三角几何题答案

厉害炸了，二零二五年重庆模考的这道解三角形压轴题出的实在是太好了，它是一道平面几何味道非常浓的题目，第一问中规中矩，第二问开飞机。如果高考也出这种风格的题目，得分率 一定相当惨淡。但其实呢，解析的核心思想正是研究几何问题的底层逻辑，具体是什么呢？来，咱们先看题 好，题目呢，给了一个平面四边形 a、 b、 c、 d。 知道呢， a、 b、 b、 d、 c、 d 全是一， 这段等于一，这段等于一，这段还是一。说白了，三角形 a、 b、 d。 三角形 d、 b、 c 两个等腰三角形 点 e 呢？在线段 c、 d 上知道 a、 d 等于 a、 e 三角形 a、 d、 e 第三个等腰，以及 b、 e 等于 b、 c 第四个等腰。你看四个等腰三角形，有没有一种梦回初衷，平面几何的感觉？ ok， 那 咱们先看第一问，知道呢，角 b、 c、 d 七十五度，求 d、 e 来，这个角七十五度，求这段的长啊。这个第一问呢，还是比较简单的，有这么多等腰加上一只角，那么其他的角基本上都能算出来 来。咱们呢，先看到三角形 b、 e、 c。 好，等腰三角形，这个角七十五度，那这个角七十五，这个角三十。然后呢，看到三角形 d、 b、 c 来，腰长为一的等腰三角形，这个角呢，七十五，这个角七十五，去掉三十，剩四十五度， 菱角呢，依然是三十度，然后这个角一百零五度，那么到此为止， d、 e 的 长就可以求了。三角形 d、 b、 e 当中三角一边是已知的，那用一下正弦定力就可以了吧。来就是 d、 e 比上三四十五度，它呢就等于一只边一再比上三一百零五度 好了。所以呢，第一，三四十五度除以三幺零五度， 二分吃根二算一百零五度呢，就是算六十度加四十五度啊，能背下这个结果是最好的，四分吃根六加根二啊，数呢，大家自己算一下，应该是根三减一。 ok， 那咱们继续来看第二问，这一道出的非常非常精彩的题目，它呢，给了这么三个角角， a d， b 角 b d， c 角 b c， d。 来标一下，这个角阿尔法 这个角贝塔这个角伽马。那么不难注意到，作为同一个等腰三角形的顶角和底角，贝塔和伽马之间必然有等量关系，事实上，角 dbc 也是伽马， 所以呢，贝塔加上两倍的伽马，一百八十度等于派对吧。好，接下来呢，有两小问。第一问呢，让你证明阿尔法，贝塔伽马之间满足这么一个比较复杂的等量关系。第二问，求二倍阿尔法加贝塔等于几？ 哎，我相信呢，很多同学看完题目呢，是没啥想法的，就是四个等腰三角形，犬牙交错，纵横疆胡。然后呢，这三个角之间看上去也没有什么关系，而这个式子给的又比较复杂，也看不太出来具体是怎么算出来的， 对不对？好，所以接下来请大家认真听好这道题，我是如何分析的？其实呢，我根本就没有管这两个问题，只是把图形分析了一遍，然后我就知道出题人到底想干嘛，以及这道题应该怎么做。 那这个图形怎么分析呢？来，就是一开始说过的几何问题的底层逻辑。首先得先分析一下每个点是如何确定的， 来，我重复一遍。首先要分析这个图形当中每个点是如何确定的， 这样不是分析怎样加辅助线。有的同学呢，为啥几何学的不好，你总是想辅助线怎么加？这件事情根本不重要，重要的事情，第一件应该是每个点在几何上是怎样被确定下来的。 ok， 那 具体怎么分析呢？来，咱们就按照这个图形的生成顺序。好，先看三角形 a、 b 定， 你看，这是一个等腰三角形，腰长已知，那么这些条件能把这个三角形完全确定下来吗？ 好像不行吧，角 a、 b、 d 的 大小可以变化，所以如果角 b 确定了，整个三角形才是确定的，对吧？当然，这道题呢，没有给角 b， 它给的是这个角阿尔法，那也可以，阿尔法确定了，整个三角形也是确定的。 好了，所以呢，阿尔法确定 a、 b、 d 三点就确定了，这是这三个点的确定方式。好的，那接下来呢，是点 c， 这里呢，有一个等腰三角形 d、 b、 c 来，只根据等腰三角形点 c 能确定吗？哎，也不行吧，这个角的大小也可以变化。