高二数学知识点归纳大全立体几何

高一的同学们要注意了，立体几何初步是高中几何的入门，想拿高分就要抓准考点，避开坑。今天咱快速梳理一下核心内容。 第一，空间几何体的结构与计算，得认清棱柱、棱锥、圆柱、圆锥这些常见的几何体的特征，比如棱柱上下底面平行且全等。棱锥只有一个底面，重点是表面几何体积， 圆柱侧面积是二 pi r h， 圆锥是 pi r l。 体积公式记牢，底面积乘高，棱锥呢，要多乘一个三分之一，千万不要忘记了。 第二是三式图与直式图。三式图遵循长对正、高、平、齐、宽相等。易错点是俯视图搞反左右直观图用斜二测法，平行于 y 轴的线段长度减半，还原时需加倍，别记反比例。 第三，空间点线面关系。这是重点，需掌握线线平行相交意面，还有线面、面面的位置关系，背熟判定与性质定律。比如线面平行要满足线平行于面内一线，且线在面外。 第四，平行与垂直证明线面平行，常找中位线或平行四边形面面平行呢，需要证明一个面内两条相交线平行于另一个面， 在垂直证明中线面垂直，要证线垂直于面内两条相交线面面垂直，则找一个面内的线垂直于另一个面。 我们再说说经常会踩的坑。一是混淆意面直线和相交直线。意面直线是既不平行也不相交的直线，别把不在同一平面的相交线算进去了。 二是证明时忽略相交条件，比如线面垂直必须找两条相交线，两条平行线可不行。 另外，体积计算的高是垂直底面的距离，不是斜线的长度，画三式图的时候看不见的轮廓线要画虚线，这些细节直接影响得分。 记住这些例题，几何基础题就稳了。关注我，每天分享一个数学提分的小技巧。

在开始之前呢，我们要先搞清楚几个非常基本的概念，到底什么是洁面问题，所谓的洁面问题就是指一个平面呢，与某一个几何体相交， 所有的胶线构成的平面，能够将几何体分成两个部分，那么我们就称这些所有的胶线所构成的这个平面呢，就叫几何体的结面， 而几何体的结面，它拥有一个非常显著的特征，那就是能够将几何体一分为二。 什么叫做一分为二呢？我们来看两个简单的图形，对于左边的这个图形， 我们可以发现，虽然说我们在其中啊连接出了一个三角形的平面，但是这个平面并没有将长方形分割成两个部分，所以呢，他不是结面， 而右边的这个三棱柱则不然，这个三角形啊，完完全全彻彻底底的将三棱柱分成了两个部分，所以啊，这个平面就是三棱柱的结面， 也就是说结面最大的特点，一定要将几何体分开成两个部分， 那么我们如何得到结面呢？想要得到结面，我们的方法呢叫做交线法，那什么是交线呢？ 如果结面与几和其某一个平面相交，它就一定会在该平面的棱上呢产生两个节点。 我们来看前面的这个图，这个三角形的平面呀，与前面的平面相交，产生了一个点 d， 产生了一个点 f， 这两个点就是截断的过程之中所产生的点，我们称之为节点，那么把节点连接起来，就能够构成一条交线， 如果呀，我们将每一个相交平面上两个节点全都顺次的连接起来，就一定能够得到结面， 所以我们最关键的任务就是如何找到节点。 我们作图的主要依据以下四个方面的内容。第一， 不重合的两个平面相交，一定会产生一条交线，这是我们解决问题的核心观点，因为只有结面与平面相交，才能够产生节点，才能连接成交线。 第二，如果一条直线上有两个点在一个平面之内，则这条直线上所有的点一定都在平面之内，这是立体几何之中的一个基本事实， 也是我们解决洁面问题的首要原则。所谓的首要原则就是我们最优先考虑的一个情况，就是通过各种各样的手段， 想方设法的在同一个平面之内找到两个节点，就可以找到这个平面之内的交线。 第三，如果一条直线平行于一个平面，则过这条直线的平面与平面相交，交线呢，一定平行于该直线，这其实就是线面平行的性质， 我们将这个原理称之为照镜子原理。什么叫做照镜子原理呢？镜子呀，一般都是对着我们存在的一个平面， 所谓的照镜子原理就是指我们要在相对的平面之内去找平行线，那到底是哪个相对的平面呢？就是我们先确定一条交线，在这条交线对着的平面之内去找他的平行线。 最后一个原则就是一条直线如果与平面相交的话，交点呀，要通过平面内直线相交的方式才能够体现出来。这句话是什么意思呢？ 比如说某个平面与某个直线呢，处在相交的状态，我们知道这个平面与直线相交，它一定有一个焦点， 但是这个焦点它究竟在哪一个位置是值得商去的，尤其是呀，我们选择手工画图的时候，比如说你将这个焦点画在这个位置 说的通，你画在呢稍微靠下的一个位置呢，也似乎能说的通，这样的话就导致了我们是没有办法通过视觉上直接确定这个焦点的位置的。 那么我们想要找到这个焦点，最简单的办法就是在平面之内找一条直线，与平面外的这条线相交，那么他们的焦点就是我们想要的这个焦点， 而这个焦点呀，如果他不是位于廊上的，那么你就要通过延长线的方式才能够找到这个焦点。 这里我们虽然用了很多的语言来描述这四个基本原理，但是呢，梳理起来这四个原理啊，其实非常的简单，我们先通过一个简单的例题来说明一下这个原则是怎样进行应用的。 现在呢，有一个长方体，我们需要过图中的三个点来做出长方体的结面。 首先我们进行第一个原则来观察有没有哪一个平面之内出现了两个节点，那很明显 下表面之中是拥有两个节点的，所以啊，我们的第一件事就是将这两个节点呢给他连接起来，形成一条交线， 这样的话我们在下表面之中找到了一条交线，此时我们能不能使用照镜子原理呢？因为呀，与下表面平行的平面是上表面， 能不能在上表面之中找这条蓝色线段的平行线呢？答案是不可以的，因为上表面之中现在他没有点，所以我们不能把目光集中在上表面上， 我们观察这个位置呀，他有一个点，这个点我们把它看成左边平面的一个点， 我们就可以想这条蓝色的线段，我们将其延长之后，他势必会与左边的平面相交。 那刚才我们说了，这个焦点呀，一定要通过延长线的方式才能够得到，所以我们可以将这个棱呢进行延长，那么延长之后就会产生一个焦点， 这样的话左平面之中就拥有了两个节点，我们将这两个节点给他连接起来， 就在左边的平面之中确定了一条直线，现在我们在观察前边的平面， 前面的平面啊，显然拥有了这个节点以及这个节点，我们将他们两个给连接起来，就又得到了一条交线。 