八下数学角平分线尺规作图步骤

今天总结一下初中数学五种尺规作图的考点。第一个就是角平分线，如图，角 a、 o、 b 的角平分线。我们首先以点 o 为圆心，以任意长为半径画弧， 将 o、 a、 o、 b 与点 d、 e 分别以 d、 e 为圆心，以大于二分之一 d、 e 的长为半径画弧。因为如果你不大于二分之一，这两个弧是没有焦点的。 两弧交于一点 c， 我们连接 o、 c， 那么 o、 c 就是角 a、 o、 b 的角平分线。其实我们把这个 c、 d、 c、 e 连接起来，你会发现三角形 o、 d、 c 和三角形 o、 e、 c 全等，边边边三角形全等，所以我们可以得到这个角等于这个角，所以 oc 就是角 aob 的角平分线。第二个就是做相等的角。首先我们先画一条射线， o 撇、 b 撇， 那么接下来我们以点 o 为圆心，以任意长为半径画弧，交 o、 a、 o、 b 于点 d、 e。 这个时候我们保持圆规不动，移到我们星座的图形上，以点 o 片为圆心，继续做弧 o 撇、 b 撇与点 e 撇。然后我们在原来的角上用这个圆规量出弧第一的长度，保持圆规不变，移到 e 撇上画弧。弧交于 点 d 撇，连接 o 撇、 d 撇，那我们就得到了角 a 撇、 o 撇、 b 撇，它就是跟角 a、 o、 b 相等的角。第三个就是最常考的做这个线段的垂直平分线。如图 a、 b 是一个线段，我们 先分别以 a、 b 为圆心，以大于二分之一 a、 b 的长为半径画弧。 这个时候在线段 a、 b 的上下是有两个相交的点，分别为 c、 d， 我们连接 cd， 就得到了线段 a、 b 的垂直平分线，那这个作图的依据是线段的垂直平分，线上的点到线段两端的距离相等。也就是说 c a 等于 c b， d a 等于 d b。 接下来第四个是过直线上的一点做直线的垂线。如图， p 一点在直线 a b 上。首先我们以 p 为圆心，以任意长为半径画弧， 交 a b 于两点 m n。 然后呢，我们再分别以 m n 为圆心，以大于 m p 的距离为半径做弧 胡交于点 q， 连接 p q， 那么 p q 就是这个线段 a b 的垂线。这个就是过直线外一点做直线 a b 的垂线。 我们首先以点 p 为圆心，以点 p， 以点 p 大于 a b 的距离为半径画弧 a b 于 m n 两点。接着我们以 m n 为圆形，以大于二分之一 m n 的长为半径画弧， 交于点 q， 连接 p q， 就得到了这条直线的垂线。那其实用圆规作图，无非就是圆规的特点，它就是做出的弧啊，或者圆啊，上面的点到圆形的距离相等好。

尺规作图，角平分线，我们接下来看一下这一道题，题目要求尺规作图，已知角 a o b， 这个角求作角 a o b 的平分线 o c。 我们做题先写解， 我们直接在题目中给的图中画就可以了，那此规作图，我们必须要动用到圆规，我们拿出圆规出来，用圆规的一只脚踩着这一个角的顶点， 你任意长为半径，那这地方可长可短，可中间，我们取一个自己适当的好画的就可以了。我们以任意长为半径，画一条弧， 画一条弧出来。作为考试的话，我们需要把这一个给 加深，因为我们是扫描进电脑里面的，我们要把它多来几下，我们以任意长为半径花弧，此时这条弧与 oaob 就有两个交点，这里一个点， 这里一个点。下一步我们拿圆规的一个角踩着其中的一个焦点，你比这条线段的一半长，我们比他一半长一些为半径，再做弧，往外面做弧， 这里这个弧要注意多画几下，把它加深下去，否则考试扫描进店了，有时候扫描不进太浅了，我们把它加深下去，掉个头， 这一段半径保留不动，他在这里继续画一条弧，此时你会发现在这里就会出现一个焦点，我们连接这个焦 高点跟顶点， 我们给这条线标上字母，把它叫做 o c， 此时红色这条线就是这个角 a o b 的角平分线作图要写结论，所以我们在这要写上一个，所以如图所示， o c 极为所求，那么这个就结束了。

各位，尺规作图啊，在中考是必考的啊，今天老师要徒手啊，用尺规画出来这个三角形的内心、外心、垂心、重心、飞马心啊，看看老师怎么画的，这个方法很重要啊，咱们先画什么呢？ 咱们先画先画外心吧。啊？为什么先画外心啊？各位？因为内心太难了啊，内心太难，先画外心，外心怎么画外心？就是这个三角形的外接圆的心，这个道理能不能明白啊？外接圆，他的心 外接圆，怎么画？外接圆？你要画每条线段的垂直平分线垂直平分线怎么画？ 很简单啊，比如说，我要画这条线的垂直平分线啊，咱随便啊，指着一个端点随便指着一个端点，这什么烂烂圆规啊？这啊，随便指着一个端点啊，随便画个圆，你看我随便画个圆，对不对？ 然后指着这个断点再画个圆啊，再画个圆，还是这个半径以这个半径啊，还是这个半径画圆啊？是不是交于两点？是不是交于两点这两点？各位，这两点如果连起来的话，会发生什么啊？ 这个会，这是什么点？垂直平分线，因为这两个圆，他的两个交点连起来这个线啊，就是这条线的垂直平分线， 然后我再画这条线的垂直平分线这条线。画这条也可以啊，哪一条都行，画哪一条？这条吧，画画这条的垂直平分线。好吧，他的垂直平分线怎么画？ 还是老样子啊，随便随便画圆啊，这什么烂圆规？随便画圆？你看我随便画个圆，然后以这个圆形，我再随便画个圆。你看我是不是又教一两点啊？又教一两点。这两点如果连起来的话，各位啊， 是这个线是不是这条线的垂直平分线？垂直平分线，那这两条线的焦点是不是这个焦点？这个焦点有啥特点？这个焦点 他到这三个顶点的距离都相等啊，你说神奇不神奇？为什么？ 因为这是垂。这条线不是垂直平分线吗？那这个点到两到两个顶点的距离是不是相等啊？