五下数学立体的截面怎么绘画

三面涂色的小正方体只能在八个顶点上。不管多大正方体，三面涂色的小正方体只能八个。 两面涂色的小正方体在棱上，不在顶点上。如果大正方体每条棱上有 n 个小正方体，那么去掉两端顶点后，每条棱中间有 n 减二个两面涂色小正方体。 一个正方体有十二条棱，两面涂色小正方体个数等于十二，乘以 n 减二。 一面涂色小正方体在面中间不靠棱，每面涂色一面的个数等于 n 减二的平方六面，所以总数等于六乘以 n 减二的平方。 没有涂色的小正方体在最里面构成了边长为 n 减二的立方体，总个数等于 n 减二的立方。那么课本上这个题你会填了吗？

立体几何中截面问题有的很好想，但是这道题没那么好想。正方体 a、 b、 c， d， a， e， b e， c， e， d 的 棱长为一 m n， 分 别为 c， e， d， e 和 b e， c e 的 中点用过 a m n 的 平面去截正方体 a， m， n 得所得截面图形的周长为，要算周长，首先我们得知道截面图形是个什么样子吧？应该怎么截呢？ 我们可以发现 a 是 个比较特殊的点，这个点处它是一个顶点，而且这个点处比较尖，我们可以想，如果对它这么做一下，就是平行于 m n 做一条线，这怎么办？就不做这条线呗，可以换一种来做， 我们发现 a 它还在这样一个面里，所以是不是可以考虑不做这样一条在外面的线，而是找到这个平面，我们结 a 一 b 一 ab， 不 对，应该是 a 一 b 一 b a 所得的那条线段，这怎么结呢？ 把它延长到这里，这两个交在一起是一，这两个相连。最后就是这一段，我画大括号的这一段，就是我们要照的前面截出来的线段。 既然现在知道了我们截出来的是哪一条线段，接下来我们就要求这条线段的长度。打球呢？搁骨钉里， 既然这两个三角形应该是相似的，我们应当先求出 b e、 f， 所以 我们就直接把 b e 认成二分之一，要求的是这一段。这两个三角形相似，它是二分之三，它是一。 竖着比横着应该等于这边的竖着比横着 x 等于三分之一，那么就可以求出这一段的长度，对不对啊？ 求它的长度，这一段是一，这一段就是三分之二，这里是一，所以就可以得到 a f， 那 等于根下一加九分之四，三分之根十三。这就是 a f 的 长度， 这是周长的一部分。还要求出我们这里的 f n， f n 应该等于根号下 f b 一 方加上 b n 方， f b 一 方是九分之一， b n 方呢？ b n 方应该是四分之一。下一起开根是 三十六分之十三。开根， f n 也求出来了。接下来 m n， 这个是比较简单的， m n 等于二分之根二。后面别忘了，并不是 a m， 而是两条边截出来的是一个五边形，而不是一个四边形。 由于正方体是一个比较有平行性的图形嘛，所以前面这条边和后面这条边应该是平行的，这里是二分之一，这是三分之一。 同样的比例，此时通过二分之一和三分之一一平方相加，可以得到 g m， 应该也是六分之跟十三。那 a g 呢？ a g 和我们刚才写的这一段是相等的，而 g m 和这一段是相等的， 此时就都取出来了。我们将他们几个加在一起，一个二分之二。我们来数一数，一共有几个三分之根号十三，这两个加一起是一个，第三个，不对，第二个，第三个。

我们来讲一下找完整洁面的四个方法，也可以说是四个工具。第一个方法是面面平行的性质定理，我们知道如果有两个平面互相平行啊，在这里就是 alpha 和 beta 互相平行，那么如果有第三个平面和这两个平面都相交， 那么这两条交线 l、 m 啊，就是平行的，用符号来写，就是阿尔法平行于贝塔，阿尔法交伽马啊，是 l 啊，贝塔 交伽马啊，是 m 啊，那这可以推出来 l 平行于 m 啊，这个是用的最多的找洁面的方法， 我们来看一下它的实际应用啊，在这个正方体里啊， e、 f、 p 呢，是所在棱的中点啊，我们现在就是经过这三个点去截这个正方体，去找这个完整洁面。那所谓完整洁面，就是说这个多边形，它的每条边呢，都要在几何体的表面上， 所以如果你直接把 e、 f、 p 三个点连起来，这个三角形并不是完整的洁面，因为 f、 p 和 e p 都在这个几何体的内部， 而你去找这个结面呢，其实就相当于去找这个平面 e、 f、 p 和这个正方体每个面的交线， 那这个时候我们就可以把 e、 f、 p 这个平面视为啊第三个平面，而正方体的上下前后左右呢，就是呃三组相互平行的平面，所以就可以应用这个平面平行的性质里啊，比如说 在这个问题里面，有一条交线是明确的，就是 e、 f， 因为它在几何体的表面上， 那是与后面这个平面啊， a， a， e， d， e、 d 的 交线，那就应该平行于前面这个平面 b、 b、 c、 c 的 交线，那所以我们应该过 p 做 e、 f 的 平行线，那当然就应该去找 c c e 的 中点啊，啊，就是一条中位线， 我们可以稍微 q 点啊，连接一下 p q， 这个就是这个平面与前面这个平面的交线了啊。但是我们进行了这一步以后呢，那下面就很难再根据这个面面平行的性质里再进行下去了啊，因为这个没有呃，更多的啊，已知的交线了 啊，所以我们再看啊，第二条方法啊，就是去找两个平面的一个公共点的方法，因为我们知道两个平面的呃交线啊，嗯，它是一条直线啊，所以呢，如果去找到两个平面的两个公共点，那就可以确定这个交线了。 比如说我们现在已经知道我们这个平面啊， e f p 它与右侧这个平面啊，有一个焦点是 q 点，那如果我们再能确定一个焦点 啊，那就可以确定交线了啊。所以你们看啊，除了这个第一个依据之外啊，怎么去找两个平面的一个公共点啊？其实很简单，我们想去找阿尔法和贝塔的一个公共点，我们可以分别去找它们和第三个平面的交线啊，阿尔法交伽马是 l， beta 交伽马 是 m 啊。找到这两条交线以后呢，再找两条交线的交点，我们设为 p 点， 那这个 p 点就是两个平面的一个空空点啊。