南通三模数学解析几何讲解

哈喽，同学们，好久不见，这条视频，我们讲一下关于负数的几何意义，那么负数这部分内容的知识点呢？在我们全国二教当中常考的还是关于负数的四个运算，那么这次三门考试当中出现了关于负数的几何意义的多选择题，所以在这里我想带大家再复习一下关于负数的几何意义。已知负数等于 a 加 b i， 那 么它在负平面上对应的点就是 a 到 b 向量 o z， 它的坐标也是 a 到 b， 那 么关于负数的周长 c， 它等于根号下 a 方加 b 方，实际上负数的魔长，它表示的就是负平面内圆点与这个向量中点的距离，也就是 o 点与 c 点 之间的距离。这里我们 o 点的坐标是零零嘛，对吧？那么两点间距离公式你还记得吗？两点间距离公式，已知 a 点坐标是 x 一 y 一， b 点的坐标是 x 二 y 二，所以 ab 两点间的距离就是根号下 x 二减 x 一 的平方，加上 y 二减 y 一 的平方 z 的 膜，就可以把它看作是 o 点到这个向量中点之间距离的长度，所以它又转化成两点之间的距离。现在给定负数 z 等于 a 加 b i， z 二是 c 加的 i， 那 么我想求 z 一 减 z 二，它的膜长，实际上是不是就是 我先计算 z 一 减 z 二，它等于什么？应该是 a 减 c 加 b 减的 i， 求它的魔长，那么它的魔长等于根号下 a 减 c 的 平方加 b 减的平方。那这个公式我们把它如果想象成是两点之间的距离的话，那就是 a 到 b 这一点到 c 到的这一点之间距离，对吧？如果把它想象成 a 点，想象把它想象成 b 点，实际上这段长它表示的就是 a、 b 两点之间的距离，那这就是负数，在负平面内，它可以怎样通过魔长来表示距离？ ok， 我 们往下来说一下关于诡计的问题啊。如果说他给定一个负数，它的魔长为一，负数的魔长为一，我们刚刚可以把它写成什么形式？ 是不是就是根号下 a 方加 b 方等于一，也就是 a 方加 b 方等于一。那么如果我把这个 ab 换成 x 和 y 的 话， x 方加 y 方等于一，这个时候你是不难看出实际上它的轨迹是什么？是一个以零零为圆心，以一为半径的一个圆，对吧？这是它只给了你 z 的 模等于一， 它的轨迹是以零零为圆心，以一为半径的一个圆。那现在假如说我给你 z 减一的模等于二，实际上 z 它表 z 减一的模等于二，它可以写成什么呢？可以写成是 a 减一的平方加上 b 的 平方，开根号等于二 平方之后 a 减一平方加 b 方等于四。现在我再把 a b 换成 x， y， x 减一平方加上 y 方等于四。那么这个时候它的轨迹又是什么？ 以一零为圆心以二为半径的一个圆。 ok， 那 我们来看这道题啊。这道题是我们刚刚考过的三模数学卷多选题的第十题。给定三个负数， z 一 z 二 z 三对应三个点， a b c a b c 可以 构成一个三角形。让我们判断下列说法正确的是， 那么 a 选项它说的是 z 一 z 二，它满足 z 一 减 z 二的摩擦等于 z 二减 z 三的摩擦。那么刚说过 z 一 它对应的点是 a 一 z 二对应的点是 b， z 三对应的点是 c， 那 么它们两个作差指的是几和 e， 表示的是不就是 ab 两点之间距离啊？ 而这两个负数作差，它表示的几和一就是谁 bc 两点之间的距离呗，对吧？那么当 ab 的 距离等于 bc 的 距离的时候，说明三角形 abc 就是 一个等腰三角形，因此 a 选项是正确的。 然后我们再来看 b 选项，接下来我们看 b 选项， b 选项给的是 z 减 z 一 等于二倍的 z 减 z 二，那么这个 z 在 题中没有对应的点，对吧？那我们就假设它对应的点 o， 那 么 z 减 z 一， 它实际表示的就是谁 o a 之间的距离，对吧？它会等于二倍 z 减 z 二是 o b 之间的距离。现在它让你去判断 z 的 这个轨迹，它说是以 ab 为直径的一个圆，那实际上你要满足 o a 等于二倍的 o b 的 话， 我可以把 a 放在靠近 b 三等分点处，我可以以 b 为中点，把 a 放在这，对吧？所以 o 它的运动轨迹是在直线 ab 上，而不是以 ab 为直径的圆。 接着看 c 选项， c 选项满足 z 减 z 一 的模等于 z 减 z 二模等于 z 减 z 三的模。那么我刚刚说了， z 我 可以看作是什么点 o 啊，它对应的点为点 o， 那 么这就是 o a 长等于 o， b 长等于 o c 长，那么此时 o 点到三角形三个顶点的距离相等，那你说 o 代表的是什么？它应该代表的是三角形的外接圆圆心，也就是外心。我们再看倒选项，倒选项说这个负数 z， 它满足 z 等于三分之 z 一 加加二加 z 三， 此时说这个它对应的这个点 o 为三角形的重心，这个是正确的。因为三角形重心它的坐标是什么呀？ 三角形重心的坐标是三分之 x 一 加 x 二加 x 三都三分之一 y 一 加 y 二加 y 三，对吧？啊？我假设 abc 它们三点坐标分别是 s 一， s 二三的话，啊中坐标 y y 一 y 三的话，此时它的重心刚好是等于三分之，它们的和，也就是题中给的这个三分之一 z 一 加 z 二加 z 三。 所以这道题正确选项只有 a 的 通过这次考试呢，可以正好复习一下这部分知识点，大家学会了吗？拜拜。

朋友们大家好，今天我们讲一下南通的这张呃，三模试卷吧应该，其实是应该是二模啊， 这张卷子难度集中在后面最后一道题，其他难度还好，比南京的卷子要稍微容易一点。 那第一题告诉你，人在圆轨道上运行质量减小，所以呢，周期不变，速度不变，相加速度呢？也不变，引力呢？变小？答案，选 dog 啊第二题， 第二题用的是毛细现象？答案，选择 c 那 么塑料笔芯它是不浸润的 啊，不浸润的。那么第三题，答案选择 a 难度不大啊。 第四题，阶梯场数降低， c 等于 e p 笼 s 除以四派 k d 那么异步系统减小，节点长度减小，所以呢？ c 减小，所以 t 正能量电路 t 等于二派根号下 l c c 减小， t 呢？减小，频率呢？变大？答案，选 c 第五题 答案，选择 a 润滑油作用主要是为了密封啊，直径不需要测，这边有毒素，毒成高度就可以了。或者说这个毒素本来有体积啊，直接可以知道，手握肯定不行，一般用铁架台固定 向上移动。火灾后压力表示数呢？应该是减小，压力表上就是加强啊，多少怕。然后第六题第六题这个题目考察的应该是激光的多普罗效应。答案，选择 dog 它说了窗户的轻微震动，然后引起反着光频率的变化多普罗效应。 然后第七题，从页面上方可看到大头针的针的操作，那实际上就是这个光呢， 这个光呢，在这呢发生了全反射，所以你看不见大头针，而如果把这个泡沫呢弄短一点， 这个光呢，在这就可能不发生全反射，不发生全反射呢，就出去了啊， 那这样就看见了，那现在泡沫没有说把它锯短一点，那我就同样的把这个钉子呢弄长一点就可以一回事啊， 也就是画一个这个光线， 这个光线，那么它同样是可以出去的，所以呢，丁字长一点，增大它的长度。 h 单选 boy 第八题第八题是题目也比较温和，单选的 boy， 嗯，很明确的，这个电流向上啊，然后这边电流向下向下呢，它会受这样的安培力加速啊，最终呢， 这是 v 一， 这是 v 二， b l v 一 呢，要等于 b l v 二， v 一 和 v 二相等啊，所以 b 是 对的，先加速，后匀速，那 ab 棒减少的动能应该等于 cd 棒增加的动能，再加上热量啊，所以 dog 和 c 都不对。然后第九题，第九题这道题目呢， 答案选择 c。 这题难度也不大，考察的就是 v t 图像，把 v t 图画一下就能明白了，这段是 l 一， 这段是 l 二的话，那么 这个最大的速度，这应该比较好算的。这边是 e， 对 吧， q e 等于二分之一 m v m 的 平方搞定，现在呢，他把这板往上挪，也就是 l 一 呢， l 一 减小， l 二增大，但是呢， l 一 加 l 的 和不变，所以呢啊，同时这个 e 也不变， e 也不变，那说明最大速度也不变，所以这个图画出来应该这样子，最大速度不变，对吧， v 大 小也不变，所以图只能这么画， 面积和之前一样，所以呢，时间相等。搞定第十题第十题，这道题目考察的是减弦运动，因为很明显在进去的过程当中呢， 这段距离是 x 啊，这个知识力和 x 成正比， 支持力和 x 成正比，所以呢，摩擦力就和 x 成正比，等于 k x， 因此这个过程呢，是一个减弦运动啊，合力和 x 成正比，所以呢，时间是相等的， 因为在这个里面 k 是 不会变的啊 k， 所以答案选择 a， 那 k 纹不变呢？来推一下，假设单位质量，呃，单位长度， 质量是 m 零，所以 f 就 等于 m 乘以个 x， 长度是 x， 对 吧？ m 零几啊，所以呢，等于 k x， 所以 这边的 k 呢，等于 mu m 零几， 所以这是减权运动，减权运动进去减速的过程。四分之一周期等于四分之一个二派根号下， m 除以 k， m 是 整个的质量， k 呢，应该是 m 乘一个 m 零几好，所以时间呢，应该是一样的。然后第十一题，第十一题这道题目呢，出的蛮好的， 但是有一个小的计算在里面，若不算光去分析也能分析的出来啊。首先呢，他告诉你，弹簧呢，处于原长啊，把初状态换一下 状态，绳子拉力提供向心力 t， 假设呢，长度是 r 一 的话啊， 好，然后它的速度呢，就是 omega 乘以 r 一， 它是匀速转动的， omega 乘以 r 一， 末状态呢， 这个是 r 的 话，那这个时候呢，弹簧是有弹力的，弹簧处于压缩状态了 f 啊，它的速度呢，是 omega 乘以 r， 那么在这个过程当中呢？那么很明显， 小球在运动过程当中，弹簧要收缩 啊，弹簧会收缩，所以因为他要提供向心力嘛，对吧？弹簧要被压缩，所以小球有个向后的速度 v 一 和一个向前的速度 v 二，所以速度始终与膝槽垂直是错的。那这两个速度合起来加速度方向始终指向 o 点，这也不对， 那这也不对，因为从 omega 一 到 omega 二，它在切向肯定有个 a 一， 同时呢，镜像肯定也有加速度 a 二，所以它的加速度方向应该是写的。 那小球与弹簧组成系统键能守恒，这肯定是错的，因为这道题很明显，槽要对小球要做功，所以不对啊。槽对小球要做功， 因为这个过程呢？从 omega 一 到 omega 二，为什么要做功呢？因为从 omega 二一到 omega 二，它的动能呢？增加了，同时呢，弹性势呢，也增加了， 所以呢，槽对小球做的功就应该等于 e k 的 增加量， 加上一 p 的 增加量，所以做的功大于一 p 的 增加量，它是对的。答案选到了，如果就这么做的话，感觉还差点意思啊。那我们还可以继续分析一下， 在这过程当中呢，首先这个表达式是一定对的，那我们看一下它的动能增加量是多少？出动能是二分之一 m， 初动呢是二分之一 m omega r 一 的平方，末动呢，是二分之一 m omega r 的 平方，所以得到一 k 是 这个值 啊，那弹性的增加量呢？也是一样的去算，弹性的增加量，等于弹力所做的一个复工，对的吧。那么弹簧弹力呢？它是从， 它是从这个把这图画一下，从原厂到收缩，那这个距离呢？是 r 一， 这个距离呢？是 r， 那 弹簧压缩了这一段， r 减 r 一， r 减 r 一， 那弹簧弹力开始为零，那这个时候弹簧弹力呢？注意在最远的那时候，弹簧弹力呢？应该是 提供这个光提供相亲率吗？可能还不对啊，应该大于 f， 大 于 m omega 方乘以二的， 因为还要将它往前推嘛，对吧？ f 要大于 m， 奥密克方程乘以 r 二的，所以这个过程呢，弹簧弹力做工或者说弹性的增加量，我可以通过这个 f x 图像画出来， 这是 f， 这是 r 一 r 二 r 二减 r 一， 这个面积就是做工 w 啊， 当然在这可能不太好算啊，只能通过刚才的来看，然后我们来看一下这个地 实验体，这实验体相对而言难度也是的不算太大，第一个读数就行了，这边十七点零吧啊，十七点零，然后呢，实验 零刻度在中间位置啊，操作如下，滑动变阻器 r p 呢，应该调到最左端， 保护电路啊，一开始，然后上面呢短路啊，上面短路，然后将 r 呢调到最大值，保护这个 g， 然后闭合，然后调节 r 一 使记为零。那调节 r 一 使记为零目的是什么呢？就是为了让这个电流流过电流表的电流 i 就 等于流过 r x 电流 i， 因为这条路呢， i g 等于零，没有啊，也就意味着在这个节点呢，不分流啊，不分流 好，所以 x 直接就等于电压表的读数 u 除以一个 i， 电流表读数 i 好， 那现在呢，发现电流表有这个方向的电流 a 到 b 的 电流，那说明什么呢？负 a 大 于负 b， 所以才有电流，所以我的做法只有把 f a 呢减小，怎么让 f a 减小呢？就让 r e 呢增大， r e 呢调大。 那小明认为内阻对 r x 的 阻值有影响，那这个呢，肯定是不对的， 因为根据刚才的我们的分析呢，可以得到，在这过程当中呢，肯定不同意的啊，不对的，在这过程当中呢，电流计并没有分流啊，电流计没有分流，所以流过电流表的 或者电流表的示数吧，电流表的示数 就等于流过 r 的 电流。 然后第十三题，第十三题第一问， v 等于根号下二 a l， 这比较简单，算大小。第二个 f， 那 这个就是 m g sin theta 减 f 等于 m a， 所以 f 等于 m 七三 c 的 减 a 好， 第二个，第二个经过六十六分钟，三个半衰期，它从八变成四，从四变成二，从二变成一乘十的负六次方程，这不难，三个半衰期啊， 然后写出这个方程式，这方程式并不难写，应该问题不大。 土变成普加 这个负一零电子，那释放的能量得到 e 呢？就等于土是 m 一， 普是 m 二，电子 m 三， m 一 减 m 二减 m 三 c 方啊，可以了，搞定。 然后第十五题，第十五题这道题低问不难啊。 q， u 零等于二分之一， m 为零的平方，属于松分 第二次感强度，它告诉你等于 u 零的时候运动到 m 点，所以这个过程呢，应该是这样子的啊。所以呢，这个 r 等于 m v 零除以 b， q 得到 b 等于 m v 零除以二， q 等于二分之一个根号，下二 m u 零除以 q 好， 然后我们把这个轨迹画好， 然后再换一个。题目中三分之一又零，三分之一又零呢，这个 r 就 等于根据这个来求啊， r 就 等于 三分之根号三个 r， 所以 三分之根号三个 r 的 话， 这个角呢，应该是三十度，所以画的有点不太好，不太准， 然后被吸收好，然后再画一个。为什么要再画一个呢？因为我找哪些位置是能够被击中的就出得去的， 如果速度大点，打到车，然后再大点呢？打到车，嗯，出去的，那我们再大点呢， 打到这啊，然后呢击中，所以呢，到这我就知道什么地方是能够出去的呢？注意啊，但凡出现 这样的一个排列顺序的地方就能出去，也就是红紫绿，红紫绿这一块，嗯，也就是这块区， 这块区，然后红紫绿这边啊，这边应该整个都可以。 这个画的有点不太好，后面画的这个应该是这样画可能比较好，这样画，嗯，会比较好一点，所以出来的时候这一块红紫绿， 然后这边红紫绿啊，都可以，所以呢，把这段挪过来，挪过来之后呢，刚好 l 就 等于拍 r 一 半的这个圆周， 所以这文纯粹画图，那这个做不出来的，第三个做出来也很正常啊，因为图版不可能把它画好的话，就做不出来了。 好，然后看第十六题，第十六题这道题目呢，出的也非常的漂亮啊。那么第一问是充分的支持力，那么四个 m 压在地面上，地面给的支持力肯定是四 m 七， 那加速度 a 一 呢，就是它的相因加速度为零的平方除以二送分。然后第二问，第二问，从开始运动到第一次发生碰撞，管对 a 做的功，所以这个还是把图画好的。 原来是 v 零 v 零，那这个时候呢？ 嗯， 这个时候呢，它的速度应该都是向前的，首先 v v v 同时呢， 它要发生碰撞，意味着它有向下的速度，它呢有向上的速度啊，所以呢，水平方向，或者说这个水平面， 那就 x 方向动量守恒，所以呢，小 mv 零，两个小 mv 零等于什么呢？ 四 m 乘以 v 啊，所以呢， v 等于四分之一为零，所以呢，管对 a 做的功，那么我既可以算什么呢？ a， b 对 管做的功， 对管做功，所以 w 加 w， ab 对 管做的功，每个是 w 的 话就是二， w 等于二分之一乘以二 m， 四分之一为零的平方， 二分之一乘以二 m 啊，不好意思，这边写错了，二分之一为零啊，平方， 所以呢，就等于四分之一 mv 零方，所以 w 就 等于八分之一 mv 零方。那在这注意了， a 对 b， a 和 b 对 管做正攻，那么管对 ab 呢？做副攻，所以它那求的是 w， 这边 w 一 撇吧， w 就 等于负的八分之一 m 为零方搞定。所以第二问呢，整体而言也不难，难在第三问，第三问，把状态图画好， 因为我们要做一个模型的转换，不转换这个模型呢，做起来就比较麻烦， 这个时候呢，是 v 啊，每个都是 v， 那 么呢，加俩方向碰撞了，这第一次碰撞 好，然后呢？碰完之后呢？到这速度， 然后到这 速度是 v 零，应该是 这相当有个弹性碰撞，对吧？好， 然后继续到这，到这又是 v， 我 们只看这个方向，速度是 v， 这是第二次碰撞，那么看这个图，你其实会有会有点感觉的， 假设两个 m 呢，它是个弹簧，二是个小物块，速度是 v 零， 这个呢，是另外一个小物块，中间是个弹簧的话啊，第一次碰撞的时候， 相当于它们压缩的最短的时候，然后呢，恢复原长， 然后最远注意参考点划在这。 好，如果这个模型你能够转换的过来的话，那这道题就很简单了，接下来画 v 图， 这个物体呢，我拿红色的画吧， 好，然后这个环呢，我拿这个来换，因为质量相等，所以这边不涉及速度的一个 计算，直接知道速度交换就可以了，所以呢，我就知道了，题目中告诉我这个管的位置 x 一， 我还知道了什么呢？还知道这个半径是 r， 也就这段距离是 r， 也就是第一次碰撞，这边是第一次碰撞， 两个物体的相对论路程呢，就是 r， 然后这是 v 零啊，那我就知道了， 第 n 次碰撞管运动的时间啊，因为第 n 次碰撞运动的时间呢，一定是你看这 t 一 三 t 一 五 t 一， 所以是二， n 减一个 t 一 等于二， n 减一乘以个这个 t 一 t 一。 怎么求呢？直接拿 这块是二分之一 r， 这块二分之一， r 就是 二分之一 r 加上 x 一， 除以二分之一为零，时间出来了， 然后就是为一大小，为一大小，那么也不难算啊，直接算一下 x 一 的第一次就是 x 一， 对吧，第二次呢？第二次就是 这段也是 x 一， 这段，第二次 也是 x 一， 那这一块呢？对的是二，所以三 x 一 加二。好，再看这还是 x 一， 这也是 x 一。 第三次 x 三等于嗯，五 x 一 加上二， x 四等于什么呢？还是一样的，第四次 再加这个面积，也就是 x 一 x 一 二，所以七 x 一 加上四二啊，所以呢，这样我就可以得到， 如果是基数词的话，就是二 n 减一个 x 一 加 n 减一个二， 如果是偶数字的话就是二 n 减一个 x 一 加 n 二，好，这个我们讲到这，谢谢。

