2026槐荫区一模数学几何压轴题

下面看一下二零二六高薪一末的最后一个几何大压轴就是二十五题。 嗯，这个题目呢，是一个比较老的题目啊。嗯，各个区呢，也考过好几次了已经。而且这个题目呢，在两三年之前潘老师的讲义里就已经收入了这个题目 啊，因为这个题目确实是出的还是挺好的。那我们一块来看一下啊，如果没有做过的同学呢，可以研究研究。 第一小问很简单，就是有一个角，角 a、 c、 d 等于角 b， 所以 还有一个角 a 是 公共角，也就是这个三角形和这个三角形构成一种相似， 这种相似呢，是一种子母型的相似啊。三角形相似之后呢， a、 d 比 a、 c 就 等于 a、 c 比 ab 交叉相成，就得到这个结论 啊。所以说这是子母型相似的一个小结论啊。因为这两个三角形 a、 c 啊是公共边， 所以你在记忆这个结论的时候啊，你可以这样记，就是公共边的平方等于这两个三角形，公共角的另外两条加边的乘积啊，就是 a、 d 和 ab 的 乘积嘛。 下面看一下第二小问，平行四边形中啊，然后有一个结论，就是角 b、 f、 e 等于角 a， b、 f、 e 这个角和角 a 相等， b、 f 等于四， b、 e 是 三，求下 a、 d 的 长度。 嗯，因为 a、 b、 c、 d 在 这里是一个平行四边形，所以平行四边形对角相等，那角 a 就 等于角 c， 这样的话，这个角一本来已知条件是等于角 a 的， 现在角 a 又等于角 c， 所以 角 e 就 等于角 c， 角一等于角 c， 然后这个角是公共角。哎，这样我们不就找到了字母形相似的结构吗？ 是吧？公共角一个角一又等于角 c， 所以 结论也有，公共面的平方就是 b、 f 的 平方应该等于 b、 e 乘以 bc 啊，所以马上就能算出来， bc 应该是等于三分之十六四四十六十六除以三嘛。 这样第二位我们就解决了啊，看一下第三位拓展提高在菱形 a、 b、 c、 d 中，然后呢， ef 平行 ac 的 长度是两倍的 ef， 且角 e、 d、 f 等于二分之一，角 b、 a、 d、 a、 e 的 长度是二， d、 f 是 五，求菱形的边长。 我们先从有一个条件，就是这个角等于这个 d、 a、 b 这个角的一半。我们知道这是菱形，菱形呢，它的对角线是平分一组对角的，所以这两个角相等， 所以也就说明这个角一是等于这个角角二的，也等于上面这个角三，因为角一和角二相等，就和这摆这个结构非常类似， 是吧？但是这边这个结构呢？有什么呢？角 a 可以 转到角 c 上，下面这个角二现在不知道往哪转，角一可等于角二，哎，反正这个结构是和这边这个结构是非常相同的了。 那下面，如果，嗯，就是这边的结构也和这边的结构也相像，那不就会出现这种子母型的相似吗？是吧，因为这个题目主要就是考察这个子母型的相似，哎，这是一个基础巩固。 然后呢，下面尝试应用拓展提高，所以它主要是要利用一个子母形的结构啊。第二个图当中我们找到了子母形的结构，第三个图中有已经有一半它的结构了， 所以下面我们把剩下的结构给做出来，就是辅助线如何添加的问题，所以辅助线就是缺少平四边形，要转到这个角上来嘛。所以说图二就是他的辅助线的全貌，就是辅助线做出来之后的全貌， 所以角二应该等于它的对角平行四边形。所以我们知道这条线和这条线不是平行的吗？这条线和这条线也平行，所以只要延长 e f 与得 c 的 延长线交于点 g， 这样角二等于角 g， 角一等于角二，所以角一等于角 j， 这样这个结构就完全和刚才第二位当中结构一样了，所以得到这个三角形得 e f 和这个三角形相似。所以这个题最难的地方就在这个辅助线的构造 啊，你只要构造出它来之后，马上我们看啊，就会得到这个结论，就是得 e 的 平方是等于 e f 乘以 e g 的， 而 e f 呢，是等于 a c 的 一半平行四边形，所以 a c 等于 e j， 所以 这样我们得到 e f 是 等于 e j 的 一半， 而得 e 的 平方等于它两个的乘积。所以这样的话，我们就能找到得 e 和 e f 的 比值，应该是对吧？因为比如说你设 e f 长度是 a， 那 e g 的 长度就是二 a， 那 得 e 的 平方就等于 a 乘以二 a 等于二 a 方， 所以两边开平方得 e 就 等于根二 a， 得 e 是 根二 a， 也就说明了这两个三角形的相似比，因为这个边和这个边是对应边，所以大三角形和小三角形相似比就是根二的关系，根二倍啊，根二比一， 所以这样我们马上又得到的 g 的 长度应该是五倍的根二。嗯，因为这个是公共角五，和这个的 g 是 对应面， 所以边长就说五根二减去这一块，而这个长度就等于 a， 它的长度是二，所以答案五根二减二， 这样我们就解决了这个题目啊，这个题目呢？嗯，第二问和第三问之间的联系是相当紧密的 啊，所以说你如何能解决第三问就是辅助线的构造，第二问就是提示啊，所以说好的，这样这个题目我们就分享到这里。

如果满分是五颗星的话，这道题我一颗星都不想给。好，今天兔哥带大家看一下我们湖北省二零二六年中考数学一模的几何压轴题， 题干信息非常的简洁，三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 e 都是等腰直角三角形。 先来看第一小问，让我们证明 b、 d 和 c、 e 相等。那像这种题想必大家也都做过八百遍了吧。首先利用这里共顶点的两个直角来倒角，从而得到角 b、 a、 d 和角 c、 e 相等， 然后就可以用边角边来判定三角形 b、 a、 d 和三角形 c、 a、 e 全等了，所以也就得到了 b、 d 和 c、 e 相等。 好，再来看第二小问，题目说若 c、 e 的 延长线恰好经过地点的话，让我们求线段 c、 e 的 长度，那这一问相信大家也不需要过多的思考吧， 因为 a、 d 的 长度已经给我们了，所以第一的长度就是七，又因为 a、 c 的 长度也是知道的，所以接下来只需要过 a 点向第一做一个垂线就行了，这样 af 和 ef 的 长度就出来了， 之后用勾股定律就能算出 f、 c 的 长度了。好，到这里先停一下，如果你也是像这样就不管了的话，那恭喜你成功掉入出题人的圈套了，因为如果不仔细看的话，你很难发现他刚好是能开出来的。 其实当我算到这里的时候，我就立马明白过来了，原来坑搁这埋着呢， 所以这里我就要提醒大家一下了，像十七和十九这种大致数的平方数，最好还是记一下吧，万一哪天真遇到了这种调皮的初级老师呢，对吧？ 好，我们继续来看第三小问题目说若 c 一 的延长线刚好经过 ab 的 中点，并且 a、 d 是 ab 的 二分之一，然后让我们求角 bc 的 正切值。 那首先，三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e 的 全等关系是始终都存在的，所以角 a、 b、 d 和角 a、 c、 e 相等。 又因为角 g、 f、 b 和角 e、 f、 a 对 顶相等，所以角 b、 g、 f 等于角 c、 f 等于九十度。这样一来，角 b、 c、 g 的 正切值就等于 b、 g 比上 c、 g 好。接着往下看，由于这个地方有一个对角互补模型，那如果我们连接 a、 g 的 话，这个角 a、 g、 f 一定是四十五度的，还不会证明的。同学注意听了，我今天再教一次。 我们在 c 一 上取一段 c、 n 等于 b、 g， 然后再连接 a、 n 就 行了。 先证明三角形 a、 c、 n 和三角形 ab 积全等，从而得到 a、 n 和 a、 g 相等，角 c、 a、 n 和角 b、 a、 g 相等， 然后倒角可知角 g、 a、 n 是 九十度的，所以三角形 a、 g、 n 是 一个等腰直角三角形。好，注意到我们还有一个条件没有用呢， 因为 a、 d 是 ab 的 二分之一，所以 a、 e 和 af 是 相等的，所以说三角形 a、 e、 f 是 一个等腰三角形。 而我们刚又证明了三角形 a、 g、 n 是 等腰直角三角形，所以这里就要考虑用三线合一了。 我们过 a 点向 ef 做一个垂线，那显然 h 点是 ef 的 中点， 又因为 f 点是 ab 的 中点，所以很明显三角形 a、 f、 h 和三角形 b、 f、 g 是 全等的，所以 g、 f 和 h、 f 相等， b、 g 和 a、 h 相等。 由于三角形 a、 g、 h 和三角形 a、 n、 h 都是等腰直角三角形， 所以 a h 等于二 a e n 的 长度等于 a， 然后 b g 的 长度也是二 a， 所以 c n 的 长度也等于二 a， 那 这个时候 b g 比 c g 就 等于二 a 比六 a 也就等于三分之一了。 好，最后简单总结一下吧，整道题可以说是没什么难度的，如果满分是五颗星的话，这道题我一颗星都不想给，直接零星。说实话，像这种两个等腰直角三角形手拉手的题，十几年前就已经在考了，可以说是出的一点新意都没有。

大家好，看屏幕上这道让人眼花缭乱的几何动点题，点 c 在 直线上肆意奔跑，点地就像个小尾巴一样跟着乱窜。很多同学一看到这种主从联动问题，脑子就先乱了。但请注意，看屏幕上那条红色的虚线点地的轨迹真的是无规律的吗？ 别被它的表象骗了！这道题的本质其实是初高中几何里极其优雅的一个高级变换，也就是旋转繁衍变换。 只要看破这一层，这道复杂的动点题就能瞬间降维成一道送分题。怎么看出来的？抓核心条件第一步，看这个奇怪的等式， a d 乘 a c 等于八。这就是大名鼎鼎的繁衍的数学表达， 它意味着当点 c 沿着直线 m n 移动时，在繁衍变换的魔法下，直线的轨迹会被扭曲成一个过繁衍中心点 a 的 圆。第二步，再看角片，等于九十度，这代表着旋转， 把刚才得到的那个圆绕着点 a 旋转九十度。这就是你在视频里看到的点 d 最终被死死锁定的那条红色圆形轨迹。真相大白了！点 d 根本不是什么自由的动点，它只是一个被困在固定圆上的龙中鸟。 如果我们间隙简单算一下，会发现这个轨迹圆的圆点。题目求 b d 的 最小值， 这就变成了最基础的点到圆的最小距离问题。直接求点 b 到圆心的距离二倍根号五，再减去半径二， 所以真正的理论最小值就是二倍根号五减二。千变万化的动点背后，往往藏着绝对静止的几何规律。掌握旋转反演，让我们透过现象看本质，关注我，带你用降维打击的方式学数学！

各位同学，大家好啊，我是姜老师，今天给大家讲讲这个二零二六年这个九年级淮阴区的数学一末的亚洲题啊，今天讲讲这个倒数第三个亚洲大题，反比例函数的二十三题啊。 好了，废话不多说，直接开始将一副三角板按图一的方式摆好了，焊三十度的，这个落在外轴上啊，落在外轴上 boa 是 三十度啊，这是个三十，这是个三十。焊四十五的，这个这样玩啊，这个 c 点是个 二周二二周二啊，然后这个双曲过这个 c 点啊，你过 c 点的话，你做垂直过来这个四十五的话，然后这是个二，这是个二，然后你双曲这不断开了吗？就 这个低温解析式不得 y 等于 f 四，送一个啊，送一个来，继续 这个将三角板 oab 沿这个 o 顺时针转九十啊，得到它了，那就是到它了啊，如图一点得为这个三角板 ab 上的一个点， 是吧？经过旋转之后得的对应点得一正恰好落在这个反位图向上，求这个得一的坐标，是吧？ 嗯，因为这是个二，这是个二，这是个等腰直，所以这不是个四吗？所以这个 o a 这一块是个四，所以这一块 o a 一 不就是四了吗？所以这个不就是四豆带进去吗？四豆一了吗？对吧？ 然后呢，这一块这是个一全等过来这一吗？所以这个得的坐标是负一点，相线 负一到四，处理完毕。哎，这个最后一位入图二，将三角板这个 o a c 是 吧？然后顺时针转到 o a 二 c 一， 使得 c 一 落在这个边上，对吧？然后判断一下这个 a 二是否在这个反比 d 上，是吧？来吧，咱这个地方是个三十度的题目告诉你的，咱先需要知道这一块是多么长，是吧？这个 oc 是 多么长，这个 oc 多么长的话，回到这个地方来，这个 c 点坐标， 这不是二六二吗？这是个二，这是个二，这是个四十五度二二，所以 oc 是 个二根二，所以这个 oc 一 旋转，它是个二根二好了吗？因为这是个九十度，所以咱不说了吗？没有什么特别之处吗？就是横平竖直吗？ 这个天桥区这个题目做到现在考了几乎选择最后一个，填空最后一个，还有这不这个反比例函数的，这不一直在考这个 k 型的这个相似或全等吗？因为这是个等效值啊，这个边内这个边， 这个也是个二根二啊，所以这俩不 k 星全等了吗？这是个二根二，那这个边不就是个根二乘根三，这不是根六吗？这是个 j 吧，所以这个根二，这是根六，所以这个就是个根二，这一块不就是根六吗？ 所以这个 a 二坐标，所以这个 a 二坐标，这一块是个根六，这一块不就是根六吗？所以横坐标，这不根六减根二， 总坐标是不加起来吗？这不根六加根二，对不对？他到底在不在双区上？乘起来看，这不双区不外等于 f 四吗？ x 乘外，看看等于四吗？对不对？根六减根二 乘根六加根二，根六方六减根二方二，这不正好是四吗？所以在，所以在啊，好了，这个题目处理完毕啊。