道理很简单，因为这个 p 点是两条交线的交点，那它就应该在 l 上，它在 l 上呢，就在 r 方里面，同理，它在 m 上，它就应该在贝塔里面，所以它就是这两个平面的一个空空点。 那所以啊，简单说，怎么去找两个平面的一个公共点呢，就是分别去找它们和第三个平面的交线，再找两条交线的交点。好，在回到我们这个问题里啊，现在我们已经知道我们的解面和前面和后面这两个平面的交线了啊，就是 p q 和 e f。 那我们就可以把前面这个平面或者后面这个平面作为我们刚才说的第三个平面，比如说我们就把后面这个平面 a a， e， d， e d 看作那第三个平面啊，那么我们这个结面和它的交线呢，就是 e f， 那 我们右侧这个平面和它的交线是谁呢？那就是 d d e 了。那所以我们就延长 d d e 啊，和这里的 e f 它们产生一个交点，那就是我们要找的这个两个平面的公共点了。 好，我们延长 e f 和 d d e 啊，我们设交于这个 t 点啊，好，这个 t 点呢，就是我们这个界面和右侧平面的又一个公共点。那这个时候我们再连接 t q， 它与这个 d c 啊，产生一个交点，我们设为 m 点啊，那这个 m q 呢，就是我们这个界面它与右侧平面的交线啊， 呃，很显然这里的 m 点应该也是中点。好，我们找到这个 m 点以后呢，其实就可以再回到第一个依据上啊，呃，就可以得到这个界面了啊，因为这个时候 我们这个呃结面他与上底面的交线呢，就是 em 啊，也是一条中位线啊，那他跟上底面的交线啊， em 呢，就应该平行于和下底面的交线啊，所以我们再过 p 做 em 的 平行线，其实还是中位线啊，假设交于 n 啊，那就是 p n。 好，那你 p 点和。呃这里 n 点呢和 f 点都是与左侧平面的交线啊，交点啊，连接起来就是交线了啊，所以再连接起来，那最后呢，我们得到的其实是一个正六边形啊，好，这是前面两个依据啊， 我们来看一下第三个方法啊，所谓无论二面角找棱啊，我们先来证明一下这样一个问题，两个平面相交， 交线呢？是 l， 我 们在 r 方里面有一条直线 m， 在 beta 里面有一条直线 n， 这两条直线是平行的，那么我们能不能证明它们都和交线平行 啊？我们知道这里的呃， m 平行于 n 啊，那可以证明什么呢？应该是可以证明 m 平行于平面 beta 啊，因为 m 它不在 贝塔里面， n 在 贝塔里面啊，那么 m 平行于 n 啊，所以我们可以推出来 m 平行于平面贝塔，那现在呢，我们有线面平行，我们就可以去想线面平行的性质啊，根据线面平行的性质啊，因为 m 平行于贝塔， m 呢，又在阿尔法里面啊，那这个时候阿尔法和 beta 产生了一个交线，是 l 啊，那这个 m 呢，就会平行于 l 啊，好， m 平行 l， 再根据平行的传递性，我们就知道啊，这三条直线 其实是两两平行的啊，所以我们确定两个平面的交线。还有一个方法就是我们可以在两个平面里面各找一条直线，是互相平行的，那么这个交线呢，就会与这两条直线平行啊，我们看一下它如何使用啊？ 还是刚才这个问题啊，现在我们已经找到了，呃，四个焦点了啊，我们继续往下走啊。啊，我们可以看到这里是呃，这个平面呢？呃， e f p q， 嗯，它中它里面有一条直线，是 e p， 呃，我们在右侧平面里面可以找到一条直线 c e d 啊， e p 和 c e d， 那 他们显然是平行的啊，那这样的话，我们就知道这两个平面的交线就是跟 e p 或者 c e d 平行的， 而这两个平面他有一个公共点，已经找到了，就是 q 点啊，那所以我们就应该是过 q 做 c e d 的 平行线，哎，那其实就是中位线啊，就是啊，可以稍微点 m 啊，那就是 m q 啊。 好，那下面呢，我们也是一样啊，可以回到这个第一个方法，面面平行的性质里啊，就可以顺次去找到所有的焦点了。第四个方法是四点公面的判定啊， 现在我们这里有三个点， abc 不 共线啊，那他就可以为一确定一个平面啊，如果我们想判定 p 点也在这个平面内啊，我们可以在这个平面外再找一点 o 啊，然后呢，分别以 o a， o b， o c 这三个向量为基底来表示 o p 向量，那么如果 o p 向量 等于 x 倍的 o， a 加 y 倍的 o， b 加 z 倍的 oc 啊， 那这个向量系数和 x 加 y 加 z， 如果等于一的话，就可以判定 p 点在这个平面内啊。好，那你判定这个 p 点在平面内呢，就等于确定了一个呃，公共点啊，所以这也是可以算作啊，去找两个平面公共点的一个方法。 比如说，回到这个问题上啊，我们这里的平面 e f p q 啊，我们要继续去找它的焦点，比如说我们想去找这个平面，它与右侧平面啊， c e d， e d c 的 另外一个焦点 啊，那我们可以想啊，我们这个平面，他肯定会与 c d 这样一个直线有一个交点啊，他不见得与这个线段会有交点，但是一定会与这个直线有一个交点，因为这条直线显然不是和这个平面平行的，那我们也不确定这个点在哪，我们就可以设一下，我们设一下 这个点是 m 点啊，那这个时候呢，我们就可以去间隙， 我们假设这个正方体的棱长为一啊，那因为 m 点，它在 c d 这条直线上运动啊，所以它的横坐标是不确定的，我们可以设一个 x， 但是它的纵坐标和竖坐标都是确定的，都是一， 所以这里呢，就会有一个未知数啊，我们可以以 a， e， p 啊， a， e， f， a e 啊这三个向量为基底去表示这里的 a e， m 向量 啊，那他就应该满足系数和为一这个条件。那这样呢，我就可以解除 m 点的坐标啊，也就可以确定 m 点的位置了啊，当你确定 m 点位置以后呢，还是可以回到第一个方法上啊，好，这就是我们确定呃，完整界面的四个方法， 可见呢，第一个方法使用是最多的啊，在一些稍微简单一些的问题里面啊，一般用第一个方法就足够了啊，但是如果这个几何体比较复杂啊，那就可能用到下面的三个方法。

