武漢八下数学几何题

今天和大家分享一道几何难题，他说已知三角形 a、 b、 c 当中，角 a 等于四十五度，角 b 等于二十二点五度， bc 的 长度等于八，要求这个三角形 a、 b、 c 的 面积。 看到这个题怎么做的，我们来观察一下子啊，这个角 a 等于四十五度，角 b 等于二十二点五度， 那么我就说明了这个 a 是 b 的 两倍，在三角形当中，我们是不是要想到的二倍角的关系啊？就是他是他的两倍，有四十五度啊，我们是不是又想到了是不是想到的辅助线做垂直啊， 就是构造等腰直角三角形，那这个辅助线到底怎么做做出来的有等腰直角三角形，又有产生二倍角的关系啊？ 你看看啊，这里是四十五度，假如我们可不可以这样做辅助线，就是过点 c 做辅助线做什么呢？做这个 a、 c 的 垂线啊，比如说 a、 c 的 垂线， 假如过点 c 做这个 c、 d 跟 a、 c 垂直做这条辅助线，那么显然这个 a、 c、 d 是 不是等腰直角三角形啊？ 这样子等腰直角三角形，角 a 四十五度，那么这个角 a、 d、 c 是 不是也是四十五度啊？ 四十五度的话，那么根据外角和地理的话，角 b 等于二十二点五度，那么这个角 a、 d、 c 等于四十五度，那么这里的时候 b、 c、 d 是 不是也等于二十二点五度啊？ 那就说明了这个 b、 c、 d 也是个等腰三角形，这个 a、 c、 d 也是一个等腰三角形，就是一线两等腰，等腰的话，这里又是直角， 这里的时候 a、 c、 d 又是直角，直角的话，在一条线上出现直角，我们想到的模型是不是一定会出现这个一线三垂直模型啊？我们是不是就可以这样去做辅助线呢？延长这个 b、 c 过点 a 做，假如是 a 昂 a， 嗯，跟这个 bc 垂直，这里的时候 b、 dc 它也是一个等腰三角形，我们想到三线合一，是不是也可以做垂 线等于垂直 n， 那 就说明了，这里的时候就会出现一线三垂直模型啊，这里一个垂直，两个垂直，三个垂直，垂直的话，你看这里的 a、 c、 d 边是不是跟 a、 c 边相等啊？ 然后这里的时候这个角一跟角二是相等的，有出现直角，然后呢，角这个角 d、 c、 n 加上这里的这个 a、 c、 d a、 c、 m 等于九十度， a、 c、 m 又加上这个的九十度，说明呢？说明呢？是什么说明呢？这个角假如标角二、角二跟这个 这个标角三嘛，角三和角四是不是相等啊？就是角三加上这里假如是角五吧，角三加角五是九十度，角五加角四也是九十度，所以角三等于角五角角边。说明呢？这个三角形 三角形 d、 c、 n 是 不是全等于三角形？这里的 c、 a、 m 根据的是角角边 就是这里的角二跟角一是直角三的角三和角四这个角相等，然后呢， d、 c 边跟 a、 c 边相等，角角边 就可以判断出这两个三角形全等。两个三角形全等，说明什么说明呢？这个 c、 n 这条边是不是等于 a、 m 啊？ a、 m 是 不是就是这个三角形 a、 b、 c 的 一个高啊？那么怎么要求这个 a、 m 啊？ 你看 a、 m 就 求出，这个 c、 n 就 求出来了，因为题目告诉我们的这个 b、 c、 d 是 个等腰三角形，三线合一，说明呢，这个 n 点也是 b、 c 的 中点， 所以说这个 n， c 就是 c， n 是 不是等于四？就是 c， n 等于 a， m 等于四，所以这个等于四。你看这个三角形 a、 b、 c 的 面积， 它是不是等于这个底？就是 bc 啊？就是 bc， 二分之一乘以这个 bc 的 长度，乘以 a、 m 就是 它的面积， 那么是不是等于二分之一乘以这里的 bc 就 等于八，乘以这个四， a、 m 是 四，那么它等于多少？这里约分四四十六，所以啊，这个三角形的面积是十六。这道题就讲完了，你学会了吗？

今天我们来讲一个关于全等三角形非常重要的解题技巧。好，我们先来看题，首先给了 ab 等于 ac， 然后 cd 垂直 bc， 又给了 b， d 等于 c、 e， 然后要求 bc 比上 cf 的 值。 首先答案很容易猜， bc 比 cf 应该等于个二。那怎么正呢？咱来看一下条件。 首先题目给了一个 a、 b 等于 a、 c， 也就是三角形 a， b、 c 是 一个等腰三角形。那关于等腰三角形，咱们可以得到的信息无非就三个，第一个腰相等 a、 b 等于 a、 c， 第二个底角相等，角 b 等于角 a、 c、 b。 那如果还不行的话，咱们还可以试一下我构造一个三线合一，但是咱们做一下可以发现这个等腰，不管是 a、 b， a、 c 相等，还是 d 角角 b 等于角 a、 c、 b。 或者说我做一个三线合一，对于这道题的证明来说没有任何用处。 