重庆八中八年级下数学周考几何第三问

各位同学大家好，我是蜀文中央公园校区的梦梦老师，今天我给大家讲一下数八五月十号初二的大集合的第三问。 首先我们来看一下题目的条件。题目前前面说了一下哈，前面第一个大前提条件就是说了我们的 a b c 是 一个等腰值，然后呢，在它此基础上，我们来讲一下第三问好，我们看一下， 那前面说 abc 是 个等腰值，那我们先给他进行一个标注，那所以我这个位置角 b a c 这个位置是有垂直的，然后呢，又有 ab 等于 ac， 而且这里的有 b 大 等于 c e。 好， 就这三个条件，然后他如图三，若 ab 等于四，那现在我们是知道我们的 ab 等于四， ac 是 不是也是等于四？然后呢，我的 bc 是 不是等于四倍根号二， 然后他说将 a e e 是 b c 上的一个动点，说将 a e 绕着点，绕着点 e， 顺时针旋转九十度，得到 e m， 那 么很容易知道这个位置其实是一个直线形刮动嘛，对不对？它始终都有 a e 等于 e m， 那 就说明我们的 a e 到 e m 这里变化的话，就相当于将 a e 绕着， 是不是绕着点 a， 然后呢，顺时针旋转了四十五度，然后再扩大了根号二倍到我们的那个 a m 这个位置来，那所以在这里其实就是个直线形的刮豆，主动点是我们点 e， 从动点是我们的点 m， 好，那这是个我们主动点，这是从动点，那么在这里我们应该很容易得到它的轨迹。那我们可以假设当 e 在 a 这个 bc 的 一个中点的时候，那就是我们相当于是找它的一个特殊点，那比如说我们过点 a 往下做垂 好，那就那这个点用点 g 来表示，那所以我们在这里相当于当点 e 在 点 g 的 时候，那么的点 m 是 不是应该在点 c 这个位置，对不对？那所以我们 m 的 一个轨迹是可以直接画得出来的，那我们再画一下， 好，然后呢？那这就是我们 m 轨好 m 的 轨迹，然后呢，那我们知道哈，我们主我们的 直线形刮斗的一个隐藏的结论就是我们的主从动点的轨迹的夹角是一个，是不是等于它上面的一个旋转角，所以我可以得到这个角是一个四十五度角， 然后那么来继续读题，然后呢他说再说了一个说 n 为 b m 的 一个中点，他要求的是当 a n 加上二分之一倍的 an 加上二分之一倍的 a m 取得最小的时候，那你看一下我们的轨 m 的 轨迹是不是已经找出来了？那我们来找这个，那么找它最小的时候，让你去求三角形 a c 大 的一个面积， 那这个 a c 大 这个图形的面积的话，我们是不是就找它底和高，那你看明显在这个位置我是不是高，是不是已经有了就有 a g， 那 所以我们这个 a g 的 高这个长度是能很好的算出来的嘛？那很快的算出来，那它就应该是一个二倍根号二的一个 长度，那我们现在就求 c g， 那 c g 是 不是很明显？是不是要求的是 c g 加上大 g 的 这样的一个长度？那所以我们就要求大 g， 那 在这里求大 g 或者 求大 g， 那 大 g 是 不是又等，因为我们前面有个 b 大 等于 c e， 所以 我们的大 g 和 g e 一定是相等的。那所以在这个位置，那我要求求 g e 是 不是也是 ok 的？ 那在这里始终都有 a e m 这个等腰值是不是存在？所以在这里其实很明显的有一个一线三垂直，那么我们这里的这个记忆是不也等于过点 m 往下作垂的，是不也就等于这个长度？那那我们来画一下。好，那就相当于把 bc 给它延长出来。 好，我们这里用个点 k 来表示，那所以我在这个位置是不是始终都有三角形？ a g e 是 不是全等于三角形 e k m， 那 所以我 g e 的 长是别等于 mk 的 长，然后呢？那我 mk， 然后这里是不是这里因为用主从动减了这里的夹角是四十五度嘛？然后这又是一条线，所以我们的这里也是四十五，那这里就是九十度，那同理是不可以得到这里是一个四十五度，那所以我这里 c m k 是 不一定是一个等腰值，所以我把这里的这个四十五度标一下， 那我要求 mk 的 长度，那是不是就相当于求这个 c m k 的 长度？那是不是就相当于求这个 c m 的 长度？对不对？ 我们来看，那前面要求的是，那当前面会有一个限制条件，说当 a n 加上二分之一倍的 a m 求到最小值，那我们现在 a n 有 了，那我是不是现在要始终来构造一个二分之一倍 a m， 那 你看一下， n 点是一个 b m 的 一个中点，那么 a m 是 不是这个 a m e 这个等腰值的一个斜边？所以我在这里我们始终其实可以得到我们二分之一倍的 a m， 那 就相当于取我们的 a m 的 一个中点，那是不是它就是个二分之一嘛？那我们来取一下它的一个中点， 那这就是我们它的一个中点， 那这个中点在这我们用一个点，我们用个点 h 来表点 h 来表示， 那所以我这里的 a， 那 所以我们这里因为我们这个 m 点，它是始终是在这个直线上动的，那么 h 点始终是我们 am 的 一个中点，所以其实我们可以得到我们 h 的 轨迹是不是也是相当于 是这个 am？ 就 比如说在上面再取一个点 m， 那 是不是就相当于其实是我这个 am 一 撇 m 这个三角形的一个中位线，对不对？所以我们就可以知道我们的 h 的 一个轨迹应该跟我们的 cm 的 轨迹应该是 平行的，那我们前面哈这里是不是得到四十五度，所以我可以知道 m 的 轨迹和 ab 的 轨迹其实也是一个，和 ab 的 这条直线也是一个平行的，那我们再来画一下， 那这个就是我们 h 的 一个轨迹， 那所以我们在这里现在要求的是一个 an， 是 不是？那我这二分之一 am， 我 是不是就相当于就求 a h， 那 你看 an h n 又是 b m， 那 个中点 h 也是个 a m 的 中点，所以我这里的 h n 是 不是始终等于二分之一倍的 ab， 那 是个中位线，在三角形 ab m 中，它就相当于是个中位线，那我 h n 就 始终等于二分之一倍的 ab， 所以 我 h n 就 等于二， 好，等于二。然后呢，我们再继续来看，那我现在的要求的是 a n 加上二分之 a m， 就 等于 a n 加上 a h， 那在这里是不是很明显就是一个中间的这个长度，是一个固定的长度，所以我们这里是不是很明显就是一个造桥选址的一个模型，那么我是不是就要将我的 a h 是 不是给它进行一个平移，平移到这边来，然后我们来画一下，将它平移过来， 那平移过来，那平移过来之后的这个点，其实是这边这个点其实也是我们 a b 的 一个中点，对不对？因为你的 n 为 n 为 b m 的 中点，他们俩又是平行，所以我这个点是不可以用中位线的一个立定，你可以得到我们这个点其实就是你 a b 的 一个中点。好，那我们这个点用点 f 来表示， 所以我可以得到。那你看好我现在是不是就相当于求 a n 加上 f n 的 一个最小值，那是不是这里还需要一个进行一个对称？那么由于我们的这里是不是个，它和它是不是个平行，所以我们它加上它的一个最小值，是不是就将 a n 沿着这条直线给它对称过来？ 那这里对称过来的时候呢？那你看一下哈，我们这里是不是四十五度，旁边这四十五度它跟 a c 是 个垂直的，那它又跟它是平行的，所以我们的这个 h 的 轨迹和我们的 a c 这里也是垂直的，所以我们把 n 对 称过来，是不？其实就是我们的一个 c n， 对 不对？其实它长度就是我们的 c n， 那 相当于我们在这里的 a m， 哦， a n 加上二分之一的 a m， 最后让我们转化成了 a n 加上 a h， 然后呢也就转化成了 a n 加上 f n， 然后呢那 a n 又转到 f n c 这里位置来，所以现在是不是相当于当我们的 f n c 三点共线的时候，三点共线的时候是不是就是最小？ 那 f n 三点共线的时候，那我们的 n 在 这儿，那对应的我们的点 m 是 不是应该往这边来一点儿？那点 m 在 这里来一点儿之后，那我的点 e 是 不是要对应的也要往这边挪一点点？是不是点 e 就 在这儿？ 那点一往相当于是往右走了一点点，那相对我的点大，其实也往右左走了一点点嘛？那所以在这里这个图会稍微复杂一点，那我在这里我们就就假设好，那我在这里就假设现在的 fnc 好， 他三三三点就是个共线的，我这里就不再重复画了。 好，那么 fnc 现在是三点共线，那么由于我们这里是不是他是跟他是不是始终是平行的？就这个 f n 和我们的 ah 是 始终是平行的，那么 af 又跟我们的这个 h 的 轨迹这里又是一个平行的，所以我这个位置这个四边形始终就是一个平行四边形， 那么我们的 fnc 现在又是三点共线，所以我们的 fnc 是 不是也平行于我们的 am？ 然后呢， m 的 轨迹是不是跟我们的 ab 也是平行的？所以在这个位置我的 a f c m 就 始终是一个平行四边形，那么我们 a f 的 长度是不是等于 c m 就 等于二？ 好，那 a f 就 等于 c m 就 等于二，那在这里等于二呢？然后那你看看我们这里是不是就很好求了？那我们 c m 就 等于二，那我的 mk 是 不是就等于根号二？ 这里等于二，那这里是不是根号二？我的 c k 也等于根号二，那么所以我们的 c 大 的长度是不就能求了？那就等于 c g 是 不是二倍根号二？加上大 g 大 g 又等于 g e g e 又等于 m k， 所以 我们的 c 大 的长度就等于三倍根号二，那所以我们 s 三角形 a 大， a， c 大 的面积就等于二分之一倍的 c 大， 乘以 a g， 那 就等于二分之一倍 c 大 是等于 三倍根号二，然后呢，再乘个 a g 是 二倍根号二，那也就等于六，所以我们三角形 a c 大 的面积我们就求出来了。