题目已知这个角是 b， 它，所以呢，如果 b 它确定了， 才能使得这个等腰三角形 d、 b、 c 是 确定的，那么与此同时，点 c 也就确定了，这是点 c 的 确定方式。 好，现在呢， a、 b、 c、 d 四点都确定了，只差最后的点 e。 关于点 e， 咱们知道 a、 d 等于 a、 e， 那 各位同学，根据这个等幺三角形点 e 能确定吗？ 哎，这个是可以的，因为其他四点都确定了，你就以点 a 为圆心， a、 d 为半径，画这么一个圆，那么和 d、 c、 e 相交，点 e 自然就确定了，对吗？好，所以呢，根据 a、 d 等于 a， e， 点 e 自然就确定了。 但是接下来关于点 e 还有一个条件， b， e 等于 bc， 这也是点 e 满足的一个限制，对吧？ 哎，那这个事情呢，就非常有意思了，点印已经确定下来了，但是他还满足其他的限制条件，那么从这个条件出发，一定能得到等量关系。 什么意思呢？那我换一个角度给大家解释一下啊，就是如果咱们无视掉 a、 d 等于 a， e 只看 b， e 等于 b， c， 只看这个等腰点 e 能否确定，也可以吧，以 b 为圆心， bc 为半径，做这么一个圆，点 e 也能确定下来。 好，所以这道题目当中呢，点 e 有 两种确定方式。 那么接下来关键的问题来了，请大家仔细听，好啊，假设呢，我保持 a、 b、 d， d， b、 c， 它俩都是等腰三角形，那么在此基础之上，这两种方式确定的点 e 一定是同一个点 e 吗？ 哎，这个事情呢，不一定，为啥呢啊？我把这个点 e 呢记作点 e， 一， 这个点 e 记作点 e。 二来，咱们来到这个图上画一下，你看， a， d 等于 a， e， 点 e 呢，大概在这里，这个是 e， e， bc 等于 b， e。 好，这个 e 二，大概在这里。所以你会发现，这个图形如果随便画的话， e 一 e 二大概率是不重合的，对吧？但是呢，在这个图形上，两个点 e 偏偏就重合了，各位同学，这能说明啥？ 这就说明呢，这个阿尔法角和贝塔角是不能随意变化的。比如说，如果阿尔法等于四十度，那么贝塔角必须得是某个确定的度数，才能使得这两个点是重合的， 对不对？或者呢，比如说阿尔法是三十度，那么贝塔也不能随意变化，它必须也得是某个确定的度数才能使得这两点重合。 那么换句话说，这两个点重合，其实就说明了阿尔法和贝塔之间必然存在着某种等量关系。 好了，所以这道题的第三问，你们来看一下，求二倍阿尔法加贝塔的值，研究的就是它俩的等量关系，对不对？那么上面这个问题又是干嘛用的呢？ 哎，非常简单，就是出题人呢，在提示你，直接求这个式子不太好求，你可以先把阿尔法、贝塔、伽马之间的等量关系算出来，再利用这个式子消去伽马，就能得到阿尔法、贝塔之间的等量关系。理解了吗？ 好，在这里面呢，最重要的一个思想是什么呢？就是如果在几何上某个点有两种确定方式，那么这两种确定方式必然会引出等量关系，理解了吗？ ok， 所以 接下来呢，咱们就把这两个点重合这件事情写成一个等式。那么这两个点重合怎样写成等式呢？ 来非常简单，看，回到这个图形，其实呢，就是 d e 加 c， e 等于 d c 啊，为啥是这个式子？因为你看一下这个图形，这个图形上 e 一 e 二不重合，所以呢， d e 一 加 c， e 二就不等于 d c， 所以呢，这个式子就可以表示出 e 一 e 二两点重合，听懂了吗？ 好，那么接下来呢，就把这三条线段用什么阿尔法、贝塔、伽马给它表示出来。来，咱们先看定义 啊，定义呢，得放到三角形 d a e 当中去求，为啥是这个三角形？因为呢，在这个图上定义就是 d e e， 它是由三角形 a， d， e e 确定的，所以应该放到这个三角形当中来求。定义好，咱们呢，把它单独画出来 来，等腰三角形，这个角阿尔法加倍，它想表示第一，那就得先把 a、 d 给它求出来，而 a、 d 呢，可以放到等腰三角形 a、 b、 d 当中， 腰长为一底角阿尔法。想求 a、 d， 那 么在这里呢，做一个高 来，各位同学看一下，这个 a、 d 的 一半应该就是一乘上 cosine 二法。