2026北京朝阳二模数学几何答案

我们北京初三的家长们，昨天呢说朝阳二模呢，考完了这份题目相对于朝阳一模来说，难度有所提升，整体难度呢，还是重规重矩，可作性非常强，灵活度适中， 非常适合在中考前演练一下。一定要让孩子吃透这套试卷，张老师今天带着大家主题拆解下这套题目。 首先选择题还是基础稳拿分，压轴题更注重几何的推理，前七个依旧是常规的基础考点，三式图数轴与实数范围、多边形内角和平行线角度计算、概率统计、科学技术法 尺规作图与几何计算知识点整体平和，认真审题呢，基本不会丢分。压轴题第八题明显更灵活，以正方形旋转为背景线段，考线段相等角度关系、三角形三边关系的判断。重点呢，考察几何的直观等量转化， 严谨结论来进行判断，也是张老师课上反复强调的，先抓对称再倒角，最后验证结论不平。感觉呢？ 不填控题基础为主，卡轴题考察积分最优逻辑匹配前面几道题同样是以基础为主，包括了分式有意义、因式分解、一元二次方程、判别式、反比类函数对称性、方差比较圆、内接四边形、矩形翻折的面积都是必拿分的题目。 压轴题第十六题延续了朝阳的特色，选手与环节的积分匹配，总分最大化，阅读量整体适中， 情境呢，相对比较清晰。但是呢，需要孩子认真耐心审题，有序匹配，优先选高分，不重复、不不遗漏的 考逻辑梳理和最优方案，心细有机会冲击满分解答题前五道基础盘必须拿到满分，整体变化不大，题型呢，依旧是非常稳定，我们一分也不能丢。十七题，实数的混合运算，根数负指数，零指数。 十八题，解一元一次的不等式组。十九题，整式的化简，求值条件的整体代入。二十题，四边形综合解直角三角形，没有复杂的辅助线，整体平稳。 这二十一题依次函数综合依旧是直线的旋转，数形结合平稳过渡。这部分是我们分数托底的，要保护好我们的基础分高冲高分才有底气。中间三道中档的解答题呢，总体来说需要我们更加细心一些。 首先分式方程的应用题等等量关系清晰，注意分式方程检验的步骤不能少。 统计综合依旧是中位数与平均数为主导，频数表中位数样本估计百分比的推断，信息提取要准，结论必须结合图表来进行描述。 圆综合切线的性质，指直角三角形与等腰三角形的三线合一是这块的重点，重点呢还是解直角三角形加上倒角的转化难度不大，但整体来说更加灵活。步骤一定要写全， 做好圆综合才能够为后边的题目做好承上启下。图探究在最后一问设置了一些小阻碍，不过大家需要做好准备以及更加专注。 最后三道压轴题是冲高分的关键，带中的难度稍大，己中与新定义整体在压轴题中难度适中。 首先代数综合这个题目的区分度比较高，题目描述的很抽象，需要具象化的图，但是整体来说是新函数求最值问题，但加入了比大小抛物线与直线数线的长度区间最直。临界分析， 紧贴中考的风格，数形结合分段讨论临界值，注意取等号是否可取。这个也是我们反复练的重点， 几何综合旋转加倍长、中线构造八字全等模型非常清晰，旋转加倍长、构造八字全等的联名，这也是咱们课上重点强调的思路，顺了速，能拿到高分。 最后就是我们压轴的新定义，依旧是多动态的轨迹问题，关关联图形最小，覆盖员坐标平移的规则。动态轨迹最值问题 阅读量大，尤其是在第二问、第三问，需要结合存在性轨迹最值问题。这个题的设计还是非常巧妙的，能够做到这的同学可以好好体会一下。这个最后的一问，整体来说呢，是朝阳二模考点全，比难度 比朝阳一模的难度要大，整体的难度呢，不规中矩阶段，适合孩子练手感检验状态的一套卷子，同时让孩子对照自查 基础题是否稳定不丢分，中档题的思路是否顺畅，步骤是否规范，压轴题呢，能拿到第几问？卡壳点在哪里，把漏洞找出来，针对性的进行补强。 需要这份朝阳二模的试卷的家长，敲朝阳二模我发给你，一步一个脚印，把错题吃透，中考稳稳发挥，各位加油！

大家好啊，那今天看一下二六年朝阳二模的椭圆压轴的题目啊。这里面首先是求椭圆的方程，给的两个条件，一个是长轴与短轴长之和为六，就是二， a 加二， b 等于六，然后 a 加 b 等于三。 另外一个是焦距等于二倍，根号三就相当于是 c 等于根号三。我们用一下 a 方减 b 方等于 c 方，嗯，把 b 用 a 来表示一下把，就可以把 a 求下，等于二等于一。 最后求出来这个椭圆的方程是 x 方，除以四加上 y 的 平方等于一。 接着来看它的第二位，设 o 为圆点，点 a x 一 y 和点 b x 二 y 分 别为这个椭圆第一象限和第二象限内的点。而且 a 点的横坐标是 b 点纵坐标的二倍。 当点 m 满足向量 o m 等于二分之一， o a 加上二分之根号三的 o b 的 时候， 正一下点 m 在 椭圆 e 上面，这个 a 点和 b 点的坐标我们都是清楚的，这个 o m， o a 和 o b 就 相当于其实就是 m 点 a 点和 b 点的坐标，也就是 m 点，可以用 x 一 x 二和 y 一 y 给它表示出来。 那我们先写一下 m 的 坐标，那很容易可以写出来， m 的 坐标就是这个条件，其实指的就是 m 是 二分之 x 二分之一倍的 x 加上二分之根号三倍的 x 二。 呃，然后纵坐标是二分之一 y 一 加上二分之根号三倍的 y 二。那么这道题有一个特点，就是他没有直线方程了，我们也不需要去设直线，然后用伟大定律呃，要正一下这个点在椭圆上，其实就我们把这两个横纵坐标平方加起来，呃， 椭圆方程是 x 方除以四，加上 y 方等于一，那我们也可以用这个 x 方除以四加上 y 方，看看是它是不是等于一，或者去证一下， x 方加四， y 方等于四，这样就没有这个分母。 那剩下问题是，它一共有 x 一、 x 二和 y 一 y 二四个字母，但实际上呢，因为 ab 都是在椭圆上的，所以这个 y 一 可以用 x 一 表示， y 二也可以用 x 二来表示，然后它给了这个 a 和 b 的 相线，那么就省掉了一个分类讨论的一个情况。 那么又有另外一个条件，就是 x 一 等于二， y 二。这样呢，我们实际上最后应该是可以把它转化成只有两个字母的一个式子。 转化成只有一个字母呢？比如说所有的字母都可以用 y 二来表示啊，因为 x 二可以用 y 二表示，然后 x 一 可以用 y 二表示，那么 y 一 呢？可以用 x 一 表示。那比如说，我们最后可以转化成比如说都用 y 二来表示的一个式子，然后去把这个 y 二的这个式子进行一下化解。 接着呢，因为它是在椭圆的上面，所以我们可以把我们可以列出的所有等式都列一下，看一下怎么进行消圆，然后得到我们最后的一个式子。 那么条件分别是 a 在 椭圆上， b 在 椭圆上，还有 x 一 等于二， y 二，我们把它进行一下简单的呃 b 之后，会发现它会得到一个式子，是四万二的平方加四万一的平方等于四， 那么这个式子，呃，很显然它算是比较整洁的，因为这个能够说明 x 一 x 二，呃，还有 y 一 y 二，它们如果组成一个坐标的话，都在一个圆上面， 然后我们也可以把 x 一 的平方加 x 二的平方当成一个字母，就比如说我们最后能凑出一个 x 一 的平方加 x 二的平方，那我们就可以不用把它都强行换成某一个字母了。 那接着我们就需要去算一下 m 这个式子，看看这个 m 这个式子怎么能进行化简。比如说变成 y 一 的平方加 y 二的平方，或者是 x 一 的平方加 x 二的平方，如果不能呢，我们就需要再进行一下，比如说用 x 一 再表示 x 二之类的， 那么 m 这个式子里面有 x 一 x 二也有 y 一 y 二啊，那我们最好还是要给他进行一下处理。比如说如果我们想要凑的话呢，可能会比较想要凑 y 一 的平方加 y 二的平方，因为如果 x 一 的平方和 x 二的平方，感觉上应该会有比较多的一个分数， 我们需要替换的就是 x 一 和 x 二，只保留 y 一 和 y 二，看能不能凑一个 y 一 的平方加 y 二的平方。那么这里面呢，我们就需要去看一下 这个是二分之一倍的 x 一 加二分之根号三倍的 x 二。然后我们在这里面， 比如说我们这个把 x 一 替换成 y 二，或者是把这个四 y 二的平方，或者把四 y 二的平方替换成 x 一 的平方之后，会发现一个比较巧一点的事，这个四 y 一 的平方，它应该等于 y 二的平方， 那么也就是说 y 一 和 y 二也是可以互相表示出来的，我们就不需要再转一手了。那我们就接着就用这个把 x 一 换成二百二，然后 y 一 应该是要换成负二倍的 x 二， 那进一步化简之后呢？呃，我们可以用 x 一 的平方加四外一的平方等于四和 x 二的平方，加 x 一 的平方等于四，可以得到这个 x 二的平方，它应该等于四外一的平方。 然后因为 x 二是小于零的， y 一 是大于零的， b 在 二项线， a 在 一项线，所以我们最后可以把 x 二换成负的二外一。 这样呢，我们就也没有分类讨论的一个情况了，因为我们正常互换应该是带根号的，那么这个 m 我 们最后就可以把它换成只有 y 二和 y 一 的。那接着我们就需要把这个 m 这个点带到椭圆的方程里面，看看能不能正好凑出 y 一 的平方加 y 二的平方。 如果可以的，我们 y 一 和 y 二就可以不用互换了，那接着我们代入一下，求出最后结果就可以。 那么把这个 x 二和 x 一 都替换完之后，然后再代入这个四分之 x 方加 y 方，会发现最后化简完的式子正好就是 y 一 的平方加 y 二的平方，那这样我们就可以直接证明这个 m 就 在椭圆 e 上。

