2026年安阳三模数学立体几何

二零二六高三数学每日一题第五十三天高考题预测专题，立体几何最值问题 啊，同学们好，今天呢，我们来做这个立体几何这个预测问题当中的最后一讲啊，每周呢，我们都会进行一个这个模块的一个预测， 那今天呢，我给大家呢分享的呢，是郑州一摸的这个最值的问题啊。首先来看一下他出现的位置呢，是在十七题，是在咱们这几天讲解当中的稍稍微体号偏靠后一些的。那我们来看一下这道题啊，这道题呢，主要是说到是最值的问题 啊，他说如图，在矩形 a， b， c， d， a 啊， c， d， e、 f 当中告诉你 c、 d 的 长度它是等于一的。之后呢， d、 e 的 长度 啊，这个是 d、 e 的 长度，它是等于二 ab 呢，分别是中点，所以这都是一，它就变成了就是两个全等的正方形了点 p、 q 分 别是 a、 c 还有 b、 d 上的动点，它不包括端点， 不包括断点，而且 c、 p 等于 b， q 就是 这个长度，它俩是相等的，它都等于 a， 都等于 a， a 呢，这里面是介于零和根号二之间的。 之后呢，将这个四边形 a、 b， c、 d 啊，沿着 a、 b、 c、 d 进行翻折，使得这个平面 a、 b， c、 d 和平面 a、 b、 f、 e 它俩是垂直的关系，就说折成了这个。第二个，这图 第一问呢，是让你证明的是 b、 d 呃， b、 d 的 这条直线， b、 d 的 这条直线，它是垂直于 a、 e、 c 这个平面的， b、 d 在 这里垂直于 a、 e、 c 这个平面的啊，那我们知道这个直线跟平面垂直，它应该是和平面内的两条相交直线垂直 啊，那我在这块写啊，第一问，两条相交直线垂直，那这个呢？其实我们，呃，这里边的 b、 d 呢，已经跟 a、 c 是 垂直的了啊，这条直线是 a、 c 垂直，为啥呢？因为你在这个原来的图形当中，你连接 b、 d 的 时候， b、 d 和 a、 c 都是对角线，对不对？所以它跟应该跟 a、 c 是 垂直的，那这块因为，嗯，四边形已知条件，四边形 a、 b、 c、 d， 它呢，是应该是为正方形 啊，所以我们就可以知道这个 b、 d 是 垂直 a、 c 的， 那第一个呢，我们就是证明出来了。第二个呢？你看啊，在折叠的过程当中，这个平面 a、 b、 c、 d 和平面 a、 b、 f、 e 是 垂直的，而这个 a、 e 是 不是还还得垂直？这 a、 b 啊，它垂直于平面 a、 b、 c、 d， 它是垂直于平面 a、 b、 f、 e 啊，垂直于平面 f、 a、 b、 f、 e， 而这个 a、 e 它还垂直 ab， 它垂直于交线，是不垂直于平面呢，所以这个 a、 e 就 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 它垂直于这个平面，那垂直于平面内所有直线，那又因为这里边的 b、 d、 b、 d， 它在平面 a、 b、 c、 d 内， 那所以啊，这里边的 b、 d 就 垂直于这个 a、 e 了，就是 a、 e 是 垂直于这个 b、 d 的， 那现在有 b、 d 垂直 ac， b、 d 还垂直于 a、 e， 所以 说这个啊， a、 c 和 b、 d 都在这平面内，对不对？完整写的话，又因为 a、 c 和啊，和 a、 e， 它包含于平面 a、 e、 c， 它包含于平面 a、 c， 而且这个 a、 c 交上 a、 e 于 a 点 啊，它两三个强调，所以说这个 b、 d 就 垂直于平面 a、 e、 c 了， 那也就说，呃，我们在证明的过程当中呢，就是啊，线和面垂直一定要强调两个证明，三个强调。 两个证明是要证明这条直线和这个平面内两条相交直线垂直。三个强调呢，要强调两条直线在这平面内，这是两个强调了，还有强调他俩应该是相交的关系啊。这是第一问， 我们来看一下这个第二问。第二问呢，他说这个求线段 p、 q 的 长，因为在折叠的过程当中， p 和 q 它俩的位置关系就不再是原来的 p、 q 的 位置关系了。所以说让你现在让你求这个 p、 q 的 这个长度，那我们，嗯， 当然说这道题用存几何的方法也可以来证啊，但是呢，间隙呢，可能是更简单一些，那间隙很明了啊，因为这个 a、 b、 c、 d 和平面 a、 b、 f、 e 它俩是垂直的， 而且这个 b、 a 和这个 b、 f 还垂直，那这里边呢，这是 b、 c， 它就是 z 轴儿呗。嗯，所以这是 x 轴儿，这是 y 轴儿，这个是 z 轴儿。建立如图所示的空间质量坐标 c， 那这里边呢，需要强调一下，以 b、 a 为 x 轴， b、 f 为 y 轴， b、 c 为 z 轴。而且你在考试的时候，打底卡的时候一定要把它写上，哎，建立这个坐标系，那你 b 点的坐标就可以知道了，是零零零， a 点的坐标是一零零 啊， a 点坐标这个长度是一，完了之后呢？ e 点的坐标， e 点坐标在这里，它应该是幺幺零，你看它长度都是一啊啊， e 点的坐标是幺幺零，之后 f 点的坐标应该是零一零啊， f 点的坐标啊，零一零， c 点的坐标 c 点坐标是应该是零零一啊，它是从 b 点向上迁移过来的之后， d 点的坐标应该是一零一。哎，一零一。 那这里边呢？我要求的是 p q 的 长度啊， p q 的 长度。那 p q 怎么来求呢？我们得用坐标来表示啊。啊，向量 p q， 把它放变放在啊图形当中的话，向量 p q 它是不是应该是等于这个？呃， p q 看啊， p q 应该是等于放在 p c 再加上啊 cd 再加上 b q。 可以， 要不然的话，你这个 p q 的 话，对，它是从封闭图形当中就可以啊，它等于 p c， 再加上 c b， 再加上 b q 啊，这样来，这样他就是 b q 了，所以说我得把 p c c b b q 都表出来。嗯，这里边的 p c 呢？ p c 等于什么呢？呃， p c 等于。看啊，这里边的 p c 向量 p c， 它应该等于什么呢？你看啊，这个 p c 啊，和这个 p c， p c 和 a c 之间，它的位置关系没有变，它俩还是在一条直线上。嗯， 这个长度等于多少呢？啊？设这个 c p 的 长度，它是等于 a 了，它是等于 a 了。整个的 a c 的 长度是不等于根号二啊，所以说它应该是等于啊，二分之根号二 a 倍的 a c， 这是 p c， 它等于二分之根号二倍的 a， 再乘以 a c， 因为这个原来的这个 a c 的 长度是等于根号二的。 嗯，这个有同学不理解的话，其实你可以就是用个公式来表示啊，我在这边给大家写一下 这个 c p 的 长度，先看长度，再看方向。比上 c a 的 长度是不等于 a， 比上这个 c a 的 长度不等于根号二吗？嗯，所以说你能够求出这个 c p 啊， c p 是 不等于根号二 a 倍的 c a 呀啊，所以说 p c 就 等于二分之根号二倍的 a c 啊，这个 p c 二分之根号 a c。 对 完了之后呢？那咱们就把 b q 也表示一下吧。 b q 像那 b q 一 样啊。向量 b q 是 不是等于二分之根号二倍的二分之根号二 a 倍的 b e 啊？ 一样啊， b q 的 二分之根号二倍的 b e。 所以 说你这里边的 p q 就 能表出来了啊。 pc pc 就 求一下吧。 pc 再加上。呃 啊，这是 p q p c 的 话啊， p c 的 话整理一下啊，这个 p q 就 等于 p c p c 等于二分之根号二 a 倍的 a c 再加上 c b 呢？ c b 我是 能够求出来了。 c b 应该是等于用用 b 点减去 c 点就是等于零零负一，再加上这个 b q b q 等于二分之根号二 a 倍的。呃， 这个是 b q 是 b e 啊 b e 那 这里面的 a c 和 b e 是 不是也能求出来？我在这块写啊，向量 a c 应该是等于用 c 点减去 a 点呗，等于负一零一啊。向量 b e 呢，也能够求出来 啊 b e 等于一一零啊。所以往进一带能够算出 p q p q 呢，算完之后呢，它是等于坐标的话，应该是零。二分之根号二 a 之后二分之根号二 a 减一啊，这个式子。所以说 p q 的 模长就能够求出来，它不求长度吗？所以 p q 的 模长就等于啊，根号下零的平方 再加上二分之根号二 a 的 平方，再加上啊，二分之根号二 a 减一的平方啊，算出它来了。虽然这个式子呢，整理完之后是等于根号下啊 a 减去二分之根号二。 嗯，括号的平方再加上一个二分之一，哎，再加上二分之一等于它 p q， 所以 说第二问我们就求完了。之后我们再来看下第三问， 第三问，他说当 p q 长最小的时候，就落下来负比，这个 p q 啊，什么时候最小呢？它的模长什么时候最小呢？ 是不是当七减，因为它是一个，我这块再给大家再重新写一下，有点看不清，挂着写啊，它等于根号下，嗯，这块是 a 减去 二分之根号二括号的平方，再加上二分之一开口方向上的一个抛线，所以 a 等于根号二的二分之。根号取的最值对不对？取的最值的时候呢？它的最小值是不是应该是等于啊？根号二分之一， 根号二分之一等于二分之根号二啊，二分之根号二，那此时呢？也是当 啊，当这个 a 等于二分之一根号二时，取得这个最小值，这等号啊，那也说实际上你这个 a 知道了， a 知道了，那其实你的坐标就求出来了。 完，现在让你求的是这个 p q a， 这个 p q a， 这个平面和这个平面 a e c 和平面 a e c 所组成的这两个平面的夹角，那还是这个平面 a e c， 它的法向量，我们根据第一位已经求，是不是就 b d 啊？啊，等于向量 b d， b， d 呢？啊，求出来应该是一零一， 所以说我们就是紧接下来呢，我们要求的就是这个啊，平面 p q a， p q a 的 话，你就是一个是 p q 呗。啊，对啊，设这个平面 啊，设平面 p q a， 它的法向量为向量 n n 呢？我设为是 x y z 啊， 这是 p q a 的 法向量，法向量的话，那跟这个向量乘积等于零呗，先算 p q， p q 呢？已经算出来了对不对？此时 a 数的二分之根号二啊，所以说 p q 就是 零，它乘二分之根号二的话，等于四分之二，二分之一， 它是乘二分之根号二，四分之二分之一减一等于负二分之一 p q 就 求出来了。完了之后呢，你再算一个向量， p a pa q a 我 看 q a 和 pa， 嗯，算一个，我看啊，算一个 a q 吧。 q a q a q 可以 啊啊，那 a q 呢？其实我们也是能够算出来， a q 是 不等于 ap 加上 p q ap， ap 是 等于等于这个 ac 是 不是用 ac ap 就 知道了，对不对啊？完了之后呢，就能够把 a q 就 取出来，这里边 a q 给大家表示一下吧啊， a q 等于 ap 再加上 p q 啊，等于它完了之后呢？ ap 这里面的 ap 等于什么呢？ 看啊，呃， ap ap 的 话是不是应该是因为你算出 a 等于 a 等于这个二分之根号二了，所以说 ap 的 长度你也能知道了，整个长度是不得根号二啊，所以说实际上 p 点就是终点啊，所以 ap 就 能求出来 a p 求出来，说 p q 是 不也知道了，所以 a q 就 知道 a q 呢？算出这个向量是负二分之一，二分之一零啊，所以法向量跟它乘积的零就是啊，二分之一 y 减二分之一 z 等于零， 之后负二分之一 x 加上二分之一 y 等于零，从而求出 x y z 的 值 啊， x 算出设设等一的话， y 等于 y 等于 z 等于，所以说这个发向量是不是等于幺幺幺啊？发向量求出来了，发向量求出来的话，那么你现在是不是要求匀减值啊？就是口塞音，你要求这个是 b d 和向量 n 的 乘积啊，就不往年代了，算出结果等于三分之根号六啊，三分之根号六，所以说像要下结论，他的余弦值为三分之根号六啊。那这道题呢，实际上 啊，除了说最值之外，因为最值呢，他也是，呃，基于这个立体几何当中这个图形啊，其实跟平面图形的那个最值呢是一回事啊，他这道题呢，是呃利用了二次型啊，二次型这个函数求最值的问题。 嗯，在求解的过程当中呢，主要是这个我还要说一下这个动点，这个动点 p 和 q 都是动点，怎么来表示它？ 那当你直接表示不出来的话，比如说这个 a q 你 表示不出来的话，你就给它拆解成为两个比较容易的来，因为你 a 点和 q 点你不知道的话，是不是直接拆解一下？当然这道题其实这个 q 点也是终点，那这 a q 其实还比较好求的，假如不好求，你就可以像老师一样拆分来对其求解。嗯， 你要是可以求的话，其实这个 q 点是终点，它就二二分之一负二分之一，完了之后就能够求出来了，二分之一，二分之一零，对吧？嗯， 那通过这道题呢，就是说你要学会啊，线面的证明完了之后呢，未知数的表示，以及面面的面面乘角的余弦值啊。 那么，呃，截止到今天呢，我们的例题几何的呢？预测题呢，我们就暂时呢告一段落，因为还有其他的模块。下一周呢，开始呢，我们就开始讲这个，嗯，统计和概率的那部分了。 呃，所以说大家呢，就是关注老师完了之后呢？呃，多练习题，争取在高考当中能够取得自己满意的成绩，同学们，再见！

二零二六届安阳三模参考分数线出炉！物理组复分后，清北线六百六十四分、九八五线五百八十七分、二幺幺线五百五十九点五分，特控线四百八十六分，本科线三百七十八分。 历史组复分后，清北线六百四十一分、九八五线五百七十五点五分、二幺幺线五百五十一点五分，特控线五百二十三分。本科线四百二十三点五分。 新乡、三模、天一、许昌、洛阳、平顶山、济源、玉溪北四侧将在出分后第一时间发布！点击关注，河南高考全程陪跑！

一个视频给你讲透立体几何洁面问题，很多同学看到三个点连个三角形就以为是洁面了，那是纯纯的丢分。真正的洁面边长必须长在几何体的表面上，教材不会教你怎么补全洁面，今天马老师只教你两招，延长线法和平行线法， 只要掌握这两大底层逻辑，再复杂的洁面问题你都能一眼看穿一笔画。对，建议先点赞收藏，这可能是你考前能救命的洁面全攻略，看黑板！ 今天我们用两种方法来去解决立体几何当中的结面问题。一个结面的话，他通常都会给到我们三个点，这里 c、 e、 f 三个点确实可以确定一个平面，但是这个三个点所形成的三角形他不是结面呢？为啥？因为结面 他所有的边都应该在这个几何体的表面上，所以向右边这个图形 c、 e、 h、 e、 f、 j、 c e 连起来，你看看它所有的边都在这个正方体的表面上，所以这才是真正的结面。那从左边的三个点到右边的五个点，它是多了两个， 这两个点怎么找？也就是我们今天重点去解决的延长线法跟平行线法，它就是为了让你找到这些隐藏的点。 好，它的具体是怎么回事呢？我们先来看延长线，同一个平面上有两个点，这个平面它必须是一个几何体的表面啊， 就像 e、 f 在 前面这个平面上。好，那它就可以延长，延长之后它就可以与其他的面去交于一个点。 那这个点在哪呢？我们注意就是两个线有交点嘛，所以看右边这个图，我们 e、 f 去延长，延长的话，他就会跟 b、 e、 c 交于一个点 i 点，那这时候这个 i 点在哪？在右边的平面上， c、 e 是 不是也在右边这个平面上？好，这两个一连，你就会找到一个新的点， g 点，那这个 g 点它是不是在下表面上， f 点也在下表面上，哎，那我们这样的话就能找到一个新的边， 那同样的这个 fe 就 可以延长，延长到一个 g 点，那这个 g 点它其实应该是跟 b 一、 a 一 的交点嘛？那这时候这个 g 点在上表面上， c 一 也在上表面上，这两个一连，你就找到了这个点是 h 点，那这个 h 是 不是在左边的表面上？ e 也是在左边的表面上？这俩一连你看看又找到这个结面的边，所以我们这样的话结面它就完成了。 那平行线法是咋回事？我们也一起来看一下。首先我们要去找什么与直线所在面平行的平面，然后再去过点去找直线的平行线，也就是说 e、 f， 哎，他在前面这个面上，前面这个面跟谁是平行的呢？跟后面这个 a、 b、 c， e， d， e 这个面是平行的。 然后呢我们就可以过 c、 e 去做 e、 f 的 平行线，你找到了新的线，你就会有新的点。好，那你现在 e、 f， 我们就会过 c 一 去做这样的一条线，那这样的一条线它在后面的表面上，它就会跟左边的表面交于哪呢？去左边的表面上有 a、 d、 e 交于这个 l 点， l 点现在就在左边的表面上，然后 e 点也在左边的表面上，然后这两个点啊一连就会交于这个 h 点啊，这边图形是错了啊，不是交于这个地点，是应该连到这个 e 点上啊，那你看看，如果说这条线 它是不是也可以与下面这个面交于一点，交于哪呢？是应该跟 a、 b 的 延长线交于一点，是 k 点，那这时候这个 k 点就在下表面上， f 点也在下表面上，这两个一连，我们就会找到这个这一点， 然后呢，我们把这样隐藏的两个点给找出来了，把它们连起来就形成了这样的五边形。 所以延长宪法跟相交宪法我们组合起来去应用的话，解决这种洁面的问题会事半功倍啊，所有的这种问题都会迎刃而解，我们通过两个例题把它来实践一下。 我们来看例一，这样的一个正方体当中点 e， 它是 a a e 的 中点，那么过 d e b e， 它的结面图形是什么样的一个形状？所以呢，这两种方式都行，我们可以都来去试一下。 b e 现在在前面的表面上，所以我们可以给他延长啊。延长的话，要想清楚他是跟谁有交点呢？他在前面这个面上，他必须也跟前面这个面上的线有交点，那这个线就是 b e a e 交于一个点 f 吧。好， f 现在就在上表面上，那第一也在上表面上，所以我们就可以连接 f 第一， 但是没有找到一个新的点，对不对？那我们就可以继续延长啊，不是说只延长一次就行的，那就是 f 第一继续延长，它在这个平面上继续往右延长的话，跟谁有交点呢？就会跟 b 一 c 一 是有交点的啊，交到了这个位置是 g 点吧， 那你看点 g 在 右边的表面上，然后我们连接 g、 b， 哎，我们在这 c、 c 一 上就找到了一个点，是 h 点好， h 点跟 d、 e 点都在后边的这个表面上，我们连接起来就行了。 那这样的话，我们现在就形成了一个封闭的 d、 e、 h、 b、 e 这样的四边形， 那这个四边形就是一个完整的结面了，那这个 h 点在哪呢？我们就要通过它的一个比例关系嘛，对不对？好，你看一下，在这样的图形当中， a 一 e 和 b 一 b 是 不是相似比，是啊，一比二的关系，对吧？所以 a 一 呢，就应该是 f、 b 一 的中点，这边是一个一比一的关系。好，那这边我们延长出去之后，这个大的三角形， 那 a 一 是终点， d d 一 a 一 和 c 一 b 一 是平行的， a 是 终点，那 d 就是 终点呢？那这边也是一个一比二的关系，那 c 一 就应该是 b 一 跟 g 的 中点，那么这儿也是一份，这儿也是一份。那相应的，这个小的三角形跟这个大的三角形呢，就是一个一比二的关系，所以 h 点，也就是 c e h 跟 b e、 b 这两条线应该也是一比二的关系，所以 h 啊，它就是一个 中点，所以这个四边形这四个边它的关系就有了呀。 d e 就等于 e， b 就 等于 b， h 就 等于 h d 一 他们的长度，我们可以假设一下，边长是二啊，棱长是二一二，那就是根号五，棱长都是根号五，那首先它就是一个菱形，然后我们再去判断一下这个 d、 e、 e 和 e、 b 它是否是垂直呢？ 那我们就可以去算长度，这边是根号五，这边是根号五。我们假设棱长是二的话，对角线它就是一个二倍根号三， 所以这三边并不呈现勾股定律的情况，所以说它不是直角，所以就只能是菱形。选择 d 选项。好，这是延长取焦点这样的一个想法。那如果我们做平行线是怎么做？我们一起来看一下。 为啥这个也可以去做平行线呢？因为它确实有一个平面上的线，现在是 e、 b， 对 不对？好，那 e、 b 在 前面这个平面，前面这个平面跟哪个面是平行的？那就跟 c、 d、 d、 e、 c、 e 后面这个面是平行的，所以呢，我们就在后面去找一个相同的线呗， 取一个 d、 d、 e 的 终点 f 连接 c、 f， 那 但是 c、 f 呢？跟这个面呢？它并没有交点，所以说它不是一个啊， c、 f 它就不在 d、 e、 b 这个平面上，所以我们就给它平移一下，把 c、 c、 e 的 终点 h 点给它找到，那我们就可以连接 d、 e、 h， a、 h 是 终点，那 b、 h 一 连，哎，这样的四边形跟刚才的是不是一样的？那最后我们算出来，他应该也是一菱形呗，这个是没啥问题的啊。我们再来看例二， 在找到结面的基础上，我们可能会算它的周长，也可能让我们去算它的面积，但是前提都是要把这个结面给补全。我们一起来看这个问题。正方体的棱长是二， e、 f 分别是 a、 b、 b、 c 的 中点过 d、 e、 f 的 平面截，该正方体所得的截面多边形即为欧米伽。求这个欧米伽的周长是多少啊？所以说这个问题你看看他做平行的话，就跟刚才一样，就是出去了，出去了就是 e、 f 在 下面这个 a、 b、 c、 d 上过 d e 去做它的平行线，那这个平行线是不是就出去了？就跟我们刚才讲的平行线法去求交线是一样的，那所以说这个线在哪呢？ 这条线跟谁有交点呢？在上表面上是不是会跟 b e， c， e 的 延长线有交点？ n 点， 你有 m， m 点在哪？在右边的这个表面上， f 是 不是也在右边？我们就可以连接 m f， 然后 n 点呢？它在前面，这个表面上 e 点也在前面，所以这俩一连接，哎，我们就把这个 交点给找到了，交点找到了之后，我们只要连一下就行了，这边是 p 点，这边是 q 点吧？ d e p 一 连， d e q 一 连，哎，这个图形就是 d e p， e f q 这个五边形， 这个就是做平行的方式，那我们也可以延长取交点哈，我们把这个结面两种方式都给讲完之后，最后再去算它的周长。 好，那我们延长是什么呢？在一个平面上有一条线， e， f 现在是不是它在底面 a， b， c， d 上？好，那你 e、 f 就 可以延长了呀？ e f 延长之后到这边， 那它就有一个点 m 吧，然后 e、 ef 反向延长，它就会跟 a、 d 有 个交点，是一个 n 点，你 m 点现在在后边， d， e 也在后面，这俩一连 是不是就是一个点？屁啊？然后 n 点在左边， d， e 也在左边这个面上，这俩一连就能找到这个 q 点， 然后呢，我们把这都连起来，就把这个五边形给他找到了，是不是五边形找到了，那接下来就是计算周长嘛，但是这个点 p 跟这个点 q 在 哪？我们是不是又得想一想了，所以通过这样的延长呢， 我们就会跟刚才一样有这种相似的比例哈，你看啊，这个三角形 e b、 f， 那 你 f 是 终点呢？你延长过去之后 来和这个 fcm 这两三角形是不是全等的？那 cm 就 应该跟 e b 是 一样的，是一比一的关系，所以说 e b 是 一， cm 就是 一啊，你 cm 是 一。好了，那你现在跟这个 m d 一 一连， 那现在有这样的大三角形， d e d m 和 p c m 这俩三角形相似，比是不是就是一比上三呢？一比上三， 所以 p 点它其实就是靠近 c 的 一个三等分点，整个长度是二，那么 p c 就是 三分之二， 然后 pc 一 就是三分之四。同理啊，这边 q 点它也是一个三等分点， q a 就是 三分之二， q a 一 就是三分之四。 所以说我们去延长取焦点也好，或者是平行也好，它都会有这种相似三角形，通过这种相似三角形来去确定比例关系，从而能去确定新的点的位置，这个是一个在后续计算当中很关键的一个问题。 好，有了这些长度之后，它不都是一个直角三角形去求解边长吗？现在第一 p 它等于第一 q 啊，它就等于根号下四，加上九分之十六，那就是九分之三十六，九分之五十二，那就是三分之二倍，根号十三。然后 q e 还有 p f 他 俩也相等啊，那就是根号下三分之二的平方九分之四，再加上 f c， f c 长度是一嘛，加上一，那就是三分之，根号十三，这俩相加呢，就是 根号十三，但是记住有两对，所以乘以二二倍，根号十三，那最后 e、 f 的 长度一比一，比根号二就行了，那就剩下了 c 选项，对不对？

