中考几何综合大题

好，同学们好，这节课呢，我们来看一道中考数学模拟题的几和压轴大题，那么这一道题目呢，我们不能说它难，但是呢，它仍然是一种比较经典的三问，你看第一问，正线专项呢？第二问呢，正，这个成绩是第三问呢，求笔直，是吧？很常规的出法，那么这种常规的出法，我们才得 给他练熟练透。我们一起来看一下，在四边形 abcd 中， ad 平行于 bcad 平行于 bc， 并且 abc 是九十度，这是个直角三角形， 那这个地方呢，他也就是直角，我们要去标注条件， a c 等于 a d 好， a c a c 是这个等于这个 a d， 那这是个等腰，那等腰的话，他这两底角就相等，是吧？ df 垂直 ac， df 垂直于 ac， 好，这个地方呢，也是一个直角， 当这个直角出来，我们发现了什么？这是不是一个三垂直的模型，你看两个再加一个好，是吧？虽然这两个直角三点呢，他有一点大，是不是没有关系？那么三垂直这个 模型一旦出来，这两三点一肯定是相似的，是吧？有可能全等，那，那其实已经全等了，是不是因为他俩的斜边相等，你看 a c 是等于 a d 的。好，那其实第一问，我们已经正完了，所以有时候呢，可能就这么快， 他还有一个条件， c d 平行 a b 啊， c d 平行 a b。 第一问，让我们求证， d g 等于 a b， 我们来看一下是不是对应边，你看这个 d g， 然后呢等于 ab 啊，我们简单的去对一下，就是那两组相等，是吧？如果这个角是阿发的话， 他加他是九十度，是吧？所以这个角呢，他显然也是阿法，然后呢？九十度对，九十度，然后呢？ a， c 等于 b、 d， 是吧？所以只要正这个三角形，这个 d， e， a 全等于三角形哈， d， e， a， 我们要把这个顶点对上，应该是 a， b， c， 然后我们看 d， g 等于 ab， 是吧？就对了。三、垂直圈等第一问，那么第二问，显然这是一个乘积式啊，等级式，一般这种等级式呢，我们得把它转换成比例式，然后去 相似，是吧？所以我们来看一下第二问，第二问呢，我们来转化一下，好，这个写在这， c， f， 我们比上一个，我们来看一下 c， f 比上这有 df， 那么就比 df 好，等于 d 器比上 c a， d 器比上一个 c， a 在这好，这两条线呢，它的位置不太友好，所以我们把 c， a 换一下就可以了，是吧？ c， a 它是等于 a、 d 的，所以换成 a、 d 会好一点 来，也就让我们震这个，是不是为什么好一点呢？我们来看，你看 d， g， 然后呢？比上这个 da， 是吧？然后这边呢，是 cf， 比上 df， 他俩这个夹角是不是还相等？ 是不是有？如果这个比例是成立，然后这夹角都是阿法，那这两三角形不就相似了吗？哪两个呢？就是这个 c， f， d， 然后这个地方呢，他还没有构成三角形，所以我们得先把 a 级连上才会有，是不是 c， f， d， 然后和这个 gda 有这两个？那接下来我们就来看看这两三角形他是不是相似，已经有一对角相的了，就这个阿法等于这个，我们再找一对角就可以了， 再找哪一队呢？那比如说这个角啊，他等不等于这个呢？呃，也就是要去倒角是吧？好，如果这是阿法，我们来看这个地方是不是也是一个直角，那这个也是阿法，是吧？ 为啥呢？因为他俩加这个角都是九十度。好，这个也是阿法，那我们看，如果这个角是阿法，我们得到什么呢？这是阿法，这个也是阿法啊。这这两个底角， adc 和 acd 也是相的，所以这另两个角也相等，也就是这两个角也相等。首先我们得到这个， 如果这两个角相等，那也就是 d g， 他是等于 c g 的，是吧？又，因为这个 a g 是公共边，所以我们先得到了这两个三角形全等，也就是 a d g 全等于三角形。 acg 边边边，三边对应相等。好，这两个全能有什么用呢？我们来看一下，我们看看这个角他等于啥？那这个角显然他等于二倍的贝塔，没错吧？他 是这两个的外角。好，这是阿法，他加他是九十度，这是阿法，所以加上这两个也是九十度， 所以这个也是二贝塔。因为这两相等，所以每一个就是一个贝塔，那不就是贝塔等于贝塔吗？所以这个 相似他就成立了，是吧？好，这第二个呢，稍微麻烦一点，当然不这样做也是可以的啊，不过这种思路呢，最起码简单啊，只不过在倒角的时候呢，要稍微的注意一下。 呃，先正一下这个全等，以及得到这个等腰。好，第三问，求笔直。当 f 是 b c 的终点时， f 是 b c 的终点，求 b c 比上 a d。 我们来看一下 这个让我们求的是 bc， 这个边比上 ad， 这个 bc 比上 ad， 那其实这个可以转化一下， bc 比上 a d， 那其实就是 b c 比上 a c 首先转化，因为 a c 等于 a d 是吧？然后呢，我们可以设这个，既然求比值吗？我们可以设一个距离长度 c f， 我们就设它等于 c 啊，这个 b f 呢，也等于 c， 是吧？这是终点。 呃，这里面有一个重点，一定要注意，这个 b c 是等于谁？我们在第一问是不是正那个全等，所以这个 b c 我们来看看，它是等于 a e 的，对应边一定要对上，所以 a e 得二， 就这么个射 cf 等于几？所以 bf 也等于一，所以 a 级等于二。那现在还有一级不知道，这个 ce 不知道，那直接射 c e v x 就好了呗。这个地方还是个直角，我们把 x 求出来是不就行了？好，另一个方程是不就行了？什么方程呢？就是相似，勾五三九还是都可以，这里面我们就用一个相似就行了。什么相似呢？这个显然是个反 a 字形相似，你看这个 c e f， 我们写一下三角形，这个 c e f 是吧？显然他相似于 cba。 c e f c b a 是吧？反 a 字形相似，所以我们来比一下，那就是 x 应该是比上二等于一，比上 x 加二，这样比 好，我们去解一下， x 的平方加上二， x 应该是等于二，那这个直接就是 x 加 一的平方，我们直接配方这边等于三，所以 x 应该是等于负一加减根号三，显然我们取正的那一个好，正的这一个呢，应该是根号三减一 好，求出 x， 那就可以了。那么来看，这个 b c 比上 a c 是吧？ b c 比上 a c 就是 c e 比上 c f 好，那就是 b c 比上 a d 来就等于 b c 比上 a c 就是 c e 比上 c f 其实就等于 c e， 那就是根号三减一。

来，今天我在几何压轴题中找到了一道非常好的经典几何大题，在这本书中全是关于几何的综合问题，对于几何部分薄弱的同学非常有帮助。这道题目告诉我们，三角形 a、 c、 b 中， a、 c、 b 是一百二十度，并且 bc 大于 ac， 而且 ac 是等于 c e 的， 同时 a、 c、 d 和 a、 d、 e 是互补的，说明 a、 d、 e 必然就是六十度。而同时让我们证明的是 d、 e 加上 a、 d 等于二倍根号三的 c、 h， 一看到二倍根号三就想到，哎，能不能够见三十六十九十度的直角三角形呢？而我们看到左边是两段线段 核，我们要去思考的是 b、 e 能不能经过转化和 ad 放在一段线段上呢？ 我们发现这个角度角一和这个角度角二一定是相等的，因为都是角 c、 e、 d 的补角。那么同样的，如 如果我延长 da 到点 f， 并且连接 fc 和 cd， 同时我让 af 的值等于 d、 e 的长度，我们就得到了这样的一个模型。 在这个模型中，由于角二和角一必然相等，说明他们的补角角三和角四也一定相等。而我做辅助线的时候，已经确定了 af 是等于 d、 e 的，说明 afc 和 edc 这两个三角形，由于边角边的判定定理，可以证明权等。 既然全等了，说明 fc 和 cd 就必定相等。而 ch 作为 fcd 这个等腰三角形的高线，同时必定评分 fcd 呀。那么 fcd 是多少度呢？大家注 注意，这个小角和这个小角由全等也必然是相等的，而 acb 本身是一百二十度， 说明 f、 c、 d 也必然是一百二十度，那么这个角就一定是六十度啊！那么此时 h d 就等于根号三倍的 c h， 同时我们就知道了， f d 就等于 等于二倍根号三的 ch， 而 fd 等于 fa， 加上 adfa 不就是第一吗？所以这道题目咱们就整完了，这本书特别适合想提升几何综合题的同学们，而且最近双十一还有优惠哦！

哈喽，大家好，我是老陆，那么我们一起来看一下这道题。这个是二零二零年杭州中考的最后一道压轴题，圆的综合体，那么这个题目呢？呃，有点难度。第一题当然是很简单的，主要是在这个第二题的一问和二问 啊，尤其是这个第二问，很多同学啊，他都不太会做这个第一问呢啊，老卢觉得还是比较简单，为什么？因为他的解法其实有十几种， 当然也可能有好多同学一种都想不出来，那我们一起来看一下吧。 如图， acb 达是圆欧的直径，那么看到直径啊，一定要想到啊，圆里面直径所对的 圆周角是直角，所以这个角啊， abc 他应该是一个直角啊。我们一边读题边标信 c， 这个 b 倒是直径呢，我们暂时的话啊，还没有这样的圆轴角。如果你把这个 c 倒一年啊，这有个直角，把这个 a 倒一年，这也有直角，那至于他有没有用呢，我们等一下再说。我们接着往下看， 过 o 点做 oe， 垂直于 ab 啊，这个 oe 是垂直于 ab 的，那这马上要想到这个垂进定理啊， 这个 a b 是弦， o e 呢，是在啊这个直径上，马上想到这个垂肩定理，这是垂直的，所以这个 a e 就等于 b e 啊，并且这个 o b 呢，是等于 a 的啊，这里面是一个等腰等腰三角形，我们接着看， f 是 oc 的终点啊，所以这两个小的边呢，他也是相等的， 连接 ef 交 ob 与点 p 啊，这个点是 p。 第一题，落角 b ac 等于三十度 啊，给你特殊脚了，给你特殊脚的话啊，这是一个直脚，所以他是一个啊， 含有三十度角的直角三角形，并且这个三角形 o a e 呢，它也是一个含有三十角的啊，直角三角形， 半径是一，来告诉你这个半径是一， 那么这个直径就知道是二， 我们接着看题目让你干什么吧，他让你求这个 ef， 哎，那这个 ef 怎么求呢？ 这个 ef 好像我们刚才分析这么多，还跟 ef 都没有关系啊，哎，不用担心，我们这里面 f 点是这个终点，异点呢，是这个 ab 的终点，那是不是有终点可以用呢？ 我们接着来分析一下，这个角是三十度的话，那我们这个角 abo 呢，也是一个三十度，他是三十度，哎，我们可以推出这个角，是啊，六十度。 当然呢，你也可以直接用这个圆领的这个圆周角是这个圆心角的一半啊，所以这个是三十度画啊，他所对的弧不就是这个弧 bc 吗？ 那么和 bc 所对的圆心角不就是这个角 boc 吗？所以他是六十度，是他的两倍， 那么他是六十度有什么用呢？哎，这不就是一个等边三角形吗？这个三角形 obc， 他就是一个等边三角形，他是一个等边三角形。这个 f 点呢，是这个中点，那所以根据这个三线合一啊，这就是一个直角， 那我们站住，他是直角之后，这题目就解决了呀，这个一点是 ab 的中点，这个三角形 ab f， 他是一个直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，所以 ef 等于 等于 b， 等于二分低的 ab， 那我们看哪一个比较好？球应该是 这个 ae 比较好求吧，所以这个 ef 就等于 ae 就好了， ae 的话是在这个三角形欧， ae 中的，他是一个含三十角的，只有三角形，斜边是一，那么这个直角边短，直角边就是二分之一，那么 ae 就是二分之根号三 啊，所以我们的结果就是二分之根号三。那么第一题还是非常简单的， 那这第二题呢？他就有一点难度了啊，我们这个第二题的第一问呢， 这里面其实有十几种解法啊，啊？有十多种解法， 我们一起来看一下。 呃，接下来分析下题目，他让你证明这个 ep 等于 fp， ep 在 ep 在这， fp 呢，在这。那么刚才这些条件我们都不能用的啊，刚才这第一题的话，这边这个三十度角你也是不能用的，因为这里面有一个弱， 然后这个半径呢，是一，你也不能用，所以第一题的啊，这些结论你是不能用的，但是这个主题干中的东西我们还是可以用的 好，所以我们可以先把这些啊给他删掉，我们把这些给他删掉， 这样方便我们来看这个题目，然后我们再把一些东西给他重新标一下。 f 点是中点，我们仍然可以用啊，所以他们两个是相等的啊，这个是直角，我们仍然可以用，这个是垂直的啊，他们两个是相等的。好好，这样的话就是这么多。 呃，那你想一下，让我们证明这个 ep 等于 fp， 那不就是证明这个屁点是这个啊， ef 的终点吗？ 想一想看我们怎么证明终点呢？跟终点有关系的老路总结过终点的五大模型， 所以这里面其实可以从这个终点的五大模型去入手啊。那我们在讲这个重点的五大模型之前呢，其实我们还可以从这个呃面积法入手， 因为这里面啊，这两个边的话，其实他有这个共边模型的啊，例如这个啊， bp 这个共边模型，所以我们啊，第二种方法，我们还是先从这个面积来入手吧，我们一起来看一下。 好，这第一个呢，法一呢就是这个面积法，加上构造八字形裙等。