八下数学华师大版函数思维导图

我们知道一次函数是 y 等于 k， x 加 b， 那 么 k 和 b 有 什么意义？在图像上代表着什么？我们通过函数图像来进行分析， 右边这个图像呢，是我们上次画的啊，红色的线呢，是表示 y 等于负二， x 减二，蓝色的线是 y 等于 x 加一。我们先看 b 的 几个意义， 这个函数它的 b 呢，是等于负二，那么对应到图像来是发现没有是与 y 轴的交点， 那我们再看下面这个函数， b 等于一对过来函数图像啊，与 y 轴的交点是一，所以函数解析式中的 b 呢，就表示的是与 y 轴的交点。那我们再来看 k， 这个函数的 k 呢，是等于负二，它的图像是往下走的， 这个函数它的 k 呢，是等于一图像是往上走的，所以 k 它是决定函数图像的走向。 k 取正数往上走， k 取负数往下走。依次函数 y 等于 k， x 加 b， k 呢是决定函数图像的走向。 b 呢，是与 y 轴的交点。记住了吗？下个视频呢，我们就开始讲题了啊，如何求函数的解析式？

八下数学最难的思维导图，全部吃透！逆袭班级前三！第十六张二次根式， 十七张勾股定律，十八张平行四边形， 十九张一次函数，二十张数据的分析完整版。

新版巴萨华仕的大宝们，让我们来看一下安杜老师给大家更到哪里了啊？咱们现在已经更到了咱们函数这章啊，当然函数这章也是很多大宝就是学起来就是发蒙的啊，有一家长跟我说了，说他家孩子这个自己学已经完全看不懂了，就需要安杜老师这种讲的细一点的，这个精讲，对吧？ 确实啊，安德老师讲课的话确实是蛮细致的，然后我们除了讲这个课本上内容之外，我们还会有一点点拓展啊，再比如说书上没有的，安德老师都会给大家去记一下这个拓展，尤其大家把我拓展的这部分啊，多记一记 啊。然后呢，这两天我也是生病了啊，但是也没有太耽误给大家跟课，然后我们再讲的话，就是往下讲这个伊斯函数这里啊，这个假期呢，安德老师还是会带着大家继续来一起学习。

这是一道依次函数结合平面作为细的综合题型啊。首先来理解定义，他说当一个点的横轴坐标均为整数的时候，就称为整点，那么直线 t， 直线 r 与 y 周围成的这个三角形的区域，注意不含边界点啊，称为这个区域 tr y g。 那么根据一个材料解决下列问题。第一个在平面直角系中，已知直线 t 呢，是它与 y 轴交于 a 点，那 a 点的坐标我们是可以求出来的，这个地方注意是减五啊。以这个题目为准，这个直线它也画出来了，那么 a 点的坐标就是零，逗号负，是不是啊？这是我们的第一个。第二个直线 r 呢， 与 y 轴交于 b 点，那 b 点的坐标就是零的号，一对不对就零的号， b 就 零的号一啊，那么两直线交于 c 点，他问这个区域中有几个整点，那我们首先把 c 点的坐标求出来， c 点是两条直线的什么交点？是不是？所以可以把这两根直线的减式进行，什么点力对不对？ 那就令他们的 y 相等，那就会等到二， x 加减五，对吧？就等于了负 x 加一啊， 那这个时候把 x 写出来是等于二的，那 x 写出来之后，我们可以随便带到一个减式里面去，你比如说带到这里面，那就 y 等于负二加一， y 就 等于负一，所以 c 点坐标就是二等号负一啊。 那么 c 点坐标确定好了之后，我们要去算整点，其实很简单，我们就可以以，因为我们的这个区域就是这个 abc， 对 不对啊？那我们就可以首先看 x 等于零的时候， 那么这里是没有整点的，因为它说的不含边界， x 零的时候都是边界，是不是？那么再看 x 等于一的时候 啊？我们的这一个点，它的坐标是多少呢？带进去 x 等于一的时候是负一加一，那这个点的坐标是零，那就说此时刚好这个点呢？它与这个直线啊，与我们 x 零的交点，就是一到零这个点，对不对？ 虽然说一到二零，他满足整点的要求，但是他在边界上，是不是？所以这个点我们就不放到里面了啊？他就不属于整，不属于这个区域里面的这个什么呢？嗯， 整点对吧？他虽然是个整点，但是不属于这个区域内啊。那么再来看，那紧接着一逗号负一， 一多号负二，这个是可以的，为什么呢？你看还有一个坐标啊，是 y 点二， x 减五的时候，当 x 等于一的时候，这个点的坐标是多少呢？二减五，那就是负三， 那么他们的边界一个是一多号里，一个是一多号负三，那这个区内就会有两个点，一个是一多号负一，还有一个是一多号负二，是不是啊？就是这两个点是 ok 的， 那等于二的时候就不行，因为二的时候，这个点的坐标就是二道号负一，刚好是交点在边界上，是不是？所以它这个区内就有两个整点啊？那这个面积就很好算了，是不是 abc 的 面积，那可以把 ab 看成是底底就是六高呢？就是这个 c 点到这个 x 的 距离是二到 y 的 距离啊，是二，对不对？所以二分之一乘六乘二，它的结果就是六，这是我们的第一问。 好，接下来我们看第二问，第二问，他是什么过一中纵坐标最大的整点？一中的纵坐标最大的那个整点是多少呢？那里一道号负一吗？明明只有两个，他最大的就是负一了，对不对？所以这个整点一道号负一啊，他过了一道号负一， 他说与这个区内 a、 b、 b、 c 分 别交于 m 和 n， 使得这个三角形，我们的面积是这个区的三分之一的时候，我们知道整个这个区的面积标出来是六，那所以要使得它的面积上的三分之一，那就是二，对不对？ 要求直线表达式。那首先老师还是把这个图画出来啊， x 轴、 y 轴都在这里有，对吧？ 好，完了之后呢， b 点的坐标是零代号一， a 点的坐标是零代号负五，然后呢？ c 点这个是二代号负一啊，然后这个直线他还说了经过了什么呢？一代号负一，这个点老师把它画出来，这个点是一代号零，那一代号负一就是这个点，对不对？经过它， 然后这个直线的解式我可以设一下 y 点， k 四加 b， 你 这样经过了这个点，我就可以先带进去，可不可以？我就可以。虽然说求不出解式，但是我可以求出 k b 的 关系，把这个直线解式进行一个化简，可以吧？