宁夏高一第五章三角函数检测题

hi， 同学们好，欢迎来到媛媛老师的数学课堂，今天我们继续讲三角恒等变换当中的拼凑角问题。首先我们来看到这道题，它告诉我们 sine theta 减六分之 pi 的 值，要我们求 sine 二倍的 sine 加六分之 pi 的 值。 我们来看到，首先这两个角呢，它不是同角，那不能用同角三角函数的平方关系。接下来我们再去看这两个角呢，也不是二倍角的关系，虽然这里的 c 塔变成了二倍的 c 塔，可是呢，负六分之派呢，它并没有变成负六分之派的两倍。那还有 常规思路呢，我们可以选择把我们的 sine sine 减六分之派给它展开，得到一个什么什么 sine sine 减上什么什么 cosine sine 等于三分之根号三。接下来呢，再用同角三角函数的平方关系，我们就能把我们 的 sine 就能求出我们的 sin 二倍的 sig 和我们的 cosine 二倍的 sig。 求出来之后呢，我们呢就能求去求我们的 sin 二倍的 sig 加六分之派了，因为这里展开呢，会有一个 sin 和 cosine 的 呃二倍 sig。 那但是呢，这一个思路呢？这一个方法呢，他去做题目的时候，他运算量是很大的，我们遵循做选择题，遵循一个原则叫做小题不大做，我们要想更简单快捷的方法，那这道题可以怎么做呢？像这样已经题目给出你一个角 啊要求的目标角，我们呢就可以使用拼凑角问题，找出这两个角拼凑之间的关系，接着使用诱导公式，我们来看一下 怎么找他们之间的关系呢？我们看一下二倍的 c 卡加六分之派，他和 c 卡减六分之派，能不能通过和差倍 凑出一个二分之派的 k 倍呢？这样我们就能使用诱导公式，为了求出凑出二分之派的 k 倍，其实我们的思路是要把 c 卡角给它消掉，为了消掉这里有二倍的 c 卡，所以呢，这一个式子我们要给它乘以一个二倍， 为了消掉西塔，那我们这里就要写一个减号，那我们来算一下哈，厄贝斯塔已经减掉了。之后呢，我们的式子呢，这里剩一个六分之派， 这里剩一个夫妇的证加一个啊，六分之二派，所以我们这里得到一个六分之三派，也就是二分之派，那你看我们是不是就凑出了二分之派的 k 倍呀？好，那 那接下来我们怎么做呢？我们已经找出它们之间的关系了，我们要把我们的目标角二倍的 theta 加六分之派，把它表达成二分之派 和我们的已知角之间的关系，我们就可以选择把这个式子给它丢过去，这里要记得要变号，变成一个加号，记得这个种整体我们不要去括号。这里呢，得到一个二倍的 theta 减六分之派， 好，接下来我们求它的 sine 值，那 sine 二倍， sine 加六分之 pi， 它就会等于 sine 二分之 pi， 加二倍的 sine 减六分之 pi， 接下来我们就可以使用诱导公式了。诱导公式我们来看到既变偶不变二分之 pi， 它的倍数是一倍，那既就要变 sine， 就 变成 cosine。 这里呢还剩一个二倍的 sine， 这里剩一个二倍的 sine 减六分之派。 接下来呢，符号看象限，我们假设二倍的 sine 减六分之派是 d 象限角，那我们给它加一个二分之派九十度， 那我们看一下这个中边落跟单位圆的交点，在这里我们要看这个点，它的上移值呢，就是看它的 y， y 呢是一个正值，所以呢，我们这里还是正的， 所以呢，我们呢啊，这个式子就会变成求 cosine 的 二倍的 sine 减六分之 pi， 这里呢我们呢要用到我们的一个啊，二倍角的公式是我们的 cosine 二倍的 r 法，它会等于一减二倍的 sine r 的 平方。好，那我们这个式子就可以变成 一减去二倍的三，这里我们要看到我们要一种整体思想，二法角呢变成了 c 卡减六分之派，所以这里呢就是我们的 c 卡减六分之派的平方，所以我们带进去得到一减二乘以三分之根号三的平方，所以这里呢变成一减二乘，这里是九分之三，也是三分之一啊，乘进去也就是一减三分之二，结果得到三分之一，所以这道题我们最终的结果是选 第一个。同学们听明白这道题了吗？相信你们对三角形等变换的拼凑角问题已经掌握的非常的熟练了，那我们今天这个视频就到这里啦，再见。

来，就是咱整体去想，看到这种玩意肯定是想着去凑吧。那想着去凑，咱们想啊，就回忆一下都讲过哪些特殊的一个叫做互补，也就是说 a 和 b 加起来等于一个派的时候，那么我们是不是可以知道这个散 a 是 等于一个散 b 的， 对吧？然后呢？扣散 a 是 等于负的，扣散 b 的 就是互补的时候，散也相同，扣散相反，对不？然后再来一个就是互余的， 那这两个东西加起来是互余的话，是不就是一个 find 等于 cosine 呢？对吧？异名吧，异名相等吧，这是我们常用的就是这仨玩意，所以看看这个和这个是不是就可以理解为，我先把它当个 a， 然后把它当个 b， 看看这个 b 是 a 怎么凑过来的， 对不对？你这个这个如果能想到加和呢？就最好，对不对？然后想不到也没事， 他有个 alpha， 他 有个 alpha， 我 是不是只要把这个 alpha 消了之后，它就能成了个定值？那成了定值就好聊了嘛。所以你这时候来看的话，拿谁减谁啊？是不是就 b 减 a 啊？那 b 减 a 的 话， alpha 一 消十四分之五派， 然后再加个七分之派，这不就是十四分之二吗？然后整个折下来是不是就是个二分之派，对不对？所以你现在就变成了一个 b， 就 等于 a 加上一个二分之派了？那所以我们现在是求的是谁啊？塞什么呀？塞 a 加二分之派吧。 那算 a 加二分之派的话，这个题干给的是谁？是不是可以理解为叫做一个 cosine a 等于一个三分之一，对不对？加，然后既变偶不变符号看象限，它是不是就等于 cosine？ a 是 不是就等于三分之一？ 对不对？他其实凑角的原理就是你把一个东西看成 a， 把另外一个东西看成 b， 看看他俩是通过加和还是做差还是翻倍？加和翻倍做差想办法把那 r 角给削了，削完之后剩个那个长长数值不就得了吗？ 对不对？这是最最，这是一种，就是刚刚说了吗？就连二倍角都不需要的一个，这是一个比较简单的一个式子。那但是我们学会的是这个方法，这个方法是说你就去看他俩怎么着能变成跟二派，二分之派和派有关系的，对吧？再结合着诱导公式就出来了。

其实在我们的期末考试里边儿呢，好多求角的问题啊，你只要找到角之间的关系，就可以瞬间解决，你看哈，这里呢，我们就利用互补互余的关系去求值，那你看我们已知什么 sin 三分之 pi 减 alpha 等于二分之一，却让我们求六分之 pi 加 alpha 的 余弦值， 那么好多孩子呢，呃，看到这样的题，他说，老师，我把它给展开，把它也展开，看他们之间有什么关系，如果你这样去做的话呢，那你就掉坑了，知道吧，有可能你就做不出来，还有可能你要判断符号非常容易出错。其实我们仔细观察 看，这哥们和这哥们，这俩哥们之间，他俩什么关系，对不对？你看一下，一个是减阿尔法，一个是加阿尔法，那么如果我要让他们两个相加， 减 alpha 和加 alpha 是 不是就抵消了呀？然后六分之派加三分之派正好等于二分之派，那意味者说了哈，这两个角哎，相加哎，我们因为可以把 alpha 给消掉嘛。等于二分之派， 那么意味着这两个角是不是互余的关系啊？那么两个角互余，一个是正弦，给出来了，让我们求余弦，对吧？两个角互余，我们有诱导公式来，我们的诱导公式是什么？ 那就是 sin 二分之派减阿尔法，那么就等于 cosine 二分之派减阿尔法，那么就等于 sin 阿尔法，这是我们最基本的诱导公式啊， 是吧？那么你看哈，这两个啥意思呢？如果就是两个角互补的话呢，它其中一个角的正弦值就等于另一个角的余弦值。那我们给大家把这个题的步骤，我给大家写一写，好不好？来减 我们哈，因为这个 sin 三分之 pi 减 alpha 等于二分之一，这个肯定要用到的，那所以咱们的 cosine 六分之派加尔法等于谁呢？大家你看，我们需要对这个角进行转化，那么他俩相加等于二分之派，那你说我们把未知角转化到已知角的身上，这是我们这道题的思路，对吧？那六分之派加尔法，那么就是等于什么呢？ 那就是二分之派减去三分之派减 alpha， 哎，是不是这个道理啊？那你就把它当做一个整体， cosine 二分之派减去一个 alpha， 那 不就等于 c alpha 呢？所以它就等于 c 三分之派减 alpha 直接就转化到它身上，那不就是已知条件中的二分之一吗？所以你看这样的题呢，你不要认为它很难，千万不要把这个给它展开啊，你要展开的话呢，那就麻烦了， 一定要找角之间的关系，是互余还是互补，那么有了这个关系，我们就可以用诱导公式找到已知角和未知角之间的联系，从而解决这样的题。关注老师，学习更多数学知识。

高数学来了，我们来看这一题，若尔法是第二扇角，是分别确定二尔法二分之二法三分是尔法的中间所在的位置， 那这题怎么办？首先呢，告诉我们尔法是第二扇角，那通过这一点我们肯定能得到尔法它的曲值范围，那我们先来求它的曲值范围，那根据 尔法是第二扇角， 所以呢，那如果实在不理解的话，我们也可以换一个小图， 那我们看 r 是 第二项尖角，所以呢，它的位置就是这里的， 来这一块，那这里要注意呢，不好包含这个边界，也是 y 的 正半轴和 x 的 负半不包，所以呢，这时候那 a r 的 区域范围，由于它包含的，所以呢，它左右两边都是 不含等符号的，那我们看，由于它这里只有这一块区域，所以呢，我们要用三百六十度乘以 k， 如果是两块区域 形成这两块区域的夹角，刚好属于对顶角的话，那就是用一百八十度，那我们这还是用三百六十度，那接下来看，那它的最小值，在三百六十度以内的时候，那最小值是一百八， 这个九十，那然后呢继续看，那最大值就是一百八，最大值 大致是一百八，那所以呢，构成到三百六十度以外的角的话，就要加一个三百六十度的 k 位，那当然这里 k 是 整数，包含负的，那然后呢， r 法范围确定了， 他让我们求的是二的二分之二，三分之二的中间的位置，那我们可以去分别求出二二八，二分之二八，三分之二八他们的去范围，那比如说二的，那不就是左边中间右边同时乘以二吗？ 二分之二八同理，同时除以二，三分之二八是一样，同时除以三。那所以呢，我们先看二二八，二八的话，那把上面的数据全部乘以个二， 就是这样子，大家往里看这个，那就是二分之二了，全部出牙。 你是这样的，那三分之二法同以同四做数据，同时除以三，也就是 这样，那所以呢，我们奥尔法二分之二法，三分之二法的平方 a 都算起来了，那现在我们可以看它们都处于中间在哪个位置，那我们看 二，是吧？中间在 那，如果看数据看不出来的话，那我们可以 y， 那 我们看一个，我们发现，那这边呢，三百六十度乘以二 k， 然后再加上一百八是一百八，一百八是这里，然后三百六是这里，也是 这一范围，当然呢，这里要注意，这里面呢是三百六十乘以二，也就是七百二，那这一块并不是 所有的都是这里，那这里的话，也只能说明这边的这些阿尔法的中间肯定落在 这一块区间，但是呢，这一块区间呢，落在这一块区间的角不一定就是阿尔卑的阿尔法，但是呢，但是阿尔法的中间肯定是在这，所以我们只考虑这点。当然边界是包含的，那所以呢，它中间落在三四相切， 那这里我们发现，那这边呢，只是包含边界中间的这个这条线还是包含的，那它就是 y 的 非正半轴及 y 轴的 非正半轴。 然后呢是二分之二吧，那它的中间在哪呢？还是可以画一个图 让我看一百八十度。那一百八十度前面说了，那我们可以先画一个区域，那它这个区域的夹角的对角就是另外一个区域夹角，那这样的话我们可以脱出来。那首先呢，一个是四十五 好读啊，那就是那另外一边是九十，这里也就是这块区域，看下这一块区域，那另外一个就是对零角， 那呢就是这两块区域，那这两块区域呢，分别在一三向前， 然后就是三分之二，它的边落在哪？那这时候我们看呢，还是可以画一个图， 那我们看一百二十呢，不像一百八十那样，那如果搞不清的话，还是不要偷懒了，那我们先看， 那我们看 k 是 三位数，也是 k 等于三 n， 那 这里 n 是 整数，我们就规定接下来说的 n 都是整数啊。那 k 等于三 n 的 时候，那一个是中间落在三十到六十之间，就是三十到六十之间，大概这块区域， 那如果是 k 等于三 n 加一呢，那他的中间落在一百二十加三十，一百五十至一百二十加六十，一百八十，就是一百五十至一百八十斤，这就是大概。 这回，那同理 k 等于三加二的时候呢，那它就是二百七至三百之间，二百七至三百之间。这块，那根据图可以明显看到是一二四相线， 所以呢，这题就解完了。那解这一题呢，首先我们是根据阿尔法第二阶链角，所以呢，得到阿尔法的取范围，分别得到 阿尔法二分之阿尔法三分之阿尔法的取范围，那得到它们的范围之后，然后根据这个范围可以画一个草图，去便于于了解，从而得到它们的中间分别都在哪一个象限。所以呢，具体就讲了下个视频再见。