好，首先第一个我们来识别一下这个共编模型， 这个一点是 a ab 的中点，所以这个 ae 和 be 是相等的， ae 和 be 是相等的，他们俩相等， 那么这两个三角形他有一个公共的边，就是这个 oe， 所以我们可以想很明显的这个共边模型，并且这两个三角形的面积是相等的啊，这两个三角形的面积是相等。 好，再接下来看这个第二个图形啊，这呢又是一个滚边模型， 这个 ob 和这个啊，这个是两个三角形啊，他们俩共边共 ob 啊，所以这两个三角形的面积比呢，就等于这个底边之比是 一比二。那人家说为什么会想到这个？这个题目说了，这个 f 点是刚才那个半径的中点，这个 ov 呢是半径，所以他们的比是一比二 啊，这种底边啊是一比二，他们两个底边是知道的，所以我们就会找这样的一个共边模型，他们两个底边是一比二，他们俩的面积比呢，也是一比二，所以这个这个三角形的面积是这个大三角形面积的一半啊，这个是，那你，呃，这个是 s 的话，这个就是一个二 s 啊，这个三角形就是二 s。 那刚才为什么找这个公寓模型呢？因为这个一点啊，是这个 ab 的终点，他们两个底边之比是一比一，那么他们俩面积就是相等的啊， 那么这个整个三角形的面积呢？是二 s， 那这个就是 s s， 所以你会发现啊，这个三角形的面积和这个三角形的面积是相等的，也就是这个橙色的和这个绿色的部分， 他们两个面积是相等的，他俩面积相等的有什么用呢？哎，我们要证明 p 点是 ef 的中点，你这样做了一个啊，过 f 点做 ob 的垂线，过 e 点做 ob 的垂线，这样我们构造了一个 八字形，构造了一个八字形，因为你这两个是垂直，垂直，他们俩肯定是 平行的啊，那么这个八字型他们两个是百分百是相似的。我们之前一直讲，哎，一直强调过这个相似的话，你只要再找到 一组对应边相等，他们俩就是全等的了。而我们要证明 p 点是 ef 中点，也就是证明这个 pe 是等于 pf 的，所以你肯定是可以找到一组这个对应边相等的。那找哪个对应边相等呢？接着我们就是找这个 em 是等于 fp 的， 我们刚才已经证明了，这两个三角形的面积是相等的，他们俩面积相等的，然后他们有个公，有个公共编 ob 啊，有个共编 ob， 所以这个 ob 边上的高肯定是相等的，那就是得到了这个啊， em 等于 fp 这两个高相等，所以这两个三角形 就是全等的啊，有直角边，有角，再加一组，这个对应的直角边是相等的，他们俩全等的话，这个 pe 不就等于 pf 吗？这样我们就给他啊震出来了，这是第一种方法， 那么再接着看第二种方法，那么第二种方法呢？我们是从这个从面积法去啊证明的 我们该讲的，我要证明这个屁点是 ef 的终点就可以了啊，证明他们俩相等。其实我们就可以证明啊， 这两个三角形的面积是相等的，那这两个三角形的面积是相等的，那怎么证明这两个三角形的面积是相等的呢？啊？这里面我们做了下辅助线，就是第一个是连接这个 ap， 连接 a p 之后呀，我们这里面又会出现一个滚边模型啊，那就是这个三角形的面积啊，看这个图二，这个三角形的面积 a e p， 这三角形 b e p， 他们俩面积相等的，因为这个啊，底边支笔呢？是啊，一比一 啊，底边这笔是一比一，他们俩的面积比呢，就是一比一，所以他俩面积是相等的，那我不妨设这个是 s s 吧，那么这整个三角的面积呢？就是一个啊，二 s 啊，这整个三角的面积就是一个二 s。 好，那我这个表出来的话，跟我们这个三角形的面积又有什么关系呢？哎，这里面我们又会涉及到一个燕尾模型啊，这个三角形和这个三角， 我们涉及到一个英文模型，他们的面积比呢，就是等于这个 o f 比上欧 a 是一比二啊，所以这两三角的面积比是一比二，那这个是一个二 s， 我们跟他说了，这个三角形的面积是二 s， 那么他的面积肯定是他的一半，所以他的面积是 s 啊，这个是二 s， 这个大的面积是二 s， 刚才说了吗？设这个 ss， 这个大的就是二 s， 那么他的面积是他的一半，所以就是一个 s， 那这样的话，这是 s， 这个小的也是 s， 那不就说明呢，这两个三角形的面积是相等的吗？那么这两个三角形呢？他就是一个共边模型啊，公共边是 bp， 再来一个共编模型的话，所以他的面积比是一比一，那他们的这个已编织笔呢，就是一比一 啊，所以他们俩就是相等的，那这样的话，我们从的就是从面积的角度来出发，也证明出了他们两个是相等的，这是第二种方法。那么法一法二的话，有很多同学他都可能平时如果很少用这些啊， 不明模型啊，英文模型啊，用这些面积模型的话，可能就很难想到啊，所以我们还是再提供一下一些更简单的方法一些，你就是比较好想的方法吧。 好，那么现在呢，是讲这个法三，法三的话就是利润中位线构造平行四边形，因为这里面是不是有很多的终点呀？ 有很多的终点的话，所以你很容易就是利用这个中微线，然后呢我们来构造平行四边形就好了， 这个 f 点是 oc 的终点， 如果我们取这个欧币的终点，哎，说，你为什么要取取这个欧币的终点啊？哎，因为这个 b 点是 a b 的终点，你如果取这个 o b 的终点的话，你把这个 e， 把这个 fh 和这个 e h 一连接啊，你会构造两个中位线，这个 f h 就是三角形 o a、 o b、 c 的一个中位线，这个 e h 呢，就是三角形 a o b 的一个中位线， 哎，所以我们第一个啊，第一步就是啊，取， 取欧币 h 啊，我们取这个 ob 的重点 h， 那这样的话我们会得到中微线，所以的话，我们这个 e f eh， 他就是平行且等于二分之一的 bc 啊，同样的道理呢，我们这个啊， e h 他应该是平行且等于二分之一的。 好，那我们得到这些之后有什么用呢？其实我们主要是利用这个平行啊，这个二分之一的这个 bc， 二分之一的 o a， 这个好像没什么用。 好，那我们这个 e h 是平行于 oa 的，那么 ov 的话是在直线 ac 上，所以这个 eh 就平行于这个 ac， 那不就是平行于这个 o f 吗？ 啊，通过这个我们可以退出 e h 是平行于 o f 的，那么 啊，这个我们刚才说的这个 oe 是垂直于 ab 的，这个啊，这个角 a bc 他也是一个啊，直角啊，这也是一个直角，所以呢， oe 是垂直于 ab 的， cb 也是垂直于 ab 的，垂直于同一直线的两直线平行，所以他们两个是平行的啊，他们两个是平行的，我们 通过这个中文线的话，还可以震出这个 fh 是平行于 bc 的， fh 是平行 bc 的，这个 oe 呢？啊，这个再加上这个 oe 是平行于 bc 的啊，这两个我们可以推出 oe 是平行于啊， f h 的啊，他们两个平行啊，我们这个条件他们俩平行，他们俩平行。这两个也就是嘛，两组对边分别 平行的四边形是平行四边形啊，根据这两个条件呢啊，我们可以推出这个四边形， 这个 o e h f， 那就是一个平行四边形，那么他是平行四边形的话，平行四边形的对角线互相平分啊，所以我们就可以得到啊，所以我们可以得到这个 ep 是等于 这个是从这个啊中微线的角度来出发的，然后构造了一个平行四边形， 所以你想到啊，看到题目中给你这么多终点的时候，一定要想到啊，老路总结的这个终点五大模型，那么如果你还不太清楚的话啊，可以关注一下老路，看一下这个老路总结 初中数学必学的四十八个几何模型啊，那里面都有详细的讲解啊，这个是法三利用中微线，那么我们还有啊，呃，我们再接着看 啊，这个是法式构造 a 字型或者是八字型相似，那么这个方法就太多了，这个方法呢，有啊，约有十种吧，我这里面就没有把他们全部列出来了，因为很多时候其实他们是类似的， 那这里面呢，我们呢讲三种，就是说说还比较好处理的，这这样的一个三种 啊，那这个法式的话，在我们的那个啊，初中数学必学的几呃，四十八个几个模型里面呢？像这样的方法呢，我们也会讲的，那么我曾经给学生总结过这个构造 a 字型或 发行相似的话，就一道题目的话，你就可以讲啊，这十几种解法，那么其实跟这个题目就是啊，十分的相似，他的模型呢，就是这样的一个模型，跟这模型就几乎是一样的了，所以说你会的那个方法的话，做这个压轴题真的太简单了啊，我们一起来看一下。 好，那么第一种呢啊，我们第一种呢是 a 字加八字， a 字型加八字型，我们是这样的过这个一点做 eq 平行于这个 ao， 我们把刚才啊，把刚才这里面这个图形给他挖出来了，把这个 ab、 f， 把这样的一个部分给他挖出来的。 有的同学可能看的不是太明白，我们换回去，我们来讲一下啊，我就是把这一部分给他挖出来了啊，把这部分给他挖出来了，我们只要这一块就可以来讲了啊， 所以为了让这个图形更简洁一点，我们把这一部分挖出来了， a b、 f 这个三角形， 那么这里面会有一些限制，就是这个一点是 ab 的中点，然后这个 o f 是这个，呃，比上这个 o a 是一比二啊，他们两个比是一比二，因为这个 f 点是这个 oc 的终点吗？所以这个 of 是半径的一半啊，这个 o a 呢，叫他就是一个半径，所以我们把这样的一部分给他单独拿出来去讲。 好，那我们接着来看你第一个啊，做这个 oe f， eq 是垂直于这个啊， af 或者 第一个就是这个 eq 平行于这个 ov 啊，第一个辅助线这样做的。我们这样做完之后呀，我们这里面就 会有一个 a 字形相似， a 字形相似啊，这个 b e q 和这个 b a、 o 啊，这是一个 a 字形相似。那么同时呢，我们看这个第二个图，这里面还得到一个八字形相似，其实这个应该是一个八字形全等吧 啊，因为你要正 p 等于 p f， 这个其实他是应该是一个八字形全等，但是不影响我们做题目。我们先说他是八字形相似吧，如果他们俩相似比是一比一，我们就证明了啊，这两个是相等的， 那我们构造了这样的图形，这样的模型之后，我们怎么去正呢？其实很简单这个一点啊，是这个 ab 的中点啊，这个是一比一，所以这两个这个 a 层相似，它的相似比就是一比二呀啊， b e 比上 ab 是一比二， 所以这个啊， eq 比上这个 oa 也是一比二，那我们就得到这个啊， eq 是等于二分之一的， 但是呢，你也可以从这个啊，中微线啊中微线的角度去去分析，也是可以的。其实道理是一样的，你从中微线的角度去分析啊，也是可以的。只不过说啊， 老路单词是总结了这样的一个构造， a 字型或八字形相似的这样一个模型，所以我们还是啊承接那个模型，从这个模型的角度去啊分析这个题目。因为老路讲题目都是从模型出发的，所以我们给学员讲题的时候，肯定是从我们先总结的模型啊去入手去讲解， 但是你也可以这个题目话比较简单，你也可以从这个啊，中微线的角度去分析，都是可以的。你像我们刚才发三不就是从中微线的角度去分析的吗？啊， 就看你怎么讲了啊，那么这个 eq 是二分的的 oa 的话啊，那我们该说了，这个 of 不也是二分的的 oa 吗？ o f 啊，他也是等于二分之一的 oa， 所以他们俩就相等的，其实就刚才中线讲的是一样的， 只不过我们换了一种角度去看而已，那就证出了啊，他们俩是相等的啊，这又是一个八字形相似，他们两个相等的，那相似比不是一比一吗？所以他们两个比就是一比一，他俩比是一比一，不就他们俩相等吗？啊，这第一个就解决了 啊，第一个就解决了，然后第二个呢？第二个其实都是类似的，你看，我们就是过这个 f 点啊，过 f 点做这个 fq 是平行于 ab 的啊，他们俩是平行的啊，平行的话，这里面有一个啊，这个啊， 像我们印的这是一个八字形相似，那这边呢？这也是一个八字形。好，我们先根据这个八字形，他们俩相似比应该是一比二， offifb 上 oa 是一比二，所以这两个相似比是一比二啊，这两个相似比是一比二的话，那就是这个。呃， 啊，这个 f q 是等于二分之一的 ab 啊， fq 是等于二分之一的 ab 啊，你发现这个一点是 ab 的终点，那他他俩比就是一比一，那就这个啊， eb 是二分之一的 ab， 为什么要得 eb？ 你们等下这个八字形里面我们要用这个 ab 啊，啊， eb 是等于这个二分之一的 ab 的，所以我们正出这个 fq 和 eb 是相等的，这个 fq 和这个 eb 是相等的，那这个八字模型里面，他们相 字笔不就是一比一吗？他们俩相似，笔是一比一的话，这两个不就相等的吗？哎，这两个又出来了，所以你看跟刚才都是差不多的。 我之前我以前跟学员总结过，我说，哎，这样的题目你只要想到了啊，做平行线构造 a 字型或八字形相似，你这个题目就百分百能做出来，你随便去构造，随便构造。我说了，这里面方法有十来种呢，你随便构造，你只要构造出来了 这个 a 字型或八字形啊，但是你一定要跟我们这个要正这个相关型，你只要构造出来了，基本这个题目就解决了啊，你只要构造出来基本这个题目就解决了，那么这个是第二种，那我们再来看这个啊，第三种， 那我们讲这个之前，我们先把这个给他删掉吧。啊？