江苏苏北三模考试结束了啊，难度不高，那么这也很符合三模考试的一个目的，主要就是为了增强咱们高考考生的一个信心。那么我们来逐个分析一下啊，这次考试的难度。首先是数学，数学呢，真的不算太难，基础题是一大片的，就是这个计算量啊，有点大。那么真正卡人的呢，只有两处，一个是陌生数列的逻辑判断 不太好下手，另一个是最后一题，概率加数列的综合题，他这个分类一多啊，就容易算错，整体比苏北七十二模要简单啊。其次是语文，语文的难度是不高的，也比按摩要简单，但是啊，整张卷子对文字理解的这个准确度要求比较高，你稍微不仔细的话就容易答偏。 别的题型都很常规，不算刁难人。英语呢，难度也很正常，跟高考难度其实差不多，他们难点难点主要是在这个语篇，逻辑必须要顺着整天的意思去走，不然的话很容易踩坑。 物理的难度啊，略高于高考，他重点难是难在复杂场景的这个模型拆解和多段运动分析，如果你的思路一乱就做不下去，所以特别考我们考生的这个调理 历史。这一次啊，难度适中，选择题还好，材料大体呢，都能看懂，但是很难精准踩到这个得分点，所以特别考验我们的这个知识迁移，不是此背书就能够拿高分的。 今天考完之后，过个一两天啊，成绩就会出来，大家呢，可以先点关注，每天早上七点半来我的直播间学习志愿填报的一个基础知识，我会手把手的教会你如何去填志愿。

苏北八市三模考完了，这次三模的难度整体偏低，甚至我觉得要略低于高难度。我们来具体分析一下这次考试。先说数学，数学这次真的不难，基础送分题很多，全卷也就第十一题和第十九题的后面两问算得上。亚洲题。 第十一题地推数列加不等式指数地推我们平时不常见，第十九题全概率加错位相减计算非常容易出错，但是总体上我觉得甚至比数系长征的数学卷还要简单一些。 这次数学低于一百一十分，就是基础还不够扎实，或者说你的计算量还没有练到位。这套试卷计算量还是挺大的，这依然符合我们新高考一卷的命题思路，就是重基础，重计算，重规范，少偏题，少怪题。 语文不难，比苏北二模要简单一些，基本上也是新高考的难度卷。卷稍微有区分度的题是古代诗歌鉴赏那个板块，情感理解容易跑偏。英语也是非常接近新高考一卷的难度，我觉得也就完形填空有点区分度， 一不小心啊，容易脱离语境，那就容易选错。物理不难，但是略高于高考难度。实验题和最后一道压轴题稍微有点难度。最后一题过程比较多，步骤长，需要分段分析，不能一步到位。 历史难度中等，材料大体不太好做，材料看得懂，但是就是不知道他到底要考什么知识点好。今天我们考完之后啊，大概后天，最晚周一，每个城市的本科线和特批线就会出来把关注点好，早上七点来我直播间了解这次考试成绩，大概能去到哪些学校的那些专业。