我们看这道题，这也是一个空心的圆柱轴线水平放置，我们先把这个空心圆柱的水平投影画出来， 接着我们画这个截屏面的水平投影，首先我们可以看到它是一个正垂面，它和圆柱相交相贯线，集聚到圆柱的表面上， 我们可以看到这个相贯线，它是两条。第一个是这个平面和外圆柱面相交相贯线的侧面投影，应该是集聚到这个圆弧上，侧面投影都是在这个平面上。 我们用秒点的方法找出这条相关线的水平投影。首先呢来找几个特殊点，特殊点我不知道，首先是这个极限位置的点， 大家从这边投影上可以看到极限位置的点，这是最低点最左边的点，这是最右边最上面的点。 第二个呢，我们要找转向轮廓线上的点。呃，转向轮廓线呢？圆柱有四条，这是最上最下的转向轮廓线，我们可以看到三点 是在最上边的转向轮廓线上。呃，一点的这个位置，我们这个求一下，应该是对应到高频期啊，是在这里。 另外一个呢，这个圆柱还有是最前最后的转向轮廓线 正面投影呢是在这里，在这个平面上，四是后面一个点。 好，那这个除了这几个特殊点以外，我们还要找一个一般点，一般点的话呢，我们可以按照这个相关线的对称性来对称的上下来找 五点的侧面投影，注意它不是在这个小圆珠面上啊，它是在这个大圆珠面上的点， 我们把这个一二三四五这几个点的水平投影呢，都把它做一下，一点是在左端面上 宽相等，二点呢是在最前面的转向轮廓线上， 四点在后面的转向轮廓线上三点是在中间的转向轮廓线上， 五点呢，我们按照长对正宽相等来找， 我们可以在这个一五之间呢，再找两个点，可以让这个线呢画的更准确一点，因为这个我们知道这个圆柱的这个结交线呢，它的这个对称轴呢，是二四这样一个对称轴， 我不知道 a b 的 两个点的侧面都投影都是在这个圆弧上啊，前面有一个，后面有一个对称呢， 把 a b 的 水平投影呢做一下 啊，这点呢是 a 点，这点呢是 b 点啊，这是它们的这个对称点， 这个特殊点有这个一点，二点， 这个三点，还有它们的这个对称点。然后我们找了几个一般点， a 点、 b 点和五点，还有它们的这个对称点。现在呢，我们把这些特殊点和一般点的水平投影瞄点连线， 大家有意识的要注意一下，对称轴是二四这样一个对称轴， 这个平面和这个外圆柱面的这个交线呢，我们就画完了同样的道理，我们求一下这个平面和里边圆柱孔这个表面的交线， 这个平面和圆柱孔表面的这个交线呢，应该在圆柱口的投影区域里边，正面投影应该是从最左边最下面这个点是一点， 我们可以看到的这个一点和圆柱口的这个交，这个交线呢应该在这个位置哦，我不知道这个交线的侧面投影都是在这个圆柱孔的内圆柱面的集聚性的，这个圆上的 正面投影还在这啊，水瓶投影呢，我们求做一下 它的最上面最右边的这个点，侧面投影呢还是在这个小圆上？ 水瓶投影呢是在中间。 好，那它和圆小圆柱孔相交的最前面的这个转向轮廓线，我们可以看到这个交线的侧面投影是这个圆弧，最前面的这个点呢，应该是在这个点啊，这个点是九点， 这个点呢是十点，侧面投影的话是在这个位置， 水平投影的话，按照长对正，我们可以看到九点，十点是在最前面和最后边的转向轮廓线上，就在这里。 好，这个特殊位置的点呢，我们就找完了，接着呢我们找一般位置的点，一般位置的点呢，我们还从正面投影 a 一 撇 b 一 撇这个位置来找， 我们可以看到对应的这个位置的点，侧面投影在这个小圆上啊，是在这里，那么我们给它取这角 c 一 撇，正面投影和 a 一 撇是重合的，水平投影的话我们量一下， 还有呢，上面对侧的有一个点，就是 d 一 撇 第两撇啊，正面投影在这个位置 啊，它的这个水平投影应该和 c 呢这个位置是一样的，这个宽度是一样的啊，这个不用量 好，我们可以看到这个平面和里边的这个圆柱面相交，他的这个交线呢，应该是从七点开始啊， c 九 d 八一直到后面的十啊，和这个七点的这个对称点啊，是这样的一个椭圆，我们可以看到这个线呢，从因为从上往下看，这都是可见的。呃，所以呢可以用这个粗实线呢给它描出来， 正垂面和空心圆柱相交，就是这样的两个椭圆啊，两部分椭圆， 这就像我们家里一个葱啊，你照着一切以后每一层葱的结面啊，那个结胶线都是一圈一圈的椭圆，大家可以想象， 现在呢我们这个截屏面的这个投影结胶线的投影画好了，接着我们处理一下圆柱的转向轮廓线，还有呢圆柱的各个这个端面的投影。 首先呢我们可以看一下呢圆柱的左端面，这个左端面呢，他本来他是一个完整的一个圆环，被截切以后，我们可以看到左端面就到一点这为止了，所以呢他的侧面投影应该是圆环的这样的一部分。 好，我们可以看到这个他是一个侧平面水平投影的话，最前面是一点，最后面应该是他的对称点，那水平投影我们把这个多余的线给它擦掉。 好，接着呢我们看一下他的这个转向轮廓线，转向轮廓线呢，这个下面这条转向轮廓线没有受到破坏。上面这条转向轮廓线我们可以看到从三点往右是有的，从三点往右是有的，三点左边呢是没有的， 所以三点左边呢是没有线啊，右边呢这条线呢是有的，但是转向轮廓线在这里都是中心线表示的。 接着我们看一下最前最后的转向轮廓线，外圆中面这个转向轮廓线就到二点这为止了。内圆中面的转向轮廓线的应该是到九点这为止 啊，所以呢我们可以看到这个粗实线应该画到二点，这虚线呢是画到九点，这左边是没有的，我们把多余的线呢给它擦掉。 最后我们把可见的轮廓线用粗实线加深，呃，不可线的，用虚线来进行表达。好，这道题就分析到这，谢谢大家。