那我们就得到负一，是不是等于这个 k 加 b， 是 不是？ 所以 b 我 们就可以得到它是等于负一减 k 的， 那这个直线解式我就可以化简成 y 等于 k， x， 对 不对？ b 的 话就是减 k 减一啊，我就这样子写好，可以吧？ 好，那我们再结合图形去分析啊。他首先经过的这个点的坐标是一逗号负一，老师随便画一根直线， ok， 那 画这个直线时候，他说的是与 ab 交于 m， 那 这个点就是我们的 m 点，与 bc 交于 n， 那 这个点就是我们要找的 n 点，是不是？那此时我们要去求这个三角形 o m n， 老师画出来 o 点是圆点，在这里 o m n， 那 对应的就是这个点， 对的三角形就是个黄色的三角形，是不是啊？我们要求的是这个三角形 o m n 的 面积， 那这个三角形的面积我们看成是 o m 为底，可不可以高的话就是这个 n 到这个什么呢？ y 轴的距离，也对，它的横坐标的绝对值，是不是？那等于二分之一乘以 o m 为底啊？高的话，那就是 n 点的什么呢？ 横坐标，是不是啊？它到 y 轴的距离就是横坐标的绝对值，那我们这个地方那就要处理 m 的 坐标，还有这个什么 n 的 坐标，是不是？ 其实 m 的 坐标很好处理， m 的 坐标就是与 y 轴的交点，那就到 x 零的时候，那就这头为零，我的 y 的 值就是负 k 减一，是不是？ 那接下来还有 n 的 坐标， n 的 坐标怎么处理呢？ n 的 坐标本就是这根直线， y 等于 k， x 减 k 减一，与我们的什么？他说的是与这个 b c 这根直线，对不对？这个直线的解析题目中已经告诉你了，是 y 等于负 x 减一， 它们的什么交点？ f 加一啊的交点，是不是？那么求 n 点的坐标，就可以把我们前面的 y 等于 k， x 减 k 减一的这根直线，以及我们确定的这个 y 等于负 x 加一的这根直线又进行一次什么点力，是不是 啊？那点力起来，那我们就会得到什么呢？令它们相等的 k x 减 k 减一，对吧？就等于这里的负 x 加一，所以把这个 x 是 不是可以算出来， 那就会得到什么？挪过来，那 k x 加 x 是 不是就等于 k 加二？是不是？所以得到 k 加一，括号 x 等于 k 加二，那什么 x 就 等于多少呢？ k 加二除一个 k 加一， 那其实这个 n 的 坐标，横坐标我们就求出来了，我们也只需要它的横坐标啊，那就等于什么？这一坨我们就可以写成二分之一乘以 o m， 那 m 的 坐标在这里是负 k 减一，是不是？那我们就可以写成那 o m 的 长度，这段长度 那就是 o m， 那 是他们的这段距离，其实就是这个 m 的 重坐标与这个零的差的绝对值，是不是？那就写成负 k 减一的绝对值，再乘以 n 点的横坐标，它是 k 加一分之 k 加二的绝对值，同意吧？是这样算的， 他的结块等于几啊？他的面积等于二，是不是在这里啊？等于那个六的三分之一，那此时我们就可以把这个方程去减一下这个地方，你看我 这个地方是负 k 减一，我是不是可以写成 k 加一的绝对值？因为他两个互相反数，相反的绝对值是一样的，是不是再乘一个 k 加一分之， k 加二的绝对值就等于二，是不是？好，那此时我们一样的， 这个时候我们可以把绝对值里面的数乘在一起，那就写成 k 加一分之， k 加二，再乘一个 k 加一，对吧，它绝对值啊，那这个时候发现它们是可以约掉的，还是等于二， 所以此时我们就会得到什么呢？二分之一倍的 k 加二的绝对值就等于二，所以 k 加的绝对值就等于几？等于四，是不是？那 k 加的绝对值是什么？ k 加要么等于四， k 加要么等于多少呢？负四对不对？这里算出来 k 就 等于二，这个算出来 k 等于多少？负六。 那这个题我们算出来两个单，一个是 k 等于负六，是否都行呢？ k 等于二肯定没问题，从左至右上升，它是 k 等于负六，是不是？但是 k 等于负六， 他要经过这个点，图像重复就是下降的，可能 k 等于负一的时候，就跟这个 ab 怎么样呢？没有交点了，题目就是要与定域 ab 这条线段，也就他的这条边要有交点，是不是我们也可以通过图去画一画，去感受一下啊？ 你看，如果我们这个 k 等于负六的话，那这个减式就是 y 等于负六， x 减去负六就是加六，加六减一，那就是加五， 这个比例是零到一的，你的焦点变成了零到几，零到五，但是这样子的话，他有 a、 b 还有焦点吗？就没有焦点了。所以这个时候这个负六就要干嘛呢？就要舍去掉啊，这个地方要注意一下，这是我们的第二问啊，两个答案。好，接下来我们看第三问。 这个题目的说的是 y 等于二， x 减五，对吧？这根直线它是不动的，与这个 y 等于负 x 加 n， y 等于负 x 加 n， 可以 看的是这个 y 等于负 x 加一。这根直线发生一个什么呢？上下的一个平移，是不是？我们现在是把这个直线可以向上也可以向下平移，对不对？好， 他说完全的区域恰好三个整点，请直接写出 n 的 取得范围，就让你直接写出来啊。但是这里要考虑到， 因为这里加它既可以发生一个向上，也可以发生一个什么呢？向下的平，所以我可能要分类讨论，一个是向上的情况，一个是向下的情况，那么首先来看它向上平是什么情况呢？ 目前来说这一个区呢，我们根据第一问的提示，它有几个整点，是不是有两个整点，这两个整点就是 x 等于一的时候，一个是一的号多少呢？负二， 因为这一根直线你是确定好了的，他是不能动的这个形式，这个区内是一到负三，如果我想要多整点的话，那是不是这个直线我就要发生一个向上的平移， 然后向下也平移也可以，向平的情况会复杂一点点啊，因为这个时候的区内就开始变到这个地方来了，结果待会讲， 那我发现一个向上的平移的时候，你看看我到这里来，只要稍微向上平一点点就可以了，为什么呢？因为我刚刚有一个整点，这两个点整点放在里面之后还一个整点，其实你再多一个的话，就变成了一到号零，是不是元素的交点，这个时候刚好就三个整点，所以你下个整点肯定是它。 