各位同学大家好，我是蜀文中央公园校区的梦梦老师，今天我给大家讲一下书八五月十号初二的大集合的第三问。首先我们来看一下题目的条件。 前面第一个大前提条件就是说了我们的 abc 是 一个等腰值，然后呢，在他此基础上，我们来讲一下第三问好，我们看一下，那前面说 abc 是 个等腰值，那我们先给他进行一个标注，那所以我这个位置叫 b a c 这个位置是有垂直的，然后呢，又有 ab 等于 ac， 而且这里的有 b 大， 等于 c e。 好， 就这三个条件，然后他如图三，若 ab 等于四，那现在我们是知道我们的 ab 是 等于四的， 那所以我在这里是等于四的话，那我 ab 等于四， ac 是 不是等于四？然后呢，我的 bc 是 不是等于四倍根号二， 然后他说将 a e e 是 b c 上的一个动点，说将 a e 绕着点，绕着点 e， 顺时针旋转九十度，得到 e m， 那 么很容易知道这个位置其实是一个直线形刮动嘛，对不对？它始终都有 a e 等于 e m， 那 就说明我们的 a e 到 e m 这里变化的话，就相当于将 a e 绕着， 是不是绕着点 a， 然后呢，顺时针旋转了四十五度，然后再扩大了根号二倍到我们的那个 a m 这个位置来，那所以在这里其实就是个直线形的刮豆，主动点是我们点 e， 从动点是我们的点 m， 好，那这是个我们主动点，这是从动点，那么在这里我们应该很容易得到它的轨迹，那我们可以假设，当 e 在 a 这个 bc 的 一个中点的时候，那就是我们相当于是找它的一个特殊点，那比如说我们过点 a 往下做垂 好，那就那这个点用点 g 来表示，那所以我们在这里相当于当点 e 在 点 g 的 时候，那么的点 m 是 不是应该在点 c 这个位置，对不对？那所以我们 m 的 一个轨迹是可以直接画得出来的，那我们再画一下， 好，然后呢？那这就是我们 m 轨好 m 的 轨迹，然后呢？那我们知道哈，我们主我们的 直线形刮斗的一个隐藏的结论就是我们的主从动点的轨迹的夹角是一个，是不是等于它上面的一个旋转角，所以我可以得到这个角是一个四十五度角， 然后那么来继续读题，然后呢他说再说了一个说 n 为 b m 的 一个中点，他要求的是当 a n 加上二分之一倍的 an 加上二分之一倍的 a m 取得最小的时候，那你看一下我们的轨 m 的 轨迹是不是已经找出来了？那我们来找这个，那我们找它最小的时候，让你去求三角形 a c 大 的一个面积， 那这个 a c 大 这个图形的面积的话，我们是不是就找它底和高，那你看明显在这个位置我是不是高，是不是已经有了就有 a g， 那 所以我们这个 a g 的 高这个长度是能很好的算出来的嘛？那很快的算出来，那它就应该是一个二倍根号二的一个 长度，那我们现在就求 c g， 那 c g 是 不是要求的是 c g 加上大 g 的 这样的一个长度？那所以我们就要求大 g， 那 在这里求大 g 或者 求大 g， 那 大 g 是 不是又等，因为我们前面有个 b 大 等于 c e， 所以 我们的大 g 和 g e 一定是相等的。那所以在这个位置，那我要求求 g e 是 不是也是 ok 的？ 那在这里始终都有 a e m 这个等腰值是不是存在？所以在这里其实很明显的有一个一线三垂直，那么我们这里的这个记忆是不也等于过点 m 往下做垂的，是不也就等于这个长度？那那我们来画一下。好，那就相当于把 bc 给它延长出来。 好，我们这里用个点 k 来表示。那所以我在这个位置是不是始终都有三角形？ a g e 是 不是全等于三角形 e k m， 那 所以我 g e 的 长是别等于 mk 的 长，然后呢？那我 mk， 然后这里是不是这里因为用主从动剪了这里的夹角是四十五度嘛？然后这又是一条线，所以我们这里也是四十五，那这里就是九十度，那同理是不可以得到这里是一个四十五度，那所以我这里 c m k 是 不一定是一个等腰值，所以我把这里的这个四十五度标一下， 那我要求 mk 的 长度，那是不是就相当于求这个 c m k 的 长度？那是不是就相当于求这个 c m 的 长度？对不对？ 我们来看，那前面要求的是，那当前面会有一个限制条件，说当 a n 加上二分之一倍的 a m 求到最小值，那我们现在 a n 有 了，那我是不是现在要始终来构造一个二分之一倍的 a m， 那 你看一下， n 点是一个 b m 的 一个中点，那么 a m 是 不是就是个 a m e 这个等腰值的一个斜边？所以我在这里我们始终其实可以得到我们二分之一倍的 a m， 那 就相当于取我们的 a m 的 一个中点，那是不是它就是个二分之一嘛？那我们来取一下它的一个中点， 那这就是我们它的一个中点， 那这个中点在这我们用一个点，我们用个点 h 来表点 h 来表示， 那所以我这里的 a， 那 所以我们这里因为我们这个 m 点，它是始终是在这个直线上动的，那么 h 点始终是我们 a m 的 一个中点，所以其实我们可以得到我们 h 的 轨迹是不是也是相当于 是这个 a m？ 就 比如说在上面再取一个点 m， 那 是不是就相当于其实是我这个 a m 一 撇 m 这个三角形的一个中位线，对不对？所以我们就可以知道我们的 h 的 一个轨迹应该跟我们的 c m 的 轨迹应该是 平行的，那我们前面哈这里是不是得到四十五度？所以我可以知道 m 的 轨迹和 ab 的 轨迹其实也是一个，和 ab 的 这条直线也是一个平行的，那我们再来画一下， 那这个就是我们 h 的 一个轨迹， 所以我们在这里现在要求的是一个 a n， 是 不是？那我这二分之一 a m， 我 是不是就相当于就求 a h， 那 你看 a n a h n 又是 b m， 那 个中点 h 也是个 a m 的 中点，所以我这里的 h n 是 不是始终等于二分之一倍的 ab， 那 是个中位线，在三角形 abm 中， 它就相当于是个中位线，那我 h n 就 始终等于二分之一倍的 ab， 所以 我 h n 就 等于二，好，等于二。然后呢我们再继续来看，那我现在的要求的是 a n 加上二分之 a m， 就 等于 a n 加上 a h， 那在这里是不是很明显就是一个中间的这个长度是不是固定的长度？所以我们这里是不是很明显就是一个造桥选址的一个模型，那么我是不是就要将我的 a h 是 不是给它进行一个平移，平移到这边来，然后我们来画一下，将它平移过来， 那平移过来，那平移过来之后的这个点，其实是这边这个点其实也是我们 a b 的 一个中点，对不对？因为你的 n 为 n 为 b m 的 中点，它们俩又是平行，所以我这个点是不可以用中位线的一个立定，你可以得到我们这个点其实就是你 ab 的 一个中点。好，那我们这个点用点 f 来表示， 所以我可以得到。那看好我现在是不是就相当于求 a n 加上 f n 的 一个最小值，那是不是这里还需要一个进行一个对称？ 那么由于我们的这里是不是个，它和它是不是个平行，所以我们它加上它的一个最小值，是不是就将 a n 沿着这条直线给它对称过来？那这里对称过来的时候呢？那你看一下哈，我们这里是不是 四十五度，旁边这四十五度它跟 a c 是 个垂直的，那它又跟它是平行的，所以我们的这个 h 的 轨迹和我们的 a c 这里也是垂直的，所以我们把 n 对 称过来，是不？其实就是我们的一个 c n， 对 不对？其实它的长度就是我们的 c n， 那 相当于我们在这里的 a m， 哦， a n 加上二分之一的 a m， 最后让我们转化成了 a n 加上 a h， 然后呢也就转化成了 a n 加上 f n， 然后呢那 a n 又转到 f n c 这里位置来，所以现在是不是相当于当我们的 f n c 三点共线的时候，三点共线的时候是不是就是最小？ 那 f n 三点共线的时候，那我们的 n 在 这儿，那对应的我们的点 m 是 不是应该往这边来一点儿？那点 m 在 这里来一点儿之后，那我的点 e 是 不是要对应的也要往这边挪一点点？是不是点 e 就 在这儿？ 那点一往相当于是往右走了一点点，那相对于我的点大，其实也往右左走了一点点嘛？那所以在这里这个图会稍微复杂一点，那我在这里我们就就假设好，那我在这里就假设现在的 fnc 好， 它三三点就是个共线的，我这里就不再重复画了。 好，那么 fnc 现在是三点共线，那么由于我们这里是不是他是跟他是不是始终是平行的？就这个 f n 和我们的 ah 是 始终是平行的，那么 af 又跟我们的这个 h 的 轨迹这里又是一个平行的，所以我这个位置这个四边形始终就是一个平行四边形， 那么我们的 fnc 现在又是三点共线，所以我们的 fnc 是 不是也平行于我们的 am， 然后呢， m 的 轨迹是不是跟我们的 ab 也是平行的？所以在这个位置我的 a f c m 就 始终是一个平行四边形，那么我们 a f 的 长度是不是等于 c m 就 等于二？ 好，那 a f 就 等于 c m 就 等于二，那在这里等于二呢？然后那你看看我们这里是不是就很好求了？那我们 c m 就 等于二，那我的 mk 是 不是就等于根号二？ 这里等于二，那这里是不是根号二？我的 c k 也等于根号二，那么所以我们的 c 大 的长度是不就能求了？那就等于 c g 是 不是二倍根号二？加上大 g， 大 g 又等于 g e g e 又等于 m k， 所以 我们的 c 大 的长度就等于三倍根号二，那所以我们 s 三角形 a 大， a c 大 的面积就等于二分之一倍的 c 大， 乘以 a g， 那 就等于二分之一倍 c 大 是等于 三倍根号二，然后呢，再乘个 a g 是 二倍根号二，那也就等于六，所以我们三角形 a c 大 的面积我们就求出来了，记得点赞关注哦！