就是在这个直角三角形当中， a、 d 的 一半比上一应该是 cosine 二法，所以一半就是一乘上 cosine 二法， 那么整个 a、 d 就是 二倍的 cosine 阿尔法。好，那么接下来呢，想求 d， e 还是在这里做一个高来看一下 d， e 的 一半，你看啊， d， e 的 一半 比上斜边， a， d 就是 阿尔法加贝塔的领边比斜边，它就应该是 cosine 阿尔法加贝塔，对吧？所以呢，这个定义，二倍的 a、 d 乘 cosine 阿尔法加贝塔， a， d 呢，是二倍 cosine 阿尔法， 所以呢，第一就应该是四倍的 cosine 阿尔法，再乘上 cosine 阿尔法加贝塔。哎，各位同学就是这个式子。等号右边的部分看到了吗？ 那咱们继续再来看 c， e， 它呢，得放到三角形 b， c， e 当中求这个三角形， 呃，依然是等腰三角形，底角是伽玛，那咱们先把腰 b、 c 给它求出来，放到等腰三角形 b， d、 c 当中 啊，底角是伽玛，腰长为一，那么一样的做一个高 啊，这个一半呢，就应该是一乘上 cosine 伽玛，所以呢， bc 就 应该是二倍的 cosine 伽玛， 然后呢，还是往这个地方做一个高这个一半跟之前一样，应该是 b c 乘上 cosine 嘛，二倍 cosine 嘛，再乘 cosine 嘛，二倍 cosine 方干嘛？那么整个 e c 再乘二四倍的 cosine 平方干嘛 啊？这一说，右边的 d c 提米值等于一，哎，各位同学看一下，这个式子和要你证明的这个式子完全一样，只是把四倍 cos 方格码放到了右边，发现了吗？那这一问就做完了 哎，所以你看，只要你在一开始能分析出，根据这两点重合，能得到这么一个等量关系，那么剩下的思路就会一帆风顺，没有任何卡点，对不对 啊？当然了，如果你不像我这么思考这道题呢，也不是一定做不出来。比如说，有的同学呢，可能对这个式子的感觉特别好， 对照图形就能看出来，每个部分分别表示什么含义也没问题。但是如果你能在一开始像我这么去分析，那么动笔计算之前，你就可以骄傲的宣布，这道题我已经拿下了，这是解析最好的状态。 所以呢，其中的关键再次强调一遍，像这种几何条件非常多的题目，大家呢，可以去看一下其中每个点是如何确定的，同一个点如果有两种确定方式，那么一定有等量关系，学会了吗？ 那证明完了，第二问第三问呢，就是水到渠成的事情了，之前说过了，根据这个式子把伽马削掉就可以了 啊，这里呢是 cosine 方伽玛，咱们呢，先用一下降密公式啊，变成二分之一，加上 cosine 二倍伽玛，要编呢，照抄 好，这里是一减二负一，再减去二倍的 cosine 二倍伽玛要编照抄， 那么这个 cosine 二倍伽马根据这个式子就是 cosine 派减贝塔，负 cosine 贝塔，好，所以这里呢，改一下啊， 负 cosine 贝塔，前面呢变成加号，那么到此为止呢，和伽马已经没有关系了，就是根据这个式子求二倍二法加贝塔，接下来呢，就进入了三角恒等变换的范畴， 那么大家要知道，做三角恒等变换其中一个最关键的思想叫做消角思想， 就是这道题目当中呢，现在出现了这么几个角，阿尔法贝塔，阿尔法加贝塔以及最终要求的二倍阿尔法加贝塔， 好，总共有四个角，咱们要想办法消去其中一些角，也就是把这四个角用数量尽可能少的角给它表示出来。 这里呢，不难发现，所有的这些角都可以用二法和二法加贝塔来表示，这个角呢就是二法加贝塔减二法，这个角呢就是二法加贝塔加二法， 好，所以呢，把这里的 cosine 贝塔换成是 cosine 二法加贝塔减二法，右边呢，不动 来这里呢，打开括号，全都移到右边啊！