你今天来看这道朝阳区的二模，呃，首先第一位还是求这个椭圆的方程，给了一个长轴长，短轴长的距离之和，然后又给了一个焦距二倍根号三。 ok， 这样的话呢，我们直接可以由题一得二， a 加二， b 等于六，然后二倍的 c 是 等于二倍根号三的啊，然后我们直接瞪眼睛就能看出来它这个 b 是 等于二的， b 是 等于一的，所以这个椭圆的方程可以直接写出 x 方比上四加上 y 方 等于一啊。然后第一问非常简单，第二问里边，呃，给了一个点 a 一 a 二，然后分别为椭圆第一象限，第二象限的就是它们的 y 值一定都是正的，有一个点的坐标是 x 也是正的，呃，且这个 x 一 等于二倍 y 二啊，满足 点点 m， 满足 o m 等于这个东西的时候，求证 m 在 椭圆 e 上啊。证明的方法其实也非常非常简单啊，这是一个纯纯的数学问题，就是没有几何的事，所以我们在证明的过程中可以直接怎么着了，把这个 o a 的 坐标给写出来，所以向量 o m， 我 们就直接算一下 o m 等于二分之一， o a 是 多少，那就是 x 一 到 y 一 呗， 加上二分之根号三倍的，呃， o b 是 多少？ s 二 y 二， 这样的话呢， o m 就 等于二分之一 x 一， 加上二分之根号三 x 二，然后再加上这个二分之一 y 一 的，加上二分之根号三 y 二。所以其实 m 点的坐标就是这个东西啊，那我们采用直接把这个 m 点 m 点坐标给它写成这个样子， 嗯，好，然后 m 点坐标，如果是这个样子的话，那么他让朕这个 m 在 椭圆上面，怎么？朕就是把他带入到这个椭圆方程是吧？带入， 带入椭圆方程能得到这个，呃， x 方加上四 y 方等于四。带入之后呢，咱们能得到这个四分之一 x 一 方加上四分之三 x 二方，再加上个二分之根号三 x 一 x 二，然后再加上这个四位的括号四分之一 y 一 方加上四分之三 y 二方，再 加上个二分之根号三 y 一 y 二或起来是等于四的，只要证明这个等式成立就可以啊。然后可以大家把括号给去一下啊。合并完了之后得到结果是，四分之一 x 一 方加上这个四分之 四分之三 x 二方，再加上个二分之根号三 x 一 x 二，再加上个 y 一 方，再加上三倍的 y 二方， 再加上这个二倍根号三的 y 一 y 二是等于四啊。这个时候我们需要用到题里边给到这个条件啊， x 一 等于二倍的 y 一， 那 x 一 的平方加上四倍的 y 一 的平方等于四，这个问题也没有啊。 x 二的平方加上四倍的 y 二的平方是等于四，这也没有什么问题，因为 ab 都在椭圆上，是吧？ ok， 这个时候 x 一 的平方就能等于四倍的 y 二的平方，提着条件告诉我们了。 呃，我们把这个带入进去就是四倍的 y 二的平方加上四倍的 y 一 的平方是等于四的。所以大家得到一个比较重要的结论，结论一是什么东西？就是 y 一 方加上 y 一 方加上 y 二方 等于一啊，这是第一个比较重要的结论，然后第二个呢？呃，我这里边需要知道的就是，这个 x 一 是等于四倍的 y 二方，在这写了，是吧？这是第二个，然后我们把它带入进来之后，呃，我们直接让它等于 四倍的四分之一 x 一 就等于多少呀？四分之一乘以四倍的这个 y 二的平方就直接等于 y 二方，加上四分之三倍的这个 x 二的平方。我们也需要知道一下，四分之三倍的 x 二的平方它等于多少呀？嗯， x 二的平方等于四，减去四倍的 y 二的平方。 ok， 那 给它乘以四分之三倍的 x 二的平方就等于三减去三倍的 y 二的平方，没啥问题啊，加上三减去三倍的 y 二方。 呃，这个别动，这也别动，然后把它们加起来，加上 y 一 方，加上三倍的 y 二方， 然后再加上二分之根号三倍的 x 一 x 二，再加上二倍根号三的 y 一 y 二等于四，证明这个成立就可以啊。然后这里边你看，呃，这些啊，就是越调了， y 一 方加上 y 二方，根据题里边知道炸知道他是等于一的，所以最后得到的就是什么东西， 得到就是四，加上二倍。摁，二分之根号三 x 一 x 二，再加上二倍根号三 y 一 y 二，过起来怎么着了？ 等于四说明这一坨等于零呗。二分之根号三 x 一 x 二，加上二倍根号三 y 一 y 二等于零，乘以几个？ 然后两个人同时除以根号三乘以二的话，就得到 x 一 x 二加上四倍的 y 一 y 二等于零。怎么去用这个东西呢？哦，因为上面咱们都是跟平方相关的，所以咱们直接 x 一 x 二等于四倍的负四倍的 y 一 y 二， 然后左右两边同时平方 x 一 方 x 二方等于十六倍的 y 一 方 y 二方啊， 然后继续代入这个 x 一 方不是等于四倍的？呃， y 二方？四倍的 y 二方乘以 x 二方 等于十六倍的 y 一 方 y 二方，然后约掉那 x 二方， x 二方等于四倍的 y 一 方 x 二等于什么东西呢？呃， x 二和 x 一 x 二就等于四，减去四倍的 y 二方，那 y 一 呢？ y 一 不是也是一样吗？四倍的时候一减去 y 二的平方不假， a 这个是相等的。所以所证成立啊。 成立，所以 re m 在 椭圆上。

几何快带竖纹新定义，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频给大家讲一下二零二六朝阳二模的几何压轴题， 那这个几何压轴题啊，它的考点啊，我们呢，在咱们的这个专题课上啊，包括我们的正课上，哎，刚刚给大家讲过，大家可以看一下这个黑板哈， 对吧？我们还特意把这个条件拿过来，哎，只要我们看到这个角是九十度，那我们就要想到他可能在考我们对称出等腰，然后怎么画的，也给大家进行了非常详细的示范啊，那这个题呢，如果说咱们拿捏住这个条件反射了，那做这个题非常快， 好，那我们的重点来给大家示范一下咱们的第二问啊，看咱们如何用我们的这个条件反射直接秒杀他。首先呢，我们看到一个九十度，那我们就想到嘛，对称出等腰啊，所以我们可以哎往这对称， 对吧，然后做一个等腰，那，并且呢，他又给了我们一个角度，那见角我们就给他传染标图 角 abc 是 r 发，那这个角呢？哎，也是 r 发，因为我是做的对称啊，好，那这个时候我们知道这个 a b 呢，和 a h 相等，这个上面的角是九十减 r 发，这个角呢，也是九十减 r 发 啊，也就是角 h a c h a b， 它就是一百八十减两个 r 法，然后他又说，哎，将线段 a d 顺时针旋转一百八十度减二 r 法，得到 a e， 好，那就是这个边等于这个边，并且这个角也是一百八减二二八，所以我们很明显可以看到这里有什么，哎，这是不是就在提醒我们共端等长有旋转全等，哎，我们只要连接谁就有旋转全等了， 哎，只要连接 he， 我 们就会发现三角形 a e h 全等。三角形 a d b， 是 不是啊？因为红边等于红边，然后蓝边等于蓝边，哎，同时一百八十度减二，阿法去掉这个公共角一 ab， 这个角一，哎，等于这个角二，对不对？ 好，那旋转全等式工具得到工具，马上得截到边啊，马上得截到边，那这个角，哎，我们就可以标到这来，对吧？哎，这个 b h 就 可以等于 b d， 好， 来标一下啊， e h 等于 b d， 然后第二问呢，说延长 ec 到 f， 使 c f 等于 ec， 那 这个就说明 c 是 一个终点，只要看到终点，我们马上想到什么工具啊， 哎，八中写三，对吧？八中写三，而我们两条件贵在结合呀， c 是 e f 的 中点，而根据我们的对称出等腰，现在 c 还是 h b 的 中点，所以这里又有个什么工具，这是什么全能， 对吧？这很容易就会发现，这不是个八字全等吗？哎，这是一个八字全等，对，而且啊，这个全等，哎，出来之后咱们要马上倒倒，倒倒倒，对吧？