好的， ok， 来，我们来一起来看一下这两道题啊。嗯，这两道题的话就是今天的二零二六年的苏北三模的前两道大题啊，今天刚刚考完，这是第十五题， 二零二六年苏北三模第十五题。然后呢，这是我们二零二六年苏北三模第十六题啊，前两道大题非常的基础啊。来，我们来一起来看一下这两题啊。首先求证 m n。 平行于我们平面 p a b， 对 吧？求证 m n。 平行于我们平面 p a b。 那 这个的话是一个非常简单的一个东西啊， 你显而易见。你取个什么啊？平行于我们平面 p a a。 我 这写的有点不太标准啊。平行于我们平面 p a d 啊，取个终点就出来了，对不对？我们干什么？第一问啊，结啊， 不要老是想着间隙啊，有人可能还是间隙，一直都在间隙啊。结啊，连这种平行垂直都也去间隙，那不是很好啊。 好，那我们干什么？姐，取什么啊？取我们的谁？取我们的 p d。 终点，对吧？取我们什么啊？取我们 p d 终点 e 啊，取我们 p d。 终点 e 啊，取我们 p d 终点 e。 好 的， ok， 取我们 p d 终点 e。 连接什么啊？连接我们的 e n 啊。连接我们的 e n。 连接我们的 e n， 对 吧？取我们 p d 中点 e 啊，连接我们的这个 e n。 连接我们的 e n。 好， 然后呢？再连接谁啊？连接我们的 e n。 呃，这个等会再连也行，连接我们 e n。 因为什么啊？因为 e n 为谁啊？为我们什么啊？为我们的 p d e n。 为我们 p d。 然后呢？ p c 的 终点为 p d p c 的 终点，对吧？懂我意思吧， e n 为 p d p c 的 终点啊。啊， 所以什么啊？所以 e n 是 不是为谁？ e n 啊？应该是平行，对吧？平行于 dc 对 不对？中位线吗？对吧？且什么？且 e n 对 不对？很常规的一道题。且 e n 应该是等于谁？等于我们的二分之一倍的 dc， 对 不对？能听懂我意思吧？ 等于二分之一倍的 dc， 对 不对？没问题吧啊？等于二分之一倍的 dc， 这就是图啊，很常规的一个图，等于二分之一倍的 dc。 好， 又因为什么啊？又因为我们的， 又因为我们的四边形？什么啊？我写的是最标准的过程啊，又因为我们四边形 a b c d a b c d 为什么啊？为正方形，又因为我们四边形 a b c d 为正方形，对吧？所以说什么啊？ 所以 m 为什么？ m 为谁？ m 为 ab 的 终点，对吧？ m 为 ab 的 终点， m 为 ab 的 终点，对不对？好， m 为 ab 的 终点， 所以什么？所以 am 平行于 cd， 对 吧？然后呢？且谁？ am 平行于 cd， 且 am 是 等于谁？ am 是 不是等于谁？ am 等于什么？等于我们的二分之一倍的 cd， 对 不对？能听懂我意思吧？ 好哎， e n 平行于 dc， e n 等于二分之一倍 d c 对 不对？能听懂我意思吧？好哎， e n 平行于 dc a， m 等于二分之一倍 d c 所以 什么？所以 am 是 不是谁？ am 是 不是平行等于谁？等于我们的 c d 对 不对？哎，这，哎， e 连接 e n 再连接一个 e a 啊啊， e a 也一块连一下啊，连接 e n 再连接谁？再连接我们的 e a 啊，好， e a 也一块连一下 来。 am 平行等于谁？平行等于我们笔握啊！ am 平行等于谁？平行等于我们的 e n， 对 吧？ 对吧？因为 e n 平行于 dc， e n 等于二分之一被 dc am， 平行于 dc， am 等于二分之一被 cd。 我 们的直线的平行具有一个传递性，对不对？所以 am 平行等于 e n， 对 吧？所以什么？所以四边形？什么四边形？ 四边形？什么四边形？ a m n e 为谁？ 为我们的平行四边形，对不对？四边形 amn e 为平行四边形，对不对？能听懂我意思吧？四边形 amn e 为平行四边形，对不对？ 好的， ok。 所以 说什么？所以说我们的 m n 是 不是平行于谁？平行于我们的 a e， 对 不对？没问题吧？ m n 平行于 a e 好， 又因为什么啊？又因为 a e 属于谁？属于我们的平面谁？ a e 属于我们的平面什么啊？属于我们的平面， p a d 对 吧？ a e 属于平面， p a d。 然后呢？ m n 是 不是不属于什么？ m n 不 属于我们平面， p a d 对 吧？ m n 不 属于平面， p a d。 该有的过程不能少啊！ m n 不 属于平面， p a d 所以 说什么？所以说，哎， m n 平行于水平于平面， p a d 对 不对？好，考场上这么写，就是非常不错的一个标准的一个写法啊。 m n 平行于平面， p a d， 对 吧？能听懂我意思啊，所以说，第一问什么啊？所以说啊， 啊，就没什么了啊！好，来，我们来看第二本。第二本就是一个很基础的一个求余弦值啊！首先， p d 垂直于里面 a b c d， 我 们拿它建，建一个 z 轴，对不对？拿它建一个 z 轴啊。然后呢？因为这下面有正方形吗？两两垂直对不对？ 我们拿它建一个，我换一个颜色笔啊，我们拿它建一个 x 轴拿它建一个 z 轴啊。 拿他建一个 z 轴，然后拿他建一个 c 拿他建一个 x 轴。拿他建一个 z 轴。拿他建一个 x 轴。拿他建一个 y 轴。能听懂我意思吧？拿他建一个 y 轴，好，然后的话，呃， pd 是 等于二，对吧？ pd 等于二，然后呢？我用用蓝笔标一下， pd 等于二，对不对？ ad 干什么？ ad 人家也等于二，对吧？ 求平面 p a、 d 与平面 p b、 c 加角的余弦值平面 p a、 d 与平面 p b、 c 加角的余弦值。哈，开始标标点对不对啊？ p 点的话很轻松，对吧？ p 点是谁？ p 点是不是我们的零零二，对不对？ p 点很轻松对吧？ p 点是不是谁？是不是零 零二？然后，呃， a、 d 是 等于二，对吧？ a、 d 是 谁？ a 点是我们的二零零，对不对？ a 点是二零零，对吧？能懂我意思啊？ a 点是二零零，好，所以说什么 a 点是二零零，那我们 p 点有了， a 点有了，然后 d 点， d 点是正中心，对吧？ d 点是谁？ d 点是我们的零零零，对不对？ d 点是正中心，是我们零零零，对不对？懂我意思吧？ d 点是正中心，是我们零零零 啊，地点是正中心是我们零零零，地点也有了， p 点有了，还缺个 b 点， b 点是在这，对吧？ b 点的话是下下底面是这个样子，对不对？我画的不太标准啊，这里是 d， 这里是 a， 对 吧？这里是 b， 对 不对？ 对应的我们正方形，这里是二，对吧？这里也是二，对不对？因为我们底面是正方形，对不对？ b 点是什么？ b 点是二二零，对不对？ b 点是二二零，对不对？二二零，对吧 啊？ b 点也有了，然后还缺一个 c 点， c 点在上面，对吧？零二零，对不对？ c 点是谁？ c 点是我们什么？ c 点是零二零，对不对？ c 点是零二零，对吧？能懂我意思吧？ c 点是零二零，好，我们先求什么啊？设平面 p a、 d。 我 们先求一下平面 p a、 d 的 法向量，好吧？设平面 p a、 d 的 法向量为来。设平面 平面 p a、 d 啊，设平面 p a、 d 的 法向量。 设平面 p a、 d 的 法向量。法向量为谁啊？法向量为。设平面 p a、 d 的 法向量为。我们的 n 一 等于谁啊？等于我们的 x 一 y 一 z 一 x 一 y 一 z 一， 好，来干什么？然后呢？这个 p a 向量是什么啊？ p a 向量是不是等于谁？是不是等于我们二减？前面是不是二，对不对？零减零是不是零，对吧？然后呢？二减前面二，零减零是不是零？零减二是谁？零减二是不是负二，对不对？能听懂我意思吧？然后 a、 d 向量是谁啊？ a、 d 向量是不是等于谁？ 是不是等于把？零减二是不是负二，对不对？然后零减零是不是零，对吧？零减零是不是零，对不对？所以说什么？所以说我们是不是有 n 一 乘以谁？ n 一 乘以我们的 pa， 对 吧？ n 一 乘以我们 pa， 是 不是等于谁？是不等于零，对不对？ 好， n 一 又乘以谁？ n 一 是不是又乘以我们的 a、 d 是 不是等于零，对不对？能听懂我意思吧？等于 a、 d 是 不是等于零，对不对？所以说我们初步得到了一个什么？初步得到了一个二倍的谁？二倍的一个 x 一， 对吧？减去谁？减去我们二倍的 z 一 是不是等于零，对不对 啊？二倍的 x 一， 减去我们二倍的 z 一， 是不是等于零，对吧？二倍的 x 一 减去 二倍的什么啊？减去我们二倍的 z， 减去我们二倍的 z 一， 对吧？是不是等于零，对不对？然后还有谁？还有我们负二倍的谁？负二倍的 x 一 是不是等于谁？是不等于零，对吧？ 那所以说我干什么？所以说我们这个法向量是不是就出来了，对不对？ x 和 z 是 一样的，对吧？都是零，对不对？那中间是一对吧？我们 a 一 这个法向量是不是就等于谁啊？等于它，对不对？零一零，对不对？能听懂我意思吧？ p a t 这个法向量是不是？是不是谁？是不是我们零一零，对不对？ 好？ p a t 这个法向量是我们零一零啊， 今天有点累啊。 p a t 八项链是我们零一零，来，我们再设一下 p b c 啊，来，该到求谁求 p b c 了，对吧？设平面 p b c 啊。设平面 p b c， 设平面 p b c 的 法向量。设平面 p b c 的 法向量为谁啊？法向量为我们的 n 二。设平面 p b c， 法向量为 n 二。 n 二等于谁啊？ n 二等于我们的 x 二 y 二 z 二 x 二 y 二 z 二。 好。呃，那这里边我们需要的条件是什么？首先需要我们 p b， 对 吧？ p b 相等是等于谁啊？ p b 相等是不是等于二减零是不是二，对不对？二减零是不是二？零减二是谁？零减二是不是负二，对吧？ 然后还需要谁？还需要我们 pc？ pc 向量是谁啊？ pc 向量是不是零减零是不是零，对吧？二减零是不是二？零减二是不是负二，对不对？好，所以说什么？所以说我们 n 乘以谁？ n 向量乘以 n 二向量，对吧？乘以谁？乘以我们 p b 向量是不是等于谁？是不是等于零，对不对？ 还有 n 二向量乘以谁？ n 二向量是不是乘以我们的 pc 向量，是不是也等于零，对不对？能听懂我意思吧？ 啊，所以说我们这边是谁啊？所以说这边是不是二倍的 y 二，对吧？我先列的他啊。二倍的 y 二减去二倍的 z 二，是不是等于零，对不对？上面是二 x 二加上谁，加上什么？加上二 y 二，对吧？二 y 二，然后再减去谁，再减去二 z 二是不是等于零，对不对？ 这个是不是得出来？ y 二等于 z 二，对吧？ y 二等于 z 二，我们让人家都等于一，好吧，都等于一，对不对？ 这里是不是没有了，对吧？那 x 是 不是等于零，对不对？是不是零一一对不对？能听懂我意思吧？好，射什么啊， 人家让你求什么啊？人家让你求夹角的余弦值，对不对？射两平面的夹角为 c 塔，对吧？所以 cos and c 塔等于谁？ cos and c 塔是不是等于下面是不是？这是不是根号二，对吧？乘以谁？这里是 啊，这个是根号二，对吧？根号二的话这里是啊。四加四等于几？等于八，八加四等于十二，十二开始四乘以三是不是二倍根号三，对不对？二倍根号三，他乘他没有了，对吧？他乘他等于几？是不是等于二？他乘他等于几 啊？他乘他是不是等于 a？ 哎，我眼花了，有点累啊，十点多录的啊， 哎，干什么？我们是谁啊？我们是不是这个相等，对吧？和这个相等是不是根号二，对不对？乘以一对吧，这是不是根号二对不对？然后他乘他等于零，对吧？他乘他等于一，他乘他等于零，对不对？根号二分之一，最后是不是等于谁？是不是等于二分之根号二对吧， 加角的余弦值。所以说加角的余弦值是谁？是不是我们的二分之根号二对不对？能听懂我意思吧？加角的余弦值是不是谁？是不是我们二分之根号二对不对？很好理解，对吧？好的， ok， 来，我们来一起来看一下我们的第三期啊。 来，首先啊，证明我们的这个我没抄，那个 abc 就是 边啊，证明我们 abc 为等差数列，对吧？很简单，你只要把上面那个东西给它随便弄一下就行了，对不对？ 交叉相乘对吧？首先啊，因为什么啊？因为啊，这个东西啊，我不抄了啊。所以说什么？所以说我们是不是算 b 对 吧？算 b 乘以谁？乘以我们的这个二减 cosine c， 对 不对？算 b 乘以我们这个二减 cosine c 是 不是应该等于谁？是不是等于我们的 cosine c， 对 吧？ 三 c 乘以谁？乘以我们的一加 cosb， 对 不对？懂我意思吧？乘以我们一加 cosb 啊，所以说什么？所以说我们是不是二倍的三 b 对 吧？ 二倍的三 b 减去谁？减去我们的三 b cosb， 对 不对？三 b cosb 是 不是等于谁？是不是等于我们的三 c？ 三 c 再加上谁，再加上我们的三 c 考三 b， 对 不对？懂我意思吧？算 c 考三 b， 所以 谁？所以什么？所以我们是不是二倍的算 b 是 不是等于谁？是不是把这边这个东西给它加过来？是不是算 b 考三 c 加上考三 b 算 c 是 不是什么？是不是算 b 加 c 对 不对？ 算 b 加 c 对 吧？再加上谁，再加上这边，这个算 c， 对 不对啊？所以说什么？所以说是不是二倍的算 b 等于谁？ 二倍的算 b 是 不是等于什么？是不是等于谁？是不是等于什么？等于我们的这边是不是算 pi 减 a， 对 吧？ pi 减 a 是 不是等于 b 加 c， 对 不对？是不是？几变五变？是不是还是算 a， 对 吧？再加上谁？再加上什么？再加上我们的算 c， 对 不对？ 所以说什么？所以说。由正弦定离可知由正弦定离可知，对吧？二、 b 等于谁？等于我们的 a 加 c 对 吧？ 所以说什么？所以说 abc 乘什么乘我们的谁？ abc 乘什么乘我们的等差数列，对不对？所以说 abc 乘我们什么乘我们的等差数列。没有任何问题，能听懂我意思吧？ 所以说 abc 乘谁乘我们的等差数列，对不对？没有任何问题，能听到吧？好，来，我们来看下面啊，若角 b 等于六十度，延长这个先把这个草图给它画一下啊。 好啊，现在的解三角形啊。嗯，是比较喜欢结合到一些，就是中中。嗯？怎么说？ 哼，我一时间没没想到，怎么描述我刚刚那个意思啊。没事，先把这个题做完吧。啊？若角 b 等于六十度啊，我们随便画一下 好吧，角 b 等于六十度，那这个差不多就是六十度，对不对？这里是 a， 然后这里是谁？这里是 b， 对 吧？这里是 c 啊。 延长 bc 至点 d， 使得 bc 等于两倍的 cd 差，弄这么多差不多了好吧， bc 等于两倍的 cd， 对 不对？求我们的 a d 比 ab 的 值，求我们 a d 比 ab 的 值。首先知道这里是六十度，对不对？ 这里是六十度，然后呢？这里 bc 等于两倍的 cd bc 等于两倍的 cd。 我 们先把这个题干用一用啊，因为谁？因为 b 等于六十度，对不对？ 所以说带入我们的题干，所以说带入，带入题干可得什么？上面是二分之杠三，对吧？除以谁除以一加二分之一是不是等于谁？是不是等于这边的什么？等于我们这边的一个散 c 除以谁除以我们的这个二减靠散 c 对 不对？能懂我意思吧？ 这是谁？这是二分之三，对吧？二分之刚好三除以二分之三是不是乘以三分之二，对不对？约约是不是三分之刚好三，对不对？能听懂我意思吧？是不是三分之刚好三，所以说谁？所以说我们的算 c 是不是等于谁？是不是等于三分之刚好三，对吧？三分之刚好三二减。谁二减？我们的 cosc 对 不对？能听到吧？是不是三分之刚好三二减 cosc 对 吧？好，那我们把东西给他往这边挪一挪啊。所以说 cosc 加上我们的三分之刚好三，对吧？加上我们三分之刚好三 cosc 对 吧？ cosc。 然后是不是等于谁？是不是等于三分之二倍根号三，对不对？能听懂我意思吧？ 是不是等于三分之二倍刚好三，对不对？等于我们三分之二倍刚好三。嗯，三分之二倍刚好三的话，我们能不能给他变变形？ 我们能不能给他变变形啊？三分之二倍刚好三。我们提出来一个谁啊？我们左右同乘一个。什么？同乘一个？ 嗯？乘一个谁啊？乘一个我们的二倍根号三，二倍根号三分之三，好不好？ 乘一个二倍根号三分之三啊，我们左右同乘一个二倍啊，别同乘一个二倍根号三分之三，来我们干什么？现在是不是到这了，对吧？现在是不是到这了？然后我们直接想办法把它合并吧。好吧，先直接把它合并起来 啊。然后我们前面那个是不是根号下什么？根号下？ a 方加 b 方，对不对？ a 方加 b 方是等于谁？是不是等于根号下什么？根号下一加上我们这里是多少？这里是不是九分之三？九分之三？ 平方是不是？这平方是不是九分之三，对吧？是不是三分之一，对不对？三分之一，那我们是等于谁？是不是等于根号下什么？根号下三分之谁？三分之几？三分之四对不对 啊？三分之四对吧？三分之四开出来谁？是不是我们的根号三分之谁？根号三分之二，对不对？前面应该是一个根号三分之二，对吧？好，那我们前面是一个根号三分之二， 里面应该是谁？里面应该是一个三 c， 对 吧？三 c， 这乘以一个谁？乘以一个二分之什么？二分之根号三，对吧？因为我们要凑一个一，对不对？ 哎。二分之根号三，再加上谁，再加上我们的 cosc， 对， cosc 这边应该是乘以一个谁啊？注意啊。嗯，和上面约完还剩一个根号三，那我们上面是不是三，对不对？根号三和它约出来还剩一个三， 二和下面约完还剩一个三，那我们下面是不是一个六，对不对？下面是不是六，对吧？约掉是不是三，对不对？然后这个约掉这里是不是根号三，对不对？是不是二分之一，对不对？能听懂我意思吧？是不是二分之一对不对？ 是不是等于谁？是不是等于什么？等于这边的三分之二倍根号三，对吧？没，没毛病，对吧？好，那我们这边是不是可以把它变成三对吧？我们给它变成一个三分之二倍根号三，对不对？能听懂我意思吧？三分之二倍根号三和这边三分之二倍根号三，我们是不是可以给它擦掉，对不对？ 那最后是不是等于一，对不对？能听懂我意思吧？那所以说我们这个变成什么？是不是变成三？谁三？ c 加谁加六分之派，对吧？ sin c 加六分之派是不是等于谁？是不是等于我们一对不对？我们是不是划到了这对吧？ sin c 加六分之派等于一啊？好，嗯，因为我们 b 是 等于六十度，对不对？ 因为 b 等于六十度，这里你一定要写清楚那个角度范围，不写会扣分，会卡，你分明白吧？就在这里卡分啊。因为 b 等于谁？因为 b 等于六十度，对不对？所以说什么？所以说 c 属于谁？ c 属于一百， c 属于零到一百二， c 属于零到三分之二二派，对不对？能听懂我意思吧？所以说 c 属于零到三分之二派，对不对？所以说什么？ 所以啊，又因为谁？又因为 sin c， 哎，再写一遍，又因为 sin c 加六分之 pi 等于谁？等于一对吧。人家这个时候就知道，哎，你知道去描述一下这个度数。所以说谁？所以说 c 只能等于谁？ c 只能等于我们三分之 pi， 能听懂吗？ c 只能等于三分之派，明白吧？ c 只能等于三分之派，哎。 c 等于三分之派，你这个好多了啊。 c 也是六十度，你这是个什么三角形？你这是个等边三角形，对不对？能听懂我意思吧？你这是不是一个等边三角形，对不对 啊？那我们设一下，我设 ab 等于二 m， 好 吧，我设 ab 等于二 m， 能听懂我意思吧？ ab 等于二 m， 所以 说这边是不是也得是二 m？ bc 等于两倍的 cd， 这边是不是 m， 对 不对？能听懂我意思吧？ 那我们在三角形 a、 c、 d 中啊，我们在三角形 a、 c、 d 中，这边是不是也是二 m， 对 不对？这边是不是也是二 m， 对 吧？我们设设 ab 等于 m 啊。设 ab 等于二 m， 其中 m 大 于零。描述一下，设 ab 等于二 m， 其中 m 大 于零。我这就不写了啊， 我们现在是不是要求 ab 除以什么？除以 ab 的 一个比值，对不对？你现在是不是知道谁？你现在是不是知道这里是什么？这里是不是一百二十度，对不对？一百二十度对吧？你在这里套个余弦定律就行了，对不对？ cos 什么？ cos 三分之二 pi 对 吧？三分之二 pi 是 不是等于谁？是不是等于我们的四 m 方加五 m 方，是不是五 m 方，对不对？五 m 方减去 a、 d 的 平方，对吧？然后是不是除以谁？除以二乘二十等于四四 四 m 方，对不对？四 m 方是不是应该等于谁？等于我们？ cos 三分之二 pi 是 谁？是不是我们的负二分之一，对不对？能听懂我意思吧？ 等于负二分之一，好，我们把这个符号给它放上去。所以说四 m 方分之谁？四 m 方分之 a 地方，对吧？ a 地方减去谁？减去五 m 方，减去五 m 方是不是等于谁？是不是等于二分之一，对不对？所以说二 a、 d 的 平方 减去十 m 方，减去十 m 方是不是等于谁？是不是等于我们四 m 方，对不对？能听懂我意思吧？二 a、 d 的 平方应该是等于谁？是不是等于十四 m 方，对不对？ 十四 m 帮二约掉，这里是七，对吧？所以说 a、 d 应该等于谁？应该等于我们的根号七 m， 对 不对？所以说根号七 m 除以我们的 ab 是 谁？ ab 是 不是二 m， 对 吧？最后约出来结果等于谁？最后约出来结果就等于我们的二分之，根号七。