同学们大家好，我是属文中央公园校区初中数学丽丽老师今天给大家带来五月十七号初一周测的压轴题，我们重点看一下第三问， 现在先看一下大题目信息，他说 a、 c 等于 b、 c， 那 我们可以对题目信息进行标注， a， c 等于 b、 c， 然后下一个信息就直接看题目中第三问题目的信息了，它说连接 a 大 e， 若 a 大 垂直， bc 垂直，可以标注一下 这个里面 b 大 比乘 c 大 等于一比四，那出现比值的时候，我们可以看一下题目后面有没有具体的信息，哎， b， d 等于二，那我们就可以求出来 b， d 等于二，通过比值一比四可以求出来 c 大 等于 八，那我们的 bc 就 等于二加八等于十，那 ac 是 不也应该等于 十？然后下一个信息， a、 e 平分角 b、 a、 c。 先标注一下平分角 b、 a、 c， 然后呢，三角形 abc 的 面积为三十，面积为三十，那题目中提到了面积的话，我们就可以推理一下这个面积的信息会怎么去用。 题目中前面不是有一个一比四的比值吗？那有比值，有面积，我们是不是可以通过他们求出三角形 a、 b 大 和三角形 a、 c 大 的面积各自是多少？那具体用不用我们再看一下后面题目信息需不需要下一个信息，他说 m、 n 都是 动点，然后呢，它需要我们去求解 m n 加 d， n 的 最小值，那看到 m n 加 d， n 的 最小值的话，就会想到我们现在学的知识点将军印马， 那由于 m、 n 都是动点，那好像就是我们一定两动里面的题型，而且我们的这个 m n 它是这个折线段， 那折线段我们要去求它和的最小值的话，我们是不是就要想到把它变成同一个方向的线段和，再去求最小值是最好的？那如果说要变成同一方向的 线段和的话，那肯定就要利用到对称，对称的话，因为都跟 n 有 关系，所以说我们对称考虑地点和 m 点去做对称，那做对称的时候， 我们就是过 a e 做垂线，然后并延长去求结，对不对？那到底是选 d 还是选 m 呢？我们要通过题目信息看哪一个更好做，我们就选哪一个， 那题目中有一个信息，他说 a e 平分角， b a c 这个角平分线目前看来没有任何的用，但是他有一个性质是具有对称性， 那我们刚好要做对称，那首先肯定就是选 m 点去做关于 a e 的 对称了， 那关于 a e 的 对称， m 会对称到哪去呢？那通过角平分线的对称性，我们可以想到它肯定是对称到 a c 上面，我们把它记做 m 一 撇， 那这个时候我们要求的 m n 加 d n 是 不是就可以写成 m e 撇 n 加 d n 的 最小值？首先它们现在已经变成同一个方向的线段和了，那我们要求最值的话，是不是想到三点共线的时候最小， 但是共线的时候就最小吗？其中这个 m 点是个什么点？是一个动点，那是动点的话，我们是不是就会想到，哎，那是不是？ 那是不是过点地，他的这个 dm 一 撇，这个线是不是就变成了这个样子的？ 那什么时候最小呢？肯定就是当它垂直的时候最小了，那既然垂直的时候最小的话，那说明我们这个红色的 m、 e 撇是不是才是我们想要的这个 d、 m、 e 撇的值才是我们想要的最小值？ 那做垂线是不是首先想到三角形的高，那既然跟三角形高有关系，而且我们对应的底 a、 c 也是知道长度的，那现在马上想到，哎，我们就去求 s 三角形 a 大 c 就 可以了。 那 a 大 c 的 面积是不是通过我们的 a、 b、 c 的 面积和我们的这一个比值是可以求出来的？ b、 d 比上 c、 d 等于一比四，那是不是相当于把我们的三角形 a、 b、 c 分 成了， 分成了一加四，是不是分成了五份？那 a、 c 大， 这个三角形占四份，那面积就应该等于二十四，那这个二十四它是不是也等于二分之一？底层高，它就等于二分之一。乘以 a、 c， 再乘以 dm 一撇带值进去，那就是二十四。等于二分之一。乘以十，再乘以 dm 一 撇，那 dm 一 撇是不就等于我们的五分之二十四？所以说我们要求的这个最小值，它是不是就一定等于写成大于等于 这个 d， m、 e 撇儿，那就等于五分之二十四，所以说我们要求的这个最小值就应该等于五分之二十四。 那今天我们初一压轴题的解题方法和思路的讲解就到这里结束了。

大家好，我是属文中央公园校区的周周老师，今天给大家讲解的是八中初一这次周考的几何压轴题的第三问，我们来看看这个题啊，这个题的第三问，他说要在二问的条件下，若 b 大 于 e， 这三个点在同一条直线上，告诉我们大致的长度，然后让我们去求 s 三和 c e， 那这个题他难在哪呢？就是他没有给我们把具体的图画出来，相信这个题如果把图画出来，我们大部分的同学是没问题的，但是由于这个题没画图，他就比较考验我们根据题目条件去画图像的这样一个能力啊。我们现在来看， 我们先来找点 b 点是有的，然后大点，大点是三角形 abc 内部的一个点，那我们就在三角形 abc 的 内部点一个大点出来，这就是我们的大点。好，然后接下来他说是以 a 大 为边，那我们就把 a 大 这里连起来。 好，这里以 a 大 为边，做了一个只要三角形 a 大 e， 其中 a 大 等于 a e， 这就是做了一个等腰直嘛。那，那这里我们把 a e 这里画出来， 然后这里 b 大 于在一条直线上，那就连接 b 大 这里。好， 这里这个位置就是我们的一点，那现在大 a e 这个角，它还是我们的九十度，连接了 b 大 和 c e， 那 我们这些也给它连起来， 连起来了之后，我们就可以发现，这里其实出现了一个非常标准的手拉手拉手这个模型啊。我们来看， 此时大题目中 a b 等于 a c， 然后还告诉我们 a 大 等于 a e， 并且我们的角 b a c 是 九十度，角大 a e 也是九十度，那在这里，在 b a、 c 里面，我们的角一加上这个小角，角二等于九十度。在大 a、 e 这个三角形里面， 我们的角二加上角三也等于九十度，那这个时候我们就知道了角一等于角三，那这个时候是不是就带来我们三角形的全呢？所以这个时候三角形 a、 b 大 全等于三角形 a、 c、 e， 理由就是我们的边角边，那那全等之后，我们毕竟是要求 b、 c、 e 的 一个面积， 那这里面我们看看他还给了哪些条件啊？他说在二的条件下，我们的既为 bc 的 终点，那我们就在 bc 上面找一个终点。 好，这里就是我们的基点好连接了 c 大， 那我们跟着连起来 啊，连接 c 大。 大记若角 a b 大， 这个角我们叫它阿尔法，等于我们的角 bc 大， 这个角也是阿尔法，那刚刚我们有说拉，说的全等，对吧？那角 a、 b 大， 它是不是还等于我们的角 a、 c、 e， 那 a c、 e 这个角也是阿尔法， 并且我们求证，这是我们二问证出来的啊。大 e 等于两倍的大 g， 它这里告诉我们大 g 等于三，那么大 e 就 等于 六。好，这些现在是不是已知能求的都求出来了？我们要求 bc 这个三角形，我底不知道高，也不知道现在是不是要去找它底和高，我们来看看，找底和高的话， 我们看三角形 a 大 e， 它其实是一个等号值，那这个小角就是一个四十五度，那这里也是一个 四十五度，那我们的 b 大 e， 它又在一条直线上，那角 a 大 b， 它的度数就是一百三十五度， a 大 b 这个角又和我们的角 a 大 b， 它又和我们的角 a、 e、 c 是 相等的，都等于一百三十五度。那我们的角 a、 e、 c， 它是等于我们的角 a、 e、 b 加上角 b、 e、 c 的， 我们的 a、 e、 b 是 四十五度， a、 e、 c 是 九十度，那这个时候我们是不是就知道了角 b、 e、 c， 其实它就等于我们的九十度啊？好， 那其实 b、 c、 e 这个三角形，它就是一个直角三角形，那它的面积就等于两个直角边乘积再乘个二分之一就行了。那这两个直角边，我们来看看 我是不是只有一段的长度，只有一个大 e 的 长度还差 c e 和 b 大。 那我们还有个什么条件没用呢？前面说到的 ab 大 等于 bc 大， 这个条件是不是还没用我们来看啊？大三角形 abc， 它是个等腰值，那角 a、 c、 b， 它其实也是一个四十五度，那这个时候我们的角 a、 c、 b， 它其实等于的是我们的角大 c、 b， 也就是阿尔法加上我们的角 a、 c 大， 这个时候阿尔法加角 a、 c 大 就等于四十五度，那阿尔法我们的角 a、 c、 e 是 不是也等于阿尔法？那这个时候就推出来我们的角这个是 ec 大， 它也等于四十五度，那说明我们的三角形大，它也等于四十五度，那说明我们的三角形大，它也等于四十五度，那说明我们的三角直角三角形。 好，它设为等腰值的话，那这个时候就有大 e 等于 c e 大 e 为六， c e 也为六。 然后在前面的全等里面，我们的 c、 e 是 不是还和 b 大 这个是对应边，所以 b 大 的长度也为六，那现在 s 绕形 b c e 就 可以直接出了 s 三角形 b c， e 就 等于二分之一乘以我们的 b e， 再乘以我们的 c e b e 的 长度就等于 b 大。 加大 e 就 等于六加六，那就是二分之一乘以十二，再乘以 c e 六，那这个手乘出来就等于三十六。这个题整体而言 不太难，但是就像我们刚开始说的，他比较考验我们提取题目信息的能力，根据题目的信息把我们这个图给它补全。接下来就比较简单了。

