八年级下册四边形的简拼折叠类型题

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五十九页练习。 第一题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 d、 c 等于七十度， a， b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 b、 c 等于七十度， b、 e 平分， a、 b、 c 也说这跟这是相等的，与 a、 d 呢，交于点 e， 说 d， f 平行于 e、 b， 这两条边是平行的，交 b、 c 于点 f， 让我们求角 e。 那么这道题呢？嗯，因为他这一课时呢，刚学的是这个平行四边形的性质啊，所以呢，这里面用到的就是平行四边形的性质。那平行四边形都有什么性质啊？ 那边的性质对边平行且相等啊，角的性质是对角相等，邻角互补，然后呢，对角线呢？是互相平分，那么这里边用到的是什么呢？你看啊， 他要求的是角，肯定往角上琢磨，对吧？那么给你了， a、 b、 c 等于七十，然后，那这 是不是也应该得七十对角相等，对吗？然后呢，平行四边形，对边平行且相等，那我们用平行来，这叫角平分，线与平行线 必有等腰出现，也说这个小叉跟下面小叉相等，那么等量代换啊，不用等量代换，也说这个叉在这，然后因为你的 b、 e 平行于 df， 所以 这个叉和这个叉相等， 那这的七十减去叉是不是就角一啊？所以用到的就是角的性质啊，还有，嗯，对边平行，所以来咱们来写一下过程啊。第一题，嗯，角， 因为四边形 abcd 是 平行四边形， 那么根据平行四边形的性质，咱们用哪两个性质来着？第一，对边平行， a、 d 平行于 b、 c， 第二，对角相等 到底多少度？七十度吧，是不是？然后我们再用角平分线，把你这个一半的角求出来，用的是哪个？用的是下面这个角，叉到这来，对不对？那我们写，因为 b、 e 平分角 a、 b、 c， 所以 角 e、 b、 c 等于二分之一，角 a、 b、 c 等于二分之一，乘以七十度，等于多少度？ 三十五度。然后你再写，因为 a、 d 平行于谁？ bc， 所以呢？ 嗯，你的内错角会相等，角 a、 e、 b， 它等于角 e、 b、 c 等于多少度？三十五度。然后又因为另一个平行 df 平行于 b、 e， 所以呢，这叫两直线平行，同一角相等，也就是角 a、 d、 f 会等于角 a、 e、 b 等于三十五度。 嗯，所以角一呢，就等于角 a、 d、 c 减去角 a、 d、 f 等于七十度，减三十五度等于三十五度啊，这是第一题， 那我们来看一下第二题，他说如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长是十六。那么你读到这啊，你你，你想一想，平行四边形啊，这个周长肯定是跟边有关，对吧？那么平行四边形的边呢？是对边平行且相等，也就是 a、 d 等于 b、 c， a、 b 等于 cd， 那 也就是说我的周长是这四条边的和，而对边是相等的啊，所以我能求出一组邻边的和 啊， a、 d 加 c、 d， 或者是 ab 加 bc， 是 不都能求出来？这你脑袋里要有思路啊，有想法。然后说对角线 a、 c 和 b、 d 交一点 o， 那 你看平行四面有对角线了，那对角线的性质是什么？ 对角线互相平分，对吧？也就是 a、 o 等于 o， c、 o， b 等于 o、 d， 那 用哪个呢？咱不知道啊，一会咱们看题，说点 e 啊，在 a d 上，在这说 o e 垂直于 a c。 来，这句话就有讲究了啊， 你看啊，这有垂直，然后垂足这个点 o 呢，恰好又是 a c 的 什么点 中点，所以这不叫垂直加平分吗？所以 o e 应该是 a c 的 垂直平分线，那你想垂直平分线有什么性质呀？垂直平分线的性质是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离怎么的 相等啊？ a e 等于 e c， 然后让我们求的是 c d e 的 周长，那你看 c d e， 那 你说 c d e 这三条边，一个 c d 一个 e d 一个 c e， 而 c e 又跟 a e 相等，那你看，这不就是平行四边形周长的一半吗？ 是吧，那我们来，嗯，边读边分析，是不已经分析明白了，来，那我们来写一下啊。嗯，首先呢，我们说，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 什么形， 都是由它的性质起的啊，平行四边形，要不然你看，我写垂直平分线，你没有终点，他也写不了垂直平分线，是吧？所以呢，你的 a、 d 会等于 b c， 你 的 ab 会等于 cd， 这是两组对边分别相等，这一会啊，要倒一组邻边啊，的和要用着啊。还有一个就是 a o 等于谁？ o c， 那 你 a o 等于 o c 之后对角线互相平分，然后你加上垂直 e o 垂直于 a c 啊，所以你的 e o 是 是 a c 的 垂直平分线， 所以呢，你的 a e 会等于 e c， 看懂吗？然后因为你的这个平行四边形 a b c、 d 的 周长 为谁呀？ ab 加 bc 加 cd 加 ad 等于多少？等于十六，所以我会求出一组邻边啊。这上面这个 换进来是不是应该是二倍的 a、 d 加上二倍的 c、 d 就 会等于十六，所以 a、 d 加 c， d 就 等于几等于八吧，对不对？那么你写，因为三角形 c、 d、 e 的 周长 为谁加谁啊？ c、 d 加 d， e 加谁 e， c， 然后它就等于 c， d 加 e， d 加谁呀？加 a， e 就等于 cd 加 ad 等于几啊？等于八，那这地方就写所以就行了啊。这是第二小题，那么第三小题 写到这吧，他说如图，在梯形 a、 b， c、 d 中， a， b， c、 d 中啊，看图，然后呢？说 ad 啊，能平行于 bc， 那梯形是不是有只有一组对边平行，所以上下两个平行的啊？然后角 c 呢？是九十度，说明是等腰直的，叫直角梯形啊。说 a、 d 等于三， ab 等于四，然后 b、 c 这它等于五， 然后 e 在 bc 上说 ab 又平行于 d、 e， 哎，你看这不就叫两组对边分别平行， 那我们平行四边形的定义不就说了吗？两组对边分别平行的四边形是什么啊？不对，两组对边分别平行的四边形是什么形？ 是平行四边形，那你看，不就正出它是平行四边形了，那这个四就上这来了，那这个三就上这来了，那这就是二，对不对？然后让我们求的是 a、 d 和 b、 c 之间的距离，那 a、 d 之间的距离不就是垂线段的长吗？那也就是求 cd 的 长 是吧？那你看这勾股定律不就求了吗？啊，来，第三题写到这里啊，解， 首先由这个两组对边分别平行啊，来求平行四边形 a、 d 平行于 b、 c， 然后 a、 b 平行于谁？ d、 e， 所以呢，四边形 a、 b、 e、 d 是 平行四边形， 然后我们就会得到 a 呃， b， e 等于 a， d 等于三， d， e 等于 ab 等于四啊，这叫对边 相等，对吧？对边相等。然后呢？你写，所以 e， c 就 会等于 b， c 减 b， e 就 等于五，减三等于几等于二。然后在 r t 三角形 e， d， c 中 角 c 等于九十度。所以 d， c 等于根号下四方减二方等于 二倍，根号三啊。这就是第三题。

八阶下侧平行四边形的知识点在 d 阶的中考中是一个必考题型。今天给大家分享矩形的四种折叠模型。第一种是对角线翻折，如图 a、 b、 c、 d 沿着对角线 b、 d 进行翻折，点 c 和点 e 重合。这个模型中它会产生两个结论，第一个结论是三角形这个黄色阴影部分，三角形 b、 d、 f， 它是一个等腰三角形。 我们定这个角 d、 b、 c 为阿勒法，由这个反折可知的话，这个角也是阿勒法 a、 d 又平行 bc 平行，它会产生一个内错角相等，这个角也是阿勒法，这个角和这个角是内错角，所以说我们得到了角 f、 b、 d、 d 和角 f、 d、 b 相等，等角对等边，所以 b、 f 等于 d、 f。 除了这个等腰三角形，我们这里还得到了一对全等三角形。这个红色的三角形和这个红色的三角形全等，它们都是直角三角形，这个角是直角，不用我说，它是矩形，里面的 这个角也是直角。由反折可知，角 c 是 等于角 e 的， 那这个角 e 也是直角。 刚才我们已经证明了 b、 f 等于 d、 f， 一个直斜边相等，然后我们这里有一个 这个红边 a、 b， 它是等于这个红边 d、 c 的。 由翻折可知， d、 c 又等于 d、 e， 所以 ab 等于 d， e、 f 等于 d、 f。 我 们用 h、 l 证明直角三角形全等 n、 d。 愿你的学习不迷路！

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第四十九页练习。 这个练习呢，主要讲的是四边形内角盒啊，一个是四边形的内角盒，那么第一题和第二题呢，考察的是四边形内角盒，第三题考察的是啊稳定性，嗯，那么四边形内角盒呢？它的，嗯， 这呢，四边形的内角和呢？他永远都得三百六啊，所以我们依据这个四边形内角和呢，我们可以来求第一小题。 首先我们确定这个，这个是一，这个图形呢，是一个四边形，那我们四边形的内角和就等于三百六十度，所以呢，你观察啊，这角标的是直角符号，说明他九十度，一百四 x， 那 就是 x 度加上 x 度再加一百四十度，再加九十度 等于三百六十度，然后计算一下，二 x 度等于他俩是二百三，移过来是一百三，然后所以 x 应该等于六十五度啊， x 应该等于六十五度，这个可以不写单位了啊。 然后第二个呢，首先你确定来一二三四，它也是一个四边形，那么四边形的角和呢，就应该等于三百六十度，那三 x 加上四 x 加上三 x 加上二 x 应该等于三百六， 那么加到一起，你观察啊，这是十二 x 等于三百六十度，那 x 呢，应该等于 三十度啊， x 应该等于三十。那么第三个呢，你观察一二三四也是四边形，那么四边形的角还是三百六十度，那已知的三个角还给了一个外角， 那么你想三角形内角和是一，那个三百六，我说得把这个邻补求出来，那这个邻补呢，应该用一百八减 x 来表示啊，他俩不互补的吗？所以用一百二十加上八十，再加 一百二十度，加八十度，再加七十五度，再加上一百八十减 x 度，等于三百六十度。那前面这些加在一起是两百七十五度，然后再加这一百八，两百七十五， 加上一百八，等于五五四，四百五十五，也就是四百五十五度减 x 等于三百六十度，那么 x 应该等于减去三百六五七八九啊，应该得九十五 啊。这是第一题，那么第二题呢？他说一个四边形的一组对角互补，他的另一组对角有什么关系？首先我们确定他是四边形， 那么跟角有关，所以呢，四边形内角和是三百六，那要是一组对角互补了，说明有一组对角的和应该是一百八，那另一组对角的和也应该是什么样？ 也应该是一百八，所以应该是互补的啊。那第三个呢？说下列图形中哪些具有稳定性？那我们知道应该是三角形具有稳定性，而四边形、一边形它不具有稳定性，所以这里面不能包含什么四边形。那 第一个他是有两个三角形组成的，所以他具有稳定性。那第二个，两个都是四边形，那他是肯定不具有稳定性了。第三个呢，上面是一个三角形，下面是四边形，上面稳定了，下面不稳定，所以他也不行。 那第四个，一二三这三个小图形是不都是三角形，所以它具有稳定性。那么第五个肯定不行。左右这两个都是四边形，它是具不具有稳定性的，所以具有稳定性的啊，就是一和四具有稳定性。

恭喜你，数学又要进步了，听完这道题，数学多拿六分！好，今天呢，我们一起来看一道求三角形面积的问题， 这也是一个矩形的折叠问题，那矩形呢，是在我们八年级下册，折叠和平形四边形相结合，是我们中学数学当中经常考的一种高频题型。因为是矩形，所以呢，我们能够得到 ab 等于 cd 啊，又因为折叠，我们是不是能够得到 c 撇 d 也等于 c、 d 啊？这三条线段呢，都等于四，还能够得到 bc 撇和 ad 和三角形 a、 b、 e 和三角形 c 撇 d、 e 这两个三角形是不是全等三角形啊？那为什么呢？因为这里有一对对零角， a 和角 c 撇相等，那还有 a、 b 和 c、 p、 d 相等，是不是通过角角边能够判定这两个三角形全等？两个三角形全等了，我们是不是能够得到对应边相等？那这样呢，我们就能够得到 a， e 等于 c， p、 e， 那 b， e 等于 d， e？ 好，我们不妨呢设 a， e 等于 c 撇， e 等于 x， 那 b， e 等于 d， e 是 不是就等于八减 x？ 好， 现在我们再来看啊，在 r、 t 三角形 a、 b、 e 中，那是不是能够得到 a、 b 平方加上 a、 e 平方等于 b、 e 平方啊？也就是四的平方加上 x 平方等于 八减 x 括号的平方。那我们通过括号括号呢来解方程就可以了。能够得到三角形 b、 d、 e 的 面积等于大三角形 a、 b、 d 的 面积，减去三角形 a、 b、 e 的 面积， 二分之一乘以八乘以四 a、 b、 e 的 面积。刚才我们求出来了一条边，二分之一乘以 a、 b， a、 b 是 四，再乘以 a， e 是 三，这样呢，我们就很容易求出来三角形 b， d， e 的 面积等于十。好，喜欢的朋友关注点赞也可以在评论区交流讨论。