哎，我们就会很容易的发现，这个 bh 就 等于 bf 了 啊，这老念错，这是 e h 哈， e h 就 等于 b f 了，哎，这个 e h 等于 b f， 而根据旋转圈等 e h 还等于 b d， 嗯，所以我们发现这两个绿的人家也是相等的，是不是？ 好，那同时全等式工具工具不仅导边，还要导角啊，我们可以导这个角，这个角呢是 r 减 by t， 哎，我们平行给它导过来，这个就是 r 减 by t。 那这样子我们再看命题老师让我们求的是这个角和这个角的关系，那这个角 e、 a、 d 呢？已经知道是一百八减二 r 法了，我们再看它， 哎，那每个角都表出来了，咱只需要给它加一块，那我们发现 d、 b、 f 是 beta 加 alpha 减 beta， 那 就是两个 alpha， 而 d、 a、 e 呢，是一百八十度减两个 r 法，它是两个 r 法，所以它们俩的关系显然是互补的，对吧？哎，角 d， a、 e 加上角 d， b、 f 等于一百八十度，这就是它们俩的关系。 好，那通过这个呢，咱们来总结一下提速的原因啊。第一个就是因为我们对工具非常敏感，我但凡看到线段旋转，得到线段就提醒旋转圈等， 然后我们对这个工具也更敏感，哎，因为这是我们中考的一个热门考点嘛，但凡看到直角，看到九十度，我就想到对称是出等腰的，等腰两个等腰共顶点，这就出旋转全等了，有旋转全等，马上倒角倒边。 同时第二问，特意给一个 c e 等于 cf 提醒八全等，又马上倒角倒边啊，两个工具我们倒角就可以实现标了。 好，那么，哎，咱们呢？既然想到这个对称出等腰了，那我们呢？哎，不止一个方法，对不对？我们往下是不是也可以对称一下？ 好，那么来试一下啊。如果我们哎对称出等腰，往下对称，就是延长 a c 到点 m， 我 们让 c m 等于 a c， 然后我们再连接 b m， 那 此时我们就会发现 a、 b、 m 就是 一个等腰三角形，那因为这个是 r 法，所以这个角也是 r 法，对吧？ 啊，那这个角呢？是九十减 r 法，这个角也是九十减 r 法。好，然后那命题老师还给的有这个边等于这个边，哎，还有这角是一百八减两个 r 法，这是共端等长提醒旋转全等 啊，那我们呢，在这这么画的话，好像没有旋转全能了，是吧？哎，没关系，因为我们还有工具没有用呢，我们看能不能结合起来，只要把工具条件能结合起来，咱们这个方法就能继续做，如果结合不起来，哎，咱们再换方法 来，我们看这个里边还有一个 c e 等于 cf 呢，哎，那么 c a e c 是 ef 和 am 的 中点，所以这有一个八字全等哦，八字全等之后，那 a e 就 等于 m f 了， 哎，那这样的话，我们就可以发现，你看蓝的等于蓝的，乘的等于乘的，哎，会不会这里也有个旋转全等呀， 是吧，看着有点像啊，那就赶紧来正一正啊，这个三角形和这个三角形能否全等呢？现在已经有乘边 a， 乘边 a m 以及蓝边这个 a， d 等于 f m 这个蓝边，那就差角，差角，那我们就通用货币标图呗， 来，那这里面，哎，我们不知道啊，我们就标个这角是白塔啊，那这个角呢？就是这个大的一百八减两 r 法，减掉这个角 d a b， 再减掉角 b a c， 哎，也就是九十减 r 法减白塔，对不对？ 好，因为我们这里有个八字全等对应角相等，这个角也是九十度减阿尔法减白糖，那总共它俩加一块就是九十减阿尔法嘛，这个是九十减阿尔法减白糖，那这个就是白糖呗。 哎，这样一倒角，我们发现角 d， a， b 和角 ab， m， f 它俩都相等了，那边角边我们又得到三角形全等了，是不是？三角形 a、 b、 d 全等，三角形 f、 b、 m， 那 全等式工具，只要得到全等，马上等于到边，我们立马就可以发现这个角一，是不是等于这个角二， 哎，那因为我们呢，发现全等之后，我们立马倒角了，那我们就可以来再结合结论去正角结论呢，让我求这个角对不对？ 哎，那我们就会发现，那角一加上这个角 abf， 是 不是就等于角二加上角 abf， 所以角一加角 a、 b、 f， 也就是 d b、 f， 它是等于角 abm 的 啊，角 d， b、 f 等于角 abm， 就 等于二 alpha， 那 么一个是二 alpha， 一个是一百八减两 alpha， 它俩就是互补的啊。所以在考场上啊，如果说我们呢，哎，有点慌张的时候也没事啊， 刚开始看这个图肯定会觉得很怪，是吧？这支棱一条线，那支棱一条线，没事没事，你先去哎挖熟悉的工具，你但凡读第一句话，你就会发现这里边工具全是学过的，甚至是刚复习过的，那这样的话你就不那么紧张了。 那同学们如果说对于这些条件反射，对于这些哎，明天老师的提醒还不能快速 get 到，那可以来找彩虹老师按摩后呢。彩虹老师有这个关于针对几何压轴和圆综合的专题课， 并且这个共端等长旋转全等的操作呢，我们在第一节课的几何上面就几何专题课上就会给大家讲解。

我们来看朝阳二模第十七题，这道题是我们大体当中的第二道立体几何和空间向量。你们在高二学这一块的内容的时候，应该知道这个题目它整体来说 并不算很难，所以我们如果是中等生或者是优等生，这道题是不允许扣分的。跟着我上课的所有的小孩，你们在学这个东西的时候，我都跟你们去说过，高考当中必有一道，那么这道题不允许扣分，所以刷到我视频的小孩，你们要注意一下，这道题不允许扣分啊。 我们这时候我们来看一下这道题，他说多面体 abc 到 e、 f 四边形 abc 它是正方形，然后且倒 e 垂直平面 a b c d b f 平行于倒 e， 由于 b、 f 平行于倒 e， 所以 b f 倒 e， 它是在同一个平面当中，我们看它第一问要正什么？ a、 c 是 垂直于 e、 f， 那 我们这时候我们来看怎么去正连上 b 道，因为底面是个正方形，所以 a、 c 和 b 道是互相垂直的，由于道 e 是 垂直底面的，所以道 e 它就垂直于 a、 c。 由于道 e 和 b、 f 平行。我们前面说过，我们的道 e、 f、 b， 它是在这个平面当中， b 道和 e、 f 交于点到 一道垂直 a c e 一 道垂直 a、 c， 所以 a、 c 垂直这个平面，那么 a、 c 就 垂直这个平面当中的所有线。因为 ef 它在这个平面当中，所以 a、 c 垂直 ef。 第一问的证明我就不给你写了，尤其是我的学生，你们第一问的证明是不允许扣分的啊。 然后我们这时候我们来看第二个，他说 a 到等于二，到 e 是 等于一，再从条件一二三当中选一个，作为已知。所有这种从三个条件当中选一个的，我跟你们说过一定有一个不对， 所以排除掉那个错误的，剩下两个你一般来说都可以选，但是有个别题目他比较出花，他就想让你选一个，剩下两个都给你做错，但是很少啊，但是很少。然后我们这时候我们来看这道题当中是第一个不行，然后第二个和第三个选一个都是可以的啊，那我们这时候我们去从二三当中选一个，我们选二来去走啊， 然后选二的话说 a f 和平面 abc 到它所成角是三分之派，那我这个时候就需要去间隙，因为直线和平面所成角，我们现在以我们的到为原点，然后到 a 到 c 到 e 这三条线为我们的 x 轴、 y 轴和 z 轴，然后去间隙，那我们这时候我们来看啊，我就会拿到我们各个点的坐标，嗯，我们当中因为 a 到的长度等于二，所以 a 点坐标是二零零，然后 b 点坐标是二二零，然后 c 点坐标是零二零，到点坐标是零零零一，点坐标是零零一。 拿到这几个，因为我们的道 e， 它是平行于我们的 b f 的， 所以点 f 的 坐标是二二 t 可以 直接算啊，因为我不，我不清楚它是多少，那么这个时候我就可以去表示我们的 a f 这个向量，它就应该等于零二 t， 它有 a f 和 a f 和平面 abc 道所成角，那么我们的面 abc 道的法向量 m 等于零零一，那么线面角的线面角的正弦和线合法向量的加角的余弦的绝对值是相等的，所以我就能知道我们的 a f 和 m 这个加角的 cosine 的 绝对值是等于 cosine 三分之差等于二分之根号三的，那么我们就去算它这两个加角的 cosine 值，那我就能够知道说 af 去点乘 m， 它就等于 t， 我 们就能知道 cosine af m 所乘角的余弦的绝对值，它是 t 比上根号下四加 t 方，因为我的 t 是 要大于零，在这写上， 那这个东西等于二分之根号三，然后我两边去交叉相乘，那二 t 等于根号三乘上根号下四加 t 方，两边平方四， t 方等于十二加三 t 方，所以 t 方等于十二， t 等于二倍的根号三。