多少 那种呢？就把这些全部干嘛加起来就行了嘛，对吧？就总共有这么多种做法好了，我们看分布乘法技术原理，哎，又是一个什么样的呢？首先任务仍然是完成一件事，但是他需要两个步骤，第一步有 m 种不同方法，第二步有 n 种不同方法，那么他们要进行一个组合才能完成这个事情， 对不对？那么这个时候他就有 m 乘以 n 种不同的方法，所以我们一定要区分这件事情到底是有不同，拿多少种不同的方法分几类，还是他要分两步或者三步，然后每一步又有多少种啊，才能完成这个事情？我们刚才说的加法的是什么呢？就是一次性就可以完成了， 对吧？啊，这里呢，乘法呢，是要分几步啊？这要搞清楚。好，那如果完成一件事情需要分 n 个步骤，那第一步到第 n 步呢，就把他们全部干嘛存起来就行了。 好，其实这些东西结合具体的实力来说的话，你可能会更加清晰一点啊，那么现在判断题啊，可能这个判断题对于部分同学来说还不是太能够接受，但是呢，我们先看一看，好吧，那么在分类加法技术原理中，两类不同的方案中的方法可以相同， 那肯定不行的，你的方法都是一样的，那不是重重复了吗？对不对？是吧？好，我们看。第二，在分类加法的技术原理中，每类方案中的方法都能完成这个事情，这是对的啊，他不像城堡需要分步骤 都不能完成，只有他们组合才能完成，对吧？好，第三，在分布乘法中，每个步骤完成这个步骤的方法是各不相同的。哎，这也是对的。 第四，在分布乘法原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能 完成这个事情。啊，错了，任何一个单独的步骤是没有办法完成这个事情的，他是要进行组合的，所以他才说是分布嘛，对不对？好，那么我们再往后看， 那假到以两类交通方式坐飞机和轮成轮船，其中飞机每天有三班，轮船每天有四班，那么假到以有不同的方式有多少种？他不需要组合，他只是说飞机有三种，轮船有三种，那加起来就是几种？ 七种，对吧？那我们看第三题， s y 可以表示不同的值得个数有多少？ s 乘 y， 那这个地方我们要进行一个 一个一个去成啊，对不对？当然这里面有可能会碰到什么呢？会碰到重复的，对吧？啊？其实这个题不能那么草， 对啊，你看答案，那么草率的三乘三有九种，因为他们要进行组合嘛，对不对？那么，嗯，这里有三个数，这里有三个数， 他们进行总会总会有九种，但是实际应该还要试一试这个 x 乘 y 最终的值是不是 一样的，对不对？是吧？所以，当然这个题恰好都不一样，所以呢，我们就是九个啊，他需要两步，他需要 x 是第一步，再去完是第二步，对吧？那么看看某商场有四个门， 购物者从任意一个门进，从任意一个门出，那么不同的走法有多少种？首先他是分为进出两步，那么进门的时候有四种进，出门的时候有四种，出口 四乘十就是十六种。来，我们看到热点题型啊，利用分类加法技术，远离解题啊，那在这里主要是以分类加法为主，在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？那么这题我们可以去讨论，当个位数数字是九的时候，十位数字有一到八。 个位数字是八的时候，十位数有一到七。个位数是七的时候，十位数有一到六，一直等等。个位数是一的时候，十位数是可以是零，那十位数不能是零， 然后个个位数如果是零的时候呢？十位数也不行，对吧？所以个位数最多就到几的，就到二，二的话前面是一，所以这一部分是可以的。那么总共有多少个呢？八，七、六等等等等，一直到最后一，所以一加，二加等等等，加到八等于三十六 啊，这就是个位数字，比十位数字大的两位数，我们是分了，这里总共是八类，对吧？然后呢，分别有八到一个，然后再把他们全部加起来 啊，这里有很多种方法，主要是不同的分类啊，这个要看你自己的习惯。 那我们看到跟踪训练啊，本地条件不变，个位数字小于十位数字，且为偶数的两位数，那就这么来啊，个位数字为偶数的有零、二、四、六、八，那么零 是一个偶数吗？各位，那十位呢？就是有哪哪些呢？就有一到九，如果选二的话就是三到九，去四的话就是五到九， 去六的话七到九，那去八的话就九，所以这里一个三个五个 七个九个，于是加起来，最终就是我们的答案，二十 五个，一加三加五加七加九。好，分类，我是这么去分类的，当然就看你怎么去分类的都行啊，所以作为这种这种类型的题目啊，技术原理这种题目，呃，经常分类的时候呢，可能两个人分的类是不一样的，那最后求出来答案是这样，只要你的分类是合理的，都没有问题啊。 好，我们来看看，利用分布乘法技术原理解题。那么这里面我们看啊，有三个集合， s 减 a 加上 y 减 b， 等于二方可以表示多少个不同的圆啊？因为组成这 原需要 s 坐标，需要 y 的坐标，也需要这个半斤，对吧？那我们知道这里有三种， b 有四种， 二有两种，那所以三乘四乘二，二十四种啊，就可以了，三步合起来 来，我们来看到更多训练啊。张涛，大学工作毕业之后呢，分成两部分去存结余啊，一个是定期，一个是买国债，那么 从一年两年期中认群一种，买国债呢？一二三年期中认群一种，那么有多少种理财方式？那？因为他是两个部分构成的，才能构成他这个结余钱的分配方式，所以定期有两种，那么国债有三种，那就是二乘三，也就是六种理财方式。 好，我们看两个原理的综合音乐混在一起，你会不会模糊啊？如何区分这个问题？是分类还是分布呢？如果完成这个事情，可以分成几种 情况，并且每一种情况都能完成任务，这是分类。而一种情况是取一种方法只能完成一部分任务，还有一部分任务需要其他另外一种其他的方法，那么这个就是分布吧。 好了，我们看到第三啊，一个袋子里面装十张不同的中国移动手机卡，另外一个袋子发现十二种不同的联通卡啊，某人要是两个袋子中任取一张卡供自己使用，有多少种？