首先呢，会有一个二倍的 cosine alpha 加贝塔 cosine alpha 移到右边变成减号 四倍的 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法加贝塔减去二倍的 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法加贝塔上一个二倍 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法加贝塔啊，这边呢，还有一个二倍的三阿尔法加贝塔，三阿尔法移到右边变成减法 好了，那么这个式子体出二可以用一下余弦合角公式，二倍的 cosine 二法加上二法加贝塔， 也就是二倍的 cosine 二倍二法加贝塔，那咱们想求的这个角就有了， 二呢？处到左边 cos 二倍阿尔法加贝塔，负二分之一。然后呢，大家自己确定一下二倍阿尔法加贝塔它的范围，那么余弦负二分之一，这个角只能是三分之二 pi， 那 么这道题就做完了，看懂了吗？ 好了，所以通过这道题呢，就是想给大家说一下其中最关键的一个题目，怎样去分析几何图形。 第一步，先看一下每个点的确定方式，那么像这种有两种确定方式的点，背后一定隐藏着等量关系，学会了吗？ ok， 那 这道题就说到这里。

同学们好，我是数学华泽老师，带领大家一起冲刺中考数学。今天咱们看一下三角函数里面的哎，关于隐藏来求了物体的高以及以及了哎边长的一些题目， 那么咱们由这个题呢进行讲解。首先看如图，学校的旗杆附近有一斜坡，小明准备了测量旗杆 a、 d 的 高度，他发现当斜坡正对着太阳光时， 其杆 a、 b 的 影长恰好落在了水平地面和斜坡的了坡面上。此时小明测得水平地面上的影子长 b、 c 等于二十点二米， 斜坡坡面上的影子长 c、 d 等于二五点二米。太阳光 a、 d 与水平地面 b、 c 成三十度角。斜坡 c、 d 的 坡度为一比二点四，求其杆 ab 的 高度。 那么呢，咱们首先分析其目这个地方，其杆 ab， 它的一部分隐藏是 b、 c， 另一部分呢，它落在了这个 斜坡上 c、 d 上，而 c、 d 呢是五点二米，而且它告诉斜坡 c、 d 的 坡度为一比二点四球旗杆 a、 b 的 高。那么像这种旗呢，它还有一种旗形就是了哎这个地方了 哎有个楼房，然后呢跟前呢也有一个哎楼房，那么太阳光这样照射下来以后呢，它的一部分影子呢，会落到了哎这个楼房的哎 这个楼房的呢这个呃楼房上面，然后呢一部分呢落在了它的这个水平地面上。 那么这两种情况呢，也是咱们先要求，求什么呢？求这个隐藏哎所在水平面它的呢，这部分隐藏是多少？ 然后呢进行解哎这个直角三角形来求这个它的高度 h。 那 么对于这个题目当中呢， 这个 c、 d 来说，哎，咱们呢，根据它的坡度就可以求出，哎，它在水平地面上的长度应该是哎或点 d 做它的高 dm， 那 么这个时候 咱们就可以求出了 c m 和 dm 的 长，然后呢，它要求的是 ab， 因为呢， ad 与水平面的夹角上这个三十度，所以说我们呢连接 ad， 连接 a， d 过点 d 了，做它的高，哎，那么这个时候相相交于 n， 那 么 哎，香蕉与 n b， n 就是 dm， 所以 说咱们只需要把哎这个 dm 还有了这个 d n 给它求出来，这样的话， a n 呢，我就可以把它解出来，所以说，哎，第一步解它， 哎，过点 d 座 dm 垂直 bc 交 bc 于点 m， 然后呢，哎，在 r t 三角形 dcm 中， 这个时候呢，咱们有 dm 比上一个 c m， 哎，它的坡度是一比二点四，那么咱们可以设了， 哎， dm 等于 x， 则 c m 等于二点四 x， 哎， 所以这时候就可以得到 x 平方加二点四 x 括号的平方，它等于这个五点二的平方，那么这时候咱们就可以了，把 x 给它解出来，解得 x 等于多少？咱们可以算一下，二点四的平方是五点七六 x 平方， 加上一个 x 平方，就是六点七六 x 平方，那么五点二的平方呢，它就是五点二，乘以五点二， 可以看一下，五二十五，二十六四零七二二七点零四，除以了六点七六， 嗯，这个地方四四六了，二十四四七二十八四六二十四四，那么说 x 平方等于四， x 应该等于二， x 等于二，把它解出来了。 好，那么 x 写出来以后，这时候，哎，所以这个 dm 它是等于 x， 它是等于二的，哎， 而这个 c m 呢，它是等于二点四， x 也是四点八米。 