大家好，我是葛军，本期邀请的是佳树老师为大家带来高中立体结合中的内切球的专题讲解， 相信会给你的复习增添助力。咱们开始吧，上抖音精选看葛老师和数学天团。哈喽，我佳树！今天这些内容难度会有一点大， 这期内容我们从大家最最喜欢的立体几何板块挑选出了您一定会感兴趣，并且本身也倍有价值的内切球专题。无论是切体里边的公式法、洁面法，还是球球相切问题，这里通通呈现，并且最后用一道高考压轴题检验成果，咱们开始吧！ 看第一个专题，选项复杂，不必理会，因为体积本就难看，几何体中放入内切球，那么球心到任意表面距离一定都是半径 r， 稍作切割，黄色部分可以直接分离再做切割，下方四棱锥也可以拿出。同样道理，左边分割，后面也拿开。 哎，我一看，这不五个棱锥吗，顶点都是内切球的距离，全部都是半径 r。 底面面积标记一下，随便拿一个，这块棱锥的体积，它就等于三分之一倍的黄色底板面积乘上红色的半径高，而且并非个例，每一块都是这样的， 五个棱锥体积一拼就是圆出完整的四棱锥。数据复杂没有关系，五个相加，左边完整的棱锥体积，右边完整的表面积。这样一个万能公式就是这么来的， 只要体表不弯曲，公式哪哪都能用。当然，这种体表不弯曲的几何体，我们统一称为切体。这题选择第二项 b， 大家可以自行检验正确与否。 接着看到第二题，又是一个三棱锥，两个切点 m n 求长度？折拐了，涉及到球面上的具体点位了，光球半径根本不够， 啷个办嘞？咱们要把两点所在的洁面缘给标注出来，有缘就有心有求，同样道理，并且呀，棱锥、底面等边三角， 三条侧棱还完全相同，这是一个正三棱锥，那么它的高线就穿过 o 撇，穿过 o。 现在掌握以上信息要求 m n 就 一定得知道洁面圆的红色半径吧。 但是呀，我们仔细一看，这个内切球上的洁面圆半径不知道角度，不晓得 m n 的 球解就有了阻碍， 怎么办呀？当我们需要去分析具体的数据时，就一定要落实到平面当中了。那么取哪个平面？好嘞，思考一下， 我取这样一个截平面， a p q 完美经过内切球的球心，现在彻底降为二 d 模式。 哎，好奇怪啊，不是内切球吗？怎么 a p 没有相切嘞？换回人类视角 哦， a p 是 一条棱，内切球切的是面，那 p q 又为啥可以嘞？因为啊，它是切面内包含切点的截线。 现在晓得了，再切回蚂蚁视角，这个红色的 o 撇 n 的 长度求解就简单一些了，红色比黄色等于红色比黄色，这个原理不知道你晓不晓得， 两条黄色线段都特别的好，求再结合圆的切线特点， t q n q 蓝色线段长度还是一模一样的， 所以红色的 p n 一 减，也能够得到我们需要的 o 撇 n， 也就算出来了。 而且呀，在几何关系上，红色的 o 撇 n 和黄色的 t q 还是平行关系，这里有大用处。再切回三 d 视角，我发现呀，这个 o 撇 m 的 分析方法一模一样， 它的长度和 o 撇 n 完全相同，都是同一洁面圆的半径，而且 o p m 还平行于底面的 k t， 和刚才同样的道理。 那么这一下我晓得了。两条圆中的红线分别平行于两条底板的绿线， 所以绿线夹角是多少，红线夹角就是多少。咱们透视一下，光看底板平面等边三角形， abc 高线相交，顶角六十，黄色 c 塔一百二十，再摆回来还原视角大小相同，他也是一百二十度。 m n 连接一下，这是一个典型的一百二十度等腰三角形，已知腰长，底边就是腰的根号三倍，最后可以计算得到 m n 的 具体长度。 是不是感觉难度好像不太够用，不够满意啊？没得关系，我们多加几个球，现在有一个碗，里边放三小球，彼此相切，和碗相切，和碗的顶板还相切， 那么这种球和球相切的问题应该怎么下手呢？各位可以思考一下。这里啊，咱们放心的记住，球球相切，天要塌下来，也先把球心标好， 来都来了，那肯定得连接一下吧，这个连线的终点，它就是切点，那光 a 和 b 连接不行呢？另外标注好两个切点， m 和 q， 又因为三个小球完全相同，所以球心相连，最终呈现为一个边长为两倍半径的等边三角形， 而三个球心的几何中心到任意一点的距离自然也是边长。除掉根号三， 再回到碗中。三个球心的几何中心肯定在整个半边碗的球心的正下方吧。 o n 垂直 a n。 这个时候就又到了经典环节，咱们切换一下观察的视角，把半球形的碗完全放平， 这下好办了， a n 两点到顶板距离都是 r， 最关键一步延长 o， a 刚好触碰到内切点 t， a t 也是 r， 那 a o 呢？勾股定律，根号三分之，根号七倍的 r， 剔除容易部分，碗的半径是大 r， 那 么最后一步也就搞定了。算出答案， 小 r 等于四分之，根号二十一减三倍的大 r， 好 像不是特别美观，但是方法足够适用。哎，这时候有的同学他就要问了，三个球感觉也不够用， 没关系，我们再加一个。但是单纯以方法与思维的角度来讲，您认为多一个或者少一个球有没有质的区别呢？可以思考一下， 不管有没有还是一样的。凡是有多个小球，多个内切球，一定一定要标注好球心的位置，球心相连，终点就是切点，彼此全部连接。 标注红色切点之后，我发现呀，这是一个边长为二 r 的 正方形几何中心，与端点相距根号二倍的 r。 再放回原图中，四个小球的球心的几何中心 k 就 在大的半球腕的球心 o 的 正下方。 我们还是只保留一个小球，因为其他完全对称切换洁面视角，把碗彻底放平， a k 到顶板距离都是小 r。 圆形连线贯穿内切点，根据勾股定律标注好斜线长度，作为唯一的保留部分， 大 r 也就等于一加根号三倍的小 r。 算出最后的答案，那么到这里，相信你已经是一个巨大的好状态。咱们最后来看一道高考真题中的填空押轴，二五年的全国二卷，二六年的，不用着急，不到两个月就可以看到了。 题目说呀，在一个厚度不计的封闭圆柱内，放两个完全相同的小球。问，小球半径的最大值， 那怎么才算最大呢？思考一下，您看这样行不？上切中，切下也切完全居中，数值方向被塞满了， 但是嘞，周围空唠唠的好像浪费体积了。咱们不妨把两个小球左右方向稍微错开一下耶，好像又可以扩大了。那什么情况下能够让空间得到最大化的利用呀？ 是不是两个铁球错开来，在斜线方向上把圆柱完全塞满呢？不仅上下底面相切，球与球之间相切，侧面也是相切的。 当然，有球就得有球心，球心相连过切点。接着又到了最经典环节，观察横截面切换为非人类视角， 圆心与切点相连，标出所有半径，竖九横八。到了这一步，能够算出半径了吗？ 咱们聚焦一下，画出九宫格。竖着的九有哪些组分呢？两边都是 r 中间九减二， r 横着的八，两边 r 中间一减。 下一步咋搞嘞？相信你已经想到了，中间天然构成一个黄色的直角三角形。使用勾股定律，直角边平方和等于斜边平方。整理一下因式分解，算出两个答案。 显然，选择更小的 r 等于二分之五，被大值为二分之五 哦，记得补上厘米。我是佳树，我们在抖音精选为大家应援，期待与你再会！

带参数的法向量很难求五秒求法向量分角来了，不要再为立体几何头大了，跟着数学嗨课，了解底层逻辑，一起进入求法向量分角的学习吧。 这个视频我们来教一下，五秒钟就能求出法向量的分角啊。为什么要学这个方法？其实它分两种，第一种就是正常的嘛，就是我们题目里面全是数字的，就是我的第一种类型，那第二种就是我们题目中有参数的类型，等一下都会讲到的啊。在后面的题目里面，那谈参数的 项链，你去求法项链是不是很麻烦？我去解都要解半天，那么你学会了这个方法，你五秒钟就能出来。这种方法其实就很简单，比如说第一种题型，我就把两个项链横着先写两遍， 就九八五九八五，二幺幺二幺幺，我写两遍之后一定要记住首尾我不要，首尾不要之后用这样交叉的形式，比如说这样的，比如说那么撇和，那么我们在中文里面 用捺相乘就是八，减掉撇相乘就是减掉五，就会得到第一个数。就像同理，后面二乘五就是十，减掉一乘九，十减九一嘛，就一。 那后面也是一样，九乘一减掉二八，一十六就九，减掉一十六就负七。所以我的法向量 就会等于他是不是很快啊？这种题目他的一个优点在哪里？就是只要带参数，比如说我这个题目带参数，我一样的横着先写两遍， 然后下面就那么的加一二三减，那么的，那么的加一二三减，那么的，然后首尾不要，你不一定需要用那减掉撇，你反过来其实是一样的啊，比如说我这里我还是按照定义啊，本身他的定义就是那减掉撇，只是你自己算的时候，你可以 撇减掉那啊，那么这里就是一加那么的乘以三减那么的得到第一个数，同理后面的 二减那么的乘以那么的加一，然后再减掉一个一乘以三减那么的得到第二个数，后面也是同理一乘以二减掉一加那么的，然后那么的加乘以那么的加一嘛，就会得到第三个数，这个我就不去算了，反正最后反正都是含有 那么的减一，然后逗，下面的就是负，那么的方加二，那么的 减一，下面就是负，那么打方减二，那么打加一。你看你这种方法肯定比你列几个式子，嗯，来的快啊。然后这种方法一定要记住，我只能在草稿纸上写， 那书写怎么去写呢？我们先来看一下第一道题，第一道题就对应的刚刚的第一种形式，而这种形式他就很明显的特征就是我接完戏之后，我发现我这这个点，如果你去正常算的话，他带根号，对吧？可能算起来很麻烦，但是你用我教你的方法其实很简单， 只是老是这里啊，这是建的左手系，但是高考一定一定就更加建议你们建右手系啊。好吧，这里只是给你们做一个对比，所以我就特意建了一个左手系，其实算出来答案是一样的，那么我正常去书写，呃，他要求的其实就是二面角， 一个面是 e c o， 一个面是 c o b， 那 么我先求 e c o， 那 e c o， 我 就把 o c 和 o e 表示出来呗，对吧？那表示出来之后，然后我就可以正常去写。正常写是不是要设一个法向量，比如说等于 x e y e 这一，然后就有了 o c 乘以 n 一 等于零，然后 o e 乘以 n 一， 它也等于零，然后我就可以得到一个什么等于零的数字，什么等于零的数字，这个我就不去写了，那么我在草稿纸上再去算就可以了， 因为你这样绝对会比你正常算要快很多的啊。那我就把两个相等，一个是负的一十五分之七倍，根号一十五。逗就不要逗号了，就把它横着写两遍先， 然后把下面这个也横着写两遍。呃。二十分之根号一十五，然后五分之两倍，根号一十五零，二十分之根号一十五。 首尾不要用他相乘减掉他相乘刚好就是二十分之根号一十五，那他相乘减掉他相乘应该就是零，减去他就零加上他嘛。两个相乘 应该就是化简一下二十二十分之七吧，上面有两个根号是五相乘嘛？你看这种口算一般都能出来，那后面这个是不是就减零减去他，所以就负的，对吧？ 快吧。然后你在数学上面我就说令 x 等于二十分之根号一十五，解得 y 等于二十分之七， z 等于负五分之两倍，根号一十五，快不快？然后你假如后面这个向量，你就同理呗，这样去算。但是这里 c o b 其实我们有， 对吧？ c o b 我 们是不是就直接可以随便找一个向上的向量？他都可以，所以 n 二他应该就是零零一啊，有简单的我们就用简单的方法， 对吧？所以你看我再去用余弦就是 n 一 n 二不就可以了，对吧？所以只是你们算的时候，这里有个要点，就是你们一定要记住我要把外面都加个绝对值啊。 我有我算的这个只是算的他是正的，然后我要再根据根据图或者就题目可知他是钝角还是锐角啊？ 或者锐角钝角你就加一个符号，这里你就要加个符号啊，一定要记得是这么去写的啊。所以啊，这方法真的能帮助你快很多好吧， 然后就第二种题型，第二种题型他其实就是考的什么存在啊？问你存不存在嘛？然后说白了其实就是动点，那动点怎么去设？这里我没设，一般情况下他说 pc 上面存在一个点 m， 那 么我去设的时候我应该就是设的 pm 等于那么大倍的 pc 就 可以了，因为我这样子去做，因为我 pc 有 嘛， pc 向量 就会等于那么 w 的 p c 应该就是用 c 减，就负二根号三，负根号三，所以它就会等于负二那么大，根号三那么大，负根号三 那么大， ok， 这是 pm， 其实你要算坐标的话啊，那 pm 是 不是 m 的 坐标减到 p 的 坐标，所以我就自然而然的我就知道这个点 m 的 坐标应该怎么去测了， 对不对？那 m 的 坐标减到 p 的 坐标要等于后面的？那是不是第一个我填的应该就负二那么大，第二个填的就是根号三那么大，然后第三个 我填的就是他要减根号三，能等到他应该就是负根号三那么大，加根号三，看到没有？动点啊？一，一定要知道怎么去设。所以我这题其实，呃，二面角这里有个 m b o， ok， 把它先单拎出来， 这里啊，我就去找呗。 o m o m 有 了吧， m 点和 o 点就都有了，所以他就是负二那么大，根号三那么大，负根号三那么大，加上根号三，还要找一个。 呃，比如说找 o b， o b， 我 们都有。呃，应该就是零根号三，零。 ok， 那 么我就射 法向量设它的法向量，比如说是 x 一 y 一 这一，所以我就说 o m 乘以 n 一 等于零， o b 乘以 n 一 等于零。 ok， 数字不去写了，怎么等于零？怎么等于零？ ok， 抄歌词来了，这个时候又到了抄歌词上了， 因为你正常算肯定很麻烦，因为这个题目里面他含有这么多那么大，我，我想着都烦，对不对？ ok， 你 看，所以这里就是负二那么大，然后根号三那么大，负根号三那么大，加根号三。 嗯，等一下，我写左边一点吧。所以他为什么要再长个整数进行呢？太长了啊，你要因为要写横着写两遍这种带参数的。负根号三那么大， 加上根号三就负二那么大，根号三那么大，负根号三那么大，加根号三，然后下面就是零根号三，零，零根号三，零首尾不要。 ok， 他 说他就零，零减掉，他就是，呃，变成正的了，这里应该就变成了 三倍那么大，然后减掉一个三，这是我第一个零减零，零，快吧？然后这里就是负两倍，根号三那么大，减零嘛，快不快？所以我这里就说，呃，我解得 ok， 这个我都不要了啊。 我就说另， x 等于，比如说三，那么减三就解得， 呃， y 等于零， z 等于负，它可以吧。所以我的发向量就有了，三那么大，减三零负二倍，杠三那么大， 你们就自己去对比一下，我这种方法是不是绝对会很快？那么这里是不是还有个面 boc 面 boc， 那 面 boc 其实它也是一个特殊的面，它 boc 不 就是底面吗？ 对吧？所以他的一个项链我还是可以把它设成零零一嘛。然后他说等于六十度，那我就去解呗，我就列个式子， n 一 n 二，不就会按照刚刚一样自己填令，他等于 口塞以六十度呗，然后去解出来，那么 不就出来了？所以啊，这种只是一个技巧，他不能写到数学卷上面去，一定要记住了。但是他应对这种动点或者这种存在性问题的时候，真的会非常的快的啊。好的，这个视频我们就讲到这里。