下课起立，老师你好，同学们好，请坐哪节课？我们来回忆一下正方形展开图一共有几种？有几种呢？我们说它有四种类型，但是一共是几种呢？一共是十一。那我们一起来回忆一下来，第一种是什么？是什么类型的？ 第一种是一四一型的好，一四一也就是上面一个好，中间这四个是怎么样的？中间是四个，然后头尾各一个，所以哪一些是固定的？中间这四个是固定的， 它固定是四个，对不对？那上下各一个。哎，我第一个可以放这里。好，下面这个可以怎么放呢？啊？第一种放这里可不可以？好一种 放这里，两肘、三肘、四肘。好，接下来再继续变来这个继续动，这个继续动的话啊，如果这个如果放这边的话，我们会发现其实跟刚刚的这个是一模一样的，把它转过来，所以我们接，所以我们从这边开始来这边就是第几种了。第五种，第六种 还有没有来？如果是这边的话，又跟刚刚什么是一样的？这边第一个，这边是不是一样的？所以它一共就是这六种。所以关于一四一一共有几种呢？共六种， 也就是这中间四个是固定的，然后上面一个，下面一个是任意的，明白吗？这种情况有六种好。第二种是什么类型的？二三一型的二三一，哪一些是固定的？ 好？二，首先二二这么放，二是这么放，二是这么放，对三怎么放呢？啊？要怎样？要错开一个错位，错开一个来，一二三， 这个是二三，还有个什么一一在最底下来一，我可以放在这里，也可以放在这里，也可以放在这里，所以跟我仅有的 关于二三一，这里面的二跟三是固定的，一在下面可以任何一个水有几种？三种水几种情况够三种好。第三种是什么型的？三三好，可以，三三型 好，三三型。三三型有几种呢？好，一二 三，这个是个三对。那第二个三应该怎么办呢？要怎么样？错位一个好，一二三有点像爬楼梯一样，对不对？三三型的，这里面这两个三他都是固定的， 都是固定的好。最后一种是什么型的？二二二型的，二型的也就是每行几个？两个，每行两个，而且这两个每一行都要怎么样？错位一个， 所以我们会发现这两种他都是有点像什么形式？阶梯形的，对不对？是楼梯形的，而且他们只有一种，他们都是怎么样固定的？ 所以对于他来说几种啊？共一种，对他来说也是共一种。 共一种好，这是展开图四种，能不能背诵起来？可以，那我们之前说我们既然能够展开，我们要给他怎么样还原？怎么还原？来这个怎么还原，这个怎么还原，我们可以先看，先看哪里？我们可以先看这四啊，你要以谁？这四个我可以给他怎么样？哎，看 这两个是不是看黑板是这样立起来。好，这个可以，这个一立起来的话，这个是不是立起来是这样子？对，然后上面盖上，下面的圆盖是不是盖上了呀？是不是正方底？好，那这个能不能还原？怎么还原呢？一般情况下还原我们要拿，拿一个作为作为底座的，后面这个 他拿一些他相邻的正方底最多的。这个有两个，是不是有两个呀？对，都可以任何选一个，他其实还原的方式有很多，第一个立起来，这边怎么样？ 立是立起来。好，这个掰下来，这个盖过去，哎，又变成了一个正方体。好，那这个呢？一样的哎，这个接触最多的是不是？好，我们就给他这样。好，这个给他立起来好，看，空间想象能力了啊， 这个运动的话，这三个啊，这个直接这样掰过来，对吧？好，这个掰过来的时候，这个是不是一起过来的？是不是一起过来的啊？就是再怎么样往下往下，哎，变成了一个正方体。好，这个呢？ 随便找一个都没有。好，对，随便找一个来，那我们就找这个吧，一般找中间这个啊。好，首先把这三个给他，怎么样？立起来，这两个给他，哎，对立起来是一起立的。好，然后这个给他掰下来，这个掰下去，然后再上去他又变成一个立正方体。正方体里面会出现，找对面 绝对是相对的面。对，面，对，相对的面会怎样？相对的面怎么样？因为它会隔一隔。相对的面会出现什么特点？隔一隔，或者是可以理解为不相邻， 他们是不相邻的。你想想，如果，如果这两片相邻，任何两片相邻的会成为对面吗？不会相邻，他们就建在一起了呀。你说他们有没有成为对面的？不可能是不可能呀，所以怎样不相邻？ 相对的面肯定是不相连的。那我们来看这个简单，哪一些？哪一些是相对的面？我们用一二三来标这里面，如果以这个图来说，哪一些是相对？如果这个是一的话， 那哪个也是一跳一格，哎，这个也是什么？一，这两个是相对的面，对不对？我们可以验证一下来，看立起来，这两个是不是相对的面啊？对，好，那剩下的这个就是也是相对的面啊？对，好，那剩下的这个就是相对的面，那是哪一些呢？ 比如说这个，这个是协议的话，还应该哪一个也是一，他也会是一吗？不会，他会是一，我们来感受一下。来，我们来，我们叠起来，把这个弄下去，哎，会发现他们也是相邻的，是吧？应该是这个是这个。好，这也是一，我们来感受一下。为什么呢？你看， 哎，这都掰过来，是吧？弄过来，弄下去，哎，是不是相对的？没错了啊？ 反正两个不是，肯定就是这个，对不对？那剩下这两个是不是，呃，不相邻？很明显这两个是二跟二，那剩下就是这两个三跟三。好，这个呢？这种阶梯型的，这个是一的话，那这个就是多少一，那这个是二的话，这个就是二，那剩下这两个就是三，好，这个呢？这个是一的话，那应该也是一， 中间的，中间，中间的这一个，对吧？因为跟他不可能相邻，跟他不可能相邻就跟他了，对吧？啊？这是一，那这两个是什么啊？那这两个是三好，所以这个是我们找相邻的。那为了让同学们更更清楚的看出那个展开图，老师找了一个网页，我们来感受一下。来，我们来感受一下。来，折叠 好，展开再看一下。好，来第二个来下一个折叠感受一下。好，下一个再往右移一个啊，折 叠展开好，最后一个，这个在第四个了啊？折叠， 对，因为其实一次一起练习都一样，对不对？好，那接下来我们看就几秒了，四三二一体验一下， 体验一下可以再体验。我们可以一起体验。啊。好，现在我们来看这个来折叠展开，有没有用心去感受？ 他看过了，是吧？哪一个是没看其他的吧？啊？现在看二三一的，二三一的他这个折叠方式跟我们那个不一样。对，好 好，现在是这还有一个二三一的。 好，现在看三三型的来，这个怎么折叠？好？最后一个二二型的，二二型的 他这个纸。好，那这是我们上一节课学习的正方题的展开图。