那你刚刚为什么这个整点一到零取不到？是因为我刚好落在了这个边界上，所以只要稍微上上平移一点点，那我都能够把这个边界上这个一到零放到这个区里面了，是不是？所以原来是 y 等于负 x 加 一，现在变成 y 等于负 x 加 n， 你 只要这个 n 比一大一点点都 ok， 就 包括了谁呢？包括了一多号零。 但是这个题目他又说了，你只能是三个整点，你就是整点不能再多了，你还能向上无限去平移吗？是不可能的，你向上无限去平移的话，那这个是你的整点就怎么样变多了是不是？那你这个直线就怎么样就没有意义了，对不对？你只能保证几个整点，三个整点是不是？ 那平移到哪里呢？平到这里的时候，如果这个时候我再把一逗号一这个点也放进来，数字就变成四个整点了。所以当我这根直线 y 等于负 x 加 n， 恰好经过这个一逗号一就经过这个整点的时候，让这个一逗号一在这个边界上的时候， 我这个数字是临界状态，对不对？所以把这个一道一往这里面带就行了。带进去之后，那么对 n 值是多少呢？那就一等于负一加 n， 算出 n 的 值是等于二的， 对不对？所以 n 的 值还必须要怎么样？小于二能不能等于二呀？等于二就是刚好经过它的时候，是不是刚好经过它的时候，这个一的话一竖在了边界上， 再跟你上就不包，不能就算到里面，所以这个时候还是这三个整点，所以等于二的时候也可以。那把这两个综合在一起， n 就 应该是大于一，小于等于二啊？这个有点复杂，他说他是直接写出好这第一种情况， 第二种情况 n 向上平移。搞定了，接下来我们要开始把这个直线往哪里平移，往下平移，往下平移的时候，这个时候这个区它是在不断的缩小的，那肯定整点在不断的干嘛？ 变少，对不对？到到到这里可能就没有了，是不是？但是我继续向下平移，你看看继续向下平移的时候啊，此时我围成的这个区域就发生了变化，就不再是刚刚那一部分了，而是这一部分呢？我围成的区域，是不是啊？ 好，那这一部分我要包括几个整点，是不是三个整点？我把直线写下，这个整点是 y 等于负 x 加 n， 那 么这个是 y 等于二 x 减五。 那首先这个边界上的这里取不到，那此时我们要取到的整点就肯定从原来的 x 点一，现在变成 x 点多少呢？负一，是不是？那我们找一下临界点啊，如果是 x 点负一的时候，这个点就是负一到多少呢？二减负，二减五， 对吧？这里等于负一的时候，那就是二乘负一减五，那是负七，对不对？那么此时负一道号负七，它是在这个边界上，如果我们要找三个整点的话，那就是负一道号多少负八， 是不是？老师继续向下移啊？把这个范围多写一点点，那就还有负一道号多少负九，那还有一个，那就是负一道号多少呢？ 负十，对不对？那根据刚刚的经验，我们要经过那个连接状态的话，那负一到负十就是一个第一个连接状态，是不是就可以把负一到负十往这个里面带， 那么就把负一到负十往里面带，是不是？那就得到负十是等于一加 n 的， 所以说 n 就 等于多少负十一，明白吧？ 好，那这个点能不能取到要注意，此时这个负十一他是取不到的，因为如果取到负十一的话，那这个负一到负十就在这个边界内，对不对？那他这个时候就只有两个整点了， 所以这个地方 n 到负十一，这个是不可取，就取不到，对不对？好，那我接着再往下平移还一个，你就说呢，就是我这个点恰好经过的是负一到多少负十一的时候， 对不对？那这个时候就包括了这三个整点啊？同时你再往下再走一点点的话，就包括了四个整点了，是不是？所以这么点这个也往里面带，带得到的是负十一等于负的负一呢？就是一加 n 所算的 n 等于负十二，那这个他可不可取？他是可取的， 为啥呀？因为我等于十二的时候，这个一的话，负一的话负十一，他这个整点就在这个边界上， 那就不包括他，那我这个时候还是有三个整点是否要求的，是不是？所以此时我的 n 的 这一个范围就应该是大于等于负十二，小于负十一。所以综上所述就是这两个答案啊。那这个题目一定要竖形结合去分析，它才会比较简单啊。

哈喽，同学们好，我们这周的寒假复习内容是我们的一次函数的图像，也大家最近在学的问题啊，对不对？那一定要明白，一个一次函数一般是长什么样？ y 等于 k， x 加 b， 然后 k 是 不能等于零的，并且呢，当 b 等于零的时候，它就有个特殊的名字，叫做我们的一次函数，对不对？这些基本概念要清楚。 好，那么看一下我们正比例函数图像，一个非常简单的，它是没有 b 的， 没有 b 代表什么？代表这个函数是过圆点的，对不对？那因此既然没有 b， 我 们说函数图像只关注两个东西，一个是谁？ 一个是我们的 k， 另一个呢？另一个就是我们的 b， 对 不对？那因此我们可以知道， k 大 二零的话，整个是递增的， k 小 二零呢？整个是递减的，对不对？那因此我们来看一下，这么一个函数图像就两个，一个 k 大 二零往上， k 小 二零往下就完成了。那我们来看一下下面这个， 那当他 b 存在的时候呢？整个函数图像是不是又不一样了，对不对？这时候就是我们的一次函数了，那么以递增为例子的话， k 大 于零，这时候如果 b 也大于零，那我们说递增交于正半周，所以这时候函数图像应该是长这样的， 那 b 小 于零呢？递增交于负半周，所以这时候就这张图过我们的一三四象限， b 等于零呢，就是我们的， 我们的正比例函数，对不对？就过我们的一三项线就完成了。那我们来看几道题，来熟悉一下来。首先来看这个 y 等于 x， 这是不是一个 这么一点函数，对不对？这么一点函数一定过什么点？一定是过圆点的，所以 b 和 d 马上排除掉已经不行了。那 a 和 c 呢？我们只关注它的 k 这题 k 是 等于一的，所以是不是递增？递增的话是会选择 a 选项，对不对？ 很简单的，那往下来看一下我们的变式一，问你在不在图像上怎么办？带点呗，对不对？你把这个点带进去，能符合数就可以了，对吧？