你真的搞懂了整体法秒杀高一质卷必考的三角函数取值范围问题了吗？一条视频带你搞懂。哈喽兄弟们，今天刘老师带大家通过一道三角函数的选择题，给大家整体的复习一下期末考必考的有关三角函数的对称轴，对称中心以及 omega 取值范围的问题。 那么这类问题啊，其实我们是有一个比较好的解决方案的，也就是说今天要给大家讲的整体法。那么通过这一道题呢，我们一起来看一下，面对着这样比较中难的 omega 取值范围问题，我们是如何处理的。 首先我们来看根据题目给出的 f x 在 零到二派内恰有三个对称轴。首先我们先根据函数的定义域写出 x 的 取值范围，也就是说 x 是 大于等于零，小于等于二派。 进一步呢，我们可以写出 omega x 减四分之派的范围，它是大于等于负四分之派，小于等于二 omega 派减四分之派。 那么今天我们要讲的整体法呀，就体现在这里，也就是说我需要把这个函数的括号当成一个整体，这样的话，这个整体法就能够帮我们尽快的画出一个整体函数图像，也就像啊刘老师给大家下面画的这张图一样。那么我们观察这张图像啊，你会发现这张图的 左区域，也就是说负四分之派的位置，我们是很明显可以把它找出来的，也就说我们利用整体法是可以很明显的发现区间的起点呢，就在这个位置， 那么现在不确定的是什么呢？也就说我们区间的右界到底可以走到多远？于是呢，接下来我们就要看题目条件了，题目的要求是说恰有三条对称轴。 ok， 那 我们先来找一找在整体法的图像当中，我们能看到几条？首先我觉得大家能够很明显的发现，这是我们的第一条对称轴。 ok， 我 们继续观察，你会发现这里是我们函数的第二条对称轴。紧接着我们会发现在整体法的二派位置出现了第三个对称轴， 那么这个对称轴它就比较重要了，它是我们题目恰有三条对称轴的一个起始位置。那么为了把区域我们讲清楚，就不得不看一下第四条对称轴会藏在哪，那我们就会看到第四条对称轴藏在这里， 那整体法的好处就体现出来了。其实只要你对这个整体法的图像观察到位，你会发现，如果我想保证在零到二派内恰有三条对称轴，也就是说我只需要在整体函数图像当中，让我区间的右键 卡在第三个和第四个对称轴之间，我就一定可以保证三条对称轴。那么接下来我们把刚才的这段分析转化成 符号语言来一起描述一下。首先我们要求两个我们一起来看，第一个要求是二 omega 派减四分之派需要大于等于二派，那么它对应的就是这个位置。 第二个限制条件呢，应该是二欧米伽派减四分之派，这个地儿咱们要注意要小于三派。我觉得理由还是蛮充分的，因为你要想，如果我真能取到三派，那恐怕第四个对称轴就出现了。但是题目的要求是不能有第四条对称轴。 ok， 那 我们把这两个条件 给它解完，你就会发现 omega 的 范围是 omega 大 于等于八分之九， omega 小 于八分之十三，这样的话你就发现跟 d 答案一样， ok， 记得点赞关注哦。

同学们，今天我们来看看这一道题，此题属于三角函数，图像性质运用，考察点比较全面，本题含盖知识点广泛， 兼具综合性和基础性。好的，接下来就带大家看看怎么解决这一系列的问题。你发现这个第四题，这个 f 啊，是小于零的 g x 呢？是这个结果，它说存在关于圆点对称点，啥意思？ 之前我们也做过这种类似的题目。什么存在关于原点对称的点？存在关于原点对称的点，那意味着啥？那意味着，比如说我把 f x 给它翻到右边去，和右边有交点。再说穿一点，那是什么？就是这个 f x 加上 g， f x 干啥？ 等于零？有根啊，但这个根呢？什么有复根？但这是第一个。但这个方式呢？这个翻译可能来的有点抖啊，你抖了之后，我们不这样翻译了，我们这样，我们重新换一个。除了这个翻译方式，我们还有喜欢翻译方式，因为什么？ 因为 f x 是 小于零的，我们只有这样，它有负根呢？因为 x 小 于零嘛，这需要把 g x 翻过去。那如果不这样操作，怎么操作呢？我们有其他方式，可能其他方式呢？可能更推荐。那么你会发现 f x 是 啥？是 sine x 加上 e x 减去二，这是 x 小 于零的时候， 然后 g x， g x 是 sine x 加上 x 减 m 分 之一， 他没有说地狱，他 g x 地狱，肯定是 x 不 等 m， 那 么此时在引致他说存在关于原点对称的点，什么意思？就刚才说，我们如果把 f x 沿着原点给它翻过去，它肯定会与 g x 要产生交点， 这才能关于原点对乘。三，又相于把 f x 整个都翻过去，那把 f x 整个都翻过去怎么办呢？怎么才能翻过去呢？相当于 f x 是 奇函数，那相于已知小于零呢？翻过去之后不就什么？ 不就相当于已知右心吗？就是把 f x 翻到右边去，把 f x 翻到右边去，得到什么？得到另外一个函数解析式，和 g x 相交啊，把 f 看错一个奇函数。已知小于零，求大于零， 就充分利用奇偶性来，那么开始算吧，这样已知奇偶性求解析式。那我们翻过去 看一看，能不能把这个结构翻出来，那就干什么？那就设对不对？设什么 x 大 运盈则负 x 小 运盈，那么就是 f 负 x 就是 类似于。既然说它并不是啊，但是我们只是说类似于啊，它不是 f 负 x 等于负 x 加上 e 的 负 x 减去二这种结构，然后呢？它等于啥？它等于负的 f x 啊，对吧？下面我们可以把 f x 把它翻过去之后，它右边给它弄出来，就是三 x 减去 e 的 负 x 加上二，它是什么？它和这个 g x 产生交点，它和什么？三 x 加上 x 减 m 分 之一，要产生交点，等于就是这个结果。一约掉之后，你会发现什么？发现它就是单纯的。什么？单纯一个 x 减 m 分 之一等于啥呢？等于这个 二减去 e 的 cos 就是 一分之一的 x 密，它要产生焦点，就什么对这个地方产生正根。为啥？因为它是把 f x 翻到右边去了，它要产生正根，产生正根咋算呢？产生正根， 根的问题嘛？又是根的问题，根的问题怎么办？要么就含参讨论，要么就转换转化。怎么转化函数的零点方式呢？跟图像的交点， 要么就转化，这个地方肯定只有转化噻，你还能干什么？你动不动啊？这个地方分叉好像也有，分叉好像是有希望，但是分叉有点麻烦。那为什么我们就要不就直接转化成函数的焦点？那你来看一看，相对于 x 减 m 分 之一，这个函数和谁呢？ 和二减去 e 分 之一的 x 米，这个函数它有焦点，有正有正的焦点啊， 我们来看一下，这个图案是可以画的。这个图案怎么画的？这个图案是一分之一，是递减，天各负二递增，所以说右边是个单调递增的单调递增呢？注意它趋向于正无穷的时候，它是有上限的，所以说我定义性质先研究。然后呢，要谨防特殊的点和线， 那就是特殊线，你看他取正无穷的时候， x 走向正无穷的时候，二减一分之一肯定是小于二的，所以说他取零的时候呢？ 对，取零的时候是一，相当于是这样子，负数的时候，他他没有，他没有下弦，然后，但这个呢，可以求，这个好像是不懂了，二求出来没有用，但是让我们看 x 减 m 分 之一呢？ x 减 m 分 之一，这是一个反比例，这个反比例最他的对称中心是哪？我们看一下他的对称中心是 m 逗号零，相对于这个反比例是以 m 逗号零为对称中心一样反比例。然后呢，他是 先减，一直递减到它类似于 x 分 之一。为什么？我们要求的是啥？它在大于零的时候要有焦点，它 大于零的时候要有焦点。你会发现这个 m 啊，它绝对不能太靠左边，太靠左边之后整个会拉着整个图像靠，靠左边它不会。比如说这种情况，它就在零到正无穷是没有焦点，它靠的临界位置是啥？是啥时候呢？它经过了谁？ 经过了零到一这个点，叫它临界状态。相比 x 减 m 分 之一，它经过零到一这个点的时候，此时 m 是 啥？ m 是 负一， m 是 负一，就是临界位置。什么意思呢？就是说它绝对不能再往左靠了， 因为他再往左靠的话，这个曲线会被他完全拖着往往左边走。意思就是什么？就只有继续往右靠，那意思吗？因此听我分析， m 什么必须是属于负一到正无穷的，因为只要属于负一到正无穷，他一定会有焦点。为啥？比如说 m 在 这，它始终是有焦点的。 那这个同样说，只要 m 在 右边，它一定会有焦点，在左边是没有，就说负一就是个临界状态。 ok， 这是我们第四题，更多四七九名师讲义，主页粉丝全拿。

黑板上的这道题呢，是对数和我们的三角函数综合的一道题，期末考试的时候呢，好多孩子呢都没做出来，我们来看看它到底有多难哈！ log 以四为底，二倍的它加 cosine alpha 的 对数加以四为底，它的对数等于一，求它逆的 alpha 等于多少？那么其实这道题呢，我们肯定是要先利用对数的运算性质，先得到三角函数之间的关系，哎，这个思路是很清晰的哈， 好，那么我们说了，对数函数我们加可以变长，所以我们这里呢，变成以四为底，这是谁呢啊？二倍的 sine alpha 加 cosine alpha 乘谁呢？ sin 阿尔法加二倍的 cosine 阿尔法等于几呢？等于一是吧？那所以根据指对互化，那我们就得到二倍的 cosine 阿尔法加 cosine 阿尔法，就是它这个真数乘 cosine 阿尔法加二倍的 cosine 阿尔法，那就等于四的一次方，那就等于四，对吧？我们得到了这样的一个式子，那其实说白了，就是利用这样的一个式子求 cosine 的 阿尔法的值。 那么现在呢，我们，呃，还没有办法啊，有同学说，老师我可以列方程组，但是列方程组太麻烦，是不是我们把它给展开观察一下啊？好，它乘它，那就是二倍的三 a r 的 平方加 它乘它是四倍的 sine alpha 乘 cosine alpha， 再加它乘它，是不是？那又加一个，那加五倍的 sine alpha 乘 cosine alpha 加 cosine alpha 乘二倍的 cosine alpha， 那 就是二倍的 cosine alpha 的 平方等于四。 那么现在呢，关键是人家让我们求它的平方呢？那我们前面学过其次是弦化切的那个知识点， 但是呢，其次是你得是有分子分母的每一项他的次数都相等，对不对？好，那你看这样的一个式子啊，虽然他没有分母，但是呢，我们可以给他添上一个分母一， 对不对？我们把这个一化成谁呢？我们把这个一给它逆运用，看成 sine alpha 的 平方加 cosine alpha 的 平方，同角三角函数的基本关系嘛，然后这个式子呢，就变成了一个其次式。啥意思呢？就是分子分母的每一项 都是二次项啊，对不对啊？他的次数都是二。那所以我们可以对这样的一个式子，分子分母的每一项都除以 cosine 阿尔法的平方，就可以达到弦化切的目的了啊， 它除以 cosine 的 平方，那就是二倍的 tangent 的 阿尔法的平方加五倍的 tangent 的 阿尔法再加二，对吧，比上 谁呢？嗯，除除过来，那么除以这个贪界的阿尔法的平方加一对吧，等于四 啊，然后我们给它变换一下啊，那就是二倍的贪界的阿尔法的平方加五倍的贪界的阿尔法加二等于多少呢？四倍的贪界的阿尔法的平方加四， 是吧？哎，那我们移向一下啊，嗯，就可以把它挪过来，把左边呢都挪到右边哈，那就是二倍的贪界的阿尔法的平方减去五倍的贪界的阿尔法， 然后把它挪过来，然后是加二等于零，那么这个式子我们可以看成关于这个贪界的阿尔法的一元二次方程，或者你进行一个代换，你把它看成 x， 这不就是，呃，二 x 的 平方减五， x 加二等于零嘛。所以我们可以用十字相乘法音式分解。哎，这个分解我就不再多说了。啊啊，你要是不会，在这里给你简单的一写哈，你看，二倍的 tangent 阿尔法乘。 tangent 阿尔法分两端凑中间嘛， 分成负二乘，负一交叉相乘再相加，正好是中间的负五，是不是所以它就分解成了？嗯，我这样还是用白色的哈。那就是二倍的贪界的阿尔法减一乘贪界的阿尔法 怎么样啊？减二等于零。那所以你看我们的贪界的阿尔法要么它等于零，贪界的阿尔法等于二分之一或等于二。所以这里我们填啊，二分之一或 二，是不是有这样的两个结果哈，你看，这是一个对数函数和三角函数的综合题，还利用了 其次是闲话切求值的这样的一个方法。这肯定是我们期末考试的重中之重。为啥呢？因为期末考试考的就是综合题，对吧？关注老师，学习更多高中数学知识。

同学们，今天我们来看看这个题目，这是属于三角函数的通用解析思路， 属于同学们在日常做题时容易出错的考点题型，在遇到这个题型时要注意细节。好的，接下来就带大家看看怎么解决这一系列的问题。 那接下来呢，就简单的用一用，比如说像这种列二的这七个题都属于简单的，我们依次来简单的看一下三角函数。学到这里，像我上节课给大家说的，你三角函数其实就是四个字，察角观势。 所以在我们的认知当中，三角函数属于简单类型，那就是因为都逃不出这四个字，什么意思呢？所谓查角，就是你看你求的角，已知的角，它们之间的内部的联系是之和是之差 是二倍，是一半完事，这个是指它与公式当中的哪一部分结构类似， 甚至他就是公式。发现这些东西之后，那就没有什么考头了，三角函数就考这个， 比如说你看例二，这里角二十十，一百六十，明显一百六十个怪胎，所以你就发现把一百六无非就写成要和十二十有关的话，显然是一百八减二十嘛，所以他就等于负的扩散于二十， 因此相当于这儿就变成塞可加可塞。简单题，同样的这个二十四，这是 coco， 你 这个是塞塞就好了哟，而且刚好这是 coco， 所以 把它写成塞音三十六， 不，刚好就是 coco 减塞塞就等于 cosine 二十四加三十六吗？ cosine 六十度二分之一，是不是简单？第三一个这种类型已知 cosine， 求它 同学们以后告诉你，阿尔法加贝塔，阿尔法减贝塔，山鹰阿尔法加贝塔减贝塔，以及探剑加阿尔法加减贝塔。记住一句话，如果这是特殊角， 特殊角百分之九十不展开，比如说这里就是特殊角四十五度啊，三十度啊，六十度， 但是往往百分之九十都不展开，就是要去配凑，所以造成整体去看，而非特殊角不展开。你说我，我这里搞的七分自拍， 三亚阿尔法加七分之一，你说你去展开，你展开有什么用呢？是不是没有用？好，一个是这个，一个是这个哈公式的一些应用技巧更多，四七九名师讲义，主页粉丝全拿。