好，那么这样的话，这时候再啦，哎，过 点 d 错 d， n 平行 bc 交 a b 于点 n， 哎，则 哎，则什么呢？则这个 b n， 它就等于 dm 等于二。那么要求 a、 b 怎么呢？把 a、 n 算出来就可以了。那么 a、 n 怎么求？ 现在呢，咱们知道这个 a、 d 与水平面所构成角是三十度，所以说 a、 d、 n 这个角是三十度，那么我求出 d、 n 就 行了。那么 d， n 呢？是不是等于 cm 加 bc？ 哎， 因为又因为了 b m， 它等于 bc， 加这个 c m， 它就等于二十点二，加上一个四点八，等于了二十五米， 那么极，所以这个 d、 n， 它是等于二十五米。 那么在 r t 三角形 a， d、 n 中怎么就有啊？这个 a n 比上一个 d n， 它就等于贪心他了。三十度，哎，即 an 比上一个二十五，它就约等于，哎，它就等于了三分之根号三啊，那么这时候把它解出来就行，哎， 所以 an， 它就等于三分之二十五倍根号三，那么它已经告诉你了，根号三呢，取一点七三，那么咱们可以算一下， 二十五乘以一点七三除以了三，它是等于约等于十四十四点四米。 那么这样的话，哎，所以这个 a b 等于 an， 加上一个 b， n， 它等于十四点四， 加上一个。呃，怎么算出来的？ d n 是 两米二，它就等于了十六点四，约等于了十六米。 因为题目当中呢，要求咱们保保留了精确到一米，所以说答了就是十六米。 好，那么像这是这是，这是呢一种类型，像我刚前面呢画的这第二种类型， 哎，这个呢，他落到墙上的这一部分呢，咱们也可以了，哎，去求这个直角三角形，先把 哎墙上落在了这一步呢，这个直角三角形求出来，然后呢再去切这个地方，哎，这个直角三角形。好，今天的课呢就讲到这。

有关于直角三角形斜边上的中线性质，是八上期末考试必考的一类题型，那么我们很多同学在做几何题的时候，习惯于记模型，看到中线就备长，那么很多题目不是这样来考的， 它是围绕着我们基本图形的基本性质判定定底来考察。很多同学之所以填不出辅线，是对教材当中的知识概念、公式定律掌握的不够透彻。为此我把图中数学教材当中二十九章的知识点的知识导图， 需要的家长我分享给你，我们一起看一下这个题。如图，在三角形 a、 b、 c 当中，这个 a、 d 是 三角形的中线角 b， 这个角是三十度，那么角 a、 d、 c 这个角是四十五度，现在让求角 a、 c、 b， 让求这个角的度数。 那么这样一道题，我们很多同学在做的过程中是什么？很多同学去背模型，一看到中线就想到去背长，就延长 a、 d， 使得 这里到 e 吧，使得 d， e 等于 a、 d， 那 么再连接 c、 e， 构造全等三角形，三角形 e、 d、 c 和三角形 b、 d、 a 全等，这样来做是可以构造全等三角形，就是我们说的这个三角形 a、 d、 d 和三角形和这个三角形 e、 d、 c 这两个三角形通过这样的倍长是可以做成全等三角形，但是对我们求这个角没有用，因为我们这样的 做这样的一个辅助图，这两个给定的这两个特殊角没有用起来，一个三十度，一个四十五度，在证明这两在得到这两个三角形全等的过程中，这两个条件角根本没有办法用起来，这就是我们说的 无效的辅助线，如果你的辅助线添加没有办法加条件和目标进行强关联的话，那么这样的辅助线是无效的，所以我们不能一味的去记题型，去背模型没有用，那我们看看除了这个中线还有什么概念？这个 a、 d 是 中线的，那 d 点就是 bc 的 中点，那么这里有一个三十度的角，很容易联想到直角三角形， 斜边中线问题，且这个直角三角形当中还有一个特殊角，三十度角，我们通过这样的考虑是可以将那个我们说的条件用起来，斜边中线就把中点的问题连起来，这是一个条件。第二个特殊角三十度角用起来，所以我们这个题的辅助线应该怎么做？