log复合函数值域为r

同样的函数，一个问定义域为二 a， 一个问值域为二 a， 一 字之差，翻译逻辑完全相反。 记住马老师这句话，定义域为二而是求活着，值域为二而是求活权，怎么理解？我们结合这道经典题，尤其是要注意这个系数 a 的 陷阱。 对数形复合函数，定义域为 r， 值域为 r 是 完全不同的翻译逻辑。很多小伙伴呢在这里面翻了车，我们今天呢把它的具体的逻辑给他说一下，那在这种情况下，内层呢？ x 方的系数是 a， 所以 对于所有的问题， a 等于零都需要单独分析。 当 a 不 等于零的时候，定义域为 r， 那 我们要去翻译成 a 大 于零，判别式是小于零， 值域为 r， 那 我们要需要去翻译成 a 大 于零，判别式是大于等于零。 好，为什么是这两种逻辑？那我们对这两问来单独的进行一个分析。首先我们来看定义域为 r 的 问题， 这个会比较简单一点，定义域是 x 的 取值范围，而我们这道题目当中肯定就是真数大于零嘛。也就是说你 ax 平方加上二， x 加上一大于零，是对于任意的 x 都成立的， 所以这是一个横乘立问题，横乘立问题我们就单独去分析就行了。如果 a 等于零的话，是二 x 加上一大于零， 那我们解出来呢？是 x 大 于负的二分之一，那并不是对于任意的 x 都成立，所以它不行。当 a 小 于零的时候， 哎，那你开口向下的二次函数，那肯定是显显然不成立的嘛，对不对？所以这种情况下不行。 好，那当 a 大 于零的时候，你 ax 方加二， x 加一大于零，你想解出来对任意的 x 都成立，那你的函数图像不就全部都得在 x 轴上方吗？那也就是说我们判别式小于零就可以了，所以判别式 derta， 它是等于四减四， a 是 小于零的， 那我们就解出来 a 是 大于一的嘛？然后我们再来看值域为 r， 那 值域为 r 呢？那我们这个复合函数就去分成内层和外层来去看内层 t 是 等于 ax 平方加二， x 再加一 y 层 y 是 等于 log， 以二为底 t， 好， 那作为值域为 r， 值域是谁？值域就是这个 y 嘛，而这个 y 对 应到什么？对应到一个对数函数，那对数函数的值域是不是刚好就是全体实数？ 那所以呢，我们要翻译成 t 是 大于零的 所有实数，它并不是 t 大 于零。横成力 t 是 谁？ t 在 这个内层二次函数当中作为一个函数值，也就是说在定义域内， 我这个 t 的 值域得是零到正无穷。这样的一句话，大家一定要好好理解一下。 好，那我们就来分析一下。首先 a 等于零，一定要单独分析 a 等于零的时候呢？哎，那 t 是 等于二 x 加一的，哎，那 t 要大于零，真数大于零吗？对不对？所以 x 的 范围是大于负的二分之一。好，那它作为一个函数， 横轴是 x， 纵轴是 t， 然后大于负二分之一啊，你看一下这个函数图像，是不是定义域内 t 就 能取到零到正无穷的所有数，所以这种情况下它是成立的啊？好，我们再来看 a 小 于零， a 小 于零的时候呢，是一个开口向下的二次函数， 那定义域我们需要去解 t 大 于零，我们是不是解出来这个 x 的 范围应该会在 x 一 和 x 二之间，那么横轴是 x， 纵轴是 t， t 其实只能取到这么一段呀， 对不对？就假设说它是 t 一 吧，所以说 t 的 范围实际上是属于零到 t 一， 那零到 t 一 对应到这样的一个外层函数当中， 横轴是 t， 纵轴是 y， 那 你想想，你的零到 t 一， 是不是就刚好只是这个对数函数的某一段，他的值域肯定不能是 r， 所以 这种情况下他是不行的。好，那我们再来看 a 是 大于零的时候，当 a 大 于零的时候，开口向上， 现在这个二次函数判别式是大于零的，那我还要去解定义域啊，那定义域呢？就会在这个两根之外嘛，这边是空心，所以你看 这个函数图像，在小于 x 一 和大于 x 二的时候，是不是 t 的 范围也是零到正无穷，所以它对应到的这个外层函数 y 就 可以取到所有的实数，对不对？所以这种情况下它是成立的。 然后我们再看判别式等于零，那我们对应到它是与 x 轴是有一个交点的吗？好，那你的定义域呢？是不是就不等于这个 x 一？ 那你的定义域不等于这个 x 一， t 的 范围是不是也是可以取遍零到正无穷的所有数？ 那对应到的外层函数，刚好它的值域也可以是全体实数，所以这种情况下也是成立的。我们再来看判别式小于零， 好，这样的一个二次函数，它与 x 轴没有交点，所以它会有一个最小值 t 一， 对不对？