因为这个也是垂直平分线，那这两个距离不也相等吗？所以这三个距离都相等。这三个距离都相等的话，各位，我以这三个距离其中一个而画圆，你看， 哎，怎么画的不标准？我画的不太标准啊，回去自己画啊，你看我这样一画是不外界缘。各位，我画的不标准啊，方法，方法很重要，学会方法就可以了啊。这是不外界缘，外界缘就是外心啊，这什么烂烂缘，鬼外心。找到了，下一个。找什么？ 找他的锤心好找这个三角形的锤心啊锤心。好多同学说锤心。啥是锤心啊？锤心就是这个三角形啊，这个三角形， 三条垂线，三条垂线的的焦点，这个点叫垂心。好，那同学问了，那垂线怎么画？那这个垂线怎么画？关键是这个垂线怎么画？用尺规做图画，你可不能随便画。怎么画？画这个垂线怎么画？ 教给大家一个方法啊。这什么烂圆规，圆规修好了啊，他们再来啊。怎么画这个垂线？各位，从这个第一步啊，从这个点啊，随便画个圆，你看我随便画个圆。什么呀？ 给大家指，不给大家讲原理啊？从这个点我随便画个圆，然后再从这个点我随便再画个圆。 是不是又交一两点？这两点是不是又是这个点啊？这个线的垂直平分线啊？就是这个线的垂直平分线，找出它的终点就是找出这个线的终点，找到这个终点之后画个圆， 以它为直径，画个圆就是以它为半径，画个圆，交与这个点，这个点就是垂线。这个道理能不明白啊？各位， 为什么这个是垂线？为什么？因为这个是直径，以直以以这条线直径画的圆。各位，他所对的圆周角就是就是直角，所以说这个线就是垂线，那同样的道理，你再画他的垂线，再画他的垂线，这这交易。这个点不就是垂心吗？啊？这垂心， 那重心怎么画？各位啊，三角形的重心怎么画？我不用圆规了啊，各位，我给你们徒手画啊。什么叫这个重心？重心就是三个 终点，就是找到这三个边的终点连起来，终点连起来，这个心叫重心。 这个终点怎么找？刚才不是说过了吗？画圆不就找到这个中心了吗？这个这个啊，这个这个叫终点吗？这三个终点连起来，这个心就叫重心啊。重心。重心有什么特色？他有特色啊，他是什么特色呢？就是这条边啊，等于这条边的两倍。 这条边呢？等于这条边的两倍。帅气不？帅气啊，这条边等于这条边的两倍。为什么？回头给大家证明啊？这今今天就不证明了。这个什么啊？什么叫内心？ 内心，刚才说了，内心比较麻烦啊，内心就是内切圆的心，就是这个三角形内切圆的心。内切圆怎么画？内切圆怎么画？照脚平不厌啊，各位， 找角平分线啊，角平分线就是他的原心，为什么？因为角平分线啊，注意这个原理啊，角平分线到两端的距离啊， 就是到这个切点的距离是相等的，这个也是角平分线，这个距离和这个距离是不是也相等这两个距离 啊，所以说这三个距离不都相等吗？所以才是内切元，这个道理能不明白啊，这是内心费马辛，费马辛，回头给大家单独出一期啊，今天这个圆规太太垃圾了，回头再给他补录啊各位。

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第一张三角形的证明，第四节角平分线，今天是第一个课时，来看一下知识点清单， 一共要学习两个知识点，首先第一个角平分线的性质定理，说起角平分线呢，我们对他应该是都不陌生的，对吧？哎，那我们一起来复习一下啊，角平分线上的点有什么样的性质呢？ 这部分内容啊，是应该是在我们学习这个走对称这部分的时候啊，一起学习过的，对吧？哎，如果一个点他在一个角的角平分线上，那么我们应该有什么呢？是不是应该说这个点呢，到这个角两边的距离应该是相等，对吧？好，咱们一起来看一下， 这个呢，就是咱们所说的角平分线的性质定理啊，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等， 当时呢，我们是通过什么呀？一种啊，折叠，或者说呢，利用轴对称的这个性来得到的这个结论，对吧？好，今天呢，我们在一起看一下怎样来证明这个定理啊， 为了证明定理呢，我们还是按照以前的思路，首先呢要画出图形，对吧？哎，画一个角 a o b， 然后画出他的平分线 oc， 然后呢找到一个平纹线上的一个点，哎，叫平 a o c 上的一个点点 p， 然后呢过这个点点 p 呢，向这个 o a 和 ob 来做垂线，哎，得到了 pd 和 pe 这两条线段，然后呢，我 需要证明的就是这个 pd 呀，等于 pe， 对吧？好，二，除以之后，我们一起来写出已知和求证，那么接下来啊，就是证明了啊，我们思考一下，对于这个问题，我们应该怎样来进行？正， 我们关键我如果说我想证明这个啊， pd 等于 pe 的话，我是不可以考虑利用全等三角形来进呢，因为 pd 呢，就是在这个三角形 opd 当中， 哎，那 pe 呢，是在这个三角形 ope 当中，对吧？那这两个三角形能不能全等？观察一下，这两个三角形都是直角三角形， 哎，并且还应该有什么呢？这个角一应该等于角二，因为这个 oc 是角平行线吗？对吧？哎，我看一下啊，角一应该是等于角二的，哎，同时呢， 还有一个角啊， o d p， 哎，应该是等于角 o e p 的，对吧？哎，这两个角因为都是九十度，好，一个角两个角还有什么呀？是不是下面还有一条公路边啊，对吧？哎，就是呢， o p 等于 o p， 有这三个条件，我是不是就可以判断出这个三角形 opd 应该是全等于三角形 opd 的，对吧？哎，他俩应该是全等的， 那么根据全等三角形的性质，这个 pd 和 pe 应该是他的一组对应边，对吧？哎，全等三角形对应边应该是相等的，所以我就得到 pd 应该是等于 pe 的啊，好，这个呢，是利用了全等三角形来证明。好，咱们看一下答案。