八年级上册数学几何大卷电子版

确定了一月二十四号期末考试，八年级数学年年压年年中，八年级第一学期数学期末考试高分突破必刷卷基础版一单选 择题填空题 含答案全息选解完整电子版可打印。

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数学课堂激情飞扬，跟着宋老师一起进入思维的殿堂。各位同学大家好，我是火光课堂初中数学的宋老师，我们这周呢给大家分享一下巴蜀初二半期最后一个题的最后一个小问。 好，这个小问呢，同学们在考试的时候可能看这个题目的描述啊，就不想看了。好，那我们今天呢就给大家详细的去分析一下这个题目。好，第三个，它说如图三啊，点 d 呢？在射线 ca 上啊，这句话很重要啊，它是在射线 ca 上， 那也就说 d 呢，它有两种状态，它可以在线段 c a 上，也可以在 c a 的 延长线上。 ok， 它有两种啊，位置情况， 然后点 l i 是 线段 b c 上的两个定点啊，不与 b c 重合，然后去连接啊。呃， a l a i l 加上角 al i， 再加上二分之一的角 b a c 是 等于一百八十度的。好，那我们根据三角形的内角和，我们可以知道啊，这个角 a i l 加上角 a l i， 再加上角 i a l， 它是等于一百八的。那也就是说我们就可以知道自己的呃，角 i a l 呢，它就等于我们这里的二分之一的角 b a c。 而题目告诉我们啊，这个三角形 a b c 呢，它是一个等边三角形，所以说 b a c 呢，它就是六十度。那所以我们就可以知道 i a l 这个角呢，它是三十度啊，它是等于三十度的。 好，接着往下看，他说啊， m r s 分 别是线段呃 l i， a i 和 a l 上的一点，然后去连接 m r r s m s。 当 m r s 这个三角形的周长最小的时候。好，来第一个问题，我们先解决 这个三角形啊， m r s， 它的周长什么是最小？好，来，我们看，我们要去算这个周长的最小值啊，我写在哪？呃， 好，我写这吧。好，来算周长的最小值。三角形啊， m r s 啊，它就等于我们的 m r 再加上 r s， 再加上我们的 ms， 好， 来，要求三条线段和的最小值，哎，那这里我们就，呃，会想到我们可以去利用将军一马模型去做，对不对？好，但是这里问题来了，哎，我们将军一马问题呢，它至少会有 一个定点啊，但是这里呢， m r s 它三个点都是动的，哎，有人说老师它都是动的，我就处理不了。好，那你看，那既然我们哎要用将军密码模型去解决，然后这里呢，又要这三个点其中有一个点是定点，那你就去 确定一个呗，你就假设一个点固定不动呗。好，那么这里假设哪个点不动呢？哎，对，我们就假设这个 m 点不动啊，假设 m 点不动，因为为什么呢？因为 m 它的位置比较特殊嘛，对吧？它在 b c 这条线段上啊。 ok， 好， 那我就假设这个 m 不 动， 好，那你看，就变成什么，哎， m 不 动，我就要去求 ms 啊， rs 要求 mr 这三条线段合得最小值来， rs 是 动的， m 不 动。哎，那这里，哎，我们就 用我们将军印码模型最基础的呃，解决问题的逻辑，对吧？就是去做定点关于动点所在直线的对称点，哎，打 我们要求和的啊线段啊，给它连成一条折线，就是把要求和的两条线段，比如说，哎，求 rs， 求 ms 和的 最小值，哎，要把求这两条线段和最小值，我就把这两条线段放到动点所在直线的 e 测去，哎，这样子我才能，哎给它形成折线，然后我才能够给它连成，呃，线段，根据两点之间线段最短，去求我们的最值，对不对？好，那这里来，我就去做 m 点，关于这个 a l 的 对称点， 我把它记作 m 一， 然后呢？再去做 m 点，关于这个 ai 的 对称点，我把它记作 m 二， 好，然后呢，我再把这里的 m 二 r 和这里的 s m 一 给它连起来， 好，那这里我们就可以知道来，呃，这个 ms 是 等于 m 一 s 的 mr 是 等于 m 二 r 的。 好，那这里 这是 r s。 好 了，你看，这里，我们要求这三条线段回到，回到最小就变成了 mr， 它是等于 m 二 r 的， 然后 r s 不 变，然后 m s， 它是等于 m e s 的。 