那就是二十二种，因为他一步就可以到了，取一张手机卡接出 对不对？所以不是两步，那么双卡双待手机就不一样了啊，那连移动呢？有十种选法，联通呢有十二种，那他们总共组合有一百二十种，这是加法和这个就是把乘法的区别， 好让我们看到跟踪训练啊。某公园休息，有八个空凳子，西面有六个空凳子啊，小明爸爸来这里休息，小明爸爸任选一个坐下，小明不坐，哎，那爸爸 的话就有十四种选法，对不对？没毛病，因为他只要选完凳子就完成了。但是如果是小明和爸爸分别就做，就不一样了，对吧？但是这里分类不要分东西哦，东西没有用，对吧？你只是小明和爸爸就做。小明有多少种？ 十四种选法？好，小明如果选下了，因为他要和爸爸都坐下，那小明有十四种选法，但是小明选完之后，爸爸就只剩几种， 对了，爸爸就只剩十三种，所以分两步完成。但是第二步注意了，不是十四，是十三啊，小明不能坐在爸爸身上，对不对？让爸爸也不能坐在小明身上，这样不好，对吧？所以呢，十四乘以十三 结束。一百八十二种啊，有人说，那爸爸先做的啊，长辈优先呢，那爸爸先做也是十四种， 他做完了之后，因为他占了一个凳子，那小明就只有十三种，对不对？对，仍然是一百八十二种，对吧？所以总共就只有一百八十二种，无论你用什么方法，呃，怎么样去分布讨论，对吧？好。 当我们看到课堂检测，某学生去书店发现了两本好书，决定至少买其中一本，那么他购买的方式有多少种呢？这个可能要数一数，也可以数出来，对吧？那么够一本的方式呢？有两种，够两本的方式只有一种，所以加起来是几种？ 三种。那我们看第二题，四件不同款式的上衣和三条不同裤子，这个是肯定要配成套，对不对？那就四乘三吧，你总不能，对吧？这个肯定是穿上衣和裤子是两步，对不对？你一步就到位，那叫连连衣裤，对不对，是吧？ 所以四乘三十二，来，我们看到第三点， a 到 b 可乘三种公交通工具，那么一天又有汽车三次，火车四次，轮上两次，那一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为多少？ 因为是 a 到 b 啊，只要做一次就可以到了，那所以就直接把他们干嘛加起来，这是不同的方法而已，对吧？他不又没有分布，对吧？所以三加四加二就结束。 我看第四题啊，十字路口来往的车辆如果不允许回头，不同的行车路线啊，有多少种好？这个十字路口 这里一走，对不对？那么他就有这一从这里进去，他有几种选法了，他不能回头，那就有三种选法，每一条路都有三种 选法，对不对？那就是总共多少种？三乘以，每一条都有三种选法，总有四条路，那四乘三十二不就行了吗？对不对？第一步，先选择一条路，有四种选法。第二步，每条路有几种选法，三种选法就要出，这叫进，这叫出，对吧？ 来，我们看到第五图，呃，第五题啊，现有五幅不同的国画，两幅不同的油画，七幅不同的水彩画了吗？各选一副，布置房间，那么这是要各选一幅，三步都要到位，所以五乘二乘七， 九十种啊，对不起，七十种。那我们再看，从这些画中选出两幅不同的画来布置，怎么布置呢？那这个时候我们要不同的搭配喽，对吧？国画搭配油画 五乘二，油画搭会搭配水彩画二乘七，国画搭配水彩画五乘七，要帮他们干嘛？ 加起来对不对？所以总共有五十九种布置的方法。好，今天我们的内容就到这里结束，谢谢大家。

这个视频我们来讲一下分类加法与分布乘法技术原理。那么首先我们来看一下分类加法。什么是分类加法？ 我们完成一件事情啊，有如果有恩类不同的方案啊，如果完成一件事情，有恩类不同方案，那么那比如说 第一类啊，我们第一类 他又又有 m 一种的方法啊，第二类我们有 m 二种的方， 一直到第 n 类 dn 类，那么有 mn 种的方法啊，这是我们分成了 n 类啊，分成 n 类问你 总共有多种方法呢啊，这完成一件事情，总共有多种啊，方案啊或者方法，那么那么共有我们就可以把 m 一 m 二 mn 啊， 一直到 mn， 我们把它通通加起来啊，总共有这么多种啊，这个是我们只要分成类了，那么总的数，那么就是把每一类的方法数呢，相加得出来结果那么就是共有 m 一，加上 m 二，一直加得了点，一直加到 m n 中啊，这 这么多种方法啊。这是分类加法原理。那么第二个是分布乘法原理。 分布乘法技术原理。那么我们完成一件事情，那么如果需要分成几个步骤啊，我们分 几个步骤啊，或者是 n 个步骤啊，分 n 个步骤 n 个步骤。那么比如说第一步我们第一步 他呢有 m 一种方法啊，第二步 我们有 m 二种方法，然后一直到第 n 步， 我们有 mn 种方法啊，这是我们分布进行的每一步，那么总共 有那就是 m 一乘以 m 二乘以点点，一直乘到 mn 啊，这么多种方法啊，只要我们把它分成步骤，完成一件事情的话啊，完成一些事情需要分这几个步骤，那么总的方法数呢？是把每一步的 的方法数乘起来啊，这叫分布乘法原理。我们看后面的练习。这是第一题。那么第一个啊，一项工作可以分成用两种方法完成， 那有五人，五人只会用第一种方法，另外四人只会用第二种方法完成。那么从中选出一人完成这项工作。那么不同的种类。那么第一 题呢，就是用两种方法，我们分成两种方法分类的啊，分分类。那么我们这个先确定一下啊，他是分类的，分成两种。那么第一种呢？呃，方法呢？是有五个人啊，五个人可以用，第一种方法会用。那么第二类呢？是用 四个人啊，四个人可以。那么选出一个人完成这项工作。那么我们是分类。那么总的不同的选法呢？就是把第一类的加上第二类的等于九，那么就是不同选法的种， 总数呢？是九。那再看第二个，我们是从 a 村到 b 村的道路有三条，从 b 村到 c 村的道路有两条，我们是从 a 村经 b 村去 c 村，不同的路线有 多少条？