刚学完了，我们看这一题图已知一长为根号三分米，宽为一分米的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住， 指木块底面和桌面乘六分之派的角。求点 a 走过的路径长及走过的弧所在的扇形总面积。那我们先来看这个，它 a 走过的路径长， 那 a 走的路径是哪一段呢？不就是这里标的红色的这一段？哎，那我们只需分别算出弧 a、 a 一 以及弧 a 一、 a 二和弧 a 二 a 三这三段弧它的长度算出来就相加即可。那我们先来看 a、 a 一 这一段， 那我们首先得看它这个角 a、 b、 a、 e 是 否是九十度，那这个角 a、 b， 那 这里取名为 e a、 b e， 它等于角 a、 e、 b、 f 这两个角相等，且角 f、 b、 e 等于九十度。 所以呢，这个角 a、 b、 a、 e 这个角，它就等于角 a、 b、 f 加角 f b a、 e， 那 f b、 a、 e 就 等于角 a、 b、 e， 所以呢，它这个角 a、 b、 a、 e 就 等于角 e、 b、 f 就 等于九十度，那等于九十度，那就是二分之二，换成负值。 然后当角 a、 b、 a、 e 为二分之差的时候，那我们接下来看，那这个 a、 b、 a、 b 可以 根据勾股定格的 ab， 它就等于根号下 a、 b 的 平方，加上 e、 b 的 平方，就等于根号三平方三一平方一三加一四，根号四是二三。所以呢，这个五 a、 a、 e 就 可以算起来了，它就等于它的半径 a、 b 乘以角 a、 b、 a、 e 的 弧度值表示，那就是 二乘以二分之二等于汉。这个 a、 a、 e 这段弧算起来了，那现在就看 a 一 a 二这个，那首先根据它的半径 c a 一， 很明显就等于 e、 d， 那 也就是一，然后呢，那角 a 一 c a 二，很明显它等于 角 a e、 b， 那 等于角 a、 e、 b 的 时候，就等于九十度，也就是二分之二。 所以呢，这个弧 a 一 a 二就直接能算下来了，它就等于半径一，乘以角 a 一 c a 二，就是二分之二。然后再看这个弧 a 二 a 三，那它首先 角 a 二 d a 三，我们算出来它呢就等于整十个角 pi， 减去这个六分之 pi， 再减去这个角，这个角九十度，九十度八分之 pi， 那 我们看看等于多少，那就是 三分之二，这个角 a 二 d a 三，三分之二，然后我们继续看，那 a 二 d 呢？比二 d， 很 明显，它就等于 a d 等于等号三，所以呢，弧 a 二 a 三，这段弧等于半 d， 等号三乘以 角 a 二 b a 三，三分之一块，就等于三分之正好三海，那所以呢，这个 a 走过的路径就一下就能算起来了，就是这三大弧总长，那也就是 a a 一 海 加上 a 一 a 二，二分之碳，加上 a 二 a 三，等于就是三分之分号三碳，那它就等于那首先分母为六，那这个是 分号三加九，这个碳单位为 d m， 也就是这样，那接下来那 a 走过的五，走过的五所在的扇形有 a 形和五所在的 扇形总面积，扇形总面积为多少呢？那这个就可以根据前面的数据就能算出来了。那首先就是扇形 a b a e， 那 它就等于 派 a d 除以四，那也就是二的平方四乘以派四，派， 然后再除以四，然后就是再行 a 一 c a 二，那他的话就是 也是同样的公式，那是派 d， 嗯，派二方，派二方，然后再除以四，因为它是九十个角，那然后呢，就是派乘以二方，二方就是一，平方也是一，就是派除以四， 然后再加上再行 a 二 d a 三的面积，那也就是首先 a 二 b， 那 这个为根号三，根号三的话，根号三，就是的平方就是三三派，然后再除以这个角六十六十的话，它占三百六十的六分之一，所以呢就是三派 除以六，所以总共的话就是 pi 加上四分之 pi 加上二分之 pi， 嗯分为四，然后和七四分之七 pi， 那 这就是它经过的总面积。 那你可以讲啊解这些题呢？首先我们可以分段来看 a 走过的路径， a a 一 这段弧以及弧 a 一 a 二，弧 a 二 a 三，那首先弧 a a 一 这一段的话，我们先来看这个角 a b a 是 否为九十度，那这个很明显可以根据角 a b e 等于角 f b a e 去，并且这个角 f b e 就 为九十度。当然也可以换种方法，比如说是因为角 a b f 等于角 a e b c， 且角 e b f 等于九十度，那其实这个计算原理，这个原理是相似的啊，那然后呢，这样的话，这个角得到 a b a 一， 这个角，它就等于角 e b f 等于九十度，那就是二分之二，然后呢，所以呢， ab 呢？ ab 勾股定得到为二，然后呢，那这样的话， a a 一 这段弧就为它的半径， 所以这个角这就是 a 一 a 二，还有 a 二 a 三这两个呢？相对弧 a a 一 a 二为 二分之派五 a 二 a 三为三分之根号三派，所以呢，它走的路径就是三个相加为六分之根号三加九倍的派单位分， 然后呢 a 走过的五所在的扇形总面积，这个的话很好算，只需根据前面我们算出来的那些数据，直接就能得到这个式子，那也就是四分之派，四分之七派单位平方分米。那就讲了下个视频，再见。