做一个 直角构造一个直角三角形，它是要构造一个直角三角形，那么这个直角三角形首先要将这个地点，这个中点，这个点用起来，所以要围绕着 b、 c 边为斜边来构造，要围绕着这条边 b、 c 这条边为斜边来构造直角三角形， 因为这是斜边上的中点，那么且这有一个特殊角三十度角，所以我们这个辅助线就呼之欲出了。过 c 点做 ab 的 垂线，交点为 e， 再连接什么 e、 d， 把它连起来就好，那我们看看，这样我们就构造了一个直角三角形 r、 t 三角形 e、 b、 c， 那 么这里就有将条件就都用起来了，这是三十度角，那么这个角是多少？这个角角 e、 c、 d 是 不是就等于六十度角？那么看看我们的目标角，我们要求的目标角 abc 是 不是等于角 e、 c、 d 加上角 e、 c、 a 啊，那么这个 e、 c、 d 是 六十度，那么我们接下来的目标是要求它，我们只需要求出角 e、 c、 a 等于多少，就是说求这个角等于多少度，那 大家可以大胆的猜测一下这个角为多少度。我们现在还有一个条件，这个四十五度没有用，可以猜测这个角 e、 c、 a 就 等于四十五度，那怎么来求出来等于四十五度？我们围绕着我们构造的这个特殊角度的直角三角形来看，这个角是三十度，那么这个角是六十度， 这个角是六十度，这个 e、 d 是 斜边直角三角形的斜边，斜边上的中线等于斜边的一半，所以有什么这个 e、 d 等于 b、 d 等于 dc， 还等于 ec， 这个 e、 c 是 什么？三十度角所对的直角边等于斜边的一半，那所以我们这个三角形 e、 d、 c 是 什么？是等边三角形，这个三角形就是等边三角形了，这个 e、 d 和 d、 b 就 这两条边 d、 e 和这个黄边这两个边相等，那么这个角等于多少度？ 这个角是不是三十度？这个两个三角形为等腰三角形，那么这个角为三十度，那么我们这样得到这个 e、 b、 d 就是 一个等腰三角形，等腰三角形，那么这个角 d、 e、 b 是 不是就等于我们的角 b 等于三十度，这个角等于三十度。那么在三角形我们看看这个三角形 a、 b、 d 当中四十五度角，是不是这个三角形的外角？一个内角是三十度，那么这个小的角是不是就是十五度？三角形 d、 e、 b 又是三角形 a、 e、 d 的 这个三角形的外角，那这个角是不是也是十五度？ 我们这个三角形 a、 e、 d， 它是不是个等腰三角形？就得出这个三角形 a、 e、 d 是 等腰三角形，那这个 a、 e 是 不是和这个 e、 d 相等？ a、 e 和 e、 d 相等，那么 a、 e 是 不是和 e、 c 相等？因为我们这里的 e、 c 是 等于 ed 的， 那现在由于 a、 e、 d 是 a、 e 又等于我们的 ed， 所以是不是推出我们的 a、 e 等于 e、 c？ 那 在这个直角三角形当中，这个直角三角形这两个边相等，那是不等？要直角三角形，那这个角就是四十五度，那所以我们的目标这个角求出来四十五度，那最后要求的是不是就是六十度加上四十五度，最后等于一百零五度，这就是我们要求的目标是一百零五度。 所以在做我们的几何题的过程中，一定是因地制宜，根据题目给定的模型。好，这个题给大家分享，这里让我们一起做更少的题，提更多的分。

考试最后五分钟，我用这招多拿五分。这种非其次分式，要么降次其次化，要么用三角函数公式转化方法，一、万能公式先复习一下万能公式， 利用万能公式用题干条件表示正弦和余弦，能看出计算量有点大， 考虑降密公式。降密公式还记得吗？一起复习一下吧！这里分别用二倍角公式和降密公式处理分子和分母， 可以发现分子分母有共阴式，可整体消除， 可得到答案。关键时刻，一个正确技巧就是救命稻草！关注我，积累更多考场救命技巧！

主破也是没辙，了解三角形都敢放第十八题，这是原题，答案可谓是非常逆天。这是主破的答案，虽然计算量很大，但 其实不需要所谓的看插画机，注意两个式子可以通过推导三倍角公式进行化简，这是化简过程。主破的字有点不好看，可能每科男都这样，这都不重要，重要的是你有一颗想的心，一直想做题。主破也是想了很久，一直想做 不敢做。 当老师教的辅助角公式进行化减， 然后得到这么一坨化减化减化减化减，一是合并，二是最终解得 zika 等于四十度，那么两倍 zika 就是 八十度，你学会了吗？反正主播觉得这道题应该极少数人能做出来。

