天津八下数学几何知识点

给你三秒钟这道题你有思路吗？让我来这道题呢，使用中位线构造的思路，可以轻松秒杀。我们首先连接上 d、 c， 再取它的中点为点 f， 那 么连接上 n、 f 和 m f， 由于点 n 和点 f 分 别是 d、 e 和 d c 的 中点，所以说 n、 f 就是 三角形 d、 e、 c 的 中位线。又由于点 m 和点 f 又分别是 a、 c 和 和 d c 的 中点，所以说 m、 f 又是三角形 a、 c、 d 的 中位线。那么我们可以得到这个 n、 f 应该是 c 的 二分之一啊， c 等于三，所以说它就是二分之三。而 m、 f 呢，应该是 a、 d 四的二分之一，也就是二。那又由于啊，它和它平行，它又和它平行，所以说这里是九十度的话，它 它俩的这个夹角也应该是九十度。那么运用勾股定律，我们可以求出 m 的 长度应该是根号下二的平方加上二分之三的平方，也就是根号四分之二十五，也就是二分之五啦。搞定！要我说呀，这道题根本就不需要画辅助线，直接间隙就可以了。 我们以点 b 为圆点呢，建立一个平面直角坐标系，那由于这个 a、 d 是 四，那么点 d 的 坐标是零， a 加四， 再设这个点 e 的 坐标为 b， 零。那么由于 c、 e 等于三，所以说点 c 的 坐标就是 b 加三， 零。接着根据中点坐标公式，点 n 的 坐标就是点 d 和点 e 坐标加起来的一半，横坐标应该是零，加 b 除以二，也就是二分之 b。 纵坐标应该是 a 加零除以二，也就是二分之 a， 而 m 的 坐标应该是这两个点的坐标之和。除 除以二，那也就是横坐标为零，加上 b 加三除以二，也就是二分之 b 加三。纵坐标呢，应该是零加上 a 加四除以二，也就是二分之 a 加四。 最后呢，再根据两点之间距离公式，直接求出 m n 的 长，那么也就是 m n 等于根号下二分 之 b 加三，减去二分之 b 的 平方。两个横坐标相减的平方，再加上两个纵坐标相减的平方，也就是二分之 a 加四，减去二分之 a 的 平方，那二分之 b 和二分之 b 可以 互相抵消掉，那么剩下的就是二分之三的平 平方。这边呢，二分之 a 减去二分之 a 抵消掉，剩下就是二分之四，也就是二的平方。那么最终也就是根号下四分之九加四，也就是四分之二十五，那么也就是二分之五了。所以我们求出 m 的 长为二分之五，搞定。

几何压轴比，你家孩子是不是也会出现这样的情况？辅助线他看答案能看懂，但是自己做的时候就想不起来怎么做。那这个问题主要产生的原因是有两个，第一个是孩子们他对八下的几何模型辅助线根本没有系统的概念，他可能零散的都知道，但是他穿不起来。 那第二个问题就是他不知道什么情况下该用哪个辅助线。那从今天开始，我将用四期视频把八下的几何模型辅助线从头去捋一下，那这四期视频每一期会讲这一块的内容，这四块内容分别是这四大模块， 然后这四大模块里面其中第三个是属于最难的，我这块已经标注出来了，它是属于高分一个选学内容。这高分指的是什么？指的是如果孩子你能数学稳定在幺幺五以上，你想去冲一百二满分的，我指的是一百二满分啊， 你想去冲满分的，那你就需要知道这两个，因为你在初三包括压轴题里面，他会经常出现倒角的问题，那倒角的话这些都是非常常用的。 看完这四期视频，孩子至少能建立一个完整的几何向量的体系，那孩子拿到题至少能知道往哪个方向去想，需要电子版资料，以及想进资料分享群的评论区留言。 因为内容很多，所以我不会像讲新课一样非常详细的去讲，我只是把这几个去梳理一下，把他们重要的程度以及特点去说明一下，那孩子们可以去依照这个去进行深入的去学习啊。 那首先第一个就是购物与解三角形，那这个的话它重要程度肯定非常高，也是最容易忽略的，因为孩子们都觉得购物理解三角形特别简单，他们理解的解三角形就是在直角三角形里求变长。但实际上解三角形是现在中考几何压轴最热门的考点之一， 就可以说最热门啊。那这里面的话，那解三角形指的是在三角形中求边长角度或者面积都算解三角形，这个三角形指的不是直角三角形，你任意的三角形都可以，那它的基本原则是三角形里面是有六个条件的， 那三边三角，那三边三角的话，已知任意三个条件我们都可以解除。其余的条件，比如说已知两角一边，那 a、 s 或 a s、 h 都属于两角一边啊。可是你不用去分顺序，你只要知道两角一边都可以，或者是两边一角也可以， 或者是一边一角加上另外两边的数量关系，这个是比较特殊的。那另两边数量关系指的是你这两个边能知道他们的加减数量关系。比如说举个例子啊， 你像这种呢， a、 b、 c， 比如说这是三，然后这个是三十度，你另外两边知道一个是 x， 一个是 x 加八，那像这种另外两边是能用同一个位数表示的，那他们俩放到一起就可以算一个条件， 所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？

八下难度的天花板就是依次函数和几何中动点问题的结合，有三大热门，分别是动点面积问题、动点最值问题，还有动点存在特殊图形和特殊角。期末考试前，我会帮你们把这三大热门都搞定， 今天呢，来帮你们搞定动点存在特殊角里边的最难题，也就是两个动角的差等于四十五度。 咱们先来讲题，讲完题给大家归纳解析技巧。 ab 和 cd 的 解析式都告诉咱了， 点 f 呢，是 x 轴上一个动点，若角 a、 b o 减去角 f， e、 c 等于四十五，求点 f 的 坐标。首先呢，有 ab 和 cd 的 解析式，咱们就可以求出 b、 c、 d 的 坐标，也可以求出点 e 的 坐标， 因为点 f 在 x 轴上，咱们就先假设一个点 f 来进行分析，咱们连接 fe， 哎，就有了角 f， e， c， fe 呢和外轴的交点咱们记为 m， 那 a、 b、 o 减去 f， e、 c 等于四十五，咱们把它进行一项处理，那这一步就是一个关键技巧。为啥要一项处理呢？因为这两个角它俩并没有共顶点，也没有重合的边， 所以就没法减，只能进行一项处理。也就是角 f、 e、 c 加上四十五，等于角 a、 b o， 因为 o， d 等于 o c， 所以呢，这个角 o， d， c 还有角 o， c， d 呢，就是四十五度，角 e， d， b 呢，也是四十五度，那所以呢， f、 e， c 加四十五 就可以看成是 f e， c 加上角 edb， 那 根据三角形外角的性质，那 f、 e、 c 加上角 edb， 就等于这个角 e、 m、 b， 那 所以呢，也就是角 a、 b、 o 等于角 e、 m、 b， 那 所以呢，三角形 e、 b m， 它就是一个等腰三角形， 那因为点 b 和点 e 的 坐标已知，那咱们用三线合一，就可以求出点 m 的 坐标，咱们过点 e 做 e n 垂直外周，那这个点 n 呢，就是 b m 的 中点， 点 n 的 纵坐标就等于点 e 的 纵坐标等于个四分之七，那根据 b n 等于 n m 就 可以算出点 m 的 坐标是个零。二分之三，那 m 的 坐标有了，点 e 的 坐标也有了，咱们就可以求出 e m 的 解析式， 也就是 e f 的 解析式。那有了它的解析式哈，咱们令 y 等于零，就可以算出点 f 的 坐标是个二分之九。逗号，零，那咱们这个点 f 呢，是在点 c 的 右边， 那点 f 哈，它还可以在点 c 的 左边，那咱们连接 f， e， f， e， c 加上四十五呢，咱们就可以看成是 f e， c 加上这个角 d， c， o， 那 根据外角的性质哈，它俩的和就等于这个角 e f a， 所以呢，就是这个角 e f a 等于这个角 a b o， 那 因为角 a b o 加上角 b a， o 是 个九十度，所以呢，这个角 e f， a 加上 b a， o 也是九十度。所以呢，这个三角形 a e f 哈，就是一个直角三角形。那咱们用 勾股定律哈，就可以算出点 f 的 坐标，也就是 a e 方加 e f 方等于 a f 方。那咱们接下来就要把 a， e， e， f 还有 a f 这三条线段给它表示出来，那因为点 a 和点 e 的 坐标都有了，那咱们就可以算出 a e 的 长。然后呢，咱们设点 f 的 坐标是个 x， 零，所以呢， a f 就是 x 加六，用两点间距离公式就可以写出 f e 的 平方是一个这。 然后咱们用勾股定律列方程就可以算出 x 是 个负六分之一，所以呢点 f 就是 负六分之一零。那咱们来把这个题归纳总结一下哈，这个题表面上哈是两个角的差，是四十五。通过这个做题过程我们可以发现哈， 这种类型的题最后呢都是转化为动点存在特殊图形了。你像这种情况呢，它本质上就是一个动点存在直角三角形， 一种情况呢就是动点存在等腰三角形。另外还有关键一点就是两个角的差，咱们一般呢都要通过一项转化为两个角的和。

混进初二的家长注意了，是不是发现孩子一到拔下，数学的成绩就直接断崖式的下滑，拔下的数学难度突然变飙升，几何、函数两大难点扎堆，直接拉开初中的分水岭。 孩子公式记混定律乱用，考点抓不住，做题没思路，一到大考就莫名的丢分。最让人着急的是啊，八下如果学不好，初三中考直接掉队，理科思维啊，是彻底跟不上了。小新老师给大家整理了天津八下专属的数学考前一夜者， 贴合咱们天津本地的考情，浓缩公式、几何模型、函数的解析，大招还标注了分值和递错陷阱，让孩子别再盲目刷题，一张纸吃透所有的核心重点，望孩子精准提分，稳稳度过初二的分水岭。分我发明！

八、下期中必考的填空题，压轴题，就这道题，整个班级全军覆没，他是直接把全等三角形和平行四边形的几何模型辅助线构造来了一个大综合，很有难度，但是别担心，一分钟带你彻底学透，我们一起来看题。 说如图呢，给了我们一个直角三角形 a、 b、 c 角 b 的 度数为九十度，然后又告诉我们 dc 和 bc 是 垂直的，这个呢，也是直角角 d、 f、 c 的 度数为四十五度。我们简单去标注一下，又告诉我们 a、 c 这个线段长度，这一段为二倍，根号十五， c、 e 的 这一段等的是三倍，根号三，若 b、 e 等于的是 d、 c， 也就意味着这一段和这一段是相等的。问 a、 e 这个线段长度， 他的线段长度应该是多少？首先呢，我们拿到这道题啊，你看这道题长得像不像我们曾经学过的一个模型，叫做一线三垂直全等，但是他又不完全是，只是长得比较像而已。一线三垂直模型，我们要求的是这一条线当中应该有三个垂直，但我们现在发现这有一个垂直， 这也有个垂直，你说这个地方是垂直吗？没告诉我们，实际上这个地方呢，其实给了是一个大钝角，他并不是垂直的。 那咋办呢？其实我们数学当中啊，一个难点就是看似比较熟悉，但又不是那个东西的话，我们该怎么办？想办法进行构造。所以这道题的话，我就直接可以过点 e 去做一个这样的垂直。然后呢，交 b、 a 的 延长线于一个点，这个点呢就是我们的点 m， 此时它是垂直的，不就出现了一条线当中一二三三个垂直了吗？所以说在这我就能够立马得到三角形 m b， e 和三角形 e、 c、 d 它们两个呢是全等的，那么全等之后是不是就会有对应的边是相等的，对角也是相等的，那么对应的边 ce 这段是三倍根号三，所以说呢，我们 mb 这段呢，也是三倍根号三，那么我们再来看 e d 这段，是不是和 e m 它俩呢也是相等的？好，那你来看啊， e d 既然和 e m 相等，这个地方又是个直角，你能够去想到啥？ 我们在学习一线三垂直模型全等的时候，是不是一开始它应该是个等腰值，然后呢不断的把它去扩展成了一个一线三垂直全等？所以这道题呢，其实正好是反过来来的，你是不是可以直接把我们的 m d 去经连接，连完 m d 之后， m， e、 d 这个三角形不就是个等腰直角三角形了吗？那它这个等腰直角三角形的话，你说这个角度数是多少度？ 是不是也为四十五度？那么它为四十五度的话，这个角也是四十五度内错角相等，两直线平行，所以说在这里面我们就会有 a c 这一段和我们 m d 这一段，它俩呢应该是平行的。而 新条件又告诉我们这个是垂直的，这个也是垂直的，是不也就意味着我 am 这一段和 cd 这一段，它呢也是平行的，所以说这个地方呢，它就变成了一个平行四边形， 那平行四边形对边相等吧。条件当中告诉我们 a c 这一段，这个部分，它的长度呢为二倍，刚好十五， 所以说 md 这个线段长度为多少？是不是也为二倍根号十五？又意味着等腰直角三角形的那个斜边是二倍根号十五，那这个直角边是多少呢？是不是我用斜边直接除以根号二就可以了？ 二倍根号十五去除以根号二，这个结果呢，也就变成了根号三十。 m、 e 这个线段长度为根号三十。那 b、 e 这个线段长度是不是就可求了？ 在 m、 b、 e 这个直角三角形当中，利用勾股定律嘛，根号三十的平方减去三倍根号三的平方开根号，这个结果呢，也就变成了根号三。那 b、 e 为根号三的话，是不是 c、 d 它也为根号三？然后这又是个平行四边形，它是根号三，是不是 am 的 这段也为根号三？ 那刚才我们又知道 b、 m 这个总长为三倍根号三。所以说 ab 的 这段长度为多少为二倍根号三。我们一口气 把所有能够表示的线段长度全部的都表示了出来。最后让我们求啥？求的是 a、 e 这一段， a e 在 这，你看 a、 e 是 不是也是直角三角形的一个斜边呀？这个直角三角形两个直角边，一个是二倍根号三， 一个是根号三。直接利用勾股定律呗，二倍根号三的平方加上根号三的平方开根号，结果是多少？根号十五这道题就结束了。关于全等和平四边形的一道综合的问题，很有难度，你学会了吗？搞定。