所以我们这个内层的函数，它的值域就是 t 是 大于等于 t 一 的， t 大 于等于 t 一， 那对应到外层的这个对数函数当中来说，那这边是一个 t 一， 那 t 一 到正无穷，那它不就是对数函数的某一段吗？直域取不到全体实数啊，对不对？ 所以我们在这种情况下去分析 a 等于零，是单独分析 a 大 于零，是我们去翻译成判别式大于等于零啊，那也就是德塔等于四，减去四 a 大 于等于零，我们会得到 a 是 小于等于一的嘛？ 又又是 a 大 于零，所以是零小于 a 小 于一， a 等于零是成立的，所以我们最后的结果就是零到一是左 b 右也 b。 总结一下，对应到这种对数型的复合函数，定义域为 r， 直域为 r， 一定要做好他的翻译，对他的一个翻译逻辑做一个更深入的理解。关注我，用正确的方法搞懂数学。

挑战一百天，讲解一百个解析技巧。咱们今天看的是让很多同学都理解不透的直遇和定遇问题。 上题目 f x 等于 log， 以二为底， ax 平方加四， x 加一的对数。好，我们看第一个问，定义域为 r， 求 a 的 取值范围，那定义域为 r 相当于什么意思？相当于这里面一坨 x， 你 无论取 任何数的时候， ax 的 平方加上一个四 x 加一大于零是 很成立的，那这个 x 你 取到全体实数，那么一坨大于零都是很成立的，那其实就很好理解了。把这一题再进行转化成数学语言， 那这里面的 a 是 在 x 的 平方前面的为系数，所以有多种情况要讨论。第一种情况，当 a 等于零的时候，那么 四 x 加一不可能恒大于零的，它是一个一次函数。那第二种情况，当 a 不 等于零的时候， a 不 等于零的时候，它就是一个一元二次不等式了。 a x 的 平方加四， x 加一要 大于零，一元二次不等式，这里面的 a 可能大于零， a 有 可能是小于零的。所以有两种情况，我们先看第一种情况， a 要小于零， a 小 于零开口向下，那这种情况下肯定是不可能出现很 大于零的情况，他开口向下的时候，这一部分和这一部分肯定是在外头的下面，所以只能是 a 要 大于零。那 a 如果大于零的话，要想满足它，所有的函数值都要大于零，那图像只能是这么画才行，不能这么画，这么画有这么一节是小于零的，所以 a 要大于零，并且要满足这个图像与 x 轴没有交点，所以得它要小于零，那么第一个问就 结束了，那么算的话，你们自己去算，我把思路给大家分析清楚，那么第一个问就结束了，那我们接下来看第二个问， ok， 第二个问直域为 r， 求 a 的 去的范围，那这一题就让很多同学就理解不透，是什么意思呢？那这个直域为 r 到底怎么去理解呢？我们可以把这个函数进行一个换元来看一下，我们看到是 log 以二为底 t 的 倍数，那么 t 是 等于 a x 的 平方加上一个四 x 加一，要想它的值率为相当于这个图像从负无穷到正无穷都能取到 log 图像是这样的，从最低点到最高点都能取到，那相当于这个 t 要取遍 零到正无穷所有的数。我再讲一遍，这个 t 要取到，是取到零到正无穷所有实数， 那我们再来看一下 a x 的 平方加四， x 加 c， 它要去变数零到正无穷所有时数。那我们再来讨论一下第一种情况，当 a 等于零的时候， a 等于零的时候是四 x 加一，它是一个 依次函数，依次函数四 x 加一，是不是这样的？能不能取到所有零到正无穷的实数呢？当然可以，你看它是从这到这这边零到正无穷都能取到，所以 a 等于零，记住情况 a 等于零是 ok 的。 那第二种情况，当 a 不 等于零的时候，那要分两种情况，一个是 a 要大于零和 a 要小于零。那我们先来看，如果 a 小于零， a 小 于零，图像是开口向下的，那我们看一下这种情况能不能取遍零到正无穷所有时数？明显不行，为什么要想取到零到正无穷所有时数，是不是要覆盖 外轴上半部分所有的区域？它只覆盖了这么一块，那么还有这么多，还有这一顶点朝上的所有地方它都没有取到，所以 a 小 于零是 不成立的。那我们再来看，如果 a 要大于零， a 大 于零，这样可不可以呢？ 这样的话，他虽然覆盖了外轴上半部分，但是他有这么一节，这么多是没有覆盖的，他也是没有取到零到正无穷所有的速度，那么只能是这样的才可以获得，是 与 x 都只有一个交点才行，那这种情况下它就覆盖了零到正无穷所有时数。那很多同学疑问了，那这样的话它不小于零了吗？我们讲的是是零到正无穷，要覆盖零到正无穷所有时数， 这样是不是也满足的？那这一部分是不是也在覆盖了？所以我们第二种情况要满足 a l 大于零，那么第二种情况就是 a 要大于零，并且的它要大于 a， 零有一个焦点的时候是等于零，有两个焦点的时候是大于零， 所以还有一种情况是 a 等于零，刚才也是可以的。那关于值域为 r 的 问题，其实利用数形结合也能轻松化解，你听懂了吗？