家人们，本次小视频我重点跟大家分享二零二六自治区三模解答题十七题。那么这是一道关于理题几何的经典的大题。本次小视频我们不仅把这道题做对，更要把背后的逻辑给大家讲透。好，我们先审一下题， 如图， a、 b、 c、 d 是 边长为二的正方形，以 m 为圆心的半圆面 m a、 b、 c、 d、 e 是 半圆弧 a、 b 弧上的动点。 第一个小问题呢，是证明平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e。 那 么怎么正这个平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e 呢？好，那么它的核心的思路是，先证明先面垂直，从而推倒面面垂直。 那么我们第一个步骤呢，锁定这个目标直线，在其中一个平面 i、 d、 e 或者平面 b、 c、 e 内寻找一条看起来与另一个平面关系最密切的直线。 第二个呢，是正明线面垂直啊。第三个呢，推到这个面面垂直。那么在本题的立体几何图形当中，哪条直线最有可能成为连接两个平面，实现线面垂直的关键？先生呢？好，那么我们一步一步把这道题做一下。 好，因为这个已知平面 a、 b、 e 它是垂直于平面 a、 b、 c、 d 交于 a、 b、 a、 b、 c、 d 呢，它是正方形，那么正方形的两边邻边是互相垂直的，所以 b、 c 垂直于 a、 b， 所以 b、 c 垂直于平面 a、 b、 e。 那 么 b、 c 和 a、 e 它是互相垂直的。 好，那么因为 a、 b 是 直径，那么角 a、 e、 b 它是什么？圆周角？那圆周角是啊，直径所对的圆周角是直角，这是在初中的时候学过。所以啊， a、 e 和 b、 e 它是互相垂直的，那么 a、 e 垂直平面 b、 c、 e， 那 么平面 a、 d、 e 呢？它是包含 a、 e 啊，那么平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c。 那 么第一个小问题，我们做出来的这个积分已经拿到手了，你学会了吗？ 好，我们再看一下第二小问啊，那么第二小问说，若平面 b、 c、 e 和平面 c、 d、 e 所成的锐二面角的余弦值是十一分之，根号三十三，求自冷锥 e、 a、 b、 c、 d 的 体积 好，那么这道题的核心思路是体积，那它是等于三分之一底面积乘高，它的底面是什么来着？是的，十二个正方形边长，你还记得吗？十二，所以底面的面积是等于四。 那么第二个步骤，我们要求高，那么也就是体积计算的关键就是转化为求结点 e 到平面 a、 b、 c、 d 的一个垂直的距离，那么我们要去寻找它的这个突破口，也就是利用题目给出的平面 b、 c 一 与平面 c、 d 一 所成的锐二面角的这个余弦，指这一个几何条件建立方程。求解。 好，那么第一个步骤我们要干嘛呢？啊？肯定要进行，那么这是一个万能的钥匙。好，那么我们沿 a、 b 的 方向画一个 x 九好，那么平行于 a、 d， 以 m 为圆心，画这个 y 九 好，那么垂直于平面 a、 b、 c、 d 的 这个方向上，我们画这个 z 九 好，那么我们把这些点表示出来，那么因为这个 m 是 圆点，所以它的坐标是零都零都零 好，那么 a 点呢？它是在这个圆点的左方，是在 x 轴上啊，整个 a、 b 的 长度是二啊，边长是二嘛， m 是 中点，所以 a 点的这个坐标是负一都零都零啊，那么 b 点是一都二都零， d 点呢？是负一二都零， 那么 e 点它是个动点，所以它是 cosine theta 零， cosine theta， 好， 那么在这的这个 theta 呢？是在零到 pi 中间。 好，那么我们把这些向量给它表示一下。第一个平面 bce 的 这个法向量啊，那么这个 c b 向量呢？它是零负二到零， 从这个末点减去它的初点嘛， b 的 坐标减去 c 的 坐标，能得到 c b 向量，那么 c e 向量是 pythagore theta 减一到负二到萨因 c theta， 那 么它的这个 n 二向量啊，也就是等于负二倍的萨因 c theta 负零，负这个二倍的一点 cosine theta， 同理，那么我们可以写出这个平面 cd 一 的发向量 dc 向量是二到零到零，第一向量是 cosine theta 加一啊，负负二负 sine theta， 那 么我们能得到 cd 一 的这个发向量，那么它是零负二 sine theta 负四。 好，那么利用这个二面角的公式来列方程，那么二面角的公式是锐二面角的余弦值等于两个发向量的夹角的余弦值的绝对值。那么库萨尼塞，它等于 n 二乘 n 三， 它的膜比上 n 二的膜乘 n 三的膜，也就是十一分子根号三。那么我们单独把这个 n 二向量乘 n 三向量是什么？ 那它是等于负八倍的这个 e 减 cosine theta， 那 么 n 二向量乘 n 三向量的这个模是多少？八倍的 e 减 cosine theta n 二的模， n 三的模分别是多少？把它们算出来，算完之后代入化简，那能得到这个 cosine theta 是 等于三分之一， 而 cosine theta 算出来，那现在要求高啊，那么高 h 呢？它是既点是一到平面 a， b， c 的 垂直的距离，等同于一点在 z 的 一个坐标值。所以刚才我们得到这个 cosine theta 吗？那能得到这个 sine theta？ 好，那么能得到这个 h 是 一减三分之一的平方，也就是三分之二倍的根号二，那么代入到刚才的这个体积公式，那么我们得到它的这个体积是九分之这个八倍的根号二， 那么第二小问我们就把它算出来了。好，那家人们啊，那这道题呢，核心就是先间隙法向量，再加一个二面角，掌握了这个套路呢，立体几何直接拿捏。 那么第一个问题呢，我们用了几何方法证明了线面垂直。第二问呢，啊，从线面垂直推导出了这个面面垂直。 第二问呢，用空间向量算二面角，然后双管齐下呢？再也不怕这个立体几何。觉得有用的家人们点个关注，下次带你刷更多的立体几何的经典的题，那么咱们一起重高分儿！

今天我们来讲一下安阳高三三模数学试卷上的第十六题，这道题是个典型的例题几何大题，第一问是证明，第二问是求二面角。但是很多同学这道题没有得到分的主要原因是， 第一个他借了这个平行六面体，我不知道该怎么办了，看着图好复杂的样子。第二个看到了证明线线相等，我也不知道该怎么办了， 那我们就一起来看一下这道题正确的解法。其实考察这个线线相等，他是参考的是哪一年的高考真题啊？是考察了二三年全国假卷那道例题几何题。那道题的第一问也是让你证明两个线段相等， 但凡让你证明了两个线段相等，你是转化成什么？转化成了是线段垂直，还有哪一种可以转化成线线垂直啊？让你证明一个点是一个线段的终点的时候，那这个时候也是转化成了线线垂直。 那我们一起来看一下具体怎么证啊？你先找到这个，他说 a c 一， 哪个是 a c 一， 是不是这个 a a 一 证明这个，让证明这两个是相等的，那他又说什么呀？ a 一 b 一 c 一 d 一 是个正方形，那是正方形，那我知道正方形的对角线相交了，这个点我给他个字母 m 吧，那这个 m 是 不是就是 a 一 c 一 的中点，它是中点，然后又让证他俩相等的？那想一下，我是不是只要证出来什么 am 和这个线垂直，我是不是又正出来了？我是不是又转化成要正 am 和 a 一 c 一 垂直， am 垂直于 a 一 c 一 就可以了，那正线线垂直我知道正线线垂直，我就要正什么？是不是又要转化成正线面垂直？线线垂直一定是转化成线面垂直，那正哪个线和哪个面垂直啊？ 那你想一下，我是不是只要正出来 a 一、 c 一 和这个面垂直于这个面 a、 b、 e、 d 是不就可以了？那我们来找条件就行了。首先它是个正方形，那 a 一、 c 一 就和谁是垂直的？是不是对角线和 b 一 d 一 是垂直的，这是一个了，那第二个在哪啊？你看题中 其中他说 a、 c、 e 和谁是垂直了？是不是和 c、 e、 d 是 垂直了？看啊，这，那他和这个是垂直了。那我们来看一下 b、 e、 c、 e、 d， a 这个是个什么图形啊？是不是是个平行四边形？他既然他和这个 c、 e、 d 垂直，那他 ab、 e 和 c、 e、 d 又平行，那你说这个 a、 e、 c、 e 和 ab e 垂直不垂直， 他是不是也垂直？所以我挣出来 a、 e、 c、 e 和 ab e 也就垂直，那由这两个条件，我是不是要挣出来 a、 e、 c、 e 和这个面 a、 b、 e、 d、 e 垂直？那这个时候 am 是 不是又在这个 a、 b、 c、 d 上？所以我就直接挣出来了 a、 e、 c、 e 垂直于 am， 那 又因为 m 是 不是 a、 e、 c、 e 的 终点，我就直接挣出来这两个线相等了。其实挣出来第一个之后，那第二个就很好写了，我是不是要间隙了？ 那间隙了，你已经挣出来 a、 m 和这个面是垂直了，那接下来呢？ a、 m 是 不是和底面也就垂直？我直接间隙，我正常的按坐标去找坐标就行了，标出来各个点的坐标，分别再求出来 a、 e、 a、 c、 e 它的法向量，然后再求出来 a、 c， e， d 这个的法向量， 然后求出来求 sine theta。 一定要注意啊，这个求出来的是二面角的余弦值，但是人家让我求正弦值了，不要忘了，最后再把它变成 sine theta 就 可以了。我给大家整理了立体几何这近五年所有的真题，大家可以下载起来，每天两道题，争取立体几何不丢分儿。