负值舍掉，因为我 拿到 f 点的坐标了，然后他后边说的什么 a b f 和 a e f 加角的根弦值，那 ab 这个向量 它等于零二零，然后 af 这个向量等于零二二，根号三，设我们的 n 一 等于 x 一， y 一 z 一， 那么我们的 ab 去点乘 n 一 等于零， af 去点乘 n 一 等于零，那么就能拿到 我们的二 y 一 等于零二， y 一 加二，根号三， z 一 等于零，那这个东西就能拿到我们的 y 等于零，所以我们的 n 一 这个向量它是等于一零零，然后我们再去找我们的 aef， 我设我们的 n 二这个向量它等于 x 二 y 二 z 二，所以我就能知道我们的 a e 它是等于零呃，负二零一， 然后 af 它还是我们的二零二二，根号三，那我就能知道 a e 去点乘 n 二等于零， af 去点乘 n 二，它是等于零，所以我就能拿到我们的负二 x 二加 z 二等于零，所以这个能拿到我们的 n 二这个向量， 它就应该是一负二，根号三二，然后加角的余弦值，那么扣散引 n 一 n 二，那内积就应该是一，然后魔长的乘积一乘根号下一加十二，加四 等于十七分之根号十七，所以我们这个加角的余弦值，它就等于十七分之根号十七。我看看它是钝角还是锐角啊？ a b f 和 a e f， 嗯，加角为锐角，所以这个是对的，没有问题啊，就这样出来了。

几何快代数，稳心定力，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二六海淀二模的几何压轴题。那这个几何压轴题啊，如果你在考场上卡住了啊，或者说你在自己做的时候卡住了，你看你是不是卡在这几点呀？ 比如说有同学呢，第一问啊，有点太着急了，或者给自己压力太大了，就导致，哎呀，第一问就卡，或者第一问做了很长时间 啊。有同学呢，可能会觉得，哎呀，这个调问这个图啊，没见过啊，他怎么这给了一个直角，然后这个给了一个共端等长呀，这没见过，这还是个终点，哎呀，这没见过啊，没见过就有点慌，有点慌，哎，智商就没了，就做不出来了。 那如果说咱们有这样的困境的话，怎么解决呢？很简单啊，就找老乡，只要慌，咱就挖熟悉。 那我们双体的同学啊，其实应该是，哎，很有熟悉的感觉的，因为你要但凡，你去挖一下条件，对吧？你但凡去稍微读一下条件，你看你读到这九十度，你就立马想到，哎， 咱们的老题，复盘课上，彩虹老师是不是给大家说了，看到九十度对称出等腰，而且我们说如果是两个直角三角形都共顶点，那我就把两个直角三角形都对称出等腰。好，那这样的话，这个题其实他的第二问就方法就来了。 好，那我们呢，哎，给大家呢，示范一下，这个第一问和第二问都在考场上，怎么快速解决哈。首先来示范一下我们的第一问，那无论做哪一题，首先先标图啊，工具。哎，第一个呢，我们，哎，用 r 法是四十五度，我们可以标出来这是一个等腰值， 然后呢，一百八十度减二， r 法也是九十度，所以这也是一个垂直。 好在这种情况下，他让我们去证明这是垂直，那我们知道正垂直或者给垂直，我们先默认这是垂直的话，哎，先默认这是垂直，对吧？正垂直就默认他是垂直，那我们发现一个垂直，俩垂直，这是一个什么？ 这是一个一线三垂直的信号，对不对？所以这道题我们可以做一线三垂直啊，也就是说咱们呢，如果以后你看到这种哎，有一个 y 的 直角就斜直角，你就要想一线三垂直，那如果人家还让你正着直角，那肯定是一线三垂直， 那你都想到一二三垂直了，怎么做呀？从点 a 往下做垂，那么根据咱们的等腰直角三角形的性质，我们就可以得到 b h 等于 h， c 等于 a h， 那因为 e 是 c d 的 终点哎，所以 c e 呢？等于 e d。 又因为这一问，特意给了一个条件说 c d 等于 bc， 所以 我们知道 c d 的 一半 c h， 那 也，哎，不是 c d 的 一半 c e 也等于 bc 的 一半 c h， 所以 这仨边都相等。 好，那我们发现啊，现在 a h 等于 c e， 对 吧？哎，然后呢， a e 等于 e、 f， 并且这是直角， 哎，这个是要正的，那我们就再来个角吧，来，这是叉，这是点点加叉，九十度哦，你看中间叉角等于叉角，对吧？边角边这个三角形， a、 h、 e 就 全等三角形，这个 c 啊， e、 c、 f 全等之后，咱们就可以倒角，倒边那角啊， e、 c、 f 是 不是就等于角？ a、 h、 e 就是 九十度呀， 对吧？那这是，那我们就可以得到 f c 确实垂直 bc 的 啊。行，这是第一问， 那第一问呢？哎，它就提醒我们，你呢要去标图啊，你要去找熟悉的工具。那第二问呢？也是啊，我们来看第二问呢是说，哎，这个图它现在长这样子，这是九十度，这是 r 法， 然后 a e 转到 e、 f， 然后转的是一百八减二 r 法啊，那我们呢，从工具里边我们知道哎，对称出等腰，然后共端等长，有旋转， 终点有八中斜三，但是我现在不知道做哪一个能让我去弄这个正这个角，怎么办呢？来咱们，哎，不知道的时候，你呢就去开发你熟悉的条件或者是结论，并且呢，哎，去 想到我们之前给大家整理的一些条件反射啊，尤其是，哎，像这种条件，像这种结论，正九十度，对吧？直接写出 b、 f、 d 的 大小，我们一看就知道它肯定是九十度啊， 那我们要正九十度，那我们就默认它是九十度，我们就想工具啊，九十度背后的工具有勾股哎，斜边中线三线合一，对吧？哎，那我们现在要正这个九十度，而条件给的有 两个条件，又给了一个直角啊，所以我就想到，那正直角的话， 我就想到，哎，我可以做斜边中线或者三线合一，那条件里边这个直角三角形，它本身也在提醒我可以对称出等腰，所以我想到，那我要两个都对称出等腰，是不是就会出现一个旋转圈等，因为两个等腰共顶点就有旋转圈等，对不对？ 好，我们来看一下第二问。第二问呢是说，哎，连接 b f 和 d f， 直接写 b f 的 大小，那我们知道求这个角的大小，大小，它肯定是个特殊角，所以我们量哎，很容易发现它是九十度， 那正九十度我们想到啥呢？哎，我们就想到正九十度，就想到斜边中线呀，三线合一呀， 对吧？哎，这是我们常常用的倒角的工具。那在这道题目中，因为本来我们看到这个直角对直角非常敏感，我就想到对称出等腰了， 那么，哎，我在这里面我要正这直角的话，我也想到，哎，我要但凡对称出等腰，咱们只要能证明这是等腰，是不是就用三线合一就能正垂直了， 对吧？哎，那我们就开始盖啊。首先第一个，哎，九十度直角，我们就想到对称出等腰，我们先画出来。对称出等腰， 我们就是被长 c a 到点 h， 让 a h 等于 ac， 只要连接 b h， b h 就 等于 bc， 然后这个角是 r 法，这个角也标 r 法，对吧？好，这个角呢是九十减 r 法，这个角呢也标九十减 r 法。 好，接着呢是下一个。哎，我们呢条件给的是这个旋转到这共端等长，提醒旋转全能提醒自己啊。然后这个角是一百八减二 r 法 啊，这个角是一百八减二而法。那现在呢？共端等堂有旋转全等，但是我又不知道转谁，所以先放这，哎，就是永远从熟悉的下手啊，我熟悉的是什么呢？你让我正直角，哎，我想到三线合一，三线合一我熟悉，我会画呀，对吧？那我们就画 哎，我倍长 d f， 哎，这样的话就可以构造一个等腰三角形，注意，咱只是构造出来了，咱还没有证明了啊，来，我们，对，就是延长 d f 到点 m， 使 m f 等于 d f， 然后呢再连接 b m， 此时我们呢只需要证明 b d 等于 b m， 就 可以利用中线高线角，平分线三线重合得到这垂直。好，所以接下来的问题就是我们要证明这等腰了， 那么正等腰或者给等腰，咱们通通都要想到旋转圈等，所以呢，我们现在去找旋转圈等， 哎，那就我们已经发现旋转全等了，不对吧，这个等腰粉色的和这个等腰绿色的是不是正好共顶点呀？两个等腰共顶点，是不是铁定就有旋转全等， 所以咱们只需要哎连接这个 h d， 再连接这个 c m， 就 会出现旋转全等，哎，所以咱们接下来只要能证明三角形 h b d， 对 吧？ h b d 和 c b m 就 可以出旋转全等了。 好，那有的人说，老师，这个旋转圈的我发现不了，哎，我教你们啊，你就拿，你就拿这个，哎，腰短腰啊，就是短手，小手拉着个大手， 对吧？这个小手拉大手啊，就是这个当成手，当成一个小手，绿色当成大手，你拿这个小手拉着大手，小手拉着大手，所以说很容易能够找到这个粉色的旋转圈的， 那找到旋转圈等了就开正啊，对吧，我们看看条件够不够啊。首先是 b h 等于 bc， 这是我们自己已经做完的，然后，然后剩下的条件，哎，就没了，没了，赶紧看是不是有条件没用上呀， 来，哎，这个九十度我们对称出等要用上了，这个 alpha 现在标在这，哎，用上了，然后，哎，这个旋转线段没用上，对吧？