继续做还是 t、 o 十四，这回第四题，他说在菱形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四，就四条边都等于 b 的 菱形呗。角为一点二，那角 b 就是 六十呗。 因为六十度好用一点，所以重点关注这个六十度的角， 顺次连接这个菱形 a、 b、 c、 d 各边的中点，这些都是中点。 e、 f、 g、 h。 然后他问你连完之后，四边形 e、 f、 g、 h 的 周长是多少？ 那你看一下呗。 ab 是 四，那 bc 也是四，有个六十度，那你就把 ac 连上呗。 就说把 b、 d 也连上吧，有用没用，先连上 交点为 o 呗。 你看这个 a、 c， 它是一个六十度的等边，那就是一个等幺。六十度等幺就是等边，那 a、 c 就是 四， 那 o、 c 就是 二， o、 a 也是二。 e、 f 中点中点嘛，是 a、 c 的 一半，那就 e、 f 也等于二。 然后你看 b、 d 这条边，这款是二，这款是四。在这个直角三角形里头， o、 c、 d 里头一条直角边是二，斜边是四，一、二根号三，那就是 o、 d 就 等于 二倍的根号三，对吧？ o、 d 就 等于 o、 d 等于二倍根号三， b、 d 就是 四倍根号三，那 f、 g 就是 它的一半的终点，终点它是 b、 d 的 中位线呗。再来用 c、 b、 d 的 一条底边的中位线， 那他就剩 f、 g 就 等于二倍的光三倍，那你算吧。菱形中点连出的图形是矩形，对吧？ 这个你可以回去找本书，或者榜上有很多好正。它平行于 b、 d， 它平行于 c、 h、 g 平行于 c。 这两条对角线 a、 c、 b、 d 是 垂直的这块直角，这块直角，这块直角，这块死角是个矩形。至于矩形里的这个一条相邻的两条边，知道了， 一个是二，一个二倍根号三，把他俩的合成二，就是四加四倍根号三了，这就转完了。

我们来看一道关于折叠等腰 这样一个分类讨论的问题，这个题目呢，经常在考试中，数学上处在十五题的位置，属于整个试卷最难的一道题目了，所以同学们在做的时候呢，可以放到后边再写，我们来看一下它的思路。第一，折叠呢，只要有定点的折叠的话， 我们想到它的折叠方式，其实是这个动点，是以定点为圆心，以定长为半径的一个圆上运动。那这个折叠我们看一下， d a 的 长始终不变，直到 d m， 这也是不变的，所以 m 的 落点呢，它就是以 d 为圆心，以 d a 长为半径的这么一个圆上，大家可以拿圆规呢，把这个运动轨迹给它画出来， 这是 m 的 位置。第二个是等腰分析，等腰分析呢，大家一定要分三种情况来分析，因为对于这个梯状形 bcm 呢，我们知道它有三边，分别是 bcm 和 cm， 三种情况，分别是任意挑两边相等，我们再逐一去观察排除就可以了， 这样能做到不重不漏。那下面是分类讨论，也就是对这个等腰进行分类的。再看第二个要求， bcm， 如果是等腰三角形的话，我们看到等腰三角形，其实也要想到的是分析这个动点 m， 它满足的条件叫两圆一线， 两圆一线找等腰， bc 是 固定点，当 bc 等于 bm 的 时候，其实是以 b 为圆心， bc 成为半径，就这么一个圆 啊，你可以让圆规把它画好，做成一个圆。我们发现这个圆呢，和刚才咱们做的以 d 为圆心， d 成为半径的圆呢，没有交点，所以 b c 等于 b， m 在 此题中是不成立的，又舍弃了 第二个， b c 等于 c m， 我 们是以 c 为圆心，以 b c 成为半径去做这么一个圆，根据数据我们可以知道这是六，这是三，恰好在这里是相交了，所以这个是成立的。但是呢，这个 m 只能在 d c 的 终点的位置， 那我们找到 m 的 位置，去找折痕 p 的 时候啊，折点 p 的 时候，我们发现可以做这个角， d a d m 的 角平分线，也就是一个九十度，一半四十五度，所以它得到的是四边形 d a p m 此时是一个正方形 p， 在 这里 类似我们平时折折正方形的这样一个方式，所以此时的 a p 呢，它就等于边长三，那 b p 呢，也就是三了。好，这是一个答案， b p 长等于三， 那看第二种情况，已经搞定了。第三种， b m 等于 c m， 那 说明 m 呢，是在 bc 的 垂直平分线上，这就是刚才我说的两元一线，两元指的是以定点为圆心的两个圆，分别是 bc 是 吧？以 bc 上我赶紧作圆找两目情况，一线呢，指的是 bc 的 垂直平分线， 那既然是垂直平分线，大家想一想啊，它垂直平分 bc 肯定也垂直平分 da 了。那么回到这里，那就分析此时 这个 am 就 在这个位置， am 和 dm 肯定是相等的了，因为垂直平分线的点到两端的距离相等，它等于 d a， 因为 dm 和 d a 呢，是反折过去的，所以能得到一个等边三角形， a， dm 是 等边，那接着推出来角 a dm， 它是等于六十度啊， 有三十度我们就知道了，角 adm， 它就是三十度啊，有三十度，我们再求 a p 的 长， 初二同学呢，可以设 a p 是 x， 这里是二 x 勾股定律列出方程求出 a p 的 长是根号三，那 a p 的 长是根号三，那 p b 的 长呢？就是六减根号三 啊。整个题目呢，我们看一下分析还是需要大家储备更多的知识的折叠，咱们要注意它是定点定长的，一个圆分析的当幺注意分三种情况来讨论，然后讨论时呢，利用了两元一线的思想来确定了各个点的位置。

每天一个学校不教但考试必考的知识点，同学们，你们是不是还在被四边形折叠问题虐到崩溃？折叠一次找不到对应边，再折叠一次讲究乱套，其实折叠问题根本不是考空间想象力，它其实就考一个技巧。 今天这条视频把四边形折叠的核心套路一次性讲透，看完你再遇到折叠问题直接秒杀。好了，我们来看一下这个问题。首先我跟大家讲结论吧，就是但凡你看到四边形的方折问题，你只要抓住这一个技巧就行了，第一个抓不变量， 第二个我们往往要配套使用勾股定律。 好， ok， 那 我们来看这个题目，他说在矩形 a、 b、 c、 d 中啊，这个 a、 b 呢等于六， b、 c 呢等于十， 然后还说什么将矩形沿着 a、 e 折叠，然后得点落在了 f 点，它让你求这个什么，它让你求 c 的 长， ok， 第一个我们抓不变量翻折问题，其实它本质是一个什么呢？是一个轴对称加全等啊。朋友们，你看一下， 他把这个 a、 b、 c、 d 沿着 a、 e 翻折，那么也就说 a、 d、 e 啊，沿着 a、 e 翻折过来之后， a、 d、 e 变成 af 一 了， 对不对？那这里面就有很多的不变量，这个不变量体现两个方面，一个是什么边不变，一个呢是角不变，所以你看一下哪些边不变，哪些角不变呢？来，你看，比如说这个 d、 e 和这个什么 af 呢？是相等的，对吧？然后呢，这个 a 一 公边，那不用讲了， 这里面还有角不变，比如说这个角和这个角相等，这个角和这个角相等，对吧？然后还有什么，这个是九十度，这个也应该是什么九十度，所以翻折问题啊，其实它的本质你要抓不变量，它其实是一个什么是一个轴对称加全等啊？不 变体现两个方面，一个是边不变，一个呢是角不变啊。 ok， 那 第二个，我，如果这种题目稍微出的难一点的话，我们往往还要使用勾股定力来看这个题，你看啊， 他用求的是 c 一 吧。那同学们，你看一下这个题目，你还能求出哪些旋转长度吗？好像不可以了，对不对？那所以这个地方呢，我们就可以考虑去设个位数，比如说我设 c 一 是 x， 那 么 c 一 是 x 的 话，那么得一是多少？得一是应该是六减 x， 那 么得一六减 x 的 话，那么 e、 f 是 不是也就变成了六减 x， 对 吧？好， ok， 再来，同学们，你看这个 b、 c 等于十，那么 a 的 是不是也等于十呀？ a 的 一翻过来，实际上就变成了 a、 f， 所以 a、 f 呢？也等于十，对吧？那么再把目光放到 a、 b、 f 这个三角形来看，这条边是六，这条边是十，那么很明显这条边就应该什么是八六八十吗？ 那么所以这里边是八的话，总共是十，所以它就应该是等于二，对吧？那么所以就可以在 e、 f、 c 这里面使用什么勾股定义来构造一个关于 x 的 方程吧。 那么就出现了二的平方加上 x 平方等于六减 x 的 平方嘛。那么所以就四加上 x 平方，等于 x 平方减去了 一十二 x， 再加上呢三十六，把 x 方给它约掉一十二 x 挪过去就是一十二 x， 等于呢三十六减四，就应该是三十二，所以 x 就 应该等于什么？一十二分之呢？三十二分子母约个几啊？约个四，那么底下就应该等于三，上面呢？呃，四八三十二，所以最后求出来四一就应该多少 欸，等于三分之八搞定啊！好了，四面形方格问题的核心规律和解题技巧就给大家讲完了，是不是觉得这类题目特别简单呀， 赶紧把抓不变量加勾股定律这句话打在评论区，加深印象。觉得这些内容有用的同学一定要点赞和收藏，不然刷着刷着就找不到了。下期咱们继续攻克初中高频考点模型，关注我，初中数学轻松拿高分！