好，我们来看下一个问题，如图四边形 a、 b、 c、 d 与 a b、 e、 f 呢，都是直角梯形，这里这两个字母我标反了，现在呢，我已经标注出来了，这个是 e 啊，这个是 f， 并且平面 a、 b、 c、 d 垂直于平面 a、 b、 e、 f。 当我们阅读一个题目的时候，读到这个位置，你就要发现这是一个非常非常关键的题目信息，你要敏锐的捕捉到这个题目呀，他在考我们面面垂直的性质，那么我们第一步一定要先找到这两个平面的交线， 现在这个交线呀，他就是 ab， 那 么哪条线垂直于 ab 就是 我们接下来要找的关键信息。 接下来他说 abcd 与 ef 是 互相平行的， cd 的 长度呢是一， ef 的 长度也是一， ab 是 二， ab 是 二， af 呢也是二。 b， a d 与 b a、 f 这两个角都是直角。好，读到这样的时候我们就发现了哦，这里边的 a、 f 以及 ad， 它们两个都垂直于交线 ab， 那 就说明 a、 f 垂直于下表面， ad 呢垂直于内表面。 第一问让我们去证明 bce 垂直于 af， 那 这就非常的简单了，因为 af 呀，它已经垂直于线表面了，它自然呢就垂直于啊 bc， 所以 第一问非常的容易。我们再来看第二问， 让我们去求平面 acf 与 bce 夹角的正弦值， 那么这是一个求二面角的问题，我们要先建立空间直角坐标系，那这个题解析就非常非常的简单， 直接，以 a 点为坐标原点，这个为 x 轴，这个为 y 轴，这个为 z 轴。那么我们把坐标写一写， a 点呢，自然就是零零零， c 点呢？ 二一零 f 点零零二， b 点零二零 e 点零一 二，这样的话呢，你只需要写 a， c， f 以及 b， c， e， 把法向量都给它写出来，然后呢，去求正弦值就可以了。注意啊，是要求正弦值这个题目呀，我们着重要讲的呢，是它的这个第三问， 这个第三问呢，勉强呀，也算是一个新的问法吧，就是说它把向量的这个考法更加具体化了。 第三问，他说如果空间当中存在着一个点 q， 并且呢，他满足 d q 向量等于喇么的倍的 d f 向量，再加上一个六倍的 b b 向量， 喇么的与六呢，都是属于 r 的， 并且呀， a q 它是垂直于平面 b c， e 的， 让我们去求这个 a q 的 长度。 由于第二问之中啊，我们已经建立了空间直角坐标系，那我要想求 a q 的 长度，有一个最简单的方案，就是我要是知道 q 点的坐标， 由于 a 点它是坐标原点，那么 a q 的 长度自然等于 x 方加 y 方加 c 方，再开根号就可以了。所以说，我们关键呀，是要把这个 q 点的坐标呢，它满足的合金， 它满足的核心条件就是 d q 向量等于喇么的 d f 加上 m 倍的 d b。 那 刚才我们写了 d 点的坐标呢，它是二零零，所以说这个 d q 向量 就等于 x 减二 y z， 而这个 d f 向量 等于负二零二，而 d b 向量呢，负二二零。那我们知道 d q 等于喇么的 d f 加上缪倍的 d b， 也就是 x 减二 y z， 它等于喇么的乘以一个 d f， 也就是负二喇么的，然后呢，再加上一个缪倍的 d b， 也就是负二缪 二缪零。于是乎呀，我们可以得到这样一个方程，就是 x 减二，它就等于负二栏的减二缪， y 呢，它就等于二缪，而 z 呢，就等于二栏的。 从现在我们得到的这个方程来看，我们是没有办法把这里边的阿拉伯和缪呢给它求出来的，因为啊，这里还有一个条件，就是 a q 向量垂直于平面 b， c、 e， 这就说明呢， a q 向量是平行于 b， c， e 的 反向量的，这个 a q 向量呢，它就是 x y， z， 而这个 b、 c， e 的 反向量，我们在第二问当中呢，是可以把它算出来的，它就是 一二一。于是乎呀，我们还可以得到这样一个方程，那就是 x 等于 y 比上一个二，然后呢，再等于 z， 那么我们去解这几个方程就会得到呢，喇么的是等于四分之一，而缪呢，是等于二分之一的。然后我们再把这里的喇么的和缪啊给它 带回去，我们就可以得到每一个点的坐标，这里的这个 z 呢，它就等于二分之一，而 y 呢，它就等于一，那 x 呢，它就等于 二分之一。有了这三个坐标，我们再求 a q， 那 就非常非常的容易了。那这个题目呀，其实呢，它的本质还是比较简单的。 再来看下一个问题，把一副三角板按照如图所示的方式呢进行拼接， 告诉我们， ab 的 长度呀，是二倍根号六 ac 的 长度呢，也是二倍根号六角 bc， 这个呢是九十度角， bcd 呢也是九十度， 这个角呢是三十度。然后呢，把这个三角形 abc 沿着这个 abc 的 这个位置，并且呢让这个二面角呀为直二面角， 也就是说这两个平面呢，现在处于互相垂直的状态，我们又一次得到了这个互相垂直这样一个信息，那既然还是互相垂直的，那么我们还是要搞定交线呀，就是 bc， 谁垂直于 bc， 这是非常非常重要的一个信息。 左边这个图当中呀，我们可以分析到就是这个三角形 bc， 它是一个等腰直角三角形， 既然他是等腰直角三角形，那么我们很容易想到，我可以找到他的这个中点，假设这个中点为 o， 那 反映到右边这个图上，他就是这样的这个点呢，就是 o， 很 明显这个 p o 呢，他就垂直于 bc， 那 p o 垂直于 bc， 他 自然就垂直于平面 b、 c、 d， 它垂直于平面 b、 c、 d 自然垂直于 b、 c、 d 之内的所有线。第一小问，让我们证明 p b 垂直于 p c、 d， 现在我们知道的是 c、 d 是 垂直于 b c 的， 而这个 c、 d 呢，还垂直于刚才我们找到的这个 p o。 把这两个信息放在一起， c、 d 呀，它就垂直于这个平面 pbc， 那 它垂直于平面 pbc， 它就一定垂直于 pb。 而由于这个三角形 pbc 啊，它是一个等腰直角三角形，所以这个 pb 呢，还垂直于 pc， 那 我们把这两个信息放在一起， pb 既垂直于 cd， 又垂直于 pc， 它自然呢就垂直于平面 pcd， 这是一个非常容易证明的问题。 第二问，让我们去求这个点 c 到平面 p b d 的 距离， 这个题目呢，我们还是可以用两种方法加以解决。第一种方法当然就是建立空间直角坐标系，这种计算方式还是比较简单的，我们以 o 点为坐标原点，然后呢， o、 b 作为 x 轴，然后啊 做 c、 d 的 这个平行线，这个东西作为 y 轴，那这个东西啊，作为 z 轴，然后把 c、 p、 b、 d， 它的坐标都给它写出来。那这个 c 点，它的坐标呢，我们可以到左边的这个图当中进行计算， 这里这个 bc 的 长度呢，它是四倍的根号三。所以说这个 c 点的坐标呢，就是负二倍根号三， 零零 d 点的坐标 c、 d 的 长度呢，它是等于四的，所以说呀，它就是负二倍根号三，四零 b 点的坐标二倍根号三，零零 p 点的坐标呢，那自然就是零零 二倍根号三。那接下来啊，就是找什么法，向量之类的，用点面距距离公式进行计算就可以了。 方法二，还是使用等体积转化法。我们先来算这个 p、 b、 c、 d 的 体积，那它的这个体积啊，可以用三分之一 s， 三角形 b、 c、 d， 然后再乘以一个 p o 进行计算。 同时呢，它的这个体积啊，也可以用三分之一 s， 三角形 p、 b、 d 乘以我们要求的那个距离 h， 这个 p、 b、 d， 它的面积还是非常容易求解的，因为这个 p b 的 长度呢，是 二倍根号六，这个 b、 d 的 长度呢八。而 p d 的 长度呢，也非常容易算。在这个三角形 p、 c、 d 当中，使用勾股定律就可以算出， p d 的 长度呢，是二倍，根号十。 那么我们写出来之后就发现，哎，这三个长度呀，它正好是符合勾股定律的，所以它这个长度呢，就可以写成二分之一 p b 乘以一个 p d， 于是乎呢，用等面积法，它等于它就可以把这个 h 给它求出来，这是第二种方法，也是比较简单的。接下来呢，我们来看它的这个第三问问， 在这个线段 p d 上是否存在着一个点 e， 使得呀，这两个二面角所成的这个余弦值为二十八分之，根号十四。如果存在的话，让我们去求这个 p e 比上 p d 的 值， 那这又是一个探索型的问题。其实这种问题它非常非常的简单，它唯一的难点就在于这个计算量稍微有那么一点点大上，我们直接设这个 pe 向量是等于喇么的倍的 pd 向量的，然后呢点 p 的 坐标，刚才我们已经写过了，是零零二倍根号三，这个点 d 的 坐标 负二 b 根号三四零。我们先假设这个 e 点呢，它是 x y 以及 z， 于是乎这个 p e 向量自然就是 x y， z 减去 二倍根号三，它等于喇么的倍的 p d 向量，也就是负二倍根号三四，负二倍根号三，那么 x 呢，就等于负二倍根号三，喇么的 y 呢就等于四喇么的，而这个 z 呢，就等于负二倍根号三，喇么的再加上一个二倍根号三。这样的话呢，我们就找到了这个一点的坐标， 接下来你只需要用这个一点的坐标去写它这个法向量，然后呢就可以完成。对于这个问题的运算还是很简单的，只要耐心细致的去算，很容易知道答案的。那本题的最后答案是栏目的等于七分之一，同学们可以自行计算一下。 接下来呢，我们来看一个以圆台为考察背景的一个问题，如图，圆台的上下底面圆，心分别为 o 一 和 o 四边形 abcd 为下底面圆，它的内接正方形，并且呢， ab 等于 o 一， o 二是等于二的， e 和 m 呢，是上底面 o 一 和 o 二上的两个点，这里有一个 m 点，这里有一个 e 点， f 呢是 bc 的 中点，并且满足条件， abe 垂直于平面 abcd。 那 这又是一个面面垂直的问题，我们一定要找到交线，那交线显然就是 ab 了。 从我们目前知道的条件，我们知道底面它是一个正方形，那就是说 ad 垂直于交线， bc 也垂直于交线，所以 ad 和 bc 它们分别垂直于平面 abg。 而这个题他又告诉我， e a 跟 e b 是 相等的， e a 和 e b 相等，就说明三角形 e a b 它是一个等腰三角形，那等腰三角形又出现了三线合一的问题，我肯定是先想法找到这个 a b 的 中点， 我找到这个 a b 的 中点，向下一连，假设这个中点为 h 吧，那这个 e h 自然呢，也垂直于 a b， 它就垂直于下表面。 第一问，让我们证明 a f 是 垂直于 d e 的 这一问呀，它的核心考法其实呢，就是三垂线定义 一条斜线，他想要垂直于平面内的一条线，就需要平面内的这条线垂直于他的投影线。 刚才啊，我们过 e 点向下表面做的这个 e h 就 已经找到了 e 点在下表面的投影。那接下来呢，我们把这个 d h 呀给他连接起来，现在呢，我们把这个底面图形呀给他画出来。 这种证明垂直的方式呢，我们称之为交叉垂直，他用的原理呢，也是非常非常的简单的，并且呀，非常非常多的次数出现于各种形式的考试题目之中， 那么我们把这个底面图形呀先给他画出来，这个点呢是 h 点，这个点呢是 f 点， 我们怎么去证明 a f 和 d h 是 互相垂直的呢？这个方案非常非常的简单，我们只需要去证明这个角的正切值与这个角的正切值是互为倒数的即可。 我们已经知道下表面是一个边长为二的正方形，那就说明这个边等于二， a h 这个长度呢是等于一的，所以说这个弹性的角 a d h， 它就等于对边比邻边，也就是一比二，而这个弹性的角 d a f， 我们这样给他连接一条辅助线，当然呢，你也可以去求这个角，因为他俩是相等的，那么他的正切值等于对边比上邻边，自然呢是等于二比一的，一个是一比二，一个是二比一， 他们两个互为倒数，所以说这个角与这个角是互余的，那么这个角就一定是九十度， 于是乎呀，这个垂直就非常非常的容易了。我们已经知道 e h 是 垂直于下表面 abcd 的， 那么 e h 就 一定垂直于 af， 而我们又知道 d h 也垂直于 a f， 那 就说明 a f 呢，它是垂直于平面 e h d 的， 那么它就一定垂直于 d e， 这样的话呢，我们就完成了对第一问的证明，第二问，第二问，让我们去求圆台的体积，那这个还是非常的简单的，因为呢，我们是有圆台的体公式的， 我们只需要把下表面的半径以及上表面的半径呢都给它求出来就可以了。那下表面的半径很简单 o a 啊，它就是等于根号二的，那上表面的这个半径呢？它其实呀，就等于这个 h o 这个长度，那 h o 这个长度是等于一的，所以说上表面的这个半径 r 一 等于一，那 r 二呢，是等于根号二的，我们直接带到体积公式里头， v 就 等于三分之一派 乘以一个 r 一 的平方，加上 r 二的平方，再加上 r 一， 乘以一个 r 二，然后呢乘以它的这个高 h， 也就是这个 e h， 而这个 e h 呢，它正好是等于 o o 一 的，也就是等于二往里边代入，就可以得到它的这个体积。 接下来我们来看这个第三问，如果直线 f m 与平面 a d e 所成的这个角的正弦值为十分之三倍的根号十，让我们求点面距。 嗯，这一问呢，其实它的融合程度还是非常非常的高的，它属于呢，就是把平面解析几何和立体几何呀，给它融合到一起进行的一个综合考察。 呃，很多同学在解决这个问题的时候呢，因为我前面证明的这个过程啊，引入了一个 e h 这样一条直线，很多同学就会思索，哎，我能不能在 h 这个点去建立空间直角坐标系呢？ 因为这里上表面的这个点 m 呀，他并没有一个固定的这个位置，如果我们用 h e 去当坐标轴 z 的 话，就不太容易引入这个 m 点的这个参数值。所以啊，我们在解决这个问题的时候呢，还是要按照我们一般性质的处理原态问题的基本思路，那就是拿着这个 o o e 去当这个 z 轴，而 x 轴和 y 轴的选择呢，方法呢有两种，一种方法呀，是这样，我把 a c 和 b d 这两条线给他连上，因为呀他们两个都是正方形的对角线自动呢，就是垂直的，我就可以以这个当 x 轴，以这个当 y 轴，这是一种间隙方案，还有一种间隙方案也是比较容易想到的，那就是我这样去选择 x 轴，这样呢去选择 y 轴，这两种方案都是可以的，但是呢，还是以这个 o o 一 当 z 轴啊，这种方法是比较容易的， 因为刚才我说了这个题目他最大的难点就是把平面解析几何和这个空间向量进行了一个融合性的考察，我们关键呢要搞定这个 m 点的这个坐标，那 m 点的这个坐标我怎么搞定他呢？现在呢，我们就观察这个上表面， 它是一个半径为一的单位圆，这个 m 点呀，它就是单位圆上的一个动点。那么由平面解析几何的知识知道单位圆吗？我们在引入它参数的时候，只需要让它的横坐标为 cosine， 纵坐标为 cosine 即可，由于它的高度呢是二，所以它的竖坐标呢就是等于二的。这里我们之所以没用 x y 二这样的这个坐标形式进行运算，是因为你用了这个形式之后呀，最后还是需要用 x 方加 y 方等于一这个圆的方程，然后呢去解方程，那都是解方程，三角方程，他肯定要比 普通的那种方程要容易解一些，所以呢，我们把这个 m 点的坐标呀这样进行设是相对而言比较容易的。那现在呢，我们有了这个 m 点的坐标，我们再把其他点的坐标给他写出来，此时这个 a 点的坐标呢就是一 负一零，这个 d 点的坐标呢是一一零，而这个 e 点的坐标呢是零负一二， f 点的坐标呢是负一零零。把这些点的坐标都给他写完了之后呀，然后我们去搞定这个 a、 b、 e 这个平面的法向量，我呢就不去进行具体的运算了，它的法向量算完了之后呢，是二零一。好，那现在呀，就是 f m 向量，我们也给它写出来， 等于 cosine 加一 cosine 二 f m 向量与这个法向量的这个夹角呢，正弦值算阿了法， 那当然就等于向量与向量之间夹角的这个余弦值了。横乘横，纵乘纵，竖乘竖。上面啊就是二 cosine 加上一个四，下面呢是模，一个是根号五， 另一个呢就是 cosine 加一它的平方，加上 cosine 的 平方，然后再加上一个四，这个位置整理完了之后呢，就是六，加上一个二 cosine 右边呢是十分之三倍的 记号十。我们去解这个三角方程，解完了之后呀，他就是四 cosine 它的平方加上一个七， cosine 减十一等于零。再去解这个方程呢， cosine 它不是等于一的，它就是等于负的四分之十一的，那这个数肯定是不合理，我们直接给他舍掉， 那 cos 它，它是等于一的，那 cos 它自然是等于零的，那这样的话，这个 m 点啊，它就变成了一个固定点一零二，那我再去算 m 点到 a、 b、 e 的 这个距离，直接使用点面距距离公式就能给它算出来，最后这个距离呢是五分之二倍的 点五。这个题啊，只要在间隙的时候选择 o 一 o 二当 z 轴都是比较容易进行计算的下一个问题，这个题目呢是一道高考原题， 之所以把这个题目选出来，是因为呀，这个题目他在第一问的证明过程之中 非常非常的曲折，需要我们抽丝剥茧，层层递进的去分析每一个条件，只有你把每一个条件都分析到位了之后呢，他的这个证明才是一个水到渠成的过程。这和我们前面做的有些题目啊， 就大伤径庭，因为有些个题目我们用眼睛一看，大体上就能够明白他的思路，但这个题不然，他需要我们认真的去分析，把每一个条件都要分析到位。 首先呢一点，他是圆锥的顶点，这个条件看似简单，但是呢他的作用非常非常的大，因为顶点他在里面的投影正好是里面圆的这个中心， 同时它也意味着 b o 这条直线呢，它是垂直于整个这个圆面的， o 是 底面圆心， a e 呢是直径，并且呀 a e 跟 ab 的 长度是相等的， 底面直径与母线的长度相等。这就说明如果我们从侧面去观察这个圆锥的话，我们会发现这个圆锥的这个结面呢，它本质啊是一个等边三角形， 这三个位置的长度呢，都是相等的，并且呢这个角呀是等于六十度的三角形， abc 呢是底面圆的内接正三角形，那么我们把这个底面图形给他画出来，这里呢有一个内接的正三角形 abc， p 呢是 d o 上一个点，并且呢有这样一个非常古怪的信息， p o 等于六分之根号六倍的 d o， 这个条件它很关键， 而且呢，我们一眼看过去，并不知道这个条件它到底是怎么用的。第一问，让我们去证明 p a 是 垂直于平面 p b c 的， 我要证明线面垂直，我一定要能够证明 p a 呢，是垂直于平面 p b c 之中的两条相交直线的。 然而我们从目前分析的这些条件来看啊，没有得到任何一条跟垂直有关的信息。所以啊，我们要对这些条件呢进行一个重新的梳理。 a e 啊，它是底面的这个直径， 那就意味着 a e 这条线与 bc 这条线呢，他一定是互相垂直的，这是由垂径定律的性质知道的，这个位置是一个直角。现在我们来分析 bc 啊，它垂直于 a e， 而 bc 呢，还垂直于 d o， 既垂直于 a e， 又垂直于 d o。 把这两个条件给它放到一起，我们就可以得到。 bc 呢，它是垂直于平面 ape 的， 那么 bc 自然就垂直于 ape 之内的所有线，它垂直于 ap。 这样的话呢，我们就得到了一个非常重要的垂直关系， ap 呢，他至少已经垂直于 pbc 中的一条线了，那么我们需要他再垂直另外一条线，那我另外这条垂线上哪去找呢？ 通常来讲，如果我们在做题的时候，这种几何性质的垂直呢，我们用完了，那接下来的垂直啊，通常来讲都是跟长度有关的。 这种垂直呢，我一般称之为勾股垂直，因为我要用长度去正垂直，那无外乎就是找直角三角形，那这个条件呢，它就会显得尤为的重要，这个 p o 等于六分之根号六 d o， 也就是说这个 d o 呢，它是等于根号六倍的 p o。 现在我们观察这个结面式图，这个 b o， 它的长度呢，是 p o 这个长度的根号六倍。现在呀，我们不妨假设 a o， 也就是底面的这个半径是等于一的，那反映到这个结面式图里边，就是这个 o a 这个长度呢，是等于一的，那 d a 这个长度呢，自然就等于二。 所以说这个 d o 这个长度呢，它就等于根号三。反映到这边来，那么 p o 这个长度呀，它就等于二分之根号二。 也就是说这个位置呢，它是二分之根号二。那么在三角形 p o a 之中， 使用勾股定律， p a 的 长度呢，就等于二分之六， 而 p c， p b， p a 这三条线啊，它的长度是相等的，为啥呢？因为这个点 p 啊，它是来自于这个轴上的这么一个点，那么你过点 p， 向着底面的这个圆去做三条线，那这三条线的长度肯定是相等的，所以说这个 pc 的 长度呢，它也等于 二分之根号六。我们再观察底面圆的这个矢图，这个位置是 o， 如果这个位置是一的话，那么我们去做这个垂线去，很显然这个位置是二分之根号三呀，那么就说明 a c 的 长度呢，它是根号三。 现在我们观察三角形 p a c 这里边 p c 的 长度二分之根号六。 p a 的 长度二分之根号六，而 a c 的 长度呢，是根号三的 这个的平方，加上这个的平方，正好等于这个的平方，也就是说 ap， 它是垂直于 p c 的 三角形。 p a c 呢，它是一个等腰直角三角形，所以说 p c 也是垂直于 pa 的， 那结合刚才我们得到的 bc 也垂直于 pa， 所以 说 pa 这条线它就垂直于平面 pbc， 那 有了这个第一问作为支撑，我们再来看它的第二问啊，就要容易的多，让我们去求这个二面角 bpc 一 的余弦值，那就是搞定这几个点的坐标就可以了。 所以说呢，我们只要选择合理的方式去建立这个空间直角坐标系就 ok 了。那么这个位置呀，那肯定是当仁不让的这个 z 轴了，那我 x 轴和 y 轴怎么去搞定它呢？哎，我们可以用这里的 o e 当这个 x 轴，然后呢过 o 点去做这个 b c 的 平行线，用这个线去当这个 y 轴就可以了。剩下的呢，我们就是写这个坐标，这个坐标还是比较容易写的，我们写一下这个点 b， 自然就是负二分之一， 二分之根号三零点 p 零零，二分之根号二 点 c 呢，他跟点 b 啊，是对称关系，负二分之一，负的二分之根号三零，这个点 e 呢是负一零零。把这四个点的坐标写出来，剩下所有的认为啊，都变得非常的简单了。 最后呢，我们再来看一个以三棱台为命题背景的立体几何问题，如图，在这个三棱台之中， ab 呢，是垂直于 bc 的 这个图呀，他看起来非常非常的别扭，因为呢，他这个直角呀，放在这个位置， 这个位置啊，从我们的这个视觉直觉之中呢，总是感觉他不是很垂直，所以说对于这种非常别扭的这种题啊，我们要注意提防这种阴险的角度， ab 等于二 a 撇， b 撇等于四，下面的棱长呢是四，这个棱长呢是二， bc 呢是四倍的根号二 m 和 n 分 别是 a、 c 和 bc 的 中点，并且呢， an 垂直于 b 撇 n。 第一问，让我们去证明 a 撇 m 平行于 ab 撇 n。 对于这种线面平行的证明呢，我们第一选择肯定是在平面之内寻找一条线，然后让这条线去跟 a 撇 m 平行。那么我们观察这个仕图最容易想到的线呢，其实就是这条线。 我们假设这个为 p， 这个为 q， 现在呢，我们只要能够证明 a 撇 m 是 平行于 p q 的 即可。 我们先观察这个点 p， 因为这个几何体啊，它是一个三棱台， 三棱台呢，就意味着 ab 一定是平行于 a 撇 b 撇的。并且乞丐之中明确告诉我们， ab 比上 a 撇 b 撇呢，是等于 二比一的，那这就说明这个 p 点它一定是一个三等分点，也就是说 ap 比上 p b 片一定是等于二比一的。 同时呀，由于 m 和 n 分 别是 a、 c 和 b c 的 中点，那就意味着 m n 平行且等于 ab 的 一半。 m n 它是一个中位线，那就意味着 ab 比上 m n 等于二比一。那么我们就能够知道 q 点呀，它也是一个三等分点，所以说这个 a q 比上这个 q n 也是等于 二比一的。于是乎，我们就可以知道这里的这个 p q 呀，它一定是平行于 b 撇 n 的。 又由于 m n 平行且等于 ab 的 一半，那就说明 m n 平行且等于 a 撇 b 撇。 那么这个四边形 m n b 撇 a 撇呢，它是一个平行四边形 p q 平行于 b 撇 n， 那 么 p q， 它就一定平行于 a 撇 m， 所以 说 a 撇 m 呢，就平行于平面内的一条线，那么这个平行呢，就正完了。 当然了，这个题目呢，我们还有第二种证明方案，就是我们可以通过构造面面平行来证明线面平行。怎么构造呢？我们找到这个 n c 的 终点，假设这个终点呢，是点 p， 再找到这个 b 片 c 片它的中点 q， 然后我们顺次连接，把这个 p q 给它连上，然后呢，再连接这个 a q。 现在呢，我们观察这两个平面 m p 啊，它是 a n 的 中位线，所以呢，它是平行于 a n 的， 而这个 p q 呢，它又平行于 b 片 n。 同时呀，由于这个 p q 与 mp 呢是相交状态， a n 与 b 撇 n 也是相交状态，那就说明一个平面之内的两条相交直线，平行于另一个平面之内的两条相交直线，那么这两个平面自然就是平行的，那两个平面都平行了，那 a 撇 m 作为一个平面指定的一条线，它自然呢就平行于另外一个平面，这是第二种正法。接下来呢，我们来看它的第二问，让我们证明 ab 撇 n 是 垂直于 a 撇 b m 的， 那既然是证明面面垂直，我就需要在一个平面之内呀，找一条线，让他去垂直于另外一个平面。显然呢，这里呀，有这个垂直信息 和这样的这个长度信息，他是可以辅助我们完成对于这种问题的证明的。但是呢，这个垂直信息我们看着呀， 他还是很直接的。如果在第一问的证明过程之中，我们连接了这个 p q 这条辅助线的话，那么我们就知道这里的 a n 是 垂直于 p q 的， 这是一个非常重要的垂直关系，但是只依靠这一个垂直关系，我们没有办法完成后续的证明。 对于这种问题，通过前面几个问题啊，我们已经形成了一个比较良好的解决他的这个思路，就是当我对某一个问题看的十分不清楚的时候，我们一定要把他的这个底面给他画成一个平面图形，仔细研究这个平面图形的特点。 他这个平面图形刚才我说了，他非常非常的别扭，他故意把这个直角放在这个位置，我们从直观视觉上是没有办法直接看出特定的垂直关系的。没关系，我们给他画成一个平面图形 abc， 这里的 m n 啊，它是中点，那么我们把这个 a n 这条线给它连上，这个呢是四 b n， 这条线呢，它是二倍的根号二， 然后呢，我们再把这个 b m 给它连上。现在我们研究一下这个角它的正切值，我们不妨记这个角为角一盘前的角一， 由于 m n， 它是中位线，所以这个位置是直角，它自然就等于 m n 比上 b n， 也就是二比上二 b 的 根号二，这个东西呢，等于一比根号二，我们就不去化简了。接下来呢，我们再来研究这个角， 也就是这个角 b n a 弹它角 b n a 这个正确值呀，它正好等于 ab 比上 b n， 也就是四比上二 b 的 根号二。算完了之后呢，我们发现它正好等于根号二， 那这就说明这两个角的正切值是互为倒数的，它们相乘等于一，那这两个角一定就是互余的。也就是说这里的 b m 和 a n 呀，在这个位置它是垂直的，那么 a n 同时还要垂直这个 bm， 我 们把这两个垂直信息给它放到一起，就很容易得到。 a n 是 垂直于平面 b p q 的， 而这个平面 b p q 呢，它恰好就是平面 b m a 撇，而 a n 这条线，它又恰好在平面 a b 撇 n 之中，所以说这两个平面呀，就是互相垂直的。 这一问其实还是非常非常的难想的。他要求呀，我们有良好的解析习惯，一旦我们研究某一个问题啊，觉得他走到了一个死胡同的时候呢，一定要把他这个底面画成平面图形，仔细去对他进行研究。接下来我们来看他的第三问， b 撇 b 等于 c 撇 c 等于根号六，让我们去求 a b 撇 n 与 abc 所夹角的正弦值。 那这个题目做到这的时候呀，你可以发现就是这个三龙台，它其实是一个非常非常奇怪的三龙台，那这个奇怪的三龙台，我们想要通过建立空间直角坐标系的方式去确定一些点的坐标值呀，这本身其实是非常非常的困难的。 这个题目呀，我们就不能从空间直角坐标系的这个角度再继续向下思考了。 在第二问之中，我们证明了一个非常非常关键的信息，就是这两个面互相垂直，而且呢这条辅助线是非常非常之重要的一个辅助线。那么 第三问，让我们去求这两个平面所夹角的余弦值，而这两个平面他们的交线恰好就是 a n 这条线。 从二面角的平面角的定义出发，如果我们能够在两个平面的交线上 找到一个点，过这个点，向着这个平面去做一条线，过这个点向这个平面去做一条线，这两条线都跟这条已知的线是垂直的，这个位置是直角，这个位置是直角，那么我们就找到了这个二面角的平面角。 而在第二问的证明过程之中，我们已经证明了这样一个事实，那就是 p、 q， 它是垂直于 a、 n 的， b、 q 呢，它也是垂直于 a、 n 的， p、 q， 它恰好在平面 a、 n、 b 撇之中， b q 恰好在下表面 abc 之中。所以说，我们要找的二面角的平面角，要么就是这个角 p、 q、 b， 要么呢就是它的补角。当然了，我们要先集中完成对于这个角的运算上来。 题干告诉我们，这个 c、 c 撇的长度呢，是根号六，那就说明啊，这个 b 撇 n 的 长度呢，也是根号六。这个前面我们已经分析过了，它是一个平行四边形， 而 a、 n 的 长度呢，是等于二倍的根号六的。于是乎，由勾股定律我们就可以得到，这个 a、 b 撇的长度呢，是等于根号三十的。 现在呢，我们分析左面的这个平面，也就是这个 a、 b、 b 撇 a 撇，我们把它单画出来， a、 b 的 长度是等于四的， b、 b 片的长度是等于根号六的， a 片 b 片的长， a 片 b 片，它的长度呀是等于二的。 而现在我们又知道了，这个 a、 b 片的长度是根号三十。那么我们就可以啊，用余弦定比，把这个角的余弦值给它算出来， 这个余弦值 cosine 角 a、 b、 b 撇就等于十六加六减三十，比上二乘以四，再乘以一个根号六，也就是负的六分之根号六。 于是乎我们就可以知道，当我们把这个位置给他连接起来的时候，这个角的余弦值呀，他一定是等于六分之根号六的。 我们假设 a 撇 b， 这个长度是 x， 那 么六分之根号六，就应该等于四加六减 x 的 平方比上一个二乘二，再乘以根号六。 通过这个方程，我们可以得到 a 撇 b， 他的长度就等于编号六。而在第一问之中，我们已经确定了，这个位置与这个位置的长度之比呢，他是二比一，于是乎我们可以得到 b p， 它的长度就等于三分之二倍的根号六。现在我们观察这个三角形 b p q， 在 这个三角形之中，我们已经搞定了这个 b p 的 长度， 这个 p q 的 长度也很容易知道，它是等于三分之二的一撇 n 的， 也就是三分之二倍的根号六， b p 呢？还是三分之二倍的根号六，那么我们只缺这个 b q 的 长度，而 b q 这条线呀，它是来自于底面的。我们再回到我们最开始画的这个底面图形之中， abc m n， 把这个位置给它连接起来，这个点呢，它就是 q 这里边呀， b q 的 长度除以这个 q m 的 长度呢，还是等于二比一的。而这个 b m 的 长度 很容易计算，因为 b n 的 长度呢，它是二 b 的 根号二，而这个位置呢，它是二。所以说这个 b m 的 长度呢，它是二 b 的 根号三， 于是乎这个 b q 的 长度就等于三分之四倍的根号三。那么我们要求的这个二面角的平面角，它的余弦值 cos 角 b q p， 它自然就等于 b q 的 平方，加上 p q 的 平方，减去 b p 的 平方比上二乘以 b q， 再乘以这个 p q， 把我们计算得到的所有的长度呀，都给它带入其中，这个值呢最后就等于二分之根号二， 那么我们要求他这个正弦值，因为余弦值啊，我们还需要去确定他到底是锐角或者是钝角，但正弦值就不需要了，他一定呢就等于二分之根号。