第三种 啊，第三种是这个构造两个 a 字型，我们刚才是构造呃，一个 a 字型，一个八字形，构造两个八字形，我们还可以构造两个 a 字型，那么像这样构造两个型，那这是过这个一点做 eq 平行于这个 ob 的啊，那我们还是写一下啊， eq 平行于 ob， eq 平行于 ob， 好，他们俩平行，那这就会出现一个 a 字形啊，并且这呢也是一个 a 字形相似， 那这个 a e 笔上这个，呃，他这个 e 点是中点啊，那这个是一比一啊，那这两个 a 字相似笔应该是一比二 啊，应该是一个一比啊，一比二，或者你知道这个是一比一的话，我们可以知道这个比是一比一啊，这个是一比一。 好，那我们这个相似模型怎么用呢？其实很简单，我们刚才说了，这个 o f 比上这个 o a 是一比二，嗯，所以这个这三个线段都是一比一，这三个线段是相等的，那我们这两个线段比就是一比一啊，主要说我们要得到这两个线段比是一比一，因为这样的话，你在这个 a 字型相似里面才可以用呀。 啊，这两个线呢比是一比一，那这两个相似的比呢？也是一个啊，那这个就出来了，这两三角形是 a 层相似吗？那么这个边比上这个边也是一个一比一啊，那他们俩又相等呢？ 所以说这个方法真的啊，太多了，十来种，你只要是构造了 a 字形或八字形相似，这个题目都能解决， 只要是你想到构造了，那都能解决。那么还有其他的这个构造呢，我就不多说了，其实都是类似的，我这里面就 讲呢，这是这样，主要讲这三种啊，构造两个 a 字，构造两个八字，构造一个 a 字，一个八字。 好，这个第二题呢，我们就讲到这，那我们讲完了这个第一小题之后呀，我们就讲这个第二题的第二小题啊，最后一问， 这一问呢，我觉得对于很多人来说啊，会有一些难度，为什么呢？因为这个图形非常的不标准啊，你看他给你一个条件啊，唯一的给你增加一个条件，就是这个高 f 是等于 ef 的， a f 等于 ef， 但是你看这个图，明显的这两个看起来就不相等，所以这个图啊，跟你的条件他是有误差的。那么就这一点肯定难倒了很多同学啊。那像这样的题 我们应该怎么处理呢？其实你会发现，我们在这个杭州中考里面就很少有这种几何作图的题目，那么几何作图的话，其实在初中还是很重要的，那平时学生话一定要去啊，锻炼自己这种几何作图的能力。 那你想在这里面，他没有直接去考你这个几何作图能力，其实就是在这样的一个题目里面考察了你的几何作图能力，也就是这个图需要你重新去画的， 原来的图是不标准的，那当然你就需要自己去重新画图，你的图画的满标准一些，那这个题目就比较好做了。 那你说，哎，这个题目怎么去画呢？怎么画画的标准点可能会如果直接看的话，你肯定还是没法去画的。那这里面我们需要去分析一下他，你求的是角 b ac 的这个 度数，这个题目中是你求这个角 bs 度数，我们来讲这个第一题，这个角 bs 是三十度，这个肯定是不能用的，他给你一个弱是假设的，所以我们只能看主的题干中还有这个给你，这个答 f 等于 ef 去求这个角度，那你就会发现这个题目中一个角度都没给你。 老兔以前经常去总结，但这个题目你让你求角度，而一个角度都没有给你的话，那么这个角度他很有可能就是这种特殊的，哎，不是很可能，就是百分百是一个特殊的角度了。 你想一想，题目中一个角度都没给你，你就让你求角度，那这个角度当然是非常特别的角度了呀， 那你猜猜看，这里面角度他可能是多少度呢？我相信很多同学会猜他是四十五度，有的有的同学说，因为你为什么 才十五度啊？那这就是嘛，平时做题的积累，你想想，你在这样的高考里面要做啊，这个丫头的最后一小问，你要把它做出来，你当然你平时的积累非常重要了， 你如果连这个呢？猜想你都猜不到，我说实话，你可能说在高考你那个时间有限的啊，空间里面要把这个题目给他做对，我觉得太困难了，几乎是不可能的 啊，所以第一步我们就是猜想的这个角度是一个四十五度啊，猜想他是四十五度，我们知道他是四十五度的话，然后呢我们就来 啊构造一下这个，就把这个图形给他重新画一下，如果这个角是四十五度的话啊，这个角 abc 是九十度，那么这个三角形 abc 啊，他肯定是一个等于二至少三角形，那么现在看这个图，他很显然他不像 一个等于二至少三角形。那我们如果在考场上应该怎么去做呢？首先肯定是画一个等于二至少三角形 abc 出来啊， 先画一个等腰三角形 abc， 然后呢取这个呃，斜边 ac 的中点写呃，取到这个中点之后呢，我们用圆规啊，以 o 点为圆心啊，以这个中点为 o， 以这个 o 点为圆心，然后 o a 为半径画一个圆，也就是画三角形 abc 的一个外接圆。 你们画出这个圆之后呢，我们可以取这个 oc 的终点 f 啊，此时就把这个 oc 的终点 f， 你把 oc 的终点 f 取出来之后呢啊，这个 ef 就确定了。 ef 确定之后，你可以以这个，因为说到这个， 呃什么呃，这个 ef 是等于 w f 的， e f 是等于 w f 的，然后你就可以 以这个啊 f 点为圆心， e f 为半径，你画一个圆，你画一个圆，画一个圆之后干什么呢？因为我们想确定这个导点位置，这个导点，因为这个 dof 是等于 ef 的，所以你以这个 f 点为圆心， e f 为半径，你画一个圆的话，这个导点肯定是在这个圆周上的。 然后我们刚才 b 点已经定了， o 点已经定了，你把这个 b o 一连接并延长，然后与那个语言的交点，不就是你的导点吗？ 好，这样的话，这个图形就画出来了啊，你按照老路刚才讲的这个速路的话，这个啊比较准确的图形就画出来了，并且应该还是比较快的。那你想想，你如果 啊不是这样去倒推他是四十五度角的话，你去构造这个图形这个模型的话，把这个图原来图画出来，那真的是非常难的啊， 所以有了这个思路的话，我们再来画就比较简单了，我们把这个图形给大家去掉，然后我们来画出来啊，这个准确的图大概是这样子的， 你有了这样的一个图形之后呀，啊，这个题目就比较好做了，我们的目标就很明确了，我们就要证明出这个角是四十五度，你会发现我们把这个本来是一个求解的题目，便转化成了一个证明题。我老周之前跟学生去总结，我说你去啊，去 求解，当然比较难的，你去证明其实很简单，因为你的目标已经很明确了，所以我说你把这个题目猜对了，基本上就现在是震出一小半了啊，你把它猜对了，基本就现在做出了一小半了。 那我们现在来看一下怎么去证明这个角是四十五度呢？好，来分析下题目已有的 条件啊，我们一起来分享题目有条件把它标在图中，这样一定要一边读题一边分析啊。啊，这两个是啊，相等的啊，一点是 ab 的中点，所以这个是啊，垂直的，这个角呢，也是垂直的， 这个 abc 他是一个只要呃脚 abc 是一个直角三角形，这也是垂直的啊，所以他们俩是平行的啊， 那么还给你的这个，呃，答， f 等于啊， ef 他们是相等的，这个是我们需要注意利润的。好，好像给了这些之后，我们怎么办呢？ 其实我们刚才在做第二题的，你应该会有一些啊思路了，就是说你这个 f 点是这个 oc 的终点，如果你过这个， 如果你过这个 f 点做这个 ab 的啊，垂线做 ab 的垂线。 做了这个垂线之后呀，啊，我们不妨标一个，呃， abce f 标一个 g 点吧， 你这样做了个垂线啊，这个是垂直的，这个我们刚才在讲这个第二题时候讲那个模型的，还讲到一个这个方法 啊，有没有啊？没有讲到，那你过这个 f 点做这个 ab 的垂线之后，你发现这三个都是垂直的，这三个都是垂直的话，也就他们三个都是平行的啊，都垂直于这个 ab， 那么他们三个是平行的， 那么在这个这叫板里面有这样的一个定理，就是两条直线被一组平行线不少于三条所结结得的对应线段成 比例啊，所以这个 e eg 比上这个 gb 是等于 of 比上这个 fc 的，那么他们的比啊，是一比一啊，所以他们的比也是一比一，那就是得到啊，这两个线段是相等的， 他们俩是相等的，这个又是垂直的，那不就证明了啊，这不就是一个二线合一吗？二线合一的话，这不就是一个等腰三角形吗？当然呢， 我们在证明的时候，这个二线合一你是不能直接用的啊，不能直接用的话，我们就证明这两个全等就好了啊，这个是跟他相等的，再加一个直角啊，再加一个公共边，所以这两个三角形是纯等。这两三角形全等的话，那他们两个不就是相等的吗？ 这个 f e 就等于 f b， f e 等于 f b 的话，我们就把它转化了啊，刚才这个条件，这个倒 f 不是等于 ef 的转化成的，这两个是相等的，他两个是相等的。这个欧点其实就是这个必导的一个终点呀，是必导的终点的话，我们不又可以利用这个三啊，等腰三角形这个三线合一呢吗？ 啊？又可以利用等腰三角形三线合一，所以这个就是一个直角啊，这就是一个直角，这个 of 是垂直于臂倒的，利用等腰三角形的三线合一， 那么这个是垂直的话，这个不就是垂直的吗？这个是垂直的，这个 o a 又等于 o b， 那么这个三角形 o a b 不就是一个等腰这样三角形吗？那这样话，这个角 a 不就是四十五度的吗？ 这个角也是四十五，我们要求的就叫 b ac 啊，那他四十五度就出来了呀，这样我们就把它解决掉了。 好，我是老路，关注老路学模型，了解亚洲。

今天我们来一道二零二黑白卷的黑卷的压轴抖二题啊，这道题目是适合一百二十五到一百五十分的同学来理解，我们来看一下这题。 如图，平行视频， abcdabcd 是小的视频，是平行视频机。已知条件，这叫角 ac 档四十五度，这个角是四十五度的， 这叫 o， 是 ac 的终点， o 是最小型 ac 的终点，是 ac 的终点，延长 ab 上一个 e 点延长 eo， 跟 c 档交一点 f 点。这里还有一个很重要一个已知条件， af 档等于 a 当 f， af 档等 a 当 f， 也就是三角形， a 当 f 是一个等幺三角形。好，这个条件还是比较多的啊，条件还是比较多的。 那么看如何理解？第一题，证明 aeco 是平行，是变形，证明大了是个平行，是变形。这第一小的应该比较简单，因为 c 档平行 ab， 因为他 abcd 是平行，是变形，所以 c 档平行 ab 也就是 cf 平行 ae 了。好，已经意料边平行了，只要证明他们相等就可以了，那平行也相等，他就是平行，是平行的。那如何证明 cf 跟 ab 相等呢？这里有一个平行线夹终点的问题，那只要证明这两个三角形全等即可。 ao 啊， c o， f 跟 a o， e 全等即可。这个全等简单，因为 o 是终点， a o 等于 o， c 好一个边相等，对顶角相等，再加一个角一等于角二即可叫 c， o， o 等于角， a e o 就有两 变平行内错角相等，角一等于角二全等，那么 cf 就会等于 ae 那一组。这边平行也相等，就是平行四边形。第一题就是正完，我们看第二小题，过顶 f 做 fm 的垂线，过顶， 过顶 m， f 做这个垂剑， b 系列垂剑，这个是九十度好，其他都是没有特殊条件啊，那看一下椅子条件比较多啊，这个角是四十五度 啊，还有 af 档是一个等幺二三角形是吧？啊，这重点的条件这些啊，啊，这个角四十五度这一条件都没用上是吧？啊，还有一个是锤子这三个重点条件没用上啊。做这些题目，我们要想想 已知条件，想想求证两面加工中间会死啊，一直要去思考求证的动机跟已知条件。那么来看一下，现在证明的是 a f 等于 f h， 也就 fa 等 f h 这一条， f a 等于 f h 等于这一条，那现在证明这两条线等到外物就直接证明边线了， 或者证明底角线的是吧？啊，证明边线呢？就是你找两个三角形全等是吧？那这个全等好像不怎么看得出来哈，那所以说应该大概率是证明这两个底角线的，所以我们先考虑往底角的这个思路去思考，好证明这两个角相等的话，我们看怎么证明啊。 那这里面看看椅子条件，椅子两以四十五度角，还有一个 a 当 l 是等幺二三角形，还有这个是垂直的，那这个这题目看 你得做辅助线啊，是吧，那福建怎么思考呢？那我们相对比较自然，就能想到过 a 点做灯而不得垂线，为什么呢？因为 a 当而不是个等腰三角形，这里又一个角四十五度，这里做一条垂线下去的话，这个四十五度跟这个等腰三角形都能用上啊。 过 a 点做 a k 垂直当 f 好，那这个是垂直的好，那这个时候这个 三角形 a、 k、 c， 他就是一个等腰直角三角形呢？因为他一个四十五度角，一个直角嘛，等腰直角三角形，这个条件马上出来了。 好，做完辅助键之后，那么现在来思考一下，这里面你会发现还有一个一线三直角啊，这一 直角啊，有上直角的模型啊，这个角 m 是一个直角，角 k， 这个直角，这里两件平行， abcd 平行，这里两件平行，这里也有个直角 啊，所以这一线三指甲模型，我们马上想到这两个角质相等了，我们可以把这个图形画到外面来，哈，啊，这里面比较小，我们把这个图形画到外面来 看一下，这个是长这样子的，这个是垂直的，这个是 f 点，这是 d c 点，这是 m 点，是吧？然后这里还有一条垂线下来，是吧？这里还有一个垂直， 是吧？把这个画到外面来，我们看的更清楚一点，这个是 a 点，这 f 点，这个 我们做了垂线 k 点，这个是荡点，这个焦点是据点，这个焦点也垂直的，那么马马上知道，这里面啊，三角形肯定有相似，跟 角相等，是吧？那我们知道这两个角肯定相等，这个角角当 a k 等于角当 fm 了，这两个肯定相等，因为这个设为角一，这个设为角二吧， 这是为角三吗？