好图形做的这个时候呀，我们就可以使用照镜子的原理，我们注意观察前表面之中啊，有这样一个线条， 而在他正对着的后表面之中有这样一个 节点，由线面平行的性质，我们知道后表面之中一定有一条线与这条线是平行的，那么我们只需要过这个点找到这条平行线就可以了， 那么我们找到这个平行线，他与这个棱呢相交于点 n， 现在右表面之中也有了两个焦点，那这两个焦点我们顺次连接起来，就构成了一个完整的结面，这个结面准确的将长方形分割成了两个部分。 我们再来看一个问题，把这个问题看完之后呢，我们重新回顾我们的做题原则，我们观察呀，在这个长方体之中有这样三个点，我们还是要过这三个点呢，做出一个结面， 我们马上就能够发现一个问题，这三个点呀并不在同一个上下左右的几何体表面上， 也就是说我们并不能像刚才一样通过将两条线连接起来的方式呢，去找到某个平面上的交线。 那如果这个时候呀，我们随机选择两条线进行连接，这两个点所连接形成的这条线呀，他必然会与下表面相交， 而这个时候就要想到刚才我们所说的原则，相交的那个焦点，你一定要通过线线相交的方式给他确定出来。 所以我们在连接这两点之后，需要在下表面之中找一条线与这条虚线呢呈现出相交的趋势来， 那这条线怎样在下表面之中进行确定呢？嗯，这个原理非常的简单，我们可以啊这样做， 然后呢把这个点与这个点呢给他连接起来，这个时候呀就能够构成一个准确的三角形。 由于啊这个时候下表面之中就产生了两个节点，也就是说这个点与这个点 他们都在下表面之中，那么我们将这两个点给他连接起来，就可以找到 棱上的一个节点。此时呀我们注意观察，在下表面之中就产生了一条交线， 在这边的这个表面之中呢也产生了一条交线，所以呢接下来我们只需要使用照镜子的原理，比如说这条线吧， 他所对的平面，他所对的平面上面有这样一个点，我只需要过这个点去做这条直线的平行线， 或者说过这个点来做这条线的平行线都是可以的。好，我们选择呀做这条线的平行线，那你看过这个点做出来的平行线跟他相交于这 就导致了这边的这个平面也有两个节点，我们将这两个节点连接起来就形成了一条交线。 接下来呢，我们还需要过这个点来做这条线的平行线，他就与前边的表面呢相交于这个点， 最后呢，我们将这两个点给他连接起来，就顺次的得到了这个长方形的结面。 现在我们再重新回顾一下刚才我们所说的四个原则，第一原则，我们就是想方设法的找交线， 而在作图的时候呀，首先就要看是否在一个平面之内呢，拥有两个点，要是有两个点的话，你就直接把它连接起来，然后通过延长或者是照镜子的原理去找其他的交线， 如果没有两个点，那你就需要任选两个点，通过延长线的方式在某一个平面之内找到点，然后呢回到原则二重新开始即可。 我们再来看一个小问题，在这个长方体之中， ab 的 长度呢是等于四的， bc 的 长度呢是等于三的， m 与 n 呀，分别是棱的中点点， p 呢是在对角线之上的，并且呢 a 一 p 这个位置呀等于三，那毫无疑问这个位置呢，它就是等于二的。 现在要求我们过 m， n， p 这三个点， m， n， p 这三个点呀，做一个结面，问这个结面是几边形， 我们非常容易观察到 m， n 呀，他们在同一个平面之内，所以我们第一步就是将 m n 进行连接。 考虑到呀，上表面之中有一个点 p， 那 如果我能够在上表面之中再找到另外一个点，将这两个点连接起来，就能够在上表面之中找到一个新的交线， 所以啊，我们需要将 m n 扩展到与上表面相交的状态之中，那么这个相交一定要通过延长线的形式实现， 我们可以将这里的 m n 给他延长，再将 a 一 b 一 给他延长，就可以在上表面之中找到这条交线。 首先呢，延长，现在找到了这样一个点，那现在我要做的事情啊，就是把 p 点与 f 点进行连接， p f 给它连接之后呀，就在这个棱上找到了一个点，自然呢，这个 p g 呀就是一条交线， 但是呢，我们发现呀，点 p 其实并不在棱上，我们需要将 p g 进行延长， 而他在延长的时候，我们就会遇到一个问题，那就是我们不知道他延长之后呀与棱的焦点究竟产生在哪个位置，到底是这里还是 这里，亦或者是这里呢？这里呢，我推荐呀，使用如下的方式，相对而言呢，是比较简单的，那就是我们在上表面之中啊，建立一个平面直角坐标系， 我们以这个位置呢作为圆点， o 以这个位置呢作为 x 轴，以这个位置呢作为 y 轴。 我们观察 mb 的 长度呢，是等于二的点， n 呢是中点，那就意味着这个位置与这个位置呀是相等的， 而这个直角三角形与这个直角三角形呢，他们就是全等的，也就意味着 b e、 f 呢，他等于二， 那么我们就能够确定 f 点的坐标，它的横坐标等于零，而纵坐标呢是等于六的。 这里的第一点呢，它的横坐标呀是等于三的，而纵坐标呢等于零 点 p， 由于这个位置，它的长度是三，我们知道总长呢，它是等于五的。 而这个角呀，它的正弦值是等于对边比上斜边的，对边呢是三，斜边呢是五，也就说这个角的正弦值 cos 它呢等于三比五， 而 cos 它呢，是等于四比五的。那么我们过点 p 啊，向着 y 轴去做一个垂线， 这个位置的长度自然就等于三乘以 cos 它也就是五分之四，那这个线段的长度呢，就等于 三乘以一个 cos 它也就是五分之三。那么我们就能够确定点 p 啊，它的横坐标是五分之九，而纵坐标呢，是五分之十二。现在呢，我们来算 p f 的 斜率 k p f， 它等于六减去五分之十二，比上一个零减去五分之九，就等于负二。而 d， e、 f 的 斜率呢，等于六减零，比上一个零减三，也是等于负二的。 就意味着这三个点呢，是在同一直线上的。也就是说，我们如果延长 pg 的 话，它最终呢，会经过第一这个点， 所以说我们将它延长，这个延长线呢，是从这个位置伸出的。