那么这个题呢，我们是先从从 a 村到 b 村，再从 b 村到 c 村，那么这个才能完成任务啊。那这是我们分了两步走，我们这个是分步进行 啊。我们分两步。那么第一步啊，这是分两步啊，这是分两类啊。第一步呢，我们是从 a 村到 b 村啊，总共有几种方法呢？就总共有几条路啊，三条路啊，我们这是有三条路。那 第二步呢，我从 b 到 c 啊， c 村，那么总共有两条路，两条路。问你不同的路线，那么 n 呢？就等于我们分布进行的，那么当然用乘法，那么三乘以二等于六，那么这个就是六啊。 我们看第二题，我们在这是书中的立一。如果数学也是 a 中的，也是 a 大学的强项专业，那么 a 大学共有六个专业可以供选择，那么 b 大学共有四个， 呃，专业可以选择。那么应该分成用分类加法技术原理得到这个专业是六加四等于十。这种算法有问题吗？啊，有问题啊。为什么有问题呢？因为 你这个 a 大学有个数学， b 大学也有一个数学。那我们要确定的是证明同学的。 呃，专业选择是不需要考虑这个学校的差异的。这两个。哎，两个大学都有数学专业，那么就出现了重复啊，重复。所以说最后的算法应该是 n 是等于六加四，有一个重复的，就是两个都是数学重复了，我减去一 就等于九啊，最终的结果应该是九。我们看第三，那书架上放了 有六本不同的教学书，那么下层呢？上层是放了六本，那么下层呢？放了五本不同的语文书。那么从书架上我认取一本书有多少本？ 不同的方法，不同的取法。那我们看第一题第一个啊，那书架上那我就分成两类，一个是我这选任取一本书，从 上层开始取的啊，假如说我分两类啊，假如说这本书是从上层开始取啊。这是分两类，上层开始取。那啊，总共有 六种方法啊。就是六种六本书吗？这里面有六本书，六本数学书，那么就是六种方法啊。 那么第二呢，下层我要取的话，有五种不同的方案，那语文书啊，那么有五种不同的方案，那我任取一本书的话，那我们是分成了两类啊，并并不是分成了两部啊。 那所以说他应该是 n 等于六加五，等于十一种方法。那这第一题。第二， 从书架上认取数学书和语文书各一本，各一本，那么有多少种不同的取法？那么我们要取我们这个这件事是干什么呢？就要取出一本 数学书，还要取出一本语文书才这个这项事情才做完啊。那我那我们可以从分成两步走。第一步先取数学书啊，我们这是分两步， 分两步啊。第一步，先先取数学书，有几种方法，有六种。第二步，我们再取语文书啊，有几种方法呢？有有五种方法啊，那么 他们是分布的，所以说是六乘五等于三十啊，等于三十。这是第三题。我们看第四题。 那现在现在有高一年级的学生三名，高二年级五名，高三十四名。从三个年级的学生中，我任选一人参加参加接待接待外宾的活动，有多少不同的选法啊？ 第一种是我任选一人啊，从这三三个年纪中，我任选一人，那么我就是分成三类啊，这是分成三类。 第一类呢，是我从高一中选啊。第二类呢，我从高二中选。第三类呢，我从高三中选，这是分三类啊。第一类，高一中选 是三种方法。第二呢，从高二中选五种。那么第三呢，从高三中选是四种，是分类的，分三类。那我们就最后是三加五加法原理加上四，那么就等于十二。 看第二，那么从三个年级学生中各选一人参加接待外宾活动， 那么各选一人啊。和前面这个第一问不一样，这是任选一人。那么各选一人呢？我们可以分成三个步骤来选。第一步呢，是我先从高一年级选一个。 第一步高一年级选一个，那么他是三种，那么第一从第二步呢，从高二年级我才选一个， 那么是五种。第三步呢，从高三年级选一个，是四种，那么他们是分三步的。所以说用乘法原理，三乘五乘以四六十。

加乘原理正难则返，那个视频中我们用到了乘法原理，同时呢，我也发现很多同学对乘法原理不太了解，没关系，今天我们就来补补课，为大家分享一下技术使我们常用的两种思路，加法原理和乘 法原理。我们先说结论啊，加法是用来分类的，类类独立，类类相加。而乘法呢，是用来分布的，步步相关，步步相成。也就是说，我要去思考这件事，先干什么，再干什么？ 好，来看几道简单的问题啊！第一个，大猫饿了，要去餐厅吃午饭，街上呢，有九家快餐店，六家火锅店，五家烤鸭店。哎，请问大猫的午饭有多少种不同的选择？哎，这个问题就非常简单了，答案就是 九加六加五等于二十，因为我要从多家饭店当中选出一家，而不是把所有类型的饭店全吃一遍，我的肚子也没有那么大呀， ok 吧，同学们好，再来看一个用惩罚解决的问题啊！大猫选择去了汉堡店，准备买一个汉堡喝一杯 饮料。汉堡店的汉堡呢，一共有四种饮料，一共有三种，请问大猫有多少种不同的点餐方案呢？哎，这个问题就不是用加法了，而是用乘法也非常简单，四乘三等于十二种。因为 我要把汉堡跟饮料搭配起来，先选汉堡，有四种选法，再选饮料，有三种不同的选法，搭配起来一共有十二种不同的方案。我也把这个搭配的过程呢给大家具体的呈现出来。 哎，一共有四种汉堡， abcd 三种饮料，甲乙饼彼此连线。那么甲饮料可以搭配 abcd 四种汉堡，乙也可以搭配 abcd 四种汉堡，同样饼也可以搭配这四种汉堡，所以一共有三乘四十二种不同的搭配方法。 甚至有的问题啊，我们要同时用到加法和乘法，也就是说，既要分类，也要分布来看这样一道题。饭后，大猫决定去蓉蓉家看书，书架上有六本不同的漫画书，四本不同的故事书，五本不同的百科书。 大猫想挑两本，注意啊，不同类型的书看。哎，请问有几种挑法？那这道题呢，就是既要分类，也要分布了，因为书一共有三 三个类型，我要从中挑出两类来看。这两类可以是漫画书和故事书。那先选漫画书，有六种选法，再选故事书，有四种选法，搭配起来呢？六乘四，二十四种不同的搭配方法。