好，那接下来呢，咱们再完整的回顾一下角平分线的性质 里啊，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，这个呢，如果用咱们的这个几何语言应该怎样来描述呢？好，比如说就是这个图，因为 oc 是角 a o b 的平分线， 注意，这个啊，就得是什么呢？或者说已知条件啊，给了这个 oc 视角屏键，要不呢，你通过其他方法已经证明出了 oc 视角屏键 bv 键的前提下，你才能用，对吧？好，因为 oc 是角 aob 的角屏键，那么点 p 呢？在 oc 上， pd 垂直于 o， a， pe 垂直于 ob。 好，所以我就可以下结论了，什么结论呢？就是这个 pd 等于 pe， 这个呢，就是用几何语言来描述咱们这个角平分线的性质定理啊。好，接下来咱们看教材上一道立体啊，图图，在这个三角形 ab、 c 当中， a、 d 是他的角平衡线，也就是这两个角呗。哎，我给他标一下啊，这应该是啊，减角一等于角二，对吧？然后呢，又告诉我们，这个 b、 d 等于 c、 d 啊，这两条线段是相等的， 然后呢， d、 e 垂直于 a， b， d， f 垂直于 a、 c， 这两个角是直角垂足，分别为 e 和 f， 让我们求证什么呢？这个啊， b， e 等于 f， c、 a 求证的是这两条线段相等，我观察下，是不是也可以利用圈子三角形呢？ 这两条线段应该分别位于这个三角形 b、 d、 e 和三角形 c、 d、 f 当中，对吧？这两个三角形，首先呢，他都是直角三角形，哎，然后呢，这条，这两条是什么呀？ b、 d 和 c、 d 应该分别是这两个直角三角形在斜边， 对吧？反正我只要再找出一个条件来是不就行了，我还需要一个什么条件呢？我观察一下，首先呢，这个里面给了一个角平衡线，这个已经条件好像还没用上，对吧？哎，因为呢，这个 ad 呀，是这个角 b、 ac 的角平衡线， 我们根据角平分线的性质，角平分线上的点，比如说点地，他呢到这个角两边的距离应该是相当的，对吧？哎，也就是说，那地意应该是等于 在 d e 等于 d f， 好，他俩相等，那在这个两个直角三角形啊，在这个直角三角形 b d e 和这个直角三角形 啊， cd e 当中，我们有什么呢？是不是有直角边和斜边分别相等啊，对吧？ 我就可以证明出这两个直角成长型是全能的吧，依据就是这个什么呀，这个定理呗，对吧？这也是我们新学的呀，哎，专门用来判定直角成长型全能，对吧？好， 既然这两个直角三角形是全等的了，那我观察一下这个 b e 和这个 c e 是不是他的对应边啊，对吧？哎，所以我就可以证明出这两条边是相等的了，对吧？好，咱们看一下这个解题的步骤啊。 啊，在这里同样呢，是利用了全掌三角形来证明的。好，接下来咱们一起来看一下第二个知识点，角平分线的判定定理。 首先思考一下啊，你能不能写出上面定理的秘密题哎，然后判断一下他是不是真命题，如果是的话呢，请你加以证明。 这个我们应该怎么样来判定？这个好像跟我们上次课学的这个啊，垂直平分线的这个啊，定性子定理和他的秘密题这个好像有点相像，对吧？好，首先呢，我们还是把刚才学的这个定理给拿出来啊，角平分线上的点到这个角两边的距离相等， 我们首先得找什么呢？既然我想找这个命命题，我就得看一下原来这个命题啊，他的条件和结论分别，对吧？很显然，条件应该是这个角平分线上的点， 结论呢，就是这个点到这个角两边的距离相等，对吧？哎，条件，我可以怎么说呢？如果一个点在一个角的角平分线上， 那么得到结论，这个点到这个角的两边的距离相等。哎，为了写出匿名题呢，我需要把 来这个定理的结论和条件互换，结论是什么呢？应该就是什么呀？哎，一个点到这个到一个角的两边距离相等，对吧？哎，我前面可以加一个如果，如果有一个点到一个角两边的距离相等， 这是条件结论呢，那么这个点就在这个角的角平分线上，对吧？哎，这个呢，就是应该是啊，这个定点的逆命题，咱们一起看一下啊，如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。好，那么这个逆命题到底是不是真命题呢？ 咱们呢需要画出图形吗？一起研究一下啊。我首先呢画出一个角，对吧？哎，然后呢，我说一个点到角两边的距离相等，哎，我看一下啊，如果到角两边的距离相等，啊，好像确实是应该在这个角的 角平行线上，对吧？我把他角平行线呢先画出来，好像只有在这个角平行线上的情况下，他才可能会到这个角的两边距离相等，如果在外面，比如说你画在这里，那很显然他到这个角两边的距离是不相等，对吧？好，通过这样我们看，貌似这个秘密确实是正确的， 但是大家有没有考虑到一种情况，就是说什么呢？如果这个点呢，没有在这个角的外部，他，哎，没有在这角内部啊，如果我在这个角的外部找到这样一个点， 那他如果说也到这个角的两边的距离相等，那么很显然这个点怎么样？他就不在这个角的角平为线上，因为角平为线是一条射线， 不可能出现这上面的点，不可能跑到脚外面去，对吧？那这个点我能找到吗？咱们去找一下试试啊。首先呢，我把这个脚的这个脚平行线 给他反向延长一下，好，反向延长，我在这个反向延长线上呢，来找一个点啊，比如说就这个红色的这个点， 那你说这个点有没有可能到这个角两边的距离是相等的呢？哎，为了找出这个问题，因为角两边都是射线，对吧？我需要把这个射线怎么样给它反向延长一下， 这样呢，我才能过这个点呢，做出这个射线所在直线的垂线，对吧？从而才能确定出这个点到这两条直线的距离啊，我们先把呢 他俩给反向延长一下，然后呢，我经过这个点向这两条啊反向延长线上面呢来做垂线啊。 好，这两条红色的，那我们分析下这两条红色的线段能不能相等啊？