那么这个时候呀，我们过下表面的 m 来做第一 g 的 平行线，把这条线做上，然后我只需要在连接这里的 d， h 以及 g 和这个点，就找到了这个结面。所以啊，最终这个结面呢，它是一个五边形。 在本题之中，最关键的就是确定 p g 的 延长线是经过这个第一点的。 我们再来看一种问题，在棱锥之中如何去做结面？ 如图呀，有一个正四棱锥，现在要求我们去过点 b， 做与这个棱啊异地垂直的平面。 如果我要过点 b 啊，做与棱垂直的平面， 那就意味着我做出来的这个平面之中的任何一条线与 d、 e 呢，都拥有垂直关系。 所以啊，我只需要先过点 b， 做与 d、 e 垂直的一条线，那么就可以找到这样一个焦点， 那我又如何将这条线扩展成一个平面呢？哎，这个问题啊，就需要我们去研究这个几何体的特点， 几何体它必定是一个正四棱锥，它的下表面呀，是一个正方形，我们知道正方形的对角线呢，是互相垂直的， 也就是说 a、 c 与 b、 d 啊，它们是互相垂直的，而顶点在底面上的投影啊，正好是底面的中心。 我们假设底面的中心为 o， 我 们把 o 跟 e 连接起来，这个位置呢，一定会产生一个焦点， 而 a、 c 呢，它是垂直于 e、 o 的， 换而言之就是指 a、 c， 它是垂直于平面 b、 d、 e 的， 那也就意味着 a、 c 呢，它是垂直于 d、 e 的。 我们想要过点 b， 做与 d、 e 垂直的平面， 那想要找到第二条线，我只需要过这个焦点，找到 a、 c 的 平行线就可以了， 这两条线是相交的，并且都与 d、 e 垂直连接，他们就找到了这个结面。 所以呢，接下来呀，我们的作图就非常的简单了，首先呢，把 ac 给他连接起来，找到 ac 的 终点。 然后呢，将 e 与这个中点进行连接，让 e、 g 与我们做出来的这条红线呀，交于 h 点。 接下来呢，过 h 点去做 a、 c 的 平行线与两个侧棱产生这样两个交点。 然后呢，把这两个交点呀，与刚才产生的这个点以及起始这个点进行连接，就得到了这个结面。我们再来看一个问题，如图所示的四棱锥之中， ab 呢与 cd 啊处在平行关系之上， ab 呢与 bc 呢是垂直的。二、 ab 是 等于 cd 的 点 e 点 f 呢是棱的中点，要求我们过 b、 e、 f 三点做出一个结面。 对这种棱锥中的结面问题啊，我们其实遇到最大的障碍啊，就是没有办法使用照镜子原理。 那既然没有办法使用照镜子原理啊，我们还是遵循我们的主要原则，那就是观察到底有没有哪一个面当中呢，拥有两个焦点， 比如说这里的点 b 和点 e， 他 们都位于下表面，我们就可以啊，先把 b、 e 呢给他连接起来。 在题看之中，明确告诉我们， ab 与 cd 是 平行的，并且 cd 的 长度呢，是 ab 长度的二倍。 当我们将这个 b、 e 给它连接起来的时候，你很容易发现一个问题，那就是此时 ab 的 长度与 d、 e 的 长度呢是相等的，并且呢，它们还是平行的，那也就意味着 这个四边形呀，它是一个平行四边形。在我确定了它是一个平行四边形之后呀，也就是说现在的 b、 e， 它一定是平行于平面 p、 a、 d 的。 那么我如果过 b、 e 做出了这个结面，结面与 p、 a、 d 相交，交线就一定与 b、 e 平行， 这就是我们的原则。三，也就是线面平行的性质。虽然不能照镜子，但是呢，并不妨碍我们使用这个性质。也就是说，交线它必须要跟 b、 e 保持着一个平行关系， 而与 b、 e 平行，就必须与 a、 d 平行。由于点 f 呀，它是中点， 你要做 a、 d 的 平行线，那你势必需要在这个边上找到一个中点，我们把它给连接起来，这呢就是这条交线。 接下来的任务呀，就变得非常的简单了，顺次连接所有的节点，就找到了这个结面。 我们再来看一个小问题，说在这个四棱锥之中啊， ab 与 cd 呢是平行的，并且 ab 的 长度大于 cd 的 长度。 问哪个选项是正确的？ a 选项说不存在平行四边形的结面， b 说呢存在唯一的平行四边形结面， c 呀说存在两个， d 说存在无穷多个， 那我到底能不能找到平行四边形的结面呢？这个问题啊，其实呢是非常容易确定的， 由于 ab 的 长度是长于 cd 的 长度的，那么我们就可以在 a 点以及 b 点的上方 找到一条线 ef， 并且让 ef 的 长度与 cd 的 长度呢是相等的，而且我们还可以保证 ef 呢与 ab 啊是平行状态。 在这种情况下，如果我们连接这个四边形，由于这个位置与这个位置平行且相等，那就意味着这一定是一个平行四边形。 在确定了这个平行四边形之后呢，现在我们就可以这样去想啊，那就是如果呀，我把 c、 d 的 长度就是这个位置呢，稍微往上挪一挪， 这个 e、 f 这个线呢，也往上挪一挪，是不是还是可以保证它们等长且平行的，那就意味着我们还可以继续得到平行四边形的结面。 那么我把这个不停的向上挪，他也不停的向上挪，只要让他俩平行且相等，得到的结面呢，永远都是平行四边形，那就意味着它存在着无穷多个平行四边形。 再来看一个小问题，如图呀，在这个直角呢，是一个直角， 而且告诉我们 ab 与 bc 以及 a a 一 啊，它们三个的长度呢，都是相等的， 点 p 呢是中点，让我们判断过点 p， 并且呢与 a c 一 平行的平面，能不能是一个等腰梯形？ 这个题的意思就是让我们过点 p 做一个平面，这个平面呀，只要与 a c 一 平行即可。 现在我们就可以想我们的原则三，那就是你要做一个平面，与 a c 一 是平行的，那么就意味着交线一定与 a c 一 平行。 那我不妨呀，先随意找一条线，让它与 a c e 是 平行的，比如说这里的 k f 这条线， 那现在我只需要过 k p f 来做洁面， 就一定满足与 a c e 平行这样一个基础条件。我们发现呀，前表面有 k 也有 p， 我 们就可以将这两个点呢给它连接起来。 前表面之中呢，就产生了一条交线。假设啊， k 是 中点， 那就意味着这个时候的 k p 与 a 一 b 一定是平行状态，因为在这种状态之中，我们去做图啊，它相对而言呢，要容易的多的多。 