家人们，本次小视频我重点跟大家分享二零二六自治区三模解答题十七题。那么这是一道关于理题几何的经典的大题。本次小视频我们不仅把这道题做对，更要把背后的逻辑给大家讲透。好，我们先审一下题， 如图， a、 b、 c、 d 是 边长为二的正方形，以 m 为圆心的半圆面 m a、 b、 c、 d、 e 是 半圆弧 a、 b 弧上的动点。 第一个小问题呢，是证明平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e。 那 么怎么正这个平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e 呢？好，那么它的核心的思路是，先证明先面垂直，从而推倒面面垂直。 那么我们第一个步骤呢，锁定这个目标直线，在其中一个平面 i、 d、 e 或者平面 b、 c、 e 内寻找一条看起来与另一个平面关系最密切的直线。 第二个呢，是正明线面垂直啊。第三个呢，推到这个面面垂直。那么在本题的立体几何图形当中，哪条直线最有可能成为连接两个平面，实现线面垂直的关键？先生呢？好，那么我们一步一步把这道题做一下。 好，因为这个已知平面 a、 b、 e 它是垂直于平面 a、 b、 c、 d 交于 a、 b、 a、 b、 c、 d 呢，它是正方形，那么正方形的两边邻边是互相垂直的，所以 b、 c 垂直于 a、 b， 所以 b、 c 垂直于平面 a、 b、 e。 那 么 b、 c 和 a、 e 它是互相垂直的。 好，那么因为 a、 b 是 直径，那么角 a、 e、 b 它是什么？圆周角？那圆周角是啊，直径所对的圆周角是直角，这是在初中的时候学过。所以啊， a、 e 和 b、 e 它是互相垂直的，那么 a、 e 垂直平面 b、 c、 e， 那 么平面 a、 d、 e 呢？它是包含 a、 e 啊，那么平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c。 那 么第一个小问题，我们做出来的这个积分已经拿到手了，你学会了吗？ 好，我们再看一下第二小问啊，那么第二小问说，若平面 b、 c、 e 和平面 c、 d、 e 所成的锐二面角的余弦值是十一分之，根号三十三，求自冷锥 e、 a、 b、 c、 d 的 体积 好，那么这道题的核心思路是体积，那它是等于三分之一底面积乘高，它的底面是什么来着？是的，十二个正方形边长，你还记得吗？十二，所以底面的面积是等于四。 那么第二个步骤，我们要求高，那么也就是体积计算的关键就是转化为求结点 e 到平面 a、 b、 c、 d 的一个垂直的距离，那么我们要去寻找它的这个突破口，也就是利用题目给出的平面 b、 c 一 与平面 c、 d 一 所成的锐二面角的这个余弦，指这一个几何条件建立方程。求解。 好，那么第一个步骤我们要干嘛呢？啊？肯定要进行，那么这是一个万能的钥匙。好，那么我们沿 a、 b 的 方向画一个 x 九好，那么平行于 a、 d， 以 m 为圆心，画这个 y 九 好，那么垂直于平面 a、 b、 c、 d 的 这个方向上，我们画这个 z 九 好，那么我们把这些点表示出来，那么因为这个 m 是 圆点，所以它的坐标是零都零都零 好，那么 a 点呢？它是在这个圆点的左方，是在 x 轴上啊，整个 a、 b 的 长度是二啊，边长是二嘛， m 是 中点，所以 a 点的这个坐标是负一都零都零啊，那么 b 点是一都二都零， d 点呢？是负一二都零， 那么 e 点它是个动点，所以它是 cosine theta 零， cosine theta， 好， 那么在这的这个 theta 呢？是在零到 pi 中间。 好，那么我们把这些向量给它表示一下。第一个平面 bce 的 这个法向量啊，那么这个 c b 向量呢？它是零负二到零， 从这个末点减去它的初点嘛， b 的 坐标减去 c 的 坐标，能得到 c b 向量，那么 c e 向量是 pythagore theta 减一到负二到萨因 c theta， 那 么它的这个 n 二向量啊，也就是等于负二倍的萨因 c theta 负零，负这个二倍的一点 cosine theta， 同理，那么我们可以写出这个平面 cd 一 的发向量 dc 向量是二到零到零，第一向量是 cosine theta 加一啊，负负二负 sine theta， 那 么我们能得到 cd 一 的这个发向量，那么它是零负二 sine theta 负四。 好，那么利用这个二面角的公式来列方程，那么二面角的公式是锐二面角的余弦值等于两个发向量的夹角的余弦值的绝对值。那么库萨尼塞，它等于 n 二乘 n 三， 它的膜比上 n 二的膜乘 n 三的膜，也就是十一分子根号三。那么我们单独把这个 n 二向量乘 n 三向量是什么？ 那它是等于负八倍的这个 e 减 cosine theta， 那 么 n 二向量乘 n 三向量的这个模是多少？八倍的 e 减 cosine theta n 二的模， n 三的模分别是多少？把它们算出来，算完之后代入化简，那能得到这个 cosine theta 是 等于三分之一， 而 cosine theta 算出来，那现在要求高啊，那么高 h 呢？它是既点是一到平面 a， b， c 的 垂直的距离，等同于一点在 z 的 一个坐标值。所以刚才我们得到这个 cosine theta 吗？那能得到这个 sine theta？ 好，那么能得到这个 h 是 一减三分之一的平方，也就是三分之二倍的根号二，那么代入到刚才的这个体积公式，那么我们得到它的这个体积是九分之这个八倍的根号二， 那么第二小问我们就把它算出来了。好，那家人们啊，那这道题呢，核心就是先间隙法向量，再加一个二面角，掌握了这个套路呢，立体几何直接拿捏。 那么第一个问题呢，我们用了几何方法证明了线面垂直。第二问呢，啊，从线面垂直推导出了这个面面垂直。 第二问呢，用空间向量算二面角，然后双管齐下呢？再也不怕这个立体几何。觉得有用的家人们点个关注，下次带你刷更多的立体几何的经典的题，那么咱们一起重高分儿！

大家好，安阳高三的三模成绩呢已经出来了啊，其中呢，物理组的清北线呢是六百六十四分，九八五线呢是五百八十七分，二幺幺线呢是五百五十九点五分，特空线呢是四百八十六分，本科线呢是三百七十八分。 其中呢，历史组的清北线呢，画的是六百四十一分，九八五线呢是五百七十五点五分，二二幺幺线呢是五百五十一点五分，特空线是五百二十三分， 本科线呢是四百二十三点五分。如果呢，你想知道孩子目前的分数呢，能够到哪些的院校层次呢？欢迎把孩子的成绩呢打在我的评论区也可以呢，直接来我直播间，我们一起为孩子的高考呢加油助力！

咱河南高三三亩安阳地区这个分数线出来了，都在这看特供线、本科线还有青北线啊，尤其是家长和一些成绩比较好的同学啊，查到自己分数的，这会呢，一定要提前操心，自己能够报好拿到好的大学和出路，基本上你分数也定型了啊，今年高考记得本科线下二十分以上都有，本科上提前操心。

关注我十二年，寒窗不负梦想！

立体几何最值问题，间隙算不清楚的宝子有救了！无论是线段最值问题，还是线段和差最值，又或是各种角度问题，但凡你用的是几何法，基本没有什么计算量，还等什么，快点开始学习吧， 同学们好啊，本期视频我们来讲解一下立体几何中的最值问题。很多同学在遇到立体几何的最值问题，他的第一个想法就是来间隙，间隙的确是一个比较好的思路，但是他的计算量往往会非常大，所以能不能用几何的方法来处理立体几何的最值问题呢？ 答案当然是可以的了，我们这期视频将会教大家如何用几何法来处理立体几何的最值问题。 先来看考试考的比较多的叫做线段的最值问题，这里给出一个直三楞柱，这是一个直三楞柱角， a、 c、 b 等于九十度，把九十度给标出来，那么还给了一些线段的长度啊，给了 a， c 等于 bc 等于 a 一， 这些线段的长度都是二啊， 并且还告诉你了 p 点是中点啊， e 点是 a 一， p 上的动点 f 是 c， c 一 上动点。问运动过程中这个线段 e、 f 长的最小值为多少？那么遇到这种最值问题啊，呃，当然这个题目可以间隙，它的标答也是用间隙的方法的， 但是呢，我们如果想要用几何方法，你就需要研究一下这两个动点的轨迹是什么呢？一个呢？是不是啊，这个这个线段，一个是这个线段，这两个线段啊，它所在的直线是处于一个什么样的位置关系呢？你会发现它是处于意面直线的位置关系， 那么意面直线位置关系，你可以画一个草图来研究下何时这两个意面直线上面的点之间的距离是最短的，来跟着我一起来找。首先啊，做下面这根线的平行线，跟上面这根线相交， 哎，这个蓝线画出来，然后再做上面这个线平行线跟下面这个线相交，那么一组相交的直线，那他可以确定一个唯一的平面，所以这里确定了一个红色的平面， 然后底下确定了一个紫色的平面，这两平面是什么样的位置关系呢？他们是相互平行的，为什么相互平行呢？因为他平行于他啊，然后呢他就平行于这个面，同理啊，这个蓝色线也平行于这个面， 那么一组相交线啊，分别平行于这个面，那么这组相交线所形成这个面就会有面面平行，那么面面平行跟我们要求的这两个意面直线之间的 两个点之间距离的最小值有什么样关系呢？来我们一起回到最初啊，最初的是两根绿色的意面直线，那我在这里任取两个点啊，比方说 我这里取个点，这里取个点来，你们有没有发现这个点一定在红色的这个面上，这个点一定在这个紫色面上，那么这两点之间的距离一定是大于这两个面之间的距离的， 那什么时候啊，我取一些这个意面直线的点，能够使得这两点之间的距离等于这两个面之间的距离呢？你自己感受一下啊， 这是一个绿色的线，这个这是另外一个绿色线，那么这个绿色线有一个点在上面不断的运动，是不是总有一刻时刻啊？比方说在这个时刻，这个时刻这个点恰好在这个绿色线的正上方，所以只要我取的是这个点和这个点， 那么这两点之间的距离，其实就是两面之间距离，也是这个一面直线的两点之间距离的最小值。 所以这样我们就可以把线段 e、 f 的 长度转化成了什么两面之间的距离。两面之间距离由于是平行关系啊，所以我完全可以选择什么，选择上面的任意一个点到这个面的距离。比方说红色这个面到紫色这个面的距离，我可以把它看成是什么， 看成是这个绿色线上的任意一点到这个紫色面的距离，我求出这个距离就结束了。具体到这道题目怎么样来做呢？啊？跟着我一起来第一步啊，我们先标出 之前对应的这个意面直线啊，是不是这两个意面直线 e、 f 分 别在这两个线段上面动吧。好，接下来怎么办呢？接下来我们把这个紫色的面给画出来。怎么画呢？是不是做了上面这个绿色的一个平行线呢？所以我这边也是一样的， 我做 p q 平行于 c c e 这个点是 q 点，然后连接 a e q。 好，那么这个面啊，其实就是这个紫色的面，看得出来吧，此时他跟他是平行的，对应的是他跟这个紫色面是平行的。好，我现在想要求， 呃，这上面任意一点啊，到紫色这个面的距离，我就可以选上绿色线上面的任意一个点，我可以选 c， 我 可以选 c， 所以 这个 ef 长的最小值最终就可以转化成什么呢？转化成比方说，我可以求 c 一 到面 a e q p 的 距离，变成了一个这样的问题， 那我怎么样来求这里的 c 一 到这个面的距离呢？最简单的方法是不是做垂呀？我过这个 c 一 这个点啊，做 a e q 的 垂线垂足为 m 来，你看它垂直于它， 然后呢，它垂直于上底面吧，然后这里做的是平行，所以它也垂直于上底面，所以它垂直于 cm， 所以 cm 既垂直于它，也垂直于这个面，所以 cm 其实就是 c e 这个点到 a e p q 这个面的距离。好，接下来我们专注求 c e p q 这个面的距 离。好，接下来我们专注求 c e p q 这个面的距离。好，接下来我们专注求 cm 就 行了。我从上往下看啊，画一个俯视图， 这是个俯视图啊，好注意啊， a e c e q 由于 c e q 的 长度啊，是这个长度是整个的一半啊，整个是二嘛，所以说它的长度是一， 这里的 a e c e， 它跟它的长度是一样的啊，那它的长度等于二，所以它等于二，并且呢，这个是垂直的啊，所以上面也是垂直的， 这是垂直的，那不就是求一个直角三角形斜边上的高吗？用等面积法就能求吧，可以算出斜边长度。勾定，你算出来是根号五， 所以二分之一的这个底乘这个高。等于二分之一的这个底乘这个高，那么算出来这个 c m 就 等于二乘一，除以根号五，等于五分之二倍的根号五。这题答案就是它。 接下来我们一起看一道双动点加上线段和的对折问题啊，这里给出了一个长方体，然后给出了长方高的有关信息啊，还告诉你，这个一点是中点 f 在 这个上面动啊， p 点在体对角先动，问这个 p 一 加上 p f， 它的最小值为多少？ 那么遇到这种线段和或者线段差的问题啊，我建议是把它放在同样一个平面中进行分析，如果它本身不在同一样一个平面内，我们还可以进行一个翻折的操作， 我们来分析一下。首先 p 点在这个线上动， f 在 这个线上动，这两个线构成的平面是哪个平面呢？ 是不是这个这个对角面呢？这个对角面经不经过一点呢？你会发现他恰好经过一点，所以你所关心的 p 点、 e 点、 f 点都在这样一个平面内，我们把这个平面给标注出来，并且把它画出来。显然啊，这个平面啊，他肯定是一个矩形，然后长宽高相关的信息啊，我们需要从这里开始出发。题目告诉我这个长度是根号二，这个长度是根号二， 所以自然这个长度就是二吧。然后还告诉我 ab 的 长度是二，所以它跟它还相等。一组邻边相等的矩形肯定是正方形，这足够特殊了。我们把这个正方形给画出来， 这是 a 点， b 点 c 和多一。呃，一点是中点 p 点啊，在这根线上动， f 在 这根线上动，哦，这又变成了一个双动点问题，双动点问题怎么样来处理呢？虽然 p 点和 f 都在动，但是我可以先让 p 点固定下来，我先让 f 动一动来，我要想 p 加 p， f 最小 f 应该怎么样？ 你想想，这是定点啊，这是定点，然后只让 f 动起来，是不是应该是垂直的时候才能使得 p 一 加 p， f 尽可能的小？ 所以我这个 f 它应该始终运动到跟 p 点啊相连的，这个连线垂直于 c 一 多一的时候才有可能使得它最小。 那么现在我再让 p 点动起来，那么 p 点动怎么怎么动呢？你看这两个线段合了，出现线段合，我是不是应该要把它转换到 异侧，而且正方形它是存在天然的对称性的，所以我在这个地方应该是取它的中点啊，这里有个中点 a， b 的 中点 m， 这样我就可以把 pe 这条线转化到 pm， 这个时候它和它就处于 b 多的异侧了。 来，我多画几个 p 啊，比方说 p 点在这里， p 点在这里啊，这样做个垂直在这里啊，在这里这样做个垂直。我问你何时最短的？是不是我直接 过 m 做这个边的垂线，这应该对应的是 f 最小值，此时对应的 p 的 最小值吧。比方说我们对比一下， 刚才有一个这样的折线和这样一个直线啊，你觉得哪个的线段更短？肯定是我直接这样做垂对你的线段最短，所以这题已经做完了， 最短的这个距离之合，其实就是这个的长度。这个长度是什么？是这个正方形的边长，刚才已经研究了这个正方形的边长，它就等于二吧，所以这题最小值就是二。 接下来我们一起看一道角度的最值问题啊，这里给出了底面是菱形的一个四棱锥， a、 b、 c 多为菱形，还给了 abc， 这个角度是六十度吧，所以遇到菱形加六十度，你会联想到什么呢？一个菱形，这个角是六十度， 这两个相等，这不是等边三角形吗？这边也是等边三角形吗？所以你会想到两个等边三角形。题目这里给了个 p， a 等于 a， c 等于 a， 把它标在图上，这是 a， a， c 等于 a， 这不就是那个刚才那个等边三角形的其中一个边长为 a 吗？所以这也是 a， 这也是 a， 那 另外的 这些都是 a 吧？还给了 p， b 是 根号二倍的 a， p 多是根号二倍的 a。 那 写到这里有没有什么想法？你看到 a， a 根号二一倍的 a， 没什么想法吗？ 它的平方加它的平方等于它的平方，它的平方加它的平方等于它的平方。立马能反映出来，这个 pa 就 垂直于 a 多，它也垂直于 ab， 所以 垂直于一个面内的两个相交直线，这根线它其实就垂直于整个底面吧。我们写在旁边， pa 垂直于面 a， b、 c 多好，再往下读啊，这里说点一在 p 多上啊，并且 p 一 比一，多是二比一啊，所以这是个靠近多点的三等分点。 f 是 棱 p c 上的动点啊， f 在 这里动啊，在这里动。问的是什么？问的是直线 b f 与面 p a、 c 所成角的正切的最大值。首先我们先一起回顾一下线面角的求法。这里有一个平面， 然后呢，有一个斜线啊，斜线，这是 p 点，这是 a 点。好，我过 p 点做这个面的垂线 p o， 然后连接这里的 a o， 那 么 a o 和 pa 所呈的这个角啊，其实就是这根斜线 pa 跟皮面 alpha 所呈的线面角。那我也就是要经过什么？经过 f 在 这里， b 点在这里，我要经过 b f 上面的一点啊，做什么？做这个 p a c 的 一个垂线，那我怎么样来做的？ 我肯定是过 b 点，对不对啊？肯定不是过 f 点， f 就 在这个面上过 b 点做这个面的垂线。是不是刚才得出了 pa 垂直于这个底面， 所以我是不是只需要过 b 点做 a c 的 一个垂线，或者我直接把 b 多一连，因为菱形的对角线是相互垂直的，那么连完之后呢，交这个对角线啊，于 o 点， 你就会发现 b o 垂直于 a c。 刚才说了 pa 垂直于底面，所以 pa 是 不是也垂直于这个 bo 啊？ bo 既垂直于 a c， 又又垂直于 pa， 所以 bo 是 不是就垂直于这个面？那么这样我就做出了那个垂线， 那么线面角在哪里呢？把这个 o f 一 零， o f 一 零，这个角就是线面角，这是斜线。然后呢，做垂线的时候呢，把它投影下来啊，这个是摄影，这个是摄影，这两个所呈的这个角就是线面角，那么 我们刚才说了，它垂直于这个面，所以垂直于自然会垂直 o f， 所以 这是垂足，那么这就是一个直角三角形。我要求 tanning， 这个角不就是 bo 比上 off 吗？也就是说我们要求的目标 tanning alpha 是 等于 bo 比上 off， 我 要求它的最大值， bo 是 不是固定的？ bo 是 不是固定的？是的吧，是这个的一半，这是一个一百二十度的等腰三角形啊，一百二十度，所以一比一比根号三，这是根号三倍的 a， 这是二分之根号三倍的 a， 二分之根号三倍的 a， 除以 o f， 我 要求它正切的最大值是不是 o f 要尽可能的小， o f 是 随着 f 的 运动，它在不断的变化的，那么无论怎么样 移动啊，它都是在这个 p a c 这个平面内的，所以我们把 p a c 这个平面给画出来。 好 p a c， 这是垂直的，这是 a 啊，这好像是 a 吧，是 a， a c 的 长度是 a， 所以 它应该是一个等腰直角三角形，过什么？过它的终点， 这点 o 点，然后呢，这是 f o f 长度在不断发生变化。那什么时候 o f 最短呢？是不是我做垂直的时候最短呢？ 过 o 点，做这个垂线垂直的时候最短。那我会发现 o f 的 最小值， 它实际上就等于什么？等于这个长度是二分之 a， 这是四十五度吧，所以二分之 a 除以根号二，也就是 a 除以二倍根号二。直接把这两者一比， tanning 的 最大值 等于它比上它，把 a 约掉了之后，得到就是二分之根号三，除以二倍根号二分之一，再把二约掉，把根号二翻上去，结果就是根号六，所以正切值最大就为根号六。 最后我们再来看一道立体几何的综合性问题，这道题目难度是比较大的，先跟着我一起读一下题目，给出一个正方题啊，一点是棱的一个中点啊，这是中点。 动点 m 是 从 a 一 开始啊，顺着这里啊，不断地走，一直走到这个一点。问，下列三个结论中，哪些是正确的，哪些是错误的？好，先来看圈一啊，不存在点 m， 使得 b 一 多垂垂直于面 m a c b 一 多是一个固定的。然后呢， mac 这个面是随着 m 的 点不断运动而不断发生改变，它们不存在这样的点 m 使得这一面有个线面垂直，那么这底就是考你的基本功了。 你知不知道正方体中 b 多垂直于哪个面啊？ b 多垂直于哪个面啊？答案是，这个体对角线垂直于这个面，还有一个面也垂直于这三个点形成的面。这里我们要用的就是 a 多、 e、 c 这个面呢？来，跟着我一起来啊。首先 c 多一垂直于 c 多啊，因为这个叫做正方形的对角线是相互垂直的。另外还有什么呢？还有你看啊，这个 b、 e、 c， 它是垂直于后面这个面的，所以 b、 e、 c 垂直于什么？垂直于 c 多一，所以 c 多一，他既垂直于他，又垂直于这个一连，那么他就垂直于这个面。你有没有发现这个面是包含那个什么紫色的线的，所以紫色的线跟这个红色的线是垂直的。 同理啊，这个紫色线跟这个红色的线他也是垂直的，为什么？因为他垂直于他，然后这个线又垂直于这个线啊？因为有个线面垂直，所以他就垂直于这个面，就垂直于紫色这个线。 所以紫色这个线既垂直于这个红色面，红色线啊，又垂这个红色线，那么它就垂直于整个红色的面。来，你观察一下，既然现在有一个已知的 跟这个线是垂直，那么我在在这个基础上面往前偏一点点，你看看 m 在 哪里？ m， 你 感受一下，它们是共享了一个公共边，但是呢，这个多一啊，从这个地方往这个地方移了，移到外侧了，所以它肯定不是原来那个面。 那么无论你 m 在 怎么样一个运动啊，它都不可能跟这个什么 a c 多一啊，这个红色面重合，那么也就说不存在这样的 m 使得它成立，那么结论一自然就是正确的。考你的基本功，正方题里面常见的线面垂直。 再来看第二个，第二个给出一个四面体啊， b e m a c 的 体积是逐渐增大的， b e m a c 啊，涉及到这四个点，这四个点中有三个是定的吧，看得出来吧， a 点是定的， c 点是定的， b 是 定的。那么我为什么不能把这三个点当成一个底面，所以它底面的面积就保持不变了。那么高是什么呢？高是 m 到这个面的距离，那么这个问题就变成了， m 到面， a c， b e 是 否 越来越圆？因为你越来越圆，它的高就越来越大，而底面的面积又是恒定的，它对应的这个，呃，四面体的体积自然是在增大。好来分析一下啊， m 到哪个面的距离呢？ 是不是 m 到 a c， b e 的 距离？我们把它连一下啊，这个一连，这个一连， 你只管感受一下啊，就 m 从这里运动一下，往这个方向运动，是不是越来越远了啊？你感觉像，好像是越来越远，但是呢，不太严谨你的感觉， 所以我们可以找一个临界的情况，就是我比方说啊，按照某一个方向运动之后呢，发现，发现啊，这个距离不变， 那，那不就是平行吗？线面平行吗？自然会想到我们把 a e c e 一 连来， 他跟他是平行的，他是不是就平行这个子面？然后呢，这个 a 一 啊，也就是 m 运动的方向是不是往上翘一点点？简单来说是这样一个情况啊，我跟你画一个面， 这是刚才研究的那个固定的平面，然后这是 a 一 c 一。 好，如果说你是沿着这个 a 一 c 一 运动的话呢， 这个体积是保持不变的，但是呢，你偏偏是啊，你偏偏是看到没，这个地方离他更远了，这根线离这个会更远一些，那么就是从 a 一 这个地方往上一点点， 那么随着 m 点的运动啊，这是 a 一 一 m 点的运动， m 从这里到这里，他到他的距离就会越来越远，那么对应的这个体积就会越来越大，所以全二也是对的。 那圈三呢？圈三研究的是 b c e 与 a m 所成角， b c e 在 哪里？ b c e 在 这里吧？ a m 在 哪里？ a m 在 这里吧？来，这两个意面，直线所成角，我，我不能把 b c e 直接挪到 a 多 e 吗？这个时候他们就公共了一个顶点吧。所以其实就是在问， m 在 运动过程中，这个角多 e a m 啊，这个角是在怎么样发生一个变化？ 这个角是由固定的一个边 a 多 e 以及随着 m 在 不断运动而发生变化的一个 a m 这两个边共同所决定的。但是你 a a e e 无论怎么样运动，是不是都在 a a e e 这个面上进行运动？ 好，我给你抽象出来，到底是什么样一个情况啊？这是一个面，然后呢？呃，这是 a 点啊，这是 a 点，这是多 e？ a。 好， m 在 这个面上的一根线上面进行运动，比方说就这根线吧。好，他现在想问， m 运动过程中 啊，运动到哪里？这个角，这个角啊，这个角是在怎么样发生一个变化？ m 顺着这个方向运动 来，你有没有什么感觉啊？因为感觉就是当 m 啊运动到这个位置时候，也就是他投影下来，恰好经过他的投影，经过 m 的 时候，这个角度应该是最小的。为什么这个红色角是最小角呢？可以带你稍加证明一下啊， 不就是这样一个平面吗？然后这里有个斜线，这个斜线啊，我做这个面的垂线得到的这个红色的角，我想证明他比这个面上其他一根线， 然后呢，所形成的这个绿色的角要比他更小吗？不就是要证明这样一件事情，我只需要过这个点，做这根线的垂足，然后呢，再把 这个一列好，就正完了。怎么正的？你看啊，首先他垂直于这个面，就垂直于他， 然后我刚才做的，他和他垂直，所以他和这个面就垂直，那么他自然就垂直于他，所以这个角他也是垂直的， 也是垂直来看啊，我要算 sin 这个角， sin 这个角是不等于它比它，它比它。然后呢， sin 这个绿色的角是不等于它比它， 它比它，然后它们的分母是相同的分子，红色角对应分子是这个长度，绿色这个角对应的分子是红色，这个长度明显它比它长吧 啊，因为这个是点到面的距离，它是最短的，所以红色的这个角对应的 side 值是最小的， side 值是最小的，那么它对应的这个角度就最小。 那么也就是说你 m 在 运动过程中，你可能是大小变成一个小角，然后再变成一个大角，先变小，再变大，那么就思考一下。呃，如果把这个 a 多一啊， 往这个上面投，说白了就是过多一做 a 一 一的一个垂线，这个是垂足，那么所形成的这个角应该是什么角呢？应该是最小角。 哎，我们只需要分析一下过多一做 a 一 一的垂线，这个垂足是不是在 a 一 一这个线段上，而不在它的延长线上？你发现是的，所以 从 a 一 一直到这个垂足的时候呢，对应的这个角是在逐渐减小，一旦过了这个垂足又逐渐增大，所以你不能说他逐渐减小，你只能说先减小后增大。全三是错的， 这题的正确答案就是 b 选项。本期的内容啊，相对来说难度比较高，但是呢， 如果你能掌握我们今天所讲的一些几何方面处理技巧，而不是单纯的去圈系啊，在那里设设点的坐标算半天，那你就能够大幅的提高你的做题速度。希望本期视频对大家有所帮助。