唯一好笑点用的是我做一个三线合一之后，垂直垂直能得到个平行，但是做完之后这个图连全等都找不到， 所以说明对于目前来说，这个等幺他没有任何用。那当这个时候咱们就要想到题目给这个等幺，但是没有什么用，那很有可能这个等幺是为了让我们构造一个新的等腰三角形。怎么构造呢？ 当有一个等腰三角形的时候，如果题目给了一个平行于腰的直线，或者说我做一个平行于腰的直线， 那我可以得到这个三角形也是一个等腰三角形，或者说我做一个平行于底边的直线，那这个三角形它也是一个等腰三角形。 那有了这个思路，这道题就简单多了，那这个等腰他没有用，说明这道题他可能想要构造一个新的等腰三角形。怎么构造呢？咱们发现这儿有一个垂直， 我如果能把这个垂直放到等腰三角形里，那我不可以得到一个三线合一吗？所以说我希望在这个位置能有一个等腰三角形。 所以说咱们可以过点 d， 我 做一个平行于幺 a、 c 的 直线，然后将 b、 f 的 延长线于 g 点。 那首先等腰角 b、 角 a、 c、 b 是 相等，平行角 a、 c、 b 和角 g 是 相等，所以三角形 b、 g、 d 是 一个等腰三角形，然后这又垂直， 那三线合一， c 就是 底边 b、 g 的 中点，所以 b、 c 和 c、 g 是 相等。那我想求 b、 c 比 cf， 我 只需要看一下 c、 g 比 cf 就 可以了。 那这个答案是不是更明显了？ c、 g 比 cf 很 明显是个二。那怎么正呢？ 咱只需要证明 c、 f 和 f、 g 相等就可以了。那怎么证明它俩相等啊？也很清楚了， f、 c、 e 和 f、 g、 d 应该是一个全等 条件。有什么呢？首先对顶角一撮角了，平行内错角相等，这个角和角 g 是 相等，俩角相等了，就差一个条件。 别忘了这有一个 c、 e 和 b、 d 相等，角 b 等于角 g， 那 b、 d 和 g、 d 也是相等，所以 c、 e 和 g、 d 也是相等。 那这两三角形不就全等吗？全等的话， g、 f 等于 cf， 那 c、 g 比 cf 就是 一个二，那 bc 比 cf 不 就也是一个二？

费马点求最值！一定是我们初二几何最值问题当中考频最高但得分极低的一类最值问题。 这类问题如果一旦再遇上加权费马点，可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天薛老师带你用一道题，彻底通透初二阶段常考的费马点三种形式。好吧，我们先来一起读下题。题目是这样做的， 他说 a、 c、 b 呢，这个角度等于六十度， a、 c 边等于四， b， c 边等于二倍根号三。好题目呢，最后求的是 p a 再加 p b 以及根号二倍 p c 啊，根号二倍这个边，这三个边之合的最小值应该等于多少？ 徐老师已经把初二考试中所涉及到的所有最值类压轴题型进行汇总总结，再结合往年考试真题，优中选优，整理成了初二最值必考十大题型，练完考试轻松拿下最值专题。需要的家长我发您一份。 好来，同学们，哎，我们在学习这个加权费马点之前呢，我们先来简单学习一下最基本形式的费马点，它是如何构造的。好吧，来，我们先看第二幅图来。第二幅图呢，同样是在三角形 a、 b、 c 当中呢，哎，它的内部有一个 p 点， 求这个 p 点到三个顶点距离之和的最小值等于多少，也就是我们的 b p 加 c， p 加 a， p 的 最小。 我们观察会发现哈，此时三个边的比值正好为一比一比一，对吧？那什么又叫做加权费马点呢？哎，就是当其中一个边、两个边或者三个边系数不为一的时候，你看， 比如说 pc 的 系数为根号二，这个时候呢，我们边的系数发生了加权，它就变成了我们的加权费马点。好，这个是我们的加权费马点，这个是我们最基本形式的费马点，它们的构造方式呢，很相近哎，略微角度有所不同哈。来，我们先来学习第一个最基本的， 那么我们观察一下 b p、 a p、 c p 这三个边，它是什么共顶点的，那如何去求最小值呢？来，我们联想到我们之前学习过的将军一马，将军一马是通过做轴对称，把我们的边转移成这样的 首尾相连的折线段之和最小值，对吧？然后呢，哎，根据两点之间线段最短，找到我们的最小。 那么将军印码是通过做轴对称，那我们的废码点呢？另一种方式通过旋转，那如何旋转呢？我们来分析一下。 首先你可以观观察到哈，此时我们有三个三角形，一个是 a b p， b c p 和 a c p， 那 么这三个三角形我们都可以旋转啊，你随便选择一个，但是呢，都是往大三角形 abc 的 外部去旋转。好吧，那比如说我选 a c p 啊，怎么转呢？来旋转的度数跟我们的比值有关系，比值不一样，度数就不一样。