对数函数就是函数中最能让大家拉开差距的点了，那么今天我们把对数函数最核心的这八大题型全部给大家一次性讲透， 你把这八大题型掌握透之后，以后再也没有对数函数题能难到你了，行不行？行好，第四种题型叫对数复合。那么在这里我们重点给大家先讲一下对数和二次的复合，这是很经典的。来，先观察这俩题 问法上有什么区别，一个是定义域为 r， 定义域为 r， 一个是直域为 r。 对 了，很多宝字幕的痛点呀，不会，今天就彻底会了，行不行？行好， 你看什么叫对数函数？我们以前说过说 y 等于 l， o j 以 a 为底， x 这个位置只能是 x， 叫对数函数。对，一旦变成别人就叫对数和别人的复合，是吧？好嘞，他的定义域为 r 是 啥意思？ 写到这个位置， x 是 不是必须得大于零啊？是吧？ x 得大于零对不对？你这一大坨把我 x 替代掉了，那是这一大坨的结果，必须得大于零啊。 那也就是说，转化为二， x 方加 k， x 加八分之三得大于零。解出来的 x 是 不就是我的定音律？是的，它的解集是定音律。题目说定音律为 r， 问题得到转化，一元二次不等式恒成立。开口朝上，你与零的大小关系，几根图像？我们讲了六根，几根打一下，这里是三根啊，我们讲了几根？讲了六根二次函数，开口朝上， 朝上的有三根，就一个，点也三个，一共六根。好了，回答我，一二三，哪个符合题？只有 x， 不 论为谁，他的值都 y 值都得大于零。大于零哦，哪一根？一只有第一根，那怎么保证第一根呢？ 怎么保证第一根呢？来，我只要保证的小于零，从这里面解出来的 k 就是 我的范围。写不下了，我就不解了， 往常我们解的比较细致，今天胡老师没解，有问题吗？没有。好，第一个过了，第二个才是难点，很多同学理解不透，看题，他的直域为二， 怎么分析？首先，它是一个复合函数，来，注意第一步，它是谁的复合，把这一大坨看成 t， 胡老师利用 t 等于 x 方减八 x 加 a 方，那么这个函数变成 l o j 以二为底 t 了，是不是？是 说他的直率现在是谁 r？ 有 人说胡老师啊，你看他直率本来就是 r 呀，噔噔噔噔，一划过一零点 r 吗？看，从富无穷到正无穷，横坐标是 t， 他直域是 r 的 前提是 t 能取遍零到正无穷的所有数字。是的，对的，是整个图像，直域才能是 r， 能理解，不能理解，那万一 t 从这开始呢？对应的图像是这一段直域还是 r 了吗？不是了。 对呀，所以这个 t 得保证。怎么了？得保证 t 咋了？得保证 t 取遍所有大于零的数，你必须取遍的是所有大于零的数。 ok， 第一步搞定了，把 t 分 析完。第二步， t 是 谁呀？回回去呀， t 在 这，回回去。是不是？ t 是 由二次函数里面的 y 值？ 哎呀，二次函数的 y 值是不是又验证是零的关系啊？对，哎呀，这不是跟刚才一样吗？二次函数开口朝哪朝上？二次函数开口朝上，朝上朝上有三根， 哪一根能保证它取变大于零的所有数？这里是难点， 自己说大于零的所有数，一二三，哪一个？第二根？第三根？我知道有人告诉我是第一根，这就是你记错的地方。假如说这里有个白轴啊， 这横左边不是 x 吗？做左边不变成 t 了吗？是不是 t 要取变零到正无穷，就取变零到正无穷所有数字。如果是第一根，比如说这个点是二啊， 你告诉我，他的 y 值能取遍大于零的所有数吗？他的 y 值是二到正无穷啊，有零到二的吗？没有，我得取遍大于零的所有数， 你只是大于零了，你没取遍大于零的所有数就大于零的所有数，必须从零开始吗？从零到正无穷的所有数，能理解这意思吧？可以，那这个第一根肯定不行啊。 那第二根嘞？看，把这个点挖掉之后，你看他是不能取遍所有大于零的数字。第三根呢？也可以第三根我取这两边吗？对，是吧？我是不能取遍所有大于零的数字，把这挖掉。 有的人很郁闷，他不能理解为什么是第三根，他说胡老师，第三根，这不是小于零的吗？跟他有啥关系啊？我给你举个例子，这是。哎，你看对数函数，看这 y 等于 l o j 以二为底， x 方减二 x。 这个函数，我问你 不行吗？这个函数你看二次函数各过两个点，一个点是零，一个点是二。二次函数开口朝上，是吧？你看他能不能放到对数里面去。 他能放进去啊，只是我现在要求对放到对数里面，你得大于零。我取的是大于零的部分就行了吗？