好了，你看，我要求一撇加两撇加三撇，哎，这三条线的合角值就变成了，哎，求这个一撇加两撇加三撇，哎，求这三条折线合的最小值。什么时候最小呢？ 哎，那就是把我们的 m 一 m 二连起来，它就最小了， 啊， 它就小于等于 a， 哦，不对，不是小于等于啊，它这里我用最值嘛， 啊，它的最小值啊，就是它的最小值。 好，就是这三条线段和的最小值，哎，就是我们这里的 m 一 m 二。好，那么这个问题来了， m 一 m 二什么时候最小呢？哎，因为这里你看 m 点它，其实， 哎，它是不是也是动的？只是我们假定它不动，对不对？好，那这里 m 一 m 二什么最小呢？好，来这里，我们再去把 这里的 a m 二连起来，把这里的 a m 一 连起来，然后再把这里的 a m 连起来。好，把这三条线段连起来之后，我们可以知道，哎，这个 a m 二， 它是等于 a m， 哎，它是等于我们这个 a m 一 的。你说这三条线段呢？都是相等的。好，这里注意哦，然后，啊， 啊，然后我们来看这里，相等的话，你看这个角，哎，这两个粉色的角，啊，这两个粉色的弧角是相等的，然后呢，还有这两个， 还有这两个粉色的圈角也是相等的，也就是说呢，哎，根据我们对称的性质，这个角 m 二 a i 和 m a i 它是相等的，然后这个角 m a l 和这个 m e a l 这两个角相等的。好，然后你看这里啊，一个粉色的弧角加上圈角，它是等于我们的 i a l 是 等于三十度的。好，那这里我们就可以知道，这个角 m e a m 二，它就是等于 i a l 的 两倍，它是等于六十度的。 好，那它等于六十度，那这里 a m 二又等于 a m 一， 那所以说 a m m 二，它就是一个等边三角形，哎，有一个角是六十度的等腰，它就等边嘛。好，那这里我们就可以知道， m 一 m 二，它其实呢就是等于谁的呢？就是等于我们的 am 一 等于 am 二，而 am 一 am 二是等于 am 的。 好，那你看这里，我们要去求啊，这 m 一 m 二和的作用值， 那我们其实就是去求 am 和的最小值。来，这个时候，哎，那这个就转化成我们，哎比较熟悉的一个最值问题了，哎，就是定点到动点距离，什么是最小？哎，那肯定就是过这个定点 a 去做这个动点 轨迹的垂线不就好了吗？所以说来，那 a m 尺寸最小，那就是去过 a 点去做这个 b c 这个垂线，那这个呢，就是我 a m 最小的位置，那就是 m 一 m 二最小的位置，那也就是我这个三角形周长最小的位置。那所以说这个时候我们可以知道，此时啊， a m， 它应该是垂直于 b c 的。 好，那这里我们就找到了 m 点的位置。 ok， 这是第一个锥子模型，将军一马问题去解决好，这个解决之后，我们接着往下看。 好，然后做 m 点关于 a c 的 对称点 n。 好，那这儿啊，在这儿他给你做了啊，然后连接 a n 啊，点 p q 呢？分别在射线 a n 和 b d 上一点好，然后连接 c p， a q， 然后既 a， b d 呢？等 r 法，哎，若 a p 又是等于 b q 的， 哎，则当 a q 加 c p 最小的时候，用 r 法去表示 p a q 的 角度。好，来，这里，哎，呃， p o q 都是动点，然后还有一组位首尾相连的等线段，哎，这就是我们的逆等线模型， 对吧？好，这是第二个对折模型。好，那这里呢，这个一等式模型怎么去做啊？这个图呢？啊，太复杂了，我们把它分离出来啊，这里我只需要这个图的作用，我只需要去找到 m 的 位置就可以了。好吧，来， m 在 哪？就是在这垂的时候。 好，这 m， 然后呢，我再去做 m 点关于 a c 的 对称点啊， 啊，大概在这个位置。假设呢，这个是我的 n 点啊，这是 n 点好，然后把它连起来。 好，他要说的是射线 a n 嘛，那我就画长一点。好啊，他说啊，连接 a n 点， p q 呢？分别是射线 a n 和 b d 上的一点啊。呃，那假设在这儿，这是 p 点的位置 啊， q 呢？