那包括我们的变式也是一样的，它现在还是一个正比例函数，并且呢， k 值是五分之四，是大于零的，所以是递增。过圆点的一个函数，只能选择 a 选项， 对吧？那么正，我们的一次函数和正比例差不多，只是多一个对于 b 的 判断而已。那 b 怎么判断呢？比如说现在， 比如说看到我们的这个地铁二考点二，这个他现在给了两个函数图像，然后说在同一坐标系中值可能长什么样，那我们是不是可以先通过一次函数来判断 m n 的 取值，再去判断证明到底合不合适，对不对？比如说这个 a 选项，这个 a 选项我们可以知道它递增，所以我们的 m 是 大于零的，那因此我们可以知道 m n 也要干嘛？ m n 是 不是也要大于零，对不对？但大于零的话，你是递减吗？ 很明显不是，所以 a 是 错误的，那包括 b 也是一样的，你依次来数是递减的，这时候 m 小 于零，教育正半轴，所以 n 大 于零，这时候你可以知道 m n 是 小于零的，对不对？小于零，所以应该要递减，所以 b 是 错误的， 然后包括 c 这个一次函数，一次函数，你看，我们可以发现，递减随 m 小 为零，交汇正半轴，所以 n 会大于零，这时候我们的 m n 应该是小为零的，你会发现是刚好是递减随 c， 可以 吗？ c 是 可以的，所以这道题选择我们的 c 选项， 那往下来看到我们的便是一便是一，还是我们的图像共存问题，对不对？那我们还是先定一，再去观察另一条，对这个 y 一 来说，你是一个递增函数，所以 a 大 于零，交于我们的负半轴，所以 b 是 小于零的。 那我们反过来看， y 二 y 二是一个减函数，所以 b 是 小于零，那你觉得一样吗？不一样对不对？所以这个 a 选项是错误的。 那对于 b 这个来说的话，递增随 a 大 于零，交于正半轴， b 也大于零， y 二呢？递减，所以我们的 b 是 小于零的， 交于我们的正半轴，随 a 是 大于零的，一样吗？还是不一样？所以这个也不行，对不对？所以我们的函数共存问题，其实就是定义条，你通过 y 确定 a 和 b 的 曲值，再去，我们再去判断我们 y 二的曲值就可以了。那刚好 对于 c 这个选项来说，递增，所以我们的 a 是 大于零的，交于我们的负半轴，所以 b 是 小于零的。对于 y 二来说，递减，所以 b 小 于零，交于正半轴，所以 a 会大于零，对不对？那这一致吗？这刚好是一致的，所以 c 这个选项是正确的， 我们的函数共存就这样子的，那包括这考点三也是我们图像问题另一个考法，我们可以知道 k 是 负二负三分之二，是不是递减，对不对？递减交于我们的负半周，所以长什么样？是不是只能长这样？因此过第一项线，过我们的二、三、四项线，对不对？所以过我们的二、三、四项线， 包括我们的变式一也是一样的，五 x 减六，我们可以这样递增，并且呢交于我们的负半轴，因为是负六吗？对不对？所以递增交于负半轴应该长这样，因此不过第几应该是不过第二象限， 那我们来看我们的变式二，变式二经过二、三、四象限，对不对？二三四象限，那我们可以看一下二三、四象限的一个图像应该是长 这个样子的，所以应该是递减。递减的话 k 小 于零，并且呢交于正半轴，所以负 b 是 大于零的，负 b 大 于零的话， b 就是 小于零的，那因此我们说 反过来以后，递减并且交于我们的负半轴，所以整个函数图像应该还是长这样的，所以不经过第一项线，应该是不经过我们的第一项线的，对不对？这就是。

八、下数学求一次函数的解析式，这是重点考点，每个人都得会求一次函数解析式一般有两种类型，今天就先讲一种已知两点求一次函数的解析式。我们看题， 已知一次函数的图像经过点 a 一 三和点 b 二五，求这个一次函数的解析式。解这种题一般分四步走，设代解写设是指先设这个一次函数的解析式为 k x 加 b 代是将点 a 和点 b 的 坐标带到这个函数中来，得到一个方程组。 三、解的意思是解这个方程组，我们解一下，现在我们就已经把 k 和 b 给求出来了，那么函数的解析式，它就是等于二 x 加一。 再总结一下解题步骤，分四步，一设解析式。二，代入已知点三解方程组。四、写出解析式，你学会了吗？

同学们，我们今天继续来讲八年级下册的内容，今天来讲反比例函数， 我们来看一个例题，已知 y 等于 x 分 之 m 加三加二， m 的 平方加五， m 减三， 它是反比例函数，求 m 的 值，并写出函数的表达式，那么它是反比例函数的话，这后面这一串二 m 的 平方加五， m 减三，肯定是要等于零的。 来，我们来解一下，二 m 的 平方加五， m 减三等于零， 它等于零的话，我们十字交叉成，呃，应该是二一三负一，二三得六减一等于五，所以这个式子就可以写成二， m 减一乘一个 m 加三等于零， 那我们就可以解出来， m 等于二分之一， m 等于负三两个值，那么我们把它代入进去的话，就会发现，当 m 等于二分之一时， y 等于二分之一加三比上 x， y 就 等于 二分之七，二， x 分 之七就等于这个样子。当 m 等于负三十， y 等于负三加三， x， 那 上面是零了，所以这种情况就被舍去了。所以我们最终函数的表达式应该是， y 等于二， x 分 之七， m 的 话等于二分之一。同学们，你们学会了吗？