那么如果你看系数没有发生任何变化， 那这个时候呢，我们就转六十度啊，我们来试一下会怎么样？转六十度，你看，哎，先把 c p 绕着 c 点往外转六十度， 这个是我们的细点。好，再把 ca 也绕着 c 点往外转六十度。 ok， 这是我们什么？这是我们的 m 点，再连接细 m， 你 会发现这两个三角形，它不就是全等的吗？好，我把这个边设为小 a， 这个边呢，也是小 a 对 应边相等嘛，对吧？哎，全等对应边相等好，这个边为 b， 这个边为 c， 那 这个对应边也是为 c， 那 中间的旋转度数又等于六十度来，所以连接 p t， 我们就会发现有两个腰相等，中间又有个六十度，他应该是最特殊的等边三角形，那么三个边都应该相等等于 c， 你 看，所以这个时候呢，我们往外转六十度，就把我们三个共顶点的线段转移成了 首尾相连的线段，然后呢，最后根据两点之间线段最短，找到我们的最小值 啊，不就出来了吗？对吧？好，这是我们的最基本形式的费马电哈。总结一下，哎，就是把三角形往外转，因为这个时候边长没有发生任何变化，所以呢，我们转六十度，那如果加权费马点系数不为一， 那怎么办呢？好，来，我们来分析一下哈，那么如果系数不为一，你看这个系数为根号二。根号二，大家熟悉吗？ 哎，看到根号二，我们应该立马想到，学了勾股定你之后，咱们在直角三角形当中来，如果只要出现哪个特殊角，就一定会有根号二这个系数产生， 哎，只有一个，就是等腰值四十五度，对吧？它的比值为一比一比根号二，你看，没有，一比一比根号二，所以这个时候哈，哎，我们的根号二是我们的长边，对吧？这个一份是我们的短边，那我要去构造根号二倍的 p c， 那么这里面的 pc 边对应出来就应该是我们的直角边，对吧？短边嘛，根号二倍的短边，这个整体才是我们的 斜边，大家听懂没有？好来，所以呢，哎，根号二倍的 pc 应该是等腰直的斜边， pc 边呢，应该是我们的腰，就是我们的直角边。 好来，所以这个时候呢，我们分析出来了，应该转多少度呢？应该转九十度啊，转九十度，好，我们一起来转一下，那 p c 正好在 a c p 这个三角形当中啊，当然也在 b c p 当中啊，你随便转哪个三角形都可以啊，比如说我转 a c p 转多少度呢？ 转九十度，而且呢，往外转九十度好，转九十度，你看 c p 往外转九十度， 对吧？好，我的 a c 边呢，也往外转九十度啊，转了九十度之后， 这个是我们的 c 点，这个是我们的 m 点来连接线，那么这个时候它们俩全等的啊，全等的好来，这个边我是为小 a， 那 么这个边也是小 a 啊，这个边为小 b， 这个边呢也是为小 c， 只是中间呢，由之前的六十度转成了九十度啊，连接 pt， 你 看 等腰值不就出来了？说 p c p 为我们什么直角边？幺，那么根号二倍的 p c 不 就是我们的 p t 这个斜边吗？ 那么所以这个边就是根号二倍的 c， 哎，同样把它转移成了首尾相连的折线段之合，求最小，那么根据两点之间 线段最短，连接 bm， 就是 我们最小值啊，最后去求 bm 就 可以了，那如何求呢？接下来就是解三角形了，找一下有没有特殊角呢？这里面当然有啊，你看这个角高度，这角是六十度， 这个角也是九十度，那么它不就是一百八角，一百五十度啊。 a c 边等于写这个为四啊， dc 边，这个边等二倍，根号三，那这个边也是为四，大家看到没有？ 四二倍根号三一百五，那么所以看到一百五补出来零补角就应该等于三十度，哎，再过 m 点做垂线，用勾股去求就可以了啊，这个是 f 点，这个为四，三十度，对边等于斜边一半，这个为二呀。 啊，这边为二倍根号三，求 bm 是 不是斜边用勾股吧，这个边就应该是我们的四倍根号三，这个直角边又为二，所以 bm， 哎，等于他的平方四倍根号三的平方就是四十八，再加二的平方四等于多少？根号下五十二等于根号下四乘以十三等于二倍，根号 十三。最最终答案呢？等于二倍根号十三。好，这道题呢，我们还可以继续变形啊，可以继续变形，怎么变形呢？哎，变形是多少？变成把这个根号二变成根号三， 大家可以思考一下，如果变成根号三，那么还是一样的往外转，那转多少度呢？根号三，来，我们想到什么？同样是在什么？在一个咱们的等腰三角形当中， 他的顶角，哎，顶角等的等于一百二十度，好，这两个角呢，等于三十度，哎，对于这个凸三角形，我们的比值也知道为一比一比根号三，你看到哎， pc 为幺，哎，如果是根号三的话，根号三被 pc 同样是我们的 b 边啊，所以呢，我应该什么把这个 pc 往外转一百转，这里是一百二十度， 对吧？这是我们的系列好连接。 ct 又出来了吗？它为一百二，那么所以这个边是根号三倍的 pc， 听懂了吗？好，这是我们的加权费码。点来关注徐老师数学满分不迷路！