我定义域取的是富无穷到零，二到正无穷，我只要你这个图像大于零的部分就可以了。对， 所以说你为什么不能理解说这个？这部分小于零了，我只要这个图像大于零的部分吗？对吧？你的，你写到对数里面去，你肯定得大于零吗？我肯定研究的是你大于零的部分吗？你大于零的部分能取到零到整数的所有数字吗？可以的，这不就 ok 了吗？ 会了没？所以这道题最后转化成核心叫嘚它。什么零大于等于零，大于等于零，从这里面解出来就是我们参数 a 的 范围， 胡老师写不下了，你们自己算。这话听明白了吗？明白了，这是我们的第四大题型， 但是对手你不仅仅说要掌握这四大题型啊，八大题型是每一个都要去做专项训练的， 我们今天时间原因有限，没有办法讲完了。但是呢，胡老师把八大题型里面每一个拆的很细致，每一个里面还有小题型，你比如对数跟二次的复合，对数跟别人的复合，是吧？每一个都给大家配套了六道八道同类型的变式训练， 你把这些训练一个一个挨着跟着我们的课程去走你的对手这块以后再也不出错，帮大家快速去巩固好学透好不好？ 所以如果你没有训练的话，你可以留一下对数八大题型，然后胡老师给大家安排好，抓紧时间拿走打应用起来行不行？行，好，下课了。

大家好，我们来来看一下这个题型四十四，题型四十四呢，我们来讲的是对数性函数的定义语和直语， 那么在对数型函数的定义语里面，首先呢，我们来说一下对数型函数的定义语， 在对数型函数的定义语里面呢，我们来要注意两个问题，第一个问题呢是什么呢？第一个问题就是他的底数呢，是大于零且不等于一，然后呢，他的帧数部分呢，是大于零的，所以说呢，我们来看一下例题， 先看一下第一个例题里面的三个小问题， y 等于以五为底，一减 x 的对数，这是一个对数形，符合函数。那么在这个地方呢，我们可以看到呢，底数呢，已经是五，所以说呢，只需需要呢，让一减 x 大于零就可以了，帧数大于零就可以。 e g x 大于零，那么 x 小于一啊， x 小于一，因为我们来求的是函数的定义语，我们来前面一直在强调函数的定义语，或者说函数的直语呢， 它是一个集合，必须得把它写成集合或者区间的形式，那么写成区间的形式呢， x 就属于负无穷到一的开区间，这就是第一题，它的什么呢？定义语，再看一下第二题，第二， 现在是以二 x 减一为底，五 x 减四的对数。那么在这个地方呢， 首先看底数，底数呢是 r x 减一，那么 r x 减一呢，它出现在底数的位置上面。我们知道呢，在对数函数的底数部分， r x 减一，它需要呢大于零切 不二， x 减一呢，不等于一啊，底数呢是大于零却不等于一的。然后呢，再看一下五 x 减四呢，它是出现了在对数的正数部分，那么五 x 减四， 他是需要大于零的，所以说呢，要求这个函数的低于，那么他同时呢，要满足这样的两 个条件，第一个条件，底数大于零且不等于一。第二个条件呢，是啊，真数大于零，同时成立取交集，我们来要取取他们的什么呢？交集，我来首先看一下，第一个，二 x 减一大于零，二 x 减一大于零，那么二 x 呢，大于一， x 就大于二分之一， 我们来把它画在竖轴上，借助与竖轴取交集 啊，二 x 减一大于零，我们得到了 x 是大于二分之一， 大于二分之一，我们写二分之一大于二分之一，空心点好。然后呢，二 x 减一呢，是不等于一，就说明二 x 不等于二， 二 x 不等于二， x 来就不等于一。那么这个地方呢，有一个一，这样一个点来，把这个点来是需要干什么呢？挖掉的，它是一个空心点。再看一下，五 x 减四来是大于零，那么五 x 大于四， x 啊，大于啊，五分之四啊，五 x 减四大于零， x 是大于五分之四，那么五分之四呢，它在二分之一到一之间，那么我们来写上五分之四， x 是大于五分之四的，那么它们的交集呢，就能够写出来。交集写出来之后呢，我们可以看到呢，是 x 大于五分之四，且 x 不等于一。所以说呢，它的这个定义语呢，有两部分组成，一部分呢是五分之四到一，一部分呢是一到正无穷，所以 出来它的定义语来，我们就写上 x 数元五分之四到一的 k 区间，并上一个一到正无穷的 k 区间，这就是第二个函数的定义语， 我们来接着来看一下第三第三题， 第三题， y 等于根号下以零点五为底，四 x 减三的对数，那么在这个地方呢，它除了有对数式之后之位呢，还有一个偶四根式， 首先呢，我们来说遇到偶次根式的时候呢，我们说偶次根式下面的这个什么呢？倍 k 方数，以零点五为底，四 x 减三的对数，对吧？以零点五为底，四 x 减三的对数，它首先是什么呢？