大家好，欢迎来到知识点小卖铺，今天我们继续学习八年级下册数学核心知识点速通课程。 我们直接进入正题，聚焦八年级下册的核心内容。这一阶段的数学无论是代数还是几何，都比上册有了显著的升华和拓展。我们将系统梳理分式、反比例、函数、勾股定律、四边形以及数据的分析这几个关键章节，帮助大家构建清晰的知识框架。 首先来看分式，分式本质上是整式的升级版，形式是 a 除以 b， 其中 a 是 分子， b 是 分母，而且分母 b 必须包含字母。这里有两个核心概念要牢记。第一，分式有意义的前提是什么？没错，分母不能为零， 这是铁律，任何情况下都不能违反。第二，什么时候分式的值等于零？答案是分子为零，并且分母同时不为零。很多同学容易在这里犯迷糊，只看分子等于零， 忽略了分母的限制，导致结果出错。比如分式 x 减二，除以 x 加三，当 x 等于负三时，分母为零，整个分时就失去了意义。 而当 x 等于二十，虽然分子为零，但此时分母为五，所以分式的值确实为零。这两个条件缺一不可，务必谨记。掌握了分式的概念，接下来就是它的基本性质和运算。分式的基本性质 和我们熟悉的分数非常相似，分子、分母同乘或同除，以一个非零的整式，分式的值保持不变。基于这个性质，我们可以进行约分，也就是化简分式。比如二 x 除以四 x 平方，可以约分为一，除以二 x。 反过来，为了进行加减法，我们需要通分，也就是把不同分母的分式变成同分母的分式，找到最减公分母是关键。 至于运算规则乘法，就是分子乘分子分母乘分母除法呢？记住一句口诀，除以一个分式，等于乘以它的倒数 加减法。同分母直接操作异分母，先通分，再操作乘方，则是分子分母各自乘方。这些规则看似简单，但在实际计算中，尤其是符号和密次的处理上，稍有不慎就容易出错，需要细心。重头戏来了。分式方程， 顾名思义，就是方程里出现了分母含有未知数的情况。解这种方程 核心步骤有三步，第一步，去分母怎么做？两边同时乘以所有分母的最小公倍数，也就是最简公分母。 这样就把复杂的分式方程转化成我们熟悉的整式方程了。第二步，解这个转化后的整式方程，这通常不难。第三步，也是最容易被忽略但极其重要的一步检验。为什么？因为在去分母的过程中，我们乘的那个最简公分母 可能在某些情况下等于零。如果圆方程的解使得这个最减公分母为零，那么这个解就不是圆分式方程的解，我们称之为增根。 检验的方法很简单，把求得的解带回到最减公分母中，看看它是否为零。如果不为零，恭喜你找到了正确解。如果为零，那就说明这个解是增根圆方程。在这种情况下，可能无解或者有其他解。千万别忘了这一步 分时方程不仅仅是纸面上的练习，它在实际问题中应用广泛。想想看，行程问题里速度、时间、路程的关系，如果涉及到不同速度下的时间比较，或者合作完成任务的工程问题，假以两人工作效率不同，一起干需要多久？ 利润问题，成本、售价利率之间的换算，还有浓度问题，加水稀释、前后浓度变化等等，这些场景都可能抽象出分式方程模型。解这类应用题的关键在于准确找出题目中的等量关系，然后建立分式方程。解出来之后， 除了要像前面说的那样检验是否为增根，还要结合实际情况判断解是否有意义。 比如求时间，结果不可能是负数吧，求人数也不能是小数，所以实际意义的检验同样重要。 进入函数的世界，我们先来看看反比例函数，它的标准形式是 y 等于 k， 除以 x， 这里的 k 是 一个不等于零的常数。注意，因为分母是 x， 所以 x 的 取值范围是 x 不 等于零的所有实数。这个函数还有两种等价写法， y 等于 k， 乘以 x 的 负一次方，或者更常用的 x， y 等于 k。 这三种形式要能互相转换。反比例函数的图像非常有特色，它不是直线，而是一条双曲线，分布在两个象限。 k 的 正负决定了双曲线的位置。如果 k 大 于零， 双曲线位于第一、第三象限。如果 k 小 于零，则位于第二、第四象限。更重要的是它的增减性，当 k 大 于零时，在每个象限内 y 随 x 的 增大而减小。当 k 小 于零时， 在每个象限内外随 x 的 增大而增大。这里必须强调是在每个象限内讨论，不能笼统地说 在整个定义域内单调、递增或递减，否则就会犯逻辑错误。反比例函数里有一个非常巧妙且高频出现的考点，就是 k 值的几何意义。这个知识点特别实用，想象一下， 反比例函数图向上任意一点 p， 从 p 向 x 轴和 y 轴分别是 a 和 b， 那么形成的矩形 o p a， b 的 面积是多少？答案就是 k 的 绝对值。同样，如果我们只从 p 向 x 轴做垂线到 b， 那 么形成的直角三角形 p o b 的 面积呢？ 是二分之一乘以 k 的 绝对值。这个性质，无论 k 是 正是负都成立。因为我们讨论的是面积，所以要用绝对值。为什么这个性质有用？因为它提供了一种快速计算特定区域面积的方法，而且 体现了数形结合的思想。考试中经常利用这个性质来解析或者证明。反比例函数的应用和我们之前学的一次函数类似，关键在于根据实际问题建立函数模型。哪些场景适合用反比例函数呢？比如工程问题，如果总工作量固定， 比如挖一条隧道，那么工作效率和所需时间就是反比例关系形成问题。如果总路程一定，比如从 a d 到 b d， 那 么行驶速度和所需时间也是反比例。还有面积问题， 比如一个长方形的面积固定，那么它的长和宽就是反比例。解这类问题的思路一般是先设出函数解析式， y 等于 k 除以 x， 然后根据题目给定的一组对应值，比如某种速度下用了多少时间或者某个尺寸下的面积来确定 k 的 值。一旦 k 确定了，函数就唯一了，就可以根据自变量的取值范围来求解相应的函数值，或者反过来求自变量的值， 核心还是找到那个反比例关系。接下来是第十八章勾股定律。勾股定律是在直角三角形中由形推数值角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，即对于直角三角形的三边， a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方。而它的逆定理是由数推形，用来判断一个三角形是否为直角三角形，两者是互逆的关系。另外有一些经典的勾股数组合，比如三四五、 五十、二十、三七、二十四、二十五、八十五十七，以及它们的整数倍， 比如六、八十，这些都是满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方关系的整数。三元组认识这些常见的勾股数，能在解题时节省不少时间，尤其是在需要快速判断或计算时。 除了正向使用勾股定律求边长，还有一个非常重要的逆定律，它的内容是，如果一个三角形的三点场 a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方的关系，那么这个三角形一定是直角三角形，其中 c 是 斜边。这个逆定理非常有用，它可以用来判断一个三角形是不是直角三角形。勾股定律 及其逆定理的应用场景非常广泛，最基本的就是已知直角三角形的两边长求第三边。 在实际测量中，比如想测量一个池塘的宽度或者一棵大树的高度，我们常常通过构造直角三角形，利用已知距离和角度间接求出目标距离。还有向长方形折叠后求线段长度，或者求圆柱体长方体表面上 两点之间的最短路径。这些问题往往也需要通过展开图形构造出直角三角形，再运用勾股定律来解决。现在我们进入四边形的世界，首先要掌握的是平行四边形。 平行四边形有哪些核心性质呢？主要有三条，一是对边不仅平行，而且长度相等。 二是对角相等，三是连接对角线，他们会互相平分。这些性质在证明题和计算题中都非常常用。那么，如何判定一个四边形是平行四边形呢？有五种主要方法，设两组对边分别平行。设两组对边分别相等。 设一组对边平行且相等。设两组对角分别相等，设对角线互相平分。在实际解析时，要根据题目给出的条件，选择最合适的判定方法。比如，如果题目告诉你一组对边平行且相等，那就可以直接判定它是平行四边形了， 这是一个非常常用且高效的判定方法。在平行四边形的基础上，我们来看看几种特殊的平行四边形。首先是矩形，定义很简单， 就是一个角是直角的平行四边形。作为平行四边形，它自然具有平行四边形的所有性质，但它还有自己的独特之处，四个角都是直角，而且对角线相等。判定矩形的方法也有几种，比如有一个角是直角的平行四边形， 或者对角线相等的平行四边形，甚至三个角是直角的四边形，本身就是矩形。然后是菱形，定义是有一组菱边相等的平行四边形，它的独特性值是四条边都相等，而且对角线不仅互相垂直，还平分一组对角菱形的面积 除了可以用底乘高，还可以用两条对角线长度的乘积的一半来计算。 s 等于二分之一乘 a， c 乘 b， d。 这个公式在已知对角线时非常方便。判定菱形的方法包括有一组菱边相等的平行四边形，或者对角线互相垂直的平行四边形，以及四条边都相等的四边形。 最后是正方形，它是极大成者，既是矩形又是菱形，所以它兼具了矩形和菱形的所有性质。四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直。平分。判定正方形 可以从矩形的角度出发，比如有一组邻边相等的矩形，也可以从菱形的角度出发，比如有一个角是直角的菱形。 除了平行四边形和特殊平行四边形，梯形也是四边形中一类重要的图形。梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。其中，如果梯形的两条腰相等，我们就称之为等腰梯形。等腰梯形有一些特殊的性质， 同一底上的两个底角相等，而且两条对角线也很重要。三角形的中位线 是指连接两边中点的线段，它平行于第三边，并且长度等于第三边的一半。梯形的中位线 是指连接两条腰中点的线段，它平行于两条底边，并且长度等于两条底边长度之合的一半。这两个中位线定律在计算线段长度或证明平行关系时非常有用。 最后我们来看数据的分析部分，这部分主要学习几个常用的统计量。首先是平均数， 最常见的是算数。平均数就是把所有数据加起来，再除以数据的个数。但有时候各个数据的重要性不一样，这时候就要用到加权平均数。 它的计算公式是各个数据乘以其对应的权重，然后求和，再除以所有权重的和。比如计算学期总评成绩、平时作业、期末考试的权重可能不同，就需要用加权平均数。接着是中位数， 它是将一组数据从小到大排列后处于中间位置的那个数。如果数据个数是基数， 就是正中间的那个。如果是偶数，就是中间两个数的平均数。中位数的一个优点是不容易受到极端值的影响。 比如一组数据里有个特别大或特别小的数，中位数可能比平均数更能反映数据的典型水平。最后是种数，它是指一组数据中出现次数最多的那个数值。种数可以有一个，也可以有多个，甚至没有。种数能快速告诉我们 数据中哪个数值出现的最频繁。除了描述数据的集中趋势，我们还需要了解数据的波动程度，也就是数据的离散程度。衡量这一点的常用统计量是方差，方差越大， 说明这组数据越分散，波动越大，稳定性越差。反之，方差越小，数据越集中，波动越小，稳定性越好。在实际应用中，选择哪个统计量取决于我们的目的。 如果想了解整体水平，用平均数。如果想了解典型水平，且不受极端值干扰，用中位数。 如果想知道哪个数值最常见，用重数。如果想评估数据的稳定性或一致性，那就得看方差了，比如评价运动员的发挥稳定性，或者比较不同班级成绩的均衡性，方差就是一个很好的指标。今天我们系统梳理了 八年级下册的主要内容，从分式的运算与方程，到反比例函数的图像性质与应用，再到勾股定律及其逆定律，以及四边形的各种性质判定和数据的分析方法。这些知识点相互关联，构成了初中数学的重要基础。 希望大家课后能针对自己的薄弱环节进行有针对性的复习和练习。下一节课我们将进入九年级全册的重要基础里，那是中考复习的关键阶段， 今天的课程就到这里，希望这次的速通课程能帮助大家更好的掌握八年级下册的数学知识。祝同学们学习进步，我们下节课再见！