好，那接下来我也可以选漫画书和百科书， 漫画书六种选法，百科书五种选法承载一起，六乘五三十种方案。最后呢，我也可以选故事书和百科书，故事书四种选法，百科书五种选法四乘五二十种。那 这叫三类不同的情况，他们彼此之间呢，是独立的。所以这道题最终的答案应该是，二十四加三十，再加二十。哎，把这三类情况的核要算出来，答案呢是， 其实四种。最后我们来看一道乘法原理中最常见的问题，也是我上一个视频正南则反中出现过的组数问题。 请问各位数字都不相同的三位数一共多少个？好，那这个问题当然要用乘法解决了，其实非常简单，九乘九，再乘八，等于六百四十八。 讲到这啊，大家应该有一种感觉，乘法的问题，说白了，你就要考虑先选什么，再选什么，最后选什么，同时要注意特殊位置你要优先考虑。那 那么这道题我们就要先选首位，为什么呢？首位不能填零，哎！零到九一共十个数字，首位可以用其中的九个。好，接下来是十位 已经挑走了一个数字，那还剩九个可以用，所以十位也有九种选法。最后的各位，百位和十位已经各挑走一个数了，所以轮到各位的时候，还有八个数字可以挑。将这三种选择用乘法组合在一起，就算出最终的答案。六百四十八了，你学 学会了吗？同时我也要提醒大家，排列只是乘法原理中的一部分，不是所有的乘法原理问题都可以用排列来解决，记住了吗？关注大猫，水平越来越高！

同学们好，今天我们来学习分类加法技术原理与分布乘法技术原理。 技术问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个的数是技术的基本。方法中的数量很大，使列举的方法效率不高。能否涉及巧妙的数法以提高效率呢？ 下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的技术方法。用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 因为英文字母共有二十六个，阿拉伯数字共有十个，所以总共可以编出二十六加十等于三十六种不同的号码。 能说一说这个问题的特征吗？首先，这里要完成的事情是给一个座位编号，其次是货字的出现。一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示。 因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码与互不相同。这两类号码数相加，就得到号码的总数。 上述技术过程的基本环节是一、确定分类标准二、分别计算各类号码的个数。第三个类号码的个数相加，得出所有号码的个数。 一般的有如下。分类加法技术原理完成一件事有两类不同方案。在第一类方案中有 m 种不同的方法， 在第二类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 m 加 n 种不同的方法。这里要特别注意，两类不同方案中的方法互不相同。 我们来看一个例题，在填写高考志愿时，一名毕高中毕业生了解到 ab 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，给了一个表格。如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 从表格中我们可以分析得到，要完成的事情是选一个专业。因为这名同学在 ab 两所大学中只能选一所， 而且只能选择一个专业。又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以复合分类加法技术原理的条件。那么这名同学可能的专业选择总数 五加四等于九种。 我们再看一个思考题。用前六个大写的英文字母和一到九个阿拉伯数字， 以 a 一、 a 二、 a 九、 b 一、 b 二的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 这里要完成的事情仍然是给一个座位编号。但是前一个问题的要求不同。在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要先经过 先确定一个英文字母后确定一个阿拉伯数字。这样的两个步骤我们可以用竖状图一一列举出来。或者由于前六个英文字母中的 任一个都能与九个数字中的任意一个组成一个号码，而且他们互不相同。因此共有六乘九等于五十四种不同的号码。 你能说一说这个问题的特征吗？上述问题要完成的一件事仍然是给一个作为编号。其中最重要的特征是盒子的出现。一个作为编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成。因此得到一个作为号要先经过 先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字。这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的。 上述技术过程的基本环节是一、由问题条件中的和可确定完成编号要分两步。二、分别计算各部号码的个数。三、将各部号码的 个数相乘，得出所有号码的个数。一般的有如下分部乘法技术原理完成一件事情需要两个步骤做第一步有 m 种不同的方法。做第二步，有 n 种不同的方法。那么完成这件事共有 m 乘 n 种不同的方法。 我们看一个立体啊，某班有三十名男生，二十四名女生，从中选出男女生各一名，代表班级参加比赛。共有多少种不同的方法？ 我们可以看到啊，要完成这件事情是选男生和女生各一名。那么我们可以分成两步第一步选男生，第二步选女生。那么第一步从三十个男生中选一人，有三十种不同的选择。第二步从二十四名女生中选 一人，有二十四种不同的选择。根据分布乘法技术原理，共有二十四乘以三十，等于七百二十种不同的方法。好，那我们最后来总结一下啊。用两个技术原理解决技术问题时，最重要的是 在开始计算之前，要仔细分析两点第一，要完成的一件事是什么？第二，需要分类还是需要分布。分类要做到不纯不漏，而分布要做到步骤完整。好，今天的课就讲到这里，谢谢大家观看。