它首先是大于等于零的，对吧？ b k 方数是一个非负数， b k 方数大于等于零， 然后呢，这要注意的是呢，就是四 x 减三，它作为对数函数的帧数部分呢，一定要大于零， 那么他们两个呢，也是同时成立取交集。那么在前面呢，我们来讲过对数不等式的解法，那么在这个地方对数不等式呢，我们来首先看一下以零点五为底，四 xs 的对数呢，是大于等于零的，那么我们知道了，在对数函数里面 要解这样的一个什么呢？对数不等式，要解这样的一个对数不等式，这个地方零呢，它是一个什么呢？长数，我们把零呢，就写成以零点五为底，谁的对数就可以了。 再讲一下这些乘以零点五为底，四 x 减三的对数，我们来要解这样的一个不等式，当然呢，你也可以借助于对数函数的图像，当然呢，你还可以将这个地方的零呢，写成 以零点五为底，一的对数，对吧？一的对数，我们知道呢，是零，因为因为这个函数呢，它是一个什么函数呢？它是以零点五为底的对数函数，它是一个单调递减的函数，说明呢，四 x 减三呢，要干什么呢？说明四 x 减三呢，它是要小于等于一的， 对吧？哎，四 x 减三，它是小于等于一的，而四 x 减三，我们前面说了，又要干什么呢？大于零，所以说呢，只需要来解债的一个不得是就可以了，那么要解债的一个不得 是等式，两边首先同时呢加上三，那么就写四 x 呢，大于三，小于四， x 大于啊，四分之三 小于一啊，小于一，所以啊，小于等于一，小于等于一，所以说呢，它的定义语就写 x 呢，是属于四分之三到一的前开后闭区间啊，这就是函数的定义语。 函数的定义语呢，我们呢，在前面讲函数的三要素的时候呢，已经讲了比较多啊，已经讲了比较多， 然后呢，再看一下第二题，第二题呢，依然是函数的定义语，只不过呢，这个地方，他已经告诉你，函数的定义语呢，是全体实数，要求 a 的 取至范围 a， 我们来来看一下， 那么已经知道，它的定义语呢，是全题实数，要求 a 的取值范围。那么在这个函数里面，这是一个对数型符合函数要求，对数型符合函数的定义语，怎么求呢？让它的帧数部分，也就是说 a x 的平方加 a x 再加四分之一大于零，它是什么呢？在全体输出呢，是很成立， 它大于零，在全体实数上呢，都是很成立的，那么它大于零，在全体实数上是很成立。那么我们可以看到呢，它是关于 x 的一个一元二词不等式，那么它到底是不是一元二词不等式呢？这个地方呢，我们呢需要分对 a， 对 a 进行分，情况来说明一下，我们看，先看一下，当 a 等于零的时候，当 a 等于零的时候呢，它就变成了四分之一大于零，很显然呢，四分之一大于零，不管 x 为何止，它都是什么来成立的，所以说呢， a 等于零是 a 的取值范围里面的的 一个，对不对？ a 等于，就是说 a 等于零呢，他是符合题目要求的。再看一下，他大于零要横成立，他是一个二次函，他是一个二次函数的情况下，他要大于零横成立，那么他必须要来，首先要满足 a 是大于零的，对吧？然后呢，还要满足第二塔小于 零啊，第二它小于零，第二它呢等于 b 方减去 c， a， c 啊，第二它是 b 方， b 方就是这个地方的 a 方减去 c， a， c 减去四乘以 a 乘以四分之一，就是减去 a， 要干什么呢？小于零，它是关于 a 的一个一元二词不等式，那么 我们呢，就可以得到了， a 的范围是把前把线球，他两个根分别是零和一，对吧，零和一 k 口方向呢是向上， 这个方向呢是向上，小于等于零呢，他就在零到一之间， a 呢，又是大于零的，对吧？所以说呢，他最后呢，他的范围是 a 等于零或 a 在零到一之间。那么综上所述呢， a 的范围就应该是 a 属于 零到一的前 b 后 k 区间啊， a 的范围是 a 属于零到一的前 b 后 k 区间，这是第二题，那么 第一题和第二题呢，我们来讲的是对数型函数的定义语啊，对数型函数的定义语，我们来接下来呢，再说一下对数型函数的什么呢？直语， 对数型函数的直语，对数型函数，它一定是一个什么函数呢？它一定是一个符合函数，那么要求符合函数的直语，我们呢，前面呢，也讲的比较多，首先要把这个符合函数呢，要写成什么函数呢？写成写成两个或者两个以上的初顿函数， 对吧？然后呢，分别求值于我们来看，先看第一题，第一题， f x 等于以二维底 x 对数，它本身就是一个什么呢？对数函数 x 范围在二到十六之间，所以说呢，再看，可以根据它的图像求值于，也可以根据它的单调性求值于，因为我们可以看到二，它是大于一的， 所以说呢，函数 fx 在二到十六这个范围，这个范围内呢，他是一个单调递增的增函数，既然他是一个单调递增的增函数，所以说呢，他在二处呢，取到了最小值，他在十六处呢，取到了最大值，他的值与呢，就在最小值和最大值之间。