当然可以相等了，对吧？哎，我们看一下，因为你这个是反向延长线， 所以我应该有什么呢？你这两个角啊，肯定应该是相等的，然后呢，这两个呀，又是直角垂直的，对吧？这还有一条公边，我可以证明出这两个小的直角三角形啊，是全等的。 哎，所以呢，我就说这个点到这个两条直线的距离肯定也是相等的，对吧？哎，那虽然说相等了，但是怎么样他并不在这个三角形的角平分线上，对吧？这角平分线是射线，他跑到外面去了，所以呢，我找到这个力的是符合这个逆命题的条件 到角两边的距离相等，但是呢，又不符合这个逆命题的结论，对吧？哎，他并没有在这个角的角平位线上，所以我们说这个命题是什么呢？他是一个假命题。哎，这难道说我就没有其他办法了吗？我现在想需要的是得到这个角平位线的判定定理啊，对吧？ 你既然这样说的话，他是一个假命题，那我还怎样来判断这个点到底在不在这个角平为线上呢？我思考一下，之所以刚才这个命题不成立是什么呢？他因为他存在的一种法力，就这个点跑到角外面去了，对吧？那如果我给他一个限制条件，我让这个点呢，只能在这个角的内部， 哎，那他是不是就应该一定在这个角的角平为线上面，对吧？哎，所以我只要加一个条件就行了。加一个什么条件呢？ 在这个角的内部，如果有一个点到这个角两边的距离相等，那么这个点怎么样啊？就在这个角的平衡线上，对吧？哎，这样的话好像呢 就可以了。哎，那如果这个这种说法是正确的呢，他就可以作为我们角平分线的判定定理了，对吧？好，我们呢先把这个判定定理啊给写出来。哎， 在一个角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上，注意一定要说清楚，是在一个角的内部，如果没有加上这句话的话，那么他就是错误的啊。 好，接下来咱们一起来看一下这个判定定理是如何进行证明的啊？我定理还是写在上面，首先画出图来，这个图跟刚才应该是一样的，但是以这个求证可就不一样了，对吧？哎，这里已知的是什么呢？已知的是啊， pd 和 pe 应该分别垂直于 oa 和 ob， 哎，这个 d 和 e 呢，是垂竹， 然后是什么呀？应该是 pd 等于 pe， 这个呢，应该写到已知条件里了，对吧？哎，他说到角两边距离相等的点嘛，那就点 p 嘛，对吧？哎，所以呢， pd 等于 pe 要写到已知条件里，那求证是什么呢？是不是就求证这个 op 怎么样了？ o p 就应该是这个角 a o b 的角平分线的，对吧？这个是求证，或者呢，我们说什么呀？我只要能证明出角一等于角二就可以了，因为这就是角平分线的定义吗？对吧？好，咱们一起来写出已知和求证啊。已知 如图，在角 a o b 的内部有一点 p， 注意，必须要强调是在内部啊。然后呢， p d 垂直于 o a， p e 垂直于 o b。 好，接下来呢，垂竹分别为 d 和 e， 并且 pd 等于 pe， 就是像我们刚才所设计的秒，对吧？然后求证呢，就是这个 op 啊，是平分角 a o b 的。 好，那接下来我们看怎样来进行证明呢？刚才那个性质定理啊，我们就是通过全等三角形来证明，对吧？哎，那这个判定定理我们能不能用同样的思路呢？你看， p d， p e 分别在这个三角 小型 opd 和三角形 ope 当中了，对吧？哎，那在这两个三角形当中呢？这两条啊，应该是直角边，同时怎么样？这 op 还是斜边的， 对吧？那我是不是又可以溜那个啊？斜边直角边的那个判定定理啊，我就可以判定出这两个直角三角形，分别是 opd， 应该就全等于这个直角三角形啊，啊， opd， 对吧？哎，依据还是这个定理啊， 好，判定出了他俩全等之后，我就可以得出怎么样，角一就等于角二啊，他俩不就是对应角吗，对吧，哎，如果角一等于角二的话，那我是不是就可以得出一个这个 op 就是平分角 lb， 对吧？ 好，咱们也看一下证明的步骤啊，好，这样到这啊，我们就把这个判定力量给证明完毕了啊，注意，最重要的一点，一定要强调 在一个角的内部，千万不要忘啊！好，一起来看一个例题，如图，在三角形 abc 当中，角 b ac 等于六十度啊，这是个一只脚啊，等于六十度，我不标了啊，就这两条线打上了啊，继续点 d 在 bc 上， 哎，并且呢， a d 等于十哎，啊，这个标在这吧， a d 等于十啊，他给了一条这个线状的长度，然后呢， d e 垂直于 a b， 哎，这样标下啊， d e 垂直于 a b， 然后呢， d f 垂直于 a， c 垂竹分别为 e 和 f， 并且又告诉妈，这个 d e 等于 d f， 哦，他俩是相等的，然后呢，让我们求这个 d e 的长， 哎，既然知道了 d e 等于 d f， 那这个 d， 而且 d 又垂直于 ab， 对吧， d f 又垂直于 ac， 根据这些已知条件，我是 是不是可以得出什么呀？这个 a d 啊，就应该是这个角 b ac 的角平线，对吧？哎，就根据这判定定理啊，因为点地呢，照到这个角两边的距离是相等，哎，所以我们说什么呢？这个 ad 啊，他应该就是平分角 b， ac， 哎，如果是平分的话，我就应该有什么呢？比如这个角是角一，对吧？这个角是角二，所以呢，我就应该有角一等于角二。好，那我你这条件当中给了啊，这个角 b， ac 呢，是等于六十度的，对吧？那现在角一等于角二，他们是不是应该等于二分之一倍的角 b ac？ 哎，然后呢，继续看，你二分之一乘以六十度，应该就等于三十度，哎，减一等于减二，应该都等于三十度，好，现在呢，他求的是第一的长，给了我们 a、 d 的长，对吧？好，那我们就观察吧，在 这个直角三角形 a、 e、 d 当中啊，是不是我椅子的是斜边的长啊？