下面看一下二零二六怀阴一末的第二十四题，也就是这个几何的压轴大题 啊。第一小问呢，就是已知条件啊，这个角和这个角向呢，有一个公共部分，所以能得到这两个角向呢。然后还有个已知条件，就是这个比例式， a b 比 a d 等于 a c 比 a j， 所以两边对应成比例，且夹角相等，马上得出两三角形相似来，相似完了之后呢，对应角相等，角 b 和角 d 相等，那角 d 的 度数就是角 b 的 度数，答案就是六十度。第二问啊，提炼模型， 在直角三角形 a、 b、 c 当中，仍然满足这个角和这个角相等，所以这两个小角也相等， 又因为有一个乘积式，这个乘积式可以把它换成比例式，对吧？这样就哎，和上面这个题目一样，换成比例式就能得到 a d 比 ab 等于 a j 比 a c， 所以完全相同，两边对应乘比例，且加或相等，得到这两三角形相似，三角形相似，对应角相等，角 d 就 等于角 b 等于九十度。第三小问， 然后前面两个非常相像的模型，下面叫识别模型来应用模型啊。条件，我们标一下，这个角的度数是四十五度， 然后 ab 的 长度是二根二，然后右已知条件呢，这有个九十度角，下面有一个关键的条件， ad 和 ac 相乘等于八啊。根据前面这两个模型 啊，所以一定是有一对乘积式的， ad 乘以 ac 应该等于 ab 乘以什么？ 而我们现在知道了它两个的乘积是八，所以那我们就知道了另外一条边的长度， a b 乘以多少等于八呢 啊？ a b 乘以 a e 吧，也等于八，而 a b 是 二根二，这样我们就能求出 a e 的 长度也是二根二，那 a e 和 a b 就 能够构成一个等腰三角形 啊，等腰三角形， a 等腰三角形，这两个相等，那这个角度也是四十五度，那这个角也是四十五度，那这就是那这个角就是直角，然后再连接下这个第一， 那就来证这两个三角形是相似的，就可以这样，那个乘以 ac 就 等于 a e 乘以 ab， 又因为这个角九度，这个角也九度，所以这两个角是相等的，所以马上得到这两个三角形相似。 三角形相似之后呢，三角形相似，对应角相等，所以这时候也能得到这个角的度数是四十五度。 要想求 b d 的 最值啊，我们知道 b 点相当于是个定点啊，所以得点是个动点， 那得点的运动轨迹就成了我们最为关心的。这个角度是个定值，而且我们发现这个 a e 的 长度也是二根二，是个定值，所以就出现了一个叫定角对定边的结构， 所以这就是引圆的模型，一个角度的不变，而这个点是个动点的时候，在圆当中同弧所对的圆周角相等，所以这个 a e 就是 那条弦，是吧？ 所以它们的圆周角是四十度，那这条弦所对的圆心角就是九十度， 所以下面我们画一下它的圆心，而且圆心假设这个圆心是 o 吧，因为 o a 还等于 o e， 圆心角是九度， o a 和 o e 都是那个圆的半径，所以这就是一个等腰直角三角形， 等腰直角三角形，所以这个角的度数就是四十五度 啊，这就是圆心 o， 这样这个圆心角的度数就是九十，所以下面我们把这个圆做一下， 唉，大题就是这样，嗯，这个点的呢，就在这个圆上运动 就这样，那什么时候最小呢？那就是一箭穿心穿心线，所以这时候需要连接 b o， 此时那个点的应该在这个位置， 也就是当它点的运动到这个位置的时候， b 的 就可以去到最小值， 嗯，最小值可以算一下，嗯，因为这个长度是二根二，二根二，所以直角三角形斜边就应该是四，这个边的长度是二根二，是在这个等腰直角三角，它是斜边，所以这个长度就应该是二，半径就是二， 而这个角是九十度，所以这样我们就能算出来 o b 的 长度应该是二根五，所以这个答案就是二根五减去半径二，所以 b 的 它的最小值就等于二根五减二。 所以我们发现到了第三位是要同样的需要构造两个相似的三角形 啊，利用什么方法呢？利用两边对应成比，且夹角相等这个方法来判定 啊，然后找到了之后再来寻找多点的运动轨迹即可。好了，这个题目我们就分享到这里。