同学们好，欢迎来到八下及中考依次函数小综合专题视频，本期内容分为上下两部分，大家可以按需观看。 大家好，依次函数是八年级下册的核心考点，也是北京中考数学的必考题型。今天我们聚焦小函数这道综合题，疏理解析式、图像性质、方程不等式，结合 实际应用等高频考法，用典型例题带你吃透思路，稳拿分数。那么在做一次函数小函数这道综合题之前呢，我们要清楚啊，那么这一类题型它主要到底是考察我们什么？那么实际上它就是考察我们一次函数图像的核心性质。 那么在此之前啊，我们就要先重点梳理一次有关于一次函数图像的核心性质的相关知识点， 尤其是 k 和 b 对 图像的影响。好，首先，我们明确，依次函数的基本表达是 y 等于 k， x 加 b， 其中 kb 为常数且 k 不 为零， 它的图像是一条直线，而且这条直线的位置走向完全由 k 和 b 两个参数来决定，二者分工明确，我们逐一进行一下拆解啊！好，首先我们来看 k 的 作用， k 决定了直线的走向和倾斜程度，也就是我们常说的斜率。第一呢，当 k 大 于零时， 直线从左到右呈上升趋势，此时呢， y 随 x 的 增大而增大。 而当 k 小 于零时，直线从左到右呈下降趋势，此时 y 随 x 增大而减小。第二呢， k 的 绝对值越大，直线越陡峭，函数图像越靠近 y 轴。而 k 的 绝对值越小，直线越平缓，函数图像越靠近 x 轴。这一点在中考图像辨析题中也是经常考察的， 下面我们再看 b 的 作用， b 决定了直线与 y 轴的交点位置，我们把这个交点叫做零 b。 当 b 大 于零时，直线与 y 轴交于正半轴，也就是 x 轴的上方。而当 b 等于零时呢，直线经过圆点，此时一次函数就变成了正比例，函数 y 等于 k x， 当 b 小 于零时， 直线与 y 轴交于负半轴，也就是 x 轴的下方。这里我们要注意， k 和 b 共同决定直线经过的象限，比如 当 k 大 于零，且 b 也大于零时，直线经过一、二、三象限，也就是中考常考的基础判断。所以大家有没有发现，我们可以根据一次函数中 k 的 相关性质，可以把 k 的 变化 和函数图像的旋转联系起来，又可以将函数解析式中 b 的 变化和函数图像的平移联系起来。比如，当 k 的 绝对值变大的时候，函数图像向 y 轴的方向 进行旋转，而当 k 的 绝对值变小的时候，函数图像向 x 轴的方向进行旋转。而当 b b 的 值 增大时，函数图像向上平移，而当 b 的 值变小时，函数图像向下平移。那么接下来呢，我们将重点梳理函数图像与二元一次方程组不等式之间的关系，这是一次函数小综合题的核心考点，也是解析的关键突破口。 第一呢，函数图像与二元一次方程组之间的关系。我们知道啊，一个二元一次方程可以转化成一次函数的形式， 比如说方程组 y 等于 k 一， x 加 b 一， y 等于 k 二， x 加 b 二，那么它对应的就是两条一次函数的直线，那么这两条直线的焦点坐标 xy， 它就是 这个二元一次方程组的解。反过来呢，如果两个一次函数的直线平行， 即 k 一 等于 k 二， b 一 不等于 b 二的情况下，那么这两条直线是没有交点的，对应的二元一次方程组也就无解。 而如果两条直线重合，即 k 一 和 k 二相等， b 一 和 b 二也相等，那么它们就会有无数个交点，对应的方程组就会有无数组解。北京中考中常结合图像求方程组的解，或者根据方程组的解来判断图像的位置关系。 第二呢，函数图像与一元一次不等式的关系。对于一次函数 y 等于 k x 加 b， 我 们可以把它和不等式结合起来， 当 k x 加 b 大 于零时，是不是就是 y 大 于零时啊？那么对应的就是函数图像在 x 轴上方的部分，那么此时呢， x 的 取之范围就是不等式 k x 加 b 大 于零的解集。 当 k x 加 b 小 于零时，是不是就是 y 小 于零的时候呀？那么对应的呢，就是函数图像在 x 轴下方的部分，此时呢， x 的 取值范围就是不等于 k x 加 b 小 于零的解集。 那么如果是两个依次函数图像的比较的时候呢？比如说啊， k 一 x 加 b 一 大于 k 二 x 加 b 二，那么对应的就是第一条直线在第二条直线上方时， x 的 取值范围。 注意啊，谁大谁就在上方。那么这也是中考综合题中常考的题型，比如结合图像求不等式的解析，或者根据解析判断图像的位置。 最后我们来总结一下 k 定走向和陡峭程度， b 呢，定与 y 轴的交点，二者共同决定直线的位置。函数图像的交点对应方程组的解 图像在 x 轴上下方的部分对应不等式的解集。掌握这些核心关联，我们就能轻松应对八下及中考中的依次函数图像的综合题。接下来我们结合具体题型实际实战演练一下。

自己啊，说大点啊，他可以让我们了解了解世界，说闲一点他可以让我们预知未来啊，那今天我们来研究这个函数啊， 这个图片大家见过吗？见过吧见过吧，做过吧做过吧。这是什么呀？这是摩天轮，摩天轮这里边有两个明显的变化的量，谁能找出来哪两个变化的量？ 什么发生了变化呀？时间你坐在摩天轮上那个旋，你能得到这天二十四小时内任意时刻对你的温度吗？能得到啊能得到啊。好的好的。第二个问题 最高气温是五摄氏度，最低气温是二十四摄氏度要为零下四摄氏度，嗯，对不对？对不对？好，就坐。那接下来呢咱们在以前都做过一种折纸游戏， 那么呃你看一下这个 f 考这两个问题我们可以动手折一下啊，动手折一下 一元啊，所以在二点四再加上一乘以 t 减三啊，化解就是，嗯， m 等于 t 减零点六。好，接下来呢再来看一看 这个这个有一个啊，有一个问题就是老师一直在这提问啊，那么你们能不能帮助老师解答一下看一下问题一二小组可以讨 论 把前后边讨论一下 啊 and iphone iphone iphone 十年七十八气十足。 嗯嗯 好，咱们这几个问题想好了吧啊下边呢咱们让同学帮着解答一下大哥哈第一个问题 啊，那你认为去什么游医院 声大点声大点啊，取这一天的时间也都是零至二十四个小时是不是都有意义啊啊，第二个还行， 第二个取正整数啊，取正整数对不对？对，很好的，这就是自变量的取值范围问题， 那么要在允许的范围内取值，超过了这个范围呢，就没有意义啊。下面呢，咱们再来看几个式子啊，那个题卡上有啊，做一下快速的完成， 直接看一下就行，不用写一下。 那个题卡上有啊， 好，那么咱们再看一下啊，通过这个问题一和问题二啊，咱们可以知道四，变量 x 的 取值范围啊，应该怎么确定？确定表达式的话要怎么样？十，表达式有意义，如果是一个实际问题呢？ 是这个实际问题有意义， 今天呢，咱们就学到这些内容，你，你有什么收获？来，莫婷，来，莫婷。嗯，还是表达式流量的变量决定了，然后还是表 达式中一个变量决定一个变量的变化，而变化 函数表达式的自变量奇值范围可以取任意十分或十， x 不 分，又是分母，分字形式十，然后分母为零，分式行使用十二次根式的形式是被看成数大于等于零。 嗯，要实际问题，根据实际强项确定奇值范围是实际 是是基本题。有一样啊，他回答的很好啊，好，这个收获很多啊，我们主要就是拿几个方面， 函数以及成为函数关系的依据，以及自变量的取值范围啊，就今天我们要学的内容啊，那么大家知道这个函数的含他的意思吗？含的意思就是信啊，就是信啊，咱们现在写信用什么 e 没有是吧啊？