哎，那同时呢，这个角一页等于三十度，对吧？那这个要求的这个 d、 e 呢，是不就是一个三十度角所对的直角边呢？ 那我们学过一个直角三角形的性质是什么呢？三十度角所对的直角边就等于斜边的一半，对吧？ 哎，所以呢，我就应该有什么呢？这个 de 啊，他呢就应该等于 ad 的一半，哎，所以呢， ad 的长是十，最低的长就应该等于五，对吧？哎，那这个问题我们就给他解决了。好，咱们一起看下解决步骤啊。 哎，这道题呢，首先利用了角平行线的判定定理，哎，判定出了呢 a、 d 呢是角 b ac 的角平行线判定出来之后呢，就求出了这个角啊，求出 这个角一的度数，其实他的度数之后呢，我利用了直角三角形当中啊，如果一个锐角等于三十度，那么他所对的直角边就等于斜边的一半，哎，从而得出第一呢应该等于 a d 的一半，哎，所以呢，就应该是等于五的，哎， 这个呢，也是一个小小的一个综合体啊。好，那今天内容呢，就和大家一起学习到这里，我们下次课一起来和大家进行习题的练习，欢迎大家收看，如果喜欢请关注明老师初中数学课堂，如果大家在学习中有问题，欢迎给我留言或者给我发私信，我们下次再见。

八年级的同学大家好！今天我们要用指挥来完成指挥作图的问题。 此龟作图龟是指圆龟，他只能够画圆圆弧去两点间的距离。而尺指的是没有刻度的，只能画线段射线和所谓的主线。好，我们来看。 现在我们要做角 o 的平衡线，以 o 为圆心，取适当长度为半径框。 胡椒两点。分别以这两点为圆心用，只要保证他有焦点就够了。所以取四大长度为半斤 放。重点是手不能抖，因为要确保半斤是一个样。这个时候我们找到两条弧的交顶，用过顶点做一条射线。 这样我们就完成了搅平分线。搅平分线有两个重要的性质，一个是角平分线上的点到角两边的距离相等， 这个可以通过 a、 a、 s 来证明这两下是全等得到他。第二个就是他的异地，如果有到脚两边距离相等， 那么这样的一个点。 q 一定在角的平分线上。所以有角平分线的性的定理和意定。 现在的中腿线以分别以 ab 为圆形，以大于二分之一 ab 长度一般进化。为什么要大于二分之一 ab 呢？是因为要确保他们有交易。 比如我刚才画的这个胶笔就比较靠近，所以一般情况下面我们会让这个胶笔比较明显。 以 ab 为圆心，大于二分之一 ab 场作为半径画图。 胡椒两点，胡椒两点 t 和 q。 现在我们过这两点可以做一条直线，这条直线就是已直线的 ab 的中臀线，垂直 ab 一平方的 ab。 那么他的原理实际上也是用了中垂线性的定理的意义到线段两个端点距离相等的点， 在线段的中水线上同时找到了这样的两个点 p 和 q。 根据两点 确定一条直线，才确定这个 pq 是 ab 的中垂线。中垂线的性的定理是中垂线上的任何一个底 到现在两个端点的距离相等。这个也可以通过边角边的。这里 好，同学们利用这两个基本知识，我们就可以解决这个问题。现在我们把这个思路画一下， 要使 pc 等于 p 倒，那只要做线段 c 倒的中垂线，说明这个 p 点一定是在 在这个 l 上。要满足气到脚两边距离相等，脚两边距离相等，那我们只要做脚的平分线。 这个时候我们发现脚平分线和中垂线 l 会有一个交点。 pp 满足到脚两边的距离相等， 又满足中腿线上的点到线段两个端点距离相等。所以屁即为所求， 可以吗？结束了吗？再想一想，哎，我们 会发现这个地方还是有一个坑的来。这是以直直线 l， 以直直线 l 败有一个屁点。那么过点屁做 l 的垂线段。 这个垂线段的长度即为点到线的距离。 如果是有一条线段 ab， 这个时候外面有一点细， 这个时候点击到了。现在 ab 有距离吗？有。根据数学的定义，是指在这种情形下，我们可以将线段 ab 进行一个左右延长， 继续做点 p 到所在直线的垂线段。这个垂线段长度仍然被定义为是点屁到 ab 的。 举。好了。那有的同学说老师，脚的两边是射线， 对角的两边是色线，那么同样的，如果刚才把线段 ab 改成色线 da， 他照样是可以通过反向延长去做所在指线的垂线段。 所以这道题目还有一个屁音。那么要找出来是什么？我们需要去延长脚这一面。 然后呢？然后去做这个角的平分线。 这个时候我们会发现他还有一个焦点，细傲也是满足到 c 导线段中，腿线上的顶到 c 导具相等。 同时气二又是脚平分线上的点，他到脚两边所在的 距离也是相等。所以这个时候的票也是满足其意。 同学们好好想一想，如果把整个图 补完，就会发现奥秘哦。原来这两条角平分线 以及他所在的反向延长线与 l 一共在这个平面内只会有两个交点。 所以这个坑被你发现了没有？

角平分线怎么做？以顶点为圆心，任意长度为半径画圆弧，交角两边两点以大于两点间距离一半的长度为半径，分别以两点为圆心画圆弧，使两段的圆弧交于一点， 连接该点与顶点，就是该角的角平分线。那为什么这样做就是角平分线呢？ 因为这两段是同一个半径，这两段也是同一个半径，所以这两个三角形是边边边情况下的全等三角形，所以对应角相等，所以他是角平分线。