每天看题，数学分不低。今天我们来看到一道非常有意思的问题，它联系了这个角所对应的弧度和正弦，与弦还有正切这样的一个关系。 看第一已知角 off 的 中边，在第一象限，单位圆交于 p 过 p 作 x 轴的垂线垂足是 m， 那 我们证明在区间零到二分之二。垂足是 m， 那 我们证明在区间零到二分之二处的垂足是 m， 那 我们证明在区间零到二 f。 那我们首先要做的肯定是先把单位圆画出来，假设这是一个单位圆，它与 x 轴的正方向交点是点 a 的， 那 a 点坐标就是一零。然后 咱们把这个 p 点在第一象限上的交点画出来，所以 p o a 就是 角阿尔法过点 p 往下做垂直是 pm 的， 这就是给到我们的条件。现在让我们证明的是 sine alpha 小 于 alpha， 小 于 tan 角的 alpha 好， 那么这是一个两连的不等式，我们应该要分批次去证明。证明的第一个就是 sine alpha 小 于 alpha， 在 零到二分之派，也就是在第一项线上是成立的好，如何去证明它呢？其实我们往往是用 面积或者是几何图形的方式去证明它。在这里面 sin alpha 我 们都可以写成 pm 比 po， 又因为单位圆 po 的 长是一的，所以它就是 pm 好。那么 alpha 它是什么呢？它其实是 pa， 当然这个应该是弧 pa， 这个是一个弧长公式，实际上要比较三 y alpha 和 off 的 大小关系，其实只需要比较 pm 和 pa， 这两者如何比较？其实很简单，如果我们反向延长的话，那么这个角度也是凹方，把 pm 延长到 p q 的 话，我们就会发现裂弧 p q 是 pa 的 两倍，也就是凹凹相长。 p q 是 pm 的 两倍，也是两倍的三幺凹方。那我们知道同一段 角所对应的弦长肯定是要比弧长来的小的，所以奥三也阿尔法小于奥阿尔法 三也阿尔法就会比阿尔法小。好，我们来证明第二个部分，阿尔法小于 tangent 阿尔法在零到二分之 pi 成立。好，这该如何证明呢？我们是这么证明的。继续用面积，我们过点 p 做一条单位圆的切线，假设交 x 轴于 t 点，因为相切，所以这边是垂直的。我们观察 扇形 p o a 的 面积，它可以写成二分之一 alpha 二方单位圆，所以它就是二分之一 alpha 三角形 p o t 直角三角形，它的面积可以写成二分之一 p o 乘上 p t， 那 么 p t 和 alpha 的 关系 比较明显，这是一个直角三角形 t， t 和 po 的 关系就是贪婪的阿尔法。 我们其实可以发现这一个，因为是相切的，这个扇形的面积自然会比直角三角形 po t 的 面积要来的小，也就是二分之二阿尔法。小与二分之一贪婪的阿尔法， 那么就是阿尔法小于看见的阿尔法。综上，我们就把这个不等式证明出来了。 好，那么这是数学史上非常经典的一个不等式。在微积分中有一个类似的，称之为是加逼准则或者是三明治定律。 这是他的一个最基础的一个几何模型，它表明了复杂的分析数量可以源于最直接的几何比较。

好，我们来看一下十二题，已知 sine theta， cosine theta 是 这个方程的两个根，那我们第一步就用伟大定律，对吧？两根之合等于 a， 两根之 g a， 那 求这个值，我们要对它适当的化解 sin theta 除以 cosine theta 加上，想象一下 sin theta 这个倒上去就 cosine theta， 那 通风， 它平方加大平方同角是一，那这个题目就做到这里二分之一，那有些同学就写二分之一，写上去，那不就完了吗？这是求值，它怎么可能会一个 a 呢， 对吧？在考场上不要蒙掉了哈，那这个 a 怎么求呢？对吧？那要观察它平方，这里面是有关系的，对吧？