那角一加这个角四，角一加角四等于九十六，角二加角四也等九十六，所以角一是等于角二的， 然后再跟那等幺三三线合一的性质等于角三，这三个角的线呢？那这个三个角线呢？我们都设为二法吧，三个角都设为二法，所以这个角是等于二法，这个角等于二法，这个角也等于二法。好，那现在就可以证明，这两个角 看这个底角是三角形， fhc 的外角，外角的不相连，两个内角和是等四十五度加上阿法的，是吧？那接下来我们看这个角， 看这个角 f a c 哈， l a c 是不是也等于什么啊？这个是等要直角升阳阳 a k c 是等于要直角升阳，所以这个角是四十五度了。 f 啊， k a c 四十五度，所以它也是能四十五度加阿尔法的， 所以这个角是不是等于 f h a 呢？这两个角相呢？所以 a f 自然就能 f h 的，所以第二题就正完了。那第二题第二小题就比较简单，首先 l 动等于二，跟号二啊，那这垂直平稳呢？那这条就能跟号二，这条也等于 等号二了，是吧？ l k 等 k 档， a f 等二，根号五， a 档也等二跟五，因为在等幺吗？然后现在修的是 cm 这条绳， cm 这道长球线呢，长度五万五个五厘米，五万五，相似吗？这里肯定考虑要相似，那这个题目马上看出来，这两个三也马上相似了，就 a k 洞跟 l c m 相似，深角形 a k 洞相似，深角形 f 啊， m c 是吧？因为这个角一等于角二，都是阿华角相等，还有九十度角相等吗？是吧？啊，这个角二是等角一的，是不是还有个九十度角相等啊？两个三角相似，对面成比例，马上做完啊。 对面是 c m， 这条边比序， k 动这条边是吧？等于斜边， lc 比序，他的斜边是谁？ 是黑档？好，那对面成比较， cmbk 档， k 档休息， k 档是等于根号二了是吧？等于根号二马上出来了。 l c 呢？ l c 要求哈。那 a 档我们知道 a 档等于多少， a 档就得二跟二五知道了是吧？然后 m l c 就是 f， c 等于多少？ f c 他就在根号二加上 k c， k c 我们可以求啊。 k c， k c 等于多少？ k c 就是等于 k a 了，因为 a k c 这个等要只要三角形是吧？那 a， k 马上能求了， a， k 等于多少？ 嘿嘿，这两边，这两边他勾股力你二根号五，根根号二勾股力你就可以了。所以 a k 是等于根号的二根号五的平方减去根号二的平方，是等于 二十十八，等于三根号二，是吧？所以说 k c 也等于三根号二，所以 l c 是等于四根号二是吧？所以这里 c m 就能求出来了啊。 等于等于八八除以等于五分之四。跟号学会了吗？

好，同学们好，这节课呢，我们来看这道中考模拟的压轴题，那么这道题目呢，他虽然难度不大，但是呢，他却非常的典型，为什么呢？是因为这一道题目他考到了五大常考的几何模型，那如果你细致的去发现的话，他其实还不止五个， 所以呢，他绝对是一道你去练习的好题。那这节课呢，我们就一起来做一下这道题。首先看这个图，应该非常清楚，这是一个正方形当中的三垂直，或者叫这个十字架模型为背景的题目，那这种题目呢，我们经常遇到，应该不难，是吧？我们看一下第一问， 呃，正方形 abcd 中点 e 是 bc 的中点， e 点是中点过点 b 做一个 bg 垂直与 ae 交，点是 g 过点 c 做 c， f 垂直与 bg 交， bg 延长线与 h 交， ad 与 f。 好，就是这样一个图，那么根据这个图，其实我们可以立马得到什么呢？就是这个 a f c e， 它是一个平行四边形。 呃，为什么呢？因为这两边都分别平行，那所以呢，其实 f 点他也是这个 a d 的重点，这个得立马得到，至于他有没有用，我们放在后面再看。 那么这个第一步呢，就非常简单了，就是这样一个三垂直的全等三角形， abg 全等于三角形， bch a bgbch， 这是垂直了，那我们正方形中呢，天然的直角。来， 我们来看一下角一，那这个是角二，这个如果是角三的话，角一加角二是九十度，角二加角三也是九十度，我们简单的写一下，角三加角二也是九十度，所以可以得到什么呢？角三等于角一， 然后呢，又因为这两个都是直角 ab 等于 bc， 那所以他俩全等，那这个呢，我们利用呢，应该是角角边 角角边角边角，其这道题目都没有问题，这是一个三垂直的全等，非常简单。一二三，下面呢，我们来看这个第二个，如图二，连接 ah， 那他把 ah 连接了一下，那如果连接了 ah， 这个我们应该立马得到一个什么样的结论呢？就是这个 ah 他是等于正方形的边长的 ab， 有这样一个结论，这个结论是怎么来的呢？放在这道题目当中，他非常的好证明，这个一点是中点啊， 这个记忆呢，他又平行于 hc， 所以记点呢，也是 bh 的终点。那简单的说，这个记忆是这个三角形的中位线啊，垂直平分，所以 ah 等于 ab， 那么如果他没有这条 ae 这条线， 这个又应该怎么证呢？虽然这题没考，但是呢，我们也得借助这个图把这个知识点搞透啊。前两年的中考题他就考过这样一个结论，就是 ah 等于正方形的这样一个边长，这里面呢，他十字架模型一旦出现，他 紧接着就会出现一个四点共圆，因为这是直角，你看这也是直角对角互补，所以 a f h b 四点共圆，我们刚才说了， f 又是终点，是吧？ 所以呢，他可以利用这个背长中线加直角三角形斜边中线去证明 你背上中线，把这个 f 呢去延长，然后呢去连接一下 am 到这，这个 am， f 和 fdc 他俩全等，所以 am 就等于 dc 就等于 ab， 又 因为这是直角三角形，所以直角三角形斜边中线等于斜边一半。好，这里面呢，一下考到了两个终点有关的知识点，或者叫 辅助线好，还是比较典型的。这里面呢，我们顺便提一下，那么下面呢，我们看他的结论。还有一个就是连接 eh 交 dc 与 i。 第一问，求证 ab 方等于 ag 乘以 bh， 那 显然这两位呢，他就是考这个相似和勾股了是吧？ ab 的平方等于 ae 乘以 bh， 这种结构的相似， 我们知道他一般都是什么呢？就是母子型相似，或者叫摄影定理型的，那这里面呢，他恰巧他就有这种格式。 我们先看一下 ab 的方，他等于什么？根据摄影定理，或者这种母子形相似， ab 平方应该等于 ag 乘以 ae， 我们简单写就是 ag， ag 乘以 ag， 那么意思就是要证明 ag 等于 bh 就行。我们在第一问，其实已经证过这两个三点一圈的了，所以呢，就是我们可以直接得到 ag 等于 bh， 所以这个第二问呢，他就直接正完了，因为他俩全等，所以这两个线段相等是吧？然后又因为这两相似，所以我们去比一下，再转化成这种成绩是就可以了。第二问呢，这个第一小问也是完全没有难度了， 那么重点呢，肯定就是这个最后一问了，这一问呢，他还是非常的经典的，求 d i 比上 ic， 那我们可以把它先用字母表示一下 a， 这个呢是 b， 所以这个呢，最终求的就是 abb 是多少， 要想求出这个笔值，一般怎么办呢？第一就是直接找到他两者之间的关系，那么第二种方法呢，就是 我们把这两个呢，用同一个字母去表示一下，然后呢最终再把它约掉，就可以得到笔直了，是吧？好，下面呢，就是无论怎样得找到这两者之间的一种关系啊，要关系就得有关系事，那下面怎么表示呢？我们继续去标你，比如这个 ec， 我们也 标一个字母 c 啊，这个 b 呢，所以他也是 c， 那么所以这个边长是 rc， 这个 ab 呢，我们可以标为 rc， 这里面呢，我们就得到第一个结论，就是这个 a 加 b 等于 rc， 显然是吧， a 加 b 他等于 rc。 很多同学害怕这里面的字母啊，看起来 ab， bc 很多，是吧？这个我们完全不用害怕，这个本质上他就是方程思想的运用，是吧？我们最终把它射出来是为了方便解答，然后再把它消圆就行啊。这里显然其实只要把 c 消掉就行，因为我们找的是 ab 的关系，对吧？ 所以完全没有必要害怕。我们像这样表示出来之后，你会发现什么？这是 c， 这二 c 其实可以得到一个关系，就是这个角，如果我们标为角一的话啊，当然这两个呢，是 全等了，或者平分线，是吧？这也角一，那这个摊径的角一我们来看是等于二分之一了，是不是摊间的角一等于二分之一？ 那么当我们得到这个贪念角一是二分之一的时候，一般我们会想什么呢？有很多啊，可以想的，比如说他这个角呢，他这个 角的正确呢，也是二分离，是吧？可以利用三角函数去转化。这个呢，我们马上就讲第二个呢，就是我们可以立马想到一个知识点，就是进来常考的模型，一二三四五模型， 如果贪念的一是二分之一，那么角一加角二是四十五度，那么那个贪念的二就是三分之一，是不是啊？在这个正方形当中，容不容易出现这种模型？非常容易， 就是这个出现一个绊脚模型一般就可以了，也就是我们去连接一下 a i， 看看那个角啊，他在哪？ 连接 ar 之后，立马其实你就可以得到这两个三角形，他也全能 ah i 和 adr， 为什么呢？都是直角三角形，中间是 公共边，这个 a i 他等于 a d hl， 所以他俩也全等，全等之后这两个角他就相等， 所以这就是一个非常经典的绊脚模型。的图就出来了，两个角一，两个角啊，是九十度，所以我们确实可以得到角一加角二，那就是四十五度。好，四十五度易出现，首先得到的是 绊脚模型，第二一二三四五模型他也就随之而出，摊进了角二就等于三分之一。 如果 a d 是二 c， 那其实 a 就等于啥呢？他是他的三分之三分之二 c， 那么 b 呢？就等于二 c 减他三分之四 c， 所以你看 a 比 b， 直接我们就出来了三分之二 c 以上三分之四岁二分之一。这是第一种做法，我们通过这个一二三四五模型把这个题做出来了，但是呢，这个是一个大题目，其实这种模型呢，他不能直接用，用的小题其实非常好，可以快速秒杀，是吧？那大题目我们该咋办呢？ 我们还是得利用常规的模型以及计算方法，就是绊脚模型好。既然这个都是全等的，那么绊脚模型的结论就是 d i 加上这个 b e 等于 i e， 其实这里面呢，正好他，你知不知道这个结论都无所谓，因为这就是 a， 这也就是 c， 是吧？然后呢，我们常规的操作是什么呢？放在这里面，勾股定理 ice， 是吧？也就是 好，我们可以得到 b 的平方加上 c 方等于一个 a 加 c 方，现在我们需要干嘛呢？我们需要把 c 消掉，找到 a b 的关系， c 咋消呢？这里面有一个一是把这个带进去就行， 就是你看 a 加 b 等于二 c， 所以是不是有一个 c 等于二分之 a 加 b， 那么先把这个式子化解一下，就是 b 方加上一个 c 方，他等于 a 方加上一个 r， a c， 然后加上一个 c 方， 这里面呢，可以把这个消掉，然后呢， b 平方，他等于 a 方加上一个二， a 乘以个 c 是二分之， a 加 b。 好，其实这个二呢，可以约掉，那么就可以得到什么呢？ b 方等于 a 方加上一个 a 方，加上一个 a， b， 这个十字呢，我们把它化解一下，就是二， a 方加上一个 ab， 然后减去一个 b 方， 我们把这个十字看成一个关于 a 的一元二字方程，然后呢，把它解一下，你看这个可以利用十字相乘，是吧？你看一二，然后呢，这个是一 一，这个应该负一二减一等于正义。好，所以这个分解过后呢，就应该是 a 加一乘以个二， a 减啊，这个一呢，应该是 b， a 加 b 乘以二， a 减 b 等于零，所以呢，前面这个负的我们舍掉，直接得到二， a 等于 b， 也就是 b 等于二 a， 所以 a 比 b， 那么就是 a 比上二， a 等于二分之一，是吧？这个是利用绊脚模型，然后勾股定理找到他俩的关系， 那么如果这两个呢，你都想不到，这两个的前提是你得先构造出这个 a i 这条辅助线。如 如果你想不到这个，这道题还可以怎么办呢？他还可以利用三角函数加相似就是 abb， 那这样的呢？我们常规的利用相似比也可以，是不是怎么办呢？构造八字形相似，正方形和矩形当中最容易出八字形，怎么 怎么办呢？你把这个 e i 和 ad 分别延长就可以了，延长到这，比如说呢，他俩交于一个点 m， 然后呢，其实这个 d f 也是 fc， 我们可以把这个 dm 呢设为 x， 那么这个 abb 就是 xbc 是吧？你看 abb 是 xbc 就是。我们在这简单写就是 ab 上 b， 他就是 x 比上 c， 那只要把这个 x 比 c 弄出来就行。 x 和 c 的关系怎么找呢？它这里面呢，其实是有两对八字形的相似了， c 比上 c 加 x 等于 hc 比上 f h， 这两段的长度其实都可以算出来， hc 不就是贪念的一吗？这个是一比二，这个是两 c， 所以这个应该是五分之二倍，根号五 c， 那么这个 fc 总共是根号五 c 减他五分之三倍，根号五 c。 好，如果跟不上同学呢？这里面呢，你自己去利用勾股定理去算一下就可以了。那 显然这两是二比三，所以我们再入就是看一下， c 比上 c 加 x 是二比三， 那可以得到什么呢？二 c 加二 x 等于三 c， 那所以就是 c 等于二 x， 那 所以就是 s 比二 s， 你看一比二也可以做出来。所以这道题目呢，他这里面呢， 包含了众多的模型，那么意味着也就可以利用呃不同的方法把它解出来，那主要包括了什么呢？正方形当中的十字架模型，或者叫三垂直四点共圆，然后呢这个一二三四五模型，还有呢就是绊脚模型，还有 就是这种八字型的相似。这一道题目呢，其实可以帮助我们去复习巩固这么多几何模型，还是非常经典的一道练手题。那么这节课我们就讲到这里。