四边形折叠问题是八下重难点，考试常考还容易丢分，今天我带大家掌握答题技巧，以后遇到这类题不再丢分。如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中，边长的为二， 直线 l 呢？分别啊，与这个 a、 d、 b、 c 啊，交于点 m、 n， 然后呢？ ab， 关于直线 l 的 对称点呢？分别为 a 撇、 b， 那 这个就是对称。旭哥说了，对称就是折叠，折叠就是对称，那比如说对称点，这是折痕啊，折痕垂直平分， a、 a 撇，然 然后呢，也垂直平分，这个 b、 b 撇，如果连上的话，有时候这里是垂直的，然后呢？这个 pa 啊，等于这个 pa 撇了。那第一问，当点 a 呢，是 c、 d 的 终点时， m、 n 的 长是多少啊？当它的是终点时， m、 n 的 长为多少？ 那这个时候呢，我们要去思考一件事，还是那句话，平行啊，因为它是矩形的折，它是正方形中的折叠，也一定会存在着什么呢？大量的平行。 大家要明白一件事啊，它这个里面，这道题里面也存在着大量的平行，也可以去转移角 啊，也可以去转移角，根据对称性也有很多相等的对应角。这道题难就难在这了。那首先我们来看第一问点，当 a 撇呢，是 c、 d 的 中点时， m、 n 的 长为多少？ a 撇是 c、 d 的 终点，那也就是说，因为他整个的边长为二，那他是一，他是一呗。 a 撇落在了这里，他问我 m、 n 的 差， 那兄弟们，亲爱的兄弟姐妹们，这道题有很多种方法啊，来，你看旭哥说的这个方法，这是一个什么模型？亲爱的朋友们，什么模型？十字交叉模型， 这是不是一个十字交叉模型啊，亲爱的朋友们，那所以说，其实这道题如果给我个填空题口算，我能知道 m n 就是 等于 a 一 撇，这是二，这是一根号五口算结束。 如果你学过的吧，这道题就是一个口算题。十字交叉模型叫十字架也行是吧？垂直是吧？垂直必相等，相等必垂直这个东西我认为你都应该学过，叫十字架，叫十字交叉无所谓啊，你要明白他怎么回事就行。那怎么去证明呢？ 来怎么去证明啊？有两种方法可以证明。旭哥说了，十字交叉模型有两种方法，第一种方法往两边做垂直，第二种方法平移。 我比较喜欢用平移，将直线 l 沿 a d 方向平移，使点 m 与点 d 重合，与 b c 交于点一撇，即 d e d 一 撇等于 m n 啊，即 d 一 撇等于 m n。 我 所有的过程我都会，不，我都不会给你写 啊，我所有的题都不会跟你去写，但是我认为平移我有必要跟你去写啊。如果你们你们老师说不能用平移，那中考能用，那你要听你们老师的，你就做垂直是吧。你们老师说了不能用平移，那你就做垂直。 旭哥告诉你了，可以用平移啊，标准答案里面也一定会给平移这一种，如果你们老师认为平移算错，那你就做垂直，你就别用平移了啊，你就做垂直。那么现在我求 m n 的 长就转换成了求第一撇，那第一撇的长怎么去求呢啊？第一撇的长怎么去求？那么下边的过程我就不给你写了，下边怎么办呢？对应角吧，比如说角一加上角二等于九十度 啊，因为这也是垂直吧，角二加角三得九十度，所以说这个这两个角相等啊，这两个角相等，然后呢？这是公共边，然后呢？这是九十度，这是九十度。所以说我们可以知道三角形 a a 撇 d， 它是全等于三角形 d e 撇 c 的 啊，角边角，那所以我们可以说 d 一 撇，它是等于 a， a 撇是等于根号下二方加一方的是等于根号五的。做垂直也行啊，你不平移说学狗不平移啊，不平移也行，不平移你做垂直呗，不平移你做垂直一样能证明出它们两个全等，是吧？依然能够求出来 啊，依然能够出来，不影响最后的结果啊，最后结果是唯一的，你做垂直和平移都是可取的啊。这个第一问比较简单，来，我们来看第二问，第二问，他说什么呢？他说连接 a 撇 b 啊，连接 a 撇 b， 连接 a 撇 b， 他 说连接啊，不好意思啊，连接 a 撇 b 撇。我这什么什么眼神？连接 a 撇 b 撇， 交 b c 一 点 e。 连接 a， a 撇啊，交 m n 一 点 p， 连接 a e， 好， 连接 a e。 求证。角 a 撇 a e 等于四十五度。兄弟们，你这道题读到这，你想到了一个什么样的模型呢？ 这道题你有没有什么一个感觉？你想到了一个什么模型？这个角是四十五度，他说证明他是四十五度，就说他一他俩连上之后他就是四十五，这是个九十度，他们俩相等，你想到一个什么？非常好。子涵同学，不错啊。徐子涵，可以啊，可以可以。你想到了一个什么模型？绊脚模型， 嘿嘿，想到了一个绊脚模型，对吧？因为这个大脚是九十度，这个是四十五度，并且大脚两边相等，其实我想到了绊脚，那对于绊脚模型来说，我常用的解析思路是什么呢？兄弟们，对于绊脚模型来说，我常用的解析思路是什么？ 比如说现在，我假设啊，他就是四十五度。我们现在的解析思路是什么？旋转非常好，看见半角模型必想旋转，我可以把这个三角形 a、 a、 d 撇旋转到这里，对吧？然后呢，就能够证明出这两个三角形全等，对吧？旋转过来 a、 a 撇，他俩是旋转过的，然后这是公共边，比如说他是四十五，那角一加角二的四十五， 这个也是角一，他俩也是四十五，好边角边他们两个全等，这是在理想状态下的半角模型中。哎，他确实是这样去思考的，但是这道题，亲爱的兄弟姐妹们， 他让我证明他是四十五度，对吧？他还用不了绊脚模型，但是圈二可以用，圈二可以用啊，如果你圈一证明出来他是四十五度了，那圈二可以证明，根据绊脚模型能够证明出来，对吧？我把它旋转过来，这两个三角形全的，那这个时候我们该怎么办呢？我要证明出他是四十五度，那这道题有点难，方法有很多， 那你看旭哥是怎么想？那其实对于这道题来说，截止到目前，我认为感觉到我，我会，我现在感觉他很难，我为什么感觉他很难？因为我现在无从下手，我不知道该怎么去思考，我不知道该怎么去思考。能证明出他是四十五度，那题干中还有什么条件是我们没有用的吗？其实没有了，这个一呢和一都是上道题给用的，这也这道题用不了， 我这道题没有任何的东西可以去使用，那这个时候当我无路可走的时候，我脑子里其实还有两个字叫做折叠对称。你记不记得旭跟你讲的思路？我说一定要把对应边对应角标记出来，矩形中多平行，务必要转移。 所以说当我拿到这道题扩二圈一的时候，当我无路可走的时候，我现在内心只有一个想法，我能不能 通过平行去转移角度？我能不能去标记一些相等的角，对吧？那比如说最简单的这两个角相等，对吧？ m a 等于 m a 撇，这是最简单的，比如这个 ab 等于 a 撇， b 撇等于二，但是它跟这个角没有什么太多的一个关联， 那跟它有关联的角是谁啊？比如说角 b a b 撇跟它有关联，角 b a、 b 撇可有什么？由折叠可知？由对称性可知也行，你就写由对称性可知，因为这道题题干中给的是对称，那就说由对称性可知。这个角 b a a 撇，它等于谁啊？它是不是等于这个角啊？ 等于角 b 撇 a 撇 a， 对 吧？它们两个是对应角，这个没问题吧？ a 跟 a 是 对应点， a 跟 a 撇是对应点， b 和 b 撇是对应点，所以说 b a a 撇 b 撇 a 撇 a， 它们两个这形成的角就是对应角，那还有什么呢？还因为平行，因为 ab 平行于 c d， 那 所以这个角 b a a 撇，它还等于谁啊？ 它还等于这个角 d a 撇 a。 所以 说旭哥是不是提醒你了，我说对于折叠问题，对应边对应角一定要标记多平行，务必要转移，对不对？你就看有哪条线是吧？它是连接对应，对应边对边的，那这样我咔嚓就转移出来了，我咔嚓就转移出这两个角等，所以我们可以知道角 a a 撇， b 撇 等于角 a a 撇 d， 那 这两个角相等之后有什么用呢？ p 呢？是他，也不是 p， 是 对角线，这就出来一个对角线，对角线，兄弟们想什么呀？对角线想什么？想对角线的性质，对角线的性质是角对角平分线上的点到角两边的距离相等， 并且我可以发现点及这个 a 啊，他正好是这个角平分线上的一点，并且这个点 a 呢，他正好往其中的一边做了一个垂直，对吧？我们这么说，这是角平分线， a 正好是角平分线上的一点，并且往这个边上做了垂直。 那我接下来脑瓜子里边二话不说，我咔嚓就是往另一边上也做一个垂直，做 a h 垂直于 a 撇， b 撇 交 a 撇， b 撇于点 h， 所以 我们可以说 a h 等于 ad 等于二角平分线的性质垂直于你。其实在这我这简略啊，在这写一步，因为啊，你在这可以拖一步啊， 因为 ad 垂直于 d a 撇啊， d a 撇，所以 a h 等于 ad 等于二。直接用角平分线上点到角两边的距离相等， 那他俩相等，这还是公共边。又因为 a a 撇等于 a a 撇，那你就不用说了，你就直接说他是二就行。那现在我们就可以知道什么呢？其实这两个三角形全等，那 a h 是 等于正方形的边的，那他也等于这个 ab， 你 看这边也是垂直，这个也是垂直，然后呢？这个还是公共边，说明他们两个，所以说我们可以得到什么呢？旭哥，就跳跳几步啊，标准答案，旭哥下课之后给你啊。所以说我们得到了三角形 a a 撇 h。 三角形 a h e 全等于三角形 a b e， 没问题吧？ a b e。 那 所以说他们两组全等之后，须在这标记个，比如在这标记个角一，在这标记个角二， 因为他们两个全等，所以角一等于角二。因为这两个全等，所以角三等于角四。那么我们可以说，因为角一加角二加角三加角四等于多少度？等于九十度，对吧？等于九十度，所以二倍的角二加上二倍的角四等于九十度， 所以角二加角四等于多少度啊？所以角二加角四等于四十五度。那所以我们可以说角 e a a 撇等于四十，朋友们可不可以？所以说这道题应用到了什么呢？应用到了角垂线的性质，就像旭哥之前就说，我说八上你三角形学的好，三角形中模型运用的六，你到了八下学四边形你不会太长。你说这道题核心本质，我放到八上考，你是不是也一样？兄弟， 这道题旭哥不在八下考你，他这道题其实是南京鼓楼区八下的期末考试压轴题啊，但是我就想这道题我放八上考你，你一样得给我做出来， 因为这道题它跟四边形有关系吗？有，但是关系没那么大，你八上的时候你也知道正方形四个边相等，四个角九十度，对吧？这道题放八上考一样可以，也可以当做八上的压轴题。 我们再来捋一下这道题怎么个处理方式？根据折叠对称性可以知道这两个叉点相等，根据平行可以知道这两个叉点两直线平行，那个点相等。那我就找到了 a， a 撇是角 就平分线，那 a 呢？是角平分线的一点，往角平分线上做垂直了。好，那他应该也往这边上做一个垂直。好，那他们两个就是相等的角平分线的性质，那他们两个相等，那我就可以知道 a、 h 跟 ab 也相等，那根据斜边直角边这两个三角形全等，这两个三角形全等，那知道角一等于角二，角三等于角四， 那因为他们四个和为九十，那其中的两个和呢？就是四十五了。来，我们来看这个，来看这个圈二。已知三角形 a 撇 c、 e 的 面积呢？为根号二。 兄弟们整理一下，来，整理一下，没截图，截个图，截完图了，咱们下一道题啊，五四三二一。好，截完图了， 来，截完图，我们来看圈二。对于圈二来说，旭哥，告诉你，我又要讲一个颠覆你认知的一个方法，我又要讲一个你不会思考到的一个方法啊。旭哥来给你讲一个，给大家讲这个方法，他说呢，已知三角形 a 撇 c、 e 的 面积啊，为根号二， 求 a 撇一的长。我说过一万遍，当你做到最后一道题，最后一个问不会的时候，大脑瓜子不知道该怎么去思考。流泪哭泣的时候，兄弟回头看一眼，回头看一眼圈一，回头看一眼括号一，没有无缘无故的括号一，也没有无缘无故的上一个问， 那这道题我们该怎么去思考？它的面积是根号二，求 a 撇一的长，那我的括号圈一不是白求的， 当我求出来这个角是四十五度，那现在我已经知道了，它完全符合什么呢？它完全符合 半角模型， ab 等于 ad， 并且 ab 角 b， ad 等于九十度。 a， e、 a 撇夹的角是等于四十五度，大角包小角，大角两边相等。那面对这样的问题，我们的处理方式是什么？旋转啊？旋转，怎么个旋转法？或者用延长也行啊？说虚狗不用旋转，用延长行，不用圆延长也一样，没毛病啊，都是一样的逻辑， 我延长 c、 b 到点，嗯， f 没用吧？到点 f 延长 c， b， 到点 f， 使得 b、 f 等于 a 撇 d， 那 所以我们就可以知道三角形 a、 b、 f 全等于三角形 a、 d， a 撇，那所以我们就可以知道 a、 f 等于谁啊？ a、 f 等于 a。 说旭哥，你为什么不用旋转呢？用旋转也可以。如果我把三角形 a、 d、 a 撇顺时针旋转九十度到达 a、 b、 f， 那 这个时候也是可以的。那么你得说一下，因为角 a、 d， a、 b， a 撇等于 a、 b， 你 叫 f 啊，比如说 a、 b、 f 等于九十度， a， b、 c 等于九十度。你得说一下 f、 b、 c 三点共线。就是说，如果你写步骤的时候用的是旋转，那么你得说一下这三个点，三点共线，你怎么说他们三点共线，你就说他是九十度，他是九十度。所以说，哎，他们三个点在同一条直线上，怎么都可以。 好，那接下来我们怎么去处理呢？我在这还是标记，标记一啊，标记二，标记三。那根据全等可以知道啊，角一等于角三，对吧？我构造的全等角一等于角三， 那么我们说因为角一加上角二等于四十五度，那所以我们可以说角二加上角三也等于四十五度，对吧？因为这大角是九十嘛。啊？他加他是四十五，那所以说他加他也是四十五，转移过来嘛？那所以我们进而就可以推出来三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 e、 a 撇 边，角边，对吧？ a、 f 等于 a 一 撇，这呢对吧？然后呢角二加角三等于四十五，四十五度公共边，它们两个全等， 那所以以前我们根据全等得到的都是对应边等、对应角等。但是这道题是和面积有关的，那所以我就知道了，三角形 a、 e、 a 撇的面积是等于三角形 a、 e、 f 的 面积， 那 a、 e、 f 的 面积又等于什么呢？这个大家伙的面积等于什么呀？它是不是等于三角形 a、 b、 f 加 a、 b、 e 的 面积？那 a、 b、 f 的 面积是怎么来的呢？它是这样，它俩全等，是吧？你可以理解它是旋转过来的，或者它俩是全等，那所以说 a、 e、 f 的 面积就等于三角形 a、 b、 e 的 面积， 加上三角形 a、 a 撇 d 的 面积，也就是说它的面积是等于它俩面积之和。因为它们两个构造出来的这个三角形 a、 e、 f 和 a、 e、 a 撇它们两个全等， 所以说他们两个面积。你看这两个大家伙面积全等，面积相等，是吧？那他加他的面积等于这个大家伙的面，那他和他的，那他是由他旋转过来的，或者他俩是全等的，所以说他俩面积相等，那也就是说这两个东西相知面积之合等于这个大家伙 啊，等于这个大角没有那么绕啊。那所以说，旭哥你搞它干嘛呀？啊？我搞它干嘛呀？我搞它很简单啊，我搞它很简单。来看好了这道题，我知道大正方形的边长是二，我知道大正方形的面积就是四， 然后呢？这个小家伙的面积是根号二，你别忘了，刚才我们在做圈一的时候，我们做了一个垂直是 h， 那么我们能知道什么？正方形的面积二乘二得四，等于右下角它的面积。根号二加上谁啊？因为 a、 b、 e 的 面积加上 a、 d， a 撇的面积是等于中间这个面积的， 对吧？它俩之合等于中间，所以说它们三个之合，是吧？你看它们两个之合是等于中间这个面积，所以说它们三个之合。两圈加一个叉，不就等于两个叉吗？加上二倍的三角形 a、 e、 a 撇的面积， 对吧？因为 a、 e、 a 撇的面积等于 a、 b、 e 加上 a、 d、 a 撇，所以它原本是这样的。我还是给你拖一步，我怕你听不明白， 你没提前做，有很多人没提前做，所以说跟不上它。原本这个大正方形的面积等于这个根号二，然后呢？加上这个 a、 e、 a 撇，然后再加上这个 a、 b、 e， 然后呢？再加上这个三角形 a、 a 撇 d。 好，那它就等于什么？四根号二？因为 a、 b、 e 加上 a、 a 撇 d， 就 等于 a， a 撇 e， 所以 说就是变成了二倍的三角形 a、 e， a 撇， 那所以说三角形 a、 e、 a 撇的面积等于多少啊？就等于四，减去根号二，再除以二， 对吧？四减去根号二，再除以二，那它要求谁啊？它要求 a 撇 e 的 长，那它的面积还等于什么呢？它的面积还等于二分之一，底乘高 a e a 撇的面积二分之一，底乘高，对吧？底乘高，那底是谁啊？底是 a e， a 撇 e， 对 吧？底是 a 撇 e， 然后呢？再乘以高，高是谁啊？高是 a h， 我 们从圈一的时候就知道了。 a h 等于谁？ a h 等于 a d， 对 吧？角平分线上的点嘛？角平分线上点到角两边的距离相等嘛？等于正，它就等于 a d， a h 等于 a d， a d 等于几？等于二。因为正正方形边长为二，对吧？所以说就等于二， a 撇一乘二。那所以说我们解这个方程组就可以，我们用的是等面积思想， 我们用的是等面积思想。 a a 撇 e 的 面积等于大正方形的面积，减去它，减去它，再减去它。 那由于它俩之合呢？等于 a a 撇 e， 所以 说呢， a a 撇 e 的 面积可以理解为大正方形的面积，减去二倍的，它再减根号二，那整理一下就是二分之四减根号二，那它的面积还可以理解为是底乘高二分之一底乘高。底是 a 撇 e 带求的值高呢？是已知的啊，是二。 那整理一下就可以知道， a 撇 e 等于二分之四，减根号二。是不是比标准答案要简单？你可以去网上搜标准答案，它应该没有我这种方法去更巧妙，应该没有我这方法更简单。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级上册。呃，下册数学啊，第六十五页练习。 嗯，这页练习呢，主要学的是三角形中位线。那么三角什么叫做三角形中位线呢？就是连接三角形两边中点的线段，叫做三角形中位线。 那你说 d 是 a、 b 中点， e 是 a、 c 中点，那么 d， e 就是 三角形 a、 b、 c 的 中位线。那中位线有什么性质呢？这里了，他说啊，中位线定里啊， 三角形的中微线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，那什么叫第三边呢？你比如说我的三角形 a、 b、 c， d 呢？是 ab 终点， e 是 ac 终点，那么 第三边在哪？第三边就是这啊，你看 d 是 它边中点， e 是 a、 c 中点，那这个就是第三边啊。所以呢， d、 e 有 一个位置关系，是平行于 b、 c 的， 然后还有一个数量关系，就是 d、 e 等于二分之一 b、 c， 这就是一个位置关系，一个数量关系。那我们看一下这个题型啊。第一小题说如图，在三角形 a、 b、 c 中， d 还有 e、 f 分 别为 abbc 和 ca 的 中点，然后以这些点 为顶点，在途中你能画出多少个平行四边形？那么为什么他们是平行四边形？来，咱们来写那个连一下线啊，连接 d， f， e， f 还有 d、 e。 那么图中的平行四边形都有谁呢？一个是 a， d， e、 f 啊，我们在这写第一题，能画出几个？能画出 三个平行四边形， 那他们都是哪些呢？第一个，平行四边形 a， d、 e、 f， 第二个这啊，在这呢， d， b， e、 f， d， b， e、 f， 然后还有一个平行四边形是 d、 e、 c、 f， 那为什么他们是平行四边形？来我呢，给证明过程写一下啊。嗯，理由， 这个理由用什么？用中位线啊？因为这个三角形里有中点，所以呢，我们要考虑到中位线，那我们就可以说，因为你的 d， 嗯， f 分别是 a、 b、 a、 c 的 中点，然后所以 d、 f 会平行于 bc， 然后又因为你的 e、 f 分 别为 a、 c， 呃， e 是 bc 得按顺序啊。 a、 c 的 中点， 所以呢， e、 f 会平行于 ab， 那 你看啊，这和这平行，这和这平行，你是不能得出啊，一组一个平行四边形了 啊。所以你的四边形 d， b、 e、 f 是 平行四边形 啊，然后你看啊，这和这平行，这和这平行，对吧？那么我们再说，因为，呃，这是 d、 f， 这是 e、 f， 那 就是 d 和 e 呗。 d， e 啊，分别是 a、 b 和 b、 c 中点，所以呢， d、 e 会平行于 a、 c， 然后因为你的 d、 f 会平行于 b、 c， 然后你的 d、 f 会平行于 b、 c。 啊，不对，写过了这个啊，这和这平行 还有一个 d、 e 平行于 a、 c， 这和这平行 d、 e 平行于 a、 c， 再加 d f 平行于它，那把这个先划掉啊。所以呢，我的 d、 e、 c、 f 是 平行四边形， 然后又因为 d、 e 平行于 a、 c， 然后 e、 f 会平行于 ab， 所以 四边形 a， d、 e、 f 呀，不加顿点啊，是平行四边形。 用到的都是什么呢？用到的是两组对边分别平行的四边形是平行四边形 啊，那这里面其实呢，你也可以用 e 组对边平行且相等啊。你看 df 平行于 bc， 并且等于 bc 的 一半，那你说 df 跟跟 b、 e 是 不是相等， 同时也会跟 ec 相等？那我就一招啊，一起就能证明这两个三四边形是平行四边形，对吧？然后这边也是同理啊， 可以用一组对边平行且相等，我这里用到的都是一两呃，两组对边分别平行啊。那么我们来看第二题， 说如图，三角形 a， abc 的 中线，中线啊，什么叫中线呢？就是一边中点与相对的顶点所连线段啊，叫中线， 那他呢？啊，得到的是 a， d 等于 c， d 啊，那 c， e 呢，也是终点，他俩呢，交于点 o 啊，说 f 和 g 啊，分别是 ob 和 oc 的 终点， ob 和 oc 的 终点。然后让我们求证 这个 d， e， f， g， 它是一个平行四边形，那这个里边呢，我们可以用什么方法来证呢？那你想平行四边形的判定定律啊，有五条 啊啊，叫两组对边分别平行，两组对边分别相等，那一组对边平行且相等，两组对角分别相等，还有对角线互相平分，是吧？那么这个题呢，在我们学的这个新知识点中，微线的这个课时里，所以我们尽量用什么 用到中位线，尽量要用到中位线啊，运用新知识点来解决。那么下面呢，我来写一下过程啊，可以怎么写呢？首先你看，因为你的 b， d 和 c， e 是 中线，所以呢，你的 d 和 e 不 中点吗？ 那你的 d， e 呢，就是三角形 abc 的 中位线，那它呢，平行于 bc， 并且等于 bc 的 一半 啊，平行于 bc， 并且等于 bc 一 半。然后你的 f 和 g 呢，又是 ob 和 oc 的 中点，所以呢，你的 f， g 是 ob 的 中位线， 那么也就是 f g 能平行于 bc， 并且等于 bc 一 半。那你看，两条直线都与第三条直线平行，那这两直线是不是也互相平行？ 那还有呢？就是啊，这两直线都等于 bc 的 一半，所以呢，这两直线是不是也平行啊，也相等，这两个线段也相等，所以我可以用到一组对边平行且相等的四边形。是平行四边形啊，嗯，那他还可以用什么呢？你比如说我连成这 连接这之后呢，我可以得到你的 d g 平行且相等于 a f a o 的 一半，平行于 a o， 并且等于 a o 一 半。那 e f 呢，也是平行于 a o， 并且等于 a o 的 一半。那我可以用这组对边平行且相等 啊，也能够判定它是平行四边形。所以说我之前说的第一种方法呢，是不需要做辅助线的啊，这个辅助线可以先去掉，那我们来写一下过程啊，写在这边。第二题证明， 因为你的 b、 d 和 c， e 是 三角形 a， b、 c 的 中微线的中线， 所以呢，你的 e 还有 d 分 别是 e 是 ab 中点， d 是 ac 中点，然后所以你的 d e 平行于 bc， 然后 d e 又等于二分之一 bc 啊，然后又因为你的 f 和 g 分 别是 ob 和 oc 的 中点， 所以呢，你的 f g， 那 么平行于 b c， 然后 f g 又等于二分之一 b c， 所以 你的 d e 会平行于 f g， 你 的 d e 会等于 f g， 那这样一组对边平行且相等，所以呢，你的四边形 d e， f g 是 平行四边形 啊，这就是啊，不做辅助线的方法啊。然后你的第三题，他说 如图， a 和 b 啊，两点被池塘给隔开了，说在 a b 外啊，选一点 c 连接 a c 和 b c， 然后怎样利用中微三角形中微线段里来测出 a、 b 两点间的距离， 那你说这题在中卫线这一课时里，那肯定是用中卫线，对不对啊？你看人家说利用中卫线定律是不是？那我们的方法就是那取两边中点呗，对不对？来第三题。方法啊， 取 a， c 和 b， c 的 中点 d 和 e 啊，取中点 d 和 e， 这个是 d， 这个边的是 e， 然后连接 d， e 连接 d， e。 根据三角形中位线定里， 三角形中位线平行于 三角形的第三边，并且等于 第三边的一半。嗯，所以我就可以知道了，你的 d、 e 会平行于 a、 b， 然后呢，并且 d， e 会等于二分之一 ab 啊，因此可以啊，测出 d， e 的 长再乘二， 求 ab 两点间的距离 啊。这就是第三题。