同学们好，从今天开始，我们来学习选择性 b 球三，这是一本与实际结合十分紧密的书。 我们先来研究选择性必修三的第一个知识点叫技术原理，其中的分类加法技术原理。那什么是分类加法技术原理呢？我们从两个具体的例子出发。 某个人大代表明天呀要从济南前往北京参加会议，他有两种方式，一个乘飞机，一个坐高铁。 飞机有三个班次，高铁有四个班次，那他到北京一共有多少种便捷方式呢？首先 我们先来明确看到北京有几种大致的方法，明显是两种，要么是飞机，要么是高铁。 其中如果人大代表乘飞机这类方法下，一共有三个不同的方案。高铁这类方法下，一共有四个不同的方案。于是这位人大代表一共去北京，共有七种不同的方案。 下一个问题，如果我们用一个大写字母， 或者是一个阿拉伯字母给教室的座位编号，问能编出多少种不同 同的号码？首先我先发现，对于每一个座位来说，他是有两类方案的，可以是大写的阿拉英文字母，也可以是一个阿拉伯字母。 其中英文字母一共二十六个，阿拉伯字母一共从零到一是十个，故二十六加十一共有三十六种不同的编号方式。 你做对了吗？我们来总结总结上面两个问题的特征。在我们分析上面两个问题的时候，一本是这样分析的。一、先确定了分类 的标准，比如飞机和火，高铁是两个不同的类别，字母号码和数字号码又是两个不同的类别。一步先分类， 第二步，我们来分别计算各类的数字，各类的个数。比如飞机的班次有三班，高铁的班次有四班， 字母号码有二十六个，数字号码有十个。分类，每一类下几数 起？最后我们要将各类的数字进行相加，得到所有号码。那第三步就是相加了。 凡是用这样思路解决的问题，我们都叫分类搭法技术原理，他的大衣是这样子的， 完成一件事一共有两类，第一类中有 m 种方法，第二类中有 n 种方法。那么完成这类数一共是 n 加 m 种不同的方法。 那如果说完成一类事有 n 类不同的方法呢？第一类是 m 一个，第二类是 m 二个，第三类是 m 三个，以此类推到第 n 类是 m n 个。 那完成这件事一共是多少种方法呢？是 n 等于 m 一加 m 二加 m 三，一直加到 m n 种不同的方法，你学会了吗？我们来练习一下。 哎，填写高考志愿的时候啊，一位高中毕业生了解到， a、 b 两所大学各有自己感兴趣的强项专业，如下表。其中 a 类大学一共有一、二、三、 四五个专业， b 类大学一共有一、二、三、四四个方案，四个专业。如果说这位大学生只能选 一个专业，那他有多少种选法呢？还是一样，我们先来分析分析。对于这个大学生来说，他可以在 a 两所大学中选择。一所 大学中有五种专业，大学中有四种专业， 而且所大学并没有一个完全相同的专业。因此，根据分类加法技术原理，这名同学可能选择的专业总数有五，加字等于九种方法。 总结一下，我们用分类加法技术原理的一般思路是，首先先把完成这件事 分成若干类，其次算出每一类的方法数，最后将所得的结果进行相加。 同学们，这一页是我们的重点知识，需要笔记。 嗯，记清楚了吗？我们？

今天我们来学习高中数学新教材选择性必修第三册，我们看第六章技术原理。今天我们来看分类加法技术原理以分布乘法，这一点所涉及到的主要内容是分类加法技术原理以分布乘法技术原理。 我们首先来看一下什么是分类加法技术原理。完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有 m 中不同的方法， 在第二类方案中有 n 种不同的方法。那么完成这件事情共有一个大 n 等于 m 加 n 种不同的方法， 这个原理呢，就是我们所说的分类加法技术原理，这个原理呢，我们可以对他进行扩展。如果我们完成一件事情，有 n 类不同的方案，有 n 类不同的方案。 好在第一类方案中有 m 一种方法，第二类方案中有 m 二种方法等等。在第 n 类方案中有 m n 种方法。那么完成这件事共有这个大 n 呢？是等于 m 一加上 m 二 等等，一直加到 m n 种方法，那么这是分类加法技术原理的扩展。好，我们看分布乘法技术原理。 完成一件事需要两个步骤做，第一步有 m 种不同的方法做，第二步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有大恩等于 m 乘以 n 种不同的方法。当然这个分布乘法技术原理也可以给他扩展到 n 种 n 度的情况。比如说完成一件事情我们需要 n 个步骤 做，第一步有 m 一种不同的方法，第二步有 m 二种不同的方法等等。第 n 部有 m n 种不同的方法。那么做这件事情 共有多少种方法呢？这个大 n 实际上等于个 m 一乘以 m 二一直乘到 m n 就是分布乘法技术原理的扩展。 在实际解决问题中，我们要首先区分出完成一件事情到底是分类还是分部。那么如何区分完成一件事情是分类还是分部呢？其实 区分完成一件事是分类还是分部，关键是看一步能否完成这件事，若能完成则是分类，否则就是分部 对我们区分的。呃，关键就是看一步是否能够完成这件事，若能完成就是分类，否则呢，就是分布，这是分类和分。我们来看一下这一节所涉及到的常见的基本体型。 第一种类型的问题就是分类加法技术原理的应用。