本节课彻底学会平行四边形，所有重点题型，多学一道，多长十分。弹幕里打出我要逆袭，我们直接开始题型一，平行四边形的判定。 好，大姐给大家总结一下，我们从三个维度出发，边角线， 我们先看边的角度，从这个角度出发，边呢，是有三条判定的啊，我们看这三条，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。好，第三条，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以我们这三组呢，要记好，一组是两组分别平行， 一组是第二判定，二是两组相等判定三呢，他是一组对边 平行且相等，所以这个一定要注意区分哈。前面两条是两组平行，两组相等，那么第三组是一组平行且相等。判定三是用的最多的，把它记起来， 我们再看角的判定啊，它是有一条判定的。好，我们看两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 所以角的话是对应的是对角哈，比如说平行四边形，这个一组对角，两组对角相等呢，它就是一个平行四边形了。 接下来我们再看从线出发，有一条线是什么线呢？对角线，所以对角线相互平分的四边形也是平行四边形。那我们记住这五条就是平行四边形的判定。从边角线， 边是三条，角是一条，线是一条，三一一边三条，两组对边平行，两组对边相等，一组对边平行且相等。角对角，两组对角分别相等，线对角，线对角，线相互平分。好， 所以这五条判定就是平行四边形的判定好，那我们接下来看题目。以上四个条件中可以判定四边形是平行四边形的。有 好，那我看第一条，两组对边分别平行好，这个就是 涉及到从边的角度，边的话，我们有三条复习一下。第一条是两组对边分别平行的四边形是平行四边形。或者第二条，两组对边相等 的四边形也是平行四边形。第三条判定他不是两组，他是一组对边平行，但是并且要相等的四边形是平行四边形 啊，所以记住这三条边的判定好，那我们看第一条，两组对边分别平行两组。平行 a， 一 是对的两组对边分别相等，两组相等也是对的，一组对边 平行且相等一组可以，但是平行和相等都要，所以也是对的。判定三好，那我们再看第四条对角线， a、 c、 b、 d 相等。我们先画一下这个平行边形啊，标上 a、 b、 c、 d， 按顺序标好对角线是 a、 c 和 b、 d 对 吧？ a、 c、 b、 d 对 角线相等不对哦，平行四边形的对角线是相互平分哈，你看相互平分判定五，所以第四是错误的，那么答案是一二三正确，所以选 c。 第二题， 在三角形 a、 b、 c、 中， d、 e 分 别是 a、 c 和 ab 的 中点， 两个中点，所以 d、 e 是 中位线好，并且知道 c、 f 整一段等于三倍的 b、 f。 第一问，求证四边形 d、 e、 f、 b 是 平行四边形 好，因为 d、 e 分 别是 a、 c、 a、 b 的 中点，两个中点构成是中位线哈，所以 d、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 中位线， 那中位线的话有平行且等于底边的一半哈，所以 d、 e 平行 bc， 并且 d 一 等于底边的一半哈，这是中位线的性质，那 d 一 就等于二分之一的 bc， 或者是长的底边等于短的两倍，也可以说成是 bc， 长的边等于两倍 d 一 其实就是相当于把这个式子两边同时乘以二，扩大两倍哈，好。又因为题目给的条件 cf 整一段长的等于三倍 bf， 那 我们从图中可以看到 cf 是 三倍 bf， 对 吧？而 cf 呢，又包含一个 bf， 那长的是三个 b f， 减掉一个 b f， 那 剩下的 b c 不 就等于两个 b f 吗？对不对？两个 b f 加一个 b f 才构成三个 b f 嘛。所以我们就可以从这个关系可以得到 b c 呢，也是等于两倍的 b f 的， 那我们看前面中了 bc 等于两倍 d e， 这里又中了 bc 等于两倍 b f， bc 是 同一条边，对吧？所以呢，右边也相等，那我们就有 d e 等于 b f 啊，都等于两倍这个，所以这两个式子是完全相等。 d e 等于 b f。 好， 前面正了 d e 平行 bc， 那 相当于是 d e 平行 b f 一 组对边平行，那这里又正了 d e 等于 b f。 哎，我们知道 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形啊，所以下结论，四边形 d e f b 是 平行四边形。 第二问角 a c b 这个角是直角九十度， a c 等于十二 d e 啊，上面短的这一段等于四，求四边形 d e f b 的 周长 好由一得 bc 是 等于两倍 d 一 由中位线得的哈，并且 d 一 知道是四，所以 bc 等于两倍 d 一， 那就等于二乘四等于八， 那图中 bc 就 等于八了哈。好。又因为点 d 是 a、 c 的 中点， 题目告诉我们 a、 c 等于十二中点的话，那就是一半呢，所以 c、 d 等于长的一半，等于二分之一， a、 c 等于二分之一，乘以十二等于六 cm， 那 也就是 c、 d 这一段等于六。 好。又因为题目给的条件角 a、 c、 b 等于九十度，那所以在这个直角三角形 b、 c、 d 中，由勾股定律可以把 b、 d 边求出来哈。那么则 b、 d 就 等于根号下直角边的平方， c、 d 的 平方带数字进去就是根号六的平方加上八的平方， 那我们直接根据勾股定律的勾股数六八十，所以第三边斜边直接斜等于十哈。 好。最后我们就可以求平行四边形 d、 e、 f、 b 的 周长了哈，那我们知道平行四边形它是对边相等的，我们已经知道 d 一 和 b， d 一 条为四，一条为十，对边相等，那他们两个加起来乘以二就行了哈，所以就等于两倍的 d 一 加上 b、 d 括号再乘以二。好，代数字两倍乘以括号的四加十，对吧？你看，四加十一组，再乘以二，就是两组四条边加起来了哈，那也就等于四加十。十四乘以二，那就等于二十八 cm 周长。 题型三，中位线的问题好讲，这套题之前呢，大姐给大家总结一下知识点哈， 中位线的问题。如果题目告诉我们已知 d 点和 e 点都是中点， d 是 ab 中点， e 是 a、 c 的 中点，那我们就知道 d 一 呢是三角形 abc 的 中位线 好。中位线有什么性质呢？第一，第一平行这个三角形的底边，也就是第一平行 bc， 并且第一这条中位线等于二分之一的 bc， 那 也就是中位线的特点，就是平行 加一半，加二分之一的底边的一半。好，那我们来看题，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长为三十六， 那我们要知道哈，平行四边形的周长公式，它等于长加宽的和乘以二，那也就是这个周长等于三十六。 好，这个乘二等于三十六，那我把这个乘二移过去，那是不是得到长加宽等于三十六除以二，对吧？乘移过等号右边就除三十六除以二呢？就等于十八，对不对？那我是不是得到一条长 和一条宽，这个 b、 c 加 c、 d 等于十八。又或者我们可以通过图像直接求你看，我们知道平行四边形对边相等 蓝色这条边 a、 b 等于 c、 d， a、 d 等于 bc， 对 吧？好，我要求一半，是不是用三十六除以二等于十八，红色加起来等于十八，蓝色这两条加起来也等于十八，对不对？一样的道理。好，那我们继续看题目哈。 对角线 a、 c、 b、 d 交于点， o、 e 是 c、 d 边的中点好，中点出现了中位线，你看 o 也是 b、 d 的 中点，因为对角线相互平分， b、 o 等于 o、 d， 那 这个 o 点自然也是中点好， o、 e 都是中点，所以这条线呢，就是中位线。三角形 b、 c、 d 的 中位线对不对？那中位线就有了 o 一。 首先平行 bc 对 吧？平行且等于它的一半， o 一 等于二分之一的 bc， 你 看，也就是这一条推出来的平行且等于底边的一半。好，那我们再看题目，告诉我们 b、 d 这一条边等于十二， 求三角形 d、 o、 e 的 周长，那么 d、 o、 e 的 周长，也就是求 o， d 加 o e 加 d e 这三条蓝色边的周长。 好，我们先看 o、 d， 这条边， o 呢是 b， d 的 中点，整一条 b， d 长等于十二，那么 o d 等于长的一半，所以呢， o、 d 就 等于六了。好了，我们再看 d， e 再加 o e， e 呢是 c、 d 的 中点，你看 d， e 是 不是等于二分之一的 c、 d， 对吧？短的是长的一半，因为它是中点嘛。好， o e 是 中位线，刚刚推过了， o， e 是 下面长的 b、 c 的 一半，也等于二分之一的 b、 c。 好， 那我们看，把这个二分之一提取出来呢，就等于二分之一乘以 c， d 加 b， c， 那 就等于六，加上二分之一乘以。我们知道 c、 d 加 b， c 刚好等于十八。 好，我们再算一下，也就是六加约分二九，十八等于九，那最终等于十五，所以答案选 a。 当然，这道题也可以直接看图哈，我要求这三条蓝色部分的周长，你看 o、 d 等于长的十二，一半是六吗？六就确定了。那我们再看这个 o e 和 d e， 你看 o 一 等于这一边的一半中位线嘛，对不对？然后呢， d 又等于这条 c、 d 的 一半，那也就是等于 这两条 b、 c 加 c d 长的一半，整个整体的一半，对不对？你看四条边加起来是三十六，是吧？我分割一半的周长就是等于十八，也就是 b、 c 加 c， d 等于十八， bc 加 cd 十八之后呢？你看这里又是 bc 一 半，这个又是 cd 一 半又一半，对吧？他们的一半又十八，除以二等于九，所以这两边这两条边等于九，再加上六，六加九就等于十五。选择 a， 题型是矩形的判定好，矩形的判定呢，我们从两个方向去想哈，第一个是平行四边形，第二个是普通四边形，那我们先看平行四边形方向去判定的，那我们先来 看一下这个矩形呢，其实就是我们小学学的长方形，我们知道长方形四个角都是九十度， 对不对？好，并且呢，我们还知道矩形的对角线相等， a、 c 等于 b、 d。 好 了，我们看一下判定哈，判定一，如果已知是平行四边形，那么再加一个九十度，就可以构成一个矩形。好，这是第一个判定。判定二， 如果是一个平行四边形，再加对角线相等，那么也构成矩形，所以呢，从平行四边形角度呢，就有两个判定好，我们接下来再看普通四边形，也是有两个判定， 那么我们证明一个矩形呢，也是直接三个角九十度，就可以证明这个四边形是矩形了哈， 那我们再看对角线相互平分且相等，就是证明矩形啊，这是普通的四边形的两个判定。记住，三个角九十度， 或者是对角线相互平分且相等，那么其实判定四呢，他也是对应的，是判定二来的。你看对角线相互平分，不就是 平行四边形吗？加上对角线相等，那么就是矩形了，所以矩形自己特有的就是对角线相等哈， a、 c 呢，是等于 b、 d 的， 我们看第四题，下列命题中正确的是好，第一个，四个角都相等的四边形是矩形。好，那我们看一下 这个四边形就是四条边吧，四个角相等，我们知道四边形四个角一圈就三百六， 我们看一下，四个角的话，有四个角除以四四九三十六，其实他这句话四个角相等，也就是暗示着四个角都是九十度， 对不对？因为四条边对应的内角和是三百六吗？三百六除以四就九十，所以四个角都是直角，是矩形，是正确的，也就相当于判定三三个角九十度，可以证明是矩形，所以一正确。 好。第二，有三个角是直角的，四边形是矩形，那很明显是正确的，对不对？你看就是普通四边形，三个角九十度可以证明是矩形，所以也是正确的。好，那我们看有一组零边相等的平行四边形是矩形，这个是错误的。零边相等， 怎么证明它是矩形呢？在平行四边形基础上再加一个角九十度， 就可以证明是矩形了，所以三错误。好。第四个，有一个角是直角的，平行四边形是矩形，正确的啊，对吧？一个角九十度，再加平行四边形构成矩形， 这是我们的第一个判定了，所以四是正确的。那么答案就有三个，一二四选 c。 好， 我们看题型。五、矩形的性质 好。大姐先给大家总结一下矩形的性质，那么矩形它也是特殊的平行四边形，那所以它具有平行四边形的所有性质啊。比如说第一点， 矩形呢，比对边平行且相等， ab 等于 cd， ab 平行， cd a d 等于 b c， a d 也平行 b c， 对 吧？啊，这是第一点。第二点，因为它是矩形，也就是一个长方形，长方形呢，四个角都是直角哈，所以四个角是九十度，这是第二点。第三点，我们就看对角线， 我们知道他本来是一个平行四边形，平行四边形呢，是有对角线相互平分，而矩形特有的性质是对角线相等哈，所以有三条性质，第一条，对边平行相等。 第二点，四个角都是直角九十度。第三点，对角线相互平分且相等， a、 c 等于 b、 d 啊，这是矩形。有的如图，在矩形 abcd 中告诉我们，这是一个矩形哈， 对角线相交于点， o、 e、 f 分 别是 a、 o、 a、 d 的 中点。好， e 是 a、 o 的 中点， f 呢，是 a、 d 的 中点，所以 e、 f 呢，就是三角形。 a、 o、 d 这个围成了三角形的中位线 啊，因为 e 是 a、 o 中点， f 是 ad 中点， a、 o、 af 围成了，就是这个三角形，那么就是这个三角形的中位线啊。好，那我们回忆一下中位线的性质， e、 f 是 中位线，那么 e、 f 呢，就平行 o、 d， 并且等于它的一半， e、 f 等于二分之一的 o、 d。 好，题目，让我们求 e、 f 不 就转化成求只要求出 o、 d 的 边就能够得到 e、 f 的 答案吗？好，那我们先再看题目。 a、 b 等于六， bc 等于八。好，我们看这个四边形是一个矩形，对吧？矩形的话，你看这个直角上行 abc， 我 把它拿出来， ab 等于六， bc 等于八。哎，不就有勾股数 六八十吗，对不对？前面勾股定你学过的啊，你看六八斜边就十，所以 ac 呢？ 这条长的边 a、 c 就 等于十了，并且 a、 c 它是矩形的对角线， a、 c 等于 b、 d。 因为矩形的对角线相等，所以 a、 c 等于 b， d 也等于十，对吧？六八十出来的十。 好，那我们看 b、 d 也等于十了，那 b、 d 的 一半， o、 d 不 就十的一半吗？不就是五吗？对不对？你看 b、 d 整条是十， o、 d 呢，就等于它的一半等于五吗？因为对角线相互平分吗？ 好， o、 d 等于。我刚刚不是证明过吗？ e、 f 是 这个三角形的中位线， e、 f 等于 o、 d 的 一半，对吧？那不就是二分之一乘以五， 那五除以二不就等于二点五吗？大家可以除一下它，对吧？二得四十二点五，所以这个答案就选二点五，选 d。 梯形六矩形的综合运用在菱形 a、 b、 c、 d 中好。 a、 b、 c、 d 是 一个菱形哈， 题目告诉我们做 c、 e 平行 b、 d 这两条直线平行好。 d， e 平行 a、 c 啊，这两条直线也平行好。第一问，求证 c、 o、 d， e 啊， c、 o、 d、 e 是 一个矩形。我们一般正矩形的判定呢，是用由一个角九十度加平行四边形，那就构成一个矩形好，那我们先正这个四边形是平行四边形哈，好，写过程。因为题目给的条件 c 一 平行 b、 d、 d、 e 这一条平行 a、 c。 你 看是不是一组平行，两组平行，对吧？那两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 那我们就可以说这个四边形 c、 o、 d、 e 是 一个平行四边形。 好，又因为题目给的条件 abcd 呢，是一个菱形，那菱形的对角线是相互垂直的哈，所以就有对角线 a、 c 垂直 b、 d。 那 也就是这个角是个直角， 所以角 c、 o、 d 等于九十度。好，这就符合这个判定呢。有一个角九十度的平行四边形是矩形，所以下结论，四边形 c、 o、 d， e 是 矩形。 第二问，若 a、 b、 c、 d 为菱形，所以对边相等 c、 d 也等于十哈， a、 c 为十二对角线，这一条为十二，那么菱形对角线也是平分的，整一段为十二，平分的话，那 o、 a 和 o、 c 就 等于六哈，求四边形 c、 o、 d、 e 的 周长， 好写过程哈。因为四边 c、 a、 b、 c、 d 为菱形， ab 等于十， ac 等于十二。因为菱形也是特殊的平行四边形，所以平行四边形有的性质菱形都有啊，对边相等菱形也是有的哈，所以 ab 等于对边， c、 d 也等于十啊，对角线也平分。 现在我要求的是 c、 o、 d， e 的 周长，我们前面这个，它是一个矩形长方形，那我是不是要把它的长和宽给求出来啊，所以我要把 o、 c 求出来哈，所以 o、 c 就 等于二分之一 a、 c 的 一半， 因为它对角线平分嘛，所以就二分之一乘以十二等于六好，因为第一问已经证明过这一个是直角哈。那么在 r、 t 三角形 o、 c、 d 中，我们可以用勾股定力把 o、 d 求出来哈， 那 o d 呢？就等于根号下斜边的平方， c 的 平方好，带数字进去，那就是十的平方减六的平方， 这个结果不用算哈，那我们根据勾股数六八十，所以 o、 d 直接等于八 好。因为我们要求的这个四边形地问证呢，它是一个矩形哈，那矩形也是长方形，它的周长公式是长加宽的和乘以二， 那我们就可以套公式了哈，因为四边形 c、 o、 d、 e 是 矩形，所以它的周长就等于长加宽的和乘二哈， o、 d 长加宽， o， c 的 和乘二 好带数字进去就是二乘以八加六，八加六等于十，四乘二，那就等于二十八。题型，七、菱形的判定把几给大家总结一下， 那么证明菱形呢？我们也是从两个角度出发，平行四边形或者是普通的四边形，那我们先看从平行四边形出发的有两个判定。第一个， 我们先清楚菱形它有的性质啊，它四条边都相等，四边相等， 并且它的对角线是相互垂直的， a、 c 垂直 b、 d。 好， 那所以我们 判定它的时候，根据它的性质去判定。第一个，在平行四边形基础上加上菱边相等，就可以证明它是菱形。 为什么呢？因为零边相等了，就代表四边都等了，因为它平行四边形对边相等，你看 ab 等于 cd， ad 等于 bc， 对 吧？它等它，它等它。 如果零边都等了，那是不是这两条边相等，四条都等了，对不对？也就四边相等就是菱形了，所以一样的道理啊，那你就记住它，第一点，平行四边形加上菱边相等，可以判定是菱形。第二点， 因为菱形特有的就是对角线相互垂直嘛，所以平行四边形加上对角线相互垂直， a、 c 垂直 b、 d， 那 就可以证明是菱形啊，这是从平行四边形出发。 好，我们再看，如果是普通的四边形，怎么证明是菱形呢？ 他也是有两个判定哈，第一个就是四条边都相等，那么就可以直接证明是菱形啊，四边相等。第二个就是看对角线，对角线相互平分且垂直，那么就是可以证明是菱形了。 其实呢，第四点和第二点是重合的，你看对角线相互平分，不就是平行四片形的性质吗？ 加上对角线相互垂直，对吧？你看也是平，四边形加对角线垂直，那就证明是菱形了啊，所以一定要注意一下二和四的写法，如果有平行四边形，直接加垂直就能证明是菱形了。 但是如果是普通的四边形，那你要加上对角线相互平分，平行四边形有的这个平分的性质，再加上菱形自己有的垂直，那么就可以证明是菱形了。 下列条件中能够判定一个四边形，普通的四边形为菱形的是，好了，我们看就看三四啊，普通的四边形，也就是四条边相等是菱形，或者是对角线相互平分，垂直就是菱形。 好，那我们一一排除啊！ a， 对 角线相互平分的四边形，只有平分呢，只能证明他是平行四边形啊，不是菱形啊，所以不选对角线相互垂直且平分。哎，平分加上菱形的垂直， 就是能够证明他是菱形了，对不对？你看平分且垂直，垂直且平分一样的，所以这个答案选 b。 好，那我们看对角线相等的四边形，对角线相等且平分呢？相等平分，对角线相等是矩形的性质啊，那加上一个平分呢，我们就可以证明他是一个矩形哈，所以 c 选项也不对。 好了，我们再看第一选项，对角线相等且相互平分，平分加对角线相等，相等是矩形的性质啊，所以两个加起来就能够证明矩形了，所以也不对，所以答案选 b。 好，我们借这一个题呢，大姐给大家总结一下前面所学的这些图形的对角线的区分。我们前面有写的是平行四边形，有学了矩形的图形，对吧？还学了菱形的图形。 我们先看第一点，平行四边形的对角线是相互平分，好，记住，平行四边形对角线只有一个平分。 第二点，矩形的对角线相互平分且相等。因为矩形呢，也是特殊的平行四边形，所以呢，它也有平行四边形的平分，加上它自己特有的对角线相等。 第三点就是菱形的对角线相互平分且垂直啊，也是一样哈，因为菱形也是特殊的平行四边形，那他也有平行四边形的平分，加上菱形自己特有的垂直。所以记住这三点，梯形八菱形的面积。 好，我们先来总结一下啊，菱形求面积呢，是有两种方法的， 我们先看第一种，因为菱形的对角线是相互垂直的，所以第一条菱形自己特有的面积公式是二分之一乘以对角线相乘，也就是乘以这个 a、 c， 再乘以这个 b、 d。 好， 这是菱形的面积公式，记得要加上二分之一乘对角线哈。 那么第二种求菱形的面积呢，是利用了菱形是特殊的平行四边形，那我们利用平行四边形的面积公式是， s 等于直接是底乘高， 就找这个四边形的底和高，比如说这个图对吧，它的底就是 ab， 然后过这个顶点做这个 ab 的 垂线垂直，那这一条 d 就是 高，所以直接这个菱形面积是底层高，所以 ab 乘以 d， 一 直接这样子求就行了。底层高是不用加二分之一的啊，因为平行四边形是没有二分之一，只有菱形 用对角线相乘才要乘以二分之一。他说一个中国结是一个菱形， a、 b， c， d 好 测得 b、 d 等于十二，这条长的等于十二， a、 c 对 角线长的等于十六， ef 垂直 ab。 好， 这里有一个直角九十度，他问 ef 的 长是多少？ 好，我们先来看一下这道题的思路哈。首先他给了条件是两条对角线的长，告诉我们，那我们是不是可以通过对角线求这个菱形的面积啊？我们先求一下，菱形的面积等于二分之一乘以两条长的对角线， 一条 b、 d 是 等于十二，一条 a、 c 等于十六，直接套公式一，对吧。好，二六十二，十六乘以六六六，三十六，一六得六九十六，所以菱形的面积是等于九十六的。好，那我们再看 要求 ef 的 边长，刚好这个边长是菱形， ab 边上的高， 哪里出现高了？是不是这一个菱形的面积等于底乘高等于 ab 这条底再乘以 e f 啊，对吧？ 啊，而且这个菱形呢，我们刚刚从这个对角线相乘除以二求出来就等于九十六了。好，现在关键就是我们把 ab 这条边求出来，就能求出 e、 f 了。好，那我们看 ab 怎么求啊？首先 整一条 b、 d 等于十二，那短的这一条呢？就等于六了，对吧？十二的一半，六吗？好了，我们再看 a、 c 整的一条是等于十六，那短的一条就等于八吗？二八十六。好，那我们通过勾股定律，因为 这个菱形的对角线相互垂直，所以这个角是九十度。好，那我们在这个 r t 三角形里面 利用勾股定律，勾股数六八十，对吧？这是六，这是八，所以斜边就是十。哎，那不就 a、 d 等于十了吗？ 好，又，因为菱形的性质，四条边都相等，所以 a、 d 等于十， ab 也等于十，那我们就可以大于这个式子了。 ab， 这是一条底十对吧？乘以 ef 高。不知道 哎，等于这个面积九十六。刚刚求过了面积二分之一对角线相成求的啊。好，那所以 e、 f 呢，就等于九十六除以十了。那我们上下约分约二，下面就是 二五一十九十六除以二啊，二四得八十六，二八十六。所以呢，最后这个答案呢，就等于五分之四十八。 所以这道题呢，就很巧妙的用了菱形的两种表示面积的方法，既可以用二分之一乘以对角线相乘，也可以用直接用平行四边形的面积底层高，把 e、 f 给求出来。 平行。九、菱形的综合运用在矩形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c 的 垂直平分线 e、 f， 也就是 e、 f 是 a、 c 的 垂直平分线哈，垂直且平分 a、 c 地问，求证 a、 e、 c、 f 是 菱形， 证明菱形。我们可以用平行四边形加对角线相互垂直，就可以证出菱形了哈， 我们采用一组对边平行且相等是平行四边形。好，那我们先证哈，因为四边形 a、 b、 c、 d 为矩形，那矩形的话，对边平行，那就有 a、 d 平行 bc， 那我们知道两直线平行，内错角相等啊。你看这两条直线平行，那它的内错角相等， 那就是角 o a、 e 等于角 o、 c、 f 哈，满足内错角， 它的依据是两直线平行，内错角相等。好，又因为 ef 是 a、 c 的 垂直平分线，那垂直平分线既垂直又平分哈，所以呢， o a 等于 o、 c 哈，你看 e、 f 平分 a、 c 嘛。好，那我就可以证这两个三角形全等了哈。在三角形 a、 o、 e 与三角形 c、 o、 f 中，那我们根据角边角 d 角 前面中了 o， a、 e 等于角 c、 o、 f 边 o， a 等于 o、 c。 第三组角呢，就是对顶角相等哈。角 a、 o、 e 等于角 c、 o、 f， 所以 三角形 a、 o、 e 和三角形 c、 o、 f 全等，它的依据是角边角 a、 s、 a 全等，那就有对应边相等哈。所以 a、 e 边等于 c、 f 好。又因为前面正过了 a、 d 平行 bc， 那 也就是 a、 e 平行 c、 f。 哎，不就满足了一组对一边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 所以四边形 a、 e、 c、 f 是 平行四边形好，平行四边形正了。接下来就是正对角线相互垂直，前面正过的 e、 f 是 a、 c 的 垂直平分线 啊，那你就在这里可以再写多一个条件，所以 e、 f 垂直 a、 c 好。又因为对角线 e、 f 垂直 a、 c， 所以 四边形 a、 e、 c、 f 为菱形哈，满足平行四边形加对角线相互垂直的四边形是菱形。第二问，若 a、 b 等于四 bc 整一条边等于八，求菱形 a、 e、 c、 f 的 周长， 那我们知道菱形是四条边都相等哈，那我们设 a、 f 等于 c、 f， 因为四条边相等，这两条设为 x 嘛。 a、 f 等于 c、 f 等于 x， 那 则 b、 f 呢，就等于 整一条减去 x， 对 吧？八减 x 好， 因为四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，矩形的话，那就有直角角 b 等于九十度。 那在直角三角形 a、 b、 f 中，我们就可以用勾股定律了哈，那就是直角边 b、 f 的 平方等于斜边 a、 f 的 平方 好，代数进去就是四的平方，加上八减 x 括号的平方等于斜边 x 的 平方 好，那我们算一下哈，四的平方四是十六，加上这个套用完全平方公式哈， a 减 b 括的平方等于 a 的 平方，那就是八的平方。八八六十四减 二 ab 二乘八乘 x， 那 就二八十六减十六。 x 加上 b 的 平方， x 的 平方等于 x 的 平方。 好，两边 x 方抵消掉负的移过去，变正的变成正六。 x 等于这两个加起来十六加六十四，那就等于这两个加起来十六加六十四，等于这两个加起来变除八十除以十六。 好，我们三五哈，五六三十一五得五加三八十，哎，刚好可以除掉，所以 x 等于五 好。最后我们就可以求菱形的周长了哈，因为菱形四条边相等，一条边 x 等于五，那四条边就四乘以五等于二十，周长为二十。做完了 题型时，下列说法正确的是，一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。这个是要判定平行四边形 选项 a， 他 说的是一组对边相等，一组对角相等，能够判定是平行四边形。这个很明显是错的啊，因为我们判定平行四边形用的比较多，是这一个判定一组对边平行且相等的四边形。 四平行四边形。所以呢，这一道题怎么改了？应该改成是一组对边平行且相等，一组对边相等且平行加上且平行，那这句话才对哈，所以 a 不 选好，我们再看 b， 两条对角线相等的四边形是矩形。虽然说矩形的对角线是相等，但是呢，矩形呢，是要在平行四边形的基础上，再加上 对角线相等，才能构成是矩形。这道题呢，错就错在这个四边形应该加上平行四边形，对吧？对角线相等加平行四边形就构成矩形了，或者是 只用对角线去判定，也可以把这个平行四边形换成对角线，相互平分且相等，就构成矩形。好，这里只有相等就不对，你可以再加多一个平分，就可以构成是矩形了啊，所以 b 也是不对的。好，那我们再看 c 选项，四条边都相等的四边形是正方形，肯定错，四条边等了，是菱形的性质啊，四边相等的普通四边形是菱形，所以 c 也是错的。好，那我们看第一选项。哎，不就刚刚 c 讲过吗，四条边相等的 四边形是菱形对吧？因为菱形刚好就是四边相等的性质，所以答案呢，就选 d。 记得点赞关注哦！