同学们，矩形折叠问题是特殊平行四边形章节的必考题型，今天用一道例题带你吃透。首先，记牢折叠的核心性 质，即折叠前后对应边相等，对应角相等。简单来说就是折叠产生的图形与折叠前全等，这是咱们解析的重点突破口。来看例题，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于六， b、 c 等于八。 将矩形沿 a、 e 进行折叠，点 b 恰好落在对角线 a、 c 上的点 f 处，求 b、 e 的 长度。 第一步，叫标已知条件，矩形 a、 b 等于六， b、 c 等于八，角 b 等于九十度。那么根据折叠的性质， a、 f 就 会等于折叠前的 a、 b 也等于六， b、 e 与 f、 e 相等，角 a、 f、 e 等于角， b 等于九十度，所以角 e、 f、 c 也等于九十度。 第二步，逆向理清逻辑链条，由折叠可知我们 b、 e 与 f、 e 等长， 那 f、 e 呢？又是直角三角形 e、 f、 c 的 一边，那么我们的思路就是在直角三角形 e、 f、 c 中求出 f、 e 的 长度，进而就会得到 b、 e 的 长度。 第三步，算出目标直角三角形的一边之长。先在 r、 t 三角形 abc 中求出 ac， 我们有六、八，根据我们勾股数三、四、五，那么 a、 c 长为十，所以 f、 c 的 长度就等于 a、 c 减去 a f 十减六等于四。 第四步，设未知数，用勾股定律求解，我们设所求 b， e 为 x， 则 f、 e 与它相等也等于 x， 那 我们的 c e 等于 bc 减 b e， 即八减 x。 在直角三角形 e、 f、 c 中则有 f、 e 方，加上 f、 c 方等于 c， e 方代入即得 x 方加四方等于八，减 x。 括号的平方 展开计算，两边同时消掉 x 方，再进行一项，我们能得得到 x 等于三，所以 b e 等于三。最后总结万能的四步法，第一步，标全已知条件。 第二步，理清思路，确定我们的目标三角形。 第三步，求出目标三角形的一条边。第四步，用未知数来表示其余的边长，再用勾股定律求解。学会的同学点赞关注我，数理化抓分更精准！