一口气讲完逆题集合洁面问题一共三大题型，从做洁面的两种方式，到求洁面面积和周长，带你完胜逆题集合压轴小题。 其实很多高一高三的同学都在问我，唐老师如何做洁面，他要是出的话就会出单选或者多选的压轴题， 那我们来看哈，他总共是有两种方式的，第一个呢是相交法去做洁面，第二个呢是平行线法，我一般都是两个结合着来用哈。 首先呢，我们来看相交法，为什么叫做相交法来，就是因为我们现在这个界面呢，很单零的，孤零零的在这个内部，对不对？ 那么此时我们就要使得它的延长线和其他平面的展开面，延长面我们要形成焦点，那 这时候的话，我们连接这个焦点和这里的顶点，我们就会得到节点了哈，你看，我们现在已知了 e、 f 这条边，对不对？我们就延长出来，延长出来，延长出来之后你会发现啊，好，我交右边这个面，你看右边这个面我也会延长，对不对？我就延伸右边这个面， 我就交右边这一个面于这一个点了，这一个点呢，就是咱们交的一个点嘛，所以此时我们再来连接咱们的 c、 e 和咱们这一个交点，就会得到跟右边这个平面的节点，就是在这的哈，这是节点了。 ok， 此时我们连接这个节点和这个顶点，我们就会得到这两条接线了，对不对？好，我们继续来做左边我们延伸延伸。哎，你会发现我跟上面这个平面的延伸面，我是不是交于这一个点呢？ 这个点就是咱们的焦点，那么我们继续去连接咱们的焦点和这一个顶点哈，我们就会得到这有一个节点，所以说我们就去连接这个节点和咱们这一个焦点哈，连起来，哎，你会发现我们又得到了这一条结线， 所以总共我们最后得到的结面是一个什么？是一个五边形的，然后我们再来看到平行线法做结面哈，这是我的 e、 f， 是 不是已知的，对不对？所以说我们现在就去寻找另外一条平行线，它是过其他的顶点的哈，那它肯定就是一个平面的， 那么此时呢，你看我肯定是只能去过咱们的 c、 e 做 e、 f 的 平行线，所以呢咱们就做出来哈，做出来，做出来是这个样子的， 然后你就会发现咱们交下面这个平面，你看我交下面这个平面的延伸出来这个平面交于这个交点，对不对？这个交点嘞，咱们再连接下面这个 f 点，是不是我就得到了跟下底面的节点，对不对？就得到这个节点， 所以说咱们就可以连接这一条线，它就是两条截线就在这了。然后同理我们上面是不是会得到跟左边平面的一个交点， 那么跟左边平面这个焦点得到了之后呢，咱们再连接一和这个焦点，此时呢我们就会得到他跟咱们的上面这个平面的节点，在这对不对？在这，然后此时呢我们就可以去连接咱们的这个点和这一点，所以最后呢我们得到的仍然是一个结面的五边形， 所以我们现在来看到我们的三个题型，第一个题型来比较简单，就是不全结面，如图，在一个棱长为二的正方体当中， m n 嘞是两个中点， 然后在图中呢画出过底面 abcd 的 点， o 这个中心点，而且与这个 amn 平行的平面，在正方体中的结面。那你想哈， 我现在要去画跟这一个平面平行的平面，那么我只需要使得两组相交的直线平行，我们两个平面就平行了，对不对？ 那你来看我们的 n m， 它肯定是平行于 b、 d 的， 为嘛嘞？因为咱们只要去连接 b、 e， d， e， 那 么我两个中点中位线，则 m n， 它是平行于 b、 d， 所以 就会有咱们的 m n， 它是平行于 b、 d 的， 所以现在我们只需要去找到另外一个平行线就可以了。找谁嘞？其实你只需要去看哈， 咱们的 a n， 它可以平行于谁？是不是可以平行于 b， 然后我在这我再去取一个中点，再取一个中点，比方说咱们的一个 g 点吧，所以我去连接了一个 b g 之后，你就会发现，哎呀我去， 我们这一条边，它是不是平行于这条边的，对不对？然后呢，我这一条边它也是平行于这一条边的，对不对？所以我们就得到了两组对边，它都是相互平行的，所以说咱们包含的这一个平面它肯定是平行的。 那么我们再接着来说，我们要过咱们这三个点的一个结面到底是什么样的嘞？你来看哈，我们就用平行线法去做哈，我们 b d 在 这， 我现在来要去找平行于 b、 d 的 线，而且呢，它是过咱们另外一个顶点的，那你直接去取另外一边的中点不就可以了吗？对吧？我再去取个 h 点，我连接起来，那么此时咱们的 h g 它是不是就平行于咱们 b d 啊？对不对？所以此时我们就得到了另外一个节点了， 所以我们再去研究 d h 的 时候，你就会发现，哎，确实我每一条截线它都是直接截这个平面的，所以你看我们最后就得到了这一个截面，它是一个四边形， 后来他就问这个结面多边形的周长我们就不用去算了，我们直接在第二道题里面带大家去算一下，那么我们来看到第二道题型哈，求结面的周长。在一个正方题当中呢，咱们的 ab 是 等于四的，咱们的 e 呢，是为一个中点，也是二二的，而咱们的 f 呢，是一个四等分点靠近第一的哈，所以这里为一，这里为三的。那 那么此时我要过 aef 去做一个结面，你们观察一下啊， aef 中咱们的 ae 和 af 它已经是结线了，结线就是说跟这个正方体表面所结的线段哈，那我们来看其他的几个结线到底在哪里嘞？哈， 我们先来用一下平行线法哈，我们先看我们要去找 a e 的 平行线，怎么找嘞？其实就是去看，呃，在咱们的上平面怎么找到这个平行线哈，你会观察发现 这里是不是一个四比二的一个关系，对不对？那么我们如果说在这找到一个点哈，假设是咱们的 m 点，那么呢它也是满足一个四比二的关系，四比二就是二比一嘛，所以这如果 m 点我们取的是中点，那么他们俩绝对就是平行的， 但是这个平行咱们要怎么去证明呢？同学们其实也非常的好证明，你们知道为什么吗？因为我不妨哈，我在上面，这，我在左边这我再去取一个中点，假设说哈，我们取的是一个什么点呢？取的是一个 h 点， 那么我们去连接一个 c、 e、 h 的 哈，我们连接了 c、 e、 h 之后呢，你会发现咱们的这一个 f 和 m 肯定是咱们的 d e h 和 d e c e， 它的终点，对不对？所以说咱们的 f、 m， 它肯定是咱们这个三角形的中位线的，所以呢，它肯定是平行于它的。而咱们这一条为什么平行于这一条嘞？因为你看我连接起来，我连接起来之后，你就会发现我这一条边是等于这条边的， 而我这一条边是等于这条边的，它绝对是平行于这条，所以同理，这里肯定是平行于这里的， 就我们就会得到了第一个平行线哈，我们得到了平行线，然后呢，我们继续来看一下，我们接下来还可以怎么去找哈，因为右边还是没找出来的， 我们继续来找平行线，哎，这里有一个多少是不是三比四的？