好，我们来看下一个问题，如图四边形 a、 b、 c、 d 与 a b、 e、 f 呢，都是直角梯形，这里这两个字母我标反了，现在呢，我已经标注出来了，这个是 e 啊，这个是 f， 并且平面 a、 b、 c、 d 垂直于平面 a、 b、 e、 f。 当我们阅读一个题目的时候，读到这个位置，你就要发现这是一个非常非常关键的题目信息，你要敏锐的捕捉到这个题目呀，他在考我们面面垂直的性质，那么我们第一步一定要先找到这两个平面的交线， 现在这个交线呀，他就是 ab， 那 么哪条线垂直于 ab 就是 我们接下来要找的关键信息。 接下来他说 abcd 与 ef 是 互相平行的， cd 的 长度呢是一， ef 的 长度也是一， ab 是 二， ab 是 二， af 呢也是二。 b， a d 与 b a、 f 这两个角都是直角。好，读到这样的时候我们就发现了哦，这里边的 a、 f 以及 ad， 它们两个都垂直于交线 ab， 那 就说明 a、 f 垂直于下表面， ad 呢垂直于内表面。 第一问让我们去证明 bce 垂直于 af， 那 这就非常的简单了，因为 af 呀，它已经垂直于线表面了，它自然呢就垂直于啊 bc， 所以 第一问非常的容易。我们再来看第二问， 让我们去求平面 acf 与 bce 夹角的正弦值， 那么这是一个求二面角的问题，我们要先建立空间直角坐标系，那这个题解析就非常非常的简单， 直接，以 a 点为坐标原点，这个为 x 轴，这个为 y 轴，这个为 z 轴。那么我们把坐标写一写， a 点呢，自然就是零零零， c 点呢？ 二一零 f 点零零二， b 点零二零 e 点零一 二，这样的话呢，你只需要写 a， c， f 以及 b， c， e， 把法向量都给它写出来，然后呢，去求正弦值就可以了。注意啊，是要求正弦值这个题目呀，我们着重要讲的呢，是它的这个第三问， 这个第三问呢，勉强呀，也算是一个新的问法吧，就是说它把向量的这个考法更加具体化了。 第三问，他说如果空间当中存在着一个点 q， 并且呢，他满足 d q 向量等于喇么的倍的 d f 向量，再加上一个六倍的 b b 向量， 喇么的与六呢，都是属于 r 的， 并且呀， a q 它是垂直于平面 b c， e 的， 让我们去求这个 a q 的 长度。 由于第二问之中啊，我们已经建立了空间直角坐标系，那我要想求 a q 的 长度，有一个最简单的方案，就是我要是知道 q 点的坐标， 由于 a 点它是坐标原点，那么 a q 的 长度自然等于 x 方加 y 方加 c 方，再开根号就可以了。所以说，我们关键呀，是要把这个 q 点的坐标呢，它满足的合金， 它满足的核心条件就是 d q 向量等于喇么的 d f 加上 m 倍的 d b。 那 刚才我们写了 d 点的坐标呢，它是二零零，所以说这个 d q 向量 就等于 x 减二 y z， 而这个 d f 向量 等于负二零二，而 d b 向量呢，负二二零。那我们知道 d q 等于喇么的 d f 加上缪倍的 d b， 也就是 x 减二 y z， 它等于喇么的乘以一个 d f， 也就是负二喇么的，然后呢，再加上一个缪倍的 d b， 也就是负二缪 二缪零。于是乎呀，我们可以得到这样一个方程，就是 x 减二，它就等于负二栏的减二缪， y 呢，它就等于二缪，而 z 呢，就等于二栏的。 从现在我们得到的这个方程来看，我们是没有办法把这里边的阿拉伯和缪呢给它求出来的，因为啊，这里还有一个条件，就是 a q 向量垂直于平面 b， c、 e， 这就说明呢， a q 向量是平行于 b， c， e 的 反向量的，这个 a q 向量呢，它就是 x y， z， 而这个 b、 c， e 的 反向量，我们在第二问当中呢，是可以把它算出来的，它就是 一二一。于是乎呀，我们还可以得到这样一个方程，那就是 x 等于 y 比上一个二，然后呢，再等于 z， 那么我们去解这几个方程就会得到呢，喇么的是等于四分之一，而缪呢，是等于二分之一的。然后我们再把这里的喇么的和缪啊给它 带回去，我们就可以得到每一个点的坐标，这里的这个 z 呢，它就等于二分之一，而 y 呢，它就等于一，那 x 呢，它就等于 二分之一。有了这三个坐标，我们再求 a q， 那 就非常非常的容易了。那这个题目呀，其实呢，它的本质还是比较简单的。 再来看下一个问题，把一副三角板按照如图所示的方式呢进行拼接， 告诉我们， ab 的 长度呀，是二倍根号六 ac 的 长度呢，也是二倍根号六角 bc， 这个呢是九十度角， bcd 呢也是九十度， 这个角呢是三十度。然后呢，把这个三角形 abc 沿着这个 abc 的 这个位置，并且呢让这个二面角呀为直二面角， 也就是说这两个平面呢，现在处于互相垂直的状态，我们又一次得到了这个互相垂直这样一个信息，那既然还是互相垂直的，那么我们还是要搞定交线呀，就是 bc， 谁垂直于 bc， 这是非常非常重要的一个信息。 左边这个图当中呀，我们可以分析到就是这个三角形 bc， 它是一个等腰直角三角形， 既然他是等腰直角三角形，那么我们很容易想到，我可以找到他的这个中点，假设这个中点为 o， 那 反映到右边这个图上，他就是这样的这个点呢，就是 o， 很 明显这个 p o 呢，他就垂直于 bc， 那 p o 垂直于 bc， 他 自然就垂直于平面 b、 c、 d， 它垂直于平面 b、 c、 d 自然垂直于 b、 c、 d 之内的所有线。第一小问，让我们证明 p b 垂直于 p c、 d， 现在我们知道的是 c、 d 是 垂直于 b c 的， 而这个 c、 d 呢，还垂直于刚才我们找到的这个 p o。 把这两个信息放在一起， c、 d 呀，它就垂直于这个平面 pbc， 那 它垂直于平面 pbc， 它就一定垂直于 pb。 而由于这个三角形 pbc 啊，它是一个等腰直角三角形，所以这个 pb 呢，还垂直于 pc， 那 我们把这两个信息放在一起， pb 既垂直于 cd， 又垂直于 pc， 它自然呢就垂直于平面 pcd， 这是一个非常容易证明的问题。 第二问，让我们去求这个点 c 到平面 p b d 的 距离， 这个题目呢，我们还是可以用两种方法加以解决。第一种方法当然就是建立空间直角坐标系，这种计算方式还是比较简单的，我们以 o 点为坐标原点，然后呢， o、 b 作为 x 轴，然后啊 做 c、 d 的 这个平行线，这个东西作为 y 轴，那这个东西啊，作为 z 轴，然后把 c、 p、 b、 d， 它的坐标都给它写出来。那这个 c 点，它的坐标呢，我们可以到左边的这个图当中进行计算， 这里这个 bc 的 长度呢，它是四倍的根号三。所以说这个 c 点的坐标呢，就是负二倍根号三， 零零 d 点的坐标 c、 d 的 长度呢，它是等于四的，所以说呀，它就是负二倍根号三，四零 b 点的坐标二倍根号三，零零 p 点的坐标呢，那自然就是零零 二倍根号三。那接下来啊，就是找什么法，向量之类的，用点面距距离公式进行计算就可以了。 方法二，还是使用等体积转化法。我们先来算这个 p、 b、 c、 d 的 体积，那它的这个体积啊，可以用三分之一 s， 三角形 b、 c、 d， 然后再乘以一个 p o 进行计算。 同时呢，它的这个体积啊，也可以用三分之一 s， 三角形 p、 b、 d 乘以我们要求的那个距离 h， 这个 p、 b、 d， 它的面积还是非常容易求解的，因为这个 p b 的 长度呢，是 二倍根号六，这个 b、 d 的 长度呢八。而 p d 的 长度呢，也非常容易算。在这个三角形 p、 c、 d 当中，使用勾股定律就可以算出， p d 的 长度呢，是二倍，根号十。 那么我们写出来之后就发现，哎，这三个长度呀，它正好是符合勾股定律的，所以它这个长度呢，就可以写成二分之一 p b 乘以一个 p d， 于是乎呢，用等面积法，它等于它就可以把这个 h 给它求出来，这是第二种方法，也是比较简单的。接下来呢，我们来看它的这个第三问问， 在这个线段 p d 上是否存在着一个点 e， 使得呀，这两个二面角所成的这个余弦值为二十八分之，根号十四。如果存在的话，让我们去求这个 p e 比上 p d 的 值， 那这又是一个探索型的问题。其实这种问题它非常非常的简单，它唯一的难点就在于这个计算量稍微有那么一点点大上，我们直接设这个 pe 向量是等于喇么的倍的 pd 向量的，然后呢点 p 的 坐标，刚才我们已经写过了，是零零二倍根号三，这个点 d 的 坐标 负二 b 根号三四零。我们先假设这个 e 点呢，它是 x y 以及 z， 于是乎这个 p e 向量自然就是 x y， z 减去 二倍根号三，它等于喇么的倍的 p d 向量，也就是负二倍根号三四，负二倍根号三，那么 x 呢，就等于负二倍根号三，喇么的 y 呢就等于四喇么的，而这个 z 呢，就等于负二倍根号三，喇么的再加上一个二倍根号三。这样的话呢，我们就找到了这个一点的坐标， 接下来你只需要用这个一点的坐标去写它这个法向量，然后呢就可以完成。对于这个问题的运算还是很简单的，只要耐心细致的去算，很容易知道答案的。那本题的最后答案是栏目的等于七分之一，同学们可以自行计算一下。 接下来呢，我们来看一个以圆台为考察背景的一个问题，如图，圆台的上下底面圆，心分别为 o 一 和 o 四边形 abcd 为下底面圆，它的内接正方形，并且呢， ab 等于 o 一， o 二是等于二的， e 和 m 呢，是上底面 o 一 和 o 二上的两个点，这里有一个 m 点，这里有一个 e 点， f 呢是 bc 的 中点，并且满足条件， abe 垂直于平面 abcd。 那 这又是一个面面垂直的问题，我们一定要找到交线，那交线显然就是 ab 了。 从我们目前知道的条件，我们知道底面它是一个正方形，那就是说 ad 垂直于交线， bc 也垂直于交线，所以 ad 和 bc 它们分别垂直于平面 abg。 而这个题他又告诉我， e a 跟 e b 是 相等的， e a 和 e b 相等，就说明三角形 e a b 它是一个等腰三角形，那等腰三角形又出现了三线合一的问题，我肯定是先想法找到这个 a b 的 中点， 我找到这个 a b 的 中点，向下一连，假设这个中点为 h 吧，那这个 e h 自然呢，也垂直于 a b， 它就垂直于下表面。 第一问，让我们证明 a f 是 垂直于 d e 的 这一问呀，它的核心考法其实呢，就是三垂线定义 一条斜线，他想要垂直于平面内的一条线，就需要平面内的这条线垂直于他的投影线。 刚才啊，我们过 e 点向下表面做的这个 e h 就 已经找到了 e 点在下表面的投影。那接下来呢，我们把这个 d h 呀给他连接起来，现在呢，我们把这个底面图形呀给他画出来。 这种证明垂直的方式呢，我们称之为交叉垂直，他用的原理呢，也是非常非常的简单的，并且呀，非常非常多的次数出现于各种形式的考试题目之中， 那么我们把这个底面图形呀先给他画出来，这个点呢是 h 点，这个点呢是 f 点， 我们怎么去证明 a f 和 d h 是 互相垂直的呢？这个方案非常非常的简单，我们只需要去证明这个角的正切值与这个角的正切值是互为倒数的即可。 我们已经知道下表面是一个边长为二的正方形，那就说明这个边等于二， a h 这个长度呢是等于一的，所以说这个弹性的角 a d h， 它就等于对边比邻边，也就是一比二，而这个弹性的角 d a f， 我们这样给他连接一条辅助线，当然呢，你也可以去求这个角，因为他俩是相等的，那么他的正切值等于对边比上邻边，自然呢是等于二比一的，一个是一比二，一个是二比一， 他们两个互为倒数，所以说这个角与这个角是互余的，那么这个角就一定是九十度， 于是乎呀，这个垂直就非常非常的容易了。我们已经知道 e h 是 垂直于下表面 abcd 的， 那么 e h 就 一定垂直于 af， 而我们又知道 d h 也垂直于 a f， 那 就说明 a f 呢，它是垂直于平面 e h d 的， 那么它就一定垂直于 d e， 这样的话呢，我们就完成了对第一问的证明，第二问，第二问，让我们去求圆台的体积，那这个还是非常的简单的，因为呢，我们是有圆台的体公式的， 我们只需要把下表面的半径以及上表面的半径呢都给它求出来就可以了。那下表面的半径很简单 o a 啊，它就是等于根号二的，那上表面的这个半径呢？它其实呀，就等于这个 h o 这个长度，那 h o 这个长度是等于一的，所以说上表面的这个半径 r 一 等于一，那 r 二呢，是等于根号二的，我们直接带到体积公式里头， v 就 等于三分之一派 乘以一个 r 一 的平方，加上 r 二的平方，再加上 r 一， 乘以一个 r 二，然后呢乘以它的这个高 h， 也就是这个 e h， 而这个 e h 呢，它正好是等于 o o 一 的，也就是等于二往里边代入，就可以得到它的这个体积。 接下来我们来看这个第三问，如果直线 f m 与平面 a d e 所成的这个角的正弦值为十分之三倍的根号十，让我们求点面距。 嗯，这一问呢，其实它的融合程度还是非常非常的高的，它属于呢，就是把平面解析几何和立体几何呀，给它融合到一起进行的一个综合考察。 呃，很多同学在解决这个问题的时候呢，因为我前面证明的这个过程啊，引入了一个 e h 这样一条直线，很多同学就会思索，哎，我能不能在 h 这个点去建立空间直角坐标系呢？ 因为这里上表面的这个点 m 呀，他并没有一个固定的这个位置，如果我们用 h e 去当坐标轴 z 的 话，就不太容易引入这个 m 点的这个参数值。所以啊，我们在解决这个问题的时候呢，还是要按照我们一般性质的处理原态问题的基本思路，那就是拿着这个 o o e 去当这个 z 轴，而 x 轴和 y 轴的选择呢，方法呢有两种，一种方法呀，是这样，我把 a c 和 b d 这两条线给他连上，因为呀他们两个都是正方形的对角线自动呢，就是垂直的，我就可以以这个当 x 轴，以这个当 y 轴，这是一种间隙方案，还有一种间隙方案也是比较容易想到的，那就是我这样去选择 x 轴，这样呢去选择 y 轴，这两种方案都是可以的，但是呢，还是以这个 o o 一 当 z 轴啊，这种方法是比较容易的， 因为刚才我说了这个题目他最大的难点就是把平面解析几何和这个空间向量进行了一个融合性的考察，我们关键呢要搞定这个 m 点的这个坐标，那 m 点的这个坐标我怎么搞定他呢？现在呢，我们就观察这个上表面， 它是一个半径为一的单位圆，这个 m 点呀，它就是单位圆上的一个动点。那么由平面解析几何的知识知道单位圆吗？我们在引入它参数的时候，只需要让它的横坐标为 cosine， 纵坐标为 cosine 即可，由于它的高度呢是二，所以它的竖坐标呢就是等于二的。这里我们之所以没用 x y 二这样的这个坐标形式进行运算，是因为你用了这个形式之后呀，最后还是需要用 x 方加 y 方等于一这个圆的方程，然后呢去解方程，那都是解方程，三角方程，他肯定要比 普通的那种方程要容易解一些，所以呢，我们把这个 m 点的坐标呀这样进行设是相对而言比较容易的。那现在呢，我们有了这个 m 点的坐标，我们再把其他点的坐标给他写出来，此时这个 a 点的坐标呢就是一 负一零，这个 d 点的坐标呢是一一零，而这个 e 点的坐标呢是零负一二， f 点的坐标呢是负一零零。把这些点的坐标都给他写完了之后呀，然后我们去搞定这个 a、 b、 e 这个平面的法向量，我呢就不去进行具体的运算了，它的法向量算完了之后呢，是二零一。好，那现在呀，就是 f m 向量，我们也给它写出来， 等于 cosine 加一 cosine 二 f m 向量与这个法向量的这个夹角呢，正弦值算阿了法， 那当然就等于向量与向量之间夹角的这个余弦值了。横乘横，纵乘纵，竖乘竖。上面啊就是二 cosine 加上一个四，下面呢是模，一个是根号五， 另一个呢就是 cosine 加一它的平方，加上 cosine 的 平方，然后再加上一个四，这个位置整理完了之后呢，就是六，加上一个二 cosine 右边呢是十分之三倍的 记号十。