将军饮马模型轴对称怎么做

将军引马模型，你是不是一上来就做对称点？停？你知道为什么要做对称吗？不知道原理，换个问法你就傻眼。我带过八届初三，百分之八十五的学生只会套步骤，根本不懂为什么 很多老师教你将军引马，看到最短路径就做对称点？对，但不全对。你看这道题，如果直接套对称点，可能会选错对称轴，或者题目问的是最大值，你还用对称就错了。 来把书翻到轴对称那一章。将军赢马模型本质上是利用轴对称，把折线转化为直线，核心原理是对称轴上的任意一点到对称点的距离相等，再利用两点之间线段最短，问题就解决了。 来看这道中考辨识题，如果你套模型，可能直接蒙了，这不像将军赢马，但用轴对称原理，先找对称点，再利用几何条件确定 p 点位置。你看原理懂了，怎么变都能解。 看好了，当 p 点在河岸上移动时，路径总长度的变化，只有 p 在 最佳位置时，总长度才最小。 所以记住，将军饮马只是轴对称和线段最短公里的组合，别再让孩子死记摩形了。理解原理，所有最短路径问题都逃不出你的手掌心。

一招搞定将军一马模型，解决这种线段盒的最小值问题。咱们来看这道题。在三角形 abc 当中，我们知道 ab 等于 ac 是十，它是一个等腰三角形， bc 等于十二， ab 等于八。 好了，现在说 ad 是他的脚平分线，看到这里你有什么想法？有等腰三角形，又有脚平分线，事出反常必有腰。 等腰三角形的三线合一性质在这该应用出来了，他是角平分线，必然是底边的高线，也是底边的中线，所以这是隐藏条件，是你读题读到这就要分析出来的。接下来继续来看 pq， 分别 是 adac 上的动点，想要求 pc 加 pq 的最较值。好了，那我们利用将军一马模型解题的步骤，其实就是三步，叫做定 对联，哎，好像是贴春联的感觉对不对？哎，那定是找定点。在这个图当中，在这三点当中，谁是定点呀？ c 点是对定点。第二步，对称，我们要做定点，关于动点所在直线的对称点，那个动点就像一条小船一样， 小船是不在河上，所以动点所在的直线就是那条河，这里的河就是 ad 了。因为 q 点它虽然是动点，但是和 c 点在同一直线上，我们肯定不能做自己和自己的对称点，对不对？ 我做 c 点。关于 ad 的对称点，你会发现其实不就是这个点 b 吗？最后连接，我们按理来说应该连接 bq 得最小值，可是这道题 q 点也是动点 q 在这上运动。其实我这道题翻译过来不就是求 b 点何时到这条线段 ac 可以取到最小值吗？何时取到最小值？动点 q 就在哪呗，对不对？那点到直线的距离何时最短呢？ 我们知道垂线段最短对不对？所以当 bq 垂直于这条直线 ac 的时候，就是最短距离。而原来的 cp 再加上 pq， 其实就等于 bp 再加上 pq， 这是由轴对称的性质而来的。那 我们现在就是求 ac 上这条高的长度呗，看到了吗？那我们又由题中已知的条件可以知道，这个三角形 abc 的面积可以表示成二分之一，乘以十二，再乘以高八， 他也可以表示成二分之一乘以底边十，再乘以这个高 h。 好了，他俩是一个等式等面积法，我们可以求出 a 尺的值，这里面 a 尺的值求出来就是九点六了， 所以 pc 加 pq 的最小值就是九点六。好了，那这种将军一马模型的最小值问题你学会了吗？

从今天开始，我们进入将军一马的一个最值专题啊，我们先看一下将军一马呢，它长什么样子。 所谓的将军一马， 它其实是图形轴对称 和最短距离 它复合的一种结果啊，轴对称呢，它是一个解析手段 啊，也就解这类问题呢，我们是必须要通过进行轴对称来处理的，而最短距离这个东西呢，它是一个题眼，如果是出现了线段啊，一比一的格式， 所谓的一比一，说的是系数啊，一一，也就是说他对称，那二比二，三比三，也是一比一，同时出现这两个条件的时候，大概率就会往将军印码这个形式上去靠，你要注意这个问题啊，之前我们最熟悉的将军印码问题呢啊，一个是叫 两点一轴式两点啊，那这点 a， 这点 b， 然后呢要求从这个位置找一个点 p 啊，让这个 p a 加 p b 最短。这种就很简单了啊，你做一下它的对称点，然后把这个连起来啊，这个位置就是点 p， 在 这种情况下， p a 加 p b 最小啊。另外一个你还学过什么叫一点两周， 它大概长的是这样的，出现一个角哎， abc 这里边有一个点 p， 要求你从 ab 和 bc 上各找一个点 m， 一个 n， 然后呢使这个 p m n 它的周长最小啊，这种东西的做法呢，是做两个对称点啊， 这是个 p 一， 这是个 p 二，那么现在你把这个 p 一 p 二连起来，这时候呢，它就会有一个焦点 m， 有 一个焦点 n 啊， 这个 p m n 就是 刚才符合那个条件的三角形啊，直接算 p 一 和 p 二之间的距离就可以。 