八下数学最难的八大最值技巧，全部练会考试逆袭前三八个平行四边形中求最值技巧！技巧一，做对称点将军引马问题 三，确定轨迹例题 五，旋转构造拳等肺麻点问题七，构造手拉手拳等完整版分享！

八下数学最难的十五大几何模型全部吃透，逆袭班级前三八年级下册数学几何模型汇总，一、平行线加角平分线二、平行线加中点三、斜边上的中线模型四、绊脚模型 六、含六十度的菱形七、中点四边形模型八、十字架模型十、正方形对角线模型十二、一线三等角模型十三、手拉手模型十四、对角互补模型十五、鸡爪模型共十五大模型完整版分享！

大家好，我是孙马超越老师，初二下同学反映一次函数和我们的几何综合压轴题，基本上很难做的出来，那大家会发现，我们所有的压轴题，从初二下往后，很多题型都是有固定的技巧和方法的，你只有先学会技巧才有可能做的出来。那么今天马尔送给大家一个福利， 给大家讲一讲我们一次函数中的等腰三角形存在性问题，这个题只要考到了，绝对就是最后一道题，一起来看，给了我一个一次函数 a 坐标是零斗三， b 坐标是一斗零。 我的诉求是在平面里面找一个点 c， 让三角形 a、 b， c 为等腰三角形 c 在 坐标轴上。好单纯的几何问题，我们在初二上学过一条线段 a、 b 找一个点 c， 让 a、 b， c 为等腰三角形，显然是两圆一线， 对吧？分别以 a 为圆心， a、 b 长为半径去画圆，因为圆的半径都会相等，两圆当中我们的已知边 ab 都是作为腰出现的，所以整个题就能够突破了。 分别以 a 为圆心， a、 b 长为半径去画圆。大家注意到，这里不需要画整个圆，因为咱们的 c 是 有位置要求的，要在坐标轴上面，因此来感受，一下子想象有个中摆 光摆，一下子找这个圆和坐标轴交点就可以了。哎，这里又有一个，再往上扬，这里又会有一个，因此它就是 c 一， 它就是 c 二，它就是 c 三， ok 吧，好，两元一线当中，我们的两元一定要利用边长相等 ab 长为根号十， 那咱们的 a、 c 一 长将也会为多少根号十，为什么圆的半径都相等？那么第一个要求 c 一 就出现了 a， c 一 是半径， o， a 长为三，那 o c 一 长就应该是根号十减去三，那坐标呢？别整反了，应该是零到三减根号十 啊，因为在 y 轴的负半轴坐标为负的好， c 二没有比它更好，求得的显然和 b 是 对称的， b 坐标是一斗零，那我们的 c 二坐标应该就是负一斗零，同理，我们的 c 三也是利用半径。注意啊，两圆都是利用半径， 半径为根号十，那它也为根号十， o a 长为三，因此我们的 c 三坐标就应该是零斗，根号十加三 啊，非常轻松，八个解，出现了三个，那么这样一来，大家应该就会了用老马教你们的技巧。第二个，以 b 为圆心，以 b a 长为半径去画圆， 小钟摆摆起来端，哎，马儿，这个叫单独配音定画弧。这里又有一个哈，这里又有一个来，他是 c 四，他是 c 五，他是 c 六，来吧，非常容易。 这个是根号十，那这个也是根号十，这里长是一，因此我们的 c 四坐标应该就是根号十加一。逗点， c 五都不用求对称的， a 四零到三， c 五一定就是零到负三好， c 六怎么求呢？一模一样， 半径为根号十，它也为根号十。 ob 长是一， o c 六就应该是根号十减去一，那坐标呢？应该就是一减根号十。逗点， 因为它在 x 轴的负半轴。到这里八个解，我们解完了六个，剩最后一个，我们应该如何分析好？两元当中，我们的 ab 都是作为腰出现的， 那我们的 ab 除了可以作为腰，还可以作为底，当 ab 为底以后， abc 是 一个等腰三角形，我就得保证 ca 等于 cb， 那 ca 如果等于 cb， c 就 在 ab 的 中垂线找焦点，它就是 c 七，它就是 c 八， 那这样一来，看见中垂线补全小屋顶很土很有用， c 七要和顶点 ab 相连接， c 七 a 连接， c 七， b 也连接，那这样一来，利用我们的中垂线的性质，就是 c 七， a 等于 c c b， 我 们需要求的是 c c 坐标，那我要把它设为零斗 t 方程思想，所以借助 t 来表示 c c a 贼容易，这里是三，这里是 t， 那 它就是三。减去 t， c c b 怎么求？这里是 t， 这里是一勾股定律，根号一下， t 方加一， 朋友们，你看容不容易啊？老师，这方法我不会解，学一次你就会有根号，没有根号两边同时取平方，所以 t 方减六， t 加九，等于 t 方加一，干掉 t 就 等于三分之八，二三分之四 啊，六分之八，没错，所以我们的 c 七坐标应该就是零到三分之四。那么利用同样的原理， c 八， a 等于 c 八 b 求出来满足要求的 c 八。所以只有学会了这个方法，你才能够应对等腰三角形的存在性问题。如果没有掌握这个方法，八种答案你肯定写不对，而且整个图会把你会被你画的特别特别的繁琐。针对这样的一道题，同学们，你学会了吗？