这两个边相等没用上，那我得用啊，那我看这是一个中点， 哎，现在这个 a 也是 h c 的 中点，多个中点想到什么？ 哎，多个中点是不是提醒中位线呀？所以我们发现 a e 就是 h d b 的 中位线，所以呢，这个是不是就是两个 a e 啊？ 然后同理你看 e 是 终点， f 呢是 dm 的 终点，所以 ef 是 不是也是 cmd 的 中位线？那这就是二倍的 e f， 对 不对？好，那我们知道黄边等于黄边，所以二倍的 a e 是 不是等于二倍 e f， 哎，所以我们发现 hd 是 等于这个 c m 的 好，两个边了，就差一个角， 对吧？那我们就开始倒角了，就是应该是再正一个这个粉边和这个 h b 的 加角，就正这个角等于这个角，是吧？哎，那我们发现这两个角等啊，正不出来 啊，为啥呢？没信息啊？这，你看这个三角形整体都没信息，所以赶紧去找，怎么办呢？哎，这里面倒角工具是什么呢？ 哎，有中微线就有平行，对不对？我们倒角用上平行线啊，以及呢，陈老师之前给大家总结一个啊，就是无论是你正旋转圈等，还是给旋转圈等，如果你的倒角卡了，一定要关注第三边的夹角，什么叫第三边呢？哎，就这个 h d 和 mc， 它就是第三边，你呢，就关注这个第三边的下角，也就是延长 mc， 哎，交 h d 于点 n。 哦，那你就要关注这个角 啊，那我们根据平行，我们知道它是等于这个角的，是不是这两个同一线，哎，然后根据这个和这个平行也能发现等于这个啊，所以呢，我们可以发现这个角，哎， c n h 它其实是一百八十度减两个 r 法。 好，那我们关注这个角之后能干嘛呢？哎，那当然要看看它给我们提醒啥了。朋友们，你们不觉得这个条件挺别扭的吗？ 但凡遇到别扭的条件，他肯定在提醒我们啊，而且越是别扭的条件啊，越是别扭的条件，越是面条老师煞费苦心的提醒，当我们看到一百八减二十二发，我们就要想到他和二十二发是互补的， 互补角就在提醒你，延长会出角，等内角和，哎，内角和一百八也会出，可以倒角，对不对 啊？还有平行同胞内角都可以倒啊，所以我们现在观察一下啊，这是一百八减二 r 法，而这个地方刚出来一个二 r 法，哎，这就这两个是在一个四边形里，所以应该是想让我们用内角和倒角的，是不是来给大家画一下啊，在这个四边形 h、 b、 c、 n 中，哎，这两个角是互补的对不对？那四边形内角和三百六啊，这俩角互补，说明这个角标个角一啊，和这个角是什么关系？是不是也互补啊？ 哎，那又因为这个 b、 c、 n 和这个角三是不是也互补，所以角一就等于角三了，哎，角一就等于角三。好，那我们就发现，你看边角边，咱们就可以得到这个旋转全等了， 嗯，所以你看，哎，我们呢，本来是想要正这个垂直，哎，正垂直不知道怎么正的，我就知道这是直角三角形对称出等腰， 然后我要正垂直时，我就正着等腰，那正等腰或者给等腰，我们都要想到旋转全等，所以我想到要正这个粉色的三角形全等，哎，那正全等的时候呢，我们去利用上每个条件，就能得到边角边都对应相等的信息， 好，得到信息了，我们就可以轻松证出来他俩全等了，是不是？那全等式工具，工具立马到角到边，通过这个全等立马就可以得到咱们的 bm， 就 等于 b d 了，是不是？哎，那三角形 b m、 d 就是 个大等腰，等腰三角形三线合一，而 b f 现在是人家的中线，所以就是人家的高线，所以角 b f、 d 它就是九十度了。 好，那我们总结一下啊，这个题还是非常的有难度的，是吧？哎，其实在我们双题眼里，他就是看到直角三角形就对称出，等腰，等腰三角形出，旋转旋转，全等倒角，找第三遍就够了。 但是可能在一些哎，靠经验做题的学生啊，或者说靠灵感做题的学生来讲，你会发现他非常的难，因为他画的浮线特别多 啊。那如果说你想让自己能够哎，对辅助线不触哎，多复杂的辅助线都能想到的话，那么你可以去积累这些条件，反射就是去积累，看到每个条件应该怎么做。 咱们呢，在按摩后会开一个几何压轴的专题课啊，在课堂上像这个我第一节课就会给大家讲，这个呢，在几何压轴的第二节课也会给大家讲 啊，每一个条件，那我都会给大家示范咱们应该怎么想到，以及想到了之后该怎么做。大家呢？如果说想要在二模之后再冲刺一下几何压轴的话，可以来双体找彩虹老师。

下班了，做套卷子放松一下。二零二六年哈。呃，朝阳朝阳二摩填空题，十一题，顶点在原点。关于 y 轴对称且过二一的炮线标准方程。 关于 y 轴对称开口向上下，所以应该是 y 等于 x 方且过二一，把它带进去。右边是四，左边是一，所以带个四。 嗯，十二题，直线 l， 这条直线横过一零与圆，圆心是二零，半径是一。 教育 a、 b 两点能使 a c b a、 c， c 在 哪里？ c 在 这为锐角，那直角以内都可以。直角是一，那么随便这这边就一个高三或二都可以。十三，已知函数 cosine 这个东西有 me 等于 pi， 所以 它的题等于二，对于任意时数都有 f， x 大 于等于 fa 小 于等于 f b， 所以 这个应该是最小值，这个应该是最大值。 a 减 b 的 绝对值。半周期呗。一十四题好多信息，读吧，找到 依次类推，后边， ok。 若按上述那么记第 n 个大数，第一个为 e， 第二个为照，照是 e， e 为照， ok， 所以 对应的是是数列， 竖列的话，那么他第一个应该是 a 一 等于十的八次方，那这是十的十六，那这是十的三十二，所以我把这数写在上头来，八十六，三十二。第五个数的话，就应该是一百二十八， 十的一百二十八次方，所以前面是一个对数，那就是一百二十八。嗯，如果 a 一 乘以 a， 二乘以 a 三一直乘到 a k 的 话，就是这些东西相乘，那就底部变上边相加， 一直加到最后等。呃，大于十的一千，所以就是这些东西大于一千，同时约个八，就是一加二加四加八加点点点大于一百二十五，一百二十五，这个应该是比较熟悉的啊，就是， 嗯，从这开始加，一直加到六十四的话，等于一百二十七，所以六十四就可以，三十二不够啊，所以这是二的，不是二的。二的零次方，一次方，二次方，所以这应该是七。 第十五题，已知函数这个东西和这个东西这个东西三个函数，给出下列四个结论， h 是 中心图形，找 h， h 是 中心图形， ok， 前面是一个奇函数，向下平移了二零二五，所以它的对称中心应该没问题的。 第二题，当零到零到一时，曲线这个横在它上方，所以我拿 f 去减记，应该就可以。它俩相减的话，这是一个负的，按将密排列， 所以 f 减记积蓄，它减它应该是个减 x， 它减它应该是个加一。然后题，公因式， x 方 x 减一，减去一个 x 减一，等于 负， x 方减一乘以 x 减一，前面是一个横负的，而这受零到一控制，应该也是负的，所以它大于零没问题。二是对的。 第三个 x 除以 r， 十 x 加二， x 加一， x 加一，这个好像等差数列啊， 所以我把它归到一堆去，所以它就应该是一个 g x 加上 g x 加二，大于二倍的 g x 加一，也就是除以二。 这个东西是凹凸性，嗯，我随便画一个，所以这里是。嗯，零的话，那这是一对应的，这是二，那一对应的这个外置一定会比它的函数值的一半要低一些，所以这就是凹的原理。 那么它说中间比它小，那这边一定是凹，那它属于 r 的 时候， g x， g x 也是，前面也是一个奇函数，向下平移，所以 他不可能左边凹，右边还凹的，应该是凹凸或者是凸凹的一个情况。因为是奇函数平移的嘛，除非是一条直线，左右对称，除非是这个样子的。 ok， 所以 三是错的。然后看看四， 设正正实数 x 一， x 二 x 三，分别是它的零点，那零点的话，我大概看一下，这是二零二五。 x， 这是二零二五，所以我大概的画个图， 零的时候 f 零等于负的，二零二五大概画在这吧， 一的时候是一，哎，就不要比例了，就这样吧。然后它的零点大概是这个样子，所以这儿是 x 一。 然后 g x 零的时候是负，二零二六大概在这个位置， 然后一的时候也是一，所以 这是 x 二，所以 x 一 会比 x 二小一些。然后再看第三个，零的时候是负的，二零二五在这里，一的时候是二，所以它在这里。 所以 x 三是最大的。 哦，最小的，所以四是对的，一二四。