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第一张，三角形的证明，第四节，角平分线。今天是第二个课时， 一起来看一下知识点清单啊。这节课内容不多，只有一个知识点，就是三角形的三条角平分线的性质。 首先呢，我们一起来复习一下啊，第一个问题，角平分线的性质定理和判定定理是什么？哎，这是我们上时刻所学的内容。第二个问题呢，三角形三条边的垂直平分线的性质是什么？哎，大家呢，自己按下暂停键思考。 好，咱们一起来看下第一个问题啊。首先，角平分线的性质定理是什么呢？角平分线上的点到这个角两边的距离。 哎，那么他的判定定理啊，其实怎么样就是相当于是这个啊，性质定理给他反过来说呗，对吧，但是呢，一定要注意，前面要加上一句话是什么呀？在一个角的内部，这一句话非常重要啊，在一个角内部到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上。哎，这个呢，就是角平分线的性质定理以及判定定理。好，接下来第二个问题，三角形三条边的垂直平分线的性质是什么？三角形啊，有三条边， 我们呢可以做出每一条边的垂直平分线，那就是应该一共有三条垂直平分线，对吧？那么这三条垂直平分线有什么样的性质呀？他们应该是相交于一点，对吧？并且呢，这 一点到这个三角形三个顶点的距离都相等。哎，以上呢，就是我们前面的课程啊，所讲的一些内容，对吧？好，那么我们今天一起来研究什么呢？对于一个三角形来说， 他呀有三个内角，对吧？那这三个内角的平分线又有什么性质呢？为了研究这个问题呢，我们啊，可以怎么样呢？啊？你可以用纸啊，剪一个三角形下来，哎， 剪下来，或者说你，你直接用在纸上画一个三角形也可以，对吧？然后呢，画出他的三条角平分线，如果你是剪下来，用折纸的方法，可以直接对折，比如对折，把这两条边重合在一起，对吧？ 中间肯定就会有一条折痕，哎，那折痕呢？他所在的这个这这条线呢，应该就是这个角的甲平线，对吧？哎，那如果 在纸上画呢，你也可以通过尺规作图，哎，这个方式也可以做出角平线，对吧？好，咱们呢把这个三角形的三条这个角平行线都给他画出来，这是一条，这是一条，这是一条。 好，我们观察一下这三条角平行线，他从位置上来讲啊，应该怎么样呢？应该也是相较于一点，对吧？ 好，那除此之外呢，还有什么样的性质呢？我们知道啊，角平分线上的点到角两边的距离应该是相等的，对吧？那是不是说明这个点怎么样呢？比如说以这条角平分线为例啊，他是不是到这个角的两条边的距离都相等啊？哎，他 啊，哎，到这个角两边距离相等，哎，同样的呢，他到这个角的两边的距离是不是也应该相等啊？对吧？哎，所以呢，我们猜想啊，这个焦点他应该有一个什么样的性质，他是不是应该到这个 三角形三条边的距离都应该是相等，对吧？好，由此呢，我们得到了一个猜想啊，三角形三条角平分线较一点，并且呢，这一点到三条边的距离都相等， 那么接下来呢，我们要对这个猜想啊，进行一下证明。哎，大家呢，可以先记一下这个结论啊，三条角平行线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。好，接下来我们来开始证明。证明呢，首先还是要先画出图来，对吧？好，我画了这样一个三角形 abc， 其中呢， bm 和 cn 呐，就是他的两条角平线，这两条角平行线呢，相加于点拼。 好，那接下来呢，我们要写出已知和求证啊，已知求证写出来，好，他呢是过点批啊，分别做这个 a， b 和这个啊 bc， 还有这个 ac 的垂线，哎，垂竹呢，分别为 d， e， f 啊，那也就是说什么呢，这个 pd 他呢就应该是点 p 到 ab 的距离呗，对吧？那同样道理，这个 pe 和这个 pf 的长都应该是这个点 p 到这个三角形各个边的距离，对吧？好，让我们求证什么呢？首先第一点就是说角 a， 这里图里没有把角 a 的平行线画出来的，对吧，让我们证明就是角 a 的这条平分线也经过点评，如果能证明这个的话，是不是就说明这三条减平分线应该是相较于一点了，对吧？ 好，并且呢，还需要证明的就是这个 pd 等于 pe 等于 pf， 哎，也就是说呢，这个点到三条边的距离就相当，对吧？好，那我们看一下这 这个结论应该怎样来进行证明啊？根据已知条件呢，首先就是角平行线啊，对吧？哎， bm 是角平行线，所以呢，这两个角应该是相等的，虽然也是角平行线，所以呢，这个两个角，哎，他俩也应该是相等的。 好，我们先看这个 bm 啊，哎，点 p 呢？是 bm 上的一个点，对吧？那他呢，到这个角 abc 两边的距离肯定应该是相等的。那也就是说什么呢？首先，我应该得到这个 pd 应该是等于 pe 的，这个是由角平分线的性质定理所得到的，对吧？ pd 就等于 pe。 好，那么我再回头再看 cn 这条角平行线，他点 p 也在 c 上啊，对吧？那他呢，到这个角 acb 两条标的距离应该也是相等的，哎，那么也就得到了什么呢？ pe 应该等于 pf， 由这两个结论我看，那是不就是 pd 等于 pe 等于 pf， 那就是我们最后要证明这个结论吗？他们三个确实都是相等的，哎，我先把他就已经挣出来了啊，这个已经证明完毕。好，那接下来我怎样来说明角 a 的平分线也经过点 p 呢？ 既然他们三个都相等，也就我观察一下这个 pd 和这个 pm 他俩是相等的，对吧？如果他俩相等，那 pd 就垂直于 a， b p m 又垂直于 ac， 我是不是可以考可以考虑利用这个啊，角平分线的判定定理啊， 对吧？在一个角的内部到角两边的距离相等的点怎么样，就在这个角的角平分线上，对吧？所以呢，我就说点 p 怎么样，一定是在这个角 a 的平分线上，那换句话说呢，就是角 a 的平分线怎么样，就一定经过点 p 了吧，对吧？ 哎，这个里呢，又用到了角平分线的判定力啊。好，咱们一起来看一下证明的步骤啊。 哎，所以呢，咱们对于角平分线的性质定理和判定定理啊，这两个常用的定理一定要记得非常清楚啊。 好，接下来咱们正式的啊，把这个三角形三条角平分线的性质再回顾一遍啊，三角形三条角平分线交于一点，并且这点到三条边的距离都相等。 