八下数学最难的一次函数全部吃透逆袭班级前三八年级下册数学一次函数必考知识点一、一次函数的概念与图像二一次函数的斜率与截距三、两点确定斜率四一次函数的最值问题五一次函数的定点问题六，一次函数图像的平移七、一次函数图像的翻折八、一次函数交点问题 九一函数函数解析式求解问题十一数形结合求等式十二用分段函数图像研究最值的最值以上应用题吧。

ok， ok， 这节课开始呢，咱们来讲三角函数的图像啊，讲课之前呢，我先把这个里边有什么东西梳理一遍啊。首先呢，咱们要先解决一个三角函数线，理解它非常重要啊，你就知道 sum cosine tangent 的 图像是怎么来的了，没问题， 哎，这里面呢，涉及到单位元，它的目标呢，就是把它式子化成分母为一的式子啊。然后呢，哎，画出这些图像之后，你要关注它，重点是有幸，比如说还有一些特殊的位置，什么时候等于零，什么时候等于一， 什么时候没有意义，对不对？完事之后呢，哎，谁是最大值，谁是最小值，什么时候等于二分之一，二分之二，三二分之二，这 些特殊位置要熟记啊。然后呢，这个是一个部分啊，这解决完事之后就开始了，哎，这个式子呢，里边有几个参数？ a， omega， five 和 d， 一 共是有四个参数，涉及了三角函数的这个变换啊， 有伸缩变换，还有平移变换，没问题啊。然后这些呢，哎，这个，这个一定要学好这个变形啊。然后，哎，会给你一个图像，给你一个一般的图像，让你根据这图像把它的解析式给写出来。有了这个式子之后， 哎，下边呢，就是三角函数特殊值的这样一个计算了啊，包括 sign 是 谁，呃，包括 sign 的 对象是谁，这是非常重要的一个点啊。 然后借尸还魂呢，是借着一个标准图像来求对应的 x 的 这样一个情况啊，完了之后呢，哎，有里推外和外推里两种考法 好不好？哎，现在不用想那么多啊，咱们先来解决这个三角函数线的这样一个问题好不好？哎，把基础图像掌握了，这第一部分的任务就完成了啊。

一次函数之前，我们没有任何的接触，所以非常抽象，老师帮我们总结了非常重要的一次函数知识点，关于 y 等于 k， x 加 b 的 图像和性质。在这里面主要学习 kb 的 取值范围 对图像的影响以及增减性。第一， k 大 于零，图像 y、 c、 x 增大而增大， k 小 于零，图像 y、 c、 x 增大而减小，与其具体位置无关。第二， 过象限。只要 k 大 于零，图像都经过一、三象限，同样， k 小 于零，经过观察图像，发现都经过二、四象限。 现在看 b 对 图像的影响。 b 是 一次函数图像与 y 轴的交点。首先看 b 大 于零，与 y 轴交于正半轴， b 等于零过原点， b 小 于零，与 y 轴交于负半轴。 所以这样我们再结合 k， 就 能找到具体函数图像经过的象限了。 k 大 于零，图像经过一、三象限。 b 大 于零，与 y 轴交于正半轴，所以图像经过一、二、三象限。同理， b 等于零，经过原点，这叫正比例， 所以 b 等于零，那么只有 k， 所以 经过一、三象限， k 大 于零， b 小 于零，图像经过一、三，与 y 轴交于负半轴，所以经过一、三、四象限。用刚才老师总结的方法， k 小 于零，图像经过二、四象限， b 大 于零，以 y 轴交于正半轴，所以经过一、二、四象限。 b 等于零，经过原点，所以经过二、四象限。 b 小 于零， k 小 于零， k 小 于零，经过二、四象限，同时以 y 轴交于负半轴，所以经过的是二、三、四象限。 老师帮我们总结了一次函数当中 k、 b 对 于图像经过象限以及增减性的影响。希望大家把这个表格记下来并背下去非常重要的知识点，以便于我们解题的时候直接套用。

八下数学只要搞定这个章节，那你整个学期基本上就稳了。这个章节啊，就是非常重要的一次函数，它也是八下最难的一个单元，在中考当中会直接出压轴题，会出五星的对应的这种难题。 那一次函数在中考当中，大家知道它往往会和几何图形在一起，出那种代几综合的压轴大题，所以它的重要程度啊，不言而喻。这个视频一，老师就带着大家系统梳理一下 这个章节要考到的一些题型和方法。这里呢，老师也给大家把易错函数必考的易错真题三十道做了一个总结，家长们如果孩子学到函数这个章节感觉有困难，一定啊，要打印出来，带着孩子逐个题型的来进行梳理，这样绝对是效率最高的方式。 下面呢，咱们来一起拆分一下这一章节的题型，大家边听边去记。首先啊，我们第一个要掌握的就是正比例函数和异次函数的图像和性质了，这是我们整个章节地基性的知识点。 其次呢，是异次函数图像的变换，像平移、对称、旋转以及应用待定系数法求解析式，这些都是必会的技能。 除此之外呢，解答题常考的题型有这个一次函数与方程结合在一起，一次函数与不等式结合在一起，这个综合的题目相当于把我们的代数和函数结合在一起，那同样的，它也会结合着一次函数和几何图形去除这种存在性问题。 存在性问题啊，往往他又会出三大类考法，第一类，依次函数与等腰三角形的存在性问题。第二类，依次函数与对应的这个直角三角形存在性问题第三类，我们依次函数和我们这个学期平行四边形这一章节出平行四边形的存在性问题， 而平次存在性问题下面又会出菱形、矩形、正方形相等的存在性问题，它的方法都非常固定。这个在我之前的视频当中都给大家做了详细的讲解，大家也可以去看我一次函数的专项。 那除此之外呢，我们依次函数这里他与这个几何代数综合在一起，难度如果再上一个台阶的话，他就会考到我们依次函数，其中的临界值问题就需要我们同学进行分类讨论了。除此之外， 依次函数还会与最值结合在一起，像与将军一马模型结合在一起，这个时候他的难度就又一次升级了， 考的再坏一点啊，他和定心算结合在一起，这些题型也是经常会考到的。那以上呢，是一次函数章节常考的重难点题型， 老师啊，在我的一次函数专项当中都做了系统的讲解，而且配套了相应的专项的同源经典练习题，让大家学透一道例题，学会一类题型。