八下数学最难的九个四边形解法全部吃透，稳进班级前三！八下数学平行四边形九个长考模型，模型一，垂美四边形模型二，正方形半角模型 三，十字架模型四，对角互补模型五，矩形折叠模型。玩着玩，分享！

来继续做专项题目十四里的第五题，它说如图，已知这个 e、 f、 g、 h 是 这个正方形 a、 b、 c、 d 四条边上的动点，始终保持 a， e 等于 b， f 等于 c， g 等于 d、 h。 那 么你到这的话，那我问你， b， e 等不等于 c， f 等不等于 c， g 等等于 a、 h 相等吧？正方形四边相等，减去一个等量，减去这个等量，它剩下这两量是不等量代换的。 好了，继续往下做啊。看到这你就会反应过来这个问题， 他说给你图吧，我念这个，他说点 m， n， p q， 点 m n， p q 是 这个新的四边形 e、 f、 g、 h 个边的终点就会是终点了。 然后当 a， e 从小于 b e 到大于 b e 的 面变化了。 当 a， e 从小于 b e 啊 a， e 就是 从 a 点开始出发，往这走，到终点的时候，是 a， e 等于 b e， 对 吧？然后过来之后就是 a， e 大 于 b e。 他说在这个变化过程中， 如果正方形 a、 b、 c、 d 的 周长，这大的正方形始终保持不变，则四边形 m、 n、 p、 q， m， n、 p、 q 的 面积变化情况。那你先判断一下 这个 e、 f、 g、 h 是 个什么图形，你看这两边都分别相等， 这有直角角，边角就是三角形 h， a， e 和 e， b， f 和 f， c， g， g， d、 h 这四个三角形，它们全等， 这是阿尔法，这是阿尔法，这是阿尔法，这是阿尔法，对吧？那他要是贝特呢？ 阿尔法加贝特在这个角上等于等于九十，这是阿尔法。阿尔法加贝特九十这个位置，这个角 h， e、 f 是 不是这个直角？ 你看四个小三角形全等的话， e、 h 等于 e， f 等于 f， g 等于 g、 h 四边相等，还有直角是不是正方形？ 四个直角同理可证，四边同理可证就不重复说了，它就是正方形，那正方形中点连线说还是正方形，并且面积等于这个 e、 f、 g、 h 的 一半，这个你下去，你要不知道这个知识点，你上网上随便一搜就行， 那他说他的面积偏方，那就是他使用等于 e、 f、 g、 h 的 面积一半，你判断这个面积就行了。这个中间这个正方形小中大三个正方形，中间这个正方形， 中间正方形，你抓住边就可以了吧？边的边法，正方形面积是边长的平方。 那你看看这 e、 h 这块，假设 e 在 a 这个位置，那起始点就是 ad 吧，这是变最大的时候了吧， 然后从 a 点出发，这个 e 到这，而且 h 同等的到，这也就是说 e、 h 在 不断的变小，他怎么变？一直到终点的时候，这个是终点，这是终点，这是最小的时候，然后再往这面走， 一走到头到 b， 那 a 就 到了 a， 你 就极限法呗，那就是从 a d 这么长，然后变小，然后再变回来到 ab 这么长，是不是一个变小再变大的一个过程？ 那这个边是变小再变大的，答案就选 d， 先减小后增大。