好，同学们好，这节课呢，我们来看这道中考数学的几何压读大题，那么我们要讲的呢，就是他的最后一问，也就是第三问最难的这一问。呃，的确呢，是有一定的难度，我们一起来看一下。如图三，在直角三角形 a、 b、 c 中， d、 e 分别在直角边 a、 b、 b、 c 上。 好，这个是直角三角形 a， d 等于二倍的 db， 等于二倍的 ce， a， d 等于二倍的 d， b。 那首先 d， b 是等于 e、 c 的，我们可以设为 a， 这个呢也是 a， 然后这个 a、 d 呢，是他俩的二倍，所以我们可以标为 r a， r 倍的角 b a， c， b a， c。 好，这个角的二倍加上角 b， e、 d 是一百三十五度 b， e、 d， 他加上这个角，我们标为角一是一百三十五。那这个角度关系有什么用呢？我们站起来并不清楚，是吧？他给的这些条件呢？目前呢，呃，都不是太好用，让我们球摊进了角 bac b a， c 也就是贪念的角 a， 是吧？啊，其实就是贪念的角 a， 他的之。那这个题怎么做呢？ 我们先来看一下这个摊件的角 a， 他等于啥？好，从这入手。那这个呢，应该是对边比上零边两只角边的比，是吧？这个 b 一呢，我们给他标一个 b， 所以呢，这个摊间的角 a 呢，他就是 a 加 b， b 上一个三 a， 那也就是说，我们只需要找到 a 与 b 的关系，其实这道题就可以破解了，是吧？好， a 与 b 的关系怎么找？那需要去 建立一个方程，关于他们俩的方程，那怎么建立呢？得找关系。这个图当中的关系已经差不多找完了，但是呢，还没有发挥作用。好，那我们先看看这个线段关系，这个 d b 等于 e、 c， 这两条线段相等，一般呢，他是够到全等三角形，在结合他的前两位啊，他的前两位呢？实际上就教你够到这种三垂直的全等。好，这个我们也很熟悉。好，这里面怎么够到呢？我们再来一条垂线，就过 c 点，我们做一个垂线， 这个 mc， 我们垂直于 bc， 现在呢，脚也有了，我们只需要再来一个直角边，我们使得他等于 b 一，就是我们在 cm 上截取 cf， 截取这个 cf， 我们使得他等于 b 一， 然后呢，我们去连接 ef 以及 df， 那这个三垂直的全等就出来了，是吧？ a， b， a， b， 然后呢，这个角 b 和角 c 都是直角，所以这两个三角形的全等，我们第一步构造出一对 全等三角形，就是 d， b， e。 好，全等于三角形 e， c， f s， a s， 这个很好转，一旦这两三角形全等呢，那我们又可以得到什么呢？直接得到这个 d e 等于 e f， 并且这个地方也是直掉，因为很简单，好，这个角是角一， 他加上这个角好，角 r 等于九十度，是吧？好，所以就得到一个 def， 是一个等腰治疗三角形，那么这个角呢，他就是一个四十五度角， 目前呢，我们得到这些，这是第一个条件，他发挥的作用。好，下面重点来了，这个第二个角度关系怎么用呢？一百三十五度一出现，那我们可以联想什么呢？就是四十五度，这两是互补的，是吧？加起来正好一百八，那你看现在四十五度角出来了。 好，那个一百三十五度哪里有呢？除了他给的这个，我们来看这个角一，他加上这边这个角，是吧？那我们标为一个好角三， 那这个角一加上这个角三，他也等于一百三十五度。好，我们就可以得了角一加角三等于一百三十五度，我们再看看他这个二倍的角 b、 a、 c， 我们把它稍微化解一下，加上一个 b、 e、 d 啊， b， e， d 就是角一加上二倍的角 b， a、 c 也等于一百三十五度啊，这个就是角 a， 是吧？所以根据这两个我们可以得到什么呢？ 我们可以得到角三是等于二倍的角 a 的一个二倍角关系是一个角三等于二倍的角 a， 那接下来怎么办呢？那这就是处理二倍角的问题，二倍角是吧？我们可以怎么办呢？我们可以通过翻折做角，平衡线够到等腰是不是都可以？那这里面呢，我们选择翻折，或者呢，我们应该这样讲，我们再做一个角 c， a， m， 好，这个角呢，我们使得他等于这个角阿法，所以这个角三呢？他现在就等于角这个 d、 a、 n， 他俩加上这个 角，比如说这个我们标一个贝塔，那我们现在看一下，由于这个 mc 是平行于 ab 的，是吧？角三加上角贝塔是一百八，那所以这个 dan 加上他也是一百八，所以 an 平行于 df， 也就是我们得到一个 四边形 a， d， f， n， 这是一个好平行四边形，那平行四边形有什么用呢？那就是对边相等 a， n 等于 d、 f 得到这个有什么用呢？ 以及 nf 等于 ad。 好，这个是 ra， 得到这个呢？我们马上就可以建立方程了。好，方程在哪里呢？我们先来看一下哈，我们先去看一下 df 等于啥？ 这个 df， df 呢，应该是根号二倍的 d e， 那 d e 呢？我们先表示一下，它是根号 a 方加 b 方，所以这个呢，它就是根号二倍的，对吧？然后根号下 a 方 加 b 方，这个也是根号二倍的，根号下 a 方加 b 方，那方程在哪呢？我们来看一下 平行线加角，平无线等腰三角形来呈现，所以这里面有个等腰三角形在哪里呢？好，这个如果是阿法，由于他俩平行，所以内错角相，这也是阿法，阿法等于阿法，所以 a、 c、 n 是一个等腰三角形，那也就是说我们就可以得到 a n 等于 cn， 好，等腰，再 这 a n 等于 cn， 那我们就可以得到这个方程。好，这方程是啥呢？就是 r a 加上 b， 它等于根号二倍的，然后根号下 a 方加 b 方，是吧？ 两边平方二， a 加 b 的平方好，等于二倍的 a 方加 b 方，那剩下的呢？就是计算，我们把这个狮子呢进行一个化解。好，现在呢我们去化解一下，那就是 我们在这边写好四 a 方，然后加上一个四 a， b 加上一个 b 方，等于一个 r a 方加上一个 r b 方，对吧？就是 r a 方加 上一个四 ab， 好，减去一个 b 方得零。那这个时候我们接下来怎么处理呢？我们需要找到是 ab 的关系，所以我们需要把这个看成一个关于 a 或者 b 的一元二次方程，然后呢去解得他俩的关系， 我们看成谁呢？都无所谓。好，其实这里面呢，我们把它看成关于 b 的一元二字方呢，会简单一点，也就是得到什么呢？ b 的平方，我们移到好右边去，减去四 ab， 然后呢，减二 a 的平方得零， 我们变成这种可能简单一点。好，那现在呢，我们就直接带入公式。好，我们先算一下这个 b 平方减四 a c， 大家把 b 平方。好，现在是四 a 的平方，十六 a 方，然后加上一个八 a 方，这个应该 是二十四 a 方，然后直接带公式。我们注意，我们要求的是 b 等于多少 a， 最终解得了 b 是二 a 分支好，负 b 加减根号二四 a 方二背根号六 a， 是吧？所以这个 b 呢，它应该是等于我们这里面呢，直接取正了就行了。应该是啊， a 加上一个根号六 a， 是吧？好啊， a 减根号六 a 呢，我们就不需要了。好，当然这个 a 呢，也可以提出来，我们可以写成啊，加根号六 a， 那现在行了，我们把这个 b 带入这个式子就行了，所以这个摊进了 角 a， 他就等于啥呢？二 a 加根号六，再加 a 就是三 a， 加上一个根号六 a， 然后除一个三 a， 所以显然结果是三分之三加根号六。

家里有初中生的一定要听啊，这是一道中考经常考的题目，首先呢，给了你一个依次函数，它与这个 x 轴外轴的交点是 a 和 b， 它的解析式是 y 等于二， x 减一。那我们说啊，把这条直线 绕着点 b 顺时针旋转四十五度，得到了 bc， 所以转了四十五度，那这个角是不就是四十五度？让你求什么呢？让你求直线 bc 的解析式。 那这种题怎么来做呢？我们初中里面有一种非常常考的几何辅助线构造，遇到四十五度角，可以想办法去构造等腰直角三角形。这里构造的话呢，你可以过 a 向 bc 做垂。那还有一个更好的构造方法，就是做 am 垂 垂直于 a， b 交 b， c 余点 m， 这样的话，这是九十至四十五，可以推出来这个角也是四十五度，所以 a b m 就是一个等腰直角三角形。 ok， 那接下来啊，遇到等腰值构造三垂直，所以咱们可以过 m 向 o c 做一个垂去构造三垂直全等，这个点记为 n。 那这样的话呢，此时 o b， a 和这个 n a m 这两个三角形是全等的，那它俩全等之后啊，我们得到，原来 a b 这个解析式是 y 等于二， x 减一， 所以点 b 的坐标应该是零豆负一，那 o b 长就是一。那求一下点 a 坐标，当 y 等于零的时候， x 是二分之一，所以 o a 长度就 六十二分之一，那全等之后， m n 长等于 o， a 等于二分之一， a， n 等于 o， b 等于一。这样的话，就可以写出来 m 点的坐标， m 点的横坐标是二分之一加一二分之三， m 点的纵坐标是负的二分之一， 那么接下来的话呢？我们又知道点 b 的坐标是零豆负一，把这两个点带入，可以直接求出 b c 的解析式。 先设 b， c 是 y 等于 k， x 减一，然后把 m 带入，负的二分之一等于二分之三， k 减一，二分之三， k 等于二分之一， k 就等于三分之一。 所以啊，这里面必须的解析式就是 y 等于三分之一， x 减一。这个是这道题的一个标准常规做法，里面蕴含了咱们中考里非常重要的四十五度角构造。那大家还知道其他的更快的模型去处理他吗？可以扣在评论区啊。

武汉中考压轴二次函数几何中和点坐标问题四步骤好，我们来看圈二图。图二，若点滴在抛物线上且平行四边形 ac 比一的面积是十二，求点一的坐标，那这类题呢，都含有通用的几步 一，设设出所求点或者是和所求点有关联的点的函餐坐标。我们设点 e 的横坐标为 m， 那因为点 e 在抛物线上，所以说它的重坐标即为 m 的平方减一。 另外呢，我们在射出挖一轴正半轴上的点，点 c 的坐标为零度 m。 第二步，消参。因为此时我们射出了两个位置参数 m 和 m， 因此我们就要找到相关条件来建立 m 和 m 之间的等量关系，从而把 m 用含有 m 的代数式给表达掉。在这一问中，我们先用圈 两组零点间横中坐标之差相等的方法，把点滴的坐标用含有参数 m 和 m 的代数式给表示出来，再带入到抛物线的解析适中，从而来建立 m 和 m 的等量关系。然后把 m 用含参数 m 的代数式表达掉。 经上述方法我们可以得到 m 是等于二 m 加一的，所以点 c 的坐标零豆 m 就可以写为零豆二 m 加一。 第三步，把接下来解题中所需要的几个条件量都用只含有参数 and 代数式给表示出来。最后第四步，就是通过题目中的条件及几何性质建立一个关于 and 的方程。 因为在这一道题中告诉我们，平行四边形 a， c， d， e 的面积是等于十二的，所以我们就用这一个条件来列方程。那要表达平行四边形 a， c， d， e 的途径有好几条， 我们可以连接 c， e， 那三角形 a， e， c 面积的两倍，即为平行四边形 a， c， d， e 的面积，也就是等于十二的。而求三角形 a、 e、 c 的面积，我们可以使用千锤法，就是千锤高和水平宽的乘积的一半，也就是图中 c、 f 和点 e 与点 a 横坐标之差的乘积的一半。 而在求 c、 f 的长度时，我们需要利用带定系数法，先求出 a、 e 还有参数 n 的解析式，再求出点 f 的含餐坐标。这样我们可以得到三角形 a、 e、 c 它的千锤高 c， f 为 n 加二，而水平宽是 n 加一， 那么两倍的三角形 a， e， c 的面积就等于二乘以二分之一乘以 m 加二的和，再乘以 m 加一的和，也就是等于平行四边形 a、 c 比一的面积，那么就是等于十二。 由此我们就得到了一个关于 m 的二元一次方程。又因为点 e 是在 y 轴的右侧，所以解得 m 的正值是等于二的。把 m 等于二，带入到点 e 的含餐坐标，就可以求得点 e 的坐标为二斗三。总结一下。