那我们来看，我们在这一个右侧可不可以找到一个三比四的比例哈，这里为二，那么我要找到三比四的话，假设这个高度为 x， 三比四，也就是说二 以上 x， 它应该要比等于三比四，所以算出来了 x 它是等于三分之八的哈，所以呢，在这的高度应该是为三分之八。我们再去取一个点，比方说 n 点的，那我我们再连接一下 e、 n， 它， 它就是平行于咱们的 a、 f 这一条线的哈，那么它是怎么证明的呢？其实跟刚才的证明方式是一样的哈，我在这取一个点时的这一条边为三，那么我在连接这一条边哈，那么此时呢，我这一条边和这一条边是平行的，而我这一个四边形，它又是一个平行四边形， 所以此时嘞，我们就会得到这条边平行于这一条边哈，然后你又会得到这条边又是平行于这条边的，所以你就会得到这条边平行于这条边的哈，所以它是同样的证明的方式， 那我们再去连接一下， ok， 我 们现在就会得到这个结面的五边形，我们来算一下周长哈，我们先来算一下咱们的 a e 是 等于多少？是不是根号下四方加二方的？而咱们的 a f 嘞，是等于根号下，这里是四三方加四方的。而咱们的 一 n 呢，它是等于根号下二方加上三分之八的平方。而咱们 m n 呢，它是等于根号下这里，是啊，四减三分之八，也就是三分之四的 三分之四的平方，再加上一个，这里是二的二的平方的。我们再来看最后一个，咱们的 h m 呢，它是等于根号下一方加二方的，所以最后把它们加总在一块， 所以答案就出来了哈。我们再来看到第三个题型，就是求结面的面积，哎，已知一个正四棱柱，他指的是说我的上下底面都是正四边形，而且是一个直角柱，我并不是说我正四棱柱，我的高和我的长宽是相等的哈，你要理解。 然后呢，咱们的 b e 等于二， b e 等于二哈，所以这是二的，而 b b 一 是等于四分之一乘过去等于八的哈， b b 一 是等于八的，也就是说这段为六，这一整段就是为八的。 然后此时呢，四倍 a b 等于三倍 a a 一， a a 一， a a 一 在这，它是为八的，那么三倍 a a 一 就是二十四的，那么 ab 就是 等于六的哈， ab 等于六， ok， 这是六的，那么底面是一个正方形，就是六六六的。 这时候我们继续来看，则该四棱柱过，咱们的 a 一 a 一 在哪？在这，然后呢？ c 在 哪？在这，然后呢，过一这三个点，它的平面所截的了截面的面积。 那你来观察一下喽，我现在只要去做两组平行线就可以了，你看这组平行线是不是平行于后面这一个，我在这也相应的去取， 这是二，这是六，对不对？我就去取。所以说这一条和这一条它也是平行的，哎，这一条和这一条它也是平行的，所以我们直接就把这个结面给它取出来了，我们不妨拿出来看一下哈， 它不一定是一个长方形，它可能是一个平行四边形哈，所以呢，我们先画出来看一下，则此时咱们的 e、 c 是 等于多少啊？它是不是等于根号下二方加六方就等于二倍根号十的， ok， 然后呢，咱们的 a、 e、 f， 它也是一样的，二倍根号十。然后我们再来看 a、 e， 它是等于多少？六六，也就是六倍根号二的六倍根号二的。 那么此时我们要怎么去算这个平面所截得的截面面角？那么我们肯定是说，呃，把它看成是两个一模一样的三角形去计算的，但关键是咱们的 a、 e、 c 怎么去计算嘞？ a、 e、 c， 你 会发现至这个长方体的体对角线， 那么体对角形怎么算呢？根号下长宽高的平方加在一块哈，也就是为这么多。然后呢，计算出来之后，它是等于二倍根号三十四的。 ok 了，那么接下来我是不是要先在一个三角形里面，我去用一下余弦定理啊，对不对？我就可以把这个角给它算出来。 所以说，由于弦定里咱们的 cos 也角 e， 它是等于六倍根号二的平方，加上二倍根号十的平方，再减去二倍根号三十四的平方，除上二乘六倍根号二，乘上二倍根号十的解得嘞，它是等于负十分之根号五的。 现在咱们的三也 e 也已经出来了，等于根号下一减这一坨的平方的有等于十分之根号九十五的。 最后呢，咱们的这个面积是不等于二倍这个小三角形 a、 e、 e、 c 的 面积，你入二倍二分之一乘上六倍根号二，乘上二倍根号十，再乘上撒盐角一，也是十分之根号九十五的。 算出来结果非常简单，十二倍根号十九。所以只要你听完我这节课，掌握了做结面的两种方式，你就会发现，这些题你全部会做 视频的。最后我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的密思北大借题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这里去撩，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

看一下这个组合图形，它是由两个长方体组成的。我们先看一下一号长方体，长为四厘米，宽也是四厘米，高八厘米，那一号长方体的表面积等于一百六十平方厘米， 二号长方体长四厘米，宽四厘米，高四厘米，二号长方体的表面积我们求出来是一百九十二平方厘米，那实际上我们观察一下这个位置，黄色部分是重叠的两个面，那 组合图形的表面积要减掉多算的这两个面的面积，也就是两个长方体的表面积之合，再减四乘四乘二，就等于三百二十平方厘米。 再看一下体积，一号长方体的体积，长乘宽乘高等于一百二十八立方厘米，二号长方体的体积等于十乘四乘四等于一百六十立方厘米，那两部分的体积加起来，也就是这个组合图形的体积。