接下来咱们继续学习咱们的三角函数板块，看一下这个第二题。已知函数 f s 等一个 cosine， 我 令这个 omega s 减六分之派等于一个 t， a 选项。说这个函数的图像关于直线 s 等于三分之派对称，那就是这个三分之派是对称轴，我代入表达式，函数值应该为正一或负一。好，代入一下试试 f 三分之派，通过代入之后，求出这个 omega 值，看它是否可以取到。三，等于一个 cosine 括号三分之 omega 派减六分之派， 它等于一个正负一，就推出来三分之欧米克派减六分之派就等于一个 k 派，括号 k 属于 z， 那 通过求解可以得到欧米克它是等于一个三 k， 欧米伽等于三 k， 加上一个二分之一，括号 k 属于 z， 所以 说这个欧米伽它是一个分数，进而欧米伽它是不可能为三的。排除 a 选项， 看一下这个 b 选项，函数 f x 等于零，嗯，在零到派上恰有四个零点，它的意思就等价于这个函数与 s 轴有四个交点，那这个零到派是 s 范围，因为我把 b 选项 啊拉下来， x 属于一个零到派，所以说 t 就 属于一个。乘一个欧米伽，再减六分之派，负六分之派到欧米伽派减去六分之派， 那我找一下这个零点，从负六分之派开始， 这个位置是负六分之派，他要求有四个零点，有四个零点，那就是一个、两个、三个、四个、三个、四个。所以说那么第五个他是取不到的。我把图给 完善一下，多画一部分。好，那第五个取不到，这个位置就是个空心，是个空心，那很明显，在这个位置左第四个啥零点处，这是一个二分之七派 空心，这是二分之九派，而 omega 派减六分派应该位于二分之七派和二分之九派之间，这是 omega 派 再减六分之派，所以说得到这个。呃，二分之七派小于等于 omega 派减六分之派小于一个二分之九派，我同时加上六分之派，再除以一个派，最终得到这范围，它是一个三分之十一 小于等于 omega 小 于一个三分之十四。前 b 后开，所以 omega 就 属于一个 三分之十一到三分之十四。那这个 b 选项必然是一个正确选项。好，把 b 选到这个选项上， 看 c， 他 进行平移来看 c 平移的话也很简单。呃，先往右平移，左加右减，需要减三分之派，那我平移一下，得到这个啥，得一个新的函数，那就是这个新函数呢？我记为这个 g x， 它等于一个往右平移，它就是一个 cosine 的。 呃，中括号欧米伽提出来往右左加右减，减去一个三分之派，后边这个减六分之派照抄 化简一下 cosine 的 omega x 减三分之 omega pi， 再减六分之 pi。 题目说图像，关于原点对称，就意味着 g x， 它为 奇函数，为奇函数，而这个函数是一个 cosine 函数，为奇函数，说明后边这个 five， 它应该为二分之派的基数倍。所以说负 三分之欧米伽派减去六分之派，应该等于一个二分之派加上一个 k 派，括号 k 属于 z， 那 么我解一下。所以说就得到这个欧米伽，它等于一个负三 k 减去一个二， omega 等于负三 k 减去一个二 k 是 属于 z 的。 所以要想求 omega， omega 是 一个正的，所以说那么当 k 取谁取负，取正的，取零都不行。 k 取欧米伽的最小值，欧米伽为正，所以欧米伽应该取一个一，让 k 取负一就行了。所以当 k 等于负一时， 欧米伽的最小值等于个。一来，这 c 选项也是正确的。看 d 选项， d 选项可以正常去做，那么稍微会有点复杂。对于这个这个选择题，老师会建议他们啥可以取特殊值，他说欧米伽在一到二之间， 咱们可以让 omega 取个端点值，比如取个一，取一个二，去验证一下本题，我取 omega 为二，当 omega 等于二的时候，这个函数就乘 f s 等于一个 cosine 的 二 s 减六分之派。 因为 x 属于一个四分之派到四分之三派，所以这个二 x 减六分之派，这个 t 就 属于一个扩两倍再减六分之派，它是属于一个 三分之派到三分之四派的。三分之派到三分之四派，咱看一下左侧这个图像，三分之派到三分之四派，它必然是有减有增的。同学们好，三分之派在这个位置， 三分之四派在这个位置， 所以说那这一段它必然是有减有增， 他不可能是单调递增的，那么得出矛盾了，那必然这选项是不正确的啊，那他就他不单调就错误了，是有增有减 不单调。 d 选项错误，答案选择这个 b， c 选项。这是第二题啊，这个题目很适合作为咱们期末考试的多选题的第二题，难度比较适中。 看一下这个第三跟第四这两个题属于看图说话。首先做题的前提是先把这个图像的解析式给完成的表述出来，这个最小值是负二，也就意味着这个负 a 等于负二，所以说这个 a 它就是一个二， 而三分之二派到十二分之五派，这是周期的四分之一，那就意味着四分之 t 等于一个三分之二派，减去一个十二分之五派等于 化简。三分之二派减十二分之五派，它等于一个四分之派，十二分之八减十二分之五十二分三派约分是四分之派，所以这个周期 t 就 等于一个派，是派就所以二派比上欧米伽等于一个派，推出来欧米伽就等于一个二。 所谓这个解一式， f x 就 等于一个把 a 换掉二倍的 cosine， omega 换掉二 s 加上一个 f， f 呢，有范围在正九十和负九之间，而这个图像呢，它又过这个三分之二派，负二我可以代入。 因为 f 三分之二派等于一个负二，所以说二倍的 cosine 啊。三分之四派 加上 five 就 等于一个负二，就推出来 cosine 值 三分之四 pi 加上一个 five， 它等于一个负一，等于负一。 cosine 等于负一，那这个角度这个 t 它应该对应的啥是负二分之 pi 啊？负一它应该对应的是 呃，派加二 k 派。同学们可以看一下这个 q 散图像嘛， q 散对长成这样子的好，要想取负一就是派或者负派，再加上上二 k 派，往后再直接写起。所以说 这个三分之四 pi 加上一个 pi 就 等于一个 pi 加上一个二 k pi 括号 k 属于 z， 就 推出来 pi 等于一个我一项 呃移过去就是派，减三分之四派就是负的三分之派加上一个二 k 派，括号 k 除以 z， 最终派就搞定了，因为这个派呢，就在正九十跟负九之间，所以说只能 k 去零的时候，这个派就等于一个负三分之派， 最终这个函数解式就搞定了。 f x 就 等于一个二倍的口塞二 s 再减三分之派， 这是口算的图像，而 a 选项说它关于六分之派对称，如果对称的话，我把这个带进去，这个它的正，它的值应该是一个正一或负一。 f 六分之派就等于一个二倍的口塞二 s， 那 就是一个三分之派。 好，再减三分之派，等一个二倍的 q 三零。 q 三零是一，它就等于一个二， 确实是对准轴，那么 a 选项是正确的，把 a 选上去， a 是 正确选项。看 b 关于这个点中心对称，我依然是带进去，这个外值应该为零。 f 二分之三派 就等于二倍的 cosine 括号二 x， 那 就是三派减去一个三分之派。用诱导公式化简一下， 那就是一个二倍的 cosine 派减三分之派，等一个二倍的 cosine 三分之二派 等一个右的公式，那就是就是一个 q 三分之二派等于负的 q 三三分之派，负二倍的 q 三三分之派 等于一个负二，乘以一个二分之一。答案是负一。好，它不等于零，所以说 b 选项是不正确的，它不是对称中心看一下 c 选项，让我求值域，而这是 f 范围，那么咱们把 c 写下边，我就去。呃， x 属于一个， 我依然是令咱们的二 s 减三分之派，它等于一个 t， 把这个隔开等于 t s 属于一个十二分之派到二十四分之 十三派，所以说 t 就 属于啊，那么 t 就是 一个先破两倍，再减三分之派，它就属于一个呃。化简完之后是负六分之派到 四分之三派有 t 的 范围。之后呢？那所以说我就可以去画图了，画一下这个头散的图像， 把这擦一下， 好找一下负六分之派在这个位置，负六分之派到四分之三派，比九十度多了四十五度，这是四分之三派， 从这个位置到这个位置，那么它的值域就出来了，最大值去到一，去到一之后呢？所以说，那么整个值的最大值，那就是一个二，那就是一个二。 所以说这个 y 等于一个呃二倍的直接口算 t 啊，因为咱连括号内为 t 了嘛，它就属于一个最高点是一，那乘以乘以这个 a 是 二，那么最大值就是个二， 最小值是四分之三派处是负二分之根号二乘个二就是负根号二。 答案是负根号二倒上一个，倒倒一个二，负根二倒二。所以说这个 c 选项是一个正确选项。好， c 也正确。 再看咱的 d 选项，将这函数往右平移，左加右减平移一下呃，平数得到 g s g s 就 等于一个呃二倍的口塞往右平移 二倍的括号，左加右减减十二分之派，后边减三分之派，照抄括起来 就等于一个二倍的头在二 s 减六分之派，减去一个二分之派， 等于一个诱导公式，即变偶不变二倍的塞二 s。 符号看向线锐角减九十。在第四项线头散值为正二倍的塞二 s 美。很明显， d 选项也是正确选项。好答案，选 a c d。 看一下第四题，依然是一个看图说话，先求出这个函数的解析式，这最高是二，这个正负是个二，所以说这个 a 值，它就是一个二， 而十二分之五派到这个三分之派，负三分之派是四分之三。周期也就意味着啥？这个四分之三 t 等于一个十二分之五派，减去一个负三分之派负负的正一加，它等于一个四分三派 就推出来周期 t 等于一个派，所以二派比上欧米伽就等于一个派，进而推出来欧米伽就应该等于个二， 欧米伽是二，之后呢？去求 f， 所以 说目前的函数解析为 f s 等于一个二倍的 口塞，二 s 加上一个 f， 找点代入，因为这个题目中有两个点这个可以代入的，比如咱们可以代入谁？这个十二分之五派。逗二，因为 f 十二分之五派等于个二极带进去 二倍的 cosine， 二 s， 它就是一个六分之五 pi 加上一个 far， 它等于一个二， 就推出来这个 cosine 值六分之五 pi 加 far 等于一个一， cosine 等于一，所以说六分之五 pi 加上一个 far 就 等于一个 kpi。 呃，等于一个一啊，等于一的话，那就是二 k 派，如果是正负一的话，就是 k 派，二 k 派 k 除以 z 就 推出来 five 等于一个负六分之五派加上一个二 k 派括号 k 除以 z， 而这个 five 呢，它要在正派和副派之间，所以说只有 k 取零时才合适。这个 five 就 等于一个负的六分之五派， 那 a 选项必然是不正确的。那既然得到这个解式， f s 就是 一个二倍的 cos， 二 s 减去一个六分之五派，减去六分之五派 啊。看一下 b 选项 b 选项如果想正确的话，那我就把两个都求解一下，看看是否它们是一样的。好，先求第一个 f x 减六分之派，扩起来，等一个二倍的 cosine 中括号，把这个扩大两倍，那就是一个二 s 减去一个三分之派，再减六分之五派。照抄 好变成小括号。我直接跳过老铁们，其实这个二可以写到外边啊， cosine 括号二 s 减去一个三分之派，再减六分之派，那就等于一个二倍的 cosine 二 s 减去一个六分之七派， 二 s 减去一个六分之七派。好，划点一下，另外一个 f 负 x 就 点一个二倍的 cosine 负二 x 减六分之五派。然后 好，我可以把这个六分之五派往六分之七派去转换，去转换，那就等于一个二倍的口赛耶。括号负二 x 减去一个六分之五派，再加上一个二派。因为加二派的函数值是保持不变的， 可以加上一个二 pi。 加完之后呢，就等于一个二倍的 cosine 负二 s 加上一个六分之七 pi， 而这个 cosine 是 个偶函数，这个符号可以提前二倍的 cosine 二 s 减六分之七 pi， 所以 说两边是一模一样的。 f x 减去六分之 pi， 它是等于一个 f 负 s 的 必然，必然。这个 b 选项是一个正确的选项，看， c g s 为偶函数， g s 为偶函数。那么咱先平一下，那么 g x 就 等于呃，往左平移左加就是二倍的猴赛中括号二倍的 s 加上一个六分之派。 后边这个减六分之五派找抄化简一下二倍的头。在二 s 加上一个三分之派， 三分之派，再减六分之五派， 二倍的 cosine 二 s 六分之二派，这是负二分之派。即便偶倍二倍的 cosine 二 s 锐角减九十，在第四条线， cosine 值为正啊。这明显这是个奇函数， 所以说偶函数是不正确的。那么 c 也不能选，看一下 d 选项， d 选项说它在这个区间里面单调。 d 减好。因为 x 是 属于谁？ 三分之派到四分之三派的，所以说这个 t 等于它是 g x， 而 g x 呢？图像在这个位置，那，所以说这个 t 等于一个二 x， 它就属于一个， 属于一个 三分之二派到二分之三派。 所以说画一个图，看看它是否为单调递减的。 画一下正弦的图像 y 轴，这 t 好， 三分之二派到二分之三派，三分之二派在这个位置，这是三分之二派， 二分之三派在最下边，这是二分之三派。显然这段图像是单调递减的，没有问题。好，那么所以说确实是递减的啊，确实是递减的。呃，递选项正确答案选择 b， d 选 项 b d 选项啊，这是零。这是这个第四题。重题考试也是很爱考试的，他们一定要当重点去复习。 看一下这个三角函数的计算题，看一下第一题，已知投三于阿尔法等于个五分之四，贪，北塔是负七分之一，然后呢，这个阿尔法呢？是零到四十五度，北塔是一个啥？是个钝角 六分之五，一百五到一百八。让我求三一阿尔法加四分派，我直接展开，展完之后呢，我需要知道这个三一阿尔法和口三阿尔法的值，那我只能通过啥？以这条件，这个口三阿尔法以这个范围去求出这个值。好，第一位， 因为口塞耳耳法等于个五分之四，所以说二倍的口塞耳方减一等于一个五分之四，并且 一减去二倍的塞引方也是一个五分之四。那我解一下口塞引 r 法，因为 r 法是零到四十五度，所以说正弦与弦都是正的。口塞 r 法一求它是等于一个 十分之三倍根号十的。 十分之九开平方吧，十分之三为根号十，然后 sine alpha 是 等于一个十分之根号十的， 那所以就可以展开了。 sine 的 这个 alpha 加上一个四分之 pi， 它就等于一个 sine alpha 乘以一个 cosine 四分之 pi 加上一个口三 e r 法乘以萨以四分之派展开，那就三 e r 法是十分之根号十 乘以二分之根号二，加上一个十分之三倍根号十乘以一个二分之根号二。化简一下，那就是一个二十分之四倍根号二。二十分之 啊，说错，二十分之四，四倍根号二十化简一下，根号二十是二倍高，八倍根号五，一约就是一个五分之二倍根号五。 答案是五分之二比根号五。第二问，让我求贝塔减阿尔法，那贝塔减阿尔法，我可以直接啥把贝塔减阿尔阿尔法这个 tan 的 值给求出来即可。那 tan 贝塔有了，求下 tan 阿尔法。 呃，口算有了。求下这个塞阴阿尔法。由于这个阿尔法是零到四十五，因为零小于阿尔法，小于一个四分之派走，零就小于二阿尔法小于一个二分之派， 所以说这个塞阴的这个阿尔法就等于一减口塞阴阿尔法再开平方 再开放等于一个五分之三，所以这个 tangent 二阿尔法就等于一个正弦 sine 比上一个 cosine 一 比等于一个四分之三。 所以 tangent 这个 beta 减去一个二阿尔法就等于一个展开 贪比特，减去一个贪阿尔法，比上一个一加上一个贪比特乘以一个贪整的阿尔法 啊，带数据进去贪比特就是一个负七分之一，负七分之一减去一个四分之三，比上一个一减去七分之一乘以四分之三。我一算这个答案，它等于一个负一， 需要知道这个角的范围，呃，因为呃，零 小于 二， r 法小于一个二分之 pi 走那负二分之 pi 小 于负，二 r 法小于零。取。相反的， 又因为这个贝塔在六分之五派小于，贝塔小于一个派，俩加一块，所以说负二分之派加六分之五派，它是三分之派。 三分之派小于一个，贝塔减阿尔法小于一个派，他在第一和第二项线，而这个贪是一个负的，他必然在第二项线。所以说，这啥，这个啊，贝塔减阿尔法就等于一个一百三十五度四分之三派，这题就搞定了，答案是四分之三派。 第二题，这题啊，重题考试特别爱考，主要是考察他们的公式的熟练掌握程度。先需要通过啥，通过三角横能变换，把这个函数化成咱们的啥正弦型函数来去做题都即可。首先咱一步一步化解，咱先不跳步， 第一位，这个 f x， 它等于一个二倍的 cosine 二分之 omega s。 我 先不动，把后边这个括号展开加括号， cosine 猴 cosine 二分之 omega x 乘一个 cosine 三分之派，减去一个 cosine 二分之 omega x 乘一个 cosine 三分之派， 好，我可以把它给展开了啊，就等于一个。后边这个加二分之三，括号三，要照抄 二倍的 cosine。 二分之 omega x 乘一个 cosine 六十是个二分之一。二分之一的 cosine， 二分之 omega x 再减去一个二分之根号三的 cosine 二分之 omega x 再加二分之根号三。 好，去括号二，二约掉，那就是一个 sin 的 二分之 omega x 乘一个 cosine 二分之 omega x 的 平方，再加上一个二分之根号三， 等于一个降密公式，走起，散乘口是二分之一的散二倍 omega x 减去根号三，不动口，散方是二分之一，加上一个口散 omega 二倍的 omega x。 啊，它二倍角吧，就是 omega x 再加二分之根号三。利用辅助角公式，这个 a 是 个二分之一， a 是 二分之一， b 是 钢化三，那 a 方加 b 方，它就等于个四分之一加上一个三。 我看是不是我画错了啊，二倍的二分之 o。 同学们，记住啊，我把我这二我没有画剪完，再多画一步 二分之一的塞 omega s 减去一个。目前这个 b 啊，同学们，他不是钢化三，咱还没画剪完啊。把这个画剪完再说。 把这个给拆开写，那就是一个。嗯，减二分之根号三，跟后面抵消了，再减去一个二分之根号三的后赛 omega s 辅助角公式，这次就可以了。这个 a 是 二分之一， b 是 二分之二，三 a 方加 b 方就是一开放， e 也是一，那就是省略部写 sine omega s 减去一个 f， 而这个摊 f 等于 b 比 a 二分之二，三，比上一个 二分之一等于刚好三。所以这个 five 就是 一个六十度三分之派好，减去一个三分之派 omega s 减三分之派。题目说相邻的两条顿轴相隔二分之派，那就意味着啥？这个二分之 t 等于一个二分之派 退出来，这个周期等于 pi， 所以 说这个二 pi 比上一个 omega 等于一个 pi 就 退到出来。 omega 是 等于二的，所以这个函数 f x 就 等于一个 sin 的 二 x 再减三分之 pi。 而题目让我求单调递减区间好，单调递区间那正弦的减区间，它是在二分之 pi 到二分之三 pi 的。 我就令 二分之派加二 k 派小于等于二 s 减三分之派小于等于一个二分之三派加上一个二 k 派，括号 k 除以 z， 然后两端各加上啥？三分之派再除以一个二，最终得到这个 s 范围，它是一个十二分之五派。 十二分之五派加上一个 k 派小于等于 x 小 于等于一个十二分之十一派加上一个 k 派，括号 k 属于 z， 十二分之十一派加上一个 k 派， k 属于 z。 最终总结一下，所以说这个 f s 的 单调减区间 就为 b 区间的十二分之五派 加开派到十二分之十一派加上一个 k 派， b 区间括号 k 是 属于 z 的。 看一下第二问，这是一个求值问题， 那么 f x 咱们第一位已经化简过了，它等于一个 size 啥？这个 omega x 减三，而 omega 取了二，答案在这个位置好是二 s 啊。二 s 减三分之二好有一等 于一，得得啥得？这个 f x， 它等于一个 sin 的 二 s 减去三分之 pi， 而因为这个 f 二分之 theta 等于一个负五分之三， 所以说把 s 换成二分之 theta， 则 sine theta 减三分之 pi， 它就等于一个负的五分之三。 好，三元有了。那么好有之后呢？让我求是这个 c， 它给我范围的，它是负负六负六分之派到六分之五派。让我求三元的 c， 它减六分之五派。找一下这个角与这个角的关系， 他们两个相差了二分之派，两个相差二分之派，就要下边比上边多了二分之派，所以说上边那个角，等一个下边这个角减去二分之派， 减去一个二分之派，那么需要转化一下，所以说咱们要求的啥东西，这个值就出来了。 所以说要求这个 sin 括号 sin 减六分之五派，它就等于 sin 的 中括号下边这个角 sin 减三分之派，括起来再减二分之派。 利用诱导公式，既变偶不变，那么后边是基础被口塞音的 sin 减个三分之派。 好符号，看下线锐角减九十，在第四项线这个 q 前面，散值呢？它为负负的 q 散 c 减三分之派， 而你想求 q 散，题目给我啥？给我散了？想求 q 散的话，咱需要知道啥？这个角的正负，由于因为这个 c 塔，它属于谁？属于一个负六分之派 到六分之五派，所以说 theta 减去一个三分之派， 它就属于一个负二分之派到正的二分之派，也就是负九十到正九十，那这个 q 三必然是一个负，是个正值 q 三的括号 theta 减三分之派，它就等于一个 正的五分之四，因为 side 是 负五分三吧，它正五分之四。最终答案，这个 side 括号 sit 减六分之五派，它等于负的口 side 括号 sit 减去三分之派，答案就是这个负的五分之四， 最后答案就是负的五分之四，这是第二道有关三角函数的这个计算题，结合了图像，咱往前看，前边还有一道这个啥三角函数的计算题，咱们一块把它给再讲一下，在第二题这个位置啊，在第十五页这个考试诱导公式化简以及求值问题。 首先第一位这个 f x 用诱导公式化简一下， 首先推荐这个 sin 三 pi 加 s 三 pi 先丢掉啥？二 pi 丢掉个周期，这个丢完之后呢，它就是一个 sin 的， 这个 pi 加 s pi 是 一个偶数倍，即变偶不变，那么 sin 是 不变的。 sin s 符号看象限，这个一百八，加上锐角在第三象限， sin 值是负的。 后边接着写，这个 pi 是 个偶数倍 sin 的 s 符号看下线，锐角减一百八，它在第三项线， 所以说这个三值依然是一个负的，和起来乘一个，这个 pi 是 个偶数倍，偶不变，口算也。 s 一 百八加锐角在第三项线，口算值也是负的。 下边，呃， pi 是 个偶数倍，依然是口三 x 一 百八减锐角在第二象限，口三值也是负的， 乘一个第二个二分之 pi 是 基数倍，变成塞 x 符号看象限九十度加锐角在第二象限，口三值也是负的， 乘以最后一个二分之三派是奇数，被奇变变成口三 s 符号开抢线，呃，负二百七，加上一个锐角，它在第二象限，这三只为正好，那么就是没有符号。咱约一下上面三个符号，下面两个，最终答案是负的 啊，我约完之后呢，答案是一个负的 tangent x， 负的 tangent x。 朋友们，下面看第一题，他说因为这个 f r 法等于个二的极 f r 法是二的，就意味着这个负的 贪 r 法，它等于个二，负贪 r 法等于个二，所以说这个 tangent r 法就是一个负二。 让我求后边这式子，这两项都是一个二式的，我构造其四式，所以说塞尔法 乘口塞尔法加上二倍的塞尔法平方，它就等于塞尔法乘口塞尔法加二倍的塞尔法的平方。我比上一个一把一换成塞尔平方加上一个口塞尔法的平方， 那么上下同时除以头三方，第一项变成了贪婪的 r 法加上一个二倍的贪婪的 r 平方，比上一个 贪婪的 r 平方，再加一把这个贪点，一个负二代入，那就是一个负二加上一个八，比上一个负二方是四四加上一个一，答案是一个五分之六。所以第二位， 我先把头两个式子翻译一下，这个 f r 减负它，它等于一个负二分之一，就意味着我把它带入这个化解的式子，那就是负的 tangent 阿尔法减负，它等于一个负二分之一。就推出来 tangent 阿尔法减负它，它等于一个正的二分之一。再来 f 阿尔法等于一个负的三分之一，那么我代入之后就是负的。贪婪的阿尔法等于负三分之一，所以说就得到这个贪婪的阿尔法， 它是等于三分之一的。好，有了贪婪的阿尔法值，以贪婪的阿尔法减倍大值。题目让我求二阿尔法减倍塔明显是两个角，阿尔法减倍塔和阿尔法大啥的和的形式， 所以说这个 tangent 这个二阿尔法减倍塔就等于 tanthan 中括号阿尔法减倍，它再加阿尔法把它展开，就等于贪加贪 tanthan 的 阿尔法减倍，它 再加上一个 tangent 的 阿尔法比上一个一减去一个 tangent 的 阿尔法减倍，它乘以一个 tangent 的 阿尔法把数据带进去，它阿尔法减倍，它这是一个二分之一，再加上一个 三分之一，比上一个一减去一个二分之一乘以三分之一。咱一块计算一下这个具体的值，上边是一个六分之五，下边是一个，下边是一个一减六分之一。哦，答案等于一，六分之五除以六分之五是一。 贪是一的话，那么需要知道这个角的范围，才能知道最终这个角度的它大小。看一下题目，题目告诉我，这个阿尔法贝塔都是锐角，都是锐角之后呢？咱们接着分析，对吧？啊？都是锐角， 而咱们知道这个贪阿尔法减贝塔，它是个正值，锐角减锐角是个正值，所以说这个角它依然是个锐角。 阿尔法减贝塔，贪贪婪的是个正的嘛。阿尔法减贝塔属于一个零到二分之派， 所以说，那么二阿尔法减贝塔，那就是一个阿尔法减贝塔，再加阿尔法，它属于一个，因为阿尔法也属于零到二分之派，它们就属于一个零到 pi。 呃，所以说这个 r r 减贝塔，它就等于一个四分之 pi， 因为贪四十五是一，贪一百三十五是负一。那本题，因为它是个正一，所以说这个 r r r 减贝塔值，它是一个四分之 pi 是 四十五度。好，这是本题的讲解。好，关于这个三角函数的计算题，咱就讲到这里。