好，同学们好，这一节课呢，我们来看这道中考数学的几何压轴小题，那么这道题目呢，对于呃一部分同学来说还是有一点小难度的，我们下面呢，就一起做一下。 如图，在三角形 abc 中角 bac 等于九十度点， d 是 bc 的终点， 那 d 是斜边终点的话，就是我们可以得到 bd 等于 dc 点 mn 分别在 ab 和 ac 上，并且 bm 等于 bdcn 等于 cd。 好，我们来看一下， bm 等于 bdcn 等于 cd， 也就是说这是两个等腰三角形，这四条线段他全部相等，都等于斜边的一半。那么第二点感觉什么呢？就这个图他看起来呢， 有一点像等腰直角三角形，那么如果是等腰直角三角形，这两个三角形他就完全一样了，简单的说就是全等三角形是吧？好，但是这里面我们要注意点，这只是我们的感觉，他题目当中并没有告诉我们是等腰，所以一定要小心。求证后面， 若 dm 等于二倍跟二，这个长度呢，是二倍，根号二， dn 长度是三，求 bc 的长度，最终让我们求斜边长度。 那么求长度的话，我们还是要去利用相似三角形，或者构造直角三角形，利用勾股定理，目前这里面呢，它不太好求，那我们就先从条件出发，看看能得到什么。先从这两个等腰开始出发。 等腰的话呢，我们可以先从角度去入手，这个角 b 呢，我们给他标个阿法，好，这个 c 呢，标个贝塔，这里面呢，我们就可以得到阿法加上角贝塔等于九十度， 这个等腰呢，这两个底角相等，我们都标为一，同理，这边呢，他也相等标为角二，如果阿法家背道是九十度，我们又可以得到二倍的角一加二倍的角二，我们想一下这是多少？应该是二百七十度，三百六减九十是吧？ 那么我们就可以继续得到角一加角二是一百三十五度，如果得到一加二是一百三十五度，我们就可以静雅得到这个角角 mdn， 他等于四 四十五度。好，这是角度上的结论。那么当我们得到这个四十五度角，我们知道他的处理方法还是有很多的，是吧？具体目前应该怎么操作呢，我们还不清楚，先放在这里好，这是这样一个条件的运用， 那么还有什么条件呢？他还有一个关键性的条件，就是这个终点，那这个终点又应该怎么用呢？他是直角三角形斜边的终点，所以我们可以想，如果连接 ad， 这个 ad 也等于 bd 是吧？ 但是如果连了 ad 之后呢，我们会发现他把这个四十五度角不规则的分割了，那么这样的话呢，对于我们后期利用这个四十五度角可能不方便，所以我们先不连，那么除此之外，他还能怎么用呢？最常见的方法呢？就是 背长中线是吧？构造全能。好，那下面呢，我们就先这样去试一下。呃，我们选择 md 去背长， 那么构到全等辅助线呢，应该这样延长 md 到一点，使得这个 dg 呢等于 md， 这就是备长中叶是吧？连接 ec， 那么这两个三角形就全等了，就是三角形 bmd， 他应该是全等于三角形 c， e， d 边角边 sas 全等之后呢，我们就可以得到 bm 等于 ec， 那么并且这个角 b 这个阿法，这个地方也是阿法，如果这是阿法，那我们知道阿法加倍的是九十度，所以可以得到这是一个直角 啊。又因为 n c 等于 e c， 所以如果连接 n e， 他还是一个等腰直角，是吧？我们连一下。呃，最终呢，让我们求的是 b c， 我们知道只要求助 n c 或者 e c 就可以了，这个我们可以设为 x， 因为这是个等腰直角， 所以呢，这个 n 系的长度要求出来也可以，他是他们的根号二倍，是吧？根号二 x， n 系怎么求呢？我们可以去构造一个直角三角形，现在呢，我们再用这个四十五度角过 n 点向 md 做一个垂线， 那这样的话呢，这个直角三角形他就出来了。好，这个呢，我们选择 f 斜边， dn 是三，所以 fn 等于 fd， 我们简单写一下， f， fn 等于 fd， 应该是二分之三倍，根号二，对吧？ 二分之三倍更换啊，那这个地方呢，他也是二分之三倍更换啊。 d 系等于 dm， 这是二倍更换啊。那两条直角边都知道了，只有斜边了，我们直接利用勾股定理就可以求助 n 系。 n 系等于根号下， 呃，他的平方，我们直接写，应该是四分之十八，是吧？加上一个二分之三倍更二，加上二倍更二，应该是二分之七倍更二， 那应该是四分之七倍，高啊，应该是四十九乘以二，应该是九十八，所以呢，应该是根号下四分之 呃，九十八加十八，应该是一百一十六，那这个呢，我们化解一下，他就等于应该除以四正正，好的是二四得八二十九。 好，那么 n e 求出来呢？我们就可以求出 x， 它就等于呃根号二十九，除以根号二十八，也就是二分之根号五十八，那么所以 bc 应该是二 x 就是根号五十八 啊，最终结果呢，这个是根号五十八。所以这一题的整体构造呢？啊，其实呢，后面呢倒不算的，他的主要一点就是要导出这个四十五度角，这个呢地方是一个观念，当然呢，他应该还有其他的做法，同学们自己呢再去尝试一下。这节课我们就讲到这里。

这个视频为师要跟你讲一道与相似有关的几何综合题。相似是初中数学中的一个难点，相比于全等，相似往往更隐蔽，考察的方式也更灵活。下面就来看一个例子。 这是安徽省的一道中考题，如图，一支四边形 a、 b， c， d， e 是 a、 b 的终点， e、 g 垂直 a， d， f 是 c、 d 的终点， f、 g 垂直 c d。 角 a， g， d 等于角 b、 g、 c 条件就这些，咱先看第一问，求证， a、 d 等于 b、 c。 下面就来分析一下， e 是 ab 的终点， eg 还垂直 ab， 所以 eg 是 ab 的垂直平分线。看到垂直平分线，你会想到什么呢？对了， ga 会等于 gb。 接着分析， f 是 c、 d 的终点， f、 g 垂直 c、 d， 那 f、 g 就是 c、 d 的垂直平分线，这样一来， g、 d 就等于 g、 c。 好了，观察一下这两三角形，这两边相等，这两角相等，这两边也相等，那这两三角形是什么关系呢？ 嘿嘿，利用边角边可以判定这俩是全等的，有了全等， a、 d 就等于 pc。 那第一问咱们就搞定啦！再来看第二问球正三角形 a、 g、 d 相似于三角形 e、 g、 f。 对应导图中就是这俩相似。观察一下这俩三角形，他们其实是一种类似于旋转的关系。 对于这种旋转相似，你还有印象吗？我看有些同学有点迷茫，为师还是帮你回 回顾一下吧。旋转相似模型其实就是这样的，如果三角形 abc 和三角形 abd 相似，那三角形 ace 也和三角形 abd 相似。当然，反过来也是成立的一支 abd 和 ace 相似，也能得到 abc 和 ade 相似。 这个模型的证明老师就不细说了，如果你不记得了，就去看看之前的视频吧。好了，明白了这个，我们再来看这道题。 你看，这是个旋转相似模型，现在要正这俩瘦瘦的三角形相似，那就可以先正这俩直角三角形相似。 不难发现， a、 g 其实是 a、 b、 g 的一半， d、 f、 g 是 d、 c、 g 的一半，那就可以先证这俩相似。他们相似好挣吗？挺好挣的，你看， 这也是个旋转相似模型，这俩扁扁的三角形全等，而全等其实是一种特殊的相似，所以这俩等腰也相似。好了，有这俩等腰相似，就能得到这俩直向三角形相似，进而可以得到三角形 ajd 相似于三角形 e、 g、 f。 好了，明白了这个题的解题思路，咱们还得再把细节来落实一下，毕竟考试的时候不能这么写啊。 先看这俩等腰怎么证明他俩相似呢？这个简单，我就直接说了，已知这俩小相等，所以叫 a、 g、 b 等于叫 d、 g、 c。 另外， a、 g、 b、 d、 g 显然是等于 b g、 b、 c、 g 的，所以这俩等腰相似。既然这俩等腰相似，那这俩直角三角形也相似。证明同样 很简单，首先这俩直角相等，其次这俩角也相等，所以他们就相似了。有了这个，再来看这俩瘦瘦的三角形，怎么证明他们相似呢？ 这种旋转相似的证明是有套路的。首先有角 a、 g、 e 等于角 d、 g、 f。 可得角 a、 g、 d 等于角 e、 g、 f。 另外，刚才已经说明了这俩直角三角形相似，所以 a、 g、 b、 e、 g 显然等于 d、 g、 b、 f、 g。 有了这些三角形就相似了。搞定 好了，最后来总结一下这题其实就是考察旋转相似，这个图中有两个旋转相似模型。首先看这个图，这是个旋转相似模型，由这俩全能可以证明这俩等芽哦相似， 进而证明这俩直角三角形相似。然后看这个，这也是个旋转相似模型，由这俩相似就能证明这俩相似。怎么样，明白了吧？明白的话就赶紧刷题去吧！

ok， 大家看着这道题哈，这道题呢，是一个相似里的问题，我跟你说，如果遇到几何综合题，条件越少，题目越难， 如果你的题目一大堆的话，那太简单了，你随便用几个，没准题目就出来了。你看这个问题，他说如果已经知道 a 乘以一个 bf， 他就等于二倍的 af 和你的 d e 的乘积，那么他求证 b， d 等于 d c。 哎呦，就这么点东西 干嘛呀这是？这有同学读完那题目之后跟没读一样，这啥呀，这是对不对？根本不会，这是正常反应，没啥好。这个不好意思的，关键问题是你得学呀， 你这个读一眼不知道，你总得变吧，你不变的话，那这个题目更没戏了。那怎么变？在所有的题目中，一定要牢牢记住了，只要遇到线段的成 或者线段的比例一定有相似，关键是你怎么去找？比如说你在这里边，我给的条件就这么一个，你能把它变成啥样？ 那最多也就变成个比例的关系，对不对？那我表演一下，那么这个东西如果要变的话，我把它除一个 d， 除一个 bf， 那你发现 a 比 be 就等于二倍的 af 比成 bf， 就变了个比例。那变完之后， 你有没有感觉豁然开朗？你看，有的人说这哪开朗了，这什么也没看出来呀，你看你的 a e 在这，你的 d， e 在这。哇，求他俩的比例关系。这啥呀， 那我再给你来一个，如果我在这个地方给你画一个，看出来了吗？ 还没看出来，尴尬了。那这个东西实际上就是我们在课上说的箭勺 golo， 这不就像个勺吗？对不对？只不过画的稍微丑一点，那么唯一需要干的就是你在这做个平行构构，成个 lo 不就完了吗？所以箭勺 golo 在相似里边一个巧妙的应用， 那么怎么够让我过你的 d 在这里边做一个 d g 平行于 a f， 那么平行了之后你就会发现，按照平行的八字，你的 a e 比上 e d 就等于 a f 比上 g d， 那你做到这有没有发现，左边一模一样，那右边肯定相等，那如果右边相等，我们写下来，你看 b f 分之二倍的 a f 等于 g d 分之 a f， a f 都是一样的抹的呀，二除以他等于他分之一，那我换个顺序的话，不就可以得到你的 g d 比上 b f 就得一比二完事了，你看 你的 g d 比上 b f 等于一比二，它俩之间又是平行的，那平行线分线段成比例，那不就出来了吗？你的 d 肯定是个重点，你的 b d 等于 c d 完事了，看明白了这一步了吗？所以在做题的过程里边，一定要注意如何去做有效的变化，你看明白了吗？

今年的武汉中考数学卷，有不少同学说挺简单的，也有一部分同学说挺难的，我们来看一下他的倒数第二题，几何大题，来看一下他到底难不难啊。这个题目有个特点啊，一个套路用了三遍， 只要用到熟练的话，这一个题目的三个小问都可以用同一套路解决啊。我们现在看低温啊，低温说 a， b 等于 c， d 是 a， c 的终点， d， b 等于 d 一啊， 第一， b 等于 d， 第一是终点，并且这个角是六十度， ab 等于 c。 现在求 af 比上 ab 啊， af 比上 ab 啊，如何求他们的笔直呢？如果这个不会求，我们把它转换一下啊，求 af 比上 bf， 这个求出来了，就相当于这个求出来了。那如何求这一个呢？这个比这个很容易联想到两种方式啊，一种方式找相似三角形， 一种方式做平行。我们过 a 做一条平行线， 然后延长交平线于 m 点吧。那么 af 比上 bf 就等于 mf 比上 ef 也等于 a， m， b 上 b 啊，而 a、 m 的值刚好等于 c， 因为 d 是终点呀。这两天平行可以很容易证明，三角形 a、 d、 m 全等于三角形 c， d， e 啊，角相等， 边相等，脚相等，脚相等，两脚加一边，两个三角形全等，大家可以自行证明一下。也就是说，我们现在要求的是 amb 上 b， 而 am 是等于一 c 的要求。一 c 比上 b， 一现在就完全转化成这个三角形里面的各种关系了。一 c 比上 b 一等于多少呢？ 这个是六十度， ab 等于 ac， 他这个等边是鸟形呀，这是终点垂直平分底边，所以这个角度是三十度啊，这个角度六十度，第一等于 bd， 那么这个是三十度，这个也是三十度啊，六十度 减这个三十度等于三十度。在这个前提之下，我们可以假设 bc 尝试二，那么 cd 长九十一， c 一长也是一啊，而一 c 除以 b 就是一，除以二加一等于一除以三。也就是说求出了 af 比上 bf， 而 af 比上 ab 是等于 a f， b 上 a， f 加上 b f 的，它是等于一比上四的。通过这个条件啊， 把 af 等于三 bf 带入其中，就可以求出四分之一啊，这是低温啊，比较简单。做了一条平行线，再看第二问啊，第二问说，我们不知道这个角度 a 等多少， 但是还是要求 afb 上 ab 啊，该如何求呢？大家可以暂停挑战一下，实际上还是用一模一样的方法做平行延长 找 m 点，那么可以很容易证明，三角形 a， d， m 全等于三角形 c， d， e， e， c 就等于 a m。 我们要求的是 a f 除以 a b， 可以转化成去求 a f b f， 而 f b f 根据平行线的特点啊，它是等于 a m b 上 b 等于 c b 上 b 啊，还是求 cbb？ 刚刚我们用垂直的方法求出 cd 长，然后他等于 cd 长啊，现在该怎么求呢？