hello， 同学们，我们来看一下气体，如图，在平面直角坐标系中，只限 y 一 二分之一， x 加三，那我估摸着应该是这条，因为没有直线了， 与 x、 y 轴分别相交于 b、 a 两点。因为我们是直线与坐标轴的交点，所以就需要用到点。在坐标轴上的一个特征，在 x 轴上，纵坐标为零，所以这个纵坐标为零，带进去求出它的横坐标，这里刚好就等于负六。 然后 a 点也是一样的，因为在 y 轴上，所以它的横坐标为零，然后带入进去就求出我们所对应的纵坐标，所以 a、 b 这两个点就确定下来了。然后此时呢，我们要找到一个点，是 c 点 连接 a、 c， 将 a、 c 这个线段呢，绕着 c 点去进行逆时针旋转九十度，逆时针旋转九十度，也就意味着这里有一个直角，这个直角呢是这样子摆的，而我们的平面角坐标系 a、 o、 b 这个位置也有一个直角，而且大点。他说我旋转过去得到的这个角，说明 ac 大， 是个等腰直角三角形，我的大点刚好落到了直线上面，所以对于大点而言，在这个位置它就过大做了大一垂直。所以我们的整个平面角坐标系中就存存在了这么一个一线三垂值，所以这两个三角形大 e、 c 和 c o a 就 全能呃圆一， 一组边相同元音二，一组直角相同元音。三。叉加圈等于九十度，然后叉加圈等于九十度，两组角，所以角角边正得两个三角形全等。那么这一块我们就不再多去写了。第二个，如图二，将线段 a、 c 沿 x 轴负方向去平移，得到 a 漂 c 漂，当 a 漂 c 漂经过大点的时候，求大点的坐标，那不管它经不经过大点啊，这个大点坐标都要求只是 平移之后的这条直线，需要借助大点坐标确定它平移的距离，所以我们可以继续跟着一小问， 一小问，这呢，得到这两个三角形是全等的，那么我们就可以得到了这个纵向的长度。三是跑到这个位置来，然后这个短的边其实不知道的，所以对于我们的二问，我肯定是由一问所得到的一个结论去令出答， e 的 长度和 c o 的 长度都等于 a， 然后去表示出来，我们大点的坐标就记作 三加 a 是 它的横坐标，但是它是在左边负半轴，所以是负 a 减三，就是负三减 a 一 样的，然后它纵坐标的话，就是在 高这个位置吧，就是在上方这个位置，所以就应该是 a 的 一个高度。好了，已知大点的坐标带回到我们的直线集市上面，集二分之一倍的负三减 a 加三等于 a 的， 最终 a 算出来是等于一的 好， a 算出来等于一之后，我们接着要往后看， 大点的坐标就出来了，带回去就是负四负一。那么 a c 平移的距离是多少呢？那你想一个问题，平移的距离是不是就由两个交点去决定了？你只要知道了 c 漂这个交点的坐标大减小，是不是就得到了 c c 漂及我们的平移的距离。 所以此时我们的第一个小点解决了，大点坐标有了，但是平移距离还没有搞定，所以先要求解 a 漂 c 漂的解析式。首先它们是平移的，我们知道两直线平行，它的 k 是 不变的，而 a c 解析式是多少呢？那是不是就得 先求出来，然后再带入两点距离公式，我们可以快速去把它求出来啊。一个带 a 点零斗三，一个带 c 点负一斗零，把这两个点带入进去， y 等于 k， x 加 b 去解得这个二点。一次方程组， 这里就为三 x 加三， a c 为三 x 加三。平行的直线 k 相同， k 就是 x 前面的这个系数，所以这里也是三 x 加几呢？不知道，所以我们就令这一条为 b， 既然它是加 b， 那 我们带带这个负四都移进去，就可以求出我们的 b 处处 b 看一下啊。嗯，在旁边想要算一下，负的三分之，负的负的十二加 b 等于一，说明 b 是 等于十三的，那这就为三 x 加十三好了。直线已有 y 等于三 x 加十三。 我们要去找 c 漂是不才能确定焦点，所以 c 漂就应该是令纵坐标为零，横坐标就等于负的三分之十三。那 c c 漂的长度就大减小吗？大的肯定是负一减去这个小的负的三分之十三，即 三分之十。好了，平移的一个距离， a c 的 长度也为三分之十，这是我们的答案。呃，一个大点在这儿，哎，一个 a c 的 距离是在这里的。 继续读三小问，如图，直线与 l e 交于 m 点，平移 b m 时的 b 的 对应点落到了 y 二上，而 m 的 对应点落到了 x 轴上， p 是 y 以上的一个动点，取 o， p 中点 q 要求二倍的 q， n 加 n， p 的 最小值。读完这个题，我就整个人都是懵的，因为它出现的点呀，线呀，动过来，动过去的东西太多了， 所以我们肯定要慢慢去理，甚至于你可能需要乱画一个图，然后画完之后，你可能还需要画一个更加标准的图，然后来验证一下我们这个答案，或者说他的位置可能长得太丑了，影响了我的判断，这些都是需要的，所以我们来重点看一下这个图。 在题里面出现了一个直线，是 y 二，这个 y 二呢，有一个特征，它只有一个 k， 所以 y 二我们可以记作 k 倍的 x 减一，而它此时就一定过一个定点，过的是一到零， 过定点一斗零，一斗零在哪？大概就在这啊，你看人家都给我们画出来了。所以这个交点呢，就是我们的一个定点与 y 一， y 就是 ab 这条直线哈，不要忘了，这是 y 一， 这是 y 二，它们俩相交于 m 平移线段 b m， 使得 b 落到 f b 的 对应点，落到了 f 这个位置。那我可以这么去理解，就是平移这条线段 之后得到了 f， 谁呢？他写的就是 f n 嘛， b m 对 于 f n， 那 么整个线段平行过来，你想想连接这四个顶点，它是不是必然会围成一个四边形？ 这就是我们平移所非常巧妙的灵活运用的，看似三角形对不对？其实引含了一个平行四边形这么一个 特征和性质在里头。然后现在两点都知道了吗？不管屁为 y e 上面的一个动点哦，你要找 y e 上面有个屁点，那我们就随便找，要取 o p 的 中点， 这画大了也不行，画小了也不行，随便找 o p 连接，取它的中点是 q 点，然后要去求两倍的 q n 加上 n p 的 最小值，我们还是用红色笔描出来吧，这是 q n， 这是 q n， 没问题， n p。 在这个题里面哈，我首先要想到的一个点在于我们的线段和的最小值出现了公共的一个点 n 点，这个 n 呢，是个定点没问题，但是前面是不是出现了一个倍数，就是系数不再为一了？所以遇到这种情况，我们一般都会选择先 思考的过程中，把这个二倍提出来，那就有 q n 加上二分之一倍的 n p， 但是 n p 我 在图上面又没有办法把它割成两半呢，所以我就想了，前面系数又为一了，后面又为二分之一了，真难。 所以我们就要想，其实在初二这个阶段，有线端的二倍关系的时候，更多考虑中位线，要简单许多。所以你想我的 q 点是左边 o p 的 中点，我再在 o n 这条已知线段上面取了一个中点 p q t 吧。 那么只要这样一连接，只要这样一连接， 这条是不是中位线？而且这条中位线是刚好等于二分之一倍的 n p？ 好 了，在这样的加持下，我们这个题就升级了，变成了 q n 加上 q t 二倍可以先不用管了，只需要求出 q n 加 q t 的 最小值。而 q 是 不是此时一个运动的点？关于这个运动的点， 我们是不是要先找到它的轨迹？因为我们图上面只是给我们提供了一条直线，此时 q 所在的一个位置，但是它结合中点这么一个特征，我一定是能找到 q 点的轨迹在哪里的。 找到了 q 点的轨迹之后，是不是要沿着动点所在直线去对称一个定点，你看嘛， q t 和 q n 它们都类似于在同侧，但这里还没有办法去确定，说明它一定是在同侧，所以我们先去把这两个特殊点找到。呃，第一个，因为 p 点在上面运动哈，我们去找两个特殊的点，比如说 p 点在 b 这个位置的时候，我的 q 点就在这， 然后如果我的 p 点是在 a 这个位置的时候，我的 q 点在这，所以其实它很好做。一个原因在于它一定是过 a o b o 中点的两条线，那这条直线一定是平行于 ab 的， 所以它的直线解析式我们可以这么去记， y q 表示 q 运动的这条直线是平行的，平行 ab， 所以 二分之一 x， 那 过几呢？在中点处呀，所以它与纵坐标轴 y 轴的交点是二分之三，所以直线解析式确定好了。那么判断 q t 和 q n 这两条线段是不是在同侧，那么同侧的一个问题，我是不要去变为异侧，那变为异侧就得去做对称，所以 找一条直线去往上对称就可以了。那我们选择短一点的嘛，因为这个 t 在 这个位置呢，它在坐标轴上，呃， n 其实也在坐标轴上，都短，都没有太大的差别。我们换一个颜色去更好的给大家标出来 黑色吧，我们要去做对称，大概的这样一条线段就确定好了，所以这个就是我的 t 漂， 这个是 t 漂，那么连接起来这两条线段就可以互换了。互换就是在 t 漂这个位置的时候，连接 n， t 漂 就取到最小值。所以题我们已经分析好了，我们整个最小值我们用 m i n 来表示，已经变成了二倍的 n t， 还要接着往后变，变成了 二倍 q n 加 q t 的 最小值是不就是 n t e 漂？那我们只需要把 n t e 漂给它求解出来就可以了。 呃，这两个应该怎么去求解呢？我可能更多的就是想把这个 t 漂这个点给他求出来，用两点距离公式。我实在是没有更多的脑子去算了，我就硬算了。那我们就去找这个 t 漂怎么得来的，然后他有什么特征，他 具体应该怎么去完成，所以这里就得用到我们的对称性。那么在对称性这里，我知道这个焦点和 t 间的距离 是相等的，甚至于可以说这条直线上面就存在一个终点。那我们要去求这条直线极值还不容易吗？是不就非常容易了？那我们就去先结合这个终点去带入去求解一下。 利用垂直这么一个特征，我们就可以继续往后去判断一下。那我们首先去找到 t t 漂这条直线，它是垂直于 y q 的， 那么 k 的 乘积是不等于负二啊？等于负一，那么 k 是 不是算出来等于负二，所以这条直线等于负二， x 加几呢？不知道又加 b？ 呃，这个 b 不 太建议出现太多次啊，尽可能少出现几次。 嗯，可以换着换着字母来，然后我这里就简写了，然后再带入 t 点坐标， t 点坐标是 o n 中点吧， n 在 这个位多少呢？哦，突然卡住了，发现在前面我们好像没有把 n 这个点去给它求解出来，所以你就要回一下这个 n 怎么来的呢？因为我们刚刚是分析了整个题， 嗯，它的一个求解方式相当于思路已经非常清晰了，但是还存在一些问题，比如说 t 我 求解不出来，是因为 n 求解不出来，那我们就想办法去求证一下。 然后在这里的话，这个图就比较混乱，可能大家也不是看的特别清楚，我用一个银黄色的笔给大家描出我们所需要的这几个点。首先我们是把 b m 往下平移，所以围成的这个四边形，它就是个平行四边形，而平四边形的 b n 是 在 x 轴上，而好像围错了， b m 少围了一点，哎，就在这。然后这个 m f 呢？ 他也是个对角线，对角线的角点是不是这个点？而这个点是不是我们刚刚提到的过的这个定点？哦，原来这个定点是在此处去利用上的， 我们已经找到了这个焦点是一斗零的一个坐标，同时那根据前面的 bo 是 等于六，然后 o o o h 这个点是一，所以就可以得到 b h 等于 h， n 就 刚等于一半，就等于七，所以右边是七，七加一， n 点的坐标就出来了， 那我们就只需要带入 n 点的坐标八到零，那当然这个 n 点出标，坐标还不能带进去啊，因为我们要找的是 t 点的坐标， t 点是在这条直线上，所以 t 是 它的一半，就是四到零，四到零带回去刚好得到 b 等于正的八，所以 t t 漂 就是 y 等于负二， x 加八，而直线已有，但是直线上来是不是还产生了一个焦点？我们把这个叫做 t 中， 这个 t 中的话就需要连立方程，所以 y 等于负二， x 加八，以及 y 等于二分之一， x 加二分之三，可以去算一下，求出来 x 等于五分之十三， y 等于五分之十四，所以题中就为这么多，那我们反过来是不是可以去求出 t 漂这个点坐标了？这里写不下了，我们就往左边来看一下。 那现在 t 一 漂就应该用中点坐标的两倍去减去横坐标及五分之二十六， 嗯， 五分之二十六减去横坐标就是四，也就是五分之六，那纵坐标的话就是五分之二十八，减去零 来接着来看 t 漂点出现，我们要求 t 漂 n n 点坐标是八到零，所以用两点距离公式去求的 n t 漂的一个长度就等于根号下 五分之六减去八的完全平方，再加上五分之二十八的完全平方，可以看到是大家都有五分之一，所以我们就直接把五分之一给它求出来，然后去把它的分子给算出来就可以了。这里刚好是，呃，四十 四十三十四，三十四的平方加二十八的平方就等于五分之二倍的根号下四百八十五。 啊。这一块算完，剩下就是我们最小值就最后一步的一个计算，因为最小值是两倍的 n t， 所以 我们把它加上的话就是五分之四倍，根号下四百八十五。