这个视频是给我们八年级下数学考不及格的孩子们讲的，然后你们只要把定理定义背熟了，按照我这个方法，所有大题基本都可以去解，来吧。 好，今天咱们就来手把手的教一下八年级的几何大题该如何去做，这个空着是零分，是一点都不应该的啊。这种题的话，其实套路的话很严重，咱们只要把它研究透了，这种题真的是非常轻松的啊。 咱们来说这种题型的话，一般都分为两问，那么第一问，百分之九十五的概率是正，什么是正？平行四边形？一旦你把这个图中的这个平行四边形给正出来， 那么这道题大概率就是加五分不成问题。然后第二问，一般是什么情况？第二问，一般是把这个平行四边形转化为菱形，转化为矩形，转化为正方形，对吧？然后或者是有，如果有直角的话，他就有勾股定律，对吧？所以这种题的话 本质就是这么简单，第一问，正平四边形，第二问，把这个平行四边形，对吧？有一组邻边相等的就是菱形了，对不对？然后看到九十度，咱们就用勾股原理，有什么难吗？不难，就是你把这个本质看清楚，咱们这种题一点都不难，就轻松搞定。 来，咱们读题，四边形 a、 b、 c， d， d， e 等于 a、 d， 然后 d、 f 等于 c、 d。 好， 这个，然后他说的这个第一问，求证四边形 a、 c、 e、 f 是 菱形。好了，看到菱形大家就慌了吧，我刚才说什么？第一问，永远是正平行四边形， 所以你们看着这个菱形不要慌，你们记着菱形定义吧，稍微你但凡记一点菱形定义这种题都不都都能轻松搞定。 菱形定义什么？有一组菱边相等的平行四边形是菱形，所以 我们的本质是不是先给他拆分成什么？拆分成一个是菱边相等，对吧？菱边相等，然后第二个是什么？第二个是我们的平行四边形，就你给他拆分完之后，这个题就比较轻松了，第一个是菱边相等，第二是平行四边形，所以我们的现学条件是他一定底是平行四边形， 所以我们说过啊，百分之九十五的题目都是正平行四边形，就是这么来的。那么咱们来看这个图中，如果你连平行四边形定义都不会的话，就是我脑海里吗？全是蒙的状态，该怎么办？ 正平这个平行四边形，他永远都是这五条定律，那么这五条定律其实你们把它这个理论上，你们只要但凡找到两条能相等的关系， 我们就能说明他是平行四边形了。咱们来看第一条说的是什么？两组对边分别平行的四边形，那么是什么？那就是平行加平行。第二条，什么两组对边分别相等，那就是相等加相等，看见没？每一个定律他都是两条，两条 看到了吗？然后第三问，两组对角，那这个是什么相等？这是两个相等，那这个是什么？ 角？角等角等，那上面这个是什么？边等边等。第四个什么？对角线互相平分，也就是说白了互相平分什么意思？就是对角线分别相等吗？所以这个是什么相等？相等，对吧？也对角线， 那第四个什么？一组对边平行且相等，那什么意思？又平行又相等，看到了吗？两条。所以如果你脑海里面一点都不会的话，那你们读题的时候能不能找到这个其中的两条？ 但凡找到平行，对吧？你看啊，但凡找到平行，找到相等，对吧？你找到这个两组对角相等，两组这个对角线相等，这两个是特殊的。然后一般情况下，百分之八十的题目就找平行和相等，就是两个边平行两个 角，两个边平行，两个边相等，或者是一组对边平行且相等，对吧？百分之八十。然后这两个用的比较少，而且这种题用这个的少，虽然是少，但是他这个也是一目了然的。就你一看这个题，题目中只要给这种情况下的这个是一目了然的。 那么咱们再来看这道题，想要正，他是一个平行四边形，那么你看 正他和他是要平行，正他和他要平行，那么整个这个题目中根本就没有给任何一个平行的条件，对不对？压根没给，所以这个第一个我就给你打个叉。所以在考试的时候，如果那些 这个平行四边形你一脸懵的话，你把这五条判定定律抄到你的草稿纸上，然后按照我这个方法 打叉，还不会吗？第二个两组对边分别相等，那就是这个边和这个边相等，这个边和这个边相等，你拿肉眼一看，对吧？这个题目中也没有啊，整个条件中也没有任何一个这个，所以第二个我也打叉 完。第三个，两组对角分别相等，那这更别提了，我刚才只给了一个句型，句型，句型，句型，对吧？没有给任何的其他角，所以第三问我也打叉，然后第四问对角线互相平分的四边形，那么看这个四边形在这，对吧？然后咱们通过已知条件看到了吗？这个 d， e 等于 a， d， 然后 d， f 等于 c、 g， 那 么你看这个就是对角线互相平分，所以这个挑勾看明白了吧？你就这样的一个一个舍的话，你也能证出它是平行四边形，所以说第一问你一定要证它平行四边形，真的是非常容易的一件事，对吧？然后 咱们把这个菱形的这个写完了吧？这个平行四边形，所以这怎么写？因为 d， e 等于 a， d， 然后再写一个什么 d， f 等于 c， d， 然后就可以写什么，所以这个就就平行四边形就出来了，知道吗？ a， c， e、 f， 我 写的比较简略啊，所以它就是平，然后你们就对着这个答案写就行了。 那么你看如果你只写完这一步的话，平行四边正完的话，这个就能大概加两分左右了，对不对？因为你正完它是平行四边形了，那么咱们来看菱形该怎么正？菱形该怎么正？这个你好歹应该会一点点定律吧？就这个菱形的定定律， 定律，但凡你会一点的话，你背下来一点的话，这种题都能做出来，因为你现在已经证明他是平四边形了，那么我们再需要证什么？证菱边相等，或者再证别的，你们来看一下菱形该如何证？菱形的判定看到了吗？这有这两个 看到，这就你稍微记一下，我们都能给他这个做出来这个一个是什么？对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 看到了没有？但凡你把这个题记下来就行，你看刚才我们是不是正完，它是平行四边形了，所以现在我们已经有了一个条件，叫做平行四边形 a、 c、 e、 f， 看到了吗？然后咱们再来看这里面有一个句型，句型的话，这个里面你看有一组邻边相等的这个，那邻边的话我们找不着这两个邻边，这四个邻边我都没有找着，所以第一个条件我们给他 pass 掉，对吧？直接给叉叉，然后第二个 对角线互相垂直平分，那当你读到这个条件的话，那是不是我们就要从图中找这个垂直了？那这个图中有没有垂直？这有垂直，那这个垂直怎么来的？因为这是一个矩形，所以第二问我写什么？因为是矩形，对吧？矩形 a、 b、 c、 d， 然后所以得到什么？所以得到角一，就这个点，我写个角一吧， 然后你就可以写什么角一，你就把这个角写个角一，对吧？所以角一等于九十度，然后所以 那个这几个又是菱形、四边形，所以你就写这个菱形四边形 a、 c、 e、 f 是 菱形就可以了。四边形 a、 c、 e、 f 是 菱形，能看懂吗？这个条件怎么来的？ 我，哎，我把这挑个勾看到了吗？就是你一点都不会的话，你把这个定义抄到旁边，然后通过这个定义，你挨个去筛选一遍，这个题的第一问都能给他读出来，因为第一问真的是一点都不难，你就把这个定义但凡记住了，然后挨个筛选一遍， 都能给它找出来。所以这个题是不是很简单？第一个平行四边形正完了，第二个，然后对角线是不是互相垂直了，所以又垂直又平行？四边形，好，这道题就成形了，简单吧，第一问真的是很容易，那么咱们来读第二本，第二本四边形， a c e f 的 周长是这个菱形啊，菱形的话是什么？本质是四条边相等，对不对？所以它一条边是根号五，这个能懂吧？这个我相信就是 再差的学生，他也应该能明白，这个周长四四倍根号五，他每个边都是根号五，对吧？然后 c f 等于二， c f 等于二。刚这个地方不是有说了吗？他是对角线，所以他每个单边是一对吧，我就给你标到图中。好，那么求 b e 的 长 好，当你读完这个条件的时候，他现在是不是求一个非常靠不靠边的一个东西？然后你们记住一句话，这个我上课已经反复强调了， 凡是求斜边，八年级要求斜边用什么？用勾股定律？凡是求斜边，用勾股定律，这句话能记下来吗？ 凡是求斜边，用勾股定律，那这个很明显， b e 是 斜边， b e 是 斜边，那么求斜边用勾股定律，那这个是斜边的话，那么它在哪个三角形当中？咱们要找出这个直角三角形， 那么 b e 作为边的直角三角形能找着吗？首先下面这个三角形肯定不能用，对不对？下面这三角形它不是直角啊，那么再往上找是什么？ r t 三角形， a b e， 能看明白我的逻辑是怎么来的吗？ r t 三角形， a b e， 那 这个三角形为什么是直角三角形？因为这个角是直角啊，这个是矩形啊，对不对？好，那这样的话，我们是不是一下就感觉出来了？只要我们知道什么 b e 方 等于 a， b 方加个 a e 方看得非常清楚，明白吧？所以 a b 等于谁？这不是等于一吗？这不是矩形吗？所以 a b 一 眼可见就得一，这个我相信应该不用再怎么细说吧。你看， 因为这个地方 cf 等于一，通过这个 cf 我 已经应该还有通过这个地方，我已经直接就可以把这个地方都改成一了，那么 a 这个等于一的话，那矩形这个边，所以这个边肯定也等于一，然后 a 一 方， a 一 方是这个， 那这个边该怎么求？你看这个角是直角，这个根号五，这个是一，所以这个边是不是用 这个五减去一等于四，然后再开根号得二，看明白这个怎么来的吗？我写细点就是这个 a d 方应该等于 a f 方，加上那个减去一个 f d 方，那现在如此来看的话，不就是五减一等于四吗？所以 a d 等于二，那 a d 如果等于二的话，那 a e 是 不是就等于四 四的平方？所以最后等于的是根号十七，这个是十七吧，先写个十七， 所以 a 一 b 一 等于根号十七，能看明白这个全部逻辑了吗？我怕的是什么？就如果你但凡定律定义不熟的话，你看 就这种东西你就标不出来，就我说的意思是什么？我担心的就是这个周长是四倍，根号五，那你这个肉眼可见的是每的每个都是根号五啊。然后 cf 等于二，那整个这个等于二，你肉眼可见的是这个等于一，这个等于一， 然后这个是一个矩形，你肉眼可见的是这边等于一，我怕的什么？就你们这个定律定义不清楚，然后连这个都分不清楚该怎么去做，然后这个题就 不太好说了，所以你们先把第一问给搞会，那么咱们再做一道练习题啊，我就随便说一下，再做一道练习题，然后你们看会不会。我刚才说过，第一问百分之九十的概率都是去正，这个是平行四边形，那么咱们来图题 第一个这道题是平行四边形， a、 b、 c、 d 是 这么一个平行四边形，然后 e、 f 分 别是 a、 b、 c、 d 中点，这是中点，这是中点，然后过 a 做 a、 j 平行于 b、 d， 这俩是平行啊。好，那咱们读完题了， d、 e 平行 b、 f， 好， 这两个边我跟你们说过百分之九十五，所以看到这个两个边，我们第一个条件反应，想要什么想到正，正，什么正平四边形啊，所以这个条件就变成什么正、 d、 e、 b、 f 是 一个平行四边形，那么如何去正？那咱们就来根据图中这个条件，咱们去找嘛，你们把这五个条件写旁边，然后挨个去找一下不就行了吗？来，咱们读一下题，这个判前定例一共有五个，对不对？这有五个判前定例，咱们来读，首先 通过题目当中咱们找一下 a、 j 平行四边形， a、 b、 c、 a、 b、 c、 d。 好， 这个里面就有五个条件，那咱们把这五个条件分别摞在旁边，那该怎么罗列呢？这个地方咱们看一下上面这个平行四边形的性质，看到了吗？两组对边分别平行相等，那咱们就找一下吧， 咱们把这个描一下，没问题吧？来，我给你们描一下，咱们想要正这个是平行四边形，然后我们再来挨个去给你们分析该如何去找。 好，我把这个平行四边画这了，然后大的平行四边形，刚才说了是我们已知条件只有一个大的平行四边形，那我们来读， 那如果大的平行四边形当中，我们来说啊，两组对边分别平行相等，咱们挨个去找，那么这组对边分别平行相等是不是没有用？用不上，所以那这组对边平行和相等应该能用上吧？因为你看这组对边又平行又相等，那是不是这组对边就可以用上了？所以我们如果这个平行四边形 我们能用的是什么？能用到 c、 d 等于 ab， 就 跟它重叠的部分，咱们找出来 c、 d 等于 ab 是 一个，然后还有一个什么 c、 d 平行 ab， 这是我能用上的，我都给你写出来，看到了吧？这第一个我用完了，两组对角分别相等，两组对角，一个是这个角，一个是这个角，这个角两组对角分别相等，好像用不上，所以这个我打个叉 啊。第三个平行四边形的对角线，这道题很明显没有对角线，只有一个对角线，所以这个大概率应该是打个叉，然后对角线交点的任意一条平行四边形 面积相等的两部分，这个我觉得没有用，因为我们不求面积。好了，那么读完之后是不是只有这第一个条件，然后我把这个反着了，那么我们来看，现在我们已经把这个题目这个条件已经拆解成这个条件了，那么我们来看这个平行四边形 d、 e、 b、 f 该如何去正？ 这里面有一个了，有一个条件了，第一个条件是什么？第一个条件是 d c d 平行，也就是说 d f 平行于 ab。 看到这个条件了吗？已经有一个条件了，那么我们还缺少一个条件去正，它是平行四边形，那么我们这个往往下就可以顺着往下读了啊，然后我把这个上面这个对叉叉，然后咱们再往下读。第二个逻辑，咱们挨个去分析 好，第二个是判定定理逻辑，那么咱们来看啊，已知条件中我们是不是只有 df 平行 ab， 所以 这个对角线我先删，删掉，然后这个对角对角也删掉，然后一组对边平行，现在我们还剩什么？还剩一个两组对边分别相等，对吧？ 一个是这个条件，一个是这个条件，两组对边分别平行。好，那咱们来说这个是不是也可以删掉两组对边分别平行？因为我们想 我们这个目的不是要证 d e 平行 b f 吗？如果这个是已知条件的话，那么这道题是不就不用做了，就不用去证它是平行四边形了，所以第一个条件也可以删掉，能理解的意思吗？你看 d e b f 是 一个平行四边形，那我们这个要证证这个东西，那所以这个第一问是跟它矛盾的，所以我们直接删掉了。那么是不是现在还剩两个了？一和二， 那么两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是那一组对边平行，两组对边 分别相等，那 d e 和 b f 相等。这个好像我也是从已知条件中找不到，所以这个也删掉了，那么现在只有 v e 结， v e 结什么？必须要找到 d f 等于 ab， 那么唯一解怎么该找这个题？再读题，这 e、 f、 c、 d 分 别是终点，那这个是终点的话，能说明什么？说明 c、 d 和 ab 可以 拆分成什么？终点的话，是不是四条边相等这个边， 也就是这条边等于这条边，等于这条边等于这条边。好，那由此我们就得出这个结论了，通过 c、 d 等于 ab， 加上终点得到这个 d， f 等于 ab， 所以 这个是平行四边形 d e、 b、 f， 那 么再缩一 d e 就 平行 b、 f 了，看到没有？这个逻辑的过程是这样的，就是你通过这个筛选法，你也能筛出来，就笨，犯法嘛，最笨的，然后你这样慢慢练，总是能练出来的。 好，第二问，角 j 等于九十度，看到了吗？给了一个九十度了，那九十度的话，四边形 d a、 j、 b， 那 这个肯定是矩形了，对不对？那咱们如何去正？咱们来读题，这里面有一个纯天然条件， a、 j 平行 b、 d。 好 了， a、 j 是 这条边，我给你们描一下，描红 a、 j 是 这条边， b、 d 是 这条边。好，第二问，你们记着知识点，第二问，永远用到第一问的这个结论，对吧？然后咱们来读题，这个第一问，我们看看啊，第一问的话，这个结论应该在这个条用不着，因为这里面有个这个 角 j 是 九，等于九十度四边形，这个是矩形，那么我们又来了关系，非常重要的关系， 关键点，想要正矩形的话，是不是我们有一个条件是什么？一，有一个角是九十度的平行四边形，所以平行四边形必须我们又要正什么平行四边形了？平行四边形 a j b d， 那 这个平四边形该怎么正？这里面有一个平行了，那么我们大概率啊，你们看对角线删了对吧？对角删了对不对？那现在是不是又是这三个条件里面找了？ 那么我们现在已经有一个平行了，那么我们两组对边这个是不是删了？因为我们是有平行，所以现在你看就剩这两个定力了，从这两个里面定力找吗？这两个定力里面我们先读第一个，两组对边分别平行四边行，那好，这组对边是平行，那么这组对边和这组对边平行吗？ 平行啊，这个肉眼可见的平行，为什么？因为这呢？平行四边形 abcd， 所以 这个边和这个边是平行的。 所以这道题用的是第一个定律，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以这个是怎么证的呢？是通过 a d 平行 b j 第一个条件，第二个条件是 a j 平行 b d。 看明白我们这个过程了吗？我们想要正他是平行四边形，通过题目中我已经已知了一个条件，所以我这个三个条件我就直接删掉了。那么只剩从这个一二这里面选了吗？一二这里面选的我们来读吗？ 这个是两组对边，那我就看这两组对边平不平行，发现平行了，所以这个选这个。那这道题是不是就证明它是平行四边形了？那它是平行四边形的话，那是不是还有个角是九十度，有一个角是九十度的平行四边形就是矩形了，所以这个难吗？不难，就这样 挨个这么筛选，他都能给筛选出来，这个多笨的办法呀？然后再往下四边形 d、 e、 b、 f 是 什么？四边形？ 好，这里面他给的是什么？给的是这个是矩形了，他给这个是矩形了。那既然给他是矩形的话，那么我们如何去正这个四边形 d、 e、 b、 f 是 菱形呢？ 因为上面已经告诉你这个东西是一个平行四边形了，那么再往下正的话，只能正他是这个菱形，对吧？那么咱们看他已经是平行四边形了，那么我们来读题，菱形的话怎么正？因为 我们再往下倒这个定义，然后挨个看定义菱形的判定方法就这样的，有一组邻边相等的平行四边形，邻边是什么？是不是这个边和这个边，或者反正是四个边吗？我们找一个边就行。然后还有什么对角线互相垂直，这里面没有对角线，所以这个删掉，然后四边形 四边相等，四个边都相等。好，现在我们只有一和二这两个条件，因为我直接删了这个，第一个这个对角线的这个条件对不对？然后我们来看 这个已经是句型了，那么矩形里面有一个纯天然的条件是什么？就是矩形，咱们来读矩形条件，矩形里面有一个纯天然的条件， 正常来说的话，你们读熟的话，其实就不需不需要看矩形条件了，矩形里面比平四边形多了一个条件是这个，再看性质啊， 对，两条对角线互相平分且相等，四个角都是九十度啊，四个角都是九十度，我们用不到，因为我们想要正这个是菱形嘛？用不到。 然后第二个两条对角线互相平分相等，那就是这个边等于这个边等于这个边。哎，你看我们通过读这个矩形的性质，然后这个用不到，我们删了刚读的第二条，我们就发现用到了。你看 对角线互相平分且相等，那是不是就整个这这些对角线全平分又相等啊？所以我们就得到了一个什么重要结论，重要结论就是为什么这个 e 是 对角线，这不是写的吗？ e 是 终点啊， 所以你看见了吗？邻边相等 d e 等于 be， 又因为什么平行四边形 d， e、 b、 f， 所以 通过这两个条件就推出了 d， e、 b、 f 是菱形啊，你这应该这么写，四边形 d， e、 b、 f 是 菱形。好了，这个是不是非常轻松？通过我们的筛选法，但凡你们记住这个定义，然后你们通过我这个挑勾打叉，然后这样筛选它也能写出来。笨办法，等你慢慢熟练了之后，这种笨办法才不用了，知道吧？ 然后再往下，当 a d 与 b d 满足什么条件时，它是正方形。好，那在这里面又重要结论了，咱们来看一下正方形的定义，你就挨个去翻定义就行了。正方形如何去判定？这个里边写的是不是也非常清晰？这个地方 因为我们现在已经说明它是矩形了，所以我们从矩形这个条件里面找能理解的意思吧。因为我们在这 这个地方已经说明它是矩形了，那么我们想要变，让它变成矩形，那么是不是从矩形这里面找条件？好，有一组邻边相等的矩形， 对角线互相垂直的矩形。好了，那么通过这两个条件，我们直接是不是把这个删掉了，因为这个图中是没有对角线的，所以我们只能说什么有一组邻边相等。好，那么这个定义通过这个我们筛选也知道了定义该用哪道题了，所以当它俩 a d 等于 b d 的 时候，那么它就是正方形，为什么这定义不写的一清二楚吗？这个定义有一组邻边相等的矩形，你看这不邻边正好相等吗？ a d b d 不 就是邻边吗？ 把它一相等，然后就搞定了，你说这题难吗？通过我们这么笨这么笨的方法都能写出来，所以你们一定是能写出来的，前提条件是你们要把定的定义背下来。 ok， 这就是给你们讲完的两道题，然后你们照此方法继续练习。