咱们来看看第二十一章关于四边形的内容。现实世界中有很多物体都有四边形的形象，例如宏伟的建筑，一望无际的农田，开关，自如的伸缩门，别具一格的窗铃。 在小学我们知道什么是四边形，还学过长方形、正方形、平行四边形和梯形一些特殊的四边形的有关知识。 本章咱们接着学习四边形，特别是一些特殊的四边形，像平行四边形、矩形、菱形、正方形。咱们这几个图形很多知识咱们都已经了解了，那咱们本章就是在了解它们概念的基础上， 利用已有的几何知识去探索证明它的性质和判定方法，体会研究图形性质的一般思路和方法， 即通过观察、实验、类比、推广特殊化等图形方法，对构成图形的边角等元素的数量关系和位置型讨论，利用几何直观发现图形的性质，通过逻辑推理证明他们。 我们今天来学第二十章的第一节。四边形与多边形和三角形一样，四边形也是一种基本的几何性质，咱们本章就类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并且把它们推广到多边形。 首先咱们来看第一块内容，叫四边形及其内角和和三角形类似，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形，组成四边形的各条线段叫做四边形的边。这些都跟三角形一样啊， 每相连两条线段的公共端点叫做四边形的顶点。那咱们这个四边形，咱们就说 a、 b、 c、 d 是 顶点边呢？是 ab 这条边， bc 这条边， cd 这条边， da 这条边，都可以这样来表示。记住这句话很重要，四边形用表示它们的各个顶点的字母表示， 例如这个四边形可以按照顶点的顺序记作四边形 a、 b、 c、 d， 你可以顺时针说，也可以逆时针说，这都无所谓，但是一定记得按顺序啊，你可以说 a、 b、 c、 d， 也可以说 b、 c、 d、 a， 甚至还可以说四边形 c、 d， a、 b， 你 倒着说也行，四边形 a、 d、 c、 b 都可以，只要按顺序就行啊。看这幅图，画出四边形 a、 b、 c、 d 的 任何一条边，例如 c、 d 所在的直线， 画一条直线啊，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样四边形我们管它叫做凸四边形，而这个图呢，就不是凸四边形。因为我们沿出一条直线之后啊，向我延长 cd， 发现有一部分在 cd 的 一侧，有一部分在另一侧，我们就不管它叫做凸四边形。 在今后呢，如果没有特殊说明，咱们所说的四边形都是这种凸四边形。也就是说，在一条线段上，我延长一条直线， 这个四边形其余部分都在一侧，不在另一侧啊，这是一个凸四边形的定义。连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫做四边形的对角线。记住，什么叫不相邻呢？ a 和 b， 他 俩是相邻的，因为他俩挨着， 但是 a 和 c， 它就不是相邻的，因为它俩隔着一个 b， 或者隔着一个 d， 这个叫不相邻。连接四边形不相邻的两个顶点的线段，我们管它叫做四边形的对角线。而我们在这幅图中啊，给我们画了两条对角线，一个是 a、 c， 一个是 b、 d， 他们分别将四边形 a、 b、 c、 d 分 成两个三角形。我们看啊，如果说 a、 c 的 话，以 a、 c 来分，分成的就是这个三角形和这个三角形 b、 d 来分呢，就是分成上面这个 a、 b、 d 这个三角形和 b、 c、 d 这个三角形啊。 这个是对角线，与三角形类似。四边形相邻两边所组成的角，叫做四边形的内角，简称四边形的角。也就是说，咱们在这随便画一个四边形 相邻两边，像这条边和这条边，这两条边叫相邻所组成的角，就是这个角，管它叫做内角啊。 还是再画一个四边形角的一边与另一边的延长线，注意，这个时候不是另一边是延长线，像我这一个边的延长线是我这样延长的，和这条边四边形的延长线，管它叫做四边形的外角啊。 像我们这里说了，请在图中二十一点一杠一之中画出四边形 a、 b、 c、 d 顶点 a、 c 处的外角，也就是说这个图我们来画一下，要求画 a 点和 c 点的外角，它们这里已经画出来了，就是像 ab 这个是 四边形的一条线段，和四边形也是过 a 点这个 a、 d 的 延长线所组成的这个角就管它叫做外角了，或者说这个角也叫外角，它在四边形的外面嘛。 好，接下来我们回顾一下之前学的知识。三角形的内角和是一百八十度，长方形的内角和是三百六十度。那么任意一个四边形的内角和是多少度啊？ 它和长方形的内角和一样吗？可不可以证明你的结论？咱们在这里看一下思路啊，四边形的一条对角线，将这个四边形分成两个三角形，所以说四边形的问题可以利用三角形的相关知识加以解决， 咱们就按上面的思路来解决这个问题啊，这个思路非常重要。外一条对角线将这个四边形分为两个三角形，这样的话，我们就将三角形和四边形的知识连接起来了， 咱们来看一下这个图啊，在四边形 a、 b、 c、 d 之中，这是一个四边形 a、 b、 c、 d 呢，被分成了两个三角形，分别是 a、 b、 c 和 a、 c、 d。 这两个三角形 在三角形 a、 b、 c 之中啊，由三角形内角和定里得到这样的关系啊，角一加角 b 加角三，等于一百八十度啊，也就是说 这个所对接的就是在三角形 a、 b、 c 之中啊， abc 的 三个内角之合是一百八十度。同理啊，我们还可以在三角形 a、 d、 c 之中，因为对角线把四边形分成两个三角形嘛， a、 d、 c 之中，角二角、四角 d 也是一百八十度。 因为我们要求四边形 a、 b、 c、 d 的 内角和四边形的四个内角分别是角 d、 b、 a， 也就是说这个角，角 b 这个角，角 b、 c、 d 这个角以及角 d 这个角， 然后分别加一下就行了。角 d、 a、 b 我 们可以写成角一加角二角 b 呢，就直接写了， b、 c、 d 呢等于角三加角四角 d 呢，也可以直接写。然后呢，我们将这几个利用加法交换率凑一凑，角一角 b， 角三刚好能凑出三角形 abc 一个一百八， 剩下的角二角、四角 d 又可以凑出一个三角形，也就是三角形 a、 d、 c。 然后呢，两个一百八相加等于三百六十度，那么我们就可以证明了，四边形的角和等于三百六十度，这句话一定要记好。 说完了内角和，那么我们来看看外角，在这幅图中啊，四边形每个顶点处都取一个外角，这些外角的和叫做四边形的外角和，那四边形的外角和等于多少呢？咱们看一看分析啊， 因为四边形的每一个内角与和他相邻的外角都叫做邻补角，所以说四边形的外角与四边形的内角的总和点是四乘一百八十度。因为我们看啊， 这个角是外角和他的邻补角，这是一个一百八十度，这个是两个一百八十度， 这个是三个一百八十度，这个是四个一百八十度。我们只要算出四个一百八十度，再把所有的内角，也就说这个角，这个角，这个角、这个角，我们把这四个内角减去，不就剩下的就是外角和吗？ 好，咱们来看啊，像这幅图中说了，因为角 d、 a、 b， 也就是说这个角和角一是邻补角，所以说角 d、 a、 b 加上角一等于一百八十度。同理，我们也可以说角 abc， 加角二角 b， c、 d， 加角三角 c， d， a， 加角四等于一百八十度。 然后呢，我们就来表示一下吧，所以说这几个角，我就把外角和它的邻补角全加一块等于这个。 其中呢，我把这个 d， a、 b， a、 b， c， b， c， d， c， d， a 全都抠出来， 这几个是什么呀？这几个角就是四边形的内角和，我们刚求了四边形内角和等于三百六十度，等于三百六十，他们的总和是四个一百八，也就是七百二十度，七百二十度减去三百六十度，就等于三百六十度，这样我们就得到了它的外角和 四边形的外角和是三百六十度。我们在研究三角形的时候，除了研究三角形的内角和三角形的外角，我们还研究发现了三角形具有稳定性， 这是我们在学习全等三角形时明白的道理。那么四边形是否也具有稳定性呢？我们来看看这幅图啊， 在每个角上都定一枚钉子，将四根木条定成一个四边形的木架，扭动它，它的形状会改变吗？ 自然的，它会改变，同学们可以课后试一试啊。在这幅图中啊，在四边形木架上再定一个木条，把它的一对不相邻的顶点连接起来，然后扭动它，这时候木架的形状还会发生改变吗？其实是不会的啊， 因为此时我们对角线将一个四边形分成了两个三角形，四边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性啊。所以说我们看这里的分析啊， 四边形木架的形状会改变，因为四边形四条边确定之后，四个角并没有确定，说明四边形具有不稳定性。为什么这么说呢？因为我们只说四个角的内角和一定得是一百八十度， 因为我们说四个角的内角和一定是三百六十度，但是每个角都可以变，因为我们看啊，如果长度一定的情况下，我将四边形这个样子， 他也行，内角和也是三百六十度，没有问题啊。再定一个木条，四边形的木架变成了三角形木架，三角形具有稳定性，这是四边形木架的形状就不会改变。为什么？三角形如果定了三条边了， 三条边横定了，那他将再组不出任何一个三角形了，他只能组出这一种三角形。 怎么考虑呢？因为三角形，咱们就说证明三角形全等的时候，满足边边边了，两个三角形就全等了啊。所以说这是三角形具有稳定性的深层含义啊。 在日常生活中啊，有时需要利用四边形的不稳定性，例如像我们学校门口的这个推拉门，或者说这个升降机这块部分都是利用了四边形的不稳定性啊， 有时又需要扶四边形的不稳定性，例如在这个门框未安装好的时候啊，咱们师傅大概要在这里啊，定一根木条，防止窗框变形。 好，接下来我们来看一下练习题，求出下列图形中 x 的 值。我们发现这三个图形都是四边形，四边形的内角和是三百六十度，咱们要求这个 x， 咱们就需要列式计算了， 三百六十度等于这个一百四十度，加上这个九十度，再加上这两个 x 度，计算一下三百六十，我得把这个一百四和九十减去啊， 等于一百三十度等于二 x 度，那么 x 度就等于一百三十除以二啊，等于六十五度啊！我们来看第二个图，四边形内角和为三百六十度，那么三 x 度加上四 x 度，再加上这个二 x 度， 再加上最后一个三 x 度，就等于三百六十度。算算这几个 x 和是多少？三加四等于七，七加二等于九，九加三等于十二十二 x 度等于三百六十度，咱们 x 度就等于三百六十除以十二，等于三十度。 接下来我们来看第三题啊，要求出 x 度。哎，此时我们发现一个问题， x 度我们好像并不能直接求出来，我们得先求这个度，然后再拿一百八十度减去这个角就可以了。那怎么求这个角呢？很简单的， 因为四边形的内角和是三百六十度，咱们只需要拿三百六十度把这一二三三个角减去，剩下的不就，剩下的不就是我画红圈的这个角了吗？ 三百六十减去一百二十度，减去八十度，再减去七十五度，算出得数等于八十五度。而这个 x 度和八十五度是一对邻补角，它等于一百八十度，那么 x 度就等于九十五度了啊。 这是我们第一题的内容。来看第二题啊，一个四边形的一组对角互补，那他的另外一组对角有什么关系？我们随便画一个四边形，就画个正方形，画个特殊的一组对角互补，也就说这个角加这个角等于一百八十度。那么另外一组呢？ 那很简单，因为内角和是三百六十度，已经有一组一百八了，那剩下的一组肯定也是一百八，两个一百八才等于三百六十度啊，有什么关系啊？另一组对角也互补。 接下来我们来看第三题，这类图形中哪些具有稳定性？首先，第一个是两个三角形，没有问题，具有稳定性。第二个不是。第二个是四边形，它具有不稳定性。第三个，上半部分稳定了，是三角形，下半部分是四边形，它不稳定啊。 第四个一二三三个三角形构成的啊，所以说具有稳定性。第五个我们发现啊，他对角线没有问题啊，但是对角线将这个，但是对角线将这个六边形分成了两个四边形这一个，所以说他也不行，四边形具有不稳定性啊， 我们将三角形推导到了四边形，那么我们看看能不能四边形来推导多边形的内容。 多边形在生活中也很常见，我们观察图片中，我们观察这几幅图，在图中可以找到很多多边形的形象，像这个房子的形状，他就是一个多边形，这个蜂巢的每个风孔也都是 多边形，而这个他整个大门的门框也是一个多边形。生活中存在很多的多边形， 那么与三角形、四边形类似，在平面内啊，有很多条线段，首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。这里注意， n 得大于等于三，也就是说明了我们杜绝 n 等于一和 n 等于二的时候， 为什么呀？因为 n 等于就一条直线，一条线段，它够不成图形啊？ n 等于二，它也是，它也够不成图形啊。 最小的 n 等于三，它能够成三角形， n 等于四，它就能够成四边形了啊，这是我们多边形的性质，所以说我们将我们曾经学习的多边形的内容， 所以说我们将我们曾经学习的三角形、四边形都囊括到了多边形这一个大概念里啊。 多边形的边顶点、内角、外角对角线的概念与四边形对应的概念。多边形的边顶点、内角、外角对角线的概念与四边形相应的概念。类似。 多边形有几套边，就叫做几边形。多边形同样用表示它的各个顶点的字母来表示，例如我们在这幅图中， 例如我们在这幅图中记作六边形 a、 b、 c、 d、 e、 f， 也是跟四边形一样，咱们点按顺序来写啊。 在这里啊，我们说，请类比四边形。多边形的边顶点、内角、外角。对角线的定义，指出在这个六边形中的边顶点、内角、外角，画出它的全部对角线啊。咱先说边， ab 是 一条边， bc 是 一条边， cd 是 一条边， d、 e 是 一条边， e、 f 是 一条边， a、 f 是 一条边啊，就这几条边顶点呢，其实就是 a、 b、 c、 d、 e、 f 啊，这几条边 内角呢，其实就是相邻两边所加的角啊，也就是这个角， a 角、 b 角、 c 角、 d 角、 e 角、 f。 外角呢，外角可就多了啊！ 我在这里大概表示一下，外角表示的是一条边的延长线和它的另一条边所组成的加角 ab 的 延长线。哎，在这里能组一个，在这里也能出一个。 bc 的 延长线呢，在这能出一个，在这也能出一个，也就是说红线和蓝线的加角就行了。 c、 d 能出什么呀？ 这有一个，这有一个，注意不冲不漏，每一条边都能延一个啊。 d、 e 能出什么呀？能出这一条和这一条 e、 f 呢？这一条和这个 a、 f 呢？这一个和这个。这样都描述出来了啊， 再画出他全部的对角线。对角线的定义是什么？是一个点连接与他不相邻的点，就叫做对角线。我们像 a 点，与他不相邻的点有 c、 d、 e， 所以说连接 a、 c、 a、 d、 e， 这都是它的对角线。再看 b 点与 b 点不相邻的顶点，那不是 a， 不是 c， 那 就是 e、 f、 d。 连接 f、 b、 e、 b、 d、 c 点与它不相邻的点， a、 c 已经连完了啊。 c、 f、 c、 e、 d 点与它不相邻的点呢？那就是 b、 a、 f， 其中 b、 d、 a、 d 已经连完了。咱们连接 d、 f、 e 点与它不相邻点，就是 abc 已经都连完了， f 点也都连完了啊。这个是它的对角线，与四边形类似。在多边形中啊，有的是凸多边形，有的不是凸多边形。今后咱们如果没有特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形啊。 图多边形的定义我在这里再重复一下啊，就是说我随便画一个多边形，我们延长一条线，我们发现这个多边形的剩余部分都在这条线的一侧，它就是多边形。咱们以后都研究这种图形啊， 我们知道正方形的各个角都相等，各条边也相等。像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等。多边形各条都相等的多边形，我们管它叫做正多边形，在这里举一些例子，像什么正三角形、正方形、正五边形、正六边形，这都叫正多边形啊。 接下来咱们类比四边形内角和的推导过程，推导出五边形、六边形的内角和各是多少度。由上述的推导过程，能不能得出多边形的内角和边数的关系啊？ 咱们先来看一下这个五边形啊，从五边形的一个顶点出发，可以做出几条六角线呢？咱们这里做了做出两条啊，因为他不相邻的点就两个嘛，他们将五边形分成几个三角形啊？一个两个，三个分成的是三个三角形， 那么五边形内角和等于多少？一个三角形就是一个一百八，三个一百八，六边形呢？可以做几条啊？一二三做三条， 他们将六边形分成了一二三四、四个三角形，六边形内角和就等于四个三角形，就是四乘一百八十度。 所以说我们就会发现了，从 n 边形的一个顶点出发，像五边形就能做俩，六边形就能做仨，都是他的边数减去三条对角线。所以说我们在这里写一下啊， 可以做 n 减三条。那分成了几个三角形呢？我们会发现啊，五边形分成了三个三角形，六边形分成了四个三角形，都是在他的边的基础上减去两个，也就是 n 减二个三角形。 那他所对应的内角和呢？有几个三角形？就是几个一百八十度，也就是 n 减二乘以一百八十度。记住这一块的内容啊，这样就得出了多边形的内角和公式。 n 减二乘以一百八十度啊， 在这里呢，同学们可以课后思考一下，把一个多边形分成若干个三角形，还有没有其他的分法，还能怎么分呢？由新的分法能得出多边形的内角和公式吗？ 我们先要在这里我举个例子，画一个五边形啊，刚才我们是在顶点处划分三角形的，如果说我要是在终点处呢， 就在中间随便找一个点啊，像我这么分一个三角形，两个三角形，三个三角形。此时我们就会发现，将五边形分成了几个三角形，一二三四五分成了五个三角形。那不得是五乘一百八十度吗？ 这才是他的那角和呀，和我们这个，这不是，这不是五减二得等于三乘一百八十度吗？那这少的这两，那这两个之间差了两个一百八十度是从哪来的呀？ 我们这种在中点分的三角形的情况下，我们中间的这一圈三百六十度是不算在我们的三角形的内角和的，因为这几个角我们是不算在多边形的内角和里的，因为你看这几个角，他根本不是多边形的内角啊， 所以说咱们在这个基础上还得减去两个一百八十度。做完之后还是三个一百八十度，这是其中一种分法，还有很多种分法，同学们都可以进行推导啊。 说完了内角，我们来看看外角与四边形，外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，他们的和呢叫做多边形的外角和。多边形的外角和等于多少度，请你说明理由。与四边形类似，多边形的每一个内角和它相邻的外角都叫做邻补角， 因此呢， n 边形的内角和与外角和的总和等于 n 乘以一百八十度。所以说，我们先表示出来有几个外角就有几个一百八， n 乘一百八十度，我们再减去内角和就行了。内角和我们刚才已经有了，是 n 减二乘一百八十度等于三百六十度。接下来我们来化解一下这个式子啊， 那就是 n 乘以一百八十度减去，这个我们在一个括号里进行处理啊， n 乘以一百八十度减去二乘一百八十度，这是我们的单项式乘多项式啊，然后再处理，前面拖着不动， n 乘以一百八十度减去后面的 n 乘以一百八十度。 此时我们发现啊，这有一个负，这有一个负，负负为正，得再加上二乘一百八十度，放一块等于二乘一百八十度，也就是三百六十度啊，这样也就得到了多边形的外角和等于三百六十度。 也可以理解为为什么多边形的外角和等于三百六十度呢？我们像这幅图来看，从多边形的个边依次走过个顶点啊，就是这么走的，按顺序走的。 然后呢，转向出发时的方向，行程中转向的各个角度的和，就是多边形的外角和。我向，从这里转，转向转到这，从这里转向转到这，从这里转向接着转，以此类推啊， 转向的角度就是它多边，转向的角度就是多边形的外角和。那咱们最后不回到原点了吗？回到原点不就是转了三百六十度才能回到原点了吗？ 所以说这里说了，由于走了一周，所转的各个角的和就等于一个周角，周角是三百六十度嘛。所以说多边形的外角和等于三百六十度。 我们来看看例题啊，一个多边形的内角和等于外角和的两倍。问这个多边形是几边形？咱们先把这个多边形的边数设出来，就是 n， 由于它的内角和等于 n， 减二乘以一百八十度，外角和呢等于三百六十度。 那咱们就来说一下内角和等于外角和的两倍，那内角和是 n， 减二乘一百八十度，就等于外角和的两倍。二乘以三百六十度。然后去解方程就行了啊， 怎么解呢？先将它单项式乘多少式，就是 n 乘以一百八十度，减去二乘以一百八十度，再减就等于二乘以三百六十度。我们可以把三百六十度分成了二乘一百八十度， 这个二和这个二相乘，就是四乘一百八十度，再加过去，把这个减面加挪到等式的右边，加上二乘以一百八十度，那不就是六乘以一百八十度 等于 n 乘一百八十度，一百八十度一百八十度，消掉了 n 等于六，得出 n 等于六了，就说明这个多边形是六边形了，因为我们 n 代表的是多边形的边数吗？ 我们接下来来看一下练习题。首先来看第一个，求出下列图形中 x 的 值，这个我们就会发现这是一个几边形，一二三四五五边形，先想一想它的内角和是多少呀？ n 减二乘以一百八十度，此时 n 呢，我们得带五五减二乘以一百八十度， 五减二十三呢？三乘以一百八十度，等于五百四十度啊，咱们呢，再依次列后，咱们接下来再列算式就行了。九十度加上一百二十度，再加一百五十度， 再加上这一个 x 度，再加这一个 x 度，也就是说加上三 x 度等于五百四十度啊，所以说呢，三 x 度就等于这个五百四十，把这一堆减去啊， 等于一百八十度啊。然后呢，除以三 x 度等于一百八十，除以三等于六十度啊，也 x 值就是六十。在这个呢，我们可以发现，这是一个一二三四五六六边形，它的内角和是 n 减二乘以一百八十度， 那 n 带六六点二，就是四四乘以一百八十度，等于七百二十度。而这个七百二十度等于什么呢？等于一二三四四个 x 度，再加上两个九十， 那么四 x 度就等于拿七百二十减去两个九十啊，等于五百四十度，那么 x 就 等于拿五百四十除以四就可以了啊， 等于一百三十五。第三个，有一个问题啊，他说了，这是一个五边形，一二三四，他说了这是一个五边形，所以说我们先求出他的内角和是 n 减二乘以一百八十度， n 的是五五减二，就是三三乘以一百八十度，等于五百四十度。 按理说，五百四十度等于这个角加这个角，再加上这个角，再加上这两个角才可以。但问题来了，这两个角我不知道是多少啊， 告诉我们了， ab 和 cd 是 平行的，这条边和这条边平行的，所以说我们用两只线平行同旁内角互补就可以了。也就是说，因为 ab 平行于 cd， 所以 说角 b 加上角 c， 它等于一百八十度。 所以说啊，咱们这个角 b 加上角 c， 再加上幺三五，再加上这个 x 度，再加上幺五零度，就等于五百四十度。 其中角 b 加角 c 等于一百八十度，所以说我们 x 度就等于我们拿五百四十减一百五，减一百三十五，再减去这个整体一百八就可以了啊，等于七十五度，它不求 x 值吗？ x 值我们再把度去掉就行了， x 等于七十五啊。 接下来来看一下第二题。第一，问一个多边形，内角和等于一千零八十度，问这个多边形是几边形？我们把式子列出来， n 减二乘以一百八十度，这才是内角和呀，等于幺零八零度， 那么 n 减二，咱们拿幺零八零除以一百八，最后等于六，那 n 呢？等于八，它是一个八边形啊。第二个，一个多边形，每一个内角都等于一百二十度。问这个多边形是几边形， 咱们可以通过外角来进行处理啊，每一个内角都等于一百二十度， 咱们外角和是三百六十度，那每一个内角都等于一百二十度，那他的邻补角不就是外角吗？他的外角就等于一百八十减去一百二十， 这是他每一个外角的度数，每一个外角都是一百八减一百二，也就是六十。有几个外角不就有几个边吗？所以说前面再乘一个 n 就 行了，然后计算 n 等于三百六十除以，这个是六十等于六啊，所以说他是一个六边形。最后一个， 一个多边形，每一个外角都等于七十二度。问这个多边形是几边形，这和我们第二问其实是一样的啊，三百六十度不就是外角和吗？它等于每一个外角都是七十二，那不就是 n 乘以七十二吗？ 有几个七十二就有几个边，那 n 呢？就等于我们拿三百六十除以七十二，最后等于五，所以说它是一个五边形。接下来我们来看复习巩固。第一个四边形的四个角都可以是锐角吗？当然不可以啊， 都是锐角，那四个小于九十度的角，它肯定总和就是小于三百六十度，可以都是钝角吗？也不行啊，四个大于九十度的角摞一块，指定也是大于三百六十度的， 他不满足。四边形内角和等于三百六十度，可以都是直角吗？没问题啊，正反正是都是直角，四个九十度嘛，四乘以九十度刚好等于三百六十度啊。 如果问为什么的话，就说四边形内角和为三百六十度。接下来我们来进行填表。首先，不管多边形是几条边，它的外角和都是三六零啊。 而算内角和，咱们就用 n 减二乘以一百八十度来算啊。这个 n 带三三减二等于一，一乘一百八十度，就等于一百八十度啊。四边形是三百六十度，五边形是五百四十度，六边形是七百二十度，八边形幺零八零度。 十二边形一千八百度，二十边形三二四零度啊！这个同学课后自己去计算就可以了啊。 第三个，求正五边形和正十边形每个内角的度数。咱们先回一下正多边形的定义，就是每条边都相等，每个内角都相等 正五边形，只要求出正五边形的内角和是多少，再除以五就行了。正十边形也是一样的，求出正十边形的内角和再除以十就行了。先求正五边形内角和是 n 减二乘以一百八十度。 n 呢，带五五减二就是三三乘以一百八十度，等于五百四十度， 五百四十度除以五，他不五边形吗？有五个内角啊，等于一百零八度啊！而十边形呢，还是带 n 减二乘以一百八十度，此时 n 就 带十了。十减二等于八乘以一百八十度，等于幺四四零度。 幺四四零再除以十，这不就是每条边的度数，这不就是每个内角的度数了吗？等于一百四十四度。 第四题，第一问，一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数，那就说明内角和等于三百六十度啊。因为外角和一直都是三百六十度，所以说 n 减二乘以一百八十，它等于三百六十度， 那三百六十除以一百八就等于二啊。 n 减二等于二， n 就 等于四，它是一个四边形啊，一个多边形的内角和是外角和的一半，那多边形的内角和就是 n 减二乘以一百八十度，等于外角和的一半，就是拿三百六十度乘以二分之一， 那三百六十乘以一百八就等于一了。 n 减二等于一，那么 n 呢？等于三，它是一个三边形啊， 也就是三角形。第五题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 之中啊，角 a、 角 c 相等，角 b、 角 d 都相等。问 ab 和 dc 有 什么位置关系啊？也就是问，这两条面咱们知道啊，如果正方形中啊， 对角相等，那就说明角 a 和角 c 是 相等的，角 b 和角 d 是 相等的。所以说咱们写一下啊， 角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 而咱们四边形内，角和是三百六十度啊，角 a 加上角 b 加上角 c 加上角 d， 它都等于三百六十度。 咱们利用等量关系，我们由于角 c 等于角 a， 我 们把所有的角 c 替换成角 a， 而角 b 呢，都等于角 d， 所以 说把所有的角 b 都换成角 d 等于三百六十度。那我们可以推导出这样的一个式子，这不就是两倍的角 a 加角 d 吗？等于三百六十度， 那么角 a 加上角 d， 那 就等于三百六十度除以二等于一百八十度。所以说同旁内角互补，两直线平行。 同样的道理， bc 和 ad 呢？ bc 和 ad 这两条线，咱们也可以通过这样的推导，刚才我们是把角 b 换成了角 d， 角 c 呢？换成了角 a。 如果说你要证明 a、 d 和 bc， 咱们就得想办法 找 a、 d 和 bc 的 同旁内角。也就是说，角 a 加上角 b， 我 得正出它等于一百八十度。 咱们就把角 c 啊换成角 a 就 行了，因为这俩角相等吗？角 c 换成角 a， 角 d 呢？我就直接换成角 b 就 行了。在这个式子里面，把角 d 换成角 b 等于三百六十度，一样推倒可以推出二倍的角 a 加上角 b 等于三百六十度。 那么角 a 加上角 b 不 就等于三百六十度除以二吗？等于一百八十度，角 a 加角 b 等于一百八十度了。它所对应的 a、 d 和 bc 这两条直线，就可以运用同旁内角互补，两直线平行整出来了。 第六题，在 n 边形内，任取一个点，连接 o 点与 n 边形各个顶点， n 边形被分成了多少个三角形啊？用这种方法推倒 n 边形的内角和公式。刚才我已经描述了这种方法了，咱们一块再来试试啊。 这样的话，我们会发现啊，有一个边不就分一个三角形吗？对吧？有一个边就是一个三角形，那他整个所有的三角形的内角和，那不就是 n 乘以一百八十度吗？但是我们还得把中间的这一圈减去，这一圈就是三百六十度啊，因为是一个周角吗？ 那就是 n 乘以一百八十度，减去三百六十度，就是二乘以一百八十度。把一百八十度提出来，就是 n 减二乘以一百八十度了。 也可以推出 n 边形的那角和公式。在这里把前面这个大话也写好了，不要忘记前面还有一个问题啊， n 边形被分成多少个三角形啊？ n 个三角形啊，这是在这种分法的情况下啊。 接下来我们来看第七题。五边形 a、 b、 c、 d 的 内角都相等。说了角一等于角二，角三等于角四，求 x 的 值，那咱们把咱们能推到的关系都表示出来就可以了。 五边形 a、 b、 c、 d 的 内角和都相等，所以说明它是一个正五边形。咱可以算出五边形的每一个内角是多少啊？ n 减二 乘以一百八十，其中的 n 带五，因为五变形吗？五减二乘一百八十，那就是三乘一百八十。刚才已经算过很多遍了啊，等于五百四十度。那一共有五个角，五百四十度，除以五等于一百零八度啊。一个角是一百零八度， 那推导一下吧。这个角是一百零八度，也就是说，角一加上 x 度，再加上角三等于一百零八度。其中呢，角一、角二加上角一等于一百八十度。 因为 a、 d、 e 是 一个值。因为 a、 d、 e 是 一个三角形吗？角一加上角二加上角一等于一百八十度。同理啊，角三加角四加角 c， 不 也等于一百八十度吗？因为在三角形 b、 c、 d 之中啊。 又说了角一、角二相等，角三角四相等，而这个角 c 跟角 e 我 们都得到了呀，他都是五边形，内角都等于一百零八度。那咱们通过底下这两个式子推导一下啊。我在这里写过程，角一和角二相等，那就是二倍的角一，咱就算一个吧。 二倍的角 e 把角二变成角一了，加上角 e， 角 e 是 一百零八度，等于一百八十度。那二倍的角 e 就 等于一百八十度。减去一百零八度等于七十二度，那角一不就等于七十二度除以二等于三十六度吗？ 而第二个式的角三、角四呢？我就把角四变成角三，角三加角三等于二倍的角三加上角四 加上角 c， 角 c 也是一百零八度，等于一百八十度，那减过来不就行了吗？二倍的角三等于一百八十度，减去一百零八度等于七十二度啊，角三就等于三十六度，也是一样的。这个时候我们就发现了， 角一加角三加角 x， 角一加角三加 x 度等于一百零八度，那么 x 就 等于一百零八，我减去一个角一，减去一个角三，不就减去两个三十六吗？一百零八减去两个三十六，是七十二， 等于三十六度啊， x 值为三十六。接下来我们来看看通往探索。首先来看第八题，在四边形 a、 b、 c、 d 中啊， a、 c、 b、 d 是 它的两条对角线，要求比较 a、 c 加 b、 d 与四边形周长的大小， 咱们来看看啊。此时有对角线，我们就得想三角形，因为对角线是将我们的三角形和四边形相连接的题， 其中 a、 c 这条边呢，我们可以表示一下， a、 c 这条边就是在三角形 a、 b、 c 之中啊，我们由两边之合大于第三边表示出来， a、 b 加上 bc， 它肯定是大于 a、 c 的。 a、 c 这条边还在三角形 a、 c、 d 之中，就可以得到 a、 d 加上 c、 d， 它一定也是大于 a、 c 的。 说完 a、 c 了，再说 b、 d、 b、 d 是 在两个三角形中，在三角形 a、 b、 d 之中， ab 加上 a、 d 也铁定大于 b、 d。 在 三角形 a、 b、 d。 说完了，还有一个 b、 c、 d、 b、 c、 d 之中啊， b、 c 加上 c、 d 也一定是大于 b、 d 的， 咱们就看看呗。四边形的周长，咱就把它们都搂一块，因为都搂一块，我们就会发现啊，它们的这几条边就构成了四边形的周长。咱们看看啊， 分别相加 ab 加上 bc， 再加上 ad 加上 cd， 再加上 ab 加上 ad， 再加上 bc 加上 cd， 它一定是大于一二三四两倍的 ac 加上两倍的 bd。 咱们看看啊，推导一下啊，上面这一大堆出来什么？我看看啊！ 一个 ab 两个 ab， 二倍的括号，一个 ab， 一个 bc， 两个 bc 加上 bc， 再加一个 ad， 两个 ad， 所以 说再加一个 ad， 一个 cd， 两个 cd， 它是大于二倍的 ac 加上 bd 的， 我们再把这两个二消掉啊。左边， ab 加上 bc 加上 abd， 加上 cd 大 于 ac 加上 这一大串 a、 b 加上 bc， 再加上 a、 d， 再加上 c、 d， 刚好就是四边形的周长，而 a、 c 加 b、 d 刚好就是我们要比较的这部分，所以说就可以得到这样的关系啊， 四边形 abcd 的 周长大于 a、 c 加 b、 d。 第九题，要是四边形木架不变形，至少要再补上几个木条，五边形和六边形呢？这道题就是考，我们最少要补上几条对角线，才可以将它分成三角形。 还记得几条对角线吗？我们刚才在这里标上了啊，是 n 减三条啊。 第一个，它不是四边形吗？四减三它等于一啊，也就是说这么一画就行了，补一条就行了。当然你可以这么补，你也可以这么补啊，怎么补都行，就补一条就行了。五边形的需要补几个呀？ n 减三呢？那就是五减三等于二，补两条，看看怎么补啊？随便找一个顶点，与他不相邻的两，随便找一个顶点连接与他不相邻的两个点，这么一补就行了。你可以找这个顶点，还可以找其他的一二三四四个顶点啊。六边形呢？ n 减三就是六减三等于三，他补三个也是我以这个点为例，一二三这么补也可以啊。 这是我们关于四边形的第一节的内容啊。后面还有一个弹珠语，发现同学们可以课后自行去尝试一下。