看题目，第一题，质量减小，在圆轨道上运行。 a。 周期 b。 速度 c。 向心加速度，它们都是源于这个公式，万有引力提供向心加速度，万有引力提供向心力这个公式出来的啊， 当然万元引力它也提供向心加速度这个公式。你会发现这公式有个特点，它们的 m 都无关啊，都和 m 无关，所以你质量减小，它们其实都不变的。看下 d， 地球引力就是它， m 减小，引力自然减小。选 d。 第一问，第二问。棉线吸水到土壤里面，土壤散开，给这个绿植供水，水不浸润棉线，那水上不去，水不浸润，土壤，水散不开，毛细现象，对 空心的这个塑料塑料笔芯，它不浸润，水上不来，不行。第二题选 c。 第三题， 水平抛出一个小钢球，是一个平抛，平抛，我们看数值方向上，他是平闪照相机，也就是时间间隔一定，数值方向上时间间隔一定，他数值方向上是一个自由落体啊，那他的位宜应该是一比三比五，也就是一比三比五。 a。 正确 b 选项三三错误 c 选项三三错误 d 选项三三错误，所以选 a。 第四题， l， c。 正电路，它说电界至常数界电常数降低，我们知道 电容等于 m， c， o， s 除以四倍 k， d， m， c， o。 降低，电容降低啊，不变变大。错误， 频率我们知道周期等于二派根号下 l， c， l， c 降了，电容的周期好，电容降低，周期降低，然后我们频率啊，又等于周期分之一， 这个东西降低，频率增大。选 c。 第五题， 润滑油密封气体没毛病，需要测它的直径吗？它是探求等温变化，等温变化什么规律？ p v 比 t 等于 p v e 比 t， 这个温度是一样的。直接擦掉这两个看什么原因。 注射器，注射器是它的这个横截面， s 乘以 l， s 乘以 l e， 这个 s 是 什么？四分之一派地的平方约掉了。其实这两玩意一样的嘛，所以和它的直径不需要啊， 手握着传热了，不等温了，上下移动之后，这东西上下移动，空气柱被拉伸了，拉长了，应该它增大了，那屁就降低啊。 所以选 a。 第六题来看，频率随之变化。什么东西变频率变化多，普勒效应，频率在变化，其他频率不变啊。 来第七题，大头针，在这个点我要能看见，然后发现看不见，看不见，为什么全反射，在这个点全反射了， 好，我要看点怎么办？增大半径 r， 增大半径 r， 把它往旁边去挤了，增大了，那它的这个角度是不是比以前更大？那更加是全反射变长会怎么样？哦，看这个最底边，哎，好像比刚才来的小了，可行 啊，可行。为什么？你看这条线与这条线相比，明显这个要比较小一点，可行。 来 c 选项向右平移，没有用啊， d 选项向压，往下压，一样的啊，都没有用，为什么向右平移一点，那你不还是这样吗？往下压一点，它还是这样啊， 所以我们增大长度是可以的。选 b、 d 第八题第八题， a、 b 有 一个水平向左的粗速度。水平向左的粗速度，你把右手一伸啊，它产生 向上的电流，向上电流顺着它到它，到它完了之后，它成左手一伸啊，它是往这边方向有一个力，往这方向有一个力，右手再一伸，它就有这个速度吗？有一个速度吗？然后它就会产生这样的电流和它两个人相冲啊。 那么随着他的这个 v 增大，这边的 e 增大，这边的 e 呢？在减小，为什么？因为他受到一个反向的安培力，把他速度降低了。 e， 他 不是等于 b 有 v 吗？速度降低， e 降低，一个增大，一个降低，最后他们俩会达到平衡， 一等于一二一样的时候，哎，他不产生电流，没有电流，没有安培力，不减速了，所以在这个时候他们匀速了。 好， a 选项， c， d 向左移动。错误，向右移动， b 选项，向右，先加速后匀速，没问题。 c 选项，减少的动能等于增加的动能。 a、 b 减小的动能应该等于它增加的动能加上一个内能才对， 因为它会产热啊。好，它减小的动能等于产生了，我们还有 c、 d 这种产生的动能呢。 b 第九题，上面是个 e， 下面是个 e， 然后我们知道，对于这个而言啊， 它和距离无关，我们从能量的角度来看，它只和它们两端的电时差一样，也就是 u e 和 u e， 上面是 u e， 下面是负 u e， 上面正 u e。 两个玩意一抵消， 就发现在 o 点和在 c 点，他们俩动能都是零，于是他刚好停在 c 点，这时候他把臂板往上移动，往上移动之后，因为你知道，我们这个能量和他的距离无关，只和他两端的电时差有关。 好，那不管它移到哪里，我们到 b 点的，它的速度都是一样的，到 b 版的速度都是一样的， b 版到 c 版速度也是一样的。 所以 a 错误， b 错误。为什么？因为刚好停在 c 点啊，微距图像去看啊， v t， 首先它们最大的肯定是到达 v b 这个端好，然后呢，不管你的斜率是多少，斜率是什么？斜率加速度，加速度是什么啊？是 e e 除以一个 d 了，随便你 d 一 d 二， 第一或者第二吧，第一段就是第一，随便你是多少，我随便标的第二段，第二到这边，反正最后数字是零嘛。好，那么这个面积又代表着什么呢？面积代表着第一加第二，它是一个定值。 好，现在你知道我不管怎么样啊，不管怎么样变，我的面积是一个定值，它的高是恒定的，所以我们底应当也是恒定的，时间一定。 第十题，我们比如说看它的这个受力啊，它比如说往前运动 x， 那 它受到的摩擦力应当时 我对于 l 它的 x 分 所平摊的重力所造成的摩擦力。这个时候它有个特点啊，你会发现它其实是个减去运动吧，是不是负 l m g 再乘一个 x 啊？对于它的 f 而言， 是的吧，它减弦运动有什么特点？不管你的速度是怎么样的，出速度是多少，只要它是零到 零到零，它的时间是一样啊，当然它这个地方是速度最大到零啊，时间是一样的，都是中间中心位置到结尾它的时间是一样的，所以时间不变啊。 选 a， 好， 当然你要问它的周期是多少啊？周期是多少？我们都知道对于弹簧正值它的负 k x， 它的周期我们知道的是二排根号下啊， k b m 好， 这个地方 k， 看到没有，这个地方 k， 那 它的周期呢？如果让你算，你也要会算，是吧？是它 m 把它一弄啊， m 上面一个 l， 好，这是它的周期啊，然后它走了多少呢？走了四分之一个，是不是？我看一下这个 c 和 d 位移，位移怎么判的？位移怎么看呢？ 位移它和时间其实没什么关系，当然我们来看位移，我们可以用能量去看吗？它的这个速度减小了动能减小 动能，它全部转化成了摩擦的内能，然后它对于摩擦而言，你可以发现它肯定是这个距离减小，你说。哎呀，我算不出来啊，这个摩擦力怎么算？算不出来，但是你看也能看出来， 摩擦力做工无非就是 f 乘以 x 吗？我这个 f 在 某一段啊，就比如说在某一段，就在这一段吧，比如说在这边停在这一段，它摩擦力做的内容是不是一样的？肯定是一样的，对不对？ 多了一点它就多了一点呗。那少了一点它少一点呗。啊，位移肯定减小了。 看一下十一题。十一题装置是这么个装置。看一下 a 速度方向始终和它垂直吗？不始终垂直，如果说有绳子拉着，那当然垂直，但是它绳子断了。 p 一 一部分它是往 q 有 一个速度，一部分它是 垂直于这个东西有一个速度，这两个速度一合成，哎，它就不垂直了。 b 选项，始终指向 o 点，不始终指向 o 点。 z 选项， b 线能守恒不守恒， 它的速度朝这边，弹力朝这边，做功吧。 d 选项， 槽对球做的功大于弹性。势能增量没毛病啊，它对它做功一部分或转化为动能，为什么？因为它转盘 omega 不 变。 t 往 q 与运动的时候 l 增大，那它的速度是不是增大？限速度啊？ 限速度增大，动能增大吧。那它有一部分给了动能，有一部分给了弹性，势能，选 d 没问题。 嗯，为什么我说 b 选项始终指向 o 点不对呢？这个 p 往 q 运动的时候，你想它没有加速，它怎么运动吧。 看一下十二题一问啊，在图上一看，十五，十六，十七啊，十七，当然它的分度值是十，我弄个点零孤度一位啊。 温度值是十吗？是一啊。看下第二题，这玩意一。这玩意是个电桥吧，也像像是个电桥吗？ ok， 看一下第一问，说正确连接电路，将它移到哪里？肯定移到左边啊，移到左边更安全吧。哎，这样这样过去，然后直接短路掉了，上面很安全。 看一下第三问啊，求 r x， 它干了什么事呢？它让这个这个东西，它的 i 等于零了，它 i 等于零，证明 f a， 它应该等于 f b 啊， 这两个地方 f 是 一样的，这是第一个。第二个，我让我们求 r x， 它给了电压表读数 u 和电流表读数 i， 电压表 u u 就是 测的是这个地方，也就是这个地方和这个地方啊，测的 r x 两端的 u， i 呢， 就是它的 i， 这个地方是零啊，那就是这条支路上的 i， 也就是测的它的 i。 那 所以它的这个电阻啊，就 u 出 r 了，就出 i 啊。那再看第四问，说电流方向 a 到 b， 电流方向 a 到 b， 那 就相当于我这个 a 的 它的电视大于 b 的 电视呗。 a 到 b 吗？ a 的 电视大了，然后这地方你看它连着正极，正极经过它，电视降低，现在不够，所以它应当也大一点，那降低的电视是不是更多一点啊？把它变大一点。 第五个说内阻，电压表的内阻对它测量值有影响？没影响呢，你这地方 u 测的不是 u 测的不是这两端的电压吗？测的是它两端的电压，没问题啊。那这东西本质上是个什么玩意啊？是不是 它在外面？是不是外界法？外界法什么电压表分流？它肯定单流，考的就是考的电压表分流呗。那电压表究竟分不分流呢？不分流啊，你看这地方它不是零吗？它支路上的电流不是零吗？怎么分流啊？ 不分流啊，所以你只要抓住，对吧电压表不分流就可以了。哦，这个就可以，应该就可以了啊。啊，看下十二十三题。哎呀，这简单的没边了。一个质量为 m 大， 加速大小， a， 长度，倾角，重力加速度。 哎呀，不想说了，滑到底面的速度大小。哎，加速度知道了。二 a l 等于微方嘛？减零第一问，第二问，摩擦力大小。摩擦力大小你就要知道加速度啦，是不是下滑力三 a c 大， 减去摩擦力等于 m a。 啊， 太简单了啊。不说了，太简单了，这彻底 球，它经过六十六，六十六是什么？三倍的半衰期，半衰期过一个半衰期衰一半嘛。那它的质量 m 就 等于八分之一个 m 零，第一稳，第二稳， 它的这个生生背大衰变。背大衰变是电子嘛？那就是二三三九十 t h， 它变成了一个电子，再加上一个，这个东西 就是一嘛，一个一个 ok， 然后它的这个能量加它 e， 等于加它 m， 乘一个 c 方，加它 m 是 什么呢？一开始我是这个 t h。 这个叫什么啊？ 不认识啊。它的质量是一开始是个 m 一 嘛，然后变成 m 二和 m 三了，就 m 一 一开始，后来它们中间肯定有一个能量损耗成一个 c 方，就它衰变释放的能量。 当然这个地方如果说给你阴一手啊，衰变吸收的能量，那怎么办？吸收你加个符号呗。好，因为衰变啊，基本上都是放热，在江苏里面基本上都是放热，好像很少有吸热的。第十五题， 缩小一点，稍微有点难度，但是一般吧。第一问啊， q 点进入磁场的大小强度。 好，这个数字大小为零为零是多少？哎呀， u q 等于二分之一 m 为零嘛，太简单了。第二问， 然后他说它等于 u 零的时候，哎，它刚好偏转到，刚好偏转到 m 点 m 点，这叫什么？等角进出 指向圆心和背离圆心出。指向圆心进，背离圆心出嘛？两个地方一找，找到它的这个圆心圆心，发现是个 r， r 等于 m v 零除以 b q， 这个 v 是 什么？上面英文求出来的 v， 最后求出来这个 e 的 大小。都是很简单的东西啊。那第三问， 第三问，它的电压从三分之一零连续慢慢增加到一零，时间足够长。啥意思？它的这个地方和它是对应的，也就是说你看它是在变化的，其实把它细化，细化到每一个粒子，哎，它都是不变的啊， 也就是说他一开始是三分之 u 零，然后变成 u 零。好，我们再看他的地方， u 是 不是和速度它的平方成正比啊？那三分之 u 零，我们知道 u 零，它是 v 零吗？ 三分之一零的根号，三倍的 v 零，所以它速度应当是在三分之根号三 v 零到 v 零之间，而 v 零它对应的半径是不是就是 r 啊？你看速度和半径它是不是正比啊？那它是不是三分之根号三倍的 r 啊？ 好，我们知道了它的半径和速度，然后问我们求穿过这个磁场边界的粒子穿过的长度是多少？好，一开始我们最大，最大在这边，它呢？ 三分之根号三， r 呢？哦，在这边往上移三分之根号三，这是它的圆心 o o 和它一连，这个是 r， 三分之根号三，那它就是 六十度，好，六十度对应的，我们在这边，那是比如打到这吧，打到这个点了，哎，他应该也是六十度，而这边呢？他是六十度， 这边是一百二十度。六十度吗？也就是说从六十度开始，我这个角度更大一点，那就在这一片，哎，他是有的， 他是打出去的吗？比六十度更大一点，是不是打在这边？好，现在我们对于这个红色的这个粒子啊，红色的这个粒子他现在打到这了，下一次打嘛？打到这了。而蓝色的这个粒子呢？下一次打，我还是翻过六十度吧，这个地方就三十度，哎，这个地方是六十度。 好，哎，打到这边好，然后他有六十度吗？一直是六十度吗？那我这个蓝色下一次打到哪？是不是打到这啊？红色呢？下一次打到这吧，然后这边就是打到这个板子上被吸收过去了，哎，所以这边是有的， 好，那它的长度是多少呢？无长等于角度乘以它的半径，角度是多少？三十度，这地方六十度，这地方九十度，加起来一百八十度，一百八十度去 pi 一个 r 好， l 出来了。第十六问第十六问， 一个质量均匀的光滑细管，放在光滑水平面上，它是二二，半径为二， 圆管直径两端均有质量为 m 的 小球。 a b 两个小球都是 v 向右运动，它们第一次碰撞过程中，管的位置 x 一， 重力加速度是 g， 均是弹性碰撞。好，我们来看一下啊。来这题我们就把它稍微讲一下。 a 一， 知识点大小，哎呀，不就是四 m g 吗？加速度大小 a 一， 因为它做圆周嘛，在这边做圆周运动嘛，那不就微方 r 嘛，圆周运动的，这个一问送分的啊。我们看第二问，开始 说从开始运动到肛要发生第一次碰撞，管对 a 做了功啊。我们现在这个求 a 和求 b 和这个管在水平方向上是不是不受外力？水平方向上不受外力，数值方向上也不受外力，所以它们的 水平和数值方向上动量应该都守恒。水平和数值方向动量都守恒。好，那我们先看水平方向吧。对，这个， 对，这个叫什么？整体吧，对，整体。哎，从开始到第一次碰， 它们水平方向上守恒的，而我们又知道，沿着这个半径的方向上，它们的速度肯定是一样的，这个是绝对的，沿着半径的方向上速度是一样的，要不然你这球都飞出去了。 好，那么到了这个点，这两个物体是到了这个点，沿着半径的方向，是不是就水平方向的速度，它们是一样的，所以共速啊， 而共数，你会发现他们动了是手横呢，一开始是向右的，最后肯定也是向右，所以到最后他们共数向右数的是多少呢？啊？动了手横呗，一开始是两个 m， 后面变成了质量是四 m 回共， 那微攻就等于二分之一为零，这是二分之一为零。好，那么从开始到第一次碰撞，我们对管来研究一下，当然你也可以对 a 研究啊，都是一样的一个道理，对管更简单一点。 对管，从啊开始到第一次碰撞。好，管一开始， 我们就先直接列动能定律吧。动能定律， a 和 b 对 管做功两倍的 w， 而 e 呢，等于管的动能的变化量，动能变化量出动能零末，动能二分之一乘二 m 乘以二分之 v 零的平方， 这个地方我标个 w 一 撇好，两倍的 w 一 撇等于这个，那 w 一 撇等于什么呢？等于八分之一 m v 零方， 而这个是 a 对 管的，那管对 a， 它是相互作用力吧， a 对 管做正功，那管对 a 就 做负功， w 应该等于负的八分之一 m v 零方，这是第二问。好，我们来看下第三问， 想必经过咱们一二两问的这个研究，你会发现第三问它有个特点啊，当然，这个第三问的话，你怎么去研究它呢？ 注意的啊，你看我们 a 和 b 到这里，你转完之后，你本来是什么速度，你转完之后还是什么速度呗，你歪歪方向是有速度，这两速度还是一样的，然后又回来了， 他装完之后又回来了，那我们就来研究一下。那你回来了，到这里了， 数字是多少，对不对？第三问，我们来看一下这是啊，第二次到出事为止，可以吧？第二次到出事为止， 对整体而言啊，对，整体，我们现在想要算一下第二次到住处位置到底是多少啊？从开始到第二次开始，或者说到第二次经过 a b， 你 懂我意思就可以到第二次开始好了。 就是刚刚回来嘛，到期数为止。好，那他们呢？很明显我们这个动量守恒肯定还是动量守恒啊。是什么呢？我一开始是不是两倍的 m 变成 v 零， 后来变成什么了？两倍的 m 它有一个 v， 比如说 v 一 吧，我不知道它的速度嘛，我设个 v 一 好了， 那可能向这边，可能向这边目前不知道，然后再看一下那二 m 就是 这个大的，管它肯定也有个速度啊，我收个 v 二好了，不知道朝哪，反正它们一定是水平方向动量守恒的，我们知道这个之后， 知道一个动量守恒，还知道什么能量也是一样的。因为你发现这两个地方有什么特殊之处啊？它是不是没有数值方向中的速度啊？ 是不是只有水平方向的速度？所以那我一开始他也是只有水平方向的速度，哎，是他后来呢？还是只有水平方向的速度， 哎。这玩意是什么？这俩公式像什么？很好想吧。一个动量，一个能量，这俩玩意不就是弹力碰撞吗？ 是不是？是不是弹性碰撞？很像吧，我们当时一一动撞一进，是不是列的也是列这两个方程？ 你看都是这两个方程，所以对于他而言，我们肯定还是那个弹性碰撞公式吗？ 那这东西不就是一一动装一静吗？而且质量是一样的吧。那么质量交换呢？那我们不难得出 v 一 它不就是零吗？ v 二它不就是 v 零吗？你会发现我们第二次到这个 a b 这个点的时候，哦，管子是一个 v 零，这俩玩意儿不动了，停在这儿了。 管子是微点，这两玩意不动，哎，那很神奇。那一看我们一开始到了微共了，然后啊，又到了弹性碰撞了，这个像什么？ 是不是像那种，哦？我一个东西冲上一个，这个冲上一个，这东西好，一开始先供塑，然后再滚下来，还有什么？哎？这东西撞上一个弹簧，哎，一开始先供塑，然后再被弹出去，像这种东西， 好，那我们再去看这个题目，说开始运动到第 n 次碰撞这个时间，那我们先看时间怎么算。 不过我们在这边，我们也可以这样想一下，现在这个物体分析到这边，在我们眼睛当中它就不一样了， 不一样了，他就不是这样的物体了，我们已经抓住他本质了。本质是什么？弹性碰撞嘛？好，那是什么呢？那我现在变成了这个二 m， 有 一个 v 零了， 和这两个东西碰撞了，那么不难猜吗？我到这里的时候，是不是又是他们共述啊？又是共述了，共述完了之后他又回来了。那这次回来怎么又变成 v 零了？ 好，我来把它梳理一下，我们来看一下，也就说一开始我们这样看，对吧？ 一开始的时候，哎，是两个小球以一个 v 零去撞一个这个东西，它是二 m， 它也是二 m， 然后变成什么了？变成两个小球不动了，这个东西，它，啊，或者你以为它们俩变成一个共数， 然后变成什么了？哎，然后我这两个小球啊，他们往回走了，或者说跟他一起走了，走了一段， 然后又把它弹开了，应该这样理解吧。一开始是这样，然后后来比如说停在这了，速度交换了嘛，他就变成 v 零了。 哎，变成这样好，那么我们这样想是没错的，这样想没错，但是后来我们还继续去想，后来怎么样了，后来是不是他们俩又拱输了？比如说运动到这里的时候，他又拱输了， 又一个胃拱，要运动一会，现在他又变了，变成猝死的状态了。 是不是像这样，那我们这边到这边很好理解，这边到这边可能有那么一点点不好理解，不过我们可以这样去看嘛， 你看，我们这边到这边相当于是这个球去撞这个管子，这边到这边的时候相当于这个管子去撞球了。如果你这样看，看的不熟悉，你可以把它换一下呗， 当然我这边是为了表示他的状态啊，你可以换一下，是不是这个球在这，这个东西在这边，然后他反而还撞到他了？你可以这样理解嘛，他去撞他了，但实际上他的位置应当是长这样的。 画反了，这样理解吧。然后他变成 v 零去撞他， 好，最后撞上去又供书，供书完了之后又回到他。啊，是这样的一个过程，大家懂，大家知道我表达什么意思就行了啊。画这个图本来他也没办法，完全就是说和他表达的意思是一样的，反正你大概理解什么意思即可。 好，然后我们来继续大概理解了这个东西，它到底是一个什么样的运作机制，它到底考的是什么玩意？这道题目就太这道题目就简单了啊。 好，他给了我们一个 x 一， 我们一直到这边没用这个管的位移，位移一看一想可能是人穿模型，但是不是，我们考的是这个东西，它不是人穿模型。那这个 x 一 怎么用呢？ 他是说啊，从开始到第一次碰撞之间，从开始的第一次碰撞，也就是这边 这个东西好，他呢，我们知道在人传摸琴的时候讲过一个东西好，对于这个式子，我们可以把它变成什么呢？ 这个地方微共啊，它随时在变。当然我们可以这样写了，我们换一个写在这边，上面是第一个考点，下面第二个考点。对，整体 从开始到第一次碰撞， 我们可以这样写吧，一开始是 r m v 零，后来变成了 r m v 小 球，比如说小球写，写个 v 球了，加上一个 r m v， 管 好，我们这边两边同时乘时间 t， 这相当于是把后面进行了一个求和了。在人传模型当中我们说过啊，当然他们求和完之后会变成这样。 左边是一个定值嘛，定值乘一个时间 t， 等于后面求和，求和就是 x 球，就是 x 球的位移。 球的位移这个东西呢，就是管的位移，管的位移不是 x 一 吗？好毛病。好，那我们再看 x 一 和 x 球有什么关系啊？在人传模型当中是 x 球加 x 一， 它等于 船的长度。哎，但是在这边倒好像不是，我们来找一下他的关系呗，其实也很好找嘛，从开始这次开始啊，到第一次碰撞在这边，那很明显吧，我这个 这个球比管多运动一个 r 吗？你就说 x 球啊，那减去 x 一， 它不是等于 r 吗？两式子往里面一带，哎，这个时间 t 把这二 m 先给它约了 啊，这个东西往里面一带，把这个 x 球给它消了，那就是 v 零 t 等于 r 加上二 x 一， 所以时间 t 应当等于二 x 一 加 r 再出一个这个 v 零。好，那么我们到这里的时候时间知道了，那很明显吗？我们这边不做严格证明了，因为你在考试的时候我们也需要找一点规律吗？ 从这个地方到这个地方，他是一个时间 t， 那 么很明显我反过来是不是也是 t？ 我 从这个地方到这个地方是不是还是个 t？ 回来是不是又是个 t？ 所以 一个周期我是不是认为是四个 t， 四个 t 作为一个周期 啊？周期是什么？两次碰撞，当然我们这个地方问的是，问的是第 n 次碰撞，这是第一次碰撞，这是第二次碰撞。那第一次碰撞和第二次碰撞之间我们经历了多久？经历了多久呢？ 好，两次碰撞，是不是我从第一次碰撞开始第一次碰撞啊？他们现在已经撞进来了，我是不是先回到处死为止？过了一个 t 再碰撞？我过两个 t， 所以 第一次碰撞到第二次碰撞，我们是两个 t， 从开始到第一次中间 t， 第一次到第二次两个 t， 第二次到第三次是不是两个 t？ n n n 到 n 次中间是不是都两个 t？ 哎， ok， 那 我们最后实践 t 是 不是等于我们这个？当我标个 t 零好了，两个 t 零，两个 t 零，两个 t 零 t 零加上多少个啊？你看二的时候是不是一个 t？ 零三的时候是不是两个 t？ 两个二 t 零二的时候一个二 t 零三的时候两个二 t 零，四的时候是不是三个二 t 零，所以 a 的 时候减一个二 t 零， 哎，这个地方把它往里面一带，四点出来，这边呢是二 x 一 加 r 比上一个 v 零，这边呢是 n 减一啊，四 x 一 加二 r 做一个 v 零，这就是总体的时间， 时间知道了，我们看位移大小，我们过一个周期看它位移了多少。这怎么看呢？这怎么看呢？ 我们都知道啊，从一开始到第一次碰撞，我们认为它位移大小是 x 一， 那我第一次碰撞又回去是多少？ 嗯，当然，如果说你觉得这样想很难想，那我们直接去列式子去计算更简单。 好，我们来看时间，我们都知道，对于整体而言，我一开始肯定都是这个东西乘一个时间应该等于什么？等于二 m， 我 求的位加上二 m 我 管的位， 那球和管的卫衣球和管的卫衣，它之间关系到底是什么呢？ 在这边球和管的卫衣相差是 r， 你 会发现我球在这边撞的时候是球比他多 r， 球在这边撞的时候是球比他少 r， 那 你肯定要分类讨论啊， 是不是我求什么时候在这边撞啊？哦，我第一次在这边，第二次在这边，第三次在这边，第四次在这边。基偶嘛，所以在基数次的时候，我是求比他多一个 r， 这是基数次，那偶数次就反过来了， 他比求多个 r 啊，这个是管啊。好，把这两个东西一带往里面一算啊，出来了，结果就出来了啊， 时间带进去都知道了，好，这边计算就不多算了啊。好，这道题就这样，怎么样？还可以吧？嗯。