那么 就可以先写出他的什么值呢？最小值对不对？ f x 的最小值他在什么地方取得呢？在二处渠道，他就等于以二为底二的对数。那么以二为底二的对数来是一， 来来，这个是把 f x 什么值写出来呢？最大值写出来，它的最大值在十六，除去的 f 十六，它就等于以几为底呢？以二为底十六的对数，而十六呢，可以写成二的四次方， 它要等于几呢？它要等于四。所以说呢，函数 f x 在二到十六这个区间上的最小值呢是一，最大值呢是四，那么它的值语呢？ y 它就是属于 一到四的 b 区间啊，值与是最最大值和最小值之间，这是我们来根据倍数函数的单调性来求值与， 当然你可以也可以借助于对数函数的什么呢？图像来求直语，利用对数函数的图像求直语和利用对数函数的单调性来求直语呢，其实是一样的，对吧？ 这是一个单重的一个对数函数，我们来看下面的第二题， 下面第二题呢，它是一个对数型的复合函数啊，下面 第二题呢，首先它是一个对数型的符合函数，那么它既然是一个对数型的符合函数，那么我们呢，要求它的直语。首先是需要呢，将这个 对数函数，对数型符合函数拆分成两个 ton 函数， 令 t 等于负 x 的平方，加二， x 再加三，其中呢， x 呢，它是属于 零到二分之三的这样的一个 b 区间。好，那么这是内函数，内函数里面自变量 x， 那么音变量呢，是 t， 你说明呢？ 首先呢，在这个内函数里面，可以将内函数的直语写出来，那么就相就相当于是把 t 的范围写出来，然后呢，则 y 它就等于以二为底 t 的对数，那么它是一个未函数，我们来要求直语，相当于是就要求外的范围，那么你要求外的范围，首先呢，要知道 t 的范围， t 的范围呢，就是内函数的直语，那么内函数的直语是未函数的定义语， 所以说这个地方呢，我们来要求这样一个符合函数的直语，我们呢，需要求两次，先求内函数的直语，然后呢，再根据内函数的直语是未函数的定义语，就知道了未函数的定义语 t 的范围，然后呢，再求 未函数的值语，未函数的值语呢，就是什么呢？就是这个函数 f x 的值。语， 我们来先看一下 t 的范围， t 等于负 x 方加二， x 加三，那么很显然，这个函数呢，它是一个二次函数，二次函数呢，是我们的一个初等函数，对于初等函数，二次函数，我们来求指语，画图像就可以了，画图像开口方向呢， 看二十三系数是负值，所以说 k 口方向呢，是向下的对称轴，负大二， a 分之 b， 对称轴呢，是负大二， a 分之 b 呢，是一。 k 口方向呢，又是向下的，我们来画出它在零到二分之三上的图像啊，零到二分之三上的图像，那么其他地方呢，我们呢，要么不画， 要么画成什么呢？要么画成虚线。那么零到二分之三上面的图像，我们可以看到了，当他在零处的时候呢，取到了什么值呢？最小值，那么最小值呢，就是三。 那么当 x 等于多少的时候呢？ x 等于一的时候呢？它取得了它的什么呢？最大值，最大值把一带进去，负一加二，再加三，最大值呢是四， 所以说呢， t 的范围，我们呢就能够得到 t 的范围，但是 t 呢，它是属于 三到四，三到四这样的一个区间。 c 的范围知道，那么现在来要求 y 的范围，那么这是一个对数函数，那么对数函数呢，我们说要求他的直语，我们呢可以根据他的单调性，当然也可以根据他的图像 以二为底。 t 的对数二呢，它是大于一的，所以说呢，它在这个区间上呢，它是一个增函数，那么它的最小值呢？在 t 等于三处的时候呢，取得了最小值，在 t 等于四的时候呢，取得了它的什么呢？最大值，所以说呢， y 的范围呢？它就是 y 呢，它是大于等于以二为底 三的对数，小于等于以二为底四对数，而以二为底四对数呢，我们知道它等于二，所以说呢，外的直语来就写外来呢，它是属于 以二为第三的对数到二，这样的一个什么区间呢？这样的一个 b 区间，这就是函数的定义语和直语。 我们来就讲到这个地方，我们来这个地方呢，还有这样的两个列习题 啊，两个练习题。然后呢，我就不讲了，做法来和前面的做法来是完全相同的，是一样的，哎，自己做一下。