各位同学大家好，我是朱强，八年级的同学应该认真思考一下这样一个小题，南京的这道期中考试的压轴题，把正方形里面的全等折叠、对称以及各种特殊的线段考察到了极致。九年级同学更要看一下这样的一个好题， 因为它马上就要中考了，怎么解决这个问题呢？边长是九，沿着 p q 翻折好，我给它画上去， p q 就是 a m 的 垂直平分线，这里是垂直，我把垂直符号标上去， b m 的 长度是这个三分之一的 b c， 那 就是三，那这边还是九，我用红色的笔来标一下，说 q e 和 f p 以这两条线段相加之和等于多少？我们之前呢学过十字架模型，十字架模型就是在正方形之中，如果两条线是呈互相垂直状态，那么这两条线段就是相等。所以呢，我们可以根据以往的经验， 我们得到 a m 是 等于 p q 的， 这是我们以前知道，如果这个十字架呀，呈如图所示的这样的一种状态，也就是它过这个顶点， 并且呢， p q 呢，是垂直平分于 a q 的， 形成这种十字架，那么我只要连接 b d 和它交于的这个 f 点，以及之前所形成的 e 点，这个长度， 我呢用个颜色给它标出来，就是这个 e f， 这个长度是等于二分之一的 p q 的， 也就是二分之一的 a m。 这块。这两个结论呢，怎么证明呢？非常好办，再换一个颜色的比，我把 a f 连接起来，我把 f c 连接起来，这两条线段绝对相等。 因为呢， a b f 和 c b f 这两个三角形是全等三角形，所以对应线段相等， 那这两个边相等，我再把 f m 连接起来，因为 q p 是 垂直平分 a m 的， 所以 a f 和 fm 也相等，所以相等的线段我标上标记，那么这样的话，有三条边相等，我把边等转化为角等，这两个是相等的。刚才已经说了，这个 b a f 三角形和 bcf 这两个三角形呢，是全的三角形，所以这里呢，这个角呢，也应该和这里的这个角啊相等，所以也是阿法，这个时候好办了呀，阿法加上它的零补角，我假设贝特阿法加贝特 等于一百八十度，那所以那这一组也是阿法加贝特也是等于一百八十度，那这个不就是对角互补吗？那同理可得角 a b m 加上角 a f m 也应该等于一百八十度吧，因为四边形的内角和是三百六十度，而我们知道 a b m 已经是九十度了吧，所以 a f m 重大发现呢， a f m 是 九十度，所以这个时候呢，我们可以说呢，这个是 a b m f 是 一个特殊的叫零等对角四边形，当然这个时候我不需要用这个了， 我要求 f m， 因为 f m 是 这个等腰直角三角形的底边上的高吧，是不是三线合一啊？所以 f e 等于 二分之一的 a m， f e 等于二分之 a m， 那 么剩下来的这么两小段 q e 和 p f 相加，也应该是等于二分之一的 a m 啊， 而 a m 的 长度就应该是等于二分之一，乘以根号下三方加九方，利用这个勾股定律 就可以解决出来这样的长度，所以答案应该是等于你通过计算等于二分之三倍，根号十。当然了，我还可以提另外一种方法，就没有这个巧妙过 m 了。向上做个垂直，我证明出这两个三角形是全等的，你看看你能不能再证明出这两个三角形 也是全等的。一定要看好了，就这两个三角形也是全等的，这两个特别好，正 是不是因为这个点呢？是特殊的。是一个终点吗？是不是八字形全等？这两个全等你怎么证明呢？给你思考一下呗。那如果这两个全等的话，这边和这边就相等，也是可以解决问题的。 是不是提示一下啊，可以计算出长度来。那这块是三，这块等于多少和这块的长度呢？哎，有一个线段对应相等就能够解决了。