木易木易，数学容易沟通。大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六天水一摸几何压轴题，二十六题，正方形边长是二，所以上下左右都是二， e、 f 分 别是动点 c， g、 f 的 周长告诉你四，那这个周长的条件呢，只能理解成 e f 加上 e c 加上 f， c 等于四， 然后呢，即是延长线上的一点， g b 等于 d f。 我 们先找找 g b 在 这， d， f 在 这。 第一问，让你证明 a g 和 af 垂直，我们看在哪里啊？ a g 在 这里， af 在 这里，它两垂直，其实呢，非常好证，因为这是一个正方形，所以呢，这里 a、 d 和 ab 是 相等的，而且啊，还有两直角，所以第一问啊，我们就可以证明 啊，这可我们可以非常容易的证明， a， d、 f 全等于三角形， a b g 什么理由呢？这是 s a s 的 理由对吧？ 证明全等，那么就意味着，哎，这边的 d a f 加上以 b， a f 是 九十，那么全等了之后呢， g a b 也是 d a f， 所以呢，圈叉也互余拉，那这里呢，垂直就证明出来了，是吧？我们这里呢，就不写其他的过程了。第二，问问 e a、 f 的 大小是否定值，我们要看 e f 的 大小，我们就不得不把 a e 连起来看看啊，其实连到这样呢，有细心的小朋友发现，这其实就是半角模型，所以 e f 应该多少度？应该是四十五，对吧， 但我们看怎么正啊？因为第一，我们已经证明了 ag 和 af 相等，所以现在要正 ef 四十五，就是要正 ae 把这个 gaf 平分，也就是说啊，左右两边要全等，那既然要全等，我们就要用到刚才的这个周长条件了， 我们看到啊，这个周长是三条边组成的，所以我们先不妨先推演一下，把 fc 设为 a， 把 e c 设为 b， 那 么 d f 就是 二减 a， g b 也是二减 a， 那 么 b e 是 多少？是二减 b， 对 吧？ 然后最后剩下的 e f 是 多少？就是整个周长减去 a 再减 b， 然后你就发现这里的 g e 其实是二减 a， 加上二减 b， 其实就是四减 a， 四减 b。 所以 啊，这里的 g e 和 a f e 就 因为三边相等而全等。 我们直接写下第二问。第二问，要写这个过程呢，就必须要先说明一下，这两个 e f 和 g 相等。所以我们就可以先设啊，这个 f c 呢，其实就等于二减 d f 也就等于二减去 g b， 然后呢，这里的呃，这个 e、 f 应该刚好等于四减去 e c， 再减去 f c， 那 么四减去 e c 再减去 f c， f c 又是多少呢？二减 g b， 对 吧？所以发现 这里 e f 变成多少了？变成了二减去 e c 负的正，加上 g b 了。 哎，我们看看这里二减去 e c 是 谁？二减去 e c 其实就是 b e 吧，对不对？ b e 再加上 g b 是 多少啊？ b e 加 g b 呢？不就是 g e 吗？对吧？ 那么所以啊，我们可以写出在三角形 a g e 与三角形 a、 f e 中，这三个边都相等啊。首先啊， a g 等于 af， a e 等于 a e， 最后刚刚的 g e 含等于 f e， 所以 说这两个三角形就是全等条件，我这里不写了，既然全等了，那就可以证明角 e a f 就 等于四十五度。 ok， 我 们这里不多写啊。最后就问 问的是 m， 如果是 bc 边的中点， m， 如果是 bc 的 中点，那我们先把前面的条件先拿过来啊，有用的。其中呢，第一个就是边长，这里有用了啊，这里的 ab， ab 和 ad 相等，然后还有这个 a e， 把 g a f 这个九十度给平分掉了，左右两边全等，再加上刚才已经证明的这个 g e 和 e f 是 相等的。其实我们就把左边的最重要的形式都拿过来，拿过来之后发现啊，这里 m 如果是中点的话， m 如果是中点， 那么整个边长是二的正方形， b m 就是 一对吧， b m 就是 一。接着呢，他会问你的是过 a 做了 a h 垂直，做了垂直之后怎么样？ 我们很容易想到，如果这里也垂直的话，哎，那么就有可能会有第二组全等出现， 我们仔细证一下两个直角，然后加一个绿边，好像他没法全等，但是不要忘了，第一个我们已经证明了 a g e 和 a f e 全等， 所以呢，这两边两个大的，也就是说 a g b 和 a f h 全等其实要更容易一些。为什么？因为已经证明了呀，这个角 g 和这个角 f a f e 相等，然后又加上一个直角 啊，再加上这个边 a g 和 af 是 相等的呀，所以呢，这里就能够挣全等。挣完全等有什么用？挣完全等就知道 这里的 a h 和 ab 相等，他都是二，他都是二之后要挣 h m 的 这个最小值。那其实呢，我们只需要把它放进一个三角形里面。放进怎样一个三角形呢？我们把 am 可以 连一下 这个三角形里面，那么两边之和大于第三边，所以 h m 一定会，哎，这个小于等于 a m 和 a n h 的 和，而后会大于等于 a m 和 a h 的 差，这样最小值就求出来了，所以我们这里写一下第三问啊。第三问， 我们首先呢，需呃，需要证一下左右两边全等，是吧，对吧？呃，在三角形 a b g 和三角形 a f h 中， 这里有 a g 等于 af， 而且角 a b g 等于角 a f h， 所以说三角形 a b g 全等于三角形 a h f， 这用的是 a a s 全等之后，那 a h 就 等于 ab 就 等于二，它等于二。那么不难得出啊， b m 等于一 啊，在三角形 a h m 中啊，当然这里可能还需要连接一下 am， 是 吧？在这个三角形里面，我因为我们这会要求最小值。最小值是什么？三点勾线的时候它最小吧，对吧？ 那这个 h m 它一定会大于等于。呃，也就是这个 am 减去 a h， 对 吧？那 am 又咋算呢？ am， 你 看到我们在整个一个 a b m 三角形里面，这里 b m 是 一， ab 是 二，所以 am 就是 根号五，是吧？ 呃，那么就大等于啊，根号五减去几？减去这个 a h 长度二，所以说 h m 的 最小值是 根号五减二。结束，关注我，考试再提十分。

各位同学大家好啊，我是姜老师，给大伙讲一个二零二六年这个九年级槐荫区的数学一模这个压轴题啊，一模二题，今天讲讲这个倒数第二个二十四题，这个几何大压轴啊。废话不多说，直接开始啊， 对吧？图一，给条件有结论，图二，给条件出结论，图三，这不给条件出结论是吧？以下是某数学小组根据波利亚四部解析这个范氏进行的解析活动，供你参考。一， 提供给大家调什么作用？计划二，建立三轮环节，由一中得到条件，他成绩定值，看到吗？这个成绩是定值，根据前面提炼模型环节结合等级是非，利用这条件多送结论。我玩半天啊，玩半天啊！好了，我把这个题给大家猜一下啊， 来第一问啊，如图一，三角形 abc， 这个角 b 是 个六十度，是吧？然后这个 b a g b a g 就是 这个角等于 c， a 得等于这个角啊，然后就是等量减去中间公共的，他不就是告诉你这个角等于这个角吗？对吧？ ab 比上 a 得， ab 比上 a 得等于 ac 比上 ag。 他 俩一交换顺序的话， 这不 ab 比上 ac 等于 a 得比上 ag 吗？这不 ab 比上 ac 加这个角是吧？ a 得比上 ag， 这不加这个角，这不 s a s 吗？ s a s 相似的话，那么这个六十对应角，这不就六十了吗？ 这个比较简单啊，这个咱上课说过，这种笔直的对角线可以交叉互换， ac 和 a 得可以互换，咱俩可以互换，咱俩可以互换。这是那个比例那个性质啊？比例那个性质啊，对角线可以互换。这个咱上课都说了多少遍了，不想再解释了啊，对角线互换一下啊， 哎。第二根直角方向线 abc， 这个就是 b a g b a g 等于这个 c a g 啊。老规矩，等量减小，中间公共的， 这是灯亮是吧？满足 a 得乘 a， c 等于 ab 乘以 g， a 得乘 a， c 等于 ab 乘以 g， 是 吧？然后你把这个 ab 除过来， 对吧？把 a 得出过来，这不 ac b 一 b， 这不 ac b 一 b 加二方等于 a g 斜边 b， 这个 a 得，这不是 s e s， 这不有 s e s 相似了吗？ s e s 相似的话，这不交 b 是 个九十。对应交，这不交得是个九十，这不，第二位证明完毕。没什么好说的，太简单了啊，来，继续。第三位， 直线 m n 上有个点 b 点 b 啊， abn abn， 这是个四十五度是吧？ ab 是 个二根二， c 是 直线一点且满足 c 得，这是个九十啊，这个九十是吧？ a 得乘以 c， a 得乘以 c 是 个八。求这个 b 得的这个最小值，是吧？ 来吧，做这个题的时候，你得上前面找去重复一遍。做这个题的时候，你上前面找去， 前面有个角， b a j 等于 c， a 得有个角。相等成绩还得是一样的，看到吗？所以这边 c a 得这个九十度了，这个九十度了，看到吗？那么这个 b a j 也得是九十度， 因为这个地方这是个四十五，是吧？告诉你，这是个二跟二。再来一遍，前面不说吗？ b a j 跟 c， a 得 c， a 得是个九十，那么 b a j 也得是个九十，所以过来做个九十。 过来这里做个九十，这是个 j， 这是个 j， 看到了吗？九十这个它，所以这是个等腰值，所以 a j 也是个二跟二， 二根二对不对？让它乘积得是定值，你看看这个 ab 二根二， aj 二根二，二根二乘二根二也是个八，所以这不， a 得乘 a c， 这不等于 ab 乘 a 几了吗？这不和前面对起来了不就 这不和前面就对起来了吗？对不对？和前面对起来之后，咱再连起这个来，连起这个来，咱再连起这个来啊，咱再连起这个来啊。然后呢？咱再连起这个来， 连这个，咱再连这个啊？连这个。这不和上面不就一样了吗？一加二是个九十，二加三是个九十一，三相等，这不这不处处处处的话， 这不 ab 这边除以 c 除以 c 除以 c 除以 g， 这不除以 g， 这不 ab bc， 这不等于 a 得 b e g 加角相等 s s， 这不全都这不相似了吗？和前面这不一样了吗？这是个四十五度所以这是个四十五度。忙活了半天，就是要告诉在座的朋友，这是个四十五度啊，这是个四十五度啊！好了， 这些就是忙完了啊，忙完了啊。然后呢？这个边是不动的二根二，这个边是不动的二根二，这是个四十五度。不动的。这不定弦定角吗？ 这不定弦定角，这不靠姻缘吗？定弦定角，这不靠姻缘吗？所以啊，所以咱得画个圆了啊，得画个圆了。所以过这个 a， 过这个 j， 过这个得， 这不画了个圆吗？画了个圆吗？这不得的轨迹吗？这不得的轨迹吗？对不对？得的轨迹的话，然后这不到手，一箭穿心，不就求最小值了吗？对吧？所以大体思路出来了啊，来，圆心。 圆心很重要啊！联系这个来联系这个来联系这个来啊，联系这个来。因为这个圆周是四十五，所以圆心是个九十， 这是个半径，这是个半径，所以这也是个四十五，这是个等腰值，这是四十五，所以这也是个 四十五，这是个九十了啊，这是个九十了，这是个二根二。等腰值除根二，所以半径，这不是个二，这是个二。看到吗？咱玩的不是一箭穿心吗？ 这玩的不是一箭穿心吗？这个是个二根二，二根二，这不是个四吗？这是四，这是二一勾。这个不就是个二根五吗？这不二根五吗？最小值得不在前面， 最小值那个得不在这个位置，他的最小值不是这一块，所以二四，这不二根五，二根五减二除以完毕啊。

