九上数学华师版三角函数单元测试卷

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三角函数解直角三角形，同学们，好，下面呢，我们来看一下这道题目。首先来看题目中所给到的条件，说是在一次这个救援过程中呢，这个 a 和 b 这两艘船同时接到某事故点 p 的 求助讯息，已知此时救助船 b 在 a 的 正北方向上，哎，在正北方向上， 然后事故于船 p 呢，它在救助船 a 的 北偏西三十度的方向上，也就是说我们可以得到这个角 b a p， 它是一个三十度。然后这个 渔船 p 呢，它在这个救助船 b 的 西南方向上，那涉及到西南方，我们要想到它所对应的这个角 pba 应该是多少呀？应该是四十五度，哎，然后说且事故渔船 p 与这个救助船 a 相距是一百二十海里，也就是说我们能得到 a p， 它的长度是一百二。第一问，让我们去求收到 求救讯息时，事故船 p 与救助船 b 之间的距离，也就是说需要去求一下 bp 之间的距离是多少。 那我们看一下这个图，它出现了三十度，又出现了四十五度，哎，那当出现三十度和四十五度的时候呢？我们要想到去给它构造什么呀？构造三角形，这样的话就可以出现两个特殊的三角形，哎，我们过点 p， 可以 去做这样一个 p c 垂直于 a b， 我 们会发现 此时上面的三角形 p b c， 它是一个等腰直角三角形，下面的三角形 p a c 呢，它是一个含三十度的直角三角形， 那根据三十度所对的直角边是斜边的一半，我们可以求出来 pc 的 长度而知道 bc 的 长度。然后利用三角函数，我们可以求出来这个 pb 的 距离，所以我们来看一下第一问啊，那首先就是我们需要做辅助线，做 pc 垂直于 ab 于点 c， 好，咱可以得到什么关系啊？可以得到两个直角，因为垂直所以九十度，所以这个角 pca， 它等于角， pcb 等于九十度。 又因为题目中告诉我们 p a， 它的长度是等于一百二，哎，然后角 p a， c 呢是三十度，这个角 c b， p 呢是四十五度。 然后我们看一下下面这个三角形啊，那就是因为角 c a， p 等于三十度， 角 p c a 呢等于九十度啊，它是一个三十度的直角三角形，所以咱可以得到这个三十度所对的直角边等于斜边的一半，也就能求出来这个 pc 的 长，它就是一个六十海里。然后紧接着我们因为这个角 pcb 等于九十度，角 cbp 等于四十五度，那我们可以利用正弦值，也就是说 c e 四十五度，它所对应的就是 pc 比上 pb， 哎，由此我们可以得到 pb， 它其实就等于 pc 比上 c e 四十五度等于六十， c e 四十五度是等于二分之根号二，由此可以求出来这个 pb 的 长度就是六十倍的根号二海里。 靠这第一问，然后来看一下第二问，第二问，说是求助船 a 和 b 分 别以四十海里每小时和三十海里的每小时的速度同时出发，那 a 呢？从他是从 a 到 p， 他的这个速度是四十海里每小时， 他的速度是四十海里每小时。从 b 到 p 呢，他是三十海里每小时。然后让我们看一下说是哪艘船可以先到达，那先到达的话，他肯定是用时比较短的，所以在这我们需要用到的这个关系式是时间等于路程除以速度。然后咱们对应来看， 先来看这个 a 船， a 船的话，它是从 a 到 p， 所以 它对应的这个路程是等于多少呀？一百二十，那它所它的速度是四十海里每小时，所以求出来它需要用的是三个小时。再来看 b 船， 哎，它对应的时间 t 呢，是等于 d p 的 距离，我们刚才求出来是六十倍的根号二，哎，它对应的这个速度呢是三十海里每小时，所以它可以等于二倍根号二 小时，哎，这是他所对应的这个时间。然后我们去比较一下三和二倍根号二，这是一个有理数，一个无理数，所以我们在比较的时候可以给他干什么呀？同时做平方，哎，我们在草稿本上算一下，三的平方等于九，二倍根号二的平方是等于八，同时平方以后呢，三的平方要大于二倍根号二的平方，由此我们得到 三是大于二倍根号二的，所以用时短的那个先到达，应该是谁先到达呀？是 b 传 写倒答，记得点赞关注哦！