上一节课，我跟同学们一起来复习一下依次函数的图像与性质。先看学习目标，带着这些问题来学习。下面在复习之前，我们先来欣赏我国伟大的数学家华罗庚先生写的一首诗， 请大家齐读。数娟平时少之官勤娟主持难入微，数勤结合百般好，隔篱分条万事休。 在这首诗中体现了我们数学里面的一种重要的思想。什么数勤结合？ 同学们跟着老师一起来领略一下塑形结合的奇妙。我们先从一个简单的问题开始，请大家看屏幕已知 ab 两点的坐标， 你能得到哪些信息？请大家思考片刻。以学习小组为单位进行讨论，时间到，展示一下同学们的讨论情况。举手 好，这一组开始，首先我们要联想到需要建立一个平面直角坐标器， a b 平面直角坐标器。然后由 a、 b 两点坐标可以得知， a 点在第一上线， a 点在第一下线， b 点在第三下线， b 点在第三下线。 证明两点确定一条直线，两点确定一条直线，可以得到直线 a、 b。 然后又以此可以联想到一次函数，就想到了一次函数， 就可以设 y 等于 k， x 加 b， 设 y 等于 k， x 加 b， k 大 于零， b 小 于零， k 大 于零，你怎么得来的？ 这条直线从左至右，它是呈上升的趋势，从左至右呈上升的趋势，所以偏大于零 也可以看象限，看象限经过一三象哦，一三象限偏一定大于零， 还不错。 a 小 于零， b 小 于零，你看哪里？直线与外轴的交点，直线与外轴的交点，它交于外轴的负半轴，交于外轴的负半轴，得出了 a 大 的 b 小 零， 还联想到了什么？没有经过第二下键 a 吗？ a 吧，还不错。 a 九、 这条直线经过一三四下线这条直线经过一、三四下线。可以用待定系数法确定 一次函数的表达式。待定系数法确定一次函数的表达式来，前面同学已经联想到了一次函数的图像性质，它的一些性质。好，这位同学他就想到了待定系数法 来求依次函数的解析式。怎么求？设 y 等于 k， x 加 b。 设 y 等于 k， x 加 b 标 ab 的 坐标代入 ab 的 坐标代入 三， k 加 b 等于二啊三 k 加 b 等于二，负 k 加 b 等于负六，负 k 加 b 等于负六。解方程 五，求出 k b 的 值，再把它还原到解析式，求出函数的表达式。那么这个是养待异系数法啊。那么它可以通过哪样的直线进行平移呢？ y 等于二， x 向下平移四个单位哦。可以通过正比例函数 y 等于二， x 向下平移四个单位。好，联想到了啦，要待定系数化和平移来得出函数的解析式。 这条直线与坐标轴围成三角形的面积。坐标轴围成三角形的面积。你怎么求这条直线与横坐标和纵坐标的焦点哦？与横坐标与正坐标的焦点。先求出 有哪一个坐标的焦点？横坐标横坐标 x 轴，那么它的焦点坐标二零二零怎么得来的？ 当 y 等于零时， x 等于二，另外等于零， x 等于二，所以它与 x 轴的交点坐标是二零与 y 轴交于零。负四与 y 轴交于零。负四就可以算出三角形的面积。可以算出与 这一个三角形是与什么坐标轴围成的三角形的面积，一个是四四， 好，那么我联想到了依次函数与三角形面积的关系。好，还有吗？好， 还有哪一些组来？好，这一个组我可以想到在 x 轴上方的这条射线， x 轴上方的这一条射线，当 x 大 于二时， y 大 于零， x 大 于二十， y 大 于零。很不错，上方 y 值不值一个大于零。好，那么这一个 x 的 范围是不是二的哪一边？二的右边是 x 大 于二，对吗？对，好，这 y 轴左边的这一条射线，当 x 大 于零时， 当 x 大 于 x 小 于 x 小 于零，指在哪一方？错，对，在外轴的左边是 x 的 小于零，右边是小于零， y 小 于 x 的 小于零。还有吗？ 好，这一组我还可以想到函数与方程的关系，前面同学就想到了啦，与都不等式的关系。好，这位同学他说想到了与方程的关系，怎样的一个关系？当 y 等于负数时，当 y 等于负数时， 关于 x 的 方程， k x 加 b 的 解为 x 等于零啊。关于 k， x 加 b， 它是一个代数式方程，应该是等于多少呢？ y， 你 刚刚取 y 等于多少？ y 等于负四， y 等于负四，那么 y 用什么来代替呢？ 负四负四，那么它的方程就变成了负四等于 k， x 加 b， 对 负四等于 k， x 加 b， 它的解为 x 等于零， x 等于零。好，还有吗？ 当 y 等于零时，哦， y 等于零时， k x 加 b 等于零的解围哦， k x 加 b 等于零，它的解围 x 等于二， x 等于二， 那还有吗？好，接下来那么大家来看一下啊！我们通过一个开放的题， 同学们通过联想到了依次函数的图像和性质 好，通过不断的分布拓展，同学们就想到了啦，这一个它的一些性质，还有其他的一个与三角形面积关系不等式的方程形成了一个什么知识网购好，我们带着了这一行 知识，一起来进入下一个板块。考点对齐，先阅读好，齐读一次 k 大 于零时，开始。 k 大 于零时，图像经过一、三象限外随 x 的 三道行增大。 k 小 于零时，图像经过二次象限外随 x 的 三道行减小。 逼绝地与外轴的交点。逼大于零时，交点在外轴的路面轴，逼等于零时，交点在远点。逼小于零时，交点在外轴的路面轴。同学能不能戒读？ 当 k 大 于零时，图像经过一、三象限。当 k 小 于零时，图像经过二、四象限。当 b 大 于零时，交点在 a 歪头的正半轴， b 等于零时，交点在圆点。 