给我们一个由小正方体拼接成的这个大的长方体的图形，表面上全部涂了红色，问我们，哎， 拆分之后，小正方体有几个是三个面有颜色，有几个是两个面有颜色，有几个是一个面有颜色的？对于这种题型，你的孩子会做吗？这种是我们五年级下册立体图形的染色问题，也是一个常考的题型，也是稍微有一点难度的。今天山羊老师带着大家来讲清楚，要解决这种题的话，要用到分类讨论的思想， 因为不同的小正方体，它涂色的这个面数是不一样的，有些是三个有颜色，有些是两个有颜色，有些是一个有颜色，有些是零个有颜色，纯白色的这种。那到底什么样的情况下是三个有颜色，两个有颜色，一个有颜色呢？这里珊老师来告诉大家，我们先来画一个表去进行分类讨论。 好简单的先画一个表， 首先这第一类其实就是最特殊的，可以染三个面的这个小正方体，大家可以看一看，染三个面的其实是在顶点上， 你看比如说我们拿最直观的可以看到的这个顶点来看，他能染到的这个面是不是这个颜色，对吧？这三个面是不是都可以染成红色？ 一个面，两个面，三个面是不都可以染成红色？我们再来看一下其他的这个顶点上的小正方体，一二底下还有一个啊，是不是一啊？后边还有一个，下面是不是还有一个一二三？所以顶点上的这个小正方体是非常特殊的，它可以染得的这个染色的面数呢？是三个面 下来除开顶点之外的话，还有很特殊的小正方体，是我们棱长上的。 我们来看一看，除开顶点之外棱长的，比如说拿这里的这四个为例，一定要把顶点除开外啊。好，你看这里是不是染一个颜色，这里是不是染一个颜色，对吧？两个都是红色，一二一二一二。所以棱上的除开顶点之外的染色的这个面数，实际上是两个面。 此外还有除开顶点除开棱，我们可以看到的其实就是比如说它各个面表面的这一层就是其余表面上的。 这里表面上呢，一定要把我们的顶点和棱这些全部排除在外啊，因为他们是特殊的三个面和两个面，表面上呢，我们自己我拿蓝笔来画一下，你看是不是他只能涂一个面，一个面，一个面一个面，所以表面上呢，他这个染色的面数呢，实际上就是一个面。 最后呢，也就是最特殊的藏在里面的，如果你的这个立方体图形足够的大，我们剥完洋葱之后，留在里面最星星的那一部分，实际上就是什么颜色都没有的。你看我们上面的顶点 八个还有棱再加表面全部排除在外了之后，是不是像剥洋葱一样把外表层全部剥完了，对吧？那里面到底有多少个呢？ 实际上就是一个啊，它就相当于全部被外层的这个洋葱保护了，我们涂色只能涂在洋葱的外层的这个皮上，所以里面它是没有染色的这个面数的，它是零个面， 也就是我们内部的小正方体。这里需要注意啊，只有比较大的立体图形，它才会有内部零个面的，如果你的这个立方体它本身就很小，你把外面的这一层上下左右前后全部剥掉之后，这层羊皮它里面没有零个面的，所以大号的这个立体图形才会有，具体情况我们具体分析。 好，我们来看一下这道题，带着大家来做一下。把一个长为六厘米，宽为四厘米，高为五厘米的长方体木块，表面全部涂上红色，然后切成棱长为一厘米的这个小正方体的木块。 我们切开之后，有多少个小正方体，分别为三个面，两个面，一个面，还有多少没有染上红色就是纯白色的，其实就是我们分类讨论这个表格，那我们把这个表格给它补充一下，我们在这个表格上面给它进行计数，大家这样看起来会更清晰一点。 好，我们依旧分类讨论。先看顶点，对于一个立体图形，如果是长方体或正方体的话，它的顶点实际上就是八个啊，这个我们大家都知道的，对吧？ 这八个顶点还有一个藏在最里面，他们呢一共是有三个免费染色的，下来的话就是我们棱上的，那棱上的我们应该分成三类去看，分别是长、宽和高，大家可以看一下。首先对于长而言， 左边拿去一个顶点上的，右边拿去一个顶点上的，这里是不是就只剩了四块啊？这个四实际上就是他的啊，长六减去左边的一和右边的一，所以他就只剩了四块。那 从宽上来看，他是不是也被拿去了两个，这里只剩下了一个二，对吧？从高上来看，他是不是上面拿去一个顶点，下面拿去一个顶点的，这里只剩了三，也就是五减二等于三，所以长上是有四块， 宽上是有四块，高上是有四块。但是我们要注知道长方体它有几条长，几条宽，几条高呀？是不是有四条呀？所以实际上借助我们的乘法分配律，就是四加二加三， 因为他们有四条长，四条宽、四条高，所以再乘四，答案等于三十六。好，这所以棱上的两个面有颜色的，那就是三十六个正方体的数量。那表面上只有一个面有颜色的呢？我们来看，这里也要进行分类哈， 就是比如说我们先看前后，前后来看，我们要把棱和顶点上的全部去除掉，是不是就只剩这里了， 对不对？这里来数一下，它实际上是长为，它的横向是有四个，长为四，竖向是有三个，宽为三，但因为我们的小正方体的这个棱长都是一，所以这里的这个长度实际上也可以转化成我们的小正方体横向和竖向的这个数量。所以前后来看的话，实际上是四乘三，但是 这只是前面，我们还有个后面，所以要再乘二，所以还有左右。我们拿能看到的右面来看啊，左面看不到， 右面是不是在这啊？好，所以它是不是一共有二乘三块啊？左右一共两个面，所以还要再乘二。最后是上下，我们画一下上面的。 好，这里不太好画。嗯，我们来看一下，是不是四乘二啊？ 还要注意上下一共两个面，所以还要再乘二，所以我们面上的也数清楚了，需要把前后左右上下的全部加合在一起，这里呢，四乘二、四乘三乘二是二十四，二乘三乘二的话是十二，四乘二乘二的话是十六，加在一起的话实际上一共是五十六个，我就写在右侧 最后的这个内部怎么来算呢？实际上就是我们要去算一下一共有多少个小正方体，然后把我们来看一看，一共有多少个小正方体呢？我们来数一数。首先 先数底下这一层的，他横向来说是六个啊，然后我们的纵向上来说的话是有四个，所以一层的话是有四乘六，等于二十四个。那一共多少层呢？是不是和我们的高有关啊？一共是五层，所以是二十四，再乘五，一共就等于有一百二十个。 好，大家可以自己去算啊，这个数起来还是比较简单的，那也就是要用我们的一百，要用我们的一百二十减去上面的所有情况，也就是一百二十减八，减三十六，减五十二，最终呢是剩余，应该是剩了二十四个，我记得是二十四个啊， 好，所以来总结一下这道题。这道题呢，本质的方法是在用分类讨论的思想，把复杂的情况通过分类可以分分类成四类，比较单纯的情况再进行分别的技术再相加。像我们顶点的话，它染色的面数就是三个面，这些大家需要需要去进行记忆的哈，常考哈棱上的呢，是由两个面染色， 表面上的呢是由一个面染色，内部的呢是我们把总数算完了之后，把上面的三种情况全部剪掉，那就是羊剥洋葱里面最内心的这个情况，他是一个面都没有染色的，最后算下来是二十四个，你听懂了吗？好，听懂的话大家给我点赞、收藏或者转发一下，谢谢大家。这里是山羊老师。