那么我现在采用照镜子原理，是不是只要过这个 f 点来做这条蓝线的平行线 就可以了，我们把这条线呢给他做出来，接下来只要在连接这个位置，就一定能够做出一个结面。 现在呀，我们优先来判断这个最为特殊的结面，他到底是不是等腰梯形。 此时的 k p 呢，与 fl 啊，一定是平行的，而且呢， fl 的 长度是短于 k p 的， 那它就一定是一个梯形。 由于呢，这个位置是中点，这个位置是中点，这个位置也是中点，那就意味着这个直角三角形与这个直角三角形啊，他们是全等的直角三角形， 从而就导致了 k、 f 与 p、 l 呢是相等的，那么我们得到的恰好是一个等腰梯形。 再来看一个问题，在这个值，三根柱中， a、 b 与 a、 c 呢是垂直的，并且呢，这三条棱的长度呀，都等于三 点， m 呢，是 b 一 c 一 上的三等分点，并且呢，靠近 b 一， 让我们呀做 m a、 c 这个结面，并且呢来求这个结面的面积。 我们很容易发现呀， m 点与 c 点呢，都在我们正面对的这个平面 b、 b， e， c， e、 c 之中，所以啊，我们先将它们两个给连接起来。 现在我们观察 a、 c 这条线， a、 c 这条线呀，它与 a、 c、 e 是 平行线， 那就意味着我们过 ac 做出来的结面，他的交线呀，必定与 ac 是 平行的， 也就是说，接下来我只要过 m 点去做 a 一 c 一 的平行线就可以了，我们把这个平行线给他做出来，接下来呢，再顺次连接 d 点和 a 点，就找到了这个结面。 确定了结面之后呢，我们来求这个结面的面积，那由于啊， a、 c 的 长度呀，它是等于三的，而 dm 的 长度呢，它是等于一的。 又由于啊，这个四边形呢，它是一个直角梯形， 所以我们现在只需要去求 a、 d 的 长度就可以了。 a a 一 的长度呢，等于三， 而 d a 一 的长度等于二，那就意味着这个高呢，它正好等于根号十三，所以这个梯形的面积啊，就等于 上底加下底乘以高，再除以一个二，所以啊， s 呢就等于二倍的根号十三。 最后呢，我们再来看在某些个不规则的几何体当中，我们如何呢去做出它的结面，这里啊，我们主要采用的是原则四，也就是延长相交的原理。 在这样一个四棱台之中，让我们去过 a、 b、 p 三点呀，做一个结面， 那由于 a 点以及 b 点它们在同一个平面之内，那么 ab 呢，就是其中的一条交线， 而这个交线呀，他一定是与上面的平面相交的，那么我们就需要呀延长 a b， 再在上表面之中呢，找一条线也给他延长，就能够确定焦点， 在确定这个焦点之后呢，上表面之中还有一个点 p， 我 们把他们两个给连接起来，并且呢去给他延长，就得到了上表面的交线， 这样的话呢，这条胶线与前表面以及后表面都产生了两个节点，把这些个节点给他顺次的连接起来，哎，就找到了最后的结面。 最后呢，我们做一个简单的总结，做这种洁面问题的时候呀，嗯，第一我们要记住前面我们所讲的四个原则。第二呢，这四个原则并不是死的原则，而是要灵活的进行应用。 第三呀，我们也要补偿一部分的练习题，练习题做多了，自然就是无他为首熟耳的感觉了。

大家好，我们今天讲一道高二上学期的立体几何题，主要想给大家讲的就是建立直角坐标系的一些要点。 首先呢，我们把这道题读一读，说 p o 是 圆锥的高，然后呢， p o 是 四， 然后 a o b 是 一个扇形儿，扇形儿呢，角 o a 是 二，那么 o b 也是二。底面儿这个 a o b 这个角儿是九十度， c 是 ab 这条弧上的中点。然后第一问，我们要正平面儿 p a b 和平面儿平面儿 p o、 c 是 垂直的， p a b p o c 这两个平面儿是互相垂直的。首先呢，如果我们用高一下学期的知识来证明它书写起来要简单得多， 我们怎么正呢？我们不详细说哈，因为它比较简单啊，只要我们能够正这个 a b 这个条线段是垂直于 p o、 c 这个面的，那么 a b 所在的平面就和这个 a b 所在的平面不是 p a b 吗？它就和这个 p o、 c 是 互相垂直的了。 所以我们根据知识， p o 是 根据条件， p o 是 不是一个那个高吗？所以说来讲， p o 就 垂直于底面的任何一条直线， p o 就 垂直于 ab 了 啊。第一个条件是 p o 垂直于 ab， 然后我们还需要得到一个 p a b 垂直于这个 p o c 中的另一条线段 啊，最好得到的就是那个 o c 了，因为它在一个平面上，你要是来讲去正 a b 和 pc 的 话来讲，你还需要经过平移，不管是把 pc 往这个方向啊平移，还是把 a b 往外面平移，它还需要涉及平移 啊，比较麻烦。如果不需要平移的话，直接选 o c， 那 就比较简单了啊， a b 和 o c 垂直就好了， 那这底面来讲，它不正好是一个九十度的这个等腰直角三角形吗？所以说我们把它这个面单独拿出来，它其实想要正的就是这个东西啊，这是 a b， 这是 o， 然后要和这个 o c 这个垂直 啊，那很显然它不是这个我们初中学的这个圆弧上的一些相关知识吗？它这个不是中点吗？这个平分的 ab 这个弧，那么两面不都是四十五度了吗？ 啊？这块来讲，就你挣个全等也好啊，还是用一些那个就是等腰三角形三线合一的角度来讲，很容易就得到这块垂直了啊，然后我们这个 a b 就 垂直于 o c 了，所以还有个 o c 垂直 ab 两个都符合来讲， ab 就 垂直于这个那个面 p a p o c 了。然后再说 ab 是 在这个 p a b 这个平面里边，所以说这个两个面就垂直了，很简单。 然后你呢？我们再看第二个，第二个来讲，说什么说让你正 p c 和这个面 p a b 这块呢？所成的角的正弦值 啊？当然我们也可以用高一下学期的知识来挣，但是我们现在高二上学期了，所以我们这用这块的知识来去做的话来讲，我们就涉及到一个间隙，那间隙呢？我们就要把这个坐标系找到。 