是 b d 上一点好，然后 a q 等于啊， a p 等于 b q， 那 这就是 q 好， 那这里呢？它是等于它的好，然后我们去连接 c p， 连接 a q， 好，然后这里呢？ a b d 啊，它是等于 r 法的好，然后他要问，我们去叫我们去问啊，这个 a q 啊，加上这个 c p 值最小的时候，好来 a p 和 c q 啊，什么时候值最小？ 那这里呢？哎，我们说了逆的一些模型呢，我们还是要把它转化成我们的，哎，将军一马模型去做，那我们说将军一马模型去求两条线段合的最小值呢？哎，那他们一定会有一个公共的端点，并且呢这个公共的端点呢？哎，还得是那个动点。 好，那这里你看，这里 p 和 q 是 动的，那所以说，哎，我就得让 p 和 q 重合，那这里怎么重合呢？哎，那我就去呃构造啊，一个三角形 呃和。哎，题目中包含 a q 和 c p， 以及包含这一组等线段的其中一个三角形全等就可以了，哎，这就是我们一等线的呃 啊，解析模式啊，或者说解析套路都可以。好，那这里呢？你看，哎，我要去求和的，或者说我要去转移的线段呢，要么是 a q， 要么是 c p 啊，就看你转移谁好，那这里呢，我们就我就统一去转移 a q， 对 不对？好，我去转移 a q 啊，然后呢， 你看，呃与 q 点相连的等线段呢？是谁？是 b q， 那 你看 b q 和 a q， 你 就只能放在 a b q 中去，那所以说我就需要去在哎这个 a p 这里去构造一个三角形，和这里的 a b q 全等，从而把这个线段 a q 呢给它转移到呃这个 c p 的 位置去，就是让 q 点和 p 点这两个动点呢？去重合。 好，那这里你看，那这里我们就去构造全等三角形。好，那首先啊， b q 和 a p 有 一组边相等了。好，那然后呢，我是在 a p 的 上方还是下方去构造一个三角形和 a b q 全等呢？ 哎，那这里我们说了嘛，我们要去用将军印码问题去解决，那将军印码问题最基础的解决方案就是，哎，把两条求和的线段放到动点所在直线的 e 侧去。好了。你看，屁是动点，动点所在直线呢？是 a n， 那 就要放到 e 侧，你看 c n 已经在 a n 的 下方了，那我就把这个 a q 给它放到上面去。 所以说我就是以 a p 为边，在啊这个 a p 的 上边去勾搭一个三角形和 a b q， 它是全等的。好，那有边了，那接下来我就勾搭一个角相等，那你看以 b q 为边的角，哎， 有两个 a q b 和这里的 a b d， 你 看一下哪个角是固定的？哎，很明显的， a b d 是 固定的吗？它告诉你等于 r 法。哎，那所以说，哎，我就去做这个角。 好，我就去做一个这个角啊， p a 假设 a b c 是 对 d 嘛？ 啊？有 d 了，那就 e。 好， 我就去做这个角啊， e a p 是 等于 a， b q 是 等于啊，阿尔法的啊，这个是阿尔法。 好，那你看，我要去构造旋转三角形，已经有两种条件了，来， b q 呢？ b q 等于 a q 一 组边，然后阿尔法角一组角，那所以说我就只需要再去构造一组条件，哎，怎么呢？就去看，哎， 呃，这个以阿尔法角这个阿尔法角的两边，对吧？呃，这个 b q 已经相等了，我再使这个阿尔法角另一边相等不就好了吗？哎，那就是这个阿尔法另一边 a d 和这个阿尔法角另一边 a e 大 小相等就可以了，所以这里我就去使得并截取啊，这个 a e 呢，是等于我们这里的 a b 的。 好，然后呢，怎么办？再把这里的 p e 连起来啊，连起来之后呢，那我马上就可以知道。哎，有两个三角形是全等的。 好，那我们马上就可以知道啊，三角形这里的 a p e， 它就是全等于我们的三角形 b q a 用边角边去乘全等。好，根据这组全等之后，我们就可以知道，来这里 p e 呢，就等于我们这里的 a q。 好， 所以说我就把这里的 a q 呢就转移到 p e 这去了。那我们再看一下 p 和 q 它是否重合了，来看一下 p e 的 对应点是 q 点没有问题。好，那所以说这个题目要让我们去求的啊， a q 加上 c p 和的最小值，那其实就是去求 我们这里的 p e 再加上 c p 和的最小值。 