各位同学好，我们来看一下练习册三十三面的第三道答题啊，这个虽然是一个动点问题，但是并没有那么困难啊，他题目 问题还好，他说三角形 a、 b、 c 当中， o 点是在 a c 的 这个边上动来动去的，这是一个动点，那么过点 o 来做一个 b c 的 一个平行线，交 a c b 的 角平分线。那么我给你标了一个角一等于角二， 交 a、 c、 b 的 外角角平分线于点 f， 那 这两个角也相等啊。第一小题，让你证明我们的 e o 等于 f o。 那 各位，其实第一小题是非常典型的平平角相等，对不对？你的角一等于角二，两直线平行内错角相等。 先给大家写一个题型啊，平面角相等啊，好，两直线平行内错角相等啊，那我是不是可以得到角一会等于角二等于角三呀？ 那么这里会出一个等腰嘛？我们说等腰能够得到我们的 o e 呢，应该是和这个 o c 是 相等的。这第一个，第二个呢？你的右边啊，角四和角五是相等的，那么两直线平行内错角相等，是不是和我们的这个角六有相等呀？ 那所以根据第二个呢，在这里的角四会等于角五等于这个角六。那你是不是又推出一个等腰角五等于角六， o c 不 就等于 o f 吗？ 那既然我都是等于 o c， 那 所以你就可以下一个结论，我们的 o e 和 o f 应该是相等的。好，那第一小题就结束了啊，来第二小题，当 o 点运动到什么情况的时候，这个四边形 c e、 a、 f， 那 我给你标一下啊，它就变成了一个矩形， 那我们说，呃，有一组对边，呃，我们其实用这个内角，那个对角线就可以了啊，我们说对角线相等的平行四边形，不是为这个 矩形吗？你在这里，你看你刚刚是不是 o c 等于 o f 等于 o e 啊？其实你 o 点如果是 a c 的 终点不就可以了吗？对不对？我，我只要保证 o a 和 o c 相等就可以了呀？啊，那所以第二小题呢？那我们这种题你要注意啊，他问你 o 点运动到什么时候先写， 呃，当 o 点运动到 a c 终点的时候，而且在你等一会儿证明的时候呢？这个东西当做一个已知的，已知的条件啊， 好，那我们首先是因为这个，如果你是终点， o a 是 不是等于 o c 啊？好，由 e 可得什么呢？由 e 可得，我们的 o c 呢？它会等于 o e 又等于这个 o f。 好，那所以在这里我是不是想证明对角线相等且相互平分？这已经相互平分了啊，那我在 o a 加上一个 o c， 不 就是我们的 ac 的 长吗？而 o e 加上一个 off， 不 就是我们的这个，呃，整个 ef 吗？那也就是说明对角线相等且相互平分啊。 好，那这个是第二小题，那所以它就是一个矩形了，下个结论就可以了啊。好，来第三小题，在二的条件之下，那这里就有直角了诶，在二的条件之下啊，若 a e 为三， 我给你标一下，我给你换一个颜色标啊， a e 为三，好，然后 ec 为四，你不都是直角的吗？ ac 是 不是勾三股四弦五的五，然后 ab 为十二， bc 为十三， 好，哎，这，这不是五十二十三吗？直接写出我们四边形 a， b、 c、 e 的 面积， a、 b、 c、 e 的 面积。这，这里这里有人有同学问我，老师，什么叫凹四边形啊？ a、 b、 c、 e 的 面积，我给你描一下，是这样的， 就是这个 e 不是 相当于凹进去的吗？这个就是凹四边形，如果在外，这个叫凸四边形啊， 好，那么拿大减小就可以了。那这个逻辑我只给你写一个思路啊。呃，首先第一个呢，根据我们的这个角， a、 e、 c 为九十，就放在 r、 t 三角形 a、 e、 c 当中，那我可以得到 a、 e 呢，是三， 这个 e、 c 呢，是四勾三股四，所以我们来推出这个 a、 c 为五。 那第二个呢？那我们的 a、 c 为五是为了干嘛的呢？我们和 ab 等于十二，以及 bc 等于十三，连立一起是不是五十二，十三呀？五十二十三，我就可以得到这个 ab 和 ac 是 相互垂直的。 好，那最后一步，那我们的 s 四边形我用 s 给你代替啊，它是不是红色的？拿这个大三角形 a、 b、 c 减去三角形 a、 e、 c 就 可以了， 而 abc 是， 呃，五和十二，二分之一乘五乘十二是不是三十？ aec 是 二分之一乘三乘四是不是六？所以最终这个这个答案应该是二四啊，那么这一份答案是二四。

八下数学最难的八大几何最直，全部吃透，稳进班级前三，平行四边形八大几何最直一，将军引马问题 二，梯子模型三，确定轨迹四，胡不归问题五，废马点问题 六，定脚与定长问题七，构造手拉手拳等完整版分享！

几何压轴比，你家孩子是不是也会出现这样的情况？辅助线他看答案能看懂，但是自己做的时候就想不起来怎么做。那这个问题主要产生的原因是有两个，第一个是孩子们他对八下的几何模型辅助线根本没有系统的概念，他可能零散的都知道，但是他穿不起来。 那第二个问题就是他不知道什么情况下该用哪个辅助线。那从今天开始，我将用四期视频把八下的几何模型辅助线从头去捋一下，那这四期视频每一期会讲这一块的内容，这四块内容分别是这四大模块， 然后这四大模块里面其中第三个是属于最难的，我这块已经标注出来了，它是属于高分一个选学内容。这高分指的是什么？指的是如果孩子你能数学稳定在幺幺五以上，你想去冲一百二满分的，我指的是一百二满分啊， 你想去冲满分的，那你就需要知道这两个，因为你在初三包括压轴题里面，他会经常出现倒角的问题，那倒角的话这些都是非常常用的。 看完这四期视频，孩子至少能建立一个完整的几何向量的体系，那孩子拿到题至少能知道往哪个方向去想，需要电子版资料，以及想进资料分享群的评论区留言。 因为内容很多，所以我不会像讲新课一样非常详细的去讲，我只是把这几个去梳理一下，把他们重要的程度以及特点去说明一下，那孩子们可以去依照这个去进行深入的去学习啊。 那首先第一个就是购物与解三角形，那这个的话它重要程度肯定非常高，也是最容易忽略的，因为孩子们都觉得购物理解三角形特别简单，他们理解的解三角形就是在直角三角形里求变长。但实际上解三角形是现在中考几何压轴最热门的考点之一， 就可以说最热门啊。那这里面的话，那解三角形指的是在三角形中求边长角度或者面积都算解三角形，这个三角形指的不是直角三角形，你任意的三角形都可以，那它的基本原则是三角形里面是有六个条件的， 那三边三角，那三边三角的话，已知任意三个条件我们都可以解除。其余的条件，比如说已知两角一边，那 a、 s 或 a s、 h 都属于两角一边啊。可是你不用去分顺序，你只要知道两角一边都可以，或者是两边一角也可以， 或者是一边一角加上另外两边的数量关系，这个是比较特殊的。那另两边数量关系指的是你这两个边能知道他们的加减数量关系。比如说举个例子啊， 你像这种呢， a、 b、 c， 比如说这是三，然后这个是三十度，你另外两边知道一个是 x， 一个是 x 加八，那像这种另外两边是能用同一个位数表示的，那他们俩放到一起就可以算一个条件， 所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？