我们去解这个三角方程，解完了之后呀，他就是四 cosine 它的平方加上一个七， cosine 减十一等于零。再去解这个方程呢， cosine 它不是等于一的，它就是等于负的四分之十一的，那这个数肯定是不合理，我们直接给他舍掉， 那 cos 它，它是等于一的，那 cos 它自然是等于零的，那这样的话，这个 m 点啊，它就变成了一个固定点一零二，那我再去算 m 点到 a、 b、 e 的 这个距离，直接使用点面距距离公式就能给它算出来，最后这个距离呢是五分之二倍的 点五。这个题啊，只要在间隙的时候选择 o 一 o 二当 z 轴都是比较容易进行计算的下一个问题，这个题目呢是一道高考原题， 之所以把这个题目选出来，是因为呀，这个题目他在第一问的证明过程之中 非常非常的曲折，需要我们抽丝剥茧，层层递进的去分析每一个条件，只有你把每一个条件都分析到位了之后呢，他的这个证明才是一个水到渠成的过程。这和我们前面做的有些题目啊， 就大伤径庭，因为有些个题目我们用眼睛一看，大体上就能够明白他的思路，但这个题不然，他需要我们认真的去分析，把每一个条件都要分析到位。 首先呢一点，他是圆锥的顶点，这个条件看似简单，但是呢他的作用非常非常的大，因为顶点他在里面的投影正好是里面圆的这个中心， 同时它也意味着 b o 这条直线呢，它是垂直于整个这个圆面的， o 是 底面圆心， a e 呢是直径，并且呀 a e 跟 ab 的 长度是相等的， 底面直径与母线的长度相等。这就说明如果我们从侧面去观察这个圆锥的话，我们会发现这个圆锥的这个结面呢，它本质啊是一个等边三角形， 这三个位置的长度呢，都是相等的，并且呢这个角呀是等于六十度的三角形， abc 呢是底面圆的内接正三角形，那么我们把这个底面图形给他画出来，这里呢有一个内接的正三角形 abc， p 呢是 d o 上一个点，并且呢有这样一个非常古怪的信息， p o 等于六分之根号六倍的 d o， 这个条件它很关键， 而且呢，我们一眼看过去，并不知道这个条件它到底是怎么用的。第一问，让我们去证明 p a 是 垂直于平面 p b c 的， 我要证明线面垂直，我一定要能够证明 p a 呢，是垂直于平面 p b c 之中的两条相交直线的。 然而我们从目前分析的这些条件来看啊，没有得到任何一条跟垂直有关的信息。所以啊，我们要对这些条件呢进行一个重新的梳理。 a e 啊，它是底面的这个直径， 那就意味着 a e 这条线与 bc 这条线呢，他一定是互相垂直的，这是由垂径定律的性质知道的，这个位置是一个直角。现在我们来分析 bc 啊，它垂直于 a e， 而 bc 呢，还垂直于 d o， 既垂直于 a e， 又垂直于 d o。 把这两个条件给它放到一起，我们就可以得到。 bc 呢，它是垂直于平面 ape 的， 那么 bc 自然就垂直于 ape 之内的所有线，它垂直于 ap。 这样的话呢，我们就得到了一个非常重要的垂直关系， ap 呢，他至少已经垂直于 pbc 中的一条线了，那么我们需要他再垂直另外一条线，那我另外这条垂线上哪去找呢？ 通常来讲，如果我们在做题的时候，这种几何性质的垂直呢，我们用完了，那接下来的垂直啊，通常来讲都是跟长度有关的。 这种垂直呢，我一般称之为勾股垂直，因为我要用长度去正垂直，那无外乎就是找直角三角形，那这个条件呢，它就会显得尤为的重要，这个 p o 等于六分之根号六 d o， 也就是说这个 d o 呢，它是等于根号六倍的 p o。 现在我们观察这个结面式图，这个 b o， 它的长度呢，是 p o 这个长度的根号六倍。现在呀，我们不妨假设 a o， 也就是底面的这个半径是等于一的，那反映到这个结面式图里边，就是这个 o a 这个长度呢，是等于一的，那 d a 这个长度呢，自然就等于二。 所以说这个 d o 这个长度呢，它就等于根号三。反映到这边来，那么 p o 这个长度呀，它就等于二分之根号二。 也就是说这个位置呢，它是二分之根号二。那么在三角形 p o a 之中， 使用勾股定律， p a 的 长度呢，就等于二分之六， 而 p c， p b， p a 这三条线啊，它的长度是相等的，为啥呢？因为这个点 p 啊，它是来自于这个轴上的这么一个点，那么你过点 p， 向着底面的这个圆去做三条线，那这三条线的长度肯定是相等的，所以说这个 pc 的 长度呢，它也等于 二分之根号六。我们再观察底面圆的这个矢图，这个位置是 o， 如果这个位置是一的话，那么我们去做这个垂线去，很显然这个位置是二分之根号三呀，那么就说明 a c 的 长度呢，它是根号三。 现在我们观察三角形 p a c 这里边 p c 的 长度二分之根号六。 p a 的 长度二分之根号六，而 a c 的 长度呢，是根号三的 这个的平方，加上这个的平方，正好等于这个的平方，也就是说 ap， 它是垂直于 p c 的 三角形。 p a c 呢，它是一个等腰直角三角形，所以说 p c 也是垂直于 pa 的， 那结合刚才我们得到的 bc 也垂直于 pa， 所以 说 pa 这条线它就垂直于平面 pbc， 那 有了这个第一问作为支撑，我们再来看它的第二问啊，就要容易的多，让我们去求这个二面角 bpc 一 的余弦值，那就是搞定这几个点的坐标就可以了。 所以说呢，我们只要选择合理的方式去建立这个空间直角坐标系就 ok 了。那么这个位置呀，那肯定是当仁不让的这个 z 轴了，那我 x 轴和 y 轴怎么去搞定它呢？哎，我们可以用这里的 o e 当这个 x 轴，然后呢过 o 点去做这个 b c 的 平行线，用这个线去当这个 y 轴就可以了。剩下的呢，我们就是写这个坐标，这个坐标还是比较容易写的，我们写一下这个点 b， 自然就是负二分之一， 二分之根号三零点 p 零零，二分之根号二 点 c 呢，他跟点 b 啊，是对称关系，负二分之一，负的二分之根号三零，这个点 e 呢是负一零零。把这四个点的坐标写出来，剩下所有的认为啊，都变得非常的简单了。 最后呢，我们再来看一个以三棱台为命题背景的立体几何问题，如图，在这个三棱台之中， ab 呢，是垂直于 bc 的 这个图呀，他看起来非常非常的别扭，因为呢，他这个直角呀，放在这个位置， 这个位置啊，从我们的这个视觉直觉之中呢，总是感觉他不是很垂直，所以说对于这种非常别扭的这种题啊，我们要注意提防这种阴险的角度， ab 等于二 a 撇， b 撇等于四，下面的棱长呢是四，这个棱长呢是二， bc 呢是四倍的根号二 m 和 n 分 别是 a、 c 和 bc 的 中点，并且呢， an 垂直于 b 撇 n。 第一问，让我们去证明 a 撇 m 平行于 ab 撇 n。 对于这种线面平行的证明呢，我们第一选择肯定是在平面之内寻找一条线，然后让这条线去跟 a 撇 m 平行。那么我们观察这个仕图最容易想到的线呢，其实就是这条线。 我们假设这个为 p， 这个为 q， 现在呢，我们只要能够证明 a 撇 m 是 平行于 p q 的 即可。 我们先观察这个点 p， 因为这个几何体啊，它是一个三棱台， 三棱台呢，就意味着 ab 一定是平行于 a 撇 b 撇的。并且乞丐之中明确告诉我们， ab 比上 a 撇 b 撇呢，是等于 二比一的，那这就说明这个 p 点它一定是一个三等分点，也就是说 ap 比上 p b 片一定是等于二比一的。 同时呀，由于 m 和 n 分 别是 a、 c 和 b c 的 中点，那就意味着 m n 平行且等于 ab 的 一半。 m n 它是一个中位线，那就意味着 ab 比上 m n 等于二比一。那么我们就能够知道 q 点呀，它也是一个三等分点，所以说这个 a q 比上这个 q n 也是等于 二比一的。于是乎，我们就可以知道这里的这个 p q 呀，它一定是平行于 b 撇 n 的。 又由于 m n 平行且等于 ab 的 一半，那就说明 m n 平行且等于 a 撇 b 撇。 那么这个四边形 m n b 撇 a 撇呢，它是一个平行四边形 p q 平行于 b 撇 n， 那 么 p q， 它就一定平行于 a 撇 m， 所以 说 a 撇 m 呢，就平行于平面内的一条线，那么这个平行呢，就正完了。 当然了，这个题目呢，我们还有第二种证明方案，就是我们可以通过构造面面平行来证明线面平行。怎么构造呢？我们找到这个 n c 的 终点，假设这个终点呢，是点 p， 再找到这个 b 片 c 片它的中点 q， 然后我们顺次连接，把这个 p q 给它连上，然后呢，再连接这个 a q。 现在呢，我们观察这两个平面 m p 啊，它是 a n 的 中位线，所以呢，它是平行于 a n 的， 而这个 p q 呢，它又平行于 b 片 n。 同时呀，由于这个 p q 与 mp 呢是相交状态， a n 与 b 撇 n 也是相交状态，那就说明一个平面之内的两条相交直线，平行于另一个平面之内的两条相交直线，那么这两个平面自然就是平行的，那两个平面都平行了，那 a 撇 m 作为一个平面指定的一条线，它自然呢就平行于另外一个平面，这是第二种正法。接下来呢，我们来看它的第二问，让我们证明 ab 撇 n 是 垂直于 a 撇 b m 的， 那既然是证明面面垂直，我就需要在一个平面之内呀，找一条线，让他去垂直于另外一个平面。显然呢，这里呀，有这个垂直信息 和这样的这个长度信息，他是可以辅助我们完成对于这种问题的证明的。但是呢，这个垂直信息我们看着呀， 他还是很直接的。如果在第一问的证明过程之中，我们连接了这个 p q 这条辅助线的话，那么我们就知道这里的 a n 是 垂直于 p q 的， 这是一个非常重要的垂直关系，但是只依靠这一个垂直关系，我们没有办法完成后续的证明。 对于这种问题，通过前面几个问题啊，我们已经形成了一个比较良好的解决他的这个思路，就是当我对某一个问题看的十分不清楚的时候，我们一定要把他的这个底面给他画成一个平面图形，仔细研究这个平面图形的特点。 他这个平面图形刚才我说了，他非常非常的别扭，他故意把这个直角放在这个位置，我们从直观视觉上是没有办法直接看出特定的垂直关系的。没关系，我们给他画成一个平面图形 abc， 这里的 m n 啊，它是中点，那么我们把这个 a n 这条线给它连上，这个呢是四 b n， 这条线呢，它是二倍的根号二， 然后呢，我们再把这个 b m 给它连上。现在我们研究一下这个角它的正切值，我们不妨记这个角为角一盘前的角一， 由于 m n， 它是中位线，所以这个位置是直角，它自然就等于 m n 比上 b n， 也就是二比上二 b 的 根号二，这个东西呢，等于一比根号二，我们就不去化简了。接下来呢，我们再来研究这个角， 也就是这个角 b n a 弹它角 b n a 这个正确值呀，它正好等于 ab 比上 b n， 也就是四比上二 b 的 根号二。算完了之后呢，我们发现它正好等于根号二， 那这就说明这两个角的正切值是互为倒数的，它们相乘等于一，那这两个角一定就是互余的。也就是说这里的 b m 和 a n 呀，在这个位置它是垂直的，那么 a n 同时还要垂直这个 bm， 我 们把这两个垂直信息给它放到一起，就很容易得到。 a n 是 垂直于平面 b p q 的， 而这个平面 b p q 呢，它恰好就是平面 b m a 撇，而 a n 这条线，它又恰好在平面 a b 撇 n 之中，所以说这两个平面呀，就是互相垂直的。 这一问其实还是非常非常的难想的。他要求呀，我们有良好的解析习惯，一旦我们研究某一个问题啊，觉得他走到了一个死胡同的时候呢，一定要把他这个底面画成平面图形，仔细去对他进行研究。接下来我们来看他的第三问， b 撇 b 等于 c 撇 c 等于根号六，让我们去求 a b 撇 n 与 abc 所夹角的正弦值。 那这个题目做到这的时候呀，你可以发现就是这个三龙台，它其实是一个非常非常奇怪的三龙台，那这个奇怪的三龙台，我们想要通过建立空间直角坐标系的方式去确定一些点的坐标值呀，这本身其实是非常非常的困难的。 这个题目呀，我们就不能从空间直角坐标系的这个角度再继续向下思考了。 在第二问之中，我们证明了一个非常非常关键的信息，就是这两个面互相垂直，而且呢这条辅助线是非常非常之重要的一个辅助线。那么 第三问，让我们去求这两个平面所夹角的余弦值，而这两个平面他们的交线恰好就是 a n 这条线。 从二面角的平面角的定义出发，如果我们能够在两个平面的交线上 找到一个点，过这个点，向着这个平面去做一条线，过这个点向这个平面去做一条线，这两条线都跟这条已知的线是垂直的，这个位置是直角，这个位置是直角，那么我们就找到了这个二面角的平面角。 而在第二问的证明过程之中，我们已经证明了这样一个事实，那就是 p、 q， 它是垂直于 a、 n 的， b、 q 呢，它也是垂直于 a、 n 的， p、 q， 它恰好在平面 a、 n、 b 撇之中， b q 恰好在下表面 abc 之中。所以说，我们要找的二面角的平面角，要么就是这个角 p、 q、 b， 要么呢就是它的补角。当然了，我们要先集中完成对于这个角的运算上来。 题干告诉我们，这个 c、 c 撇的长度呢，是根号六，那就说明啊，这个 b 撇 n 的 长度呢，也是根号六。这个前面我们已经分析过了，它是一个平行四边形， 而 a、 n 的 长度呢，是等于二倍的根号六的。于是乎，由勾股定律我们就可以得到，这个 a、 b 撇的长度呢，是等于根号三十的。 现在呢，我们分析左面的这个平面，也就是这个 a、 b、 b 撇 a 撇，我们把它单画出来， a、 b 的 长度是等于四的， b、 b 片的长度是等于根号六的， a 片 b 片的长， a 片 b 片，它的长度呀是等于二的。 而现在我们又知道了，这个 a、 b 片的长度是根号三十。那么我们就可以啊，用余弦定比，把这个角的余弦值给它算出来， 这个余弦值 cosine 角 a、 b、 b 撇就等于十六加六减三十，比上二乘以四，再乘以一个根号六，也就是负的六分之根号六。 于是乎我们就可以知道，当我们把这个位置给他连接起来的时候，这个角的余弦值呀，他一定是等于六分之根号六的。 我们假设 a 撇 b， 这个长度是 x， 那 么六分之根号六，就应该等于四加六减 x 的 平方比上一个二乘二，再乘以根号六。 通过这个方程，我们可以得到 a 撇 b， 他的长度就等于编号六。而在第一问之中，我们已经确定了，这个位置与这个位置的长度之比呢，他是二比一，于是乎我们可以得到 b p， 它的长度就等于三分之二倍的根号六。现在我们观察这个三角形 b p q， 在 这个三角形之中，我们已经搞定了这个 b p 的 长度， 这个 p q 的 长度也很容易知道，它是等于三分之二的一撇 n 的， 也就是三分之二倍的根号六， b p 呢？还是三分之二倍的根号六，那么我们只缺这个 b q 的 长度，而 b q 这条线呀，它是来自于底面的。我们再回到我们最开始画的这个底面图形之中， abc m n， 把这个位置给它连接起来，这个点呢，它就是 q 这里边呀， b q 的 长度除以这个 q m 的 长度呢，还是等于二比一的。而这个 b m 的 长度 很容易计算，因为 b n 的 长度呢，它是二 b 的 根号二，而这个位置呢，它是二。所以说这个 b m 的 长度呢，它是二 b 的 根号三， 于是乎这个 b q 的 长度就等于三分之四倍的根号三。那么我们要求的这个二面角的平面角，它的余弦值 cos 角 b q p， 它自然就等于 b q 的 平方，加上 p q 的 平方，减去 b p 的 平方比上二乘以 b q， 再乘以这个 p q， 把我们计算得到的所有的长度呀，都给它带入其中，这个值呢最后就等于二分之根号二， 那么我们要求他这个正弦值，因为余弦值啊，我们还需要去确定他到底是锐角或者是钝角，但正弦值就不需要了，他一定呢就等于二分之根号。