注意啊，地点是终点，围绕终点，我们可以做平行线，找到另外一个终点啊，过低做 ab 的平行线，找到另外一个终点击。 那么 g c 长度是一的话， b g 的长度也是一啊。而我们知道 b、 d 是等于 d e 的啊， b， d 等于 d， 这两个角相等， 角 db 一等于角 d 一 b， 而且这两个边相等啊，而且 d、 g 是平行于 ab， 并且等于 ab 的一半的啊， 他是等于 dc 的，也就是这两个角相等啊，这个角是这个角加这个角的外角，这是角二吧， 那么这个角也是角二，可以推出角 gdb 等于角 c。 第一啊，两个角相等，他们所夹的边也一样，就可以证明三角形 b d g 全等于三角形 e d c 啊，也就证明了 e c 是等于 d b g 的啊。 e c 等于 b g， 那么 e c 长也是一 得出一十一长等于一，那么一十一除以 b 一就是一除以一加二等于三分之一啊。同样的，按照相同的方法求出 af 比上 ab 是 一比四，也就是说这个跟第一问好像没有什么区别啊。再来看第三问啊，第三问，同样是 a b 等于 s 一，第一是 ac 终点 d g 等于 d 一啊，这个 g 是 b c 上的点啊。这个时候稍微改变了一下，现在知道 c g 比上这个整体的 b c 是等于一，比 n 的 n 小于二， 那求 afb 上 ab 等于多少啊？实际上，这个题目用了同样的方法，大家可以暂停挑战一下，我们呢，直接分享他的做法还是做平行线？ 要求 af 比上 ab， 就相当于去求 af 比上 bf， 而 f 比上 bf 是等于 am b 上 b 的，而 am 长是 e c 长啊， e c 比上 b， 现在我们还是得求助 ec 长比上 b 一长能多少？如何求 e c 长呢？ 一是谁决定的？一 c 是 bc 的延长线决定的还是基地决定的啊？基地的长度为半径。第一点，我原先画个圆教他的延长线与一点啊。有了这两个限制，我们再来看该如何解决这个问题啊？还是做平行线。 假设 g 点为 m， dm 平于 ab， 那么 m 是 bc 终点，并且 dm 长等于二分之一， ab 等于 dc 啊，这个角等于这个角，同里啊， dg 等于 d， 这个角等于这个角啊，就得出这个角三等于这个角三啊，他们俩是一样的啊，因为外角一样，内角有一个一样，这个角就一样啊。同样的方法可以证明，三角形 dgm 全等于三角形 e d c 啊， 三角形全等之后，我们就可以知道 g m 长等于一十一长啊，我们把 g m 长求出来就行了啊。而 c m 长，我们假设是一， b m 长就是一啊，那么 b c 长是二， c 机长就是 n 分之二，他减去一就是 g m 长，知道 g m 长了，就相当于知道 e c 长啊， 把一 c 长求出来了，我们再来看 b 一长，他是二，加上这个一 c 长二减除元等于 n 加二除元，那么 e c 比上 b 就求出来了啊， e c b 上 b 等于二减除，以二加 n。 好的同学就错在这里啊，明明之前都会都对啊， 然后上到这里就豁然开朗，觉得这是正确答案。这里求出的是 ec bbe 啊，也就是 a f b b f 啊，你真相还差一步，我们要求的是 a f b a b 啊， a f b a b， 它等于 a f 比上 a f 加上 b f， 我们通过这个把它带入得到，他是二减除以四的。 所以说相同的方法，这个题目用了三遍啊，都是各要平行，平行，然后求出答案。所以说，如果能够解决第一问的话，这个题目应该没什么问题啊。 ok， 更多的有趣的税问题，可以翻看我的合集和订阅我的账单，关注网上学习，变得更有趣的。

来，今天咱们来看一道特别特别好的几何综合题，这道题目作为考试中一道性价比 极低的压轴题再合适不过了。告诉我们，三角形 a、 c、 b 中角 a、 c、 b 是九十度， b、 c 的值呢？等于三，同时告诉我们点 d 是 a、 b 的终点，那么我们当然就知道 d、 a 等于 d， b 当然等于 d、 c。 同时也告诉我们角、 b 的余弦值是一比三，说明 b、 c 比上 a、 b 不就是一比三吗？那么 a、 b 的长度也知道了，一定是九，又是直角三角形，那 a、 c 咱们当然也能算，通过勾股定律可以算出来， a、 c 就等于六倍根号二。 又告诉我们了 d、 b、 c 和 d、 e、 c 是关于 d、 c 对称的，那么 d、 e 和 d、 b 当然 也相等，最终让我们求的是 a、 e 的长度。要想求 a、 e 的长度，我们应该把它放在一个特殊的三角形或者四边形中来进行处理。 我们又知道了 d、 e 等于 a， d 等于 d、 b。 如果咱们连接 e、 b 的话，你会发现此时 三角形 a、 e、 b 中 e、 d 作为某条边的中线，等于这条边的一半，那么通过直角三角形中斜边中线的逆定理，我们当然可以知道 a、 e、 b 一定是个九十度啦。 要想求 a、 e、 a、 b 已经知道了，咱知道 b、 e 不就完事了吗？我们知道了 d、 b、 c 和 d、 c 是关于 d、 c 对称的，说明 e、 b 和 d、 c 一定 垂直，那么在四边形 d、 e、 c、 b 中，对角线互相垂直了，它的面积一定能够表达，那么这个面积就是二分之一倍的 b、 e 再乘上一个 c、 d 嘛。 同时我们要知道 d、 e、 c、 b 的面积一定是三角形 d、 c、 b 面积的二倍，而同时 a、 c、 b 这个三角形的面积 也是 d、 c、 b 面积的二倍。 a， c， b 的面积不就是二分之一倍的 b， c 再乘上一个 a， c 吗？在这个等式中，我们会发现，我们已经知道了 c d 的长度二分之九，我们也知道了 b、 c 和 a、 c 的长度，那么 b、 e 当然能算 最终解除的 b， e 的值，他就等于四倍。根号二，在结合 a b、 e 这个三角形中，用勾股定理当然就可以求出 a e 的值了。 a， e 最终等于七，大家听懂了吗小哥？

大家好，最近我们讲一道非常难的中考数学压轴题，真的很难啊，这个是哪一年呢？是二零一七年安徽的中考压轴题最后一道。那放到最后一题肯定是要作为区分的，肯定是挺难的，对吧？他主要考成了哪几个呢？当然除了这几个，还有一个 是非常常见的正方形礼盒的双垂直模型，当然有的老师也把它叫做十字架模型，都可以啊，还有什么？还有相似模型中的其他，比如说相似笔啊，还有个什么东西啊？当然还有相似模型啊，那么 还有什么呢？还有个黄金分割，黄金分割的话，很多同学他记得都是这样一个零点六一八，我明确告诉大家，零点六一八不是黄金分割，他只是黄金分割这样一个比例的进四制，真正准确的黄金分割比应该是二分之一，根号五减一。那好了，这几个模型我们先复习一下啊，来看吧。这个什么叫双垂的模型呢？双垂的模型就是其实 一般情况下指的是这样，在正方形对边上有两个点，一个点是点 a， 一个点是点 b， 一个点是点 c， 一个点是点 d， 只要有这样一个垂直，就一定能够推出来，此时 a b 是等于 c、 d 的，那么咱们推一下吧，看上面 讲一个图啊，他会先告诉你啊，这样他现在是互相垂直。那既然垂直的话，我们现在倒角是非常容易，为什么要倒角？正方形里头是不是非常多的九十度啊？你垂直这样的一个条件是不是都是九十度？既然这么多九十度，我们倒角的时候用护鱼的关系来倒角，就是我这样标圈叉等于九十度，这样标，这个肯定能跟上我的节奏。那好了， 我这标签。这为什么标签？直接说护鱼关系呗，你在直角三角形 ab 这种两个锐角当然护鱼了。哎，这两个圈叉为什么护鱼正方形的那一角呢？那再继续吧。这两个圈叉为什么护鱼啊？因为在直角三角形 b、 c、 f 中，你两个锐角当然也忽悠护鱼了，对吧？那好了，那现在推出来这些角以后的话，我还要推一个，你别忘了有一个条件正好 指脚，对吧？就是说两条线段 bf 和 a e 是垂直的，那这个位置为什么能标 x 啊？因为这个圈和 x 是在小的直角三角形 b 之一中，所以两个是角以后于那倒完这些角以后，我们把对我证明这个结论有用的这个角度调一下啊，都放下，这两个叉相等，对吧？那他都倒出来了，两个叉也相等的啊。当然了，也可以用四边形的，内角和导都可以的啊。你比如说在这样的四边 三角红色的四边形里头，内角和本来是多少度啊？好像三百六十度吧。你两个直角的话，就已经四点固圆了，四点固圆的话，那根据圆那些四边形的性质，它的内角挡当然等于外对角，怎么倒都能倒出来的啊。这就不多说了，那继续来看，怎么倒相等呢？也就是 a e 等于 b 啊，会怎么正呢？全等就可以了。三角形 a， b， e 肯定是全等于三角形 a、 b 一。那应该是 b， c， f 了。哪个看见店里咱说一下。首先你看直角等于直角，没得说吧，直角，然后角稍微等于角，差两个角相等吧。那这两组边形不相等啊。那 b c 和 a b 这两个直角边当然也相等，所以根据咱们这个标法的话，是九角边就结束了。那既然全能的话，所以你说此时这个 a e 斜边等等 写本笔啊，不，当然等于了，就不多说了啊，就这么个意思。一个是双腿模型，那这道题还考察了相似的其中一个很重要的模型，这个模型的话，其实是什么呢？先告诉你 a c 是平行的，他得先告诉你 a 是平行于 e b 好了，过了交点点，又出现了另外一条线，那么此时有几个八字呢？一一组八字，两组八个字，然后 大的三角形也是一组八字，其实一共有三组八字，平行八字肯定是要出相字模型了，对吧？出相似，那什么叫左笔右等于右鼻左呢？根据这样一个平行都是通过相似导出来的。同学们看好了，一和二这两个三角形，我就剪写了，知道我的意思就行了。既然一和二这两个三角形相似的话，那我是不是可以写这个 b c 比上 e f 相似于水啊？相似于啊，应该是等于啊，这笔值 b c 比上芽等于 b j 比上之一，这是没问题的。那继续看，这个三和四是不是也相似啊？那加上三和四也相似的话，同样写谁比谁，跟谁比谁。那当然是上面这样一个 a b 以上 e d 等于谁闭嘴啊，那当然也等于对应别人塌闭状态了，对吧？还是闭嘴闭上之一。那既然这个笔直相等的话，我这下面没地方了，我直接写到右边了，那右边是不是就可以退出来？你既然等号右边都是 b j， 这意，那等号的连续性吗？对吧？等值的传递性。那我们直接写这个 b c 比上 b f b c 啊，等于 a b 比上 e d 连起来了。 那但是现在的话，好像我想得的不是这个结论，我们换一个比值关系。换一个什么比值关系呢？换成分子比分子等于分母，比分母只是更比性质啊，比性质比较，更比性质。分子比分子不就相当于 b c 比上 a b 等于 分母，比上分母依然会比上 a b 吗？你看现在看好了， b c 比上 a b 等不等于，这是右鼻左等于左比右吧，这不就完了吗？等于一眼安抚 上一的。这就是这样一个交叉八字，这样一个相似模型出来的结论。你看右鼻左等于左鼻右，一定换一下顺序啊，出现这样一个模型，这是第二个相似模型，相信大家都已经懂了啊。我直接讲最后一个黄金分割，同学们不要再记这样一个黄金分割什么东西了，不要 再记这个零点六一八了，请你们记他准确的值。黄金分割的值是二分之一，根号五减一。为什么？因为去年，还有前年这两年不仅就全国各省各地这个中考就要高考卷，我都看他不仅中考里头考这样一个黄金分割，考这样一个黄金比例，然后高考里边去年的全国卷好像也考了吧。所以你还是要记住这样一个准确的值，以后就不要再进行零点六一八了。那关 关键这个二分之一和五减一是怎么比出来的呢？这个是一个希腊字母，我读作英雄。我们假设这个比较短的这一段等于 x， 嗯，然后比较长的这一段的话就等于一，这可以拿你可以假设为一，假设为一的话，最后计算的时候更方便一些，当然你假设比例也行， 然后总长度的话，那是不是就一加 s？ 黄金分割的定义就是通过一段线段 s 比上一，你看短的比长的等于长的比上总的，显然此时是一比较长，对吧？ 然后你看画成这样一个什么长势的方程的形式啊，这就不要画分式方程了， x 方加 s 等于一，然后我把这个副一呢移过来，最终的话就会求出来两个值，我们去掉那个副号，因为你这个两个正处相比，怎么可能比出来一个副数呢，对吧？我们去掉那个副根，所以最终求出来就是二分之根号五减一了。有人要说，老师你算的这 x 的长度没有比值啊，哎呀， 真是太年轻了，这个 x 就相当于 x 比一，不就是短的比较长的这样一个笔直吗？所以黄金分割黄金比例就是二分之一。那现在复习完了这三个模型之后的话，再来做安徽中考的这个题，就不能说是特别难了啊，来看，先读题吧。 看啊，已知正方形 a、 b、 c、 d 中 m 点是个终点，这个还挺重要的，他记住 m 点是 a、 b 边上的一个终点。那么继续来看看什么哦，他给了一个 a j b 等于九十度，然后延长 a j b j， 反正是三线交易，他一个点呗，对吧？然后 a j b 等于九十。那我标一下 a j b 不就是 这个角呢？他写的这个角，那你倒过来，不就相当于这样一个垂直，你看是不是两条线互相垂直了，然后接下来再证明这个圈呢？我就不再正了啊，因为已经相当于刚才我已经说完的这样一个双垂直的模型了。一模一样，我就不多说了。