重庆八中两江龙兴中学初二零二八届的孩子们，大家晚上好！我是卢老师，欢迎来到龙腾数学数学微课第八讲。 今天我们来讲解上周定时练习五中的三道几何题。 最近啊，大家普遍觉得全等的辅助线问题不好想，不好画，容易卡住。今天我们就通过这几道题帮大家梳理思路，总结方法，提升几何思维。 今天的题目难度偏大，时间也略长，基础弱的同学请你认真听，跟着画，跟着想，请准备好题目草稿纸和笔，我们现在正式开始。 首先是选择题的第十题。本题的条件很简单， 给定了两个等边三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e。 因为等边三角形条件比较多，所以我们暂时不条件上图直接看选项 a。 求证三角形 a、 d、 c 和三角形 a、 b、 e。 看完这两个三角形，马上联系条件，三角形 a、 b、 d。 我 们发现 a、 d 是 等于 a、 b 的， a、 c 是 等于 a、 e 的， 这两对相等的边分居三角形 a、 d、 c 和三角形 a、 b、 e 中。 在知道有两边相等的情况下，我们有边边边全等，也有边角边全等。 如果要边边边全等，那我们就是得得到 b、 e 等于 c、 d。 没有这样的条件，所以这种方法是不可能的。 那边角边呢，就是要两边的夹角相等，那图中就是角 d、 a、 c 等于角 b、 a、 e。 观察知道这两个角的角 b、 a、 c 是 公共的，所以 只需证明角 d、 a、 b 等于角 ca 一 就可了，而它俩都是等边三角形的内角，也就是六十度。所以利用 s、 a、 s 全等得到 a 选项是正确的， b 选项只证明 b、 e 等于 c、 d。 刚才的选等 b、 e 和 c、 d 就是 它们的一组对应边，所以 b 也是正确的。 接下来我们再看 c 选项角 d、 f、 b。 求这个角的问题呢？同学们，我们有很多方法，在本题中呢，我们可以考虑把角 d、 f、 b 当做三角形 b、 f、 c 的 外角来进行求解。同时角 d、 f、 b 也可以当做三角形 d、 f、 b 的 一个内角，我们只需求出角 f、 d、 b 与角 f、 b、 d 的 和为一百二十度，就可以推出 c 是 正确的。 这些方法呢，我们在这就不讲了，同学们自己去思考。那我们还可以观察到角 d、 f、 b 它还在三角形 b、 g、 f 中， 而这个三角形中的角 f、 b、 g 标上角一，它是等于角 a、 d、 c 即角二的， 而三角形 b、 g、 f 中的角 b、 g、 f 与角二所在的三角形 a、 d、 g 中的角 a、 g、 d 是 对顶角，那么观察这两个三角形同学们，它是非常常见的倒角结构， 对顶角相等，加角一等于角二，我们就可以得到角 d、 a、 b 是 等于角 d、 f、 b 的， 而 d、 a、 b 就是 六十度，所以叫 d、 f、 b 也是六十度，即 c 也是正确的。 最后我们再来看 d 选项 d、 f 是 否等于 b、 f 加 af。 在几何中，这样的线段和差问题，包括线段的倍数、分数问题，我们都是没有几何知识可以直接应用的，所以这种题目我们通常会把和差利用截长或者不短的方式 转化为线段相等问题，从而再利用全等等边 对等角等知识来解决问题。那么截长补短就是我们通常的操作方法。但其实截长补短类型的题目核心 却不是截长补短，而是这样的线段问题怎么转化为相等，而线段问题我们该怎么办呢？ 通常我们要把它放到最基本的图形中，而图形最常规的当然就是三角形，所以我们往往会去寻找这些线段所相关的三角形，再确定我们的下一步走向。 那么可以看到 d、 f 和 af 是 在同一个三角形 d、 a、 f 中的， 那我们就可以找到三角形 d、 a、 f， 而 d、 a、 f 中的 a、 d 又是已知条件，角二是我们通过第一问全等得到，角二是等于角一的， 那在这种情况下，我们以三角形 a、 d、 f 为基础的三角形，然后再在 b、 f 所在的地方构造出与三角形 a、 d、 f 全等的三角形，就成为了一种解题的有效方法。 那么同同学们，当然呢，我们在这里停顿一下，就是我可以找到 d、 f 与 af 所围出来的三角形，那也就可以找到 d、 f 与 b f 围出来三角形，还可以找到 af 与 b f 围出来三角形。 在这呢，同学们在听完我讲的方法之后呢，下来自主探究真正去掌握截长补短法的本质是什么？ 好回到找三角形 a、 d、 f 全等的三角形，我们看到角一是等于角二的， a、 d 又会等于谁呢？与角一相关的那肯定是 a、 b， 所以 我们就可以看到，在 a、 b 和角 e 这实际上是一边一角，对应了三角形 a、 d、 f 中的一边一角，在一边一角的情况下，容易构造的全等式 s a、 s， 所以 我们可以在 d、 e 上截取 b、 k 等于 d f， 那 么利用 s、 a、 s 可以 快速得到三角形 b， a、 k 全等于三角形 a、 d、 f。 那 么同学们，我们实际上在这种情况下，大家看到没有 b f 就 把它补短成了 k， 而 b k 又是谁呢？ d f， 所以我要证 d f 等于 b f 加 af， 就 只需证明 f k 是 等于 af 的。 那自然同学们就应该关注到 f k 和 af 所围出来的三角形 a k、 f akf 像个什么呢？等边再大星。那么怎么证明等边大星呢？还有就是 ak 是 怎么产生的呢？ ak 是 利用构造全等的方式得到的，所以我们又回到刚才的构造全等是三角形 a、 b、 k 全等于三角形 a、 d、 f。 所以我们知道 ak 实际上是等于对应边 af 的。 那我现在要的是什么呢？ af 等于 fk， 那 实际上就是证明它们是等边上而行。 知道两条边相等，那么要正等边，可以正一个六十度， 我们可以找到角 f、 a、 k 正，它是六十度。之所以这么做，还一个原因是以 a 为顶点的六十度有若干个，比如角 d、 a、 b 就是 六十度。 如果我要得到角 f、 a、 k 是 六十度，它们怎么关联起来呢？可以发现它俩 旁边有一个公共角，所以我们的问题就转化为了角 d、 a、 f 是 否等于角 b、 a、 k 对 不对？而这两个角又是 在怎样的图形中呢？根据刚才的全等，它们使对应角相等，是不是就证出了角 f、 a、 k 是 等于六十度的？ 这样也就得到三角形 a、 f、 k、 v 等边三角形，进而得到 a f 加 b f 就是 b k， 也就是 d f。 所以 这种方法实际上我们是通过把 b f 这条短的线段补偿，但它的本质是简单的补短吗？ 显然不是，那么更多的思路呢？请同学们下来整理。另外我们所涉及到的方法也希望同学们去整理，如果你想提高，那么整理后与同学分享，与老师分享，真正的把这类题融会贯通。我们进入下一道题， 已知角 abc 六十度， c、 f 和 a、 e 都是三角形的角平分线。角平分线 除了角的问题，还有跟线段有关的相关知识，因为在本题中， b、 c、 d 其实都是跟 线段有关的。那么角平分线跟线段有关的结论有哪些呢？ 第一，角平分线上的点到角的两边距离相等，这样角平分线就可以转化为 pm 等于 pa 这样的线段关系。第二，如果 一个三角形的角平分线与一边相交，那么我们将出现 a、 b， a、 c、 b、 d 和 d、 c 这四条线段，这四条线段的关系是 ab 比上 ac 等于 b， d 比上 d、 c， 那 么这个结论也是非常常见的。如果想知道为什么的同学，可以下来去利用面积 加上角平分线上的点到角的两边距离相等这个定力进行证明。 好，这是两个关于角平分线相关的线段结论，希望所有的同学都能记住并掌握。那么当然这道题如果知道 后面这个结论对我们解析是有很大帮助的。好，回到我们的结论中， a 选项是关于角度的计算问题， 那么角 a、 c、 e 是 八十度，而 c、 f 是 角平分线，这种情况下，毫无疑问这两个角都是四十度。 求角 b、 a、 d， 同学们求角 b、 a、 d 怎么办呢？与前面的一道题一样的，把它放到图形中去，我们也只选择一种方法，可以看到角 b、 a、 d 与这个九十度围出了三角形 a、 f、 d， 而 a、 f、 d 这个角与角 c、 f、 b 是 对顶角相等。 那么同学们关注三角形 c、 f、 b 与三角形 a、 f、 d 是 不是前面一道题的这种结构对菱角相等，那么角 f、 c、 b 加角 c、 b、 f 是 不是就该等于角 f、 d a 加角 f、 a、 d， 这是四十度，这是六十度，而角 f、 d、 a 是 九十度，所以 a 是 正确的。 接下来我们看 b 选项， a、 g 等于二倍 d 几？ ag 和 dg 是 在直角三角形中，直角三角形中斜边和直角边的两倍关系。什么时候出现角 g、 a、 d 是 三十度的数， 那也就是说，我只要证明图中角一等于六十度就可以了。那么这个角一等于六十度又该怎么证呢？同学们，角一是三角形 a、 c、 g 的 外角 不正，你看出来吗？角一将等于角二加角，三角二是怎么产生的？ 是 c、 f 这个角平分线出来的，所以角二是角 a、 c、 b 的 一半。同理，角三将是角 c、 a、 b 的 一半。那我要求角二加角三，是不是只需求角 a、 c、 b 加角 c、 a、 b 的度数就可以了？而角 a、 b、 c 是 六十度。根据三角形内角和，我们自然得到角 a、 c、 b 加角 c、 a、 b 为一百二十度，所以角二加角三是一百二十度的一半六十度，也就是角一为六十度，所以 b 也是正确的。好，接下来我们进入到 c 选项， a、 c 等于 af 加 b、 e。 我们显然要关注到 a、 c、 a、 f 所在的三角形问题，因为跟前面一道题一样的线段的和差虽然是用截长补短，但是我们的本质实际上是找它们所在图形，然后关联起来。 可以看到 a f ac 其实分别在图中角三和角四所在一对应的三角形中，对不对？那么角平分线 与线段问题经常会出现的一种常见辅助线，使构造翻折形全等。也就是只要在图中截取 am 等于 a f， 我 们就可以实现三角形 a f g 和三角形 a m g 全等。因为 s a s， 它其实也是一边一角， 一边是什么呢？ a g 为公共边一角是什么呢？角三等于角四，一边一角造全等的方式。那么这个呢？我把它常称为翻折形全等。 在全等之后，我要证 a c 等于 af 加 b e 是 否正确？其实我们现在 a c 已经等于 af 加 mc 了，因为 af 等于 am 了， 对不对？那就只需证 mc 等于 b e 是 否正确？怎么证呢？关注线段所在三角形 c m 是 在三角形 c m g 中的 cmg 与 ceg， 大家看角平分线对不对？然后 cg 是 公共边，所以我们能否证它们全等呢？这个就要关注这两三角形的第三个条件， 在这不可能再是边了，因为没有条件，所以我们角而角。我们发现这里的角五是等于角一的，角一多少度？ 六十度。角一又通过翻折得到了这里的角六多少度？六十度，所以利用平角一百八，角七也是六十度。角七等于角五，所以三角形 c m g 将全等于三角形 c e g。 也就推出了 c m 等于 c e c m。 如果要等于 b e， 那 我们就只需证 c e 等于 b e 了， 有可能吗？同学们，请你观察角三等于角四，如果 c e 等于 b e， 说明 a、 e 既是角平分线，又是中线， 那得满足什么 a、 c 等于 ab， 三线合一才可以。本题没有 a、 c 等于 ab 的 虚数，所以 c、 e 是 不可能等于 b、 e 的， 也就说明 c m 不 可能等于 b e， 那 进一步就说明 a、 c 不 可能等于 af 加 b e， 所以 c 选项是错的。 接下来我们再看到 d 选项三角形 a、 g、 f 和三角形 c、 g、 e 的 比值问题。 在本题中，朋友们大家可以看到 a、 g、 f 我 们已经构造了反折全等，所以其实它的面积是等于三角形 amg 的， 而三角形 c、 g、 e 根据全等实际上是等于三角形 c、 m、 g 的。 所以要求的线三角形面积比其实就转化为了 a、 m、 g 和三角形 c、 m、 g 两三角形的面积关系问题。我给大家清理一下图形 这两三角形的面积比例问题，那么这两个面面积比例问题同学们小学就应该很熟悉的。这样的两个三角形从同一个顶点往一条线段上引三条线段， 那么从 a 做垂下来，这个 a、 h 既是三角形 a、 b、 d 的 高，也是三角形 a、 c、 d 的 高。 所以三角形 a、 b、 d 的 面积与三角形 a、 c、 d 的 面积比其实就是 b、 d 比上 c、 d。 所以 在本题中， amg 和 cmg 的 比其实就是 am 比上 cm 对 不对？ 而我要证的是它们的面积就等于 a g 比上 c g， 所以 其实就是我们要证明现在我圈起来的两组边的比例是否相等， 也就是 a g 比上 c g 是 否等于 am 比 cm。 孩子们，你们记得刚才给的这个图形的结论吗？如果要出现 a g 比 c g 等于 am 比 cm， 需要什么？ 需要 g m 平分角 a g c 而刚才的推道我们已经知道了，这些角都是六十度， 所以显然 mg 就是 角平分线，所以这个就是正确。但这是用到刚才给大家讲的结论，如果忘了，同学请回放。再看讲这道题之初给的这个角平分线的性质定例， 然后你就能够理解这里了。那么这道题呢，我们就讲到这里，那么如果还有模棱两可的地方，请同学们自己看。回放，接下来我们看今天要讲的最后一道题目， 这是关于周长最小的问题，那么这种问题呢，就是我们典型的将军印嘛，那么希望同学们下来要明白这个最短路的原理，在这里呢，我就时间关系，不再多讲方法， 过 p 做关于 o a 的 对称点。 p 一， 再过 p 做关于直线 o p 的 对称点。 p 二，将 p 一 p 二两点连接， 分别与 o a o b 相交。这个时候的焦点就是使得三角形 p m n 周长最小的时候的 m n。 原理呢？不清楚的同学可以问同学，也可以下来单独问老师去理解为什么。那么接下来要求的是角 o p m 的 度数问题。知道角 a o b， 那么在这道题中，同学们角 o p m 的 核心实际上是因为 p 做了关于 o a o b 的 对称点之后才有了 m n， 才有了角 o p m。 所以 本题的核心是 对称，而对称的本质是垂直平分，也就是这里的 p p e 被 o a 垂直平分， p p 二被 o b 垂直平分。那垂直平分线有怎样的性质呢？同学们， 线段垂直平分线上的点，比如说这 g， 它到线段两端点 a 和 b 的 距离是相等的，即 ga 等于 g b， 所以 在这 o a 垂直平分 pp 一， 所以 o 到线段 pp 一 的端点 o p 和 o p 一 是相等的。同理， pp 二垂直 被 o b 垂直平分，所以 o p 是 等于 o p 二的。那这样呢，我们就得到了三角形 o p 一， p 二是个等腰三角形。 那么再关注我们的角 a、 o b 实际上是本图中的角一加角二。根据对称，角二与现在标的角三什么关系 相等，角一与角四什么关系也相等，三线合一，所以角一等于角四，角二等于角三的情况下，那同学们角 p o p 二 是不是就是角 aob 的 两倍，也就是八十度呢？那在它是八十度的情况下，等腰三角形的底角就是一百八，减去顶角除以二等于五十度。 最后问题就是，我们要求的角 opm 是 否等于角 opm 呢？ 答案是肯定的，所以最终的答案是务实度。同学们，对于这，你学会了吗？好，那么今天龙腾数学微课的第八讲的三到几何题，我们就讲到这， 孩子们，本节课我们重点讲了全等的一些常见模型，还有一些辅助线的做法。课后请同学们把错题整理好，把思路再复盘一遍。同类题呢？多做 同类题呢？多练几道，把方法固化下来。希望大家越来越会做几何，不再惧怕几何。感谢同学们的认真听讲，我们下次微课再见！