好，然后你来看来要求我们这里的 p e 加上 c p 这两条折线和的最小值。而那就是只需要干嘛？哎，根据我们两点之间线的最短，把它拉直就可以了，所以说我就只需要去把这里的哎 c e 给连起来就可以了 啊，那其实就是我们这里的 c e 的 长度。好，那这时候啊，它不是让我们去求这个直径小多少？它让我们去啊，用 r 法表示 p a q 的 这个度数来， p a q 是 这个角。好，来，这个角怎么去表示呢？ 好，刚才我们说了啊， m 点在什么位置呢？ m 点就是在这里啊，刚好垂直于 bc 的 时候。好，这个 abc 呢，它是一个 等边三角形啊，根据等边三角形啊，三线合一的性质嘛，那我们可以知道 a m， 它是顶边上的高线，还是顶角的角平分线，所以说这两个角呢，哎，它都是三十度。好，然后呢？呃， 这个 a n 怎么来的呢？是做了 m 点，关于这个 a c 的 对称点，得到了 n 点，那说这个角呢，也是三十度。好，那我们这里就可以知道 b a n 呢，这个角啊，或者说 b a p， 这个角呢，它就是九十度。 好，那这里，呃，要算这个 p a q， 哎，那就是九十度，再加上这个角叉角就是这个 b a q 就 可以了。好，那然后你看一下这里的 b a q 是 等于谁的？ 好，那这里我们就可以知道。来，根据我们这里刚才的这个全等啊，这里的角啊， b a q 啊， b a q， 它就是等于我们的 a e p 的。 好，那所以我就只需要去把这个 a e p 算上就可以了。 a e p 怎么算呢？好，那你看，这连起来之后啊，其实这个点呢，就是我的这个 p 点。 好，这里注意哈， p 和 n 啊，它们不一定是重合的啊，只是这里图画的比较像，它们像重合的啊，那这里其实就是我 p 点，那其实呢，这个角，欸，这个角就是我的这个角啊。 a p。 好， 那这个角怎么去表示呢？来，这里， a e 是 等于 a b 的 a b 呢，是等于我们的 a c 的， 所以说 a c e 呢，它是一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶角呢，是在这儿。哎，它是三十度啊，换个颜色，这个颜色 看不太清楚啊，那这个它的顶角呢，是三十度，再加上 r 法好，那所以说它的每一个底角呢？这个角，哎，就是我们的七十五度，再减去二分之一的 r， 法好，那所以说这里我们就可以知道 这里的角， 这里的角 p a q 啊，它就等于我们的这里的角 p a 啊， b a p， 再加上这里的角 b a q， 那 其实也就是等于 b a p 呢，是九十度，再加上 b a q 呢，它等于 a p e 是 等于七十五度，再减去二分之一。而法 好，那就九十度，再加上七十五度，减二分之二法就等于多少呢？哎，一百六十五度，再减去二分之二，法 好，那这里呢？有同学可能啊，做的出来一个答案，哎，他就沾沾自喜了，但是下来考试下来一会发现，哎，老师，这个题为什么会有两个答案呢？好，这就是我在一开始读题的时候就跟你说了这个问题 来，他说了点 d 是 在射线 ca 上，那他既，那他就有两种情况，一种情况就是在 ca 的 延长线上，还有一种情况就是在线段 ca 上，所以说这道题目应该有两种情况来，这是第一种情况， d 在 ca 延长线上， 好，第二种情况， d， d 在 线段啊， c a 上， 好，那时候来，我们重新画一个图，我感觉我把可以把这个图我给它放那边去一点，放个颜色啊，这个白的里边黑的吧。好，把它换过来， 这也换过来， 好，那这里还是一样的，我就还是去做 m 啊，这是垂的。好，然后我还是做这个对伸点啊，我就直接随口画啊，好，这个 n 应该是在这个位置的。 好，然后这个时候呢来 d 呢，就在 c 上， 好，那这是 d， 然后这个呢是 f 好，然后 p 呢？在这儿还是取个 p q 呢？在这儿 好，然后我把它连起来，把 a q 和这个 c p 连起来。