那好，肯定，经过刚才的分析，它是可以正出来三角形 a， b、 e， 就这样一个红色的直角三角形，它是全等于谁？全等于 b c、 f 这样一个三角形的，那我就直接写了 a， b， e 全等于三角形 b， c、 f。 刚才我们是通过角角边，现在也标一下吧。 那现在我就直接说说了，完了第一问不就得证了吗？所以说第一问他这个 b e 就等于 cf， 这有什么好说的呢？第一问解决了，就一个十字架模型，就一个双腿模型，主要来看第二问，二，从这个圈开始就麻烦了。这个圈是什么东西啊？我一开 看的时候，哎呀，其实我看他是一眼我就看出来了，毕竟交这么多年书了。但是很多同学他一眼看到，说他说，老师，这是什么东西啊，我都不知道他在说什么。记住了，如果是四条线段这样类似的成绩关系，同学们转换成笔直的关系，很可能考察的是相似哦。看了 b e 笔上 b c， 我可能笔直了啊，等于 c， e 笔上 b e， c e 是不是短的呀？你看看短的 比上长的，这不就是短的比上长了吗？你有啥说的呢？然后等于长的，你看第一是比较长的那个比上总长度，总长度 b c 也就正方形边上不就是，呃，总长度吗？其实它这个笔直最后算出来肯定是二分之根号二减一的，二分之根号五减一的，这就是黄金比。但是对于我们正面这个括号一第二个结论的话，是没有什么帮助的，主要是对括号二还是有帮助，我们还是先解决括号一，暂时就知道这个东西就行了。那 正式来看吧，这个括号一他问的是什么东西啊？他让你正眼这个结论，对吧？正面这个结论的话，怎么正呢？这个终点这个条件我还没用过啊。那就用读完题之后，你发现题目中最多的条件是什么？最多的条件，最多的，最多的条件肯定是九十度啊，因为正儿八 一定要四个九十度，你看，又改了一个九十度，其实这四个角度都是九十度啊。那既然有九十度还有终点的话，我们现在就出那九十度，是不是要出什么东西啊？九十度，我们早早的时候到这个圈和叉啊。当然啦，这个终点可以告诉我们什么 两边是终点，在这样一个红色的直角三角形中，斜边中线等于斜面一半吧，其实也就是 m j， m a， m b 是相等的，我就不多说了啊，你知道是怎么正出来的，考试时候你会写过程就行了。 m a 等于 m b 等于 m j。 这个是通过斜纹中线等于斜面一半，在直角形状相中，通过这样一个定理说出来的。那好，现在我们直接倒角了，我标这个圈圈了啊，来，跟上我的节奏。这个是圈，这个为什么圈啊？说过了，因为 m 等于 m c。 嗯，这个为什么是叉呢？因为这两个圈叉是直角，三角形，两个锐角当然互娱了。嗯，那继续吧。嗯，这两条边也就是 m 这种 am e， 对吧？所以这个时候也应该标叉啊。 那继续标，多标几个也不碍事了啊。那叉继续我就不多说了，我就直接标了叉呀，哎。然后再继续这个，这个位置好像也应该标圈，那这个就是叉，然后这个就是再继续标了啊。嗯，哎，这两个对顶角是不是相拿 这个题比较差？其实你倒完这么多角以后的话，你可以直接倒上面这个角啊，你标出来肯定是没有错的，因为一开始你不知道这个题最重要考察的是哪个点。你可以把所有的这个角呢护于的角都标出来，反正不是圈就是叉，不是圈就是叉。现在我们倒出来这两个叉，是将脑门的互余关系导出来的。导出来这个，此时我标出来的角一角二吧。哎，角一等于角二， 能够推出什么有用的结论来？那不就推出来了， cf 等于四 g 吗？嗯，有什么用呢？来，同学们，请告诉我。这个圈一圈他肯定是有联系的吧。 cf 还等于 cc f 还等于 b e 啊，同志啊，所以我们再连上这个 b e， 那既然 c f 等于 b 一等于 c j， 他俩是不是相等的呀？你看他最终让你证明的是什么东西？本来说他让你证明的是 b e 的平方等于 c b 乘 c e， 对吧？那我现在写，我写上什么形式？ b e， 我就改成 c j 了啊。你看 它，其实 b e 相当的 b 一方形呢。 a 四 a 制的平方等于互换一种写法，它写 b 四，我偏偏要写 c b， 为什么呢？哈哈，这不就是公边共角形的这样一个成绩的非常常用的结论吗？如果你还看不出来的话，那就证明你这个相似学的太差劲了啊。我直接写了，写成别的关系，谁 都能看出来了。 c z 比上 c b 等于 c e 比上 c z， 是不是啊？那现在看好了， c e 比上 c j 等于 c j 比上 b。 哎呦，我的天呐，他想说的是什么呀？再加上脚一等于脚心的，还是比较脚三吧。刚才脚一标过了，脚 三等于角三吧。你看在三角形 c 这一和谁中，直接说在三角形 c 这一，还有三角形 c b 这种。你看两组角相等吧，因为角三是个公用角吗？两个角相等且对应变成比例，所以我们直接写相似数就可以了，谁和谁 c 这一和谁 c b， 这好，但是其实刚才我们分析的是什么？是根据这样一个 结论反过来推的对吧？但是写过程你总不能这么写吧？写过你得正着来，反正现在我们目的已经非常非常明确了，我们的目标就是证明这样一个相似。那好说，那剩下的我就擦掉了啊。这个相似很好找，刚才倒角这个肯定也是圈吧，因为这个位置标的圈，我们这个位置也是圈，是不是？然后这是叉，这是圈。哎，这俩圈和叉为什么护鱼啊？正方形的姓是吧， 拿出来不就完了吗？那还有什么可说的吗？现在四十角，一角二角三不就完了吗？在两个三角形中，角一等于角一角二等于角三。直接说了，这个是倒角，可以倒出来的，所以三角形 c z e 相似于三角形 c b j。 那出来，这不就出来一个相似笔吗？ c e c j c b 不多说了，其实也就相当于 c z 的平方等于 c， b 乘 c e。 但是最终的问题，他是不是说的 b e 啊？刚才我们已经证明，我们要通过倒角，这个 c d 和 b 就相当，那 c 这和 b 就相当的话，我们直接把这个 c 这已经正完了， c 这改成这个 b 一就行了。所以 b 一方等于 b， c 乘 c， 正完了，多简单呢。是不是这样用了这样一个相似名儿？公平公正的相似，或者说字母形的相似。 好，继续来看第二问。嗯，第一问呢，他是已知这样一个垂直，以至九十度来证明这样一个数量关系。第二个话呢，已知这样一个数量关系啊，对吧？也是这样一个数量关系。当然了，你通过读题你还是会发现的，这三条线呢，他还是交于同样 点缀的。那既然这样一个数量关系的成立的话，那反过来我们可以大胆猜想，肯定他还是垂直，对吧？垂直正这样一个数量关系，数量关系正加一个垂直。但是第二个你要注意啊，括号二， 他根本没有直接告诉你垂直，你需要正面垂直，这个没问题，但是我觉得好像别的方法更有效一些。你要正面垂直的话，需要用到什么东西呢？需要用到镜子在里头。一个没事定理了，当我画出这个，如果学过竞赛的同学对美甲 s 定里比较熟悉的话，其实已经知道我要讲什么东西了。对于这样的一样尾模型， c e 比上 e， b 乘 b， a 比上 am， 再乘 mg 比上 g， c 等于六一啊。其实每天要是定理的话，你用六个字就可以取了。步步全部。步步嘛，步步全。后边是三个步子啊，一共六个字，步步全部，步步。然后你看部分部， 你看到这个全部吧。嗯，然后又是个部分，然后又是个部分，又是个部分，你看 c e 是不是那个部分啊？然后 b 也是部分，部分，部分，然后接下来该全部了。从 b 绕过去，步步全部部，然后他们的成绩等于一，最终是可以证明出来这个点 g 究竟是几等分。给 通过点缀具体的确定了点缀的位置，然后再证明这个角是直角，然后剩下的就好说了。但是说这个好像这个方法有点不雅五的不是所有同学都学了这个梅尔斯定理都学数学竞赛，对吧。嗯，那这样吧，我们还是用中考的方法来证，咱们不用数学竞赛的方法。嗯，这样。嗯 嗯，怎么说呢，肯定知道他是九十度，那我们换个思路吧，已知他是终点，终点的话大家能想到什么呀？ m 点是 a b 的终点，可能你要这样说，他说老师啊，这个形象中的等于写了一半，想啥呢？人家没有告诉你垂直，你不能用其他东西啊。那有的朋友要说的是，既然 m 点是终点的话，我背乘中线，哎。延长 m c， 然后交，你又错了，知道为啥吗？ 原因很简单，人家几乎所有的一个条件都在右上角这一个位置呢，对不对？你看也是关系，然后你呢？你好家伙，你做辅助线往下做，那你不是离这个一个条件越来越远，建立不起来联系了吗？所以也不好怎么办 啊？好办呀，你往上延长不就完了吗？延长 b c， 延长 a e 交于 h 点，注意是延长以后相交的，对吧？做完这个辅助线了，那做完这个辅助线的话，你看，首先我们 有的就是这个 d c， 也或者说 d h 是平行，也可以 b 的。我一看到这个平行，我马上就想到刚刚复习完的这样一个相似八字模型了，这样一个相似八字门，绿的和绿的相似吧，不多说了，因为平行红的和红的相似吧，一眼平行，我想让你知道的结论是， h c 左比右，反正右 b 左吧， a 是 c 比上 c f， 你看右 b 左，那翻到下边是不是该对就比右边好？所以就等于 am 比上 b m 啊，这是个比，知谁呀？等于几比几等于一比一。为啥呀？因为 m 点人家说的是终点吗？所以说点 c 的是不是也是这个 f h 的终点优秀？所以现在我们得出来一个非常有意思的结论，这个 c f 呢？四等于是等于这个 c 是的 啥用我不知道，反正先放着的肯定是带有用处的啊。继续往下了，那现在的话，他让你证明是哪个让你求的是这样一个角，一角一的正切值是多少？角一的正切值不就是 f c 比上 b c 吗？你可以从这个角度来考虑，对吗？其实就是让你求这样一个 f c 比上 b c 的这样一个比值呢。嗯，好了，终点这个条件我们是不是已经用完了，该用这样一个比例的条件了吧，也就是这个数量， b 一方等于 b c 点成 c e。 这个具体要怎么操作呢？我再问一个问题啊，同学们。嗯，请大家告诉我，此时我画的红色的这两个三角形是否相似？肯定相似，不多说了啊，谁相似呢？三角形 e c h 相似于三角形 d b a， 它也是这样一个最简单的八字形的平行相似。那出现这个相似结论以后的话，你看，我肯定就要讲这个数量关系上去倒了 b 一方等于什么？什么？那就写呗。所以这个 c e 比上 b 就等于 c h 比上 a b 法都行。那写完这样一个比值，你看这样 边的笔直，肯定等于这两条边的笔直吗？这是相似的这样一个笔直的关系， c e 是就是谁啊？ c 是不就 c 啊？那你直接转换成 c f 得了，我就直接写成 cf 了。大家知道啊，你考的时候别这样剪，我就写啊，你写上 cf 过程，哎呦，我非常接近，最后剪过了，大家知道为什么吗？那直接写上重新关系好不好？ cf 成 e， e 等于谁？ a b 长 c e。 那那写到这之后的话，接下来看这个 a b 和这个数量关系 b c 是什么关系？ a b 就是 b c， 所以你画圈这样位置换成 b c 可以吗？这正方形 的性质啊，那我就直接把画圈就看一个位置画成 bc 了啊，直接画成 bc 就可以了。因为 a b 和 b c 是两个相等的吗？那好，化成 b c 了。哎哎，有种已经有有感觉了。你看，再继续来看已知条件，他写的是 b 一分，我写上 b 一长， b e 等于 b c 乘 c e， 你看，第一还是我们推出来的，第二还是你的条件。这个等式里头其他三个现在都相等，就差谁不相等啊。那你用等量代换，你也知道，所以谁能用谁。 所以事实上这个 b e 它是等于 cf 加，同志们，你想想是不是正出来了？最关键的已经正出来了，所以这道题其实已经解决了。所以现在让你记这个贪念的搅一，你应该应该知道怎么求了吧？其实这个贪念的搅一呢，它就是等于几的，它就是等于 cf 比上 bc。 写到这里应该又不清楚了， cf 是谁？ cf 转换成 b e， b e 比上 b c， 这 b 是啥东西啊？我再写一遍吗？这个，这个一个条件其实告诉你，它就是一个黄金比吗？你看 b e 比上 b c， 这不就是长的笔上总的等于什么？等于短的比上长的吗？这是这样一个转换成笔的关系以后，其实我括号依旧已经 多过这一点了，其实它就等于多少呢？我就不想起来正吗？你自己列一个关于 x 的方程就行了。你比如说假设，假设这个短的 c e 是 x， 它是一，然后总长度呢？总长度不就变成了这个 x 加一了吗？对吧？然后你自己做一下笔直，然后解一下关于 x 的方程，最后也会算出来这个二分之一，刚好五减一等，然后这道题就结束了。到这我们用了都用了什么知识点啊？倒角对吧？互于关系，倒角斜变中线等于斜面一半，是不是？然后 第一位的话是共鸣五角形的相似，第二位的话用了八字形的相似，附近有普普通通的八字，还有刚才什么八字，还有刚才这样一个左比右等于右比右鼻左这样一个八字的结论，还有什么？一开始的话，还有这样一个双腿或者说十字架的结论。这个题综合性很高，很多同学其实在读到这样一个 b 一方等于 b c 长 c e 这样一个数量关系之后，就不知道他究竟用的什么东西，所以忘了就放弃了。 其实你要对这些毛型掌握的非常熟练的话，这个体积做起来也就那么回事，但是这个思维量非常长，如果你忘了那么一点点东西，可能你就退不出来了。分享科技知识，感受数学之美。我是安徽老师，下期再见。