我们下面的专题呢，需要处理的是和这些东西啊，都不大相同的这个点，但是解析思路和它们完全一样啊。先看第一个， 这个，它叫做二幺幺型， 那什么叫二幺幺呢？它说的是两栋 一定一轴啊？看这边这个题目啊，这个题目说 a、 b、 c、 d 是 一个正方形，而且边长是个四啊，这个点 p 它在这个正方形内部啊，也可以包括这个边界， 但是它满足叫三角形 p、 b、 c， 它的面积等于四分之一 a、 b、 c、 d 的 面积。这时候呢，你就会产生一个疑问， 这个点 p 的 轨迹是什么 啊？好，他说这个 g 是 a、 d 上一个动点，而且这里边还有一个点 m， 说 m、 d 呢，等于一啊，他让求什么？求的是 g m 加上 g p 它的最小值。 我们看一下这个题目啊，和这个题型他的对应性，这里边说了两动一定一轴，那现在这个屁他的位置一定是不确定的，所以他一定是一个洞， 而这个 g 在 a 这上来回动，他也是个洞，那么定说的是谁呢？是不是这个是定呢？因为固定了这个长度就是一啊。那好，他现在还要出现一个对称轴， 那么你想我们以前的时候去处理哈这个这种问题的时候，他这两个点是不是一定是在对称同侧的啊？那你看我们解切的时候，是不是要把这个同侧的其中一个点变到对称的异侧，然后再利用折线段变成直线段，这样的出现最小问题啊。 那现在你看现在我们能明确看到的是什么来，这个 g 和这个 p 是 在 ad 的 下方的吧？对，哎，当然这个 m 也在 ap 的 下端啊。 然后现在我们去处理这种折线问题，按照我们刚才所提出的第一个疑问，我们先来解决点 p 的 运动轨迹，这个 p b c， 它是一个三角形，它的面积满足的是 二分之一乘以底，再乘一个高 h 啊，这个 h 我 随便画一个。 哎，比方说这是 p p e， 它的高就是一个 h， 而这个 abc d， 它的面积呢？是边长的平方，边长平方也是说 bc 的 平方啊。好，我们看一下这个四分之一是个啥意思？现在也就是说二分之一 bc 乘以这个 h 就 等于四分之一 bc 的 平方。 好，你这样的话，把这个和这个余量那出现的情况是不是 h 等于二分之一 b c 啊？也就说这个高是不是等于边长的一半？ 这个点屁不管在什么地方，这个高他都等于这个边长的一半，所以说这个点屁他应该是在什么地方呢？是不是 比方说这个是 e， 这是 f， 它是不是应该是在这条线上走？这条线是不是必须要平行于上下底？是不是？而且点 e 和点 f 呢？它是不是就是 ab 和 dc 的 终点啊？ 当我明确了这个事以后，那这个题呢，就相对来说啊，变得有可探求性了。好，下一步我们采用最基础的开始做对震点了啊，我们做一下这个点子的对震点啊，他和他都是动的，但是他是定的， 要做的是定点的对称点啊。好比方说这个就是 m 一 啊，这样这个 g m 加上这个 gp， 它就变成了 g m 一 加上 gp 了。嗯， 那看到这种问题以后，我们现在是不是和前边就一致了，现在出现了一个折线，是不是出现了折线以后，那要求最短的时候，是不是要把折线段要变成直线段？变成直线段以后，也就是说你能看到的是 现在这个 pm 一 现在是最短的啊， 但是这个点 p 它是 e f 上的一个动点啊，那它在 e f 上走的时候，那出现在哪一个位置会使这个 pm 一 最短呢？ 那这个明显是斜着它往这越挪，是不是这个会显得越长？你只有往这走的时候，是不是才会越来越短，越来越短？哎，结果你发现什么？ p 点是不是到 f 的 时候， 这时候这个 pm 一 等于 fm 一， 是不是才是最难的啊？对，所以这里边你要加一句，什么 pm 一 啊？ g m 一 加 g p 等于 pm 一， 哎，斜 你这个 pm 一， 它垂直于 e f 时，这样的话是不是它就最短？那我们看一下这个最短距离啊，它是一，那么它是不是就一，而这个 f 是 中点，边长又是四，所以这个是不是二，那么一加二是等于三，对吧？ 也就是说当这个，呃啊，叫做当 m 一 g p 贡献且 pm 一 垂直 e f 时啊， 这时候这个最小距离，它其实就等于 m 一 f 啊，一加二等于三啊，学会了吗？