好，这里还是啊 q 的 啊， b q 啊，等于 ap 好，还是要去求这两条蓝色线段和的，这样子还是一样的啊，我这里还是去转移 a q 嘛，还是以 a p 为边啊，在它的上方呃，去构造，呃，一个三角形和 a b q 全等，那还是一样的， 那这里构造一个角， 往下放一下， 好，假设这个是 f， 那 去构造一个角啊， p a f 呢，它等于我们这里的 a b q 啊，是等于 r 的 好，然后呢再去在 a f 上面截一段啊，这个 a f 呢，它是等于 ab 的 好，然后呢我再去把 p f 连起来啊啊，这个构造的方式呢，就跟我们这种情况是一样的。好，那这里啊要去求我们这里的 呃， a q 加 c p 和最小值，那其实还是一样的，这里呢就是三角形。谁啊？三角形 a b q 嘛，三角形 a b q 啊，它就全等于三角形 a b， 那 就是 f a p 啊，边角边正的全短。那这里我们就把这里的 a q 呢给它转移到这里的 f p 这里去了啊，那所以还是一样的 a q 再加上 c p 和的最小值啊，就变成了我们的 f p 加上 c p 和的最小 啊，还是把这里的 c f 连起来就最小啊，那时候这个把它连起来 啊，还是一样的啊，这连起来之后，这里的 p 和 n 啊，不一定同和啊。啊，那这个呢就是我的这个 p 点的位置啊，点的位置 啊，还是一样的，他要求什么？他要去求这个角啊， p a q。 好 了，这个时候你会发现啊， p a q， 他 在这个角 b a p 的 里边了，这个角 p a p 呢？还是多少度呢？还是九十度没有变？那说这个时候你发现啊，这个角 p a q， 它就应该是等于我们这里的角。呃， b a p 啊，再减去我们这里的角， 这里的角 b a q。 好， 那这个角 b a p 呢？还是九十度，那 b a q 呢？还是一样的来，这里的角 b a q， 它是等于什么的呢？角 a f p， 那 也就是还是一个角，那你看这个 a c f， 它还是一个顶角，为多少度呢啊？这儿是三十啊，还是顶角为 三十度加 r 法的一个等腰三角形，那这个顶角啊，这个这个底角 a f p 呢？还是七十五度，减去二分之一 r 法好，那这里呢，就变成了我们的九十度减去七十五度，减去二分之 r 法，那就等于十五度在 加上我们的二分之 r。 好， 那所以说这就是这个题目啊，它有我们的两个答案好，为什么会有两个答案呢？就是各位同学在读题的时候啊，一定要仔细啊，一定要仔细，就是在色写 c a 上，好吧， 好，这就是我们这个啊，八数初二半期啊，最后一个题目的最后一个小问啊，其实就考察了，呃，两类对子模型啊，一个是将军印马模型，然后呢？一个是我们的逆等线模型，好吧，然后呢，还考察了一个，对吧？大家这个审题的仔细程度， 好吧，这就是这个题目，给大家简单分析到这，好，我们下期再见！点赞加关注，金刚校考不迷路！

哈哈哈哈。

八上数学最难的四十八个几何模型全部吃透，逆袭班级前三。八上数学四十八个几何模型一， a 字模型、鸡爪模型，腋下两角合等于上下两角合。 八字模型，三角形中五大模型见八字除对顶，剩余的两角之合会相等。飞镖模型也叫燕尾型、双角平分线模型。三个结论完整版分享！

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十四题，这道题呢，难度系数五颗星啊，对初二的孩子来说啊，确实很难，因为他考察的知识点就是三角形角平面的焦点有哪些性质，也就是我们初三所学的内心，三角形的内心， 通过内心我们能得到哪些辅助线，能够想到怎么去做？如果是初三的孩子做这题，这题最多三颗星啊，初二的孩子来做，确实难度还是挺大的一道题啊。那我们一起看一下这个题。如图，点 a 的 坐标，告诉我们是负四，零标一下 b 的 坐标也有了，这是一个负四， b 点的坐标是零三，在平面直角坐标系中呢，有一个点 p， p 点的坐标是负一，一 为三角形 a o b 内部的一点。那这这句话其实就是个废话，不应该说谁不知道这是三，这是四，还告诉我们 ab 等于五，这多此一举吗？ 好，下面他要求 p 到 ab 的 距离。我们回忆一下，在整个初中阶段，我们要求距离的时候用的什么方法啊？用的就是我们的面积法，为什么？因为距离就是垂线段，垂线段的长度，最常用的方法就是面积法，对吧？