b 小 于零时，交点在外头的负半轴， 就可以得出函数的图像。当 y 随 x 的 增大而增大， k 大 于零， y 随 x 的 增大而减小， k 小 于零，就可以得出自变量的系数的取值范围。自变量系数的取值范围。 同学们说，不要带好不好？好坐下好，让我们来检测一下四个小题，大家动手做一做，只完成一至四小题，我们一起来看一下第一小题对了吗？对了，嗯，第二小题， 第三小题二，第四小题。刚刚呢，我在下面看的时候有个同学写了，答案是 c， 你 能跟他说说，为什么 c 不 行呢？ 因为此 k 非彼 k， 此 k 非彼 k， 指的是什么？ k k 点二二， x 的 系数是 k 减二，应该是 k 减二，怎么样大于零？好，所以呢，一个是答案是 b 啊，回答正确，坐下来。好， 那我们继续啊，第一次，函数的图像平移啊，这是一个游戏，哪个同学愿意上来啊？张志强，上来， 同学，下面你们有两个题，自己做到选项纸上面，检测一下，答案全对了，大家给予掌声，你的对了吗？ 对了没有？对了好，嗯，那么他的技巧是什么？左加右减，上加减，我们记。知识点三，依次函数与方程 先阅读一次函数与方程或者方程组的关系，再请一个同学来解说一下，好， 左二，从数的角度，一次函数 y 等于 a， x 加 b， y 等于零时，可以转化成一个一次方程哦，他是说因为 y 等于零好， a， x 加 b， 知不知道？就是等于零好，转化为方程。 他们方程组的解哦，是方程的解，就是一次函数，一次函数 x 的 x 的 值不错啊。第二个呢，从图形的角度哦，从图形的角度， 一次方程 a， x 加 b 等于零，就是一次函数与 x 轴交点的横坐标过 a， x 加 b 等于零，那么就是直线 见是形，我们之间有图形相结合好，那么 y 等于 a， x 加 b， 它与 x 轴交点的横坐标啊， 通过图形的角度，两个依次函数表达是所组成的二元依次方程组的体哦，成形的角度来，两个依次函数表达是组什么的？ 方程组，它的解就是两个一次函数图像的焦点坐标哦，两个一次函数图像的焦点坐标好，表达的很好。接下来，那么大家来我们一起来检测一下第一个题。好， 那我先开一下口型吧，这位同学，第一个与 x 轴交点坐标木色里，木色里。好，坐下来后面用外轴的交点，坐标，坐标 x 等于零，复色是零，零，什么？零四？哦，零四， 大家说对了没有？对了， y 轴的焦点，我们定了一个，等于零， x 等于零， x 等于零，在里面， y 等于几四，所以是零四。这是第二个题， x 等于负三， x 等于负三，大家说对了没有？对了，回答很好，好，我们进入知识点四，依次函数与不等式的关系， 好，思考一下。这个，李晓兵，你来先说他的剪辑应该是多少？你觉得这个题你的困惑在哪里？李晓兵，困惑在哪里？ y 等于 x 加 b， 这个图在这里， 它怎么样？小于等于负二，也就是哪个小于等于负二？ y y 小 于等于负二，那么 y 等于负二的时候， x 等于多少？ x 等于多少？负一， x 等于负一。好，那我现在呢？把它 挂一个，挂这一个负一，二挂二，这一个点挂与 y 轴平行的，首先，那么也小于等于负二。小于等于负二是在是在左侧还是右侧？ 这条虚线的左侧还是右侧？右右侧右侧右侧，右侧拉股，他的自自变量的取值范围是多少？ 负一的负一的右，负一的右边。好，李小兵，你帮我回答，那这个题目的答案应该是多少？ x 大 于大于或等于负一，对不对？对对对对对对对，那么我们把它 自己觉得不会的题，得通过这个竖形结合，我们就得出了答案。 好，那么第二个小题，第二个小题，哪个同学来帮我说一说？ u， 我 先先求出那个 y 的， 就可以减成一个 值，把 p 点带入进去，求出 k 的 值，那么求出这一个函数的解析式， 你是这样吗？是，好，然后呢？然后求出来之后以后就是像刚才那样做一个，做一个 y 轴的平行线，哦，不， p 一 点，做 y 轴的平行线， 平行线。然后呢？因为为什么它不等式？ a 加 b 小 于等于 k 等于减三。哦，因为 a x 加 b 小 于或等于 k x 减三。那么是在这一条虚线的左侧还是右侧呢？左侧，他的左侧。那我们来看一下这一个 k x 加三值不值，这是在哪个方？这上方，这一个在哪一方？下方。好，所以那你得出的结果是多少呢？ 是小于 x 小 于或等于四，那数对了没有？对了，对，会的很好，坐下来。好， 那我们大家再来看一下一次函数与三角形的面积，思考一下这一个点，已知一次函数 y 等于 x 加四，它的函数图像点 c 是 x 轴上的一点，但是这个图形上面有没有 c 点？没有， 他告诉，那么关键词他告诉你了，在哪个上面？ x 轴上 三角形 a， b， c 的 面积等于八，要求点 c 的 坐标， x 轴上面 c 点，它可以能够与 a 重合吗？不能。好， 那么 c 点在 a 点的右边吗？右左可以在左边，也可以在右边，所以我们想到他一定是几种情况，两种啊，两种情况。那我要求 c 点的坐标，我 关键要求什么呢？ a， b 的 a， c 的 巢。好，那么同学们考这个啦，一个是可以在左侧，也可以在什么右侧？好，那我要把这题求出来，关键问题，我要求出什么？ a、 b 的 巢， a、 c 的 巢，该是什么来求呢？ 三角形，三角形，三角形的面积，三角形的面积公式是什么？以乘高除二， b 乘以高除以二。那么这里 b 哪个为底？ a b a c 为底，哪个为高？ o b o b 为高。那么 o b 题目上面以什么 没有？那你怎么求？带入？带入 i 带入高 x 高。什么高？ x 等于零十哦， x 等于零， y 等于几？求出 b 点的坐标， b 的 坐标是多少？零四， b 点的坐标是零四好， 那么 o b 的 长就等于四， o b 的 长等于四。然后根据什么求 a 面积好，那么面积我们可以求出 a c 等于几？ 四， a c 等于四好， a c 求出来了，你怎样求 c 的 坐标呢？没有坐标。