好，我们看立体一设几和 a， 这个几和 a 的元素有一二三四，其中 m 和 n， n 都属于 a， 都是 a 中的元素。现在问这个方程， m 分之 s 平方，加上 n 分之 y 的平方等于一， 表示焦点位于 x 轴上的椭圆，这样的椭圆一共有几个？ 那么在这里边我们要想知道它表示焦点在 is 中央的这个椭圆有几个，我们要弄清楚。这个要想表示椭圆，首先 m 和 n 是不能相等的， 如果焦点在 s 轴上，那么一定有 m 大于 n。 好了，我们看有这样的对应的 m， n， 它又有多少对？ 好，我们根据这个 m， n 呢，它都属于几和 a？ 我们不妨先来看一下这个对应 m 和 n， 给它进行分类。你看，如果 m 因为这个 m 是大于 n 的，所， 所以 m 呢，不能取一， m 可以取二啊， m 取二的时候呢， m 要大， n 对应的这个 n 呢？啊，只能是一，所以这时候呢，对应的一种情况，当然 m 可以是三， 如果 m 是三的话，这个 n 呢，其实是可以等于一和二，那 m 呢，也可能是四， m 如果是四的话，那么 n 对应的是一、二、三，我们看 m 等于二的时候，对应的 n 等于一，有一种情况， m 等于三的时候两种情况， m 等于四的时候，三种情况，那么一共有多少种情况呢？我们看，只需要把这三种情况分别相加，实际上就是针对 m 的区， 它分了三类，因此一共有六个，所以我们分的这三种情况， m 等于二、三、四的时候，对应的情况分别是一、二、三。所以呢，我们把这三种情况相加，这个我们就利用了分类加法技术原理进行求解。 我们应用分类加法技术原理应注意以下问题。第一，我们要明确题目中所指的完成一件事是什么事，完成这件事可以有哪些方法？怎样才算是完成这件事？ 我们看刚才我们所举的这个例子，其实呢，我们要想完成这件事，实际上就是 a， m 和 n 分别取相应的值，在取值的时候，我们针对 m 的取值进行了分类，这是第一个要注意的问题，我们要弄清楚这个事件到底是什么 呀？无论哪类方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事，而不需要利用其他的方法，也就是说各类方法之间是互斥的，并列的，独立的。 这是我们首先得知道这个分类加法技术原理对应的分类它的特点，这样的话呢，我们才能真正的灵活应用分类加。我们看第二种类型的问题是分布乘法技术原理的应用。我们看例题二，一只几和 m， 注意它的元素有负三、负二，负一、零一二，共有这六个元素， p a， b 表示 平面上的点。注意，这个 ab 呢，都是 m 中的元素，所以 ab 属于 m。 问，这个 pab 可以表示平面上多少个不同的点？ 我们要想知道他表示多少个不同点，只需要给对应的 a 和 b 呢复值就行了。 a 的值呢？我们取出来， b 的值呢？取出来就可以了。所以呢，我们分两步就完成，首先给 a 进行取值，然后再给 b 进行取值。我们利用分布乘法技术原理 可以得到我们所的结论，我们先确定这个 a 的值。 好，第一步，我们确定 a 的值，因为这里边有六个元素，所以 a 的值呢，一共有六种方法。同样，我们再确定 b 的值，因为这个 b 的值呢，也是这个 m 中的元素， 所以呢，他也有六种方法。那么根据分布乘法技术原理，我们可以得到平面上的点的个数，一共是六乘以六，一共有三十六个。这是第一小题。第二小题问， p a， b 可以表示平面上多少个第二相像的一个点？ 第二象限点，这个 a b， 它满足什么特征呢？第二象限，我们要满足这个 a 是小于零的。呃， b 是大于零的。我们同样分两步，第一步来确定 a 的值，第二步来确定 b 的值。 好，第一步，我们仍然是确定 a 的值，在这边我们注意这个 a 呢是小于零的，所以呢，一共有三种不同的方法，同样道理。第二步，我们来确定 b 的值，这时候呢， b 得大于零，所以一共有两种不同的方法。 因此根据分布乘法技术原理，我们得到第二项线内的点的个数等于三乘以二，一共有六个。 我们利用分布乘法技术原理解决问题的一般思路。第一是分布，将完成这件事的过程分成若干部。第二，计数，求出每一步中的方法数。第三步， 我们把求出来的这个每一步的方法数相乘得到我们。我们来看第三种类型的问题，两个原理的综合应用。 我是第三，现有五幅不同的国画，两幅不同的油画和七幅不同的水彩画。第一，从中任选一幅画，不止房间，有几种不同的方式选法。我们看这道题呢， 一共我们只需要选一幅画，所以呢，我们一步就可以完成这件事情。因此这题属于分类问题，所以呢，我们把它分成三类， 从国画中选有五种不同的选法。从油画中选有两种不同的选法。从水彩画中选有七种不同的选法。根据分类加法技术原理，我们共有五加二、加七，等于十四种不同的选法， 这是分类技术原理的问题。我们再看第二小题，从这些国画、油画、水彩画中各选一副。布置房间有几种不同的选法。我们看这个题，我们要想完成这件事情，要选三幅画，所以呢，你一步完成，比方我选了国画，那么这个视频 并没有做完，所以这个属于分布技术原理的问题。好了，我们选的时候呢，分三步，就是从国画、油画和水彩画 各选一张。那国画呢，一共有五张，所以有五种不同的选画。油画呢，有两张，所以有两种不同的选画。水彩画一共有七张，所以有七种不同的选画。根据分布乘法技术原理，我们共有五乘以二，乘以七等于七十种不同的选法。 我们解决这道题，主要还是首先要分析出这个题目到底是用分类加法技术原理，还是分布乘法技术原理 好，我们看第三小题，从这些画中选出两幅不同种类的画，不止房间有几种不同的选， 我们看整体上，我们要选出两副不同种类的画来布置房间。因为这里边有三类不同的画，所以呢，我们选的时候，首先对它进行分类，我们可以分成三类。 