嗯，济南市淮阴一摸的考试已经过去了，淮阴一摸的数学难度怎么样？我们来分析一下它的题目 啊，其中的选择题，一到八题都比较的容易啊，没有很难题和偏题，怪题。 第九题就是那个做图题目啊，考察角平分线和垂直平分线性质等题目。这个题目呢，需要，嗯，把每个角度求一求啊，能求的都要求一下 啊，再利用一下垂直平分线性质，我们发现结果是一个勾股方程的题目，所以难度呢，也还可以，不是错特别大。 第十题就是二次函数的一个选择的压轴题啊，这个题目呢，他有四个选项啊，本来是有一定难度，但是这个题目呢，他给出的 a、 b、 c、 d 四个选项当中，他有一些啊，里面有三个的组合， 因为这个题目呢，圈一和圈二是很容易能够挣出来的啊，在圈三和圈四当中呢，嗯，圈四的推断呢，也还能容易一些，所以这样就能够推出答案来了啊。 嗯，所以这个题目呢，嗯，是有一定难度，但是就是这个选项给的降低了这个题目的难度。十五题，就是那个折叠很多的啊，这个题呢，看着非常的唬人，有五次折叠，试下， 这些折叠当中呢，很多的折叠是让我们是很熟悉的哎，比如说折出一个正方形来的那种操作，再一个把，嗯，折出一个三角形，把它的一个顶点折到了另外一个边上，这种情况， 所以呢，嗯，利用折叠的性质和直角就能构成一线三垂直的相似。这个题目呢，对于掌握比较扎实，比较优秀同学来说呢，拿下应该不在话下，我再看一下这个最后三个压轴题。 首先反比例函数，反比例函数呢，考察了一个一线三垂直视角啊，旋转也好，旋转的就是九十度 啊，再一个又会出现等腰角三角形，也是考察一线生值值，所以这是一个比较常见的热门的考点啊，计算量呢，不是很大，所以这个题目的难度不是很大啊，比较常规。 然后二十四题，就是那个几何压轴题，几何压轴题前两问，嗯，难度不大啊，第一问非常容易，他已经给出了证明，相当于只让你填空啊。第二问呢，可以根据第一问就能够正出相似来，所以呢， 前两位难度是不大的。第三位需要构造一下，所以第三位构造的话呢，肯定是要难度要大一点，而且他后面还利用了一个引圆的模型啊，出现了定角对定边的情况。因为先构造啊，应用模型构造，构造出一对相似的三角形， 然后呢，三角形相似之后呢，得到对应角相等，就发现了有定角和定边，因为要走动点的运动轨迹， 所以呢，这里面还有个引元的模型。这学校啊，引元呢，没有专门学，只有在培优的时候才会学这部分知识点， 所以呢，嗯，这个是有一定难度。第三位啊，最后二次函数的这个压轴题啊，他的前两位难度也不大啊。第二位呢，就是一个求嗯，牵垂的一个最大值的问题，转化成二次函数，非常常规啊。 第三小问难度比较大，因为它的计算量是非常大的，主要是它含有一个字母参数 m， 这样要用到带字母参数的这种一元二次方程的分解啊，式的相乘法分解它啊，所以呢，这个难度不小。嗯，运算量很大 啊，如果在这方面比较熟悉和比较熟练的啊，那同学才有可能能够做出来。哎，所以回过头来看呢。嗯，除了这些压轴题目，另外那个圆的题目，还有三角函数的题目，难度也不算很大 啊，属于中规中矩的，比较常规的题型。所以回过头来看，压轴题呢，只能说是最后两个压轴大题。第三位难度比较大啊。其他的呢，是中规中矩的啊，中规中矩的。嗯，总体难度不大 啊，要想考到一百三十多分或一百四十多分还是有希望啊，一百三十多分或者到达一百四还是有希望， 只要是简单题不出错啊，常规的题目做的比较熟练，就能够考到一百三十分及以上啊，甚至是能差不多到一百四十分。

下面我们来看一下二零二六天桥一摸的填空题，第十五题就是这个，呃，填空压轴题哈。已知条件，正方形边长是一，这个 b e 的 长度是三分之二， 然后将它翻折一下，折到这个 e j c 这个位置，然后延长到 f， 求这到 ab 的 距离，好，我们看一下啊，嗯，翻折过去之后呢，就是这个三角形是和这个三角形全等的 啊，所以这个是三分之二，这个是一，这个角是个直角啊，所以有一个直角求的是谁呢？求的是这道 a b 的 距离，就这一块，所以我们想到了一个方法，就是这个直角可以构造一线三垂直 啊，就是画一下弧线， 就这样啊，假设这个点是 p q 吧， 垂直，然后这个是直角，这样我们就得到这两个三角形是相似的，并且相似比是三分之二，比一就是二比三的关系， 所以下面可以设这个是二 a， 则这个长度就是三 a， 而这个呢就是一减三 a， 嗯，这个边呢，这个边就是三分之二加二 a， 所以马上这个边，因为和这个边是对应边，所以这个边比这个边就等于二比三，这样我们就能求出 a 的 值来，嗯， 所以最后可以求出来这个长度应该是十三分之八，嗯，然后这是第一个方法，一线三垂直，嗯，因为这里有直角，就可以勾到这个方法， 嗯，那我们再尝试看看有没有其他的做法。第二个想法呢，就是我们发现呢，就是这个点 b 和点 g 这两个点是关于这条线是对称的，嗯，所以可以连接对称点， 对称点的连线是被对准轴垂直平分的，嗯，所以这个是直角，并且这个长度和这个长度还是相等的，嗯，所以到这里呢，我们发现，嗯，这个三角形， 嗯，这是一个直角三角形，这就成了斜边上的高啊，所以这就是摄影定律基本图形啊，这个三角形，这个三角形，还有这个最大的三角形是相似的，嗯， 所以呢，这样的话，我们可以求一下这个边的长度啊。这个长度呢，可以利用什么来求呢？也可以利用 就是只要三角形斜边的高，可以利用面积法来求啊，这个是一，这个乘，这个除以二是面积，然后呢固定你算它来，然后呢底乘以高，除以二，也是面积，就可以算出这个高来， 嗯，然后呢这样这个总长度就知道了，总长度知道了之后呢？然后呢我们来求这块，那这个三角形和这个三角形，这不就十字架模型吗？它俩是相似的 啊，所以也能求出这个长度来啊，这是一个思路，嗯，再一个呢，也可以， 嗯，这些三角形是都是相似的，所以他们的两条直角边之比呢，就应该是二比三的关系，就三分之二比一，就是二比三， 所以这样的话，我可以设他是嗯，四 a， 那 这个边的长度就是六 a， 二比三嘛，他比他也是二比三，那这个就是九 a， 这样根据这个 这个字母形的相似，就这个三角形和这个大三角形相似，就是能够得到四 a 比三分之二，就等于三分之二比上这个十三 a， 所以 就是三分之二的平方等于这个边乘以这个边，这样我们就能把 a 给求出来， a 求出来，这个是六 a， 这个就是十二 a， 十二 a， 这样的话我们就能够再利用这个三角形二比三比根号十三的关系，就能求这个边啊，所以这样也可以， 嗯，再一个哈，我们再说一下第三个方法，嗯，第三个方法呢，我们可以就是看到这个长度哈，这个长度是一，嗯，这个长度是一，然后呢这个地方还是个直角， 所以下面我们可以把这个这个 e j 这个线延长， 交这个 a d 边于点 h 吧， 这样的话我们就得到这个边长度是一，这个边长度也是一，所以一连它就能证明两个三角形是全等的啊。 h l 公共边一条一一条还有直角直角， 这样我们就能挣出全等来，挣全等来有什么好处呢？ 正全等来我们马上就能得到啊，这两个角是相等的，这两个角又相等，所以中间这个角就是四十五度，这样我们就构成了一个半角模型，这样就可以设这个边的长度是 a， 那 这个边的长度也是 a， 那 中间就是三分之二加 a， 而这个呢长度是三分之一， 所以 a h 呢，就是一减 a， 这样勾股定律就能把这个 a 给求出来啊，求出这个 a 来之后呢， 这样的话我们就可以过这个地方做一个，做出它到这个 a b 的 距离来 啊，因为这样的话这个边和这个边就都知道长度了啊，还有这个边，这样的话就可以利用相似就能求这块啊，这个边比上它啊，就等于三分之二比上这个三分之二加一 啊，也还是好可以的啊。这第第三个方法就是半角模型，下面我们还有一个方法，就是 我们看呢，我们看这个方法就是我们直接去做这个 g 啊，就是要求这块长度，对吧？ 加上这个点是 h 吧， 这个长度是三分之二，所以我们发现只要知道这个角或这个角的三角函数值就可以， 因为这个角呢，它有个特点，它是等于这个角的，是吧？嗯，因为这个四边形，这是一个，这个是直角，这个是直角，所以它们是四点共圆的，那这个角和这个角就互补，这个角又和这个角互补，所以这个角就等于这个角 啊，四点共圆的四边形，外角等于内对角，而这个角是这个角的两倍，这个角的正切是知道的二比三， 所以可以利用两角和的正切公式，或者说二倍角的正切公式算出这个这个大角的正切来 啊，而且我们发现这个正切算出来还是一个很好的数呢，是吧？这个正切公式啊，你也可以补充一下啊，二倍角的正切公式就是 tanthan 二 alpha， 等于两倍的 tanthan alpha， 一 减 tanthan alpha 的 平方 啊，这样的话，我们算出这个角的正切正好是五分之十二，所以这个三角形，这个是五份，这个是十二份，这个是十三份啊，三分之二除以十三，再乘以十二，就算出这个边的长度来。 好了，这是第四个方法啊，第四个方法需要你要知道这个两角和的正切公式或是二倍角的正切公式。 好了，这是我们分享的四个方法，同学们看看还有什么优秀的方法可以打在评论区，我们共同的去分享它。

各位同学，大家好啊，我是姜老师，今天给大家讲讲这个二零二六年这个九年级淮阴区的数学一末的亚洲题啊，今天讲讲这个倒数第三个亚洲大题，反比例函数的二十三题啊。 好了，废话不多说，直接开始将一副三角板按图一的方式摆好了，焊三十度的，这个落在外轴上啊，落在外轴上 boa 是 三十度啊，这是个三十，这是个三十。焊四十五的，这个这样玩啊，这个 c 点是个 二周二二周二啊，然后这个双驱过这个 c 点啊，你过 c 点的话，你做垂直过来这个四十五的话，然后这是个二，这是个二，然后你双驱这不断开了吗？就 这个低温解析式不得 y 等于 f 四，送一个啊，送一个来，继续 这个将三角板 oab 沿这个 o 顺时针转九十啊，得到它了，那就是到它了啊，如图一点得为这个三角板 ab 上的一个点， 是吧？经过旋转之后得的对应点得一正恰好落在这个反位图向上，求这个得一的坐标，是吧？ 嗯，因为这是个二，这是个二，这是个等腰直，所以这不是个四吗？所以这个 o a 这一块是个四，所以这一块 o a 一 不就是四了吗？所以这个不就是四兜带进去吗？四兜一了吗？对吧？ 然后呢，这一块这是个一全等过来这一吗？所以这个得的坐标是负一点，相线 负一到四，处理完毕。哎，这个最后一位入图二，将三角板这个 o a c 是 吧？然后顺时针转到 o a 二 c 一， 使得 c 一 落在这个边上，对吧？然后判断一下这个 a 二是否在这个反比 d 上，是吧？来吧，咱这个地方是个三十度的题目告诉你的，咱先需要知道这一块是多么长，是吧？这个 oc 是 多么长，这个 oc 多么长的话，回到这个地方来，这个 c 点坐标， 这不是二六二吗？这是个二，这是个二，这是个四十五度二二，所以 oc 是 个二根二，所以这个 oc 一 旋转，它是个二根二好了吗？因为这是个九十度，所以咱不说了吗？没有什么特别之处吗？就是横平竖直吗？ 这个天桥区这个题目做到现在考了几乎选择最后一个，填空最后一个，还有这不这个反比例函数的，这不一直在考这个 k 型的这个相似或全等吗？因为这是个等效值啊，这个边内这个边， 这个也是个二根二啊，所以这俩不 k 星全等了吗？这是个二根二，那这个边不就是个根二乘根三，这不是根六吗？这是个 j 吧，所以这个根二，这是根六，所以这个就是个根二，这一块不就是根六吗？ 所以这个 a 二坐标，所以这个 a 二坐标，这一块是个根六，这一块不就是根六吗？所以横坐标，这不根六减根二， 总坐标是不加起来吗？这不根六加根二，对不对？他到底在不在双区上？乘起来看，这不双区不外等于 f 四吗？ x 乘外，看看等于四吗？对不对？根六减根二 乘根六加根二，根六方六减根二方二，这不正好是四吗？所以在，所以在啊，好了，这个题目处理完毕啊。