哈喽，同学们大家好，我们又又又又见面了，已经第二十七个又了，考场上给你十秒钟做这道题，那么百分之九十的人一定会出错。好，老师今天继续给大家避坑出三陷阱题来看黑板上这道题，他考察的仍然是我们的锐角三角函数。好，给大家回顾一下锐角三角函数它适用的范围是什么？是直角三角形对不对？ 今天这个图，这个这道题里面他确实告诉我们他是一个直角三角形了，但是他的坑就在于他有没有告诉你他的角哪个角是直角，是不是没有告诉你？好，所以看到一个直角三角形之后，一定要去确定哪一个角是直角啊，所以他的坑 也跟你说了啊，对于这个未明确我们的直角啊，是哪个角？ 好，接下来我们来看这道题，它到底该如何去解决呢？它给了我们一个角了，角 abc 是 三十度，所以那这里边谁就不可能是直角了， abc 就 不可能，其实我们的 b b 这个点不可能是直角了，那就有可能谁是直角。第一种情况就是有可能角 a 等于九十度啊，有可能角 a 等于九十度，那我们去画一个它的草图 好， abc， 然后这个角度是我们的三十度，而 ab， 题干中告诉我们了， ab 等于二倍 根号三啊。然后接下来我们求谁，求的是 a c 的 长，我们去选择，接下来就去选择三角函数就可以了。显然所求的边是三十度的对边已知边是三十度的邻边，我们就用 tangent 三十度 啊，它到三十度，然后它对边是 a c， 邻边是 ab， 代入数据 ab 是 二倍根号三， ac 是 所求好，它的三十度是三分之根号三。如果有有的同学忘了，那么我们一定要去回顾一下这个特殊值，一定要去记住，好，接下来去解 ac 好， ac 就 等于 二啊， a c 就 等于二，所以我们的第一种情况就出来了啊， a c 是 二，第二种，第二个，那么角 a 是 九十度，还有可能谁是九十度，那么我们的角 c 也是九十度啊，角 c 也是九十度，好，所以我们来再画一个草图， 仍然这个角是 c， 好， 然后我们的 abc， abc 这个角是 三十度角啊，三十度角。现在告诉我们 a b 是 二倍，根号三，好，还是让我们求的是 a c 啊，求的是 a c。 现在已知边儿是斜边，所求边儿是三十度的对边，所以我们选的是下引三十度啊，下引三十度等于对边比斜边好，所以它的对边是 a c， 斜边是 a b， 然后下引三十度是等于二分之 一等啊。最后我们求出来 a c 就 等于根号三，所以它这个有两个答案，一个是二或者是根号三，两个答案啊。好，所以那咱们今天这道题给大家避坑到这里啊，一定要注意，如果一个三角形告诉你它是直角，但是未明确哪个角是九十度，我们一定要进行分类讨论，你学会了吗？好，拜拜。

刚才我们用等面积法来求了，求这个高啊，然后我们尝试着用一线三垂直 来建立一个等量关系啊，来求，呃，做 d h 垂直于它了，然后我们延长上来，来到这，因为这是个九十嘛，比如说这个点叫 m， 那 这样的话， 这两个三角形，他就一线三垂直的相似了。然后我们呢，还需要用上面啊，我们其实还需要用上面，比如说这是 n， 然后把这也弄起来啊，这是 r 吧，一会我们都要用这些，这是四，这是 x， 这个是 x， 这是四。好了，我们先来说这个相似啊，那他的相似比是四比 x， 我 们来这个 pm， 他 比上咱们求的这个 d 吗？ pm 对 应 d， 它应该是等于 x 比四的，所以 pm 这一段叫叫 x d 除以四，现在 x 就是 已知的啊， 然后然后来表示，表示它，它怎么表示呢？它和 b h 是 对应边，就是 md， 你 是比上 b h， 它等于 x 比四， b h 去哪里呢？ b h 这一段 它包括三节，前面这一节叫二倍根二，中间这一节叫。看着，这，为什么把它画上来，中间这一节叫二分之根，号二 x， 因为这个是四十五度啊， 加上二分之根二的 x， 然后后面这一节是这个 r， n 就是 这个 p m， 再加上这个 x d 除以四， 这个 b h 就 这么多啊，所以在 md 呢，它应该等于，嗯，四分之 x 乘以 b h， b h 叫二倍的根二加二分之根二 x， 再加四分之 x d， 这是 md。 那 么最后要建立一个等量关系啊，是吧？才能写出来 d 等于多少多少 x。 等量关系我们在这里建立 在这里啊，就是说第一间这个它叫什么呢？它就是这，它也叫二分之根二的 x， 第二间就是这个 md 啊，刚才有了第三角，就是这个 d， 它总共应该等于这个 b c 边上的高 二分之根二的 x， 再加上 md， 就是 这一串啊，再加上后面这个 d， 它是等于二倍的根号二的， 最后我们就有了 d 等于多少多少多少 x 啊，我们是用 x 代数式来表示距离呢， 比较麻烦，特别考察你的计算能力，这是咱用的一线三垂直。 好这个题第三问和第四问，但对于初中的孩子们来说，他还是有些难度的， 用初中的知识去解释有一定难度的。对于程度稍好一点的同学，如果我们要能知道一些高一的那些三角函数运算的公式，这个就是比较友好的啊，就是那个三角函数 和差啊，或者是倍数那个公式的话，还是比较容易一些。你比如说第三问，第三问，这是个十五度哎，你求这个 x 呢？ 那你只要知道 tan 值十五度就可以了呀。 tan 值十五度等于 x 比四， 那探针的十五度它是等于谁呢？它等于探针的四十五度减三十度，这不有公式吗？来带上就可以了呀。 哎，你比如说第四问，第四问，我们不是就要求这个 d 吗？ d 啊，这是个四，我只要知道这个三 r 吧就可以了呀。 那 gamma 是 谁呢？那比如说上面这个叫 beta 啊，这个也叫 beta， 那 咱 gamma 它是等于在四十五度减两个 beta 的 呀， 这也不是有一个 sine cosine 把减去 cosine cosine 吗？你四十五度的这个正义选又不缺，你缺的是谁呢？你缺的是 sine 二倍和 cosine 二倍， 它等于二倍的 sine 倍， cosine 它等于一减了二倍的 sine 倍的平方。 你这个哎，这是四，这是 x， 这个斜边是根号下十六加 x 平方。你这 sine b 它是有的呀， sine b 它等于 x， 比根号你扣 sine b， 它是等于四，比上更好。这往公式里一带，尽管它运算上可能也比较麻烦，但思路好想呀。 啊，你不用说这样做辅助线吧，那样做辅助线吧。嗯，其实计算起来也不比刚才那个就一比。原来咱说那个三垂直呀，比面积法呀，计算起来也不比那个麻烦。那思路明确呀。 那所以说啊，对于程度较好的一些同学，是很有必要掌握一下这个三角函数的和差辈分这些公式的啊，何况他们都看这直接写出是吧。