那么利用诱导公式求值是我们这次期末考试的重中之重啊，好多孩子呢，诱导公式的两句话都不会， 鸡变偶不变，符号看象限知道吧？但是呢，这道题看似非常难，其实它是一个纸老虎啊，它非常简单，为什么呢？你只要知道我们这个公式就行了。其实 我们有三个公式是让大家记住的什么呢？ sin 派减 alpha 等于 sin alpha， 那 cosine 派减 alpha 呢？等于负的 cosine alpha tangent 派减 alpha 等于负的 tangent alpha 那 也就是说呢，你看啊，派减 alpha 和 alpha 什么关系呢？这样的一个角加这样的一个角等于 pi， pi 就 对应一百八十度呢， 说明这两个角他们是互补的关系。相加等于一百八十度不就是互补吗？那我们就得到了结论哈，两个角互补，正弦值相等，余弦值互为相反数，正切值呢，也互为相反数。 大家来观察一下我们这道题里面的角哈啊，你看看，七分之派，七分之六派，那么这不就是互补吗？相加等于派吗？ 七分之二派和七分之五派，七分之三派和七分之四派。那所以这道题其实 so easy， 知道吧，我们给它重新组合一下就行了。原式等于 cosine 七分之派加 cosine 七分之六派，加什么呀？ co sin 七分之二派加 co sin 七分之五派，然后再加一个 co sin 七分之三派加 co sin 七分之四派 啊，那么它们这两个角都是互补的，那我们就可以利用诱导公式进行转化。怎么转化呢？那你看 co sin 七分之六派就等于负的 co sin 七分之派 加 cosine 七分之二派，然后它等于负的 cosine 七分之二派。那么 cosine 怎么样了？七分之三派减去 cosine 七分之三派，哎，只要互补，它们的余弦值就互为相反数，那每一个都是零，等于零加零加零，哎，最终结果是不是也是零啊？这三个就是我们哎书上 诱导公式六个公式中的其中一个，哎，你要把这句话既变五不变否看象限给它记住。但是呢，常用的这些公式呢，也要一定给它记得清清楚楚是吧？关注老师，学习更多数学知识！

接下来我们讲必修一第五章三角函数第六节 a， b， c in omega， x 加 five 的 图像，就是对三 x 图像进行图像变换。 首先我们看 a 对 a， b， c in omega， x 加 five 它的图像的影响。我们假设 a 大 于零， 我们用电脑画出精确的函数图像，先看上面这个红色的表示三 x， 蓝色的图像表示三倍的三 x。 我 们取一个特殊点来看，我们取 x 等于二分之 pi， 那三 x 就 等于 sine 二分之 pi 就 等于一，那三倍三 x 就 等于三倍， sine 二分之 pi 就 等于三， 那同一个 x 对 应的 y 值变大了，所以 a 大 于一的时候，就是把这个三 x 图像上下拉伸， x 是 不变的。再看下面这个图，我们还是取 x 等于二分之 pi， 那 sine x 就 等于 sine 二分之 pi 等于一，那零点三倍 sine x 就 等于零点三倍， sine 二分之 pi 等于零点三，那就是同一个 x 对 应的 y 值变成了原来的零点三倍。 所以 a 小 于 e 的 时候，就是把三 x 图像上下压缩。那我们从图像中可以看出来，这种上下的拉伸和压缩不会影响函数的周期， 周期还是二派，也不会影响单调区间，只会影响最大值和最小值。就是说 x 值不变， y 值变成了原来的 a 倍。 那 omega 对 这个图像有什么影响呢？我们先默认 omega 大 于零，我们看上面的三 x 和 sign x， 我 们取同一个 y 等于一， 那对于三 x， 当 x 等于二分之 pi 的 时候， sin 二分之 pi 等于一。但是对于 sin 二 x， 当 x 等于四分之 pi 的 时候， 那 sin 二 x 就 等于 sin 二，乘以四分之 pi 等于一，这就是说啊，取得相同的 y 值， sign 二 x， 它的红坐标的值是 sign x 红坐标值的一半，那就是 omega 大 于的时候，函数图像左右压缩， 那左右压缩会导致函数的周期发生变化。对于 sign x 来说， 零到二 pi 区间，山峰出现一次，山谷出现一次。但是现在对于 sine x 来说，在零到二 pi 区间内， 山峰出现了两次，山谷也出现了两次，图像已经开始重复出现了。那有图可知，此时的 sine x 最小正周期就是 pi， 那此时的周期可以这么计算，就是 t 除以欧米伽，那就等于 r， pi 除以 r 等于 pi， 也就是说， omega 大 于一，图像被压缩，重复出现的周期就是原来的 omega 分 之一，重复出现的周期变短了，那由图可以看出来，单调区间也被压缩了。 我们再看下面的这个， sine x 和 sine 二分之 x， 取同一个 y 等于一，对于 sine x 来说，当 x 等于二分之 pi 的 时候， sine 二分之 pi 等于一。但是对于 sine 二分之 x， 当 x 取 pi 的 时候， 那 sine 二分之 x 等于 sine 二分之 pi 等于一。这就说明啊，此时取相同的 y 值， sine 二分之 x， 它的红坐标的值是 sine x 红坐标值的两倍， 那就是 omega 等于二分之一的时候， y 值不变， x 值拉伸成原来的两倍， 那此时函数的周期就是 t 除以 omega 等于二， pi 除以 二分之一等于四， pi， 也就是 omega 小 与一。图像被左右拉伸了，重复出现的间隔变长了， 那函数单调区间也被拉伸了。那总结一下，这种左右的压缩和拉伸不会影响 y 的 最大值和最小值，但是会影响函数的周期，会影响单调区间。我们再来看 phi 对 图像的影响。 我们先对比上面的三 x 和三 x 加一，那三 x 加一就是把三 x 向左平移一个单位， 左加右减，函数的最值不会受到影响，函数的周期不会受到影响，但是函数的单调区间会发生变化，单调区间也相应地向左平移了。 再看下面的三 x 和三引 x 减一，三 x 减一就是把三 x 图像整体向右平移一个单位， 函数的最值不会受到影响，函数的周期不会受到影响，但函数单调区间也相应地被向右平移了，那 five 就是 对 x 的 左加右减。 同学们一定要注意，左加右减是针对 x 而言的，这一点特别重要。 知道了 a、 omega、 five 三个元素对函数图像的影响之后，我们再来看一下三角函数的图像变换。三角函数图像变换其实就两种，一种叫平移，一种叫伸缩。那伸缩又包括上下伸缩和左右伸缩。 如果我们先进行平移后进行伸缩，那从 sign x 到 sign x 加 five， 就是 对 x 的 左加右减， 然后我们再伸缩。我们先左右伸缩就是先看 omega， omega 大 于一就是左右压缩， omega 小 于一就是左右拉伸， 那左右伸缩之后，同一个纵坐标，它对应的红坐标变成了原来的 omega 分 之一。 那接下来我们再上下伸缩， a 大 于一就是上下拉伸， a 小 于一就是上下压缩，那上下伸缩之后，同一个红坐标，它对应的纵坐标就变成了原来的 a 倍。 看下面这个实际例子，由三 x 到三 x 加一，就是把三 x 图像向左平移一个单位。 由 sine x 加一到 sine r， x 加一，就是左右压缩，就是同一个 y 对 应的 x 变成了原来的二分之一。 那由 sine x 加一到三倍 sine x 加一，就是上下拉伸，同一个横坐标对应的纵坐标变成了原来的三倍。 但是如果先进行伸缩，后进行平移呢？那由 sine x 到 sine omega x 就是 左右伸缩，那就是同一个纵坐标对应的红坐标变成了原来的 omega 分 之一。 那由 sin omega， x 到 a 倍 sin omega， x 就是 上下伸缩，那同一个红坐标对应的纵坐标变成了原来的 a 倍。 那由 a 倍 sin omega x 到 a 倍 sin omega x 加 five。 同学们需要注意了，此时是左右平移，平移的大小是 five， 除以 omega， 因为这个 a b sign omega x 加 five， 它是等于 a b sign omega 括号 x 加上 five 比上 omega。 好，我们说左右平移是对 x 进行平移啊，这里 x 后面加上的是 five 比上 omega， 所以 我们就要平移 five 比上 omega， 这个是个易错点，同学们一定要掌握。 那看下面这个例子，还是刚刚那个例子，我们调整了图像变化的顺序，我们第一步由三 x 到三 x， 就是 把三 x 图像左右压缩，那同一个 y 值对应的 x 值变成了原来的一半。 那由 sine x 到三倍 sine x 就是 上下拉伸，就是同一个 x 对 应的 y 值变成了原来的三倍。 那由三倍 sine x 到三倍 sine x 加一，这里的 x 加一是等于二倍。括号 x 加二分之一， 所以要把三倍 sine 二 x 向左平移二分之一个单位。同学们看向左平移二分之一个单位， 我们刚刚先平移后压缩的时候，我们是先平移一个单位，再压缩一半， 所以实际上还是只平移了二分之一个单位。而现在我们先压缩最后一步平移，那我们只需要平移二分之一就行了，那最终的结果都是一样的。好，这样用图像解释是不是很直观？ 那此时我们用五点画图法的话，我们就是把 omega x 加 five 看成一个整体，再念这个整体等于三 x 五个特殊点的红坐标零二分之 pi pi， 二分之三 pi 二 pi， 然后解出 x 作为红坐标，那纵坐标还是三个零，以及最大值 a， 最小值负 a， 然后我们瞄点连线，画出一个最小重复片段的图像，然后再利用周期性进行拓展。 我们来总结一下 a 被 siing omega x 加 five， a 被 cosine omega x 加 five， a 被 tanning 的 omega x 加 five。 它们的性质。首先它们的最小正周期都是原来周期除以绝对值 omega， 那 对 tanning x 来说就是 pi 除以绝对值 omega omega 带个绝对值是保证最小正周期都是正的值。再看奇偶性，先看 sign， 当后面的 five 等于 kpi 的 时候， 那 abby sine omega x 加 five 用诱导公式化简之后，它要么等于 abby sine omega x， 要么等于负的 abby sine omega x， 反正都是跟 sine omega x 相关的，所以它是奇函数 啊。如果 f i 等于 k pi 加二分之 pi， 那 除了 k pi 之外多了一个二分之 pi， 那 在化简之后，三角函数名称需要改变，最后会化简成一个正负 a b cosine omega x， 那 就是偶函数。 那同理，对于 cosine， 当后面的 phi 是 k pi 的 时候，那 a 被 cosine omega x 加 phi 化简之后，就是等于 正负， a 被 cosine omega x， 反正都是跟 cosine omega x 相关的，所以它是偶函数。而如果 phi 等于 k pi 加二分之 pi， 那 除了 k pi 之外多了一个二分之 pi， 那化简之后，三角函数名称就要改变，最后会变成一个正负 a b sin omega x， 那 就是奇函数。 那对于 tangent x 来说，不管 five 等于 k pi 还是 five 等于 k pi 加二分之 pi， a b tangent omega x 加 pi 都是奇函数， 不可能是偶函数。再看单调性， a 大 于零， omega 大 于零的时候，我们将 omega x 加 five 看成一个整体，再利用 sine x， cosine x， tannein x 的 单调性进行求解， 那在 a 小 与零， omega 小 与零的时候，我们要注意此时单调区间会发生变化，那通常我们的处理方法是利用诱导公式把 a 小 与零， omega 小 与零转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求其， 那 a b sin omega x 加 five a b cosine omega x 加 five tan 的 定义域都是 r， 值域都是负绝对值 a 到绝对值 a。 而 a b tan 的 omega x 加 five， 它的定义域是 omega x 加 five， 这个整体不能等于二分之 pi 加 k pi， 它的值域是 r。 那对称性问题就是将 omega x 加 five 看作一个整体，然后利用 sine x， cosine x， tan x 的 对称性进行求解， 那总的思想就是将 omega x 加 five 看作一个整体，根据图像进行求解。 同学们尤其要注意这个单调性，这里的 a 小 于零， omega 小 于零的时候，我们一定要转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求结。 为什么？因为只有 a 大 于零， omega 大 于零，那 a 被 sine omega x 加 f i 和 a 被 sine x 才有相同的单调性，这是原理和本质。 好，接下来我们看例题。已知函数 f x 等于根号二倍 sin x 加四分之 pi 加 pi， 它是奇函数，则 pi 的 值可能是， 那我们就要将这个四分之 pi 加 pi 看作一个整体，这个整体只能等于 k pi， 因为只有这个整体等于 k pi， 那 f x 化简之后才有可能会等于正负根号二倍 sign x 此时才是奇函数。那如果这个整体是 k pi 加二分之 pi， 那 f x 化简之后就会变成 cosine 相关的了，就是偶函数了。那如果这个整体等于其他的，比如说等于三分之 pi， 那 f x 就是 非机非偶函数了。 好，那我们看四个选项， a 选项 pi 是 零，那这个四分之 pi 加 pi， 此时就等于四分之 pi， 那 此时 f x 是 非奇非偶函数， 那 b five 等于负四分之 pi， 那 此时四分之 pi 加 five 就 等于零，那此时 f x 就 等于根号二倍三 x， 它是奇函数。 那 c 选项 five 等于四分之 pi， 那 四分之 pi 加 five 就是 二分之 pi， 那 此时 f x 就是 根号二被 sine x 加二分之 pi， 那 它就等于根号二。被 cosine x， 那 它就是偶函数了。那如果 five 等于 pi 的 话， 那 f x 此时是等于根号二倍 sine x 加四分之 pi， 再加 pi 等于负根号二倍 sine x 加四分之 pi， 那 此时是非奇非偶函数。所以这道题答案选 b。 好，下一题求下列函数的单调递减区间。第一小题， f x 等于 sine， 括号 r x 减四分之 pi， 那 第一小题我们是将这个 r x 减四分之 pi 看成一个整体，然后我们来看一下 sine x 的 单调性。 我们选择零到二 pi 这个区间，那在 x 大 于等于二分之 pi 小 于等于二分之三 pi 的 时候，三 x 是 单调递减的。 也就是说，此时这个整体 r x 减四分之 pi 是 要小于等于二分之三 pi 大 于等于二分之 pi 的。 再加上一个周期， r k pi 加上 r k pi， 所以 r x 就 小于等于四分之七 pi 加 r k pi 大 于等于四分之三 pi 加 r k pi， 那 x 就 小于等于八分之七 pi 加 k pi 大 于等于八分之三 pi 加 k pi， 那 k 是 属于 z 的。 好。第二小题第二小题 cosine 里面是负二 x 加六分之 pi， 此时同学们要注意了，我们要把它转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求结， 因为只有 a 大 于零， omega 大 于零，这个时候 a 被 sine 加 five 和 a 被三 x 才有相同的单调性。 好，我们来看那 cosine 负二 x 加六分之 pi 有 个导公式，我知道它等于 cosine 二 x 减六分之 pi， 那 我再将二 x 减六分之 pi 看做一个整体，那我来看 cosine x 的 图像， 我们还是选择零到二 pi 这个区间，那在零到 pi 上， cos 是 单调递减的， 所以二 x 减六分之 pi 要小于等于 pi 加二 k pi 大 于等于二 k pi， 那我们就能解出来， x 小 于等于十二分之七 pi 加 k pi 大 于等于十二分之一 pi 加 k pi， k 是 属于 z 的。 再次提醒同学们，只有 a 大 于零， omega 大 于零的时候， a 被 sign omega x 加 five 才和 sign x 有 相同的单调性。 好，这一点特别重要。好，本节课内容就到此结束了，我们下节课再见。