我们首先从基础上来说，你要来间隙必须是这样的一个方向啊，这个是 x， 这个是 y， 这是 z， 没有第二个考虑的方向，你不能像以前来讲，好几年前来讲，我们这个老师可以允许你这面是 x， 这面是 y 还是这面是 z 啊？这这个都不行啊，所以说现在对这一块的细节是有一些的要求的，所以说我们只能这这么样去间隙 一定要注意哈，这是重点哈，一定要这样来间隙。那么在这样间隙的话来讲，我们这块来讲其实也没有太多更好的选择，最好的选择就是往这个方向来做， x 这个方向是 y 啊，这个方向就是 z 的。 然后呢，我们把这里边的坐标表达一下啊， a 点的坐标是二零零啊， b 点坐标是零二零， p 点坐标零零四啊， c 点坐标根号二，根号二点啊， 它里边就出现了这些点啊，对，还有 o 点坐标零零点啊，这总共它就给你五个点，我们就先把这些点都表达出来，然后你要去表达这个 p， 这个这两个乘的假角，那肯定这个直线 p c， 你 得表达出来啊，直线 p c 啊，就是根号二，根号二负四。 然后呢你要表达的什么？就是 ababb 这个面啊，法向量， 那法向量怎么求呢？你要找到这个面里的两条相交直线，嗯，我们可以选这两条相交直线的任意一个啊， p a 也行， p b 也行， ab 也行啊，必须选两个。我们这块选的什么是 ab 啊？就是负二二点， a， p 是 负二零四啊，这样，然后我们就设这个法向量 n、 n 怎么样呢？是 x、 y、 z， 那 然后呢，给它建立出这样的一个向量的这个方方程， n 向量和 ab 向量相乘，乘完了之后呢， 法向量不和这个平面是互相垂直吗？乘完就是等于零了吗？所以说我们带进去，把 x、 y、 z 这个带进去啊，和这个东西都带进去。第一个来讲就是负二， x 减去二， y 等于零， z 是 乘零等， z 和零相乘等于零，那这块呢，是负二， x 减四， z 等于零， 然后我们取什么呢？取这里边的任意一个，比如说取 x 等于多少， y 等于多少， z 等多少，我们为了这块取着取 z 等一吧啊，然后就可以得到。把这个 z 等一带进去， x 就 求出来了， x 带进去外就求出来。这个来这一块哈， z 取取 z 等于一，还是取 x 等于一，还是取 y 等于一来讲不影响， 取谁都行。最后来讲得到的就是一个 n 是 二二啊，就算完了。 然后呢，最后来讲我们怎么样呢？再求这个夹角，塞塞它，塞塞呢？就是 cosine 这个 n 和 pc 啊，这样的一个它俩的这个向量的夹角 啊，嗯， pc 的， 这我们求了啊，然后带进去是 n 乘以 pc， 然后 n 乘以 pc， 把数都带进去，四倍根号二减四啊，六倍根号五，然后经过化简是十五分之二倍，二倍根号十减去二倍根号五。道题就算完了啊，这道题算完了。然后这一块呢， 有一个在求这块的东西，是求这个法向量的话，是有一个好的一个方法。这块介绍一下啊，怎么怎么做呢？就是把 ab 和这个 ap 这个两个向量给它写一下， 负二二零啊，负二二零，下面这写的，下面负二零四和负二零四，然后第一行和最后一行不要了。 这一块呢，都是交叉相乘，交叉相乘怎么样呢？是它乘以它，减去它乘以它。你说举个例子，二乘四减去零乘以零 啊，算完是八，这个呢就是 x 相等，然后这块呢， d 是 零乘以负二 减去负二乘以四，得到的也是八，这就是 y。 第三个啊，负二乘以零，减去负二乘以二 啊，算完了是四，这是 z， 所以 这块的 n 向量呢，就是八八四，跟我们这块算的二二一是一样的 啊，我们可以把它缩小嘛？这个可以扩大嘛？所以这一块来讲就可以往下扩变成二二一，这样的话答案就是一样的。

大家好，这是一个立体几何题目，我们现在一起看一下。这题目说一个四棱锥啊， p， a、 b、 c、 d， 然后这个三角形的 a、 c、 d 与这个三角形 a、 b、 c 啊，为等腰直角三角形， 也就是说这个四棱锥的这个底面，它是由两个等腰三角形组成的，然后其中这个角 a、 d， c 也等于九十度，然后这个角呢， b， a、 c 等于九十度， e 为 abc 的 中点。这题目里面也把这个图给我们了， 然后他这个题目要求求什么呢？求第一问，他说这个 f 是 这个 p d 的 中点，证明这个 f g 平行于面 p a， b， 然后这个第二晚说，这个 p a 垂直于这个面 a， b， c， d， 然后这个 p a 呢，又等于 p c， 求这个 ab 与面这个 p c、 d 所成角的这个正弦值。 现在我们把这个题目这个已知条件一条条整理一下，刚才我们读题的时候都已经说过了，我们现在只不过是把它一条条列出来，他说在这个四棱锥中，这个 p a、 b、 c、 d 啊，然后这个角是等于九十度， 然后这个 b， a、 c 呢是角， b， a、 c 等于九十度。另外他说了是等腰直角三角形，所以说这 ad 等于 cd， ab 等于 ac， 然后这个 e 呢是 bc 的 中点。然后另外在题目当中啊，他也给了这已知条件，你比如说这第一题吧，啊， f 是 pd 的 中点， g 是 pe 的 中点。然后第二题也又增加了个条件，就说这个 pa 啊，垂直于这面 abcd， 然后而且这个 pa 呢等于 ac。 题目这个要求求的是什么呢？然后现在我们一起看一下，然后这个题目要求与这个思路分析。首先这个第一问，它证明这个 f g 平行面 p a b。 我 们这里像这种题一定要结合着图来，我们这里把一直把这个图放在边上的， 然后呢我看这个第一万他有好多个点，然后这些点呢，而且都是中点，这样的话我们就很容易想到这个中点连线定理了，这样在三角形中连接两边中点的这个线段是平行于第三边的， 然后你这个 f g 都是终点这个 f g， 那 肯定平行于 d e 了，然后你要正 f g 平行于面 p a b 的 话，常用的方法是这个找到一个一条在这个面 p a b 里面的直线与这个 f g 平行， 所以说我们就想到你看这个 d e， 这个 d e 这条线我们连一下，如果能证明这个 d e 平行于这个 ab 的 话， 这样的话我们就可以证明出这个题了，因为这个 d e 平行于 ab， 所以 说 d e 平行于这个面 p a b， 然后 f g 又平行于 d e， 这样的话自然而然的就得到 f g 平行平面这个 p a b 了。 