下面我们看一下二零二六章丘一末的最后一个几何压轴大题，就是这个二十五题。 嗯，上面有一段话，就是说旋转、平移和对称是一种研究图形的方法，所以第一小问呢，就是讲旋转，嗯，然后这个角是四十五度。 第一想问的是我们常见的一个几何模型，叫做半角模型啊，这个角四十五度，然后呢把这个小三角形，嗯，旋转到这个位置，下面来证这个三，这两个三角形全等 转过去之后呢，这个边等于这个边，然后公共边这个角是四十五度，所以这个角加这个角是四十五度，那这个角转到这个地方来，所以这个角的是四十五度， 所以这样 s a s 啊，就三角形全等。注意的是什么呢？你旋转过来之后呢，需要正一下这个 m a e f 是 贡献的很好，正这个角九十，这个角也九十，转过来这个角九十， 所以这是这说明贡献，说明这是一个三角形，然后刚才 s a s 正出全等来， 这样第一小问就成成立了，是吧？第二小问，这个圈啊，这个长度是五，这个长度是十二，计算 abcd 的 周长，然后那样勾股定底，马上能求出这个边长度是十三。 根据这个已知条件啊，就根据第一小问，我们正的这个加这个就等于它，所以这两个相加就是十三， 它两个相加是十三，然后再加五和十二，不就是正方形周长的一半吗？ 是吧？十三加上五，再加十二，十七，再加上就是整个的就是三十啊，三十乘以二，所以周长就是六十。好的，这是第一小问，然后看一下括号二， 告诉我们呢，是在这个图二当中， a、 e 和 c、 f 相等， 嗯，这样的话，这两条线还平行，说明这就是个平行四边形，然后这个角度还是四十五度。 我们来猜想 a， m， m， n 和 n c 的 关系，方法已经有了，是吧？因为就是图一的方法，因为这个角的度数还是四十五度呀，所以下面旋转，旋转这个三角形， 因为旋转必须得有边向的，这两个边向的，所以正合适。嗯，转过来，嗯，我们把 bnc 转过来， bc 转到 c 转到这个位置，然后呢， n 撇大约是在这， 然后下面我们看，嗯，这个角度四十五度，这个角加这个角就是四十五度，这个角转到这里，所以这个角就四十五度 啊。 b， n 等于 b， n 撇公共边，所以下面要连接这个 n 撇 m， 这样我们就马上证出来这两个三角形是全等的。 s a s 边角边 全等之后， m、 n 的 长度就等于它，此时 n、 c 的 长度就等于这个边， 所以我们下面只需要证明一下这个角度是九十度就可以了。嗯，那这个角就和这个角相等，所以这个角和这个角是互余的， 而这个中间我们说了，它是个平行四边形，所以这个角它是和这个角相等，而这个角又和这个角相等，所以互余得到九十度。 这样我们就得出来，这个平方加这个平方等于它的平方，而这个边就是 n c， 而这个边就是 m n， 所以 关系就是 am 方加 c， n 方等于 m n 的 方。 好，这是前面的两位，难度不是很大，我们看一下第三小问，第三小问呢？是 啊，这个相当于是一个等腰直角三角形，嗯，因为这个角四十五度，这个角本来就四十五度， 然后把它旋转一定的角度得到这个三角形，所以这小的就等腰直角三角形，然后连接 d n， 取中点问这个 c e 和 c m 的 关系，嗯，它们两个的数量关系， 这里有一个等腰直角三角形，所以我们想就是要利用相似来解决。而等腰直角三角形最常见的方法就是手拉手的相似，你看这里也有个等腰直角三角形， 所以是不是很很合适的样子，感觉是吧？当然好像是和这个关系并不是很大， 嗯，哎，你看在这，这个和这个是小手，那这个和这个是大手，那这个三角形就会和这个三角形相似，是吧？哎，但是和我们这个 c e 啊关系不是很大，所以下面我们想， 嗯，怎么能和 c e 联系上啊，怎么能和 c m 联系上，而 c m 呢？在在这个三角形当中，所以我们想还是要构造等腰直角三角形，构成手拉手的相似， 所以可以怎么办呢？可以顺向的，就是相当于刚才把这个三角形旋转到下面来， 哎，这不就符合符合我们这个题目的意思吗？要旋转啊，所以 ab 正好是转到这啊，所以这个也要转到这个位置，那这个边上这来，是吧，这样这个三角形就转到了这里， 下面我们把负数线做出来， 哎，转过来，这个也是一个等腰直角三角形啊。 b a d 旋转到 b c d 撇 等腰直角三角形，这样的话，手拉手的相似就很容易构成了，是吧？哎，因为，嗯，这个和这个就是小手， 那 b c 和这个 b 的 撇就是大手， 所以下面连接一下 n d 撇，所以能得这个小三角形和这个三角形相似。这个角加这个角四十五，又加它四十五，所以这两个小角相等。嗯， 然后这个边比这个边一比根二，这个边比这个边也是一比根二，所以 b m 比 b n 就 等于 bc 比 b d 撇，只有两边对应成比例，且加个相等正数相似，所以 c m 和这个 n d 撇就是一比根二的关系， 嗯，所以它就是它的根二倍。那 c e 和 d n 撇的关系，哎，到这里就很明显了，因为 e 点是得 n 的 终点，而 c 呢，又是得得撇的终点， 所以这个是中位线啊，所以它俩之比一比二啊，所以这个就是一份，这个就是两份而的 n 撇啊，而 n 的 撇是 c m 的 根二倍，所以这个边的长度就是根二份， 所以它两个之比一比二。这样我们就挣出了这个题名，嗯，就是也要，嗯，通过旋转构造手拉手相似啊。因为这里已经有一个等腰直角三角形了，这里有一个，又有一个， 所以你你得想办法和 c m 有 关。 c m 和 c e， 所以 c m 恰好落在这个三角形中，所以想办法构造这样的相似，嗯，和这个三角形的相似。 当然这个题目也有别的方法，下面我们再介绍一个方法啊， 下面也可以怎么办呢？就是过点 c 往这个地方做垂线， 然后，哎，这不就也是一个等腰直角三角形吗？和这个小的等腰直角三角形构成手拉手的相似， 嗯，这样的话就连接 o e， 就是 这个小三和这个小三， 这个边和这个边之比是一个根二比一的关系 啊，那这条边和这条边哎，是不是也是跟二比一的关系？因为这个是，这个是中点，这样 o 也是中点，这个是一份，所以 o e 就是 三角形 d b n 的 中位线，所以 b n 的 长度就是二， 而 b m n 是 一个等腰直角三角形，所以它就是根二分，所以这样我们得到 b m 比上 o e， 就 等于这个 b c 比上 o c， 这样两边对应成比例就有了，那只需要正一个夹角相等。 好，我们看一下夹角相等，夹角就是这个角和这个角， 怎么正这两个角是相等的呢？看着好像是挺困难，但是样也不是特别难，我们只要把握它的本质啊，因为我们发现这个角的一条边是它 和这个角，它的一条边是 bc， 这两个角所成的角度是四十五度，而这条线啊，就是这个角的另外一条边，它和这条边所成的角度也是四十五度，而这条边和这条边是平行的， 也就是说这条边和这条边所成角度也是四十五度，所以说就是下面这个角啊，这个是角一，这个是角二吧，也就角一的两边和角二的两边所成角度是一样的。 这个我们在初一实验就学过，如果一个角和另外一个角的两边啊，这两个角的两边分别成的角度是一样的，那这两个角的关系就是相等或互，那显然这个相等，所以我们只需要怎么样呢？ 把他们的边的关系给显性化啊，所以我就延长这个 b m 和这个 o e 交于点 f 吧，这条线和这条线平行，所以这个角度和这个角度就相等。两直线平行，内错角相等，这个角是四十五度， 哎，这个角四十五度，那这个角也是四十五度，就是这个角是四十五度，那这个角也是四十五度，这两个角又对顶角， 所以我们马上得到角二和角一相等，哎，这不是一个八字形的相似吗？八字倒角，或者说蝴蝶形倒角是吧？这样我们得到角一等于角二，这样我们就挣出了两个三角二，这样我们就正数了两个三角二，这样我们就正数了两个三角相等 啊，所以最难的就是在这个岛角上还有构造这条浮线上啊，这样我们仍然是挣出了它们两个之比，是一比二的关系 好，这是这个题目的第二种解法，哎，感觉这个方法呢，比第一问的方法呢要稍微复杂一些，还是第一问的方法比较好，而且它还传承了这个前两位的旋转这样一个关系啊，就是上来我们发现这个小三角形和 这个小三角形是一种相似的三角形，哎，旋转相似是吧？但是不合适的在于 cm 这条边和 c、 e 这条边的联系并不大啊，并没有 把它们牵扯其中，所以我们哎通过旋转就可以把它构造到了手拉手相似当中来，从而解决了题目。嗯，所以这个题还是一个很不错的题目，哎，可以多去理解一下。好了，这个题目，这样我们就分享到这里。

各位同学大家好啊，我是姜老师，今天给大伙讲讲这个二零二六年是吧？九年级淮阴区的这个数学一模，这个压轴题啊，最后一个二十五题，二次函数的。好了，废话不多说，直接进题开始啊。 一只跑线塔 m 三零 y 等于 ab 啊。第一问，如果 c 是 零斗三的话，零斗三说明这个地方是个三啊， 所以是负， m 方加四等于三， m 方等于一， m 等于正负一， m 是 正的，所以负一不要， 所以 m 等于一， m 等于一。回代，这个解析式是， y 等于负， x 方加二， x 加三，这是第一位是吧？ b 点坐标 y 等于零啊，解得这个 a 是 个负一， b 是 个三，所以 b 点坐标 三到零啊。好了，第一问比较简单，不想浪费时间，处理完毕啊，来第二问，在一的传下啊，这个就火了，能用了啊，点 m 是 直线 bc 上边的点 m 做个平行外周，叫它点了啊，做个垂直。求这个 m e f 的 周长的，这个 最大值啊，最大值是吧，来吧，这个题我感觉有点出的有点太老生常谈了， 没有什么特别的心意，咱都讲了那么些遍了，是吧？画斜为直吗？这是个三，这是个三，所以这是个四十五度，对不对？ 延长之后，这是四十五，四十五，所以这也是个四十五，这也是个四十五度，对吧？画斜为直吗？画斜为直 吗？所以它轴长啊，轴长叫 l 吧， 周长这个三角形 m e f， 它等于 m f， 看到吗？这一块儿，这一块儿，这不 m f 除以二，对吧？ 这一块 m f 除以二，不就两倍了，两倍了，对不对？二，这不是根二乘根二卡卡一约，所以这个等于 m f 加上根二倍的 m f， 所以 它等于 t m f 一 加根二的这个 m f， 所以 求这个周长的最大值就是求 m f 的 这个最大值。求周长的最大值就是求 m f 的 最大值，是吧？这个 m 点坐标，这不 m 度 负 m 方加二 m 加三，这个 b c 的 解析式，这不是 y 等于负 x 加三了吗？所以它是个 m 度负 m 加三，对吧？ 这个 m f 不是 上减下吗？这个洞洞减这个洞洞上减下吗？对吧？减完之后是负 m 方 加三 m， 对 不对？然后这个 m f 等于这个，这不求最大值吗？他当这个 m 等于负的二分之 b 等于二分之三的时候，这个最大值等于个四分之九吗？ 所以把它带过来。所以这个周长最大值是个四分之九乘以这个一加根二嘛，所以它等于四分之九加九。根二。这个老生常谈了，说多少遍了，没什么新意啊。 来，第三问，如图二抛物线顶点是得这个如图二，没有那个如图一了哈。所以第一问，这些点坐标就都不能用了啊，都不能用了啊。 然后直线 l 经过点 a 与抛线一个 p 啊，比方说，这么画一个，比方说啊，比方说这么简单的画一个，简单画一个啊。直线，这不有个 l， 这不经过点 a 和抛线， 这不点 p， 是 吧？直线 l 和 a 的 夹角，这个锐角是个阿尔法坦普林塔。请直接写出这个 p 的 这个长度了啊，这长长度了啊。 来，先教个投机取巧的办法。因为是直接写出这个洞洞，没有答案，所以啊，所以我们上一问的这个点可以继续用，这是并且求长度吗？ 这个具体的数看到了吗？这个得点顶点正好是个一到四啊，这个他那会儿他看到了吗？然后你过来做个垂直，做个垂直，然后玩个一线三垂直吗？ 玩个一线三垂直，这个点是 h， 这是 j 看到了吗？因为这个碳是个一比三吗？所以这两个三角形的相四比就是三比一看到了吗？这是个四，那么这不就是四除三吗？ 这个是个二，这不就是个二除三吗？对不对？然后呢？这都知道了，所以这个 g 点坐标就知道了。 g 点坐标知道之后，这个解析式出来了，一连力就出来了， p 点左边出来之后 i g 戳出来就完了，然后这上面有二法，往这有二法随两种情况，所以先找个投机取巧的办法。因为这个题是直接写出这个长度嘛，所以直接写出就说明这个值和 m 没关系。所以第一问上面这些 m 的 几个点啊， 这几个数都是能用的，都是能用的，套上之后慢慢求就完。因为直接写出嘛，所以就拉拉倒了啊，当然这个题目毕竟是不能用啊。这个题目毕竟是不能用，因为第一问有一个呃结论的啊，假设这个， 这不，第一问前面人家有如图一了，如图一了。第一问有个假设， c 点是他看了吗？这有个 c 点呢？这个如图一二能用一，但如图二呢，就没有这个条件了。所以 刚才这个三，这个三，这个负一，这些数就都不能用了啊，都不能用了。所以我刚才给大伙教这个旁门左道呢，也就仅仅限于 这个就直接卸除，如果是带过程的话，那么直接卸方法它是不能用的啊，它是不能用的啊。来，既然不能用，那咱就不能用啊，咱就不能用啊。那咱就 先求出这个 a 点坐标 b 点坐标来吧。先 a 点 b 点坐标 y 零零吗？它是负 x 方加上二， m x 减 m 方加四，看到吗？同乘负一， f 减二， m x 加上 m 方减四等于零吗？这是完全平方，这是个完全平方，这不， x 减 m 的 平方等于四， x 减 m 等于正，正负二。 sorry， 正负二啊，正负 m 一 周岁 m x 等于 m 加减二吗？ 因为 a 在 左边，因为 a 在 左边，所以 a 的 坐标是 m 减二都零， b 的 坐标是 m 加二都零啊。这个 b 用不着，所以求了 a 就 没问题了啊。求了 a 就 没问题了啊，当然这是个 m 加二 都零吗？得点不是对称轴吗？ m 减二和 m 加二中间加起来除以二，它是 m 豆带进去这个柿子咱刚才还是留着这个这个东西配方好的柿子吧。这是个四的 x 减 m 的 平方加四，这不定点十吗？这不定点十吗？这不定点是 m 豆四吗？ 这个柿子留着它啊，一会计算，可能会计算量穴位的。简单那么一 c c 啊，简单这么一 c c 啊。 来吧，这个题目他不求 p 的 吗？其实说简单也简单，求出 p 点做不来什么什么 m。 然后呢？用两点减距离公式，一把就出来了啊，一把就出来了，比这个题目还得求这个 p 点的这个坐标啊，这个坐标。然后呢？ 下来啊，很明显，这一块是个四，这一块是个四，这一块是个二， 这一块是个二，看到吗？这一块是个四，这是个二，这是个四。所以这个角的这个碳是个一比二吗？这不是个二比四，一比二的，看到吗？然后咱不是补充了个一二三四五模型吗？他记着了吧？ 来，很明显这个 c 塔等于阿尔法的贝塔，对吧？弹进他这个阿尔法三之一啊， 弹进他贝塔这个角，这不二比四是个二分之一吗？这，这不是指二推三，所以阿尔法贝塔四十五度，所以这个角这不外角是个，这不阿尔法贝塔不四十五吗？这不四十五了吧，所以这就个四十五。 所以这个谎言是，直线 y 等于 k， a 加 b， k 不 就一了吗？ y 等于 a 加 b 了，看到吗？ y 等于 a 加 b 的 话，把这个 m 二带 m 减二等于零带进来， 这不零等于 m 减二加 b， 这个 b 就 等于二减 m， 所以 这个 b 就是 个二减 m， 二千五啊，然后你这个有了，这不，这不，直线有了，这个直线有了，和这个二次一连地，这个皮不就出来了吗？ 他俩一连立， y 等于 x 加上个二减 m。 好 了，我给大伙亲自算啊，亲自算， y 和 y 相等，这边就相等了啊，这边就是相等了啊，所以就是个 x 加二减 m， 这个等于啊，这个等于 负的 x 减 m 的 方，加上这个四啊，来吧，咱同乘个负一啊，同乘个负一， 同乘个负一，这边就是个 m 减 x 减二， 看到吗？这边乘个负一，就是 x 减 m 的 平方减四，看到吗？然后这边可以用平方差，平方差 x 减 m 加二， x 减 m 减二啊，减二减二是吧？ 我这个里面提个符号出来之后不就是 x j m 加二了吗？对不对？你看这俩，这不相等的吗？你看看这俩相等了，看到吗？相等之后他不就 越没了，越没了啊，越没了。所以这边就是负一等于 x 减 m 减二，是吧？然后你这个 x 不是 负 m 挪过去，负二挪过去就是 m 加一， m 加一，那这个样的话，这个 p 点的横坐标不就出来了吗？这不 m 加一了吧，是吧？纵坐标是把这个洞洞 这不带到这个里边来了吗？这个 x 不是 个 m 加一了吗？再加个二，再减个 m， m 每的价是三，随这个 p 点是 m 加一都三，是吧？这个得点是 m 都四， 这个得点是 m 等于四，所以这个 p 得等于根号下，是吧？横减横的方，横减横， m 加一减 m 就是 个一，一方就是个一了，是吧？加上这个三减四是个负，一方，就是个一，一加一是个二，这不根二了吗？ 这不根二了吗？所以这个 p 得第一个，这个根二咱就算出来了啊，第一个根二咱就彻彻底底的算出来啊，算出来了啊， 来，继续，还有种情况的啊，我擦擦，咱再算第二种啊。刚才是这个线和这个，看到吗？在 a 的 下方加了个二方， 是不是也可以上方加个阿尔法？他上方也可以加个阿尔法，看到吗？这个时候他是和抛物线从下面有交点，看到吗？ 这时候他抛物线就不画了啊，他的直线他和抛物线从下面有个交点，这个皮球在下面，这时候在下面呢啊，在下面呢啊，这个时候这个阿尔法，这不直线，这是阿尔法啊。这个探镜塔 r 法等于这个三十一，看了吗？这是个贝塔， 这个贝塔，这个弹的贝塔，刚才不是算了吗？这是个二，刚才不是算，这是个二，这是个四，所以弹的贝塔是个二，弹的贝塔是个二，看了吗？然后呢？这个角，这个角不就叫 k 吗？ 这不是 k 吗？所以它是碳晶碳二法加贝塔，这个二贝塔咱上课不通过。它是碳的二法加碳的贝塔除以一减碳的二法，碳的贝塔的代数三分之一。 亲自算啊，三分之一加上这个二除以一减去三分之一乘这个二，是吧？这个二是个三分之六， 所以分子是个三分之七除以一减三分之二，这是三分之一。咔咔一约就这是个七 随，这个七随这个直线，这个黄色直线是 y 等于 k， x 不是 加 b 了吗？这个 k 不 就是直线和 x 轴这个夹角这个弹吗？这个弹不是七了吗？ 最 k 是 个七，最 k 是 个七，对吧？把这个 a 点带过来啊，一点带过来啊。这个零等于七倍的 m 减二 加 b 啊，加 b 啊，所以零等于七 m 减十四加 b 加 b 啊，所以这个 b 等于十四减七 m， 所以这个直线解析式是 y 等于七 x 加上十四减七 m。 这个一次解析式不就知道了吗？和刚才的那个 类似。这不和连力一下吗？这不 y 等于七， x 加上十四减这个七 m 啊，连力一下啊，连力一下 解啊，咱大大方方的解啊。这个就是七 x 加上十四减七 m 等于负的， x 减 m 的 方加这个四，对吧？ 然后这个七 x 加上十四减这个七 m 等于， 然后这个提出负号来之后是 x 减 m 的 平方减四，看到吗？ 哎呀，我也快很无语哈，来计算太大了啊。提出来之后是 x 加二减 m 等于负的，这不都按平方吗？平方差吗？ x 减 m 加二， x 减 m 减二，是吧？这个不就这个，这不 x 减这个，这不 x 减 m 加二吗？ 这个，这不 x 减 m 加二吗？对不对？所以如果让这个等于零的话，这个 x 等于 m 减二，正好，这不是 a 点吗？所以他俩的消没了之后，这不七等于负的 x 减 m 减二，是吧？ 所以七等于负 x 加 m 加二，把负 x 挪走，所以 x 等于 m 把五再移过来，这不 m 减五了吗？所以这个 p 点的这个坐标横坐标是 m 减五啊。 把 m 减五再带过来，再带过来，这个纵坐标刚才不是算的 m 都是四吗？ 所以 p 的 这个十等于根号下横减横的方，这个减这个 m 减五减 m， m 没了负五平方是二十五， 再加上这个负二十一加四是负二十五，负二十五加五，这不六百二十五吗？所以 p 的 等于根号下六百五十啊。 这个算出来之后是个五，这玩意除以二十五能除开它是五倍的根号下二六。所以这个 p 得有两种情况，一个是刚才算的那个根二 或这是五倍的根号二六两个单啊。