这是一道仅用五刻度的直尺进行作图的一道八年级作图题，很多同学不会做，那么现在作图题是近几年考试的热点。好，我们来看一下这道题。 在图一中的菱形 a、 b、 c、 d 的 边找一点 f 作线段， b、 f 等于底一， 那么说是在菱形的边上，他并没有说是在哪条边上，而且我们必须是用的是无刻度的智齿， 那么既然是用无刻度的支持，所以我们只能通过连线来找出相应的点，那么这里面用的知识点就比较多。首先我们先用一个全等法来找 b， f 等于 d、 e， 首先我们连接 i、 c， 这时候菱形 abc 的 对角线 i、 c 和 d、 e 有 一个交点，然后我连接 b 和这个点交点， 和 a、 d 相交于一点，这一点就是 f， 那 么这个 b， f 就是 等于 d、 e 的。 那么朋友们，为什么我们可以通过证明三角形 a、 d、 e 全等于三角形 a、 b、 f 来说明 d、 e 和 b、 f 相同的，那证明的过程我就不再追溯了 啊。这是一个方法，另外一个方法就是我们可以构建平行四边形，就是在 cd 边上找一点 f， 在 cd 的 边上找一点 f， 这时候 beef 是 平行四边形，这时候 bf 就 等于 d、 e 了，这也是很多同学想采用的方法。 那么我们怎么找到 b、 f 和 d、 e 平行？好，我们的方法是，首先连接 i、 c， 再连接 b、 d， 那 这时候 i、 c 和 b、 d 有 一个交点 这点，那么我再连接 e 和这个交点 并延长，这时候它就会和 c、 d 有 一个交点 f， 这时候我们再连接 b、 f， 那 么 b、 f 就 等于 d。 一， 此时的 b、 f 也是等于 d 的， 我们同学们想一想，你可不可以证明这个 b f 是 等于 d 的 呢？ 那么我们可以证明 d b b e， d f 是 平行四边形， 怎么来证明它是平行四边形？特别客户想一想。这里面我就不讲了啊，就不讲了。好，第二问，在图二中的菱形 a b c d 的 边找点 f g， 使 b f 等于 b g， b f 等于 b g 等于 d e， 并作出等腰三角形 b f g。 那 么第二位恰好就是运用了我们刚刚讲的这两种方法，那么这个是 b f， 那 么我这种找的话就是 b g 了，所以我在连接这个点， 那么这个位置就是 g 的 位置。根据我们刚才讲的电路方法，我们知道 b g 是 等于 d e 的， b f 也等于 d e 的， 所以 b g 等于 b f， 那 么三角形 b f g 一定是一个等腰三角形。 那么这是八年级的一道特殊四边形当中用无刻度知识来进行作图的一个一道题比较好。好，这道题就分享到这里，朋友们再见！

八下数学四边形常考模型全部吃透，稳进班级前三。八下数学平行四边形九个常考模型一，垂美四边形模型二，正方形半角模 型二到三，六到七。

八下数学最难的十六道压轴题全部吃透，稳进班级前三、平行四边形必考压轴题十六类题型题型一，平行四边形中边的关系运用 题型二，平行四边形中面积转换题型四，勾股定律的运用 题型五，多解问题题型六，动点问题 题型十六、四边形中存在性问题完整版分享！

这是一道初二下半期关于四边形的前空压轴真题，正确率不到百分之五，它主要考察了四边形和一线三等角以及我们的锥子问题的综合考察，难度系数特别大。来，同学们，今天我们一起来分析下这道 半期真题。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样做的，首先告诉 abcd 是 一个正方形，它的边长呢，正好等于四。好，接下来 p 点呢，是 bc 边上的一个 动点。好，接下来告诉你约束条件，那么要保证这两个边是相等的，而且这个角呢， a p q 等于九十度。好题目，最后求的是 d 点和 q 点，这两个点所形成的线段的最小值应该等于多少？ 徐老师已经把初二四边形板块中所有必考经典题型，包括平行四边形十大题型十大题型、 菱形十大题型、正方形十二大题型、中立线八大题型等，再结合往年考试真题 u 中选 u 整理成了初二四边形经典一百题，练完四边形考试直接拿满分，需要的家长我发你一份。 好，来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，最后求的是 d 点到 q 点这两个点之间的最小值应该等于多少，对吧？来， d 点呢，很明显它是一个 定点，对吧？ q 点呢，是一个动点，它为什么是动点呢？哎，因为 p 点这个主动点在 b c 上运动，它是一个动点，对吧？好，我们要保证呢，这两个边是相等的，而且呢，这个角是九十度，所以呢，它是主动点，它是 从动点，所以 q 点呢，也是一个动点，对吧？好题目，最后呢，就是求的是这个定点到这个动点的最小值来遇到定点到动点最小值，其实我们方法呢特别固定啊，我们去找这个动点的一个轨迹，那么我们初中阶段对于动点轨迹呢，只会考两种，一个是轨迹为 直线，一个是轨迹为圆，对吧？那这个 q 点轨迹到底是直线还是圆呢？来我们一起去分析一下哈，那么这道题的突破口呢，就是这两个九十度，你看这是九十度，这个角呢也是九十度，而且 b 点和 p 点 都在 b c 这条直线上，而且呢，我们还有一条线段的一组边相等，对吧？好，所以这个时候呢，我们最应该想到我们最常见的一线三等角模型，所以接下来我把 b c 边 给它延长出来，再过 q 点向这个延长的边做垂线，垂足点为 t 点，你看没有， 这条直线上面我们有三个相等的九十度，而且呢还有一组边相等，所以这个时候来三角形 a、 b p 和 p t q 不 就是我们的全等吗？对吧？很简单来，你把这个角设为 r， 这个角呢设为我们的 beta r 加 beta 等于九十， 好，中间这个也是九十，所以这个角呢，也是为我们的 r 好， 所以呢，我们的角是相等的，而且呢还有一组边相等，所以就得到三角形 a， b p 一定是全等于三角形 p t， q 的， 对吧？好，全等以后来我们就有边相等了，哎，所以第一个就是 ab 边， 正方形的这条边长等于我们的 c t 边，对吧？这个边和这个边相等，好，再来。还有呢就是 b p 边 啊，等于我们的 q q 边，这两个边也是相等的，好，再来观察，是吧？那我们的 ab 边是正方形的边长，正好等于我们的 p t， 那么 bc 边也是正方形的边长，对吧？它也应该等于我们的 p t 来，你会发现这两个相等的边有一个重合的 p c 边减去重合的边，所以我的 b p 和我们的 c t 应该是相等的，对吧？好，所以推导出来， b p 又是等于 c t， 在 b t 又是等于 q t， 所以 这两个直角边也是相等的，所以来我们 q t 就 等于 c t， 所以呢，不管这个 q 点怎么动，你这两个边是一定是相等的，而且又是两个直角边，奥特曼，你会想到什么？所以这个时候，哎，我连接 c q， 对 吧？连接 c q 之后，你看我的 c t q 正好是一个等腰直角三角形，那这个角 b 是 什么？四十五度吗？这个角也是四十五度，所以呢， c q 正好是 d c t 的 角平分线，看到什么？哎，我们的轨迹不就出来了吗？所以 q 点 虽然是个动点，但是呢，这个动点连接定点 c 点之后呢？哎，这条直线呢，始终是角 d c t 的 角平分线，所以 q 点轨迹呢，正好是这条角平分线所在直线，对吧？它的轨迹为直线。好，所以最后呢，就变成求这个定点 到这条直线的最小值了。那很简单，垂线段应该是最短的，所以最后一步直接过地点向这个角分线 做垂线垂足点就是我们的最小值点，不就出来了吗？所以 d q 最小值就等于这个垂线段 d q 一， 对吧？那 d q 一 好转吗？非常好转，看 d q 一， 正好在这个等腰直角三角形当中，这个边为四，那么这个边就是二倍 根号二，对吧？一比一比根号二，所以 d q 一 就等于二倍根号二，那么我们的 d q 的 最小值，哎，也就应该等于二倍根号二。这道四边形的最值问题你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！