所以说我们这个本题的关键现在就找出来了，就证明这个 d e 平行于 ab 就 可以了。 刚才我们已经分析了，其实这个题目啊，第一问就是怎么来想办法证明这个 d e 平行 ab？ 答案我从头一步步看一下，你比如说这第一问，他说要证明这个 f g 平行于平面 p a b 然后第一步第一步是干什么呢？我们先在这个三角形 p d e 中啊，用中线连线定理啊，然后来证明出这个 f g 平行于 d e 来，这个很简单，同学们可以看一下， 然后这个第二步是关键，第二步是关键证明这个 d e 平行 ab， 这个具体怎么证明啊？我们这里写的很详细了，他用的是什么方法呢？用的是这个 d e 垂直于 ac， 这个 ab 也垂直于 c， 然后都同时垂直于 ac 这条直线，这这样的话我们就可以证明 ab 平行 d e 了。然后同学们点暂停啊，然后把这个证明这个第二步，这个证明一步步演算一下， 这是第三步，推出这个 f g 平行平面 p a b。 然后前面我们两步证明完了之后，这个就很简单了， 所以说这个题的这个核心是两步的，首先你用中线连线定力推出来这个 f g 平行 d e， 然后第二个呢，就是证明这个 d e 是 a c 的 这个垂直平分线，这样的话它就与 ab 平行了。 然后我把这个 d e 这里也再连一下，然后实际上这里是垂直的，这里也是垂直的。 然后这个第二万，他求着 a、 b 与面这个 p c、 d 所成角的这个正圆。 然后我如果从这个图上来看，你看这个 a、 b 跟这个 p c、 d 它也没有什么联系，但是我们就想到了第一万里面，你不是证明了这个 a b 平行于 d e 吗？ 实际上这个 a b 跟这个面 p c、 d 乘的角跟这个 d e 跟这个 p c 面乘的角是一相同的，这样我们连一条，这样的话就可能会好看一点， 然后这样连起来之后，然后我们既然能推出这两个角是相等的话，这样我们只要来求这个直线 d e 与这个面 p c、 d 所乘角的正弦就可以，然后我们可以舍这个角啊，为 c、 t， 然后做从这个点 e 到面这个 p、 c、 d 的 这个垂线垂足为 h， 这样的话这个角 e、 d、 h 等于 c、 e、 t， 然后在直角三角形中，这个 e、 d、 h 当中啊，这 c、 e、 c、 t， 我 们就可以把这个 c、 e、 c、 t 的 这个表达式写出来了。这里我们可以简单画一下这个 h 在 哪里，这个 h 啊，大约你比如说你做条垂线到这里来了，然后这个 h 点在这个 p、 c、 d 上， 这样的话，我们就实际上就需要求两个量了，一个是要求出 ed 来，然后因为根据这三 c 的 表达式嘛，一个是求出 ed 来，第二个是求出这 e、 h 来，这个点到平面的距离啊，可以用这个体积公式来求， 这里我们把这个四面体啊， p、 c、 d、 e， 然后这个体积公式列出来，这样列出来之后，这里面带个 e、 h 的， 我们就可以用这个来求 e、 h 了，然后用这个再代入这个 e、 d， 求出三 c， 它就可以了。 这里我为什么用这个体积公式啊？因为我们刚才看到了，我画呀，画这个 h， 其实我随便画的，如果真的，我就比如说我即使不随便画，我也画不转这个 h 在 哪里，然后我索性用这个体积公式来求这个 e、 h 就 可以了。 然后现在我们来详细解一下这个第二问，就是说解这个角的这个余弦值啊，正弦值。首先第一步啊，先把这个底面这个所有清，所有这些长度啊，然后那个算清楚， 这里我们就不一一算了，因为这个都是根据题目给的已知条件，然后比如说这里算出来 a、 d、 c、 d， 然后 abac、 bc， 这些都可以算出来的，很简单。然后再就是算出来这个 c、 d， 然后最后算出来这个面积， 然后刚才这个角，我们在题目刚才在讲这个思路分析的时候，已经设定这个角了，我们舍这个角是随它。 然后这第二步呢，我们就是在这个侧面中求出这个 pc 跟 pd 就 可以了。这个 pc pd 具体怎么求啊？我这里也详细写了，同学们可以点暂停自己演算一下， 然后这样求出来， pc 等于四， pd 等于二，根号三，然后我们判断一下这个 pcd 是 不是直角三角形啊？然后我们经过这个用这个勾股定律啊，判断完之后啊，发现它是也是其实直角三角形的， 然后这样的话我们就可以求出这个三角形 p、 c、 d 的 这个面积是二，根号三。 现在第三步呢，我们用这个体积来求这个 e、 h， 刚才我们也说了，为什么用体积公式，因为你比如说我这里画个 e、 h， 我 我我画画的话，我根本不知道这个 h 点在什么地方呢？ 所以说我们索性用体积公式就可以了。然后具体怎么求啊？我这里写的已经很详细了。最后求完之后啊，这个 e、 h 求出来是这个根号三分之二，根号二， 这样的话，因为这个 e、 d， 我 们这个 e、 d 其实这个很好求的，在第一问或者是那个前面我都已经求完了，这样的话带进去，然后求出来这三 c， 它根号三分之一就可以了，这也就是我们求的这个 a、 b 跟这个面 p、 c、 d 这个夹角的这个正弦值，也就是根号三分之一， 现在我们看一下这个题目的这个核心，就解题的这个核心是什么呢？你这第一万的核心，刚才我们也说了，它是用的中线连线定底，加上这个等距点在垂直平分线上， 这样的话我们就可以找到与一条与底面之线 a、 b 平行的这个线 d、 e 了。然后最后再推出来 f g 平行于面 p a、 b 就 可以了。然后这第二万的这个核心呢， 首先第一步把那个图里面涉及到的这个各个长度，底面的各个长度都给它算清楚。然后第二步呢，就是求这个 p c、 d 是 直角三角形。 然后这个第三步呢，就是通过这个体积公式，这个很重要的通过体积公式来求这个高，这是一种方法的。然后最后求这个正弦值，这个就很简单了，带入就可以了。