那你知道自己为啥做数学题不会吗？嗯，弄清楚这个问题，为啥自己不会？首先第一个，自己没有弄清楚题在讲啥，其实虽然说在做，但是人心里是蒙的，知道吧？ 你说我说对不对？因为你没有感受到图的形成过程，你让袁老师说的话，画图比做题好，因为画图的话，你你只要把图能画出来，这个分数它自然就来了，你要不相信的话，我给你教一招，好吧，你比如说你要研究勾股定力，是正两只脚暂行全等， 对不对？那我问你来，这是 a、 c、 b？ 嗯，对，你首先弄清楚 a、 c、 b 是 哪三，哪三条边，哪些边是全等三角形的边，哪些边是在全等三角形过程中，因为两点之间相交的交点所构成的线段 要分清楚，能听懂吧？这是 a、 c、 b， 能看懂吧？三角形 a、 c、 b 和哪三角形全等得 e c， 得 c e， 对 吧？ 这是得点是不是？这是不是 e 点？这边是不是在这 是不是？那么剩下的你会发现一个问题，就是说这条边是是什么？是相交线产生的，这条线是两个端点之间的距离是也产生的，然后这条线也不是属于三角形圈的三角形边， 你说我说的对不对？然后这个焦点是 g 点，这个焦点是啥？是 f 点，你说我说的对不对？好了，全解决掉了。这道图咋来的？现在分析看清了。那分析清之后，咱们现在看全等三角形，什么相等 对应边，对应角，对应边和对应角相等。来，咱们这样子吧，说这个角如果是 alpha， 对 吧？那这个角是 alpha 的 话，那这个角一定是啥？ 那这个角是 beta， 那 这个角是也是 beta？ 对， 所以一定是垂直，你说我说是不是？所以咱们分析一下来看黑板 三角形 a、 b、 c 全等于三角形。啥？是不是得 c、 e？ 咱们可以推出谁啊？第一个把对应边写出来， b c 等于啥？是 c e， 第二个横的边就是 a， c 等于三，是不是得 e， 对 不对？能看懂吧？嗯嗯，第三个斜的边是 a， b 等于三， 是等于 c， 得 a， b 是 等于 c 得，我说错了吗？那么除了这些之外啊，我们是不是还得到的是垂直，是不是还能得到垂直？比如说第一条线段是谁啊？ 这是 a b 垂直是不是 c 得是垂直， c 得是不是啊？是，那我问你，角 a、 c、 b 等不等于角？ 这个角 a、 e 得等不等于？说嘛，等多少度？是不是九十度？咱是不是也能间接性的推出啥？ 这里面 alpha 和 alpha 相等，我们间接性的是不是可以推出得益平行 b， c 吗？是得益平行 b、 c， 我 没说错吧？嗯， 那没说错的话，两直线平行什么相等？没错，这个角本来就是 b， 他 们 是本来就是被他那么题目中给到碳铁 e、 c、 f， 就 这个角，碳铁干巴等于多少？是一比三？碳铁干巴等于一比三，还有没有别的？ 实在没了，给了一个面积，让我求谁的长？说求 f 的 长。好，那咱们俩现在去思考呗。它这伽马是几比几？一比三，这是 x， 这是几个 x？ 是不是三个 x， 这几个 x 三，这不就一下式就打开了嘛，对不对？这一比三这时候占了两份？对，那这一份是二分之三 x， 三分之三 x， 比上一个 四点五， x 是 等于一比三，所以在这里面咱们就能得到碳铁钢化等于多少？是一比三等于一 f 比啥？ 比一 c 等于几？是一比三射 e f 等于三，是不是 x 则啥？ e c 等于 bc 等于多少？还没别的吗？啊？ a e 是 二分之三， 你首先看这个 a， e e f 是 平行， e f 平行谁啊？ 是 bc， 所以 我们就能得到 e f 比上一个 c 是 比 bc 等于谁啊？ a 一 比 e c 吗？ ac 对 不对？是比 ac 等于几？比几是一比三，对，是一比三。嗯，我没说错吧？ 那这样的话，咱们是不是就能得到 a 一 比 ac， 所以 我们就能得到 a 一 等于多少？是二分之三 x 对不对？ a c 等于多少？十二分之九 x。 那 这样的话，咱们你看三角形 ab 的 面积，咱把 ab 是 不是得求出来？ ab 是 不是就可以求出来？对啊， ab 等于多少？ 根号下谁啊？根号下就是三 x 平方对不对？是不是加二分之九 x 平方，你说我说对不对？嗯，我们要把它怎么样？二十七，四分之二十七，把它 是不是算出来？这，这四分之八十一啊，加四分之三十六。 呃，我问你前面拿的那些数据，这个，这个题应该初三的题应该在哪？全部哪个位置？你给我找一下，我就这行， 都初三了，这里也是初三。好好，就这就这，就这，找到找到，找到，找到找到，我们现在要的就是这一部分数据， 把这个数据只要能拿到手，咱们任务就完成了，对不对？那在那，在这里面咱们求出的这个 a b 是 多少呢？在这里面咱们求出 a， b 是 二分之三倍，根号是三 x， 然后除了 a b 之外，我们是把 a f 是 不是求出来？哎，你别着急嘛， a f 是 不是求出来？ a f 是 多少？二分之三 x 对 不对？这是二分之三 x。 二分之多少是三 加多少是不是？加 x 平方是不是等于二分之根号十三多少？这是 a f 对 不对？ a f 都求出来了，这个 a b 是 不是也求出来了？那问你，得 f 咱是不是也可以求出来？ 因为刚才咱们在，刚才咱们在在求的时候是 ac， 因为 ac 等于得 e 等于多少？是二分之九， 是二分之九 x， 所以 咱们可以把谁求出来？把得 f 是 不求出来，得 f 是 二分之七 x， 我 没说错吧？得 f 是 二分之七 x。 现在咱们俩去去思考一个问题， 你，你别着急嘛，咱们这比比的话，把得把 b f 是 不是求出来？是不是因为这两个三角形是不相似？ af 对 不对？你看希腊字母对不对？ af 看到了吧？ 就是的 j f， 我 没说错吧？啊，所以 e f 比啥比啥？就 f 左边嘛， 是不是啊？那 e f 比 f 得好像没啥用对不对？ e f 比 f 得没啥用？这这个量对我们来说是没用。贝塔索这边就是 a e 对 不对？ a e 比谁啊？ e f， a e 好 好看， a e 是 比得 g， 我 们是要的这个关系好，对不对？对对， a e 比啥？比，得 g 等于 af 是 比得 f， 对， 那咱们刚才是不是求出了 af 多少呢？ af 是， 这不是查一下吗？啊， 那得 f 是 多少嘛？二分之七 x 对 不对？是二分之七 x。 把，这两个在这里面咱们去作比的话，就是就是可以把得 g 是 不是求出来？目的是不可以求出得 g 是求得 g， 对， 因为 a e， 咱们知不知道二分之三十二分之三 x 把得 g 求出来，这边得 g 求出来是二分之多少？二分之二十六分之二十一 b 的 二十六分之二十一 b 的 根号是三 x， 这是得 g 的 长，能听懂吗？嗯，那么三角形的面积，三角形谁的面积 a 得 b 等于二分之一乘，谁是乘以 ab？ ab 乘以 ab， 咱们查出来了，就是二分之根号多少？三倍的根号是三 x， 对 不对？能听懂吧？这是 ab 的 值呢？是二十一分之根号是三比二十六 x， 对 不对？ 根号十三和根号十三相乘，是不是？十三十三和二十六相乘，相约是二分之一，这个大概求出 x 等于三分之二倍根三，把 x 求出来， 能听懂吧？啊？因为这个面积它答案是不是七嘛，对不对？这样的话 x 是 不是可以求出来？ 把 x 求出来之后，你看所以得 f 等于多少？是二分之七 x 对 不对？对，那二分之七 x 的 话，这个直接就去算，算出来大概是三分之七 b 的 根二。好了，这我就讲完了， 你现在说你做数学题，你得图在那去看，你不如画对不对？你画的过程中你还能使所有条件式都推出来，如果你不去画的话，你自己坐那， 那时间你守住，能明白吗？给自己写吧。我写啊。