好，我们首先对这个问题呢，分成三类。第一类是选国画和油画，各选一张。在国画和油画在选的时候呢，我们还要用到分布，你看，我们选中国画，这是第一步，再选油画是第二步。所以呢，根据我们这个 分布乘法技术原理，从国画中选的国画有五张，所以它有五种选法。油画呢，有两张，所以有两种不同选法。因此根据分布乘法技术原理，有五乘以二等于十种不同的选法，这是第一类。第二类呢， 我们可以一副选自国画，另一副呢，选自水彩画。同样道理，也是根据分布成化技术原理，有五乘以七等于三十五种不同的悬法。因为国画呢，有五张，所以有五种悬法。水彩画呢，有七张，所以有七种不同的悬法。好，这是第二类。第三类， 一副呢，选择油画，另一副呢，选择水彩画。我们知道油画有两张，水彩画呢有七张，所以呢，选油画的时候有两种不同选法，水彩画有七种不同选法，所以一共有二乘以七等于十四种不同选法。 在这里边呢，我们首先对这个问题进行了分类，而在每一类中呢，又采用了分布来进行求解，所以呢，这道题呢，他考虑到了分类和分布的综合应用。好，我们对这三类呢分 分别进行求出来了，第一类呢有十种，第二类呢有三十五种，第三类有十四种，那么一共有多少种？呃，方法呢？我们看整体让我们进行了分类，所以根据分类技术原理，那么一共有十加三十，五加十四等于五十九种不同的选法。 这道题呢，就体现了分类技术原理和分布精神类的综合应用。 我在在我们使用两个原理的时候，一定要注意从分类分布的角度入手，分类是对于较复杂应用问题的元素， 我们把它分成不像排斥的几类诸类进行解决。用分类加法技术原理分布的时候呢，就是我们把问题再划分成几个不像关联的步骤，然后逐步在 解决。这时候呢，我们可以利用乘法啊这个分布乘法基础原，这是我们为大家所介绍的第一节内容，再见。拜拜。

好在我们选择性必修三，讲到技术原理， 那么技术原理说完成一件事情是分若干类， 开始分若干部，那么如果分若干类，我们叫分类加法。技术原理，如果分若干部，我们把它叫做分部乘法技术原理， 那么这两个原理首先同学们要搞明白，叫完成一件事，那你首先要明白你要完成的这件事是什么？然后是分类 还是分布？我们看这个题书啊，洛书古称 龟术，是阴阳五行术术之源。在古代的传说中啊，有神龟出于落水，其甲壳上呢，有这样的图形， 这个图就是什么呢？结构是什么样的呢？看好啊，要把这些文字看明白。代九为一，头上是九，下面是一，左三右七二四为肩，六八尾从 五居中，左右上下中间五方全是阳数，四角黑点全为阴数。现利用阴数和阳数构成一个四位 数，规则如下，第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数叫一阴一阳，且呢，一阴一阳之和是棋。问这样的四位数有多少个？ 这个题目读起来很费劲，对吧？很多同学都不懂，那我说，关键你题目要读懂，读不懂题目就不要做，当你读懂的时候，这个题目就容易了。那我们看啊，从这个落书上看 就是，这是九，这是一对吧？那阳数就是一、三五七九，因数就是二 四六八。把这个问题从这里提取出来，我们搞明白。好，他将第一位数是阳数，那我从五个当中取一个来，我第一步五个当中取一个来，有五种办法， 那第二位数是因数，如第二步取因数，是四个当中取一个了，第二步对不对？第三位数和第四位数阴阳且了，何为气？那大家想啊， 阴阳何为七的有哪些呢？我把它排排看，分成这几类。我说一六阴阳何为七？那么三四阴阳 和为七，然后五二阴阳和为七，对不对？那我说六一是不是也是阴阳？那么四三是不是也是阴阳？好？二五是不是也是阴阳？那你说 第三位数和第四位所阴阳合为七共有多少种情况？是不是六种？第三步 再乘以六，这个结果就出来了，那是多少呢？那是五乘四乘六等于一百二十，所以填一百二十个，你明白吧？

好，我们说了技术原理，你要搞明白的是完成一件事情是什么？那技术原理你是用的是分类加法技术原理，还是用分布乘法技术原理？ 那么分类加法呢？你类要不重不漏，分布乘法技术原理呢？步骤要完整。我们看这样一个题。 那么在技术原理这一节，我们说涂色问题是比较难的。那么大家看啊， 线有六种不同的颜色，给图中的六个区域涂色要求相邻区域不同，色则 不同的涂色方案共有多少种？怎么思考？六个区块涂六种颜色， 每相邻的两块颜色不能相同。那我想我这么考虑，我先填图三。我图三啊，我先图三，那大家想我这个三这个区域， 我从六个颜色当中任取一个来涂上都可以吧，它共有六种对不对？好。三涂完过后大家看啊，我来涂四， 大家想四三选了一种颜色，那种颜色不能涂在四上，那还有几种颜色？是不是还有五种颜色？老说再涂四的话， 他有五种颜色。那我现在大家看四涂完过后，我来涂一。那大家想一，既不能涂三那个区域的颜颜色，也不能涂四区域那个颜色，那还有几种？是不是还有四种，四种当中 选一种呢？我涂在第一种这一块，所以它有四种颜色可选。那么我下面我涂第二块这一块，那大家想这一块既不能与三同色，也不能与四同色，也不能与一同色。 那么一、三、四这三块已经去了三种颜色了，是不是只剩下三种颜色，那三种颜色当中选一个。图在二这个区块。好，那么下面图五，大家想了啊， 五这个区域他不能与一同色，不能与二同色，对不对？那么五有几种颜色呢？五总共六种颜色，去掉这两种是不是还有四种？所以图五这一块我有四种颜色可选， 对不对？来最后我们涂六这一块，那六这一块大家看啊，有几种颜色可选？ 五这一块那个颜色不能选了。一这一块那个颜色不能选了。二这个颜色不能选了。那么除了这三种颜色，剩下三种颜色是不是可以任取一种呢？所以呢，六这一块我有三种办法， 那么我是分类还是分布啊？大家想我第一步拖了他，第二步拖了他 三步，第四步，第五步，第六步吧，是不是分步？那分步我们干嘛？乘法那就六乘五，乘四，乘三乘四，再乘三， 结果算出来就对了。所以正确的应该四三二零种选择。 d， 你明白吗？