函数的定域，构造函数，外加求函数的单调性，这也是咱们期末考试的一道真题，咱们来一起看一下题目。第一问啊，给了我 f x 的 表达式，要求 f x 大 于等于二分之根号三，成立 x 的 范围，那么也就是三角函数的定域。 咱们在解决这种问题的时候一定要怎么样？一定要画图像，当你画出图像之后，整个问题呢就会变得非常的简单。来，咱们先进行第一问， 咱们要求的是 sin 的 二 x 再加上六分之 pi 要大于等于二分之根号三，这个时候呢，咱们要直接画出一个 sin u 的 图像， 那么咱们是把谁当成 u 了？是不是把二 x 加六分之派当成 u， 所以 相当于我这里就是二 x 加六分之派，我的纵坐标就是散引的二 x 加上六分之派，它的图像和散 x 的 图像没有任何的区别，是一模一样的， 咱们来直接做出来好，够了，那我是大于等于二分之根号三，咱们做出二分之根号三， 二分之二三大于等于，是不是要这一块，要这一块，那么如果李老师继续画下去，还会有这一块，这一块，这面呀，也还会有这一块，所以咱们只要找到一个位置就可以了。 我能够发现在这个时候，从这到这是一个完整的区间，在这个完整的区间中，李老师截取了红色的位置，那么这个焦点二分之二派以及三分之二派对不对？ 那么这是一个区间的未描述，所有区间我应该左右同时加上一个二 k 派，所以我的二 x 再加上六分之派，就大于等于左侧三分之派加上二 k 派。小于等于右侧三分之二派，再加上二 k 派， 于是二 x 大 于等于六分之派，加上二 k 派。小于等于这边是二分之派，再加二 k 派，将 x 求出大于等于 十二分之派，再加上 k 派，这边则是四分之派再加上 k 派。注意， k 属于整数，一定要补充上的，要不然它是错误的。 ok， k 属于整数，一定要补充上。那么本题的最终答案就出现了， 那么题中啊，也没有要求写成集合的范围，所以这样就无所谓的，但是呢，咱们如果能把它写成集合，一定是一个更优质的答案。 四分之派加 k 派，然后 k 属于整数。第一问拿下，咱们来看一下第二问。 第二呢，看起来其实稍微有一些复杂，因为他给了我个 g x， 说无论 s s 二属于这个范围， x 一 小 x 二十，满足这个条件。那么咱们核心试想一想，这个条件要如何处理呢？ 这个时候啊，他考的是一种同构的原则。什么叫同构呢？你要把两个 x 相同的放在一起，你看这里有一个 x 一， 这里有一个 x 一， 然后呢，这个位置有一个 x 二，这个位置有一个 x 二，你要把他俩放到一边。那李老师先带你分析一下，所以你看往上走， 那么左边我就可以是 f x 一， 减去一个 g x 一 要小于这边的 f x 二减去一个 g x 二。同学有没有发现它们两个的形式是一样，都是 f 减 g， 那 如果我将 f x 减 g x 设成 h x 的 话，那么它是不就可以认为是 h x 一 小于 h x 二。 那什么意思？当题中给的前提 x 一 小于 x 二时， h x 一 小于 h x 二，这是一个什么函数的特征呀？ 你看， x 一 小于 x 二， h x 一 小于 x x 二，说明是一个 h x 单调递增的要求，对不对？ 好，那么从这个角度当中我就会知道，那么本质啊，他是要想考我一个叫做 h x 的 函数，并且这个 h x 在 所给的范围内是单调递增的就可以了。好，咱们来进入一下第二问， 那利用刚刚的分析，李老师要先构造一个函数， h x 是 f x， 再减去 g x， 咱们需要将这个函数进行化简， f x 是 sin 的 二 x， 再加上六分之派，再减去 g x 是 cosine 的 二 x， 再加上三分之二派， 是他吧？那他在某个范围内单增单减，咱们肯定要把它进行化减，咱们可以先将其进行展开，他是塞音二 x 乘以扣塞音六分之派，再加上扣塞音二 x 乘上塞音的六分之派减去， 后面是一个整体扣塞音二 x 乘以扣塞音三分之二派，加变为减 塞阴二 x 乘上塞阴的三分之二派。哎，见到具体角，一定是先将具体角展开，然后把咱们的值带进去。扣塞六分之派，画一下图二分之根号三，所以二分之根号三塞阴二 x 再加上 sin 六分之派，画一下 sin 图像六分之派二分之一，所以是二分之一 cos 二 x 再减去 cos 三分之二派是负二分之一负的负二分之一，所以变成加上二分之一 cos 二 x， 这个负负又变成一个加号，然后 sin 的 三分之二派画一下图像， cos 三分之派二分之根三，所以是二分之根号三 sine 的 二 x， 这两个合并同类项变成根号三倍的赛引二 x， 再加上那俩，合并一下， 他加他也就是扣赛引二 x， 进而辅助角公式两倍的赛引二 x， 再加上扣赛引系数除以赛引系数，说明我摊减的贝特等于一比根三角度是等于六分之派的。好，那么第一步，化简结束了第二步。 第二步，根据题中所说，无论 x 一 x 二属于咱们 t 到零的哪个范围，当 x 一 小于 x 二时，咱们恒有 f x 一 减去 g x 一 小于 f x 二减去 g x 二，那么这个位置其实咱们就可以转化为就是 h x 一 小于 h x 二，说明 h x 在 这个范围内是单调递增的， 对不对？那么它既然单调递增，咱们说给了 x 的 范围，我要怎么样？我要进行代入。 x 是 大于等于 t 小 于等于零的， 那我的二 x 加六分之派要求出来，二 x 大 于等于二 t 小 于等于零，二 x 再加六分之派大于等于二 t 加上六分之派小于等于零加六分之派，它的范围就求完了。 然后第四步，我需要让他是怎么样？他是单调递增的，所以我需要画出 size 图像，看一看他满足什么条件就可以单调递增了。这个点是固定的，是六分之派，六分之派是在这里的， ok 吧？那我的中点是二 t 加六分之派，请问他能放到这吗？如果放到这，是不是先减后增是不成立的，对不对？所以如果他要想 进行单调递增，我的二 t 加六分之派就必须放在递增区间的左边，这就是二 t 加六分之派啊，右边。所以我需要满足的要求就是让我的二 t 加上六分之派要大于等于负的二分之派就可以了。 然后咱们一个项说明，二 t 要大于等于负的三分之二派，进而 t 大 于等于负的三分之派即为本题答案。所以最终 t 的 最小值为负的三分之派就可以了。 那么这整个问题所涉及到的难度在哪里？首先第一个，这种定义域一定是送分的，各位同学一定要掌握。咱们有一个单独的小视频，讲的是他需要来问一下李老师。第二个， 当你见到 x 一 小 x 二时，你能不能想到咱们学了这么长时间，只有单调性会涉及到 x 一 小 x 二，所以我要考虑到这个函数的单调性， 两个 x 都有，所以要 x 一 x 二分放两边， h x 一 小 x x 二，推出 h s 单增。所以解题第一步设出 h x， 用它俩做叉化，简为它。 说出他是单增，给了 x 范围就代入六分之派。已知先找六分之派，所以二 t 加六分之派要在他的右边。如果放到这先减后增就不满足题中的条件了。 那么这就是咱们的一道相关问题，各位同学有任何问题或有疑问的地方，可以随时来问李老师下课。