那么我们把这个垂线段 p 到 ab 的 距离， 把它做一做啊，这个比如说标一个字母吧，嗯， a， b， c， d 没有用过。好，那它就叫 d， 那 么这边通通三个句子全部画出来， 这叫 e， 这叫 f d， e， f， 那 么我们要求这个 p e 啊， p， f 都是知道的，只有一个 p d 不知道。那么第一小问就是送分题吧， 教小第一小问， s 三角形 aob 的 面积，是不是可以把它拆成 s 三角形 pao， 加上 s 三角形 pa， 再加上 s 三角形 pao， 是 这样的吧？好，代入数据 就等于二分之一 p o 等于什么？ p a o 是 不是等于 a o 乘以 pe 啊？再加上这个是 p a b 是 不等于二分之一 ab 乘以我们要求的这个 pd， 再加上二分之一 pd 乘以 p f。 那 么同学们看一下，这个一些以一系列的条件当中，唯一不知道的只有一个 p d 吧。下面带入数据这个面积知道不？三角形 a e o， b 的 面积，三乘四除以二等于六，所以六 就等于二分之一，这个是什么？ a o， a o 是 几？四乘以一啊？二分之一乘以四乘以一，再加上第二个是二分之一 ab， ab 是 几？五乘以 pd 二分之一五乘以 二分之一乘以我们要求的 pd， 再加上最后一个二分之一 pd， 呃， pb 乘以。这，这写错了吧，来改一下。这个肯定是写错了啊，他要求的是 pop 的 面积是 ob 乘以 pf， ob 乘以 pf， 那 么代入数据就是二分之一 ob 是 几？是三乘以 pf 是 一。那么接下来解方程解下来。 哎，这下面就解得就很简单了，解得 p d 等于一，哎，这个计算很简单啊， p d 算出来是一，那第一小问 p d 算出来是一，那第一小问 p d 到 a、 b 的 距离就是一 好，同学们观察，通过观察发现， p 点到 a、 b 的 距离， p 点到 o， a 的 距离， p 点到 o、 b 的 距离，是不是都是一，一一啊？好，我们想想一下，到线段两段距离哦，到角两边距离相等的点是不是在角的平分线上，所以这两个角相等。 到角两边距离相等的点再角，所以这两个角相等到角两边距离相等点再角，所以这两个角相等，这些角全相等吧。啊，有了这些基本信息之后，第一小问之所以让你求这个，其实就是告诉你，屁，是三条三角形，三条角面的交点。有了这个，第二、三小问就其实就变得简单了， 当然也不简单，对于初二来说都不简单，因为对于这个内心的性质，我们初二压根就没有去学，所以做这个题目确实是有难度的题目啊。嗯，初三做这个题目，其实就就送分了啊。那么我们继续往下看， 射线 p b 射线 p b 怎么样交 o a 的 垂直平分线与点 c。 哎呀，如果初三我们学过圆的四点公园，这题目就分分钟拿拿下了，很快啊，但是我们现在没有学员，但是可以做吗？当然可以做，你看啊，根据 p b 交它的垂直平分线与一点角平分线和垂直平分线相遇了。 当角平分线遇到垂直平分线的时候，我们肯定想到了一个辅助线，叫连两端和垂两边，连两端，垂两边同时出现的时候，我们立刻就能出现，全等吧。看到这我们就想到了啊，连两边和垂两端，连两边已经给你连好了，垂两端我还没做，那现在就题目没给你做，那你得自己去做， 看得懂吗？连两端和垂两边。当我们的角平分线遇到垂，遇上垂直平分线，我们立刻想到连两边和垂两边。 什么叫连两段？什么叫垂两边？哦，连两段连好了，垂两边垂好了，那此时这两三角形他必然 h o 全等，可以理解吧。根据垂直平分线上点到线段两边的距离相等，所以圈圈等于杠杠等于杠杠。 又因为角平面点到角两边距离相等，所以圈圈等于圈圈，所以从而就有 h o 两个三角形是不是全等？这是个直角，所以图中的小黄小绿我来标一标，是这个三角形和这个三角形全等吧。 一旦全等之后，我们立刻就有一个什么样的信息出现呢？感受一下是不是就会有两个角相等，哪两个角 这个角跟这个角必然相等吧。那么同学们看一下这两个角它是什么关系？互补，所以这两个角是不是也是互补啊？从而就发现了原来这个四边形看到没有它的对角互补。当然如果我们初三学过圆之后，这四个点是四点共圆的吧，但目前我们没有学圆，既然没有学圆，那我们就用没有学圆的方法去做， 那么看到这个角跟这个角是互补，剩下的这个角跟这个角是不是也是互补？