同学们好，这个视频我们来研究技术原理中的分部乘法技术原理。那什么是分部乘法技术原理呢？我们从一个例子出发， 如果用点六个大写的英文字母，就是 abcdef 和一到九个 阿拉伯数字几一、二、三、四、五、六、七、八一直到九。 以 a 一、 a 二、 a 三、 a 四、 a 五、 a 九、 b 一、 b 二、 b 三、 b 四、 b 五、 b 九的方式给教室的座位编个号。那一共能编多少种不同的 号码呢？这个问题有什么样的方案呢？ 一、我可以一一列举出来。 正如我们的左侧所示，如果字母是 a， 那对应的数字可能有一、二、三、四、五、六、七、八、九， 那么他们得到的号码就会有 a 一、 a 二、 a 三、 a 四、 a 五、 a 六、 a 七、 a 八、 a 九这九个号码了 啊。以此类推，如果我接着列出 出 b 的、 c 的、 d 的、 d 的、 f 的，那我就可以得到全部的号码。很明显发现这样的方式很麻烦，那我们还有没有别的方法呢？ 由于我在编写一个号码的时候，首先我可以想成先确定一个英文字母及 a、 b、 c、 d、 e、 f 中确定一个，然后确定一个阿拉伯字母及一到九中确定一个。 由于六个英文字母和中的任意一个都能和九个数字组成一个号码，因此我可以想成六个英文字母乘以九个数字，一共五十四个不同的 号码。你是这么思考的吗？ 我们来说一说这个问题的本质。上面的问题其实我仍是要做到的，目的是给一个座位编号，其中最特殊的本质是盒子 几。一个编号是要有一个英文字母 以及一个阿拉伯字母共同构成。 这样我们在确定这件事的时候，可以将步骤完成两步。首先先确定有一个英文字母， 其次再确定他所需要的一个阿拉伯字母。 先确定两步，然后算出各部的号码数。英文字母一共六个，阿拉伯字母一共九个。接下来， 每步的字母个数进行相乘，得到所有号码的个数，即六乘九。 类似于这样的原理，我们就叫分布乘法技术原理了。大致思路是如果完成一件事，需要两步。 第一步有 m 种方法，第二步有 n 种方法。那么完成这件事就一共有 m 乘 n 种不同的方法。你学会了吗？我们来做一个例子。 某班有男生三十人，女生二十四人。现在呢，要让你从中挑选男女生，各亿人参加比赛。问有多少种不同的选法？ 我把这件 是我们也可以想象成两步。一步先从三十名男生中挑选艺人，共有三十种不同的选法。第二步，再在二十四个女生中挑选艺人，共有二十四种不同的选法。 由于挑选完成两次之后才完成这样的一件事，所以叫分布加分布乘法技术原理。因此是三十乘二十四，共七百二十种不同的想法。 那如果完成一件事，需要有三个步骤呢？第一步骤 m 一种，第二步骤 m 二种，第三步骤 m 三种。那么完成这件事需要有多少种不同的方法呢？嗯，还是一样 m 一乘 m 二乘 m 三。 那如果完成一件事有 n 个步骤呢？第一步 m 一，第二步 m 二，第三步 m n。 那怎么算总方法数呢？还是这个思路，第一步 m 一乘上第二步的 m 二，一共 m， 所以就是一直相乘。 这个就叫做我们的分布乘法技术原理了。 总结一下，你会发现，在应用分布乘法技术原理时，必须先明确完成这件事需要分几个步骤。第二， 用分布技术原理。在进行技术的时候，一般采用的思路是这样的第一个，先把完成这件事分成几个步骤。第二步，计算每一步骤中的方法数。 第三步，将每一步中的方法数相乘。总结起来 应该是分布计数相乘。来，我们来练习一下将拉法和乘法放在一起。 问题一书架上第一层有四本书，第二层有三本书，第三层有两本书。如果从书架上认取一本书，有多 多少种不同的取法？由于只需要取一本书，那么我可以从第一层取，也可以从第二层取，也可以从第三层取。因此是有三种不同的方法。 第一层取有四本，第二层取有三本，第三层取有两本。由于每次取完均可完成这件事，所以采用的方案为分类加法技术原理。 于是得到我有四加三、加二共九种不同的取法，你答对了吗？ 第二个 如果从书架上的第一、二、三层各取一本书，那有多少种取法呢？首先，我现在第一层中取，有四种不同的取法。接着我再在第二层中取， 有三种不同的取法。然后，我再在第三层中取，有两种不同的取法。因为我要各取一本书，所以我可以看成是第一步在第一层中取， 呈上第二步在第二层中取，再呈上第三步在第三层 中取，共四乘三乘二及二十四种不同的取法，你说对了吗？ 问题难了啊！第三问如果从书架上要取两本书，要求这两本书是不同学科的书，那有多少种不同的学法呢？ 首先，我来看看我们的书架上的书。第一层是四本计算机的， 第二层是三本文艺的，第三层是两本体育的。因此我取的不同的类别，可以是计算机 和文艺，可以是计算机和体育，也可以是文艺和体育这三大类。 如果我取的是计算机和文艺，那有四个计算机的书以及三个文艺的书。 如果我取的是计算机和体育，那是四本计算机的书和两本体育的书。如果是文艺和体育，那是三本文艺的书和两本体育的书。 由于是分为了三种不同的方案，所以中间用加号。而在每一个方案下，要求 球是两个学科不同的书。及先取计算机，后取文艺，先取计算机，后取体育，先取计算，先取文艺，后取体育。 因此这叫分布。于是最终结果就是四乘三加上四乘二加上三乘二。你对了吗？ 好的，点一下我们运用分布乘法技术原理解题的一般思路。第一个，需要发现在分布乘法技术原理中，完成一件事是要分成若干部的。 第二，我们需要计算每一步中的方法数。第三， 将相法数结论应该是相乘，得到最终结果。这也还是一样很重要的页数，需要大家记忆并背诵。 好的，那今天的内容就是这些，谢谢大家。