大家好，我们继续讲高二上学期例题几何的这么一道题， 之前讲的题是怎么去算这个法向量，怎么样去建立这个直角坐标系。但是前一道题呢，这个所有的坐标都是能够明确的用坐标表达的， 那么这道题呢，需要设参，那么设参的时候怎么来去建立坐标系呢？我们借着这道题好好说一说。 首先第一问，我们先把题读一下，说直角题型， a、 b， c， d， a， b 平行于 c， d， a b 垂直，这是垂直九十度，这块垂直九十度， a， b， b， c 等于二倍， c， d 等于四。我们把这个长度简单写一写，这是四，这是二，然后这个这个是四，说 e 是 终点，那么这里是二，这是二，然后 pa 是 二， p b 是 二，比根号五。 然后还有什么？ p e 垂直于 b、 d。 第一问，证明 p a 垂直于平面， p a 垂直于平面 a， b， c、 d。 那 我们是要想去正垂，值得两个垂直啊 啊？ p h 垂直这个平面 a、 b、 c、 d 里的两条直线啊，两个线段也行，两个得有两个。那么我们第一个来讲，看到二四二倍，括号五啊，给了你这么多数，我们不妨 去求一下这购物规定，你看是不是啊？一看正好它是它的平方，加它的平方等于它的平方，所以说这块 p a 垂直于一 b 了，有这么一个了，另一个在哪里啊？ p a 垂直 abcd 的 下一个东西是什么？ 少一个。然后我们再去看看有什么条件，这个条件很奇怪啊， p e 垂直于 b、 d， 它不在一个平面里，它是两个异面直线， 所以看到这种这个条件来讲，我想把它转化成平面的啊，那怎么转化呢？那么这块又有这么多的线段，我们又二四，二倍二五 啊，那么这块四二，那我不妨来讲，把这个东西就给它连起来，很快这是二倍根号五， 然后既然是这个二至四，这个怎么样呢？也是二倍根号五，然后在我们这块能把这里边的线段求一求之后，我就发发现来讲很神奇的事情来讲啊，这两个三角形好像呀 啊， s s s 全等， a b e 和 b c d 全等啊，三角形 a b e 和三角形 b c、 d 是 全等，就是我们注意哈，我们这个求立体几何的时候，很多平面几何的东西都是默认于你会的啊，所以说这块啊， 要尽可能熟悉一下，那然后呢，这块就有了啊，你看这块怎么样了， p a 能不能垂直于这个平面里的另一条直线呢？哪条直线呢 啊，能不能垂直这个里边的别的 a e 也好啊， b d 也好，看能不能垂直这块这块全等能不能用上呢啊，然后我们发现全等之后倒角这个角加这个角是九十度 啊，中间这块啊垂直了， b d 和 a e 垂直了 啊，这块就垂直，那么这块垂直呢？我们能够继续往下倒的话，就发现啊，我这个 b d 啊，不是和这个 a e 垂直吗？这个 b d 不 还和这个 p e 垂直吗？ b d 就 垂直于平面 a b e 啊， 然后 b d 垂直这个平面 a p a e 了，那么我们这个 a p a 不 就和这个 b d 垂直了吗？这不这块是 p a 垂直于 b d 啊，在正这个之前，我们先有的是什么？是这个 b d 垂直于这个 面 p a e 啊，正这个的条件就是 b d 垂直于 a e， 而且 b d 垂直于 p e 啊，我们这块的书写啊，没有写的那么严谨啊，我们这块因为我觉得这个第一问来讲是相对比较基础的 啊，是我们这个呃，高一下学期学的，所以我们这块跳过了一些啊，如果孩子没听明白的话啊，可以留言提问，我们这块来讲，可以在评论区给他讲的更详细一些啊，第一问就到这了哈，重点是第二问， 然后呢，我们要怎么样呢？要求这个二面角 m d e 和 a d e 啊，这个这个的余弦啊，这个条件要求这个丁余弦，那 d e 在 哪？ d e 在 这啊， d e 在 这 p d e a， d e 这两个面，那很显然两个面的余弦值我们要得到，又要用那个坐标值来表达， 那坐标直的表达来讲，我们就要有一个 p e d 这个面的发向量和这个 a d e 这个面的发向量，两个面的发向量，那么这块来讲，要想要得到两个发向量的坐标，我们就要间隙。好，那间隙来讲，这道题来讲详细的说的，它的关键就在间隙这块，我们怎么间隙？ 现在来讲，由于第一问，我们就知道 pa 垂直平面啊，它肯定是一个 z 轴，这个方向是一个 z 轴，那么我们的原点应该设到哪呢 啊？第一种，我们原点设到这， a 点是原点，那么这个是 z 轴 x 方向，这个是 z 方向，这个是 y 方向，那么如果这么设的话， a 点就是什么？就是零点零啊， 然后继续我们这块把所有的点都表达出来， p 点就是零零二啊，然后 b 点是零四零， c 点是四零四四零， d 点是四二零， e 点是二四零。 好，这块是能知道的，都给写上去了，那么这个 m 点呢？啊，刚才说错了哈，我们这块是 m 抵一哈 m m 在 这吧啊，先随便画了一个点哈啊，在 p b 上吧， m 抵一 m 点不知道，那么我们 m 点怎么设呢？ 就得设这个跟 m 有 关的 m 在 p 比上，所以我们这块得表达什么？表达这个 b p 的 这个 值啊？ b p 的 向量， b p 向量来讲是从 b 到 p， 所以 p 的 坐标减去 b 的 坐标是零负四二， 零负四二，然后我们就设什么？设这个 b m 的 向量是等于朗姆的倍的 b p， 那 么这个 b m 就是 就是多少就是零负四朗姆的二朗姆的 啊，然后继续表达，它用 b 点坐标说 b 点 m 点坐标减去 b 点坐标，等于这个 bm 的 坐标嘛，所以说这 m 点坐标来讲就是 b 加上这个它的这个，所以说它就是零负四朗姆的， 嗯，加四，然后二朗姆 m 点坐标，然后，然后呢，我们要表达这个 m， d， e 这个 这个面，那么我们的法向量呢，就得和这个这个面里的两个向量来讲垂直，所以我得表达这边两个向量，我们表达，比如说我们可以表达 e m 啊，再表达一个 e， d， 然后这一块来讲，它就是负二负四朗姆的二朗姆啊，然后 d， e， d 呢？