它平方， 你看他拿的平方，那就是一加上两倍的三幺幺乘它，那就是 a 带进去等于 a 平方，你看 a 是 可以解出来的，对吧？那移过来 a， 求根公式二， a 分 之负 b 加减根号 b， 平方是四减四八二根号二， 那开出来是一加减根号，但是这个时候有两个数啊，两个数它是不是都能取了，所以我们要看它有对它的要求，所以对它等于 b 平方 减四 a c， 它要大一点零，没有说它两个不相等，对吧？那 a 要大一点四，或者是 a 要小一点零， 对吧？那所以这个 a 一 加二根号二得二点四，一点四一四，对吧？他不会超过四，所以他错的一减根号二，所以 a 要等于一减根号二， 对吧？一减根号，这个时候就可以带进去一减根号，分子分母同时乘以一加根号平方差公式，对，底下是负一，那他就负一负根号啊， 对吧？这个是负一啊，这样子就把这道题做出来了，还是有点难度的哈，在考场上。

这是一道日本初中几何题，三角形 a、 b、 c 中角 a 等于九十六度，角， b 等于五十四度， a、 b 长尾 e， 求 a、 c 长多少？ 我们来看一下题目这个三角形，它这个角度是九十六度，五十四度， a、 b 等于一，怎么求 a、 c 的 长？我们看一下这两个角度合适多少？九十一百五十，那么这个角就是三十度，这是一个特殊角，三十度我们就可以考虑做一条垂线， 那么求 a c 相当于求 a d， 因为 a、 d 是 a c 的 二分之一，也就是 弦求这个长度，这三十度，那么这就是六十度，这个角是六十度，这边呢？就是三十六度， 那么这个题目可以变成这是三十六度的直角，这就是五十四度，这是一弦，求这个直角边的长，已知斜边是一。 如果我们知道三十六度角的三角函数值的话，当然很快可以求出来， 但是我们现在不知道。高中生可以用背角三角函数来求，很快可以做出来，但是初中生没有学。 我们可以用几何的方法来做三十六度角，它的 有一个特点，我们看一下，如果我们画一个顶角是三十六度角的啊，三角形都有三十六度，那么两个底角是七十二度，就是七十二度， 七十二度又是三十六度的倍数，我们又可以做角平分线，分成两个三十六度，那么这个又是七十二度。 如果我们知道这条斜边的长，我们就可以求出 其他一些边的长，因为这是等腰三角形，这个是 x 的 话，这个也是 x， 这个也是 x。 如果说这个是 y 的 话， 因为这个大的三角形和这个小的三角形是相似三角形， 那么这个题目这边是一，我们就可以写成，假设这个边上是一的话，我们只要做一个垂线，就变成这个题目， 我们求出 x y 就 可以了。那么这这样的题目呢，我们可以做出来，因为利用相似三角形，斜边比底边一比 x 就 等于 x 比 y， 那 么我可以得到 y 等于 x 平方。另外 x 加 y 呢，又等于 e， 因为它是等幺的， x 加 y 等于 e， 这样的话，我们把 y 带进去，就可以得到 x 平方，加 x 减一等于零，可以把 x 求出来，那么 y 也求得出来 x， y 求出来，因为它是这是直角，相当于这个 等等等腰三角形的高，那么 r 分 d， y 加 x 就是 这个长度， 我们来看一下怎样做。这个 x 就 等于二，等于负一，这个去加号 加五，一加四就等于根号五减一除以二， x 就 出来了。 那么 y 呢？等于 x 的 平方，就等于四分之六减二，根号五，就等于二分之三减根号五，这是 y， 那么二分之一 y 呢？二分之一 y 就是 四分之三减号，那么这个长度求出来，也就是 a d 的 长，这是 a d 的 长， a d a d 的 长就等于 x 加上二分之一 y 就 等于二分根号五减一，加上 四分之三减根号五，就等于四分之二，就是 四分之二根号五减二，加上个三减根号五除以四，这样就出来了，就是四分之一加根号五，这是 a d， 那么 a c 呢？ a c 是 两倍的 a d， a c 等于两倍的 a d 就 等于二分之一加根号。 我们利用三十六度角的这样的等腰三角形的特殊性，利用相似三角形可以求出各条边的长 来解这道题。这种三十六度角的三角形的题目还是比较多的，我可以关注一下它的解法。