今天的视频分享，已知复合函数的值域为 r， 求参数 a 的 范围。这是一道二零二八届重庆巴蜀中学高一上半期考试十三题， 已知 f x 等于洛根 x 平方加三 x 减 a， 它的值域为 r， 求 a 的 范围。 这个题他是在填空题的第二题，难度不大，但是容易出错，也就是我们这个复合函数值域是 r， 那 我们怎么去理解呢？ 我们先来复习一下我们对数函数它的图像和性质哈，对的值域问题。对数函数等于 e， a 为底， x 对 数哈，根数是大于零的， 那么底数 a 大 于一，它是个单的递增的函数，底数 a 落在零到一啊，它是一个减函数，无论这个对数函数它是单增还是单减，我们发现你看它的值域是不是就是 r 了？ 所以啊，我们对数函数，它值域为 r， 我 们只需要这个增数大于零就行，那是不是就是这个一定要大于零呢？ 不一定喽，我们增数大于零说明什么？说明我们这个函数我令 t 等于 x 平方加三 x 减 a， 那 也就是要什么要保证这个复合函数的值域为 r， 也就是我们这个 t 只要取遍零到正无穷的一切值，就可以保证值域为 r， 是 不是？那这句话我们再翻译一下， 这个梯能取遍零到正无穷的一切值，转化成我们的数学语言，就是什么呀？ 就是零到正无穷这个区间是这个整数梯的值区间， 那就可以保证 t 取遍零到正无穷的一切值。是不是好，零到正无穷是这个二次函数的子集。来，我们结合图像来看，你说这个二次函数长成什么样子才能保证零到正无穷是它的子集呢？ a， 我 可不可以这个二次函数以 x 只有一个焦点的时候， 你看是不是零到这五就差纸节？或者是这个二次函数有两个焦点与 x， 是 也能保证零到这五就差的纸节。但是请同学们想一想，这种情况是不是就是零到这五就差纸节啊，是不能保证，哎，你看又是这里有些纸啊，可能取不到，所以啊， 零到正无穷，只要保证是我们这个二次函数值域的值集，我们的值域它就可以是 r， 所以 二次函数与 x 的 图像的位置就可以保证有一个焦点，或者是有两个不同的焦点，有什么决定？ 哎，这就简单了，是用判别是 d 它呀，所以只需要考虑 d， 它九加上四 a 有一个焦点或两个焦点大于等于零，所以减的 a 啊，是大于等于负的四分之九，所以这里应该填四分之九，负的四分之九到正无穷。左闭右开 好，值域为 r， 那 么我们把它翻译一下，就是零到正无穷是这个真数的值集，真数是个二次函数，零到正无穷要取变哈，在每个整数的值集的情况下，只需要得儿它大于等于零就 ok。 好，这个题和我们这个去比较一下哈，这是值域为 r， 哎，我们有的时候他可能会说，定义域为 r 啊，定义域为 r 哈， 我们 a 的 范围又怎么去取了？定义域为 r， 那 就是 x 取一切值，我们增数是要大于零， 所以把它翻译一下，也就是增数 x 平方加三 x 减 a， 它是不是大于零？ 函数的 x 取一切值带进去，它都是大于零的，所以就是定义为 r， 那 么也就是这个 x 平方加上 x 减 a 大 于零函数的， 那么对应的这个二次函数的图像是不就是全都落在 x 轴的上方，与 x 是 没有交点的，所以这个时候是得它等于九加四， a 没有交点小于零， 所以减的 a 呀，是小于负的十分之九。好，所以同学们一定要区分比较这两个问法哈，一个是指意为 r 的 时候，一个是定义为 r 的 时候，它是完全不一样的哟。哈，要注意到这一点。

这个对数函数的值域为 r 对 数函数的值域为 r， 你 看了吧，就是我们随便画一个对数函数 y 的， 用 log x， 它哎 的值域就是 r， 它的值域就是 r 啊，什么时候是 r 呢？就是 x 能取遍零到正无穷的所有数，能取遍零到正无穷所有数， 它 y 的 范围就是值域为 r y 的 范围值域为 r， 那 比如说取不变所有数，你看，我说 x， 我 只能取一右边的， x 我 只能取一右边的，那你看我们的值域就不是 r 了吧？值域的话是大于零，明白不 能看懂不啊？就是说你的值域为 r， 说明你的这个真数能取变零到正无穷的所有数，你说就取一部分， 就取一部分，我值域怎么能是 r 呢？这 y 的 范围，这不是 r 啊，这是有限制的呀。啊，所以在这儿，我们如果说值域为 r， 就 一定能够推出来真数取变零到正无穷的所有数。好，所以在这儿 值为 r， 也就是咱们这个真数，这个真数这一坨啊，取变能够取变零到正无穷上的所有数 啊。所以我们研究这个真数， ax 方加二， ax 加一，它开口向上的时候嘚呃嘚 嘚，你看哪一个能够取遍零到正无穷上的所有数呢？是这个圈一 可以，圈一可以，圈二可以，圈一可以，圈二可以，圈三不可以，圈三不可以。 为什么呢？因为你这个真数，你看你能，你能取变零到正无穷上所有数，这个也能取变零到正无穷上所有数，这个你只能取从这个最小值开始往上的数。