我不是呆头鹅，我回家找阿元去。你等着，今天要把这道题目录给亲爱的雨晴同学。这个题目呢，是我们试卷的倒数第二题。倒数第二题的话，其实我觉得这个题目还是比较 容易拿到分的。这个地方是中点，那就说明这个角的正切是等于两分之一，然后第一问都能拿到手。 这个地方求他的场，求他的场的话，其实我觉得我的学生应该知道这个地方是对应三分之一的，但呢，你要是不知道呢？也没关系，你考试的时候这是一道大题目，你也不能直接上来就直接报答案啊。所以你还是得老老实实装模作样的写下去。那怎么装模作样呢？我带你装一下啊。 这不是等于一吗？那这个地方就应该是两倍根号二，下面的是两倍根号二，求 b c 的 长， 那它比它是多少啊？它比它这个是四十五度，对吧？这是一份， 这是一份，这是几份啊？这是三份，所以这个角正确就是三分之一，你不也验证了三分之一吗？嗯，那么这个 b c 就 应该是三分之两。对，根号二。结束了。好，求证这两个角相等，求证这两个角相等的话，那就是这个角。 咦，这个角是相等的，这两个，这个角正切已经知道了，是两分之一，那我要证明这个角的正切两分之一就行了，目标非常的目的性极强，对吧？好， 做完之后我就知道这个边就应该是等于三分之二，它也是等于三分之二，那它等于多少呢？那二减一下，所以我就知道了，它就它就应该，它的角的正切也是等于两分之一，于是我就证明了 他说相等的。好了，这题就这么简单。同学们你们觉得这个题目听的过不过瘾啊？如果大家想让我说什么样的题目呢？希望大家呢在评论区呢告诉我啊。今天我们就到这里结束了，拜拜，给大哥点点关注。

哈喽，大家好，这节课就把苏西长二模选择题最后一题给各位讲一下。其实这道题目做起来可以非常快，只是这个东西它我们在我们日常生活中、高中物理学习中可能确实理解不够深刻。 你看图像是什么？是 a、 n 和 t 图像，而我们研究图像一般从哪几个角度去研究？第一个明确 x y， 第二个看斜率，第三个看面积。但是好像我们这边好像只知道 x y， 但是 k 和 s 好 像我们都不清楚对不对？ 但其实只是它这个图像斜率在高中里面没有试着去给他定义，而我们要清楚它斜率意义是什么？ 不就是一个相亲加速度的变化率吗？而相亲加速度等于什么？ a n 是 不是等于一个 v 平方除以 r 等于一个 omega 平方乘以 r， 等于一个四派平方除以一个 t 平方乘以 r？ 好， 这边我选用第一个， 我们来看一下用 b 平方除以二怎么做更快？你看这个图像，它一开始加速度是不是最大，而我们 b 平方它变化是什么？它是平方倍变化，是不是想起来平方的图像好，二次函数图像，是不是这个 变化是非常快？也就是说我们在前半段这边，其实它的速度是变化非常快的，也就是 v 平方变化很快，也就是 delta v 的 平方除以一个 delta t， 它变化的非常快， 那不就是代表它斜率越来越大吗？所以说我们来看这篇图像，是不是代表它前半段斜率，也就是它 加速度变化率逐渐增大，然后后面半段有没有看到他加速的时候又逐渐变小了，所以说此时加速度又慢慢变缓，也就是斜率他慢慢变缓，明白一个意思了吗？就选 d 了。

试卷分享高三三模、南通三模、二零二六届南通苏北三模试卷及答案视频时常有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要完整试卷及答案的，可以微长来取，整理不易。

各位，今天我们来看一下这道中考正题，如图，将三角形 a、 b、 c 绕着点 a 按逆时针方向旋转，也就是说这个三角形 a、 b、 c 是 绕着这个点 a 旋转的，然后呢点 c 的 对应点为 e 啊，恰好落在 b、 c 边的延长线上，说若三角形 a、 c、 f 减去三角形 d、 e、 f， 它们面积相减啊，就是这两个三角形的面积相减，是等于二分之五的 s 三角形 abc， 要么求 bc 比上 c、 e， 那我们来看 bc 的 这个位置， c、 e 的 这个位置，求 bc 比 c、 e， 这里有面积，那我们可以怎么样？首先要往我们的三角形的面积公上去考，对不对啊？面积公式，那我们来看面积公式，我们怎么来进行表示呢？ 好，我们来看这题，如果我们直接去做一个垂直线，然后把大家表示出来的话，好像也可以哈，但是我们注意看， 我们如果很巧妙的把这个算式理解为就是一个代数计算的话，各位，我们注意看，但是左边我加上一个 s 三角形 a、 e、 f， 那 么等式右边怎么样？我是不是也要加上一个 s 三角形 a、 e、 f 啊， 对不对？好，那你想想看，这个式子一再出来之后，我把它记一项，也就是说 s 三角形 a、 c、 f 加上 s 三角形 a、 e、 f， 就 应该等于二分之五倍的 s 角形 abc， 加上 s 三角形 a、 e、 f， 怎么样？你还要再加上个吧？等是左边原先的 a 三角形 d、 f， 是 不是？到这步我们就发现什么东西哎， a、 c、 f， a， e， f 就是 谁，就是 s 三角形 a、 c、 e， 是 不是？好，我们可以看 a、 e、 f， d， e、 f 是 谁，哎，就是二分之五倍的 s 角形 abc， 加上多少？这个是谁？这个就是 s 角形 a、 d、 e 了，对不对？好，你要注意看，刚开始题干已经说了，是按逆时针方向旋转，既然旋转，说明三角形 a、 b、 c 和 a、 d、 e 怎么样，就全等的，你就说这两个怎么样是相等的吧，这样的吧， 所以我们就知道 s 角形 a、 c 就 什么二分之七倍的 s 角形 a、 b、 c 了，是不是，对不对？哎，到这一块，你会发现这间是二分之七倍了，各位，让我们注意看，关键你来了什么东西？ 关键点啦，什么？哎，我们又发现什么东西？我们又会发现？好，接着写啊！ x 角形 a、 c、 e， a、 c， e 是 什么？ x 角形 a、 c、 e 等于二分之七倍 x 角形 abc， 那就是说 a、 c、 e 是 什么？就是 c、 e 乘以这个什么？哎，这个高啊，乘以什么？二分之一，等于二分之七倍了，什么呢？ b、 c 乘以高啊，乘以二分之一。哎，对了对了，说明什么？ b、 c 比 c、 e 是 几啊？ 多少二比七啊？ c、 e 怎么样？很明显出来了啊，因为什么 高度一样啊，就是抵一支笔，抵一支笔，就是把面积比，面积比怎么样？充分利用了，充分利用了我们的 这个等量代换，就是把我们的原本的等量 a、 e、 f 加转等两边，然后呢，来构造我们的等式，是不是意思？好，这道题目各位都听明白没有？