如图，求正方形 a、 b、 c、 d 的 边长。这道经典题只给出了我们这三个数据，那么我们如何来求这个正方形的边长呢？还是要从这三个数据左手 六、八、十，很显然这是一组勾股数，根据勾股定律的逆定律，我们知道三角形 a、 e、 f， 他 是一个直角三角形，最长的这条边呢，就是他的斜边，那么这个角呢，实际上是九十度。 接下来我们就要想办法用好这个垂直的条件，这个正方形 a、 b、 c、 d 它四个角呢，实际上都是九十度。咦，这一条直线上有三个直角，大家想到了什么？ 这三个垂直是初中几何当中典型的一线三垂直相似模型，大家只要看到一条直线上有三个垂直，那么这个三角形 c、 d、 e 证明的过程呢，也非常简单，我们来看一下这个地方是垂直，那么这个角一和这个角二呢，自然是互余的关系。三角形 a、 d、 e 是 一个直角三角形，那么这个角二呢，和这个角三也是互余的关系。 角三和角一都与这个角二互余，同角的，与角相等，那么角三就等于角一。这个时候我们来看一下这个三角形 a、 d、 e 和这个三角形 e、 c、 f 直角相等，角一和角三相等，另外一个角呢，很显然也相等，那么这两个直角三角形必然是相似的关系，相似三角形对应的边呢成比例，那么这个斜边六比上这个斜边八，就等于这个直角边 e、 c 比上这个直角边 a、 d， 这边是六比八，那么这边呢，实际上也是六比八，六比八实际上就是三比四。那我们完全可以设这个 a、 d， 它的长度呢为四 k， 那 这个 e、 c 的 长度呢？显然就是三 k。 注意到我们这个地方是个正方形啊，那这个 dc 的 长度呢？相当于 a、 d 的 长度也等于四 k， 那 这个 d 的 长度四 k 减三 k 就 等于 k， 这个时候问题就容易解决了。我们看到这个三角形 a、 d、 e 三边长度分别为 k、 四 k 和八，这个时候用勾股定力不就可以把 k 求出来吗？ a 的 平方加上 d 的 平方就等于 a 的 平方，也就是四 k 的 平方加上 k 的 平方，就等于八的平方。六十四，轻松的解出 k 就 等于十七分之八，根号十七， k 解出来，那么这个正方形的边长呢？他就等于四 k， 四乘以这个 k 就 等于十七分之三，十二，根号十七。