在边长为二的菱形中角 b， i、 d 等于三十度。画下视域图 角 b， i， d。 这个等于啊，三分之 pi 啊，等于六十度。那 b、 d 如果连接起来的话，那就是两个等边三角形 好，沿对角线 b， d， 啊，将三角形 a， b、 d 折起，得到这个三棱锥 a 撇 b， c， d。 啊，就 b， c， d 作为底面啊 a 撇 b， c， d。 我 们也画一下它的直角。 好，这是 a 撇 a， b， c， d 和面 b， c、 d 都是这两个等边三角形啊， 好，若 a 撇 b 这向量 a 撇 b 点成像量 c， d 点成像量 c， d。 啊，等于二分之一。 问，这个三棱锥 a 撇 b， c， d。 外接球的表面积为多少？其实就是求它的外接球的半径 r。 好， 我们分析一下这个图形啊来看，先用好这个条件啊，探索一下。 a 撇 b 点成 c， d。 那 么 a 撇 b 呢？我给它往这方向和 d， c 给它靠拢 a 撇 b 等于 d， b。 减去啊 a 撇 b 等于 d， b。 减去 d， a。 一 点成一下这个 c， d， 我给它换一下这个方向，我们因为 d 出发啊，那就写为 d， i， e 减 d， b 点成 d， c， 哎，点成 d， c。 从 d 点出发了啊， 好，它们起点都是 d 点了，那么 d， i， e 嗯 d， i， e 点成这个 d， c 减去 d， b 点成这个 d， c。 好 d， b 点成 d， c。 这个好算，这还是六十度的，它棱长呢，棱长又为二。 好，这个等于好 d， a 撇，它的模是二， d， c 的 模也是二，然后乘以它里面的 cosine 这个角 a 撇 d， c， 然后减去后面这个二，乘以二，乘以 cosine 六十度二分之一， 他这约一下就减二，他说现在他等于多少呢？再等于二分之一，所以由这个呢，我们就可以求出 cosine 角 a， p， d， c 好 二，加上二分之一，二分之五，二分之五等于，哎，再除以一个四，八分之五 好，这个角的 cosine 值我们算出来了。 cosine 值算出来了，那个 d、 a 撇又等于 d、 c 都是二，那我们能不能把 a 撇 c 给它换一下呢？算一下呢？来给它算一下啊。域线定律， 所以 i 撇 c 的 平方等于 d， i 撇的平方加上 d、 c 的 平方，减二倍的 d， i 撇乘以 d、 c， 然后括号于这个角， i 撇 d， c， 四加四减去二乘以二点四乘以八分之五，这约去了啊，等于三，所以 a 撇 c 呢，它等于根号三好， a 撇 c 等于根号三。 三角形 a 撇 b、 d 和三角形 b、 c、 d 呢，它又是等边三角形，那所以说我们来算出它们的中线里面的这个中线啊， 取下 b、 d 的 中点点 e， 那 么 a 撇 e 和 e、 c 也是根都相等，也等于根号三好。那么三角形 a 撇 e、 c 呢，它就是个等边三角形， 而且根据等腰三角形的三线合一， a 撇 e 和 e、 c 呢，都和这个 b、 d 垂直啊，那么这个图形是对称的，就是关于这个面， a 撇 e、 c， 它两边是对称的， 而且 d、 e 等于这个 b、 e 都是一，那根据它的对称性，我们知道这个圆心呢，一定和这个面 a 撇 e、 c 它共面， 并且这个圆心跟它对称性，它的圆心呢，是在三角形 a 撇 e、 c， i， c 撇 c 边，它的中线上，中线所在的直线上，我们给它画出来， 这中线 延长一点，它的圆心可能就在这个位置，比如说这个位置啊， e、 h 是 垂垂 a 撇 c 的 啊，这根据它对称性在这位置啊，那么现在我们测它的半径是大二，我们看现在怎样去看建立关于大二的这个方程啊， 那怎样建这个方程？那要根据这四个点呢？都在球面上，所以圆心球心到这个四个点的距离相等都是答案，哎，我们跟这个关系给它构造哎。等式 来看一下，这个 o h 和这个 d b 是 垂直的，那这个角 d e c 呢？它是个直角，所以连接 o d， 那么 o d 呢？它就是大 r， o d 就是 大 r 啊，连接 o i 撇， 那 o i 撇呢？也是大 r， o i 撇也是大 r 啊。注意啊，这个图再放慢一点，讲慢一点啊，看这个 o 和 i 撇 e c 是 共面的啊，在同一条平面上 啊，同一条平面上，如果你想看的更舒服一点，你可以把 o c 你 也连一下，好好 来，我们建立关于这个 d r 的， 就是这个。呃， o d 也就是这 r 的 平方啊，它又等于谁呢？它又等于 o i 撇。 好，那再写一下，列一下这个式子啊，我们拿这个耳方减去这个 i p h 是 二百零杠三， 减去二百零杠三的平方，它得到的开方以后就得到的就是这个 o h， 然后 o h 呢，再减去 e h， 剩下的就是 o e 这一段， 然后再加上 o 在 右由 o e 方加上 d e 方，等于 o d 方。哎，勾到一个方程啊，根号下 r 方减去二分之二三的平方，注意，这个二分之二三呢，它就是 i 撇 h， 我 们心里知道后面，然后再减去这个 e h 啊， e h 是 多少呢？二分之二三，再乘以零二三， 它本身二根杠三，再乘以杠三，就是 e h， 这个其实是 e h 啊，前面这个整个，嗯，整个的，这个就是 o h， 整个的根号下的整个的就是 o h。 这个二根杠三是 a p h。 好，所以说这个 o h 呢？然后减去这个 e h， 它就是 o e， 那 么 o e 的 平方 在。呃，这个 o e， 哎，这个就是 o e o e 的 平方呢，再加上 e d 的 平方，那么 e d 是 一啊， 这个就是 e d 啊，它就等于 o d， 就 等于 r 方，等于 o d。 就是 在这 r t 三角形 o e d 中，这样可以算出 r 啊。 好，这个平分，这是 r 方，减去四分之三，这是二分之三，这个就是二分之三了啊，减去它的成绩的二倍，就三倍的根号下， r 方减去四分之三， 再加上它的平分四分之三啊，四分之九了， 再加个一等于耳方，两边耳方抵消。 好，这个等于再加在一块，这个它俩加在一块，这是四分之呃，四，四分之六，二分之三，二分之三，加一呢，就是二分之五。 这个移整体移到右边来，两边再乘二，那就是六倍的根号下，尔方减去四分之三等于个五。好，两边再平方 三十六，耳方减四分之三等于二十五，所以耳方呢，四分之三加上二十五，除以三十六三六分之四九三六，三九二七 加二五，三，六分之啊，五十二。哎，我们不用开方了，我们要的就是耳方，所以 s 等于四派，耳方 好，等于这一月份的九分之五十二派。哎，这选 a 好， 再看一下， 要用一下它的对称性啊，用一下对称性就计算稍微复杂一点， 记得点赞关注哦。