我们今天来讲一道，呃，十九题啊，它是之前某一年的高一期末考试的压轴题，那相对来说呢，是稍微有一点点难度的。 好，第一个部分是让我们去求这个 omega x 减六分之五派的图像，也就是求 omega 的 值。好，那它第一步我们需要去研究 cosine x， 它的中心对称是什么？ 好，那这里呢？需要我们去把 cosine x 的 图像给它画出来。好， cosine x 是 一个偶函数，它是关于二分之派零对称的。好，那这个后面是二分之三派零对称， 所以它的中心对称应该是 x 等于二分之派，加上 k 派， k 属于整数。好，那现在我们换元，如果想让这个函数它是一个，哎呀，后面看不见了。 我们要想让这个函数它变成一个中心对称，也就是 omega x 再减去六分之五 pi， 它要等于二分之 pi 加上 k pi。 好， 那这是第一种方法，那我们把它带进去算一下，可以得到 一些值。好，那有没有更简单的方法呢？有没有更简单的方法？有，看波形法，它由于关于三分之派零对称，那这个图像是左加右减，它实际上是向右平移的。那三分之派对应的点应该是什么？应该是二分之派零，对吧？ 对应的是二分之派零这个点，所以我们把它带入进去也可以。好，那现在 f 三分之派，它就等于二倍根号三。 cosine 括号三分之欧米伽派减六分之五派 等于零，所以三分之欧米伽派减六分之五派，这个时候我们是要带 带加 k 派的啊， k 属于整数，所以我们可以解得 omega 等于四，加上三 k， 由于这个 omega 它是大于零，小于等于三的，所以 k 只能等于负一， 所以 omega 就 等于一。好。第二个，由于我们知道了这个 omega 等于一，所以 f x 的 图像我们可以很好写出来，它等于二倍，根号三。 cosine 括号 x 减去六分之五 pi， 好， 它让我们去求负派到派上的单调性，实际上就是让我们去求 f x 的 单调区间。单调区间，好，那这个单调区间其实很好求啊， 那 cosine x 的 单调区间，它是从从负负派到零上是单调递增的， 从零到派上是单调递减的。好，所以现在我们令它等于负派的时候，我们可以让 x 减六分之五派，它大于等于零加上 二 k 派，然后小于等于派再减去，再加上一个二 k 派，它是一个单调递减的区间。我们把它给画一下，那 x 小 于等于 六分之五派，加上派，就是六分之十一派。六分之十一派加上二 k 派，它大于等于六分之五派，加上二 k 派。 好，它在这个区间是单量递增的，可以属于整数，那同样，它在 x 减去六分之五派，它在负派到 到零上，应该是单调递增的，对吧？哦，这里写错了，这里应该是单调递减，我们把单调递减改一下啊。 好，它在零加上二 k 拍上是单调递减的，所以我们可以解得它的单调递减区间应该是从 多少负派再减去一个六分之五派，就是。哦，再加上一个六分之五派，那它就是这个是小于等于六分之五派，加上二 k 派。 好。 x 大 于等于负派，再加上六分之派，就是负六分之派加上二 k 派，所以我们写小一点， 那可以属于整数。好，其实我们可以关注一下，当你求出来一个单调减区间之后呢？你只需要在它的基础上向左向右加减半个周期二分之 t， 它的增减区间其实是一样的，那我们再对照一下它，让我们去判断负派到派上的单调型，那也就是从 我们看一下负六分之派，好，那就是负派到六分之派上单调递减， 然后负六分之派到六分之五派上，它是单调递增的，再从六分之五派到派上，它应该是单调递减的。这里我们要注意一下，你的区间不能写混了，区间不能重复，不能重复。 好，那这是第二题，第三题，他给了我们一个复合函数的题目，他说这个 g x 等于 f x 加上六分之五，判他和 h x tannex 有 一个 p q 两个交点，然后让我们去求三角形 o p q 的 面积， 实际上就是让我们去求三角形 o p q 的 坐标，那我们先要把这个式子给它带进去，我们把 g x 的 解析式写出来，那 g x 呢？它就等于 f 括号 x 加上六分之五派，那这个时候它就变成了二倍根号三 cosine x， 好，它是 x 除以零到派上的，好，那这个时候它让我们去等于 ten 以内 x， 那 也就是二倍根号三 x 等于 ten 以内 x， 也就是等于 sin x 除以 cosine x， 好， 那解出来就是这个是 cosine x， 我 们要稍微写一下 cosine x， 好，那现在我们把它转化一下，应该可以写成二倍根号三 cosine x 等于 cosine x 除以 cosine x， 好， 那它就变成了二倍根号三 cosine 平方 x 等于 cosine x， 那这里有两个元，我们可以通过同角三角函数的关系对它进行转化，对吧？所以二倍根号三，括号一减 sin 方 x 等于 sin x。 好， 那我们这个时候把它给解一下方程，我们应该可以得到。 sin x 等于解得。这个是一元二次方程啊，大家自己解一下就可以了。 sin x 等于二分之根号三或 负三分之二倍根号三，由于它的定义域是在零到派上，所以这个 sin x 应该是正的，所以这个负二分之根号三就给它舍去了。好，那现在 sin x 等于二分之根号三，所以 tan x 它就等于二分之根号三，是三分之派，它在零到派上，或者是三分之二派啊，所以它有可能是正负三分之二倍根号三。 好，所以 tan x 你 可以把它求出来，它应该是等于根号三的， 或三分之二排的时候是负根号三，那现在我们就可以把这个三角形这个图像给它画出来了。我们把图像简单画一下，它首先是一个关于 x 轴对称的，然后它是在 这里。是，哎，这怎么变成这个了？它应该是这是 tan x 的 图像。 好，然后它现在是要等于 sine x 的， 它要等于二二倍刚好三 cosine x， 所以 它的图像是像这样画的，它在这个时候应该是刚好经过圆点的，所以它是画过来，然后再转过去。 好，那这里只有两个焦点，一个是 p 点，一个是 q 点，它让我们去算 o p q 的 面积， 也就是这个三角形 o p q 的 面积。好，那三角形 o p q 的 面积，我们就可以简单设一下那 p 点，我们可以看出来，它应该是三分之二 pi， 然后是根号三 q， 点它应该是三分之二 pi， 负根号三， 好，那由于 p q 它们是 tan x 的 图像上，所以它应该是关于点 二分之 pi 零是对称的，所以这个时候我们就好算了，我们把它分割成两个面积相同的部分，那就是这个部分，我们用别的颜色的笔给它框一下，那它就是这个三角形的面积和这个三角形面积， 这是第一个三角形一和第二个三角形。好，那这两个三角形 s 一 s 二，那它让我们去求三角形 o p， q 的 面积，我们就可以把它写成， 写成什么 s 三角形 o p， q 就 等于 s 一， 加上 s 二，就等于二分之一乘二分之 pi， 然后再乘以一个 y p， 再加上一个二分之一乘二分之 pi， 再乘一个绝对值 y q， 好， 我们把它全部画一下，就是二分之一乘 二，然后再乘一个二分之 pi， 然后再乘一个根号三，所以大家等于二分之根号三 pi， 好， 那这题本质上也不是属于一道特别难的题目，只是对于我们现在来说还是比较少见的，重点是掌握我们的呃 sine 和 cosine 的 图像性质，图像性质，图像和性质， 然后重点是它的单调递增，最小正周期，还有对称轴，对称中心，以及我们考试必考的竖形结合，竖形结合的内容非常重要，大家一定要保持掌握。好，那我们这节课就这道题目，我们就讲到这。

我们在做题的时候不会做的题，我们是不是应该看答案，但是你看完答案之后，你发现把那个书本一合，答案一盖住，考试的时候我重新考这道题，我的错题依然是错，我不知道大家有没有这种感觉哈？今天我给大家讲一个解析的思路，我们错题本并不是真正的去纠错，而是去疏通它的思路。 来，我们来看期末考试这种题型怎么做啊？这是一个式子，这个式子很明显让你干嘛？让你化解，那我们怎么去化解？我思路往哪去想？好来看啊， 在这里边它出现的是什么？它出现的是根号，是不是啊？我们肉眼可见的是个根号，那根号我要去掉的话，用什么？用平方来去？那平方来去的话，平方在哪里出现过？我们在三角函数里边，第一个平方相当于谁？ c 的 方加上一个口 c 的 方等于一个一，这是第一个平方，那么第二个的话在哪里？在二倍角公式，我们说口 c 二二法等于二倍的口 c 方减一， 所以说我要找这里边的平方的话，从这两个位置去出。那么问题来了，你得把这两个根号化成它俩的其中一个形式，我来看怎么去转化啊？ 第一个根号里边出现的谁，出现的是一，加上一个他，所以在这个一相当于是谁？我们三角函数里边出现一，大家一定要首先去考虑谁，去考虑这里边的基本关系。 那么我们说对这个角度的 r 取正取负，取零无所谓，这个角度到底取几来看这个位置四四除以二是二，换句话这里边是二的被角公式，是不是啊？那它相当于谁？ c 方的二加上一个口 c 方的二，然后的话那个 c 四，我们用背角公式把它打开，耳背的 c 二， 口 c 二， a 方加 b 方加二 ab， 那 么这样根号就去掉了，所以它相当于谁这一项相当于是耳背的 c 二加上一个口 c 二的完全平方，再给它开个根， 一会我们再画第二个，哈，别着急。好，我们继续。那在这里边的话，我们继续再画点一下，我们说同角不同名，考什么？考辅助角，我们把它扶起来，它像谁？ 根号二倍的 c 的 二加上一个四分之，怕取一个 完全平方，这是这一部分。好，那么到这个位置之后的话，基本上答案就出来了，为什么？因为他的取的范围是一个条件，是不是我们说在这里边这个二加四分之派，他一定怎么办？他一定大于零，一是多少？五十七点三度，那二是多少？一百多度，换句话说，他俩怎么加？不会超过派 领导派上的正弦取的是什么？取的是正的。所以在这里边这个括号我们是不是可以直接给他打开？它相当于谁？它相当于是 耳背的平方。根号去掉，它相当于是耳背的 c 二加上一个耳背的口 c 二。好，到目前为止我们画的是第一个根号，那接下来我们来画第二根号啊，第二根号里边是根号下二加上， 所以在这里边的四，第一个根号里边画成二，第二根号，很明显他要画成谁，他要画成二。所以呢，这个位置相当于谁？相当于是四，他就是二，所以他相当于是二加上一个耳背的，在这里边的口 c 四相当于谁？ 二倍的口乘以方二。去掉一个一，那这里面的长竖向是不是消掉了？所以它相当于谁？加上根号下四倍的口乘以方二。我们说一的话是五十七点三度，这个二一定是个钝角，那它是个钝角的话，相当于它取负，所以它取负的话相当于谁 负？二倍的口乘以二，那答案是不是出来了？等于二倍的正弦二。 所以像这种题我们在做的时候哈，一定要去把你看见题目之后，把你的这个所有的信号去压缩，往哪压缩？向我们所学过的已知公式去靠拢。 所以三角函数最难的点在哪？就是它的公式量大。那我们学所有的公式里边的话，你看啊，刚开始我讲这道题是怎么讲的？他是根号，你根号要去掉只能去平方，那平方的话，我们见到平方在三角函数里边去压缩你的信号收缩范围。 三角函数的平方只有两个出处，第一个的话是基本关系，第二个的话是生密降密，那么生密降密是谁与弦的二 b 角公式。所以下次做这种题还能不能做了？哈哈，好，这个题的思路我们就讲解到这里啊。

高一期末考试必考的一道三角函数的题，我们来看一下 f x 等于二倍的 sin， 二 x 加三分之派加一的递增区间，它的对称中心。首先大家拿出你的本子，应该把这些东西先记到你的笔记本上，那么接下来我们来看一下这怎么处理。比如说他让你去求他的单调递增区间， 我们只需要把二 x 加三分之派，也就说把这一部分放到我们的增减区间上，那么他让你去求增，那我就放到 负二分之派加二派派到二分之派加二派之间，我们把这个 x 去给他拨出来，这就是他的单调递增区间。接下来我们来算一下，二分之派减三分之派，这应该是六分之派加二派派， 负二分之派减三分之派呢？应该是负的六分之五派去加上二派派，那么两边同除二，那么 x 的 范围应该就是十二分之派加派派，那么这边应该是派派减十二分之五派，这就是他的单调递增区间。 那么它的对称轴也是同样的道理，只需要让二 x 加上我们的三分之派，直接去取我们的二分之派加开派，你只需要把这个 x 给他拨出来， 我们两边同除二，就能求出。 x 应该是二分之一开派加上十二分之派，这就是它的对称轴。同理它的对称中心，我们只需要让二 x 加三分之派等于开派， 我们把 x 给它拨出来，拨出来之后， x 就 应该等于二分之一开派减六分之派。那么大家唯一需要注意的是 我们的对称中心，它的纵坐标是 b， 也就说在这道题里面，它的 b 呢是一，所以我们的对称中心横坐标为我们刚才求的二分之一，开派减六分之派，那么纵坐标呢？应该是一，这就是我们的对称中心。 那么以后见到递增递减区间对称中心的题，其实都可以统计为它，其实就是让你去把 x 给它拨出来。好，这道题我们就讲完了，你们学会了吧？高一数学期末必考的一些题，何老师都帮大家整理好了，大家可以输入必考题，何老师后台发给你。