那没有学员的话，那我们只能老老实实的做喽。 那么根据题目，我们要求是这两条线段之间有什么样的关系？他问数量关系还是啊线段他的关系，那说明有包括数量关系和位置关系两种关系吧。好，那我们看一下，先看他们的数量关系是怎么样的，再看位置关系。 那么其实从图中我们一看猜也能猜到他俩相等，如果相等就是要证明这两个角相等，对吧？可能他们的位置关系很有可能是垂直，那么垂直的话就证明他俩相等，并且等于四十五度，那么对于四十五度好正吗？那特别好正，至于相等，可能稍微麻烦一点，四十五度，特别好正，为什么？ 哎，感受一下，这个角是多少度啊？九十度啊，所以这两个角加起来是不是也是九十度啊？哦，所以大家都是角平面，所以这个角加这个角，嗯，我来标一标，其中一个叫叉叉，另外一个叫哇哇，可以吧？ 比如说标标这个角是我们的叉叉角，这个叉叉角，这两个角给它取名叫哇哇角，哇哇角。我们知道两个叉加两个哇，不就等于九十吗？所以一个叉加一个哇，不就四十五吗？所以这两个角加起来是四十五，从而根据三角形，一个外角等于它不相邻的两个内角之合，所以从而就有这个角是四十五度，对于我们来说很轻松吧。 但是正到四十五度减的，那正到它俩相等，咋正呢？有人就蒙了，如果正到它俩相等，你看这个角是不是 x 加 y， 我 先把这个四十五叉了啊。我先用 x 加 y 来表示，这个角根据三角形的一个外角等于它不相邻两个内角之合。注意， x 加 y 等于四十五啊， x 加 y 等于四十五度， 那么我们要证明这两个角相等，我是不是只要证明这个角等于 x 呢？比如说，我先设它为 m， 这个角根据 c a 等于 c， d 哦， c o 等腰对等边对等角，所以这个角是不是也是 m？ 接下来我只要证明 m 等于 x 就 ok 了。那么通过题目，三角形的内角和是一百八十度，所以这个角加上两个 m 是 不是等于一百八？ 又根据我们刚刚所证的这个四边形的对角互补，是不是也能得到？这个角加上两个 x 也等于一百八十度？ 同样角， a c o 加二 m 也等于一百八十度。你告诉我 m 跟 x 啥关系啊？ m 肯定等于 x 啊。如果 m 等于 x， 那 此时这个角是不是也是 x 加 y？ 哦，这个角也是 x 加 y， 那 不就这两个角相等吗？而且都等于四十五。所以此时此刻我能得到的 c a 和 c b 的 关系， c a 是 等于 cp， 且 c a 还垂直于 c p。 注意，题目中问两条线段的关系，他没有说是位置关系还是数量关系，那就是位置和数量关系都要表达出来。所以第二小问是不是轻松拿捏了呀？但是其实对于初二来说确实难啊。这个题好，我们看第三题。嗯，第三题，这个题目， 他出现了一个点， q， q 是 什么？ x 和正半轴上的一个点。那么至于他干了一件什么事情呢？将 a q 这条线，这条直线 沿着 p q 进行翻折之后，得到这条直线。哎呀，这题目有没有明确的发现，又有一组角平分线了呀？这个角跟这个角是不是也是相等的？ 这个角跟这个角是不是也是相等的呀？这个角跟这个角是不是也是相等的呀？那同样这个角啊，这个这个角没没得标了是吧？那用实心的点，或者说我干脆用用字母来标吧。比如说这叫叉叉 叉叉叉叉，这个叫哇哇，还叫哇哇，跟那个刚才保持一致，那 m 用过了，那就不用了，那这个就叫 n n 哎，这两个角叫啊发啊发对吧？一堆的角平行对吧？其实它就是告诉你们这两个角相等呗，相等完之后，问你这个三角形的周长改不改变？ 那其实正常这么问肯定是不改变的吗？那为什么不改变呢？有同学就蒙了，不知道为啥不改变。就是很简单，你依然利用的是角平分线上的点到角两边的距离相等。其实从这个点 p 出发， o 点 p， 既是这个角的平分线，又是这个角的平分线， 对吧？哦，那么你看，对于我们又多了一个，它还是这个角的平分线，那么大家看一下，对于这个三角形而言，有没有发现？嗯，它是这个角的平分线上点，又是这个角平分线上点，所以我此时把 p g 一 连， p g 必然也平分这个角，同学们能理解吗？ 啊，如果我把 p g 一 连，它肯定也是平分这个角的吧？同学们能不能想明白这个问题？