大家好，那今天看一下二六年的朝阳高三下二模的导数压轴的题目。嗯，给他的分类是把呃问的一些其他的各种各样的问题，然后尽可能把它转化成函数是否存在零点，还有就是求函数增减性， 然后再转化成导数去解问题的一种题型啊。那首先看一下它这个题干给的函数是 x 减 x 分 之一，再减去 a 倍的 y x。 第一问是 a 等于一的时候，求曲线 f x， 它在一对 f 一 处的切线方程，那就是 a 等于一代入，然后求 f 一 和 f 撇一。那我们计算一下啊， 我们把一带入之后，然后 f 一 呢是等于零， f 撇一呢，它是等于一，那么切线就是 x 减一啊。第二位是当 a 等于一减一分之一的时候，然后满足 f x 大 于零的一个曲距 x 的 曲距范围， 那条件和问题都非常的莫名其妙。那我们首先先把 a 等于一减一分之一代入，代入之后是 x 减 x 分 之一，再减去 e 减一分之一倍的 let x， 呃，然后要求它大于零的一个取值范围，这里面有 let x 还有 e， 显然我们是没有办法正常去求它的零点的，所以我们只能去找一些特殊值。 那么最容易发现的是一，因为我们上一问 f 一， 它就等于零。然后另外一个呢，是呃， x 等于 e 的 时候，我们会发现它也是等于零的。但这道题它还有第三个零点， 就是当 x 等于一分之一的时候，这个值它也是能算的，然后把一分之一带入之后，会发现它这个也是等于零的。 所以呃，我们就有三个控制点， f 一 分之一和 f 一， 还有 f e， 我 们后面去求它增减性的时候，就要看一下它在一分之一还有 e 的 时候，它会发生一个什么样的变化。 当单入之后，这个 f x 是 x 减 x 分 之一，再减去 e 减一分之一倍的浪 x， 然后我们还知道还有三个零点是一还有 e 还有一分之一， 呃，然后我们求它的导数之后，会发现是 x 方分之 x 方减去一减一分之一倍的 x 加一 x 方是大于零的，可以把它专门提出来，我们可以设上面这个为 g x， 那 么这个 g x 呢？我们需要知道在一还有 e 还有一分之一处的一个位置，那上面这个函数很显然它就是个二次函数，二次函数呢？呃，它就是 先减后增这样的一个趋势。让我们问题在于呢，我们这上面这个 x 方减一分之一啊，减去这个这个函数呢，它不包含任何一个字母，我们是实际上能求出来零点的，但它这个零点数字不是特别容易看， 那么就有两个选择，一个是把这个零点求出来，另外一个呢是我们可以把一还有一还有一分之一这三个值都给他带入，然后看一下他这个函数的一个情况，理解一下啊，他在一到一还有一到一分之一，嗯， 一分之一到一，一到一，还有一到无穷大这些各个区间，这个函数都是怎么样去进行一下变化的？那么两种思路的应该是指， 呃，直接求他的两个根和这个一分之一，还有还有易经比较的简单一点，因为如果我们去分析到 f e 分 之一就是上面这个 e 分 之一的时候需要分析一下， e 的 时候也需要分析一下，然后 要分析的区间也比较多，还不如直接把这个比较难算的这个二次函数给它求一下，然后直接求出它的两个零点值，然后去分析一下这两个零点它到底在一到一分之一还是一分之一 到一，还是一到一，还是一到一，还是一到无穷大，直接看一下它到底在哪段就可以了。那接着我们解一下这个方程啊， 我们求出这两个解之后，一个是二分之一减一分之一，再减去一个根号下的一减一分之一的平方减四。另外一个呢，是二分之一减一分之一，再加上根号下一减一分之一的平方减四。 然后我们最好去估算一下它这个值大概是多少。因为一分之一的一大概是二点七左右，所以你这个一分之一的值呢，它应该大概在零点三到零点四之间吧。呃，所以这个一分之一其实是比较小的 x 一 的，嗯，它肯定是小于一的。 但实际上呢，我们如果要是就是 x 减 x 分 之一，它是一个逐渐增大的一个函数嘛。所以呢，呃，我们比如说这个二点五减去二点五分之一，它就应该比一减一分之一还是要小的。 比如说一减一分之一左右，我们大约可以把它要估算成二点三二点四左右啊，那这个 x 一 呢，应该还是要比零点三零点四左右要大的，但他肯定不会到二点几， x 二的话也不会到二点几。所以我们最后就可以确定了， x 一 和 x 二它应该是在一个在一分之一和一之间，一个是在一和一之间，那接着我们就可以去解一下 f x 它的一个增减性， 我们接着把它这个增减性给它解出来之后，我们当当时在判断这个 x 一 和一分之一的时候，可以 结合一下 g 一 分之一的一个大小， g 一 分之一的话，我们会发现它是等于一的平方分之二，也就是说它在一分之一的时候还是一个 n 区间，然后所以这个 x 一 肯定应该是在一分之一到一之间， 然后呃，我们大概可以画出它的一个图像来，就说它首先是从零到一分之一上面是逐渐增加的，呃一分之一的地方就是零继续往上增加到 x 一 的位置， 他从 x 一 的位置到一的位置开始往下减小，减小到一的位置的时候等于零，所以在一分之一到一的位置上是大于零的。从一开始一直到 x 二的位置是逐渐减小的一个减区间， 然后呃到 x 二到 e 的 位置，它是逐渐增大的，是一个增区间。当然到了 e 的 时候才等于零，大于 e 的 时候就变成一个增区间。那么最后 f x 它大于零的一个减极的就是一分之一到一和 e 到无穷大。 第三位需要判断一下在 a 小 于等于二的时候， f x 是 不是有一个点，有两个点它是关于 e 到零对称的， 呃，就是说我们正常来说是没有判断这个两个点是否就是关于某一个点对称的这样的一个公式的，所以我们只能去想一下对称点的公式。那么如果两个呃点关于一到零对称的话，那应该是 一减 t 都 m 和一加 t 都负 m 这种感觉，所以呢，我们可以写一下这个 f 一 减 t 加上 f， 一 加 t 等于零，而且 t 要大于零，小于一， 去判断一下这个函数它是否有零点，这个 t 是 否存在一个能够使这个函数等于零的一个值，那我们就变成了一个是否存在零点的一个问题了。 那我们把这个一减 t 和一加 t 给它代入之后，我们就变成了我们能够理解的一个函数是否存在零点的一个问题了。而且它这个零点呢，实际上就是当 t 等于一的时候， 呃，就是呃 t 等于零的时候，就 m 等于一的时候，它是零点的，但这个 m 等于零的时候，这两个点肯定是不存在的，也就说我们需要找到另外一个 t， 使得它能够成立。 接着呢，我们就可以看一下这个函数 g m 就是 二，它正好可以凑出一个一减 t 和一加 t， 然后我们就把一减 t 乘以一加 t 直接作为一个字母了，那我们这个函数就变成二减去一个 m 分 之二，再减去 a 倍的那样 m， 我 们看一下它的一个增减性 在零到一的位置上，那接着我们对它进行求导之后，就会发现它这个导数很显然它是要大于零的， 所以它这个就是一个增函数。增函数呢，又有一个 g 呃一，它是等于零的，所以的话呢， g m 它就不存在另外一个等于零的一个值了，所以它这个就不存在。两个点关于一到零对称。

几何快带竖纹心灵易，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频给大家讲一下二零二六朝阳二模的几何压轴题， 那这个几何压轴题啊，它的考点啊，我们呢，在咱们的这个专题课上，包括我们的正课上，哎，刚刚给大家讲过，大家可以看一下这个黑板哈， 对吧？我们还特意把这个条件拿过来，哎，只要我们看到这个角是九十度，那我们就要想到他可能在考我们对称出等腰，然后怎么画的，也给大家进行了非常详细的示范啊，那这个题呢，如果说咱们拿捏住这个条件反射了，那做这个题非常快， 好，那我们的重点来给大家示范一下咱们的第二问啊，看咱们如何用我们的这个条件反射直接秒杀他。首先呢，我们看到一个九十度，那我们就想到嘛，对称出等腰啊，所以我们可以哎往这对称， 对吧，然后做一个等腰，那，并且呢，他又给了我们一个角度，那见角我们就给他传染标图 角 abc 是 r 发，那这个角呢？哎，也是 r 发，因为我是做的对称啊，好，那这个时候我们知道这个 ab 呢，和 a h 相等，这个上面的角是九十减 r 发，这个角呢，也是九十减 r 发 啊，也就是角 h a c h a b， 它就是一百八十减两个 r 法，然后他又说，哎，将线段 a d 顺时针旋转一百八十度减二 r 法，得到 a e， 好，那就是这一个边等于这个边，并且这个角也是一百八减二二八，所以我们很明显可以看到这里有什么，哎，这是不是就在提醒我们共端等长有旋转全等，哎，我们只要连接谁就有旋转全等了， 哎，只要连接 he， 我 们就会发现三角形 a e h 全等。三角形 a d b， 是 不是啊？因为红边等于红边，然后蓝边等于蓝边，哎，同时一百八十度减二阿法去掉这个公共角一 ab， 这个角一，哎，等于这个角二，对不对？ 