好了，各位同学，今天我在这个时间点呢，和大家继续录制这个苏北巴士三摩的十四到十五题讲解，为了避免吵闹啊，大帅讲话声音尽可能大一些，尽可能不要停顿好吗？ 第十四题，有母金矿，还有少量的这个什么，这玩意就长这样子对吧？你别管他叫什么 和少量的这个什么啊，这玩意我也不认识，和二氧化硅啊，它是一个不溶性杂质对吧？质被催化剂 mo o 二减 x 的 工艺流程如下， 第一小问，将母金矿与氨水加入反应釜中，加热至一百六十度，它是不是一个比较高的温度啊？ 持续通入氧气，使腐内压力保持恒定啊，压力恒定，压力有点大，这个什么玩意？ 这个玩意转化为了这两个离子。第一个想问，这个东西转化成这个物质，它的化学方程是，我们需要对它进行一个书写，我们很明显能看到啊，这个瘤呢，你把它标为负一价还是负二价都是可以的。 我们变为负二的话呢，我们的母就是正四价，我们发现啊，在生成过程中他变为了六价母，很显然他是一个氧化还原反应。卧槽，我们首先第一步呢，进行电子得失， 电子得失啊，我们能够看到他参与反应的呢，还有氧气这个物质，他也一定是发生氧化反应，那我们的这个物质呢，就是什么？他发生氧化反应，对吧？我的氧气应该说他是氧化器， 我们来首先啊，我的两个反应物我就能确定了，走吧走吧，和我的氧气，他们是参与了 电子得失，最终在生成物当中呢。生成物这边啊，我们他告诉我们了吧，转化成了，是不是有硫酸根离子啊？然后这个离子呢，实际上就是这个物质里面的这一坨啊，我们把生成物给写一写，有我的硫酸根离子 和我的什么呀？我能不能直接写我的硫酸根离子啊？好像不能直接写硫酸根离子吧，他让我们写的是化学方程是吧？那我们硫酸根离子先不知道怎么写，然后其实我们看到反应物里面有氨水，对吧？ 那我可以把氨水写上去，之后呢，我就知道了，硫酸根离子应该和哪个阳离子配合，他只有氨根离子可以作为阳离子，对吧？所以说啊，注意一下上路这个硫酸根离子呢，就是和氨根离子形成硫酸氨， 还有个产物呢，是我的这个把它给照抄过来就可以了吧。来这个母呢是变到正六价， 牛呢，也是变到正六价，那么我们说涉及到三个元素化合物加的升降吧，如果说我们没有任何信息的话，我们是配不出来的，有多种可能吧， 但是你看到母和刘呢，他是有一个一比二的关系，那我们就可以利用这个关系呢，来将这个方程给配出来。大家以后遇到类似题目也是一样啊，将他们作为整体，升了多少个价，我们怎么算呢？ 来母正四价到正六价，上升了二价，然后呢？刘是不是有两个啊？从负二价上升到正六价，我们是上升了八价，要乘个二，对吧？这里乘二， 那么整体呢，我们将看到一个整体啊，是不是上升了十八架，然后呢？我的一个氧气是不是下降了四架啊，我和十八找最小公倍数乘二，这边呢乘九，那么所以说啊，我母前面的系数就是二， 然后呢，我氧气的前面系数啊，就是九。好的，我硫元素守恒一下多少个啊？这边是不是四个硫啊，那么我就四个硫酸氨，对吧？ 然后氮元素守恒，我们来看一看，这边八个蛋加四个蛋，总共十二个氨水，最后再进行一步元素守恒啊，我可以得到我生成物里面应该还有六个水，对吧？这样一来呢，我的化学方程就配完了。 第二小问啊，这个氨水的用量过多的时候，某元素的进出率下降原因是什么？氨水我们看到在反应符当中，它是在一百六十摄氏度条件下反应的吧，它是不是我们刚刚开始就说了呀，就是一个属于比较高的温度， 比较高的温度，但是他压力又是保持恒定的吧，他压力保持恒定什么意思呢？我们克拉伯隆方程啊，有 p v 等于 n r t， 我 压力保持恒定，反应符体积也是恒定的，他就是一个密闭容器， 那么我温度呢，他也是一百六十摄氏度恒定的吧？ r 是 摩尔气体常数，它是一个恒定量，那么我里面气体的物质量就是一个定值。那么现在我 这个氨水啊，他在这么高温的情况下，他是不是会发生分解啊，分解成我的氨气了呀，那么氨气是不是要在里面占用一部分体积的呀？因为我气体啊，他的嗯，是不是等于我的体积比上我的摩尔体积啊， 那么氨气要占据一部分体积啊，那么我相应分配给我氧气的体积是不是就变少掉了呀？那么所以说我这一空答案就出来了吧，他高温时或者说我写一百六十摄氏度下啊， 他会发生一个怎么样的事呢？我把这边给他擦除一下。他发生的事很简单啊，这个氨水怎么样？他会挥发 生成我的氨气这个所以说造成我反应腹 当中怎么样？氧气的浓度会下降，所以说造成我这个 母元素的进出率会下降。然后第二小空呢，将进出液 ph 调至没有啊，八点五到九点零之间最适合的世纪 x 是 什么？我为了不引入新的阳离子杂质啊，因为我阳离子杂质会会对母元素造成干扰吧，而我的 氨根离子呢，他会在热分解的时候完全去除掉吧，对不对？因为他会变成氨气挥发掉，而钙离子和钠离子呢，不能通过热分解将它去除掉，所以说我最佳选择的就是我的易水和氨。其实你在里面看到氨水呢，他也相当于是一个提示吧，咱们直接做就可以啊。 第三小问，他是一个球，反应平衡常数 k 呢给写出来， 分子上是不是我氨气浓度的四次方，分母上呢，是我硫离子的浓度乘上我这个什么呢？我这个铜氨离子啊，它的一个浓度吧。 哎，那谁他等于什么呢？首先啊，我找特征对吧？我分子上是不是出现了氨气的四次方？在我给出这个反应里面是不是出现了氨气的四次方？我可以将这个反应啊给倒过来写，对吧？因为怎么样呢？ 我反应误实际上应该出现在分母上，对吧？所以我应该是 k 分 之一，对吧？那好，是我氨气的四次方，再乘上我铜离子的浓度，分母上呢，就是我这个铜氨离子啊， 他这个等于什么呢？他是不是我的相当于 k 分 之一啊？然后呢，我再往右边挪一点啊，我想要和我这个差距还有什么呢？我是不是分母上得有我的琉璃子啊？然后我还要就是怎么样呢？ 让我把这个已经写出来的分母上的这个铜离子给消耗掉吧。那么自然而然呢，我就知道啊，我在这边应该在分母上出现，同时出现我的铜离子和我的这个硫离子，对吧？ 那么这两者同时出现了之后呢？它等于什么呀？是不是我 ksp 分 之一啊？ 那么我们就是啊，五乘上十的十二次方，乘上六乘上十的负三十六次方分之一，那么我就是三十分之一乘上十的多少呢？二十四次方，我把它换算成科学计数法，对它乘个一百，后面变成二十二三分之一百，那么就是 三点三三乘上十的二十二次方，就是咱们反应的平衡常数。 第四小问将十三点二八克，这个这么一大坨的物质啊， 摩尔质量为六百六十四克每摩尔，哎，我们发现啊，六六四乘二是不是正好就是一三二八呀？所以说咱们这个物质的物质量啊，就是零点零二摩尔。我们说了热重分析，我们抓住重点是哪一个呢？ 是不是我们的这个叫金属不会跑掉啊？因为我 水呢，它像氢和氧元素，它还会变成水给挥发掉了吧，我的氮是不是还可以变成氨气给挥发掉了呀？但是你没听过金属在这个温度下它能够挥发跑掉了吧？ 所以说我们抓住这个性质，我们就可以得到这个母，它是四，对吧？那么零点零二乘四呢，就可以得到我的母，它的物质量呢是零点零八摩尔母的质量，零物质量啊，零点零八摩尔，我们得出来之后呢，我们可以怎么办了呢？ 我们可以先剩下的这个十一点五二里面啊，它是不是一定包含我零点零八摩尔的母啊？ 那么我可以先看一下除了母之外我还剩下多少克，对吧？再对我剩下的这些物质的多少克物质进行分析，看里面是否含有什么蛋啊，氢啊、氧啊之类的吧。那么就是十一点五二克 减去零点零八乘上母的相对分子量是多少啊？我们在试卷开头可以看到它是九十六，对吧？我们把这九十六给拿过来进行计算，零点零八乘上九十六克，我们可以得到啊， 剩余的呢是三点八四克，就是除了我母这个金属之外剩余的这些物质，那么现在我剩余的这三点八四克究竟有谁呢？ 剩余的三点八四克里面啊，我们发现这个热重分析图是不是经历了两波分解， 第一波分解呢，是不是十三点二八到十二点五六，我们看一下这边是减少了多少克，他是减少了这个零点七二克，对吧？ 第二次任务分析呢，这边算出来结果是少了一点零四克，等马超叔叔一起吃零点七二克和一点零四克呢。这边啊，咱们在考试卷上过程书写的不需要很详细，也不需要让阅阅卷老师明白你 这个阶段分解是什么东西，咱们就需要凭借对数字的敏感性啊，能够有利于我们更快的做出这个题目。零点七二是多少啊？是不是十八乘四就是七十二啊？ 那么我是少了零点零四摩尔的水，对吧？那么我在第二过程当中呢，他的一点零四怎么来呢？ 我十七一个氨气跑掉，它的相对分子质量是十七。 哦哦哦，那么十七怎么样能够凑出我的一点零四呢？我需要和水的十八一起来凑一凑了吧？哎，十七乘上五大概是多少啊？是不是一百零 五啊？不是一百零五啊？这个数学怎么算的？十一乘五好像跟一百差远了吧，我们采用什么方法呢？这个数学思维，十七乘六， 十七乘六是不是一百零二啊？那么现在想要这个一百零二变成一点零四，我们类似于一百零四，对吧？我把其中两个换成十八是不是就可以了？那我们就是构成什么呢？ 我们把它十七乘六啊，换成十七乘四等于六十八，再给换上一个十八乘二等于三十六，那么我的六十八加上三十六，是不是恰好就等于一百零四啊？ 这边六十八我对应的是四个氨气，对吧？然后我化学式里面呢，对应的是四个氨气，我们能看到它明显氨气应该是全部分解完了吧？ 氨气是零点零四摩尔，对吧？我给他小数点挪过来，我零点零二摩尔的这个物质和零点零四恰好对应，我氨根离子下标是二吧。所以说我最终在三百五到四百摄氏度 留下的这个产物里面就是这一段啊，他应该没有氮元素了，所以说只可能含有我的氧元素， 那么只有氧元素，我的三点八四克，我就好说了，三点八四克啊，来比上我的十六克每摩尔， 我可以得出啊，他是零点二四摩尔的氧，那么我的母呢，是不是零点零八摩尔啊？零点零八比零点二四，是不是就是一比三啊？ 那么所以说他的化学式啊，我就很简单写出来了吧， m o o 三。好，这就是我们的化学式， 最后一个呢，将这个二氧化锰还原，可以制得含氧空位的减去 x。 哦，这个是氧空位，连 x 轴的投影图给我们了。连 x 轴的投影图给我们干嘛用的呀？他就是为了告诉我们啊，这两个氧呢， 在这图里面我们看到可能不是很清晰，他是位于上面的面上的啊， 然后呢，下面这一个仰空位呢，我们看的也不是很清晰吧，他告诉我们也是位于下面上，我去，他们追，我追，那么我们现在来算一下这个金毛当中有多少个母，八个顶点对吧？八乘上八分之一，加上内部一个等于二， 那我现在呢，原本氧应该是四个，对吧？因为我母和氧从化学式可以看出是一比二，那么就是我氧空位，原来应该是我的氧原本应该是四个，现在呢， 我上面两个氧啊，位于面上，所以应该是二分之一乘上二， 我在内部呢，有一个氧加上一，在下面呢，没有变成氧空位之前，我应该还有两个氧，二乘上二分之一是不是等于四？那么现在氧空位来了之后啊，这个氧空位在心包内部是一，这一个氧空位呢，在面上是二分之一，加起来是一点五， 那么四就是四，减去一点五吧，是不是等于二点五啊？ 二点五二，那么我的化学式呢，就是 m o， 然后呢？ o 应该是多少啊？我二变成一，二点五，除以二变成一点二五吧，那么二减去 x 等于一点二五，我 x 是 不是就等于零点七五啊？好了，这样一来，这个第十四题呢，咱们就讲解结束了啊。好，我们再来看一下这个第十五题。 第十五题，好的，我们先来看题目，第一个题目啊，他让你这个物质用系统命名法来命名，很简单吧，我以双键起始的碳为一号碳进行编号， 在三号碳上连了一个锈，我可以三锈，怎么样呢？他是三个碳，对吧？丙烯，当然了，你对这个双键的位置呢进行注明，你也可以将它写成三锈一丙烯， 这个咱们每个人都要会啊，这一空一到 f 的 反应类型，为什么一到 f 反应类型啊，我们能够看到啊，它是将双键变成单键，它的原子个数没有少吧？我把这边连起来之后呢， 我的青是不是跑到这边来脸上来了呀，原子个数也没有少，所以呢，它发生的反应啊，是一个加成反应，它是分子内自己和自己进行加成。 第二小问， b 到 c 会生成和 c 互为同分异构体的副产物，结构点是为什么？我们来分析一下 b 到 c 反应是怎么回事？ b 到 c 反应，哦，这个袖脱掉之后呢？把这个三个探的这个柄吸机给连到我的本环上面去啊，我们说了吧，我的分抢机是不是零对位定位机啊？这个位置呢，是两个分抢机的零位， 然后这个位置呢，是这个抢击的对位和这个抢击的零位，所以说他们俩都是活性位点。那么 c 丙烯基加到了这个位点，我另外一种副产物呢？既然和他会同分异构，我就考虑把这个丙烯基给加到这个位点上来吧。 那我们结构点式就可以直接来写了吧，其他的位置呢？照抄，你别管， 将我的这个丙烯基啊给连到这个位置上来。好，这个就是我们的答案。第三小问 写出同时满足下列条件， d 的 一种同分异构体的结构简式。我们先来数一下 d 的 不饱和度和原子个数。 长这样大帅采用的方法呢，一般是将本环专门提出，所以我们数了，除本环外呢，先数不饱和度， 这边一个双键是一个不饱和度，这边一个双键两个不饱和度即为两个 omega 原子个数呢，除了氢原子之外，其他全部都数碳原子来，一二三四五六七。好，七个碳 氧原子个数呢？哦，一眼看出来是四个，对吧？除了本环外，两个不饱和度，七个碳，四个氧。我们再来看限定条件，第一小问能和碳酸氢钠反应，我们判断它有缩积。 第二小问碱性条件下水解后能够酸化，它没有氮元素吧，所以说它能够水解，它应该是一个酯基生成两种有机产物，均含有两种不同化学环境的氢原子。 那我们就可以来写了吧。首先给你的物质有本环，咱们的同分异构体里面呢，一般也有本环， 那么现在啊，有一个缩肌和一个脂肌，那咱们的两个不饱和度就全部用掉了吧，咱们就很好说了，生成两种有机产物啊，都是只有两种不同化学环境的氢原子， 那么其中一种产物肯定是含有本环的吧，我们必须考虑高度对称的结构。高度对称结构是什么呢？练得多之后发现啊，两边连两个缩肌，它是高度对称结构吧。那所以说我在左边呢连一个缩肌，右边呢让它水解之后产生一个缩肌。 哎，水解之后啊，我在这个位置水解啊，右边的产物呢，它也是只能含有两种化学环境的氢， 那么我直接考虑啊，在右边点一个甲基就是可以的吧？我要把我的七个碳全部用完，对吧？我们再来考虑。右边生成的是一个醇吧，我们现在生成是甲醇，他确实只有两种化学环境的氢， 那我们考虑有没有可能右边如果放很多碳原子，他也有可能是两种化学环境的氢呢？有可能吧，咱们如果说你放这种输丁基， 他九个氢都是属于同一个化学环境吧，如果说是疏丁醇的，咱们看一下可不可以啊？我靠，如果是疏丁醇，咱们这边用了四个碳，那我还剩下三个碳，对吧？我左边这边叫 纸和缩肌还用了两个碳，那我还剩下一个碳了，我一个碳放本华上，放哪呢？都没法对称吧。所以说我不能考虑疏丁基这种结构，那我剩下 七个碳已经用了一二三个碳，我剩下四个碳放哪呢？让它高度对称呢？哦，我四个碳全部放本环上，剩下的四个点上面作为假基就可以了吧。那我这样一来，同一个是不是就写完了？ 好了，同学们，咱们今天视频的最后一个小问，第四小问，这个有机合成啊，他给了你一个条件， 他是需要用到氧气的，该条件下分享机易被氧化，而全机不受影响。那么分享机易被氧化，我们回题干中看一看条件，我在这个 哪一步呢？ c 到 d 这一步将分抢击进行了保护，最后在 f 到 g 这一步呢，将分抢击弄回来，很显然啊，就是一个对集团的保护吧，他考察的点。 那么现在呢，我要合成这个物质，我怎么办呢？这个物质啊，它很显然不是作为原料吧，它应该是作为反应条件。为什么这么说呢？ 在这一步保护分享期的时候，我是不是用了这个物质啊？当然了，这个你说，哎，大帅，前面不是也出现了吗？哎，你睁大你的狗眼看看啊，这两个是同一个物质吗？ 前面一个是什么呀？是以三倍换掉一个率吧，后面这个是不是还有迷剑的？所以考试咱们大家一定要看清楚啊。 那么现在第一步我应该进行什么操作呢？我是先保护分享机呢，还是先把我这坨东西给夹到我的本环上去呢？ 因为我们如果要把这东西加上去啊，我是不是明显知道，你看，我们对这个本环上的碳编个号之后，你就能够很明显发现了呀，到产物这边啊，我依然对它进行一个编号啊，我拳击是在我的三号碳上吧，构成双键， 我的机场呢，要连到我的四号碳上面去，那么现在呢，他正好位于我分抢机的对位啊， 分抢机它是零对位定位机，我们是明白的，但是如果你把它变成这个保护机之后，它是否还是零对位定位机，咱们就没法确定了吧，所以说没法确定的事情呢，咱们不要去做， 并且把这个玩意加到上面之后啊，不会对我的分抢机造成任何影响吧？我可以后面再对我的分抢机进行保护，所以第一步呢，我就 尝试着把我的这个三秀一丙烯给加到我的本环上面去，那么好了，我来写反应条件啊，加到本环上去我采用的反应条件是谁呢？哦， c 六 h 六回流对吧？好的， 这个是我的反应物 c 六 h 六回流得到的物质是谁呢？就把它加到我的分享机的对位上面了吧， 拳击不变好了，变成了这样一个物质，下面一步我们要怎么办呢？就是下面一步啊，因为我们后面要涉及到哪一步变化呢？涉及到这一步变化吧，他条件给了我们， 给了我们以后干嘛用呢？这种一个双剑的东西，我是不是最终想要和我的拳击给怼起来形成一个环啊？我提案当中有没有条件啊？ 看了一下我提案当中他其实是怎么样呢？他给了条件的吧，我们把这边擦一下啊，有点太乱了， 我们来看他给的条件位于低到一，这波反应是我的，怎么样呢？我的拳击啊，怼到这个与我太阳双剑直接相连的这个甲基上面去了吧， 为什么呢？因为与碳氧双键啊，这个碳是不是与氧直接连接啊？氧他颠覆性比较大，所以碳的正点合呢会比较强，那么与他直接相连这个甲基呢，他反应活性相对而言也会比较高，容易与拳击发生这个所谓的缩合反应。 我们既然用到这个条件之后呢，我们就需要搞出一个碳氧双键出来，铁蛋当中给了我们条件，怎么样把碳氧双键搞成碳氧双键， 那在搞它之前呢，它说分抢机易被氧化吧，我们就需要在这一步当中对分抢机进行保护。保护的条件呢，在这里用的物质呢？是题当中给的物质以及我们的碳酸钾这个物质，咱们把它抄过来 好了，一旦保护起来之后呢，它就变成什么了呢？ 拳击照斜，这个照斜，然后呢？ o 啊，我们看一下变成什么物质呢？变成这一坨对吧？ ch 三 o ch 二 o 啊，我们把它抄过来就可以 保护完之后啊，我就可以用题干当中给的这个条件把碳弹双键给变成碳氧双键了吧，来吧， o r c u c l 来 p d c l 二 d m f 我 直接抄 超过来啊，将我的这个其他位置呢，也是照抄，将我的探仰双剑呢，哦，将我的探探双剑啊，可以变成我的探仰双剑， 我变过来之后长什么样子啊？这里是不是写错了呀， 应该是多一个探的吧，我探晓双剑在这个地方生成我的 r 啊，如果你不放心的话呢，我把前面全部包成 r， 与探晓双剑直接相连，这个探呢， 我这边啊，就可以将他这边左半边全部标成 r 了吧，然后我的这边是不是也是 r 呀？这样一标你就不会看错了吧。好了啊，咱们现在来再往后反应，我下面是不是就可以用题目当中 d 到 e 的 这个条件 来将我的这个甲基和我的拳击进行缩合了呀， 那我们来条件是什么呢？就到从 d 到 e 里面超过来啊， k o h 哎， c r h 五 o h。 哦，氢氧化钾的纯溶液好像像一个消去反应，对吧？那我现在让它再生成这个物质啊， 其他的照抄，对吧？我这边呢就把它怼起来，一个碳，一个双键三四 五。好的，我这个一号碳，二号碳上面，二号碳上面是连了一个太阳双电，对吧？ 那么最后一步呢，我再用我乞丐当中最后一步条件， hcl ch 三 o h。 这边给出这个条件啊，将我的分抢机给变回来，我来照抄 好了，这样一来呢，就可以实现了，将我这个目标产物给合成了吧，把目标产物抄抄。对啊，别最后一步抄错了，拿不到分。好了，同学们， 咱们这次四尾巴式二模啊，化学解答题十四到十五题的讲解就全部结束了。