初中数学必考知识点之最短路径问题，你是否听说过将军印马模型？来带你一个视频学会。今天我们来讲将军印马模型，首先有两点， a 点到 b 点， 然后题目说从 a 点走到河边，再从河边走到 b 点，如何走最短呢？我们先思考一下，从 a 点到河边是一条线，从河边再到 b 点又是一条线，那么他问的就是在河上找一洞点，只得 a 点到洞点，加上 b 点到洞点这两条线段的和最短。那么如何做呢？先给大家说结论， 做法是，第一步，先做定点关于动点所在直线的对称点，那么这题 a 点和 b 点就随便选一个点做关于和的对称点。然后第二步，连接另一定点，与新做的动点 两个点相连之后，与洞点所在直线是不是相交于一点，那么相交的点就是我们要找的洞点，具体看一下怎么做。首先我们这题先做 b 点关于和的对称点一撇。 第二步，连接 a 与 b 撇，那么 a b 撇是不是与和相交相交于点？假设我们设它与相交于点 c， 那 么 c 点就是我们要找的洞点。 我们来分析一下，为什么 c 点就是最短的那条路呢？从 a 走到 c， 再从 c 走到 b， 为什么是最短？首先观察 我们正常要走的 b 到 c 的 这条路，是不是让我们通过轴对称转换到了 b 撇 c 这条路。那么现在问题就是，从 a 走到 c， 再从 c 走到 b 撇，如何最短？那么我们之前学过两点之间线段最短，也就是说 你不管 c 点在哪里，这两条线段何时才能最短呢？ 是不是我们题目中画出来的 a 和 b 撇相连与直线相交的点， c 是 最短的呢，因为两点之间线段最短， 那么我就可以知道，这题我们就找到了最短的点，就在点 c， 那 么接下来我们看一道例题。 首先如图，在三角形 a b c 中，他说 ab 等于 ac， 那 么这是一个等腰。三角形 a d b e 是 两条中线， a d 等于六， b e 等于七， m 是 a d 上的一个动点， 连接 m e m c， 他 问你 m c 加 m e 的 最小值是？那么这题其实也是一个将军引马模型，不知道大家看出来没有？ 首先先找到洞点，也就是说先找到洞点所在的那条直线，也就是说将军引马的那条河，大家看出来没？在哪里？ 首先 m 是 洞点， m 在 a 对 上动，那么所以 a 对 就是那条河，那么我们做轴对称的时候， a 对 就是那条对称轴， 那我们再思考一下，他问的是 mc 加 me， 那 也就是说两个定点是 e 点和 c 点，那么我们做 c 点或者 e 点，关于直线 a 得做对称点，然后连接，这题就可以做出来了， 我们看一下是怎么做的。首先我们做点 c 关于直线 a 的 对称点，也就是 c 撇，然后我们连接另一定点 e 与 c 撇，连接之后与 a 对 相交于一点，我们设它为 m 撇， 那么我们接下来问题就迎刃而解了。题中问的是 mc 和 m e 相加最小值，那么我们 mc 是 不是可以转化成 mc 撇？ mc 撇加 m e 最小的时候，那就是 b e 这条直线直线段的时候最短。那么这题可以直接得出答案，最短的路径就是 b e 这条直线段， b e 多长呢？是七，那么 m c 加 m e 最小值就是七。下期大家想听什么呢？扣在评论区，关注我，带你学习更多知识！

初二期末必考的压轴题一定有轴对称将军印马题型，我们一起来看下这道题。三角形 abc 的 面积是九角， a 等于三十度， bc 等于三， d、 e、 f 三个点分别是三边上的动点。求三角形 d、 e、 f 周长最小。这道题难度非常的大，韩老师带你用两个步骤彻底学会通解方法， 配合我整理的将军印码十二大模型，包含了作图方法以及解析思路，给孩子练习，轻松搞定压轴题。我们一起来看下这道题求周长 最小，就是求小 a 加小 b 加小 c 三条线段和最短问题。而现在三条线段构成的是一个三角形， 首尾相连，那假设这是 a， 这是 b， 这是 c， 那 这个时候我们一定要想到的是通过轴对称来改变线段的位置，使得这三条线段放在同一直线方向上，那假设我通过轴对称把该 a 对 称到这个地方，我通过轴对称把 c 对 称到这个地方，那小 a 加小 b 加小 c， 其实就是两点之间线段最短，那这里就是将军印马模型的两个核心解体步骤。第一步我们去做对称，但是我们又会发现 e、 f、 d 都为动点， 到底去做哪个点的对称点呢？这里你可以假设其中一个点为定点，那我这里如果假设一点为一个定点，那我就应该是做的一点的对称点，那做一点关于 a、 c 的 对称点为 e 一， 做一点关于 a、 b 的 对称点为 e 二， 连接 e 一 和 f。 