这里呢，顺便再回顾一下我们以前学过的，对于不同形状的三角形来说，他的三条角平纹线相交那个焦点的位置应该是怎样？ 我们直接来看了啊，不管是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形，他的三条角平分线的这个焦点都在这个三角 型的内部，哎，注意，这个他是不会跑到外边去，他不像那个高或者是那个三条啊，垂直平分线那样，对吧，有可能在内部，有可能在外，他这个呢，就像那个重心一样的啊，哎，他这个焦点呢，肯定是在三角形的内部。 现在咱们一起看教台上一个例例题，图图在三角形 abc 当中， ac 等于 bc 啊， ac 等于 bc， 这是个等腰三角形对吧？角 c 等于九十度啊，他是一个等腰直角三角形 好，然后就告诉我们呢， ad 是角啊，是三角形 abc 的角平缝线， ad 是角平分线，那也就是差俩呗，上面这两个角应该是相等的，对吧？ 然后呢，第一呢，要垂直于 ab， 垂直尾翼。好，以这条件，第一个问，他说已知 cd 等于四厘米，哎，他呢， 求这个 ac 的长应该是多少？那我们首先应该考虑啥呢？给了奖评论线了，对吧？ 那点 d 呢，是这个角平纹线上的一个点，那 dc 呢，垂直于 acde 呢？又垂直于 ab， 那我是不是可以考虑利用角平纹线的性质定理，对吧？哎，那这个 de 是不是就应该等于 dc 呀，对吧？他俩应该相等，所以呢，他也应该是等于四厘米啊。 好，等于四厘米，然后接下来又该怎么办呢？那这个跟求 ac 之间又有什么关系？我发现求 ac 好像啊，贴不上边是吧，但是一条件给什么呢？给了 ac 等于 bc。 哦，那我求出 bc 的长是不是也可以啊，对吧？ bc 的长呢，分为两部分，一个是 cd， 一个是 bd。 cd 的长呢，已经知道了是四了，我只要想办法求出啊，这个 bd 的长等于多少？把他求出来是不是就可以了？ 好，那我们再继续观察。既然这个大三角形 abc 啊，是一个等腰直角三角形，也就是说，那什么呢，这个角 c， ab 和这个角 b， 他俩应该是相等的，并且应该都等于多少度啊？是不是应该都等于五十度啊，对吧？哎，这里应该啊，都等于四十五度啊。哎，所以呢，这里是一个四十五度角角 b 四十五度，那么在这个三角形 b， d e 当中， 这是一个直角三角形，角壁要等于四十五度，所以这个三角形必定意义怎么样呢？他也是一个等腰直角三角形。 哎，那如果 d e 等于四，是不是 b e 就也等于四了呀？他俩如果都是四的话，根据购物定义，我是不是直接就可以求出 b e 的， 对吧？哎，这里算出来呢，比例的长应该就等于四倍的根号二， 四倍的根号二，然后单位是厘米 啊，他是四倍的根号二，然后呢， cd 的长就是四，对吧？哎，所以呢，我是不是就可以把 bc 的长给他取出来了？ bc 的长就应该等于四，加上四倍的根号二，对吧？然后呢，后面有单位是一啊， bc 的长取出来了，那 ac 和 bc 相等啊，对吧？哎，所以呢， ac 的长是不是 就可以了？他的长度呢，也就等于四，加上四倍更换二，对吧？好，到这呢，我们第一个问题就给他解决了。好，接下来我们看第二个问题， 他让我们啊，他说求证啊，这个 ab， 这个 ab， ab 是这个等于啊，直角三角形的斜边，对吧？他呢，等， 等于 ac 加上 cd， 哎，这里就应该怎么样来进行证明？我观察一下，这个 ab 啊，跟他俩好像也不挨着呀，是吧， 但是通过刚才的分析，我发现什么呢？这个 cd 啊，他和这个 b 他俩是相等的，对吧？哎，那，那这个 d e 呢，又和 b e 相等，也就是这三条线段其实都是相等，哎，那所以呢，这个 cd 啊，其实他是等于 b e 的， 哎， cd 等于 be， 那么对于这个线段 ab 来说呀，他本身的应该是等于 ae 加 be， 对吧？哎，所以呢，这个 ab 我可以把它写成是 ae 加上 be， 哎，那这边呢， ac 我正常写下来啊，这加上 cd 呢，就可以写成 ac 加 be， 对吧？我只要证明他俩相等就行了。那他俩左右两 都有这个定义啊，是吧，那我不用管他，也就是说我的思路呢，现在就放在如何去证明 ae 和 ac 相等， 哎，就是他 ae 和 ac， 看看能不能证明他俩相等，只要能证明出来他俩相等，我就可以得出最后的结论了。 那这个 ae 和 ac 是不是相等的？他俩肯定是相等的，我们有这么多的条件可以证明，对吧？首先这两个角相等，这中间有一条公共边，对吧？哎，这里呢，还有两个直角，那我根据角角边是不是可以判定出全等啊？三角形 acd 应该是全等于三角形 a， e， d 可以判定出差全等啊，比如全等我就可以知道。什么呢？ a c 啊，就等于 a e， 哎， a c 等于 a e， 我判定完了以后呢，我就可以得到最后的结论了啊，那在这里步骤应该怎么写？ 因为 ab 等于 ae 加上 b， 对吧？哎，所以呢， ab 就等于什么呢？ 我已经说明了 ae 等于 ac 了，他是 c， 他就等于 ac 加上这个 be 啊，然后 be 呢，我前面又说明了，他呢又等于 cd， 对吧？所以呢，他就等于 ac 加 cd， 哎，这里就给他证明完毕了，对吧？等一下我们可以看一下完整的。那这里又结合了什么呢？结合了这个全等三角形的环境， 利用全等三角形的性质，我们找到了 ac 和 ae 是相等的，同时根据刚才的分析，这里是等腰直角三角形，对吧？ 哎，也就是呢，我把要求证的这后面这个 ac 和 cd 啊，分别把它转换成了 ae 和 be， 哎，从而呢，得出了最后的结论啊，咱们一起来看一下答案啊。 