同学们好，近期呢，有一个初三的老师问我了这样的一个问题，原因是他射了很多圆，在此呢，又把这些关系对不到一起去，我们今天一起用这个视频来和大家共同研究一下， 如图啊，在矩形 a boy c 道当中，注意大家不要先入为主的认为它是一个正方形。现在说异为 a boy 的 中点好 归 e 呢，做了一个 e d 的 垂线交波， a c 于 d f， 哎，对角线 a、 c 分 别交 d e、 d、 f 于 g h， 他 说啊，当 d h 垂直 a c 的 时候，当 d h 垂直 a c 的 时候。然后要问我们 g h 这段红的比上 e f， 它的值是多少？这段蓝的小红比小蓝，它的值是多少？嗯，这个问题确实蛮棘手的， 为什么？当然首先我们来讨论一下，为什么它是一个矩形，它不是一个正方形， 想必大家都能猜得出来，假如说这是一个正方形，那么过 d 做 a c 的 垂线，那这条垂线是不是说将是它的另一条对角线？它一定会经过点 b， 在 这里面不经过点 b， 那 也就是说我的这两条邻边不相等了， 对吧？那我要想求这两段长度的比值，第一个，你这是个 嗯，至少是个很难算的点，因为我的两条邻边的比例不知道，所以说我的相对位置不知道，我可以认为它目前在我眼里是个动点，那 e 点相对来说是一个定点，那 f 点它在哪也是不得而知的。那我们来看看这里面有没有常见的几何结构，我们要有这个意识， 我们发现他有一个角是公用的。那那么在此我有了这样的一个三角形，小红，这个三角形是一个直角三角形，并且拥有了这个尖尖角，那我还发现了这样的一个三角形的存在，小蓝， 对吧？它也是个直角三角形，它也有个尖尖角，那么它二者是相似的。我们写出这个重要的发现，三角形 d、 g、 h 相似于三角形 d、 f、 e， 由于它二者的相似，哎，在这里面，我们的 g h 比上 e、 f 恰好不就是它们的对应边之比，那对应边之比，我再来看看，等于相似比，这个相似比是不是我可以把它转化成 d h 比上什么比上 d e 就 可以了？ 那虽然说这两段不好求，但是我 d h 和 d e 相对来说好求。再来看图中还有没有什么特别的几何模型，几何结构。好，我来多复制两份，大家来观察一下。 可能细心的同学已经发现了，在这里面他做了一个垂直，那么这个结构我们熟悉吧，是不是叫做一线三直角结构， 这是一线三直角的相似结构。好，还有呢？ 哎，我们不难发现，在这里如果存在着这样的一个垂直，那是不是我们熟悉的双垂直结构， 也是摄影定力的经典结构，是吧？啊，那我其实就有数了，这些角是相等的， 那么由于我们最后要求的是比值关系，我可以这样来认为，我求的是比值，那就和它具体的长度并没有特别联系。 为了描述问题方便，期间我们不妨设它的边长就为一。那我如果设最短边是 x， 我们会发现，对于这个小三角形来说，哎，它的 x 比上我大三角形的 e， 这是对应边之比，那也等于我小三角形的长直角边比上大三角形的 长直角边，那我是不是说 a 等于 x 分 之一了，对不对？它 x 分 之一的身份就坐实了，那它是 x 分 之一，我们再来思考，那它是二了， 对吧？如此以来，我们在这里当然了，也可以获得其他的一些别的身份，例如，那它是不是叫 x 分 之一减 x 了，对吧？在这样的一个直角三角形当中， 我们实际上是能够得到这个直角三角形，和图中出现的其他直角三角形也是相似的，哎，那如果说我们学过三角函数，有这样的一种正切思想的话，也可以认为 这个尖尖角的正切值等于另一个尖尖角的正切值，而 b 上 x 分之一，对不对？好，那我们把它整理啊， x， 它减去一等于四， 好，那 x 分 之一的平方，它等于五了， x 分 之一，它是不是就等于根号五 好？负的我直接舍掉，那也就是说，我，哎，我也不用求 x 等于几了， 这东西它就等于根号五，当然想求 x 的 话， x 它就等于根号五分之一。五分之根号五，这和我这个问题已经基本上不搭边， 那也正说，我整个图形是一个根号五比二的边长比的矩形。 由刚才的这个说法，那我不就求两条长吗？一条是 d h， d h 的 长，我们可以采用， 哎，采用摄影定律，或者采用叫等级法的结构，对吧？等级法二倍根号五除以它的斜边长， 哎，斜边长算出来五加四和九九开方，然后 d e， d e， 我 们直接采用勾股定律，对，五加一，嗯，等于六，刚好六， 那就是说我得到了三分之二倍根号五乘以六分之根号六，约底啊，约掉一个二九分之根号三十， 于是这个问题我们就解决好了。好了， 有同学可能会想到，老师啊，这道题我能不能解析？那你来看。其实对于我们这种一开始就不知道 边长的这样的图形，间隙的时候，我们会产生一些点的坐标，但是这个点的坐标不是定值，是一个变量，这个时候相当于间隙是一个天崩开局，我们就不要去解析了， 设法从中找到一定的几何结构，去用特别等量关系来约束这些几何关系，才是快速解决这个问题的重要方法。 好，那这个视频和大家就分享到这里，我们下期再见。

这是南京三模的这个第十一题，也是全卷中选填最难的一道题目，那么这个题目其实呢，并不需要大家有特别强的这个空间想象力， 只要你能够去把几何的条件翻译成代数的条件，那么这道题还是可以去做的。第一问比较简单，我们就不做了，我们直接从 b 选项开始，它说 c p 方加 c， a 方加 c， b 方是等于三分之十六的，那么也就是说 c p 在 这里啊，就是 h 的 平方， c a 就是 b 平方， c b 就是 a 平方，我们要看它是否是一个定值，那么我们把所有的条件全部写下来，由于 pc 是 垂直于底面的，所以我们可以得到三角形 p c， a， 三角形 p c， b， 它全都是直角三角形，所以我们可以先写两个勾股定律的式子， h 的 平方加上一个 b 方，就等于 m 的 平方， 我们还有 h 的 平方再加上一个 a 方，是等于 n 方，然后我们有两个六十度，所以我们可以写余弦定的式子，所以我们可以得到 ab 就 等于 a 方加 b 方减四， m 零就等于 m 的 平方加上零的平方减四。好，那么这时候我们要去求证它是一个定值，那么我们就需要去找到这三者之间的一个关系， 那么三者之间的关系我们会发现一个问题啊，你看这两个式子，虽然它里面有 h 方，有 a 方，有 b 方，但是它里面是不是还混合了 m 方和盈方，所以我们就要去尽可能的去把它消掉，所以我们可以把这两个式子先加起来，我们就可以得到二 h 的 平方，再加上一个 a 方，再加上一个 b 方，就等于 m 方加上盈方， 而 m 方加上零方，是不是就可以写成 m 零再加上一个四，然后我们再把 m 和 n 替换掉，这边我们先移向移过来就得到二 h 的 平方加上一个 a 方，加上一个 b 方，再减去一个四，等于 m m， 我 们可以写出来它是根号加 h 方加上一个 b 方。 m 的 话是根号加 h 方加上一个 a 方， 那么此时我们已经得到了一个纯 a b h 的 一个式子。但是如果接下来直接平方，是不是还是挺麻烦的一件事情？因为你毕竟左边这里是四项的一个结构，所以我会选择啊，你看这里是不是就会出现一个这样的一个结构，我们可以把它替换成 a 乘 b， 所以 它就变成二 h 方加上一个 ab， 等于根号下 h 方加 b 方， 乘一个根号加 h 方加 a 方，那么这样平方是不是就会简单很多啊？所以我们就可以得到四 h 的 一个四次方加上一个 a 方， b 方加上一个四 h 的 平方 ab 就 等于 h 的 四次方加上一个 a 方 h 方加上一个 b 方 h 方，再加上一个 a 方 b 方， 我们可以把它约一约，所以我们就发现他每一项剩下的每一项是不是都有 h 方，我们可以约掉一个 h 方，然后再把它全部移向，移到左边来，我们就可以得到三 h 的 一个平方加上一个四 a b， 再减去一个 a 方，减去一个 b 方是等于零的， 而这边四 a b， 我 们是不是还可以把它替换成 a 方加 b 方减四，所以我们就可以得到三 h 的 平方加上一个四 a 方加上一个四， b 方减去一个十六，再减去一个 a 方，减去一个 b 方等于零。所以我们是不是就可以得到 a 方加 a 方加 b 方就等于三分之一十六， 那么我们会发现整个过程中是不是就是纯代数的一个计算，并没有任何的一个几何的一个啊使用，那么你几何是不是只给我们提供代数关系？所以这道题目他其实考的都有点像圆锥曲线的意思，那因为我们只要去翻译几何条件，然后转成代数关系去计算就可以了。那么我们接着来看 c 选项，他说当 h 等于一的时候，那么此时他的一个体积取到最大，那么我们看一下他的体积 v v 是 不是应该是等于三分之一乘以个 h 三角形 abc， 而 s 三角形 a， b c， 我 们肯定是用二分之一 a b sine c， 所以 像这个 a， 呃， sine 啊，我们都都可以不用管了，三分之一 sine 啊，都，这都不用管了。实际上就是要求当 h 等于多少的时候， h 乘以 a 乘以 b 这个东西，它获取了一个最大值，那么这个尺子我们肯定要尽可能的去进行削圆啊， 我们求最值，是不是肯定要变成单一元的一个最值？那么这里的 a 乘 b， 我 们是不是可以借助这个式子去替换，那么它就变成 h 乘以一个 a 方加 b 方减四，为什么要换呢？因为我们是知道 a 方加 b 方和 h 的 关系的，所以换完我们就可以彻底进行消元了。这边我们可以带进去就三分之一十六减去一个 h 的 平方，再减去一个四， 所以我们最后要求的实际上是负 h 的 平，负 h 的 三次方，然后再加上一个三分之四个 h， 要看它的一个最大值，那剩下的就是一个求导了，我们求导会发现，当 h 等于三分之二的时候，它取到最大，所以 c 选项就错了。好，然后我们再接着看最后一个， 最后一个 d 选项其实也不难啊，我们怎么去求他的一个外接球的一个半径呢？我们知道三人追的外接球，我们会先把它补成人柱，人柱我们再补成圆柱，所以我们可以得到啊，就是他的一个外接球半径，而实际上是取决于你底面的一个 外接原半径以及你的高的，所以它写下来应该是二 r 是 等于四 r 底下的半径，我们用小 r 表示四 r 方加上一个 h 的 平方再开根，这是一个最基本的模型啊，就是把三棱锥补成三棱柱，把三棱柱补成圆柱，当你把它一旦补成圆柱之后， 大家来看我们的这个圆柱的外接球直径是不是就这条线，而我们怎么去求这个二 r 是 不是取决于底下的这个两倍的小 r 和这个 h 啊？它是不会形成这样一个固定的关系啊。如果你不知道这个的话，那就说明你高一的时候学外接球的整个体系是不完整的，这是一个很基础的一个问题。 那么这接下来我们就只剩去进行一个运算了，我们只要算出它的一个这个 r 的 一个取值范围就可以了。所以我们本职场是在算四 r 平方加上一个 h 平方的一个取值范围，而 r 底面这个是一个定角对定弦引圆，它的外接圆半径实际上我们是知道的，我们第一问已经算过了，所以我们可以得到这个小 r 实际上是等于三分之二，根号三， 那么我们把它带进去，它平方再乘以四就应该是三分之十六，再加上一个 h 的 平方，所以在这里我们只剩下去求 h 的 一个取值范围了，那么我们怎么去求 h 的 一个取值范围？我们知道 h 的 平方是等于三分之十六，去减去一个 a 方加 b 方的， 那么我们就要知道 a 方加 b 方的取值范围，那么这里是不是就直接让我们使用基本不等式就可以了？所以根据基本不等式，我们可以得到 a 方加 b 方大于等于两倍的一个 a b， 在这里我们可以把这里的二 a b 去替换掉，利用这个式子我们可以得到一个纯 a 方加 b 方的一个取值范围，所以我们就可以得到 a 方加 b 方就大于等于两倍的 a 方加两倍的一个 b 方减去一个八，所以我们就可以得到 a 方加 b 方 小于等于八，而因为你自己作为 ab， 对 吧？你作为 ab， 他 是不是要一个正数啊？所以在这里的话，我们是不是可以看得出来，你 a 方加 b 方是必须要大于四的，所以我们 h 的 平方的范围就出来了， h 方应该是大于零，小于三分之四， 那么我们又有了 h 方的一个取值范围，所以我们这个整体的一个取值范围，根号下的这个取值范围就出来了，所以他应该是大于三分之十六小于三分之二十，然后我们再对他进行一个开根，所以我们就可以得到 r 的 取值范围，应该是大于三分之四根号三，小于三分之 二根号十五的，那么我们要求 r 的 范围，那么整个问题就结束了，也就是大家会发现整个这道题目里面，我们是不是根本就没有跟几何的内容沾了太多的边，全都是代数的一个运算。所以我建议大家遇到这种题型的时候，你可以考虑 把未知数设出来，把所有的关系式能列的就列出来，那么你就会头脑非常清醒，这样你就可以剥离掉你的立体几何的图形，然后进入一个纯代数的一个计算。

这道题目乍一看很简单，为什么我们班错的人有那么多啊？拿到这道题无从下手， 那么我们一起来分析一下题目，已知这里面是一个正方形和一个等腰直角三角形，那么我要求阴影部分的面积。那大家看到阴影部分是由两部分所组成啊，那么我们可以给他编下号，这边是一号， 这里是二号，那在这里面我们会求什么？我们会求一号三角形的面积，一号三角形的面积是 八啊，那么我们还会求什么？还会求这个等腰直角三角形的面积啊， 它的面积怎么求？我们知道它的斜边是六啊，所以我们在这里面可以把它分成两个小的等腰直角三角形，那么这边它的高就是三，所以我们这个三角形的面积就是。 好，那除了知道了这两块我会求，我这里面还会求哪一块？我们看一下这一块我们是不是也会求啊？ 因为这条边是六，正方形，边上是四，所以这条边就是二啊，那这里面也是一个等腰直角三角形，所以这条边还是二，我们三号的面积就是 二。好，那现在来说，我们已经把所有我会求的三角形的面积全部算出来了，但是我最终目的是要求出了，是不是要求二号那二号直角边的长度，不知道我们怎么办啊？我们要将它进行一个转化， 我们观察一下这个二号他出现在哪个三角形中啊？他出现在这样子的一个三角形中，也就是说他出现在和一号三角形面积一样的一个三角形中，那我们可以知道 这块里面这块加上这块二号，它的面积应该是八，而我们刚刚求到这个大的等腰直角三角形，它是由什么？是不是由这块再加上我们的 三号图形的面积吧？那我们观察一下中间这块，大家都是一样的，所以我们可以知道什么 他的面积比他的面积一个是九，一个是八，所以我这个大的等腰这样的面积要比正方形面积的一半，是不是要多一啊？那我们去掉公共部分第三部分是不还是比第二部分多一啊？那么 既然知道第三部分比第二部分多了一，那我 第二部分的面积怎么求？用二减一就可以求出来。那第二部分的面积求出来了，我阴影部分面积 直接用第一部分加上第二部分，八加一等于九。好，同学们下课。