哎，王老师，嗯，为嘛这难题学完方法还是做不对呢？几年级做不对，初二了，太好了啊啊，不，这个就是现在明白都来得及，有的孩子都快中考了才开始学二十五题的第三问，除非啊你别的科都满分了， 不然我是不赞成的。为嘛呢？难题的学习过程特别像蜘蛛结网，核心就四个字，骨架和加密。骨架呢，就是你的知识结构，从初一到初三，各个知识板块都要扎实， 加密呢，就得刷题，作用就是加强各知识板块之间的联系，联系越紧密，你的知识网就越结实，这个积累的过程是需要大量实践的，网的骨架不结实，或者说呢，密度不够 都会影响得分率，尤其是初二的孩子，要想中考高分八下的知识骨架一定要扎实，再有几何综合压轴题也要刷的密实。 八下期末的压轴题就是中考二十四和十七这两道关键题的雏形。哎，王老师，这些题哪有啊？哦，我整理了八下期末压轴题的会编，还有各区的期末试卷，需要的领一份给孩子练练。

八下数学最难的八大几何最值全部吃透，考试稳进前三，平行四边形八大最值问题一，将军一骂问题二，梯子模型去写遍终点 三，确定轨迹四，胡不归问题五，废码点问题 七，构造手拉手圈等完整电子版领取！

八下数学最难的压轴大题，就这八道，从现在开始练起来，吃透了，期末考试就稳了！一、利用一次函数的图像，求一元一次不等式的解集问题。二、一线三、垂直模型 三、解一元一次不等式组。四、利用平移性质解决周长面积问题。五、旋转中常见的几何模型六、因式分解七、分式与分式方程八、平行四边形的性质与判定。 那孩子自己不会练，家长又不会教的，咱们可以直接用这套能把压轴题变简单的名校培优。 他呢，包含了八下数学能考到的所有压轴题，你比如说像因式分解，他考察的是多个方法的综合运用，很多孩子呢，一看题就蒙了， 而他呢，可以把答题方法、答题步骤以及涉及到的辨识训练、变形题都在书里边标注的清清楚楚，一步步的教孩子踩准得分点。 关键是啊，每道题都配备了视频讲解，这可是名师一对一的细致剖析，遇到疑难随时听课梳理，把考点和题型方法提前吃透，那上了考场就像回家一样熟悉。另外呢，还新增了单元卷和期中期末卷， 让孩子提前的适应考试强度，利用好这套卷子，期末考试就是小菜一碟，家有初二生的抓紧安排上吧！

八下数学期末重点公式加考点全部吃痛，稳居班级前三，决胜八下数学期末关键在于掌握三大核心模块，本资料系统梳理了一、二次根式定义三大公式最简条件运算。二、 勾股定律定律与逆定律常用勾股数举例公式五大高频考点三、四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质判定与面积公式目标明确，帮你高效构建完整的几何与代数知识体系。需要的评论区扣一百三十九。

你想数学成绩好吗？请关注、点赞、转发！我们看八年级数学下册课本一百七十七页。这样的第一十四题，以至于图在这里啊， 在四边形 a、 b、 c、 d、 e 垂直 a、 c、 d、 e 垂直 a、 c。 啊，第一个告诉这里是垂直的直角 b、 f、 b、 f 在 这啊，这里垂直，当然这个角 b、 f、 c 也是直角啊，它这个直角符号画这边的垂足是 ef， d， e 等于 b， f， d， e 等于 b， f， 角 a、 d， b 在 哪里呢？角 a、 d， b 等于角 c、 b、 d， 哟，这里角等于这里的角， 确定四平行， a、 b、 c、 d 是 平行四平行， 现在告诉了这个角等于角 c、 b、 d， 那 么要得到这个是平行四边形呢，我们就要想想平行四边的判定方法。第一个定义 啊，有两组这边分别平行的，然后有两组这边分别相等的，一组这边平行且相等的对角线互相平分的。这样的四边形呢，我们说它是平行四边形， 好，那么现在我们在这里来看呢，一直就一个垂直啊，有一个相等，呃，那么一垂直呢，我们说就得到可以这个角 d、 a 和角 b、 f、 c 都是直角，这个现在我们来看呢，我们能不能得到这个， 哎，我们就来看这两边的三角形，这两个三角形能不能全等啊？有一组这边是对应墙的呢，有个直角对应墙呢，我们再来找，哎，这个角是这样直线平行，然后我们得到这个角等于这个角， 那么这样呢，我们根据角角 b 两个三角形切等了，那么这个 a、 d 跟 b、 c 呢，就又平行又相等了，这样呢，我们就可以把它正出来，对吧？那么这个证明我们可以从哪开始呢？嗯，因为角 a、 d、 b 等于角 c、 b、 d， 角 a、 d、 b 的 角 c、 b、 d， 所以 这个 a、 d 是 平行 bc 的， 那么两直线平行对，比如我们写个角一，这个写个角二，所以角一等于角二，又因为这个垂直，由于时间的关系，我们抄完啊。垂直，所以角 d、 e， a 等于角 b、 f、 c 等于九十度。那么在三角形 a、 d、 e 于三角形 c、 b、 f 中，哎，那我们可以怎么写呢？我们可以根据角一等于角二， 对吧？然后这个角 d， a 等于角 b、 f、 c， 然后呢，这个 d、 e 等于 b、 f， 所以这两个三角形全等，对吧？这里又是 a、 a、 s 啊，有时间有的没写完啊，所以三，哎，这两三千等之后，所以这个 a、 d 啊，就等于这个 c、 b 了 啊，那就是刚才前面有了 a、 d 平行记， a、 d 平行且等于 c、 b， 所以 四边形，这个 a、 b、 c、 d， 那 就是平行四边形啊，有时间没写完啊，主要的给大家留意一下，我们看到第十五题， 如图 d、 e 是 三角形 abc 的 中位线 d、 e 在 哪里呢？就是 d， e 是 ab 的 中点， e 是 ac 的 中点，对吧？嗯，中位线呢，就是两边中点的平行线。哦，这里 ab 平行，这个 f、 g 啊，这里一个中位线有个平行线，这里还有过 a 做 bc 的 平行线，那意思说是 a 做 bc 的 平行线。利用这个图来证明 d、 e 平行，切，等 bc 的 一半 啊，要利用这个图形来证明，现在我们不能说这个 d、 e 平行于 b、 c 的 半，我们最后内部才能是有这个结果啊。那我们看从哪里看起呢？这个 d、 e 啊， d、 e 等于什么呢？ 我们看到这个 a、 b、 f、 g， 我 们得到它可以说是平行四边形，由于这个 a b 是 平行于这个 f g 的， 对吧？这里平行 a g 是 平行于这个 b c 的， 那我们就可以得到平行四边形 a b f g 这个平行四边形，我们就可以得到这个 a g 跟 b f 啊， a g 跟 b f 是 相等的，那我们就可以得到 a g 等于 b f， 那 么等一会呢，我们来证明这两个三角形呢，这个 a g 呢，就等于 f c， 对 吧？然后这个 b f 就 等于 f c 啊，我们我们再来找什么呢？哎呀，看来这题有点难做啊，有点难写， 嗯，我们除了这个，刚才我们说这个两组这列分别平行是已知的啊，题目上已知这列平行，这列平行，所以这个 a d 呢，也是等于 f g 的 a b 的 f g 好， 那么由于这个 a g 是 平行 f c 的， 所以这个角一等于这个角 c， 对 吧？这个对零角，角三等于角四，所以我们很显然可以证明三角形 a e g 减等于三角形 c e f。 理由呢，我们可以用 a s a， 因为这个 e 呢是 a c 的 中点， a e 等于 c e， 对 吧？两只选平行内角角的角 e 等于角 c， 这一点角相等，角三等于角四，所以两个三角相切之后呢，我们就有了 a g 等于 c f， a g 等于 c f 啊，还有叫做 e g 等于 f e f e g 等于 e f， 那么刚才有 a g 等于 b f， 现在 a g 等于 c f， 所以 这个 b f 是 等于 f c 的， b f 等于 a g， 对 吧？等于 f c 就是 b f， 现在我们就来证明这个 d e 跟 b f 是 又平行相等的就可以了。要证明这两个平行相等的，我们从哪里来呢？ 我们看到我们因为 d 为 ab 中点，对吧？所以这个 d b 啊，是等于二分之一 ab， 而这个 ab 呢，是等于 f 积一，所以二分之一等于二分之一 f 积一。刚才 e f 等于 e g， 所以 二分之一 f 积一就可以等于 ef 啊，并且那个由 ab 平行于 f 积一，我们可以得到这个 b d 平行于 ef， 对吧？这样我们就可以，所以，所以得到这个四边形叫做 d b f e 为平行四边形，那么这样我们就得到这个 d e 呢，是平行且等于 b f d e 平行且等于 b f， 对 吧？ b f 刚才就等于这个，这个什么呢？ 这个 b f 的 b f 的 f c， 刚才这里有，对吧？所以这个 b f 的是二分之一 b c， 所以 这个 d e 平行切的是二分之一 b c， 好， 这样呢，我们就把它做完了，由于时间呢，刚才这个过程呢，还有的理的不是十分好，嗯，大家最好自己重新的去写一遍，记得点赞关注哦。

这种一次函数和几何综合的大题，一定会在我们八下期末出一道压轴题，那这种题目他解析的方法非常固定，今天啊，依依老师就教大家三步法，轻松搞定这类题目的答案。 那有关于一次函数的综合大题啊，我们常见一共有十大类题型，老师都给大家总结出来了，而且每一类题型它的方法都非常固定， 所以我们现在学题不应该是单单的刷题了，而是应该养成题目题型化的思维，逐个突破，你后面在考试当中遇见这类题目，才能举一反三好不好？下面咱们就来一起看看这道题。 说已知函数，它的图像与 y 轴交于 a 点，这是 y 等于 x 加一啊，那 a 点不就是零一了，对不对？这就是零负一了。好了，依次函数 y 等于 k， x 加 b 过点， b 零负一，哦，这是零负一呗。标图 与 x 轴以及 y 等于 x 加一的图像哦，交于 c 和 d 两点。好了，现在说 d 点的坐标告诉你了，是 e， n， 让你求 n 的 值 来看地点，地点是两个函数图像的焦点。第一个问很简单，由于它既在 y 等于 x 加一上，又在 y 等于 k， x 加 b 上，所以我直接把它带入这个已知的解析式去求 n 就 行了。 所以带进去咱们就有 n 等于一加一也就等于二，所以地点的坐标就是一二了，对不对？哎，第一个问白给分的，咱们就求出来了， 求出来之后呢，咱们去看第二个问，让你求 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。由于我们想求这个解析式，得知道两点的坐标，咱在这已知了一个地点，在这已知了一个 b 点，所以直接代入，我们就可以求第二个的函数解析式了， 求出 y 等于三， x 减一就是这个函数的解析式了。接下来我们来看第三个问，也是我这个视频要主要讲解的求四边形 a、 o、 c、 d 的 面积。这个四边形是个不规则的四边形，那该怎么求呢？ 所以在这我们要借助一个方法，叫做割补的方法。哎，咱们要把它分成两部分去求面积，那怎么分呢？你会发现啊，在这这一段已知是一对吧？这一段我能求出来，因为它就是这个函数图像与 x 轴的焦点嘛， 所以我得分三角形的时候，分成两个面积已知的三角形，所以在这啊，我就连接 o、 d 这么去分。 所以第三个问啊， s 四边形 a、 o、 c、 d 的 面积就等于三角形 a、 o、 d 的 面积， a、 o、 d 的 面积是啥呀？二分之一以 a、 o 为底，以谁为高啊？ 以地点横坐标的绝对值为高，是一对不对。同样 c、 o、 d 的 面积怎么求呢？二分之一底乘高，我们可以选择 c、 o 为底。 哎，以地点纵坐标的绝对值为高，那 c、 o 的 长度是多少啊？来在这求一下。哎，我们直接令什么 y 等于零，那三 x 减一等于零， x 求出来，不就等于三分之一了吗？ 所以这一段的长度，它就是三分之一，也就是二分之一乘三分之一，再乘以它的高高，不就是二吗？ 所以我们很容易可以求出最终的答案，就是六分之五，它的面积也就求出来了。所以遇到这种题，咱们一定要巧用面积公式，选择合适的方法再来求解。