中学生，你想成绩好吗？跟我一起列八年级数学下册课本一百五十七页纸 啊。一块梯形的布料被呃破损了成三块。发现了这个 a 是 平行 b 的 t 型，他说的是 t 型，那么 t 型两 g 平分，内角互补。角一与角二就是角，角一一百一十度，那么角二呢？那就是七十度，对吧？呃，角四呢，是一百二十五度，那么角三这里的破损到这里，那一百二十就是五十五度， 对吧？五十加五十五度，加一百二十五度，它是等于一百八十度啊，这个两 g 平同内角互补啊，把它搞清楚。我们看到 c t 六点一的第一题， 小明用四个木条钉成了一个平行四边，他说的平行四边啊，那就说这边分别是平行的，不过由于平行四边形呢，具有不稳定性。注意，这里有一个词，很多人可能忘记了，叫做不稳定性 啊，可以改变它的形状，那么改变它的形状之后，我们得到了角 a、 b、 a， 撇是一十五度，角 a、 e， 撇，这里是一百四十度， 这里一百四十度，那这个角就是四十度，因为这两个是平行的啊，同门内角互补，那么角 a、 b、 c 四十加一十五，所以角 a、 b、 c， 那 就应该等于五十五度啊。这里是比较简单的，就是我要搞清楚平行四边形的对边平行得同门内角互补，就是菱角互补的意思。 好，第二个，这个图在平四平中，角 a、 d、 c 一 吧。角 a、 d、 c 在 哪里？这里角 a、 d、 c 一 百二十五度。呃，我说叫大家跟我一起练的，画出来有的时候就不喜欢动笔啊。角 c、 a、 d、 c、 d 在 哪里呢？ c、 a、 d 在 这二十一度。 好，那么这个角 a、 b、 c 应该就等于角 a、 d、 c 也是一百二十五度。平四面的角相等角 c、 a、 b、 c、 a、 b 在 哪里呢？在这， 对吧？这个角 a、 b、 c， 我 们说是一百二十五度。角 c、 a、 b， 那 就等于一百八十度，减去一百二十五度，减去二十一度。哎呀，就是一百八十度，减多少呢？一百二十，一百四十，一百四十六度，一百四十六度，那就等于三十四度， 对吧？角 c、 a、 b 等于三十四度。两直线平行，同门类的互补，我们用这里的也同门类互补。可以我们看到第三题， 那第三题的图在这再平四边 a、 b、 c 的 e、 f 分 别是它上点这个 b、 e 的 d、 f 啊，这两个项呢？由于角 b 是 等于角 d 的， 呃，那么这个 a、 b 呢？是等于这个 c、 d 的， 对吧？所以根据边角 b 三角形 a、 b、 e 三零 c、 d、 f， 边角 b 两个三角去呢？那这很容易，因为它已知的有这个 b、 e 的 d、 f 嘛。 我们的第四个，呃，平四边形的，有的，他是一个，周长是五十，你说一边是一十六，他这边也是一十六，那么零边和的周长的一半，所以一半二十五，那么也就是说他的另外的三边的长度就是九厘米，对吧？一十六厘米， 嗯，九厘米啊，为什么呢？因为这一十六，比如说这一十六，那么九类是二十五，对吧？一十六，二十五啊，这个九，对吧？九六，所以九加一十六就是二十五嘛。啊，其他三面的长呢？这个简单，我们就简单提这么多，我们看到第一百五十八 h 上的第五题， 第五题啊，这里有个单位厘米啊，在平行四边 a， b， c、 d 中，对角线 a， c， b d 加入一点五， b d 乘以 a d， 哦， b d， a d， 哦，这里是直角，嗯，现在这个等于八，这个等于十呢，这个长的就等于六，对吧？给你这个等于六，因为这个是对角线的焦点，所以这个等于三，这个等于三。 那么这个平行四边形的面积呢？那应该就等于底乘以高就等于这个 a d 乘以这个 b d， 对 吧？就是八乘以六就等于四十八。 呃，这个 o b 的 长度，听完还说求 o b 的 长度，对吧？ o b 那 就应该等于三厘米，那么面积等于四十八 cm 的 平方。 好，这些单位呢，在我们的做完的时候呢，我们要不要忘记了把它写出来啊，有的同学可能做着做着就忘记了，所以作为成绩好的同学啊，是每一个小问题都不会错的，记得点赞关注哦！

八下数学最难的八大压轴题，命中率百分之九十八，吃透逆袭前三。八下数学平四边形八大集合最值问题一，将军引马问题二，梯子模型去斜边中点。三，确定轨迹便是训练。四，胡不规问题 五，费马点问题六，定角与定长问题圆七构造，手拉手拳等。八，平移线段构造，平四边形线段拼接共八大题型完整区间码。

大家好，我们今天来带来一个平行四边形存在性问题，这个是八年级下册期末考试特别经常考的一个点，然后呢他与那个菱形矩形存在性问题呢？然后构成了这个我们期末考试然后最容易考的三大题型。 首先我们看这个最简单的平行四边形对称性问题，三个移动，然后第一种方法呢就是几何法，因为它这个三个移动的话，它这个确定因素比较多，所以说我们可以非常呃非常方便的画出它的图来。 那比如说这里我们知道 a、 c、 b 要求它与这个 b 点构成一个平行四边形，那我们就可以将这个 ab 沿这个 bc 方向平移，然后得到 d 一， 然后以 a、 c 用 a、 c 向 bc 方向平移得到第二，然后 a、 b 向 a、 c 方向平移得到第三，然后这个时候呢 我们会发现它构成了好像是一个三角形，然后经过事实证明呢，这个确实是个三角形。然后这个最简单的方法是我们在网格纸上画一下就可以了，然后如果没有网格纸的话，我们可以用这个代数法，然后来进行分类讨论。 这个分裂的标准其实是以谁谁谁为对角线的啊。比如说这里分 a、 c、 b、 d 为对角线， a、 d、 c、 d 为对角线， a 得 bc 为对角线，然后对角线互相平分，根据这个呃，根据这个四平行四边形这一条性质，我们可以得出这个对角线互相平分，可以列出一个方格， 然后这个方格怎么列的呢？然后我们首先在这里画一个四边形，然后这个时候我们 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形，那么它们共呃它们这个对角线互相平分，也就说它们共用一个中点 o， 那 么这个 o 既是 a c 的 中点，也是 b d 的 中点，那么这个时候我们就可以利用中点坐标公式，比如说这个它是在这个这个平面状坐标系里的， 那么这个 a、 c、 d d， 这个假如说我们的坐标都知道的话，那么这个 a c 列终点坐标公式就是二分之一 x a 加 x c， 然后得到这个它们终点的横坐标， 然后然后这个 b、 d， 我 们列次终点坐标公式，得到它的这个横坐标相等的，然后同理我们再对正坐标列次终点坐标公式，得到了这样一个方程，然后这两个我们连理一下，这其中我们不知道是 y d 和 x d， 然后所以说这个我们只需要把这个 x d 和 x 和 y d， 我 们设一个 x， 设一个 y， 这样就构成了一个二幺一四方程组，然后这个我们就可以非常方便的求解。之后我们还有一种列方程思路，就是 这是一个平行四边形，然后它这一块是 x， 是 y a 减 y b， 这一块是呃 x a 减 x b， 然后因为这个他们是平行的，所以说就得到这两个直角三角形全等，然后所以说这个呃这块长度是 y d 减 y c， 这块长度是 x d 减 x c， 然后这个时候我们就可以根据它们两个相等可以得出这样一个乘法组，然后但是我们平时用的不是这两个，而是另一个乘法组，它是这么写的， 我这里写不开了，就这样写一下，就是呃，他是两个对的一个顶点，然后他两个横坐标相加，等于另外两个对点的横坐标相加，两个纵坐标相加也等于这两个，呃，纵坐标相加，然后这个是根据我们这个同时乘以二就可以得出来， 然后这个东西我们稍微移一下向，也可以得出来同样的结论。呃，所以说其实这三种方程我们其实都可以用的，只不过这个计算大家简易一些， 这个就是平行四边形的问题，然后三定一动情况，其实还有另一种情况，现在是第二个板块，就是两定两动的，这个两定两动，这两个动呢，其实是两个半动点，因为如果他这个如果横动坐标都不确定的话，这个列方图的话，就会出现这个四个未知数。 那么半动点什么意思呢？就是说他的这个一个点的这个啊啊横动坐标， 然后其中一个它是定值，比如说如果 x 为定值，就是在那个与 y 轴平行的直线上，然后如果 y 为定值，就是与 x 轴平行的直线上一个动点。 然后还有一种就是说这个 y 是 x 的 关键式，或者是 x 是 y 的 关键式，然后这种就是在一个函数图像上，然后我们就可以这样列成。 比如在这个题里面，然后这个点 d 是 外点， k f 加 b 上的一个动点，然后点 c 是 外周上一个动点， 那这样我们就得到两个未知数，然后这两个未知数的话，我们再根据这个刚才我们讲的这个 呃一个情况来分类讨论，这样列出方程来，然后只不过就是把 c 和 d 坐标，然后都换成这样来表示，然后这个就可以很容易的解出这个 a 和 d 的 这个数值。 nice。

八下数学最难的八大几何最值，全部吃透，稳进班级前三，平行四边形八大几何最值一，将军引马问题二，梯子模型 三，确定轨迹四，胡不归问题五，废马点问题 六，定脚与定场问题七，手拉手拳等完整版分享！

八下数学最难的十五大几何模型全部吃透，逆袭班级前三八年级下册数学几何模型汇总，一、平行线加角平分线二、平行线加中点三、斜边上的中线模型四、绊脚模型 六、含六十度的菱形七、中点四边形模型八、十字架模型十、正方形对角线模型十二、一线三等角模型十三、手拉手模型十四、对角互补模型十五、鸡爪模型共十五大模型完整版分享！

正方形中非常经典的一个模型叫做绊脚模型， 今天呢我们通过这个视频呢，给大家说一下绊脚模型的三个常见结论。第一个就是我们的等题要用到的是 a， e 加上 c， f 等于 e， f 证明的过程呢，需要延长 e， a 截取 a， g 等于 c， f 连接 b， g 证明两次全等， 一次是三角形 g， a， b 全等于三角形 f， c， b 这个全等之后，加上它的结论可以成第二个全等， g， e， b 全等于三角形 f， e， b 啊，那就是我们第一个结论。 第二个在它的极上衍生的，也就是三角形 e， f， d 的 周长是等于二倍的整个正方形边长的 ab 或者 ad。 第三个结论 连接 a， c 与 b， e 呢，交于点 m 与 c， b， f 交于点 n， 最后得到 m， n 的 平方是等于 am 平方加上 c， n 的 平方的。这个结论呢，也是构造一个直角三角形证明的 构定义啊。三个结论要记清楚的话，这种题就了解了，看到四十五度半角是吧，边长是二，那它的周长就等于四就可以了。

八年级同学们，如果你现在卡在几何压轴题，那么一定要来听一听这套有效的压轴题思维。第一个你不管什么样的几何压轴，你一定要把第一问和第二问一定要彻彻底底搞明白，你在做第三问的时候，你一定要去想一想，前两问 你做了什么，他问了什么，而这个条件和这个结论他一定能够顺延到第三问，而且你一定要去想方设法的去模仿 你，比如说我们拿到一个几何的证明之后，你想一想上一本它出现了什么结论，出现了什么条件，考我们什么定义，而我们在八年级最容易出现的定义是什么？斜中、半中位线，还有正方形里面的各种模型，菱形当中的各种结论对不对？所以你一定要从这几个方面去入手。 第三个就是辅助线怎么做？首先你大脑里面要有自己的一套我们几何的辅助线作为我们的工具备选，比如说备长啊， 截长补短啊，这些也都会用到。还有就是构造平行线，构造垂直这些高频的辅助线你一定要特别的清楚， 然后去对照题目前面问了什么，再去选择相应的辅助线，哪怕第一次你选错了，没关系，再换一个，你一定就会操作成功，所以大家千万千万要记住模仿第一文，第二文。再一个就是大脑里面要有一套自己的工具备选，这样的话，你的压轴思维一定能够训练上来。