安阳高三的家长们，咱们的三模成绩已经出来了，分数线也划定好了，物理组特控线四百八十六分，本科线三百七十八分，历史组特控线五百二十三分，本科线四百二十三点五。 孩子们不管这次考的好还是一般，我们都不要太在意，三模也只是查漏补缺，不是最终的高考成绩， 考得好，稳住心态，继续保持，没达到线的也别灰心，我们还有最后这段时间，完全来得及逆袭，咱们家长也不要太焦虑，多鼓励孩子，默默做好后盾就行。 你家孩子是物理组还是历史组？三模考了多少分？评论区可以打出来，咱们一起给孩子加油打气！

来辽宁名校联盟高三五月联考的第十九题压轴啊！例题几何啊，这道题啊，咱们好好看看啊！开始啊， 这个题题干呢，非常非常简单啊，一个正三角形啊，边长呢，全是四啊，那 d 和 e 啊，都是中点，这是二，这是二，这是二标上， 对吧？然后呢，将 a 点 e 啊，咔嚓就是一个折，折完之后呢， a 点咔就变到点 p 点 p 这来了。 哎，翻折完了之后，他也没告诉你啊，这个 p 点的具体位置是吧？啊，第一问，他说呀，啊，这两个平面的交线啊，哪个平面啊？ p d e 和谁啊？和 p b c 啊， 让你证明啊，这个交线啊，平行于底下这个平面儿。都说了，老师，这交线都没画出来，我上哪去正去啊，这就是定力啊，这就让你用定力去正 啊！有很多同学不知道这个定力，那就没办法，所以说基础，基础，基础太重要了啊，这就是基础，因为这个定力啊，不常考，那哪个定力啊？如果一条线平行于一个平面， 那么这条线所在的平面和这个平面产生的交线也平行，就这条线也一定平行于这两平面产生的交线， 就是用定力证，所以说这个胶线不用画。有同学搁这研究，这个胶线应该长啥样，甚至有同学说了，这俩平面没有胶线呢，那么胶的是点吗？ 平面都是无限延展的，它只是说了这个平面当中的三个点，而它所在的平面是一个非常无限大的一个平面啊，就是绝例的 pbc 啊，所以说，平面与平面之间，只要它不是平行的，那就一定有胶线呐！啊， 所以说，这第一问，直接写就完事了，对吧？一啊，因为啥呀？因为啊， d e 啊，是中位线呐，所以说 d e 啊，一定是平行于 b c 的 啊， d e 平行于 b c， 那 我能知道啥，对吧？我能知道 d e 啊，一定是平行于面 p b c 的 啊，当然了，你还得说 d e 不 在这个平面里， b c 在 这个平面里，对吧？所以说 d e 就 平行于这个平面 p b c。 然后呢？又因为 d e 啊，在哪个平面里啊？哎，就在 p d e 这个平面里啊，而且面 p d e 啊，与这个平面 p b c 的 交线就是 l 啊，所以说一定有啊， d e 啊，平行于 l， 这是一定的。那 d e 既然平行于交线了，又因为 d e 啊，在这个底面里啊，属于 啊，面啊， d b c e 啊，所以说转完了啊， l 平行于面 d b c e 啊，完活啊！所以说这个定理太重要了，回去之后大家一定要翻翻定理啊，这个定理是由线面平行推线线平行啊，很重要的一个定理。会啊，咱们再看这个第二问啊，第二问， 他说啊，当 p b 垂直于 p c 的 时候啊，也就是说这个角是直角，那你告诉我，他给我这个条件，实际上是告诉我啥呢？不就是告诉我这个点 p 的 具体位置吗？就是你这个点点 a 啊，沿着这个 d e 这条边咔咔咔往上转的时候，反的时候 翻到的那个点，具体是哪个点呢？啊，告诉你了，这个点呢，就是能够让 p b 跟 p c 垂直的时候，因此我们只需要把这个点啊，就是这个具体的点表达出来，这不就完事了吗？啊， c 都是非常耗电的， 对不对？所以说现在关键点就是算这个点 p， 那 算这个点 p 怎么办呢啊？我们可以怎么呢？做一下 p d e 和这个底面啊？ d b， c e 的 夹角，那说这两个平面夹角是啥呀？首先这个 p d e， 它也是个正三角形，这是二，这是二，这也是二嘛， 对吧？这是个正三角形，那底面是个等腰梯形啊，所以说做啥呀？啊？我过 a 点啊，找这个 b c 的 中点啊，比如说这个点叫 f 啊，我连接 af， 当然啊，严谨一点的话，这个 f 应该是虚线啊，我为了让大家看清楚，是吧？ ok， 那 么与 d e 呢？交于点 g 啊，然后呢？连接 p g 啊， ok， 那 么 p g， f 这个角不就是这两个平面的二面角吗？也就是说它告诉你的这个条件啊， p b， 哎呀 啊，它告诉你的这个条件， p b 与 pc 垂直，就能告诉我这个点 p 具体的位置，也就是说能告诉我此时此刻 啊， p g， f 啊，这个角啊，到底是多少？就是干这个。 ok， 那 咱就算数就行了呗，那咱们连一下啊，那用什么方法算呢？挣钱定底呗，对吧？ p c 多长啊？ p c 是 二倍，根号二，因为它 p c 那 个 p b 与 p c 是 垂直的，而且是相等的，所以这是二倍，根号二，对吧？那 c f 多少啊？那也是二啊，对吧？这也是垂直的， 对不对？ p f 是 二，那 g f 呢？对吧？ g f 等于根号三，为啥是根号三呢？因为整个 a f， 这是四，这是二， 对吧？那这是多少啊？这整个长是二倍，根号三，而点 g 呢，是中位线上啊，所以说这是根号三， a g 呢，也是根号三。 a g 是 谁呀？就是 p g 啊，所以说 p g 呢，也是根号三，因此你看这个三角形三边，我全都知道了 啊，所以说，我能求出来这个夹角啊，这个角就是平面 p 的 b， 这个平面与底面的夹角啊，因此，此时此刻的那个点 p， 我 就可以表达了， 就这么点事，对不对？哎，所以说我们要算一下啊， cos 角啊， p， g， f， 它应该多少呢？啊？于，先定理啊，根号三的平方三加上根号三的平方，再减去二的平方，比上二乘以根号三乘以根号三 啊，那个等于就是六分之二，三分之一啊，因此啊，我们知道了啊，这个假角啊，它是 cos 啊，假角应该等于 cos 值的三分之一， ok， 那 既然是这样的话，那么 p 点呢，这不就可以间隙了吗？对不对？他让我求啥呀，求 p 得 e 和 p 得 b 两个平面， p 得 e 就是 这平面， 对吧？还有人 p 的 b 啊， p 的 b 是 这个平面，这两个平面的假角，现在什么的点呐啊， b 点呐，这都好表达，对不对？现在最难啊，一点也好表达，现在就点 p， 现在点 p， 你 知道了，这个总长是根号三 啊，那我可以过 p 点做个投影，对吧？管这个点叫 p 撇，那么这一定是一个直角三角形，这个角是直角， 这个边长是根号三啊，而这个假角呢，是口算值三分之一，所以说 p p 撇和 gp 撇啊，都能算。那么 p 点的横，那个 y 轴的坐标和这个 z 轴坐标不都能写出来了吗？ ok 啊，那么咱就间隙，那间隙怎么间呢？那我就 啊， g 点间隙对吧，这是 x 轴，然后啊， g f 啊，就是 y 轴， 对吧？哎， g f 啊，它就是 y 轴，然后呢过 g 点往上指啊，这个呢，就是 z 轴 啊，当然你们要写啊，就是这个 c 是 怎么建的啊，我就直接算了啊，那么把哪个几个点标出来就行啊， p 点的点， e 点和 b 点啊，就这四个点啊，那么咱写一下啊，首先先写这个点 p， 点 p 的 坐标是多少啊？ 点 p 的 坐标，那就是根号三乘以啊，零啊， x 轴肯定是分量是零， y 轴的分量呢？应该是它的 q 散值啊，那就是根号三乘以三分之一的啊，这就等于三分之根号三啊，那么它这个 这个这个 z 轴上的分量，那就应该用这个根号三的平方减去这个三分之根号三的平方三分之八，三分之八的话是三分之二倍根号六， 是吧？哎，所以说它应该等于三分之二倍根号六啊，这是点 p 的 坐标啊，点 p 坐标写完啊，咱们再把这个依次的把这几个点写了，都点坐标，一零零啊，一点坐标啊，负一都零，都零。再来一个点 b 的 坐标啊，点 b 的 坐标，这是 二，对吧？逗根号三啊，逗零啊，这没有什么好说的， ok， 然后接下来做项链对吧？那么怎么做项链合适啊？我肯定得做一个 p， 对 啊，对吧， p 对， 这两个都有，是对 p 好 还是 p 对 好啊？对 p 呗，对 p 好 啊，对 p 项链负的少 是吧？得儿 p 向量等于负一逗三分之根号三，逗三分之二倍根号六啊，这是得儿 p 向量。然后呢，再做一个得儿 e， e 得儿吧，哎， e 得儿好算啊， e 得儿是正的啊，二零零是吧？然后呢，再做一个得儿 b 还是 b 得，呃， 得 b 是 吧？哎，得 b 好 算啊，得 b 等于啊，一斗，这个根号三斗零，嗯，得他。然后呢，我们算这两个平面反向量，一个平面是他俩求反向量，是吧？一个是他跟他求反向量。 反向量老规矩呗，对吧？那就是我先给他，我先给这个得 p 啊，乘个三，因为不好算。 负三根号三，二倍根号六，负三根号三，二倍根号六，这是二零零，二零零啊，不能在草纸上这么算啊。 这是零，这是四倍根号六，这是负二倍根号三啊。所以说 n 的 向量应该等于同时除以二倍根号三呗， 是吧？所以说就应该等于，这是零。逗，二倍根号三，那就是啊，二倍根号二了，是吧？二倍根号二啊，逗负一 啊，这是 n 向量。然后呢，再算一个这个啊，四负三，根号三，二倍根号六，负三根号三，二倍根号六，一根号三零一根号三零。这个咱们之前呢算过很多了啊， 是吧，就不再解释了啊。这应该是负的六倍根号二，这是二倍根号六，这是负的四倍根号三，这一按就能除啊，这都能同时除一个二倍根号六，这啊，这除一个二。哎呀， 这除一个二倍根号六，正好是负根号三，这是负根号三，这是一，这是除一个二倍根号六，这是根号二分之二根号二 啊，负的，那所以说呢，我们这个 m 向量啊，就可以写成根号三，逗负一，逗根号二， ok 啊，那么有这个两个了，那么因此这个假角我管叫谁的角啊，那就应该等于 cosine n 向量与 m 向量之间的假角 啊，那就应该等于啊，绝对值，是吧？那应该等于根号三千零没了啊。负的二倍根号二，再减一个根号二的绝对值除以，这是八加一啊，开根号三，这是三加一加二，根号六，对吧？然后这一算，这是三倍根号二，啪啪一约三分之根号三啊， 就是这个第二问呢，也异常的简单，所以说到目前为止，这个就是十七题，十六题，十七题的难度，是吧？没有任何难度啊，就前两个问，是吧？就是正常算， 然后咱们再看这个第三问，第三问呢，他说 p 点在底面的投影是在四边形啊， b、 c、 d、 e 的 内部，也就是说啥意思啊？哎，那什么时候能在内部呢？它极限位置在哪啊？就是当 p 点正好在 z 轴上的时候， 这个时候是垂直的，这个时候啊，就底面这个，这个 p、 d、 e 啊，是跟底面垂直的，所以说这个时候啊， p 点的投影正好是落在这个 d、 e 的 这个终点处啊，这块叫 p 撇， 那么再往，哎，再往这边转啊， p 点就是从 a 点往 p 点继续往这边转的时候，是不？他的投影点就会落在这个平面里边了，对不对？也就是告诉我啥呀？就告诉我这个二面角的夹角啊，这个二面角的夹角变成一个锐角了啊，一定是个锐角， 对吧？哎，其实他这句话就是谁的应该是小于二分之派啊，大于零啊，一会告诉你这个呢，然后呢？接下来他又说啥？ 他要说这个四棱锥的体积是在这个范围内，那这个体积，那这个四棱锥的体积的底面肯定是这个等腰梯形了，对吧？那么就是高呗，也就是说他告诉我高，这个高线啊，到底是在哪个位置，那么通过这个高的长度是不就能知道这个夹角的大小啊， 哎，你就能知道这个，然后呢，让你求啥呢？求这个直线 a p 啊，背这个四棱锥啊， p 杠 p c 啊， b c 得益的外接球，求 o 截得的弦长的曲范围。 现在这个现在呢，这道题呢，同学们可能有点蒙圈了啊，到底是怎么个事呢？没事啊，咱一点点来，对吧？分你不得一点点得吗？首先呢，咱先算出来这个假角的度数啊，先算出来这个二面角的假角的区域范围，通过这个体积去算，对吧？ ok 啊， 那咱们先算一下第三问，呃，换个色是吧啊，第三问，咱们先算啊，这个体积应该怎么算二啊？三分之一啊，因为是个锥嘛。 然后呢，再乘以底面积，底面积呢，就是上等腰梯形上底啊，二加上下底四乘以高，根号三啊，再除以二啊，然后呢，再乘以 h， 不 就这个吗？是不是？所以说这是啊，三三约掉了，所以说就是根号三 h 啊， 它就等于根号三 h， 而根号三 h， 它说了这个体积啊，是在哪个范围里？二分之三倍根号三和二倍根号二， 在二分之三倍根号三到啊，二倍根号二之间是不二倍根号二，对啊，二倍根号二之间，因此啊，我们通过它是不能算出来 h 的 取值范围啊， 对不对？那 h 的 取值范围就应该是除个根号三，那是二分之三，然后呢，这个除个根号三的话是三分之二倍根号六啊，三分之二倍根号六，对啊，所以说它应该是三分之二倍的根号六，这是 h 的 啊，由于它的这个棱锥的高的取值范围，那么棱锥的高的取值范围求出来了之后，那我们还能求啥呢？那棱锥的高，那你看这个假角口占谁的应该等于啥？这是 h， 对 吧？这个长呢，是根号三，所以说我们直接就能求出来它 sin 值 啊， sin 这个的趋值范围，对吧？哎，那么 sin 值啊，就应该等于 h 比上这个根号三啊，所以说它就应该是 啊，这个应该是除以就相当于除个根号三呗，那就是二分之根号三到除个根号三，就是三分之二倍根号二 啊。也就是说啊，此时此刻啊， p 点它来回动的这个范围在哪呢啊？这个二面角，它取得范围是在啊，二分之根号三到三分之二倍根号二之间， ok， 然后接下来啊，我们把这个二面角的球给球出来了，接下来要干啥呀？我们就得看这个外接球了，是谁的外接球啊？是 p 啊，这个四棱锥啊， p 到这个等腰梯形啊，组成的这个四棱锥，他的外接球，现在呢，我也不知道他外接球在哪，因为 p 点都没动啊，没定，那么 p 点都不知道在哪， 所以说怎么办？我不着急，我先找底面的中心就完了呗，对吧？底面的中心到底是哪个点能够到这个 b、 c、 d、 e 这四个点距离都相等呢 啊，很明显 f 点呢，对吧？你看 c f 得二， b f 呢也得二，这是 d f 多少啊？ b， 这个 b， d 得二，这也得二，这个角是六十度，因为这个整个是正三角形啊，所以说它也得二， 所以说得那个 f、 e 啊，也得二，所有的点都得二啊，对吧？所以说这个 f 点啊，就是它的外心啊，就是底面的外心。那底面的外心啊，就是 f 点啊，所以说我们可以说啥呀？因为 啊， b f 等于 c， f 等于 d， f 也等于 e f 啊，都等于二，所以说，怎么的？ f 为面， d b， 这是 d b c e 的 外接圆的圆心，对吧？ ok， 那 怎么找它的球心呢？是不就相当于过 f 点做一个垂线啊，在这条垂线上一定存在一个点啊，使得啊，真正的点 o 啊，就会使得 o p 啊，跟谁相等啊？跟这底下四个点都相等，比如说等于 o b， 他俩一定是相等的，那么此时此刻的这个 o 点就是我要找的 o 点，就这么回事，对不？哎，那么这么的，我画一个这个平面图形，要不然大家看不太明白啊，那比如说，这不就相当于，是啊，这个 a 点啊，这是 f， 对 吧？这是点 g 啊，我们看啊，点得，这，是啊，这是点得，是吧？哎，这不相当于是啊，点 g 啊，对，是点 g 啊，你看，这就相当于是我把这个平面画出来啊， 这个平面啊，我把这个平面画出来啊，有的说过， a f 把这个平面，把这个四棱锥直接沿中间咔一刀给砍下来，砍出来的那个平面是不？哎，这样的，然后呢，我是不过 f 点做垂直啊， 这个垂直在这条线上一定是存在一个点 o 的 啊，然后点击 p 点在哪呢？ p 点在这样的，对吧？哎，这个 p 点在这，这个角就是我们求的这个二面角啊， 这个 o 点有点太高了，应该没有这么高啊，目测啊，假如说这是 o 点啊，那么我连接 o p， 说这个 o p 就是 这个外接球的 半径，那么我以 o 为圆心， o p 为半径，画一个圆，这个圆啊，就是它的外接球，对吧？哎，就是它的外接球在这个平面上的结面 啊，不就长这样吗？ ok， 这就是他的这个 o p 啊， o p 为半径的一个外接球，那么外接球，然后他还说这个 a p 的 直线，哎，再画一条 a p 的 直线啊， ok， 相结。哎，假如，假如说，啊，捷德的这个点啊，一个点叫 m 点 啊，这是 m 点啊，这个点是点 n 啊，那么这个 m n 就是 他让我求的这个 l 啊，对吧？交线嘛， 他说的是啊，外接球求 o 捷德啊，对吧？被这个四棱锥的外接球求 o 捷德的 啊，弦是 l， 也就是说这个 m n 呢，就是 l， 那 现在我们知道了，不知道这个点 o 的 坐标呢， 对吧？我只知道这个它是过 f 点向这个底面做的垂线啊，垂到了这个位置，那至于这个点的坐标是多少不知道，但是它一定是在 f 点的正上方，所以说我就可以设一下啊，对吧？哎，我设这个 o 点坐标，它应该等于啥 啊？这个 f 点的坐标是零，逗根号三逗零，所以说它应该是零逗根号三啊，我不知道它的高度啊，设成 t 啊，零逗根号三逗 t 啊，此时此刻啊，是不一定有 o p 的 平方。 哎呦，这 p 写的一定有啊， o p 的 平方等于啊，比如说 o b 的 平方 一定有啊，对吧？所以说啊，这个点 p 的 坐标，我得先表达一下，是吧点 p 的 坐标，那点 p 的 坐标很好表达了，因为这个角是角谁他吗，是吧？哎，这个角是角谁他啊？这个角，所以说这个点 p 的 坐标啊，就很好表达了。首先呢，他横坐标也一定是零，是吧？嗯， 那就应该等于根号三倍的 q 三 c 到这是根号三倍的三 c， 这就是点 p 的 坐标，而 c 的 的取值范围啊，在哪呢？ c 的 角的取值范围在这呢，是不是？ ok 啊？然后呢，咱们写呗，那 o p 的 平方等于啥呀？ o p 的 平方，那就应该是 o 点和 p 点两点之间距离呗，那就是零，加上根号三的平方，那就是三倍的 cosine c 的 减一的平方 啊，加上这是根号三倍的 sine sine， 减去 t 的 平方，就应该等于啊，这个 o b 的 平方啊， o 点啊， o 点和 b 点， o 点和 b 点坐标在这啊， o 点坐标我们设完了，这是二逗，根号三逗零，所以说我们这一做，这是二的平方，再加上根号三减，根号三没了啊，再加 t 方，是吧，就等于它。 然后呢，我们继续算，那这是三倍的口方，这有一个三倍的口方啊，这有个三倍的塞方，是不就变成三了？三减去 六倍的 cosine theta， 再加一个三，是吧？然后呢，这是减去二倍根号三 sine theta 背的 t， 再加上一个 t 方，就应该等于四，加上 t 方， t 方 t 方约掉了，所以说六减四是二啊，二 减去六倍的 cosine theta 就 应该等于二倍根号三 sine sine theta 的 t， 所以 说 t 啊，就可以表达成这两边都能除个二，这就等于根号三倍的 sine theta 分 之，这是一减去 啊，三倍的 cosine x 啊，对吧？啊，这 t 的 表达式啊，因此我们现在呢，知道了啊，就是过 f 点向上起了多少的高度啊，起了这么多的高度， ok， 然后接下来，我现在知道 o 点了，我还知道点 p， 是 不是我们就知道这个圆的半径了，这个球的半径了， ok， 然后我们接下来就考虑，哎，怎么算呢？那当然了，我们想算的方法呢？肯定是啊，假如说啊，我想算的是 这个啊，那么这个点呢，就是 m n 的 终点，我管它叫点 q， 是 吧？那么现在呢，我，我可以先算这个 m q 的 长， 而这个 m q 的 长，我们怎么算呢？啊，不对，因为点 p 既是在 a p 上，也是在 p q 上啊，所以说点 p 就是 这个点嘛，焦点啊，就是这个点 p， 因此现在我要算的是 p q 的 长，那 p q 的 长怎么算呢？我可以算投影啊，是吧，你千万不要真的去用这个半径的平方减去 o 到这个 a p 这条直线的距离啊，减去对方，然后呢，等于它，那这样的话，算的话，计算量太大了， 对吧？所以说我们要用投影啊，对吧？那现在呢，我们知道 o 点坐标，还知道 p 点坐标，所以说我们求 o p 向量，哎，我们只要求 o p 向量，到，哎，这个平面儿，不，不是说这个平面儿了，到这条直线上的投影啊，就是到 a p 这个向量的投影，哎，这个投影长啊，这不垂直的吗？哎，投影长就是二分之 l， 对 不对？哎，所以说， 咱们继续啊，那么二分之 l 就 该等于啥？哎，就应该等于啊， p a 向量乘以 p o 向量，对吧？投影嘛，比上啊， p a 向量的模 啊，当然了，我现在 p o 也不知道是垂直还不垂直加绝对值吧，哎，二分之 l 啊，这 l 是 大写啊，二分之 l， 嗯，就一定等于它，对吧？等于它的投影，所以说我们算它呗，对吧？那么 p a 向量，我们得写一下 p a 向量 p a， 哎呀， p a a 点坐标是多少啊？ a 点坐标写一下啊， a 点坐标应该是啊，零，逗负，根号三逗，零。那写 ap 向量不好写呀， 然后写 p a 向量不好写， a p 向量好写啊，所以说我们可以先写 a p 向量，是吧？ a p 向量啊， a p 向量就应该等于这是根号三倍的 cosine c 加一啊，逗， 哎呀，重写，这应该是零，逗啊，根号三倍的 cosine c 加一。逗，这是根号三啊，三，谁的？ 这是 a p 向量。然后呢，再写 o p 向量啊， o p 向量 o 点在这， p 点在这。这个题啊，你别着急换啊，你就拿 t 算啊，算到最后的时候你再把 t 换了，要不然你直接带着它算，太麻烦了是不？哎，所以说 o p 向量啊，应该等于这是零到 根号三倍的 co sin c 减一啊，然后到啊，根号三倍的 sin c 减 t 啊，就等于这个啊，这是根号三倍的 sin c 啊，写的不好。根号三倍的 sin c 啊，减 t 啊，这是这个式。然后呢，两个就是点乘呗，那点乘它就是零，零，根号三乘以根号三，那就是三， 然后呢，口算减一，乘以，口算加一，那就等于口方再减一，对不对？然后呢，再加上就是根号三三乘以根号三三，那就等于三倍的塞方， 然后呢，再减去啊，根号三倍的 sine c 再乘一个 t， 是 不？哎，就等于它啊，这个式子。然后呢，这是分子，分母呢，等于 a p 的 平平那个模长，模长的话就算我们的零的平方，再加上三倍的口方， 加上啊，六倍的 cosine theta 啊，再加三，再加上三倍的塞方 theta 啊，所以说这个式子就等于打就等于这个啊，当然这上面的加绝对值啊，然后呢，咱们继续算，那么这个呢，到这来看的话，这是三倍的塞方，这三倍塞塞方，三倍口方， 那就相当于是三三减三，正好没了，所以说现在上面啊，就剩后边了啊，就剩后边了，然后呢，你再把这个 t 单去 t 在 这呢，对吧？那么负根号三三跟这个根号三三，它俩也约掉了，约掉完之后就剩一减三倍的 q 三 c 的， 然后前面有个符号，那就是三倍的 q 三 c 的 减一 啊，对吧？您这等于三倍的 q 三 c 的 减一。那现在呢？我为了去这个绝对值啊，我得知道这个 q 三 c 的 取值范围 啊，口算谁的取值范围？那么三也谁的啊，是在这个范围，那你说口算谁的呢？是不就应该是一减呢，是吧？哎，一减的范围，那么就应该是一减去四分之三，二分之一呗，是不啊？这边是二分之一，这边呢是， 这是三分之一到二分之一之间啊，那么当这个三倍的啊，口算谁的？在三分之一到二分之一之间啊，那他一定是正的 啊，一定是正的。然后咱们再看这个分母啊，这分母应该加根号，是吧？嗯，然后这是根号，这是三呢，加起那就六，是吧，那就相当于是根啊，六倍的啊，根号下六加上六倍的口占谁的？ 哎，我的妈呀，这终于算到这了，算到这了，这个有根号了，咋办呢？哎，你肯定是二倍角，用哪个二倍角啊？用口方， 对吧？等于二倍的口方减一，因为你这一减一就减六了，减六跟加六约掉了，所以说你用这个啊，所以说这个底下就应该变成 这是二倍根号三的 cosine 二分之 c， 那 上面呢？也是得变成 cosine 了呗。那就。那所以说这上面应该是六倍的口方二分之 c 减四 啊，得这个，然后它应该等于这是啊，根号三倍的啊，这是根号三倍的 cosine 二分之谁的啊？再减去这是啊，根号三倍的 cosine 二分之谁的分之二 就等于它。那么这个式子啊，口塞二分之谁的，你就得求口塞二分之谁的的取值范围啊。那么口塞谁的啊？换个红笔吧，对吧？看不清了 啊。那么口塞谁的？他的范围在这，那你说二倍的，对吧？那你说口方谁的呢？那是不是应该是减个 e 啊？那就变成三分之四到二分之三除个二啊。所以说 口方二分之谁的，它的取值范围应该是三分之四，三分之二到四分之三。那口误塞啊，二分之谁的的取值范围就应该是啊，这是多少来的？ 这是三分之二，三分之二，三分之根号六，嗯，然后那边是二分之根号三， 对吧？哎，口误塞，二分之，谁的的取值范围就是三分之根号六到二分之根号三。写一下写到这啊。 pos 二分之 theta 属于多少啊？这是？刚才说了看一眼，三分之根号六到二分之根号三啊，三分之根号六到二分之根号三啊，这是 pos 二分之 theta 它的取值范围，然后通过这个取值范围往里带呗。这个式子啊，本身是一个递增的式子，对不 啊？这是就是如果你把它看成一个整体，根号三 t 啊，递增，这也是呢，这是递减，对吗？这是递减。那这样的话，递增减，递减还是递增？所以说你把三分之根号六带进去就是最小值，把二分之根号三带进去就是最大值啊，算完之后，这是二分之 l 的 啊，这是二分之 l 的 啊，所以说我们算完啊，二分之 l 啊，它是属于啊，零到六分之一的啊，因此 l 啊，这 l 应该大写啊，因此 l 就 应该是在零到三分之一啊，至此，这道题完事了。这道题十九题，你说难度大不大呢？难度其实跟其他的十九题相比，难度是很小的，但是计算量大啊，就是通篇整个啊，这个名校联盟的五月联考的这样卷， 十五到十九计算量都很大，所以说大家没有一个非常强的计算能力，这样卷几乎是答不完的啊，所以说给大家提了个醒 啊，所以说大家一定要多计算，不能多看题，看题没有用，得做题啊，一定要动笔做， ok 啊，这就是这张卷啊，我们全都讲完了，那咱们下个视频见，拜拜。

安阳的高三家长们大家好！安阳市三模成绩和分数线今天出来了，查到分数之后，估计有很多的家长心里开始打鼓了， 考好了怕定型，考砸了更上火。今天我跟大家说句大实话，三模只是模拟考试，他绝不等于高考，更定不了孩子的结局。最后这二十几天，咱们家长做好这三点才是最关键的。第一，稳住心态， 少唠叨，不攀比，做孩子最坚实的后盾，别做压垮骆驼的稻草。第二，抓对方向，别死磕偏题怪题，回归课本，抓基础复盘错题不漏洞，把能拿的分稳稳的攥在手里。 第三，提前规划，别指定的分，趁现在咱们有时间，可以研究研究院校专业和河南的报考规则，别等出分了再临时抱佛脚，此间就比较紧张了。 想知道孩子三科分数对应全省大概排名的，能冲什么层次的大学？欢迎在评论区留言，咱们一起帮孩子提前做好规划，祝愿所有高三的孩子高考必胜，金榜题名！