小 a 由于对称到上方，连接 e 二和 d， 小 c 由于对称到下方，那么 a、 b、 c 三条线段和最短就被转化到了这样的方向上，由于 f 和 d 都未动点，那 什么时候它最短呢？那就是咱们的第二步，两点之间线段最短，连接一一二，真正的 f 在 这，真正的 d 是 在这个位置的，那现在我们的周长和最短其实也就改变了咱们的位置。那么此时小 a 对称小 c 对 称小 b a b c 就是 两点之间线段最短，那这个地方我们相当于把一点先假设它固定在这，找到了它周长最小值 e 一 e 二这样一条线段，那我们怎么样去求这个最小值呢？发现题目给了三十度还没有用，那我依然用对称的性质来去求解。这个时候我将 a e 二、 a e 和 a e 一 都连起来， 会发现由于对称 a e 是 等于 a e 二的，由于对称 a e 是 等于 a e 一 的，而这个角是 r 法角，对称上去 r 法这个角是贝塔角，对称下来贝塔角， 那整个大角，发现其实就是两个 r 法加两个贝塔，其中一个 r 法加一个贝塔是三十度，那大角就是六十度。而我就会发现三角形 a e 一、 e 二其实是一个等边三角形。 那对于求 e 一 e 二的长度，那不妨就是求 a e 一 或者 a e 二的长度，因为它们等边三角形的三边是相等的，那我要求它最小，就是求腰最短， 那等边三角形的顶角固定腰什么时候最短呢？来我们再来观察一下，当一个等边三角形的顶角固定为六十度，那你会发现腰越短 底越短，那腰什么时候越短呢？发现腰长又等于中间的这条 a e a 点是一个定点， e 点在 b c 上动， 那这里我们只需要过点做 b c 的 垂线，用垂线段最短即可解决问题。 那所以我们真正的 e 点就找到了，那接下来我再通过这个 e 点去做对称，就可以找到 d 点和 f 点，那现在我们要计算 e 这条垂线段的值啊。 题目中给了面积，给了底边是三，那我就可以用面积 s 三角形等于二分之一的 b c 去乘 a e 这条边那九就等于二分之一乘三乘 a e， 所以 a e 就 等于六。那么咱们的 e 一 e 二的值也为六，所以周长的最小值即为六，你听懂了吗？

初二期末必考的压轴题一定有轴对称将军印码题型，我们一起来看一下这道题。三角形， a、 b、 c 中角， c 等于九十度， d 点和 e 点分别是边上的动点， a， c 等于六， b， c 等于八， ab 等于十。 求 a、 e 加上 d， e 的 最小值。这是一道将军印码和面积综合的题型，难度非常的大，得分率不足百分之五， 老师一分钟带你彻底学会再配合这套包含了将军印码十二种模型的必刷题，拿去练习，期末考试多拿二十分。我们一起来看一下这道题。现在求的是两条折线段的和最短， 这个时候一定要用到轴对称的思想去改变线段的位置，将两条折线段给他改变到同一直线的方向上。那我们假设做对称，把 a 给对称过来以后，就可以用两点之间线段最短来解决问题，所以他的第一个步骤一定是做对称。 那我到底是做哪个点的对称呢？会发现 e 点和 d 点都是动点，而 a 点是定点，那这个时候 a、 c 又和 b， c 是 垂直的，我可以做 a。 关于 b、 c 的 对称点，那就延长 a c 至点 f， 使得 c、 f 和 a c 相等。 接下来我们把 e、 f 连起来以后，会发现小 a 由于对称就被转化到上方去了，那么继续 e 点和 d 点在动，动到哪个位置的时候，使得小 a 加小 b 的 和最短，那这个时候就是点到直线的最短距离， 于是咱们的第二个步骤就叫做做垂线，垂线段最短那所以这个地方我们做一个垂直，那真正的点 e 是 在这个位置 那所以说我们要求的 a e 加上 d， e 的 值，其实就等于 f e 加上 d e 的 值，那我要想求它最小就是等于 f、 d 这个长度，那么到求长度的环节就会让百分之九十九点九的同学又做不出来，那这道题非常综合， 咱们在这里求长度需要用到一个方法叫做面积法。我将 b、 f 连起来以后，会发现 f、 d 是 三角形 f、 b、 a 的 高， 那所以我用二分之一的底 ab 乘高，而咱们发现这个三角形，咱们的面积又可以用另外的底乘高来进行表示，所以它对于对称 ac 等于六，所以 c、 f 也等于六， 所以它就等于二分之一乘十二，再去乘八。而我们已知咱们的 a、 b 是 等于十的，代入进去就可以求出 f、 d 的 长度，你听懂了吗？