那如果我把 p f 一 连，大家想一想，它是不是也是平分 p 这个角的？来，我们把它画一画， 我这个地方在这边标啊，这个角是北塔跟北塔，这两个角为什么相等呢？证明方法特别简单啊，根据我们角平分线上的点到角两边的距离相等。这个， 还有这个啊，这三段是不是都相等啊？这个，这四段是不是都相等？来，我画的这些线段是不是都相等？同学们感受一下。首先你看这个，比如说我这四条线给它取名叫 h 一、 h 二、 h 三、 h 四，感受一下它们四个 h 是 不是相等。首先 h 为什么等于 h 二？因为这个 h 二等于 h 三，没毛病吧？这两个相等 对吧？有没有问题？那再看，因为这个 n 等于 n， 所以 这个是不是跟这个相等？哦， h 二又跟 h 四相等，从而就有 h 三，是不是也跟 h 四相等？一个等量单位， h 二又等于 h 三， h 二又等于 h 四，所以从而就有 h 三，不就等于 h 四吗？所以这两个角相不相等，那肯定相等啊。啊，这个角我们就可以标了 c 塔， c 塔也是相等的， 那北塔北塔为啥相等呢？啊？这个我们也可以这样，因为我们这个跟这个相等，因为我们这个也跟这个相等，所以我们就有 h 一 跟 h 四相等，所以这两个相等之后，北塔等于北塔啊，一堆相等的角有了。那题目问的是这个三角形的周长，你看看这个三角形周长，其实你看这个三角形跟这个三角形是不对称的，全等啊。 哎，这个角平分线就是直角，就是直角，这条边还相等，所以这两个三角不就全等吗？同理，这个三角形跟这个三角是不是也全等啊？我来标一标颜色啊，来涂色，小黄小绿全等。比如说这个三角形叫小黄， 这个三角形叫小绿。飘下来没有哦，还有一个小南和小紫，我来标标这个三角形，我们给它标小南。三角形 啊，这个三角形我把它叫小紫。小南跟小紫是不是也是全等的呀？哎，为什么全等？这就咱就不用说了。 h l 啊，或者说你正到角向的就不用正角向了，这公共边加上一个。 呃，斜直角边，这也是公共边加直角边。 h l， 小 黄小绿全等， h l， 小 南小紫全等。所以朋友们感受一下。这条边跟这条边啥关系，相等吗？这条边跟这条边啥关系？相等吗？所以咱要求的这个三角形的周长就变成了这一段长加这段长，你说这两段长加起来，它是不是一个固定的值呢？ 那必然是个固定的值呀，对不对？那这两根长我们会求吗？那太好求了，来，我标几个字母，比如说这个点叫 m 点， m 点，这个点叫 n 点。所以此时此刻，咱要求的三角形 b g、 f 的 周长 其实就等于 b m 加上 b n， 而 b m、 b n 的 这个长度对于我们来说，看看有没有难度呢？肯定没有难度啊， p 点坐标是负一一，已经知道了负一一，而 b 点坐标也告诉我们了 b 点坐标是什么呢？忘了哦，零三 零三。所以由此可见，这段长不就是二吗？这段长是不是也是二啊？那么为什么这个长是二呢？哦，因为这个三角形跟这个三角形是不是也是全等的呀？那一堆全等，其实你看，虽然他是在直线，虽然在函数里面考察的，其实考的依然是三角形全等吧， 它就是函数，它难的地方依然是跟几何综合，对吧？所以这两个三角形又全等全等之后，所以从而就有了此时，因为我们的 b n、 b m 等于 b n 等于二，所以三角形 b g、 f 的 周长不变， 不变，不变是等于多少哦，不变为四，二加二等于四。结束这个题好像也还好吧，但是我不讲的话，可能对于大部分初二的孩子来说，完了这题根本做不出来， 但是在这个题目，如果放在初三，初三的孩子应该是比较轻松能够做出来的啊。不，通过这道题，我要给孩子们强调一件事情，同学们，以后如果再出现角平分线，各个角的角平分线，教育一点，你就大胆的去做垂， 只要遇到内心角平面的焦点，其实就是三角形的内心，只要遇到内心就一句话，向三边做垂，你就记住，向三边做垂， 你就干这么一件事情，你肯定三边做垂啊。为什么初三简单？因为他们都知道这个东西。初三的学生，嗯，只要跟着杨老师上过的孩子啊，都知道向三边做垂，你看到内心向三边做垂，记住这个原则啊。

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