欢迎来到抖音高考百日百课，我在抖音精选给大家整理了高考数学中必考大题的常用解析思路，大家可以上抖音精选就给我的高考百日课，接下来让我们进入今天的学习吧。今天我们要讲的内容是立体几何。 在历年的高考数学中，对立体几何的考察通常都是以间系的方式进行考察，几乎没有哪一年是不能用间系去做的。所以说本期视频主要就针对间系，讲讲高中立体几何的一些解法思路。 首先在讲方法之前呢，先给大家讲一个向量差乘的一个概念，可能有的同学听过，有的同学没有听过。首先向量差乘是什么？ 我们说向量差乘，它是只对三维向量有定义的，然后它的一个结果呢，是一个新的向量，它不是数，然后它的一个几何意义，它是同时垂直于 ab 这两个向量，然后满足右手定折的。也就是说，如果我们有这样两条向量，这一个是 a 向量， 然后这样一个是 b 向量，我们求 ab 向量的一条新向量。 也就是说，如果我们在求平面的法向量的时候，那我们是不是可以用这样一个方法？首先它的一个计算方式呢？也很简单，我们假设我们 a 向量，它的大小它为 a 一， a 二、 a 三，然后我们的 b 向量呢，它的一个大小 为 b 一， b 二、 b 三。我们在计算 a 叉乘 b 这样一个向量的时候，我们只需要做以下步骤就可以了。我们先把 a 向量写两遍，那我们给它写成 a 一、 a 二、 a 三， 然后 a 一， a 二、 a 三，接着我们再把 b 项链给它写两遍，然后这里是 b 一、 b 二、 b 三、 b 一、 b 二、 b 三，然后我们把首尾掐掉， 所以说这里把 a 一 和 b 一 掐掉，然后后面把 a 二、 a 三和 b 三掐掉。所以说我们的 n， 我 们的一个法向量，它就等于交叉相乘再相减，然后我们第一个交叉相乘，它等于 a 二乘以 b 三，减去 a 三乘以 b 二。 我们第二个呢，那就是这里 a 三乘以 b 一， 减去 a 一 乘以 b 三，我们最后一个数呢，那就是最后这样一个交叉方程再相减， 然后这里就是 a 一 乘以 b 二，减去 a 二乘以 b 一。 然后我们可以挑两个向量来验算一下，我们假如说我们的 a 向量 等于九八五，那么的 b 向量呢？等于二幺幺，然后我们算我们的一个法向量，我们先把 a 向量和 b 向量给它写两遍，那就这里就是九八五 二幺幺。所以说我们可以写出我们的法向量，它就等于先第一个我们给它擦掉，然后第一个交叉相乘，再相减八减五，那第二个呢？就是十减九， 那还剩最后一个就是九减去十六，所以说这里等于三一负七。然后我们尝试检验一下，我们一个 n 向量乘以 a 向量， 那它这里就等于二十七加八，然后再加上一个五乘以负七，那就是负三十五， 那它这里是等于零的，那我们再减一下 a 向量乘一个 b 向量呢？那等于就是六加一减七。 所以可以发现我们 n 向量如果用这样的一个计算方式去求，是不是就会更简单一些呢？ 那接下来我们讲间隙之后，我们再讲一讲间隙的这么一个流程，它的本质其实是一个方程思想。我们看一下我们间隙计算的这样一个步骤，首先我们有第一个平面， 我们给它记为面 alpha 啊，所以说我们针对面 alpha， 我 们可以算出 n 一 就是我们的第一个法向量，那接着我们如果有一个面 beta 啊，我们可以找出我们第二个法向量 n 二，然后我们计算 cosine n 一 和 n 二的一个夹角， 然后它就等于，然后这里分母是 n 一 的薄，然后 n 二的某相乘，然后分子呢，这里是 n 一 乘以 n 二， 然后等于这么一个值，然后我们在计算的这样一个过程中呢，如果我们这样一个角是我们所要求的一个量，那相当于我们其实就是从这里，然后一直推导到这里， 最终求出我们的这样一个夹角。我们假设我们设这样一个值为 x， 那 我们在我们这样一个整个计算的一个过程中，那我们首先我们计算平面 n 一 n 二的这样一个向量的时候，我们是不是会先有那么几个点？所以我们得先有面 alpha 的 三个点坐标，那就是 a 一、 a 二、 a 三 以及面碑它的三个点坐标一一一二一三。然后我们找出我们的一个，根据我们点坐标找出我们平面 alpha 的 n 一 法向量， 再根据我们点 b 的 三个点的这样一个坐标呢，我们找出我们面 beta 的 这一个法向量恩爱，比如说在这样一个过程中，我们最终可以推导出可以算出来我们这样一个法向量之间的夹角这样一个值 x， 那 如果我们 x 是 已知的，那我们想一想，我们是不是可以回推回去？ 也就是说现在我们的 x 它成了以个以，它成了一个已知的值，那我们是不是接着可以回推回去我们的一个 n 一 法向量和 n i 法向量的一个关系， 那如果我们知道了 n 一 和 n i 向量的一个的一个关系，那我们其实是不是可以回去推导出我们一个点的坐标，也就是我们 a 一 a 二， a 三一一一二一三， 我们想想是不是这样一个思想，那如果我们可以把 a 一 a 二， a 三或者是 b 一 b 二 b 三的一些点用一个未知数代替，那是不是这样一个方程， 我们既可以用这样一个知道的正弦或者余弦值回回去我们点的坐标，我们也可以用我们的点坐标来计算得出我们这样一个假角的正弦或者余弦值。好，接下来我们看一看这样一道题目，首先 啊，题目已经告诉我们了， p a 垂直于这样一个底面， a， b， c， d， 然后 ab 还垂直 c， d 的， 就是说两两垂直的关系。题目已经告诉了，所以说接下来呢，就是一个间隙，我们这里以 ab 为 x 轴， 然后以 a d 为 y 轴，那以 a p 呢为 z 轴进行间隙，那下一步就是写出一些点的坐标，首先我们 a 点的坐标是可以知道的， a 点是零零零， 然后我们再把题目中的一些相关线段的长度，我们给它标记出来， a b 这里是根号二， a d 这里是一加根号三， 然后还有 b c 的 长度是二，所以说我们可以把我们题目中所需要的一些点的坐标给它表示出来，所以 b 点呢，这里就是根号二零零， c 点呢就是根号二二零，然后 d 点就是零一加根号三零，那最后还有一个 p 点零零，根号二。 然后接着我们看一下我们的第二本所需要让我们去求的这样一个东西，那让我们证明 o 在 平面 a、 b、 c、 d 上， 那我们求有什么特点？求到球面各个点的这样一个距离，它都等于我们的一个半径，所以说我们只需要把点 o 的 这样一个坐标给它设出来，那如果说我们这里设 o 的 坐标为 x、 y、 z， 那是不是我们的 o、 p、 o、 b、 o、 c、 o、 d 啊？它都等于这样一个半径，所以说我们的第一个方程，那就是 o、 p 的 长度等于二方，那 o、 b 的 长度等于二方， o、 c 的 长度等于二方， o、 d 的 长度等于二方，所以说这就是我们的这样一个方程思想，四个方程，四个未知数，然后我们解除这样一个 x、 y 的 坐标，然后就可以了，然后我们看一看这样一个方程应该怎么去解。 那首先我们把几个向量的坐标给它写出来，首先这里 o、 p 呢，这里就是 负 x， 负 y， 根号 i 减 z， 然后 o、 b 向量呢，这里呢就是根号 i 减 x， 负 y， 负 z， o， c 向量呢，这里就是根号 i 减 x， i 减 y， 负 z， o、 d 向量，那这里就是负 x 一 加，根号三减 y， 负 z。 然后接下来我们把这一个坐标带到我们的一个方程里面去，去计算一下 o、 p 向量，这里就是 x 的 平方，加上外方加上一个根号 i 减 z 的 平方等于二方，那 o、 b 向量呢？这里就是根号 i 减 x 的 平方，加上一个外方， 加上一个 z 方等腰方，那 o、 c 项呢？就是一，就是根号 i 减去 x 的 平方，加上 y 减 i， 这里是 i 减 y， i 减 y 的 平方，加上 z 方等于二方。然后还剩一个 o、 d 向量，这里是 x 的 平方，加上一加，根号三减 y 的 平方，加上一个 z 方。 我们解这样一个方程的时候，我们发现四个方程，四个未知数一定是能解出来的，但实际在我们的一个计算中呢，我们是有一些技巧的，就比如说 我们看第二问的第一小问，那我们证明求 o 在 平面 a、 b、 c、 d 上，那既然求 o 在 平面 a、 b、 c、 d 上呢？那我们的舍得这样一个点， z， z 那 是不是就等于零？所以说我们可以直接解出来 z 等于零， 那 z 等于零了之后，我们把方程做一些变法，它就变成 x 的 平方加上 y 平的平方加上 i 等于二方。 然后根号 i 减 x 的 平方，加上 y 的 平方，加上 i 减 y 的 平方等于二方， x 的 平方加上一加，根号三减 y 的 平方等于二方。 好，接着这样我们的一个圆方程呢，就变成这样一个稍微简单了一点的方程。然后我们可以看一下这样一个方程应该怎么解，我们去找它相同的值。 首先我们看这两个等式，那既然这两个等式相等，那说明是不是外方就等于 i 减 y 的 一个平方，所以外方等于 i 减 y 的 平方。 我们可以观察一下这样一个方程，因为等式的左边呢，有一个 y 减 y， y 减 y 平方，我们把平方给它打开，所以说两个 y 方约掉了，所以说这个方程它只会有一个解，所以我们直接令 y 等于 i 减 y， 我 们可以解除 y 等于一。好，这是我们解出来的又一个值， 那接着我们的这样一个点，我们就只剩下 x 没有点没有解出来了。那我们看一下 x 应该怎么去解呢？我们再把 y 等一，再带到我们的一个圆方程中，再去解一下， 好，它这里就变成 x 的 平方，加上 i 加一等于二方，那我们看这两个式子，它就变成了同样的一个式子，那就是根号 i 减 x 括号的平方加上一等于二方， 那所以我们依旧是一个等价的这样一个思想去解这样一个题目。比如说我们注意到这里，那我现在就有 x 的 平方加 i 等于根号 i 减 x 的 平方， 那我们还是注意到这样一个式子中呢？我们可以发现等式左边有一个 x 的 平方，等式的右边我们把平方打开后，仍然是有一个 x 的 平方，两个 x 的 平方约掉了，所以说这个方程它只有一个解，它是一个一元一次方程，我们可以观察一下 右边的等式里面有根号，我们要让根号消除，所以说我们令 x 等于零，发现题目两边它是满足成立的，所以说我们解出来 x 等于零。 好，这就是我们这个这样一个解方程的这样一个步骤，那所以我们 o 点的坐标就求出来了 零一零，这个零一零呢，就是我们 o 点的这一个坐标。然后接下来我们要求 a c 和直线 p o 所成角的余弦值，我们把两个向量给它写出来就可以了，那我们 a c 向量， 我们可以去找一下，它就等于根号 i i 零这样一个向量，那我们的 p o 向量呢 啊， p 点在这里，所以我们的 p o 向量它就等于零一负的根号二。 好，那这就是我们这样一个 a c 和 p o 向量，那接着我们去计算它的一个余弦值就可以了。那 cosinac p o， 那 就等于 a c 向量的模长，等于 p o 向量的模长，然后分子那就是 a c 再乘一个 p o， 我 们解出来这样一个值，我们就可以求到它的一个余弦值了。 接下来我们看一看二零二四年的这样一道新一卷啊，题目也是很简单好给了我们一些条件， p a 垂直于平面 a， b， c， d， 所以 我们间歇的这样一个垂直关系呢，就基本上已经找出来一半了。接着我们看题目的一些条件， p a 等于二，然后 a c 这里等于二啊， b c 等于一， a d 等于根号三， 那这个是题题目给我们的一个条件。然后我们看一看第二问，第二问告诉我们了， a d 垂直， d， c 这一个角是垂直的， 然后 i 面角 a c p d 的 一个正弦值为七分之，根号四十二，让我们求一个 a d 的 长度，然后这个就是显然是一个反推，知道这样一个角的关系，然后反推边长的一个题目。那么这里用绝大多数人可能想到的一个思路去解决这样一道题目， 那可能就是我们过 d 点做 a p 的 这样一个平行线，然后这里就有 a， d， d， c， 还有我们做的这一条平行线，两两垂直，所以说我们就做出了我们这样一个直角坐标系，然后接着我们看一下 这样一条直线，然后它垂直在 d 点， 然后我们找出了这样一个垂直关系。那接下来我们可以设边长，我们设 a， d 为 x， 那 所以说呢，我们的 d c， 它就等于根号下四减 x 的 平方， 那我们的一个 p 点的坐标，那现在我们基本上都都可以写出来了，然后我们写一下点的坐标，那我们 a 点的坐标呢？那这里就是 x 零零，然后 c 点的坐标 零，根号下四减 x 的 平方零， p 点的坐标，好，这里是 x 零二，然后还剩最后一个坐标原点，对吧？那我们 d 点，这里是三个零， 好，接下来我们就去找一下发向量，我们在用边长去找发向量的时候，需要注意一个点，那就是我们尽量选择它垂直于我们某一个坐标轴 上的一个一条直线，因为这样计算的话，我们边长的法向量它就有一个值，它在某一个方向的某一个值，它可以是零，所以说这样计算起来会简化我们的一个计算复杂度。 我们先把细给剪出来，我们定 a d， 这里为 x 轴，然后 d c， 这里为 y 轴，那所以说第一个我们找法向量面 a、 c、 p， 首先 ac， ac 是 垂直于我们 z 轴的，所以说我们要把 ac 写出来， ac 这里就等于负 x， 根号下四减 x 的 平方， 然后还有哪一条？还有 ap， 然后 ap 呢？它是也是垂直于 y 轴的， 这里是 a p， a p 呢？我们就可以算得零零二啊，这个就是我们 a p 的 一个发行量长度，然后我们算一下发限量，还记得我们的一个差乘公式吗？我们先把发行量给它算出来，我们写 a p 零零二， 零零二，那这里是负 x 根号下四减 x 的 平方，零负 x 根号下四减 x 的 平方到零，我们把头尾掐掉，所以说我们的法向量，那我们这里就计算可以的外倍的 根号下四减 x 的 平方，然后负二 x， 然后后面就是零，这个是我们面 a c p 的 这样一个法向量，那接下来我们找面 c p、 d， 我们在找线的时候，那依旧是要选择尽量选择两条好算的线，那就是要找它与某一条坐标轴垂直的这样一个向量，因为这样算起来的话，我们法向量就算起来会非常的简单。 然后接下来我们看一下我们应该找哪两条向量呢？首先 c d， c， d 是 垂直于 z 轴的，所以说 c d 肯定是需要找的， 那 c d 呢？这里就等于因为 d 点是圆点，我们给它写成 d c 啊，所以说这里就是 c 点的坐标， 我们的 d p 呢，也是在一个平面的，所以说我们把 d p 也给找出来，它变成 x 零二，然后我们算法向量 啊，我们依旧是用我们的叉乘公式把它算出来， 然后这里第一个呢就是负 i 倍的根号下四减 x 的 平方，然后第二个呢是零，第三个是 x 乘以根号下四减 x 的 平方， 所以说这个是我们的一个法向量，我们把它的两条法向量给它求出来，然后我们便于区别呢，我们把上面的记作 n 一，下面的记作 n i。 好，节目说我们这样两个 i 边角的正弦值为七分之，根号四十二，那我们是不是可以给它化解成为以下？上面是根号六，下面变成根号七，那所以说我们 cosine c 它的值呢？ 那我们 cosine c 它的这一个值，它就等于根号七分之一，那我们 cosine c 的 平方就等于七分之一。所以说我们 cosine n 一 n i 的 平方，它就等于七分之一，那它就等于 n 一 的平方，然后下面是 n i 的 平方，然后 n 一 乘以 n i 的 这样一个平方，那这个平方它就等于七分之一。那我们解一下这样一个方程， 原 n 一 的平方，这里是四乘以四减 x 的 平方，再加上四 x 的 平方， 然后再乘这里少了一个平方，然后再乘以一个 n i 的 平方 i。 我 们给大家写一下，这里是四，然后乘以一个括号等于四减 x 的 平方。呃，再加上一个 x 的 平方，以四减去 x 的 平方， 然后分子上面呢？这里好像有些挡住了，我们要移上面一点啊，我们再看一下我们的 n i n i 到，这里就是四乘以括号内四减 x 的 平方，然后后面的这里呢，再加上一个 x x 的 平方，乘以一个括号内四减 x 的 平方。所以说这个什么呢？一个 n i。 好，我们接着算一下分子，那分子呢，就是 n 一 乘以 n 二，然后它这样一个整体的平方，对了，我们这里有个平方，好，那 n 一 乘以二，整体的平方呢？那就是 n 一 乘以二，然后我们可以算一下，因为这两个有两个零，所以说这两个零约掉了，它就等于内括号了。四乘以四减去 x 的 平方，然后括号的平方。 接下来我们算一下这样一个式子，那我们把这样一个等式给它稍微挪过了一点 啊，我们挪到这里，那上面是十六倍的四，减去 x 的 平方，然后扩大平方， 然后这里呢它就变成分母，它就变成十六减去四 x 的 平方，再加上四 x 的 平方，然后括号内，它再乘以十六减四 x 的 平方，加上四 x 的 平方，再减去 x 的 四次方。 我们可以发现这样一个四字呢，它是可以约分的啊，它上面变成十六倍的四，减去 x 的 平方，下面呢变成十六。 因为我们这两个约掉了，我们这里可以约掉，这里可以约掉，所以说它就变成十六乘以一个十六减去 x 的 四次方。这样一个四指，它等于七分之一， 所以说这两个又约掉了，然后我们这里少一个，少一个平方，我们给它拿过来。 好，那就是这样一个式子呢，那我们可以算一下，我们把上面展开，它变成 x 的 四次方，减八 x 的 平方，再加上十六， 然后分母呢？这里是十六，减去 x 的 四次方，等于七分之一， 然后我们化解这一个四十二等于七倍的 x 的 四次方，减去五十六倍的 x 的 平方，加上七乘以十六，然后等于十六减去 x 的 四次方。然后进一步化解，它就变成 八倍的 x 的 四次方，减去五十六 x 的 平方，加上六乘以十六，然后等于零。所以说接下来这样一个式，它就可以约分了，它可以约一个八，我们等式同时除以一个八，它就变成 x 的 四次方，减去七 x 的 平方，再加上十二等于零，那所以说我们这样一个方程解出来它有两个值，然后我们把这样一个式子因子分解一下，它就变成 x 的 平方减三， x 的 平方减四等于零，那我们推出来会有两个值， x 等于根号三，或者是 x 等于二。 但是注意到我们的这样一个边长，我们设的是 a、 d 的 长度，但是由于我们 a c 的 长度是二，所以说我们 a d 它不能比 a c 大。 再加上我们 设的这样一个关系呢，我们是以 d a 这样一个方向间隙的，所以说 d a 的 这样一个长度它是正的，所以说我们最终就取正的，那最终我们求出 x 等于 i 舍去了， 所以说最终我们求出 a d 的 长度等于根号三。