好，那旋转全等式工具得到工具，马上得到导边啊，马上得到导边，那这个角，哎，我们就可以标到这来，对吧？哎，这个 b h 就 可以等于 b d， 好， 来标一下啊， e h 等于 b d， 然后第二问呢，说延长 ec 到 f， 使 c f 等于 ec， 那 这个就说明 c 是 一个终点，只要看到终点，我们马上想到什么工具啊， 哎，八中斜三，对吧？八中斜三，而我们两条件贵在结合呀， c 是 e f 的 中点，而根据我们的对称出等腰，现在 c 还是 h b 的 中点，所以这里又有个什么工具，这是什么权能， 对吧？这很容易就会发现，这不是个八字全等吗？哎，这是一个八字全等，对，而且啊，这个全等，哎，出来之后咱们要马上倒倒，倒倒倒，对吧？哎，我们就会很容易的发现，这个 bh 就 等于 bf 了 啊，这老念错，这是 e h 哈， e h 就 等于 b f 了，哎，这个 e h 等于 b f， 而根据旋转圈等 e h 还等于 b d， 嗯，所以我们发现这两个绿的人家也是相等的，是不是？ 好，那同时全等式工具工具不仅导边，还要导角啊，我们可以导这个角，这个角呢是 r 减 by 它，哎，我们平行给它导过来，这个就是 r 减 by 它， 那这样子我们再看命题，老师让我们求的是这个角和这个角的关系，那这个角 e a、 d 呢？已经知道是一百八减二阿尔法了，我们再看它， 哎，那每个角都表出来了，咱只需要给它加一块，那我们发现 d、 b、 f 是 beta 加 alpha， 再加 alpha 减 beta， 那 就是两个 alpha， 而 d、 a、 e 呢，是一百八十度减两个 r 法，它是两个 r 法，所以它们俩的关系显然是互补的，对吧？哎，角 d a e 加上角 d b、 f 等于一百八十度，这就是它们俩的关系。 好，那通过这个呢，咱们来总结一下提速的原因啊。第一个就是因为我们对工具非常敏感，我但凡看到线段旋转得到线段就提醒旋转圈等， 然后我们对这个工具也更敏感，哎，因为这是我们中考的一个热门考点嘛，但凡看到直角，看到九十度，我就想到对称是出等腰的，等腰两个等腰共顶点，这就出旋转全等了，有旋转全等，马上倒角倒边。 同时第二问，特意给一个 c e 等于 cf 提醒八全等，又马上倒角倒边啊，两个工具我们倒角就可以实现标了。 好，那么，哎，咱们呢，既然想到这个对称出等腰了，那我们呢？哎，不止一个方法，对不对？我们往下是不是也可以对称一下？ 好，那么来试一下啊，如果我们哎对称出等腰，往下对称，就是延长 a c 到点 m， 我 们让 c m 等于 a c， 然后我们再连接 b m， 那 此时我们就会发现 a b m 就是 一个等腰三角形，那因为这个是 r 法，所以这个角也是 r 法，对吧？ 啊，那这个角呢？是九十减 r 法，这个角也是九十减 r 法。好，然后那命题老师还给的有这个边等于这个边，哎，还有这角是一百八减两个 r 法，这是共端等长提醒旋转全等 啊，那我们呢，在这这么画的话，好像没有旋转全能了，是吧？哎，没关系，因为我们还有工具没有用呢，我们看能不能结合起来，只要把工具条件能结合起来，咱们这个方法就能继续做，如果结合不起来，哎，咱们再换方法 来，我们看这个里边还有一个 c e 等于 cf 呢，哎，那么 c a， e c 是 ef 和 am 的 中点，所以这有一个八字全等哦，八字全等之后，那 a e 就 等于 m f 了， 哎，那这样的话，我们就可以发现，你看蓝的等于蓝的，乘的等于乘的，哎，会不会这里也有个旋转全等呀？ 是吧，看着有点像啊，那就赶紧来正一正啊，这个三角形和这个三角形能否全等呢？现在已经有乘边 a， 乘边 a m 以及蓝边这个 a d 等于 f m 这个蓝边，那就差角，差角，那我们就通用货币标图呗， 来，那这里面，哎，我们不知道啊，我们就标个这角是白塔啊，那这个角呢？就是这个大的一百八减两 r 法，减掉这个角 d a b， 再减掉角 b a c， 哎，也就是九十减 r 法减白塔，对不对？ 好，因为我们这里有个八字全等对应角相等，这个角也是九十度减阿尔法减白糖，那总共它俩加一块就是九十减阿尔法嘛，这个是九十减阿尔法减白糖，那这个就是白糖呗。 哎，这样一倒角，我们发现角 d a， b 和角 ab m， f 它俩都相等了，那边角边我们又得到三角形全等了，是不是？三角形 a、 b、 d 全等，三角形 f、 b、 m， 那 全等式工具，只要得到全等，马上等于到边，我们立马就可以发现这个角一，是不是等于这个角二， 哎，那因为我们呢，发现全等之后，我们立马倒角了，那我们就可以来再结合结论去正角，结论呢？让我求这个角对不对？ 哎，那我们就会发现，那角一加上这个角 abf， 是 不是就等于角二加上角 abf， 所以角一加角 a、 b、 f， 也就是 d、 b、 f， 它是等于角 abm 的 啊。角 d、 b、 f 等于角 abm 就 等于阿尔法， 那么一个是阿尔法，一个是一百八减两阿尔法，它俩就是互补的啊。所以在考场上啊，如果说我们呢，哎，有点慌张的时候也没事啊， 刚开始看这个图肯定会觉得很怪，是吧？这支棱一条线，那支棱一条线，没事没事，你先去哎挖熟悉的工具，你但凡读第一句话，你就会发现这里边工具全是学过的，甚至是刚复习过的，那这样的话，你就不那么紧张了。

下班了，做套卷子放松一下。二零二六，朝阳二摩。因为今天比较累，懒得动手，所以 动脑子吧。能用多简单的方法就用多简单的方法。选择题， m n m n 的 意思是在 m 里也可以，在 n 里也可以，所以看选项。两个正无穷，带个一万，一万在 m 里，所以排除 b， d， 然后看区别，负一零，所以带个零，零在这里，所以零可以选 a。 第二题，求 z 的 膜， z 的 膜等于分子的膜，除以分母的膜，上面是根号五，下面是一，所以选 b。 第三题，之前讲海淀的时候讲过，一五十是五一的下一行，嗯，所以选二十。 第四题，双曲线这个东西，所以这边的话一为零，它应该是 y 等于正负 ax， 所以 它斜率是正负 a， 然后这边是 a 分 之四负的，所以平行的话应该选一个正 a 的 话不行，正 a 的 话 a 方等于负四，所以选负 a。 第五题，如图啊，一个 y 三角形，好，那我重新画一下一个三角形 a， b， c 中，因为题上没有过多的约束，所以我就随便画 m 是 这样的中点，然后 c， n 是 四分之一， c a， 所以 四分点在这里，所以 m n m n 等于 a b 为基底，所以我向上找一个，然后再 k 倍的 a c， 所以 再过来，所以应该是 a， b 的 话是这里，所以是负一半，然后这边有一个四分之一是正的， 所以 k 一 比 k 二等于负二，所以选 a。 第六题，赛 m 等于零， k 派，嗯，然后 cosine 二 x。 关于它对称，那我先带一个九十度吧，九十度不行，零的时候吧，零的时候，那么它的对称轴可以，那九十度不行，一百八十度，那 cosine 三百六也是对称轴， ok， 没问题， 但是他跳过了一个，嗯，因为 cosine 二 x， 他的对准轴在这边和这边中间刚好跳过一个，所以应该是可以正推，不能反推，选 a。 圆锥的轴结面为等边三角形， ok， 这是轴结面，所以画上底，他应该是这个样子的一个问，圆锥的侧面积展开应该是一个扇形， 嗯，那扇形的测面积面积公式应该是二分之一 l r， 所以 我把它展开以后，它是一个这样的东西， 那它的这个弧长刚好应该是它的底面周长，它面积的话，我应该求一下，二分之一乘以， 嗯，这是大 r， 嗯，在这是大 r， 所以 乘以 r 乘以 r， 乘以一个三六十度等于四倍，根号三，所以应该是 r 等于四， 嗯，四乘以四没问题，这是四，那它下面这应该就是二，所以二派 r 是 四派，所以四派乘以四除以二等于八派，所以选 d。 第八题，电子产品看这个好难算啊。 嗯，先跳第九题。第九题是一个函数，分段函数， ok， 是 定界，定界的话，画个图， 减 k 减 k， 哦，大家都减 k， 所以 我把这个函数向上平移 k 个单位， 那么这条直线与它有两个解，那我也向上平移 k 个单位，也就是这边整体加 k， 这边也整体加 k， 那 这个函数就变成了 x 分 之一，也就是反比例函数的。 又上这一条和，哦，不是反了，应该是左下这一条。这是一浪 x 加一浪 x， 这样加一往上走，所以大概的是这样的一个函数 定性不定量啊，把性质定下来就行了。然后这边加 k 呢，就变成了 k 倍的 x， 加一减一，就是横过负一负一这个点 过，这个点与函数有两个不同的实数解，那横着肯定行，所以有一个零， 那这样的话肯定不行。