高中数学期末考的 c 位三角函数的图像性质，在七天讲的三角函数，第六天在期末当中，皇冠上的小明知我三角函数的图像和性质巨巨巨巨复杂。所以说在这次的寒假期间，花老师会在群里边啊，给大家给到好多的， 你就自己去拿就好喽。那为什么说它难呢？因为它一方面是承接了之前的函数的很多内容，另外一个就是你看在我三角函数 仅仅是图像与性质这个地的知识数，就包括正弦函数的图像与性质，余弦函数图像与性质。正弦函数的图像与性质包括正余弦正弦函数的图像与性质本身和正余弦形正切形图像本身。而这还不算事，你再看性质，咱 们之前函数有提过五点法作图吧，函数的判定有，函数的图像与性质有，以及再往下你看，各种函数的性质，对称性、周期性、单调性、最值问题，零点问题 通通都有。那怎么整呢？首先，我们必须要清楚他的前世，因为这你入门了之后，学起来就会倍轻松。其次，我还要给大家整理好，你直接截图拿去就好，因为写他还是花很长时间的，我宁可这么长的时间。大家呢，先记先看，先认识他们，然后有机会在题目当中加以应用。所以母题依然准备着。 好，那这些题型咱就一个一个来了。先来说一张图，搞定三角函数的基本性质，这个地必须要给教材竖大拇指，因为他做的倍好的就是我终于明白这个图，这个图他是咋回事了。尤其是学校现在已经讲完这嘎达的同学都知道，正弦赛引 他是长成这个样子，有的同学有的时候把他画成瘦高，但其实他是一个矮胖，哈哈哈，为什么呢？因为他的最值是一 和最小值负一，可他的周期观这段长度就是 pi 三点一四，所以说他应该是这个高度的三点一四倍，当然这是一个约的数值，所以你会发现，其实从这一点咱们就对他有诸多的不了解，那学不好倒也是不冤枉。好，那这个教材究竟为什么竖大拇指呢？你看啊， 我们在之前呢有给大家讲过单位圆嘛，那么所谓的单位圆呢，就是这个半径长度是一，然后角中边可以在第一、第二、第三、第四各个相线，这叫任意角。我们在这块也学过象限角、轴线角。那这个地儿跟下面这个图什么关系呢？同学们请看这里。 比如说王老师画的这条蓝色的线，代表角的出使边，要求是按逆时针旋转，好比说我就转到了这来，那么这个角呢，就是 c 的 角，那么请问它的中边在这个地方 意味着什么呢？意味着这个小蓝点他所代表的呢？这个 x 和 y 的 值能用于表示三角函数。好，那咱们就来看一看塞沿斜等于什么？塞沿斜初中就学过，等于对边比上斜边，可是现在这面临的是钝角三角形，因此欢老师头前的视频咋说来着？ 钝角三角形，咱就不能够再局限的去看三角形当中的对边邻边斜边了，而是要理解任意角。假如说这个角是阿尔法角，那你这个阿尔法角对应的 side 值则应该是 对边比上斜边，那么你会发现这个对边的长度是不是刚好就是这条虚线它的高度，也就是说它纵坐标 y 的 值好，又由于这 side 它就由 y 来代表， 所以我们就明白了，这中间的蓝点 y 值比较重要，你要用 y 比上单位圆的半径一，而这个 y 又由于呢，它在第二项线是一个正数， 所以它最终的 size 的 值会是一个正数，那么这个正数呢，到底应该是正多少呢？你看它好像跟这个紫色的点是相同的，对吧？请大家现在随着欢老师的光标来看一下，我们这个角一点点转，一点点转， y 的 值是不是就逐渐的变得越来越大，直到它最大到这个点高度为一， 嗯，然后再往后一点点，再这么转，是不是就比一的值要小了，而再往下，它甚至会变成负的？ 所以呢，我们把这些点呢给它在坐标轴上对应起来，你比如说这个地，它对应的坐标值就在这了，而这个地呢，跟它一样，对应的坐标值呢，也是在这了。然后你就会突然发现哦，每一个 x 都能够寻找到 y， 那么我们就可以把这些对应的 y 给它描出来。这个时候教材贼好心的又给了第三个图，所以依然看黄老师的光标是咋回事呢？你看这个里边 零度角，它对应的 y 值是零，你把它画到这，那你说这个角它对应的 y 值往上去找。虽然教材好心，但黄老师想说，这个图其实也不是特别好理解，所以我给你放个动画， 欸，动画看完了，是不是大家就理解了，原来三角函数线是这么个事儿，那么你就可以进一步地把它延伸成 正弦与弦正切函数的图像域性质。我终于明白了，这个是 sine， 也就是说角的度数为零的时候，它的函数值是零嘛， 也就是说，把 x 取每一个值的时候，那个 y 的 值呢？在纵坐标当中取出来，然后这些点你给它多画几个。所以我们就明白了，为什么在欢老师的支数当中会提到五点法作图，那当年函数的知识就在此了。 好同样的道理呢，这是 cosine， 这是 tanigma。 考虑到呢，欢老师出这个视频，大家已经快期末了，所以呢，我就不在这块啰里吧嗦的挨个来推了，所以呢，请截屏。 那当然，我们如果是在寒假预习或者是暑假预习的时候，这个地反而是要重点给大家说的。好了，那我们接下来呢，看一道题目，他考的是周期性，所以在刚刚的表格当中，考的其实就是这个地方。其实我们根据图像不难知道，这是他的最小正周期二派， 这个是他的最小正周期二派，而这个他的最小正周期是派。可是这道题我又如何得到答案呢？因为这里边的每一个函数都是有点子特殊性在身上的， 所以我用这道题其实也是为了承上而起下。因为我们一会会面临正弦型余弦类型的函数，所以呢，在教材当中，我会从溯源给孩子们说起，然后到这个地将再做升级。但 此时此刻，我要先领大家用一用，我们先感受一下它的神奇之处。那请大家寻找周期在哪呢？就是在这喽，就是在这喽！所以对于 sin 和 cosine， 它的最小正周期呢，表达式都是二派除以欧米克， 它指的就是 x 前面的系数。也就说，如果我们把三角函数呢，表示成一种更加通用的形式， y 等于 sine， 这个里边呢， x， 我 投起来给它会加上一个欧米根，所以说就是 y 等于 sine， 欧米根 x， 然后呢，后边再加一个角 f， 诶，这个欧米根是什么鬼？ 那是因为咱现在要学习一种通用的形式，我们观察到呢，作为一个赛员，他可能不老实，发生在几个方面，第一个，前面可能有系数大写字母 a， 第二个呢，它里边的 x 可能也有系数，我姑且用欧米伽来表示，不要叫 w 哦， 这个地儿再加上否。所以呢，这样一个更加通用的形式，除了 x， y 之外，三个参数， a， 欧米伽和否，请大家记住。当然，你说黄老师，我就不喜欢这仨字母，我想换成甲乙丙。理论上，其实你换成这样的汉字是可以的，但是不好意思，想你出生这么晚，是一个小宝宝，就不能听你的了，咱得听老祖宗的 好。那么这个地儿接受之后呢，我就先把公式对在这，咱一会儿啊，要知其然，更要知其所以然。所以咱先用着享受做题做对的快乐，一会儿你就有兴趣探究它究竟是咋来的了。所以呢， t 等于二派除以欧米哥，因此像 b 呀， c 呀， d 呀，咱就可以用它来进行判断了。 但是 a 选项不可以，为什么？因为 a 选项它是 tangent， 对 于正切于切这样的函数，它的周期呢，是用 pi 去除以欧米哥，事实上这个地后期都能推到，那我就从 a 给大家开始讲起，欧米哥等于 四分之一，带进去等于 pi 除以四分之一，你把它周进去，确确实实就等于四分之 pi， 所以 a 选项正确。咱再看一看 b、 c、 d 的 情况， 因为它用的都是这款公式。先来看二号 b， 它是等于二 pi 除以四分之一，把四分之一翻上去就是八倍的 pi， 所以 b 选项就错掉了，八倍的 pi， 不 满足提干要求。 可是到了 c 和 d， 我 就有点头疼了，那这个怎么弄呢？那花老师有一个方法推荐给大家，就是数啊，行啊，代数啊，几何啊，有的时候呢，也是一对好朋友，都供大家选择， 所以对于 c 和 d 这两个选项，我非常推荐大家来画图，尤其对于初学者或者基础不是那么扎实的同学。因为我们之前有讲过这样的图像变换呢，所以说加了 x 身上的绝对值，就是你会发现 x 取正和 x 取负会对应相同的函数值，那么是怎样的效果呢？请看红色笔。比如说 正的时候它是这样的图像，那么负的时候呢，也是这样的图像，它会长成这个样子，然后你会发现出事了，因为它没有周期 中间这个丁儿啊，导致它的周期不能够像这样这样这样延续下去，因为它有捣乱的部分，所以说 c 选项由此直接排除，而四号 d 却是正确答案。为什么呢？我来用紫色笔给大家画 cosine 的 情况，本来呢， cosine 就是 这样的长相， 然后你加了绝对值之后，意味着 x 去复制的时候跟它长成一样子的对称，那你会发现呢，其实就算是没有这个绝对值，咱们加 cosine 呢，它本来长得也是这个样子，这个样子 哎，往两边进行延伸，那它本来呢，也确实是满足周期为二拍的样子，所以四号 d 它就是正确的。好了，那这道题给大家讲完了，莫忘初心哦，我们用它，一方面是印证这个基本款的表格，但也需要用它来引出这个霍老师的提醒。二升级版的表格， 那么这个题型二呢？一张图我们来搞定的，叫做正弦型、余弦型的函数。那为什么它不简单的叫成正弦余弦函数了呢？就是因为这里边刚才提到的出现了好几个欧米伽呀， 代呀，大写字母 a 呀这样的小参数。可是教材到这块又做好事了，刚刚呢，很多同学包括现在也停留在周期是背的，但如果接下来何老师对于这个地溯源教材的讲解你能听懂，那么你就一下子这个地就开窍了。他说，如果函数表成这个样子， 咱们就只看 sign 了口 sign， 暂时不看，请求出其周期性好，那这个周期性怎么来看呢？ 你想我熟悉的是 y 等于 sine x， 它的周期是二 pi， 现如今呢，它这里头变成了 y 等于 a 倍的 sine omega x 加 f， 然后他就问我周期等于红色问号多少？啥叫周期？就是指 x 加了这个值之后呢，函数值是不变的。 比如说，我们之前在讲周期性的时候，如果 f x 加二还等于 f x， 那 么周期 t 是 不是就等于二？所以现在呢，我就在谋求一个形式，我就让这个 x 呢加上一个数值，我看它还能不能出现跟之前相等的情况，可是我加谁好呢？ 实话讲，我当然是要去回归 sine 的 老本行了，它应该是周期为二 pi， 也就是说对 x 加上二派，它的值应该是不变的。那我加在哪合适呢？嗯，我就加在这个整体当中，二派函数值如你所料，那应该是相等。好，那咱就开整 y 等于 a 倍，在上面照抄， 然后你呢，把这一坨加上个二倍的 pi， 所以 里边就是 omega， x 加 five， 再加上二倍的 pi， 那 这两边的函数值相等，这 a 和 a 咱就约掉了 sin， sin 呢，也不用管了，所以我们专注来看这个红色波浪线， 我想精准地看到到底在 x 的 身上我加了什么，发生了什么，我们一个，咱给它提取出来。 x 呢？那个否是一个常数，前边有，后面也有，咱就不做考虑了，所以我主要去看这个括号里边加啥，能够把这个二派给它折叠进去，显然是欧米克分子二派。 所以我们现在呢，拨云见日，你看啊， a 不 管，三也不管，这个否也不管，这个否也不管。然后我现在看到的就是前面是 o m， 一个倍的 x 等于后边这一坨。那你想，这不就说明这个 x 加了这个三角号之后，它其实跟没加一样，两边是要保持相等的，所以这个不就是等同于上面这块曾经被你加过的二吗？所以这个周期，你说它能被你称之为是二，那现在当然也可以被你称之为是 我们一个分置二派了。所以同学们，你会发现数学这个东西吧，它其实呢，有点讨厌，但偶尔的时候也有点子小可爱，而这个小可爱呢，还是需要大家搜点脑细胞的，毕竟作为临选型的科目，我们会面临考试， 那别人万一听不进去，你给听进去了，是不是就挣得了更多的分数给自己呢？挣多了更多的可能性呢？ 接下来我们就来看黄老师的继续升级部分喽，所以你会发现这个表格比刚刚那个截图会更加的全面，那除了定域，止域到周期，这个地就会变成了二派，除以偶米格，而不是一个简简单单的二派。 由此呢，基偶性、单调性、对称性也有结论的延伸，所以请大家截个屏，好短视频平台实在想展开说，但是，嗯，给大家进题型三，咱们就针对于这个函数其中的 单调性再论一论。所以这里边的基有性，最值和对称性，包括零点问题等等，黄老师支数当中的那些内容，大家就要下了课之后自己笃笃加强了哦， 好，那我们来看单调性，单调性在教材当中呢，也是说的门门清楚，哎，这个地就是增，这个地就是紧，那教材呢？大家都有，我就不给大家在这块去多啰嗦了，因为这个地是简单的，也没有特别值得溯源的。 那欢老师这会呢，想给大家搞一道二三年全国语卷的高考真题，他说已知函数 f x 等于这个是不是刚才咱们熟悉的形式，只不过这个大写字母 a 相当于是等于一了。他说在这个区间上呢，是单调递增，我们知道塞应呢，它长成这样子，所以说如果是单调递增，哎，应该是在这一段，而不是这一段。 其次，他又说这最左和最右刚好是他的两条对称轴，那感情好呀，如果说你最左最右是构成了单调递增期间还是两条对称轴，那么是不是就说明前者这个是取得了 该函数的最小值？那你知道散移的最小值呢？在前面没有系数的情况下，他就是负一喽，然后这个地那自然就取得他的最大值，就是正一喽。所以呢，咱给他画一下区间，大约六分之派搁这 三分之二派搁这的话呢，那你在前者这个地划负一，后者这个地划正一，咱们把它找出来，好平滑的连一下， 那这两边咱还用延伸划吗？倒也不用，因为你会发现他这一段其实就是整个函数的一半，他就应该是周期的一半，六分之派到三分之二派，你知道三分之二就是六分之四吗？所以说他俩之间做一个减法，就会等于六分之三，二分之派。 至此，咱就知道周期应该是等于 pi， 那 这能直接求出来谁？显然是 omega 呀，还记得吗？刚才说周期是等于二 pi 除以 omega， 你 现在已经说周期是等于 pi 了，所以说 omega 就 应该是等于二，咱已经求出来了。 可是官有 omega， 还不知道这个 pi 呀。所以说，咱还不能高准无忧。继续来看紫色笔，我要专注求一下这个 pi 的 值。 你看刚刚咱在图当中是不是还有一个重要信息没有用？比如说这个地儿它是等于负一，这个地儿它是等于正一，这作为最值，那可太关键了。那这块儿怎么来用呢？ x 等于三分之二， pi 带进去 omega 不是 说等于二吗？那就是二乘以 三分之二 pi 加上 five， 那 它应该是属于其中的一个最大值，这个地儿呢，最大值你就考虑到周期性，对一个标准款的 sin x 而言，它的最大值呢，是每逢这个地儿取到它，应该是二 k pi 加上二分之 pi。 所以 咱就写上 二 k 派加上二分之派，不难发现，这个派就得以表示出来。来，咱们算一算啊，二 k 派加上二分之派，再减去前面的三分之四派，因为二分之派减去三分之四派，等于六分之五派， 那不就是二 k 派减去六分之派吗？你就把这一坨移过来就好，二 k 派不变，二分之派减去三分之四派，是负的六分之五派。那这个 f 看样子求出来，可是好像又没完全。不急不急，咱给它带到表达式当中，等于 f 二倍的负十二分之五 pi， 然后加上上面说的这个 f， 这个 pi 是 等于二 k pi 减去六分之五 pi。 那 我们知道 sin 这个东西啊，二 k pi 呢，其实是它的周期加了呢，跟没加一样子，所以这个地儿你其实在这一步就可以把它省略。然后剩下的部分呢，就是这个黑黑波浪线， 方老师已经把计算给大家承包了。接下来我们对黑黑波浪线这部分进行整理，因为你看，这是负六分之五派，这也是负六分之五派，那就是负三分之五派，二 k 派给他落下来。 好了，要出结果了，我们就让这个 k 等于一比较好，二派减去三分之五派，就是三分之六派减去三分之五派，就是三分之派。而三以三分之派，三以六十度，就等于二分之根号三，结束战斗， 我们来看这道高考题，咱们是怎么搞定的，第一步呢，先来把欧米伽搞出来，就是我最开始的来测比，第二步呢，再把这个斐搞出来，其中呢，有一个小小易错点要提醒各位，就是你一定要注意周期性的应用， 所以呢，单调性、周期性、极偶性、零点问题等等函数那些内容都要杂杂丝丝儿的。好，那我们在这黄老师再给大家做一个叮嘱，就是它在这个上面单调和它的单调区间是它是一回事吗？完全不是，这个本质是子集的概念，你在这个区间上单调递增， 那么这个区间呢，可以是完整单调递增区间的一小部分，比如说这是 m， 这是 n， 而后者呢，他说单调递增区间为，那就是指这个是递增，如果转瞬他会递减了， 那么他这个 m 和这个 n 就是 要在这个边界上，所以他们俩呢，完完全全不能够等同。因此在做题的时候呢，也要加以注意，贺老师已经把注意事项呢，他的意思，他的意思给大家写到这里了， 然后最后其实也还有题型四，因为我本来还想给大家再说一说周期性，那教材溯源是这个结构，把这个内容呢展开是这样的知识点，甚至说这也是一道题， 可是实在是视频长度太长了，数据不好的话，我都不想录第七个了，所以呢，如果我们还想看第七个的话，请告诉我，那我也会把相关的资料放在粉丝群当中。接下来三角横等变换，咱们就准备走起了，下个视频见。