就是二负二点，然后射 n 是 x， y， z， 然后怎么样呢？去算 啊，这是以 a 点为零零零的，那么怎么样呢？我们还可以以什么呢？讲这个 b 点为这个圆点，那如果以 b 点为圆点，谁是 x？ 这个是 x， 这个是 y， 这个方向是对， 那我们来表达它的话，就是从 b 点是零零零， a 点是零负四零， c 点是四零零， d 点是四负二零， e 点是二零零， p 点是零负四二。 呃，跟它做一个参考，我们也用这个 b p 来表达 b p 是 多少是零负四二啊，跟它一样。 继续， b m 是 多少是喇么的倍的 b p 等于零负四喇么的二喇么，然后求出 m 点坐标啊，是零负四喇么的二喇么。继续也是表达这个 e m 的 向量 啊和这个 e d 的 向量。 em 向量是负二负四喇么的二喇么的，然后 e d 向量是负二啊，正二，正二，负二。 嗯，观察一下它，我们你是在这一块间隙好还是在这块间隙这在这块间隙好。我们今天这节课主要是说这个 在这块间隙最大的好处是什么？你会发现我们所有的点坐标 a 到一全都是什么？全都是正的， 在这块呢，间隙的话，你会发现这边有正有负，而且大部分是负的，一个、两个、三个、四个四个都是负的啊，大部分点一半一半吧，都是负的。我们知道负数计算的时候是容易在编号的这块出现错误 啊，所以从这个角度来说， a 点为零零零好算好，继续。那么来讲，这 b 点这块有什么好处呢？ 如果我们这块来讲，看这个 m 点坐标啊，你看这个 m 点坐标在这儿哪个好啊啊，你会发现喇么的被的 b p 零负四啦， m 点坐标就跟它一样一样，这块节省了一个计算，计算一个未知点 m 的 这个坐标的时候好算，你看这一块呢啊， bm 是 这个， 但是 m 点坐标是有一个加四，然后最后再算 em 的 时候是这样啊，这块先不讨论 em 啊，就这就说这块 bm 到这个什么 m 点坐标，这块它俩是不一样的 啊，为什么会这样呢？因为我们如果说我们回到我们初中学相似的话啊，正好来讲，这是这是二，这是四，那么你这块来讲，如果射这个是它，它比它是 m 点，是这样啊，它比它啊， 这不这这个东西 b m 啊， b m 比上啊， b p 等于喇么的吗？那么这样的话来讲，这个比上四不也是喇那个喇么的吗？ 这正好来讲是相似比，你设的这个东西喇么的背的 b p， 你 现在来讲是用什么？用这个坐标来表达？现在来讲用向量坐标来表达。在初中这块不是相似吗？他正好就讲你设的喇么的就是相似比， 所以这一块来讲，你就会得到的坐标正好就相似。所以这一块来讲，在这一块计算很简单啊，在这块他要麻烦一点，根据你自己情况去选择，然后呢到我们退后来的是 e m 和 e d， 这个两个是一样的， 所以我们这块来讲，除了说谁好以外，我们还要说的是什么呢？就是 最终的结果，他不会有影响啊，我们随便选。那当然了，其实有没有更好的方法呢？有啊，怎么设呢？就以这个为 x， 我 们这块不设外了，我们设这块往这个方向是外， 那这样的话来讲，所有的向量，所有的坐标，他不都是正的了吗？而且还是从这个点出发，这个 m 点复合。 所以说如果你们看老板的一些题里边，他会有一些答案是这么样的，各种各样的间隙， 为什么他好在哪？好在这他既能保证所有的坐标是正的，又能保证什么样呢？我们这个这个设的栏目呢，正好就是相似比在这块计算又简单啊，在这块正负这块又简单。但是呢， 我们这块来讲，在最近几年来讲，这种坐标间隙的方法，我们在过程上是不允许的 啊，所以说我们孩子来讲就尽量不用这个，我们也不讲这个方法，我们也不做这块的对比啊。 呃，然后呢，接着这块，我们比如说用这块方法，因为最后其实都一样，那我们继续来算的话，那么设 n 是 x， y， z， 然后它们相乘，和这两个相乘，我们就会得到两个方程，二 x 啊， 嗯，减二 y 等于零，还有一个负二 x 减去四喇姆的 y 啊，加上二喇姆的 z 等于零。我们如果设 设 x 等于 l 的 话，我们就会得到 y 等于 l 的， 然后 z 就 等于一减二了，让我们继续算啊，另一个项，另一个法向量，就是这个 a， b， d 这个啊， a， d， e 这个面啊，它这是零零一啊，这个第二个项 啊，然后两个向量来讲，它的这个两个法向量的夹角，就 cosine c 的， 正好就是两个向量的 法向量的乘积，然后再怎么样呢？再再分别相除啊，这样把这个数都带进去啊，它就是一减二啦 m 的 的绝对值，比上根号下二啦 m 的 平方，加上一减二啦 m 的 cos 的 平方 啊，这块往这点啊，然后呢，把这个喇么的解解出来啊，它等于什么呢？它告诉你等于九分之五倍，括号三，我写在这哈喇么就会解出第一个值是负的 七分之一，第二个来讲是三分之一，因为人说来讲这个这个在 p 线段 p b 上，所以这个负的就给它舍掉了， m 就 等于三分之一，所以 m 点就应该在这个位置啊，正好是三等分点这么个位置。然后求这个面积啊，求这个体积，求体积来讲是怎么样呢？底面高啊，把这个给求出来就行了， 那体积就等于三分，它是圆，三分之一乘以高，高时来讲是 p a 时二，那这个高来讲就是三分之二， 然后在这底面积三角形 b、 d、 e 的 底面积，这个是二，这个是二，乘完了就是二分之一乘以二，二分之一乘以二，再乘以二，就这么个数， 然后呢把它们都带进去，最后进行一个计算，就是九分之四了。这道题的关键我们就是通过这个来想去计算一下， 我想接着这道题告诉大家间系怎么来建，怎么建都不影响最后的结果，但是它影响你计算的这个简易程度啊。我们间系的时候 也有禁忌，比如说这种情况不能这么建，不能往这个方向去做，所以说大家在间系的时候选择自己习惯的能算对的方法来建。 嗯，你要问我个人推荐哪一种，我推荐用这种啊。在这一块 m 这块好算，因为这些点坐标，总归来讲还是最简单的一个一个方法啊。这个来讲 m 这块是求的过，中间过程是不好求的。好，谢谢大家。