这个真数啊，这是我们说的真数，你只能取最小值往上的数， 也就是说你刚刚呃跟 x 一 样，你只能取某一段，你比如说只能取这个往上，这个数往上的数啊，那这样的话的 y 我 的值域就不是 r 了，所以说这个是我们首先要排除掉的，就不要的 啊，不要的，首先不要的。那有有，有人就说，老师，你这个地方也不行啊，你不是真数得大于零吗？是的，我现在没有说定义域啊，我如果说定义域的话，那肯定是 x 一 的左面， x 二的右面， 我现在没有再说定义域。哎，我现在没有再说定义域，所以我再说值域，不用管定义域，我就说值域能取遍 r 值域，它的 y， y 能取变 r， 那 说明真数能取变零到正无穷的所有数啊。所以 a 大 于零嘚，它要呃大于等于零，就第一种情况和第二种情况放到一起， a 大 于零，嘚还要大于等于零 啊，嘚还要大于等于零，那如果是 a 小 于零呢？ a 小 于零，你看啊吧，取到零不零到正无穷的所有数 都不行，为什么呢？不行不行不行，你这个零到正无穷的数你都取不到，这个也取不到啊，你这个只取到一部分啊，所以都不要。那 a 等于零时也不行，为什么呢？因为 a 等于零数，这个真数是一，他只有一个一， a 等于零时，他真数只有一个一哪取遍零到正无穷上的所有数了，就取了一而已，所以也不要他。最终我们要的是谁呢？要的是 a 大 于零到正无穷上的所有数了，就取了一而已，所以也不要他。最终我们要的是谁呢？要的是大于零小于等于零的这一部分， 这一部分啊，但是它大于等于零，就是呃 b 方减四， a c 大 于等于零， a 方减 a 大 于等于零， a 括号 a 减一大于等于零大于去两边一个是零，一个是一，所以 a 小 于等于零。呃，或 a 小 于等于零，或 a 大 于等于一，或 a 大 于等于一。因为我们前提条件啊，呃，是 a 大 于零，所以 a 小 于等于零。排除掉啊，只要 a 大 于等于一，所以最后一的范围 a 的 范围是一到正无穷的左 b 右开 啊，这是非常易错的，跟刚刚那个定义为 r 特别容易混，特别容易混。嗯，我给你梳理一下这个值域为 r 吧。值域为 r 是 y 的 范围是 r， 就 跟我们刚刚画的这个最简单的这个对数函数图像一样，你的 y 的 值域为 r 就是 你的 y 啊。能从负无穷一直取到正无穷，那你的 x 必须给我取变零到正无穷上所有数，就这个真数啊。如果 x 没有这个能力怎么办？我 x 只能取这部分，你 x 要只能取这部分，我的 y 也只能取从这开始往上，从这开始往上的范围而取不到 r。 所以 你这想要保证值域为 r 啊， 保证值域为 r， 要求 x 取变零到正无穷上的所有数 啊，要求取变零到正无穷上所有数，所以就是在我们这的话，值域为 r 就是 这个真数能够取变零到正无穷上的所有数啊，就是它翻译过来就是我们的真数，就这一坨， a x 方加二， a x 加一， 真数能取变零到正无穷所有数 啊。所以在这个地方啊，我们就看分类讨论了啊， a 大 于零的时候，发现这个能取变， 这个也能取变啊，这个不能不要，这小于零的时候，开口向下都不能取变，零到正无穷上所有数都不要 啊。所以 a 等于零的时候呢，也不要，只能取个一，只能取个一排除掉了。所以我最后只要 a 大 于零，使它大于等于零。有人会说，老师，这块不能要啊，这底下你不真数不能小于零吗？ 那是定音域管的事，不是我值域管的事。那是 x 的 范围管的事， x 的 范围管的事。这又没说 x 范围啊，如果要有的话， x 范围我肯定给它限制好，一个是大根。呃，右边小根左边我肯定给它限制好啊。啊，只是说现在没有说定音域而已啊。这是我的值域为 r 值域为 r。 好，刚说定义域为 r 的 时候吧。定义域为 r 的 时候是 x 随便取， x， 你 愿意取谁就取谁，你怎么取我的真数都会满足题目的要求的，你怎么取我的真数都大于零，所以我们选择的是这个 啊，这个 x 随便取， x 随便取啊。 然后呢？呃，还有一个就是 a 等于零的时候，我们的真数等于一了，因为 a 等于零的时候， x 也是随便取。真数永远是一，真数永远是一啊，我们也永远。 y 是 有意义的，所以也也要了它也要了它。那是定义域为 r 时候，这是两个特别容易拿到一起去辨析的题目。整理一下， 好宝宝们，我的短视频时长有限，所以希望有缘通过我的短视频认识到大家，也希望大家能够来到我的课堂上，课堂是肯定要讲得更加的清晰深入，而且延伸的非常的全面到位的哈。 因为短视频时长有限制，所以我会说的稍微语速快一些，大家可以暂停看一下这两页。可以暂停看一下这两页。 好，那我们下一个视频再见喽。