大家好，我们一起来看一下二六年师大附实验初三下英模数学的二十七题几何综合的题目啊。那这里面首先我们一边看图一边读题 来清理一下条件。首先是两个直角三角形 a c b 和 a h b， 然后角 a c b 和 a h b 是 九十度，然后这里面设了一个角 c a d 为 r。 嗯，提示我们要用倒角 点 e 为线段 a b 的 中点，那么就有两个，就有一个 c e 等于 a， e 等于 b e 就是 一个直角三角形的斜边中线，那么也会考虑把 h e 连起来，然后应该会有个 c e 等于 e h。 若点 f 为线段 a e 上一点， 将线段 e f 绕点 e 顺时针旋转二 r 发得到线段 e p， 而且这个 e p 还正好会在 a h 上，那么接着再连接 c f 与 a h 交于点 g， 然后把 e g 连起来。 那么首先我们补全图形，然后第二小问是要证明一下角 a p e 等于角 e k h 那 么结合他给的这个角 cad 等于 r 发，会非常明显的感觉到他应该是想让我们导角。 那么这个角 a p e 和角 e k h。 我 们可以先看一下这个角 e k h 这个角 e k h 呢？呃，他在 e k p 这个三角形，或者是这个 a 顶角是这个 a k c 这个 a k c 这个三角形会明显好用一点，就是我们可以用 一百八十度减去角 c a k， 再减去角 a c k， 得到这个角 e k h。 呃，然后这个 a c k 我 们先暂时不去处理。接着要看一下 a p e 这个角， 那么 a p e 这个角，它在 p k e 这个三角形里面，或者是 a p e 这个三角形里面，那么 p e 应该是不太好用的，然后 a e p 里面，它专门给了角 a e p 是 r 发，因为一 k 旋转得到一 p， 所以 一 k 等于一 p， 然后角 f 一 p 是 等于 r r 发的，所以它应该是一百八十减去 r r 发，再减去角 e a p， 那 么第一个等式要想和第二个等式相等，那么关键应该就是在 a c k 和角 e a p 上面了。 我们如果 e a p 能够等于 r 发，加上角 a， c k， 呃，好了，那么角 a c k 它实际上我们就是等于角 c a e 的，是我们这上面应该是 a c k 要等于 e a p 加 r 发就好了， a c k 应该是反而是比较大的。然后这个 a c k 它应该等于角 c a e， 而 c a e 正好就等于 r 发，加上角 e a k 用到一个 c e 等于 a e 得到的一个等腰三角形啊，那么就能够得到这两个角相等，那么得到之后应该能够得到一 p 等于一 k， 然后也等于 e f， 就 这三条边是相等的，那么接着看他的第二位，写出线段 g， e， c d 还有 c b 之间的数量关系，并证明。首先找和 g， e， c d 和 c b 相等的线段，或者是有关联的线段，会发现一个都没有，这三条线段都很难进行一下转移。 c b 比较有关系，就是 c b 和 c d 在 一条直线上， 然后 c b 减去 c d 应该等于 b d， 而 e g 又非常像它的一个中位线，而且 e 点又是一个中点， 那么应该就比较容易猜到，应该是想要证明一下 g 是 a d 的 中点，证明一下 eg 是 abc 的 一个中位线，那么 e 已经是终点的一个情况下，我们实际上最核心要证明就是点 g 是 一个 a、 d 的 中点， 那么它在 a、 b、 d 这个三角形里面应该是比较吃力的，所以我们应该是要看 a、 d、 c 这个直角三角形。 然后我们如果想用背长中线或者说是中位线的思路去处理这个中点呢，会发现都有一点吃力。那么如果要三线合一的，也要 ac 等于 cd， 而这里面其实有一个 acd 是 一个九十度， 如果他要是三线合一的，那这个三角形得是等腰直角三角形有点太特殊了，他的条件看起来不太能够证明出 r 发是一个四十五度的样子，那么就需要考虑的是用直角三角形的斜边中线来证明这是一个终点， 那么如果它是一个斜边中线的一个情况下，那么这个角 a、 c、 g 就 应该是 r 发，这个角 a、 d、 c 和角 a、 c、 d 应该都等于九十减 r 发，而我们又发现这个角 a、 c、 e 是 等于角 c a e 的， 那也就是说，如果我们能够证明这个角 c 这个 e、 a、 e、 c、 f 等于角 e、 a、 k 都等于一个，比如说设它为比特的话呢，那我们就能够证明 这个 g 是 一个中点，那想要证明这两个角相等，应该就不太能够靠倒角得到了，因为我们还有很多的线段相等，比如说 e、 f 等于 e、 k 也等于一 p， 那么这三条线段相等应该是要用来正全等用的。那么还有一个比较明显的一条边是 a e 等于 c e， 那 么加上 a e 等于 c e 和这个 ef 等于一 p 之后，然后这个三角形里面还要带上角 e， a p， e g 和这个角 e， c g 的， 那么一个是三角形 e g 和 e c g 是 比较合适的， 但是呢，有 e f， e k 和 e p， 那 么另外一个三角形，这个角 a， e， k 它就更合适一点。那这 a， e， k 呢？ 呃，包含角 e， ak， 包含 a， e， 包含 e， k， 那 我们另外一个呢？呃，应该是 a， e 是 等于 c e 的 e， k 和这个 c， e 能够接上三角形是 e f， 那么就应该这个 c， e， f。 这个三角形能跟它全等，而且这两个三角形还刚刚好有一个公共角， 这个角 a， e， k 直接可以用 s e s 乘全等，那么就能够得到这两个角相等，那么证明这个角 e， a， k 和这个角 e， c， f 都相等之后，我们就得到。我们最重要想要这个角 c， a， g 等于角 ac g， 那么接着可以用直角三角形用倒角得到角 g， c， d 和角 a d， c 一个是等于九十度减去角 a， c， g 是 九十减二发，一个是九十度减去角 c， a， d 也等于九十减二发。然后能够得到 a， g 等于 c， g 等于 g d， 那 么 g 就是 一个中点， 那么我们最后就可以用中位线能够得到 e， g 是 等于 b d 的 一半，那么最后就得到我们的结论就是二倍的 g， e 等于 c b 减去 c， d。

下面我们看一下二零二六环一一摸的最后一个二十五题，二次函数的压轴大题。第一小问就是他给出了一个关系式 啊，然后第一小问给出了一个，当点 c 的 坐标是零到三时，求它的表达式和点 b 的 坐标，然后就把这个零到三带进去就可以了，是吧？带进去算一下， 就是最后这个数字应该是等于三四减 m 方等于三，那 m 就 等于正负一，因为 m 大 于零，所以 m 等于负一舍去， 所以这样它的关系式就写出来了啊。第一位的关系式就是 y 等于负， s 方加上二 x， 然后再加上三。啊，这是第一个 b 点的坐标， b 点坐标呢，就是另 y 等于零， 然后 y 等于零。等式两边同时乘以负一， x 方减二， x 减三等于零， x 减三，乘以 x 加一等于，所以 x 一 等于负一， x 二等于三，所以点 b 的 坐标就是三度零。 好，再看第二小题，在括号一的条件下， 点 m 是 直线 bc 上方抛线的一个动点，然后 m f 平行外周，然后 m e 垂直于 bc， 求这个三角形的周长最大值。 这个三角形是一个非常典型的一个三角形，是吧？因为这条线和它平行，这个线垂直于这个，所以这两个三角形是相似的，这里是直角，这个角和这个角内侧相等 啊，因为在第一万的前提下，这个长度是三，这个长度也是三，所以这是一个等腰直角三形，所以这样我们得到这个也是个等腰直角三形。 等腰直角三形有了之后呢，它的三边之比就是一比一比跟二的关系，所以周长的最大值， 你只需要他的一条边取得最大值即可。这条边和这条边，还有这条边当中哪一条边最大值好算呢？当然是 m f 是 吧？这个应该是叫斜划直，因为他本来就是直的，所以，所以这个的最大值好求 啊，所以我们只要求一下它的最大值就可以了。这两个点横坐标相同啊，设出横坐标来，把它转化成二次函数来求， 对吧？这个点横坐标是 m， 纵坐标就是它的关系式，这条直线 k 值是负一，然后 b 是 三，这个就是二次函数的关系式。 负 m 的 平方加上二， m 加三，然后用它的坐标去减它的坐标 就是 m f 的 长度。三减三，没有了，一减负 m 方二 m 减去负 m 就是 三 m， 所以 m f 呢，就等于这个。然后求一下它的最大值，把它配方换成零点四就可以负的 加上一次项系数一半的平方，应该是四分之九，再减去四分之九 啊，然后再把它拿到括号外面来，就是加四分之九，所以就等于 m 减去二分之三的方加四分之九。也就是当 m 等于二分之三时，它能取的最大值是四分之九。 嗯，这个的最大值是四分之九，那周长这个边和这个边都分别是它的二分之根二倍加起来就是它的根二倍，所以四分之九加四分之九根二啊，就是周长的最大值 四分之九加四分之九根二，也就是这个。嗯， 第二问呢？整体啊，是一个比较熟悉的题型啊，我们看一下第三小问，如图二，抛物线的顶点是点 d， 直线 l 经过点 a 与抛物线经过点 p 与抛物线交于点 p， 直线 l 与 a d 的 夹角为 r 法，若探见了 r 法等于三分之一，请直接写出 p d 的 长。 嗯，这个呢，我们先来求一下点 d 的 坐标，嗯，我们把它配方换成顶点式，因为点 d 它的顶点注意这个第三位，第三位呢，因为它没有，嗯，在第一位的条件下 啊，所以这里 m 并不是一个具体的数值，所以 m 就是 一个参数，所以要带着这个字母 m， 然后把它换成顶点式，先提出负号来，前面的正好是完全平方公式， 所以这样我们得到点 g 的 坐标就是 m。 逗号四 对角是 m 啊，嗯，顶点的坐标就是四， 然后呢，下面 a 的 坐标需要去求 a 的 坐标，嗯， a 的 坐标呢，就是另外等于零啊，下面我们来求一下 a 点和 b 点坐标，另外等于零， 然后就是负 s 方加上二 m， x 再减去 m 方加四，等于零。等式，两边先同时乘以负一， 然后呢，下面我们利用十字相乘来解决它。嗯， 后面呢，这个可以用平方差公式把它拆一下 啊，因为中间呢是负的二 m， 所以 这个 m 加二和 m 减二。哎，只要把它们都贴上一个符号就可以了 啊，所以这个就可以分解成， x 减去 m 加二，乘以 x 减去 m 减二， 这样 x 一 就等于 m 减二， x 二就等于 m 加二， m 加二一定比 m 减二要大，所以 b 点的横坐标是 m 加二，而 a 点的横坐标应该是 m 减二。 这样我们在下面考虑 ap 的 问题，嗯，因为 ap 这条线和 ad 这条线所成的角是 alpha， 它这个 alpha 等于三分之一，嗯，所以， 哎，既有可能是在这个下方，也有可能是在这条线的上方啊，也有可能是在这个位置， 嗯， a 点， b 点和的点，他们的坐标之间有某种关系，哎，所以是要往下可以做垂线啊，往下做垂线， 这个是点 e 吧。嗯，然后呢，这个长度呢，就是 m 减去 m 减二，那这个长度就是二， 所以到这里我们发现这个三角形当中，这个角的正切是二，而这个角的正切是二分之一啊，到这里我们就能够做出来什么呢？嗯，能够做出来 这个角的正切是二分之一，而这个角阿尔法的正切是三分之一。 根据一二三四五模型，我们就能得到这个角应该是四十五度，所以这个角就四十五度，是吧？一二三四五模型告诉我们，正切是二分之一和三分之一的两个角，它的核是四十五度，所以这个就是外角，等于它两个核。 当然也可以怎么办呢？因为下面我们就是要求这条直线的关系式才能求点 p 的 坐标，所以我们想求这条直线的 k 值坐标，又是个已知的点 a 的 坐标代入即可。 所以还有一个办法，就是利用两角和的正切公式也可以啊，就设这个角是设这个角是贝塔，是吧？贪心的阿尔法加贪心的贝塔啊，阿尔法加贝塔，正好这个正切是二，这样就可以求出来了啊。 比如说我们就是如果设这个角的正设这个角是贝塔，那贪婪塔阿尔法加贝塔，就用两角和的正切公式啊，等于贪婪塔阿尔法加上贪婪塔一减去贪婪塔，贪婪塔， 然后呢，这个贪婪塔阿尔法呢？是三分之一，三分之一贪婪塔加上啊，一减去三分之一贪婪塔， 这样就等于等于多少等于二啊，这两个角的和它的正切是二，这样就能求求出它的贝塔来，它的贝塔等于一， 嗯，求出来一之后呢，这样的 k 值就出来了，这样直线 a p 的 关键式就能写出来， 嗯，所以 a p 的 关键式， y 等于 x 加 b， 因为它的 k 值是一，然后再把 a 点的坐标代入， 嗯，然后就是零等于 m 减二加 b， 所以 b 等于二减 m， 所以 它的关系式就是 y 等于 x 加上二减 m， 盈利啊。 x 加二减 m， 就 等于 负的 x 方加上二， m， x 减去， m 方加四。 而这个式子我们刚刚已经分解过，嗯，就是能分解成，哎，这个式啊，前面当然还有个符号，因为刚才我们减的是方程，嗯，所以这个地方呢，就可以写成负的 x 减去， 然后这个式呢，也可以写成 x 减去， m 减二，所以等式两边同时除以这个式子， 一等于负， x 加上 m 加二， 这样 x 就 等于 m 加一，这样我们就求出了点 p 的 横坐标， 然后带到一次函数的关系式当中，就能求出它的纵坐标来， y 等于 m 加一，再加二减 m， 所以 纵坐标是三， 然后 p 和 d 之间的距离，两点的距离公式啊，不用两点距离公式，这样看也能看出来，这个长度是一，因为这是 m 加一，这是 m， 这块是一，这块也是一，因为这个点的坐标是四，这个点的坐标是三，所以此时 p d 的 距离就是根二， 这就是第一种情况啊，下面再来看第二种情况，第二种情况呢，就是 这条线 a p 呢？是啊，在这个位置，就在它的上方， 这个角阿尔法是三分之一，而这个角的正切是二，这样我们可以直接来求这个角的正切啊，这样的话呢，它们的交点应该是在下方 点， p 在 这儿，这样我直接来求这个条直线的正切，仍然是相同的方法啊。 tangent 设这个角是 beta 吧， tangent 阿尔法加 beta， 就是 求这个角正切，就等于 tangent 阿尔法加上 tangent beta， e 减去它的 alpha， 它的 beta 等于，嗯，它的 alpha 的 值是三分之一，它的 beta 的 值是二， 这样我们就能算出来，上面是三分之七，下面是三分之一，所以它的 k 值是七。 这样继续第一步的操作过程，再来求 a p 的 关系式。 y 等于七， x 加 b， 把 a 点坐标代入零，等于七倍的 m 减二， 所以这样我们得到 b 是 等于七倍的二减 m， 所以 y 等于七， x 加上七倍的二减 m， 就 等于七倍的 x 加二减 m， 这样下面再来连力啊，和二三数连力就可以了 啊。七倍的 x 加二减 m， 等于，还是刚才那个式子，对吧？就是就是这个式子前面加一个符号， 而这个式子 x 加二减 m， 和这个式子是还是一样的式子，说明这这个等于零，是它的一个减，而这个等于零求出来的是 a 点的坐标，所以这把这个约掉，剩下的就是 p 点的坐标， p 点的横坐标啊。 七等于负 x 加上 m 加二， x 等于 m 加二，再减七， m 减五，这样我们就得到它的横坐标，然后把横坐标带入，求出 p 点的纵坐标来，带到直线当中，好求啊， y 等于七倍的 m 减五，再加二减 m 负的二十一，让我们求出了点 p 的 坐标啊，点 p 的 坐标就是 m 减五，逗号负二十一，然后 p d 两点距离公式就可以求了，得点的坐标是 m， 逗号四， 嗯，这两个横坐标之间的差距是五，这两个横坐标，这两个纵坐标之间差距是二十五，所以就等于根号下应该是五的方，加上二十五的方， 这样我们可以利用什么来求呢？用相似来求，因为他们有一个公共的因素是五，所以你可以这个是一，这个是五， 勾股定律就能算出它们的斜边长度应该是根号下二十六，所以这个数答案就是五倍的根下二十六，这样第二种情况我们就计算啊，所以这个题目一共有两个答案，一个是根二，一个是五倍的根号二十六， 嗯，在这里，因为这个角度不是很好求，我们就利用了这个，嗯，两角合的正确公式来求啊。当然这个题目呢，还有一定的这个音式分解的技巧 啊，四字相乘，因为它是含有字母参数的第三位，所以这个第三位的难度还是比较大的啊。前两位，嗯，非常的常规，没什么难度。嗯，好了，这个题目，这样我们就分享到这里。