好，今天我们来说一道五年级下册数学的易错题，正方体的切拼问题，题型，三，好，在上一节课当中，我们已经说了正方体的切拼问题对表面基造成的影响，那这一节课我们要说的是正方体的切拼问题对体积的影响。我们先来看题，把一根长三米的长方体 锯成三段以后，表面积增加了十六平方分米。好，那首先呢， 我们还是得回顾一下切拼问题，它的方法是断次面， 什么意思呢？好，首先我通过题干找到了三段，也就说把这根木料锯成了三段，那就相当于是切了三减一等于两次， 那切了两次，自然表面积就会增多。为什么会增多？因为切了两次，他会多了二乘二等于四个面。 好，那因为多的这四个面一共多了多少啊？一共多了十六平方分米，所以我们就知道了一个面是多多少，是不是十六除以四等于四平方分米。 好，那么在这幅图当中，也就相当于原来的这个长方体的一个侧面，它的面积是四平方分米。 好，那我现在把原来的这个长方体给它画出来，那也就说它的侧面是四平方分米，而它的长是三米。 我现在要求原来的这个长方体的体积是多少。好，那我能不能把这个打横着放的这个长方给它转个位置，变成打竖放。 那么现在的这个四平方分米是不是相当于长方体的底面积，而这个三是不是相当于它的高？ 所以呢，现在我们可以用体积等于底面积乘以高的公式求出原来的长方体的体积，但是呢，我们可以发现这个底面积它的单位是平方分米，而高的单位是米，所以单位不一致，我们先要画单位。 好，那因为呢，我们最后求的答案是立方米，所以我们可以先把四平方分米转化为平方米， 也就等于零点零四平方米。好，那现在我就可以用零点零四乘以三，得出最终的答案就是零点一二 立方米。好，那今天我们就说到这里，颜值高的人都会点赞，你看着办吧。

看完秒懂切割问题，第一种平行于左右面切，那相当于增加了左右两个面。第二种平行于上下面切， 那相当于增加了上下两个面。第三种平行于前后面切， 那相当于增加了前后两个面切个问题我们一定要注意，求增加了几个面，首先要明确切了几刀，那一刀对应两面。

十一种展开图看完就会一四一行中间四个一连串，两边各一随便放一三二行二三紧连错一个，三一相连随便放二二二行两两相连个挪一 三三行三个两排一对齐排除口诀一线不过四，没有凹和填。关注我数学越学越轻松。

数学旋转平移对称手工左右平移，上下平移旋转摩天轮旋转太阳轴对称城堡和会动的蝴蝶 打印两张线稿，涂上颜色，打印两张彩图，沿黑线裁剪。摩天轮中间白色用刻刀镂空，两条机关纸沿黑线对折， 变成青蛙腿用刻刀镂空细长条 旋转必须用到两个两角钉子，城堡放右边，太阳鼻子穿个洞，用两角钉子穿过去，摩天轮穿个洞，用两角钉子穿过去，再穿过底纸固定，摆上可爱的小动物。拿出青蛙腿折一折，穿过孔， 青蛙腿打开，贴上双面胶就可以贴上车子啦！同样做法，再看一遍，不会就多看几遍， 蝴蝶折一折变立体，我的作品就完成啦！

来看这个容积里面关于四角减去正方形的体，把一个长五十厘米，宽三十厘米的铁皮四角各减去一个边长是五厘米的正方形，如图一所示。然后制成了这个长方体的水槽，问这个水槽能盛多少升水？ 首先来分析，本来它总长度是五十厘米，这边减掉了一个五厘米，这时一共长剩了五十，减五乘二等于四十厘米， 也就这里剩了四十，那同样的宽，这一边本来是三十，这边减掉了五，这边也减掉了五，宽就剩了三十，减五乘二等于二十厘米，这时宽就是二十厘米，那我们把它挪到这个 长方形水槽里面，长是四十厘米，宽是二十厘米。再来分析高也就是这一部分，我们把它需要横横着往上接过来，四边都接过来的情况下，他就成图二了。 那接过来的话，这条高也就是我们剪掉的这个正方形的边长就是五厘米，那这个水槽长就是四十，宽就是二十，高就是五，问能乘多少升水，也就是问它的容积呢？ 容积的计算方法和体积是一样的，长乘宽乘高，也就是四十乘二十乘五，结果等于 四千立方厘米。那我们再来分析，人家问的是多少升，那升对应的体积单位是立方分米，那所以四千我们还需要转化，等于四立方分米，也就等于四升。到这里这个题才算完整的解决了。

教会你五年级数学求立体图形的表面积。我们观察图发现这是一个长方体，长方体上面放了一个正方体，让我们求长方体和正方体他们的表面积。注意，正方体是放在长方体上面的。 那有同学说，我直接用长方体的表面积加上正方体的表面积，不就完了吗？那样做是不对的。老师直接说结论， 其实这道题就是让我们求整个长方体的表面积，加上上面正方体四个面的面积，就是整个立体图形的表面积。为什么？首先我们看正方体是放在长方体上面的， 那正方体放在长方体上面是不是盖住了长方体的一部分？对，盖住了长方体的一个小面，那盖住的这个面是不是就是正方体上面这个面的面积？ 那我把正方体上面这个面补到下面，是不是就是整个长方体的表面积了？ 那既然知道了整个长方体的表面积，那正方体应该求前后左右这四个面的面积，因为我把正方体上面这个面已经补到了下面。 好，我们来求长方体的表面积。怎么求？直接用长乘宽加长、乘高、加宽乘高，括起来乘二。好，老师把式子列下来，括号里的二十乘十五加 方、乘高，加宽乘高，括起来乘二。我们来算一下，等于 括号里的三百加二百加一百五十，括起来乘二。最后结果是一千三百平方厘米。好，这是长方体的表面积。那下一步我们来求正方体四个面的面积，便是为四乘四乘四，结果等于六十四平方厘米。 好，这是正方体四个面的面积，两个面积相加就是整个立体图形的面积，结果是一千三百 加六十四，最后结果等于一千三百六十四平方厘米。好，同学们，关于求这种立体图形的表面积，你学会了吗？记得给孙老师点赞加关注。