啊，这里呢是第一个问的答案， 这里是第二个问的答案啊，大家可以自己暂停核对啊。 好，接下来第二个例题已知如图，在直角三角形 a、 b， c 当中，角 a c， b 等于九十度，这里是直角角 b 啊，角 b 等于六十度，他他等于六十度。好， a d 和 c， e 是角平分线， a， d 和 c， e 是角平分线， 然后呢， a， d， c 相较于点 f， 这讲平线的焦点，对吧？ f m 垂直于 a， b， f n 垂直于 b， c， 哎，垂足分别为 m n， 求证呢，这个 f e， f e 在这啊，他等于 f d 啊，求证的是他俩相等。拿到这个图，我一看呢，首先， 我如果想证明他俩相等了，我的思路应该放在哪里呢？是不是应该考虑证明全掌三角形啊？你看，要求证的这两条线段呢，是不是分别处在这两个小的直角三角形里？ 我只要能证明出这两个小的直角三角形全等，那他俩自然而然的就全等他俩。是这两个啊，小直角三角形的斜边吗？对吧，那肯定是对应边的，所以呢，我把思路放在如何来证明全等啊。 好，那我们继续来看啊，既然这个点 f 啊，他是这两条角平分线的焦点，也就说这个点 f 怎么样呢？他到这个三角形三条边的距离啊，肯定都应该是相当，对吧。但是这里这个话，我们又应该怎样来说呢？ 我们应该首先这样说，因为什么呢？这个 a f 啊，平分角 b ac， 所以点 f 呢，到 ab 的距离和到 ac 的距离是相等的，但是图当中没有给我们点 f 到 ac 的这条垂线段的，对吧？所以呢，我们要需要先把这条垂线段给他画出来啊，做 fg 垂直于 ac， 哎，这里是垂直的啊，因为呢， a f 是角平行线，这里垂直，这里也垂直，所以我就应该有 fm， 就应该等于 fg， 哎，这是利用的是角平分线的性质。那么同样道理啊，这个 cf 呢，也是这个角 bca 的平分线的，对吧，这里也垂直，这里也垂直，所以呢，应该有什么呢？这个 f g 啊，他呢又应该等于 f n， 哎，这个同样也是利用了角平和线的性质，我们在书写的时候只要写同理可正同理就行了啊。那借助 fg 这个桥梁，我就得到了什么呢？这个 fm 啊，应该是等于 fm 的 m 和 m f n 应该相等，哎，这是不是说明这两个小直角三角形里有一条斜边也相等，对吧？那现在有几个条件了呢？两个直角是相等的啊，然后呢？又有一条啊，直角边又有一条直角边也是相等的，我其实还缺一个条件，我就可以证明他俩全倒。 这个条件怎么办呢？我只能从角这个方向入手，因为角壁等于六十度的条件都还没用呢，是不是？那角这个方面我可以找哪个两个角呢？我可以观察一下这个角，哎，大家观察一下啊，这个角他应该等于什么呢？他是不是应该等于角 b ac 也就这个角， 然后加上角 ace 啊？哎，因为这个角是三角形 ace 的一个外角，对吧？好，这里呢？因为这个空间比较小，我我给他标一个，这个是角一啊，这个标为角一，然后呢？这个表这 个角啊，标为角二，这是角一，这是角二啊，好，所以角一应该等于什么呢？是不是应该等于角 b ac 加上角 ace 啊，对吧？那度数能求出来吗？他是六十，他是九十，所以角 b ac 应该就等于三十度，然后呢，角 ace 应该等于多少度啊？这里是平灰线呢，对吧？这里是直角，所以角 ace 就应该等于四十五度， 所以我算出来角一呢，应该是等于七十五度的。好，接下来我再看角二能不能求出来啊？角二，注意角二在这啊，他对应的是角 abc， 字写的比较小啊，他也可以看成是一个外角，对吧？他可以看成是三角形 abd 的一个外角， 所以呢，这个角二就应该等于角 b 加上角 b a d， 对吧？哎，角 b 的度数呢，是六十度，那么 讲 b ad 的度数，他的度数应该是多少？他肯定是讲 b ac 的一半啊，对吧？ b ac 是三十，那他肯定是十五度，所以他就应该等于六十度，加十五度就等于七十五度。 好，你看他俩的度数啊，都等于七十五度，所以我就得到了角一，应该是等于角二，对吧？这里我是直接通过计算度数来得到的，角一等于角二。好，那现在我观察角一等于角二， 两个直角也相等，同时呢，又有两条直角边相等，就是这个 fm 等于 f n， 对吧？哎，那么我根据什么呢？角角 哎，就可以判定出这个三角形 fm e 应该是全等于三角形 f n d， 哎，他俩就全等了，全等之后呢，你看这个 f e 和这个 f d 是不是刚好是一组对应碟呢？哎，所以呢，我就可以得到最后 的结论， fe 是等于 fb 的。好，咱们一起来看一下解题的步骤啊，这道题呢，就是利用了什么呀，角平分线的性质，以及呢全等三角形哎，来得到最后的结论啊，步骤呢，大家可以自己检查核对一下。 好，接下来呢，我们一起来总结一下我们这两个课时所学的内容。我们所学的就是角平分线哎，主要内容呢，包括角平分线的性质，定理，判定定理以及三角形三条角平分线的性质， 那么他们各自所对应的内容啊，性质定理，角平分线上的点到这个角两边的距离相等。好判定定理，在一个角内部 强调一遍，一定要把它加上啊，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。好，那么三角形，三条角平分线的性质，三 三角形，三条角平行线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。好，那么以上呢，就是我们今天所学的内容，下一节课呢，和大家一起来进行习题练习，欢迎大家收看， 如果喜欢，请关注明老师初中数学课堂，如果大家在学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见！