是三个，所以相切的时候，这有一个，看起来好像是一，嗯，然后 可能会有人觉得这样也可以，这样不行啊，因为这有一个，然后下去的话，他还跟这有一个交点，所以这样斜着是不行的。嗯， 所以两个的话， 还有哪有一个呢？这有一个，这正好相切的时候， ok， 最大是三个，所以选 d。 第十题，在四面体中， o a b c o a 垂直 b c， 我 先画一个四面体， 然后这是 o a b c o a 垂直 b c， ok， o h 垂直 b c h， 嗯，在面内， h 在 面内，并且 o h 啥垂直平面， a b c， ok， 这是一个高，那要这样的话， 嗯，可能会有一个概念，我不知道在座的各位听过没有，就是我们学校也会讲的一个东西，叫三垂线定律，三垂线定律以及逆定律。 什么意思呢？就是说如果 o a 垂直 bc， 那 么 o a 在 下面的投影， a h 也会垂直 bc， 嗯，所以 h 是 o 在 底面的投影吧。嗯，大概能读懂了。然后我看看选项， 选项的话三一三一二一二三。如果，如果判断三的话，有三个不划算，如果判断一的话，也有三个不划算，如果判断二的话，有两个， ok， 我 现在判断一下二， 如果 ab 等于 a c， ab 等于 a c， 这两个边是等的，那么 c h 垂直 ab， 那 不应该 a h 垂直 bc 吗？所以二是错的。 嗯，其实我们可以用这样的一个方法，我先把这个东西扔到一边去，嗯，我们先画底下的一个三角形。 ok， 这样 abc 如果 ab 等于 ac 的 话，我们画一个等边，呃，等腰， 那这样的话，嗯， o 在 底面的投影 h 应该是落在，因为 ab 等于 ac 嘛，所以应该是落在这条线上， h 会落在这条线上，那这样的话， c h 垂直， ab 就 不是必然条件，它就不会必然垂直， 但是 a 这条线一定会垂直 bc， 所以 二是错的，因为我们用投影去做看一看，那么既然二是错的，我排除 cd 看区别，三肯定是对的了，所以我只要看一对不对就可以了。 嗯，如果 o b 垂直 a， c， o b 也垂直 a c 的 话，那就应该是一个垂心，那也就会出现 c h 也垂直于 ab， 那 么这些点乘一是对的， a 排除，所以第十题选 b 垂心啊。这是一道出重题。好，我们回过头来看第八题， 某电子产品的电池，什么健康，什么随着 n 的 什么什么。好，我先把这个式子写一下。 e 的 啊， e n 小 写 n 等于 a 乘以 e 的 负 k， n 加三十。为什么我最后写呢？因为对数的计算总是略显复杂， 然后他说一零等于一百，一零等于一百的意思就是一零等于 a 乘以一的零次方，也就是 a 加三十等于一百，所以我们能拿到的是 a 等于七十， a 等于七十的话，带进去搁在这。嗯， 然后我们再算一个， e 一 百， e 一 百的话等于七十乘以 e， 负 k 乘以一百加三十等于八十， 所以我们能拿到 a 三十拿过去等于五十，所以把七十也拿过去等于七分之五，所以这个玩意， e 的 负 k 乘以一百等于七分之五，嗯，我不知道需不需要再往后算，我就先扔在这 往后读。如果电池轻钢度从八十衰减到了六十，哦，它不是改这个 n 了，它是改后边这个六十，所以 e 我 不知道多少等于六十，我假设它就是 n 吧， 所以三十拿过去，所以应该是 e 的 负 k， n 等于七分之三， 我要求循环次数大约增加多少，也就是说我需要把这个 n 算出来，然后再去减这个一百，那这样的话他有两个未知数，哎，我还真要把 k 算出来，真要把 k 算出来的话，这我能拿到一个什么东西啊？ 负 k 等于这边有一个 long 七分之五，嗯，然后再除以一个一百，也就是百分之一，当然负的 k 等于这个东西， 嗯，然后我把这个 k 还要带进去，带到这里面来，那我肯定是要把这个东西 写成负 k， n 等于 line 七分之三，然后把 k 带进去的话，应该是一个负一百分之一乘以 line 等这是 k， 然后还要乘以一个负 n 等于 line 七分之三，看一下对不对？ line 七分之五，这个东西乘过来，然后乘一个 n 等于它没问题。然后算它的话，因为我们知道 line 五 like 七分之五等于 like 减，这个，然后呢？这边我要除以它，所以就应该用 like 三减 like 七，刚好大家都反过来，因为 like 三减 like 七也是负的， like 五减 like 七也是负的，所以 这个计算还挺麻烦。然后最后再乘个一百，所以我们大概的看一下烂三减烂，呃，烂七减烂三的话是一点九五，减去一点一零，大概是零点八五， 那底下烂七减烂五，烂七减烂五的话是零点三四， 哎，那十七可以消啊，所以应该是二分之五 乘一百的话就是二百五，二百五减一百等于一百五，选 b。

朝阳二模第十三题，三角函数题干就只有一句话，但是题目的条件，它包装起来非常吓人，叫做对于任意的一个三角函数来说，它其实都有 fa 小 于等于 f x 小 于等于 f b， 那 你以为呢？需要分类讨论，那它其实啊，这道题的考点就只有一个，叫做求最值。好的，那我们一起来看题。 题目是说有一个三角函数满足这样一个要求，问 a 减 b 的 最小值绝对值是多少？ 怎么去做？所有的三角函数都有同一个原则，就是你需要把它转化为 a 倍的 sin omega x 加上 five， 那 像这道题，题目写的是 cosine omega x 加上 five 也是一样的，只要变成了这种形式，它都是能做的。我们变成标准形式之后有什么好处？所有的三角函数，如果它是一个正弦，那么它就应该是从原点开始上去下来，上去下来的一个波浪线， 那如果是余弦，像这道题，它就是一个以 y 轴为对称轴，上去下来上去下来的波浪线。而今年朝阳这道题是送分题，因为它已经给你化简好了，所以它就是一个波浪线。 而且这道题是对于任意的一个 x 而言，那也就是说 x 如果属于 r， 那 同样还是属于 r， 所以我们整个波浪线从头到尾都是可以取到，那既然都能取到，那最大就应该是一，最小就应该是负一，并且最大值和最小值之间刚好就应该相差二分之一个周期。二分之 t， 那这道题的周期是多少呢？因为题目告诉的欧米伽等于 pi， 所以 周期就等于二。 pi 除以欧米伽就等于二，那既然周期是二，那半个周期就应该是一， 所以最大值和最小值之间最短的距离， a 减 b， 对 吧？那两个人 b 是 最大的时候， a 是 最短的时候，那两个人之间的差就是我们的半个周期，所以最小值为 一。好的，那屏幕前的同学，你在做这道题的时候，第一反应是把它变成不等式去求值，还是你就看出来了，我们要翻译条件， 把它变成一个标准的三角函数，然后题目给的这两个任意 f， a 小 于函数小于 b， 其实就是在告诉你，它是最小值，这是最大值。 如果你学会了翻译，那么这道题就直接秒了。好了，那我是北京，在北京教数学的陈老师，如果你关于数学有不会的可以关注我，我们每天会讲一个数学知识点。

哈喽，我们今天来讲二零二六年朝阳二模的第一道填空题，题目告诉你的顶点对称轴，还知道过某个点，要求抛物线的方程，看起来是送分题对吧？ 但是你知道吗？如果这道题如果从第一步开始，你就不判断开口方向，也不判断我们抛物线的方程，那么十有八九这道题你就容易做错。 好的，我们看题，题目要求的是抛物线的方程。抛物线的方程有几种？一共有四种，我们有开口朝上，开口朝下的，开口朝左，开口朝右的有什么区别？开口上下是初中的二次函数，所以是 x 方， 开口朝左右是现在新学的，所以它是一个 y 方。其次，我们还要注意开口的方向，上下左右就决定了 x 方和 y 方，那上和右就是正的，所以上和右叫二 p y 和 二 p x， 下和左就是负的，所以叫负二 p y 和负二 p x。 啊，那我们这道题，题目明显告诉我们的是一个以 y 轴为对称轴，所以上下结构， 所以选择 x 方同时朝上。因为它是经过点二逗一，所以只有可能是一个开口朝上，并且是 y 轴为对线轴的抛物线， 那知道它形式就确定它方程，所以方程就是 x 方等于二 p y。 题目知道过点二逗一，将二逗一代入得到 四等于二 p p 等于二搞定。所以这道题我们最后答案就是 x 方等于四 y。 所以 我们在解决这一类抛物线的问题的时候，一共就两步，第一步我们要看对称轴来选方程。第二步根据开口的方向判断你是一个正的还是一个负的。两步都对了，那代入就完事了。 如果你错一步，那就全错，五分白拿都拿不到。我是在北京教数学的陈老师，关注我，每天讲一个知识点。