各位同学好，我们来看一下八下期末提升专题一的第十八题啊。十八题说，呃，这是一个正方形，正方形是期末非常常考的，而且是会做最后一道答题啊，因为正方形的性质特别多，它现在呢，屁点是在对角线 b d 上一个动点。第一小题连接我们的这个 ap 和 c p， 让你证明这个三角形的 apd 和三角形的 c p d 是 全等的。那么我们在第一小题，其实这个东西对称他不就全等吗？但是证明全等，你可不能说对称， 那这个证明全等的依据，首先一个是 a d 等于 c d 啊，然后 dp 等于 dp 是 不是公共边？还有就是正方形的对角线是 平分你的九十的，所以是不是两个四十五度呀，那么这个是性质啊。好，所以第一小题得真。那第二小题，如果学校没有上正方形的同学，各位同学自己先把这个正方形的性质给他背掉，嗯，我们说从边角对角线出发啊， 好，来第二小题。第二小题就我屁点还在动啊，我在这上面做了一个 p e 和 p 和 c p 啊，这两个应该是垂直的，那么直角。好，那么这个第二小题在正方形里面，各位同学来标注一下，这是非常典型的，而且到九年级也会经常考的，叫做化写为直题型啊， 所以我们先标注题型叫化写为直。那就是你的 p e 和 p f 呃，和 pc 啊，它两不都是斜的吗？而且都是在对角线上，所以在这里面我们就来做垂线。好，做垂线来看一下第二小题。 那第二小题做了垂线的话，首先，呃，我们的这个，你要想说明 pce 的 度数其实很简单，我只要说明这是一个等腰直角就可以了。 其实第二小题总思路呢，我们就是想证明这个三角形的 pge 呢？它是全等于这个三角形的 phc 的。 呃，当然这个是在写题过程当中，我没有给你写详细，我只给大家写了一个思路啊，哪里来的依据？ 好，首先一开始的时候，我们的这个 p g b 还有 g b h 就 这四个角，各位是不是直角，那么四个都是直角，可以说明我是一个矩形，那为什么这又是一个正方形当中的？呃，就是 p g 和 p h 为什么又相等？呃，那么，呃，在这里面是不是因为 我们一开始应该是有这个平分的呀？大家看这个 b d 不是 平分这个角 abc 吗？好，然后 p g 和它垂直， p h 不 也和它垂直吗？ 那么这里面是不是有个角平分线？这个角不是四十五度吗？这个角不也是四十五度吗？我们说角平分线上的点到线段两边的距离是相等的，对吧？这个这个 b d 是 整个 abc 的 一个角平分线啊。啊，所以在这里面，首先我们四个九十先推出你的矩形 矩形 p g， 呃，在前面，我给你稍微在这个点我给你写一下啊， 就你这一题，稍微难一点的就是那个 p g 为什么等于 p h？ 好， 首先是因为我四个角啊， p g b 和我们的角 g b h 还有这个角 p h b 啊， 还有一个角是 g p h， 那 四个角是九十，那我们首先先推出这是一个矩形， 矩矩形的 gph。 啊，好，那为什么又是一个正方形，就是 p g 和 ph 为什么相等？那么在这里你要注意我们刚刚说，呃，正方形的对角线啊，这个 b p 应该是为角 a b c 的 一个角平分线， 那既然是角平分线，那就说明角平分线上的点到线段两边的距离相等，所以 p g 和我们的 p h 应该是相等的。好，那么这个三角形全等的话，那就会有一个边的一个条件啊， 然后各位再看，其实其他条件就结束了，这不是九十吗？这中间 gph 不 也是九十吗？那所以导致我们角一和角二应该是拿九十减公共角，除了这个之外呢，还有 p g 和 ph 刚正的和一个九十度，所以这个全等用到的应该是我们的 a s a。 呃，这里面我只给你写一个分析啊， a s a 第一个是角一等于角二。 好，除了这个之外，还有就是我们的，呃，中间的这个 p g 会等于 p h 啊啊，还有一个是角 p g e， 我 们会等于这个角 p h c， 那 么它应该是等于九十，那结束过后啊，所以我们的 p e 不 就等于 p c 吗？ 然后再加上我们的 p e 是 垂直于 p c 的， 所以等腰直角，那我们就可以推出我们的角 p c e， 那 么等腰直角，它应该是四十五度啊， 好，那这个是我们的第二小题啊，然后再来看我们的第三题啊，啊，第三题要说明什么呢？他说，他说我们去 还是动点，然后呢？做一个 p e 是 垂直于这个 c b 还是垂直啊？在 p 点运动的过程当中，请你直接写出 p b， 还有我们的 p d 和 b e b e 在 这它们三者的之间的这个关系，各位同学一定一定要注意，这种题是常出的，而且这个东西你是要当做这种常规题型去做啊。 好，那么在这里面首先还是会用到前面的这个化简为直的基础啊，因为有第二小题，所以我在这里就不讲那么多了，我就给你简单的去给个思路。那在这里面一开始是不是肯定会有个圈的啊，就三角形的 p g e 啊，跟刚刚一样啊，三角形的 p g e 呢？我是会全等于这个三角形的 p h c 的 好，这个全等说明什么？说明 p g 和 p h 是 不是应该是相等，当然你不全等正方形也能出啊啊，你再来看啊，我们的 b e 好哎， b e 我 可没有办法单独出啊，他只能把这个 g e 给他加上。那各位，我是不是就等于我们的 b g 啊？ 你现在关键就是 b e， g e 还有 b g， 你 要找到和题目当中 p b 以及 p d 的 关系啊，那我们再来啊， p e 是 题目要的，这个东西我不要动啊， g e， 各位，根据全等，哎， 我能不能够把 b g e 根据全等转成 h c 啊，全等就是在这用到了，而 h c， 各位，这里是不是出现了一个矩形呀，那 h c 根据转化，我能不能转化成 p f 啊？完全可以， 但是 p f 跟我的 p d 还是挂不上关系哦，那各位，这是一个什么样的三角形？ 这不但是一个直角三角形，而且我们说正方形的对角线是不是角平分线，所以它是一个等腰直角三角形。那么在这个等腰直角三角形当中，你我们说斜边为直角边的根号二倍吧，所以 p f 和 p d 什么关系啊？ 是不是直角边占了整个斜边的二分之根号二倍这个笔记本笔啊，笔记本上有啊，斜边是直角边的根二倍，那么直角边是斜边的二分之根二倍啊。好， 那接下来我们再来看这个 b g 啊， b g 请问和我们题目的 p b 是 什么关系呢？那它这这是不是又出现了一个等腰直角三角形在这里吗？ b g b 当中啊，那么这个 b g， 各位我能不能转化为是二分之根号二倍的 p b 啊，这不是一样的吗？ 所以在这里面来，你会发现呦，我的这个 g e 转掉了，转成了是二分之根号二倍的这个 p d 啊。然后这个 b g 呢？我是二分之根二倍的 p d， 所以 整体如果说，呃，你想写好看一点，同乘二，同乘二的话， 同乘根二会好一点，会好看一点啊，同乘根二的话，那就是根号二倍的 b e， 再加上一个呃， p d， 右边同乘根二的话，刚刚好是 p b 啊。 那么这个时候你可以呃一个项，一个项的话，那我最终答案可以写成是 p b， 减去一个 p d， 它会等于根号二倍的 b e 啊。好，那综上所述，这一题采用了正方形的画斜为直模型。好，那这是我们的第十八题啊。

哈喽，机智的你，又见面了，这节课呢，咱们来看一道八年级的小压轴题啊，一道求最值的题型。 同学们呢，依然自己先暂停去思考，思考完呢，咱们一会回来，咱们一会见。好，咱们回来。首先这道题他和我们以前学过的平移型的将军一马，平移加上将军一马啊， 它是非常非常像的，对吧？我们回顾一下，将军印码呢，是有一个动点，两个定点，对吧？你看 上面 a 点这边， b 点在直线上有个 p 点， a p 加 b p 要最小。 平行将军码呢，它就不是移动的点了，它是移动的线段，它会说，哎，在这个线段上呢，有一个长度为，比如说小 a、 e、 f， 它是一个移动的线段，在这条直线上运动，让我们找 a e 加上 b、 f 最小， 或者有的题，它会这么出，它连接 a e， 连接 b， f， 连接 ab， 求 a、 b、 f、 e 的 周长最短。 实际上这道题我们要求周长最短，它有四条边，这是一号边，这是二号边，这是三号，这是四号， 那么一加二加三加四要最短，其中的一加二，实则它就是一个定值，对吧？ 那么求四边形的周长，它的本质依然是三加四是最短，那这就是我们的三，这就是我们的四。哎，当有线段的平移时候啊，线段的移动，我们就叫做平移型的将军嘛， 我们具体是怎么做的，大家还记得吗？你可以暂停思考一下啊，咱们一会回来，那咱们回来 平行的将军马，它的本质依然是划折为直啊，把我们这里的 a、 e 和 b、 f 划到同一条线段或者直线上来， 哎，那将军马的对称我们就少不了。首先以线段所在直线为对称轴做定点的对称点，你做 a 的 对称点也行，做 b 的 对称点也行。好，我们先做一个下来， 这里我们记为 a 一。 我们在刚开始学平行将军马的时候，很多同学还不太好理解，为什么我们要在这边构造一个平行四边形，但是八下咱们现在学了平行四边形以后，哎，它就好理解了。 那我们对称完之后不能直接连接，对吧？如果说我们直接连接看一下啊，我们直接进行连接啊，假设这里是我们的 f， 往回推呢？可能有我们的 e， 对 不对？因为 e 和 f 呢，是一个线段在平移，那么你会发现，如果这里是 e， 我 们连接 a e， 这个 a e 和 b f， 它有在同一条线段上吗？啊？ b f 当然在这，但这个线段显然不等于 a e， 对吧？所以有线段的平行性。将军马我们不能说简单，做完对称之后连接， ok 吧？好，我们一会儿回来啊， 那接下来我们要 a e 和 b f 最短，当然这个对称点我们要相互靠拢才比较好， 所以中间这里的平移，你不能往这边平移，对吧？你应该往这里的定点呢平移，平移到这儿平移多少呢？平移 a 个单位长度，这边呢，我们就记为 a 二了， 这个时候我们再进行连接，连接这里的 b a 二，好，这里呢就是我们的 f 往回推 a 个当 a 个单位长度，这里呢就是我们的 e， 当你把这里的 a e e 连接，哎，你会发现神奇的事情出现了，为啥呢？把它也连接了吧。 如果 a e 这里我记为一号线段，我们做了对称之后，这里的 a、 e、 e 也是一号线段， 那么我们这里它的长度是 a， 它的长度是 a， 是 平行的一组对边平行且相等，所以这是一个平行四边形，那么一号边就跑到这里来了。 好，这里是我们的二号边，是吧？是不是相当于就把 b f 和 a e 划到了同一条线段上？ 哎，你自己思考一下，对吧？哎，我们的平行将军嘛，就是这么做的。做对称，做平移连接， 对吗？那么这道题你会发现它有一点变形，确实有 e、 f， 有 固定的线段在平移，但这里不是两个点，这里是一个点， 对吧？但它的本质是相同的。当我讲完平易近将军嘛，你回过头来看自己能不能解决道题，你先暂停思考啊，一会咱们回来， 这里的步骤呢，依然是相同的，是吧？虽然刚才这边是两个点，我这里一个点，依然以动线段所在直线作对称点，这里是个正方形， a 的 对称点就在 c。 然后呢，咱们进行一定的平移啊，当然这里只有一个点，刚才是两点的时候呢，我们要朝里面个定点进行靠拢，这里是一个点啊，你往下坐或往上坐都 ok 了，我们就往这边坐吧。 平移平移多少单位长度呢？根号二，我们这里呢，记为 c 一， ok 吧？那剩下也就一样了，连接这里的 a c 一， 这个点呢，就是我们要的 f 往回退，根号二，这里呢，就是我们的一，对吧？好，你看连接这里的 c e， 这里 c e f e c 就是 平行四边形。当我们连接这里的 a e， 这里是一号边。好，这里是做了对称，这里也是一号边。平行四边形，这是一号边，所以把这个一号边和二号边的 a f 呀，我们这节呢就是 a e， 把 a e 和 a f 呢就到同一条线段上了， 对吧？哎，我们的目的也就达到了，这会儿 c e a 就是 我们要求的 a e 加 a f 的 最小值，那怎么求呢？显然是不是要去 a e a f a c e 呢？靠着它去找一个 直角三角形，对吧？直角三角形中间我们会发现本身它和它就是对称的，所以两个对称点给它一连接， 这里呢是垂直的，它是对称轴对吗？这里是垂直，我们做的 c e c， 它本身和 e f 又是平行的，那么这个地方就为垂直， 所以 a c e 所在的直角三角形啊，也就出现了，也就出现了。那这里为根号二， 那它的边长是四是吧？那整个这长度呢？是四倍。根号二，根据勾股定律，平方完之后三十二，平方完之后二是吧？所以这里的 a c 一， 也就是我们这里答案应该为根号线的三十四。好，咱们总结一下，除了我们看到有移动线段，能想到平行的将军网， 那这个地方你还要注意啊，对称点，如果以后咱们遇到有对称点，一定要去找找他的对称轴和对称点连线啊，这里有垂直关系，我们是经常常用的一个知识点， ok 吧，那么希望这节课对你有帮助，再见！拜拜！